Expoentes de Lyapunov e Decomposição de Oseledets
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Expoentes de Lyapunov e Decomposição de Oseledets David Boaventura Mesquita Mestrado em Matemática Departamento de Matemática Outubro de 2013 Orientador José Ferreira Alves Professor Associado com Agregação Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
DAVID BOAVENTURA MESQUITA Expoentes de Lyapunov e Decomposic¸ ˜ ao de Oseledets Dissertac¸ ˜ ao submetida ` a Faculdade de Ciˆ encias da Universidade do Porto como requisito parcial para a obtenc¸ ˜ ao do grau de Mestre em Matem´ atica Orientador Professor Doutor Jos´ e Ferreira Alves Outubro de 2013
Agradecimentos Ao Professor Jos´ e Ferreira Alves, pela proposta de um tema agrad´ avel e estimulante, pela orientac¸ ˜ ao eficiente e pela liberdade que me fizeram crescer como matem´ atico. Ao Professor Jairo Bochi, pelas explicac¸ ˜ oes, pelas sugest˜ oes e pela ajuda generosa que enriqueceram este trabalho e a mim tamb´ em. ` A minha fam´ ılia, pela compreens˜ ao e apoio constantes. A todas as pessoas que tornaram o meu percurso acad´ emico mais colorido, desde colegas e amigos a professores e funcion´ arios. Obrigado. i
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Resumo Nesta dissertac¸ ˜ ao, apresentamos e demonstramos uma vers˜ ao do Teorema Erg´ odico Multiplicativo de Oseledets para espac¸os de Lebesgue. Seguimos uma tradic¸ ˜ ao de provas iniciada por M. Raghunathan que explora o Teorema Erg´ odico Subaditivo de Kingman, o qual tamb´ em apresentamos e demonstramos. Pelo meio, analisamos o Teorema de Furstenberg-Kesten visto como um corol´ ario do ´ ultimo e uma forma seminal do primeiro. Palavras chave: Teoria Erg´ odica, Teorema Erg´ odico Multiplicativo, Teorema Erg´ odico Subaditivo, Teorema de Furstenberg-Kesten, Fibrado Vetorial, Difeomorfismo, Cociclo Linear, Expoente de Lyapunov, Decomposic¸ ˜ ao de Oseledets. iii
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Abstract In this dissertation, we present and prove a version of Oseledets’ Multiplicative Ergodic Theorem for Lebesgue spaces. We follow an approach by M. Raghunathan exploring Kingman’s Subadditive Ergodic Theorem, which we also present and prove. Along the way, we analyse Furstenberg-Kesten’s Theorem, seen as a corollary of the last and a seminal form of the first. Keywords: Ergodic Theory, Multiplicative Ergodic Theorem, Subadditive Ergodic Theorem, Furstenberg-Kesten Theorem, Vector Bundle, Diffeomorphism, Linear Cocycle, Lyapunov Exponent, Oseledets Decomposition. v
FCUP 4 A demonstrac¸ ˜ ao de Kingman usava uma ideia de reduc¸ ˜ ao, decompondo processos subaditivos como somas de processos aditivos e subaditivos n˜ ao-negativos. Provas simplificadas e mais focadas foram entretanto aparecendo na literatura matem´ atica: bastar´ a mencionar a de B. Weiss e Y. Katznelson ([18], 1982) inspirada nos m´ etodos de an´ alise n˜ ao-standard de T. Kamae para a demonstrac¸ ˜ ao do Teorema Erg´ odico cl´ assico ([14], 1982); a de J. Steele ([36], 1989) e a de K. Sch¨ urger ([35], 1991), esta ´ ultima mais geral. A prova da presente dissertac¸ ˜ ao ([3], 2009) ´ e um acr´ escimo nesta linha, com um ponto possivelmente original ao considerar somas de Birkhoff especiais sem contudo depender do Teorema Erg´ odico. Curiosamente no mesmo ano, o ainda jovem matem´ atico russo V. Oseledets, aluno de doutoramento de Y. Sinai, publicou o seu famoso Teorema Erg´ odico Multiplicativo ([28], 1968), um subproduto da sua tese doutoral que havia demonstrado em 1965 e apresentado no ano seguinte por ocasi˜ ao do Congresso Internacional de Matem´ aticos em Moscovo. A motivac¸ ˜ ao dos objetos presentes no enunciado deste resultado remonta a trabalhos anteriores de A. Lyapunov ([23], a vers˜ ao original em Russo ´ e datada de 1892), no contexto da Teoria de Equac¸ ˜ oes Diferenciais Ordin´ arias, mais precisamente, sobre a estabilidade das soluc¸ ˜ oes associadas. Entre eles, encontramos os agora chamados expoentes de Lyapunov e uma noc¸ ˜ ao de regularidade correlata tamb´ em vis´ ıvel e desenvolvida nos trabalhos de O. Perron ([29], 1930). Uma monografia aprofundada sobre a teoria desenvolvida a partir destes trabalhos ´ e ([9], 1966), de D. Bylov, R. Vinograd, D. Grobman e V. Nemyckii. O Teorema de Oseledets vem afirmar que tal regularidade, geralmente rara do ponto de vista topol´ ogico, ´ e t´ ıpica do ponto de vista da medida, sem contudo descrevˆ e-la. As ideias da prova de Oseledets tˆ em um car´ ater eminentemente alg´ ebrico (envolvem produtos exteriores, etc.), reduzindo o caso dos cociclos lineares gerais ao dos cociclos triangulares e usando o Teorema Erg´ odico cl´ assico para estes ´ ultimos. Muitas demonstrac¸ ˜ oes alternativas e vers˜ oes mais gerais surgiram desde ent˜ ao. Entre as principais, colocamos ` a cabec¸a a de M. Raghunathan ([31], 1979), baseada no Teorema Erg´ odico Subaditivo - mais precisamente, via Teorema de Furstenberg-Kesten ([12], 1960), dele facilmente dedut´ ıvel, em combinac¸ ˜ ao com a decomposic¸ ˜ ao em valores singulares de uma matriz - com uma extens˜ ao para corpos locais, como o dos n´ umeros p-´ adicos. Seguiram-se outras: temos vers˜ oes de dimens˜ ao infinita de D. Ruelle ([33], 1982) para espac¸os de Hilbert e de R. Man˜ e ([25], 1983) para espac¸os de Banach (ver tamb´ em [24], [34]); a de V. Kaimanovich ([13], 1989) para grupos de Lie semisimples e inspirada nesta a de A. Karlson e G. Margulis ([16],
FCUP 5 1999) para alguns espac¸os com curvatura n˜ ao-positiva (ver tamb´ em [10]); por fim, em tempos mais recentes, destacamos a de A. Karlsson e F. Ledrappier para o grupo de isometrias de espac¸os m´ etricos pr´ oprios ([15], 2006). E mais se poderiam acrescentar: sugerimos [2] para uma lista mais ou menos exaustiva bem como um tratado completo no assunto. A demonstrac¸ ˜ ao apresentada nesta dissertac¸ ˜ ao, desenhada por J. Bochi ([7], 2008), segue uma tradic¸ ˜ ao iniciada com Raghunathan e continuada por outros (i.e., via Teorema Erg´ odico Subaditivo), com a ressalva de que os c´ alculos matriciais para a construc¸ ˜ ao de espac¸os invariantes t´ ıpicos dessas provas, marcas indel´ eveis do car´ ater alg´ ebrico das mesmas, se transformam agora numa construc¸ ˜ ao direta de subespac¸os complementares de maior taxa de crescimento exponencial e no estudo da ac¸ ˜ ao dos cociclos sobre o espac¸o projetivo euclideano (que permite realizar imediatamente os menores expoentes como limites), ideias descendentes de R. Man˜ e ([24], 1987) e P. Walters ([41], 1993), respetivamente. Para completar esta introduc¸ ˜ ao, n˜ ao poder´ ıamos deixar de mencionar os trabalhos de Y. Pesin ([30], 1977) que a par dos de Lyapunov, Perron e Oseledets j´ a referidos marcaram os in´ ıcios da Dinˆ amica N˜ ao-Uniformemente Hiperb´ olica como disciplina independente, atualmente uma das ´ areas fervilhantes e abrangentes da investigac¸ ˜ ao em Teoria Erg´ odica Diferenci´ avel/Sistemas Dinˆ amicos, versando sobre sistemas com expoentes de Lyapunov n˜ aonulos. Uma introduc¸ ˜ ao neste t´ opico ´ e o livro do pr´ oprio e de L. Barreira ([5], 2007). Estrutura da dissertac¸ ˜ ao Podemos dizer que o objetivo principal deste trabalho ´ e a demonstrac¸ ˜ ao duma vers˜ ao do Teorema de Oseledets explorando o Teorema de Kingman. Isso significa que apesar de ser nosso intuito a apresentac¸ ˜ ao e demonstrac¸ ˜ ao de ambos, uma ˆ enfase prim´ aria deve ser dado ao primeiro em detrimento do segundo que ser´ a, por assim dizer, parte de um caminho poss´ ıvel para chegar ao primeiro. Quer-se com isso evidenciar ainda a assimetria de originalidade e esforc¸o envolvidos em ambos, substancialmente maiores para o primeiro. O leitor que deseja apenas um contacto superficial com os resultados principais desta dissertac¸ ˜ ao sem maior compromisso tem no Cap´ ıtulo 1 uma apresentac¸ ˜ ao dos mesmos. Os Cap´ ıtulos 2 e 3 s˜ ao inteiramente devotados ` as demonstrac¸ ˜ oes dos Teoremas de Kingman e Oseledets, respetivamente, se for desejada uma compreens˜ ao mais aprofundada. Dada a na-
FCUP 6 tureza deste trabalho, primamos por apresentar provas detalhadas e portanto mais extensas e dissecadas do que habitualmente se encontram noutros textos. Por fim, inclu´ ımos alguns apˆ endices: os dois primeiros, A e B, sobre definic¸ ˜ oes e factos gerais de Medida, Integrac¸ ˜ ao e Teoria Erg´ odica que achamos proveitosos; um terceiro, C, sobre cociclos lineares, com noc¸ ˜ oes e propriedades que achamos adequado colocar numa secc¸ ˜ ao separada da restante dissertac¸ ˜ ao, em jeito de complemento.
Cap´ıtulo 1 Apresentac¸ ˜ ao dos resultados Este cap´ ıtulo ´ e dedicado ` a apresentac¸ ˜ ao dos resultados principais desta dissertac¸ ˜ ao. Pretendemos mostrar o fio condutor que liga o Teorema de Kingman ao de Oseledets, passando pelo de Furstenberg-Kesten, sem esquecer o Teorema Erg´ odico (de Birkhoff). A exposic¸ ˜ ao dos t´ opicos para o Teorema de Kingman ´ e primariamente baseada em [27] e [38]. Por sua vez, para o Teorema de Oseledets foram usadas [7], [24], [38] e [39]. Refiram-se tamb´ em [2], [5] e [42] como fontes valiosas neste contexto. 1.1 Teorema de Kingman Nesta secc¸ ˜ ao, o ambiente ser´ a um espac¸o de probabilidade p X, A, µ q com uma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel T:X Ñ Xque preserva a probabilidade µ. Para motivar o primeiro dos teoremas principais deste trabalho, comec¸aremos com uma an´ alise mais aprofundada do Teorema Erg´ odico cl´ assico [B.3]. As somas temporais de Birkhoff, definidas por φn p x q n 1 ¸ i 0 φ Ti p x q satisfazem a seguinte propriedade de aditividade: φm n φm φn Tm,para todo m, n P N. (1.1) Sempre que φ φ1 P L1 p µ q , o Teorema Erg´ odico afirma que o limite lim n Ñ8 1 nφn p x q 7
FCUP 8 CAP´ ITULO 1. APRESENTAC¸ ˜ AO DOS RESULTADOS existe em quase todo o ponto e que em m´ edia coincide com a m´ edia espacial ³ φ dµ. N˜ ao ´ e dificil verificar que este facto ocorre para toda a sucess˜ ao de func¸ ˜ oes φn:X Ñ Rque satisfac¸a a propriedade (1.1) e a condic¸ ˜ ao φ1 P L1 p µ q : bastar´ a notar que tais sucess˜ oes s˜ ao somas temporais de Birkhoff geradas precisamente pela func¸ ˜ ao φ1. ´ E leg´ ıtimo questionar se esta convergˆ encia q.t.p. vale para sucess˜ oes φn:X Ñ Rmais gerais. Este ´ e o conte´ udo do Teorema Erg´ odico Subaditivo de Kingman, ao relaxar a aditividade em (1.1) para subaditividade. Introduzamos alguma nomenclatura conveniente. Definic¸ ˜ ao 1.1. Dizemos que uma sucess˜ ao p an q n P Nem r8 , 8q : R Y t8u ´ esubaditiva, se am n ¤ am an,para todo m, n P N. Da definic¸ ˜ ao acima, deduzimos que para uma sucess˜ ao subaditiva vale an ¤ na1, e portanto an n ¤ a1, para todo n P N. Deste modo, temos toda a informac¸ ˜ ao sobre o supremo sup n P N an n max n P N an n a1. O seguinte facto elementar, particularmente elegante, exibe uma propriedade importante das sucess˜ oes subaditivas, fornecendo informac¸ ˜ ao extra sobre o ´ ınfimo e a convergˆ encia, sendo associado em alguns textos a Michael Fekete. Lema 1.1. (Fekete) Se p an q n P N´ e uma sucess˜ ao subaditiva, ent˜ ao lim n Ñ8 an n inf n P N an n P r8 , a1 s . Extenderemos a ideia de subaditividade mais geralmente a uma sucess˜ ao de func¸ ˜ oes com respeito a uma transformac¸ ˜ ao, a qual generaliza a aditividade das somas de Birkhoff. Definic¸ ˜ ao 1.2. Dizemos que uma sucess˜ ao de func¸ ˜ oes φn:X Ñ R´ esubaditiva com respeito a uma transformac¸ ˜ ao T:X Ñ X, se φm n ¤ φm φn Tm,para todo m, n P N.
