Técnicas de ajuste de modelos numéricos com base em resultados experimentais

TÉCNICAS DE AJUSTE DE MODELOS NUMÉRICOS COM BASE EM RESULTADOS EXPERIMENTAIS JOÃO LUÍS AFONSO BACELAR Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS Orientador: Professor Doutor Filipe Manuel Rodrigues Leite de Magalhães SETEMBRO DE 2012 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2011/2012 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Tel. +351-22-508 1901 Fax +351-22-508 1446  [email protected] Editado por FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua Dr. Roberto Frias 4200-465 PORTO Portugal Tel. +351-22-508 1400 Fax +351-22-508 1440  [email protected]  http://www.fe.up.pt Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja mencionado o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil - 2011/2012 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2012. As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto de vista do respectivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir. Este documento foi produzido a partir de versão electrónica fornecida pelo respectivo Autor. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais A meus Pais Dai-me um ponto de apoio e deslocarei a Terra e os Céus Arquimedes Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais i AGRADECIMENTOS Aos meu pais pelo apoio incondicional, carinho e sabedoria proporcionados em todas as adversidades. Aos meus amigos pelo seu companheirismo e solidariedade demonstrados nas horas de maior aflição e principalmente pelos bons momentos vividos. Aos vários docentes que ao longo da minha carreira académica me souberam orientar, tanto a nível académico como pessoal. Ao "ViBest" ("Laboratory of Vibrations and Structural Monitoring") pela disponibilização de informação essencial à elaboração desta tese. Ao meu orientador Professor Doutor Filipe Magalhães pela partilha de interesse nas questões da dinâmica estrutural. E finalmente, ao "FEMTools" em geral, pela enorme disponibilidade e interesse em que os melhores resultados fossem alcançados. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais ii Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais iii RESUMO O trabalho de investigação apresentado nesta dissertação teve como principais objetivos o estudo, a implementação e a aplicação de ferramentas destinadas a efetuar, a partir da informação decorrente da realização de ensaios de vibração ambiental, o ajuste de modelos de simulação do comportamento estrutural de obras de engenharia civil. Neste contexto, é discutida a aplicabilidade da análise experimental no cálculo de estruturas e apresentadas as principais técnicas de identificação de parâmetros modais. Posteriormente são apresentados os fundamentos teóricos e os passos essenciais da implementação das técnicas de ajuste de modelo numéricos, sendo destacada a metodologia que atualmente, se afigura ser uma das mais promissoras para aplicações em engenharia civil. Em seguimento, são considerados dois casos de aplicação referentes ao processo de ajuste como técnica de deteção de dano. Por fim é apresentada a aplicação mais relevante no âmbito desta tese, o ajuste do modelo numérico da Ponte sobre o Rio Douro da Concessão Douro Litoral. Palavras chave: Modelação numérica, Ajuste de modelos de elementos finitos, Análise modal experimental, Ensaios de vibração ambiental, FEMTools. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais iv Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais v ABSTRACT The work presented in this thesis aims the study, implementation and application of different techniques to perform, from the information collected in ambient vibration tests, the update of a simulation model of the structural behaviour from civil engineering structures. In this context, the applicability of the experimental analysis in the calculation of structures and the main techniques for identifying modal parameters are discussed. The theoretical foundations and the essential steps of the implementation of tuning techniques of simulation models are presented next. The technique that is supposed to be the most suitable for civil engineering applications, is discribed in more detail. Additionally, two cases of application are considered for the update process as a technique for damage detection. Finally the most relevant application in the context of this thesis is presented, the model update of the Rio Douro Bridge from Douro Litoral concession. Keywords: Numerical modeling, Finite element model updating, Experimental modal analysis, Ambient vibration tests, FEMTools. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais xii Fig.4.21 – Matriz de sensibilidade, vista de topo ................................................................................. 51 Fig.4.22 – Esquema de “pairing” de frequências sugerido pelo FEMTools ......................................... 52 Fig.4.23 – Matriz de evolução da resposta ao longo das três iterações, vista isométrica – “response tracking” ................................................................................................................................................ 53 Fig.4.24 – Matriz de evolução da resposta ao longo das três iterações, vista de topo – “response tracking” ................................................................................................................................................ 53 Fig.4.25 – Evolução da resposta ao longo das três iterações – “response tracking” .......................... 54 Fig.4.26 – Evolução da resposta ao fim da terceira iteração (Frequências ajustadas) – “response difference” ............................................................................................................................................. 55 Fig.4.27 – Matriz da evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao longo das três iterações, vista isométrica - “parameter tracking” .......................................................................................................... 55 Fig.4.28 – Matriz da evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao longo das três iterações, vista topo – “parameter tracking” .................................................................................................................. 56 Fig.4.29 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste – “parameter tracking” .................................. 56 Fig.4.30 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao fim da terceira iteração (Cenário de Dano) – parameter difference” ........................................................................................................................ 57 Fig.4.31 – Matriz de evolução da resposta ao longo da única iteração, vista isométrica – “response tracking” ................................................................................................................................................ 58 Fig.4.32 – Evolução da resposta ao longo da única iteração – “response tracking” ............................ 58 Fig.4.33 – Evolução da resposta ao fim da única iteração (Frequências ajustadas) –“response difference” ............................................................................................................................................. 59 Fig.4.34 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste – “parameter tracking” .................................. 59 Fig.4.35 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste no final do processo iterativo (Cenário de Dano) – “parameter difference” ............................................................................................................ 60 Fig.4.36 – Matriz de sensibilidade, vista isométrica ............................................................................. 61 Fig.4.37 – Matriz de sensibilidade, vista de topo ................................................................................. 61 Fig.4.38 – Evolução da resposta ao longo das duas iterações – “response tracking” ......................... 62 Fig.4.39 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste no final do processo iterativo (Cenário de Dano) – “parameter difference” ............................................................................................................ 62 Fig.4.40 – Evolução da resposta ao longo da única iteração - “response tracking” ............................ 63 Fig.4.41 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste no final do processo iterativo – (Cenário de Dano) - “parameter difference” ............................................................................................................. 63 Fig.4.42 – Modelo numérico da viga apoiada (ROBOT) ...................................................................... 64 Fig.4.43 – Numeração dos pontos e elementos do modelo numérico da viga apoiada (ROBOT) ...... 64 Fig.4.44 – Configurações modais dos cinco primeiros modos de vibração verticais ........................... 65 Fig.4.45 – Ponto de aplicação da solicitação ....................................................................................... 66 Fig.4.46 – Resposta da estrutura em acelerações (m/s2), medida no nó 3 ......................................... 66 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais xiii Fig.4.47 – Espectro de resposta da viga apoiada e respetivas frequências naturais ........................... 67 Fig.4.48 – Espectro de resposta e respetivas frequências fundamentais da viga apoiada danificada através da diminuição em 50% do módulo de elasticidade dos seus elementos 1 e 10 ...................... 68 Fig.4.49 – Localização provável do dano .............................................................................................. 69 Fig.4.50 – Matriz de sensibilidade, vista isométrica .............................................................................. 71 Fig.4.51 – Matriz de sensibilidade, vista de topo .................................................................................. 71 Fig.4.52 – Matriz de evolução da resposta ao longo das três iterações, vista isométrica – “response tracking” ................................................................................................................................................. 72 Fig.4.53 – Matriz de evolução da resposta ao longo das três iterações, vista topo – “response tracking” ................................................................................................................................................. 72 Fig.4.54 – Evolução da resposta ao longo das três iterações – “response tracking” ........................... 73 Fig.4.55 – Evolução da resposta ao fim da terceira iteração (Frequências Ajustadas) – “response difference” .............................................................................................................................................. 73 Fig.4.56 – Matriz da evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao longo das três iterações, vista isométrica – “parameter tracking” .......................................................................................................... 74 Fig.4.57 – Matriz da evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao longo das três iterações, vista topo – “parameter tracking” ................................................................................................................... 75 Fig.4.58 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste – “parameter tracking” .................................. 75 Fig.4.59 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao fim da terceira iteração, (Cenário de Dano) – “parameter diffrence” .......................................................................................................................... 76 Fig.5.1 – Vista em planta da Ponte sobre o Rio Douro em fase de projeto .......................................... 80 Fig.5.2 – Localização da ponte e principais acessos ............................................................................ 80 Fig.5.3 – Alçado da Ponte sobre o Rio Douro em fase de projeto e distribuição dos respetivos vãos ...................................................................................................................................................... 81 Fig.5.4 – Vista em planta da Ponte sobre o Rio Douro em fase de projeto e distribuição dos respetivos vãos ....................................................................................................................................................... 81 Fig.5.5 – Ponte sobre o Rio Douro em fase de construção .................................................................. 82 Fig.5.6 – Secção transversal em caixão, principais dimensões ........................................................... 82 Fig.5.7 – Secção transversal da Ponte sobre o Rio Douro e pormenor de uma ligação tabuleiro-pilar ........................................................................................................................................ 83 Fig.5.8 – Secção transversal dos pilares .............................................................................................. 83 Fig.5.9 – Alçado da Ponte sobre o Rio Douro, pormenor das fundações ............................................ 83 Fig.5.10 – Pormenor de uma ligação monolítica tabuleiro-pilar ............................................................ 84 Fig.5.11 – Simbologia e nomenclatura referente aos vários aparelhos de ligação .............................. 84 Fig.5.12 – Configurações modais dos primeiros modos de vibração verticais ..................................... 86 Fig.5.13 – Configurações modais dos primeiros modos de vibração laterais ...................................... 87 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais xiv Fig.5.14 – Modelo numérico da Ponte sobre o Rio Douro – FEMTools ............................................... 88 Fig.5.15 – Frequências de vibração verticais numéricas e experimentais (Hz) ................................... 89 Fig.5.16 – Frequências de vibração laterais numéricas e experimentais (Hz) ................................... 89 Fig.5.17 – Frequências de vibração verticais numéricas e experimentais (Hz) .................................. 91 Fig.5.18 – Frequências de vibração laterais numéricas e experimentais (Hz) ................................... 91 Fig.5.19 – Frequências de vibração verticais numéricas e experimentais (Hz) .................................. 93 Fig.5.20 – Frequências de vibração laterais numéricas e experimentais (Hz) .................................... 93 Fig.5.21 – Evolução iteração a iteração das frequências verticais ao longo do ajuste preliminar ....... 94 Fig.5.22 – Evolução iteração a iteração das frequências laterais ao longo do ajuste preliminar ........ 95 Fig.5.23 – Principais configurações modais verticais experimentais e correspondentes numéricas, vista em alçado .................................................................................................................................... 96 Fig.5.24 – Principais configurações modais laterais experimentais e correspondentes numéricas, vista de topo .................................................................................................................................................. 97 Fig.5.25 – Configurações modais verticais após inspeção visual e importação de dados, vista em alçado ................................................................................................................................................... 99 Fig.5.26 – Configurações modais laterais após inspeção visual e importação de dados, vista de topo ..................................................................................................................................................... 100 Fig.5.27 – Matriz de sensibilidade, vista isométrica ........................................................................... 104 Fig.5.28 – Matriz de sensibilidade, vista de topo ............................................................................... 104 Fig.5.29 – Matriz MAC, vista isométrica ............................................................................................. 105 Fig.5.30 – Matriz MAC, vista de topo ................................................................................................. 105 Fig.5.31 – Correlação FEA 1 – EMA 1, resposta 1 ............................................................................ 106 Fig.5.32 – Correlação FEA 2 – EMA 2, resposta 2 ............................................................................ 106 Fig.5.33 – Correlação FEA 3 – EMA 3, resposta 3 ............................................................................ 107 Fig.5.34 – Correlação FEA 4 – EMA 4, resposta 4 ............................................................................ 107 Fig.5.35 – Correlação FEA 5 – EMA 5, resposta 5 ............................................................................ 107 Fig.5.36 – Correlação FEA 6 – EMA 7, resposta 6 ............................................................................ 