Estabilidade de soluções de inclusões diferenciais via método de medianização
Full text
Ricardo Gama Estabilidade de soluções de inclusões diferenciais via método de medianização Departamento de Matemática Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 2012
Ricardo Gama Estabilidade de soluções de inclusões diferenciais via método de medianização Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de Doutor em Matemática Aplicada Departamento de Matemática Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 2012
Tese realizada sob a orientação do Professor Doutor Gueorgui V. Smirnov e da Professora Doutora Anna D. Guerman
Aos meus avós. 4
Agradecimentos O meu profundo agradecimento aos meus amigos e à minha família, em particular aos meus pais, à Joana e à Inês, pelo apoio e incentivo durante a realização deste trabalho. Quero também deixar um sincero muito obrigado à Professora Anna Guermam e em especial ao Professor Gueorgui Smirnov que me conduziu ao longo deste percurso, sempre com grande dedicação e disponibilidade. Sem o seu apoio este trabalho não teria sido possível. 5
Resumo O método de medianização é um dos mais poderosos métodos utilizados para a análise de equações diferenciais que aparecem no estudo de problemas não lineares. A ideia por trás do método consiste em substituir a equação original por uma equação medianizada, com estrutura simples e soluções próximas. Nesta tese demonstramos extensões naturais do primeiro Teorema de Bogolyubov e do Teorema de Samoilenko-Stanzhitskii para inclusões diferenciais com segundo membro semi-contínuo superiormente. A extensão do Teorema de Bogolyubov diz respeito a intervalos de tempo finitos, enquanto que na extensão do Teorema de Samoilenko-Stanzhitskii tratamos de soluções definidas em intervalos infinitos. É também proposto um método para estudar a estabilidade exponencial fraca de inclusões diferenciais não autónomas, aplicando um procedimento de medianização à sua primeira aproximação. Os resultados apresentados são utilizados para a resolução de alguns problemas práticos. Em particular, aplicamos o método a um problema de estabilização do movimento de uma formação de dois satélites. 6
Abstract The averaging method is one of the most powerful methods used to analyse differential equations appearing in the study of nonlinear problems. The idea behind the averaging method is to replace the original equation by an averaged equation with simple structure and close solutions. In this thesis we prove natural extensions of Bogolyubov’s first theorem and the Samoilenko-Stanzhitskii theorem to differential inclusions with an upper semi-continuous right-hand side. The extension of Bogolyubov’s theorem concerns finite time intervals, while the extension of the Samoilenko-Stanzhitskii theorem deals with solutions defined on the infinite interval. A method to study weak exponential stability for time-varying differential inclusions applying an averaging procedure to a first approximation is also proposed. We use the presented results to solve some practical problems. Namely, we apply the developed method to stabilize the orbital motion of a formation of two satellites. 7
Résumé La méthode de centrage est l’une des plus puissantes méthodes utilisées dans l’analyse d’équations différentielles qui apparaissent dans l’étude de problèmes non linéaires. L’idée qui préside à cette méthode consiste à remplacer l’équation originelle par une équation de centrage, avec une structure simple et des solutions proches. Dans cette thèse, nous démontrons des extensions naturelles du premier Théorème de Bogolyubov et du Théorème de Samoilenko-Stanzhitskii pour des inclusions différentielles avec un deuxième membre semi-continu supérieurement. L’extension du Théorème de Bogolyubov concerne des intervalles de temps finis, tandis que dans l’extension du Théorème de Samoilenko-Stanzhitskii il s’agit de solutions définies dans des intervalles infinis. On propose aussi une méthode pour étudier la stabilité exponentielle faible d’inclusions différentielles non autonomes, en appliquant une procédure de centrage à son premier approche. Les résultats présentés sont utilisés dans la résolution de quelques problèmes pratiques. En particulier, on applique la méthode à un problème de stabilisation du mouvement d’une formation de deux satellites. 8
Índice Agradecimentos 5 Resumo 6 Abstract 7 Résumé 8 Introdução 11 1 Conceitos básicos e resultados auxiliares 14 1.1 Conjuntos e aplicações multívocas .................. 15 1.2 Inclusões diferenciais ......................... 19 1.3 Estabilidade .............................. 20 1.4 Análise da estabilidade fraca através da primeira aproximação . 23 1.5 Equações diferenciais com segundo membro descontínuo . . . . 25 2 Método de medianização 30 2.1 Método de medianização ....................... 30 2.2 Método de medianização em equações diferenciais com segundo membro descontínuo ......................... 32 2.3 Método de medianização em inclusões diferenciais ........ 35 3 Extensões do Método de Medianização 41 9
Para um dado conjunto, a função de Minkowski é uma função convexa, Lipschitziana e positivamente homogénea. Definição 1.3: Seja A⊂Rnum conjunto convexo. A função S(A,ψ) = sup{ha,ψi|a∈A}, é chamada função de suporte do conjunto A.♦ A função de suporte como função do conjunto verifica (veja, por exemplo, Moszynska (2005)): S(αA +βB,ψ) = αS(A,ψ)+βS(B,ψ),(1.1) para quaisquer conjuntos convexos A,B ⊂Rneα,β ⩾0. Em particular, temos S(αA +x,ψ) = αS(A,ψ)+hx,ψi, para qualquer x∈Rn. A proposição seguinte relaciona a distância de Hausdorffcom a função de suporte (veja, por exemplo, Moszynska (2005)): Proposição 1.1 Sejam A,B ⊂Rndois conjuntos compactos convexos. Então dH(A,B) = sup |ψ|=1 |S(A,ψ)−S(B,ψ)|. No que segue, vamos trabalhar com aplicações multívocas F:R×Rn→K(Rn), onde K(Rn) denota o conjunto de todos os subconjuntos compactos de Rn(KK(Rn) denota o conjunto de todos os subconjuntos compactos convexos de Rn). Denotamos por F(Rn) o conjunto de todos os subconjuntos fechados de Rn. O gráfico de uma aplicação multívoca é denotado por grF. A bola unitária fechada no espaço das funções contínuas f: [0,T ]→Rncom norma uniforme, C([0,T ],Rn), é denotada por B. O conjunto das funções localmente integráveis f: [0,∞[→Rn é denotado por Lloc 1([0,∞[,Rn) e L1([0,∞[,Rn) denota o conjunto das funções f: [0,∞[→Rnintegráveis. O integral da aplicação multívoca Fé entendido no sentido de Lebesgue, também conhecido por Integral de Aumann, ou seja: Definição 1.4: Seja F: [a,b]→ K(Rn) uma aplicação multívoca, o integral de Lebesge é definido por b Z a F(t)dt =(Zb a f(t)dt |f(·)∈L1([a,b],Rn), f (t)∈F(t),t ∈[a,b])(1.2) ♦ 16
Em aplicações práticas, o calculo do integral é efetuado recorrendo ao integral de Riemann para aplicações multívocas. Consideremos S={a=t0< t1< ... < tN=b}uma partição do intervalo [a,b]. Seja δ(S) = max 0⩽i⩽N(ti+1 −ti) o diâmetro da partição. Temos a seguinte definição: Definição 1.5: Seja F: [a,b]→KK(Rn) uma aplicação multívoca. O integral de Riemann de F, é definido como sendo b Z a F(t)dt = lim δ(S)→0 N X i=0 F(ξi)(ti+1 −ti), onde ξi∈[ti,ti+1] e caso o limite, entendido no sentido da distância de Haudorff exista. ♦ Para algumas propriedades deste integral e em que condições temos igualdade das duas definições, ver, por exemplo, Polovinkin (1975). Uma das utilidades da função de suporte é que esta permite transformar um integral de uma aplicação multívoca num integral de uma função escalar, através da a seguinte igualdade, (ver, por exemplo, Castaing & Valadier (1977)): S b Z a F(s)ds,ψ= b Z a S(F(s),ψ)ds, permitindo deste modo calcular integrais de aplicações multívocas. A seguinte propriedade é utilizada nos resultados apresentados posteriormente. Proposição 1.2 Seja F:R×Rn→KK(Rn)é uma aplicação multívoca. Então, quaisquer que sejam as constantes a,b,c ∈R, com a<bec > 0, a seguinte desigualdade é verificada: dH b Z a cF(s,x1(s))ds, b Z a cF(s,x2(s))ds⩽c b Z a dH(F(s,x1(s)),F(s,x2(s))ds. Demonstração: Escrevendo a distância de Hausdorffà custa das funções de suporte dos conjuntos, obtemos dH b Z a cF(s,x1(s))ds, b Z a cF(s,x2(s))ds 17
= sup |ψ|=1 S b Z a cF(s,x1(s))ds,ψ−S b Z a cF(s,x2(s))ds,ψ = sup |ψ|=1 c b Z a [S(F(s,x1(s)),ψ)−S(F(s,x2(s)),ψ)]ds ⩽c b Z a sup |ψ|=1[S(F(s,x1(s)),ψ)−S(F(s,x2(s)),ψ)]ds =c b Z a dH(F(s,x1(s)),F(s,x2(s)))ds, demonstrando o resultado. A seguinte caracterização de aplicações multívocas é utilizada frequentemente: Definição 1.6: A aplicação multívoca F:R×Rn→ K(Rn) é chamada de Lipschitziana, se existe uma função integrável k(·) tal que para quaisquer t,x1,x2 temos dH(F(t,x2),F(t,x1)) ⩽k(t)|x2−x1|, ou equivalentemente, F(t,x2)⊂F(t,x1)+k(t)|x2−x1|Bn.(1.3) ♦ Outras caracterizações mais fracas, que são referidas posteriormente, são dadas pelas definições (ver, por exemplo, Donchev & Farkhi (1998)): Definição 1.7: A aplicação multívoca F:R×Rn→ K(Rn) é chamada de Lipschitziana Unilateral Uniforme com constante λ(não necessariamente positiva) se e só se para todos x,y ∈Rn, fx∈F(t,x),fy∈F(t,y) e t∈Rtemos hx−y,fx−fyi⩽λ|x−y|2.(1.4) ♦ Definição 1.8: A aplicação multívoca F:R×Rn→ K(Rn) é chamada de Lipschitziana Unilateral com constante λ(não necessariamente positiva) se e só se para todos x,y ∈Rn, fx∈F(t,x) e t∈R, existe um fy∈F(t,y) que satisfaz hx−y,fx−fyi⩽λ|x−y|2.(1.5) ♦ 18
