Análise dinâmica e controlo de forças em manipuladores robóticos
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Análise Dinâmica e Controlo de Forças em Manipuladores Robóticos Dissertação submetida com vista à obtenção do grau de Doutor em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Abílio Joaquim Gomes de Oliveira Azenha
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Doutoramento em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Dinâmica e Controlo de For ças em Manipuladores Robóticos Dissertação submetida à Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, com vista à obtenção do grau de Doutor. 1998 Abílio Joaquim Gomes de Oliveira Azenha
i Agradecimentos Ao meu distinto orientador Prof. Doutor José António Tenreiro Machado, por toda a atenção dispensada, sugestões e ideias transferidas e por todo o trabalho e paciência que teve comigo. À Prof. Doutora Alexandra Galhano, porque também me soube encorajar nas ocasiões de maiores dificuldades. À minha família, especialmente aos meus pais Joaquim e Maria da Conceição, por todo o apoio e carinho que manifestam em mim. Desejo, também, agradecer o apoio financeiro que obtive através de uma Bolsa de Doutoramento da Junta Nacional de Investigação Científica e Tecnológica (JNICT) agora denominada Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT), Programa Praxis XXI. Também tive o apoio monetário para participação em Conferências Internacionais nos Estados Unidos da América da Fundação Luso-Americana para o Desenvolvimento e da Fundação Calouste Gulbenkian.
ii RESUMO Os manipuladores robóticos são sistemas constituídos por diversos elos interligados por eixos lineares ou rotacionais. Estes sistemas mecânicos exibem fenómenos cinemáticos, estáticos e dinâmicos complexos o que torna difícil a sua análise e o seu controlo. Estes factos levaram a que até recentemente a utilização de robots estivesse confinada a tarefas que exigissem pouca interacção com o ambiente (e.g. pintura e soldadura). Por esta razão, nos últimos anos tem-se assistido a alguma investigação sobre a modelização e o controlo de manipuladores para tarefas em que é requerido um controlo da força de contacto com o ambiente (e.g. polimento e montagem). A perspectiva clássica de controlo de manipuladores robóticos considera a configuração (i.e. a posição) e as derivadas temporais (i.e. a velocidade e a aceleração) da estrutura mecânica do robot. Todavia, muitas das tarefas solicitadas a este tipo de sistemas não são compatíveis com essa filosofia. De facto, as actividades que requerem um controlo de força/binário não são possíveis de controlar em posição e vice versa. Esta situação levou ao desenvolvimento de algoritmos com vista ao controlo das variáveis posição e força/binário de acordo com as solicitações das tarefas a executar. Assim, emergiram os conceitos de controlo de impedância, controlo híbrido posição/força e, de uma forma mais geral, o controlo de força. Nesta ordem de ideias, este trabalho estuda a técnica de “controlo híbrido posição/força” (CH) com “efeitos de segunda ordem” tais como os atritos não lineares (nos eixos e no ambiente de trabalho), as folgas (na estrutura mecânica) e as flexibilidades nas juntas, que se revelam de importância fundamental para um controlo preciso e estável das forças de interacção. Analisam-se as respostas temporal e em frequência do sistema para vários controladores de posição/força para vários parâmetros dos controladores e do sistema robot/ambiente. Compara-se o comportamento do sistema clássico (i.e. com a inversa da matriz Jacobiano) versus o cálculo através de uma matriz pseudo-inversa. Em todos os casos analisa-se a zona de estabilidade do sistema em função dos parâmetros da superfície restrição. Calculam-se as respostas (com duas modelizações distintas da superfície restrição) quando se adopta uma estratégia de controlo por multifrequência. Analisa-se o comportamento do CH durante a ocorrência de impacto para vários esquemas de transição (do controlo de posição para o controlo de força) da estrutura do controlador. Por último, estuda-se de uma forma sucinta a adopção de controladores de ordem fraccionária, nas malhas de posição e de força, em alternativa aos sistemas de estrutura variável usados ao longo do trabalho.
iii ABSTRACT Robotic manipulators are systems made from various links interconnected by prismatic or rotational joints. These mechanical systems exhibit complex kinematic, static and dynamic phenomena that lead to a difficult analysis and control. These facts lead that till recently the use of robots was restricted to tasks needing a reduced interaction with the environment (e.g. painting and welding). Due to this reason, in the last years a considerable research has been done on the area of manipulator modelling and control for tasks in which it is required a contact force with the environment (e.g. deburring and assembly). The classical perspective for manipulator control considers the configuration (i.e. the position) and the time derivatives (i.e. the velocity and the acceleration) of the robot mechanical structure. Nevertheless, many of the tasks demanded to this type of systems are not compatible with this philosophy. In fact, the actions that require a force/torque control are not possible to control in position and vice versa. This situation motivated the development of algorithms establishing a compromise between position and force/torque control according with the task requirements. By this way, it evolved the impedance control, hybrid position/force control and, in a more general form, the force control concepts. In this line of thought, this work studies the hybrid position/force control (HC) technique with “second order dynamic effects” such as nonlinear friction (in the joints and in the environment), backlash (in the mechanical structure) and flexibilities at the joints. These dynamic phenomena reveal to be of fundamental importance for a precise and stable control of the interaction forces. These effects are analysed in terms of time and closed-loop frequency responses for several position/force controllers and different robot/environment parameters. Moreover, the behaviour of the standard (i.e. with the inverse Jacobian matrix) system versus the pseudo- -inverse modification are also compared . For all cases, the system stability locus in terms of the constraint surface parameters (for two distinct dynamical models) is studied and the system responses, when a multirate control strategy is adopted, is calculated . In particular the HC performance during the occurrence of impacts for several transition schemes (from position to force control) of the controller structure is studied . Finally, briefly, the adoption of fractional-order controllers, in the position and force loops, in alternative to the variable structure controllers used throughout the work is also analysed.
iv RÉSUMÉ Les manipulateurs robotiques sont constitués de plusieurs anneaus donc la liaison est acomplie par des axes linéaires ou rotationels. Les fénomènes cinématiques, statiques et dinamiques de ces systèmes mécaniques sont assez complexes, ce qui rent leur analyse et leur controle une tache dificille. C’est pourquoi leur utilization était fort limité dans le passé, voire peinture, soudure, etc. La recherche dévelopée depuis quelques annés sur la modélization et le controle de manipulateurs robotiques prend vue de situations où le controle de force permet toucher l’ambiance et, par conséquence acomplir des actions de polissure et d’assemblage. Du point de vue classique, le controle de manipulateurs robotiques prend la configuration de sa structure, c’est à dire la position, et ses déridées dans le temps, c’est à dire la velocitée et l’acceleration. Pourtant, cette approche n’est pas efficace dans plusieurs situations. En effet, ce n’est pas possible acomplir un controle en position en des activitées qui ont, simultanement, besoin d’un controle de force/couple, et vice versa. Des algorithmes permetant le controle des variables de position aussi bien que de force/couple ont été dévelopées pour des situations bien spécifiques. Ainsi, sont apparus le controle d’impedance, le controle hybride de position/force et, plus généralement, le controle de force. Ce travail prend en vue le controle hybride de position/force (CH) avec des effets de second ordre comme les frottements non linéaires, soit dans les axes soit dans l’ambiance, les relâches, dans la structure mécanique, et les flexibilitées aux axes, donc l’importance est fondamentale pour un controle avec précision et stabilité des forces d’interaction. Les réponses temporelle et en fréquence du système sont analysées dans le cas de plusieurs controleurs de position/force et considerant plusieurs paramêtres, soit du controleur lui-même, soit du système robot/ambiance. Le système classique, avec le calcul de l’inverse de la matrice Jacobien, est comparé avec le calcul par une matrice pseudo- -inverse. La région de stabilité du système est analysée, dans touts les cas, en fonction des paramêtres de la surface de restriction. Les réponses sont aussi calculées avec deux modélisations de la surface de restriction en adoptant une stratégie de multifréquence. L’acomplissement du CH est analisé pendant l’impacte pour plusieurs schémas de transition entre le controle de position et le controle de force de la structure du controleur. Un étude de controleur d’ordre fractionnaire, dans les mailles de position et de force, comme alternative aux systèmes de structure variable utilisés est aussi exploit.
v ÍNDICE: Agradecimentos...........................................................................................................i Índice..........................................................................................................................v 1 Introdução 1.1 2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.1 2.1 Introdução ................................................................................................2.1 2.1.1 Atritos ..........................................................................................2.2 2.1.2 Folgas...........................................................................................2.8 2.1.3 Flexibilidades .............................................................................. 2.10 2.2 Considerações sobre o atrito deslizamento-paragem................................ 2.11 2.2.1 O efeito de Dahl.......................................................................... 2.14 2.2.2 O tempo de residência................................................................. 2.14 2.2.3 Atraso e repetibilidade do atrito .................................................. 2.15 2.3 Modelização de fenómenos de folgas....................................................... 2.16 2.3.1 As equações do sistema motor, engrenagem e carga.................... 2.17 2.3.2 Sistema em malha fechada ........................................................... 2.19 2.3.3 Modelização da folga através de considerações dinâmicas versus cinemáticas................................................................................. 2.21 2.4 Modelização de fenómenos de flexibilidades............................................ 2.23 2.5 Conclusões.............................................................................................. 2.25 3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.1 3.1 Introdução ................................................................................................3.2 3.1.1 Controladores de estrutura variável ............................................... 3.2 3.1.2 O método da função descritiva......................................................3.3 3.2 Os controladores de estrutura variável.......................................................3.4 3.3 Estudo de sistemas não lineares através da função descritiva......................3.5 3.3.1 Conceitos gerais............................................................................3.6 3.3.2 A FD dos controladores ................................................................3.8 3.3.3 A FD dos sistemas não lineares ................................................... 3.12 3.3.3.1 Sistemas com atrito......................................................... 3.13 3.3.3.2 Sistemas com folgas........................................................ 3.17 3.3.3.3 Sistemas com flexibilidade............................................... 3.23 3.3.4 Algumas considerações relativas aos resultados obtidos através da FD ......................................................................................... 3.24 3.4 Simulação de sistemas com um gdl em controlo de posição ..................... 3.26 3.4.1 Sistemas com atrito..................................................................... 3.26 3.4.2 Sistemas com folgas....................................................................3.27 3.4.3 Sistemas com flexibilidade........................................................... 3.28 3.5 Controlo de posição do robot 2R com atrito, folgas e flexibilidade nos eixos................................................................................................ 3.28 3.5.1 Robot com atrito nos eixos.......................................................... 3.30 3.5.2 Robot com folgas nos eixos......................................................... 3.32
vi 3.5.3 Robot com flexibilidade nos eixos ............................................... 3.32 3.6 Conclusões.............................................................................................. 3.34 4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.1 4.1 Introdução ................................................................................................4.2 4.2 Descrição matemática do robot e do ambiente........................................... 4.5 4.3 Descrição do controlador híbrido posição/força.........................................4.9 4.4 Resposta temporal do sistema com vários controladores de posição e de força ...................................................................................................... 4.11 4.5 Resposta em frequência do sistema e a correcção da pseudo-inversa........ 4.20 4.5.1 Comportamento do CH através da respectiva resposta em frequência................................................................................... 4.20 4.5.2 Comportamento do sistema para valores variáveis dos parâmetros da superfície restrição e da frequência do controlador .......... 4.25 4.5.3 Comportamento do CH perto e longe de pontos singulares.......... 4.29 4.6 Zonas de estabilidade em função dos parâmetros da superfície restrição... 4.38 4.7 Aspectos relacionados com a modelização da superfície restrição e com a adopção de uma estratégia de amostragem por multifrequência .............. 4.41 4.8 Controlo de robots com fenómenos dinâmicos não lineares nas juntas...... 4.45 4.9 A ocorrência de impacto ......................................................................... 4.47 4.9.1 O algoritmo de transição ............................................................. 4.48 4.9.2 A trajectória................................................................................ 4.49 4.9.3 Desempenho dinâmico com impacto............................................ 4.50 4.9.4 Estabilidade versus geometria da superfície e velocidade de impacto....................................................................................... 4.54 4.10 Sistema com controladores de ordem fraccionária ................................. 4.56 4.10.1 Algoritmos de ordem fraccionária.............................................. 4.56 4.10.2 Experiências.............................................................................. 4.58 4.10.2.1 Robots ideais................................................................. 4.58 4.10.2.2 Robots com atrito não linear.......................................... 4.59 4.10.2.3 Robots com folga dinâmica ........................................... 4.60 4.10.2.4 Robots com juntas flexíveis ........................................... 4.62 4.11 Conclusões............................................................................................ 4.62 Apêndice 4.A: Determinação da matriz pseudo-inversa (SJ)+........................ 4.64 1 Definição de matriz pseudo-inversa e teorema da unicidade...............4.64 2 O método de decomposição em valores singulares............................. 4.65 3 Determinação de (SJ)+ através do método anterior............................ 4.67 4 Propriedades da matriz (SJ)+(SJ)....................................................... 4.69 5Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.1 5.1 Introdução ................................................................................................5.2 5.2 Utilização da FD no estudo da cinemática directa do robot 2R..................5.3 5.3 Estudo da FD do controlo híbrido posição/força do robot 2R.................. 5.11 5.3.1 A FD do bloco estática de força .................................................. 5.14 5.3.2 A FD do bloco cinemática de posição.......................................... 5.15 5.3.3 A FD do bloco robot 2R/ambiente............................................... 5.16 5.4 Viabilidade do estudo da estabilidade do CH através do diagrama de Nyquist multivariável.............................................................................. 5.18
vii 5.5 Linearização do CH ................................................................................ 5.22 5.6 Resposta em frequência em malha fechada analítica do CH com o robot 2R ................................................................................................ 5.26 5.7 Conclusões.............................................................................................. 5.32 Apêndice 5.A: Determinação da FD do bloco de controlo de força .............. 5.34 Apêndice 5.B: Determinação da FD do sub-bloco de interacção com o ambiente .............................................................................. 5.39 Apêndice 5.C: Determinação da linearização do bloco de estática de força... 5.44 Apêndice 5.D: Determinação da linearização do sub-bloco de interacção com o ambiente.................................................................... 5.46 Apêndice 5.E: Determinação dos blocos F1 e F2 para cálculo da resposta em frequência analítica......................................................... 5.48 6 Conclusão 6.1 Bibliografia..............................................................................................................B.1