FCUP 9 CAP´ ITULO 1. APRESENTAC¸ ˜ AO DOS RESULTADOS Analogamente ao que aconteceu para sucess˜ oes subaditivas de n´ umeros, para uma sucess˜ ao subaditiva p φn q ntem-se φn ¤ n 1 ¸ j 0 φ1 Tj, relac¸ ˜ ao que se mant´ em verdadeira considerando as func¸ ˜ oes φ neφ 1. Assim, na suposic¸ ˜ ao de todas as func¸ ˜ oes serem mensur´ aveis, a integrabilidade de φ 1implica a de φ npara todo n P N e portanto, nessas condic¸ ˜ oes, a sucess˜ ao p an q n P Ndefinida por an » φndµ P r8 , 8q ´ e subaditiva. Como corol´ ario do Lema de Fekete constatamos a existˆ encia do limite L: lim n Ñ8 1 n » φndµ inf n P N 1 n » φndµ P r8 , 8q .(1.2) Este limite associado a sucess˜ oes subaditivas desempenha, no primeiro dos teoremas principais deste cap´ ıtulo, um papel similar ao da m´ edia espacial no Teorema de Birkhoff [B.3]. Teorema A. (Kingman) Sejam p X, A, µ q um espac¸o de probabilidade e T:X Ñ Xuma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel que preserva µ. Seja p φn q n P Numa sucess˜ ao subaditiva de func¸ ˜ oes mensur´ aveis com respeito a Ttal que φ 1 P L1 p µ q . Ent˜ ao existe uma func¸ ˜ ao mensur´ avel φ:X Ñ r8 , 8q tal que φ p x q lim n Ñ8 φn p x q n,para µ-q.t.p. x P X. Al´ em disso, φ P L1 p µ q e tem-se 1. φ T φem µ-quase todo o ponto e 2. ³ φ dµ L P r8 , 8q , onde L´ e o limite dado por (1.2). Al´ em disso, quando o sistema ´ e erg´ odico φ´ e constante igual aLem quase todo o ponto. 1.1.1 O Teorema de Furstenberg-Kesten Em direc¸ ˜ ao ao Teorema de Oseledets, veremos uma aplicac¸ ˜ ao do Teorema de Kingman. Como exemplo motivacional, que retomaremos mais adiante, consideremos um difeomorfismo
FCUP 10 CAP´ ITULO 1. APRESENTAC¸ ˜ AO DOS RESULTADOS f:M Ñ Mde uma variedade diferenci´ avel Mcom uma m´ etrica de Riemann }} x(diferenci´ avel) que faz de cada fibra (espac¸o tangente) TxMdo fibrado tangente TM um espac¸o normado. Um dos aspetos essenciais no estudo da dinˆ amica, i.e., o comportamento de fn p x q para iterados de ordem elevada, prende-se com a expans˜ ao e contrac¸ ˜ ao gerada por f. Em certas circunstˆ ancias, esse estudo ´ elinearizado em termos do comportamento de Dfn x:TxM Ñ Tfn p x q Me o problema geral torna-se agora tentar compreender, para cada direc¸ ˜ ao v P TxM, como } Dfn x v } fn p x q varia com n. Aqui estamos essencialmente preocupados com a frequˆ encia de um comportamento assint´ otico preciso destes iterados. Numa primeira instˆ ancia, analisemos o comportamento de } Dfn x } , onde }} ´ e a norma do operador linear Dfn x:TxM Ñ Tfn p x q Minduzida pela m´ etrica de Riemann. Pela regra da cadeia, Dfn x Dffn 1 p x q Dff p x q Dfx e portanto, pela submultiplicatividade da norma, temos } Dfn x }¤} Dffn 1 p x q }} Dff p x q }} Dfx } . Em vista desta propriedade, uma formulac¸ ˜ ao conveniente do problema ´ e feita atrav´ es da linguagem exponencial. Facilmente se deduz da desigualdade acima que a sucess˜ ao φn p x q log } Dfn x } ´ e subaditiva com respeito a f. Assim, sob hip´ oteses adequadas, poder´ ıamos tentar usar o Teorema Erg´ odico Subaditivo para concluir a existˆ encia de alguma convergˆ encia do tipo 1 nlog } Dfn x } Ñ φ p x q de modo que } Dfn x } enφ p x q , para iterados de ordem elevada. De facto, o que fizemos aqui para a norma poder´ ıamos fazer tamb´ em para a conorma da derivada definida por m p Dfn x q : inf } v } x 1 } Dfn x v } fn p x q . Uma vez que as aplicac¸ ˜ oes Dfn x:TxM Ñ Tfn p x q Ms˜ ao isomorfismos lineares temos m p Dfn x q }p Dfn x q 1 } 1e portanto a sucess˜ ao ϕn p x q log }p Dfn x q 1 } log m p Dfn x q
FCUP 11 CAP´ ITULO 1. APRESENTAC¸ ˜ AO DOS RESULTADOS ´ e tamb´ em subaditiva com respeito a f. Valem conclus˜ oes semelhantes e assim balizamos de alguma forma o problema inicial. Vejamos como extender este exemplo no contexto da Teoria Erg´ odica. Considere-se o espac¸o GL p R, d q das matrizes quadradas invert´ ıveis d dcom entradas no corpo dos n´ umeros reais. A norma matricial } L } : sup } v } 1 } L p v q} induz nesse espac¸o uma topologia e por conseguinte uma σ-´ algebra de Borel, que permite ent˜ ao falar naturalmente de mensurabilidade em aplicac¸ ˜ oes que envolvam este espac¸o. Definimos tamb´ em a conorma por m p L q : inf } v } 1 } L p v q} . Uma vez que L´ e invert´ ıvel, temos m p L q} L 1 } 1, como j´ a foi observado. Dada uma aplicac¸ ˜ ao A:X Ñ GL p R, d q , uma transformac¸ ˜ ao T:X Ñ Xen ¥ 0, escrevemos A p n q p x q : A p Tn 1x q A p Tn 2x q A p Tx q A p x q . Uma aplicac¸ ˜ ao do Teorema Erg´ odico Subaditivo ´ e mostrada no pr´ oximo resultado atribu´ ıdo a Furstenberg e Kesten ([12]), que de facto ´ e anterior no tempo (1960). Teorema 1.1. (Furstenberg-Kesten) Seja p X, A, µ q um espac¸o de probabilidade e T:X Ñ X uma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel de Xque preserva µ. Seja A:X Ñ GL p R, d q uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel tal que log } A 1 p x q} P L1 p µ q . Ent˜ ao existem func¸ ˜ oes λmin,λmax P L1 p µ q tais que λmin p x q lim n Ñ8 1 nlog m p A p n q p x qq eλmax p x q lim n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q} , em µ-quase todo o ponto x P X. Al´ em disso, λmin eλmax s˜ ao p T, µ q -invariantes, • » λmin dµ lim n Ñ8 1 n » log m p A p n q p x qq dµ sup n P N 1 n » log m p A p n q p x qq dµ e • » λmax dµ lim n Ñ8 1 n » log } A p n q p x q} dµ inf n P N 1 n » log } A p n q p x q} dµ. Este teorema ´ e um corol´ ario do Teorema Erg´ odico Subaditivo essencialmente pelos motivos da discuss˜ ao anterior. Devido ` asubmultiplicatividade da norma matricial, as sucess˜ oes φn p x q log } A p n q p x q} e ϕn p x q log }p A p n q p x qq 1 }
FCUP 12 CAP´ ITULO 1. APRESENTAC¸ ˜ AO DOS RESULTADOS s˜ ao ambas subaditivas. A condic¸ ˜ ao de integrabilidade ´ e trivialmente satisfeita em ambos os casos pelo que da relac¸ ˜ ao log m p A p n q p x qq log }p A p n q p x qq 1 } o resultado segue. Portanto, o Teorema de Furstenberg-Kesten afirma que a norma e a co-norma dos iterados de ordem elevada admitem tipicamente taxas de variac¸ ˜ ao exponencial precisas } A p n q p x q} enλmax p x q em p A p n q p x qq enλmin p x q . Retomando por um pouco a motivac¸ ˜ ao do exemplo dos difeomorfismos, nomeadamente para o estudo de } Dfn x v } fn p x q , temos em geral m p A p n q p x qq } v }¤} A p n q p x q v }¤} A p n q p x q} } v } , para todo v P Rd, pelo que em termos assint´ oticos lim sup n Ñ8 1 nlog m p A p n q p x qq ¤ lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } ¤ lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q} . Dado que o Teorema de Furstenberg-Kesten define genericamente os extremos da desigualdade acima, cabe questionar naturalmente um comportamento semelhante para o membro interm´ edio. A an´ alise desta quest˜ ao ´ e feita no pr´ oximo dos teoremas principais deste cap´ ıtulo, oTeorema de Oseledets. Este refina substancialmente o resultado de Furstenberg-Kesten, ao afirmar que num ponto x P Xt´ ıpico ´ e poss´ ıvel filtrar/decompor Rdem subespac¸os de tal modo que o comportamento da dinˆ amica restrita a cada um deles est´ a bem caraterizado em termos da linguagem exponencial. 1.2 Teorema de Oseledets Nesta secc¸ ˜ ao, apresentamos o Teorema de Oseledets, tamb´ em conhecido por Teorema Erg´ odico Multiplicativo, para os cociclos lineares (ou morfismos de fibrados vetoriais). A classe de espac¸os de probabilidade p X, A, µ q que consideramos presentemente ´ e a dos espac¸os de
FCUP 13 CAP´ ITULO 1. APRESENTAC¸ ˜ AO DOS RESULTADOS Lebesgue. Esta ´ e uma classe importante em Teoria Erg´ odica, quer pelas boas propriedades que possui em relac¸ ˜ ao aos demais espac¸os de probabilidade, quer porque cobre a maior parte dos exemplos de relevo. A menos de isomorfismo mod 0, a noc¸ ˜ ao de equivalˆ encia padr˜ ao, h´ a v´ arios representantes que poder´ ıamos tomar. O mais conveniente para aqui ´ e aquele em que Xrepresenta um espac¸o m´ etrico compacto e A B | µaσ-´ algebra de borelianos completada em relac¸ ˜ ao ` a probabilidade µ. Como ´ e usual, consideramos uma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel T:X Ñ Xque preserva µ . Seja π:E Ñ Xum fibrado vetorial mensur´ avel de dimens˜ ao finita munido com uma m´ etrica de Riemann } } xem cada fibra Ex π 1 p x q dependendo de forma mensur´ avel do ponto de base x P X. Um cociclo linear sobre T´ e um automorfismo (mensur´ avel) de fibrados vetoriais F:E Ñ Ecobrindo T. Isso significa que o seguinte diagrama ´ e comutativo EF ÝÝÝÝÑ E π π XT ÝÝÝÝÑ X e as ac¸ ˜ oes nas fibras Fx:Ex Ñ ET x s˜ ao isomorfismos lineares de espac¸os vetoriais que dependem de forma mensur´ avel de x. O pr´ oximo exemplo, j´ a abordado, ´ e possivelmente o representante mais intr´ ınseco deste conceito, a sua inspirac¸ ˜ ao. Exemplo 1.1. Cociclo dinˆ amico ou cociclo derivado: consideramos um difeomorfismo f:M Ñ Mde uma variedade diferenci´ avel riemanniana Me a derivada F Df a atuar no fibrado tangente E TM. O modelo acima introduzido ´ e bastante abrangente, mas para os nossos prop´ ositos n˜ ao necessitaremos de trabalhar com tanta generalidade. De facto, na formulac¸ ˜ ao dos resultados te´ oricos desta secc¸ ˜ ao assumiremos que os fibrados s˜ ao triviais, ou seja, da forma E X Rd. Citando [39], esta ´ e uma hip´ otese razo´ avel na medida em que frequentemente a restric¸ ˜ ao do fibrado a um subconjunto de Xcom medida total ´ e (isomorfo a) um fibrado trivial: no presente modelo, em que X´ e um espac¸o m´ etrico compacto isso sempre acontece (veja-se a Proposic¸ ˜ ao C.1). Nesse caso, cada ac¸ ˜ ao Fxtraduz-se num elemento A p x q de GL p R, d q , dependendo de forma mensur´ avel do ponto x, e o cociclo consiste assim dum produto semi-direto, i.e., da forma F p x, v qp Tx, A p x q v q .
FCUP 20 CAP´ ITULO 1. APRESENTAC¸ ˜ AO DOS RESULTADOS invariantes n˜ ao necessariamente erg´ odicas, caso em que os expoentes, o seu n´ umero e multiplicidades se tornariam func¸ ˜ oes mensur´ aveis em xdefinidas q.t.p.; ´ e v´ alido para espac¸os de probabilidade gerais e ainda para fibrados n˜ ao triviais; h´ a tamb´ em vers˜ oes para fluxos (tempo cont´ ınuo): aconselhamos [2] para um tratamento completo. Uma abordagem mais ambiciosa e aprofundada requereria uma incurs˜ ao nas t´ ecnicas da ´ algebra exterior (potˆ encias exteriores, valores singulares, etc.), o que est´ a para al´ em dos objetivos desta dissertac¸ ˜ ao.
Cap´ıtulo 2 Teorema Erg´ odico Subaditivo Neste cap´ ıtulo, demonstraremos o Teorema de Kingman. Comec¸amos por dar uma breve explicac¸ ˜ ao do esquema da prova para facilitar a leitura, seguida de diversas secc¸ ˜ oes que pensamos conter os pontos-chave da mesma, incluindo breves coment´ arios sobre os lugares paralelos na literatura. Para al´ em do texto original de A. ´ Avila e J. Bochi ([3], 2009), acompanhamos de perto os textos de M. Viana ([38], 2010) e ([27], 2013). 2.1 Estrutura da prova Recordamos que uma sucess˜ ao subaditiva de func¸ ˜ oes mensur´ aveis φn:X Ñ Rpara um transformac¸ ˜ ao mensur´ avel T:X Ñ Xque preserva a probabilidade µtem um limite importante associado L lim n Ñ8 1 n » φndµ inf n P N 1 n » φndµ P R Y t8u , sob a hip´ otese de integrabilidade φ 1 P L1 p µ q . O Teorema de Kingman [A] diz que para uma tal sucess˜ ao, o limite φ p x q lim n Ñ8 φn p x q n existe em quase todo o ponto e que em m´ edia ´ e igual a L. Para analisarmos a existˆ encia e o comportamento de φnum conjunto de probabilidade total vamos comec¸ar por definir as func¸ ˜ oes mensur´ aveis φ , φ :X Ñ R Y t8u por φ p x q lim inf n Ñ8 φn p x q neφ p x q lim sup n Ñ8 φn p x q n. 21
FCUP 22 CAP´ ITULO 2. TEOREMA ERG ´ ODICO SUBADITIVO ´ E facto elementar de an´ alise que φ p x q existe (podendo eventualmente ser infinito) se e somente se φ p x q φ p x q , caso em que φ p x q φ p x q φ p x q . Posto isto, demonstraremos antes a coincidˆ encia φ φ em quase todo o ponto. Claramente, φ ¤ φ , relac¸ ˜ ao que permanece inalterada tomando os integrais, ³ φ dµ ¤ ³ φ dµ. A ideia da prova consiste em demonstrar as seguintes desigualdades invertidas » φ dµ ¤ L ¤ » φ dµ. Isto implica n˜ ao s´ o ³ φ dµ ³ φ dµ e portanto φ φ em quase todo o ponto, como tamb´ em que a m´ edia de ambas ´ eL, o que prova o teorema. Como veremos, a desigualdade do lado direito - na verdade, provaremos mesmo a igualdade - ´ e a mais importante, de tal modo que a do lado esquerdo ´ e uma consequˆ encia desta, um ingrediente possivelmente inovador desta prova. Numa primeira fase, assumiremos que as func¸ ˜ oes satisfazem uma certa hip´ otese de limitac¸ ˜ ao inferior, que ser´ a removida a posteriori atrav´ es de um m´ etodo de truncagem, num contexto que ficar´ a claro no correr da demonstrac¸ ˜ ao. De resto, a abordagem de mostrar as desigualdades invertidas est´ a j´ a presente, por exemplo, em [14] e [18], sendo uma ideia algo padr˜ ao, mas engenhosa. 2.2 Lema de Fekete Por uma quest˜ ao de completude do trabalho, inclu´ ımos aqui uma demonstrac¸ ˜ ao do Lema de Fekete que pode ser encontrada de forma semelhante em diversos textos (por exemplo, [27]). Lema 2.1. (Fekete) Se p an q n P N´ e uma sucess˜ ao subaditiva, ent˜ ao lim n Ñ8 an n inf n P N an n P r8 , a1 s . Prova: A essˆ encia e dificuldade do lema restringem-se a sucess˜ oes reais: de facto, se ak 8 para algum k, ent˜ ao a subaditividade implica que al ¤ al k ak 8 ,para todo l ¡ k, pelo que a igualdade ´ e trivialmente satisfeita (´ e 8 em ambos os lados). Cingimo-nos portanto ao caso em que an P R, para todo o natural n. Dados n, k P N, aplicamos um algoritmo da
FCUP 23 CAP´ ITULO 2. TEOREMA ERG ´ ODICO SUBADITIVO divis˜ ao modificado a nek, obtendo uma escrita ´ unica n qnk rn, onde qn P N0´ e o quociente ern P t 1, . . . , k u o resto (no algoritmo tradicional, o resto toma o valor 0em vez de k, mas isto ´ e apenas uma conveniˆ encia para o que se segue, resultante de excluirmos o zero da nossa definic¸ ˜ ao de n´ umero natural). Usando a subaditividade de acordo com esta escrita retira-se que an n ¤ aqnk arn qnk rn ¤ qnak arn qnk rn .(2.1) Uma vez fixado k,rnfica limitado, donde se deduz que qn Ñ 8 quando n Ñ 8 .´ E igualmente verdade que arnfica tamb´ em limitado, pois toma apenas um n´ umero finito de valores. Logo tomando o limite superior em ambos os membros de (2.1) obtemos lim sup n Ñ8 an n ¤ ak k. Isto vale para todo o k P N. Assim, esta relac¸ ˜ ao permite concluir lim sup n Ñ8 an n ¤ inf k P N ak k ¤ lim inf n Ñ8 an n, o que finaliza a prova, tendo em conta a relac¸ ˜ ao entre os limites inferior e superior. 2 Nota 2.1. O Lema de Fekete, tal como o pr´ oprio Teorema de Kingman, tem tamb´ em uma vers˜ ao para sucess˜ oes p an q n P R Y t8u superaditivas, i.e., tais que am n ¥ am an,para todo m, n P N. Nesse caso, lim n Ñ8 an n sup n P N an n P r a1, 8s . Basta para o efeito tomar a sucess˜ ao sim´ etrica p an q ne aplicar o Lema de Fekete (subaditivo), um truque que ocorrer´ a algumas vezes neste texto. 2.3 Invariˆ ancia Uma vez explicado o esquema da demonstrac¸ ˜ ao, vamos analisar a p T, µ q -invariˆ ancia de φ expressa no item 1 do teorema. Para tal, usaremos o seguinte resultado elementar de Teoria Erg´ odica, cuja prova optamos por incluir.
