Estudo da fendilhação em lajes restringidas, devida ao efeito conjunto da retração e das ações distribuídas no piso

ESTUDO DA FENDILHAÇÃO EM LAJES RESTRINGIDAS, DEVIDA AO EFEITO CONJUNTO DA RETRAÇÃO E DAS AÇÕES DISTRIBUÍDAS NO PISO JORGE FREIRE DE CARVALHO Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS Orientador: Professor Doutor Rui Manuel Carvalho Marques de Faria Coorientador: Professor Doutor Carlos Filipe Ferreira de Sousa JUNHO DE 2013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2012/2013 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Tel. +351-22-508 1901 Fax +351-22-508 1446  [email protected] Editado por FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua Dr. Roberto Frias 4200-465 PORTO Portugal Tel. +351-22-508 1400 Fax +351-22-508 1440  [email protected].pt  http://www.fe.up.pt Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja mencionado o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil - 2012/2013 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2013. As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto de vista do respetivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir. Este documento foi produzido a partir de versão eletrónica fornecida pelo respetivo Autor. À minha família “Nothing is our own except the few cubic centimetres inside your skull” George Orwell Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso i AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar expresso o meu apreço ao Professor Rui Faria, orientador científico da presente dissertação, pelo apoio, motivação e disponibilidade prestada ao longo da realização deste trabalho. A sua orientação e ensinamentos foram importantes não só para uma correta realização deste trabalho mas também para a minha vida futura profissional. Estou também grato ao Professor Carlos Sousa, co-orientador científico desta dissertação, pela ajuda prestada na análise dos modelos numéricos realizados e por todos os conhecimentos transmitidos bastante úteis ao longo da realização desta dissertação. Gostaria também de agradecer ao Professor Mário Pimentel e aos colegas do LABEST, em especial ao Luís Leitão, pela disponibilização do software e concelhos uteis de utilização do mesmo. A todos os meus amigos que me apoiaram e motivaram através da sua amizade para que a realização deste trabalho fosse bem sucedida. De diferentes formas a ajuda deles foi importante. Ao concluir este trabalho não poderia deixar de agradecer aos meus pais e á minha irmã por terem sido um exemplo durante toda a minha vida. Pelo apoio e dedicação que sempre me deram e por todas as possibilidades que me proporcionaram. Tornam-se poucas as palavras que traduzem o meu agradecimento. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso iii RESUMO No presente trabalho é elaborado o estudo da fendilhação em lajes maciças armadas numa direção, fortemente restringidas axialmente, pela existência de paredes ou núcleos de caixas de elevadores, tendo também em consideração o efeito das ações distribuídas no piso. Como essas lajes se encontram fortemente restringidas, as deformações impostas devidas à retração estão impedidas, originado um esforço axial de tração na laje, provocando assim o aparecimento de fendas. Deste modo, a laje encontra-se submetida a flexão composta com tração em situações de serviço. Com vista a perceber este fenómeno, inicialmente caracterizou-se o comportamento diferido do betão não fendilhado através dos fenómenos de retração e fluência, e a modelação do comportamento do betão fendilhado, através dos efeitos de tension softenning e tension stiffening, tendo em conta um modelo de múltiplas fendas fixas com decomposição de extensões, permitindo a combinação dos efeitos de fendilhação, retração, fluência e variações de temperatura. Numa fase seguinte, procedeu-se à análise de tirantes de betão armado com diferentes percentagens de armadura, sujeitos a: (i) uma deformação imposta externa, provocada por um assentamento de apoio horizontal; (ii) uma deformação imposta interna (retração). Com a análise destes tirantes, pretendia-se perceber qual a diferença, em termos de variação do esforço axial e abertura de fendas, devida ao tipo de deformação imposta (externa ou interna), e a importância que essa variação pode ter no dimensionamento de estruturas de betão armado. Com estas análises, pretendia-se também compreender e validar o procedimento empregue na análise não-linear. Posteriormente, foram estudadas lajes, com diferentes tipos de vãos, apoios estruturais e espessuras. O tipo de lajes em estudo, encontram-se fendilhadas em fase de serviço, não sendo possível estimar de modo simples o esforço axial instalado. Assim, começou-se por estimar a armadura necessária, usando procedimentos correntes de projeto, considerando dois valores limite para o esforço axial instalado: (i) esforço axial N=0; (ii) esforço axial N=Ncr. Numa última etapa, recorrendo a uma análise não linear, empregando o programa de cálculo DIANA, obteve-se o esforço axial verdadeiramente instalado na laje, valor esse que pode então ser usado na determinação da quantidade de armadura que garante o cumprimento do limite máximo para a abertura de fendas (sendo considerado, neste trabalho, uma limite de 0,3 mm). Concluiu-se que o esforço axial verdadeiramente instalado é bastante inferior ao esforço de fendilhação Ncr=Ac∙fctm, tendo sido possível obter valores indicativos, a usar em projeto, para o valor do esforço axial verdadeiramente instalado, em percentagem do esforço de fendilhação. Foi também avaliada a importância da dispensa de armaduras, em termos de comportamento em serviço, assim como a resistência ao esforço transverso destas lajes. PALAVRAS CHAVE: retração, deformação imposta, laje axialmente restringida, fendilhação, esforço axial. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso x ÍNDICE DE FIGURAS Fig. 2.1 − Componentes Ɛci(t0), Ɛcc(t) e Ɛcs(t) da deformação total de um elemento de betão sujeito a tensão constante. (Sousa, 2004) ......................................................................................................... 6 Fig. 2.2 − Modelo utilizado na caracterização do fenómeno de retração. ............................................. 8 Fig. 2.3 − Evolução da tensão no betão devido á retração com o tempo.............................................. 9 Fig. 2.4 − Evolução da extensão de retração do betão com o tempo ................................................. 10 Fig. 2.5 − Modelo usado na caracterização da fluência. .................................................................... 11 Fig. 2.6 –Tensão constante instalada no betão. ................................................................................ 11 Fig. 2.7 − Evolução da Fluência do betão com o tempo. .................................................................... 12 Fig. 2.8 − Evolução da retração para Aging 3 dia Curage 5 dias ........................................................ 14 Fig. 2.9 − Evolução da retração para Aging 14 dias Curage 0 dias. ................................................... 14 Fig. 2.10 − Modelos de tension cut-off implementados no programa. (DIANA, 2012) ......................... 16 Fig. 2.11 − Diagrama de retenção de tensões de tração no betão simples (Sousa, 2004). ................. 17 Fig. 2.12 − Diagrama de retenção de tração no betão simples considerado pelo software. ................ 18 Fig. 2.13 − Determinação da área de betão efetivo: a) vigas; b) lajes; c) elementos em tração. (CEBFIP, 1991) ......................................................................................................................................... 19 Fig. 2.14 − Diagrama de retenção de tensões de tração em elementos de betão armado. (Sousa, 2004) ................................................................................................................................................ 19 Fig. 2.15 – Diagrama tensão-extensão para um tirante tracionado (Sousa, 2004). ............................. 21 Fig. 2.16 – Diagrama tensão-extensão considerado para a armadura no presente estudo. ................ 22 Fig. 2.17 – Diagrama, ilustrativo, de retenção de tensões de tração em elementos de betão armado fornecido ao software. ....................................................................................................................... 22 Fig. 3.1 − Modelo tipo utilizado para os tirantes de betão armado...................................................... 26 Fig. 3.2 – Esquema ilustrativo da integração usado no modelo.......................................................... 27 Fig. 3.3 − Variação da resistência a tração ao longo dos elementos finitos. ....................................... 28 Fig. 3.4 − Modelo utilizado na análise de um tirante com deformação imposta externa. ..................... 29 Fig. 3.5 − Evolução do incremento da deformação imposta externa ao longo do tempo..................... 29 Fig. 3.6 − Variação do esforço axial para tirantes com deformação imposta externa com diferentes percentagens de armadura. .............................................................................................................. 30 Fig. 3.7 − Abertura de fendas para um tirante com deformação imposta externa com percentagem de armadura de 0.85 %. ........................................................................................................................ 32 Fig. 3.8 − Abertura de fendas para um tirante com deformação imposta externa com percentagem de armadura de 1.68 %. ........................................................................................................................ 33 Fig. 3.9 – Esquema representativo da combinação de efeitos num tirante sujeito a deformação imposta interna. ................................................................................................................................ 34 Fig. 3.10 − Variação do esforço axial para tirantes com uma deformação imposta interna com diferentes percentagens de armadura. .............................................................................................. 35 Fig. 3.11 − Representação, simplificada, das tensões médias na armadura em estado fendilhado (esquerda) e não fendilhado (direita). ................................................................................................ 35 Fig. 3.12 − Representação, simplificada, das tensões médias no betão em estado fendilhado (esquerda) e não fendilhado (direita). ................................................................................................ 36 Fig. 3.13 − Variação, ilustrativa, da tensão no betão devido ao fenómeno de retração....................... 36 Fig. 3.14 – Variação da tensão no betão ao longo do 1º elemento fissurado (t=363 dias, εcs=-0,277 ‰) .................................................................................................................................................... 38 Fig. 3.15 – Variação da tensão na armadura ao longo do 1º elemento fissurado (t=363 dias, εcs=- 0,277 ‰) .......................................................................................................................................... 38 Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso xi Fig. 3.16 − Abertura de fendas para um tirante sujeito a uma deformação imposta interna com percentagem de armadura de 0.85 %................................................................................................39 Fig. 3.17 − Abertura de fendas para um tirante sujeito a uma deformação imposta interna com percentagem de armadura de 1.68 %................................................................................................39 Fig. 4.1 − Variação do esforço axial considerando diferentes tamanhos de elementos finitos. ...........45 Fig. 4.2 − Variação da abertura de fendas a meio vão considerando diferentes tamanhos de elementos finitos. ..............................................................................................................................45 Fig. 4.3 − Laje com armadura estritamente necessária pra cumprir ELU e ELS com N=0. .................48 Fig. 4.4 – Equilíbrio usado para estimar armadura em flexão composta com tração numa seção generalizada. ....................................................................................................................................50 Fig. 4.5 – Armadura superior e inferior necessária para garantir wk< 0.3 mm em 3 seções transversais, com N=Ncr. ...................................................................................................................51 Fig. 4.6 − Esforço axial realmente instalado para uma estimativa de armadura com N=Ncr e N=NDIANA .........................................................................................................................................................57 Fig. 4.7 − Momento flector no apoio realmente instalado na laje para uma estimativa de armadura com N=Ncr e N=NDIANA ......................................................................................................................58 Fig. 4.8 – Padrão de fendilhação para um instante de tempo igual a meio ano. .................................58 Fig. 4.9 − Padrão de fendilhação para um instante de tempo igual a 1 ano. .......................................58 Fig. 4.10 − Padrão de fendilhação para um instante de tempo igual a 3 anos. ...................................58 Fig. 4.11 – Padrão de fendilhação para um instante de tempo igual a 5 anos. ...................................59 Fig. 4.12 − Dispensa de armadura na laje com um esquema estrutural de vão interior com N=NDIANA. .........................................................................................................................................................60 Fig. 4.13 − Dispensa de armadura na laje com esquema estrutural de vão exterior com N=NDIANA. ....60 Fig. 4.14 – Padrão de fendilhação para um vão interior num instante de tempo igual a 50 anos: a) antes da dispensa; b) após a dispensa. .............................................................................................61 Fig. 4.15 − Padrão de fendilhação para um vão exterior num instante de tempo igual a 50 anos: a) antes da dispensa; b) após a dispensa. .............................................................................................61 Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso xii ÍNDICE DE TABELAS Tabela 2.1 − Características dos materiais do modelo......................................................................... 