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.2 2.1.1 Atritos A maior dificuldade que existe na modelização matemática dos atritos deve-se a estes serem dependentes de muitos factores como sejam o tipo de materiais em contacto, a temperatura, a humidade do ambiente de trabalho e muitos outros factores que variam de sistema para sistema. A fim de evitar uma grande complexidade, têm-se adoptado modelos muito simples (nomeadamente a formulação de uma força em função da velocidade relativa entre as duas superfícies em contacto) para os atritos. Esta técnica tem mostrado resultados interessantes, mas para cada tipo de sistema é necessário medir ou estimar os valores dos parâmetros do modelo. De entre todos os tipos de atritos que se observaram nos robots, o atrito de Coulomb parece ser o mais importante. Neste caso, a força de atrito entre duas superfícies em contacto é considerada como sendo um sinal em degrau positivo no primeiro quadrante e o seu simétrico no terceiro quadrante. Neste modelo a força de atrito é uma função da velocidade relativa entre as duas superfícies. Além disso, para o caso de se verificar uma velocidade relativa nula, existe um segundo efeito, o atrito estático (stiction), que, em geral, é superior ao atrito para velocidades não nulas. Dentro do atrito de Coulomb existem ainda várias aproximações possíveis, nomeadamente as formas exponencial, linear (viscoso), etc. À combinação atrito estático com o atrito para velocidades não nulas costuma-se denominar atrito deslizamento-paragem (stick-slip). Um aspecto importante que os atritos introduzem consiste na sua natureza ‘descontínua’ quando se modelizam da forma indicada, pois as equações dinâmicas adquirem um teor também ‘descontínuo’ em dados instantes das simulações e, por isso, é necessário tratar adequadamente esse facto. Em 1983, Luh et al. projectaram e fabricaram duas juntas de um robot industrial para incluírem a capacidade da aquisição de sinais de binário através de extensómetros. Os sistemas de controlo propostos reduziram os binários efectivos de atrito das juntas de um modo notável. Este resultado deveu-se à existência de um controlador eficiente com os respectivos ganhos sintonizados experimentalmente. Deste modo, conseguiu-se quase anular os efeitos do atrito, através do ajuste dos ganhos do controlador, mas o algoritmo é muito sensível ao ajuste dos ganhos e a variações dos parâmetros. No trabalho de Walrath (1984) é estudado o problema dos efeitos do atrito na bússola de veículos aéreos para sistemas de seguimento de rotas e foi desenvolvido um
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.3 compensador adaptativo em tempo real. A sua implementação é baseada numa análise experimental dos fenómenos, na qual foi identificado o carácter altamente não-linear do atrito. Os resultados obtidos com este controlador adaptativo foram encorajadores para a investigação subsequente, pois revelam que o atrito tem propriedades capazes de serem modelizadas com aproveitamento para o desenvolvimento do sistema de controlo. Em 1985, Kuntze e Jacubasch realizaram um sistema robótico para cortar peças de metal com formas irregulares e requerendo muita precisão. O problema principal devido aos fenómenos não-lineares existentes nas juntas do manipulador consiste no atrito deslizamento-paragem (ver adiante mais pormenores). A par deste facto, existem também folgas nas engrenagens das juntas. No entanto, verificou-se experimentalmente que, para o sistema em questão, o atrito é o fenómeno que influencia mais significativamente o comportamento do sistema no que diz respeito à ocorrência de ciclos limite. Para ultrapassar os problemas dos ciclos limites recorre-se ao cálculo numérico da função descritiva (Atherton, 1975) deste tipo de atrito. Depois, utiliza-se a técnica de injecção de um sinal de oscilação de alta frequência (dithering) num ponto do controlador com vista ao cancelamento das perturbações. Deste modo, consegue-se modificar a função descritiva do atrito de tal forma que os ciclos limites são eliminados. Em 1988, Armstrong fez um estudo sobre o atrito presente num mecanismo controlado por um servomotor de corrente contínua (com escovas) accionando uma engrenagem. Através deste trabalho chegou-se à conclusão que o comportamento dominante do atrito pode ser descrito pelo modelo de atrito de Coulomb mais um atrito viscoso. É também identificada uma dependência do atrito com a posição e com a velocidade. No trabalho de Gogoussis e Donath (1988) mostrou-se que, para modelizar robots para aplicações requerendo uma elevada precisão onde a dinâmica tem um peso significativo, é importante incluir os efeitos do atrito de Coulomb nos rolamentos e nas transmissões. É mostrado que o atrito pode ser relacionado com as coordenadas das juntas e com as suas primeira e segunda derivadas temporais. Em 1991 Haessig, Jr. e Friedland elaboraram um trabalho sobre a modelização e a simulação do atrito no qual, entre outras contribuições, apresentam dois novos modelos para o atrito não-linear do tipo deslizamento-paragem (stick-slip). O movimento deslizamento-paragem (DP) é caracterizado por um ciclo periódico alternado de movimento com paragem, e é governado por quatro fenómenos:
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.4 • A dinâmica ‘mola-massa’ do sistema; • O atrito não-linear a baixas velocidades; • A interdependência do atrito estático com o ‘tempo de residência’ que é definido como sendo o intervalo de tempo durante o qual as superfícies estão fixas com respeito ao contacto. • O tempo de atraso entre a transmissão de uma mudança no estado do sistema e a mudança correspondente no atrito. Os dois novos modelos propostos para o atrito DP chamam-se modelo de pêlos (bristle model) e modelo de integrador de reinicialização (reset integrator model). O primeiro representa o atrito como a interacção de muitos pêlos flexíveis localizados aleatoriamente. O segundo modelo é menos complicado e, por isso, é mais eficiente computacionalmente. Baseia-se no uso de um integrador da velocidade relativa através do qual se obtém a quantidade de movimento do objecto a controlar e também num bloco que reinicializa o integrador no caso dessa velocidade ser reduzida. No entanto, retém as características que o fazem ser aceitável para simulações onde é desejado um grau de exactidão elevado. Southward et al. (1991) desenvolveram um compensador não-linear de força para o atrito DP. Esta compensação destina-se a complementar uma lei de controlo proporcional e diferencial (PD) aplicada a um robot com um grau de liberdade. A escolha de uma força de compensação descontínua deve-se ao facto de ser necessário que a referência seja um ponto de equilíbrio (único) do sistema. Mostrou-se, por simulação e experimentalmente, que o sistema era estável. A implementação desta lei de controlo não-linear é relativamente simples para sistemas com 1 gdl e a sua realização pode ser conseguida utilizando apenas medições de posição. Não é necessário o conhecimento da força de deslizamento (slipping force), mas é requerida a estimação do valor máximo das forças de atrito estático. No trabalho de Tachi et al. (1991) estuda-se o controlo de impedância de um manipulador sem utilizar sensores de força. Os atritos viscoso e de Coulomb nas juntas são estimados através de uma técnica de identificação de sistemas. Este método tem como vantagem principal o movimento do robot ser controlado através da mesma impedância de referência tanto no espaço livre como no restringido (por objectos muito rígidos). Posteriormente, em 1992, Dupont estuda o efeito do atrito de Coulomb na existência e na unicidade da solução da dinâmica directa para sistemas com atrito de Coulomb. Dupont
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.5 mostra que os problemas de existência e de unicidade existem mesmo para um sistema com 1 gdl e, de seguida, deriva as condições sob as quais ocorrem tais problemas. Dupont desenvolve um método gráfico que indica o número de soluções associadas a cada valor do binário de entrada e deriva uma condição necessária e suficiente para a existência e unicidade da solução. Os coeficientes de atrito que não satisfazem esta condição são muito elevados em comparação com as amplitudes típicas do atrito interno dos robots. Trata-se de um resultado importante, porque indica que em muitos casos práticos a existência e unicidade da dinâmica directa não é necessariamente um problema a combater. É também interessante o trabalho de Newman et al. (1992) no qual se estuda o efeito do atrito de Coulomb nas engrenagens de um robot utilizado em operações espaciais. O atrito de Coulomb presente em transmissões e rolamentos comuns induz níveis inaceitáveis da aceleração do órgão terminal. Estas acelerações não são atenuadas adequadamente por um algoritmo de controlo clássico, pelo que os robots para trabalhos em micro-gravidade requerem estruturas especiais a fim de apresentarem baixos níveis de atrito. Gomes e Chrétien (1992) apontam que as perturbações internas de um controlador de junta de um robot (do qual é um exemplo o atrito), constituem importantes fontes de não- -linearidade. Este facto torna difícil o desenvolvimento de leis de controlo com um nível de precisão elevado. Destas perturbações, a mais importante é o binário de atrito; no entanto, não existe um consenso acerca do modelo matemático que melhor se aproxima da realidade. Os objectivos atingidos com este trabalho foram: • Obtenção de um modelo dinâmico de uma junta accionada por um motor e seu teste através de resultados experimentais; • Uso do modelo do atrito para mostrar a possibilidade de construção de mecanismos de compensação; • Cálculo da expressão da dinâmica não-linear através da análise do comportamento dos pólos do sistema, o que torna possível o projecto de leis de controlo. Dupont (1993) tratou o efeito do atrito no problema da dinâmica directa. Desta feita, o trabalho discute a solução numérica das equações da dinâmica directa de um robot de n gdls com atrito. Estuda-se também a modelização e a identificação experimental do atrito. Mostra-se que a inclusão do atrito de Coulomb nas equações dinâmicas introduz duas dificuldades na solução da dinâmica directa. Estas dificuldades são: • As equações diferenciais são descontínuas nos termos derivativos de maior ordem;
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.6 • A dependência deste tipo de atrito com a carga é uma causa das equações serem implícitas nas acelerações das juntas. Alexander e Maddocks (1993) estudaram o movimento dominado pelo atrito de um corpo rígido num plano horizontal em situações onde a interacção precisa do atrito com o corpo não pode ser determinada. Consequentemente, tem de ser encontrado o conjunto completo de movimentos correspondente a todas as distribuições possíveis do atrito. Estes investigadores mostraram que se a região de contacto entre o corpo e o plano que serve de suporte tem uma ou duas componentes, então o conjunto de todos os movimentos possíveis coincide com outro conjunto de movimentos. Este conjunto é o que é originado pelas distribuições do atrito entre dois pontos na vizinhança da região de contacto. Estes problemas de dois pontos podem ser resolvidos analiticamente enquanto que, para formulações anteriores, o suporte de um objecto por uma superfície com atrito é reduzido a um problema de três pontos de contacto (tripods), o qual não tem uma solução analítica. Em 1994, Newman e Zhang propuseram uma nova formulação para o desenvolvimento de controladores de sistema com atrito a fim de se atingir um controlo de impedância com elevado desempenho e uma boa estabilidade. Embora a largura de banda do controlador resultante não seja superior à das técnicas alternativas, esta nova formulação melhora significativamente o desempenho quando o atrito de Coulomb está presente no sistema. Por outro lado, a técnica proposta requer uma escolha criteriosa da impedância desejada, pois o sistema pode tornar-se instável e os compensadores por realimentação serem não causais. Os resultados deste trabalho mostram que a técnica é bem sucedida na rejeição de perturbações de forças de atrito internas e que o robot mantém uma impedância passiva (i.e. sem geração de forças activas) no ponto de contacto. Cai e Song (1994) desenvolveram dois novos compensadores não-lineares para estes sistemas: um para a regulação de posição (velocidade final nula) e o outro para o seguimento de trajectórias (velocidade final não nula) de robots rígidos com atrito de Coulomb nas juntas. Não é necessário conhecer com exactidão os modelos do atrito para o projecto dos controladores. Os controladores propostos melhoram não apenas a exactidão de posicionamento, mas também a suavidade de movimento. Mais ainda, o controlador de seguimento é também robusto com respeito a uma estimação pouco exacta dos parâmetros do manipulador. No trabalho de Hu (1994) estuda-se o controlo de posição de um servo-sistema contendo atrito. Neste trabalho escolhe-se um modelo de atrito diferente do de Coulomb,
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.7 com a divisão em atrito estático e dinâmico, o que se revela apropriado para desenvolver uma lei de controlo que compensa os efeitos do atrito. O modelo de atrito adoptado evitou o aparecimento de ciclos limite de baixa frequência. Por seu lado, Liu (1994) apresenta um trabalho sobre a compensação dos efeitos do atrito não-linear do tipo Coulomb para o seguimento de trajectórias. É aplicado um controlo iterativo por aprendizagem do tipo PD, que incorpora uma realimentação estabilizadora da dinâmica do manipulador compensadora do atrito. O controlador iterativo com aprendizagem gera uma sequência de funções de binário, usado em antecipação, as quais compensam gradualmente o atrito nas juntas através de repetidos ensaios de uma dada trajectória. Glosser e Newman (1994) implementaram um controlador de admitância natural (i.e. um controlador da interacção com o ambiente de trabalho que garante a estabilidade do sistema para qualquer tipo de ambiente passivo) num robot industrial. O esquema implementado mostrou oferecer um elevado desempenho e uma boa rejeição do efeito provocado pelos atritos. Isto é conseguido através da modelização aproximada da dinâmica do sistema em malha aberta. Deste modo, pode ser derivada uma lei de realimentação de força que tenta preservar a passividade da dinâmica do sistema. No estudo de de Wit et al. (1995) é proposto um modelo de atrito baseado em pêlos (bristles). Os resultados obtidos revelam uma grande semelhança com os dados experimentais pois o modelo capta muitas das propriedades do atrito que são observadas experimentalmente e expostas na secção 2.2. A zona de fronteira entre duas superfícies é modelizada como um contacto entre pêlos. Por razões de simplicidade, os pêlos de uma das superfícies são supostos como sendo rígidos, isto é, que não se deflectem. O mecanismo de geração da força de atrito entre as superfícies será então traduzido pela deflexão dos pêlos, de tal modo que se a força for suficientemente elevada, então alguns deles começam a deslizar. O fenómeno é altamente aleatório devido às formas irregulares das superfícies pelo que o modelo é baseado no comportamento médio dos pêlos, tal como acontece no trabalho de Haessig e Friedland (1991). 2.1.2 Folgas Num robot existem muito frequentemente engrenagens compostas por rodas dentadas e/ou roldanas sujeitas ao fenómeno das folgas, isto é, à existência de intervalos nos quais a
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.8 transmissão de energia entre dois componentes consecutivos é interrompida. No entanto, devido aos princípios da conservação de energia e do momento cinético/angular, pode-se determinar o efeito das folgas e avaliar as suas consequências. O estudo das folgas em engrenagens de manipuladores é de primordial importância pois afectam a exactidão do controlo seja de posição seja de força, bem como a ocorrência de instabilidades. Allan e Levy (1980) descrevem um método para estimar o binário mínimo de pré- -carga em rodas dentadas com molas anti-folga num sistema de controlo de posição, a fim de se obter uma resposta satisfatória ao degrau. O uso de um binário mínimo de pré-carga reduz o atrito e o desgaste nos dentes das engrenagens. Neste trabalho mostra-se que são suficientes binários de pré-carga inferiores aos empregues tradicionalmente para estabilizar o sistema de controlo. Luh et al. (1983) analisam através da função descritiva a estabilidade e a existência de ciclos limite para um robot industrial. Estas oscilações podem ser removidas pela inserção de circuitos de compensação por avanço de fase. De facto, o traçado da função descritiva do sistema não-linear constituído por uma junta do robot auxilia o projecto de controladores que eliminem as instabilidades originadas pelas folgas das juntas. Os resultados obtidos através desta técnica mostraram ser prometedores, especialmente para frequências médias e elevadas. Eventualmente, para frequências baixas de ciclos limites, este processo não tem tão bons resultados devido a piorar a estabilidade do sistema (Kuntze e Jacubasch, 1985). Dagalakis e Myers (1985) desenvolveram uma técnica para um ajuste preciso das folgas nas engrenagens das articulações de um robot industrial. Esta técnica consiste em injectar no actuador de uma junta sob teste sinais de excitação aleatórios e de largura de banda limitada e monitorizar o comportamento do eixo através de um acelerómetro. De seguida, é medida uma função de coerência que é utilizada no ajuste da folga da engrenagem de modo a minimizar o seu efeito da não-linearidade. Foram efectuados testes nos eixos de um robot, tanto em carga como em vazio, para diferentes posições em regime permanente. Os resultados mostram que esta técnica pode ser usada tanto para o ajuste das engrenagens das juntas como para a inspecção periódica e automática do seu estado de conservação. A função de coerência baseia-se no facto de existir um valor óptimo do ajuste da folga: para valores grandes o sistema torna-se obviamente inaceitável e para valores
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.9 pequenos o atrito de Coulomb torna-se dominante. Deste modo, existe um valor intermédio para o valor da folga que optimiza o comportamento do sistema. Relativamente à intervenção humana, o “método computacional” é mais fiável, pois não depende de erros de avaliação como ocorre com o “método humano”. Stepanenko e Sankar (1986) analisam a influência das folgas nos actuadores de robots com transmissões elásticas. A função descritiva permite estudar os ciclos limites de alta frequência existentes nos actuadores e, deste modo, prever a frequência e a amplitude das oscilações com uma exactidão satisfatória. Choi e Noah (1989) abordam também a resposta periódica em regime permanente de uma junta de robot com folgas e com uma rigidez finita. O procedimento utilizado é derivado a partir das condições fronteira nos pontos de contacto e da resolução das equações algébricas não-lineares correspondentes, através do estabelecimento do tempo de duração do contacto como um parâmetro. Este método tem a vantagem, em relação a métodos numéricos, de ter soluções exactas e de necessitar de um menor tempo de cálculo. Chang e Jiang (1993) formulam a dinâmica de um robot com irregularidades a nível das juntas, para prever a exactidão e a precisão de posicionamento em operações de alta velocidade. Através da utilização de métodos de linearização Gaussianos (por meio de equações de propagação de média e de covariância do sistema), são obtidas a exactidão e a precisão operacionais do braço. Através de simulações (utilizando a técnica estatística de Monte Carlo) os autores concluem que existe um compromisso entre a viscosidade do lubrificante das juntas, a rapidez da resposta e o erro mínimo de posicionamento de um robot. Por último refira-se também Tao e Kokotovic (1993, 1995a e 1995b) que estudam o modelo cinemático de uma ligação com folga. O mecanismo da folga (um caso particular da histerese) é tratado nestes trabalhos como um fenómeno puramente cinemático. Estes investigadores utilizam um controlo adaptativo para construir algoritmos robustos e estáveis em sistemas com folgas através do cálculo da cinemática inversa da folga. No caso do mecanismo (cinemático) da folga ser identificado com exactidão a resposta em regime permanente do sistema tem erro nulo; no caso disso não se verificar, o erro é limitado mantendo-se o sistema estável. Em contrapartida, não é efectuado qualquer estudo ao nível dos fenómenos dinâmicos existentes nas folgas.