FCUP 24 CAP´ ITULO 2. TEOREMA ERG ´ ODICO SUBADITIVO Lema 2.2. Seja p X, A, µ q um espac¸o de probabilidade e T:X Ñ Xuma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel que preserva µ. Se f:X Ñ R´ e uma func¸ ˜ ao mensur´ avel tal que f T p x q ¥ f p x q para todo x P X, ent˜ ao f T fem µ-quase todo o ponto. Prova: Dado a P Rarbitr´ ario, seja Ca t x P X:f p x q ¥ a u . Por hip´ otese, Ca T 1 p Ca qt x P X:f T p x q ¥ a u . Como Tpreserva µ, temos µ p Ca q µ p T 1 p Ca qq donde se retira que µ p T 1 p Ca qz Ca q 0. Observese que T 1 p Ca qz Ca t x P X:f p x q a ¤ f T p x qu . Consideremos o conjunto A t x P X: f p x q f T p x qu . Queremos verificar que µ p A q 0e, para tal, tomemos uma enumerac¸ ˜ ao dos racionais t rn u ne definamos, para cada natural n,An t x P X:f p x q rn ¤ f T p x qu . Pelo que foi visto, µ p An q 0e portanto, µ p A 8 n 1An q ¤ ° 8 n 1µ p An q 0 ñ µ p A q 0, como quer´ ıamos mostrar. 2 Usando a subaditividade da sucess˜ ao de func¸ ˜ oes p φn q n, temos φ : lim inf n Ñ8 φn n ¤ lim inf n Ñ8 φ1 φn 1 T n φ T. Decorre do lema anterior que φ T φ em µ-quase todo o ponto, valendo considerac¸ ˜ oes an´ alogas para φ . Logo, a func¸ ˜ ao φdescrita acima ´ e p T, µ q -invariante. De facto, podemos apurar um pouco mais este resultado. Mais geralmente, para cada j P N, vale φ p x q ¤ φ Tj p x q , pelo que φ φ Tjem µ-quase todo o ponto (note-se que Tjpreserva µquando o mesmo sucede para T). Uma vez que a intersec¸ ˜ ao numer´ avel de conjuntos com probabilidade total tem ainda probabilidade total, o conjunto I t x P X:φ p x q φ Tj p x q ,para todo j P N u tem tamb´ em probabilidade total. Dito de outro modo, φ φ ´ e constante ao longo das ´ orbitas por Tde quase todos os pontos.
FCUP 25 CAP´ ITULO 2. TEOREMA ERG ´ ODICO SUBADITIVO 2.4 Resultado principal Vamos apresentar o resultado que ´ e considerado pelos autores de [3] como o corac¸ ˜ ao da prova, ou seja, o seu ingrediente fundamental, vis´ ıvel j´ a em [36]. Ele servir´ a, em primeiro lugar, para provar a (des)igualdade L ¤ ³ φ dµ e, por consequˆ encia, tamb´ em ³ φ dµ ¤ L. Hip´ otese de limitac¸ ˜ ao. Vamos assumir inicialmente que a sucess˜ ao p φn { n q n P Nest´ a uniformemente limitada inferiormente, i.e., existe um n´ umero real c ¡ 0tal que φn n ¥ c , para todo n P N.(2.2) Isto implica em particular que φ ¥ c. Esta hip´ otese ser´ a mantida na demonstrac¸ ˜ ao de ambas as desigualdades invertidas e do resultado principal para a seu tempo ser removida por um processo de truncagem. Considerac¸ ˜ oes iniciais. Antes disso, vamos introduzir alguma notac¸ ˜ ao conveniente. Dado ¡ 0, considere-se a sucess˜ ao de conjuntos p Ek q k P Ndefinida por Ek: t x P X:φj p x q j ¤ φ p x q , para algum j P t 1, . . . , k uu . Trata-se de uma sucess˜ ao mon´ otona crescente, ou seja, Ek Ek 1para todo k P N. Observese que cada x P Xpertence a Ekpara todo ksuficientemente grande (veja-se a definic¸ ˜ ao de φ , que neste caso n˜ ao toma o valor 8 ), pelo que X 8 k 1Ek. Logo lim k Ñ8 µ p Ek q µ p 8 ¤ k 1 Ek q µ p X q 1. Vamos definir tamb´ em a sucess˜ ao de func¸ ˜ oes ψk:X Ñ R Y t8u por ψk p x q $ & % φ p x q , se x P Ek φ1 p x q ,se x R Ek . Uma vez que se x R Ekpor definic¸ ˜ ao φ1 p x q ¡ φ p x q , temos em geral a desigualdade ψk ¥ φ , para todo o natural k. O resultado. A estimativa fundamental desta prova, a que nos referimos h´ a pouco, consiste no seguinte:
FCUP 26 CAP´ ITULO 2. TEOREMA ERG ´ ODICO SUBADITIVO Lema 2.3. Para µ-quase todo o x P Xe todos os naturais n ¡ k, φn p x q ¤ n k 1 ¸ i 0 ψk p Tix q n 1 ¸ i n k max t ψk, φ1 up Tix q .(2.3) Prova: Comec¸amos por observar que o conjunto de probabilidade total a considerar em que vale a estimativa acima ´ e precisamente o conjunto Idos pontos x P Xem cujas ´ orbitas φ ´ e constante (que um tal conjunto tem probabilidade total, foi explicado anteriormente). Para ver isso, seja x P Iarbitr´ ario. Vamos associar a xum sucess˜ ao de inteiros m0 ¤ n1 m1 ¤ n2 m2 ¤ constru´ ıda indutivamente da seguinte maneira: m0 0(condic¸ ˜ ao inicial) e, em geral, uma vez constru´ ıdo mj 1, definimos njcomo o menor inteiro maior ou igual a mj 1tal que Tnj P Ek. Notamos que tal inteiro pode n˜ ao existir, caso em que o processo p´ ara e a sucess˜ ao ´ e finita. De outro modo, caso exista, ent˜ ao h´ a algum sj P t 1, . . . , k u tal que φsj p Tnjx q sj ¤ φ p x q (2.4) simplesmente por definic¸ ˜ ao de Ek. Definimos mj nj sj, o que permite agora continuar o processo. Com isto fica explicada a construc¸ ˜ ao. Conv´ em subinhar que se mj 1 ¤ i nj, ent˜ ao por construc¸ ˜ ao Tix R Ek, nada se podendo inferir de an´ alogo para nj ¤ i mj. No entanto, no que se seguir´ a teremos bem presente a distinc¸ ˜ ao entre o comportamento de Tnestes dois tipos de intervalos de tempo para a avaliac¸ ˜ ao das func¸ ˜ oes ao longo da ´ orbita de x. Figura 2.1: DECOMPOSIC¸ ˜ AO DA ´ ORBITA
FCUP 27 CAP´ ITULO 2. TEOREMA ERG ´ ODICO SUBADITIVO Para n ¡ k, seja lo maior inteiro tal que ml ¤ n. N˜ ao podemos a priori comparar nl 1 com n(ver Figura 2.1), mas sabemos certamente por construc¸ ˜ ao que nl 1 k ¡ n, pois de outro modo haveria uma contradic¸ ˜ ao com a definic¸ ˜ ao de ml. Numa primeira tentativa de obter a estimativa (2.3), vamos usar a subaditividade de p φn q nde acordo com a decomposic¸ ˜ ao n p n ml qp ml nl qp nl ml 1 qp n1 m0 q , obtendo assim φn p x q ¤ φn ml p Tml p x qq l ¸ j 1 φnj mj 1 p Tmj 1 p x qq l ¸ j 1 φmj nj p Tnj p x qq .(2.5) Para majorarmos a primeira parcela e as parcelas do primeiro somat´ orio no lado direito desta desigualdade, usamos outra vez a subaditividade, de modo que φnj mj 1 p Tmj 1 p x qq ¤ nj 1 ¸ i mj 1 φ1 p Ti p x qq , para todo j 1, . . . , l, mantendo-se uma desigualdade em termos inteiramente an´ alogos para φn ml p Tml p x qq . Desta feita, (2.5) transforma-se em φn p x q ¤ ¸ i P I φ1 p Ti p x qq l ¸ j 1 φmj nj p Tnj p x qq ,(2.6) onde I l j 1 r mj 1, nj qYr ml, n q (usamos a notac¸ ˜ ao r a, b q para designar o conjunto dos inteiros ztais que a ¤ z b). Para majorarmos as parcelas do ´ ultimo somat´ orio em (2.5), vamos usar a relac¸ ˜ ao (2.4) (reescrevendo sj mj nj), a constˆ ancia de φ ao longo da ´ orbita de xe o facto de ψk p x q ¥ φ p x q . Isto fornece, respetivamente, o seguinte φmj nj p Tnj p x qq ¤ mj 1 ¸ i nj p φ p Ti p x q q ¤ mj 1 ¸ i nj ψk p Ti p x qq . Cada uma das parcelas φ1 p Ti p x q ) do primeiro somat´ orio em (2.6), mais precisamente aquelas em que i P l j 1 r mj 1, nj qYr ml,min t nl 1, n uq ,´ e igual respetivamente a ψk p Ti p x qq , porque Ti p x q R Eknesses casos. Juntamente com esta ´ ultima majorac¸ ˜ ao, podemos agora obter a partir de (2.6) φn p x q ¤ min t nl 1,n u 1 ¸ i 0 ψk p Ti p x qq n 1 ¸ i nl 1 φ1 p Ti p x qq . Como nl 1 ¡ n kpor construc¸ ˜ ao e max t ψk, φ1 up x q ¥ φ1 p x q por definic¸ ˜ ao, a prova da estimativa principal (2.3) est´ a conclu´ ıda. 2
FCUP 28 CAP´ ITULO 2. TEOREMA ERG ´ ODICO SUBADITIVO 2.5 Igualdade inferior Neste ponto, vamos provar aquilo a que chamamos igualdade inferior, por analogia com o conceito de limite inferior nela envolvido. Aqui surgem os m´ etodos de truncagem, ideias tamb´ em presentes em [18] e [36]. Em concreto, Lema 2.4. Sob as hip´ oteses do Teorema de Kingman [A], temos » φ dµ L. (2.7) Prova: Numa primeira instˆ ancia, mantemos a hip´ otese de limitac¸ ˜ ao uniforme das func¸ ˜ oes expressa em (2.2). Comec¸amos por observar que, nessas condic¸ ˜ oes, φ ´ e integr´ avel e vale ³ φ dµ ¤ L. Com efeito, pelo Lema de Fatou [A.3], aplicado ` a sucess˜ ao de func¸ ˜ oes n˜ ao negativas p φn { n c q n P N, temos precisamente » φ c dµ ¤ lim inf n Ñ8 » φn n c dµ L c. No sentido de provarmos a desigualdade mais importante ³ φ dµ ¥ L, para da´ ı concluirmos (2.7) neste caso, vamos usar o resultado principal. Integrando a desigualdade (2.3), e dividindo por n, decorre 1 n » φndµ ¤ n k n » ψkdµ k n » max t ψk, φ1 u dµ. A partir deste ponto jogamos com a informac¸ ˜ ao assint´ otica. Fixado ke tomando o limite quando n Ñ 8 em ambos os lados da inequac¸ ˜ ao, obtemos L ¤ ³ ψkdµ. Observe-se que » ψkdµ » Ek ψkdµ » X z Ek ψkdµ » Ek φ dµ » X z Ek φ1dµ. Logo, quando k Ñ 8 obtemos L ¤ ³ φ dµ ³ φ dµ (recordem-se as propriedades da sucess˜ ao p Ek q k P N). Como ¡ 0´ e arbitr´ ario, conclu´ ımos finalmente que L ¤ ³ φ dµ. Isto prova (2.7), sob a hip´ otese de limitac¸ ˜ ao uniforme. Demonstremos agora o caso geral (i.e., sem a hip´ otese de limitac¸ ˜ ao). Com esse intuito, usaremos um m´ etodo de truncagem considerando, para cada c ¡ 0, as func¸ ˜ oes φc n max t φn, cn u eφc max t φ , c u .(2.8)
FCUP 29 CAP´ ITULO 2. TEOREMA ERG ´ ODICO SUBADITIVO Por definic¸ ˜ ao, para cada n P N, temos φc n { n ¥ c. Al´ em disso a sucess˜ ao de func¸ ˜ oes p φc n q n´ e subaditiva e tem-se φc lim infn Ñ8 φc n { n. Usando o que j´ a provamos para o caso da limitac¸ ˜ ao uniforme, » φc dµ Lc: inf n 1 n » φc ndµ. Note-se que c ¤ c 1 implica φc n ¥ φc 1 ne tamb´ em φc ¥ φc 1 . Assim, para cada n P Nfixado, obtemos uma sucess˜ ao mon´ otona de func¸ ˜ oes φ1 n ¥ φ2 n ¥ ¥ φj n ¥ tal que limjφj n φn. Aplicando o Teorema da Convergˆ encia Mon´ otona [A.4], » φndµ lim j Ñ8 » φj ndµ inf j » φj ndµ inf c ¡ 0 » φc ndµ, obtendo analogamente ³ φ dµ infc ¡ 0 ³ φc dµ. Para concluir, juntamos estas observac¸ ˜ oes numa s´ o, o que fornece » φ dµ inf c ¡ 0 » φc dµ inf c ¡ 0inf n 1 n » φc ndµ inf ninf c ¡ 0 1 n » φc ndµ inf n 1 n » φndµ L. Isto conclui a demonstrac¸ ˜ ao. 2 Nota 2.2. Observamos, tal como o ´ e feito em [3], que a igualdade inferior ³ φ dµ L, por si s´ o, j´ a implica o Teorema Erg´ odico de Birkhoff. Este fen´ omeno deve-se ao facto da sucess˜ ao sim´ etrica das somas de Birkhoff φn n 1 ¸ j 0 φ Tj ser tamb´ em aditiva, e portanto subaditiva, pelo que aplicando a igualdade inferior a esta sucess˜ ao se deduz » lim sup n Ñ8 φn ndµ » lim inf n Ñ8 φn ndµ L ô » φ dµ L de onde decorre φ φ em µ-quase todo o ponto. Esta ’simetria da aditividade’ n˜ ao vale em geral para sucess˜ oes subaditivas: de facto, as sucess˜ oes aditivas s˜ ao precisamente aquelas para as quais a pr´ opria sucess˜ ao e a sucess˜ ao sim´ etrica s˜ ao subaditivas.