1.2 Inclusões diferenciais Recordemos a seguinte definição (ver, por exemplo, Kolmogorov & Fomin (1970)): Definição 1.9: Uma função x(·), diz-se absolutamente contínua se existir uma função integrável no sentido de Lebesgue v: [a,b]→Rn, tal que x(t) = x(a) + Zt a v(s)ds, t ∈[a,b]. ♦ Denotaremos por AC([0,L],Rn) o espaço das funções absolutamente contínuas x: [0,L]→Rn. Um problema de Cauchy envolvendo inclusões diferenciais é um problema da forma ˙ x∈F(t,x), x(0) = x0, t ∈[0,L],(1.6) onde as soluções vão ser funções absolutamente contínuas que verificam (1.6) em quase todos os pontos do intervalo [0,L]. Neste trabalho, denotamos por S[0,L](F,x0) o conjunto de soluções do problema anterior e por A(L)(F,x0) = {x(L)|x(·)∈ S[0,L](F,x0)}o conjunto atingível do mesmo. Se C⊂Rnfor um conjunto, utilizamos a seguinte notação S[0,L](F,C) = [ x0∈CS[0,L](F,x0). Um dos resultados mais importantes na teoria de inclusões diferenciais é o Teorema de Filippov. Este teorema tem muitas aplicações e, para além de ter como corolário a existência de soluções do problema (1.6) quando a aplicação Fé Lipschitziana, é utilizado na demonstração de alguns dos resultados que vamos referir posteriormente. Vejamos a seguinte definição: Definição 1.10: A aplicação multívoca F:R→ F (Rn) é chamada mensurável se para todo o conjunto fechado C⊂Rntemos que {t∈R|F(t)∩C,∅}, é mensurável no sentido de Lebesgue. ♦ Consideremos F:R×Rn→F (Rn) uma aplicação multívoca que satisfaz: (i) F(t,·) Lipschitziana com constante k(t), para quase todo t∈[0,L]; 19
(ii) F(·,x) é mensurável para todo x∈Rn. então, temos o seguinte resultado: Teorema 1.1 Seja δ⩾0ey: [0,L]→Rnuma função absolutamente contínua que satisfaz d(˙ y(t),F(t,y(t))) ⩽ρ(t)a.e. t∈[0,L], onde ρ(·)∈L1([0,L],R). Suponhamos que as condições (i)-(ii) são verificadas na região {(t,x)|t∈[0,L],|x−y(t)|⩽δ}ex0é tal que |x0−y(0)|< δ. Então, existe uma solução x(·)∈S[0,L](F,x0)que satisfaz |x(t)−y(t)|⩽ξ(t)e|˙ x(t)−˙ y(t)|⩽k(t)ξ(t)+ρ(t), onde ξ(t) = δem(t)+Zt 0em(t)−m(s)ρ(s)ds, m(t) = Zt 0k(s)ds. Outro resultado importante, também da autoria de Filippov, é o seguinte: Teorema 1.2 Sejam f:Rn×Rk→Rmuma função contínua e v:Rn→Rmuma função mensurável. Suponhamos que U⊂Rké um conjunto compacto tal que v(x)∈ f(x,U)para quase todo x. Então, existe uma função mensurável u:Rn→Uque verifica v(x) = f(x,u(x)). Este resultado mostra a equivalência entre o sistema de controlo ˙ x=f(x,u), u ∈U⊂Rk,(1.7) e a inclusão diferencial ˙ x∈F(x)≡f(x,U) = [ u∈U f(x,u).(1.8) 1.3 Estabilidade O estudo da estabilidade das soluções de (1.6) assume um papel fundamental em aplicações práticas. A teoria da estabilidade é uma ferramenta essencial no estudo qualitativo das soluções de equações diferenciais ordinárias e de inclusões diferenciais, ver por exemplo Khalil (2002); Smirnov (2002); Bacciotti & Rosier (2005). Recordemos as seguintes definições de estabilidade, onde a origem é assumida como sendo uma posição de equilíbrio da inclusão ˙ x∈F(x),(1.9) 20
ou seja, 0 ∈F(0). Definição 1.11: Dizemos que a posição de equilíbrio x= 0 da inclusão (1.9) é (i) estável se, dado um η > 0 qualquer, existe um δ(η)>0 tal que para qualquer x0∈δBn, todas as soluções x(·)∈S[0,∞](F,x0), com x(0) = x0verificam x(t)∈ηBnpara todo t⩾0. (ii) assintóticamente estável, se é estável e atrativa, isto é, existe um δ0>0 tal que para todo x0∈δ0Bntemos que lim t→∞x(t)=0.(1.10) ♦ Como podemos constatar nas definições anteriores, é exigido que todas as soluções da inclusão verifiquem as condições de estabilidade. Se esta condição for enfraquecida e se considerar que existe pelo menos uma solução a verificar as condições de estabilidade, passamos a ter estabilidade fraca, e a posição de equilíbrio será fracamente estável e fracamente assintóticamente estável respetivamente, ver, por exemplo, Smirnov (2002). No capítulo 4, abordamos exclusivamente estabilidade forte, deixando o estudo da estabilidade fraca para o capítulo 5. Como na maior parte das vezes, será evidente a que tipo de estabilidade nos referimos, só usaremos o adjetivo fraca quando houver risco de confusão. Outra caracterização importante é a de estabilidade exponencial. Consideremos a inclusão diferencial ˙ x∈F(t,x).(1.11) Assumindo que 0 ∈F(0,t), para todo t⩾0, temos as seguintes definições: Definição 1.12: Dizemos que a posição de equilíbrio x= 0 da inclusão (1.11) é (i) fracamente assintóticamente estável, se dado um η > 0 qualquer, existe um δ(η)>0 tal que para qualquer x0∈δBn, pelo menos uma solução x(·)∈ S[0,∞](F,x0), com x(0) = x0, satisfaz |x(t)|< η para todo t≥0, e lim t→∞x(t)=0. (ii) fracamente exponencialmente estável, se existem constantes positivas c, γ, e δtais que para qualquer x0∈δBnpelo menos uma trajetória x(·)∈ S[0,∞](F,x0) com x(0) = x0satisfaz |x(t)|⩽c|x0|e−γt, t ≥0.(1.12) ♦ 21
Para equações diferenciais ordinárias, o estudo da estabilidade de sistemas não lineares pode ser estendido a sistemas que só apresentam estabilidade, não a todas, mas só relativamente a alguma parte das variáveis, ver por exemplo Vorotnikov (2003,2005). Para estender algumas dessas ideias a inclusões diferenciais, vamos considerar aplicações multívocas da forma F(x) = F1(x1,x2)× F2(x1,x2)∈K(Rn) e o sistema de inclusões diferenciais ˙ x1∈F1(x1,x2),(1.13) ˙ x2∈F2(x1,x2).(1.14) Assumindo que x1= 0 é uma posição de equilíbrio parcial do sistema de inclusões anterior, i.e. 0 ∈F1(0,x2), temos as seguintes definições de estabilidade parcial: Definição 1.13: A posição de equilíbrio parcial x1= 0 do sistema (1.13)e(1.14) é chamada de (i) parcialmente σ-estável se, dado um η > 0, existe um µ(η)>0 e σ > 0 tal que todas as soluções (x1(·),x2(·)) de (1.13) e (1.13) com condições iniciais (x1(0),x2(0)) ∈µBm×σBpsatisfazem |x1(t)|< η para todo t⩾0. (ii) parcialmente estável se na definição anterior σ=∞. (iii) parcialmente assintoticamente σ-estável (estável) se, para alem de ser σestável (estável), existe um δ0>0 para o qual a igualdade lim t→∞x1(t)=0 é verificada, sempre que x1(0) ∈δ0Bm.♦ 22
x1 2 x1 1 x2 1 x(t) = x(t;t0,x0) |x1|=η |x1(0) |=µσ −σ Figura 1.1: Interpretação geométrica da definição de posição de equilíbrio σestável: x= (x1 1,x1 2,x2 1)∈R2×R 1.4 Análise da estabilidade fraca através da primeira aproximação Tal como acontece no estudo de sistemas de equações diferenciais ordinárias, a análise qualitativa de inclusões diferenciais pode ser simplificada recorrendo a métodos de primeira aproximação, linearizando o segundo membro em torno da origem. Nesta secção, apresentamos alguns resultados que serão utilizados no capítulo 5, no estudo da estabilidade fraca de inclusões diferenciais através do método de medianização. Consideremos a inclusão diferencial ˙ x∈F(t,x),(1.15) onde a aplicação multívoca F:R×Rn→F (Rn) satisfaz as seguintes condições: (C1) 0 ∈F(t,0),∀t⩾0; (C2) a aplicação Fé periódica em tcom período T > 0, i.e., F(t+T ,x) = F(t,x) para todos (t,x)∈R×Rn; (C3) a aplicação F(·,x) é mensurável para todo x∈Rn. Existe uma função b(·)∈ L1([0,T ],R) tal que F(x,t)⊂b(t)Bnpara todos (t,x)∈R×Rn; 23
(C4) a aplicação F(t,·) é Lipschiztiana para todo t∈[0,T ], com constante k(t), onde k(·)∈L1([0,T ],R). Temos a seguinte definição: Definição 1.14: Um processo convexo não autónomo é uma aplicação multívoca A:R×Rn→F (Rn) que verifica: •A(t,λx) = λA(t,x), x ∈domA(t,·), λ > 0; •A(t,x1)+A(t,x2)⊂A(t,x1+x2),∀x1,x2∈domA(t,·). para todo t⩾0. ♦ Em análise multívoca, as aplicações análogas às aplicações lineares unívocas são processos convexos. Neste trabalho assumimos que os processos convexos considerados verificam domA(t,·) = Rn,∀t⩾0. Definição 1.15: A aplicação A:R×Rn→ F (Rn) é uma primeira aproximação da aplicação F:R×Rn→ F (Rn), no ponto de equilíbrio x= 0, se A(t,·) é um processo convexo e se para todo (x0,v0)∈grA(t,·) a seguinte igualdade é verificada: lim h↓0h−1d(hv0,F(t,hx0)) = 0, para todo t⩾0. ♦ Se uma primeira aproximação é dada, podemos considerar a seguinte inclusão diferencial: ˙ x∈A(t,x),(1.16) e estudar propriedades de estabilidade fraca da inclusão (1.15) através das propriedades da primeira aproximação. Um resultado nesse sentido, que será usado posteriormente surgiu no trabalho de Smirnov (1995). Nele foi mostrado que sob as condições: (C5) a aplicação A(t,·) é uma primeira aproximação da aplicação coF(t,·) em x= 0 para todos os valores de t; (C6) a aplicação A(·,x) é periódica em tcom período T > 0, i.e, A(t+T ,x) = A(t,x) para todos (t,x)∈R×Rn; (C7) a aplicação A(·,x) é mensurável para todo x∈Rne domA(t,·) = Rn,∀t⩾0, 24
a posição de equilíbrio x= 0 da inclusão diferencial (1.15) é fracamente assintóticamente estável, sempre que a posição de equilíbrio x= 0 da inclusão diferencial (1.16) é fracamente assintóticamente estável. A mesma demonstração leva ao seguinte teorema mais forte. Teorema 1.3 Se a posição de equilíbrio x= 0 da inclusão diferencial (1.16) é fracamente assintóticamente estável, então x= 0 vai ser uma posição de equilíbrio fracamente exponencialmente estável da inclusão diferencial (1.15). Alguns resultados sobre estabilidade assintótica fraca de inclusões diferenciais autónomas da forma ˙ x∈A(x),(1.17) onde A(·) é um processo convexo, são conhecidos. O seguinte resultado, que pode ser obtido do Teorema 9.1 de Smirnov (2002), vai ser importante. Teorema 1.4 Seja x= 0 uma posição de equilíbrio assintoticamente estável da inclusão diferencial (1.17). Então, existe um poliedro convexo M, com vértices {x1,...,xm} e números h > 0eδ∈]0,1[ tais que 0∈intMe para todos k= 1,m existe um vetor vk∈A(xk)que satisfaz a inclusão xk+hvk∈(1−δh)M. 1.5 Equações diferenciais com segundo membro descontínuo Tal como referido anteriormente, quando consideramos um sistema de equações com segundo membro descontínuo, podemos recorrer à generalização do conceito de solução introduzida por Filippov a fim de estudar o mesmo. Neste trabalho iremos utilizar uma definição, ver por exemplo Smirnov (2002), que é ligeiramente diferente da introduzida originalmente por Filippov. Concretamente, a generalização que iremos utilizar consiste em substituir o sistema ˙ x=f(t,x),(1.18) onde x∈Rnef:R×Rn→Rné uma função descontínua limitada, por uma inclusão diferencial. Assim, as soluções do problema (1.18) são definidas como soluções da inclusão diferencial ˙ x∈F(t,x),(1.19) onde F:R×Rn→K(Rn) é a aplicação multívoca dada por: F(t,x) = \ δ>0 clco{f(t,x +δBn)}.(1.20) 25