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.10 2.1.3 Flexibilidades Existem problemas de controlo nos sistemas com flexibilidades devido ao chamado efeito de não-colocação, ou seja, devido ao sensor não medir a posição do actuador, mas sim a posição do elemento a ele acoplado. O facto de nos robots industriais clássicos o accionamento não ser directo, devido à existência de mecanismos de transmissão, torna-se importante estudar os efeitos da flexibilidade nas juntas. Este fenómeno é usualmente modelizado por uma mola que interliga o eixo do motor com o eixo da junta do robot. Jankowski e ElMaraghy (1992) propuseram um controlo híbrido de posição/força para robots com juntas rígidas ou com juntas flexíveis, tendo em conta o atrito na superfície de restrição (i.e. o ambiente de trabalho). O controlador utiliza a dinâmica inversa na forma analítica sendo por isso muito pesado em termos computacionais. Além disso, utiliza observadores para obter os sinais (e.g. para obter as derivadas das posições das juntas do robot) não directamente medidos o que agrava o problema. Readman (1994) modeliza a dinâmica dos robots com juntas flexíveis utilizando a teoria da perturbação singular (i.e. decompondo o sistema em duas partes: a dinâmica lenta e a dinâmica rápida). É também apresentada a resposta em frequência dos robots controlados em malha fechada e em malha aberta, bem como os valores da rigidez das juntas para o robot PUMA 560. Ochier et al. (1995) descrevem um programa de geração automática (em linguagem simbólica) das equações dinâmicas e das equações cinemáticas de robots com juntas flexíveis. Assim, a partir destas equações poderão vir a desenvolver-se controladores adequados. De Luca (1995) considera os problemas de controlo de robots com algumas juntas rígidas e com as restantes flexíveis. O sistema proposto utiliza a dinâmica inversa do robot e consequentemente o seu desacoplamento e a sua linearização através de uma realimentação dinâmica. Ailon e Lozano (1996) apresentam um algoritmo com controladores-observadores para robots com juntas flexíveis, sendo um sistema dos mais eficientes em termos computacionais proposto até à presente data. A estabilidade é provada através da teoria de Liapounov.
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.11 Rocco et al. (1996) estudam um controlo de força explícito (i.e. onde a entrada do sistema é uma referência de força) para robots industriais em contacto com superfícies rígidas onde consideram flexibilidade e o atrito viscoso nas juntas. Os autores sugerem que a acção integral é melhor para o controlo do sistema à medida que a rigidez do ambiente aumenta. No entanto, fica subentendido que o controlador PID é adequado para todos os valores da rigidez do ambiente porque a acção derivativa utilizada assegura a estabilidade do sistema. Por seu lado, Song e Cai (1996) propuseram um controlador de posição/força de robots com juntas flexíveis e com atrito na superfície de restrição. Este controlador não necessita de conhecer todos os parâmetros físicos do sistema, mas só é apropriado para entradas “suaves” (i.e. com sinais que tenham derivadas finitas) e com vários sensores nas juntas, nos motores e no pulso (sensor de força). Por último, Ge (1996) apresentou um trabalho sobre o controlo adaptativo de robots com juntas flexíveis, onde a lei de adaptação dos parâmetros é deduzida através do método da perturbação singular. Os resultados de simulações levam à caracterização do sistema de controlo como tendo saídas suaves e limitadas. Uma análise matemática do sistema mostra este ser estável para todos os robots com ligações (elos) rígidos e em que os seus parâmetros físicos podem não ser exactamente conhecidos. 2.2 Considerações sobre o atrito deslizamento-paragem Nesta secção vai-se abordar a modelização e a simulação do atrito deslizamento- -paragem (DP) presente nos robots. Devido a não existir um tratamento totalmente rigoroso, em geral, este atrito é visto de certa maneira como um fenómeno menos importante. Todavia, este atrito é responsável por muitos problemas associados ao controlo e à falta de exactidão dos sistemas electromecânicos. Por outro lado, este atrito pode ser utilizado para proporcionar um amortecimento a todas as frequências, mesmo para aquelas que se situam acima da largura de banda do sistema de controlo. O atrito DP (stick-slip) é representado como uma força que é uma função não-linear da velocidade relativa de dois corpos em contacto. A nível microscópico, a superfície de cada corpo pode ser imaginada como consistindo num conjunto de rugosidades que é interposto contra uma série de irregularidades da outra superfície (Figura 2.1).
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.18 onde o parâmetro TC é o binário de reacção nos limites da folga. Para o contacto se manter deverá verificar-se TC ≥ 0. Por outro lado, para que haja perda de contacto tem que verificar-se: Tpr TL JL TC JM TM K* ∆ α 1 Figura 2.7 Movimento linear equivalente ao do sistema rotacional. J JJ TJ JJ TT L LM MM LM Lpr +−+ >(2.4) De um modo semelhante, no lado oposto do espaço da roda dentada, a perda de contacto ocorre se se verificar: J JJ TJ JJ TTK L LM MM LM Lpr +−+ >+ * ∆ (2.5) onde o parâmetro ∆ é o ângulo de folga. 2) Condições Angulares: a condição | θ L − θ M| < ∆ /2 é suficiente para definir a posição do dente da roda dentada do motor como estando na zona de folga. 3) Condições Fronteira: de modo a estabelecer equações fronteira para as equações de movimento supõe-se que as colisões das engrenagens são inelásticas. Deste modo, pela lei da conservação do momento obtém-se: * θθ θ L M ML ML ML L J JJ J JJ =+++(2.6)
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.19 onde & * θ L é a velocidade da carga imediatamente depois da colisão e & θ M e & θ L são, respectivamente, a velocidade do motor e a velocidade da carga imediatamente antes da colisão. 2.3.2 Sistema em malha fechada Nesta subsecção é considerado um sistema de controlo com uma realimentação unitária, e com uma dupla integração K/s2 e um sistema de avanço de fase (1+ α sT)/ α (1+sT) no caminho directo. Este sistema está representado esquematicamente na Figura 2.8. K s2Gs LsT sT ()=+ + 11 1 α α Sistema Electro-mecânico ânguloângulo − + Figura 2.8 O sistema de controlo em malha fechada. A função de transferência em malha fechada (FTMF) é dada pela seguinte expressão: Cs Rs Ts T KJs KJs Ts xx () ()=+ +++ 1 1 32 α αα α (2.7a) Jx = JM + JL(2.7b) Definindo uma constante de tempo: TT KJx03 = α (2.8a) e escolhendo
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.20 α T = x1T0(2.8b) TT x =0 2(2.8c) resulta: KJ xT x = α 20 2(2.8d) α = x1x2(2.8e) onde os parâmetros x1 e x2 são constantes. A FTMF vem então da forma: Cs Rs xsT sT x sT x sT () () () () () () =+ +++ 1 1 10 0320 210 (2.9) A largura de banda B do sistema pode ser definida pela condição: Arg(FTMF) =− = − +−− 90 1 1 30 312 20 21 2240 41 ºarctan () () ω ωω Txx Tx x Tx (2.10a) Txx Bx 01 22 22 1 4 =− π (2.10b) Considerando uma inércia JM = 1 Nms2 e fazendo x1 = 2.466 e x2 = 2.433, resulta em valores realizáveis e satisfatórios para os parâmetros α e T. Considerando também que o ângulo de folga tem pouca influência na largura de banda, os parâmetros variáveis do sistema são então reduzidos aos seguintes: i) a largura de banda B ii)a razão de inércias JL/JM iii) o ângulo de folga ∆
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.21 Logo, pode ser feito um estudo generalizado do valor do binário óptimo de pré-carga da forma como é afectado por estes três parâmetros. 2.3.3 Modelização da folga através de considerações dinâmicas versus cinemáticas Nesta secção analisa-se um sistema com folga dinâmica e a sua contrapartida com folga cinemática. Considere-se o sistema consistindo em duas massas sujeitas a folga dinâmica (Azenha e Machado, 1996d): h1 M2 M 1 x1 x2 F Figura 2.9 Sistema com duas massas e folga. Uma colisão entre as massas M1 e M2 ocorre quando x1 = x2 ou x2 = h1+x1. Nesse caso podem-se calcular as velocidades das massas M1 e M2 depois do impacto ( ′ x1 e ′ x2, respectivamente) aplicando a lei de Newton: , ′=− ≤ ≤xx 12 12 01εε (2.11) onde x12 = x1−x2 e ε é o coeficiente de restituição. Por outro lado, através do princípio da conservação da quantidade de movimento obtém-se: Mx Mx Mx Mx 112211 22 ′+′=+ (2.12) Das duas equações anteriores vem:
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.22 && () & () & () & () & ′=−++ + ′= ++− + xxM M x M MM xMxMMx MM 111 2 2 2 12 211212 12 1 1 εε εε (2.13) A variação de energia depois do impacto (suposto instantâneo) ∆EC vem: ()() () () ∆EMM x x MM C=−+ − + 12 1 2 2 12 11 2 εε && (2.14) ou, em termos relativos, ()() () () () ∆E E MM x x MMMxMx C C =−+ − ++ 12 1 2 2 1211 222 2 11εε && && (2.15) Note-se que a função anterior tem o seu valor mínimo para M1 = M2 = M, ε = 0: ∆E E xx xx C Cmin && && =− + + 1 2 12 1 22 2(2.16) O gráfico de ∆EC em função da constante de elasticidade dos materiais tem a forma da Figura 2.10. Analisando a Figura 2.10 observa-se que a variação de energia após o choque é nula para ε = 1 e tem o seu valor mínimo para ε = 0. A abordagem clássica à modelização do fenómeno da folga, ou seja, a sua formulação cinemática (Tao e Kokotovic, 1993) considera o diagrama de blocos da Figura 2.11.
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.23 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ε ∆EC Figura 2.10 Gráfico da variação de energia ∆EC em função da constante de elasticidade ε. () 1 12 2 MMs +h1/2 x1X1(s) x2 X2(s) F (s) Figura 2.11 Diagrama de blocos do modelo de folga cinemática. Consequentemente, este modelo de folga tem em conta a geometria no que diz respeito à abertura h1, mas despreza o efeito da dinâmica do impacto. 2.4 Modelização de fenómenos de flexibilidades Nesta secção apresenta-se o modelo utilizado nas experiências para sistemas robóticos com juntas flexíveis. O modelo completo de um robot com n gdl e n juntas flexíveis é dado pela seguinte equação (Readman, 1994): MM MM qNN NN qG K 11 12 21 22 11 12 21 22 + + =− δ δδ δδ δδ δδ δδ δ τ ττ τ τ ττ τ(2.17) onde a dimensão das matrizes é n × n e a dos vectores é n × 1. Na Figura seguinte apresenta-se graficamente o significado das variáveis de estado:
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.24 qi δi qmi x y Figura 2.12 Representação gráfica das variáveis de estado de uma junta rotacional e flexível de robot. Os vectores q e qm representam, respectivamente, as coordenadas generalizadas das ligações e as dos motores ao passo que o vector δ δδ δ = q−qm corresponde à deflexão. Uma simplificação no modelo consiste em fazer N12 = N21 = 0 e M12 = M21 = 0 pelo que o modelo fica totalmente desacoplado. O modelo simplificado do robot com juntas flexíveis utilizando as variáveis de estado q e qm é traduzido pelas equações: τ ττ τ= + + −Jq Bq K q q mm mm m m ( ) (2.18a) Kq q Hqqcqq gq mm ()() (, )()−= + + (2.18b) onde Jm, Bm e Km são, respectivamente, as matrizes diagonais (de dimensão n × n) das inércias dos motores e das transmissões, amortecimento e rigidez. Nesta ordem de ideias, a Figura seguinte representa um robot com 1 gdl e com a junta flexível o qual será estudado no capítulo seguinte. M2M1 x1, F1=0 x2, F2Km Bm Figura 2.13 Modelo desacoplado com 1 gdl das juntas flexíveis.
2 Modelização de fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades 2.25 2.5 Conclusões Neste capítulo estudaram-se os modelos que descrevem matematicamente os fenómenos de atrito, folgas e flexibilidades presentes em sistemas robóticos. O objectivo fundamental destes modelos consiste em traduzir de um modo simples, eficiente em termos de cálculo numérico e o mais próximo possível da realidade física os fenómenos em termos das suas variáveis. Estudou-se o fenómeno de atrito com os seus componentes mais importante como são o atrito viscoso, de Coulomb e estático. Analisou-se a eficiência em termos de simulação numérica do atrito, sendo considerada como apropriada de momento a abordagem introduzida por Karnopp (1985), pelo que será utilizada nos capítulos posteriores. As características das folgas foram também estudadas nomeadamente através da transferência de energia (folga dinâmica) como do modo geométrico clássico (folga cinemática). Por último, a flexibilidade foi modelizada através de uma mola e de um eventual coeficiente de amortecimento associados ao mecanismo de transmissão de força/binário.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.1 3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades Neste capítulo estuda-se o comportamento de sistemas mecânicos com atritos, folgas e flexibilidades, sob acção de controladores PID e de controladores de estrutura variável (CEVs). Um objectivo fundamental deste estudo é analisar a ocorrência de ciclos limite e as condições necessárias à sua eliminação. Começa-se por investigar o desempenho de sistemas simples (e.g. com 1 gdl) e, de seguida, a sua complexidade, nomeadamente no número de gdls, é progressivamente alargada de modo a mostrar a eficiência das ferramentas de trabalho. Nesta ordem de ideias, na secção 3.1 faz-se uma introdução ao estado da arte incluindo uma resenha bibliográfica aos temas abordados neste capítulo. De seguida, na secção 3.2 estuda-se os CEVs adoptados e na secção 3.3 expõe-se o método da função descritiva (FD) utilizado na previsão de ciclos limite em sistemas não lineares. Na secção 3.4 apresentam-se os resultados para sistemas não lineares com um gdl em sistemas de controlo de posição. Com base neste estudo, na secção 3.5 generalizam-se os conceitos a sistemas com um maior número de gdls. Por último, na secção 3.6 termina-se o capítulo com um síntese das principais conclusões que decorrem do estudo efectuado.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.2 3.1 Introdução Nesta secção começa-se por introduzir os fundamentos dos controladores de estrutura variável (CEVs) adoptados. Numa segunda fase, o método de análise de ciclos limite em sistemas realimentados não lineares através da função descritiva (FD) é apresentado. 3.1.1 Controladores de Estrutura Variável Os CEVs (Variable Structure Controllers) têm vindo a ser objecto de interesse devido a possuírem propriedades boas, nomeadamente, revelarem elevada robustez, necessitarem de um baixo peso computacional e não requerem o conhecimento de um modelo do sistema a controlar. Os elementos principais de um CEV são a superfície de deslizamento (sliding surface) e a acção de controlo (control effort) como se verá na secção seguinte. Um CEV caracteriza-se por levar o sistema a controlar até ao seu ponto final de equilíbrio com uma dinâmica que é traduzida no plano de fase pela chamada superfície de deslizamento. Devido à existência de descontinuidades à saída do bloco de acção de controlo, devido ao CEV ser implementado como um sistema discreto e/ou a descontinuidades provocadas no próprio bloco, existe o fenómeno do aparecimento de uma oscilação de alta frequência (chattering) no sistema global. A sua introdução na teoria de controlo automático é atribuída a Utkin (1977) e a sua aplicação ao controlo de posição de sistemas robóticos deve-se a Young (1978). Posteriormente, Machado e de Carvalho (1988) propuseram um CEV “suave” com uma superfície de deslizamento de segunda ordem e uma acção de controlo do tipo PI, mais adequadas ao controlo de robots devido ao tipo de dinâmica envolvida. Venkataraman e Gulati (1993) aplicaram os controladores de deslizamento terminal (terminal sliders) ao controlo de robots (algoritmos de concepção comparável aos CEVs), que atingem um erro nulo num intervalo de tempo finito. Os CEVs atingem um erro nulo assimptoticamente mas são mais robustos e colocam menores exigências em termos de cálculo. Blom e de Jager (1996) projectaram um CEV de segunda ordem, com superfície de deslizamento do tipo passa-banda, com uma robustez relativamente a erros dos parâmetros do sistema superior à de um algoritmo clássico PD. A sua sintonia é realizada através de métodos empíricos.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.9 −+− > + 24 1 22 2 2 αωφ πω ταφ π τ ω Kc aac sin cos sin , max para max K απτ ω =− + 212 2 arccos max aK c, φω =arctan c Para o CEV-MSO-PDD2 a FD vem: [] Na K j nn (, ) ( ) ,ωωωωξω=−+ 222 [] a nn ≤−+ τ ωω ωξω max K()() 222 2 2 Na TK Ta nn (, ) () sgn( )ωωπ πξω α φ=−+ 24 22 2 21 +−+ K Ta α πφφτ πφφ 212 2 1 24 sin( )sin( ) sin( )cos( ) max +− + ja K T K Ta n 82 4 1212 12 sgn( ) sin( )cos( ) cos( )cos( ) ,αξω φα πφφτ πφφ max (3.13) [] a nn >−+ τ ωω ωξω max K()() 222 2 2 αππωξ ω=+ −+16 8 2 1 42222 44 TT nn () , βπ π ωξ ωτ=+ −+ −16 8 2 1 422 22222 2 2 222 2 aK aKT T aK nn ()( ) max φτ βφπω πξω 1 2 2 222 4 4 = =− arctan , arctan , TT T n n max ωπ=2/T Por último, para o CEV-MSO-PID a expressão da FD resulta:
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.10 Na Kj aa Na aa Na aa nn PD n PI n (, ) , (, ), , (, ), , max max max ω ξω ω ω ω ωωω ωωω = +− ≤ >≥ >< 22 () a Knn max max = +− τ ξω ω ω ω 2222 Na kk a PD (, ) sin( )cos ( ) cos sin cos max ωα φ πω απ φ πω τα φ π =− − −++ 11 22 4 +− − −+ jkk a 11 22 4sin( )sin ( ) sin sin sin , max αφ πω απ φ πω ταφ π () kK nn1222 2 2 2 4=+− ξωω ω ω , (3.14) φωω ω ξω =− arctan n n 2 2, () ατ ξω ω ω ω = +− arccos max aK nn 2222 Na kk a PI (, ) sin( )cos cos cos cos max ωα φ πω α φ πω τα φ π =− + + − 11 22 4 −− + + jkk a 11 22 4sin( )sin sin cos sin , max αφ πω αφ πω ταφ π () kK nn1222 2 2 2 4=+− ξωω ω ω , φ ω ωω ξω =− arctan n n 2 2, () απτ ξω ω ω ω =− +− 22222 arccos max aK nn Os gráficos seguintes mostram as FDs [N(a, ω)] dos CEVs anteriores no plano de Nyquist para K = 10, τ max = 10 e c = 2.5 s−1 (para os MPOs) ou ξ = 2.5 e ωn = 10 rad s−1 (para os MSOs).