FCUP 36 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO as ferramentas anteriores, a atenc¸ ˜ ao ser´ a dirigida para o fibrado minimal do cociclo onde o objetivo ´ e imediatamente concretizado (Secc¸ ˜ ao 3.4). Para estender indutivamente este racioc´ ıno aos (eventuais) demais expoentes, ser´ a necess´ ario construir fibrados complementares de maior crescimento exponencial, com tratamento separado para as vers˜ oes unilateral (Secc¸ ˜ ao 3.6) e bilateral (Secc¸ ˜ ao 3.7), fazendo um estudo do comportamento subexponencial (Secc¸ ˜ ao 3.5). 3.2 Vers˜ ao limite superior Nesta secc¸ ˜ ao, vamos demonstrar uma vers˜ ao mais fraca da vers˜ ao unilateral (Teorema B), a qual chamaremos de vers˜ ao limite superior. O motivo para esta nomenclatura prende-se com a noc¸ ˜ ao cl´ assica de expoente de Lyapunov λ p x, v q lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } P R Y t8u ,(3.1) com a convenc¸ ˜ ao log p 0 q 8 . Para al´ em de existirem sempre, estes expoentes gozam de boas propriedades alg´ ebricas de modo a possibilitar uma construc¸ ˜ ao clara dos espac¸os de Oseledets. Recordamos que estamos a tomar como modelo de espac¸o de probabilidade de Lebesgue p X, A, µ q um espac¸o m´ etrico compacto Xcom a σ-´ algebra dos borelianos A B | µ completada em relac¸ ˜ ao ` a probabilidade µ. Propomo-nos provar o seguinte resultado (inspirado em [41]), onde a hip´ otese do espac¸o ser m´ etrico compacto n˜ ao ´ e um requerimento essencial, conquanto a probabilidade seja completa. Teorema 3.1. Sejam p X, A, µ q um espac¸o de probabilidade completo e T:X Ñ Xuma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel que preserva µ. Seja A:X Ñ GL p R, d q uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel tal que log } A 1 } P L1 p µ q . Nestas condic¸ ˜ oes, em µ-quase todo o ponto x P X, existem k k p x q n´ umeros reais λ1 p x q ¡ ¡ λk p x q e uma ´ unica filtrac¸ ˜ ao linear Rd V1 x ¡ V2 x ¡ ¡ Vk x ¡ Vk 1 x t 0 u tais que, para todo 1 ¤ i ¤ k, se tem 1. k p x q k p Tx q ,λi p x q λi p Tx q ,A p x q Vi x Vi T x e 2. λ p x, vi q λi p x q , sempre que vi P Vi x z Vi 1 x. Al´ em disso, k p x q ,λi p x q e os espac¸os Vi xdependem de forma mensur´ avel de x.
FCUP 37 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO 3.2.1 Condic¸ ˜ ao de integrabilidade Comec¸amos por analisar o papel que a hip´ otese log } A 1 p x q} P L1 p µ q desempenha para as conclus˜ oes do teorema. Notamos de passagem que esta ´ e mais forte do que ` a primeira vista possa parecer, no sentido em que log } A 1 p x q} P L1 p µ qô| log } A 1 p x q}| P L1 p µ q ô log } A 1 p x q} P L1 p µ q . Dito isto, vejamos que qualquer uma das condic¸ ˜ oes de integrabilidade acima serve para assegurar tipicamente a finitude dos expoentes de Lyapunov λ p x, v q . Lema 3.1. Seja p X, A, µ q um espac¸o de probabilidade e T:X Ñ Xuma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel que preserva µ. Seja A:X Ñ GL p R, d q uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel tal que log } A 1 } P L1 p µ q . Ent˜ ao λ p x, v q P R, para quase todo o ponto x P Xe todo v P Rd zt 0 u . Prova: Trata-se de uma consequˆ encia do Teorema Erg´ odico de Birkhoff [B.3]. Com efeito, observando que } A p n q p x q v }¤} A p n q p x q} } v } ¤ p n 1 ¹ i 0 } A p Tix q}q } v } e } A p n q p x q v }¥} A p n q p x q 1 } 1 } v }¥p n 1 ¹ i 0 } A 1 p Tix q} 1 q} v } , obtem-se lim sup n Ñ8 1 n n 1 ¸ i 0 log } A 1 p Tix q} ¤ λ p x, v q ¤ lim sup n Ñ8 1 n n 1 ¸ i 0 log } A p Tix q} . A condic¸ ˜ ao de integrabilidade log } A 1 } P L1 p µ q implica que os extremos da desigualdade acima s˜ ao n´ umeros reais em quase todo o ponto, donde se obtem a conclus˜ ao do lema. 2 Este ´ e essencialmente o ´ unico papel da hip´ otese log } A 1 } P L1 p µ q na vers˜ ao limite superior. De facto, todos os pontos s˜ ao regulares no sentido do Teorema 3.1 (i.e., conquanto os expoentes possam ser 8 ) e, al´ em disso, todos os objetos (expoentes de Lyapunov, seu n´ umero e espac¸os de Oseledets) variam mensuravelmente com x P X. Esse ´ e o trabalho das pr´ oximas subsecc¸ ˜ oes. Conv´ em ainda fazer uma pequena observac¸ ˜ ao. Nestes resultados, quando falarmos em propriedades que valham q.t.p., podemos sempre assumir que conjunto onde elas valem ´ e
FCUP 38 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO tamb´ em T-invariante. Este cuidado adicional para garantir a regularidade ao longo das ´ orbitas n˜ ao restringe o conte´ udo dos mesmos em termos da medida pois dado um conjunto Y Xtal que µ p Y q 1, existe Z Ysatisfazendo µ p Z q 1eT p Z q Z: basta tomar Z 8 £ n 0 T n p Y q , o conjunto dos pontos de Ycuja T-´ orbita est´ a contida em Y. Se a transformac¸ ˜ ao for invert´ ıvel, podemos escolher Ztal que T 1 p Z q Z. Assim, podemos assumir que o conjunto de probabilidade total onde os expoentes associados a vetores n˜ ao-nulos s˜ ao finitos ´ e tamb´ em T-invariante. 3.2.2 Filtrac¸ ˜ oes lineares Dirigimos agora a atenc¸ ˜ ao para as propriedades alg´ ebricas principais dos expoentes λ p x, v q . Uma vez desejando estudar o seu comportamento em cada fibra Ex Rde analisar a maneira como se obtˆ em os subespac¸os de Oseledets Vi x,´ e mais expressivo escrevˆ e-los na forma λx p v q , pr´ atica que adotaremos por um momento. Antes disso, deixamos os seguintes factos sobre sucess˜ oes de n´ umeros reais que ser˜ ao ´ uteis para referˆ encia futura. Lema 3.2. Sejam p an q n P Ne p bn q n P Nsucess˜ oes de n´ umeros reais n˜ ao negativos. Ent˜ ao lim sup n Ñ8 1 nlog p an bn q max t lim sup n Ñ8 1 nlog an,lim sup n Ñ8 1 nlog bn u e lim inf n Ñ8 1 nlog p an bn q ¥ max t lim inf n Ñ8 1 nlog an,lim inf n Ñ8 1 nlog bn u . Lema 3.3. Seja λ:X Rd Ñ R Y t8u a func¸ ˜ ao expoente de Lyapunov definida por (3.1). Ent˜ ao, para todos x P X,α P R zt 0 u ev, w P Rd, valem 1. λx p 0 q 8 , 2. λx p α v q λx p v q , 3. λx p v w q ¤ max t λx p v q , λx p w qu , com igualdade se λx p v q λx p w q , e 4. λx p v q λT x p A p x q v q .
FCUP 39 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Prova: Vamos provar separadamente cada um dos itens expressos no lema. 1. Resulta da convenc¸ ˜ ao log p 0 q 8 . 2. Dado que } A p n q p x q p αv q} } α A p n q p x q v }| α | } A p n q p x q v } , para todo o natural n, as propriedades do logaritmo implicam λx p α v q lim sup n Ñ8 1 nlog | α | 1 nlog } A p n q p x q v } λx p v q . 3. Observando que } A p n q p x qp v w q} ¤ } A p n q p x q v }} A p n q p x q w } , a desigualdade segue do Lema 3.2 aplicado a an } A p n q p x q v } ebn } A p n q p x q w } . Para deduzir a igualdade no caso em que λx p v q λx p w q , podemos usar os resultados j´ a obtidos. Suponhamos, sem perda de generalidade, que λx p v q λx p w q , de modo que max t λx p v q , λx p w qu λx p w q . Ent˜ ao λx p v w q ¤ λx p w q λx p v w v q ¤ max t λx p v w q , λx p v qu , uma vez que λx p v q λx p v q , pela propriedade (2). Se λx p v w q λx p v q , as desigualdades acima implicam λx p w q ¤ λx p v q , o que contradiz a nossa hip´ otese. Logo, λx p v w q ¥ λx p v q , e deduz-se das mesmas desigualdades que λx p v w q λx p w q . 4. A prova deste item reduz-se ao seguinte c´ alculo λT x p A p x q v q lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n 1 q p x q v } lim sup n Ñ8 n 1 n 1 n 1log } A p n 1 q p x q v } λx p v q . 2 Em certos textos, faz-se um estudo abstrato destes expoentes relaxados (veja-se [4], [5]) e geralmente uma aplicac¸ ˜ ao λ:V Ñ R Yt8u , onde V´ e um espac¸o vetorial de dimens˜ ao finita, que satisfac¸a as trˆ es primeiras propriedades do lema diz-se um expoente carater´ ıstico. As propriedades alg´ ebricas subjacentes aos expoentes de Lyapunov permitem construir diretamente as filtrac¸ ˜ oes de Oseledets expressas no enunciado. Isso ´ e algo que podemos fazer em todos os pontos ainda que sem a garantia dos expoentes serem finitos.
FCUP 40 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Lema 3.4. Em todo o ponto x P X, existem k k p x q P Nn´ umeros λ1 p x q ¡ ¡ λk p x q (possivelmente tomando valores em t8u ) e uma filtrac¸ ˜ ao linear Rd V1 x ¡ V2 x ¡ ¡ Vk x ¡ Vk 1 x t 0 u tais que, para todo 1 ¤ i ¤ k, se tem 1. k p x q k p Tx q ,λi p x q λi p Tx q ,A p x q Vi x Vi T x e 2. λ p x, vi q λi p x q ô vi P Vi x z Vi 1 x. Al´ em disso, para cada x P X, os expoentes, o seu n´ umero e os subespac¸os s˜ ao ´ unicos. Prova: Decorre da propriedade (2) do Lema 3.3 que se λx p v q λx p w q , os vetores n˜ ao nulos v ews˜ ao linearmente independentes. Assim, λx pq pode tomar no m´ aximo dvalores distintos em Rd zt 0 u , digamos λ1 p x q ¡ ¡ λk p x q p x q , onde k p x q designa o n´ umero desses valores distintos (i.e., expoentes de Lyapunov em x). Por (2) e (3) do Lema 3.3, os espac¸os Vi x: t v P Rd:λx p v q ¤ λi p x qu , i 1, . . . , k p x q , s˜ ao subespac¸os vetoriais de Rd(note-se que 0 P Vi xpois λx p 0 q 8 ). Por definic¸ ˜ ao, s˜ ao tamb´ em encaixados Rd V1 x ¡ V2 x ¡ ¡ Vk x ¡ Vk 1 x t 0 u sendo claro que vi P Vi x z Vi 1 x ô λx p vi q λi p x q . Finalmente, do ponto (4) do mesmo lema e do facto de A p x q P GL p R, d q , deduz-se que a filtrac¸ ˜ ao de Oseledets em xse transporta para a de Tx, mais precisamente k p x q k p Tx q , λi p x q λi p Tx q eA p x q Vi x Vi T x. Resumindo o que foi dito, temos t λ1 p x q , . . . , λk p x qu t λ P R:λ λx p v q para algum v P Rd zt 0 uu e Vj x t v P Rd:λx p v q ¤ λj p x qu de modo que os expoentes, o seu n´ umero e os subespac¸os est˜ ao unicamente determinados. 2
FCUP 41 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO 3.2.3 Mensurabilidade Para concluir a demonstrac¸ ˜ ao do Teorema 3.1, analisaremos as quest˜ oes de mensurabilidade ainda pendentes, comec¸ando por elucidar o significado da dependˆ encia mensur´ avel dos expoentes, do seu n´ umero e dos espac¸os de Oseledets. A mensurabilidade do n´ umero de expoentes k p x q traduz-se na mensurabilidade da aplicac¸ ˜ ao k:X Ñ N, onde Nse encontra munido com a σ-´ algebra das suas partes P p N q . N˜ ao ´ e dificil verificar que isso equivale ` a mensurabilidade dos conjuntos Ki: t x P X:k p x q ¥ i u , para todo o natural 1 ¤ i ¤ d, que s˜ ao precisamente aqueles em que os expoentes λiest˜ ao definidos, respetivamente. Dizer que estes s˜ ao mensur´ aveis significa que λi:Ki Ñ R´ e mensur´ avel com respeito ` aσ-´ algebra restrita a Kidada por Ai: t A X Ki:A P A u A, o que implica mesmo a mensurabilidade com respeito a A, se com isso se quer dizer que λ 1 i p B q P Apara todo B P B p Rd q , a σ-´ algebra dos borelianos de Rd. Por fim, resta esclarecer a dependˆ encia mensur´ avel dos espac¸os de Oseledets. Isso ´ e feito em termos da linguagem dos fibrados vetoriais (mensur´ aveis). Considere-se uma aplicac¸ ˜ ao x ÞÑ Vxque a cada ponto x P Xassocia um subespac¸o vetorial linear Vxde Rd(i.e., toma valores nas grassmannianas). Dizemos que esta aplicac¸ ˜ ao ´ e mensur´ avel se •x P X ÞÑ dim Vx´ e mensur´ avel e • para cada natural ktal que Dk: t x P X: dim Vx k uH , existem aplicac¸ ˜ oes mensur´ aveis v1, . . . , vk:Dk Ñ Rdde modo que, para todo x P Dk, o conjunto Bx: t v1 p x q , . . . , vk p x qu ´ e uma base de Vx. Nestas circunstˆ ancias, a fam´ ılia de subespac¸os t Vx u x P Xtem uma estrutura natural de fibrado vetorial mensur´ avel sobre Xde acordo com a Definic¸ ˜ ao C.1, terminologia que ser´ a adotada.