equivalentes ao anterior podem ser obtidos considerando estabilidade assimptótica, M’Closkey (1997). 2.2 Método de medianização em equações diferenciais com segundo membro descontínuo As demonstrações usuais do primeiro Teorema de Bogolyobov baseiam-se em um de dois métodos: • Utilização de uma mudança de variável que permite excluir, em primeira aproximação em , a variável tempo tdo segundo membro do sistema (2.1); • Cálculo direto da distância entre as soluções do problema original e medianizado. Concretamente, no primeiro método de prova, desenvolvido originalmente por Boguliobov, é mostrado que após uma mudança de variável, x=y+u(t,y,), o sistema (2.1) pode ser transformado em ˙ y=f (y)+2q(t,y,).(2.3) Assim, o sistema original, pode ser entendido como uma perturbação do sistema (2.2), levando a uma interpretação do método de medianização como um problema de perturbação. Neste contexto, podem ser utilizados resultados da Teoria de Perturbações, de forma a mostrar a validade do teorema, ver por exemplo Bogoliubov & Mitropolski (1961); Hale (1969); Murdock (1991); Khalil (2002). A utilização desta abordagem tem a vantagem de conseguir importar alguns métodos da Teoria de Perturbações, em particular métodos de análise qualitativa, aplicando os mesmos, a problemas de medianização, Khapaev (1992); Burd (2007). No entanto, é usualmente assumido que a função f, assim como as suas derivadas parciais até à segunda ordem, são contínuas e limitadas num dado domínio, tornando a utilização deste método mais difícil de generalizar a outros enquadramentos. Por outro lado, na abordagem à prova do Teorema de Bogoliubov, que utiliza o cálculo direto da distância entre as soluções do problema original e medianizado, podem ser utilizadas uma de duas estratégias. Uma, aplica o facto da proximidade das soluções do problema (2.2) às soluções do problema (2.1) ser uma consequência direta da dependência continua das soluções da equação ˙ x=g(t,x,λ) 32
no parâmetro λ; onde x∈Rn,g(t,x,λ)∈Rnet∈R,Krasnosel’skii & Krein (1955). A outra, estabelece a proximidade das soluções, construindo primeiro duas quase-soluções aos problemas (2.1)e(2.2), y(t) = x0+ t Z 0 f(s,x(s))ds, y(t) = x0+ t Z 0 f(x(s))ds, e utiliza a desigualdade de Gronwall para obter a estimativa da distância. Ambas as técnicas não requerem condições tão fortes de diferenciabilidade, impondo apenas que as funções envolvidas sejam limitadas e satisfaçam a condição de Lipschitz, ver por exemplo Sanders & Verhulst (1985). Apesar da teoria por detrás do método de medianização ser bastante frutífera, existem muitas aplicações práticas onde os problemas são descritos por sistemas para os quais as condições do Teorema de Bogoliubov não se verificam, impossibilitando a justificação rigorosa da aplicação do método de medianização. Um exemplo disso são sistemas modelados por equações diferenciais com segundo membro descontínuo. Um dos primeiros trabalhos a estender o método de medianização a sistemas com segundo membro descontínuo foi apresentado por Matveev et al. (1978), no qual a validade do Teorema de Bogoliubov foi demonstrada para sistemas descontínuos que verifiquem as seguintes condições, para um dado domínio Q={(t,x)|t≥0,x ∈D⊂Rn}: (I) O limite lim t→∞ 1 t t Z 0 f(s,x)ds =f(x) existe no domínio D, uniformemente em x; (II) A função f(t,x) é mensurável em tpara todo x∈De existe uma constante M > 0 para a qual f(t,x)⊂MBnpara todo (t,x)∈Q M > 0; (III) A função f(x) tem apenas um número finito de superfícies de descontinuidade φi={x:φi(x) = 0},i= 1,k em D, e cada φi(x) é continuamente diferenciável numa vizinhança de φi. A região Dé dividida por φiem regiões Dj,j= 1,N. (IV) Qualquer que seja η > 0, existe um 1(η) tal que, se 0 < < 1(η) e t∈ [0,∞[, em cada região Dj, excluindo uma η-vizinhança, Vη(φi), das superfícies definidas por φi, existe uma função não decrescente ψ(·), que verifica lim α→0ψ(α) = 0, tal que |f(t,x2)−f(t,x1)|⩽ψ(|x2−x1|), 33
para x1,x2∈Dj\[ i Vη(φi) arbitrários; (V) Existe uma solução contínua x(t) de (2.2), em [0,L], que tem no máximo um número finito de intersecções com as superfícies φi, nos pontos (tl,xl), xl=x(tl), l= 1,···,m; (VI) Numa ρ-vizinhança dos pontos de intersecção x(ti) da trajetória x(t) com as superfícies φi, as seguintes desigualdades são verificadas: f(t,x),5φi(x)⩾β > 0, ou f(t,x),5φi(x)⩽−β < 0, para quase todo t. Estas condições, permitem justificar a aplicação do método a sistemas cujo segundo membro do sistema medianizado é descontínuo. Para além disso, as trajetórias do sistema medianizado não apresentam nenhum tipo de deslizamento nas superfícies de descontinuidade, condição (VI). É de notar também que a condição (V) não é de fácil verificação. Seguidamente, em Plakhtienko (1985), foi mostrado um resultado semelhante, mas com condições mais fáceis de verificar em exemplos práticos. Mantendo a primeira condição, foi imposto que: (II) A função f(t,x) é absolutamente integrável em tpara todo x∈De existe uma única solução do sistema (2.1), limitada num intervalo arbitrário, mas finito, de tempo; (III) A função f1(t,x) = f(t,x)−f(x) tem apenas um número finito de superfícies de descontinuidade φi={x:φi(x)=0},i= 1,k em D. Nos pontos que não pertencem a essas superfícies, a função f1(t,·) verifica a condição de Lipschitz. (IV) A função f(·) verifica a condição de Lipschitz. (V) A condição f(t,x),5φi(x)=λi,0 (i= 1,...,N), é verificada. (VI) Para todo x0∈D0⊂Det⩾0, a solução de (2.2), assim como uma ρ−vizinhança da mesma, pertencem ao domínio D. 34
Sobre estas condições, Plakhtienko justificou a aplicação do método de medianização a sistemas oscilatórios da forma ¨ x+ω2 0x=h(t,x, ˙ x), onde a função descontínua hassumia uma forma específica. Resultados semelhantes foram obtidos, mais recentemente, por Fidlin (2002,2005) para sistemas periódicos muito particulares. Referimos também os seguintes trabalhos que são citados na bibliografia: Samoilenko (1963); Akilov (1971); Filatov (1974); Klimchuk (1990); Plotnikov & Zverkova (1993)ePlotnikov et al. (1994). Em todos os trabalhos citados, as condições impostas impossibilitam a aplicação do método de medianização a sistemas descontínuos cujas trajetórias apresentem movimento deslizante, deixando assim em aberto o problema da justificação da aplicação do método a sistemas mais gerais. 2.3 Método de medianização em inclusões diferenciais Como vimos na Secção 1.5, para estudar o problema (2.1) com segundo membro descontínuo temos que reescrever o mesmo na linguagem de inclusões diferenciais. Nesse sentido, nesta secção descrevemos os trabalhos existentes sobre o método de medianização para inclusões diferenciais, começando pelos resultados mais antigos obtidos para inclusões Lipschiptzianas e acabamos com os trabalhos mais recentes onde são apresentadas extensões do Teorema de Bogoliubov para inclusões semi-contínuas superiormente. Escrevendo o problema anterior na linguagem de inclusões diferenciais, vamos ter: ˙ x∈F(t,x), x(0) = x0,(2.4) onde é um pequeno parâmetro e F:R×Rn→KK(R) é uma aplicação multívoca. A inclusão medianizada vai ser ˙ x∈F(x), x(0) = x0,(2.5) com F(x) = lim T→∞ 1 T T Z 0 F(s,x)ds, (2.6) sendo a convergência entendida no sentido da distância de Hausdorff: lim T→∞dHF(x),1 T T Z 0 F(s,x)ds= 0. 35
Quando a aplicação multívoca envolvida na inclusão diferencial é Lipschitziana, o problema foi resolvido por Plotnikov (1979 a) para o caso periódico, e Plotnikov (1979 b) para o caso geral. Neste último trabalho, Plotnikov demonstrou a estimativa, dH(A(t)(F,x0),A(t)(F,x0)) < η, 0< < 0(η), t ∈[0,L/] (2.7) impondo as seguintes condições: (I) A aplicação F(t,x) é contínua, limitada e satisfaz a condição Lipschitz em xcom uma constante λ, i.e. F(t,x)⊂MBn, dH(F(t,x2),F(t,x1)) ⩽λ|x2−x1|; (II) O limite (2.6) existe no domínio D, uniformemente em x; (III) Para todo x0∈D0⊂Det⩾0, as soluções de (2.5), assim como uma ρ−vizinhança das mesmas, pertencem ao domínio D. Posteriormente, este resultado foi generalizado por Vasil’ev (1983) a aplicações F(t,x) mensuráveis em te verificando uma condição de Lipschitz mais geral: dH(F(t,x2),F(t,x1)) ⩽λ(t)|x2−x1|, para x1,x2∈Darbitrários, onde Zt2 t1 λ(s)ds ⩽λ(t2−t1) para cada [t1,t2]⊂[0,+∞[, sendo λuma constante. Estes resultados basilares foram estendidos em várias direções. No artigo de Klimchuk (1989), foi apresentada uma generalização do resultado de Plotnikov, em que foram consideradas aplicações multívocas F:R×Rn→F (R) periódicas não limitadas. Em Plotnikov (1980) foi considerado um esquema de medianização parcial, extendendo os primeiros resultados de Plotnikov ao mesmo. De facto, o método de medianização em inclusões diferenciais sofreu um grande desenvolvimento com os trabalhos de Plotnikov e da sua escola. Para uma revisão recente destes trabalhos ver Klymchuk et al. (2011). Referimos também os seguintes livros que são frequentemente citados na bibliografia: Plotnikov (1992,1999). O método de medianização para inclusões diferenciais foi também utilizado noutros contextos. Nomeadamente, foi aplicado em inclusões diferenciais impulsivas, Klymchuk et al. (2011); Perestyuk et al. (2011) e inclusões diferenciais com perturbações, Khapaev & Filatov (1988); Grammel (1996,2003). Foi também aplicado a fim de estudar propriedades de estabilidade em vários tipos de 36