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.11 1 10 100 1000 0 5 10 15 20 25 30 Re Im ω =0.2 π ω =2 π ω =20 π a=0.02 a=0.5 a=1.5 Figura 3.3 A FD [N(a, ω)] de um CEV-MPO-PD (K = 10, τ max = 10, c = 2.5 s−1). -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 0246810 Re Im a=0 a=0.5 a=1.5 a=5 a=20 ω=0.2π ω=2π ω=20π Figura 3.4 A FD [N(a, ω)] de um CEV-MPO-PI (K = 10, τ max = 10, c = 2.5 s−1). 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 Re Im ω=7 ω=10 ω=13 a=0.01 a=0.03 a=0.005 Figura 3.5 A FD [N(a, ω)] de um CEV-MSO-PDD2 (K = 10, τmax = 10, ξ = 2.5 e ωn = 10 rad s−1).
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.12 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 0 100 200 300 400 500 Re Im a=0 a=0.03 a=0.1 a=5 ω=7 ω=10 ω=13 Figura 3.6 A FD [N(a, ω)] de um CEV-MSO-PID (K = 10, τmax = 10, ξ = 2.5 e ωn = 10 rad s−1). O desempenho destes controladores será posteriormente comparado com o de um controlador PID clássico: τ= + + ∫ Kq Kq K qdt De Pe I e (3.15) Neste caso a FD será simplesmente a sua resposta em frequência, uma vez que esta não depende da amplitude a de entrada, ou seja, o controlador comporta-se como um sistema dinâmico linear: () NKjK K PID P D I ωω ω =+ − (3.16) 3.3.3 A FD dos sistemas n ão lineares Nesta subsecção apresenta-se a FD e o conteúdo harmónico do sinal de saída para os sistemas não lineares referidos no capítulo dois.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.13 3.3.3.1 Sistemas com atrito Considere-se um sistema composto por uma massa M, movendo-se num plano horizontal, sob o efeito de um atrito de Coulomb (K) mais atrito viscoso (B), conforme indicado nas Figuras seguintes. M x, F Fatrito Figura 3.7 Sistema massa com atrito não linear. Fatrito & x K −K B B Figura 3.8 Modelo do atrito de Coulomb e viscoso. A resposta de posição em regime permanente x(t), a uma força de entrada sinusoidal F = acos(ωt), vem: xt tkke K Btx tkke K Btx B Mt B Mt () sin( ) , sin( ) , =+++ − > +++ + < − − αωφ αωφ 112 134 0 0 (3.17) Os parâmetros φ , k1, k2, k3 e k4 não podem ser calculados analiticamente pelo que a FD tem de ser determinada numericamente.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.14 Considere-se, por exemplo, o sistema massa-atrito com parâmetros M = 9 Kg, B = 0.5 Ns/m, K = 5 N. Neste caso, a Figura 3.9 mostra a função −1/N(a,ω) no plano de Nyquist para vários valores de a e de ω. -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Re Im a=8 a=12 a=15 a=18 ω=3 ω=7 ω=15 ω=25 ω=30 Figura 3.9 Função −1/N(a,ω) para sistema massa-atrito de Coloumb e viscoso (M = 9 Kg, B = 0.5 Ns/m, K = 5 N). A Figura 3.10 representa o conteúdo harmónico ci do sinal de saída x(t) do sistema, isto é: F(t) = acos(ωt) (3.18a) () () xt X i t ii i =+ ∞ ∑cos ωφ =1 (3.18b) cX ai ii ==, , ,...12 (3.18c)
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.15 7 10 13 16 7 10 13 16 7 10 13 16 7 10 13 16 7 10 13 16 25 20 15 10 5 1.00E-07 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 a (N) ω (rad/s) i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 (Ordem do harmónico, i = 1,2,..,5) i = 5 cX a ii = Figura 3.10 Conteúdo harmónico ci da resposta x(t) do sistema massa-atrito à entrada F(t) (M = 9 Kg, B = 0.5 Ns/m, K = 5 N). Como se pode observar, a resposta do sistema apresenta simetria de meia-onda em regime permanente e os harmónicos perdem rapidamente significado quando a sua ordem aumenta. Para um modelo de atrito tendo em linha de conta o atrito estático, e com os parâmetros FH = 6 N e DV = 0.0025 m/s (modelo de Karnopp, 1985) as Figuras 3.11 e 3.12 mostram, respectivamente, o traçado de Nyquist e o conteúdo harmónico de x(t).
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.16 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Re Im a=8 a=12 a=15 a=18 ω=3 ω=7 ω=15 ω=25 ω=30 Figura 3.11 Função −1/N(a,ω) para sistema massa-atrito de Karnopp (1985) (M = 9 Kg, B = 0.5 Ns/m, K = 5 N, FH = 6 N, DV = 0.0025 m/s). 7 10 13 16 7 10 13 16 7 10 13 16 7 10 13 16 7 10 13 16 25 20 15 10 5 1.00E-07 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 a (N) ω (rad/s) (Ordem do harmónico, i = 1,2,..,5) i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 (Ordem do harmónico, i = 1,2,..,5) i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 cX a ii = Figura 3.12 Conteúdo harmónico ci da resposta x(t) do sistema massa-atrito à entrada F(t) (M = 9 Kg, B = 0.5 Ns/m, K = 5 N, FH = 6 N, DV = 0.0025 m/s).
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.17 Como se pode observar, a resposta tem também simetria de meia-onda, mas para baixas frequências e pequenas amplitudes a resposta é nula. A expressão analítica de −1/N(a,ω) para este sistema (obtida numericamente) é aproximadamente dada por: () −= −− + −+ + − 1 1037 2130 3389 1097 1 32 2 32 2 N aM aF MDV K Ka K Ka atrito H / / .. .. ω ω () −+ + −− + −+ + j aK Ka MB aF MDV K Ka K Ka H 32 2 32 2 05275 1037 2130 18987 46374 1 / / . .. .. , ωω ω (3.19) a > 1.037FH−2.130MDVω, +∞−j∞, para os restantes valores dos parâmetros. 3.3.3.2 Sistemas com folgas Considere-se um sistema composto por duas massas M1 e M2 sujeitas a uma folga dinâmica h1. h1 M2 M 1 x1 x2 F Figura 3.13 Sistema com duas massas e folga. Para este sistema encontrou-se a função −1/N(a, ω) numericamente. A entrada F(t) = acos(ωt) foi aplicada à massa M2 e a posição de saída x1 foi observada. Para os parâmetros M1 = 8 Kg, M2 = 1 Kg, ε = 0.2 , h1 = 0.00018 m as Figuras 3.14 e 3.15 mostram, respectivamente, −1/N(a,ω) no plano de Nyquist e o conteúdo harmónico de x(t) para vários valores de a e de ω.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.18 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Re Im a=7 a=10 a=13 a=16 ω=5 ω=10 ω=15 ω=20 ω=25 Figura 3.14 Função −1/N(a,ω) para sistema massas com folga dinâmica (M1 = 8 Kg, M2 = 1 Kg, ε = 0.2, h1 = 0.00018 m). 7 10 13 16 7 10 13 16 7 10 13 16 7 10 13 16 7 10 13 16 25 20 15 10 5 1.00E-07 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 a (N) ω (rad/s) (Ordem do harmónico, i = 1,2,..,5) i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 (Ordem do harmónico, i = 1,2,..,5) i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 (Ordem do harmónico, i = 1,2,..,5) i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 cX a ii = Figura 3.15 Conteúdo harmónico ci da resposta x(t) do sistema massas com folga dinâmica à entrada F(t) (M1 = 8 Kg, M2 = 1 Kg, ε = 0.2, h1 = 0.00018 m).
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.25 10 1+=⇔=−NG j G j N() () / ωω (3.27) O esquema com vista à caracterização dos ciclos limite encontra-se exemplificado na Figura 3.26. I m R e Traçado de Nyquist R e A B −1/N G (jω) ω→∞ ω→0 a →∞ a →0 A − ciclo limite instável B − ciclo limite estável Figura 3.26 Aplicação da FD na caracterização de ciclos limite no traçado de Nyquist. A abordagem utilizada no estudo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades foi a de utilizar a função −1/N dos sistemas a controlar e a FD (N) dos controladores. Deste modo, como os sistemas podem ser aproximados por um de segunda ordem (por terem uma dinâmica dominada por uma massa) resulta uma atenuação dos harmónicos com frequência superior à fundamental. Também, se estudou o conteúdo harmónico dos sinais de saída, o que confirmou esta hipótese. A única excepção vem para o sistema de duas massas com folga dinâmica, ε perto da unidade e folga h1 elevada, pois a saída deixa de ter simetria de meia onda. Nesse caso, os harmónicos de maior ordem que a fundamental têm uma amplitude que não é desprezável, tornando assim o método da FD pouco credível. Nesta ordem de ideias, pode ser elaborada uma análise qualitativa e quantitativa em relação aos resultados obtidos com a FD dos controladores e da função −1/N dos sistemas a controlar. Assim, se existir uma intersecção (no traçado de Nyquist) entre a FD do controlador e a função −1/N do sistema poderá ocorrer um ciclo limite estável conforme se estudará nas secções seguintes.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.26 3.4 Simulação de sistemas com um gdl em controlo de posição Nesta secção apresentam-se várias experiências de controlo de posição de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades com vista a comprovar os resultados obtidos através do método da FD em situações de ocorrência de ciclos limite estáveis. 3.4.1 Sistemas com atrito Considere-se o sistema composto por uma massa (M = 9 Kg) com atrito viscoso (B = 0.5 Ns/m) e de Coulomb (K = 5 N) controlado por um algoritmo PID (KP = 2000, KD = 130, KI = 44250). Neste caso a resposta em frequência do controlador intersecta a função −1/N do bloco não linear no ponto a = 13 N e ω = 15 rad/s. A Figura 3.27 mostra a evolução temporal da posição, x(t), e da saída do controlador PID, F(t). -0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.004 15 16 17 18 19 20 tempo (s) x (m) -15 -10 -5 0 5 10 15 16 17 18 19 20 tempo (s) F (N) Figura 3.27 Evolução temporal a posição, x(t), e da saída do controlador PID, F(t) (M = 9 Kg, B = 0.5 Ns/m, K = 5 N, KP = 2000, KD = 130, KI = 44250). A frequência da oscilação de x(t) é muito próxima da prevista ao passo que a sua amplitude tem um erro apreciável. Isto deve-se ao facto de as duas curvas, G e −1/N, se intersectarem quase perpendicularmente para as frequências e quase tangencialmente para as amplitudes. Como o método da FD é um método aproximado, quanto mais próximo da perpendicularidade for a intersecção das curvas maior é a precisão. Introduzindo um atrito estático com FH = 6 N e DV = 0.0025 m/s (no modelo de simulação de Karnopp) a saída, x(t), vem a divergir, ou seja, o sistema torna-se instável. Se
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.27 isto vem de acordo ou não com o método da FD é muito difícil de analisar, pois para não linearidades que tenham FD independente da frequência ainda existem métodos analíticos para resolver este problema (Atherton, 1975; Ogata, 1970). No entanto para este caso só através do método tentativa-erro consegue-se concluir da estabilidade/instabilidade do ciclo limite. 3.4.2 Sistemas com folgas Considere-se o sistema composto por duas massas (M1 = 8 Kg, M2 = 1 Kg) com folga (h1 = 0.00018 m e ε = 0.5) controlado por um algoritmo PID ( KP = 2020, KD = 100, KI = 22492). Para os parâmetros adoptados −1/N e G(jω) intersectam-se no ponto a = 13 N e ω = 15 rad/s. A Figura 3.28 apresenta o gráfico da evolução temporal da posição, x1(t), e da saída do controlador PID, F2(t). -0.0008 -0.0006 -0.0004 -0.0002 0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 5678910 tempo (s) x1 (m) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 5678910 tempo (s) F2 (N) Figura 3.28 Evolução temporal a posição, x1(t), e da saída do controlador PID, F2(t) (M1 = 8 Kg, M2 = 1 Kg, h1 = 0.00018 m, ε = 0.5, KP = 2020, KD = 100, KI = 22492). Como se pode verificar, a frequência da oscilação é muito próxima da prevista ao passo que a amplitude tem um certo erro.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.28 3.4.3 Sistemas com flexibilidade Considere-se o sistema composto por duas massas (M1 = 8 Kg, M2 = 1 Kg) interligadas por uma mola (Km = 2×107 N/m) com coeficiente de amortecimento (Bm = 104 Ns/m) controlado através de um algoritmo um PID (KP = 2025, KD = 95, KI = 2271165). Os parâmetros do controlador foram calculados para a resposta em frequência deste intersectar a função −1/N do bloco com flexibilidade no ponto de frequência ω = 15 rad/s. A Figura 3.29 apresenta o gráfico da evolução temporal da posição, x1(t), e da saída do controlador PID, F2(t). -0.0001 -0.00008 -0.00006 -0.00004 -0.00002 0 0.00002 0.00004 0.00006 0.00008 0.0001 5678910 tempo (s) x1 (m) -15 -10 -5 0 5 10 15 5678910 tempo (s) F2 (N) Figura 3.29 Evolução temporal a posição, x1(t), e da saída do controlador PID, F2(t) (M1 = 8 Kg, M2 = 1 Kg, Km = 2×107 N/m, Bm = 104 Ns/m, KP = 2025, KD = 95, KI = 2271165). A frequência da oscilação é muito próxima da prevista, enquanto que a amplitude não pôde ser prevista, porque as respostas em frequência dos dois sistemas lineares são independentes da amplitude. 3.5 Controlo de posição do robot 2R com atrito, folgas e flexibilidade nos eixos Nesta secção apresentam-se várias experiências do robot 2R com não linearidades (atrito e folgas) e flexibilidade nas juntas. A aplicação desse procedimento a robots de maior número de gdl (e.g. o robot Stanford), (Yoshikawa, 1990) é análoga e testes já efectuados conduzem a conclusões idênticas.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.29 1 q 1g 2 g q Figura 3.30 O robot 2R ideal. Nesta ordem de ideias, a dinâmica de um robot ideal com n juntas rígidas e n ligações rígidas é dada pela seguinte expressão (Asada e Slotine, 1986): τ ττ τ= + +Hqq cqq gq() (, ) ( ) (3.28) onde τ ττ τ é o vector dos binários de entrada, de dimensão n × 1, q é o vector das coordenadas das juntas, de dimensão n × 1, H(q) é a matriz de inércia, de dimensão n × n, cqq(, ) é o vector dos termos centrífugos/Coriolis, de dimensão n × 1 e g(q) é o vector dos efeitos gravitacionais, de dimensão n × 1. Para o manipulador 2R ideal (i.e. sem apresentar quaisquer fenómenos adicionais nos eixos), (Figura 3.30) a dinâmica é dada pelas expressões: () () Hq = +++ +++ + +++ mmr mr mrrC J J mr mrrC mr mrrC mr J J mg mg 121 222 2 212 2 1 1 22 2212 2 22 2212 2 22 222 2(3.29a)
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.30 () cq,q =−− mrrSq mrrSqq mrrSq 212 2 2 2212 2 1 2 212 2 1 2 2(3.29b) () () gq =++ gmrC mrC mrC gm r C 11 1 21 1 22 12 22 12 (3.29c) onde () Cq ii =cos , () Cqq ij i j =+cos , () Sq ii =sin . Os valores numéricos utilizados para o robot 2R estão indicados na Tabela 3.1. im i (Kg) ri (m) Jim (Kgm2)Jig (Kgm2) 1 0.5 1.0 1.0 4.0 2 6.25 0.8 1.0 4.0 Tabela 3.1 Parâmetros do robot 2R. As aproximações usadas para calcular a FD de cada junta do robot 2R são: • apenas se consideram os efeitos inerciais da dinâmica; • apenas se considera a parte constante dos elementos diagonais da matriz de inércia. Consequentemente, as juntas são consideradas ‘desacopladas’, e é possível calcular as FDs individuais separadamente para cada articulação. 3.5.1 Robot com atrito nos eixos Nesta subsecção apresenta-se a simulação do robot 2R com atrito nas juntas controlado por PIDs descentralizados (isto é, com um controlador por junta). Considera-se o modelo de atrito de Coulomb mais viscoso (logo com FH = 0 Nm, DV = 0 rad/s) em cada junta do robot com os parâmetros indicados na Tabela 3.2. Junta iK i (Nm) Bi (Nms/rad) 1 5 0.5 2 5 0.5 Tabela 3.2 Parâmetros do atrito não linear nos eixos do robot 2R.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.31 Com este tipo de atrito a FD do robot 2R pode ser obtida aproximadamente como se referiu anteriormente, isto é, considerando as inércias J11 = 15.75 Kgm2 e J22 = 9 Kgm2 para calcular −1/N para as articulações 1 e 2. Esta função é do mesmo tipo da calculada para o sistema massa-atrito da secção anterior, adaptando apenas as grandezas e as variáveis para sistemas em movimento rotacional. Assim, a função −1/N para o eixo 1 é análoga à para o eixo 2 que está representada na secção anterior. Deste modo, calculou-se as constantes dos controladores PID de modo a ocasionarem ciclos limite (a = 13 Nm, ω = 15 rad/s) no sistema (KP1 = 6462, KD1 = 2300, KI1 = 621180 para o eixo 1 e KP2 = 3695, KD2 = 2000, KI2 = 509385 para o eixo 2). A Figura 3.31 representa a evolução temporal das coordenadas das juntas q1 e q2, bem como os binários (τ1 e τ2) respectivos para este sistema. -1.572 -1.5715 -1.571 -1.5705 -1.57 -1.5695 012345 tempo (s) q1 (rad) -0.0005 -0.0004 -0.0003 -0.0002 -0.0001 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 012345 tempo (s) q2 (rad) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 012345 tempo (s) τ1 (Nm) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 012345 tempo (s) τ2 (Nm) Figura 3.31 Evolução temporal das variáveis do robot 2R em situação de ciclo limite (KP1 = 6462, KD1 = 2300, KI1 = 621180, KP2 = 3695, KD2 = 2000, KI2 = 509385). Como se pode observar nos gráficos anteriores, a frequência de oscilação foi prevista com significativa exactidão, embora q2 não tenha um comportamento regular que se possa considerar exactamente como um ciclo limite estável. Introduzindo atrito estático (FH = 6 Nm, DV = 0.0025 rad/s) e mantendo os restantes parâmetros os ciclos limite de ambas as articulações tornam-se instáveis.