108 Fig.5.37 – Correlação FEA 7 – EMA 6, resposta 7 ............................................................................ 108 Fig.5.38 – Correlação FEA 9 – EMA 8, resposta 8 ............................................................................ 108 Fig.5.39 – Evolução da resposta da estrutura ao longo do processo iterativo – “response tracking” ............................................................................................................................................................. 109 Fig.5.40 – Desvios observados entre frequências numéricas e experimentais no fim do processo iterativo (desvios residuais) – “response difference” .......................................................................... 110 Fig.5.41 – Corte da matriz de rigidez em torno da resposta 1 ........................................................... 110 Fig.5.42 – Corte da matriz de rigidez em torno da resposta 3 ........................................................... 111 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais xv Fig.5.43 – Evolução dos parâmetros ao longo do processo de ajuste – “parameter tracking” .......... 112 Fig.5.44 – Cenário de perturbação no valor dos parâmetros no fim do ajuste – “parameter changes” .............................................................................................................................................................. 112 Fig.5.45 – Evolução da resposta da estrutura ao longo do processo iterativo – “response tracking” .............................................................................................................................................................. 114 Fig.5.46 – Desvios observados entre frequências numéricas e experimentais no fim do processo iterativo (desvios residuais) – “response difference” ........................................................................... 115 Fig.5.47 – Evolução dos parâmetros ao longo do processo de ajuste - “parameter tracking” ........... 115 Fig.5.48 – Cenário de perturbação no valor dos parâmetros no fim do ajuste – “parameter changes” .............................................................................................................................................. 116 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais xvi Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais xvii ÍNDICE DE TABELAS Tabela 3.1 – Vantagens e desvantagens do método direto baseado em parâmetros modais ............ 19 Tabela 3.2 – Vantagens e desvantagens do método indireto baseado em parâmetros modais .......... 20 Tabela 3.3 – Vantagens e desvantagens do método baseado em funções de resposta em frequência (FRFs) ................................................................................................................................................... 21 Tabela 4.1 – Cinco primeiras frequências fundamentais (Hz) e correspondentes períodos de vibração (s) ............................................................................................................................................ 33 Tabela 4.2 – Resumo da resposta da estrutura em velocidade (m/s), medida no nó 11 .................... 38 Tabela 4.3 – Erro entre frequências “experimentais” (Análise de Fourier) e numéricas (ROBOT) ...... 41 Tabela 4.4 – Solicitação de caráter aleatório definida pela função ALEATÓRIA thf ............................ 42 Tabela 4.5 – Erro entre frequências fundamentais segundo as hipóteses de solicitação consideradas ................................................................................................................................................................ 43 Tabela 4.6 – Erro entre frequências “experimentais” (Análise de Fourier - Solicitação ALEATÓRIA) e numéricas (ROBOT) .............................................................................................................................. 44 Tabela 4.7 – Erro entre frequências “experimentais” (ER2) e numéricas (ROBOT) ............................ 47 Tabela 4.8 – Erro entre frequências “experimentais” (EMA) da estrutura danificada e numéricas (FEA-FEMTools) da estrutura íntegra ................................................................................................... 49 Tabela 4.9 – Parâmetros selecionados para ajuste .............................................................................. 50 Tabela 4.10 – Evolução em percentagem da resposta ao longo das três iterações ............................ 54 Tabela 4.11 – Cenário de dano determinado ........................................................................................ 57 Tabela 4.12 – Erro entre frequências “experimentais” (EMA) da estrutura danificada e numéricas (FEA-FEMTools) da estrutura íntegra ................................................................................................... 58 Tabela 4.13 – Cenário de dano determinado ........................................................................................ 60 Tabela 4.14 – Cinco primeiras frequências fundamentais (Hz) e correspondentes períodos de vibração (s) ............................................................................................................................................ 65 Tabela 4.15 – Erro entre frequências “experimentais” (Análise de Fourier) e numéricas (ROBOT) .... 67 Tabela 4.16 – Erro entre frequências “experimentais” (EMA) da estrutura danificada e numéricas (FEA-FEMTools) da estrutura íntegra ................................................................................................... 69 Tabela 4.17 – Parâmetros selecionados para ajuste ............................................................................ 70 Tabela 4.18 – Tabela de “pairing” de frequências ................................................................................ 72 Tabela 4.19 – Evolução em percentagem da resposta ao longo das três iterações ............................ 74 Tabela 4.20 – Cenário de dano determinado ........................................................................................ 76 Tabela 5.1 – Principais materiais utilizados ......................................................................................... 85 Tabela 5.2 – Caraterização das molas selecionadas ........................................................................... 90 Tabela 5.3 – Caraterização das molas selecionadas .......................................................................... 92 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais xviii Tabela 5.4 – Parâmetros selecionados para ajuste ........................................................................... 103 Tabela 5.5 – Respostas selecionadas para ajuste ............................................................................. 103 Tabela 5.6 – Desvio entre frequências numéricas e experimentais – “response difference” ............ 109 Tabela 5.7 – Frequências de vibração após o ajuste ......................................................................... 113 Tabela 5.8 – Cenário de perturbação no valor dos parâmetros no fim do ajuste .............................. 113 Tabela 5.9 – Cenário de perturbação no valor dos parâmetros no fim do ajuste .............................. 116 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais xix Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais xx Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 1 1 INTRODUÇÃO 1.1. CONTEXTUALIZAÇÃO DO TRABALHO Este trabalho insere-se no seguimento da tese de mestrado de Magalhães (2005). A dissertação supracitada incide sobre os conceitos de identificação modal estocástica para validação experimental de modelos numéricos, cujos desenvolvimentos futuros, à data da realização da mesma, sugerem a utilização de parâmetros modais, detetados por ensaios de vibração ambiental, para ajuste de modelos de elementos finitos. O presente trabalho de investigação surge no seguimento dessa sugestão. Fazendo uso das técnicas exploradas por Magalhães (2005) de identificação experimental do comportamento dinâmico de estruturas, são usados os principais parâmetros modais obtidos, para o ajuste do modelo numérico de simulação estrutural. Esta necessidade de ajuste surge pela intenção de se determinar o comportamento real até aí desconhecido de determinada estrutura, para, a título de exemplo, melhor compreender o seu estado atual de integridade. Estas técnicas têm por base a integração da análise experimental no cálculo de estruturas. Sendo até recentemente consideradas duas áreas distintas com os mesmos propósitos, mas que levam na grande maioria dos casos à obtenção de resultados diferentes, a sua interligação para processos de ajuste de modelos numéricos assume-se ainda como um campo de investigação em amplo desenvolvimento. 1.2. OBJETIVOS Este trabalho de investigação tem como principal objetivo a aplicação de técnicas de ajuste de modelos numéricos com base em resultados experimentais a estruturas de engenharia civil. Este conceito de interligação entre resultados experimentais e numéricos, tendo como principal vantagem a possibilidade de atualização de um modelo de simulação para o mais próximo da realidade, é no entanto, relativamente recente. Pretende-se com uma abordagem teórica às diversas metodologias de ajuste definir procedimentos de correlação entre ambos, que possibilitem a atualização do referido modelo. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 8 2.2.2. DIFICULDADES DE IMPLEMENTAÇÃO Pode considerar-se que a principal vantagem da integração de resultados experimentais no processo de construção de modelos numéricos reside no facto de conduzir a um modelo mais próximo da realidade. No entanto, para que tal seja possível, torna-se inevitável a necessidade de mais informação. Assim, torna-se fundamental que procedimentos para a obtenção de resultados via experimental sejam rotinados, tornando-os de fácil acessibilidade para que a capacidade de simulação do comportamento dinâmico de estruturas seja melhorada. No entanto, existem diversos obstáculos que necessitam de ser ultrapassados para que os métodos de análise experimental, possam ser tidos como uma técnica "standard" na análise de estruturas. Muitos desses obstáculos apoiam-se no facto de a análise numérica e análise experimental, serem ainda hoje, procedimentos totalmente distintos, utilizados em locais distintos, por especialistas e "softwares" distintos. Assim, medidas como a criação de "interfaces" que compreendessem as necessidades da análise experimental e numérica numa só plataforma, ou que, em alternativa, permitissem a ligação entre ambas de forma a tornar os procedimentos de importação e exportação de dados numa ferramenta expedita, em muito contribuiriam para ultrapassar os obstáculos referidos. Em alternativa à proposta anterior, a criação de interfaces base, com uma linguagem fácil e procedimentos base comuns, ainda que em "softwares" diferentes, permitiria que um utilizador familiarizado com um determinado "software", facilmente conseguisse iniciar o trabalho noutro, já que apenas o tipo de análise seria diferente mas a plataforma de cálculo seria idêntica. Atualmente, constata-se, que por um lado é notório o crescente despertar dos analistas para a afirmação da análise experimental e confrontação de resultados, como complemento às análises numéricas, levando à consequente melhoria dos seus resultados. Por outro, novas aplicações para os resultados experimentais, e ferramentas que visam adaptar os seus procedimentos para que me melhor acomodem as necessidades dos analistas, têm vindo a ser desenvolvidas. O que indica, claramente, o aproximar de dois campos de análise perfeitamente colineares que até aqui se mantinham totalmente afastados. Uma das ferramentas computacionais que contribui para os procedimentos aqui descritos é o "software", FEMtools DDS ("Dynamic Design Solutions"), que será introduzido no decorrer desta tese. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 9 2.3. CORRELAÇÃO ENTRE RESULTADOS NUMÉRICOS E EXPERIMENTAIS 2.3.1. INTRODUÇÃO Os métodos de análise modal experimental (EMA) e numérica (FEA), disponíveis atualmente, permitem determinar um conjunto de parâmetros modais (frequências de ressonância, amortecimento, modos de vibração, etc.) que permitem caraterizar o comportamento dinâmico linear de uma estrutura. Teoricamente, ambas as técnicas deveriam conduzir a resultados idênticos, o que, na prática, raramente acontece, tornando-se necessário quantificar e qualificar esses desvios. A análise de correlação surge em resposta a essas necessidades, assumindo-se como uma ferramenta versátil, capaz de caraterizar esses desvios, tornando-se particularmente útil na identificação de parâmetros e/ou zonas causadoras das maiores discrepâncias entre a resposta de uma dada estrutura, obtida numérica e experimentalmente. Primeiramente, antes da realização de uma análise de correlação numérica e determinação de índices de correlação, é importante proceder a uma comparação entre as frequências obtidas experimentalmente e as previstas pelo modelo numérico, tentando perceber se são coerentes e rapidamente relacionar os desvios detetados com parâmetros físicos que os possam justificar. Assim, estamos também a realizar uma análise de correlação, só que de uma forma manual, mas no entanto, eficaz. No âmbito da dinâmica estrutural, será debatida a aplicação destas técnicas de correlação entre parâmetros modais. 2.3.2 PREPARAÇÃO DE DADOS As atuais técnicas de correlação de dados assentam em metodologias de análise que pretendem correlacionar dois conjuntos de dados de origens distintas, assim, torna-se necessário garantir que os resultados desse processo são representativos. Para tal, consideram-se três razões fundamentais para o insucesso que, se ultrapassadas, garantem uma boa base para comparação de resultados:  Diferente ordenação dos modos de vibração numéricos e experimentais  Existência de modos experimentais de vibração complexos  Dados experimentais insuficientes A diferente ordenação dos modos de vibração obtidos numericamente face aos determinados via experimental pode ser justificada por dois fatores, aproximações e simplificações no processo de modelação numérica e pela não identificação de determinados modos de vibração, justificada pela má consideração da localização dos sensores de medição, podendo ser ordenados corretamente através de uma simples inspeção visual ou através de procedimentos automáticos, como o uso do índice MAC ("Modal Assurance Criterion") que será descrito mais adiante. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 10 No que respeita ao segundo ponto, duas medidas de mitigação são propostas em função do amortecimento da estrutura, estando este diretamente relacionado com a origem do problema. Como não é habitual a consideração do amortecimento em processos de modelação numérica, todos os modos de vibração que dela resultam são sempre reais. No entanto, como seria de esperar, pelo facto de a estrutura ser amortecida, o mesmo não acontece experimentalmente. Assim, a comparação de dados numéricos de uma estrutura sem amortecimento, com os de uma estrutura cujo amortecimento é desconhecido, assume-se bastante difícil. A conversão das configurações modais complexas em reais surge como solução, sendo a forma mais simples de o conseguir, multiplicando a norma de cada componente modal pelo sinal do cosseno do ângulo da sua fase. No entanto, esta técnica só se mostra eficiente, em estruturas fracamente amortecidas, onde o ângulo de fase se aproxima de 0º ou 180º. Como a grande maioria das estruturas de engenharia civil são pouco amortecidas, este procedimento assume-se bastante adequado. Para as restantes estruturas, cujo amortecimento se assuma de valor considerável, surge um procedimento que assenta numa conversão no domínio dos números complexos, descrito em (Niebdal 1984). Finalmente, no que toca à insuficiência de dados experimentais, é sabido que a resposta de uma estrutura a esse tipo de ensaios, é medida num número limitado de localizações, sobre um determinado leque de frequências, o que resulta numa quantidade de modos de vibração reduzida, em relação ao previsto numericamente. Assim, torna-se necessário reduzir o modelo numérico para que toda a informação não detetada experimentalmente seja eliminada, ou, em alternativa, expandir os dados resultantes do ensaio experimental, de forma a estimar aqueles localizados em pontos em que não houve medição. Estas medidas são, respetivamente, a base de duas metodologias que serão debatidas em seguida:  Redução Modal  Expansão Modal 2.3.2.1. Redução Modal Como referido, uma das formas para tornar os resultados numéricos e experimentais comparáveis é procedendo à redução do número de graus de liberdade do modelo numérico. Para tal, são utilizados atualmente quatro metodologias:  Redução de Guyan ou estática ("Guyan or Static Reduction")  Redução dinâmica ("Dynamic Reduction")  Sistema de redução melhorado ("Improved Reduction System")  SEREP ("System Equivalent Reduction Expansion Process") Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 11 Com Correlação Sem Correlação Sem Medição Graus de Liberdade EMA Com Correlação Graus de Liberdade FEM No entanto, para a quase totalidade dos critérios de correlação existentes (MAC, COMAC, etc.), os graus de liberdade sem correspondência experimental são simplesmente ignorados. Assim, a descrição destas técnicas mostra-se pouco importante por não serem úteis no âmbito desta tese. Em seguida, apresenta-se um esquema elucidativo do conceito base da redução do modelo numérico. Fig.2.4 – Redução do modelo numérico Como se pode observar, o processo elimina os graus de liberdade do modelo numérico (FEM) sem correspondência experimental (EMA), de modo a se equivalerem em quantidade com os presentes no ensaio experimental. 