9 Tabela 2.2 − Valores de β e τbk de acordo com MC90. (CEB-FIP, 1991) Erro! Marcador não definido. Tabela 3.1 – Propriedades dos materiais considerados. .................................................................... 26 Tabela 3.2 − Percentagens de armadura utilizadas. .......................................................................... 27 Tabela 3.3 – Comparação entre o esforço axial de fendilhação sem recorrer a uma análise não linear com o obtido pelo software para um tirante com deformação imposta interna. ................................... 37 Tabela 4.1 − Propriedades dos materiais utilizados na modelação da laje. ........................................ 43 Tabela 4.2 − Espessuras consideradas para um sistema estrutural de vão interior. ........................... 47 Tabela 4.3 – Iterações para obtenção de um critério de deformação para um sistema estrutural de vão exterior. ............................................................................................................................................ 47 Tabela 4.4 − Espessuras consideradas para um esquema estrutural de vão exterior. ....................... 47 Tabela 4.5 − Armadura estritamente necessária para cumprir ELU e ELS com N=0 .......................... 48 Tabela 4.6 − Abertura de fendas e tensão na armadura na seção da fenda para flexão simples. ....... 49 Tabela 4.7 − Armadura necessária para cumprir abertura de fendas em flexão composta com tração, com N=Ncr ........................................................................................................................................ 51 Tabela 4.8 − Abertura de fendas, tensões na armadura e deformações (N=Ncr) ................................ 51 Tabela 4.9 – Comparação do esforço axial usado no cálculo e o realmente instalado na laje. ........... 52 Tabela 4.10 − Estimativa de armaduras para esquema estrutura de vão interior com N=Ncr .............. 52 Tabela 4.11 − Estimativa de armaduras para esquema estrutura de vão exterior com N=Ncr ............. 52 Tabela 4.12 − Abertura de fendas, tensão na armadura e deformação para o esquema estrutura de vão interior (N=Ncr)............................................................................................................................ 53 Tabela 4.13 − Abertura de fendas, tensão na armadura e deformação para o esquema estrutura de vão exterior. (N=Ncr).......................................................................................................................... 53 Tabela 4.14 − Comparação do esforço axial usado no cálculo e o realmente instalado na laje para um vão interior. ....................................................................................................................................... 53 Tabela 4.15 − Comparação do esforço axial usado no cálculo e o realmente instalado na laje para um vão exterior. ...................................................................................................................................... 54 Tabela 4.16 − Armadura resultante do cálculo segundo uma análise não linear para o sistema estrutural de vão interior. (N=NDIANA) ................................................................................................. 55 Tabela 4.17 − Armadura resultante do cálculo segundo uma análise não linear para o sistema estrutural de vão exterior. (N=NDIANA) ................................................................................................ 55 Tabela 4.18 − Abertura de fendas, tensões no aço e deformações para um esquema estrutura de vão interno com N=Nreal. .......................................................................................................................... 55 Tabela 4.19 − Abertura de fendas, tensões no aço e deformações para um esquema estrutura de vão extremo com N=Nreal. ........................................................................................................................ 56 Tabela 4.20 − Esforço axial para um sistema estrutural de vão interior .............................................. 56 Tabela 4.21 − Esforço axial para um sistema estrutural de vão interior .............................................. 57 Tabela 4.22 – Comparação entre esforço transverso resistente e actuante. ...................................... 62 Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso xiii SÍMBOLOS E ABREVIATURAS Para clareza de exposição no texto proceder-se-á à descrição de cada símbolo e abreviatura, simultaneamente com a sua primeira utilização. A seguinte lista é apresentada por ordem alfabética. SÍMBOLOS ∆L (t) Deslocamento horizontal num determinado tempo ∆L Deformação externa aplicada µ Valor reduzido do momento fletor A Variável auxiliar de cálculo da força de tração axial superior e inferior Ac Área da seção transversal de betão Ac,ef Área da seção efetiva de betão tracionado que envolve as armaduras tracionadas As Área transversal da armadura B Variável auxiliar de cálculo da força de tração axial superior e inferior d Altura útil dada pela distância entre o centro de gravidade das armaduras e o bordo da secção e Excentricidade do esforço axial dado por N/M Ɛ*2 Extensão de cálculo associada ao diagrama tensão-extensão da metodologia ‘tension stiffening’ Ɛ*3 Extensão de cálculo associado ao diagrama tensão-extensão da metodologia ‘tension stiffening’ Ec Módulo de elasticidade do betão Ɛc(t) Deformação total de um elemento de betão no instante t Ec,adj Módulo de elasticidade efetivo ajustado do betão Ɛcc (t) Deformação de fluência num instante t Eci (t0) Módulo de elasticidade tangente na origem do diagrama tensão-deformação do betão Eci Módulo de elasticidade tangente na origem, para uma idade de carregamento igual a 28 dias Ɛci(t0) Deformação instantânea do betão Ecm Módulo de elasticidade médio do betão Ɛcs (t,t0) Deformação total de retração do betão no instante t Ɛcs0 Coeficiente de retração nominal do betão ƐcT(t) Deformação térmica, dada pelo produto da variação de temperatura pelo coeficiente de dilatação térmica Ɛct(t) Deformação total de um elemento de betão Ɛm Extensão média no tirante de betão armado tracionado igual a ∆L(t)/L emax Excentricidade máxima do esforço axial dado por d-(h/2) Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso xiv Es Módulo de cedência do aço Ɛs(fcm) Extensão dependente do tipo de betão Ɛsy Extensão de cedência do aço Ɛts Extensão de cálculo associada ao diagrama tensão-extensão associada ao diagrama de efeito ‘softening’ fck Valor característico da resistência do betão á compressão em provetes cilíndricos fcm Valor médio da resistência á compressão no betão aos 28 dias fct Resistência á tração do betão fctm Resistência média á tração do betão Finf. Força axial de tração na armadura inferior Fsup. Força axial de tração na armadura superior fsy tensão de cedência na armadura fsy’ tensão de cedência fictícia na armadura fyk Valor característico da tensão de cedência á tração do aço das armaduras de betão armado Gf Energia de fratura do material gf Área do gráfico que define o efeito de ‘tension softening’ Gk Valor característico da ação permanente h Altura total da secção de betão hb Banda de fendilhação, dependente do tamanho do elemento finito hc,eff Altura de betão envolvente da armadura que efetivamente contribui para determinar o valor de Ac,eff heq Espessura equivalente do elemento de betão, dada pela razão entre o dobro da área do elemento de betão e o perímetro do mesmo em contacto com atmosfera L Comprimento do tirante l vão da laje em estudo L,elm Comprimento do elemento finito lks,max Comprimento máximo ao longo do qual ocorre deslizamento entre o aço e o betão, calculado com base no valor relativo ao quantil inferior da tensão de aderência M Momento fletor N Esforço axial Ncr Esforço axial que provoca a fendilhação num tirante de betão armado NDIANA Esforço axial realmente instalado obtido através de uma análise não linear recorrendo ao programa de cálculo usado (DIANA) Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso xv Nreal Esforço axial realmente instalado obtido através de uma análise não linear recorrendo ao programa de cálculo usado (DIANA) P Efeito das ações Qk Valor característico de uma ação variável isolada RH Humidade relativa s Coeficiente que depende do tipo de cimento t Idade do betão t0 Idade do betão á data da aplicação da tensão tdiana Idade do betão desde o final da cura treal Idade do betão desde a betonagem ts Idade do betão no início da retração u Perímetro do betão exposto á atmosfera wk Abertura de fendas wmax Valor limite para a abertura de fendas αe Razão entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de elasticidade do betão βRH Coeficiente que depende da humidade relativa βs Coeficiente que exprime o desenvolvimento da retração com o tempo βsc Coeficiente que depende do tipo de cimento βt Parâmetro que depende da duração da carga γ Peso volúmico do betão εcr Extensão de fendilhação ν Coeficiente de Poisson ρs Percentagem de armadura ρsef Percentagem efetiva de armadura dada por As/Ac,ef σc Tensão no betão σs,cedência Tensão de cedência da armadura σs,fenda Tensão na armadura na seção da fenda σs,média Tensão média na armadura σs2 Tensão na armadura calculada em seção totalmente fendilhada σsE Tensão da armadura no ponto de deslizamento nulo τbk Tensão de aderência média ao longo do comprimento de deslizamento entre aço e betão relativo ao quantil inferior φ(t,t0) Coeficiente de fluência ϕs Diâmetro do varão Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso xvi χ Coeficiente de envelhecimento do betão ψ0 Coeficiente para a determinação do valor de combinação de uma ação variável ψ1 Coeficiente para a determinação do valor frequente de uma ação variável ψ2 Coeficiente para a determinação do valor quase permanente de uma ação variável ABREVIATURAS B.A Betão Armado C.A. Cálculos Analíticos c.q.p. combinação quase permanente EC2 Eurocódigo 2 ELS Estado Limite de Serviço ELU Estado Limite Ultimo inf. inferior MC90 CEB-FIP Model Code 1990 MEF Método de Elementos Finitos NR Normal and Rapid hardening cements REBAP Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-esforçado RS Rapid hardening high Strengh cements RSA Regulamento de Segurança e Ações para estruturas de edifícios e pontes SL Slowly hardening cements sup. superior Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 1 1 INTRODUÇÃO 1.1. ENQUADRAMENTO DO TEMA E OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO A fendilhação é um fenómeno quase inevitável em estruturas de betão armado, devido essencialmente à baixa resistência à tração do betão. Como tal, deve ser encarado como um fenómeno natural numa estrutura de betão sendo o seu controlo um dos requisitos que o projetista deve respeitar. O controlo de fendilhação baseia-se no controlo da abertura de fendas que, dependendo do tipo de estrutura e seu ambiente envolvente, contribui de maneira decisiva para a funcionalidade, durabilidade e aspeto estético, isto é, para a qualidade estrutural. O controlo de abertura de fendas implica uma correta quantificação e distribuição de armadura por parte do projetista para evitar/prevenir anomalias como por exemplo a corrosão de armaduras. Este fenómeno não é independente e deve ser analisado conjuntamente com o controlo de tensões e deformações na estrutura. Neste trabalho será estudado o comportamento em fase fendilhada tendo sempre em consideração as deformações da estrutura em análise. A origem da fissuração está normalmente associada ao efeito das deformações impostas, como por exemplo a própria retração do betão, a variação de temperatura e os assentamentos diferenciais. Estas ações podem não provocar o colapso da estrutura mas são responsáveis pelo seu incorreto comportamento em serviço da estrutura. Ao serem restringidas, isto é, ao haver um impedimento do movimento livre, pelas condições de apoio ou de ligação a outros elementos estruturais, estas deformações impostas geram esforços de tração significativos que, ao atingirem valores da resistência à tração do betão, resultam no aparecimento de fendas. A presente dissertação aborda o efeito das deformações impostas no comportamento de estruturas laminares de betão armado (lajes) fortemente restringidas, em conjunto com ações verticais distribuídas no piso, incidindo no estudo da retração e da fendilhação através do controlo da abertura de fendas. Este efeito conjunto é claramente visível em pisos estruturais de obras enterradas, como por exemplo, caves de edifícios e parques de estacionamento, que estão submetidos à restrição que as paredes de contenção laterais e núcleos de rigidez oferecem à livre contração da laje por efeito da retração e das variações de temperatura, e a cargas verticais provocadas pela movimentação de veículos. Nestas condições, a laje em situações de serviço encontra-se submetida a flexão composta Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 2 com tração. Como nessas situações de serviço