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.32 3.5.2 Robot com folgas nos eixos Nesta subsecção apresentam-se os resultados obtidos na simulação do robot 2R com folgas nas juntas, controlado através de PIDs descentralizados. Assim, considere-se o modelo de folga dinâmica aplicado a cada junta do robot, com os parâmetros da Tabela 3.3. Junta iεih1i (rad) 1 0.5 0.00018 2 0.5 0.00018 Tabela 3.3 Parâmetros da folga dinâmica nos eixos do robot 2R. A FD do robot 2R com este tipo de folga pode ser obtida aproximadamente adoptando os valores J11 = 14.75 Kgm2, J1m = 1 Kgm2, J22 = 8 Kgm2 e J2m = 1 Kgm2. Estes valores são utilizados para o efeito resultando numa função −1/N para cada eixo. Esta função é igual à calculada para o sistema massas com folga dinâmica da secção anterior, adaptando apenas as grandezas e as variáveis para sistemas em movimento rotacional. Assim, a função −1/N para o eixo 1 é análoga à para o eixo 2 e esta já está representada na secção anterior. Deste modo, calculou-se as constantes dos controladores PID de modo a ocasionarem ciclos limite (a = 13 Nm, ω = 15 rad/s) no sistema (KP1 = 3531, KD1 = 20000, KI1 = 4499961 para o eixo 1 e KP2 = 2018, KD2 = 2000, KI2 = 449973 para o eixo 2). A Figura 3.32 representa a evolução temporal das coordenadas das juntas q1 e q2, bem como os binários nos eixos (τ1 e τ2) do robot respectivos para este sistema. A frequência de oscilação de q1 foi prevista com significativa exactidão, enquanto que para q2 e para os binários resulta um ciclo limite à frequência do controlador (fc = 10 kHz). 3.5.3 Robot com flexibilidade nos eixos Nesta subsecção apresenta-se a simulação do robot 2R com juntas flexíveis e controladas por PIDs. Assim, considere-se o modelo de massas com flexibilidade aplicado a cada junta do robot, com os parâmetros da Tabela 3.4.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.33 -1.57095 -1.5709 -1.57085 -1.5708 -1.57075 -1.5707 -1.57065 012345 tempo (s) q1 (rad) -0.000015 -0.00001 -0.000005 0 0.000005 0.00001 0.000015 0.00002 012345 tempo (s) q2 (rad) -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 012345 tempo (s) τ1 (Nm) -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 012345 tempo (s) τ2 (Nm) Figura 3.32 Evolução temporal das variáveis do robot 2R em situação de ciclo limite (KP1 = 3531, KD1 = 20000, KI1 = 4499961, KP2 = 2018, KD2 = 2000, KI2 = 449973). Junta iB mi (Nms/rad) Kmi (Nm/rad) 110 42×107 210 42×107 Tabela 3.4 Parâmetros das juntas flexíveis do robot 2R. A FD (neste caso, simplesmente a função de transferência) do robot 2R com flexibilidade pode ser obtida com os parâmetros J11 = 14.75 Kgm2, J 1m = 1 Kgm2, J22 = 8 Kgm2 e J2m = 1 Kgm2. Estes valores são utilizados para o efeito resultando numa função −1/N para cada eixo. Esta função é igual à calculada para o sistema massas com flexibilidade da secção anterior, adaptando apenas as grandezas e as variáveis para sistemas em movimento rotacional. Assim, a função −1/N para o eixo 1 é análoga à para o eixo 2 estando esta já está representada na secção anterior. Deste modo, calculou-se as constantes dos controladores PID de modo a ocasionarem ciclos limite (ω = 15 rad/s) no sistema (KP1 = 3544, KD1 = 15000, KI1 = 5624625 para o eixo 1 e KP2 = 2025, KD2 = 15000, KI2 = 5624805 para o eixo 2). A Figura 3.33 representa a evolução temporal das coordenadas das juntas q1 e q2, bem como os binários nos eixos (τ1 e τ2) do robot respectivos para este sistema.
3 Controlo de sistemas com atritos, folgas e flexibilidades 3.34 -1.571 -1.57095 -1.5709 -1.57085 -1.5708 -1.57075 -1.5707 -1.57065 012345 tempo (s) q1 (rad) -0.00008 -0.00006 -0.00004 -0.00002 0 0.00002 0.00004 0.00006 0.00008 012345 tempo (s) q2 (rad) -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 012345 tempo (s) τ1 (Nm) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 012345 tempo (s) τ2 (Nm) Figura 3.33 Evolução temporal das variáveis do robot 2R em situação de ciclo limite (KP1 = 3544, KD1 = 15000, KI1 = 5624625, KP2 = 2025, KD2 = 15000, KI2 = 5624805). Como se pode observar a partir dos gráficos, a frequência de oscilação foi prevista com uma exactidão significativa. No entanto, o sistema encontra-se muito perto da instabilidade, pois é muito difícil de encontrar um ciclo limite estável para este sistema pelo método de tentativa-erro. 3.6 Conclusões Neste capítulo estudou-se, através do método da FD, o controlo de sistemas robóticos com não linearidades nas juntas (atritos e folgas) e flexibilidades. Os controladores apresentados foram CEVs e PIDs, tendo-se calculado as FDs dos CEVs definidos neste trabalho. Calculou-se, também, a FD e o conteúdo harmónico da resposta à entrada sinusoidal dos sistemas não lineares apresentados. Verificou-se que os sistemas massa com atrito não linear e de duas massas com folga são inerentemente não lineares, enquanto que o sistema de duas massas com flexibilidade de 1 gdl é um sistema linear apesar de o de 2 gdl ou superior não ser devido ao acoplamento dinâmico. Os sistemas foram controlados com PIDs sintonizados a partir do raciocínio do método da FD e os
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.6 τ ττ τ= + + −Hqq cqq gq J qF() (, )() () T(4.1) Nesta expressão τ ττ τ é o vector, de dimensão n × 1, dos binários de entrada, q é o vector, de dimensão n × 1, das coordenadas generalizadas, H(q) é a matriz de inércia, de dimensão n × n, cqq(, ) é o vector dos termos centrífugos/Coriolis, de dimensão n × 1, g(q) é o vector dos efeitos gravitacionais, de dimensão n × 1, JT(q) é a matriz transposta do Jacobiano, de dimensão n × m e F é o vector da força que o ambiente exerce no órgão terminal do robot, de dimensão m × 1. O parâmetro m representa a dimensão do espaço de trabalho e pode estar compreendida entre 1 e 6 pois é possível englobar em F os momentos exercidos pelo ambiente no órgão terminal do robot. Neste estudo adopta-se como sistema ‘protótipo’ um robot 2R e uma superfície restrição oblíqua com uma inclinação segundo o ângulo θ indicado na Figura 4.1. A dinâmica do robot é dada por: () () Hq = +++ +++ + +++ mmr mr mrrC J J mr mrrC mr mrrC mr J J mg mg 121 2 22 2 212 2 1 1 22 2 212 2 22 2 212 2 22 2 22 2(4.2a) () cq,q =−− mrrSq mrrSqq mrrSq 212 2 2 2212 2 1 2 212 2 1 2 2(4.2b) () () gq =++ gmrC mrC mrC gm r C 11 1 21 1 22 12 22 12 (4.2c) Jq TrS rS rC rC rS rC ()=−− + − 1121211212 212 212 (4.2d) onde () Cq ii =cos , () Cqq ij i j =+cos , () Sq ii =sin , () Sqq ij i j =+sin .
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.7 r1 m2 r2 q2 J1g J 1m J2m J2g θ q1 m1 S uperfície Restrição yC xC x y Figura 4.1 O robot 2R ideal e a superfície restrição. Os valores numéricos utilizados para o robot 2R ideal estão indicados na Tabela 4.1. im i (Kg) ri (m) Jim (Kgm2)Jig (Kgm2) 1 0.5 1.0 1.0 4.0 2 6.25 0.8 1.0 4.0 Tabela 4.1 Os parâmetros do robot 2R ideal. O contacto do robot com a superfície restrição é modelizado por três parâmetros: a massa M da superfície no ponto de contacto, o amortecimento B e a constante de elasticidade K de acordo com a equação diferencial (4.3). Na Figura 4.2a) representa-se o sistema mecânico correspondente a este modelo. Alternativamente será adoptado um segundo modelo (Fig. 4.2b) com dois graus de liberdade com duas molas e um coeficiente de amortecimento segundo a expressão (4.5). Nas experiências considera-se que o robot está sempre em contacto com o ambiente após a ocorrência do impacto.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.8 xa) F K1 K2B2 x 1 x 2 b) Figura 4.2 Modelos alternativos da superfície restrição. O sistema de coordenadas Cartesiano utilizado no espaço das tarefas está representado na Figura 4.3. xC0 θ xC x FxC y yC ó rgão terminal do robot Figura 4.3 Sistema de coordenadas no espaço das tarefas. Nesta ordem de ideias, o sistema robot/ambiente é descrito pelas equações: () F MxBxKxx xCCCC C=++− 0(4.3) xr qr qq C01 10 2 10 20 =−+−−sin( ) sin( )θθ (4.4a) xr qr qq C=−+−− 11212 sin( ) sin( )θθ (4.4b) () cos( ) cos( )xrq qrqq qq C=− − − + − − 11 1 2 1 2 1 2 θθ (4.4c) () cos( ) cos( )xrq qrqq qq C=− − − + − − − 11 1 212 12 θθ () −−−+ −−rq q rqq qq 11 21212 2 12 sin( ) sin( )θθ (4.4d)
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.9 FF xx C =− sin( )θ(4.4e) FF yx C =cos( )θ(4.4f) () F KxKxx xC=+ − 11 2 1 2 (4.5a) () xKx x B 221 2 2 =−(4.5b) xxx CC10 =− (4.5c) A variável qi0 representa o valor de qi (i = 1, 2) para t = 0 s supondo que o sistema está em repouso (isto é, que o robot está em contacto com a superfície restrição e que F = 0). 4.3 Descrição do controlador híbrido posição/força Nesta secção apresenta-se a estrutura geral do algoritmo de CH de acordo com o diagrama de blocos do CH da Figura 4.4. + +τ ττ τ + + +S S Λ ΛΛ ΛC JC Robot e Ambiente − − I−S I−S + − Fd C Yd C Yd q q qes qes JC−1 JC−1 JCT F JCT Controlador de Posição Controlador de Força τ ττ τp τ ττ τes τ ττ τff τ ττ τf Figura 4.4 Diagrama de blocos do CH. Para o manipulador adoptado neste capítulo (i.e. o robot 2R) as transformações cinemáticas consistem nas equações (4.6). A matriz I é a matriz identidade (de dimensão
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.10 n × n) e a matriz de selecção S é uma matriz diagonal (de dimensão n × n) com elementos iguais a um nas direcções controladas em posição e zeros nas direcções controladas em força. Nas experiências com o robot 2R vem n = 2 e pretende-se controlar a força segundo a direcção de xC e a posição na direcção de yC. Assim resultam as expressões: S= 00 01 (4.6a) Jq C CC CC CC CC jj jj jj jj −=− − − 1 11 22 12 21 22 12 21 11 1 () (4.6b) Jq C rqrqqrqq rqrqqrqq () cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) =−−− −−−−− − + −− −− 11212212 11212212 θθ θ θθ θ (4.6c) () [] () det sinJq Crr q=12 2 (4.6d) Λ ΛΛ ΛC C C xr qr qq yr qr qq :sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) =−+−− =−+−− 11212 11212 θθ θθ (4.6e) FF xC =(4.6f) () JqIS C Trqrqq rqq () cos( ) cos( ) cos( ) −= −−− −− −−− 11212 212 0 0 θθ θ(4.6g) () JqS Crr q rqq rqrqq −=−− −−− −− 1 12 2 212 11212 10 0 () sin cos( ) cos( ) cos( ) θ θθ (4.6h) Quando xC0 < 0 tem que se ter em atenção o seguinte procedimento na implementação do algoritmo apresentado: • Para visualizar a evolução temporal da força F, fazer F → −F; • Fazer FR → −FR (referência de força); • Na dinâmica [i.e. na parte JT(q)F] não alterar nada. Devido à instabilidade do CH, verificada por An e Hollerbach (1987b), a transformação cinemática J−1S pode ser substituída por uma formulação adoptando a pseudo-inversa (ver Apêndice 4.A), conforme proposto por Fisher e Mujtaba (1992a):
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.11 () SJC +=+ + 0 0 22 22 β βγ γ βγ (4.7a) β θθ=−+−−rqrqq 11212 sin( ) sin( ) (4.7b) γ θ=−−rqq 212 sin( ) (4.7c) onde o índice superior + significa a operação de pseudo-inversão. 4.4 Resposta temporal do sistema com vários controladores de posição e de força Nesta secção são apresentadas várias simulações do CH com vista a analisar o seu desempenho e a comparar alguns tipos de controladores de posição. Neste sentido, o sistema robot 2R/ambiente é simulado através do método de integração numérica de Runge- -Kutta de ordem quatro (Chapra e Canale, 1990) a uma frequência de 100 kHz e o controlador híbrido adopta uma frequência de 10 kHz. Os sinais de referência aplicados tanto na entrada de posição (yC) como na entrada de força (F) são degraus, respectivamente de 0.1 m e de 1 N e os parâmetros da superfície restrição são M = 0 Kg, B = 1 Ns/m e K = 100 N/m. Numa primeira simulação não se considera a correcção da pseudo-inversa. O controlador de força consiste num CEV com a estrutura indicada na Figura 4.5. Os parâmetros da superfície de deslizamento do controlador de força utilizado nesta secção são cFi = 0.25 s−1 (i = 1, 2). σ ι σ ι τi τCEV −τFmaxi τFmaxi στ τ i fesi Fi fesi cdt=+ ∫ τesi Superfície de deslizamento Acção de controlo K Fi Figura 4.5 Diagrama de blocos do CEV utilizado no controlo de força.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.12 Para o controlador de posição adopta-se o esquema indicado na Figura 4.6. Os parâmetros da superfície de deslizamento do controlador de posição são cPi = 2.5 s−1 (i = 1, 2). σ ι σ ι τi τCEV −τPmaxi τPmaxi σieiPiei qcq =+ qesi Superfície de deslizamento Acção de controlo K Pi Figura 4.6 Diagrama de blocos do CEV utilizado no controlo de posição. Na Tabela 4.2 mostram-se os valores numéricos do bloco de acção de controlo utilizados nesta secção. O ponto de funcionamento do robot e da superfície restrição é dado por θ = q10 = q20 = π/2. Eixo iK Pi KFi τPmaxi τFmaxi 1 10,000 100 1,000 1,000 2 10,000 100 500 500 Tabela 4.2 Os valores numéricos do bloco de acção de controlo utilizados nesta secção. Para uma entrada de força nula e uma entrada de posição yC(t) = yC0+0.1h(t−3) m, onde yC0 significa o valor de yC para t = 0 s e h(t) é o degrau unitário de Heavyside, obtém- -se os gráficos da Figura 4.7.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.13 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0246 tempo (s) F(N) 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 0246 tempo (s) yC (m) a) 1.545 1.55 1.555 1.56 1.565 1.57 1.575 1.58 1.585 1.59 1.595 0246 tempo (s) q1 (rad) 1.44 1.46 1.48 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 0246 tempo (s) q2 (rad) b) -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 0246 tempo (s) τ1 (Nm) -200 -100 0 100 200 300 400 0246 tempo (s) τ2 (Nm) c) Figura 4.7 Resposta temporal do CH para uma entrada de degrau de posição (θ = q10 = q20 = π/2, M = 0 Kg, B = 1 Ns/m, K = 100 N/m): a) Força e posição; b) Posições angulares do robot; c) Binários nas juntas. Para uma referência de posição constante yC = yC0 e uma entrada de força F(t) = h(t−3) N, obtém-se os gráficos da Figura 4.8.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.14 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0246 tempo (s) F(N) 0.9965 0.997 0.9975 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 0246 tempo (s) yC (m) a) 1.57 1.572 1.574 1.576 1.578 1.58 1.582 1.584 1.586 1.588 0246 tempo (s) q1 (rad) 1.556 1.558 1.56 1.562 1.564 1.566 1.568 1.57 1.572 1.574 1.576 0246 tempo (s) q2 (rad) b) -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 0246 tempo (s) τ1 (Nm) -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 0246 tempo (s) τ2 (Nm) c) Figura 4.8 Resposta temporal do CH para uma entrada de degrau de força (θ = q10 = q20 = π/2, M = 0 Kg, B = 1 Ns/m, K = 100 N/m): a) Força e posição; b) Posições angulares do robot; c) Binários nas juntas. Numa segunda simulação modifica-se ligeiramente o controlador de posição adoptando-se o esquema representado na Figura 4.9.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.15 σ ι σ ι τi τCEV −τPmaxi τPmaxi σωξω i ei niiei ni ei qqqdt =+ +∫ 22 qesi Superfície de deslizamento Acção de controlo K Pi Figura 4.9 Diagrama de blocos do CEV utilizado no controlo de posição para a segunda simulação. Neste caso trata-se de uma superfície de deslizamento de segunda ordem com acção integral. Esta estratégia não altera a estabilidade do sistema e reduz o erro em regime permanente da posição, como se verá pelos resultados desta segunda simulação. Assim, nesta experiência só se altera a superfície de deslizamento deixando os demais parâmetros inalterados. Os valores de ωni = 7.91 rads−1 (i = 1, 2) e ξi = 1.74 (i = 1, 2) foram escolhidos de modo a que o valor próprio dominante permaneça 2.5 s−1, ou seja, igual ao valor da primeira simulação. As Figuras 4.10 e 4.11 mostram, respectivamente, os resultados da simulação para a entrada de degrau de posição e para a entrada de degrau de força.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.22 com o valor λ = 100 s−1. Foram testadas várias regras de integração numérica (Nakamura, 1991) entre as quais a regra de Simpson 1/3 a 1 kHz e a 10 kHz e a de Newton-Cotes 7 a 1 kHz sendo a primeira a que deu melhores resultados. Como os sinais das saídas são amostrados a 1 kHz, a máxima frequência à qual se consegue determinar numericamente é de 50 Hz devido à existência do fenómeno de corrupção espectral (aliasing) introduzida pela amostragem. Apesar desta limitação, no teste por injecção de sinusóides verifica-se que a máxima frequência de trabalho que o sistema suporta sem ocorrerem instabilidades é de cerca de 10 Hz. Logo, a frequência de amostragem é suficientemente elevada para se poder determinar a resposta em frequência do sistema por aplicação de exponenciais nas entradas na zona de frequências de funcionamento estável do CH. Apesar do sistema ser não linear, confirma-se que, na zona de funcionamento estável (i.e. [] f∈010, Hz), o CH tem um comportamento aproximadamente linear. Esta propriedade deve-se ao facto do sistema não-linear realimentados por controladores serem robustos. Deste modo, dentro de uma cerca margem de exactidão, a resposta em frequência não depende das amplitudes das exponenciais ou das amplitudes das sinusóides de excitação de entrada. Esta propriedade foi verificada experimentalmente por simulação. Um outro pormenor a realçar tem a ver com as condições iniciais das variáveis do CH. De facto, não se aplica o sinal exponencial às entradas no instante inicial de simulação, mas somente passados três segundos. Esta estratégia tem o objectivo de deixar o sistema encontrar um estado de equilíbrio antes do sinal de entrada ser aplicado. A resposta em frequência obtida por este método é suficientemente fiável e permite rápida execução, especialmente para baixas frequências, em comparação com o segundo método onde é necessário um tempo de simulação muito superior. Nesta secção utilizam-se CEVs adoptados na secção anterior. A acção de controlo é dada na Tabela 4.2 e a superfície de deslizamento do CEV, da malha de controlo de posição, é o que tem a acção derivativa e proporcional com cPi = 2.5 s−1 (i = 1,2). O CEV da malha de controlo de força consiste nas acções proporcional e integral na superfície de deslizamento com cFi = 0.25 s−1 (i = 1,2). Num primeiro exemplo de cálculo da resposta em frequência do CH considere-se o ponto de funcionamento θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36, K = 100 N/m, B = 1 Ns/m e M = 0 Kg sem se utilizar a correcção da pseudo-inversa no algoritmo de controlo. Além disso, utiliza-