2.3.2.2. Expansão Modal A expansão modal é uma técnica que acrescenta deslocamentos modais aos resultados do ensaio experimental, para os graus de liberdade não medidos. Este procedimento poderá ser realizado recorrendo às matrizes de massa e rigidez, ou através do uso de parâmetros modais. O facto de várias técnicas de correlação e localização de erro necessitarem da expansão dos resultados experimentais faz com que a eficiente aplicação desta técnica seja de grande importância. Objetivo do processo de redução Sem Correlação Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 12 Com Correlação Sem Correlação Sem Medição Graus de Liberdade EMA Objetivo do processo de expansão Com Correlação Sem Correlação Graus de Liberdade FEA Tal como na metodologia descrita anteriormente, apresenta-se em seguida um esquema representativo do conceito base da expansão de resultados experimentais. Fig.2.5 – Expansão de resultados experimentais Como se pode observar, o processo incide sobre os graus de liberdade sem medição no decorrer do ensaio (EMA), ou seja, não solicitados via experimental, no intuito de os tornar passíveis de serem inseridos como "sem correlação" e passíveis de correlação com os restantes numéricos. No entanto, esta metodologia deve ser aplicada com bastante atenção, já que os seus resultados são diretamente dependentes da representatividade dos modos de vibração detetados experimentalmente e analiticamente, sendo assim, bastante difícil, prever a precisão dos modos de vibração resultante da referida expansão. Sendo que essa precisão, em muito depende da quantidade de modos a expandir, face aos restantes modos experimentais. Assim, a sua aplicação, deve ser apenas ponderada, quando a necessidade de utilização de técnicas de correlação e deteção de dano, dependentes da referida expansão, seja incontornável. Após a apresentação das medidas mais importantes na preparação de dados para análise de correlação, tal como referido em 2.3.1, será debatida em seguida, a aplicação de técnicas de correlação entre parâmetros modais. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 13 2.3.3.CORRELAÇÃO ENTRE PARÂMETROS MODAIS Do ponto de vista da engenharia civil, a comparação entre modos de vibração, assume-se como a mais capaz de contribuir para o ajuste de modelos numéricos, sendo possível considerar-se os diferentes níveis de correlação:  Inspeção visual  Correlação numérica global  Correlação numérica local  Correlação através de coeficientes de correlação ("Correlation Coefficients"- CC) 2.3.3.1 Inspeção visual A inspeção visual baseia-se na comparação visual das configurações modais numéricas e experimentais, tendo por objetivo estabelecer correspondência entre ambas. Através da comparação das configurações modais dos diversos modos de vibração, são facilmente detetáveis erros de ordenação ou mesmo modos de vibração numéricos não detetados experimentalmente. A eficiência desta análise visual pode ser melhorada através do uso de "softwares" com grande capacidade de computação gráfica, nomeadamente a possibilidade de sobreposição animada das configurações modais. Embora muito eficaz e apelativa visualmente, esta técnica tem como principal desvantagem ser bastante morosa. 2.3.3.2. Correlação numérica global O objetivo principal das técnicas numéricas de correlação global de configurações modais, numéricas e experimentais, é analisar automaticamente todas as possibilidades de correspondência entre as mesmas, expressando de forma quantitativa, o nível de correlação alcançado para cada par de configurações modais. Para tal, existem duas ferramentas perfeitamente implementadas, o índice MAC ("Modal Assurance Criterion") e a ortogonalização dos modos de vibração ("Eigenvector Orthogonality Criterion" - EVO). O índice MAC será descrito de seguida por se considerar mais simples e eficaz no âmbito das estruturas analisadas ao longo desta tese. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 14 MAC ("MODAL ASSURANCE CRITERION") O índice MAC entre o modo experimental e o modo numérico é dado pela seguinte expressão: O índice assume valores entre zero e um, sendo que quanto maior for o seu valor, melhor será a correspondência entre o modo experimental e numérico . Índice MAC igual a 1, corresponde a uma correlação perfeita ou modos de vibração idênticos. Por outro lado, se for igual a 0, significará que o modo numérico correspondente, não foi identificado pela via experimental. Os valores dos vários índices MAC podem ser apresentados segundo uma matriz, onde o eixo das abcissas representa os modos numéricos, o eixo das ordenadas, os modos experimentais, ou viceversa, enquanto que segundo o eixo das cotas, se estabelecem os respetivos valores MAC. Quando a diagonal da referida matriz, for toda aproximadamente igual à unidade, e nulos os restantes valores, significa que a ordem dos modos experimentais está correta em relação aos correspondentes modos numéricos. A matriz MAC é muito utilizada não só no cálculo da correspondência entre modos de vibração, mas também na determinação ótima da localização de sensores de medição. 2.3.3.3. Correlação numérica local A correlação numérica local analisa as diferenças espaciais entre os modos de vibração experimentais e numéricos, isto é, para além de analisar as configurações modais dos vários modos de vibração, quantifica as diferenças entre ambas. Alguns métodos tentam identificar erros de modelação nas matrizes de massa e rigidez através dessas diferenças, assim, esta técnica é muitas vezes denominada como técnica de deteção e localização de dano. Os resultados servem de guia para a escolha de parâmetros para a análise de sensibilidade e ajuste de modelos numéricos. Podem ser considerados os quatro métodos de análise local que se seguem:  CMD ("Correlated Mode Shape Differences")  COMAC ("Coordinate Modal Assurance Criterion")  CORTHOG ("Coordinate Orthogonality Check")  MFR ("Modal Force Residues") Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 15 O índice COMAC por se revelar o mais promissor em aplicações de engenharia civil será descrito em mais pormenor. COMAC ("Coordinate Modal Assurance Criterion") Este índice quantifica as disparidades associadas a um determinado grau de liberdade, considerando todos os modos comparáveis. Para um grau de liberdade genérico i, este índice é calculado através da seguinte expressão. representa o número de modos comparáveis e representa a componente modal do modo j associada ao grau de liberdade i. Este índice permite detetar as zonas do modelo numérico em que as diferenças em relação aos valores experimentais são mais relevantes, constituindo uma forma de localização de zonas danificadas ou deficientemente modeladas. Tal como o índice MAC, o COMAC, é de fácil computação, não necessitando de qualquer análise das matrizes de massa e rigidez. Por outro lado, é necessário que os modos de vibração a estudar estejam devidamente escalados, ordenados e em correta correspondência entre numéricos e experimentais. 2.3.3.4. Correlação através de coeficientes de correlação A análise de correlação entre modos de vibração é passível de ser realizada com recurso a coeficientes de correlação. Estes podem ter por base desvios nos parâmetros modais escolhidos como resposta, resultados após análises de correlação global (MAC), ou outro tipo de respostas, como a massa da estrutura. Em seguida, apresentam-se alguns dos coeficientes de correlação mais utilizados, em que é uma quantidade de ponderação do erro previsível, para o tipo de resposta selecionada. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 16 CCMEAN ("WEIGHTED RELATIVE DIFFERENCE") - FREQUÊNCIAS DE RESSONÂNCIA CCABS ("WEIGHTED ABSOLUTE RELATIVE DIFFERENCE") - FREQUÊNCIAS DE RESSONÂNCIA é a i-ésima frequência de ressonância é a diferença entre a i-ésima frequência de ressonância experimental e teórica N é o número total de frequências analisadas MACMEAN ("AVERAGE MAC VALUE") - ÍNDICES MAC Estabelece a margem ou folga média dos índices MAC para cada par de modos de vibração ao longo das M frequências de ressonância escolhidas como resposta. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 17 3 AJUSTE DE MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.1. INTRODUÇÃO No quotidiano de um engenheiro de estruturas surgem novos desafios para além da análise e dimensionamento de novas estruturas. Estes desafios passam largamente pela avaliação de estruturas já existentes, sendo que o método dos elementos finitos estabelece-se como uma ferramenta matemática capaz de satisfazer ambos os requisitos. Com o objetivo de determinar o comportamento de uma estrutura sob determinadas condições, sejam elas estáticas, dinâmicas, térmicas ou qualquer outro tipo de solicitação, os engenheiros, hoje em dia, apoiam-se em modelo numéricos para simular o seu comportamento real. O método dos elementos finitos devido à sua versatilidade, flexibilidade e precisão tem vindo a tornar-se num dos mais eficazes e populares métodos de simulação numérica. No entanto, mesmo quando se pretende criar modelos de elementos finitos muito precisos, o resultado é sempre uma aproximação da realidade. O desafio do engenheiro é simplificar essa realidade, criando modelos aproximados, que ainda assim, permitam simular suficientemente bem a estrutura em análise. Durante o processo de modelação, o engenheiro depara-se com incertezas sobre como modelar corretamente a geometria, as propriedades do material, ou mesmo as condições de fronteira. Como é sabido, a aproximação tende a contribuir para incertezas. Mas, mesmo quando um modelo de elementos finitos foi criado para produzir resultados muito precisos, nunca podemos ter a certeza da sua eficiência até que os resultados sejam validados experimentalmente, isto é, até que comparados com os obtidos pela via experimental. Assim surge o propósito do ajuste de modelos de elementos finitos. Estudar como alterações no valor dos parâmetros de "design" da estrutura, influenciam o seu comportamento dinâmico, e de que forma uma função de erro, que justifique diferenças no comportamento numérico face ao real, pode ser minorada, sendo que a melhor maneira para o conseguir, assenta numa contínua atualização e validação do modelo, em torno da sua massa, rigidez e amortecimento, através de dados experimentais, dinâmicos ou estáticos. Finalmente, excluídos todos os possíveis erros de modelação, assume-se o modelo computacional como validado, atualizável e capaz de representar o comportamento estrutural detetado experimentalmente. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 24 3.3.2. CICLO DE SELEÇÃO DE PARÂMETROS E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE O método de ajuste indireto baseado em parâmetros modais pode também ser chamado de método de sensibilidade. Esta denominação alternativa advém do facto desta metodologia se apoiar em análises de sensibilidade e correspondentes matrizes, na seleção das respostas e parâmetros sujeitos a ajuste. Assim torna-se necessária a descrição desta fase do processo de ajuste que se estabelece por um processo cíclico de análise de sensibilidade entre os parâmetros selecionados para ajuste e a resposta da estrutura que se pretende ver atualizada. 3.3.2.1. Análise de sensibilidade A análise de sensibilidade é uma técnica que permite ao analista, através da derivação da resposta da estruturas para parâmetros físicos modelados em elementos finitos, obter uma noção do tipo e localização dos parâmetros que mais influenciam o seu comportamento dinâmico. Estes coeficientes de sensibilidade são dispostos numa matriz de sensibilidade, que analisada, fornece as áreas mais sensíveis e insensíveis da estrutura. Assim, esta ferramenta torna-se muito útil já que permite otimizar o processo de seleção dos parâmetros a ajustar. No entanto, para que o ajuste seja bem condicionado, isto é sem dificuldades de convergência, é necessário que o número de parâmetros seja reduzido, sendo mesmo imperativo que seja inferior ao número de condições estabelecidas. No caso concreto das estruturas de engenharia civil, como foi dito anteriormente, as frequências de ressonância e as correspondentes configurações modais são as respostas mais usuais a serem consideradas para ajuste. Assim, a análise de sensibilidade, através da seleção de diferentes parâmetros, permite verificar se perturbações nos mesmos alteram a resposta da estrutura, isto é, se a estrutura é suficientemente sensível às modificações desses parâmetros. Assim os coeficientes de sensibilidade poderão ser definidos como a quantidade de modificação de um determinado valor da resposta R em consequência de um ajuste de um parâmetro P do modelo. Este é portanto um processo cíclico, em que se sujeitam as respostas que se pretendem ver atualizadas, a parâmetros que se pensa serem capazes de justificar esses desvios. Caso se confirme a eficiência dos parâmetros selecionados, seguir-se-á o processo iterativo de ajuste, que para além de determinar qual a melhor conjugação potencial, determina o valor mais provável de perturbação que justifique os desvios verificados entre a resposta teórica e experimental da estrutura. Caso contrário, essa conjugação de parâmetros deve ser posta de lado, mesmo que se verifiquem incertezas nos seus valores iniciais, já que baixos valores de sensibilidade tornam o problema mal condicionado, causando dificuldades de convergência ao problema de otimização e tornando a solução mais vulnerável ao ruído presente nos dados experimentais. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 25 3.3.3. CICLO DE AJUSTE O ciclo de ajuste ou processo iterativo de ajuste inicia-se assim que confirmada a eficiência dos parâmetros selecionados no processo de atualização do modelo em torno das respostas consideradas. Selecionados e confirmada a sua eficiência, torna-se necessária a preparação dos resultados experimentais e teóricos que servirão de base para o ajuste. Assim, segue-se a análise de correlação entre EMA e FEA, cujos procedimentos foram previamente descritos no capítulo 2, mais concretamente no subcapítulo 2.3. Diretamente ligada à correlação ou comparação de resultados numéricos e experimentais, surge um conceito que se estabelece como fundamental no processo iterativo: as denominadas Funções Objetivo, que serão descritas em seguida. 3.3.3.1. Função objetivo Tal como as restantes técnicas de ajuste de modelos de elementos de finitos, o objetivo do método iterativo baseado em parâmetros modais prende-se com o melhoramento da correlação entre dados experimentais e o modelo numérico de simulação, sendo essa correlação estabelecida por uma função objetivo, que quantifica as diferenças entre dados experimentais e numéricos. Esta função é geralmente definida na forma de um problema de mínimos quadrados. A função objetivo é obtida através da soma dos quadrados das diferenças entre os parâmetros modais alcançados experimentalmente e os resultantes do modelo numérico e pode ser escrita da seguinte forma: Os elementos são quantidades que resultam do modelo numérico, que dependem das variáveis do modelo e que serão alvo de ajuste; os elementos representam as mesmas quantidades obtidas de forma experimental. As diferenças entre os parâmetros numéricos e os obtidos de forma experimental designam-se resíduos e são representados na expressão (3.1) por Na terceira igualdade da expressão anterior os resíduos são agrupados no vetor . As quantidades usadas para a definição da função objetivo têm que ser determinadas numérica e experimentalmente. Nas estruturas de engenharia civil de grandes dimensões esta determinação deve ser realizada através de um ensaio de vibração ambiental. As variáveis mais usadas na definição desta função são as frequências naturais e os modos de vibração, embora também possam ser utilizadas as extensões ou curvaturas modais. Pretende-se que o número de resíduos (m) utilizados seja maior do que o número de variáveis a ajustar (n), para que o problema de mínimos quadrados mostre uma solução única. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 26 FREQUÊNCIAS NATURAIS COMO RESÍDUO Os resíduos referentes às frequências naturais podem ser obtidos através das diferenças relativas ou absolutas entre as frequências obtidas experimentalmente e as obtidas numericamente, embora seja preferível utilizar as diferenças relativas uma vez que, assim, o contributo de cada uma delas não depende do seu valor absoluto. Na referência (Teughels 2003b), estes resíduos são obtidos a partir da seguinte expressão: Onde e são os valores próprios da estrutura não amortecida, que se relacionam diretamente com as frequências naturais. As frequências são obtidas experimentalmente com muito rigor, sendo muito sensíveis a mudanças de rigidez pelo que, alguns autores (Zhang et al 2000), na definição da função objetivo apenas consideram resíduos relacionados com as frequências. Contudo, estas têm a desvantagem de caracterizarem apenas o comportamento global da estrutura. MODOS DE VIBRAÇÃO COMO RESÍDUO Quanto aos modos de vibração, estes são determinados experimentalmente com maiores incertezas, sendo menos sensíveis a mudanças de rigidez, mas são muito importantes, uma vez que são uma grandeza espacial que permite identificar a zona do modelo que deve ser ajustada. Os resíduos que refletem as diferenças entre os modos experimentais e os numéricos podem ser determinados através de diferentes expressões, diferentes entre si na forma como são escalados os modos e na consideração de diferenças relativas ou absolutas. Na referência (Teughels 2003b) é usada a seguinte expressão: Onde e são duas componentes do modo de vibração , obtido a partir do modelo numérico, e e são as componentes correspondentes obtidas experimentalmente. Deste modo, todas as componentes de cada modo de vibração são escaladas pela componente de referência (r), para assegurar que modos de vibração numéricos e experimentais são escalados da mesma forma. Para cada modo deverá ser escolhida, para componente de referência, a componente máxima, com vista a assegurar que os resíduos dos diferentes modos ficam com valores absolutos semelhantes. Desta forma, para cada modo são considerados tantos resíduos quantos os graus de liberdade definidos. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 27 ATRIBUIÇÃO DE PESOS COMO PONDERAÇÃO DE IMPORTÂNCIA NO PROCESSO DE AJUSTE Considerando a função objetivo definida pela expressão (3.1), todos os resíduos têm contribuições semelhantes. Contudo, pode desejar-se estabelecer pesos distintos para cada um, passando a função objetivo a ser definida pela seguinte expressão: Entre outras referências, no livro (Friswell e Mottershead 1995), a equação anterior surge escrita de uma maneira mais genérica: onde é um vector coluna que contém os resíduos e W é a matriz dos pesos. Se esta for diagonal, como é correntemente considerado, a expressão (3.5) dá origem à expressão (3.4). Os pesos devem ser função da importância de cada um dos resíduos e da incerteza que está associada à determinação experimental das grandezas a que dizem respeito. Na referência (Friswell e Mottershead 1995) é referido que uma das formas de definir os pesos consiste em considerá-los iguais ao inverso do desvio padrão da estimativa experimental correspondente. Neste caso é exigida a quantificação da incerteza associada a cada estimativa experimental. As frequências naturais são geralmente determinadas com maior rigor do que os modos de vibração, sendo mais sensíveis às variações de rigidez, pelo que deve ser atribuído um peso maior aos seus resíduos. Esta quantificação não é fácil, uma vez que o valor ideal varia de caso prático para caso prático. Dependendo, especialmente, do rigor com que são determinados os modos de vibração. Na referência (Teughels 2003b), é sugerido que estes sejam determinados de forma iterativa. Se numa primeira tentativa o ajuste conseguido em termos de frequências for bom e os modos apresentarem grandes diferenças, deverá ser elaborado um novo cálculo com pesos superiores para os resíduos dos modos; se os modos numéricos, pelo seu ajuste forçado aos modos experimentais apresentarem um aspeto pouco suave, os pesos atribuídos aos resíduos das frequências devem ser aumentados. O estabelecimento dos pesos retira algum automatismo ao método uma vez que solicita alguma sensibilidade estrutural ao analista. Contudo, torna-o mais flexível e mais eficiente. NATUREZA DA FUNÇÃO OBJETIVO No caso específico da engenharia civil, os parâmetros de ajuste devem ter um significado físico bem definido de forma a serem facilmente controláveis. Assim, a função objetivo assume-se como de natureza física, e sendo este o algoritmo de cálculo para minimizar desvios entre parâmetros modais detetados experimentalmente e numericamente, facilmente se constata que os parâmetros de ajuste não se relacionam de forma direta com a resposta da estrutura. Esta não linearidade obriga a um processo iterativo de resolução, tornando necessária a utilização de algoritmos de otimização de problemas não lineares e consequente análise de controlo de convergência. Uma breve descrição destas condicionantes é apresentada de seguida. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 28 3.3.3.2. Problema de otimização A função objetivo referida no ponto anterior, resultante da aplicação do método dos mínimos quadrados, tem que ser minimizada através de algoritmos de otimização. Podem ser considerados dois tipos de otimização:  Otimização local  Otimização global Os algoritmos de otimização local partindo de um ponto inicial definido pelo analista e através de um processo iterativo baseando-se nas derivadas da função objetivo, vão gradualmente percorrendo uma trajetória em direção ao mínimo, podendo no entanto parar a busca no mínimo local mais próximo do referido ponto de partida. Por sua vez os algoritmos de otimização global são capazes de ultrapassar os mínimos locais no percurso para a identificação do mínimo absoluto. Estes são mais robustos uma vez que a solução final se assume assim independente do ponto de partida. O método da minimização local acoplada (CLM – “Coupled Local Minimizers") tem vindo a demonstrar-se muito promissor na resolução de problemas desta natureza, tendo sido adaptado e aplicado ao problema do ajuste de modelos de elementos finitos por Anne Teughels (Teughels et al. 2003), tendo-se verificado bons resultados. Mais recentemente (Bakir et al.2007) comprova que o método obtém resultados muito bons, tendo neste caso superado os restantes algoritmos empregues. O CLM através da adoção de vários pontos de partida elabora uma otimização local neles baseada. Durante o processo iterativo desta otimização, os vários pontos de partida são obrigados a convergir para o mesmo ponto, ponto esse que, se os parâmetros do método forem devidamente ajustados, será o mínimo global. Atualmente, a maior parte das aplicações de ajuste de modelos de elementos finitos em engenharia civil é realizada recorrendo a métodos de otimização local, uma vez que são muito rápidos, fáceis de implementar e, na maioria das aplicações, se o ponto de partida for bem selecionado, determinam o mínimo absoluto. O livro (Nocedal e Wright 1999) oferece uma descrição pormenorizada dos inúmeros algoritmos existentes. 3.3.3.3. Convergência A cada iteração do ciclo de ajuste, o modelo numérico é reanalisado e as respostas numéricas e experimentais sujeitas a novos procedimentos de correlação, já que os seus valores foram ajustados. Os coeficientes de correlação são utilizados na monitorização do progresso de ajuste ao longo das consecutivas iterações, terminando quando determinado critério de correlação atinge um valor prédefinido ou não demonstra progresso durante consecutivas iterações. No caso de um ajuste bem condicionado, a convergência costuma ser suave em termos da curva do coeficiente de correlação escolhido, sendo as primeiras iterações as mais eficientes e o ajuste obtido por norma entre as 3 e 10 iterações. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 29 Porém, em determinados casos, a curva dos coeficientes de correlação não apresenta este tipo de comportamento, demonstrando fraca convergência ou mesmo inexistente, oscilações permanentes no valor dos coeficientes, ou, no pior dos casos, divergência. Com o objetivo de garantir a convergência do processo iterativo, na referência (Teughels 2003a) é aconselhada a utilização de uma estratégia denominada região de confiança (“Trust Region”). Nela, o mínimo da função quadrática, que aproxima a função original, é procurado dentro de uma região limitada denominada, região de confiança. Esta, procura definir os limites, para cada iteração, da zona da função original que é bem caraterizada pela aproximação quadrática. Porém outros autores como Zhang et al. (2000), defendem a inclusão de restrições no problema de otimização. Do ponto de vista de garantia de convergência, a consideração de uma região de confiança torna estas condições dispensáveis. No entanto, a sua consideração pode ser importante para estabelecer limites físicos dos parâmetros de ajuste, assegurando que a solução final é realista. A consideração de restrições obriga a adoção de algoritmos de otimização diferentes sendo estes descritos detalhadamente na referência (Nocedal e Wright 1999). 3.4. FEMTOOLS No decorrer desta tese serão aplicados os procedimentos de ajuste descritos, com recurso ao "software" FEMTools. Este disponibiliza uma ferramenta de ajuste automático do modelo numérico, que pode ser baseado na:  Massa da estrutura  Deslocamentos estáticos  Parâmetros modais  Funções de Resposta em Frequência (FRF) O ajuste protagonizado pelo FEMTools assenta num processo iterativo baseado numa análise de sensibilidade, podendo ser escrita como: ou Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 30 A matriz de sensibilidade S quantifica a sensibilidade da resposta R em função do parâmetro P: os valores ajustados do parâmetro P são obtidos a partir de (3.7) e (3.8) com ("Gain Matrix"), determinada através do estimador de Bayesian, tal que: sendo o valor inicial dos parâmetros, as resposta experimentais e e as matrizes ponderadas que expressam a confiança do analista em . O processo iterativo continua até as função objetivo satisfazer o critério de convergência. Como comprovado, o ajuste de modelos de elementos finitos baseado em parâmetros modais mostra-se o mais promissor no âmbito dos exemplos que se apresentarão ao longo desta tese. Nos capítulos seguintes, através do acompanhamento do processo de ajuste protagonizado pelo "software", analisar-se-ão, em mais detalhe, os seus procedimentos e potencialidades. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 31 4 APLICAÇÃO PRÁTICA - INTRODUÇÃO AO FEMTOOLS 4.1. INTRODUÇÃO Pretende-se com este capítulo fazer uma aplicação prática de alguns dos conceitos expostos nos capítulos 2 e 3 através do estudo de duas estruturas de pequeno porte tipicamente utilizadas no âmbito da engenheira civil. Assim, o estudo será apoiado no "software" FEMTools, cujas potencialidades serão exploradas e descritas ao longo do processo de ajuste. Será realizado um ajuste automático do modelo de elementos finitos de duas vigas de betão armado, sendo uma encastrada e outra simplesmente apoiada. O ajuste consistirá num processo iterativo de alteração dos parâmetros físicos da estrutura, com base nas suas frequências de ressonância. Todo o processo é exposto passo-a-passo, incluindo a análise dinâmica, análise de correlação, análise de sensibilidade e análise de dano. Numa primeira fase realizar-se-á o cálculo modal de cada estrutura com recurso à modelação em elementos finitos das mesmas. Seguidamente, será desenvolvida uma metodologia de análise modal experimental (EMA) com recurso a espectros de resposta, que fornecerá resultados para análise de correlação. Entenda-se espectro de resposta como equivalente a Funções de Resposta em Frequência (FRF), quando a excitação da estrutura é semelhante a um ruído branco (sinal com igual contributo de uma banda alargada de frequências). Seguidamente será simulado um caso de perturbação que permitirá, através de análises de correlação e sensibilidade, testar as potencialidades do ajuste de modelos numéricos como técnica de deteção de dano. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 32 4.2. VIGA ENCASTRADA 4.2.1. DESCRIÇÃO E MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIGA ENCASTRADA A viga encastrada com 5 metros de comprimento, tem uma secção transversal quadrada de 0,2 metros de largura e altura, constantes ao longo de todo o comprimento. A modulação consistiu em 10 troços iguais de 0,5 metros de comprimento, ligados entre si monoliticamente, dando origem a 11 nós, sendo que o primeiro, é o único com ligação ao exterior, representando um encastramento perfeito. Fig.4.1 – Modelo numérico da viga encastrada (ROBOT) Fig.4.2 – Numeração dos pontos e elementos do modelo numérico da viga encastrada (ROBOT) 4.2.2. ANÁLISE MODAL - MODELO NUMÉRICO Numa segunda fase, recorreu-se às potencialidade de cálculo do "software" "Autodesk Robot Structural Analysis" para extrair os parâmetros modais da estrutura. Esta análise resultou na identificação dos cinco primeiros modos de vibração verticais e horizontais, e respetivas frequências fundamentais de vibração, que nestes caso serão iguais devido à secção transversal ser quadrada. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 33 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Tabela 4.1 – Cinco primeiras frequências fundamentais (Hz) e correspondentes períodos de vibração (s) Fig. 4.3 – Configurações modais dos cinco primeiros modos de vibração verticais Frequência (Hz) Período (s) 4,55 0,22 28,45 0,04 79,44 0,01 155,12 0,01 255,39 0,00 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 Fig.4.10 – Espetro de resposta da viga encastrada e respetivas frequências naturais de vibração determinadas pela seleção de picos, correspondentes a uma solicitação de 25,575 segundos Em seguida apresenta-se, em comparação, o espectro de resposta da viga encastrada em função do período de excitação de apenas 2,575 segundos não cumprindo o requisito de 10 períodos considerado anteriormente para estabilização da resposta. Fig.4.11 – Espetro de resposta da viga encastrada e respetivas frequências naturais de vibração determinadas pela seleção de picos, correspondentes a uma solicitação de 2,5575 segundos Analisando os espectros apresentados, torna-se facilmente constatável, que para a solicitação de 25,575 segundos (Fig. 4.10), o espectro de resposta da estrutura, apresenta visivelmente menor quantidade de ruído, face à solicitação de 2,5575 segundos (Fig.4.11), embora, como seria de esperar ambas determinam três frequências fundamentais de valor situado em intervalos semelhantes. Frequência (Hz) 4,3 28,54 80,55 Frequência (Hz) 4,3 28,54 80,55 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 41 CONFRONTAÇÃO DE RESULTADOS EXPERIMENTAIS COM NUMÉRICOS Comparando as frequências numéricas determinadas pela modulação no "software" ROBOT, com as frequências "experimentais", resultantes da metodologia baseada na Análise de Fourier, obtemos o seguinte erro. É de notar que o valor determinado para as frequências "experimentais" pelo método da seleção de picos, dizem respeito, apenas às abcissas dos máximos relativos (picos) detetados. Para a determinação mais exata das mesmas, são necessários procedimentos de processamento mais sofisticados. Tabela.4.3 – Erro entre frequências "experimentais" (Análise de Fourier) e numéricas (ROBOT) O erro máximo registado é de 5,494%. Sendo este valor bastante aceitável, pode então concluir-se, que a metodologia apresentada conduz a resultados satisfatórios, comprovando a possibilidade de determinação de parâmetros da estrutura através da análise da sua resposta a excitações sinusoidais. No entanto, algumas considerações poderão melhorar a facilidade com que alcançamos resultados satisfatórios. 