FCUP 42 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Do ponto de vista da medida, interessa essencialmente a maneira como os fibrados est˜ ao definidos num conjunto de probabilidade total, identificando por esse motivo dois fibrados t Ux u x P X e t Vx u x P X, escrevendo U V, se Ux Vx,para q.t.p. x P X. Dizer que os subespac¸os de Oseledets Vi xdependem de forma mensur´ avel de xsignifica assim que a aplicac¸ ˜ ao x ÞÑ Vi x´ e mensur´ avel no seu dom´ ınio de definic¸ ˜ ao Kicom a σ-´ algebra restrita Aiou, equivalentemente, que Vi: t Vi x u x P Ki´ e um fibrado mensur´ avel. Apesar de intr´ ınseca, a definic¸ ˜ ao acima n˜ ao ´ e t˜ ao conveniente para efeitos de demonstrac¸ ˜ oes. Optaremos pelo seguinte crit´ erio alternativo para a mensurabilidade onde, pela primeira (e ´ ultima!) vez, precisamos de assumir a completude do espac¸o, mas n˜ ao necessariamente que seja m´ etrico compacto, de probabilidade ou sequer de medida finita. Teorema 3.2. Seja p X, A, µ q um espac¸o de medida completo e x ÞÑ Vxuma aplicac¸ ˜ ao que a cada ponto x P Xassocia um subespac¸o vetorial Vxde Rd. Ent˜ ao s˜ ao equivalentes: 1. x ÞÑ Vx´ e mensur´ avel. 2. tp x, v q P X Rd:x P X, v P Vx u P A b B p Rd q . Nota 3.1. ´ E poss´ ıvel ainda (e comum) exprimir a mensurabilidade dos subespac¸os em termos das grassmanianas de Rd(ver por exemplo [24]). Sendo variedades diferenci´ aveis, e portanto com uma estrutura topol´ ogica, permitiriam-nos definir a mensurabilidades nos termos mais convencionais em que a imagem inversa de borelianos ´ e mensur´ avel. N˜ ao adotaremos tamb´ em essa abordagem, mas referimos por´ em que tal definic¸ ˜ ao poderia ser incluida no Teorema 3.2 e, de facto, ´ e equivalente ` a definic¸ ˜ ao dada sem pressupor a completude do espac¸o de probabilidade (veja-se [41]), uma desvantagem do crit´ erio acima. Para demonstrarmos o crit´ erio acima e as demais quest˜ oes de mensurabilidade, usaremos o seguinte resultado de Teoria de Medida, que se baliza numa lista de resultados de projec¸ ˜ ao e selec¸ ˜ ao/secc¸ ˜ ao mensur´ aveis, constituindo uma vers˜ ao particular de um resultado mais geral [ver [8], 2º vol., p´ ag. 39, Teorema 6.9.12]. Teorema 3.3. Seja p X, A, µ q um espac¸o de medida completo, Mum espac¸o m´ etrico completo separ´ avel e πX:X M Ñ Xa projec¸ ˜ ao natural. Nestas condic¸ ˜ oes, para todo C P A b B p M q , tem-se
FCUP 43 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO 1. π p C q P Ae 2. existe uma func¸ ˜ ao mensur´ avel ξ:π p C q Ñ Mtal que o gr´ afico Γξ: tp x, ξ p x qq P X M:x P π p C qu est´ a contido em C. Nota 3.2. O ponto 1 do Teorema 3.3 n˜ ao ´ e v´ alido para espac¸os mensur´ aveis gerais, como se poderia pensar por analogia com o caso topol´ ogico onde as projec¸ ˜ oes dum produto de espac¸os num dos fatores s˜ ao abertas, i.e., enviam abertos em abertos. Esta quest˜ ao, investigada inicialmente no contexto do plano ( ! a projec¸ ˜ ao de um boreliano do plano nos eixos ser´ a ainda boreliana? " ), foi posteriormente refutada a custo do esforc¸o de diversos matem´ aticos, com destaque para M. Suslin (1894 1919) que desenvolveu a noc¸ ˜ ao dos agora chamados conjuntos e espac¸os de Souslin (veja-se [8] para um tratamento detalhado desta teoria). Espac¸os m´ etricos completos e separ´ aveis s˜ ao exemplos pr´ aticos importantes de espac¸os de Souslin. Prova do Teorema 3.2. (1) ñ (2): Uma vez que x ÞÑ dim Vx´ e mensur´ avel, cada conjunto Dk: t x P X: dim Vx k u ´ e mensur´ avel e tem-se X 9 d i 1Di. Claramente, tp x, v q P X Rd:x P Dd, v P Vx u Dd Rd P A b B p Rd q pelo que resta analisar os casos em que 1 ¤ k d. Sejam v1, . . . , vk:Dk Ñ Rdaplicac¸ ˜ oes mensur´ aveis tais que o conjunto t v1 p x q , . . . , vk p x qu ´ e uma base de Vx. Note-se que a condic¸ ˜ ao x P Dkev P Vx´ e equivalente ` a dependˆ encia linear dos vetores v1 p x q , . . . , vk p x q ev. Isto por sua vez ´ e equivalente ao facto do determinante da matriz de Gram, definida por G p x, v q : At p x, v q A p x, v q , ser nulo, onde A p x, v q r v1 p x q vk p x q v s ´ e a matriz de dimens˜ oes d p k 1 q cujas colunas s˜ ao os vetores assinalados. A func¸ ˜ ao fk p x, v q det G p x, v q ´ e mensur´ avel, logo tp x, v q P X Rd:x P Dk, v P Vx u f 1 k p 0 q P A b B p Rd q . Como 1 ¤ k d´ e arbitr´ ario, a prova desta implicac¸ ˜ ao est´ a conclu´ ıda tomando a uni˜ ao desses conjuntos (disjuntos) mensur´ aveis.
FCUP 44 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO (2) ñ (1): Observe-se que mostrar a mensurabilidade de x ÞÑ dim Vxequivale a mostrar a mensurabilidade dos conjuntos Ri: t x P X: dim Vx ¥ i u , para todo natural 1 ¤ i ¤ d. Temos a seguinte cadeia encaixada X R0 R1 Rd Rd 1 H . Por hip´ otese, C: tp x, v q P X Rd:x P X, v P Vx u P A b B p Rd q . Comec¸emos por definir E0: X t 0 u P A b B p Rd q e considere-se Π1: C z E0 P A b B p Rd q . Se Π1 H nada mais h´ a a provar. De outro modo, pelo Teorema 3.3, temos πX p Π1 q P Ae note-se que πX p Π1 q R1. Logo, ainda pelo Teorema 3.3, existe uma func¸ ˜ ao mensur´ avel v1:R1 Ñ Rd tal que v1 p x q P Vx zt 0 u . Pela implicac¸ ˜ ao j´ a demonstrada, aplicada a x P R1 ÞÑ x v1 p x qy R, conclui-se que o conjunto E1: tp x, v q P X Rd:x P R1, v P x v1 p x qy R u ´ e mensur´ avel. Logo Π2: Π1 z E1´ e mensur´ avel. Mais uma vez, se Π2 H nada mais h´ a a provar. De outro modo, πX p Π2 q R2 P Ae existe uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel v2:R2 Ñ Rdtal que v2 p x q P Vx zx v1 p x qy R. Tomando a aplicac¸ ˜ ao x P R2 ÞÑ x v1 p x q , v2 p x qy R, conclui-se que E2: tp x, v q P X Rd:x P R2, v P x v1 p x q , v2 p x qy R u P A b B p Rd q . Por induc¸ ˜ ao, obtemos assim a mensurabilidade de todos os conjuntos Ribem como a existˆ encia de aplicac¸ ˜ oes mensur´ aveis v1, . . . , vjnos seus dom´ ınios de definic¸ ˜ ao tais que, para todo o natural kex P Dk, o conjunto t v1 p x q , . . . , vk p x qu ´ e uma base de Vx.2 Estamos agora em condic¸ ˜ oes de demonstrar a mensurabilidade dos expoentes, do seu n´ umero e dos espac¸os de Oseledets. Lema 3.5. Tem-se o seguinte: 1. k:X Ñ N´ e mensur´ avel, 2. x P Ki ÞÑ Vi x´ e mensur´ avel e 3. λi:Ki Ñ R Y t8u ´ e mensur´ avel.
FCUP 45 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Prova: Recordamos que mostrar a mensurabilidade de kequivale a mostrar a mensurabilidade dos conjuntos Ki: t x P X:k p x q ¥ i u , nos casos em que 1 ¤ i ¤ d. Comec¸amos por observar que K1 t x P X:k p x q ¥ 1 u X´ e mensur´ avel e claramente a aplicac¸ ˜ ao x P X ÞÑ V1 x Rd tamb´ em. Observe-se que cada func¸ ˜ ao λn p x, v q 1 nlog } A p n q p x q v } ´ e mensur´ avel pois ´ e a composta de func¸ ˜ ao cont´ ınua com uma func¸ ˜ ao mensur´ avel. Desse modo, conclui-se que λ p x, v q lim supn Ñ8 λn p x, v q ´ e mensur´ avel. Da´ ı decorre imediatamente a mensurabilidade de λ1pois λ1 p x q max v P Rdλ p x, v q max 1 ¤ i ¤ dλ p x, ei q e fixado v P Rdarbitr´ ario a restric¸ ˜ ao λv p x q λ p x, v q ´ e mensur´ avel. Com isto mostramos a mensurabilidade de K1,V1eλ1. Agora procedemos indutivamente para mostrar a mensurabilidade dos outros expoentes e subespac¸os de Oseledets. Seja E0 X t 0 u e considere-se o subconjunto de X Rddado por Λ1: tp x, v q P X Rd:λ p x, v q λ1 p x quz E0. Dado que λeλ1s˜ ao mensur´ aveis, Λ1 P A b B p Rd q . Pelo Teorema 3.3, tem-se πX p Λ1 q P Ae note-se que π p Λ1 q K2. Se K2 H , nada mais h´ a a provar. De outro modo, considerando a func¸ ˜ ao x P K2 Ñ V2 xobtemos pelo Teorema 3.2 que a mesma ´ e mensur´ avel pois tp x, v q :x P K2, v P Vx u tp x, v q P K2 Rd:λ p x, v q λ1 p x qu P A2 b B p Rd q . Assim, por definic¸ ˜ ao, em cada fatia mensur´ avel n˜ ao vazia Dk K2existem aplicac¸ ˜ oes mensur´ aveis v1, . . . , vk:Dk Ñ Rdtais que t v1 p x q , . . . , vk p x qu ´ e uma base de V2 xe portanto, nessa fatia, λ2 p x q max 1 ¤ i ¤ kλ p x, vi p x qq ´ e mensur´ avel, o que implica a mensurabilidade global de λ2em K2com respeito a A2. Mostramos a mensurabilidade de K2,V2eλ2. Por um argumento an´ alogo ao que foi feito acima segue indutivamente a mensurabilidade dos restantes. 2
FCUP 52 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO » φ dνn Ñ » φ dν para toda a func¸ ˜ ao φ P C0 p X P q . Devido ` a densidade das func¸ ˜ oes cont´ ınuas em F, tem-se a convergˆ encia supracitada para toda a func¸ ˜ ao φ P F. Temos ainda o seguinte facto, que revela uma propriedade importante de M p µ q . Proposic¸ ˜ ao 3.3. M p µ q ´ e fechado no espac¸o das probabilidades P p X P q (e portanto compacto para a topologia fraca*). Prova: Seja p νn q numa sucess˜ ao de probabilidades em M p µ q convergente para alguma probabilidade ν P P p X P q . Queremos ver que ν P M p µ q , ou seja, que π ν µ. Para isso basta ver que π νeµintegram func¸ ˜ oes cont´ ınuas da mesma maneira. Com efeito, dada f P C0 p X q arbitr´ aria temos » f dπ ν » f π dν lim n Ñ8 » f π dνn lim n Ñ8 » f dπ νn lim n Ñ8 » f dµ » f dµ. 2 Dada ψ P Fen P N, escrevemos ψ p n q : n 1 ¸ i 0 ψ Si ψ ψ S ψ Sn 1 e, quando S´ e invert´ ıvel, ψ p n q : n ¸ i 1 ψ S i ψ S 1 ψ S n. Passamos a apresentar o lema que resume o essencial desta secc¸ ˜ ao. Lema 3.6. Sejam ψ P Fec P Rtais que para quase todo o ponto x P X lim sup n Ñ8 1 nψ p n q p x, v q c, para todo v P P. Ent˜ ao a mesma afirmac¸ ˜ ao ´ e v´ alida substituindo o limite superior pelo limite usual. Al´ em disso, a convergˆ encia ´ e uniforme sobre P, mais precisamente, lim n Ñ8 inf u P P 1 nψ p n q p x, v q c lim n Ñ8 sup u P P 1 nψ p n q p x, v q q.t.p.. No caso em que S´ e invert´ ıvel, as mesmas conclus˜ oes s˜ ao v´ alidas tamb´ em quando n Ñ 8 .
FCUP 53 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Prova: Seja In p x q infv P Pψ p n q p x, v q . Tomando um subconjunto enumer´ avel denso t vk u kde P, concluimos que In p x q infkψ p n q p x, vk q ´ e mensur´ avel. Observe-se que | I1 p x q| ¤ } ψx } C0e portanto I1´ e integr´ avel. Al´ em disso, p In q n´ e uma sucess˜ ao superaditiva de func¸ ˜ oes mensur´ aveis com respeito a T, i.e., Im n ¥ Im In Tm, pelo que ´ e poss´ ıvel aplicar o Teorema Erg´ odico Subaditivo de Kingman [A] ` a sucess˜ ao p In q n (que ´ e agora subaditiva) para concluir a convergˆ encia da sucess˜ ao p 1 nIn p x qq npara uma certa constante b P R Y t8u em quase todo o ponto. Para cada x P X, seja un p x q P Pum vetor que minimiza a func¸ ˜ ao cont´ ınua ψ p n q p x, q , ou seja, tal que In p x q ψ p n q p x, un p x qq . Afirmo que ´ e poss´ ıvel escolher una depender de forma mensur´ avel de x. Para isso, considere-se ∆n tp x, v q P X P:ψ p n q p x, v q In p x qu P A B p P q . Claramente, πX p ∆n q X. Pelo Teorema 3.3, existe uma func¸ ˜ ao mensur´ avel un:X Ñ Ptal que p x, un p x qq P ∆n, para todo x P X, como pretendido. Para o natural seguimento da demonstrac¸ ˜ ao, vamos provar a existˆ encia de uma probabilidade S-invariante em X P, atrav´ es dos argumentos carater´ ısticos do Teorema de KrylovBogolubov [B.1]. Nessa linha de ideias, considerem-se as probabilidades ν0 neνnem M p µ q definidas por ν0 n p B q µ pt x P X: p x, un p x qq P B uq e νn 1 n n 1 ¸ i 0 Si ν0 n. Seja p νnj q uma subsucess˜ ao convergente, digamos para ν. Vejamos que ν´ eS-invariante. Para isso, basta ver que, para toda ψ P F, se tem ³ ψ S d ν ³ ψ dν. Com efeito, | ³ ψ S d ν ³ ψ dν | limj | ³ ψ S dνnj ³ ψ dνnj | limj | ³ ψ d p S νnj νnj q| limj | ³ ψ d 1 nj p Snj ν0 nj ν0 nj q| ¤ limj 2 nj ³ } ψx } C0dµ 0.