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.23 -se tf = 20 s, pois ao fim deste tempo as saídas (yC e F) do CH estabilizam dentro de uma margem de erro aceitável. A frequência do controlador é de fc = 10 kHz. Neste exemplo utilizam-se os dois métodos de excitação para comparar a sua eficácia. Na Figura 4.15 apresenta-se as resposta em frequência obtidas através da injecção de sinusóides nas entradas (yCd e Fd). O parâmetro a, na Figura 4.15, é o valor da amplitude da sinusóide. 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.1 1 10 f (Hz) a=0.05m a=0.025m Y Y C Cd 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.1 1 10 f (Hz) a=0.05m a=0.025m F YCd 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.1 1 10 f (Hz) a=1N a=0.5N Y F C d 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.1 1 10 f (Hz) a=1N a=0.5N F Fd Figura 4.15 Resposta em frequência em malha fechada do CH obtida através da injecção de sinusóides (θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36, M = 0 Kg, B = 1 Ns/m, K = 100 N/m). Na Figura 4.16 mostra-se a resposta em frequência obtida através do método de injecção de exponenciais. Note-se que consegue-se obter facilmente a resposta em
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.24 frequência para baixas frequências, ou seja, para f < 1 Hz. O valor apresentado em legenda em cada gráfico é a amplitude da exponencial A. 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figura 4.16 Resposta em frequência em malha fechada do CH obtida através da injecção de exponenciais (θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36, M = 0 Kg, B = 1 Ns/m, K = 100 N/m). Verifica-se que a resposta em frequência obtida através da utilização de exponenciais é credível dentro de uma margem de erro aceitável. Vamos estudar agora um segundo ponto de funcionamento: θ = π/2, q10 = q20 = π/2, K = 100 N/m, B = 1 Ns/m e M = 0 Kg. Na Figura 4.17 apresenta-se a resposta em frequência do CH, obtida através da injecção de exponenciais.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.25 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m 0.3m Y Y C Cd 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m 0.3m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.3N 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.3N 1N 4N F Fd Figura 4.17 Resposta em frequência em malha fechada do CH obtida através da injecção de exponenciais (θ = π/2, q10 = q20 = π/2, K = 100 N/m, B = 1 Ns/m, M = 0 Kg). Verifica-se, em conclusão, que o CH apresenta boas propriedades de robustez e de linearidade. A frequência superior de corte do sistema para a superfície restrição adoptada é cerca de f = 4 Hz. 4.5.2 Comportamento do sistema para valores variáveis dos parâmetros da superfície restrição e da frequência do controlador De seguida estuda-se o comportamento do CH face à variação da massa M da superfície restrição. Assim, na Figura 4.18 apresenta-se a resposta em frequência do sistema para M = 0.1 Kg. De notar a ressonância que aparece a frequência mais elevada do que a encontrada anteriormente para M = 0 Kg. Simulando novamente o CH para M = 0.15 Kg verifica-se que o sistema diverge. Um factor de estabilização do sistema consiste na constante de amortecimento da superfície restrição B. Verifica-se que à medida que B aumenta o sistema apresenta melhor estabilidade, embora seja mais lento na resposta a solicitações de força. O parâmetro K (mola da superfície restrição) tem pouca influência na
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.26 estabilidade do sistema, pelo que o CH estudado é robusto face a variações deste parâmetro. 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figura 4.18 Resposta em frequência em malha fechada do CH obtida através da injecção de exponenciais (θ = π/2, q10 = q20 = π/2, K = 100 N/m, B = 1 Ns/m, M = 0.1 Kg), fc = 10 kHz. De seguida, considera-se M = 0 Kg e estuda-se o comportamento da resposta em frequência do CH a variações de K (mola da superfície restrição). Assim, nas Figuras 4.19 e 4.20 mostram-se respectivamente as respostas em frequência para K = 1,000 N/m e K = 10,000 N/m, mantendo os restantes parâmetros do CH.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.27 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figura 4.19 Resposta em frequência em malha fechada do CH (θ = π/2, q10 = q20 = π/2, K = 1000 N/m, B = 1 Ns/m, M = 0 Kg), fc = 10 kHz. 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-07 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figura 4.20 Resposta em frequência em malha fechada do CH (θ = π/2, q10 = q20 = π/2, K = 10000 N/m, B = 1 Ns/m, M = 0 Kg), fc = 10 kHz.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.28 Das Figuras 4.19 e 4.20, conclui-se que o aumento do valor da constante de elasticidade da mola da superfície restrição se traduz no aumento da frequência de ressonância do sistema de CH. Nesta secção analisa-se também, através da resposta em frequência, a influência da frequência do controlador fc no desempenho do CH. Para o efeito, utilizam-se como parâmetros da superfície restrição K = 1,000 N/m, B = 1 Ns/m e M = 0 Kg. Como se tem adoptado até agora fc = 10 kHz, para efeitos de comparação nas Figuras 4.21 e 4.22 adoptam-se, respectivamente, fc = 1 kHz e fc = 500 Hz. 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figura 4.21 Resposta em frequência em malha fechada do CH (θ = π/2, q10 = q20 = π/2, K = 1000 N/m, B = 1 Ns/m, M = 0 Kg), fc = 1 kHz.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.29 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figura 4.22 Resposta em frequência em malha fechada do CH (θ = π/2, q10 = q20 = π/2, K = 1000 N/m, B = 1 Ns/m, M = 0 Kg), fc = 500 Hz. Das Figuras 4.21 e 4.22 não se observam diferenças significativas. Constata -se que que a frequência do controlador é insuficiente tornando deste modo o sistema instável quando fc desce para baixo de 500 Hz. 4.5.3 Comportamento do CH perto e longe de pontos singulares De seguida comparam-se as respostas em frequência do sistema, para o algoritmo original e usando a formulação da pseudo-inversa. Neste sentido, as Figuras 4.23 e 4.24 mostram as respostas em frequência do sistema, com a inversa clássica e com a formulação através da pseudo-inversa, para os sinais de entrada δyCd = 0.005 m e δFd = 0.1 N, com os parâmetros K = 400 N/m, B = 1 Ns/m e M = 0.03 Kg e para dois pontos de funcionamento distintos (θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36 e θ = π/2, q10 = 0, q20 = 5π/36).
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.30 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.005m com inversa normal 0.005m com pseudo-inversa Y Y C Cd Y Y C Cd 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.005m com inversa normal 0.005m com pseudo-inversa F YCd 1.00E-07 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.1N com inversa normal 0.1N com pseudo-inversa Y F C d Y F C d 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.1N com inversa normal 0.1N com pseudo-inversa F Fd F Fd Figura 4.23 Resposta em frequência em malha fechada do sistema, com a inversa clássica e com a formulação da pseudo-inversa, no ponto de funcionamento θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36 e K = 400 N/m, B = 1 Ns/m, M = 0.03 Kg, fc = 1 kHz. 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.005m com inversa normal 0.005m com pseudo-inversa Y Y C Cd Y Y C Cd 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.005m com inversa normal 0.005m com pseudo-inversa F YCd 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.1N com inversa normal 0.1N com pseudo-inversa Y F C d 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.1N com inversa normal 0.1N com pseudo-inversa F Fd Figura 4.24 Resposta em frequência em malha fechada do sistema, com a inversa clássica e com a formulação da pseudo-inversa, no ponto de funcionamento θ = π/2, q10 = 0, q20 = 5π/36 e K = 400 N/m, B = 1 Ns/m, M = 0.03 Kg, fc = 1 kHz.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.31 Conclui-se que as respostas em frequência são aproximadamente idênticas para pontos de funcionamento longe de configurações singulares (Figura 4.23). Por outro lado, na vizinhança de pontos singulares (Figura 4.24) a formulação através da pseudo-inversa (p.i.) conduz a desempenhos superiores. Por exemplo, para um terceiro ponto de funcionamento {θ = π/2, q10 = 0, q20 = 4π/36} a formulação através da p.i. é capaz de estabilizar o sistema em contraste com a abordagem tradicional onde se obtém um sistema instável. De seguida analisa-se a estabilidade do sistema através de um vasto conjunto de experiências que testa o espaço de trabalho. Nesta perspectiva, as Figuras 4.25 a 4.32 apresentam o lugar geométrico da estabilidade do sistema no espaço de trabalho para B = 0.5 e B = 0.3, para as configurações cinemáticas de “cotovelo para cima” e “cotovelo para baixo” e para o cálculo da matriz inversa usando as formulações clássica e da pseudo- -inversa. As experiências foram efectuadas com: yyr qr qq Cd C == −+ −− 01 10 2 10 20 cos( ) cos( )θθ (4.12a) Fd = 1 N (4.12b) θ = π/2 (4.12c) -1.7 -1.1 -0.5 0.1 0.7 1.3 1.5 0.6 -0.3 -1.2 -1 0 1 2 Xc (m) Yc (m) 0 Estável 1 Ciclo Limite 2 Instável Figura 4.25 Lugar geométrico de estabilidade do espaço de trabalho para o sistema usando a inversa clássica (B = 0.5 Ns/m, configuração “cotovelo para cima”, Fd = 1 N, θ = π/2, K = 400 N/m, M = 0.03 Kg), fc = 1 kHz.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.38 O sistema que adopta a pseudo-inversa apresenta respostas superiores, nomeadamente o erro de força e os binários transitórios requeridos são menores. Em contrapartida, o sistema com a pseudo-inversa revela uma maior sobreelevação do erro de posição. 4.6 Zonas de estabilidade em função dos parâmetros da superfície restrição Nesta secção estuda-se o desempenho do controlador sob diferentes condições de funcionamento. A Figura 4.36 apresenta os gráficos dos parâmetros da superfície restrição de segunda ordem para duas condições de funcionamento distintas {θ, q10, q20} que originam um ciclo limite quando o sistema é controlado através dos CEVs da secção 4.4 de primeira ordem. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.03 0.06 0.09 0 0.15 B (Ns/m) K (N/m) M (Kg) a) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.03 0.06 0.09 0 1 B (Ns/m) K (N/m) M (Kg) b) Figura 4.36 Lugar geométrico dos parâmetros da superfície restrição que levam à ocorrência de ciclos limite (fc = 1 kHz): a) θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36; b) θ = 3π/2, q10 = π/2, q20 = −π/4.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.39 Conclui-se que no caso de se alterar o ponto de funcionamento, os limites de estabilidade, no que diz respeito aos parâmetros da superfície restrição, podem variar significativamente. Mais ainda, o sistema torna-se estável/instável se B é superior/inferior aos limites indicados na Figura 4.36. As expressões aproximadas para os limites de estabilidade mostrados na Figura 4.36, obtidas através de um método numérico aproximado vêm: BKM=× − + − 54 6 10 0265 00393 6 ... (4.13a) BKM=× − + − 698 10 145 0105 6 ... (4.13b) Nas Figuras 4.37 e 4.38 mostram-se as amplitudes da posição dos ciclos limite (aP) e as sua frequências (f) para as experiências anteriores. As expressões numéricas aproximadas correspondentes são: () aKM KM P=+− ++ 0238 0699 0707 495 101 119 2 .. . .. . (4.14a) fKM=− +001 319 552... (4.14b) e () aKM KM P=+− ++ 110 0994 2 93 487 0903 287 2 .. . .. . (4.15a) fKM=−+000772 154 414... (4.15b)
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.40 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.03 0.06 0.09 0.00E+00 1.00E-04 aP (m) K (N/m) M (Kg) a) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.03 0.06 0.09 0.00E+00 4.00E-04 aP (m) K (N/m) M (Kg) b) Figura 4.37 Amplitude da oscilação da posição (aP) para o caso de ocorrência de ciclo limite (fc = 1 kHz): a) θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36; b) θ = 3π/2, q10 = π/2, q20 = −π/4.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.41 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.03 0.06 0.09 0 20 f (Hz) K (N/m) M (Kg) a) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.03 0.06 0.09 0 14 f (Hz) K (N/m) M (Kg) b) Figura 4.38 Frequência de oscilação (f) para o caso de ocorrência de ciclo limite (fc = 1 kHz): a) θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36; b) θ = 3π/2, q10 = π/2, q20 = −π/4. Em conclusão, o parâmetro B tem um papel fundamental na estabilidade do sistema que, por seu lado, pode variar significativamente com o ponto de funcionamento. 4.7 Aspectos relacionados com a modelização da superfície restrição e com a adopção de uma estratégia de amostragem por multifrequência Nesta secção apresenta-se a resposta em frequência do CH quando se modeliza a superfície restrição como um sistema de segunda ordem ou, alternativamente como um sistema de primeira ordem com dois graus de liberdade. As expressões relativas às duas
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.42 alternativas foram apresentadas na secção 4.2. Apresentam-se também os resultados conseguidos quando se adopta um esquema de multifrequência para a amostragem nos subcontroladores de posição e de força. Tendo em vista a comparação das respostas do sistema, quando se adopta modelos de segunda ou de primeira ordem, os parâmetros da superfície restrição são escolhidos de acordo com os seguintes critérios: • Ganhos idênticos a baixas frequências; • Frequências superiores de corte iguais. Nas Figuras 4.39 e 4.40 mostram-se as respostas em frequência do sistema para o modelo de superfície de segunda ordem (com parâmetros K = 400 N/m, M = 0.03 Kg, B = 1 Ns/m, θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36) e para o modelo alternativo de primeira ordem (com parâmetros K1 = 400 N/m, K2 = 20,000 N/m, B2 = 3.40 Ns/m, θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36). Em ambos os casos adopta-se o esquema da inversa clássica. 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figure 4.39 Resposta em frequência em malha fechada para o sistema com superfície restrição de segunda ordem (K = 400 N/m, M = 0.03 Kg, B = 1 Ns/m, θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36).