as lajes estão fendilhadas, o seu comportamento deverá ser estudado recorrendo a uma análise não-linear. No presente estudo essa análise não-linear em fase de serviço é realizada tendo em conta os efeitos de fluência e retração, e simulando a fendilhação através de modelos de fendilhação distribuída. Para a análise do comportamento destas estruturas laminares recorreu-se a simulações numéricas através de um programa de cálculo baseado no Método de Elementos Finitos (MEF) vocacionado para análises não-lineares e diferidas em estruturas de betão armado. O software utilizado é o DIANA que foi desenvolvido na Holanda pela empresa T.N.O. com a colaboração da Universidade de Delft. A utilização deste software permitiu simular o processo de fissuração do betão em tração, a interação do betão entre fendas com as armaduras (efeito ‘tension stiffening’) e incluir os efeitos de retração e fluência do betão (essenciais para este tipo de analises a longo prazo). A obtenção de resultados fiáveis e realistas só é possível com uma correta caracterização dos modelos constitutivos dos materiais, das ações e das condições de apoio. Contudo, os regulamentos de projeto para betão armado garantem o controlo de fendilhação impondo quantidades de armadura, que de um modo geral, são superiores às efetivamente necessárias. Este facto resulta da falta de informação sobre a influência do efeito do grau de restrição na estrutura e sob o real efeito das deformações impostas. Exemplo disto é a quantificação da armadura mínima por parte do Eurocódigo 2 Parte 1-1 (EN 1992-1-1) no subcapítulo 7.3.2. (CEN, 2010). O objetivo final deste estudo é a apresentação de indicações práticas que auxiliem os projetistas a determinar a armadura efetivamente necessária para controlar a abertura de fendas nas lajes restringidas axialmente. Esta armadura deverá estar compreendida entre a armadura estritamente necessária para fazer face, em estado limite ultimo de resistência, á atuação do momento flector devido às cargas aplicadas (caso de lajes não restringidas axialmente, N=0kN) e a armadura que corresponde á armadura mínima para controlo de fendilhação de um tirante totalmente restringido considerando o esforço axial igual ao esforço de fendilhação N=Ncr (condição de armadura mínima do subcapítulo 7.3.2. do Eurocódigo 2 Parte 1-1 (EN 1992-1-1) (CEN, 2010). Para que esse objetivo seja cumprido terá de ser dado ao projectista a quantificação do esforço axial que fica efetivamente instalado na laje, e resultado do impedimento às deformações, esforço esse que deve ser usado para quantificação da abertura de fendas de um modo mais realista. O presente estudo incide em lajes maciças, fortemente restringidas no contorno, com funcionamento unidireccional para uma gama de vãos correntes (5,5 metros a 8,5 metros).Para além do vão também é feita a variação da espessura e do esquema estrutural. 1.2. ORGANIZAÇÃO EM CAPÍTULOS O presente trabalho está dividido em 5 capítulos, sendo o primeiro uma Introdução onde se pretende reportar ao leitor uma visão geral do tema apresentado no trabalho e seus objetivos. No capítulo 2 é apresentado o comportamento do betão não fendilhado através dos fenómenos de fluência e retração recorrendo a pequenos exemplos elaborados através do programa de cálculo DIANA. Também são apresentados os modelos constitutivos do betão fendilhado de acordo com o efeito de tension softening e tension stiffening e ainda a modelação da fendilhação através do modelo de múltiplas fendas com decomposição de extensões permitindo a combinação com efeitos não lineares como a retração e a fluência. No final deste capítulo apresentam-se considerações finais acerca dos temas desenvolvidos no mesmo. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 3 No capítulo 3 apresenta-se a análise de tirantes com diferentes percentagens de armaduras sujeitos a deformações impostas externa e interna. Para cada um dos tipos de deformações é analisado a variação do esforço axial e a abertura de fendas, com recurso ao programa de cálculo automático baseado no MEF usado neste trabalho. São apresentadas as características das estruturas e do modelo adoptado na simulação numérica, assim como as propriedades dos materiais, geometrias e condições de apoios adoptadas. Também se refere a importância da malha de elementos finitos neste tipo de tirantes sujeitos exclusivamente a deformações impostas e o seu esquema de integração. No final do capítulo são retiradas conclusões importantes a reter para o leitor. No capítulo 4 é apresentado o estudo de lajes sob a ação de cargas verticais com impedimento das deformações por retração. Nesse capítulo apresenta-se os critérios adotados para a variação de vão, espessura e apoios estruturais considerados para este tipo de laje. Seguidamente apresenta-se a estimativa de armadura tendo em conta metodologia correntes dimensionamento considerando N=0, depois recorrendo a flexão composta com tração estima-se a armadura com N=Ncr e por fim tomando em consideração uma análise não-linear, com recurso ao programa de calculo, obteve-se o esforço axial verdadeiramente instalado na laje. Neste capítulo são retiradas conclusões importantes para a correta quantificação da armadura neste tipo de laje. Por fim no capítulo 5 é apresentada uma síntese do trabalho realizado, salientando as conclusões mais importantes, sendo sugeridos alguns desenvolvimentos futuros no seguimento do presente trabalho. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 10 Fig. 2.4 − Evolução da extensão de retração do betão com o tempo Foi considerado uma escala de tempo até aos dez mil dias por ser suficiente para a caracterização da curva de retração, visto que a partir de determinado tempo (aproximadamente 5 anos) esta se mantém praticamente constante.Com o desenvolvimento da retração observa-se que este fenómeno não linear provoca tensões de tração no betão. 2.2.3. FLUÊNCIA A fluência define-se como sendo uma deformação adicional à deformação elástica instantânea que ocorre num elemento de betão quando este se encontra sujeito a um estado de tensão constante (Leitão L. , 2011). É geralmente aceite que a fluência do betão é devida, exclusivamente, à fluência da pasta de cimento hidratado, uma vez que os agregados de densidade normal apresentam fluência desprezável. A fluência da pasta de cimento hidratado é condicionada, principalmente, pela água contida na pasta. Para além dos movimentos de água (dependentes do estado de tensão) no sistema poroso da pasta, ocorrem processos de deslizamento e compactação. A alteração do conteúdo de humidade na pasta provocado, por exemplo, pela secagem, acelera este processo (Sousa, 2004). Como a presente dissertação envolve o estudo dos efeitos da retração nas estruturas de betão armado, principalmente em lajes, ação diferida que envolve longos períodos de tempo para se desenvolver na sua globalidade, revela-se essencial modelar corretamente o fenómeno da fluência. Neste trabalho usase a lei de fluência preconizada pelo MC90 (que se revela praticamente idêntica à forma de estimar a fluência sugerida pelo EC2). Convém referir que as normas existentes que permitem definir a fluência são baseadas na idealização que o betão se encontra sobre a influência de tensões de compressão, pois muitas vezes, é conhecida só a classe de resistência na altura em que estão a ser realizados os cálculos. Assim, a sua aplicabilidade a análises que lidem com tensões de tração, tal como é o caso do presente estudo, deve ser feita com alguma reserva. No entanto considera-se, que de uma forma global, o comportamento do betão em termos de fluência consegue ser bem simulado pela aplicação do predisposto no MC90.No caso de solicitações de longa duração, a fluência altera significativamente a resposta da estrutura, devendo ser devidamente contabilizada pelos projetistas. Por este motivo, -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 00 2000 4000 6000 8000 10000 12000 εcs (‰) Tempo (dias) Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 11 convém realçar alguns dos fatores de que depende a fluência: a idade do carregamento, o período do carregamento, a humidade relativa do ambiente, a temperatura relativa do ambiente, a composição do betão, a consistência do betão e a forma da secção (Leitão L. , 2011). Como o exposto para a retração, procedeu-se à análise de um pequeno modelo para a compreensão do fenómeno de fluência e como varia ao longo do tempo. Neste modelo as características das materiais mantêm-se de acordo com a Tabela 2.1. Porém o esquema estrutural altera-se para apenas um elemento de betão com 3 nós onde um dos nós de extremidade se encontra impedido de rotações e translações em qualquer direção, como apresentado na Fig. 2.5. Não foram considerados elementos de armadura, o fenómeno de retração e fendilhação nem cargas verticais. Somente foi considerado uma pequena força horizontal no nó de extremidade para implementação de um estado de tensão constante no elemento. Esta força foi estimada para que as tensões no betão fossem de 1 MPa, tal como mostra o gráfico da Fig. 2.6.A evolução do fenómeno de fluência é ilustrado pelo gráfico da Fig. 2.7. Fig. 2.5 − Modelo usado na caracterização da fluência. Fig. 2.6 –Tensão constante instalada no betão. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Tensão (MPA) Tempo (dias) Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 12 Fig. 2.7 − Evolução da Fluência do betão com o tempo. Como apresentado na Fig. 2.7 verifica-se que a extensão para o elemento de betão é dada pelas equações (2.6) e (2.7). (2.6) isto é, (2.7) em que , Ɛc(t) deformação de um elemento de betão; Ɛci(t0) deformação instantânea (inicial); Ɛcc (t) deformação por fluência; σc (t0) tensão constante aplicada ao betão; Eci (t0) módulo de elasticidade tangente na origem do diagrama tensão-deformação do betão; Eci módulo de elasticidade tangente na origem, para uma idade de carregamento igual a 28 dias; φ(t,t0) coeficiente de fluência (podendo ser estimado de acordo com o MC90) t0 idade do betão à data da aplicação da tensão. )()()( 0ttt cccic   ),( )( )( )( )( 0 0 0 0tt E t tE t t ci c ci c c     Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 13 Segundo o Model Code 1990 o módulo de elasticidade tangente na origem do diagrama tensãodeformação do betão é dado pela equação (2.8). (2.8) Onde o módulo de elasticidade tangente na origem para idade de carregamento igual a 28 dias é dado pela equação (2.9). (2.9) O coeficiente βcc(t) depende da idade do betão e é estimado segundo o MC90 pela equação (2.10). (2.10) Onde, s coeficiente que depende do tipo de cimento: s = 0.20 para cimento RS, 0.25 para cimento NR e 0.38 para cimento SL. Pela observação da Fig. 2.6 a tensão no betão aparece junta ao eixo das ordenadas, ou seja, para um tt0 igual a zero dias. Este facto acontece porque neste exemplo, temos uma ação muito pequena a provocar tensões e logo no primeiro incremento de tempo sem a consideração da retração. De acordo com a Fig. 2.7, depois de uma deformação inicial a deformação por fluência tem uma variação não linear e a partir de uma determinado tempo torna-se praticamente constante. Neste exemplo a extensão de fluência apresenta valores muito baixos pois o estado de tensão instalado é muito pequeno. 2.2.4. CURAGE E AGING Curage e Aging são dois conceitos associados ao software utilizado (DIANA) relativos ao modelo de retração e fluência. A compreensão destes dois conceitos é fundamental para a modelação posterior de tirantes e lajes. Entende-se por Curage como sendo a idade (dias) do elemento no final da cura e Aging a idade do betão (dias) no início da análise. Para melhor se perceber a sua definição e diferença foram realizados 2 modelos com diferentes valores para as variáveis. Estes exemplos têm por base as características dos materiais e o modelo apresentado em 2.2.2 do presente capítulo. ciccci EttE  )()(               8 1 4 10 1015.2 cm ci f E                 t st cc 28 1exp)(  Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 14 Os resultados obtidos são representados na Fig. 2.8 e na Fig. 2.9. Fig. 2.8 − Evolução da retração para Aging 3 dia Curage 5 dias Fig. 2.9 − Evolução da retração para Aging 14 dias Curage 0 dias. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 15 2.3. COMPORTAMENTO DO BETÃO FENDILHADO 2.3.1. MODELOS DE FENDILHAÇÃO De acordo com a modelação de elementos finitos têm sido adotados dois tipos de modelos de fendilhação: o modelo de fenda discreta e o modelo de fenda distribuída. Nos modelos de fenda discreta, esta é modelada através da separação dos nós pertencentes aos elementos adjacentes, introduzindo-se uma descontinuidade na respetiva interface. Este tipo de modelo torna-se mais apropriado para problemas com poucas fendas e onde a sua localização pode ser prevista antes da análise (Sousa, 2004) (Leitão L. , 2011). Por outro lado, no modelo de fenda distribuída, o material fendilhado é considerado como um meio contínuo, mantendo-se a continuidade da geometria e do campo de deslocamentos da malha. O efeito de fendilhação é considerado através de uma modificação da lei tensão-extensão, inicialmente isotrópica substituída por uma relação tensão-extensão ortotrópica. Estes modelos são mais adequados para a análise de problemas caracterizados pela ocorrência de padrões de fendilhação difusa, podendo também ser utilizados na análise de problemas com fratura de tipo localizado (Sousa, 2004). Dentro do conceito de fenda distribuída, distinguem-se ainda dois tipos de modelos: modelos de fenda fixa e os modelos de fendas rodadas. Nos modelos de fendas fixas a direção normal à fenda permanece inalterada após a sua formação. Nos modelos de fendas rodadas a normal à fenda pode rodar durante o processo de fratura do material (mantendo-se a co-axialidade com os eixos principais de deformação ou com os eixos principais de tensão) (Sousa, 2004). No sentido de representar com um maior grau de aproximação as leis constitutivas que definem a evolução da fenda e tendo em conta o conceito de fenda distribuída revela-se fundamental uma correta interpretação das extensões na zona de fratura. Por este motivo, os modelos de fendilhação distribuída apresentam uma decomposição da extensão média em duas extensões distintas, tal como demostram as equações (2.11) e (2.12): uma devido aos efeitos elásticos correspondentes ao betão existente entre as microfissuras (εe) e outra correspondente à própria fissura (εcr),denominado na nomenclatura inglesa de ‘tensile crack strain’. (2.11) Então, (2.12) Em que σc é a tensão de tração no betão. No presente trabalho optou-se por um modelo de fendilhação distribuída que tem a possibilidade de formação de múltiplas fendas fixas com decomposição de extensões denominado na nomenclatura inglesa como ‘multi-directional fixed crack’ devido essencialmente á sua grande vantagem de combinação do efeito da fendilhação com efeitos não-lineares do betão, como a retração e a fluência. De referir ainda a possibilidade da existência de mais do que uma fenda aberta simultaneamente num dado ponto de integração. Este facto resulta de: após a formação de uma fenda, quando é usado um crem   cm c mcr E    Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 16 modelo de retenção de tensões de tração entre fendas, o valor da tensão normal retida e o valor da tensão de corte instalada na fenda podem originar uma rotação dos eixos principais de tensão e o surgimento de uma tensão principal de tração tal que justifique a formação de uma nova fenda com orientação diferente da primeira. Forma-se uma nova fenda assim que é atingido o critério limite da relação entre os valores das tensões principais, designado na nomenclatura inglesa por tension cut-off criteria (Sousa, 2004).Na Fig. 2.10 encontra-se ilustrado as duas formulações para tension cut-off disponíveis no software. Em todos os modelos analisados no presente estudo utilizou-se o critério de tension cut-off constante. Fig. 2.10 − Modelos de tension cut-off implementados no programa. (DIANA, 2012) 2.3.2. DEFINIÇÃO DO DIAGRAMA DE RETENÇÃO DE TENSÕES DE TRAÇÃO NO BETÃO SIMPLES,’TENSION SOFTENING’. O betão, mesmo após fissurar, apresenta alguma capacidade de retenção de tensões de tração. O efeito de amaciamento ou ‘tension softening’ ocorre numa área que se encontra afastada dos varões, caracterizada somente por betão simples. O efeito de ‘tension softening’ é representado por um diagrama tensão-extensão descendente após fendilhação, sendo a área delimitada pelo diagrama e o eixo das extensões correspondente á relação Gf/hb (energia de fratura do betão) (Leitão, Faria, Azenha, & Sousa, 2012). Gf é uma propriedade do material correspondente à quantidade de energia necessária para formar uma fenda, numa superfície com área unitária. O valor da energia de fratura não depende da banda de largura hb. A banda de largura hb está relacionada com a configuração da malha de elementos finitos, para que os resultados da análise não dependam da discretização usada. Note-se que Gf pode ser estimado de acordo com o MC90 e depende essencialmente do tipo de inertes utilizados no fabrico do betão. No presente trabalho considera-se uma forma linear para o diagrama de retenção de tensões de tração no betão simples, tendo como principal vantagem a sua simplicidade e porque no presente trabalho analisam-se estruturas de betão armado pouco sensíveis ao efeito de ‘tension softening’. O diagrama que representa o efeito softening deverá ter uma área gf=Gf/hb tal como é definido na Fig. 2.11.O parâmetro εts, que define o ramo descente da curva ilustrada na Fig. 2.11 é obtido pela equação (2.13). Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 17 Fig. 2.11 − Diagrama de retenção de tensões de tração no betão simples (Sousa, 2004). (2.13) em que : Ɛts extensão de cálculo associada ao diagrama tensão-extensão do efeito softening; Gf energia de fratura do material; hb banda de fendilhação, dependente do tamanho do elemento finito; fct resistência à tração; gf área que define o gráfico que traduz o efeito de ‘tension softening’. A definição deste ramo descendente do diagrama permite que a solução não dependa da malha de elementos finitos. A definição de hb, de acordo com a malha de elementos finitos, serve somente para que exista uma correta dissipação da energia de fratura. Se tal não acontecesse os resultados ficavam dependentes do refinamento da malha e não do material utilizado. Podemos dizer então que introduzimos dados em função da malha para que os resultados obtidos não dependam desta (Leitão L. , 2011). Os diagramas fornecidos ao DIANA são a relação tensão-extensão de fendilhação. Deste modo, em termos de ‘tension softening’ o seu diagrama é o representado na Fig. 2.11 e o considerado pelo software é o representado na Fig. 2.12. ctb f ts fh G   2  Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 18 Fig. 2.12 − Diagrama de retenção de tração no betão simples considerado pelo software. Neste caso basta fornecer ao programa Gf (energia de fratura) e hb (banda de fendilhação) e o comportamento do betão simples é modelado como se verifica na Fig. 2.12 sem qualquer préprocessamento. 2.3.3. RETENÇÃO DE TENSÕES DE TRAÇÃO NO BETÃO ARMADO,’TENSION STIFFENNING’ O ‘tension stiffenning’ permite traduzir o efeito que o betão entre fendas provoca na rigidez dos elementos de betão armado através da retenção de tensões de tração após fendilhar. Nesses elementos de betão armado a retenção de tensões de tração é superior, ao que acorre no betão simples, devido à transferência de tensões entre os materiais associada à sua aderência. Deste modo confere ao elemento um aumento de rigidez adicional. O efeito de tension stiffening só deve ser considerado na zona efetiva de betão que envolve a armadura tracionada, tal como definido na Fig. 2.13 em que : h altura total da secção; d altura útil dada pela distância entre o centro de gravidade das armaduras e o bordo da secção; x profundidade do eixo neutro; ϕ diâmetro do varão; t espessura; c recobrimento. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 19 Fig. 2.13 − Determinação da área de betão efetivo: a) vigas; b) lajes; c) elementos em tração. (CEB-FIP, 1991) Esta abordagem é adequada quando a armadura é modelada através de elementos embebidos no betão. Quando recorremos à modelação baseada no efeito de ‘tension sitffening’, assente em parâmetros médios, é possível obter resultados bastante próximos da realidade, quer durante a fase de formação de fendas, quer na definição da rigidez do elemento após a fendilhação estabilizar. Na presente dissertação, o efeito de ‘tension stiffening’ é modelado de acordo com o diagrama da Fig. 2.14. Fig. 2.14 − Diagrama de retenção de tensões de tração em elementos de betão armado. (Sousa, 2004) Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 26 capitulo considerou-se as propriedades geométricas e materiais iguais àquelas que foram consideradas por (Luís, 2005).Este autor analisou também, na sua dissertação de mestrado, o comportamento de tirantes de betão armado sujeitos a deformações impostas impedidas, usando diferentes procedimentos de análise. Deste modo podem ser comparados os resultados obtidos através das duas estratégias. De referir que em todas as simulações efetuadas no presente capítulo utilizou-se o programa de cálculo DIANA. 3.2. CARACTERIZAÇÃO DAS ESTRUTURAS EM ANÁLISE E DO MODELO ADOTADO Neste capítulo, o modelo adotado é comum aos dois tirantes de betão armado mudando apenas o tipo de deformação imposta. Não foi considerado qualquer peso próprio para não introduzir nenhum tipo de flexão. 3.2.1 MATERIAIS, GEOMETRIA E CONDIÇÕES DE APOIO O modelo é caraterizado por um tirante constituído por betão armado, bi-encastrado para que as deformações estejam completamente restringidas, uma espessura de 0.24 m, um vão de 7 m e um aço S500, tal como mostra a Fig. 3.1 e a Tabela 3.1. Fig. 3.1 − Modelo tipo utilizado para os tirantes de betão armado. Tabela 3.1 – Propriedades dos materiais considerados. Propriedades Unidades Betão Ec 30.5 GPa fck 30 MPa fct 2.56 MPa Gf 0.058 kN.m/m2 Humidade relativa 60 % Coeficiente de Poisson (ν) 0.2 Temperatura 20 ºC heq=2.Ac/u 240 mm Aço fsk 500 MPa Es 200 GPa Foi considerado nos dois modelos um recobrimento de 25 mm, medido até á face da armadura, por se tratar do recobrimento para uma exposição ambiental normal (XC1) e para um tempo de vida útil de Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 27 projeto de 50 anos segundo EC2.Também foi considerado um diâmetro de 12 mm que entendemos adequado para esta análise e para que o eixo da armadura fosse constante e igual para todos os tirantes. No presente trabalho foi considerado um cimento de classe NR. As quantidades de armadura utilizadas são as representadas na Tabela 3.2. Tabela 3.2 − Percentagens de armadura utilizadas. Casos de Análise As, superior (cm2/m) As, inferior (cm2/m) ρtotal (%) 1 6.28 6.28 0.260+0.260 2 10.18 10.18 0.425+0.425 3 20.11 20.11 0.840+0.840 Nestes tirantes a armadura é simétrica por metro linear, sem qualquer tipo de dispensa e modelada no software por elementos embebidos com o diagrama de tensão-extensão que se apresenta na Fig. 2.16 e de acordo com o explicado em 2.3.3 relativo à tensão fictícia de cedência do aço. 3.2.2 ESQUEMA DE INTEGRAÇÃO E DEFINIÇÃO DAS ZONAS DE STIFFENING E SOFTENING O modelo desenvolvido assume uma representação dos elementos de BA através de elementos finitos do tipo viga de três nós e dois pontos de integração na direção do eixo da barra. Cada ponto de integração na direção do eixo da barra tem nove pontos de integração na secção transversal de acordo com o método de Simpson, tal como se pode observar na Fig. 3.2.Na transição de zonas há sobreposição de dois pontos de integração na secção transversal, pois cada zona é caracterizada por 3 pontos de integração nessa direção. Fig. 3.2 – Esquema ilustrativo da integração usado no modelo Na zona 1 e 3 o betão é modelado de acordo com o diagrama de ‘tension stiffening’ (ver Fig. 2.14) e a zona 2 de acordo com o ’tension softening’ (ver Fig. 2.11).Nestes modelos como a percentagem de armadura é simétrica o diagrama de ‘tension stiffening’ será igual na zona 1 e na zona 3.A área efetiva Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 28 associada ao efeito de ‘tension stiffening‘, é calculada segundo o EC2 para elementos de betão armados quando sujeitos a tração pura, semelhante ao considerado pelo MC90 e como representado na Fig. 2.13. 3.2.3 MALHA DE ELEMENTOS FINITOS E VARIAÇÃO DA RESISTÊNCIA DE TRAÇÃO DO BETÃO AO LONGO DOS ELEMENTOS FINITOS. Neste modelo foi considerado um tamanho do elemento finito igual á distancia máxima entre fendas, na fase de fendilhação estabilizada segundo MC90 (ver equação (2.20)).A redução de rigidez que ocorre quando se forma uma fenda sente-se ao longo desse comprimento, estando em coerência com o diagrama de tension stiffening adotado, que traduz o comportamento médio ao longo desse comprimento. Ao longo desse elemento finito (hb=lks,max) a energia de fratura será corretamente dissipada. Para que o tirante não fendilhe integralmente e simultaneamente, foi considerado uma variação da resistência á tração de 0,5% ao longo dos elementos sendo a resistência á tração do primeiro elemento considerada fct,1= 2,56 MPA, tal como ilustra a Fig. 3.3. Fig. 3.3 − Variação da resistência a tração ao longo dos elementos finitos. A utilização deste critério também visa aproximar o comportamento do tirante o mais próximo da realidade pois o valor constante da resistência a tração ao longo de um tirante real não acontece. Se não fossem aplicados estes critérios quando aplicado uma deformação imposta axial todos os elementos fissuravam de uma só vez originam problemas de convergência no modelo. 3.3. TIRANTE SUJEITO A UMA DEFORMAÇÃO IMPOSTA EXTERNA O tirante seguidamente apresentado é modelado de acordo com o descrito nos subcapítulos anteriores tendo em conta o fenómeno de fluência, fissuração e não considerando a retração. Este tirante é sujeito a uma deformação imposta externa através de um assentamento de apoio horizontal (ver Fig. 3.4). Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 29 Fig. 3.4 − Modelo utilizado na análise de um tirante com deformação imposta externa. 3.3.1 MODELAÇÃO DA DEFORMAÇÃO IMPOSTA E ANÁLISE NUMÉRICA INCREMENTAL. A utilização de uma deformação imposta externa através do controlo de um assentamento de apoio horizontal deve-se ao facto de que através desta simulação verifica-se a queda do esforço axial e a formação sucessiva de fendas. Se esta deformação imposta fosse simulada através de um controlo de força não era possível captar a resposta do tirante durante a fase de formação de fendas.Com o aumento dessa força ocorria a formação de um patamar e não de uma fase de formação de fendas. Tal facto não corresponde ao pretendido. A variação ao longo do tempo da deformação imposta externa é regida pela lei constitutiva da evolução de retração, tal como é explicado nos pressupostos do subcapítulo 2.2.2.A Fig. 3.5 representa a evolução do incremento de deformação imposta aplicada ao tirante ao longo do tempo, em que factor é traduzido pela equação (3.1). Fig. 3.5 − Evolução do incremento da deformação imposta externa ao longo do tempo. (3.1) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Fator Tempo (dias) )( )( oconsideradfinalcs cs t t Fator    Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 30 De acordo com a Fig. 3.5 e a equação (3.1) para um determinado instante de tempo, segundo a variação da lei do fenómeno de retração, a deformação imposta externa aplicada ao tirante será o Factor a multiplicar por ∆L, sendo delta L o valor final da deformação externa (ver equação (3.2)) tal que provoque a cedência das armaduras. (3.2) onde: ∆L deformação externa aplicada; Ɛsy extensão de cedência das armaduras; L comprimento do tirante. Nesta análise optou-se por uma simulação aproximadamente de 10.000 dias por ser suficiente para os resultados pretendidos. Deste modo torna-se evidente a rapidez do cálculo e ausência de problemas de convergência. O critério de convergência foi modelado em termos de forças ou deslocamentos de acordo com o método de Newton. Para mais informações acerca dos métodos de convergência propomos a leitura do manual do software (DIANA, 2012).Mantiveram-se também cuidados na discretização da incrementação numérica, de forma a obter uma fendilhação gradual e controlada, para que não se formassem fendas simultaneamente. 