sistemas: Grammel & Maizurna (2004) consideraram sistemas com ruído e em Grammel (2008), o método foi aplicado a sistemas com perturbações singulares. Nos trabalhos de Filatov & Khapaev (1990a,b); Filatov (1994) o método de medianização foi estendido a sistemas com variáveis lentas e rápidas cuja dinâmica é descrita por: ˙ x∈F(t,x,y,), x(0) = x0, ˙ y∈G(t,x,y,), y(0) = y0,(2.8) onde, tal como anteriormente, é um pequeno parâmetro do problema. Nestes trabalhos, foi introduzido um processo de medianização mais geral que o anterior, permitindo incluir os casos em que o limite (2.6) não existe. De facto, a aplicação multívoca medianizada foi definida como sendo a aplicação F:Rn→ KK(Rn) que verifica a seguinte condição: para todo η > 0 existe um T(η)>0, tal que para todos (x0,y0)∈D,t⩾0, todas as soluções y(·)∈ S[0,∞[(G,(x0,y0)) e qualquer T⩾T(η), temos 1 T t0+T Z t0 F(s,x0,y(s),0)ds ⊂F(x0) + ηBn. Utilizando algumas destas ideias, Plotnikov (1996 i) obteve uma extensão dos seus primeiros resultados, alargando a sua aplicabilidade aos casos onde se verifica inexistência do limite (2.6). Em concreto, assumindo que existem as aplicações multívocas F+,F−:D→KK(Rn) tais que lim T→∞dCF−(x),1 T T Z 0 F(s,x)ds= 0,(2.9) e lim T→∞dC 1 T T Z 0 F(s,x)ds,F+(x)= 0,(2.10) ou seja, existem aplicações F+(·) e F−(·) tais que, qualquer que seja η > 0 temos F−(x)⊂1 T T Z 0 F(s,x)ds +ηBn, 1 T T Z 0 F(s,x)ds ⊂F+(x) + ηBn, (2.11) 37
podemos associar a inclusão (2.4) às inclusões seguintes ˙ x−∈F−(x−), x−(0) = x0,(2.12) ˙ x+∈F+(x+), x+(0) = x0.(2.13) Impondo as seguintes condições: (I) A aplicação F(t,x) é mensurável em t, contínua em xe existem funções integráveis M(·) e λ(·) e constantes Meλtais que F(t,x)⊂M(t)Bn, dH(F(t,x2),F(t,x1)) ⩽λ(t)|x2−x1|, e, para qualquer segmento finito [t1,t2]⊂[0,+∞[, as desigualdades Zt2 t1 M(s)ds ⩽M(t2−t1),Zt2 t1 λ(s)ds ⩽λ(t2−t1), são verificadas; (II) As aplicações F+(x) e F−(x) são compactas convexas, satisfazem a condição de Lipschitz em xcom constante λ0e limitadas pela constante M, a condição (2.11) é satisfeita uniformemente em x∈D; (III) Para todo x0∈D0⊂D, as soluções de (2.12) e (2.13), assim como uma ρ−vizinhança das mesmas, pertencem ao domínio D. Plotnikov obteve as seguintes estimativas A(t)(F−,x0)⊂A(t)(F,x0)+ηBn, e A(t)(F,x0)⊂A(t)(F+,x0)+ηBn, para os conjuntos atingíveis das inclusões em questão, quando t∈[0,L/]. Na grande parte dos resultados anteriores, a sua demonstração assenta essencialmente na utilização do Teorema de Filippov, Teorema 1.1, e consequentemente é utilizado o facto das aplicações multívocas serem Lipschitzianas. Em alguns trabalhos, esta condição foi enfraquecida permitindo considerar classes mais amplas de inclusões. Em Plotnikova (2005) e Lakrib (2009) foram mostradas versões do Primeiro Teorema de Bogoliubov para aplicações multívocas contínuas. Resultados semelhantes foram também obtidos em Klimov (2008); Klimov & Ukhalov (2009), impondo uma condição de continuidade unilateral na aplicação multívoca da inclusão (2.4). 38
No trabalho de Donchev & Farkhi (1998), foi apresentada uma variante do Teorema de Filippov para inclusões diferenciais com segundo membro que verificam a condição de Lipchitz Unilateral, Definição 1.8. Esta classe de aplicações multívocas é menos restritiva que a classe de aplicações Lipschitzianas, contendo mesmo algumas aplicações descontínuas. Com este resultado, foi possível aplicar as técnicas de demonstração usadas anteriormente, para o caso Lipschitziano, obtendo justificações do método de medianização para sistemas da forma (2.4), Sokolovskaya (2004), e sistemas da forma (2.8), Filatov (2008), com segundo membro verificando a condição de Lipschitz Unilateral. Sob a mesma condição, outras extensões do método foram obtidas para outros contextos nos trabalhos de Donchev & Slavov (1999); Donchev et al. (2004); Donchev & Grammel (2005)eDonchev (2006). Versões do Primeiro Teorema de Bogoliubov para inclusões com segundo membro semi-contínuo superiormente, foram obtidas em Plotnikov (1996 ii). O teorema apresentado garante apenas uma estimativa unilateral para a proximidade das soluções dos dois problemas (2.4)e(2.5): S[0,L/](F,x0)⊂S[0,L/](F,x0) + ηBn,0< < 0(η).(2.14) Esta estimativa foi obtida sob as seguintes condições: (I) A aplicação F:R×Rn→KK(Rn) é semi-contínua superiormente em relação a x, 2π-periódica e mensurável em relação a t, uniformemente limitada por uma função integrável M(t) que verifica Zt2 t1 M(s)ds ⩽M(t2−t1) para qualquer t2> t1⩾0; (II) A aplicação F(x) verifica a condição de Lipschitz com constante λ; (III) Para todo x0∈D0⊂D, as soluções de (2.5), assim como uma ρ−vizinhança das mesmas, pertencem ao domínio D. Apesar de considerar aplicações semi-contínuas superiormente, a forte imposição da verificação da condição de Lipschitz pela aplicação medianizada, reduz a aplicabilidade do resultado a inclusões e equações com segundo membro descontínuo. Por conseguinte, no mesmo trabalho, Plotnikov (1996 ii), foram considerados inclusões descontínuas numa dada superfície D0={x∈Rn|φ(x) = 0},φ(·) diferenciável, da forma particular F(t,x) = (F1(t,x), x ∈D1 F2(t,x), x ∈D2,(2.15) 39
onde as aplicações Fi,i= 1,2 satisfazem a condição de Lipschitz e D1={x∈Rn|φ(x)>0}eD2={x∈Rn|φ(x)<0}. Impondo as condições seguintes (I) As aplicações Fi(t,x), i= 1,2 são contínuas, 2πperiódicas em t, uniformemente limitadas e verificam a condição de Lipschitz com constante λ; (II) Para todo x0∈D0⊂D, as soluções de (2.5), assim como uma ρ−vizinhança, pertencem ao domínio D; (III) As soluções x(t) que tem no máximo um número finito de intersecções com a superfícies D0; (IV) Numa ρ-vizinhança dos pontos de intersecção x(ti) da trajetória x(t) com as superfícies D0, as seguintes desigualdades são verificadas: min z∈F(t,x)z,5φ(x)⩾β > 0, ou max z∈F(t,x)z,5φ(x)⩽−β < 0, para todo t∈[0,2π]; foi obtida uma estimativa semelhante a (2.7) para este tipo de sistemas. Resultados equivalentes foram igualmente obtidos para sistemas descontínuos por partes para os quais a superfície de descontinuidade φ(t,x) apresenta também uma dependência no tempo. As condições impostas, principalmente a (III)e(IV ), são de muito difícil verificação e raramente se encontram, em aplicações práticas, sistemas que admitem a sua confirmação. Estas imposições restritivas levam a que se procure novas abordagens para estender o Primeiro Teorema de Bogoliubov a sistemas descontínuos. Apresentamos alguns desses resultados no próximo capítulo. 40
Capítulo 3 Extensões do Método de Medianização Neste capítulo, discutimos a generalização do método de medianização a inclusões diferenciais, apresentando extensões do primeiro Teorema de Bogoliubov aos casos de aplicações multívocas Lipschitzianas e semi-contínuas superiormente. 3.1 Aplicações multívocas lipschitzianas Tal como no capítulo anterior, vamos considerar as seguintes inclusões diferenciais: ˙ x∈F(t,x),(3.1) ˙ x∈F(x),(3.2) onde a inclusão medianizada obedece à Definição 3.1. Definição 3.1: Seja F:R×Rn→K(Rn) uma aplicação multívoca Lipschitziana. A aplicação medianizada F(·) é definida por F(x) = lim T→∞ 1 T T Z 0 F(s,x)ds, (3.3) onde a convergência é entendida no sentido da distância de Hausdorff.♦ 41
= lim θi↑1 1 (1−θi)S(F(x),ψ)−θi (1−θi)S(F(x),ψ)! = lim θi↑1S(F(x),ψ). Daqui, temos (3.9) e mostramos o resultado. A inclusão (3.8) permite uma estimativa unilateral mesmo quando o limite (3.3) não existe, como é ilustrado com o seguinte exemplo. Exemplo 3.2 Consideremos a seguinte inclusão diferencial ˙ x(t)∈F(t) = sin(log(t+1)). Uma vez que ZT 0 sin(log(1+s))ds =1 2+1 2(1+T)(sin(log(1+T))−cos(log(1+T))), o limite lim T→∞ 1 TZT 0F(s)ds não existe. No entanto, F≡limsup T→∞ 1 TZT 0 sin(log(1+s))ds = limsup T→∞ 1 2(sin(log(1+T))−cos(log(1+T))) = limsup T→∞ −1 √2cos(π/4+log(1+T)) = [−1/√2,1/√2], e obtemos a aplicação medianizada. C Por conveniência, vamos considerar o tempo lento τ=t ∈[0,L] e definir as aplicações multívocas G(τ,y)≡F(τ/,y) e G0(y)≡F(y), onde a aplicação medianizada é entendida no sentido da Definição 3.2. Temos o seguinte lema: Lema 3.4 Qualquer que seja o η > 0, existe um b>0para o qual todas as soluções y(·)∈S[0,L](G,C)satisfazem a condição de Lipschitz |y(τ2)−y(τ1)|≤(b+η)|τ2−τ1|, τ1,τ2∈[0,L], sempre que ∈]0,b[. 48