4.2.3.2. Hipótese 2 - Solicitação ALEATÓRIA É sabido que o conjunto de ações a que uma estrutura está sujeita, pode ser representado por uma solicitação de caráter aleatório. Ou seja, a soma de várias solicitações harmónicas, traduz-se numa solicitação de carater aleatório. Esta aproximação, conduzindo a resultados concordantes com os determinados anteriormente, torna o procedimento de simulação de resultados experimentais mais expedito e mais próximo da realidade. Assim, em seguida, proceder-se-á à análise de viabilidade do mesmo. Frequência (Hz) 1 2 3 Experimentais 4,3 28,54 80,55 Numéricas 4,55 28,45 79,44 Erro (%) -5,494 +0,316 +1,397 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 42 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0 5 10 15 20 25 -1 -0,5 0 0,5 1 0 5 10 15 20 25 Recorrendo novamente ao "software" Excel, simulou-se a função aleatória intitulada ALETÓRIA.thf que se segue: Tabela.4.4 – Solicitação de caráter aleatório definida pela função ALETÓRIA.thf Fig.4.12 – Solicitação de caráter aleatório definida pela função ALETÓRIA.thf RESPOSTA DA ESTRUTURA - CONSTRUÇÃO DO ESPECTRO DE RESPOSTA Todos os resultados que se apresentam em seguida foram determinados segundo as metodologias expostas anteriormente, com alteração exclusiva da função que dá origem à solicitação. Assim, apresenta-se a resposta em velocidade (m/s) da viga encastrada, no seu nó extremo, (nó 11). Fig.4.13 – Resposta da viga encastrada em velocidade (m/s) medida no ponto extremo (nó 11) Tempo (s) Solicitação 0 0,2985 0,0025 0,5276 0,005 0,2734 - - 25,575 -0,9002 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 43 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Resultante da Análise de Fourier exposta anteriormente, representa-se na figura 4.14, o espectro de resposta da viga encastrada correspondente à solicitação aleatória definida anteriormente, e respetivas frequências naturais de vibração, determinadas pela seleção de picos. Fig.4.14 – Espectro de resposta da viga encastrada e respetivas frequências naturais CONFRONTAÇÃO DE RESULTADOS EXPERIMENTAIS COM NUMÉRICOS Como facilmente se pode observar (Tabela 4.5), as frequências de vibração fundamentais determinadas com ambas as solicitações são concordantes em valor, sendo que diferem com um erro máximo de 9,07%. É de notar que a solicitação de caráter aleatório, conduz a valores sempre superiores à solicitação primeiramente definida. Tabela 4.5 – Erro entre frequências fundamentais segundo as hipóteses de solicitação consideradas Torna-se necessário determinar, se este desvio por excesso, ainda que admissível, constante ao longo das três frequências determinadas, é aceitável em relação às frequências numéricas fornecidas pelo "software" ROBOT. Frequência (Hz) 4,69 28,93 80,55 ALEATÓRIA (Hz) SOMA (Hz) Erro (%) 4,69 4,3 +9,07 28,93 28,54 +1,367 80,55 80,55 0 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 44 Tabela 4.6 – Erro entre frequências "experimentais" (Análise de Fourier - Solicitação ALEATÓRIA) e numéricas (ROBOT) Como se pode observar, o erro máximo detetado é de 3.077%, sendo menor que os 5,494% determinados anteriormente. Pode então considerar-se a aproximação da solicitação inicial a uma função de caráter aleatório como admissível. Assim, todas as metodologias que se seguem terão por base esta consideração. 4.2.3.3. Análise da qualidade dos resultados Como referido anteriormente, a eficiência da leitura de resultados, torna-se muitas das vezes dependente da qualidade da amostra, sendo esta diretamente afetável pela quantidade de ruído. No entanto, existem procedimentos, bastante simples, que poderão conduzir a uma diminuição visível da quantidade de ruído ou erro e consequente melhoria na representatividade dos "picos":  Consideração de troços ou grupos temporais mais curtos, obrigando à realização de mais médias  Séries temporais em "overlapping"  Determinação das séries de resposta em acelerações No entanto, a consideração de troços temporais mais curtos, resulta na adoção de mais troços, e consequentemente, numa diminuição da resolução em frequência f , ou seja, ao aumento do espaçamento entre cada abcissa do espetro. Sendo as frequências de ressonância, estimadas pelos pontos de ordenada máxima dos picos do espectro, a diminuição de f , conduz inevitavelmente a uma estimativa menos rigorosa das frequências de ressonância. Assim, proceder-se-á apenas, à consideração de um "overlapping" de 50%, ou seja, a primeira metade do troço seguinte (ex. troço 2) sobrepõe-se à segunda metade do troço anterior (ex. troço 1). Esta consideração levará, por si só, ao aumento do número de troços temporais de 10 para 19 troços, como se apresenta em seguida, em resumo, pela organização tipo considerada. Frequência (Hz) 1 2 3 Experimentais 4,69 28,93 80,55 Numéricas 4,55 28,45 79,44 Erro (%) +3.077 +1.687 +1.397 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 45 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 São representados seguidamente, em resumo, os dois primeiros troços e o último. Note-se que, tal como proposto, são consideradas as séries temporais de resposta, em acelerações, medidas no nó extremo da viga, quando solicitada pela excitação aleatória definida anteriormente. Fig.4.15 – Organização tipo definida e correspondentes espectros de resposta dos dois primeiros e último troços Tempo Solicitação Resposta (m/s2) Fourier 1 0 0,2985 -22,2464 6,6728 2 0,0025 0,5276 -8,2835 2,9942 - - - - 1024 2,5575 -0,6531 -20,6843 -2,9942 Tempo Solicitação Resposta (m/s2) Fourier 512 1,2775 -0,9928 26,5496 121,6939 513 1,28 0,6603 -17,9988 122,8245 - - - - 1535 3,835 0,0775 18,511 122,8245 Tempo Solicitação Resposta (m/s2) Fourier 9199 22,995 -0,3913 19,2056 86,8699 9200 22,9975 0,0865 9,2884 87,0693 - - - - 10222 25,5525 -0,1567 21,59167 87,0693 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 46 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Para melhor compreensão do efeito das progressivas alterações, serão expostas os consequentes espectros de resposta (ER) após de cada alteração:  ER1 - 10 troços temporais, resposta em acelerações  ER2 - 19 troços temporais, resposta em acelerações e "overlapping" de 50% A figura que se segue diz respeito ao espectro de resposta sem consideração de "overlapping" obtida por espectros de resposta em acelerações (ER1). Fig.4.16 – Espectro de resposta (ER1) e respetivas frequências fundamentais, sem consideração de "overlapping" obtida pela resposta em acelerações Com a aplicação desta primeira medida de mitigação do ruído da amostra (remete-se comparação com Fig.4.14), é notório que a consideração da resposta em acelerações, contribui para uma melhor representação dos "picos" associados às frequências de ressonância mais elevadas, que no entanto, não sofreram qualquer alteração em valor. No entanto, é ainda detetável bastante ruído, o que justifica a necessidade de testar a segunda medida proposta, a consideração de um "overlapping". Assim, em resultado do cálculo da média entre os 19 espectros de resposta obtidos pela consideração de um "overlapping" de 50% em troços temporais da resposta em acelerações da viga (Fig.4.15), apresenta-se em seguida o espectro de resposta final da estrutura (ER2). Fig.4.17 -Espectro de resposta (ER2) e respetivas frequências fundamentais, com consideração de "overlapping" de 50%, obtido pela resposta em acelerações Frequência (Hz) 4,69 28,93 80,55 Frequência (Hz) 4,3 28,54 80,55 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 47 Pode concluir-se, que tal como esperado, a qualidade do resultado é superior por diminuição da quantidade de ruído detetado, sendo que a estimativa das frequências de ressonância pelos pontos de ordenada máxima, se torna mais "fácil", já que os "picos" se apresentam mais notórios. No entanto, pode concluir-se que as frequências detetadas sofreram um desvio, que se trata em seguida: Tabela 4.7 – Erro entre frequências "experimentais" (ER2) e numéricas (ROBOT) Como se pode observar, o desvio máximo consequente neste caso particular é de 5,494%, valor bastante admissível embora superior ao registado antes da aplicação de qualquer medida de mitigação de ruído, que era de 3,077% (Fig.4.14 e Tabela 4.6). 4.2.4. ANÁLISE DE DANO Embora o dano tenha um impacto direto nos parâmetros modais da estrutura, encontrar a localização e amplitude desse dano a partir desses parâmetros, revela-se uma difícil tarefa. Se não houver um conhecimento prévio da localização e amplitude do dano, o problema torna-se de difícil resolução, muito devido ao tamanho limitado dos dados experimentais face ao elevado potencial número de parâmetros de identificação. Assim, os problemas de localização de dano são sobredeterminados, conduzindo inevitavelmente a um conjunto de múltiplas soluções. Tendo por base as metodologias de ajuste de modelos numéricos, o dano é identificado através da modificação local das propriedades de um elemento, isto é, elemento a elemento, sendo assim a redução de rigidez, um indicativo de presença de dano localizado. No entanto, a consideração de todas as propriedades de um elemento, como parâmetros individuais de ajuste, conduz, tal como referido, a um problema sobredeterminado. O número de parâmetros a considerar poderá assim ser reduzido, agrupando-os em "sets" onde as propriedades dos diversos elementos se distribuem de forma homogénea. Frequência (Hz) 1 2 3 Experimentais 4,3 28,54 80,55 Numéricas 4,55 28,45 79,44 Erro (%) -5,494 +0,316 +1.397 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 48 0 15 30 45 60 75 90 Um determinado modelo numérico de simulação, quando ajustado pela via experimental, reflete as caraterísticas dinâmicas da estrutura danificada. Quando comparado com o modelo de referência, esse dano é facilmente detetado. Podem ser distinguidas diferentes fases no processo de deteção de dano:  Constatação da existência de dano (análise de correlação)  Identificação da localização do dano (análise de sensibilidade)  Estimativa da magnitude do dano (ajuste do modelo numérico) A análise de dano que se sugere, recorrendo ao "software" FEMTools, é baseada no pressuposto de existir um conhecimento prévio do tipo de dano que pode ser esperado. Em teoria, o dano pode estar localizado em qualquer parte da estrutura, porém, muitas dessas localizações possíveis, são pouco prováveis de serem identificadas na realidade. Assim, torna-se fundamentada a hipótese de reduzir a quantidade de parâmetros de ajuste, definindo um número de possíveis ou prováveis cenários de dano. Sendo o número de parâmetros diminuído para o número de cenários de dano considerado. O objetivo desta análise passa por, através da introdução prévia de dano na estrutura, testar as capacidades do "software", em determinar esse mesmo dano, como o cenário de perturbação mais provável na justificação das alterações registadas nos seus parâmetros modais. 4.2.4.1. Introdução de dano e cálculo modal da estrutura danificada Recorrendo à modelação desenvolvida anteriormente em ROBOT, simulou-se um dano correspondente a uma diminuição de 50% no módulo de elasticidade do elemento 1 da viga encastrada, e recorrendo à metodologia desenvolvida, o seu espectro de resposta e frequências de ressonância detetadas apresentam-se de seguida. Fig.4.18 – Espectro de resposta e respetivas frequências fundamentais da viga encastrada, danificada através da diminuição em 50% do módulo de elasticidade do seu elemento número 1 Frequência (Hz) 3,82 26,03 75,23 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 49 Assim torna-se legítimo considerar em diante estas frequências naturais, como passíveis de serem determinadas através de um ensaio "in loco" por excitação de uma vida encastrada semelhante, ou seja, serem consideradas como EMA ("Experimental Modal Analysis"), onde, à data do ensaio, se desconhecia a existência de qualquer dano. Assim, o recurso à modelação em ROBOT do dano, serve apenas para que os desenvolvimentos em seguida assentem em cenários minimamente realistas. 4.2.4.2. Constatação da existência de dano CONFRONTAÇÃO DE FREQUÊNCIAS NUMÉRICAS E "EXPERIMENTAIS" (ANÁLISE DE CORRELAÇÃO) Apresenta-se em seguida, o erro detetado por comparação das frequências "experimentais" (EMA), com as FEA ("Finite Element Analysis") calculadas pela modelação em elementos finitos da estrutura íntegra no programa FEMTools. O erro máximo registado em relação às FEA, 16,52% é muito distante dos 5,814% tidos como admissíveis, no caso da estrutura íntegra (Tabela 4.7), o que indicia de forma clara a presença de dano. 4.2.4.3. Identificação da localização do dano INTERPRETAÇÃO DOS DESVIOS REGISTADOS E CONCEÇÃO DO CENÁRIO DE DANO A discrepância registada no ponto anterior (Tabela 4.8) sugere, que de alguma forma, a estrutura poderá ter sido danificada, e como se constata uma diminuição de valor ao longo das três frequências de ressonância, a perda de rigidez da mesma, parece ser um cenário muito provável. Assim, admitiu-se como provável localização de dano a barra 1, barra 5 e 6 e a barra 10, como se representa na figura. Frequência (Hz) 1 2 3 Experimentais (EMA) 3,82 26,03 75,23 Numéricas (FEA-FEMTools) 4,57 28,31 78,46 Erro (%) -16,52 -8,08 -4,12 Tabela 4.8 – Erro entre frequências experimentais (EMA) da estrutura danificada e numéricas (FEA-FEMTools) da estrutura íntegra Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 56 Fig.4.28 – Matriz da evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao longo das três iterações, vista topo - "parameter tracking" É de notar, como se prova pela figura anterior, que devido à grande sensibilidade da estrutura na primeira resposta a alterações do parâmetro 1 (Fig.4.20 e 4.21), o "software" começa primeiramente por tentar ajustar unicamente este parâmetro. Através da figura que se segue (Fig.4.29), constata-se que esse ajuste consistiu numa alteração muito brusca do seu valor, tendendo ao longo das restantes iterações, a diminuir por recurso aos restantes parâmetros (nomeadamente o parâmetro 2 que até então não tinha sofrido qualquer alteração), que em conjunto resultam num erro menor e consequentemente numa melhor atualização. Fig.4.29 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste - "parameter tracking" Como se pode observar pela figura apresentada, no fim do processo iterativo, o cenário de perturbação determinado, corresponde aproximadamente a uma diminuição na ordem dos 50% do valor do parâmetro 1 e de cerca de 10% nos restantes. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 57 No entanto o mesmo pode ser representado, de uma forma mais clara, através da figura que se segue. Fig.4.30 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao fim da terceira iteração (Cenário de Dano) - "parameter difference" Assim, concluído o ajuste, o cenário de dano ou perturbação mais provável na justificação dos desvios encontrados entre frequências "experimentais" e numéricas, é o seguinte: Tabela 4.11 – Cenário de dano determinado Constata-se que o "software" foi capaz de, com bastante eficiência, atualizar o modelo numérico da viga encastrada em termos de frequências numéricas FEA em frequências "experimentais" EMA, (erro máximo de atualização em frequência de apenas 1.1879%, tabela 4.10). Comprovou-se a redução em 50% do módulo de elasticidade do elemento 1 (parâmetro 1) como cenário de dano mais provável para justificar as alterações no comportamento dinâmico da viga. É de notar que embora o resultado final não corresponda a valores inalterados dos parâmetros 2 e 3, constata-se uma forte tendência de presença de dano localizado no elemento 1, tendência essa, comprovada com uma determinação de amplitude de dano bastante precisa. Seguidamente propor-se-ão novos cenários de perturbação que visam por à prova a metodologia apresentada como uma excelente ferramenta de apoio ao estudo do comportamento dinâmico de estruturas, nomeadamente na questão da deteção e interpretação de dano. ANTES (MPa) DEPOIS (MPa) ERRO% Parâmetro 1 31000 15184 -51,02 Parâmetro 2 31000 33899 +9,35 Parâmetro 3 31000 33083 +6,72 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 58 DANO DE 10% NO ELEMENTO 1 A fim de testar a eficiência dos procedimentos descritos para cenários de perturbação mais reduzidos, simulou-se um dano correspondente a uma diminuição de 10% no módulo de elasticidade do elemento 1 da viga em questão. Os principais resultados, tal como expostos anteriormente, são apresentados de seguida. Tabela 4.12 – Erro entre frequências "experimentais" (EMA) da estrutura danificada e numéricas (FEA-FEMTools) da estrutura íntegra O processo iterativo fica resolvido numa iteração, cuja evolução se apresenta nas figuras 4.31 e 4.32. Fig.4.31 – Matriz de evolução da resposta ao longo da única iteração, vista isométrica - "response tracking" Fig.4.32 – Evolução da resposta ao longo da única iteração -"response tracking" Frequência (Hz) 1 2 3 Experimentais (EMA) 4,46 28,09 78,75 Numéricas (FEA-FEMTools) 4,57 28,31 78,46 Erro (%) -2,41 -0,77 +0,37 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 59 No fim do ajuste, foram registados os desvios residuais de +0,69%, -0,21% e -1,12%, respetivamente nas respostas 1, 2 e 3, como se apresenta na figura que se segue. Fig.4.33 – Evolução da resposta ao fim da única iteração (Frequências ajustadas) - "response difference" Os parâmetros escolhidos para ajuste são os mesmos do caso anterior (Tabela 4.9). A evolução do valor dos mesmos, que conduziu a um ajuste tão preciso das frequências, apresenta-se na figura 4.34, sendo o cenário de dano determinado, exposto na figura 4.35. e tabela 4.13. Fig.4.34 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste - "parameter tracking" Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 60 Fig.4.35 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste no final do processo iterativo (Cenário de Dano) - "parameter difference" Tabela 4.13 – Cenário de dano determinado Assim, constata-se que o "software" foi capaz de, com bastante eficiência, atualizar o modelo de elementos finitos da viga encastrada em termos de frequências numéricas FEA em frequências "experimentais" EMA, (erro máximo de atualização em frequência de apenas 1.12%). Comprovando a redução em 10% do módulo de elasticidade do elemento 1 (parâmetro 1) como cenário de dano mais provável para justificar as alterações no comportamento dinâmico da viga. Chama-se a atenção para o facto da matriz de sensibilidade não ter sido exposta por ser idêntica à do caso de perturbação anterior (Fig.4.20 e Fig.4.21), já que a sua configuração é independente da magnitude de perturbação, dependo apenas da localização da mesma e dos parâmetros selecionados para ajuste. É de notar, que embora o resultado final não corresponda a valores inalterados dos parâmetros 2 e 3, constata-se uma forte tendência de presença de dano localizado no elemento 1, tendência essa, comprovada com uma determinação de amplitude de dano bastante precisa. No entanto, mostra-se ainda interessante a ponderação de um caso de perturbação que incida numa zona da viga menos sensível, com vista a testar as potencialidades do "software" nestas condições de ajuste. ANTES (MPa) DEPOIS (MPa) ERRO% Parâmetro 1 31000 28102 -9,35 Parâmetro 2 31000 31688 +2,22 Parâmetro 3 31000 31564 +1,82 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 61 DANO NOS ELEMENTOS INTERMÉDIOS 5 E 6 Simulou-se um dano correspondente a uma diminuição de 50% no módulo de elasticidade dos elementos 5 e 6 da viga em questão. Os principais resultados, tal como expostos anteriormente, são apresentados de seguida. Considerando os mesmos parâmetros de ajuste selecionados até aqui (Tabela 4.9), comprava-se que a matriz de sensibilidade terá uma representação distinta (remete-se comparação entre Fig.4.20 e Fig.4.21 com Fig.4.36 e Fig.4.37), já que, como descrito anteriormente, esta depende da localização do dano. Fig.4.36 – Matriz de sensibilidade, vista isométrica Fig.4.37 – Matriz de sensibilidade, vista de topo Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 62 O "software" resolveu o processo iterativo com grande eficiência ao fim de duas iterações, registando um desvio residual de +0,009%,+0,3% e -1,53% nas respostas 1, 2 e 3 respetivamente, como se indica pela figura em baixo. Fig.4.38 – Evolução da resposta ao longo das duas iterações -"response tracking" Tal como se pode observar pela figura 4.39, o cenário de dano determinado corresponde em pleno com o pretendido, por determinar uma correta tendência para a localização de dano nos elementos 5 e 6 por diminuição em 5,66% no valor do parâmetro 1, 44,32% no parâmetro 2 e por um aumento em 4,78% no parâmetro 3. Fig.4.39 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste no final do processo iterativo (Cenário de Dano) - "parameter difference" Assim, diminui-se a magnitude do dano para 25%, tendo o "software" resolvido o processo iterativo com grande eficiência ao fim de apenas uma iteração e registado um desvio residual de +0,21%, +0,52% e -1,35% nas respostas 1, 2 e 3 respetivamente, como se indica pela figura que se segue. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 63 Fig.4.40 – Evolução da resposta ao longo da única iteração - "response tracking" No entanto, o cenário de dano determinado é bem menos preciso, sendo ainda assim claramente detetada uma tendência de localização de dano concentrado nos elementos 5 e 6 por diminuição em 4,5% no valor do parâmetro 1, 12,74% no parâmetro 2 e por um aumento de 2,03% no parâmetro 3. Fig.4.41 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste no final do processo iterativo (Cenário de Dano) - "parameter difference" Nestes termos, constata-se que o "software" foi capaz de, com bastante eficiência, atualizar o modelo de elementos finitos da viga encastrada em termos de frequências numéricas FEA em frequências "experimentais" EMA, (erro máximo de atualização em frequência de apenas 1.35%). Comprovou-se assim, a eficiência do mesmo como ferramenta em procedimentos de deteção de dano. No entanto, é importante referir, que no mesmo cenário de perturbação, para um dano de apenas 10% no valor do módulo de elasticidade, o "software" não foi capaz de realizar qualquer ajuste, tendo o mesmo acontecido para todo o leque de magnitudes de perturbação no elemento 10. É de notar que apenas foram consideradas as frequências para ajuste, contudo, a utilização dos modos de vibração melhoraria certamente os resultados. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 64 4.3. VIGA APOIADA Pretende-se com este exemplo comprovar a eficiência das metodologias dispostas anteriormente no cálculo do comportamento dinâmico, deteção e interpretação de dano através da análise de uma estrutura de caraterísticas distintas. 4.3.1. DESCRIÇÃO E MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIGA APOIADA A viga apoiada, igualmente com 5 metros de comprimento, tem uma secção transversal quadrada de 0,15 metros de largura e altura, constantes ao longo de todo o comprimento. Tal como na estrutura anterior, a modulação consistiu em 10 troços iguais de 0,5 metros de comprimento ligados entre si monoliticamente, dando origem a 11 nós, sendo que o primeiro e o último, nó número 1 e nó numero 11 correspondentemente, são os únicos com ligação ao exterior, ligações estas representados por um apoio simples e um apoio duplo. Fig.4.42 – Modelo numérico da viga apoiada (ROBOT) Fig.4.43 – Numeração dos pontos e elementos do modelo numérico da viga apoiada (ROBOT) 4.3.2. ANÁLISE MODAL - MODELO NUMÉRICO Novamente, recorrendo às potencialidades de cálculo do "software" ROBOT, determinaram-se os cinco primeiros modos de vibração verticais e horizontais, que mais uma vez serão iguais devido à secção transversal ser quadrada, e respetivas frequências fundamentais de vibração. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 65 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Tabela 4.14 – Cinco primeiras frequências fundamentais (Hz) e correspondentes períodos de vibração (s) Fig.4.44 – Configurações modais dos cinco primeiros modos de vibração verticais Frequência (Hz) Período (s) 9,57 0,10 38,26 0,03 85,96 0,01 152,60 0,01 238,20 0,00 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 72 Assim, serão utilizadas as metodologias expostas anteriormente sobre o ajuste de modelos numéricos. A tabela que se segue representa o "pairing" entre as frequências FEA e EMA. Tabela 4.18 – Tabela de "pairing" de frequências De seguida procedeu-se ao cálculo iterativo do ajuste, tendo sido necessárias três iterações. A evolução da resposta da estrutura ao longo do processo é apresentada pelas figuras que se seguem, denominadas "response tracking". Fig.4.52 – Matriz de evolução da resposta ao longo das três iterações, vista isométrica -" response tracking" Fig.4.53 – Matriz de evolução da resposta ao longo das três iterações, vista topo -" response tracking" Frequência (Hz) 1 2 3 EMA 9,51 37,31 81,18 FEA (FEMTools) 9,65 38,6 86,33 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 73 Por observação das matrizes apresentadas constata-se que ao fim da terceira iteração os desvios foram anulados quase na totalidade, como comprova os tons de azul presentes em cada uma, o que sugere valores muito aproximados de frequências numéricas ajustadas e "experimentais". A figura 4.54 que se apresenta em seguida assenta no mesmo princípio, sendo que a representação da evolução das respostas não é em matriz, o que torna a sua leitura mais fácil. Fig.4.54 – Evolução da resposta ao longo das três iterações - "response tracking" Como podemos constatar, após a primeira iteração, o valor da frequência associada à resposta 1 (cor laranja), sofreu uma alteração brusca que durante o restante processo se foi atenuando até que ambos os desvios convergem para aproximadamente zero. É de notar que o valor do desvio residual mais elevado, isto é, a resposta que ao fim do processo foi pior ajustada, resposta 2 (cor azul) é, por análise da matriz de sensibilidade (Fig.4.50 e Fig.4.51), a menos sensível de entre as três. Serve este facto de justificação para o maior interesse por parte do "software" em mitigar os desvios das respostas 1 e 3, registando estas, valores de desvio residual mais baixos. Na figura que se segue apresentam-se os referidos residuais para cada resposta ao fim da terceira iteração. Fig.4.55 – Evolução da resposta ao fim da terceira iteração (Frequências Ajustadas) -"response difference" Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 74 Os valores exatos por resposta e iteração, são discriminados na tabela em baixo. Tabela 4.19 – Evolução em percentagem da resposta ao longo das três iterações Como podemos verificar pela tabela apresentada, ao fim da terceira iteração o "software" atualiza as frequências FEA para valores muito próximos das EMA, sendo registado um erro máximo de apenas 1,002%. Assim, comprovada a eficiência do ajuste em torno das frequências de ressonância da estrutura, resta perceber a evolução do valor dos parâmetros que conduziu a essa eficiência. Seguidamente apresenta-se a evolução correspondente dos parâmetros ao longo das três iterações que conduziram, tal como referido anteriormente, à atualização do modelo em frequências. Fig.4.56 – Matriz da evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao longo das três iterações, vista isométrica - " parameter tracking" Iteração 0 1 2 3 Resposta 1 +1,4756 -1,9003 -1,2297 -0,6519 Resposta 2 +3,3387 +2,0953 +1,4548 +1,0019 Resposta 3 +5,9641 +1,8648 -0,9670 +0,4021 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 75 Fig.4.57 - Matriz da evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao longo das três iterações, vista topo - " parameter tracking" Como se prova pela figura apresentada, devido à simetria da matriz de sensibilidade da estrutura (Fig. 4.50 e Fig. 4.51), a matriz de evolução do valor dos parâmetros é também simétrica. Assim, tal como previsto em 4.3.4.3 aquando da constatação do comportamento simétrico da matriz de sensibilidade, o "software" sobrepõe as curvas de evolução do valor dos parâmetros 1 e 4 (curva azul) e parâmetros 2 e 3 (curva amarela), como se pode observar pela figura que se segue. Fig.4.58 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste -" parameter tracking" Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 76 Como consequência direta, o cenário de perturbação determinado pelo "software" é também simétrico ao longo dos 4 parâmetros, comprovando-se a eficiência do mesmo na determinação de perturbações comuns em elementos independentes entre si, tal como se pode observar seguidamente. Fig.4.59 – Evolução do valor dos parâmetros de ajuste ao fim da terceira iteração, (Cenário de Dano) -" parameter difference" Assim, concluído o ajuste, o cenário de dano ou perturbação mais provável na justificação dos desvios encontrados entre frequências experimentais e numéricas, é o seguinte: Tabela 4.20 – Cenário de dano determinado Constata-se que o "software" foi capaz de, com bastante eficiência, atualizar o modelo de elementos finitos da viga apoiada em questão, em termos de frequências numéricas FEA em frequências experimentais EMA, erro máximo detetado de apenas 1,002%. Comprovou-se que a redução em cerca de 50% do valor dos parâmetros 1 e 10, como cenário de perturbação mais provável para justificar as alterações no comportamento dinâmico da viga. ANTES (MPa) DEPOIS (MPa) ERRO% Parâmetro 1 31000 16672 -46,22 Parâmetro 2 31000 28622 -7,67 Parâmetro 3 31000 28622 -7,67 Parâmetro 4 31000 16672 -46,22 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 77 Refira-se que embora o resultado final não corresponda a valores inalterados dos parâmetros 2 e 3, constata-se uma forte tendência de presença de dano localizado nos elemento 1 e 10, tendência essa, comprovada com uma determinação de amplitude de dano bastante precisa. Por último, resta salientar o facto de que toda a análise poderia ter sido desenvolvida com base apenas no "sofware" FEMTools, através da extração das configurações modais da estrutura íntegra (tidas como numéricas) e das referentes às sucessivas perturbações (experimentais), realizando o ajuste entre ambas sem recurso a ensaio experimental. No entanto, as análises descritas saem enriquecidas com o recurso a ensaio experimental, já que este introduz nas mesmas as variáveis ruído e erro, que dificultam o processo de ajuste mas que por outro lado testam as reais capacidade do "software" em situações representativas no âmbito da engenharia civil, já que estas recorrem, inevitavelmente, a ensaios experimentais. 4.4. CONCLUSÃO Neste capítulo abordaram-se as metodologias de ajuste de modelos numéricos sobre um ponto de vista prático. Recorrendo a duas vigas distintas, comprovou-se a eficiência do "software" FEMTools como ferramenta de ajuste, através da simulação de diversos casos de dano. Ao longo de todos eles, o ajuste revelou-se muito preciso. No entanto, outras ferramentas devem ser utilizadas para que os valores possíveis de ajuste dos parâmetros sejam representativos, isto é, com significado físico coerente com o contexto em que se inserem. Assim, no próximo capítulo, serão abordadas questões suplementares no ajuste de modelos numéricos, respeitantes ao condicionamento dos parâmetros de ajuste e convergência de resultados, que não foram abordados no presente capítulo, por se pretender fazer uma análise introdutória ao "software" citado, através de exemplos muito simples. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 78 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 79 5 AJUSTE DO MODELO NUMÉRICO DA PONTE SOBRE O RIO DOURO DA CONCESSÃO DOURO LITORAL 5.1. INTRODUÇÃO O presente capítulo está dividido em três secções distintas. Numa primeira fase é apresentada a estrutura em questão e descrito o ensaio de vibração de ambiental que conduziu à caraterização do seu comportamento dinâmico. Seguidamente será realizado um ajuste preliminar com vista à progressiva calibração do modelo numérico da estrutura em torno das suas frequências fundamentais de vibração, de modo a validar os resultados por ele obtidos. Correlacionando o comportamento numérico e experimental da estrutura, proceder-se-á finalmente ao ajuste automático do modelo de simulação. Pretende-se com este capítulo demonstrar de um ponto de vista prático, a aplicabilidade dos conceitos de ajuste de modelos numéricos a estruturas de engenharia civil, tentando perceber as suas potencialidades e limitações fundamentais. As análises protagonizadas ao longo do mesmo terão por base o "software" FEMTools que se pretende testar como ferramenta complementar e inovadora no domínio da dinâmica de estruturas. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 80 5.2. A PONTE SOBRE O RIO DOURO A Ponte sobre o Rio Douro da concessão Douro Litoral situa-se na região do Douro e na Grande Área Metropolitana do Porto, a montante da Ponte do Freixo e a 3km Barragem de Crestuma-Lever. Inserida na A41-CREP (Circular Regional Exterior ao Porto) faz a ligação sobre o Rio Douro, entre Picoto e o Nó Da Ermida, permitindo o atravessamento do mesmo sem necessidade de entrar na cidade do Porto descongestionando a VCI (Via de Cintura Interna). Fig. 5.1 – Vista em planta da Ponte sobre o Rio Douro em fase de projeto. Fig. 5.2 – Localização da ponte e principais acessos Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 81 A seleção desta ponte prende-se com o facto de ter sido recentemente estudada através de um ensaio de vibração ambiental realizado pelo Laboratório de Vibração e Monitorização de Estruturas (VIBEST) da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, no dia 16 de Março de 2011. Ensaio esse integrado num programa de ensaios mais alargado, solicitado pelo consórcio construtor DLACE (Douro Litoral ACE). Com o ensaio foi possível caraterizar o comportamento dinâmico atual da estrutura, nomeadamente a caraterização das suas frequências naturais e configurações dos principais modos de vibração. Assim, a possibilidade de tomar tais resultados como ponto de partida para o ajuste do modelo numérico em causa, tornou-se bastante aliciante, podendo através de resultados base de grande valor, proceder a desenvolvimentos que vêm completar o estudo desta estrutura. 5.2.1. DESCRIÇÃO DA PONTE A ponte projetada pelo Engenheiro Armando Rito, concluída em Agosto de 2010, desenvolve-se em dois tabuleiros paralelos e independentes, formando duas estruturas do tipo viga contínua com seis tramos cada uma. Com um comprimento total entre encontros de 730 metros, a modelação dos vãos é de 65 + 115 + 3x150 + 100 m. Fig. 5.3 – Alçado da Ponte sobre o Rio Douro em fase de projeto e distribuição dos respetivos vãos Fig. 5.4 – Vista em planta da Ponte sobre o Rio Douro em fase de projeto e distribuição dos respetivos vãos Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 88 5.3. MODELAÇÃO NUMÉRICA Por não termos disponível o modelo numérico da estrutura que serviu de base ao ensaio apresentado, tornou-se necessária a elaboração de um que fosse capaz de traduzir o comportamento dinâmico apresentado. Como a estrutura é composta por dois tabuleiros idênticos totalmente independentes, optou-se por estudar apenas o tabuleiro de jusante, já que o comportamento dinâmico de ambos se mostra muito semelhante (Fig.5.12 e Fig.5.13). Para tal recorreu-se ao "software" de elementos finitos "Autodesk Robot Structural Analysis Professional", idealizando um modelo de barras que permitisse simular a geometria da estrutura. No entanto, este assume-se bastante limitado nas questões de ajuste do modelo já que apenas permite um ajuste manual, através de um processo iterativo de sucessivas alterações nos valores de determinados parâmetros. Assim, a modelação da estrutura em ROBOT, estabelece-se como um passo intermédio para a elaboração do modelo numérico em FEMTools, percebendo gradualmente as limitações e condicionantes deste último, face às inúmeras e intuitivas capacidades de modelação do ROBOT. Este "software" dispõe de inúmeras funcionalidades que permitem facilmente simular os mecanismos que frequentemente se encontram em estruturas de engenharia civil, como por exemplo as condições de apoio. No entanto, o FEMTools obriga a serem consideradas soluções alternativas para a simulação destas condições, como por exemplo a colocação de molas para simular os mecanismos de apoio presentes. Assim, em seguida representa-se o modelo numérico alcançado. Fig. 5.14 – Modelo numérico da Ponte sobre o Rio Douro - FEMTools Pretende-se com esta modelação, a definição de um modelo base para ajuste das suas frequências e configurações modais às detetadas experimentalmente. Porém torna-se necessário serem primeiramente validados os resultados dessa modelação, resultados esses que serão discutidos seguidamente. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 89 5.3.1. CALIBRAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO E ANÁLISE MODAL - AJUSTE PRELIMINAR Como referido, uma das principais questões que suscitou dúvidas durante o processo de modelação, foi a simulação das condições de ligação, já que inicialmente, após a estrutura estar completamente montada em FEMTools, se verifica que as várias "peças", em determinadas localizações se encontravam desligadas. Um exemplo concreto deste fenómeno eram as ligações tabuleiro-pilar, em que se verificava que não existia qualquer transferência de deformação, ou seja, enquanto o tabuleiro se deformava de forma expectável, o pilar mantinha-se intacto. Esta dificuldade foi porém tida como uma oportunidade de encarar o problema como um processo de ajuste preliminar, com o objetivo de calibrar a modelação inicial até configurações modais concordantes com as obtidas via ensaio de vibração ambiental (Fig. 5.12 e Fig. 5.13). Inicialmente foi ponderada a construção de um modelo em que todas as ligações fossem monolíticas, simulando-se molas infinitamente rígidas nas condições de ligação tabuleiro-pilar, encontros e fundações. Estas considerações estabelecem o modelo numérico da ponte que servirá de base ao processo de ajuste, cujas frequências fundamentais de vibração se apresentam na figura em baixo. Fig. 5.15 – Frequências de vibração verticais numéricas e experimentais (Hz) Fig. 5.16 – Frequências de vibração laterais numéricas e experimentais (Hz) 0,488 0,635 0,854 1,172 0,406 0,567 0,81 1,147 1 2 3 4 Laterais EXPERIMENTAIS NUMÉRICAS 0,732 0,879 1,172 1,538 0,929 1,173 1,5 2,044 1 2 3 4 Verticais EXPERIMENTAIS NUMÉRICAS Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 90 Note-se, que por frequências experimentais se consideram as obtidas através do ensaio de vibração ambiental descrito em 5.2.2, e numéricas as resultante da análise modal do modelo numérico da ponte. Constata-se que ao nível do comportamento dinâmico vertical (Fig. 5.15), as frequências numéricas assumem-se de valor superior às registadas experimentalmente. Tal facto poderá ser justificado pela consideração de excesso de rigidez ao nível da modelação das condições de ligação. Em consequência, e como na realidade as ligações não são na sua totalidade monolíticas procedeu-se à modelação das condições de ligação com recurso a molas, de forma a simular os mecanismos descritos em projeto (Fig. 5.11). No que respeita aos mecanismos tabuleiro-pilar foram simulados a partir da introdução de molas, no caso das ligações rotuladas (P1, P2 e P5), infinitamente rígidas na direção transversal (Ky), devido ao facto de um dos dois aparelhos por pilar, não permitir deslocamentos nessa direção. Contudo, pelo facto de a estrutura não estar condicionada longitudinalmente foi admitida rigidez nula nesta direção (Kx). Consequentemente, do ponto de vista rotacional, pelo facto de existirem dois aparelhos por pilar que impedem deslocamentos verticais, estão impedidas rotações em torno do eixo longitudinal (Hx) e libertas segundo os restantes eixos. Considerações semelhantes são aplicadas aos dois encontros (E1 e E2). No caso das ligações monolíticas, pilares P3, P4 e fundações F1 a F5, foram inseridas molas infinitamente rígidas em todas as direções. Na tabela seguinte são esquematizadas as configurações selecionadas. Tabela 5.2 – Caraterização das molas selecionadas P1 P2 P5 P3 P4 E1 E2 F1 F2 F3 F4 F5 Kx LIVRE BLOQUEADO LIVRE BLOQUEADO Ky BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO Kz BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO Hx BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO Hy LIVRE BLOQUEADO LIVRE BLOQUEADO Hz LIVRE BLOQUEADO LIVRE BLOQUEADO Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 91 Em suma, este primeiro ajuste resulta numa modelação correspondente às condições estabelecidas em projeto, cujas frequências saem alteradas da seguinte forma: Fig. 5.17 – Frequências de vibração verticais numéricas e experimentais (Hz) Fig. 5.18 – Frequências de vibração laterais numéricas e experimentais (Hz) Rapidamente se constata uma notória redução no valor das frequências numéricas verticais (remete-se comparação de Fig. 5.17 com Fig. 5.15), o que indica que a suposição anterior, referente ao excesso de rigidez, estava correta. 0,488 0,635 0,854 1,172 0,432 0,567 0,773 1,045 1 2 3 4 Laterais EXPERIMENTAIS NUMÉRICAS 0,732 0,879 1,172 1,538 0,788 0,936 1,216 1,657 1 2 3 4 Verticais EXPERIMENTAIS NUMÉRICAS Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 92 Essa concordância estabelece-se pelo facto das configurações verticais estarem diretamente relacionadas com a rigidez rotacional em torno do eixo transversal (Hy). Porém observa-se um comportamento dinâmico lateral pouco razoável em torno das suas frequências fundamentais, embora a primeira frequência se tenha aproximado do valor experimental, as últimas duas afastaram-se para valores cujos desvios consequentes são demasiado elevados (Fig. 5.18) Conclui-se que o modelo calibrado representa de forma bastante consistente o comportamento dinâmico vertical em torno do valor das suas frequências fundamentais de vibração, tendo inclusivamente o ajuste, conduzido a valores das mesmas bastante próximas dos obtidos pelo ensaio de vibração ambiental. No que respeita às configurações laterais, como se pode observar, os valores determinados para as frequências numéricas são inferiores aos detetados pelo ensaio de vibração, o que remete diretamente, considerando a correta modelação da estrutura conforme o projeto, para a constatação de que a estrutura na realidade não se comporta como previsto em projeto. Torna-se então necessário alcançar um cenário de comportamento dinâmico em torno das frequências de vibração, tanto laterias como verticais, representativo, assegurando assim, a qualidade e significado do ajuste. O objetivo passa por aumentar o valor das frequências laterais tentando evitar perturbação no comportamento dinâmico vertical. Para tal, após revisão de todo o processo de modelação e posta de parte a possibilidade de eventuais erros, encarou-se a hipótese do comportamento da ponte durante o ensaio de vibração ser diferente do modelado. Os ensaios de vibração ambiental e correspondentes resultados, estão inevitavelmente associados a níveis baixos de vibrações, pelo que, a hipótese de se admitirem incapazes de vencer a resistência estática dos aparelhos de ligação na direção longitudinal, não é de todo descabida. Nestes termos, na tabela 5.3 caraterizam-se as molas adequadas à referida consideração. Tabela 5.3 – Caraterização das molas selecionadas Como se pode constatar, por comparação com a tabela 5.2 referente à situação anterior, a ponte considera-se agora condicionada longitudinalmente, por alteração da rigidez da mola (Kx) de livre para bloqueada (ou seja, de rigidez zero para infinitamente rígida, valor no FEMTools da ordem dos 1E30 kN/m). P1 P2 P5 P3 P4 E1 E2 F1 F2 F3 F4 F5 Kx BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO Ky BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO Kz BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO Hx BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO Hy LIVRE BLOQUEADO LIVRE BLOQUEADO Hz BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO BLOQUEADO Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 93 0,488 0,635 0,854 1,172 0,436 0,588 0,825 1,16 1 2 3 4 Laterais EXPERIMENTAIS NUMÉRICAS Como consequência deste bloqueio, ficam também impedidas as rotações no plano do tabuleiro, em torno dos pilares (Hz), impedimento este verificado para os P1 P2 e P5 juntamente com ambos os encontros, E1 e E2. As alterações protagonizadas resultam no seguinte ajuste de frequências: Fig. 5.19 – Frequências de vibração verticais numéricas e experimentais (Hz) Fig. 5.20 – Frequências de vibração laterais numéricas e experimentais (Hz) Como era de esperar, devido ao aumento da rigidez total da estrutura, ambas as frequências cresceram em valor (remete-se comparação das Fig.5.19 e Fig. 5.20 com Fig. 5.17 e Fig.5.18, respetivamente), tendo-se registado inclusivamente, no caso da terceira e quarta frequência lateral (Fig.5.20), uma diminuição do desvio entre valores experimentais e numéricos para quantidades admissíveis. Por fim, substituíram-se as ligações ao nível das fundações e encontros, até aqui simuladas por molas muito rígidas, por apoios rígidos, deixando liberta no caso dos encontros, a rotação em torno do eixo transversal ao tabuleiro (Hy). Após a constatação de que essa substituição não produz alterações, considera-se este modelo, como base para realização do processo de ajuste automático, por consideração dos desvios observados como pertencentes a um intervalo de erro aceitável. 0,732 0,879 1,172 1,538 0,804 0,932 1,279 1,669 1 2 3 4 Verticais EXPERIMENTAIS NUMÉRICAS Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 94 2,044 1,657 1,669 1,538 Iteração 0 Itração 1 Iteração 2 EXPERIMENTAL 4ª Frequência Vertical Iteração 0 Itração 1 Iteração 2 EXPERIMENTAL 5.3.2. EVOLUÇÃO DA ANÁLISE MODAL DURANTE O PROCESSO DE CALIBRAÇÃO - AJUSTE PRELIMINAR Terminado o ajuste preliminar, a evolução das várias frequências é representada na figura que se segue Fig. 5.21 – Evolução iteração a iteração das frequências verticais ao longo do ajuste preliminar Como se pode observar, ao nível das frequências verticais o ajuste foi tendencialmente decrescente em torno dos seus valores, revelando-se bastante suave mas preciso, sendo apenas algo irregular ao fim do segundo processo iterativo devido ao facto de ser ter condicionado a ponte longitudinalmente, o que se refletiu no aumento da rigidez total da estrutura e consequentemente subida nos valores das frequências, tanto vertical como lateralmente, como se pode observar em seguida. 1,173 0,936 0,932 0,879 Iteração 0 Itração 1 Iteração 2 EXPERIMENTAL 2ª Frequência Vertical 1,5 1,216 1,279 1,172 Iteração 0 Itração 1 Iteração 2 EXPERIMENTAL 3ª Frequência Vertical 0,929 0,788 0,804 0,732 Iteração 0 Itração 1 Iteração 2 EXPERIMENTAL 1ª Frequência Vertical Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 95 Fig. 5.22 – Evolução iteração a iteração das frequências laterais ao longo do ajuste preliminar Ao nível do comportamento dinâmico lateral, o ajuste foi tendencialmente crescente em torno dos valores das suas frequências fundamentais de vibração, no entanto não tão preciso como alcançado ao nível vertical. Deteta-se uma descida brusca de valor na 3ª e 4ª frequência, após a primeira iteração, facto esse que será explicado através da exposição das várias configurações modais correspondentes. 0,406 0,432 0,437 0,488 Iteração 0 Iteração 1 Iteração 2 EXPERIMENTAL 1ª Frequência Lateral 0,567 0,567 0,588 0,635 Iteração 0 Iteração 1 Iteração 2 EXPERIMENTAL 2ª Frequência Lateral 0,81 0,773 0,825 0,854 Iteração 0 Iteração 1 Iteração 2 EXPERIMENTAL 3ª Frequência Lateral 1,147 1,045 1,161 1,172 Iteração 0 Iteração 1 Iteração 2 EXPERIMENTAL 4ª Frequência Lateral Iteração 0 Iteração 1 Iteração 2 EXPERIMENTAL Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 96 5.3.3. MODELAÇÃO NUMÉRICA ADOTADA E CORRESPONDENTES CONFIGURAÇÕES MODAIS Em seguida resume-se a configuração final do modelo numérico determinado anteriormente (Tabela 5.4), respetivas frequências de vibração (Fig.5.21 e Fig.5.22) e correspondentes configurações modais. Ao nível dos aparelhos tabuleiro-pilar, todas as ligações foram simuladas com recurso a uma mola infinitamente rígida por alinhamento, sendo apenas permitida a rotação em torno do eixo transversal à estrutura (Hy) nos pilares P1, P2 e P5 (Fig.5.4). Ao nível das fundações e encontros, as condições de ligação não foram simuladas com recurso a molas, sendo estas admitidas como ligações diretas monolíticas ao exterior (situação equivalente a molas com rigidez infinita). No caso particular dos encontros, a rotação em relação ao eixo transversal (Hy) manteve-se livre. As frequências fundamentais de vibração e correspondentes modos são expostos de seguida. Configurações modais Verticais Fig. 5.23 – Principais configurações modais verticais experimentais e correspondentes numéricas, vista em alçado. FEMTools Relatório ViBest 0,804 Hz 0,732 Hz 0,932 Hz 0,879 Hz 1,279 Hz 1,172 Hz 1,669 Hz 1,538 Hz Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 97 Os modos de vibração verticais determinados pelo FEMTools, como se pode constatar pela figura anterior (Fig. 5.25), são muito idênticos aos determinados pelo ensaio de vibração ambiental protagonizado pelo ViBest. Este facto vem comprovar a qualidade da modelação da estrutura, que para além de conduzir a frequências de vibração muito idênticas às experimentais, tem associados modos de vibração também concordantes. Após a análise das configurações modais laterais que se segue poderá considerar-se o modelo numérico, preparado para ajuste. Configurações modais Laterais Fig. 5.24 – Principais configurações modais laterais experimentais e correspondentes numéricas, vista de topo. FEMTools Relatório ViBest 0,437 Hz 0,488 Hz 0,589 Hz 0,635 Hz 0,825 Hz 0,854 Hz 1,161 Hz 1,172 Hz Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 104 Fig. 5.27 – Matriz de sensibilidade, vista isométrica Fig. 5.28 – Matriz de sensibilidade, vista de topo Como se constata pelas figuras anteriores (Fig. 5.30 e Fig. 5.31), a estrutura mostra-se sensível em torno das suas frequências fundamentais de vibração a perturbações nos parâmetros selecionados (Tabela 5.5). É no entanto de notar que a referida sensibilidade se assume muito superior por perturbações na densidade do betão do tabuleiro (parâmetro 6), do que por alterações no valor do módulo de elasticidade dos diversos pilares (parâmetros 1 a 5), muito devido ao facto de todas as respostas se assumirem dependentes da massa do tabuleiro, enquanto que o módulo de elasticidade contribuirá de forma mais direta para o ajuste das resposta ao nível lateral e também pelo facto de que qualquer alteração na densidade do betão, cobrirá uma área da estrutura muito superior à de qualquer um dos pilares, tendo assim muito mais influência ao nível do comportamento global dinâmico da estrutura. Nestas condições, verificada a eficiência do processo de seleção de parâmetros para ajuste, torna-se necessária a preparação dos resultados experimentais e numéricos que servirão de base ao referido processo. Assim, são expostas de seguida as principais etapas da análise de correlação pertencentes ao denominado ciclo de ajuste. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 105 5.4.3. CICLO DE AJUSTE Com vista à quantificação dos desvios entre as frequências determinadas com recurso ao "software" FEMTools e as obtidas através do ensaio de vibração ambiental protagonizado pelo ViBest, recorre-se a uma análise de correlação, que a partir da informação resultante da inspeção visual preliminar, estabelece ligações entre as mesmas baseadas em índices numéricos. A matriz MAC ("Modal Assurance Criterion") resultante dessa análise representa-se pelas figuras 5.31 e 5.32 em baixo. Fig. 5.29 – Matriz MAC, vista isométrica Fig. 5.30 – Matriz MAC, vista de topo Podemos constatar através da análise da matriz anterior, que a correlação prevista à data do tratamento de dados, se veio a verificar, já que os índices MAC de valores não nulos se encontram dispostos segundo a diagonal da matriz e fora desta se estabelecerem iguais a zero. Como pode verificar-se, o "software" foi capaz de detetar o problema observado à data da inspeção preliminar, determinando a correta correlação entre configurações modais, FEA 6-EMA7 e FEA 7-EMA 6 (Fig.5.32). Assim, a análise de correlação protagonizada estabelece-se como bastante eficaz, por de forma automática, conduzir ao "pairing" de frequências de vibração, com significado em relação às configurações dos Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 106 modos de vibração correspondentes, isto é, por de forma automática e em poucos segundos, distinguir diferentes naturezas de vibração e correlacioná-las com a mais elevada percentagem possível. Note-se que segundo as frequências numéricas, o "software" tenta correlacionar dez configurações modais (Fig.5.32), isto deve-se ao facto deste, ao proceder à análise das oito frequências experimentais, possibilitar a correlação com todas as detetadas numericamente, não se limitando simplesmente às primeiras oito. Exemplo disso é, tal como previsto preliminarmente, a frequência experimental EMA 8, já que, não tendo correspondência numérica no leque das oito primeiras determinadas pelo FEMTools, foi correlacionada, em elevada percentagem, com a nona frequência numérica. Nestas condições, confirma-se a situação prevista de não correspondência experimental da oitava configuração numérica, por localização deficiente dos sensores durante o ensaio (hipótese pouco crível), o que resulta na não deteção desta configuração experimentalmente, ou pelo facto da mesma não ter significado experimental, isto é, não contribuir de forma relevante para o comportamento dinâmico da ponte. Em resultado da análise de correlação protagonizada é exposto de seguida o "pairing" de configurações modais e os respetivo índices MAC. Fig. 5.31 – Correlação FEA 1 - EMA 1, resposta 1 Fig. 5.32 – Correlação FEA 2 - EMA 2, resposta 2 FEA 1 = 0,437 Hz EMA 1 = 0,488 Hz MAC = 98,4% FEA 2 = 0,589 Hz EMA 2 = 0,635 Hz MAC = 97,3% Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 107 Fig. 5.33 – Correlação FEA 3 - EMA 3, resposta 3 Fig. 5.34 – Correlação FEA 4 - EMA 4, resposta 4 Fig. 5.35 – Correlação FEA 5 - EMA 5, resposta 5 FEA 3 = 0,804 Hz EMA 3 = 0,732 Hz MAC = 97,9% FEA 4 = 0,825 Hz EMA 4 = 0,854 Hz MAC = 96,5% FEA 5 = 0,932 Hz EMA5 = 0,879 Hz MAC = 97,9% Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 108 Fig. 5.36 – Correlação FEA 6 - EMA 7, resposta 6 Fig. 5.37 – Correlação FEA 7 - EMA 6, resposta 7 Fig. 5.38 – Correlação FEA 9 - EMA 8, resposta 8 FEA 6 = 1,161 Hz EMA 7 = 1,172 Hz MAC = 87,1% FEA 7 = 1,279 Hz EMA 6 = 1,172 Hz MAC = 96,9% FEA 9 = 1,669 Hz EMA 8 = 1,538 Hz MAC = 95,0% Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 109 Os respetivos desvios observados apresentam-se de seguida na tabela 5.7. Tabela. 5.6 – Desvio entre frequências numéricas e experimentais - "response difference" Caraterizadas as respostas da estrutura que se pretendem ajustar, identificados os parâmetros sobre os quais incidirá o processo de minimização dos desvios observados e caraterizados esses desvios, proceder-se-á ao ajuste automático do modelo, cujos principais resultados se expõem de seguida. Na figura que se segue pode ser observado o percurso de alteração dos valores de cada frequência ao longo das cinco iterações que o processo necessitou para ajustar os desvios previamente apresentados (Tabela 5.7). Fig. 5.39 – Evolução da resposta da estrutura ao longo do processo iterativo- " response tracking" Frequências (Hz) FEA1 - EMA1 FEA2 - EMA2 FEA3 - EMA3 FEA4 - EMA4 FEA5 - EMA5 FEA6 - EMA7 FEA7 - EMA6 FEA9 - EMA8 Resposta 1 Resposta 2 Resposta 3 Resposta 4 Resposta 5 Resposta 6 Resposta 7 Resposta 8 Numéricas 0,437 0,589 0,804 0,825 0,932 1,161 1,279 1,669 Experimentais 0,488 0,635 0,732 0,854 0,879 1,172 1,172 1,538 Erro (%) -10,45 -7,25 +9,82 -3,36 5,98 -0,94 9,09 8,54 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 110 Tendo ao fim da quinta iteração sido observados os seguintes desvio residuais. Fig. 5.40 – Desvios observados entre frequências numéricas e experimentais no fim do processo iterativo (desvios residuais) - "response difference" Constata-se que o ajuste foi bastante preciso, sendo registado um desvio residual máximo de 4,61% na resposta 3. Sendo nesta resposta, que antes do processo de ajuste se registava o segundo maior desvio, cerca de 9,82% (Tabela 5.7) e que na análise de sensibilidade (Fig.5.44) se demonstrou pouco sensível a alterações no valor dos parâmetros, tal resultado torna-se de certa forma previsível. No caso da resposta 1, que registava o desvio inicial mais elevado (10,45%), o ajuste revelou-se bem mais preciso, observando-se um valor residual de apenas 0,93%. Tal facto pode ser facilmente explicado quando contraposto com o cenário referido anteriormente. Assim, se atentarmos nas análises de sensibilidade referente a cada resposta, pelas figuras que se seguem (Fig.5.43 e Fig.5.44), rapidamente constatamos que a resposta 1 se mostra bastante sensível a perturbações nos parâmetros 3 e 4, a que correspondem o módulo de elasticidade dos pilares P3 e P4 (Tabela 5.5), enquanto que a resposta 3 se assume praticamente insensível a qualquer a perturbação. Fig. 5.41 – Corte da matriz de rigidez em torno da resposta 1 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 111 Fig. 5.42 – Corte da matriz de rigidez em torno da resposta 3 Comprova-se que o ajuste em torno da resposta 1 será necessariamente mais preciso em comparação com o protagonizado para a resposta 3. Note-se que na análise realizada não foi referida a grande sensibilidade de ambas as respostas a alterações no parâmetro 6, já que sendo este bastante eficiente em ambas, não produz justificação para o melhor ajuste da resposta 1 em relação à resposta 3. Por fim torna-se interessante tentar perceber a grande eficiência dos parâmetros 3 e 4 no ajuste da resposta 1, face à ineficácia dos mesmos, constatada em relação à resposta 3. Através da observação da configuração modal associada (Fig.5.33) constata-se que os pilares P3 e P4 são fortemente solicitados, sendo que qualquer alteração no módulo de elasticidade dos mesmos (parâmetros 3 e 4 respetivamente) se refletirá consequentemente no valor da sua rigidez e por relação direta com as frequências, no seu comportamento dinâmico. Contrariamente, a resposta 3 associada a um modo de vibração vertical (Fig.5.35) pouco é influenciável por perturbações nos parâmetros referidos, já que é claramente o tabuleiro, o elemento mais esforçado por flexão, sendo alterações nas propriedades físicas do mesmo, e não nos pilares, passíveis de provocar alterações ao nível do seu comportamento dinâmico. Resta então perceber qual o cenário de perturbação que conduziu ao ajuste de frequência referido. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 112 Seguidamente apresenta-se a evolução do valor dos diversos parâmetros ao longo do processo iterativo. Fig. 5.43 – Evolução dos parâmetros ao longo do processo de ajuste - "parameter tracking" Para efeitos de acautelamento de possíveis dificuldades de leitura esclarece-se que as curvas apresentadas em cima, por ordem decrescente de alteração no seu valor ao fim do processo iterativo, dizem respeito às respostas 1, 2, 5, 3, 4 e 6. Fig. 5.44 – Cenário de perturbação no valor dos parâmetros no fim do ajuste - "parameter changes" Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 113 Analisando as figuras apresentadas conclui-se que os pilares P1 e P2 sofreram grandes alterações no seu valor de módulo de elasticidade, enquanto que a densidade do tabuleiro se pondera ter de ser ajustada por um aumento em cerca de 20 % do seu valor inicial. O cenário de ajuste completo pode ser observado através da tabela que se segue. Tabela. 5.7 – Frequências de vibração após o ajuste Tabela. 5.8 – Cenário de perturbação no valor dos parâmetros no fim do ajuste FREQUÊNCIAS (HZ) DIFERENÇA (%) ANTES DO AJUSTE INICIAL FINAL VIBEST DIFERENÇA (%) APÓS AJUSTE -10,45 0,437 0,484 0,488 -0,93 -7,25 0,589 0,636 0,635 0,12 9,82 0,804 0,766 0,732 4,61 -3,36 0,825 0,858 0,854 0,39 5,98 0,932 0,857 0,879 -2,54 -0,94 1,161 1,171 1,172 -0,10 9,09 1,279 1,171 1,172 -0,07 8,54 1,669 1,523 1,538 -0,98 TOTAL EM MÓDULO = 9,74% VALOR PARÂMETRO INICIAL FINAL DIFERENÇA (%) 1 34000MPa 90403MPa 165,89 2 34000MPa 83073MPa 144,33 3 34000MPa 68709MPa 102,09 4 34000MPa 57050MPa 67,79 5 34000MPa 69422MPa 104,18 6 24,53 kN/m3 31,41 kN/m3 28,03 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 120 Nesta secção, todos os desenvolvimentos têm como objetivo a introdução do "software" FEMTools, que serviu para desenvolvimentos mais complexos no capítulo seguinte. Podem ser consideradas três fases distintas ao longo do presente capítulo: cálculo modal de cada estrutura com recurso à modelação em elementos finitos, desenvolvimento de uma metodologia de análise experimental e finalmente a simulação de cenários de perturbação. Primeiramente com recurso ao "software" ROBOT foram modeladas em elementos finitos as duas vigas propostas, uma encastrada e outra simplesmente apoiada. Esta modelação permitiu a obtenção dos principais parâmetros modais das estruturas, frequências de vibração e configurações modais. Em seguimento, desenvolveu-se uma metodologia de análise experimental (EMA-"Experimental Modal Analysis") que permitiu a obtenção pela via experimental das principais caraterísticas modais das estruturas. Esta metodologia, com base nos espectros de resposta, possibilitou a correlação entre resultados experimentais e numéricos. Nesse sentido, foi possível através da seleção de possíveis locais de debilidade da estrutura, definir parâmetros locais nos quais foi previamente introduzido dano. Assim, através da aplicação dos conceitos anteriormente definidos de análise de correlação, análise de sensibilidade e ciclo de ajuste foi possível, correspondentemente, constatar a existência de dano, identificar a sua localização e estimar a magnitude do mesmo. Foram desenvolvidos diversos casos de perturbação que permitiram testar as potencialidades da metodologia em diversos cenários, dano em zonas de diferente debilidade, amplitudes de dano variadas e aplicabilidade em diferentes estruturas. Estes procedimentos possibilitaram a familiarização com as várias ferramentas disponibilizadas pelo "software" e a comprovação do mesmo como uma eficiente ferramenta de ajuste. Por fim, no capítulo 5, com recurso ao referido "software", procedeu-se à aplicação dos conceitos previamente abordados, a uma estrutura de grande porte de engenharia civil. A Ponte sobre o Rio Douro da concessão Douro Litoral foi a obra escolhida. Numa parte inicial é apresentada a estrutura e descrito o ensaio de vibração ambiental que conduziu à caraterização do seu comportamento dinâmico. Foi possível nesta fase constatar a aplicação prática das metodologias de análise experimental de estruturas de engenharia civil descritas anteriormente, possibilitando o contacto direto com os resultados experimentais obtidos pelo ensaio de vibração. Numa segunda fase foi realizado um ajuste preliminar de calibração do modelo de elementos finitos da estrutura, em torno das suas frequências fundamentais de vibração, resultando assim num modelo numérico capaz de simular o comportamento dinâmico determinado pelo ensaio de vibração ambiental. Através da análise modal do referido modelo, foi possível obter os principais parâmetros modais da estrutura, que correlacionados com os determinados experimentalmente conduziram ao ajuste automático do mesmo. Para tal, foram estudadas diversas configurações de parâmetros de ajuste, tendo sido considerados o módulo de elasticidade do betão dos cinco pilares e a densidade do betão do tabuleiro, como parâmetros físicos capazes de justificar os desvios observados entre frequências experimentais (EMA) e numéricas (FEA). Esta escolha permitiu concluir, que a modelação em torno de ambos, incidiu sobre simplificações inadequadas, como por exemplo a não contabilização das massas das guardas, pavimentos e diafragmas, tal como a não consideração do efeito estabilizador dos solos, que conduziram à determinação de um comportamento dinâmico correspondente a uma estrutura menos rígida do que a detetada pelo ensaio de vibração ambiental. Por fim, foi possível concluir que no contexto da engenharia civil, poderá tornar-se importante a limitação da variação dos parâmetros ajustados, com vista a evitar a obtenção de resultados irrealistas. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 121 6.2. CONSIDERAÇÕES FINAIS E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS Neste trabalho foram estudadas as principais técnicas de ajuste de modelos numérico, pretendendo-se, naturalmente, em trabalhos futuros explorar em maior profundidade a sua aplicação e melhorar alguns dos procedimentos apresentados. Dificuldades como o ajuste direto das condições de rigidez e a modelação das condições de apoios, são fatores determinantes que mereciam análise futura a fim de serem ultrapassadas. Certamente, que os problemas detetados em torno de ambos são facilmente contornáveis, porém no tempo disponível para a realização desta tese, medidas alternativas tiveram de ser consideradas sob pena de desenvolvimentos seguintes saírem prejudicados. No campo das aplicações, a extensão das metodologias apresentadas a outras estruturas constitui uma premissa fundamental para trabalhos futuros incluindo nomeadamente o estudo de fenómenos mais complexos como as análises de convergência e o melhoramento de algoritmos de otimização. Porém, a aplicação mais ambiciosa das técnicas de ajuste de modelos de simulação, tem por base o ainda reduzido estado de desenvolvimento destes assuntos. Este tema tem vindo a ser abordado num âmbito ainda bastante alargado pelas diversas disciplinas de engenharia, tal fato resulta em abordagens algo generalistas que acabam por resultar em aplicações pouco direcionadas às especificidades de cada área. Neste sentido, e com vista a satisfazer as crescentes necessidades de atualização de modelos de simulação do comportamento estrutural em obras de engenharia civil, a aplicação concreta destas metodologias associada a "softwares" específicos desta disciplina, resultaria numa ferramenta de grande utilidade. Note-se que a grande maioria das dificuldades encontradas no decorrer desta tese, se prenderam com questões de modelação das estruturas em análise, isto é, não estando o "software" diretamente vocacionado para as particularidades da modelação de estruturas de engenharia civil, a sua aplicação torna-se algo condicionada. Um exemplo simples dessas dificuldades é a não computação da deformada real de uma barra de dois nós, o que obriga à sua discretização em grandes quantidades de pontos. Em suma, a inclusão destas metodologias em "softwares" mais vocacionados para o cálculo de estruturas de engenharia civil, constitui certamente a grande motivação para possíveis desenvolvimentos futuros. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 122 Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 123 BIBLIOGRAFIA Bakir, P. G., Reynders E., Roeck, G. De. 2007. An improved finite element model updating method by the global optimization technique ‘Coupled Local Minimizers’. http://web.itu.edu.tr/~gundes/computers%20and%20structures.pdf. Acedido em 20.03.2012. Baruch, M., Bar-Itzhack, I. Y. 1978. Optimal Weighted Orthogonalization of Measured Modes. AIAA Journal, April 1978, 16(4), 346-351, Peretz P. Friedmann, Reston, USA. Berman, A., Nagy, E. J. 1983. Improvement of a Large Analytical Model using Test Data. AIAA Journal, 01.08.1983, 21(8), 1168-1173, Peretz P. Friedmann, Reston, USA. Friswell, M. I., Mottershead, J. E. 1995. Finite Element Model Updating in Structural Dynamics. Kluwer Academic Publishers, Swansea, U. K. Heylen,W., Sas, P. 1987. Review of model optimization techniques. Proceedings of the 5th International Modal Analysis Conference, April 6-9, 1987, Imperial College of Science & Technology, London, England, p.1177-1182, Society for Experimental. Ibrahim, S. R., Saafan, A, A. 1987. Correlation of analysis and test in modeling of structures assessment and review. Proceedings of the 5th International Modal Analysis Conference, London, England, p.1651-1660, Society for Experimental. Imregun, M., Visser, W. J. 1991. A Review of Model Updating Techniques. Shock and Vibration Digest, Vol. 23, No. 1, EBSCO Publishing. Magalhães, Filipe. (2005). Identificação Modal Estocástica para Validação Experimental de Modelos Numéricos. Tese de Mestrado, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal. Mottershead, J. E., Friswell, M. I. 1993. Model Updating in Structural Dynamics: A Survey. Journal of Sound and Vibration, 22 October 1993, 167(2), 347-375, Inst. of Sound & Vibration Research, University of Southampton, UK. Niebdal, N. 1984. Analytical Determination of Real Normal Modes from Measured Complex Responses. 25th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference, May 1984, Palm Springs, California, USA. Nocedal, J., Wright, S. J. 1999. Numerical optimization. Springer, New York, USA. Técnicas de Ajuste de Modelos Numéricos com base em Resultados Experimentais 124 Teughels, Anne. (2003a). Inverse Modelling of Civil Engineering Structures Based on Operational Modal Data. Katholieke Universiteit Leuven, Leuven, Belgium. Teughels, Anne. (2003b). Inverse Modelling of Civil Engineering Structures Based on Operational Modal Data. PhD Thesis, Katholieke Universiteit Leuven, Leuven, Belgium. Teughels, A., Roeck, G. De., Suykens, J. A. K. 2003. Global Optimization by Coupled Local Minimizers and its Application to FE Model Updating. Computers & Structures, September 2003, 81(24-25), 2337-2351, Elsevier, Amsterdam. Zhang, Q. W., Chang, C. C., Chang, T. Y. P. 2000. Finite Element Model Updating for Structures with Parametric Dynamics, HKUST Scholarly Publications, July 2000, Earthquake engineering & structural dynamics, vol. 29, 927-944, The Hong Kong University of Science and Technology, Hong Kong. www.femtools.com . Acedido em 12/04/2012. www.geosig.com . Acedido em 15/05/2012.