3.3.2 ANÁLISE DA VARIAÇÃO DO ESFORÇO AXIAL De acordo com o que se tem vindo a explicar obtiveram-se os resultados representados na Fig. 3.6, em termos de esforço axial, para os tirantes com deformação imposta externa, com diferentes percentagens de armaduras. Fig. 3.6 − Variação do esforço axial para tirantes com deformação imposta externa com diferentes percentagens de armadura. 0 500 1000 1500 2000 2500 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Esforço Axial (kN) Ɛm(‰) ρ=0.52% ρ=0.85 % ρ=1.68 % Aço para 1.68 % metrosL syL0175,070025,0   Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 31 Como observamos pelo gráfico da Fig. 3.6 numa fase inicial ambos os materiais encontram-se em regime linear-elástico, sendo aproximadamente igual a sua deformação. Então, o esforço axial é dado pela equação (3.3). (3.3) Onde: Ɛm extensão média no tirante de betão armado tracionado igual a ∆L(t)/L; ∆L(t) deslocamento horizontal num determinado tempo; αe razão entre o modulo de elasticidade do aço e o modulo de elasticidade do betão; ρs percentagem de armadura. A primeira fenda forma-se quando a tensão no betão atinge pela primeira vez um valor igual a fct. Tal acontece quando o esforço axial atinge o valor do esforço de fendilhação (Ncr) (ver equação (3.4)). (3.4) No caso destes tirantes a primeira fenda forma-se no primeiro elemento, pois aí existe uma resistência à tração mais baixa em relação aos outros elementos (ver Fig. 3.3). Como se pode verificar pelo gráfico da Fig. 3.6 este esforço de fendilhação tem uma tendência ascendente pois, como já foi referido, as resistências à tração variam de elemento para elemento e cada vez maiores, logo cada elemento necessita de um esforço de fendilhação maior para atingir a sua resistência de tração. Quando o esforço de fendilhação é atingido, a tensão no betão anula-se na secção da fenda, ocorrendo uma transferência de tensões de tração entre os materiais. Devido à fendilhação existe uma perda de rigidez do tirante, fazendo com que o esforço axial no tirante diminua tal como se observa na Fig. 3.6. O posterior aumento da deformação imposta provoca uma nova subida do esforço axial de tração, até ser atingida novamente a resistência á tração de cada elemento, altura em que se forma uma nova fenda. O processo de formação de fendas termina quando todos os elementos estiveram fissurados ao longo dos 7 m do tirante. De referir, que para o tirante com percentagem de armadura de 0.52 % existe uma queda do esforço axial significativa quando se forma a primeira fenda. Para além deste facto, quando a deformação aumenta a armadura entra em patamar de cedência sem se formar mais nenhuma fenda. Este facto acontece porque a armadura está dimensionada para uma resistência à tração do betão de 2.56 MPa. Como no segundo elemento a resistência à tração é ligeiramente superior, necessita de um esforço de fendilhação maior, fazendo com que a armadura não seja capaz de suportar esse esforço e entre em cedência na secção fissurada sem se formar mais nenhuma fenda. De notar que para percentagens de armaduras maiores, maior será o esforço de fendilhação, como se pode verificar pela diferença de variação de esforço axial entre os gráficos para diferentes percentagens de armadura. Podemos observar também que o número de fendas é maior para uma percentagem de armadura mais baixa. Este facto deriva essencialmente do número de elementos finitos ao longo dos 7 m, que depende do tamanho dos elementos finitos, que está intimamente relacionado com a percentagem de armadura. Claramente, o esforço de fendilhação e a abertura de fendas dependem da quantidade de armadura. )1( seccimsc AENNN   )1( secctcr AfN   Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 32 Com a fase de formação de fendas terminada e com o aumento da deformação imposta, a tensão no betão mantém-se inalterada. Então, numa fase posterior de fendilhação estabilizada, o contributo do betão entre fendas é importante para a rigidez do tirante. Este facto é retratado na Fig. 3.6 pela linha ascendente sem quebras depois da formação de todas as fendas, nos tirantes de percentagens 0.85% e 1.68 %. Quando o esforço de tração no tirante atinge o valor As.fsy , a armadura entra em cedência na secção da fenda. Assumindo um comportamento da armadura elástico-plástico (ver Fig. 2.16), um posterior aumento da deformação imposta não dá origem ao aumento do esforço axial no tirante mantendo-se este constante originando o patamar horizontal. 3.3.3 ANÁLISE DA ABERTURA DE FENDAS Nesta seção foram privilegiados os tirantes com percentagens de armadura de 0.85 % e 1.68 % porque, como se viu no subcapítulo anterior, no tirante com uma percentagem igual a 0.52 % só se forma uma fenda entrando posteriormente o aço em cedência na seção fissurada. Para o cálculo da abertura de fendas é realizado um pós processamento de acordo com os resultados obtidos pelo software DIANA. Conforme foi mencionado anteriormente, um dos resultados obtidos na análise não-linear é a extensão de fendilhação (Ɛcr) em cada ponto de integração ao longo do eixo da barra para cada respetivo ponto de integração na seção transversal (1 a 9) (ver Fig. 3.2). Para obter a abertura de fendas multiplica-se a extensão de fendilhação média entre os dois pontos de integração ao longo do eixo da barra pertencentes a cada elemento finito e o seu respetivo tamanho (correspondente á distancia máxima entre fendas segundo MC90).Como a abertura de fendas é igual para ambas as faces do elemento de betão, neste capítulo, esta foi calculada para a superfície 1,que corresponde ao primeiro ponto de integração na seção transversal. Deste modo obtiveram-se os resultados para os 3 primeiros elementos de cada tirante, apresentados na Fig. 3.7 e na Fig. 3.8. Fig. 3.7 − Abertura de fendas para um tirante com deformação imposta externa com percentagem de armadura de 0.85 %. 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Wk (mm) Ɛm(‰) 1º elemento 2º elemento 3º elemento Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 33 Fig. 3.8 − Abertura de fendas para um tirante com deformação imposta externa com percentagem de armadura de 1.68 %. Pela observação do gráfico da Fig. 3.7 e da Fig. 3.8, para uma determinada deformação, a fenda, para cada elemento, vai abrindo até chegar a uma determinado valor. Durante esse processo da abertura de fenda, ocorrem transferências de tensões entre os materiais onde a tensão no betão vai diminuindo porque vai fissurando (perde rigidez) e a tensão no aço aumenta. Chegada a essa determinada abertura, a fenda fecha um pouco porque abriu uma fenda noutro elemento, o esforço axial diminui, diminuindo a tensão na armadura.Com o aumento da deformação a fenda volta novamente a abrir, mais do que a primeira vez, porque o esforço axial no tirante, correspondente aquela deformação num tempo subsequente, é maior e aumenta a extensão de fendilhação logo aumenta a abertura da fenda relativamente á primeira abertura que se sucedeu. Quando já se formaram as fendas todas e aumentando a deformação estas vão abrindo com igual valor e todas ao mesmo tempo, sem a cedência da armadura na seção da fenda, até um determinado valor máximo. De referir também, que o que difere as aberturas de fendas de uns elementos para os outros é a deformação para a qual se formam e a sua respetiva abertura inicial porque a partir daí seguem aberturas muito idênticas. Tal como se observa e seria expectável, para maiores percentagens de armadura, menor o número de fendas e menores as aberturas de fendas. Também era de esperar que os resultados obtidos para a abertura de fendas em diferentes elementos fossem muito parecidos. Se fct fosse igual em ambos os elementos, wk seria também igual. 3.4. TIRANTE SUJEITO A UMA DEFORMAÇÃO IMPOSTA INTERNA O tirante abordado nesta secção é modelado de acordo com o modelo geral estipulado em 3.2 do presente capítulo e tendo em conta os fenómenos de fluência, retração e fissuração. Foi também considerado um Aging de 3 dias e um Curage de 5 dias (ver Fig. 2.8). Este tirante não está sujeito a qualquer ação exterior ou cargas que provoquem flexão ou deslocamentos. Simplesmente se deixará passar o tempo e perceber como se desenrolam e que efeitos os fenómenos mencionados (preferencialmente a retração) influenciam o comportamento do tirante completamente restringido 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Wk (mm) Ɛm(‰) 1º elemento 2º elemento 3º elemento Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 34 axialmente. A análise decorreu ao longo de aproximadamente 10.000 dias por ser suficiente para obter os resultados pretendidos. 3.4.1 ANÁLISE DO ESFORÇO AXIAL De acordo com o gráfico da Fig. 3.10 podemos observar que a variação do esforço axial para este tipo de deformação tem um comportamento bastante diferente do observado para um tirante com deformação imposta externa. Para uma deformação imposta interna o esforço axial tem uma tendência descendente, ou seja, a abertura de fendas em cada elemento ocorre para um esforço axial menor que o esforço de fendilhação para uma deformação imposta externa. O facto de as condições de apoio e a armadura impedirem o livre encurtamento do betão, geram tensões autoequilibradas em estado não fendilhado. Neste estado a armadura está comprimida e o betão tracionado, pelo que a secção fendilhará para valores de esforço axial mais baixos que para um tirante com uma deformação imposta externa. Este tirante é interpretado como a sobreposição do efeito da retração num elemento de betão armado livre mais o efeito do esforço axial devido á restrição dos apoios como ilustra na Fig. 3.9. Fig. 3.9 – Esquema representativo da combinação de efeitos num tirante sujeito a deformação imposta interna. A evolução do esforço axial até ao esforço de fendilhação para estes tirantes apresenta uma ligeira inclinação devido à evolução dos efeitos diferidos não serem lineares. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 35 Fig. 3.10 − Variação do esforço axial para tirantes com uma deformação imposta interna com diferentes percentagens de armadura. A Fig. 3.11 representa um exemplo comprovativo da tensão média no aço entre uma seção totalmente fendilhada (esquerda) e uma seção em estado não fendilhado (direita). Este exemplo foi retirado do tirante com percentagem de armadura de 0.85 % para um tempo de 10.000 dias, ou seja, o tempo em que foi interrompida a análise (último step considerado). Até este incremento, neste tirante, com esta percentagem de armadura, só fissuraram os 6 primeiros elementos. Este facto também pode ser comprovado pelo número de ‘picos’ no gráfico da Fig. 3.10 correspondente ao tirante com 0.85 % de armadura. Fig. 3.11 − Representação, simplificada, das tensões médias na armadura em estado fendilhado (esquerda) e não fendilhado (direita). As linhas a verde em cima e em baixo correspondem ao eixo da armadura, com as respectivas tensões médias. Os números 6 e 7 correspondem ao número do elemento finito. Tal como se pode observar é claro que a armadura em estado não fendilhado (lado direito) está comprimida (-48.2 MPa). Como demostra a Fig. 3.12 a tensão média no betão no elemento 6 que está fendilhado (lado esquerdo) é de 1.05 MPa que é precisamente igual a 0.4x2.625 (ver Fig. 3.3),ou seja, ao valor correspondente ao patamar no diagrama de ‘tension stiffening’ em fase de patamar. 