Demonstração: Uma vez que ˙ y∈F(τ/,y)⊂b(τ/)Bn, temos que |y(τ2)−y(τ1)|≤Zτ2 τ1 bτ dτ =Zτ2/ τ1/ b(s)ds = (τ2−τ1) τ2−τ1Zτ2/ τ1/ b(s)ds. Usando a condição (L2) e aplicando o Lema 3.1, obtemos o resultado. Vejamos agora o primeiro resultado principal deste capítulo Teorema 3.1 Seja G:R×Rn→ KK(Rn)uma aplicação multívoca que satisfaz as condições (L1) - (L4). Sejam C⊂Rnum conjunto compacto e L > 0. Então, para qualquer η > 0existe um 0>0tal que para qualquer ∈]0,0[e para cada solução y(·)∈S[0,L](G,C)existe uma solução y(·)∈S[0,L](G0,C)que satisfaz : |y(τ)−y(τ)|< η, 0⩽τ⩽L. (3.10) Se o limite (3.3) existir uniformemente em x, então para cada solução y(·)∈S[0,L](G0,C) existe uma solução y(·)∈S[0,L](G,C)que satisfaz : |y(τ)−y(τ)|< η, 0⩽τ⩽L. (3.11) Demonstração: Comecemos por mostrar a inclusão S[0,L](G,C)⊂S[0,L](G0,C)+ ηB. Vamos supor que existe um η > 0, uma sucessão i↓0, e soluções yi(·)∈ S[0,L](Gi,C) tais que yi(·)<S[0,L](G0,C)+ηB. Consideremos dois pontos τ1eτ2, com τ1< τ2. Do Lema 3.4 sabemos que |yi(τ2)−yi(τ1)| ≤ (b+η)|τ2−τ1|. Pelo Teorema de Arzela-Ascoli, vemos que, sem perda de generalidade, a sucessão yi(·) converge uniformemente para uma função contínua y(·). Passando ao limite quando itende para infinito, vemos que y(·) satisfaz a condição de Lipschitz. Logo, ˙ y(τ) existe para quase todo τ∈[0,L]. Seja τ0um ponto para o qual a derivada ˙ y(τ0) exista. Consideremos uma sucessão τj↓τ0. Uma vez que Fé Lipschitziana, vamos obter yi(τj)−yi(τ0)∈Zτj τ0 F s i ,yi(s)!ds ⊂Zτj τ0"F s i ,y(τ0)!+λ s i!|yi(s)−y(τ0)|Bn#ds ⊂Zτj τ0 F s i ,y(τ0)!ds +"Zτj τ0 λ s i!(|yi(s)−yi(τ0)|+|yi(τ0)−y(τ0)|)ds#Bn.(3.12) 49
Notar que Zτj τ0 λ s i!(|yi(s)−yi(τ0)|+|yi(τ0)−y(τ0)|)ds ⩽[(τj−τ0)(b+η)+|yi(τ0)−y(τ0)|]Zτj τ0 λ s i!ds = (τj−τ0)[(τj−τ0)(b+η)+ |yi(τ0)−y(τ0)|]i τj−τ0Zτj/i τ0/i λ(t)dt. Seja ˜ η > 0. Se iejforem suficientemente grandes e aplicando o Lema 3.1, temos que [(τj−τ0)(b+η)+|yi(τ0)−y(τ0)|]i τj−τ0Zτj/i τ0/i λ(t)dt ⩽[(τj−τ0)(b+η)+ |yi(τ0)−y(τ0)|](λ+η)<˜ η. Logo, de (3.12) obtemos yi(τj)−yi(τ0) τj−τ0∈i τj−τ0Zτj/i τ0/i F(t,y(τ0))dt +˜ ηBn. Da inclusão anterior obtemos, y(τj)−y(τ0) τj−τ0∈limsup T→∞ 1 (1−τ0/τj)TZT (τ0/τj)T F(t,y(τ0))dt +˜ ηB Passando ao limite quando τj↓τ0, temos que ˙ y(τ0)∈F(y(τ0))+ ˜ ηBn. Uma vez que ˜ ηé arbitrário temos que y(·)∈ S[0,L](G0,C). Isto implica que yi(·)∈ S[0,L](G0,C) + ηBsempre que ié suficientemente grande. Obtemos uma contradição e a inclusão está demonstrada. Seja ˜ η > 0 e η=ZL 0 ˜ ηem(L)−m(s)ds, com m(t) = Zt 0λ(τ/)dτ. Mostramos agora que a inclusão S[0,L](G0,C)⊂ S[0,L](G,C) + ηBé verificada, sempre que for suficientemente pequeno. Seja y(·)∈S[0,L](G0,C) e τ0um ponto tal que a derivada ˙ y(τ0) exista. Consideremos uma sucessão de pontos τj> τ0convergente para τ0e uma sucessão i↓0. 50
Temos que y(τj)−y(τ0)∈Zτj τ0 F(y(s))ds ⊂Zτj τ0 F(y(τ0))ds +Zτj τ0 λ|y(s)−y(τ0)|ds, (3.13) uma vez que Fé Lipschitziana. Do primeiro integral, aplicando o Lema 3.2, podemos obter a estimativa Zτj τ0 F(y(τ0))ds = (τj−τ0)F(y(τ0)) ⊂(τj−τ0)" τj−τ0Zτj/ τ0/ F(t,y(τ0))dt +˜ ηBn# = (τj−τ0)"1 τj−τ0Zτj τ0 Fs ,y(τ0)ds +˜ ηBn#,(3.14) quando for suficientemente pequeno. Para o segundo termo obtemos Zτj τ0 λ|y(s)−y(τ0)|ds ⩽λbZτj τ0 (τj−τ0)ds ⩽λb(τj−τ0)2,(3.15) uma vez que, considerando s∈[τ0,τj], temos |y(s)−y(τ0)|⩽b(τj−τ0). Destas estimativas, obtemos que y(τj)−y(τ0) τj−τ0∈1 τj−τ0Zτj τ0 Fs ,y(τ0)dt + ( ˜ η+λb(τj−τ0))Bn. Passando ao limite quando τj↓τ0temos que ˙ y(τ0)∈G(τ0,y(τ0)) + ˜ ηBn. Aplicando o Teorema de Filippov, Teorema 1.1, podemos concluir que y(·)∈S[0,L](G,C)+ηB Como ficou claro na demonstração do resultado, na primeira afirmação do teorema, a estimativa (3.10) obtida não depende das constantes de Lipschitz das aplicações envolvidas. Este facto vai ser de crucial importância aquando da generalização do Teorema de Bogoliubov a aplicações semi-contínuas superiormente. 51
3.2 Teorema de aproximação A ferramenta principal para demonstrar a extensão do Teorema de Bogoliubov a inclusões diferenciais com segundo membro semi-contínuo superiormente é o seguinte teorema de aproximação, que é uma generalização do Teorema de Haddad, Haddad (1981). Consideramos agora a aplicação multívoca F:R× Rn→K(Rn) que verifica as seguintes condições: (H1) clcoF(t,x) = F(t,x), para todos (t,x)∈R×Rn; (H2) a aplicação multívoca F(t,·) é semi-contínua superiormente; (H3) para qualquer xexiste uma seleção mensurável de F(t,x), isto é, existe f(t,x)∈F(t,x) tal que t→f(t,x) é mensurável para todo x; (H4) existe uma função não negativa b(·)∈Lloc 1([0,∞[,R) tal que F(t,x)⊂b(t)Bn para todo (t,x)∈[0,+∞[×Rn; (H5) existe o limite b= lim T→∞ 1 T T Z 0 b(t)dt; Nestas condições, temos o teorema: Teorema 3.2 Seja F: [t0,t1]×Rn→ K(Rn)uma aplicação multívoca que satisfaz as condições (H1) - (H4). Então, existe uma sucessão de aplicações multívocas localmente Lipschitzianas Fk: [t0,t1]×Rn→KK(Rn), k = 0,1,..., mensuráveis em te que satisfazem as seguintes condições: 1. para qualquer k≥0,(t,x)∈[t0,t1]×Rna inclusão Fk+1(t,x)⊂Fk(t,x)⊂b(t)Bn é satisfeita; 2. a inclusão S[t0,t1](F)⊂S[t0,t1](Fk),k≥0, é verificada; 3. para qualquer par (t,x)e > 0existe um inteiro positivo Mt,x, tal que Fm(t,x)⊂ F(t,x)+ Bnpara todo m>Mt,x,; 4. Se a sucessão de soluções xk(·)∈S[t0,t1](Fk)converge uniformemente para uma função x(·), então a inclusão x(·)∈S[t0,t1](F)é verificada. Demonstração: Consideremos o seguinte conjunto de pontos P=( ρ √nr1,..., ρ √nrn!rk= 0,±1,±2,...,k = 1,n). 52
onde ρ > 0. Vamos denotar os elementos de Ppor x0 r, onde r∈Zné um vetor com componentes inteiras. Claramente que {(x0 r+ρintBn)}r∈Zné uma cobertura localmente finita de Rn. Definimos a aplicação multívoca G0 r(t) = coF(t,x0 r+ 2ρBn). Seja V0 ro conjunto de todas as seleções integráveis de G0 r(t). Pelas condições (H3) e (H4) este conjunto não é vazio. Seja {v0 r,j(·)}∞ j=1 ⊂V0 rum subconjunto denso no sentido da norma L1. Fixemos Φ0 r(t) = clco{v0 r,j(t)|j= 1,∞}. A aplicação multívoca Φ0 r(·) é mensurável. Notar que a função v(·)∈L1([t0,t1],Rn) que satisfaz a inclusão v(t)∈G0 r(t) também satisfaz a inclusão v(t)∈Φ0 r(t). De facto, suponhamos que a sucessão v0 r,jl(·), satisfazendo v0 r,jl(t)∈Φ0 r(t), converge para v(·), em L1([t0,t1],Rn), quando l→∞. Sem perda de generalidade v0 r,jl(t)→ v(t) para quase todos t∈[t0,t1]. Uma vez que Φ0 r(t) é um conjunto fechado, temos que v(t)∈Φ0 r(t). Seja {p0 r(·)}r∈Znum partição da unidade subordinada à cobertura {x0 r+ρintBn}r∈Zn. Consideremos a aplicação multívoca F0(t,x) = X r∈Zn p0 r(x)Φ0 r(t). Esta aplicação multívoca tem imagens convexas fechadas, é mensurável em te é Lipschitziana em x. Para definir a aplicação multívoca F1(t,x) repetimos o procedimento anterior com ρ/3 em vez de ρ. Como resultado, obtemos uma cobertura aberta localmente finita {x1 r+ρ/3intBn}r∈Znde Rn, uma partição da unidade correspondente {p1 r(·)}r∈Zn, aplicações multívocas {Φ1 r(·)}r∈Zn, e a aplicação multívoca F1(t,x) = X r∈Zn p1 r(x)Φ1 r(t). Seja x∈Rn. Definimos os conjuntos Ix 0={r∈Zn|x∈x0 r+ρintBn} e Ix 1={r∈Zn|x∈x1 r+1 3ρintBn} Vamos mostrar que x1 r1+(2/3)ρintBn⊂x0 r0+2ρintBn, sempre que r0∈Ix 0er1∈Ix 1. De facto, seja y∈x1 r1+(2/3)ρintBn, então temos que |y−x0 r0|≤|y−x1 r1|+|x1 r1−x|+|x−x0 r0|≤ 2 3ρ+1 3ρ+ρ= 2ρ, 53
isto é, G1 r1(t)⊂G0 r0(t) e, consequentemente, Φ1 r1(t)⊂Φ0 r0(t). Para todo r1∈Ix 1 temos que Φ1 r1(t)⊂X r∈Ix 0 p0 r(x)Φ0 r(t) = X r∈Zn p0 r(x)Φ0 r(t) = F0(t,x), e, logo, F1(t,x) = X r∈Zn p1 r(x)Φ1 r(t) = X r∈Ix 1 p1 r(x)Φ1 r(t)⊂F0(t,x). Consideremos a sucessão ρk= (1/3)kρ. A aplicação multívoca F0corresponde a ρ0=ρeF1aρ1=ρ/3. Por indução, podemos definir uma sucessão de aplicações multívocas FkLipschitzianas em x, mensuráveis em t, e tais que Fk+1(t,x)⊂ Fk(t,x) para todos (t,x)∈[t0,t1]×Rn. Para demonstrar a inclusão S[t0,t1](F)⊂S[t0,t1](Fk), k≥0, consideremos a solução x(·)∈ S[t0,t1](F) e o conjunto aberto x−1(xk r+ρkintBn) = Ak r⊂[t0,t1], r∈Zn. Se t∈Ak r, então temos que ˙ x(t)∈F(t,x(t)) ⊂clcoF(t,xk r+2ρkintBn). Consideremos w(t) = (f(t,xk r), t <Ak r, ˙ x(t), t ∈Ak r, onde fé uma função satisfazendo a condição (H3). Uma vez que w(t)∈Gk r(t), temos que w(t)∈Φk r(t) para quase todo t∈[t0,t1]. Consequentemente ˙ x(t)∈ Φk r(t) para quase todo t∈Ak r. É claro que t∈Ak rse e só se x(t)∈xk r+ρkintBnou, equivalentemente, pk r(x(t)) >0. Consideremos o conjunto de pontos ttais que para qualquer r∈It k={r∈Zn|pk r(x(t)) >0}, a inclusão ˙ x(t)∈Φk r(t) é satisfeita. A medida deste conjunto é dada por t1−t0. Temos que ˙ x(t) = X r∈It k pk r(x(t)) ˙ x(t)∈X r∈It k pk r(x(t))Φk r(t) = X r∈Zn pk r(x(t))Φk r(t) = Fk(t,x). A segunda afirmação do teorema está mostrada. Mostramos agora a terceira condição. Seja (t,x)∈[t0,t1]×Rne > 0. Mostraremos que existe Mt,x, tal que Fm(t,x)⊂F(t,x) + Bnsempre m > Mt,x,. Uma vez que a aplicação x→F(t,x) é semi-continua superiormente, existe um η > 0 tal que F(t,y)⊂F(t,x) + Bnsempre que y∈x+ηBn. Consideremos Mtal que ρm≤η/3 para todo m > M. Seja r∈Ix m={r∈Zr|x∈xm i+ρmintBn}e y∈xm r+2ρmintBn. Se m>M, então temos que |y−x|≤|y−xm r|+|xm r−x|≤2ρm+ρm= 3ρm< η. Logo F(t,y)⊂F(t,x) + Bnsempre que y∈xm r+ 2ρmintBn. Consequentemente Gm r(t)⊂F(t,x)+Bnpara todo r∈Ix m. Uma vez que F(t,x) é um conjunto convexo, temos que Fm(t,x)⊂X r∈Zn pm r(x)Gm r(t)⊂F(t,x)+ Bn. 54