FCUP 54 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Pela convergˆ encia na topologia fraca*, temos ³ ψ dν limj ³ ψ dνnj. Al´ em disso, ³ ψ dνnj 1 nj ° nj 1 i 0 ³ ψ Sidν0 nj 1 nj ³ ψ p nj q dν0 nj 1 nj ³ ψ p nj q p x, unj p x qq dµ p x q 1 nj ³ Injdµ, pelo que ³ ψ dν limj 1 nj ³ Injdµ b, em virtude do Teorema Erg´ odico Subaditivo. Note-se que o Teorema Erg´ odico de Birkhoff implica que ψ p x, u q : lim n 1 nψ p n q p x, u q existe para ν-quase todo o ponto p x, u q P X P. Uma vez que ψ p n q p x, u q ¥ In p x q , decorre que ψ p x, u q ¥ bem ν-quase todo o ponto. Mais uma vez pelo Teorema de Birkhoff, temos ³ ψ dν ³ ψ dν be portanto ψ bem ν-quase todo o ponto. Por hip´ otese, lim supn Ñ8 1 nψ p n q p x, v q c em ν-quase todo o ponto. Logo b c, ou seja, por definic¸ ˜ ao, lim n Ñ8 inf u P P 1 nψ p n q p x, v q c µ-q.t.p. x P X. Notamos que, em geral, para uma probabilidade S-invariante ν 1 em M p µ q qualquer vale ³ ψ dν 1 ¥ b c, uma vez mais pelo argumento com o Teorema de Birkhoff acima utilizado. Suponhamos agora que S´ e invert´ ıvel (o que ´ e equivalente a Tser invert´ ıvel), mas n˜ ao necessariamente sobrejetiva. Conv´ em notar que S 1´ e tamb´ em ν-invariante e portanto o conjunto dos pontos para os quais a ´ orbita (positiva) por S 1est´ a definida tem probabilidade νtotal - em particular ´ e n˜ ao vazio, pelo que express˜ oes do tipo limn Ñ8 1 ninfv P Pψ p n q p x, v q fazem sentido nalgum conjunto - o mesmo valendo para qualquer outra probabilidade S-invariante. Assim, podemos repetir o racioc´ ınio anterior para S 1, considerando agora in p x q infv P Pψ p n q p x, v q . Analogamente, obtemos uma probabilidade S-invariante ν 1 tal que lim n Ñ8 1 ninf v P Pψ p n q p x, v q » ψ dν 1 ¥ cq.t.p.. Com um argumento adaptado para Sn p x q supu P Pψ p n q p x, v q , se provaria que lim n Ñ8 sup u P P 1 nψ p n q p x, v q cq.t.p. e lim n Ñ8 sup u P P 1 nψ p n q p x, v q ¤ cq.t.p.. Isto conclui a demonstrac¸ ˜ ao. 2
FCUP 55 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Nota 3.5. Se na hip´ otese do resultado acima coloc´ assemos lim supn Ñ8 1 nψ p n q p x, v q ¥ c(respetivamente, lim supn Ñ8 1 nψ p n q p x, v q ¤ c), poder´ ıamos concluir limn Ñ8 infu P P 1 nψ p n q p x, v q ¥ c (respetivamente, limn Ñ8 supu P P 1 nψ p n q p x, v q ¤ c), onde n Ñ 8 ´ e permitido se Sfor invert´ ıvel. 3.4 Fibrado minimal Vk Ap´ os uma digress˜ ao geral, retornamos ao Corol´ ario 3.1, que fornecia os expoentes de Lyapunov λ1 ¡ ¡ λke os subespac¸os V1 x ¡ ¡ Vk x. Para aplicar a teoria desenvolvida na secc¸ ˜ ao precedente, concentramos a nossa atenc¸ ˜ ao no menor expoente λmin p A q λke no fibrado vetorial mensur´ avel Ex Vk xque tem dimens˜ ao positiva dim E m. Denot´ a-lo-emos por fibrado minimal. Em virtude do mesmo corol´ ario, E´ e invariante e temos lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q | E p x q v } λmin p A q ,para q.t.p. x P Xe todo v P Ex zt 0 u . Na verdade, vale algo mais forte, de acordo com o seguinte Lema 3.7. Para quase todo o ponto x P Xe todo v P Ex zt 0 u , tem-se lim n Ñ8 1 nlog } A p n q | E p x q v } λmin p A q . Se, adicionalmente, Tfor invert´ ıvel, vale a mesma conclus˜ ao tamb´ em quando n Ñ 8 . Em qualquer caso, a convergˆ encia ´ e uniforme sobre Bx: t v P Ex: } v } 1 u . Os expoentes de Lyapunov dependem essencialmente da direc¸ ˜ ao dos vetores da fibra, n˜ ao da sua magnitude. Por essa raz˜ ao, para captarmos a informac¸ ˜ ao importante da dinˆ amica bastanos olhar para um espac¸o de direc¸ ˜ oes, a saber, o espac¸o projetivo euclideano P p Rn q . Prova: Sem perda de generalidade, podemos assumir Ex Rm(ver Nota 3.4). Seja P P p Rm q o espac¸o projetivo de RmeS:X P Ñ X Pocociclo projetivo sobre Tinduzido em X P por A | E, ou seja, o cociclo definido por S p x, r v sq p T p x q , r A | E p x q v sq , onde r v s P Pdesigna a classe de v P Rm. Considere-se ainda a func¸ ˜ ao ψ:X P Ñ Rdada por ψ p x, r v sq log } A | E p x q v } } v } . Note-se que tais func¸ ˜ oes se encontram bem definidas, i.e., n˜ ao
FCUP 56 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Figura 3.1: ESPAC¸ O PROJETIVO NO PLANO IDENTIFICADO COM A RETA Y=1 dependem do representante v P Rmescolhido. Da igualdade 1 nψ p n q p x, r v sq 1 n n 1 ¸ j 0 log } A p j 1 q | E p x q v } } A p j q | E p x q v } 1 nlog } A p n q | E p x q v } } v } retira-se imediatamente que lim sup n Ñ8 1 nψ p n q p x, r v sq λmin p A q ,para q.t.p. x P Xe todo r v s P P. Pelo Lema 3.6, o limite superior pode ser trocado pelo limite usual. Noutros termos, lim n Ñ8 1 nlog } A p n q | E p x q v } λmin p A q ,para q.t.p. x P Xe todo v P Ex (onde n Ñ 8 se Tfor invert´ ıvel). Decorre do mesmo lema e do facto do logaritmo ser crescente, a convergˆ encia uniforme sobre vetores unit´ arios, traduzida pelas igualdades lim n Ñ8 1 nlog } A p n q | E p x q} lim n Ñ8 1 nlog m p A p n q | E p x qq λmin p A q . 2
FCUP 57 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Se k 1, a demonstrac¸ ˜ ao do teorema terminaria aqui. Em geral, necessitamos de estabelecer a existˆ encia dos limites nos restantes fibrados VjeEj,1 ¤ j ¤ k 1. Isso ser´ a o trabalho das secc¸ ˜ oes seguintes, separando o caso das transformac¸ ˜ oes gerais do das invert´ ıveis. 3.4.1 Expoentes de Lyapunov extremais Antes de prosseguirmos, faremos uma pequena observac¸ ˜ ao respeitante aos expoentes de Lyapunov extremais λmin p A q λkeλmax p A q λ1e a sua relac¸ ˜ ao com o Teorema de Furstenberg-Kesten (Teorema 1.1), o que ser´ a´ util futuramente. Com as ideias atr´ as apresentadas, podemos provar que Lema 3.8. Para quase todo o ponto x P X, tem-se lim n Ñ8 1 nlog m p A p n q p x qq λmin p A q elim n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q} λmax p A q . Prova: Provaremos apenas a primeira igualdade, sendo a outra inteiramente an´ aloga. Pelo Corol´ ario 3.1, j´ a sabemos que lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } ¥ λmin p A q ,para q.t.p. x P Xe todo v P Rd zt 0 u . Usando a informac¸ ˜ ao contida na Nota 3.5 e as ideias da demonstrac¸ ˜ ao do Lema 3.7 que envolvem a reduc¸ ˜ ao da dinˆ amica ao espac¸o projetivo, obtemos lim n Ñ8 1 nlog m p A p n q p x qq ¥ λmin p A q ,para q.t.p. x P X. Por outro lado, uma vez que m p A p n q p x qq } v }¤} A p n q p x q v } , tomando v P Vk x zt 0 u , decorre lim sup n Ñ8 1 nlog m p A p n q p x qq ¤ λmin p A q ,para q.t.p. x P X. Com isto fica provado o lema. 2 Nota 3.6. Quando T´ e invert´ ıvel, valem tamb´ em as f´ ormulas lim n Ñ8 1 nlog m p A p n q p x qq λmax p A q elim n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q} λmin p A q , uma vez que m p A p n q p x qq } A p n q p x q} 1.
FCUP 58 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO 3.5 Crescimento subexponencial Nesta secc¸ ˜ ao, desenvolveremos t´ ecnicas para lidar com informac¸ ˜ ao assint´ otica do tipo da que ´ e dada pelos expoentes de Lyapunov. Principiamos com a noc¸ ˜ ao quintessencial. Definic¸ ˜ ao 3.1. Uma func¸ ˜ ao mensur´ avel φ:X Ñ Rdiz-se ter crescimento subexponencial para uma probabilidade µe uma transformac¸ ˜ ao T:X Ñ X, se lim n Ñ8 1 nφ Tn 0µ-q.t.p.. A presenc¸a de comportamento subexponencial torna certas quantidades neglig´ ıveis do ponto de vista da presente teoria, pelo que ´ e´ util saber com que frequˆ encia isso sucede. Temos a seguinte condic¸ ˜ ao (comparar com a Proposic¸ ˜ ao 2.1, onde ´ e usada uma hip´ otese mais forte). Lema 3.9. Seja Y Xum conjunto mensur´ avel T-invariante e φ:Y Ñ Ruma func¸ ˜ ao mensur´ avel tal que φ T φ´ e semi-integr´ avel. Ent˜ ao lim n Ñ8 1 nφ Tn p x q 0,para q.t.p. x P Y. Se Tfor invert´ ıvel, vale tamb´ em lim n Ñ8 1 | n | φ Tn p x q 0,para q.t.p. x P Y. Prova: Seja ψ φ T φe denotemos por ψ o limite das m´ edias temporais de Birkhoff de ψ. Pelo Teorema Erg´ odico Subaditivo de Kingman [A], temos 1 nφ Tn 1 nφ 1 n n 1 ¸ i 0 ψ Tj Ñ ψ ,para q.t.p. x P Y. Vejamos que ψ 0, para quase todo o ponto x P Y. Dado um natural k, considere-se Yk: t x P Y: | φ p x q| ¤ k u . Claramente, Y 8 k 1Yk. Pelo Teorema da Recorrˆ encia de Poincar´ e, para quase todo x P Yk, existem naturais n1 p x q n2 p x q tais que Tni p x q p x q P Yk pô | φ p Tni p x q p x qq| ¤ k q , para todo i P N. Logo, lim inf n Ñ8 1 nφ Tn p x q 0,para quase todo x P 8 k 1Yk Y ,
FCUP 59 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO o que implica o pretendido. Quando T´ e invert´ ıvel, a func¸ ˜ ao φ T 1 φ´ e semi-integr´ avel e portanto aplica-se a argumentac¸ ˜ ao anterior. 2 Vamos aplicar o resultado anterior no contexto do Teorema de Oseledets, substanciando a condic¸ ˜ ao de integrabilidade log } A 1 } P L1 p µ q , at´ e agora quase oculta. Usualmente, consideramos φ log } A } e func¸ ˜ oes do tipo C p x q sup n ¥ 0 e n } A p n q p x q} . O ponto crucial aqui ´ e que na presenc¸a de comportamento subexponencial tais func¸ ˜ oes s˜ ao finitas q.t.p e, nessas circunstˆ ancias, valem majorac¸ ˜ oes do g´ enero } A p n q p x q} ¤ C p x q en,para todo n P N, que nos permitem avaliar o comportamento da norma dos iterados em termos da exponencial. O pr´ oximo resultado generalizar´ a um pouco mais estas ideias, onde M p R, d q designa o conjunto das matrizes quadradas de dimens˜ ao dcom entradas no corpo dos n´ umeros reais. Lema 3.10. Seja B:X Ñ M p R, d q uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel tal que log } B } P L1 p µ q . Suponha-se que γ P Rsatisfaz lim sup n Ñ8 1 nlog } B p n q p x q} ¤ γq.t.p.. (3.2) Ent˜ ao para todo ¡ 0existe uma func¸ ˜ ao mensur´ avel b:X Ñ R tal que } B p n q p Tix q} ¤ b p x q e p γ q n | i | , para quase todo x P X, todo n ¥ 0ei P N0ou i P Z(se Tfor invert´ ıvel). Nota 3.7. Sob a hip´ otese de integrabilidade log } B } P L1 p µ q , o Teorema Erg´ odico Subaditivo assegura sempre a existˆ encia de um tal γ P R. De facto, como estamos a supor que a probabilidade ´ e erg´ odica, existe θ P R Y t8u tal que lim n Ñ8 1 nlog } B p n q p x q} θq.t.p.. Basta tomar algum γ ¥ θ.
FCUP 60 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Prova: Seja ¡ 0escolhido ao arb´ ıtrio e Yo conjunto T-invariante de probabilidade total dos pontos onde vale a hip´ otese em (3.2). A func¸ ˜ ao c:Y Ñ r 1, 8q definida por c p x q sup n ¥ 0 e p γ q n } B p n q p x q} ´ e mensur´ avel. Decorre diretamente da definic¸ ˜ ao que } B p n q p x q} ¤ c p x q e p γ q n, para todo n P N. Al´ em disso, c p x q ¤ max t 1, e p γ q } B p x q}u c p Tx q e portanto, tomando os logaritmos, temos log c p Tx q log c p x q¥ max t log } B p x q} p γ q ,0 u . Desse modo, log c T log c´ e integr´ avel em sentido lato e, pelo Lema 3.9, conclui-se que lim i Ñ8 1 ilog c p Tix q 0,para q.t.p. x P Y(ou x P X) (3.3) (onde i Ñ 8 somente se Tfor invert´ ıvel). Por fim, aplicamos a ideia do supremo outra vez: considere-se o conjunto T-invariante de probabilidade total Z Yonde (3.3) vale e defina-se b:Z Ñ R pela f´ ormula b p x q sup i P N0,Z e | i | c p Tix q . Por definic¸ ˜ ao, c p Tix q ¤ b p x q e | i | , para todo i P N0,Z. Assim, } B p n q p Tix q} ¤ c p Tix q e p γ q n ¤ b p x q e p γ q n | i | , para quase todo x P Z, todo n ¥ 0ei P N0,Z. Extendendo ba uma func¸ ˜ ao mensur´ avel definida em X, o resultado segue. 2 Nota 3.8. Quando Bn˜ ao toma valores no conjunto das matrizes quadradas, n˜ ao podemos falar de B p n q p x q e aplicar estritamente as conclus˜ oes do lema anterior. Mas, sob a condic¸ ˜ ao de integrabilidade log } B } P L1 p µ q , podemos ainda assim assegurar a existˆ encia de uma func¸ ˜ ao b:X Ñ R tal que } B p Tix q} ¤ b p x q e | i | ,para q.t.p. x P Xe todo i P N0,Z, ou seja, crescimento subexponencial para log } B } .
FCUP 61 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO 3.6 Vers˜ ao unilateral Nesta secc¸ ˜ ao, vamos provar o Teorema de Oseledets no caso das transformac¸ ˜ oes gerais, n˜ ao necessariamente invert´ ıveis. Para obtermos os expoentes como limites uniformes nos fibrados Vidiferentes do fibrado minimal E Vk, necessitaremos contudo de mais algumas ferramentas. Assumiremos, sem perda de generalidade, que a norma em Rdvem de um produto interno x , y . Uma tal suposic¸ ˜ ao permitir´ a falar de ortogonalidade, uma noc¸ ˜ ao especialmente vantajosa para os c´ alculos. O panorama geral ´ e o seguinte: consideramos U t Ux u x P XeV t Vx u x P X subfibrados mensur´ aveis A-invariantes de X Rd, de dimens˜ ao constante, satisfazendo Ux Vx para todo x P X(ou para todo xnum conjunto de probabilidade total). Usando o produto interno, introduzimos o fibrado mensur´ avel W t Wx u x P Xdefinido como o complemento ortogonal de Uem Vde modo que Vx Wx k Ux(soma direta ortogonal) para todo x P X. Note-se que Wn˜ ao ´ ede antem˜ ao A-invariante. Com respeito a esta decomposic¸ ˜ ao, podemos representar matricialmente A | Vpor A | V B0 C A | U , representac¸ ˜ ao essa a ser interpretada da seguinte maneira: B:W Ñ WeC:W Ñ Us˜ ao os morfismos induzidos por Aatrav´ es das express˜ oes B ρW AeC ρU A, onde ρWeρUs˜ ao as projec¸ ˜ oes ortogonais nos fibrados indexados. Deste modo, Bdefine um novo cociclo e o problema ´ e agora relacionar os expoentes de Lyapunov de Bcom os de A | V. O pr´ oximo resultado, baseado em [41], resolve (parcialmente) esta quest˜ ao, sob a hip´ otese dos expoentes de Lyapunov serem menores no fibrado U, a situac¸ ˜ ao relevante neste contexto. Adotamos a convenc¸ ˜ ao de designar por u, w evelementos gen´ ericos de Ux, Wxe Vx, respetivamente. Lema 3.11. Seja λum n´ umero real tal que, para quase todo o ponto x P X, lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q u } ¤ λ, para todo u P Ux, e lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } ¡ λ, para todo v P Vx z Ux.
FCUP 68 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO Figura 3.2: DESIGUALDADE o que prova a primeira desigualdade. A outra ´ e an´ aloga escolhendo β x v, w y{} v } 2.2 Estamos agora em condic¸ ˜ oes de provar a Proposic¸ ˜ ao 3.4. Prova: Sejam IeJdois subconjuntos disjuntos n˜ ao vazios de t 1, . . . , k u . Seja Yo conjunto T-invariante de probabilidade total de pontos regulares cuja existˆ encia foi provada. A func¸ ˜ ao φ:Y Ñ Rdada por φ p x q log sin ? p À i P IEi x, À j P JEj x q ´ e mensur´ avel. Pela Proposic¸ ˜ ao 3.5, | φ p Tx q φ p x q| ¤ log } A p x q} log } A p x q 1 } e portanto, pela condic¸ ˜ ao de integrabilidade do Teorema de Oseledets, a func¸ ˜ ao φ T φ´ e integr´ avel. Pelo Lema 3.9, temos φ p Tnx q{ n Ñ 0, para quase todo ponto x P Y(ou x P X). Isto conclui a demonstrac¸ ˜ ao. 2 3.7.2 Unicidade das decomposic¸ ˜ oes de Oseledets Por fim, complementamos este estudo com a verificac¸ ˜ ao da unicidade das decomposic¸ ˜ oes de Oseledets, num ˆ ambito um pouco mais geral do que o do teorema (i.e., mostramos tamb´ em a unicidade dos expoentes em x, do qual, em geral, dependem). Sejam λ1 p x q ¡ ¡ λk p x q os expoentes de Lyapunov e Rd E1 x ` ` Ek x
FCUP 69 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO uma decomposic¸ ˜ ao de Oseledets de um ponto regular x P X. Note-se que t λ1 p x q , . . . , λk p x qu t λ P R:λ lim n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } para algum v P Rd u e portanto os expoentes de Lyapunov est˜ ao unicamente determinados. Detalhamos um pouco mais a unicidade dos subespac¸os. Dado um vetor arbitr´ ario v P Rd zt 0 u , escrevemos v ° k i 1vi, onde vi P Ei x. Pela propriedade de dominac¸ ˜ ao do maior expoente (ver Lema 3.3), temos lim n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } λm p x q , onde m´ e o menor ´ ındice ital que vi 0. Por um racioc´ ınio an´ alogo, lim n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } λM p x q , onde M´ e o maior ´ ındice ital que vi 0. Logo, lim n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } lim n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } ô m M ô v P Ei x, para algum 1 ¤ i ¤ k. Daqui segue a unicidade das decomposic¸ ˜ oes.