0 100 200 300 400 500 600 700 -0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10 Esforço Axial (kN) Ɛcs (‰) ρ=0.52% ρ=0.85% ρ=1.68% Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 42 Na análise do estado limite de serviço de lajes, num edifício corrente, pode-se encontrá-las estruturalmente ligadas nas suas extremidades a elementos de elevada rigidez. Estes elementos com uma rigidez muito superior à da laje podem ser por exemplo uma caixa de elevadores em pisos elevados ou as paredes laterais no caso de caves ou parques de estacionamento. Nestes casos os efeitos da retração são condicionantes para o comportamento em serviço, pois a laje está fortemente restringida axialmente contribuindo para o aparecimento de tensões de tração que poderão levar posteriormente à fendilhação. Hoje em dia, a comunidade científica está cada vez mais interessada em estudar o efeito destes fenómenos em estruturas de betão armado. Exemplo disso, é o recente caso de estudo, de um parque de estacionamento na cidade de Vigo em Espanha. (Petschke, Corres, García, & Pérez, 2012). O objetivo deste capítulo é perceber o comportamento estrutural de uma laje quando estão restringidas as deformações devidas à retração, sobreposta com ações verticais (flexão composta com tração).Com este capítulo também pretendemos orientar o projetista para valores do esforço axial a ter em conta no dimensionamento da armadura nestes casos. Para obtermos tais objetivos, no presente capítulo, optou-se por aproximar o nosso modelo a lajes com cargas correntes de parques de estacionamento variando a espessura, o vão e apoios estruturais. A variação do vão é realizada tendo em conta vãos de 5,5; 7 e 8,5 metros. Do ponto de vista estrutural, a alteração dos apoios pretende simular a localização da laje num vão interno (bi-encastrada) e num vão extremo (encastrado-apoio duplo). Consoante esta mudança de vãos e de apoios estruturais a espessura alterna para um determinado critério de deformação (vão/altura útil). De referir que se consideram carregamentos típicos de parques de estacionamento, por se tratar de um caso típico de lajes fortemente restringidas (por paredes). Em termos de carregamento e materiais não foi efectuada nenhuma alternância das suas características, por não ser pertinente para o caso em estudo optando-se sempre pelo mesmo carregamento e materiais em todas as lajes. No presente caso de estudo, inicialmente procedeu-se a uma estimativa da armadura necessária, com base em metodologias correntes de dimensionamento, para estado limite último e estado limite de serviço. Como neste tipo de laje, em estado de serviço, não se conhece o esforço axial realmente instalado na laje estudou-se dois limites para o esforço axial. Considerou-se primeiramente um esforço axial de tração igual a zero (N=0) permitindo assim estimar um limite inferior de armadura realmente necessária porque o esforço axial na realidade vai ser superior a zero e num segundo passo um esforço axial de tração igual ao esforço de fendilhação (N=Ncr=Ac*fctm), obtendo-se um limite superior da estimativa de armadura realmente necessária. A segunda etapa do estudo debruça-se sobre uma análise não-linear realizada com recurso ao programa de cálculo DIANA, obtendo-se o esforço axial realmente instalado na laje. Tendo em conta este esforço axial efetivamente instalado na laje, estimou-se a armadura necessária para cumprir uma abertura de fendas de 0,3 mm e deformações menores que vão/250. Posteriormente com essa armadura volta-se a analisar os modelos de laje no software, pretendendo verificar que realmente são cumpridas a abertura de fendas, tensões na armadura e deformações tendo em conta a redução do esforço de fendilhação no cálculo analítico. É importante referir que o esforço axial obtido na primeira análise não-linear, é uma boa estimativa do esforço axial instalado com quantidades menores de armadura. Analisamos ainda, neste capítulo, algumas considerações a ter na dispensa de armadura neste tipo de laje e a importância do esforço transverso. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 43 4.2. DESCRIÇÃO DO CASO DE ESTUDO E DO MODELO ADOTADO 4.2.1. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS E MODELAÇÃO DAS AÇÕES. As características adoptadas para os modelos de laje considerados no nosso caso de estudo apresentam-se na Tabela 4.1. Tabela 4.1 − Propriedades dos materiais utilizados na modelação da laje. Propriedades Unidades Betão Peso Volúmico (γ) 25 kN/m3 Ecm 31 GPa fck 25 MPa fctm 2.6 MPa Gf 0.058 kN.m/m2 Coeficiente de Poisson (ν) 0.2 Aço fyk 500 MPa Es 200 GPa A escolha destas propriedades para o betão e aço visa representar propriedades comuns destes materiais na construção, estando de acordo com o EC2. Também foram consideradas como propriedades ambientais uma percentagem de 60 % para humidade relativa,20 ºC de temperatura ambiente e um cimento de classe NR. Em todos os modelos, o recobrimento é de 25 mm medido à superfície da armadura, um diâmetro do varão de 12 mm e um diagrama tensão-extensão para a armadura igual ao representado na Fig. 2.16. Em termos de carregamento, foram tomadas as seguintes considerações:  Cargas Permanentes (Gk): Peso Próprio;  Cargas Variáveis (Qk): 5 kN/m2;  Coeficientes ψ: i) Ψ0=0.8; ii) Ψ1=0.7; iii) Ψ2=0.6. A consideração das cargas variáveis e dos coeficientes pelos valores referidos tem por base o Regulamento de Segurança e Ações para Estruturas de Edifícios e Pontes (RSA), no artigo 35, alínea 35.1.2 e 35.2, referente a sobrecargas em pavimentos para garagens públicas de automóveis ligeiros (RSA, 1983). Estas características de carregamento são muito semelhantes ao estipulado pelo EC1. Não foram tidos em conta qualquer tipo de revestimentos, por tratar-se da simulação de um piso de uma cave que normalmente não possuí revestimentos. Como se pretende analisar o comportamento em serviço de lajes, segundo o EC2, teve-se em consideração a combinação de cargas quase-permanente, estipulada na equação (4.1), sendo esta a sobrecarga considerada, com carácter de permanência, nos modelos de análise não-linear. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 44 (4.1) Na modelação das lajes analisadas na presente dissertação considera-se uma descofragem aos 28 dias de idade do betão. Em concordância, de modo simplificado, considera-se que a retração de secagem está impedida nos primeiros 14 dias. Este valor 14 dias corresponde a uma média entre um período de cura de 0 dias para a superfície superior da laje e 28 dias para a superfície inferior, protegida pela cofragem. Com o pressuposto explicado, considerou-se um ‘Aging’ de 14 dias e ‘Curage’ de 0 dias (ver Fig. 2.9). Num tempo real desde a betonagem, o peso próprio atua todo de uma vez aos 28 dias ( tdiana=14 dias). A sobrecarga atuará passados 28 dias desde a entrada do peso próprio (treal = 28+28 = 56 dias e tdiana=14+28=42 dias). Esta sobrecarga considerada será incrementada em pequenos ‘steps’ de modo a que o seu comportamento faseado se aproxime o mais possível do carregamento real de uma estrutura deste tipo. Para além deste fator, também se tem em conta um carregamento faseado para que fissuração seja controlada e não crie problemas de convergência no modelo sendo possível captar o processo de formação de fendas, no instante de tempo de entrada da sobrecarga. Neste tipo de carregamento faseado, convém referir que o software trabalha em incrementos de tempo ou incrementos de carga não sendo possível, por exemplo, carga e tempo evoluírem em simultâneo. Deste modo, inicialmente tem-se sempre incrementos de carga e quando a percentagem de carga que se pretende estiver aplicada à estrutura, inicia-se a contagem do tempo. Neste caso, o peso próprio é aplicado todo de uma vez procedendo-se posteriormente à contagem do tempo até à aplicação da sobrecarga, sendo esta incrementada até 60 % do seu valor característico de forma faseada e considera-se novamente a posterior contagem do tempo. As análises ocorreram até aproximadamente 18 250 dias (50 anos) pois é o tempo de vida útil de projeto segundo EC2. De referir ainda, que para além do carregamento vertical, se terá em conta em todos os modelos os fenómenos de retração, fluência e fissuração. O método de convergência foi adoptado em termos de forças ou deslocamentos e o procedimento iterativo foi baseado no Método de Newton. 4.2.2. TAMANHO DOS ELEMENTOS FINITOS E SUA IMPORTÂNCIA. Tal como foi considerado no capítulo 3, optou-se por uma modelação das lajes através de uma representação 2D, recorrendo à aplicação de elementos finitos do tipo viga de 3 nós. Cada elemento finito tem dois pontos de Gauss com 9 pontos de integração cada na seção transversal de acordo com o Método de Simpson (ver Fig. 3.2). No caso dos tirantes do capítulo 3, há um problema de localização das fendas. No caso das lajes analisadas no presente capitulo, a distribuição de fendas vai ser muito condicionada pela distribuição de momentos fletores. Deste modo, não é necessário variar a resistência à tração do betão ao longo dos elementos finitos. Prevê-se que, neste caso, os resultados não sejam fortemente dependentes da discretização da malha de elementos finitos. Para comprovar o facto de o tamanho do elemento finito não influênciar os resultados das análises, realizou-se um exemplo ilustrativo em que se varia o tamanho do elemento e compara-se os seus resultados em termos de esforço axial e abertura de fendas. Neste exemplo modelou-se duas lajes: uma com um tamanho do elemento finito igual à distância máxima entre fendas segundo o MC90 (lks,max) e outra laje com um tamanho do elemento finito o dobro da distância máxima entre fendas (2xlks,max).No exemplo foi tido em conta um esquema estrutura biencastrado e carregamento vertical. Obtiveram-se então os resultados representados na Fig. 4.1 e na Fig. 4.2. kkpqc QGP  2...  Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 45 Fig. 4.1 − Variação do esforço axial considerando diferentes tamanhos de elementos finitos. Fig. 4.2 − Variação da abertura de fendas a meio vão considerando diferentes tamanhos de elementos finitos. Por se ter verificado na Fig. 4.1 e Fig. 4.2 estes resultados optou-se nas análises de lajes em estudo no presente capítulo por considerar o tamanho do elemento finito o dobro da distância máxima entre fendas porque cada elemento finito representa o comprimento correspondente a duas fendas (uma em cada ponto de integração ao longo do eixo da barra). Mas, não se usou sempre exatamente um comprimento de elemento finito igual a este, por simplificação, por se ter verificado que os resultados são pouco dependentes do tamanho do elemento finito. 0 50 100 150 200 250 300 0 5000 10000 15000 20000 Esforço axial (kN) Tempo (dias) Tamanho de elemento=159.0909 mm Tamanho de elemento=318.1818 mm 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0 5000 10000 15000 20000 wk (mm) Tempo (dias) Tamanho do elemento=159.0909 mm Tamanho do elemento=318.1818 mm Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 46 4.2.3. CÁLCULO DA ABERTURA DE FENDAS E TENSÃO DO AÇO NA SEÇÃO DA FENDA Neste capítulo, a abertura de fendas é calculada de acordo com o MC90 (ver subcapítulo 2.3.4). Ao contrário do capítulo 3, o pós processamento de cálculo da abertura de fendas através das extensões de fendilhação obtidas pelo DIANA serão calculadas não pela média dos pontos de Gaus na superfície 1,que corresponde ao 1º ponto de integração, mas sim num único ponto de Gaus na zona mais esforçada na superfície coincidente com o eixo da armadura (superfície 8 apoio e superfície 2 no vão) (ver Fig. 3.2). Assim obtêm-se a abertura de fendas na seção da armadura estando coerente com a tensão no aço na seção da fenda, calculada de acordo com a equação (3.10). O limite estabelecido para a abertura de fendas é de 0,3 mm para combinação quase permanente de ações. Este critério está de acordo com os valores recomendados para wmax no EC2. De referir que no quadro 7.1N do referido regulamento, referente ao capítulo de controlo de fendilhação, este sugere uma abertura de fendas de 0,4 mm para a classe de exposição considerada no nosso estudo (XC1). Este limite é sugerido para que a estrutura tenha um aspeto geral aceitável, uma vez que, para esta classe de exposição, a abertura de fendas não influência de modo relevante a durabilidade da estrutura (CEN, 2010). A redução deste limite para 0,3 mm permite que wmax seja igual ao valor indicado para as outras classes de exposição, para uma combinação quase permanente de ações. 4.3. ESTIMATIVA DA ESPESSURA E ARMADURA NECESSÁRIA COM BASE EM METODOLOGIAS CORRENTES DE DIMENSIONAMENTO. 4.3.1. DEFORMAÇÃO No controlo de deformação o EC2 sugere um limite de flecha para lajes sujeitas a ação quase permanente de vão/250, tendo sido esse limite estipulado nas análises. Porém, de notar que, em 7.4.1 (5) do mesmo regulamento este limite deve ser alterado para vão/500 para flechas que ocorram depois da construção susceptíveis de danificar elementos adjacentes. Este limite não foi tido em conta pois estamos a simular lajes de caves onde normalmente não existem paredes de alvenaria. Partindo da premissa de um vão igual a 7 m e um esquema estrutural bi-encastrado, realizamos um pré-dimensionamento de acordo com o EC2, considerando um recobrimento de 25 mm medido á superfície de armadura e um diâmetro do varão de 12 mm. (4.2) A relação vão/altura útil utilizada corresponde a um vão interior de uma laje armada numa direção tendo em conta uma percentagem de armadura de 5 %,como descrito em 7.4.2 do EC2. Para a laje com um vão de 7 m, foi ainda considerada uma espessura alternativa de 0,20 m, menor, para avaliação da influência deste parâmetro. Além destas duas espessuras, consideradas para o mesmo vão, obtivemos as espessuras da Tabela 4.2 que caracterizam o esquema estrutural de vão interior. As referidas espessuras não respeitam exactamente o critério l/d ≤ 30 mas estão muito próximas. Usou-se as espessuras da Tabela 4.2 para que estas sejam iguais ao critério adoptado para vão extremo.       md mh md d l 229,0 260,0 233,030 Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 47 Tabela 4.2 − Espessuras consideradas para um sistema estrutural de vão interior. Vão (m) Espessura (m) Altura útil (m) 5.5 0.20 0.169 7 0.20 0.169 7 0.26 0.229 8.5 0.30 0.275 Para o esquema estrutural que pretende simular um vão extremo, o raciocínio foi diferente optando-se por não utilizar o quadro 7.4N do EC2. Pela análise de uma laje bi-encastrada, com 7 m de vão e 0,20 m de espessura entendeu-se que se estava bastante longe do limite de deformação e procurou-se perceber se com uma espessura igual, se resolveria a laje com apoio duplo. Partindo de um esquema estrutural encastrado-apoio duplo, com uma espessura de 0,20 m e um vão de 7 m, através de um processo iterativo pretendeu-se obter a espessura mínima que garanta uma deformação vão/250. Este processo iterativo foi realizado através do programa de cálculo DIANA, tendo em conta uma variação da espessura de 2 em 2 cm. Obtendo-se então os resultados apresentados na Tabela 4.3. Tabela 4.3 – Iterações para obtenção de um critério de deformação para um sistema estrutural de vão exterior. Vão (m) Espessura (m) Flecha (m) Vão/250 (m) 7 0.20 0.0346 0.0280 7 0.22 0.0300 0.0280 7 0.24 0.0278 0.0280 De acordo com os resultados obtidos pelas iterações apresentadas na Tabela 4.3,para um sistema estrutural de vão exterior, obteve-se um critério de deformação de acordo com o representado na equação (4.3). (4.3) Tendo em conta este critério obteve-se as espessuras da Tabela 4.4 para diferentes comprimentos do vão. Tabela 4.4 − Espessuras consideradas para um esquema estrutural de vão exterior. Vão (m) Espessura (m) Altura útil (m) 5.5 0.20 0.169 7 0.24 0.209 8.5 0.30 0.275 De notar que obtivemos um critério para um sistema estrutural de vão exterior diferente mas muito próximo do considerado para um vão interior, uniformizando as espessuras para os diferentes esquemas estruturais. Este critério também nos permite ter espessuras mais baixas do que o sugerido pelo quadro 7.4N do EC2 para vão exteriores, pois tivemos em conta deformações impostas o que não 49,3349,33 106102524,0 7 33    d l d l Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 48 é considerado na realização desse quadro. Referimos ainda, que as espessuras foram arredondadas por excesso para um valor que entendemos realista e de modo a que fossem iguais para ambos os esquemas estruturais. 