A terceira afirmação do teorema está demonstrada. Seja xk(·)∈ S[t0,t1](Fk) uma sucessão uniformemente convergente para x(·). Por construção de Fk(t,x) e pela condição (H4) temos que |˙ xk(t)|≤b(t). Pelo Teorema de Dunford-Pettis, sem perda de generalidade, a sucessão ˙ xk(·) converge na topologia fraca do espaço L1([t0,t1],Rn) para a função v(·). Pelo Teorema de Mazur, existe uma sucessão de combinações convexas L X k=l λk˙ x(·) convergente para v(·) na norma L1. Sem perda de generalidade a sucessão converge para v(·) para quase todos t∈[t0,t1]. Fixemos ttal que L X k=l λk˙ x(t)→ v(t), as l→∞. Podemos ver que a igualdade x(t) = x(t0)+Zt t0 v(s)ds é verificada. Seja > 0. Vai existir um mtal que Fm(t,x(t)) ⊂F(t,x(t)) + Bn. Consideremos l > m tal que ˙ x(t)∈ L X k=l λk˙ xk(t) + Bnand Fm(t,xk(t)) ⊂Fm(t,x(t)) + Bnsempre que k > l. Temos que ˙ x(t)∈ L X k=l λk˙ xk(t)+Bn⊂ L X k=l λkFk(t,xk(t))+Bn ⊂ L X k=l λkFm(t,xk(t))+ Bn⊂ L X k=l λkFm(t,x(t))+ 2Bn ⊂F(t,x(t))+ 3Bn. Uma vez que > 0 é arbitrário e o conjunto F(t,x(t)) é fechado, vamos obter ˙ x(t)∈F(t,x(t)), isto é, x(·)∈S[t0,t1](F). 3.3 Aplicações multívocas semi-contínuas superiormente Como vimos na primeira secção, para inclusões Lipschitzianas a estimativa dH(S[0,L/](F,x0),S[0,L/](F,x0)) ⩽η, 0< < (η) (3.16) é verificada. No entanto, se o problema derivar de uma equação diferencial com segundo membro descontínuo, a aplicação multívoca Fobtida pela regularização de Filippov não é Lipschitziana e a estimativa anterior, no geral, deixa de ser válida. 55
Esta situação ocorre mesmo para sistemas simples, como por exemplo, sistemas que apresentam movimentos deslizantes numa superfície de descontinuidade. Vejamos o seguinte exemplo ilustrativo da situação: Exemplo 3.3 Consideremos o problema de Cauchy ˙ x=f (t,x), x(0) = x0 onde x= (x1,x2)∈R2e f(t,(x1,x2)) = (v+(t), x2>0, v−(t), x2<0, com v+(t) = sinπ 4(1+cost),−cosπ 4(1+cost) e v−(t) = cosπ 4(1+cost),sinπ 4(1+cost). Uma vez que x→f(·,x) é descontínua nos pontos x= (x1,0), aplicamos a definição de Filippov, e obtemos a seguinte inclusão diferencial: ˙ x∈F(t,x), x(0) = x0(3.17) onde a aplicação multívoca F(t,x) é definida por F(t,x) = (f(t,x),x2,0, I(t),x2= 0, com I(t) = clco{v+(t),v−(t)}. Este segmento interseta a linha de descontinuidade x2= 0. O ponto de interseção é o vetor de velocidade ao longo da linha x2= 0, f0(t) = I∩{(x1,0) |x1∈R}, =( 1 √2secπ 4cost,0!). O problema (3.17) tem uma única solução que verifica a equação ˙ x=(f(t,x),x2,0, f0(t),x2= 0,. Calculando a aplicação medianizada F(x) = (f(x),x2,0, I ,x2= 0,, 56
podemos observar que I=F((x1,0)) = lim T→∞ 1 T T Z 0 F(t,(x1,0))dt ⊃([α,β],0) 3f0(t) onde αand βsão dados por α= lim T→∞ 1 T T Z 0 mincosπ 4(1+cost),sinπ 4(1+cost)dt e β= lim T→∞ 1 T T Z 0 maxcosπ 4(1+cost),sinπ 4(1+cost)dt. Logo, temos que F(x)⊃(f(x),x2,0, [α,β],x2= 0,, onde α < β. Assim, vemos que a inclusão diferencial (3.17) tem uma única solução x(t) pertencente à linha de descontinuidade e satisfazendo a condição inicial igual a zero, enquanto que a inclusão medianizada tem uma família de soluções. C Este exemplo ilustra que, no caso geral, quando lidamos com aplicações descontínuas, apenas podemos garantir a estimativa unilateral S[0,L/](F,x0)⊂S[0,L/](F,x0) + ηB,0< < 0(η).(3.18) Como vimos no Capítulo 2, alguns resultados já foram obtidos por Plotnikov, Plotnikov (1996 ii), para o método de medianização em inclusões e equações diferenciais com segundo membro descontínuo, embora as condições impostas sejam muito restritivas para serem aplicadas na prática. Para contornar esta situação, vamos começar por redefinir a aplicação medianizada. Definição 3.3: Seja F:R×Rn→K(Rn) uma aplicação multívoca. Definimos I(t1,t2,x,δ) = (Zt2 t1 v(t)dt |v(·)∈Lloc 1([0,∞[,Rn), v(t)∈F(t,x +δBn)). Vamos denotar por Fδ(x) o invólucro convexo da aplicação Φδ(x) = limsup θ↑1 limsup T→∞ 1 (1−θ)TI(θT ,T ,x,δ),(3.19) 57
Lema 4.1 Para qualquer η > 0existem δ∈]0,η[eT > 0tais que, todas as soluções y(·)∈S[0,T ](G0,δBn)satisfazem as inclusões y(·)∈(η/2)Bey(T)∈(δ/2)Bn. Demonstração: Seja η > 0. A primeira inclusão segue da definição de posição de equilíbrio assintoticamente estável, Definição 1.11. Mostramos agora que existe um δ > 0 e um T > 0 tais que y(T)∈(δ/2)Bnpara qualquer solução y(·)∈ S[0,T ](G0,δBn). Suponhamos o contrário, ou seja, vamos assumir que para todo oδ∈[0,η[, existem uma sucessão de pontos tk→∞e uma sucessão de soluções yk(·) tais que yk(0) ∈δBne |yk(tk,yk(0)) |>δ 2, para k= 1,2,.... Uma vez que estamos a assumir que y= 0 é uma posição de equilíbrio assintoticamente estável, pela Definição 1.11 existe um µ=µ(δ/2) tal que, para todas as soluções que satisfazem y(0) ∈µBmtemos y(t,y(0)) ∈δ 2Bm,para t∈[0,∞[,e lim t→∞y(t)=0.(4.4) Isto implica que para todas as soluções yk(·) a desigualdade |yk(t,yk(0)) |⩾µ, t ∈[0,tk], k = 1,2,..., (4.5) é verificada. De facto, se existisse um t0∈[0,tk] para o qual |yk(t0,yk(0)) |< µ, então a solução z(t) = yk(t+t0) satisfaria a condição |z(0)|< µ ez(tk−t0)> δ/2, contrariando a escolha de µ. Consideremos o intervalo [0,t1]. Pelas condições (H4) e (H5) temos que G0⊂bBnimplicando que |˙ yk(t)|< b e|yk(t)|< δ +bt1para todo t∈[0,t1]. Logo, a sucessão de soluções yk(t) é limitada e podemos aplicar o teorema de Arzela-Ascoli. Assim, da sucessão de soluções yk(·) escolhemos uma subsucessão uniformemente convergente no intervalo [0,t1]. Desta, podemos escolher outra sub-sucessão que, por sua vez, é convergente em [0,t2], e assim por diante. A solução limite verifica |y(t,y(0)) |⩾µ, para t∈[0,∞[. Isto contradiz (4.4) e mostra que existe um T > 0 para o qual a inclusão y(T)∈ (δ/2)Bné verificada sempre que y(·)∈S[0,T ](G0,δBn). Juntando o primeiro teorema de Bogoliubov, Teorema 3.3, e o lema anterior, podemos demonstrar uma versão multívoca do Teorema de Samoilenko-Stanzhitskii, Teorema 4.1 Seja F:R×Rn→ K(Rn)uma aplicação multívoca que verifica as condições (H1) - (H5). Seja y= 0 uma posição de equilíbrio assintóticamente estável da inclusão diferencial ˙ y∈G0(y). Então, para qualquer η > 0existem um 0>0e um δ > 0tais que S[0,∞[(G,δBn)⊂ηB, sempre que ∈]0,0[. 64
Demonstração: Seja η > 0. Aplicando o Lema 4.1 podemos encontrar um δ∈ ]0,η[0 e um T > 0 que verificam as conclusões do mesmo. Do Teorema 3.3, podemos ver que existe um 0tal que para qualquer solução y(·)∈S[0,T ](G,δBn), com ∈]0,0[, existe uma solução y(·)∈ S[0,T ](G0,δBn) que satisfaz a inclusão y(·)∈y(·)+ (δ/2)B. Uma vez que y(·)∈(η/2)Bey(T)∈(δ/2)Bn, temos que y(·)∈(η/2 + δ/2)B ⊂ ηB ey(T)∈δBn. Aplicando esta construção aos intervalos [T ,2T],[2T ,3T], etc., obtemos o resultado. Para ilustrar o Teorema 4.1 consideremos o seguinte exemplo Exemplo 4.2 Seja x= (x1,x2)∈R2. Consideremos a função f0(x) = (1,−1), x1>0, x2>0, (−1,1/2), x1>0, x2<0, (−1,1), x1<0, x2<0, (1,−1/2), x1<0, x2>0, e definimos a aplicação multívoca F0(x) = \ δ>0 clcof0(x+δB2) e F(t,x) = F0(x) + {(sint,cost)}. Podemos ver que F(x) = F0(x) e 0 ∈F(0). A posição de equilíbrio da inclusão medianizada é assintóticamente estável. Logo, as soluções da inclusão diferencial ˙ x∈F(t,x) são limitadas para todo t≥0, sempre que > 0 é suficientemente pequeno. C 4.2 Estabilidade Parcial Como referido no Capítulo 1, existem sistemas, nos quais é importante estudar a estabilidade, não em relação a todas as variáveis, mas só apenas a alguma parte das mesmas. Estes sistemas surgem em muitos contextos práticos, desde problemas de controlo, onde se pretende controlar unicamente parte das variáveis, até no estudo da dinâmica de sistemas mecânicos, ver por exemplo Vorotnikov (2003,2005). Em particular, no estudo de oscilações não lineares, Bogoliubov & Mitropolski (1961); Nayfeh (1995), a maioria das considerações baseadas no método de medianização, começam por aplicar o método de variação de constantes à equação ¨ x+ω2 0x=g(t,x, ˙ x).(4.6) Quando = 0 obtemos a solução x(t) = Acos(ω0t+θ). Para ,0, efetuamos uma mudança de coordenadas, conhecida como o método de Van der Pol (Nayfeh, 65
1995, Cap.5), alterando as variáveis xe˙ xpara Aeθ, onde x(t) = A(t)cos(ω0t+θ(t)), ˙ x(t) = −A(t)sin(ω0t+θ(t)). Reescrevendo as equações, obtemos o seguinte sistema na forma estandardizada: (˙ A=−f1(t,A,θ) ˙ θ=−f2(t,A,θ).(4.7) Em muitos problemas, o sistema (4.7) apresenta apenas um ponto de equilíbrio parcial para a amplitude A, ou seja f1(t,0,θ)=0, nada se pode concluir sobre a evolução do ângulo de fase θ. Motivados por estes exemplos, nesta secção estudamos o problema de estabilidade parcial, ao qual estendemos o Teorema de Samoilenko-Stanzhitskii. Os resultados são posteriormente ilustrados com um exemplo. Consideremos a aplicação multívoca da forma F=F1×F2:R×Rm×Rp→F (Rn), em que F1satisfaz as condições (H1)-(H5). Ao sistema de inclusões diferenciais ˙ x1∈F1(t,x1,x2), ˙ x2∈F2(t,x1,x2),(4.8) vamos associar o sistema medianizado ˙ x1∈F1(x1,x2), ˙ x2∈F2(x1,x2),(4.9) onde as aplicações medianizadas são entendidas no sentido da Definição 3.3. Vamos mostrar que a solução x(·)=(x1(·),x2(·)) ∈Rm×Rpdo sistema de inclusões diferenciais (4.8) tem a componente x1(·) próxima de zero, desde que 0∈F1(0,x2) seja uma posição de equilíbrio parcialmente assimtoticamente σestável do sistema de inclusões diferenciais medianizadas (4.9). À semelhança do que foi feito anteriormente, definimos as aplicações G1 (τ,y1,y2)×G2 (τ,y1,y2) = F1(τ/,y1,y2)×F2(τ/,y1,y2) e G1 0(y1,y2)×G2 0(y1,y2) = F1(y1,y2)×F2(y1,y2). O seguinte resultado, que tal como o Lema 4.1, garante que para inclusões autónomas, estabilidade parcial assintoticamente σ-estável implica estabilidade parcial uniforme assintoticamente σ-estável. 66