FCUP 70 CAP´ ITULO 3. TEOREMA ERG ´ ODICO MULTIPLICATIVO
Apˆ endice A Medida e Integrac¸ ˜ ao Neste apˆ endice, mencionamos as definic¸ ˜ oes e ferramentas b´ asicas da Teoria da Medida e Integrac¸ ˜ ao. N˜ ao faremos uma exposic¸ ˜ ao exaustiva, mas somente aquela que achamos oportuna sem, regra geral, incluirmos demonstrac¸ ˜ oes. Os textos principais que recomendamos como base e complemento ao que aqui se apresenta s˜ ao [1], [8] e [27], sendo o interm´ edio o mais abrangente neste t´ opico. A.1 Espac¸os mensur´ aveis Ao longo deste apˆ endice, Xdesigna um conjunto e Auma fam´ ılia de subconjuntos (partes) de X. Definic¸ ˜ ao A.1. Dizemos que A´ e uma σ-´ algebra de X, se forem satisfeitas as seguintes condic¸ ˜ oes: 1. H P A, 2. se A P A, ent˜ ao X z A P Ae 3. se t Ai u i P N A, ent˜ ao i P NAi P A. Fica claro da sua definic¸ ˜ ao que qualquer σ-´ algebra A´ e uma colec¸ ˜ ao n˜ ao vazia que cont´ em X. Por completude, citaremos mais algumas das propriedades de fecho satisfeitas por σ- ´ algebras, que se podem deduzir das acima enunciadas. Proposic¸ ˜ ao A.1. Sejam t Ai u i P Nelementos de A. Ent˜ ao 71
FCUP 72 AP ˆ ENDICE A. MEDIDA E INTEGRAC¸ ˜ AO Ai z Aj, n ¤ i 1 Ai, n £ i 1 Aie £ i P N Ai s˜ ao ainda elementos de A. Por exemplo, tH , X u eP p X q s˜ ao trivialmente σ-´ algebras de qualquer conjunto Xe s˜ ao, respetivamente, a menor e a maior no sentido de inclus˜ ao. ´ E facto elementar que a intersec¸ ˜ ao arbitr´ aria de σ-´ algebras ´ e ainda uma σ-´ algebra. Estas duas observac¸ ˜ oes motivam a seguinte definic¸ ˜ ao. Definic¸ ˜ ao A.2. Dada uma fam´ ılia Cde subconjuntos de X, definimos a σ-´ algebra gerada por Ccomo a intersec¸ ˜ ao (n˜ ao vazia) de todas as σ-´ algebras que contem Cou, equivalentemente, como a menor σ-´ algebra que contem Cno sentido da inclus˜ ao. Um exemplo que merece especial destaque s˜ ao as σ-´ algebras definidas em espac¸os topol´ ogicos. Exemplo A.1. Se Xfor um espac¸o topol´ ogico, designamos por σ-´ algebra de Borel aσ-´ algebra gerada pelos subconjuntos abertos (ou fechados) de X. Os seus elementos designam-se por borelianos. Por definic¸ ˜ ao, qualquer aberto ´ e um boreliano, mas em geral n˜ ao vale o rec´ ıproco, i.e., a topologia est´ a contida (estritamente, em geral) na σ-´ algebra de Borel. Quando A´ e uma σ-´ algebra de X, dizemos que o par p X, A q ´ e um espac¸o mensur´ avel, e aos elementos de Achamamos conjuntos mensur´ aveis. A.2 Espac¸os de medida Os espac¸os mensur´ aveis s˜ ao os ambientes ideais para se definir aquilo que se entende por uma medida. Definic¸ ˜ ao A.3. Uma func¸ ˜ ao µ:A Ñ r 0, 8s diz-se uma medida, se forem v´ alidas as seguintes condic¸ ˜ oes: 1. µ pHq 0e 2. µ p i P NAi q ° 8 i 1µ p Ai q sempre que os conjuntos Aiforem dois a dois disjuntos.
FCUP 73 AP ˆ ENDICE A. MEDIDA E INTEGRAC¸ ˜ AO A propriedade p 2 q ´ e conhecida como a σ-aditividade da medida. O conceito de medida pode ainda englobar valores negativos (medidas com sinal), mas isso n˜ ao ´ e objeto da presente dissertac¸ ˜ ao. Exemplo A.2. Seja Xum conjunto qualquer e A P p X q aσ-´ algebra das partes de X. Fixado p P X, considere-se a func¸ ˜ ao δp:A Ñ t 0,1 u definida por δp p A q $ & % 1se p P A 0se p R A . Esta func¸ ˜ ao define uma medida conhecida como a medida de Dirac concentrada em p. H´ a dois tipos de medidas que assumem um papel de relevo na teoria: um deles s˜ ao as medidas finitas - aquelas que satisfazem µ p X q8 - com especial ˆ enfase para as medidas de probabilidade, i.e., aquelas que satisfazem µ p X q 1; o outro s˜ ao as medidas σ-finitas, ou seja, aquelas para as quais existe uma sucess˜ ao de subconjuntos p An q n P Nde Xtais que µ p Ai q8 para todo i P NeX 8 i 1Ai.´ E frequente em aplicac¸ ˜ oes provar certos resultados para medidas finitas e depois extendˆ e-los para medidas σ-finitas. ´ E poss´ ıvel provar da definic¸ ˜ ao que qualquer medida satisfaz as propriedades seguintes: Proposic¸ ˜ ao A.2. Sejam t Ai u i P N A. Ent˜ ao 1. se Ai Aj, ent˜ ao µ p Ai q ¤ µ p Aj q (monotonia); 2. se A1, . . . , Ans˜ ao dois a dois disjuntos, ent˜ ao µ p n i 1Ai q ° n i 1µ p Ai q (aditividade); 3. µ p i P NAi q ¤ ° 8 i 1µ p Ai q (σ-subaditividade); 4. se Aj Aj 1, ent˜ ao µ p 8 i 1Ai q limn Ñ8 µ p Ai q (continuidade); 5. se Aj Aj 1eµ p A1 q8 , ent˜ ao µ p 8 i 1Ai q limn Ñ8 µ p Ai q (continuidade). O pr´ oximo resultado, conhecido como o Lema de Borel-Cantelli,´ e muito usado em Teoria das Probabilidades e deduz-se das propriedades acima. Teorema A.1. Seja µuma probabilidade definida numa σ-´ algebra Ade conjuntos de X, p An q n P N uma sucess˜ ao de conjuntos mensur´ aveis e A lim sup n Ñ8 An: 8 £ k 1 8 ¤ n k An
FCUP 74 AP ˆ ENDICE A. MEDIDA E INTEGRAC¸ ˜ AO o conjunto dos pontos x P Xque pertencem a Anpara infinitos valores de n. Nestas hip´ oteses, se ° n P Nµ p An q8 , ent˜ ao µ p A q 0. Dizemos que uma propriedade ´ et´ ıpica ou gen´ erica em X(do ponto de vista da medida) se vale em µ-quase todo o ponto (abreviado para µ-q.t.p.), i.e., o conjunto dos pontos onde ela n˜ ao vale tem medida nula. Conjuntos de medida total s˜ ao nesta perspetiva os conjuntos grandes. Isto ´ e o an´ alogo do caso topol´ ogico, em que as propriedades t´ ıpicas (ou gen´ ericas) s˜ ao aquelas que valem numa intersec¸ ˜ ao numer´ avel de abertos densos (conjuntos residuais ou gen´ ericos) que, como se sabe, ´ e ainda densa em espac¸os de Baire. Conjuntos de medida nula, tamb´ em ditos conjuntos nulos, desempenham um papel an´ alogo aos conjuntos de primeira categoria de Baire, onde se incluem os complementares dos residuais, no sentido em que s˜ ao ambos pequenos nas respetivas ´ oticas. Salientamos que estas noc¸ ˜ oes de generecidade n˜ ao s˜ ao em geral coincidentes, no caso em que a estrutura mensur´ avel ´ e compat´ ıvel com a topol´ ogica, como se pode constatar no conjunto dos pontos regulares de certos difeomorfismos. Definic¸ ˜ ao A.4. Dizemos que o terno p X, A, µ q ´ e um espac¸o de medida, quando µ´ e uma medida definida na σ-´ algebra Ade subconjuntos de X. Exemplo A.3. Dados dois espac¸os de medida p X, A, µ q e p Y, B, ν q , existe uma estrutura natural de espac¸o de medida no produto X Ymunido com a σ-´ algebra A b Be medida µ b νprodutos (ver a construc¸ ˜ ao em [1], [8] ou [27]). Em particular, µ b ν p A B q µ p A q ν p B q ,para todo A P AeB P B. Exemplo A.4. Um espac¸o de medida importante ´ e aquele em que X Rd,Aaσ-´ algebra dos borelianos e µ λa medida de Lebesgue (ver [1], [8] ou [27] para a sua construc¸ ˜ ao). Na verdade, a medida de Lebesgue pode ser estendida coerentemente a uma fam´ ılia estritamente maior do que a classe dos borelianos, dita a classe dos conjuntos mensur´ aveis de Lebesgue. Definic¸ ˜ ao A.5. Um espac¸o de medida diz-se completo, se todo o subconjunto de um conjunto nulo ´ e tamb´ em mensur´ avel. Todo o espac¸o de medida pode ser transformado num espac¸o completo, atrav´ es dum processo conhecido como o completamento (de Lebesgue) (ver descric¸ ˜ ao em [8]).
FCUP 75 AP ˆ ENDICE A. MEDIDA E INTEGRAC¸ ˜ AO Exemplo A.5. O espac¸o do exemplo A.4 munido com a σ-´ algebra dos conjuntos Lebesguemensur´ aveis ´ e o completado do mesmo espac¸o munido com a σ-´ algebra dos borelianos. Usamos a notac¸ ˜ ao Aµpara a σ-´ algebra completada de Aem relac¸ ˜ ao ` a medida µ. Introduzimos agora a noc¸ ˜ ao de equivalˆ encia natural entre espac¸os de medida (ver [8]). Definic¸ ˜ ao A.6. Sejam p X, A, µ q e p Y, B, ν q espac¸os de medida. Um isomorfismo pontual entre estes espac¸os ´ e uma bijec¸ ˜ ao T:X Ñ Ytal que •T p A q B, ou seja, A P AeB P Bs˜ ao equivalentes, sempre que T p A q B, e •µ T 1 p B q ν p B q , para todo B P B. Como frequentemente estamos apenas preocupados com o que acontece em subconjuntos de probabilidade total, a seguinte noc¸ ˜ ao de isomorfismo revela-se a mais adequada. Definic¸ ˜ ao A.7. Sejam p X, A, µ q e p Y, B, ν q espac¸os de medida. Estes espac¸os dizem-se isomorfos mod 0 se existirem conjuntos N P AµeM P Bνcom µ p N q ν p M q 0e um isomorfismo pontual T:X z N Ñ Y z M, onde X z NeY z Mse encontram munidos com as restric¸ ˜ oes de µ,ν e das σ-´ algebras Aµ,Bνrespetivamente. Assim, o intuito ´ e classificar os espac¸os de medida a menos de isomorfismo. Uma classe muito importante de espac¸os de probabilidade foi estudada por V. Rohlin que lhes chamou espac¸os de Lebesgue. A definic¸ ˜ ao que apresentamos ´ e j´ a consequˆ encia de definic¸ ˜ oes mais intr´ ınsecas destes espac¸os, mas, em termos pr´ aticos, uma das mais vulgares. Definic¸ ˜ ao A.8. Um espac¸o de probabilidade p X, A, µ q diz-se um espac¸o de Lebesgue-Rohlin se for isomorfo mod 0 ao intervalo r 0,1 s com a medida ν cλ ° 8 n 1αnδ1 { n, onde c 1 ° 8 i 1αn, αn µ p an q e t an u n P N´ e a fam´ ılia dos ´ atomos de µ(i.e., pontos com medida positiva). Poder´ ıamos tomar como modelo de espac¸o de Lebesgue qualquer espac¸o m´ etrico compacto com uma probabilidade boreliana (completada), e mais geralmente qualquer espac¸o de Haussdorff separ´ avel e localmente compacto (ver [17], pp. 759). A.3 Func¸ ˜ oes mensur´ aveis As func¸ ˜ oes mensur´ aveis desempenham na Teoria de Medida um papel semelhante ao que as func¸ ˜ oes cont´ ınuas desempenham na Topologia, paralelo j´ a evidente na sua definic¸ ˜ ao.
FCUP 76 AP ˆ ENDICE A. MEDIDA E INTEGRAC¸ ˜ AO Definic¸ ˜ ao A.9. Sejam p X, A q e p Y, B q dois espac¸os mensur´ aveis. Uma func¸ ˜ ao f:X Ñ Ydiz-se p A,B q -mensur´ avel (ou simplesmente mensur´ avel se as σ-´ algebras estiverem subentendidas), se f 1 p B q P A,para todo B P B. Para aqui, interessar´ a especialmente o caso em que Y R(ou R R Y t8u ) e B´ e a σ-´ algebra dos borelianos (eventualmente acrescentados com t8u na quando Y R). Nesse caso, a mensurabilidade de f´ e equivalente ` a mensurabilidade dos conjuntos f 1 pp8 , c sq para c P R. O pr´ oximo exemplo introduz uma classe importante de func¸ ˜ oes mensur´ aveis, uma das mais simples depois das func¸ ˜ oes constantes. Exemplo A.6. Dado um conjunto B X, definimos a func¸ ˜ ao carater´ ıstica de Bpor χB p x q $ & % 1se x P B 0se x R B . Note-se que χB´ e mensur´ avel se e somente se Bfor mensur´ avel pois, para todo A R, temos χ 1 B p A q P tH , B, X z B, X u . Listamos algumas das propriedades mais importantes de que fizemos uso implicitamente ao longo do texto. Proposic¸ ˜ ao A.3. Sejam f, g :X Ñ r8 , 8s func¸ ˜ oes mensur´ aveis e a, b P R. Ent˜ ao s˜ ao mensur´ aveis p af bg qp x q : af p x q bg p x q e p f g qp x q f p x q g p x q . Al´ em disso, se fn:X Ñ r8 , 8s for uma sucess˜ ao de func¸ ˜ oes mensur´ aveis, s˜ ao ainda mensur´ aveis as func¸ ˜ oes s p x q : sup n P N fn p x q , i p x q inf n P Nfn p x q , f p x q : lim sup n Ñ8 fn p x q ef p x q : lim inf n Ñ8 fn p x q Em particular, se f p x q limnfn p x q existir, ent˜ ao ´ e mensur´ avel. Segue da proposic¸ ˜ ao anterior, a mensurabilidade da seguinte classe de func¸ ˜ oes que extende as func¸ ˜ oes carater´ ısticas, tamb´ em ela muito importante.