4.3.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) E ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) Na análise deste tipo de lajes, como estas se encontram fortemente restringidas axialmente, na estimativa da sua armadura deve ser tido em conta o esforço axial de tração em estado limite de serviço. Para estado limite último não é necessário pois existe ductilidade suficiente. Inicialmente considerou-se a laje sem esforço axial de tração (N=0), ou seja, submetida a flexão simples. Com este cálculo, e de acordo com metodologias correntes de dimensionamento em estruturas de betão armado, pretendeu-se estimar um limite inferior para a armadura que garante o estado limite último e estado limite de serviço. Nesta seção teve-se em conta um modelo exemplificativo de uma laje bi-encastrada com espessura de 0,26 m e 7 m de vão, sendo os cálculos apresentados para esta laje repetidos para todos modelos e variâncias. No final do presente subcapítulo apresentaremos uma comparação global dos resultados para todos os tipos de laje estudados. Ao longo deste capítulo os resultados serão apresentados em tabelas apoiadas com comentários, e por vezes de imagens, permitindo clarificar a informação. A organização da apresentação das tabelas e sua análise para cada caso é realizada primordialmente para a estimativa de armadura, seguidamente para a abertura de fendas e deformações e por fim a análise do esforço axial. Na estimativa da armadura com N=0 considerou-se uma redistribuição do momento fletor negativo para 75% do seu valor elástico, em estado limite último, para uniformizar as armaduras superior e inferior. Na combinação de ações quase permanente, considerou-se um diagrama elástico sem redistribuições. Obteve-se então as armaduras, estritamente necessárias para cumprir o estado limite último e estado limite de serviço, da Tabela 4.5 e a laje da Fig. 4.3. Tabela 4.5 − Armadura estritamente necessária para cumprir ELU e ELS com N=0 As, superior apoio (cm2/m) As, inferior vão (cm2/m) µ ρtotal (%) 8,54 6,76 0.08 0.33+0.26 Fig. 4.3 − Laje com armadura estritamente necessária pra cumprir ELU e ELS com N=0. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 49 O momento fletor reduzido (µ) representado nas tabelas é o relativo à secção de apoio. As percentagens de armadura indicadas na mesma tabela, correspondem à armadura necessária na camada superior da secção de apoio, e na camada inferior da secção de vão. De notar que a uniformização das armaduras não foi possível pois segundo MC90 o cálculo de abertura de fendas não cumpria 0,3 mm na zona do apoio, sendo necessário colocar mais armadura nesta zona. Na Tabela 4.6 apresenta-se a comparação do valor da abertura de fendas e a tensão na armadura na seção da fenda entre o cálculo analítico corrente para flexão simples e o obtido na análise não-linear. Tabela 4.6 − Abertura de fendas e tensão na armadura na seção da fenda para flexão simples. wk,apoio (mm) wk,vão (mm) σs,fenda apoio (MPa) σs,fenda vão (MPa) Flecha (m) L/250 (m) Calculo Analítico 0,300 0,215 220 138 − − DIANA 0,592 0,584 402 342 0,0220 0,0280 Os valores da abertura de fendas e da tensão na armadura obtidos pelo programa têm valores, como seria expectável, superiores aos calculados analiticamente. Este facto deriva de no cálculo analítico ter sido considerado a laje em flexão simples, o que na realidade não corresponde à verdade. As lajes, na realidade estão sujeitas a um esforço de tração devido a estarem fortemente restringidas axialmente. Este facto é tido em conta numa análise não-linear originando abertura de fendas e tensões na armadura superiores às calculadas analiticamente. Se na realidade temos aberturas de fendas e tensões na armadura baseadas no DIANA, e superiores às calculadas analiticamente, teremos sempre de ter mais armadura do que a calculada para ELU. Deste modo, verificou-se que a armadura efetivamente necessária para garantir uma abertura de fendas de 0.3 mm (considerando o esforço axial estimado com rigor) foi sempre superior à requerida para verificações de ELU. De seguida, considerar-se um esforço axial igual ao esforço de fendilhação e estimar-se a armadura necessária para cumprir o critério de abertura de fendas. Deste modo tem-se em conta a laje sujeita a flexão composta com tração, com as ações das equações (4.4) e (4.5). (4.4) Em que, (4.5) Ao utilizar um esforço axial igual ao esforço de fendilhação pretendemos caracterizar o esforço axial usado por um projetista perante este tipo de laje fortemente restringida e obter um limite máximo de estimativa de armadura para cumprir os critérios de abertura de fendas e deformações. Deste modo podemos também comparar este esforço de fendilhação adoptado analiticamente com o esforço realmente instalado na laje através dos resultados obtidos com recurso ao DIANA. Na Fig. 4.4 e nas equações (4.6) e (4.7) apresenta-se o equilíbrio adotado numa seção generalizada (apoio ou vão) para calcular tensões atuantes nas armaduras, em fase de serviço, considerando a flexão composta com tração. cctmcr AfN  crpqc NM  .. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 50 Fig. 4.4 – Equilíbrio usado para estimar armadura em flexão composta com tração numa seção generalizada. As forças de tração nas armaduras, superior e inferior, Fsup e Finf, devidas aos esforços N e M, são determinadas através das equações (4.6) e (4.7). Se |e| ≤ emax, (4.6) então, (4.7) Através deste sistema, apresentado na equação (4.7), realiza-se iterações até ser obtida uma área de armadura estritamente necessária para cumprir uma abertura de fendas de 0,3 mm segundo o MC90. No equilíbrio da Fig. 4.4 é tido em conta uma seção totalmente fendilhada quando a resultante do sistema de forças se encontra entre a armadura superior e inferior. Deste modo, o esforço axial sobrepõe-se ao momento quase permanente instalado estando a seção totalmente tracionada. Então o cálculo da altura efitiva da laje é realizado com uma profundidade do eixo neutro igual a zero. Por outro lado se a relação e > emax se cumprir, a resultante encontra-se fora da seção, provocando compressões no betão. O equilíbrio apresentado na Fig. 4.4 deixa de ser válido quando as compressões no betão envolverem a armadura. Isto significa que no cálculo da altura efetiva da laje teremos de considerar uma profundidade do eixo neutro diferente de zero, procedendo ao cálculo corrente da tensão da armadura tendo em conta essas compressões. De notar, que mesmo que ocorra o esforço axial de tração estar fora da seção e provocar tensões de compressão no betão, se estas não forem suficientes para envolver a armadura a área efetiva da laje continuará a ser calculada com uma profundidade do eixo neutro igual a zero e o cálculo das tensões na armadura será como o exemplificado na Fig. 4.4. De referir que ao longo do nosso estudo poucos foram os casos em que as compressões no betão envolveram a armadura.      eeB eeA max max                      s s A F A F BA B NF BA A NF sup sup inf inf sup inf   Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 51 Em todas as análises teve-se por base este raciocínio apresentado, considerando também nos cálculos analíticos uma razão entre o módulo de elasticidade do aço e do betão de 15 para combinações de ações quase permanentes (αe c.q.p.=15). Deste modo, obtêm-se as armaduras indicadas na Tabela 4.7 necessárias para verificar uma abertura de fendas de 0,3 mm e deformações menores que a relação vão/250 com N=Ncr. Observa-se que esta armadura é aproximadamente o dobro da armadura necessária para cumprir o ELU e ELS para N=0. Tabela 4.7 − Armadura necessária para cumprir abertura de fendas em flexão composta com tração, com N=Ncr As, superior apoio (cm2/m) As, inferior vão (cm2/m) µ ρtotal (%) 16,19 14,60 0.08 0.62+0.56 Pelo cálculo da armadura no ponto de momento nulo, ou seja, só considerando N=Ncr entende-se não se justificar dispensar armadura (ver Fig. 4.5). Nesta fase de cálculo, este critério será aplicado a todas as lajes estudadas. Fig. 4.5 – Armadura superior e inferior necessária para garantir wk< 0.3 mm em 3 seções transversais, com N=Ncr. Considerando as armaduras indicadas na Tabela 4.7 obtiveram-se os resultados em termos de abertura de fendas, tensão na armadura na seção da fenda e esforço axial obtidos analiticamente e extraídos do DIANA, para a laje em questão, sendo comparados nas Tabela 4.8 e Tabela 4.9 respetivamente: Tabela 4.8 − Abertura de fendas, tensões na armadura e deformações (N=Ncr) wk,apoio (mm) wk,vão (mm) σs,fenda apoio (MPa) σs,fenda vão (Mpa) Flecha (m) L/250 (m) Calculo Analítico 0,300 0,300 330 299 − − DIANA 0,190 0,176 205 172 0,0100 0,0280 Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 58 Fig. 4.7 − Momento flector no apoio realmente instalado na laje para uma estimativa de armadura com N=Ncr e N=NDIANA No presente caso de estudo com recurso ao programa de cálculo, é interessante salientar a evolução da fendilhação ao longo dos instantes de tempo, representada na Fig. 4.8, Fig. 4.9, Fig. 4.10 e Fig. 4.11. Os números a vermelho representam o valor da abertura máxima de fendas em cada zona. Fig. 4.8 – Padrão de fendilhação para um instante de tempo igual a meio ano. Fig. 4.9 − Padrão de fendilhação para um instante de tempo igual a 1 ano. Fig. 4.10 − Padrão de fendilhação para um instante de tempo igual a 3 anos. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5000 10000 15000 20000 Momento fletor no apoio (kN.m) Tempo (dias) Armadura com N=Ncr Armadura com N=NDIANA 0.171 mm 0.167 mm 0.171 mm 0.197 mm 0.197 mm 0.205 mm 0.241 mm 0.241 mm 0.230 mm Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 59 Fig. 4.11 – Padrão de fendilhação para um instante de tempo igual a 5 anos. A evolução da fendilhação, longitudinalmente, ocorre afastando-se dos pontos mais esforçados (apoio e vão), tendo valores maiores nesses pontos característicos. O padrão de fendilhação é representado através de vectores perpendiculares à direção de formação da fenda. A zona de vectores a vermelho representam as extensões de fendilhação com valores mais altos e a zona azul as extensões de fendilhação para valores mais pequenos. A evolução da fendilhação foi representada até 5 anos pois a partir deste instante de tempo a evolução é praticamente constante, devido às deformações por retração já terem atingido quase o seu valor final. A variação da abertura de fendas entre meio ano e 3 anos encontra-se num intervalo de 10%-20% e por outro lado a variação da abertura de fendas entre 3 anos e 5 anos é cerca de 5%. A observação da evolução da fendilhação permite-nos retirar algumas considerações que podem ser úteis ao projetista, como por exemplo na dispensa de armaduras e a influência do esforço transverso. Estes dois aspectos serão abordados nos subcapítulos 4.4.1 e 4.4.2,respetivamente. 4.4.1. DISPENSA DE ARMADURAS A observação do padrão de fendilhação, tal como mostra Fig. 4.11 por exemplo, permite perceber que a partir de determinados pontos do vão da laje a fendilhação tem valores relativamente baixos justificando-se a dispensa de armaduras. Neste subcapítulo realiza-se a dispensa de armadura para dois tipos de laje presentes neste estudo: para uma laje bi-encastrada (vão interior) de espessura 0,26 m e vão de 7 m e para a laje com um sistema estrutural de vão exterior (encastramento-apoio duplo) com uma espessura 0,24 m e um vão de 7 m. A dispensa de armadura foi realizada determinando a posição a partir do qual a armadura poderia ser reduzida para metade. Neste procedimento, o cálculo das tensões atuantes no aço foi realizado conforme é descrito na Fig. 4.4 e nas equações (4.6) e (4.7). Note-se que toda a seção está tracionada porque o momento quase permanente, na secção de dispensa, é muito pequeno em relação ao esforço axial instalado na laje. Pretende-se então calcular, através de iterações, qual a tensão no aço, para essa área, que garanta uma abertura de fendas 0,3 mm. Deste modo obtêm-se, Fsup ou Finf.. Considerando o esforço axial efetivamente instalado na laje, por equilíbrio obteve-se o momento a partir do qual podemos realizar a dispensa. Tomando como exemplo a laje bi-encastrada, na zona do apoio, obteve-se a equação (4.9). (4.9)       kNF mmwMPa mcmAmcmAks ss 115 300,0180 /37,6/73,12 sup 2 2sup/, 2 sup,  0.254 mm 0.254 mm 0.240 mm Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 60 Por equilíbrio, considerando o esforço axial instalado na laje de 303 kN resultam as reacções da equação (4.10). (4.10) Através da equação de momentos, tendo em conta um momento quase permanente 7,227 kN.m, podese saber o ponto a partir do qual se dispensa a armadura para metade. Repetindo este processo para a armadura inferior e para a laje com encastramento-apoio duplo, obtivemos as dispensas da Fig. 4.12 e da Fig. 4.13. Fig. 4.12 − Dispensa de armadura na laje com um esquema estrutural de vão interior com N=NDIANA. Fig. 4.13 − Dispensa de armadura na laje com esquema estrutural de vão exterior com N=NDIANA. Como o software caracteriza a armadura em elementos embebidos de elemento a elemento finito a dispensa foi aproximada para o final do elemento finito mais próximo a seguir ao ponto dessa dispensa. Deste modo evita-se que a armadura fosse interrompida a meio de um elemento, o que provocava problemas de convergência ao modelo, e simulasse corretamente o critério de amarração (lbd) em dimensionamento corrente de estruturas de betão armado. De modo a analisar a abertura de fendas após a dispensa, verifica-se que a evolução de fendilhação, para cada uma das lajes, prolonga-se até ao ponto de dispensa, terminando nesse mesmo ponto tal como se ilustra na Fig. 4.14 e na Fig. 4.15. Este facto ocorre porque na análise não linear o betão resiste a tensões de tração (ao contrario dos cálculos em seção fendilhada) e a partir do ponto de dispensa a percentagem efetiva de armadura desce fazendo com que a tensão instalada no betão não atinga a sua resistência à tração.      