Lema 4.2 Seja y1= 0 uma posição de equilíbrio parcialmente assintoticamente σestável do sistema de inclusões ˙ y1∈G1 0(y1,y2), ˙ y2∈G2 0(y1,y2). Assuma-se que existem um ρ0>0, um σ > 0e uma função contínua ρ:R+→R+ tais que para todo (y1(0),y2(0)) ∈ρ0Bm×σBpa inclusão y2(t)∈ρ(|y2(0) |)Bpé verificada. Então, para qualquer η > 0existem um δ∈]0,η[eT > 0tais que todas as soluções y(·)∈ S[0,T ](G0,δBm×σBp)satisfazem as inclusões y1(·)∈(η/2)Bme y1(T)∈(δ/2)Bm. Demonstração: Seja η > 0. A primeira inclusão segue da definição de posição de equilíbrio parcialmente assintoticamente σ-estável, Definição 1.13,(i) e(iii), escolhendo δ⩽min{µ(η/2),δ0}. Vamos agora mostrar que a segunda inclusão é verdadeira, ou seja, que existem um δ > 0 e um T > 0 tais que y1(T)∈(δ/2)Bm para qualquer solução y(·)∈ S[0,T ](G0,δBm×σBp). Suponhamos o contrário, ou seja, vamos assumir que para todo o 0 < δ < η, existem uma sucessão de pontos tk→ ∞ e uma sucessão de soluções (y1 k(t),y2 k(t)) tais que y1 k(0) ∈δBme y2 k(0) ∈σBp, que verificam |y1 k(tk,y1 k(0),y2 k(0)) |>δ 2, para k= 1,2,.... Uma vez que estamos a assumir que y1= 0 é uma posição de equilíbrio parcialmente assintoticamente σ-estável, pela Definição 1.13-(iii) existe um µ(δ/2) tal que, para todas as soluções que satisfazem y1(0) ∈µBme y2(0) ∈σBptemos y1(t,y1(0),y2(0)) ∈δ 2Bm,para t∈[0,∞[,e lim t→∞y1(t)=0.(4.10) Isto implica que para todas as soluções y1 k(·) a desigualdade |y1 k(t,y1 k(0),y2 k(0)) |⩾µ(δ/2), t ∈[0,tk], k = 1,2,..., (4.11) é verificada. De facto, se existisse um t0∈[0,tk] para o qual |y1 k(t0,y1 k(0),y2 k(0)) |< µ, então a solução z1(t) = y1 k(t+t0) satisfaria as condições |z1(0)|< µ ez1(tk−t0)> δ/2, contrariando a escolha de µ. Consideremos o intervalo [0,t1]. Como y2 k(0) ∈ σBpeG1 0⊂bBn, a sucessão de soluções (y1 k(t),y2 k(t)) é limitada em [0,t1] e podemos aplicar o teorema de Arzela-Ascoli. Assim, da sucessão de soluções y1 k(·) escolhemos uma sub-sucessão uniformemente convergente no intervalo [0,t1]. Desta, podemos escolher outra sub-sucessão que, por sua vez, é convergente em [0,t2], e assim por diante. A solução limite verifica |y1(t,y1(0),y2(0)) |⩾µ, para t∈[0,∞[. 67
Isto contradiz (4.10) e mostra que existe um T > 0 para o qual a inclusão y1(T)∈ (δ/2)Bmé verificada sempre que (y1(·),y2(·)) ∈ S[0,T ](G0,δBm×σBp), demonstrando o lema. Agora, estamos em condições para demonstrar o teorema de Samoilenko-Stanzhitskii para posições de equilibro parcial de inclusões diferencias. Teorema 4.2 Seja F=F1×F2:R×Rm×Rp→F (Rn)uma aplicação multívoca, na qual a aplicação F1satisfaz as condições (H1) - (H5). Assuma que as condições do Lema 4.2 são verificadas. Então, para todo o η > 0existem um 0>0eδ > 0tais que S[0,∞[(G1 ,δBm)⊂ηBm, sempre que ∈]0,0[. Demonstração: Seja η > 0. Aplicando o Lema 4.2, podemos construir respetivamente δ > 0 e T > 0. Aplicando o Teorema 3.3, vemos que existe um 0tal que para qualquer solução y(·)=(y1(·),y2(·)) ∈S[0,T ](G,δBm×σBp), ∈]0,0[, existe uma solução y1(·)∈S[0,T ](G1 0,δBm) que satisfaz a inclusão y1(·)∈y1(·)+(δ/2)Bm. Agora, uma vez que y1(·)∈(η/2)Bmey1(T)∈(δ/2)Bm, temos que y1(·)∈(η/2 + δ/2)Bm⊂ηBmey1(T)∈δBm. Aplicando esta construção aos intervalos [T ,2T], [2T ,3T], etc., obtemos o resultado. Exemplo 4.3 consideremos a inclusão diferencial: (˙ x1∈(−Sgn(x1)+ 2cos(x2)sin(t)) ˙ x2=(1+2sin(x1)cos(t)) (4.12) A inclusão medianizada é: (˙ x1∈ −Sgn(x1) ˙ x2=(4.13) Como podemos constatar, x1= 0 é uma posição de equilíbrio parcialmente assintóticamente σ-estável da inclusão (4.13). Logo, pelo Teorema 4.2, existe um 0para o qual a primeira componente das soluções da inclusão (4.12) se mantêm numa η-vizinhança de x1= 0, para todo t⩾0 e ∈]0,0[. C 68
Capítulo 5 Estabilidade Fraca Neste capítulo iremos aplicar o método de medianização ao estudo da estabilidade fraca recorrendo ao Teorema 4.1 do último capítulo. Consideremos a inclusão diferencial ˙ x∈F(t,x).(5.1) Suponhamos que 0 ∈F(0,t), para todo t⩾0. O estudo da estabilidade fraca é motivado pela análise de sistemas de controlo. Nomeadamente, considerando o sistema de controlo ˙ x=f(t,x,u), u ∈U, e verificando-se que f(t,0,u0) = 0 para algum u0∈U, torna-se importante saber se existe algum controlo que mantenha o sistema numa vizinhança do ponto de equilíbrio. Nesse sentido, iniciamos a primeira secção com a apresentação de alguns resultados sobre estabilidade exponencial fraca de sistemas de controlo lineares periódicos e ilustramos a sua aplicabilidade com um exemplo prático de controlo do movimento orbital de satélites em formação. Na segunda secção mostramos que a estabilidade exponencial fraca da posição de equilíbrio de uma inclusão diferencial periódica Lipschitziana pode ser inferida da estabilidade exponencial fraca da medianização da sua primeira aproximação. Por fim, na terceira secção, aplicamos o resultado anterior a inclusões diferenciais geradas por sistemas de controlo. Os resultados apresentados neste capítulo foram publicados em Gama & Smirnov (2012 a,b). 69
5.1 Estabilidade exponencial fraca de sistemas de controlo lineares No estudo de problemas de controlo, é possível escrever os sistemas de controlo na linguagem das inclusões diferenciais. Por exemplo, pelo Teorema 1.2, o sistema de controlo linear ˙ x(t) = Ax(t)+ b(t)u(t),(5.2) é equivalente à inclusão diferencial ˙ x(t)∈Ax(t)+ K(t),(5.3) onde x(t)∈RneK(t) = {v=b(t)u|u∈R+}⊂Rn(os pressupostos técnicos sobre A,b(·), u(·) e K(·) são referidos mais à frente). Com esta abordagem, muitas propriedades dos sistemas de controlo tornam-se mais intuitivas de estudar. Consideremos o seguinte sistema de controlo ˙ X(t) = AX(t) + b(t/,t)u(t/),(5.4) onde > 0 é um pequeno parâmetro, Aé uma matriz n×n,b:R×R→Rné uma função contínua limitada, e u(t/) é um controlo sujeito à restrição u(t/)∈R+. Como podemos observar, o sistema (5.4) tem uma escala de tempo rápido e uma escala de tempo lento. Seja τ=t/ ex(τ) = X(τ). Então (5.4) assume a forma dx(τ) dτ =dX(τ) dt =(Ax(τ)+ b(τ,τ)u(τ)).(5.5) É de notar que, embora se verifique um abuso de notação com a utilização para o tempo rápido da mesma letra τutilizada previamente para representar o tempo lento, a notação agora introduzida será mantida ao longo deste capítulo. Seja Kum cone convexo fechado, satisfazendo K⊂(lim T→∞ 1 TZT 0b(τ,τ)u(τ)dτ |u(τ)≥0, u(·)∈L∞([0,∞[,R)). Consideremos o sistema de controlo medianizado associado dx dτ =(Ax +v), v ∈K. (5.6) Seja x= 0 uma posição de equilíbrio fracamente exponencialmente estável do sistema (5.6). Pelo Teorema 1.4, existe um poliedro M, com vértices {x1,...,xm}, 70
para o qual temos que 0 ∈Me números h > 0 e δ∈[0,1[ tais que para todo k, vai existir um vetor vk∈K, que satisfaz xk+h(Axk+vk)∈(1−δh)M. Seja x∈Rn. Vamos construir as aplicações multívocas Θ(x) = (θ1,...,θm)| m X k=1 θkxk=x, m X k=1 θk=µ(x), θk≥0 , e U(x) = v= m X k=1 θkvk|(θ1,...,θm)∈Θ(x) ,(5.7) onde µ(·) é a função de Minkowski do poliedro M. Para demonstrar os resultados principais que vamos apresentar neste capítulo, vamos necessitar do seguinte lema: Lema 5.1 A aplicação multívoca U(·)tem imagens compactas convexas e o seu gráfico é fechado. Demonstração: Seja x∈Rneα > 0. Da homogeneidade da função de Minkowski temos αΘ(x) = Θ(αx),(5.8) i.e, U(·) é positivamente homogénea. Se v1,v2∈U(x) e λ∈[0,1], então temos que λv1+ (1 −λ)v2= m X k=1 (λθ1 k+(1−λ)θ2 k)vk, onde θj kverifica m X k=1 θj kxk=x, m X k=1 θj k=µ(x) e θj k≥0, j= 1,2. Uma vez que λθ1 k+(1−λ)θ2 k≥0, λ ∈[0,1], m X k=1 (λθ1 k+(1−λ)θ2 k)xk=λx +(1−λ)x=x, m X k=1 (λθ1 k+(1−λ)θ2 k) = λµ(x)+(1 −λ)µ(x) = µ(x), temos λv1+ (1 −λ)v2∈U(x), sempre que λ∈[0,1], i.e. a aplicação multívoca tem imagens convexas. 71
Se vi∈U(xi), m X k=1 θi kxk=xi, m X k=1 θi k=µ(xi), θi k≥0, e xi→x,vi→vpara i→∞, então, sem perda de generalidade, θi k→θk. Uma vez que µ(·) é Lipschitziana, passando ao limite quando i→∞, vemos que m X k=1 θkxk=x, m X k=1 θk=µ(x), θk≥0. Logo, o gráfico de U(·) é fechado. Uma vez que U(·) é uma aplicação limitada, isto significa que U(·) é semi-contínua superiormente. Assumindo que a origem é uma posição de equilíbrio fracamente exponencialmente estável do sistema (5.6), podemos mostrar a estabilidade exponencial fraca do sistema (5.5). Teorema 5.1 Seja x= 0 uma posição de equilíbrio fracamente exponencialmente estável do sistema (5.6). Então, existe um 0>0para o qual x= 0 é uma posição de equilíbrio fracamente exponencialmente estável do sistema (5.5), para todo ∈]0,0[. Demonstração: Pelo Teorema 1.4, existe um poliedro M= co{xk}e números h > 0 e δ∈[0,1[ tais que para todo k, vai existir um vetor vk∈K, que satisfaz xk+h(Axk+vk)∈(1−δh)M. Para um γ > 0 suficientemente pequeno temos que xk+h(Axk+vk+γxk)∈ 1−δh 2!M. para todo o k= 1,m. Consideremos a inclusão diferencial dz dτ ∈(Az +γz +U(z)),(5.9) onde a aplicação multívoca U(·) é definida pela igualdade (5.7). Seja z(·) uma solução da inclusão (5.9). A função µ(z(τ)) é absolutamente contínua. Seja τum ponto para o qual as derivadas dµ(z(τ)) dτ edz(τ) dτ ∈(Az(τ)+ γz(τ)+ U(z(τ))), existem. Então, existe um v(τ)∈U(z(τ)) para o qual temos dz(τ) dτ =(Az(τ)+ γz(τ)+ v(τ)).(5.10) 72
Para além disso, temos que z(τ)+ h(Az(τ) + γz(τ)+ v(τ)) = z(τ) + hAz(τ)+ γz(τ)+ m X k=1 θkvk, onde (θ1,...,θm)∈Θ(z(τ)). Logo, obtemos z(τ)+ h(Az(τ) + γz(τ)+ v(τ)) = = m X k=1 θk(xk+h(Axk+γxk+vk)) ∈ 1−δh 2!µ(x(τ))M. Da última igualdade temos que d dτ µ(z(τ)) ≤µ(z(τ)+h(Az(τ)+ γz(τ)+ v(τ)) −µ(z(τ)) h ≤(1−δh 2)µ(x(τ))−µ(x(τ)) h =−δ 2µ(z(τ)). Logo obtemos µ(z(τ)) ≤µ(z(0))e−δτ 2. Isto implica que z= 0 é uma posição de equilíbrio assintóticamente estável da inclusão (5.9). Consideremos a inclusão diferencial dz(τ) dτ ∈(Az(τ)+ γz(τ)+ W(z(τ),τ)),(5.11) onde W(z,τ) = w= m X k=1 θkb(τ,τ)uk(τ)|(θ1,...,θm)∈Θ(z) , e a função uk(·)∈L∞([0,∞[,R+), k= 1,m, satisfaz vk= lim T→∞ 1 TZT 0b(τ,τ)uk(τ)dτ. Tal como no Lema 5.1, podemos mostrar que o conjunto W(z,τ) é compacto e convexo para todos (z,τ) e a aplicação multívoca W(·,τ) é semi-contínua superiormente. De facto, temos que as condições do Teorema 4.1 são satisfeitas e logo, existe um número 0>0 tal que as soluções da inclusão (5.11) são limitadas sempre que ∈]0,0[. Seja z(·) uma solução da inclusão (5.11). Consideremos z(τ) = eγτx(τ). Então, vamos obter dz(τ) dτ =γeγτx(τ) + eγt dx(τ) dτ . 73