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.43 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figure 4.40 Resposta em frequência em malha fechada para o sistema com superfície restrição de primeira ordem (K1 = 400 N/m, K2 = 20,000 N/m, B2 = 3.40 Ns/m, θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36). Como se pode observar a partir destes resultados, o sistema é robusto para modelos diferentes do ambiente, apresenta boas propriedades de linearidade e a interacção entre as variáveis de posição e de força é reduzida. Nesta secção estuda-se também o efeito na estabilidade do sistema quando se adoptam frequências de amostragem distintas nos anéis de posição e de força (i.e. fP e fF, respectivamente). Assim, a Figura 4.41 mostra o lugar geométrico do limite de estabilidade versus o amortecimento B para uma estratégia de controlo por multifrequência para o mesmo ponto de funcionamento (θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36) e os parâmetros da superfície restrição de segunda ordem M = 0.03 Kg, K = 400 N/m.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.44 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 Frequência de Força (Hz) Frequência de Posição (Hz) B = 1 Ns/m B = 0.5 Ns/m B = 0.1 Ns/m instável estável Figura 4.41 Lugar geométrico de estabilidade para o esquema de multifrequência quando θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36, M = 0.03 Kg, K = 400 N/m. Conclui-se que o anel de posição requer uma frequência superior à do anel de força para valores elevados de B, enquanto que se verifica a situação inversa para pequenos valores de B. Além disso, constata-se que o comportamento do sistema modifica-se significativamente com o coeficiente de amortecimento B. Para valores elevados de B existe pouca variação com o ponto de funcionamento {θ, q10, q20}. Além disso, para os valores numéricos adoptados verifica-se que o CH é estável para frequências de amostragem superiores a fP = fF = 500 Hz. O esquema de multifrequência permite uma gestão mais eficiente dos recursos computacionais enquanto mantém um bom desempenho. De facto, para o robot 2R, a carga computacional total (LT) imposta pelo algoritmo de multifrequência (ver Tabela 4.3) é: ()() () () L LL L f fLL ff LL Lf fLL L ff T SMA F P MA FP SMA P F SMA FP = +++ + ≤ +++ + + > 416 16 4 3 2 7 8 2 13 11 , , se se (4.16) onde LS, LM e LA representam respectivamente as cargas das operações sin/cos, mult/div e adição. Consequentemente, para fF ≠ fP obtém-se uma “aceleração” que pode melhorar a relação carga computacional global versus desempenho dinâmico.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.45 Operações sin/cos mult/div adição Anel de Posição 2 13 11 Anel de Força0 4 3 Termos Comuns 2 3 5 Total 4 20 19 Tabela 4.3 Peso computacional imposto pelos anéis de controlo híbrido posição/força para o robot 2R. 4.8 Controlo de robots com fenómenos dinâmicos não lineares nas juntas Nesta secção analisa-se o desempenho do CEV híbrido de posição/força para robots com atritos não lineares, folgas e flexibilidades nas juntas. O modelo da superfície restrição utilizado nas experiências consiste no modelo de segunda ordem com os parâmetros K = 400 N/m, B = 1 Ns/m, M = 0.03 Kg. Os controladores adoptam valores numéricos idênticos aos do início deste capítulo (com um CEV de primeira ordem no anel de controlo de posição e com fc = 1 kHz), para o ponto de funcionamento θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36. Na Figura 4.42 mostra-se a resposta em frequência do sistema com atrito viscoso (Bi) e de Coulomb (Ki) nas juntas (i = 1, 2) do robot 2R. 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figura 4.42 Resposta em frequência em malha fechada do CEV híbrido posição/força (K = 400 N/m, M = 0.03 Kg, B = 1 Ns/m, θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36, robot de juntas com atrito, Bi = 0.5 Nms/rad, Ki = 5 Nm).
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.46 Por seu lado, a Figura 4.43 apresenta a resposta em frequência do sistema com folgas (εi = 0.5, hi = 0.00018 rad) nas juntas (i = 1, 2) do robot 2R. 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figura 4.43 Resposta em frequência em malha fechada do CEV híbrido posição/força (K = 400 N/m, M = 0.03 Kg, B = 1 Ns/m, θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36, robot de juntas com folgas, εi = 0.5, hi = 0.00018 rad). Por último, a Figura 4.44 mostra a resposta em frequência do sistema com flexibilidades (Kim = 2×107 Nm/rad, Bim = 104 Nms/rad) nas juntas (i = 1, 2) do robot 2R.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.47 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m Y Y C Cd 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 0.03m 0.1m F YCd 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N Y F C d 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 0.001 0.01 0.1 1 10 100 f (Hz) 1N 4N F Fd Figura 4.44 Resposta em frequência em malha fechada do CEV híbrido posição/força (K = 400 N/m, M = 0.03 Kg, B = 1 Ns/m, θ = π/2, q10 = q20 = 15π/36, robot de juntas com flexibilidades, Kim = 2×107 Nm/rad, Bim = 104 Nms/rad). A partir destes três conjuntos de gráficos conclui-se que o sistema é afectado consideravelmente pelo tipo de não linearidade nas juntas. Além disso, os casos do controlo de robots tendo juntas com folga ou com flexibilidade são os mais difíceis de estabilizar. 4.9 A ocorrência de impacto Na Figura 4.45 apresenta-se novamente a estrutura do algoritmo de controlo híbrido posição/força está representada onde I é a matriz identidade (de dimensão n × n) e S é a matriz selecção (de dimensão n × n) com elementos diagonais iguais a um/zero nas direcções controladas em posição/força. Mais uma vez, considera-se que a coordenada yC/xC é controlada em posição/força no espaço restringido e o elemento s11 pode variar entre zero e um de acordo com as seguintes equações: S= s11 0 01 (4.17a)
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.54 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0246810 tempo (s) F (N) 0.00E+00 2.00E-04 4.00E-04 6.00E-04 8.00E-04 1.00E-03 1.20E-03 1.40E-03 1.60E-03 1.80E-03 0246810 tempo (s) yec (m) 0.00E+00 2.00E-03 4.00E-03 6.00E-03 8.00E-03 1.00E-02 1.20E-02 1.40E-02 0246810 tempo (s) xec (m) Figura 4.50 Respostas temporais do sistema para uma variação do elemento de selecção s11 em degrau em t = 3 s. Impacto em t = 3.02 s (K = 400 N/m, M = 0.03 Kg, B = 1 Ns/m, θ = π/2, q1C0 = q2C0 = 15π/36). 4.9.4 Estabilidade versus geometria da superfície e velocidade de impacto Nesta subsecção estuda-se a influência da geometria da superfície restrição e da sua dinâmica na estabilidade do sistema. Assim, analisa-se a estabilidade do sistema para diferentes valores de β e de L da superfície restrição com a forma de uma sinusóide espacial e para vários valores do coeficiente de amortecimento B. Emprega-se um CEV de posição com acção integral de modo a testar o sistema com um erro de trajectória desprezável. O ponto de funcionamento P mantém-se idêntico ao anterior, isto é, considera-se r = 80 mm, q1C0 = q2C0 = 15π/36, θ = π/2 e s11 tem uma variação em degrau para t = 6 s. A Figura 4.51 mostra o lugar de estabilidade B(β, L) para vf = 6 mm/s. O sistema torna-se instável para pequenos valores de B, para elevados valores de L ou para valores elevados de β. Repetindo as experiências para outros valores de vf conclui-se que quanto
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.55 maior for a velocidade de aproximação, e de impacto, vf maior deverá ser B de forma a conseguir-se um sistema estável. 00.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0 50 100 150 0 0.6 B (Ns/m) L (m) β (rad/m) sistema estável sistema instável Figura 4.51 Lugar dos limites de estabilidade para uma superfície restrição sinusoidal como uma função da frequência espacial (β) e da amplitude (L) para uma velocidade do órgão terminal vf = 6 mm/s (M = 0.03 Kg, K = 400 N/m, θ = π/2, q1C0 = q2C0 = 15π/36). No que diz respeito ao problema do impacto, obtém-se resultados semelhantes tanto para as superfícies restrição planas como sinusoidais. Por exemplo, a Figura 4.52 apresenta as respostas temporais para um impacto em t = 6.00 s, vf = 6 mm/s, β = 150 rad/m, L = 0.01 m e B = 1 Ns/m. Uma vez mais, a transição mais comum em degrau de s11 origina desempenhos pobres durante os impactos.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.56 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0246810 tempo (s) F (N) -4.00E-05 -2.00E-05 0.00E+00 2.00E-05 4.00E-05 6.00E-05 8.00E-05 1.00E-04 1.20E-04 1.40E-04 0246810 tempo (s) yec (m) 0.00E+00 2.00E-05 4.00E-05 6.00E-05 8.00E-05 1.00E-04 1.20E-04 1.40E-04 1.60E-04 1.80E-04 2.00E-04 0246810 tempo (s) xec (m) Figura 4.52 Respostas temporais do sistema para uma variação do elemento de selecção s11 em degrau em t = 6 s. Impacto em t = 6.00 s (K = 400 N/m, M = 0.03 Kg, B = 1 Ns/m, θ = π/2, q1C0 = q2C0 = 15π/36). 4.10 Sistema com controladores de ordem fraccionária Esta secção estuda o controlo posição/força de manipuladores robóticos usando algoritmos de ordem fraccionária. A aplicação de derivadas e integrais fraccionários (DIFs) está ainda numa fase de investigação, mas o progresso recente nas áreas do caos e dos fractais revela aspectos promissores para desenvolvimentos futuros (Oldham e Spanier, 1974; Samko et al., 1993; Miller e Ross, 1993; Machado, 1995c; Machado e Azenha, 1998). 4.10.1 Algoritmos de ordem fraccionária Nesta subsecção apresentam-se os controladores com DIFs, nos anéis de controlo de posição e de força.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.57 A definição matemática de uma derivada ou de um integral de ordem fraccionária tem sido objecto de abordagens diferentes. Por exemplo, uma definição ‘directa’ baseada no conceito de diferencial fraccionário de ordem α ∆hxt α(), é devida a Letnikov (1868) e conduz à expressão para Dxt α(), a derivada fraccionária de ordem α: () ( ) Dxt xt hh kxt kh h h h k k αα αα α ( ) lim () lim==− − →→ = ∞ ∑ 00 0 11 ∆ (4.19a) () ()( ) αα α kkk =+ +−+ Γ ΓΓ 1 11 (4.19b) onde Γ é a função Gama e h é o incremento de tempo. Deste modo, para um algoritmo de controlo de tempo discreto, com período de amostragem T, esta fórmula pode ser aproximada através de uma série truncada de ordem r, resultando a equação seguinte no domínio z: {} () () () () ZD xt T z kk Xz kk k r α α α α− () ! ≈−+ + − = ∑ 111 1 0 Γ Γ(4.20) Para se obterem boas aproximações é necessário tomar um número elevado de termos e um período de amostragem pequeno em (4.20). A Tabela 4.4 mostra os valores numéricos dos controladores DIFs adoptados neste estudo. Estes parâmetros foram sintonizados experimentalmente e representam um compromisso entre regimes transitórios rápidos e sobreelevações pouco significativas. Os índices inferiores P ou F significam os anéis de posição ou de força e o parâmetro K significa uma constante de ganho que é multiplicada pela série de DIFs truncada. Eixo iK Pi KFi αPi αFi rPi rFi 110 51031/2 −1/5 17 17 210 51031/2 −1/5 17 17 Tabela 4.4 Valores numéricos dos controladores com DIFs.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.58 4.10.2 Experiências De modo a comparar o desempenho dos algoritmos com FDIs repetem-se as experiências realizadas anteriormente com CEVs. Nas experiências, estudam-se as respostas do sistema para θ = π/2 e o ponto de funcionamento inicial q10 = q20 = 15π/36, onde qi0 significa qi(t = 0 s), i = 1, 2. Aplica-se uma referência de força em degrau para t = 0 s (i.e. Fd = 1 N) e uma entrada de posição com incremento nulo (i.e. yCd = yC0 m). Os parâmetros da superfície restrição são M = 0.03 Kg, B = 1 Ns/m e K = 400 N/m, sendo a frequência de amostragem do controlador fc = 1 kHz. Foi também comparado, embora não totalmente explorado, o sistema com os dois algoritmos para pontos perto de singularidades. Neste caso, os CEVs mostraram ter um desempenho superior aos com DIFs. No entanto, vislumbra-se uma aplicação promissora para os algoritmos com DIFs nos sistemas robóticos de controlo de força. 4.10.2.1 Robots ideais Nesta subsecção comparam-se as respostas do sistema para o robot 2R ideal sob a acção de algoritmos com DIFs e com CEVs (Figuras 4.53 e 4.54). Como se pode observar o esquema com DIFs conduz a um desempenho superior. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 01234 tempo (s) F (N) 1.364 1.3645 1.365 1.3655 1.366 01234 tempo (s) yC (m) Figura 4.53 Respostas temporais para o robot 2R com o algoritmo com DIFs.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.59 0 0.5 1 1.5 2 2.5 01234 tempo (s) F (N) 1.364 1.3645 1.365 1.3655 1.366 01234 tempo (s) yC (m) Figura 4.54 Respostas temporais para o robot 2R com o algoritmo com CEVs. 4.10.2.2 Robots com atrito não linear Nesta subsecção estudam-se as respostas temporais do sistema para o robot 2R com atrito não linear nas juntas. Os parâmetros do modelo do atrito de Karnopp são os mesmos que os utilizados na secção 4.8. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 01234 tempo (s) F (N) 1.364 1.3645 1.365 1.3655 1.366 01234 tempo (s) yC (m) Figura 4.55 Respostas temporais para o robot 2R com o algoritmo com DIFs e atrito nas juntas (com αF = −1/5).