mkNM kNF .227,7 188 inf Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 61 a) b) Fig. 4.14 – Padrão de fendilhação para um vão interior num instante de tempo igual a 50 anos: a) antes da dispensa; b) após a dispensa. a) b) Fig. 4.15 − Padrão de fendilhação para um vão exterior num instante de tempo igual a 50 anos: a) antes da dispensa; b) após a dispensa. 4.4.2. ESFORÇO TRANSVERSO A análise do padrão de fendilhação para determinados instantes temporais, tal como mostra a Fig. 4.14, por exemplo, leva a afirmar que a fenda atravessa toda a seção transversal. Este facto seria gravoso para a segurança da laje ao corte se a abertura de fendas fosse realmente significativa e o tamanho do agregado do betão fosse muito pequeno, ficando o corte suportado somente por duas barras de ferro. Nos resultados da análise não linear, verifica-se que há secções onde a fendilhação ocorre em todas as camadas, isto é, atravessa toda a secção. No entanto, na zona menos tracionada, a abertura de fendas apresenta valores extremamente pequenos. Tal facto ocorre porque com a estabilização da retração e a evolução da fluência devido ao estado de tensão instalado pelas cargas as extensões de fendilhação diminuem e a fenda fecha. O software, em pontos de integração onde há fendilhação, aplica uma redução de rigidez de corte, denominado na nomenclatura inglesa de shear retention. No presente estudo esse factor é de 0,2, que significa uma redução para 20% após a fendilhação. Em termos regulamentares o EC2 refere em 6.2.2 e de acordo com a equações (4.11) e (4.12), que para elementos para os quais não é exigida armadura de esforço transverso a sua verificação pode ser 0.284 mm 0.284 mm 0.278 mm 0.290 mm 0.260 mm 0.294 mm 0.294 mm 0.271 mm 0.299 mm 0.278 mm Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 62 calculada tendo em conta trações, porém refere que a influência das deformações impostas pode ser ignorada. Na Tabela 4.22 apresenta-se a comparação do esforço transverso actuante e do esforço transverso resistente considerando um esforço de tração na laje igual a zero e um esforço axial de tração efetivamente instalado devido á deformação imposta. Os valores destes esforços são calculados pelas equações (4.11) e (4.12) partindo de um exemplo de laje presente neste estudo, com um esquema estrutural bi-encastrada, uma espessura de 0,26 m e 7 m de vão. (4.11) Em que (4.12) e Ac em mm2. Tabela 4.22 – Comparação entre esforço transverso resistente e actuante. Ned=0 kN Ned=−303 kN Vrd,c 127 kN 88 kN Ved 57 kN Como seria expectável, a segurança ao esforço transverso continua garantida mesmo considerando as deformações impostas. 4.5. CONCLUSÕES O presente capítulo pretendeu estudar o comportamento estrutural de lajes fortemente restringidas axialmente, impedidas de se deformar devido ao efeito da retração. Devido ao impedimento da sua livre movimentação horizontal a laje é sujeita a um esforço axial de tração, combinada com o momento flector, que tem de ser tido em conta na estimativa da armadura. No estudo das lajes do presente capítulo conclui-se que o tamanho do elemento finito não tem grande relevância na qualidade dos resultados obtidos. Pelas análises realizadas ao longo deste capítulo, concluísse também que o esforço axial para dimensionar a armadura que garanta o estado limite último e estado limite de serviço é 40%-45 % do esforço de fendilhação da laje, sendo o primeiro esforço axial considerado na análise não linear uma boa estimativa. A evolução da fendilhação, baseada no programa de cálculo automático, permite concluir justificar-se a dispensa de armadura continuando os estados limites a ser garantidos depois da dispensa. Concluísse por fim que a fenda que atravessa toda a seção transversal não apresenta uma abertura significativa, estando assim ultrapassados os problemas que poderiam surgir com a segurança ao corte da laje.   db A N fkV c ed ckscRd        15,010012,0 3/1 ,  mmemd d k, 200 1 Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 63 5 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS 5.1. CONCLUSÕES A presente dissertação pretende contribuir para a melhor compreensão dos efeitos associado das deformações impostas devidas à retração em estruturas laminares de betão armado (lajes).Essas deformações quando restringidas originam um esforço axial que quando atinge a resistência à tração do betão leva ao aparecimento de fendas. Como em estado limite de serviço não se conhece o esforço axial verdadeiramente instalado na laje, pretendeu-se através de metodologias de análise não-linear, recorrendo a um programa de cálculo automático, estimar de uma forma correta o esforço axial verdadeiramente instalado na laje. Tendo em conta este esforço realmente instalado procedeu-se à estimativa da armadura necessária que garanta a segurança em estado limite de serviço. Foram também feitas considerações sobre a resistência em estado limite último. Numa primeira fase do trabalho, procedeu-se ao estudo e modelação do comportamento diferido do betão não fendilhado, considerando os fenómenos de retração e fluência. Nesta etapa, percebeu-se como variavam estes efeitos ao longo do tempo, através de pequenos exemplos recorrendo ao programa de cálculo DIANA. Com o desenvolvimento da retração originam-se tensões de tração no betão (quando a deformação por retração está restringida, por efeito dos apoios ou da armadura). Foram também validados os procedimentos empregues na análise não-linear. Por outro lado, utilizando os conceitos de tension softening e tension stiffening, e empregando um modelo de fendilhação com múltiplas fendas fixas e decomposição de extensões, modelou-se o comportamento do betão fendilhado. Concluiu-se também que não era necessário simular de forma explícita a aderência entre o aço e o betão, pois este efeito é corretamente simulado, para os fins pretendidos, através do efeito de tension stiffening. A correta modelação do betão fendilhado é importante para a modelação realista dos fenómenos em estudo. Numa fase subsequente do trabalho analisou-se a variação do esforço axial e da abertura de fendas em tirantes fortemente restringidos sujeitos a deformações impostas interna e externa. Nestes casos concluiu-se que o tamanho do elemento finito é importante para uma correta dissipação da energia de fratura e simulação do processo de formação de fendas. Os tirantes estão sujeitos a tração pura sendo Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 64 difícil a localização prévia das fendas, tendo sido necessário variar a resistência à tração do betão de elemento para elemento. Para um tirante sujeito a uma deformação imposta externa sem retração, a variação do esforço axial, como seria expectável, é ascendente, isto é, abre uma nova fenda quando é atingido o esforço de fendilhação (Ncr=fct*Ac) em cada elemento finito. Por outro lado, para um tirante com deformação imposta interna, devido ao efeito conjunto da retração, da restrição dos apoios e da armadura as fendas surgem para valores do esforço axial inferiores ao esforço de fendilhação num tirante com deformação imposta externa. Este facto faz com que a variação do esforço axial num tirante com deformação imposta interna seja descendente. Em termos de abertura de fendas conclui-se que os valores das aberturas de fendas são idênticos, quer a deformação imposta seja interna ou externa. A consideração desta diferença de variação de esforço axial entre tirantes sujeitos a deformações impostas é importante no dimensionamento de estruturas fortemente restringidas. Com vista a estudar esta importância, na presente dissertação estudaram-se laje maciças armadas numa direção fortemente restringidas axialmente por se encontrarem ligadas a paredes com uma rigidez muito elevada. No estudo das lajes, resultado da variação do momento flector ao longo do seu desenvolvimento, concluiu-se que o tamanho do elemento finito não é importante para a correta obtenção dos resultados desde que esse tamanho seja tal que permita captar o processo de formação de várias fendas. Com o objetivo de perceber que esforço axial está realmente instalado na laje, em estado limite de serviço, adotou-se uma metodologia considerando dois limites para o esforço axial instalado em serviço. Primeiramente, estimou-se um limite inferior para a armadura necessária adoptando-se um esforço axial N=0, e quantificou-se a armadura necessária para garantir a segurança em estado limite último e estado limite de serviço (limitação da abertura de fendas em serviço a 0.3 mm). Numa análise não linear considerando a armadura assim quantificada, concluiu-se que a aberturas da fendas que ocorre de facto na laje são muito superiores a 0.3 mm. Seguidamente, considerou-se na estimativa de armadura um esforço axial igual ao esforço de fendilhação (Ncr=Ac*fctm). Considerando este esforço, a laje encontra-se em flexão composta com tração. Foram quantificadas as armaduras necessárias, com base nesse pressuposto. Considerando essa estimativa de armadura, e realizando uma nova análise não-linear, verificou-se que as aberturas de fendas reais na laje eram significativamente inferiores ao valor limite de 0,3 mm. Concluiu-se que a amadura pode ser reduzida, tendo-se verificado, numa análise paramétrica de diferentes tipos de lajes maciças com funcionamento uni-direcional, que o esforço axial realmente instalado na laje toma valores iguais a 37%-44% do esforço de fendilhação ( Ncr=fctm*Ac). Esse é o valor que deve ser considerado, em projeto, na quantificação da armadura que garante a verificação do estado limite de abertura de fendas. A aplicação deste valor a lajes com configuração geométrica diferente daquelas que foram consideradas no presente estudo, deve ser realizada de modo criterioso. Com este esforço axial, foi possível reduzir a armadura em cerca de 20% a 30% relativamente à que é estimada tendo em conta um esforço de fendilhação Ncr=Ac*fctm. Em termos regulamentares, o EC2 não é esclarecedor na consideração dos efeitos das deformações impostas restringidas, quando o efeito das deformações impostas é combinado com ações gravíticas, nomeadamente no que concerne o cálculo da armadura mínima para elementos de betão armado na zona traccionada (7.3.2. do EC2), na verificação de flechas, em fase de serviço, em vigas ou lajes (7.4.2 do EC2) e a verificação da segurança em relação ao esforço transverso em elementos onde não é exigida armadura de esforço transverso. Este é um dos factos que justifica a realização de trabalhos de investigação sobre este tema. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 65 5.2. DESENVOLVIMENTOS FUTUROS No seguimento do presente trabalho, e tendo em conta aspectos que não foram possíveis de abordar nesta dissertação, aconselham-se os seguintes desenvolvimento futuros:  Estudo da quantificação do esforço axial realmente instalado e abertura de fendas devido às deformações impostas em lajes maciças bi-direcionais, apoiando-se numa grelha de vigas para diferentes tipos de apoios em volta do painel de laje (com continuidade estrutural ou possibilidade de rotação);  Comparação dos resultados do presente estudo com uma análise alternativa tendo em conta um modelo de aderência aço/betão;  Estudo da fendilhação em lajes fungiformes e aligeiradas fortemente restringidas axialmente com combinação de ações verticais;  Análise paramétrica para avaliação dos parâmetros que mais influenciam o valor do esforço axial instalado em serviço devido ao impedimento das deformações. Estudo da Fendilhação em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retração e Das Ações Distribuídas No Piso 66 BIBLIOGRAFIA Alfredsson, H., & Spals, J. (2008). Cracking Behaviour of Concret Subjected to Restraint Forces. Master's Thesis Goteborg, Sweden: Chalmers University of Technology. Camara, J., & Figueiredo, C. (2012). Concepção de Edificios com Grande Area de Implantação. Encontro Nacional de Betão Estrutural (pp. 1-10). Porto: Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. Camara, J., & Luis, R. (2006). Strctural Response and Design Criteria for Imposed Deformations Superimposed to Vertical Loads Effects. Naples,Italy. Camara, J., & Ricardo, L. (s.d.). Crack Control for Imposed Deformations. Carino, N., & Clifton, J. R. (April de 1995). Prediction of Cracking in Reinforced Concret Strutures. Master Thesis,Gaithersburg, United States of America. CEB-FIP. (1991). MODEL CODE 1990. London. CEN. (2010). 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