Do Teorema 5.3 podemos ver que o sistema medianizado (5.15) é controlável. Logo é fracamente exponencialmente estável. Para além disso, temos que |e±At| ≤ Q(1 + t), para um Q > 0. Logo, o Teorema 5.2 pode ser aplicado, o que garante a existência de uma trajetória relativa quase-fechada para a formação dos satélites. C 5.2 Estabilidade exponencial fraca para inclusões diferenciais Nesta secção, mostramos que a estabilidade exponencial fraca da posição de equilíbrio da inclusão diferencial ˙ x∈F(t,x),(5.17) pode ser inferida da estabilidade exponencial fraca da medianização da sua primeira aproximação. A abordagem adotada difere da clássica, Bogoliubov & Mitropolski (1961); Burd (2007), onde as propriedades de estabilidade do sistema original são obtidas recorrendo à análise da primeira aproximação do sistema medianizado. A medianização da primeira aproximação permite obter condições suficientes de estabilidade exponencial facilmente verificáveis. Vamos assumir que a aplicação multívoca F:R×Rn→F (Rn) satisfaz as condições (C1)-(C4) introduzidas na Secção 1.4, isto é: (C1) 0 ∈F(t,0),∀t⩾0; (C2) a aplicação Fé periódica em tcom período T > 0, i.e., F(t+T ,x) = F(t,x) para todos (t,x)∈R×Rn; (C3) a aplicação F(·,x) é mensurável para todo x∈Rn. Existe uma função b(·)∈ L1([0,T ],R) tal que F(x,t)⊂b(t)Bnpara todos (t,x)∈R×Rn; (C4) a aplicação F(t,·) é Lipschiztiana para todo t∈[0,T ], com constante k(t), onde k(·)∈L1([0,T ],R). Seja A:R×Rn→ F (Rn) uma aplicação multívoca satisfazendo as condições (C5)-(C7), introduzidas na secção 1.4, isto é: (C5) a aplicação A(t,·) é uma primeira aproximação da aplicação coF(t,·) em x= 0 para todos os valores de t; 80
(C6) a aplicação A(·,x) é periódica em tcom período T > 0, i.e, A(t+T ,x) = A(t,x) para todos (t,x)∈R×Rn; (C7) a aplicação A(·,x) é mensurável para todo x∈Rne domA(t,·) = Rn,∀t⩾0, Definimos o processo convexo medianizado como sendo A(x) := (1 TZT 0a(s,x)ds |a(s,x)∈A(s,x), a(·,x)∈L1([0,T ],Rn)), e consideramos a inclusão diferencial medianizada associada ˙ x∈A(x),(5.18) Recorrendo aos resultados apresentados na Secção 1.4, estamos em condições de enunciar o resultado principal desta secção. Teorema 5.4 Seja A:R×Rn→ F (Rn)um processo convexo não autónomo satisfazendo as condições (C5) - (C7). Suponhamos que x= 0 é uma posição de equilíbrio fracamente exponencialmente estável da inclusão (5.18). Então, para > 0suficientemente pequeno, a origem é uma posição de equilíbrio fracamente exponencialmente estável da inclusão diferencial (5.17). Demonstração: Pelo Teorema 1.4, existe um poliedro M= co{xk}e números h > 0 e δ∈[0,1[ tais que para todo o k, existe um vetor vk∈A(xk), que satisfaz xk+hvk∈(1−δh)M. Se γ > 0 for suficientemente pequeno, temos que xk+h(vk+γ¯ xk)∈ 1−δh 2!M. para todo o k= 1,m. Consideremos a inclusão diferencial dz dt ∈(U(z)+γz),(5.19) onde a aplicação multívoca U(·) foi definida através da igualdade (5.7). Seja z(·) uma solução da inclusão (5.19). A função µ(z(t)) é absolutamente contínua. Seja tum ponto para o qual as derivadas dµ(z(t)) dt edz(t) dt ∈(U(z)+γz), existem. Então, vai existir uma função v(t)∈U(z(t)) tal que dz(t) dt =(v(t)+γz(t)).(5.20) 81
Para além disso, temos que z(t)+h(v(t) + γz(t)) = z(t)+ h m X k=1 θkvk+γz(t), onde (θ1,...,θm)∈Θ(z(t)). Logo, vamos obter que z(t)+h(v(t) + γz(t)) = = m X k=1 θk(xk+h(vk+γ¯ xk)) ∈ 1−δh 2!µ(z(t))M. Do resultado anterior obtemos d dtµ(z(t)) ⩽µ(z(t) +h(v(t)+ γz(t)))−µ(z(t)) h ⩽(1−δh 2)µ(z(t))−µ(z(t)) h =−δ 2µ(z(t)). Logo, temos que µ(z(t)) ⩽µ(z(0))e−δt 2. Esta desigualdade implica que z= 0 é uma posição de equilíbrio fracamente assintóticamente estável da inclusão diferencial (5.19). Consideremos a inclusão diferencial dz(t) dt ∈(W(t,z(t))+ γz(t)),(5.21) onde W(t,z) = {w= m X k=1 θkak(t,xk)|(θ1,...,θm)∈Θ(z)}, e a função ak(t,xk)∈A(t,xk), k= 1,m, satisfaz vk=1 TZT 0ak(t,xk)dt. Tal como no Lema 5.1, podemos mostrar que o conjunto W(t,z) é compacto e convexo para todos (t,z) e que a aplicação multívoca W(t,·) é semi-continua superiormente. Para além disso, as condições de aplicabilidade do Teorema 4.1 são verificadas. Assim, existe um número 0>0 para o qual as soluções da inclusão (5.21) são limitadas, sempre que ∈]0,0[ e as condições iniciais são próximas de zero. De facto, pela homogeneidade do segundo membro da inclusão (5.21) podemos ver que existe uma constante c > 0 tal que |z(t)|⩽c|z(0)|, t ⩾0.(5.22) 82
Seja z(·) uma solução da inclusão (5.21). Consideremos z(t) = eγtx(t). Então, vamos obter que dz(t) dt =γeγtx(t)+eγt dx(t) dt . Por outro lado, temos que dz(t) dt = m X k=1 θk(t)ak(t,xk)+ γz(t), onde (θ1(t),...,θm(t)) ∈Θ(z(t)) . De (5.8), temos que dx(t) dt = m X k=1 e−γtθk(t)ak(t,xk) (5.23) = m X k=1 ˜ θk(t)ak(t,xk), onde ( ˜ θ1(t),..., ˜ θm(t)) ∈Θ(x(t)). De (5.22), podemos observar que as soluções da equação (5.23) satisfazem a desigualdade |x(t)|⩽˜ c|x(0)|e−γt, i.e., x= 0 é uma posição de equilíbrio fracamente exponencialmente fraca da inclusão diferencial ˙ x∈A(t,x). Agora, aplicando o Teorema 1.3 obtemos o resultado. É de notar que a necessidade de ter que ser suficientemente pequeno é essencial, como se ilustra com o seguinte exemplo. Exemplo 5.2 (adaptado de Yamamoto (2004)) Consideremos o sistema ˙ x=A(t)x, (5.24) onde a matriz é dada por A(t) = α+γcos(ωt)+ δsin(ωt)β+δcos(ωt)−γsin(ωt) −β+δcos(ωt)−γsin(ωt)α−γcos(ωt)−δsin(ωt)!, onde α,β,γ,δ eωsão parâmetros reais. Calculando a matriz medianizada obtemos A=ω 2πZ2π ω 0A(s)ds = α β −β α !. 83
Logo, x= 0 é uma posição de equilíbrio exponencialmente estável do sistema ˙ x=Ax, sempre que α < 0 e, pelo Teorema 5.4, sabemos que para um suficientemente pequeno temos que x= 0 também vai ser uma posição de equilíbrio exponencialmente estável de (5.24). Aplicando o resultado de Yamamoto (2004), sabemos que a matriz de transição do sistema (5.24) pode ser escrita na forma Φ(t) = eA1teA2t, onde as matrizes A1eA2são dadas por A1= 0ω 2 −ω 20A2= (α+γ)(β+δ)−ω 2 (−β+δ)+ω 2(α−γ). A estabilidade do sistema (5.24) é completamente determinada pelos valores próprios da matriz A2. Concretamente, a posição de equilíbrio x= 0 é exponencialmente estável sempre que a parte real dos valores próprios de A2for negativa. Os valores próprios de A2são dados por α ±1 2q4(−β2+γ2+δ2)2+4βω −ω2<0. Assim, vemos que para α < 0 é sempre possível escolher um suficientemente pequeno, para o qual a parte real dos valores próprios é negativa. Para grande o sistema não é estável, apesar do sistema medianizado o ser. C 5.3 Inclusões diferenciais geradas por sistemas de controlo O resultado obtido na secção anterior pode ser aplicado a inclusões diferenciais geradas por sistemas de controlo. Consideremos o seguinte sistema de controlo ˙ x=f (t,x,u), u ∈U⊂Rm,(5.25) onde f:R×Rn×U→Rné uma função que satisfaz as seguintes condições: (M1) Existe um controlo periódico u0:R→U,u0(·)∈L∞([0,∞[,R), com período Ttal que f(t,0,u0(t)) = 0 para todo t; (M2) A funções fé periódica em tcom período T > 0, i.e., f(t+T ,x,u) = f(t,x,u) para todo (t,x,u)∈R×Rn×U; 84
(M3) A função fé contínua em (x,u), mensurável em tpara todo (x,u)∈Rn×U, ef(t,x,u)∈b(t)Bnfor all (t,x,u)∈[0,T ]×Rn×U, onde b(·)∈L1([0,T ],R); (M4) A função fé diferenciável com respeito a xe|∇xf(t,x,u)|⩽k(t) para todos (t,x,u)∈[0,T ]×Rn×U, onde k(·)∈L1([0,T ],R); (M5) O conjunto f(t,x,U) é compacto para todos (t,x)∈R×Rn. Pelo Teorema 1.2, podemos associar o sistema de controlo (5.25) à inclusão diferencial ˙ x∈F(t,x)≡f (t,x,U) = [ u∈U f (t,x,u).(5.26) É possível demonstrar que a aplicação multívoca A(t,x) = C(t)x+K(t), com C(t) = ∇xf(t,0,u0) e K(t) = cl[ α>0 αcof(t,0,U), é uma primeira aproximação de coF(t,x), ver (Smirnov,2002, Proposition 2.8). Sejam C=1 TZT 0C(s)xds e K=(1 TZT 0u(s)ds |u(s)∈K(t),u(t)∈L1([0,T ],Rn)). Consideremos a primeira aproximação medianizada de (5.26) ˙ x∈(Cx +K).(5.27) Do Teorema 5.4, temos o seguinte resultado. Teorema 5.5 Seja f:R×Rn×U→Rnuma função que satisfaz as condições (M1) - (M5). suponhamos que x= 0 é uma posição de equilíbrio fracamente exponencialmente estável da inclusão diferencial (5.27). Então, para um > 0suficientemente pequeno, a origem é uma posição de equilíbrio fracamente exponencialmente estável da inclusão diferencial (5.26). Terminamos a secção com um exemplo ilustrativo da aplicação do teorema anterior. Exemplo 5.3 Consideremos o seguinte sistema de controlo ¨ x=−sin(x)+usint , 85
onde > 0 é um pequeno parâmetro e ué um controlo sujeito à restrição u≥0. Reescrevendo a equação na forma de sistema, obtemos ˙ x=v, ˙ v=−sin(x)+usint .(5.28) Sejam τ=t/,y(τ) = x(τ) e w(τ) = v(τ). Então, o sistema (5.28) assume a forma (dy/dτ =w, dw/dτ =−sin(y) + u sin(τ), Depois de efetuada a linearização na posição de equilíbrio (y,w) = (0,0), obtemos d dτ ˜ y ˜ w!=" 0 1 −1 0 ! ˜ y ˜ w!+ 0 ˜ usin(τ)!#,˜ u⩾0. Obviamente 1 2π 2π Z 0 ˜ usin(τ)dτ |˜ u⩾0,˜ u(·)∈L1([0,2π],R) =R. Logo, a inclusão medianizada é d dτ y w!∈" 0 1 −1 0 ! y w!+ 0 R!#.(5.29) A inclusão anterior é fracamente exponencialmente estável. Pelo Teorema 5.4, concluímos que a origem é uma posição de equilíbrio do sistema de controlo (5.28) é fracamente exponencialmente estável. C 86
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