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.60 0 0.5 1 1.5 2 2.5 01234 tempo (s) F (N) 1.364 1.3645 1.365 1.3655 1.366 01234 tempo (s) yC (m) Figura 4.56 Respostas temporais para o robot 2R com o algoritmo com CEVs e atrito nas juntas. Comparando as respostas com DIFs (Figura 4.55) com as do esquema com CEVs (Figura 4.56) conclui-se, uma vez mais, que o desempenho do algoritmo de ordem fraccionária é superior. 4.10.2.3 Robots com folga dinâmica Nesta secção analisam-se as respostas do sistema para o robot 2R com folga dinâmica nas juntas. Os parâmetros do modelo da folga dinâmica são os mesmos que os utilizados na secção 4.8. Eixo iK Pi KFi αPi αFi rPi rFi 1 5000 50 1/2 1/5 17 17 2 5000 50 1/2 1/5 17 17 Tabela 4.5 Valores numéricos dos controladores com DIFs com a nova sintonia. A Figura 4.57 mostra as respostas do sistema para o esquema com DIFs (com os parâmetros da Tabela 4.4). Devido às respostas instáveis o algoritmo foi sintonizado, de novo, tendo agora uma acção derivativa fraccionária (ver Tabela 4.5). As respostas com os novos DIFs (Figura 4.58) são algo superiores à do esquema com CEVs (Figura 4.59), porque têm um erro em regime permanente e um tempo de estabelecimento menores. Sintonizando de novo os CEVs com (i = 1, 2) KPi = 5000 e KFi = 500, obtém-se uma
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.61 resposta semelhante à da Figura 4.58, mas com um erro de força menor e um erro de posição maior, ambos em regime permanente. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 01234 tempo (s) F (N) 1.364 1.3642 1.3644 1.3646 1.3648 1.365 1.3652 1.3654 1.3656 1.3658 1.366 01234 tempo (s) yC (m) Figura 4.57 Respostas temporais para o robot 2R com o algoritmo com DIFs e folgas nas juntas (com αF = −1/5, Tabela 4.4). 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 01234 tempo (s) F (N) 1.364 1.3642 1.3644 1.3646 1.3648 1.365 1.3652 1.3654 1.3656 1.3658 1.366 01234 tempo (s) yC (m) Figura 4.58 Respostas temporais para o robot 2R com o algoritmo sintonizado de novo com DIFs e folgas nas juntas (com αF = 1/5, Tabela 4.5). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 01234 tempo (s) F (N) 1.364 1.3642 1.3644 1.3646 1.3648 1.365 1.3652 1.3654 1.3656 1.3658 1.366 01234 tempo (s) yC (m) Figura 4.59 Respostas temporais para o robot 2R com o algoritmo com CEVs e folgas nas juntas.
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.62 4.10.2.4 Robots com juntas flexíveis Nesta subsecção estudam-se as respostas do sistema para o robot 2R com juntas flexíveis. Os parâmetros do modelo das juntas flexíveis são os mesmos que os utilizados na secção 4.8. A Figura 4.60 mostra as respostas do sistema com DIFs constatando-se de novo que são superiores ao esquema com CEVs (Figura 4.61). 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 01234 tempo (s) F (N) 1.364 1.3645 1.365 1.3655 1.366 01234 tempo (s) yC (m) Figura 4.60 Respostas temporais para o robot 2R com o algoritmo com DIFs e juntas flexíveis (com αF = −1/5). 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 01234 tempo (s) F (N) 1.364 1.3642 1.3644 1.3646 1.3648 1.365 1.3652 1.3654 1.3656 1.3658 1.366 01234 tempo (s) yC (m) Figura 4.61 Respostas temporais para o robot 2R com o algoritmo com CEVs e juntas flexíveis. 4.11 Conclusões Neste capítulo estudou-se a dinâmica do sistema CH através da resposta temporal e da resposta em frequência em malha fechada. Em primeiro lugar apresentou-se uma resenha bibliográfica sobre os trabalhos mais importantes publicados neste tópico. De seguida, descreveu-se a dinâmica do robot e do ambiente, bem como o controlador híbrido
4 Análise dinâmica do controlo híbrido posição/força de robots 4.63 posição/força (CH). Este capítulo termina com uma análise detalhada das propriedades dinâmicas do CH, pois calculam-se respostas temporais e em frequência, condições fronteira de estabilidade, frequência dos controladores e robots com não linearidades a nível das juntas. Conclui-se que os parâmetros da superfície restrição tem um papel fundamental na estabilidade do sistema. A constante de amortecimento torna o sistema tanto mais estável quanto maior for o seu valor. Por seu lado, a massa tem um papel ‘desestabilizador’, isto é, torna o sistema tanto menos estável quanto maior for o seu valor. A constante de elasticidade afecta principalmente a frequência de ressonância do sistema. O tipo de controlador seja da malha de controlo de posição seja da malha de controlo de força tem também um papel importante no desempenho do sistema. Foram adoptados controladores do tipo CEV, porque são robustos, não necessitam de um modelo matemático do sistema a controlar e requerem pouca capacidade de cálculo, o que os torna apropriados para uma utilização em tempo-real. Em particular, um controlador que revelou muito bom desempenho é o CEV do anel de posição com acção integral, pois reduz o erro em regime permanente da posição sem prejudicar a resposta transitória. Este capítulo estudou também o controlo de manipuladores no caso de uma transição do espaço livre para um movimento restringido. O sistema considerado inclui um robot 2R, um CEV híbrido posição/força e uma superfície restrição com dinâmica modelizada através de um conjunto massa-amortecedor-mola tanto para uma geometria plana como para uma geometria com a forma de uma sinusóide espacial. Os resultados mostraram que, para uma transição em degrau da matriz selecção, podem ocorrer desempenhos pouco satisfatórios. Por outro lado, para uma variação suave na matriz de selecção posição/força obtêm-se respostas adequadas, nomeadamente durante os fenómenos de impacto. Por último, este capítulo apresentou o projecto e a implementação de controladores com DIFs para o CH de robots. Foram empregues respostas temporais na caracterização do comportamento do sistema com alguns tipos de fenómenos não lineares na juntas. Foi investigado e comparado o comportamento do sistema com algoritmos de CEVs e de DIFs. Os resultados mostraram que os algoritmos adoptando DIFs têm um bom desempenho, embora o problema das folgas dinâmicas se revele de tratamento difícil.
5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.1 5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais O controlo híbrido posição/força (CH) de robots tem vindo a ser estudado ao longo dos últimos anos, mas não se tem chegado a conclusões práticas importantes. Isto deve-se ao facto de que a sua origem não tem uma fundamentação teórica rigorosa, no entanto tem-se conseguido obter bons resultados em aplicações específicas deste algoritmo, como é exemplo o capítulo anterior. Deste modo, este capítulo pretende estudar o CH através da sua função descritiva (FD) e, desta forma, verificar a importância dos seus parâmetros (nomeadamente a frequência de amostragem e tipo dos controladores dos anéis de posição e de força) na estabilidade. Como o algoritmo de CH é muito complexo para ser detalhado em expressões matemáticas que traduzem a sua FD, recorre-se depois à sua linearização que leva a expressões mais curtas e mais simples de analisar. Por seu lado, também se verifica que têm um grau de exactidão razoável para a maioria das aplicações, porque em geral a amplitude da variação das coordenadas generalizadas do robot é pequena. Nesta ordem de ideias, na secção 5.1 faz-se uma introdução ao tema deste capítulo. Depois, na secção 5.2, apresentam-se algumas considerações sobre a utilização da FD no estudo da cinemática directa de robots. Na secção seguinte (secção 5.3) estuda-se a FD do sistema de CH. Na secção 5.4 apresenta-se o trabalho de viabilidade da utilização do traçado de Nyquist multivariável para verificar a estabilidade do CH. Por outro lado, na secção 5.5 estuda-se a linearização do CH tendo como ponto de partida a FD do sistema. Na secção 5.6 apresenta-se a determinação analítica da resposta em frequência em malha fechada do CH
5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.2 tendo como base a linearização do sistema respectivo. Finalmente, na secção 5.7, apresentam- -se as conclusões principais que decorrem do estudo do capítulo. 5.1 Introdução A filosofia presente neste capítulo pode ser caracterizada pela dedução de expressões matemáticas capazes de caracterizar aspectos importantes do desempenho dos sistemas robóticos e pela sua validação através da execução de experiências práticas. As ferramentas matemáticas utilizadas são a FD e a linearização usando diagramas de blocos. Deste modo, é possível estudar por exemplo a influência da frequência de amostragem dos controladores dos anéis do CH perto de um ponto de funcionamento com ciclo limite ou determinar analiticamente a resposta em frequência do mesmo. A bibliografia existente até ao momento sobre este tema é predominantemente da co- -autoria do candidato (Machado e Azenha, 1997; Azenha e Machado, 1997c), pois não se encontraram abordagens ao estudo do CH que utilizassem a FD anteriormente. A motivação que levou a esta iniciativa foi o domínio desta técnica de análise de sistemas não lineares, a existência de problemas de estabilidade bem conhecidos (An e Hollerbach, 1987b) e a falta de ferramentas existentes para a sua sistematização. Deste modo, começa-se por utilizar a FD a um sistema robótico simples como é o caso do estudo da cinemática directa do robot 2R. Isto leva à descoberta de equações matemáticas exactas, o que já não acontece no caso do CH com robot 2R, porque só se consegue obter expressões aproximadas e à custa da utilização de funções de Bessel. No entanto, como em geral é suficiente estudar o funcionamento do CH em torno de variações “pequenas” do ponto de funcionamento, é reduzida a complexidade dessas equações através da linearização do sistema utilizando as expressões obtidas com a técnica da FD. Obtendo, assim, a linearização do CH com robot 2R (note-se que o método é aplicável a qualquer sistema robótico CH), chega-se ao ponto de partida para estudar pormenores tais como a influência da frequência de amostragem dos controladores. Por outro lado, também se estudou a resposta em frequência em malha fechada analítica do CH com robot 2R através da linearização total do mesmo e do cálculo da função de transferência respectiva, tendo os resultados sido concordantes com os obtidos através de simulação. Para finalizar, note-se que se teve de recorrer a técnicas de análise de sistemas de controlo multivariáveis, i.e. com mais de uma entrada ou saída. Isto deve-se ao facto do CH necessitar da existência de pelo menos uma direcção do espaço de
5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.3 trabalho Cartesiano controlada em força e de outra em posição. Resultam, assim, pelos menos dois graus de liberdade requeridos mínimos para o robot e respectivo sistema de controlo. 5.2 Utilização da FD no estudo da cinem ática directa do robot 2R Nesta secção aplica-se o método de análise da FD ao sistema robot 2R, no que diz respeito à sua cinemática directa. Assim, para as entradas que são as coordenadas generalizadas do robot 2R, q1 e q2, com variação temporal sinusoidal, obtém-se o primeiro harmónico e o valor médio das saídas no espaço Cartesiano, x e y através do cálculo da sua FD. Para o efeito, considere-se a Figura 5.1 onde estão representadas graficamente as variáveis enunciadas para o sistema robot 2R em controlo de posição. r1 m2 r2 q2 J1g J1m J2m J2g q1 m1 x y Figura 5.1 O robot 2R no espaço livre. Nesta ordem de ideias as entradas do sistema são as coordenadas q1 e q2 com variação sinusoidal dadas por: qq Q t 1101 =+sin( )ω(5.1a) qqQ t 2202 =+ +sin( )ω φ (5.1b)
5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.4 onde q10 e q20 são os valores médios de q1 e q2 respectivamente, Q1 e Q2 são as amplitudes da variação sinusoidal respectivas, ω é a frequência angular da oscilação (considera-se que as frequências são iguais, por razões de simplicidade) e φ é o desfasamento entre a oscilação da junta um e da dois. Tendo em consideração as manipulações algébricas seguintes, obtém-se então a FD do sistema (que é, neste caso, independente da frequência): qq q Q t 12 120 12 += + +sin( )ωα (5.2a) QQQQQ 12 1 22 212 2=++ cos( )φ(5.2b) [] αφφ=+arctan cos( ), sin( )212 2 QQ Q (5.2c) onde arctan2(x, y) representa o ângulo compreendido entre −π e π das coordenadas polares relativamente às suas coordenadas Cartesianas x e y e q120 = q10 + q20. Utilizando as funções de Bessel, i.e. por Jn(x) entende-se a função de ordem n no ponto x, obtém-se: [] cos( ) cos sin( ) sin( )qq q q Q tQ t 1 2 10 20 1 2 += ++ + +=ωωφ [][] =+−+≈cos( )cos sin( ) sin( )sin sin( )qQt qQt 120 12 120 12 ωα ωα (5.3a) ≈− +CJQ SJQ t 120 0 12 120 1 12 2() ()sin( )ωα sin( ) ( ) ( )sin( )qq SJQ CJQ t 1 2 120 0 12 120 1 12 2+≈ + +ωα (5.3b) onde C120 = cos(q10+q20) e S120 = sin(q10+q20). Estas duas últimas expressões levam à possibilidade de calcular o valor médio e primeiro harmónico exactos da resposta x, y tendo como entradas q1 e q2: xr q r q q yr q r q q =++ =++ 11212 11212 cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) (5.4a) xx x t yy y t x y =+ + =+ + 012 012 sin( ) sin( ) ωα ωα (5.4b) resultando para os valores médios e primeiros harmónicos:
5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.5 xrCJQrCJQ yrSJQrSJQ 0 11001 2120012 0 11001 2120012 =+ =+ () ( ) () ( ) (5.5a) () [] () [] () [] () [] () () () [] cos( ) arctan cos( ), sin( ) x rSJQ rSJQ rSJQ rSJQ rSJQ rS JQ rS JQ x 12 1 10 1 1 2 21201 12 2 1101 1 21201 12 1101 1 21201 12 21201 12 22222 22 2 2 =− +− +− − =− − − α ααα (5.5b) () [] () [] () [] () [] () ( ) ( ) [] cos( ) arctan cos( ), sin( ) y rCJQ rC JQ rCJQ rC JQ rCJQ rC JQ rC JQ y 12 1 10 1 1 2 2 120 1 12 2 1 10 1 1 2 120 1 12 1 10 1 1 2 120 1 12 2 120 1 12 22 222 22 2 2 =++ =+ α ααα (5.5c) onde C10 = cos(q10) e S10 = sin(q10). De seguida, apresentam-se alguns gráficos que mostram as amplitudes de x e de y em função de Q1 e de Q2 para vários valores de φ, q10 e q20. Note-se que não é necessário as saídas x e y serem aproximadamente sinusoidais para as expressões anteriores serem exactas. De facto, verifica-se que as saídas podem não ser sinusoidais, mas sim periódicas de período 2π/ω e a respectiva FD não depende de ω, mas só de q10, q20, Q1, Q2 e φ. 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.5 1 1.5 2 Q2 Q1 Amplitude X 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Q2 Q1 Amplitude Y Figura 5.2 Gráficos das amplitudes do primeiros harmónicos da cinemática directa (x e y) do robot 2R: q10 = q20 = 15π/36, φ = 0.
5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.6 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.5 1 1.5 2 Q2 Q1 Amplitude X 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Q2 Q1 Amplitude Y Figura 5.3 Gráficos das amplitudes do primeiros harmónicos da cinemática directa (x e y) do robot 2R: q10 = q20 = 15π/36, φ = π. 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.5 1 1.5 2 Q2 Q1 Amplitude X 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Q2 Q1 Amplitude Y Figura 5.4 Gráficos das amplitudes do primeiros harmónicos da cinemática directa (x e y) do robot 2R: q10 = q20 = 15π/36, φ = π/4.
5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.7 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.5 1 1.5 2 Q2 Q1 Amplitude X 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.71.3 1.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Q2 Q1 Amplitude Y Figura 5.5 Gráficos das amplitudes do primeiros harmónicos da cinemática directa (x e y) do robot 2R: q10 = q20 = 15π/36, φ = −π/4.
5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.8 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.5 1 1.5 2 Q2 Q1 Amplitude X 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Q2 Q1 Amplitude Y Figura 5.6 Gráficos das amplitudes do primeiros harmónicos da cinemática directa (x e y) do robot 2R: q10 = q20 = 15π/36, φ = π/2.
5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.9 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.5 1 1.5 2 Q2 Q1 Amplitude X 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.71.31.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Q2 Q1 Amplitude Y Figura 5.7 Gráficos das amplitudes do primeiros harmónicos da cinemática directa (x e y) do robot 2R: q10 = q20 = 15π/36, φ = −π/2.
5 Aplicação da função descritiva na análise cinemática e dinâmica de sistemas com robots rígidos e ideais 5.10 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.7 1.3 1.9 0 0.5 1 1.5 2 Q2 Q1 Amplitude X 0.1 0.6 1.1 1.6 0.1 0.71.3 1.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Q2 Q1 Amplitude Y Figura 5.8 Gráficos das amplitudes do primeiros harmónicos da cinemática directa (x e y) do robot 2R: q10 = q20 = 15π/36, φ = 3π/4.