FCUP 77 AP ˆ ENDICE A. MEDIDA E INTEGRAC¸ ˜ AO Exemplo A.7. Uma func¸ ˜ ao s:X Ñ Rdiz-se simples, se existirem constantes α1, . . . , αk P Re conjuntos mensur´ aveis mutuamente disjuntos A1, . . . , Ak P Btais que s k ¸ i 1 αiχAi. No sentido inverso, toda a func¸ ˜ ao mensur´ avel ´ e limite de uma sucess˜ ao de func¸ ˜ oes simples, de acordo com a seguinte Proposic¸ ˜ ao A.4. Seja f:X Ñ r8 , 8s uma func¸ ˜ ao mensur´ avel. Ent˜ ao existe uma sucess˜ ao de func¸ ˜ oes simples p sn q ntais que | sn |¤| f | , para todo n, e lim n Ñ8 sn p x q f p x q ,para todo x P X. Se f´ e n˜ ao-negativa, podemos tomar 0 ¤ s1 ¤ s2 ¤ ¤ f. A.4 Integrac¸ ˜ ao Faremos aqui uma breve revis˜ ao da contruc¸ ˜ ao da integral de Lebesgue, que pode ser vista nas fontes citadas no in´ ıcio deste apˆ endice. Principiamos pela definic¸ ˜ ao da integral nas func¸ ˜ oes simples, extendendo-a progressivamente ` as func¸ ˜ oes mensur´ aveis. Mantemo-nos no ambiente dum espac¸o de medida p X, A, µ q . Definic¸ ˜ ao A.10. Seja s ° k i 1αiχAiuma func¸ ˜ ao simples. Define-se a integral (de Lebesgue) de sem relac¸ ˜ ao a µcomo » s dµ k ¸ i i αiµ p Ai q . Usando a Proposic¸ ˜ ao A.4, podemos extender coerentemente esta definic¸ ˜ ao de integral para func¸ ˜ oes mensur´ aveis n˜ ao-negativas. Definic¸ ˜ ao A.11. Seja f:X Ñ r 0, 8s uma func¸ ˜ ao mensur´ avel n˜ ao negativa. Define-se a integral de fpor » f dµ lim n Ñ8 » sndµ, onde 0 ¤ s1 ¤ s2 ¤ ´ e uma sucess˜ ao n˜ ao decrescente de func¸ ˜ oes simples tais que limnsn p x q f p x q , para todo x P X.
FCUP 84 AP ˆ ENDICE B. TEORIA ERG ´ ODICA Durante o texto mencionamos a topologia fraca*. Uma boa descric¸ ˜ ao desta topologia (atrav´ es da An´ alise funcional: espac¸os duais, Teorema da Representac¸ ˜ ao de Riesz, Teorema de BanachAlaoglu, etc.) ´ e feita em [27]. De facto, a partir dum argumento de ponto fixo do pullback nesta topologia, pode-se deduzir o seguinte teorema. Teorema B.1. (Krylov-Bogolubov) Qualquer transformac¸ ˜ ao cont´ ınua de um espac¸o m´ etrico compacto possui alguma medida de probabilidade de Borel invariante. B.2 Ergodicidade O espac¸o das probabilidades invariantes por Tpossui uma estrutura natural de espac¸o vetorial real convexo. Os extremos desse convexo, que passamos a apresentar, s˜ ao o elemento central da Teoria Erg´ odica. Um conjunto mensur´ avel A Xdiz-se T-invariante, se T 1 p A q A. Definic¸ ˜ ao B.2. Uma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel T:X Ñ Xdiz-se erg´ odica para uma probabilidade invariante µ, se, para todo o conjunto T-invariante A, valer µ p A q 0ou µ p A q 1. Tamb´ em se diz que a medida µ´ e erg´ odica para Tou que o sistema p X, A, µ, T q ´ e erg´ odico, com o mesmo significado. A ergodicidade de uma transformac¸ ˜ ao traduz-se na impossibilidade de decompor o sistema em duas partes invariantes com significado essencial do ponto de vista da medida invariante (i.e., medida positiva), desempenhando um papel an´ alogo ao dos sistemas minimais em Dinˆ amica topol´ ogica, ou os n´ umeros primos em Teoria dos N´ umeros. H´ a v´ arias caraterizac¸ ˜ oes equivalentes da ergodicidade, ´ uteis em termos pr´ aticos. Nesta linha de ideias, dizemos que uma func¸ ˜ ao mensur´ avel φ:X Ñ R´ eT-invariante, se φ T φ, e dizemos que ´ e p T, µ q -invariante, se a invariˆ ancia se d´ a em µ-q.t.p.. Proposic¸ ˜ ao B.2. Seja T:X Ñ Xuma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel que preserva a probabilidade µ. Ent˜ ao s˜ ao equivalentes: 1. O sistema p T, µ q ´ e erg´ odico. 2. Toda a func¸ ˜ ao φ:X Ñ Rmensur´ avel T-invariante ´ e constante num conjunto de probabilidade total.
FCUP 85 AP ˆ ENDICE B. TEORIA ERG ´ ODICA 3. Toda a func¸ ˜ ao φ P L1 p µ q satisfaz lim n Ñ8 1 n n 1 ¸ i 0 φ Ti p x q » φ dµ µ-q.t.p.. A validade da proposic¸ ˜ ao acima permanece inalterada se substituirmos a T-invariˆ ancia pela p T, µ q -invariˆ ancia. Uma longa lista de crit´ erios alternativos se poderia adicionar (ver [27]). B.2.1 Resultados cl´ assicos Referimos os resultados cl´ assicos que marcaram os in´ ıcios desta disciplina: o Teorema da Recorrˆ encia de Poincar´ ee o Teorema Erg´ odico de Birkhoff. Estes surgiram em diversos pontos do texto, integrando partes de demonstrac¸ ˜ oes, pelo que ´ e conveniente a sua menc¸ ˜ ao. Teorema B.2. (Recorrˆ encia de Poincar´ e) Sejam p X, A, µ q um espac¸o de probabilidade e T: X Ñ Xuma transformac¸ ˜ ao que preserva µ. Ent˜ ao, para todo A P A, a ´ orbita de quase todo o ponto de Aretorna infinitas vezes a A. Mais precisamente, se Ar t x P A:Tnx P Apara infinitos valores de n u , ent˜ ao µ p Ar q µ p A q . Apesar de ser um resultado interessante por si mesmo, nada diz acerca da frequˆ encia com que os pontos retornam. Esta informac¸ ˜ ao ´ e melhorada no seguinte resultado. Teorema B.3. (Birkhoff) Sejam p X, A, µ q um espac¸o de probabilidade e T:X Ñ Xuma transformac¸ ˜ ao que preserva µ. Se φ P L1 p µ q , ent˜ ao existe uma func¸ ˜ ao φ P L1 p µ q tal que φ p x q lim n Ñ8 1 n n 1 ¸ i 0 φ Tn p x q , em µ-quase todo o ponto. Al´ em disso, a func¸ ˜ ao φ satisfaz 1. φ T φ , em µ-quase todo o ponto, e 2. ³ φ dµ ³ φ dµ. Em particular, se T´ e erg´ odica, φ ´ e constante (igual a ³ φ dµ), em µ-quase todo o ponto.
FCUP 86 AP ˆ ENDICE B. TEORIA ERG ´ ODICA Notamos que este teorema ´ e v´ alido ainda se φfor semi-integr´ avel, caso em que algumas quantidades poder˜ ao n˜ ao ser finitas (tal como no Teorema Erg´ odico Subaditivo). No caso particular em que φ χE´ e a func¸ ˜ ao carater´ ıstica de um conjunto mensur´ avel E X, temos um melhoramento do Teorema da Recorrˆ encia com informac¸ ˜ ao de natureza mais quantitativa acerca da frequˆ encia com que os pontos retornam, digamos, uma frequˆ encia m´ edia de visita χ E p x q lim n Ñ8 1 n# t i 0, . . . , n 1 : Tix P E u . Portanto para sistemas erg´ odicos esta frequˆ encia ´ e tanto maior quanto maior for o tamanho de E, de acordo com a f´ ormula χ E p x q µ p E q .
Apˆ endice C Cociclos lineares Neste apˆ endice, descreveremos algumas das propriedades b´ asicas dos cociclos sobre fibrados. Como base e complemento do que aqui se exp˜ oe mencionamos [5] e [38] . C.1 Fibrados vetoriais Visando introduzir a noc¸ ˜ ao de cociclo, apresentamos a noc¸ ˜ ao de fibrado vetorial mensur´ avel, o an´ alogo dos fibrados vetoriais cont´ ınuos ou diferenci´ aveis na Teoria de Medida. A definic¸ ˜ ao aqui proposta ´ e adaptada de [26], mas tamb´ em vis´ ıvel em [5]. Definic¸ ˜ ao C.1. Dizemos que E´ e um fibrado vetorial mensur´ avel real sobre X, se 1. E, dito o espac¸o total, e X, dito o espac¸o de base, s˜ ao ambos espac¸os mensur´ aveis; 2. existe π:E Ñ Xmensur´ avel, dita a projec¸ ˜ ao natural, e 3. para todo x P X, o conjunto Ex π 1 p x q , dito a fibra sobre x, tem estrutura de espac¸o vetorial real. Al´ em do mais, deve ser satisfeita a seguinte •condic¸ ˜ ao de trivialidade local: para todo x P X, existem 1. um conjunto mensur´ avel Ax Xtal que x P Ax, 2. um inteiro d ¥ 0e 87
FCUP 88 AP ˆ ENDICE C. COCICLOS LINEARES 3. uma aplicac¸ ˜ ao bijetiva bimensur´ avel (i.e., mensur´ avel e com inversa mensur´ avel) h:Ax Rd Ñ π 1 p Ax q de tal modo que para cada a P Ax, a correspondˆ encia v Ñ ha p v q : h p a, v q define um isomorfismo linear entre o espac¸o vetorial Rde o espac¸o vetorial π 1 p a q . Quando E X Rd, dizemos que o fibrado ´ etrivial, o que corresponde ` a possibilidade de escolher Ax Xna definic¸ ˜ ao acima. A pr´ oxima proposic¸ ˜ ao, retirada de [5], mostra que, do ponto de vista da medida, todo o fibrado vetorial mensur´ avel sobre um espac¸o m´ etrico compacto ´ e trivial. Proposic¸ ˜ ao C.1. Seja π:E Ñ Xum fibrado vetorial mensur´ avel sobre um espac¸o m´ etrico compacto p X, B, µ q . Ent˜ ao existe um subconjunto Y Xtal que µ p Y q 1eπ 1 p Y q ´ e (isomorfo a) um fibrado vetorial trivial. C.2 Cociclos lineares Nesta secc¸ ˜ ao, consideramos um espac¸o de probabilidade p X, A, µ q e uma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel T:X Ñ Xque preserva µ. Para incluir toda a informac¸ ˜ ao, assumiremos que a transformac¸ ˜ ao ´ e invert´ ıvel, deixando ao leitor a tarefa de reter o essencial para as transformac¸ ˜ oes gerais. Mais uma vez, denotamos por GL p R, d q o conjunto das matrizes invert´ ıveis d dcom entradas nos n´ umeros reais. Definic¸ ˜ ao C.2. Uma func¸ ˜ ao A:X Z Ñ GL p R, d q diz-se um cociclo multiplicativo linear sobre T, ou simplesmente cociclo, se as seguintes propriedades se verificarem: 1. A p x, 0 q Id, para todo x P X, 2. A p x, n k q A p Tkx, n q A p x, k q , para todo n, k P Z, e 3. A p , n q :X Ñ GL p R, d q ´ e mensur´ avel, para todo n P Z. Note-se que nestas condic¸ ˜ oes, A p T nx, n q 1 A p x, n q , para todo x P Xe todo n P Z.
FCUP 89 AP ˆ ENDICE C. COCICLOS LINEARES Exemplo C.1. Dada uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel A:X Ñ GL p R, d q , podemos definir um cociclo pela f´ ormula A p x, n q $ ' ' ' & ' ' ' % A p Tn 1x q A p Tn 2x q A p Tx q A p x q ,se n ¡ 0 Id, se n 0 p A p Tnx qq 1 p A p Tx qq 1,se n 0 . A aplicac¸ ˜ ao Adiz-se o gerador do cociclo. Observe-se que cada cociclo A´ e gerado pela func¸ ˜ ao A pq A p ,1 q . Um cociclo linear sobre Tgerado por Ainduz uma extens˜ ao linear F:X Rd Ñ X Rd dada sob a forma de produto semi-direto F p x, v qp Tx, A p x q v q . Por simplicidade, chamamos a tais extens˜ oes tamb´ em de cociclos. Assim definida, F´ e uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel, de modo que se π:X Rd Ñ Xdesigna a projec¸ ˜ ao natural (i.e., π p x, v q x), ent˜ ao o diagrama X RdF ÝÝÝÝÑ X Rd π π XT ÝÝÝÝÑ X ´ e comutativo. Uma interpretac¸ ˜ ao ´ util e interessante, ` a luz da Teoria de Fibrados, ´ e a seguinte: a ac¸ ˜ ao induzida de Fna fibra sobre x,π 1 p x q , para a fibra sobre T p x q ,π 1 p T p x qq ,´ e dada pela matriz A p x q , sendo portanto um isomorfismo linear de espac¸os vetoriais (ver figura C.1). Os cociclos/extens˜ oes lineares, tal como os definimos acima, s˜ ao casos particulares de morfismos de fibrados vetorias. Um morfismo de fibrados vetoriais F:E Ñ Esobre uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel T:X Ñ X´ e uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel tal que o diagrama EF ÝÝÝÝÑ E π π XT ÝÝÝÝÑ X ´ e comutativo e as ac¸ ˜ oes Fx:Ex Ñ ET p x q induzidas nas fibras s˜ ao isomorfismos lineares. Como vimos na Proposic¸ ˜ ao C.1, morfismos sobre transformac¸ ˜ oes de espac¸os m´ etricos compactos s˜ ao essencialmente cociclos/extens˜ oes lineares do ponto de vista da medida e, neste trabalho, chamamos indistintamente cociclos aos morfismos mais gerais.
FCUP 90 AP ˆ ENDICE C. COCICLOS LINEARES Figura C.1: AC¸ ˜ AO NAS FIBRAS Exemplo C.2. Um exemplo que se imp˜ oe pela sua importˆ ancia dentro deste panorama prendese com a derivada de um difeomorfismo arbitr´ ario fduma variedade M Df :T M Ñ TM a atuar no fibrado tangente, que consiste de todos os pares p x, v q tais que x P Mev P TxM. Quando f´ e um difeomorfismo, a ac¸ ˜ ao induzida nas fibras Dfx:TxM Ñ Tf p x q M´ e um isomorfismo de espac¸os vetoriais. Para algumas variedades, o fibrado tangente ´ e trivial, como ´ e o caso de qualquer aberto de Rdou o do toro d-dimensional Td. Estas variedades dizem-se por isso paraleliz´ aveis.´ E facto elementar da Teoria de Fibrados que uma variedade diferenci´ avel d-dimensional ´ e paraleliz´ avel se, e somente se, existirem dcampos de vetores diferenci´ aveis V1 p x q , . . . , Vd p x q definidos em M, tais que em cada ponto p P M, os vetores t V1 p p q , . . . , Vd p p qu s˜ ao linearmente independentes e formam, por isso, uma base de TpM(ver [26]). Nestas hip´ oteses, podemos ver a derivada como uma extens˜ ao linear sobre f, em virtude da bem conhecida regra da cadeia Dfn x Dffn 1 p x q Dff p x q Dfx, onde a matriz A p x q P GL p d q a considerar ´ e a que representa a aplicac¸ ˜ ao Dfx:TxM Ñ Tf p x q Mcom respeito ` as bases em quest˜ ao. Noutras variedades, como por exemplo a esfera 2-dimensional S2 R3, j´ a n˜ ao podemos aplicar esta construc¸ ˜ ao. No caso espec´ ıfico da esfera, isso deve-se ao facto de qualquer campo de vetores tangencial cont´ ınuo nela definido se anular
FCUP 91 AP ˆ ENDICE C. COCICLOS LINEARES em algum ponto. Vale, contudo, a descric¸ ˜ ao mais geral para morfismos de fibrados vetoriais sobre alguma transformac¸ ˜ ao. C.3 Cohomologia e equivalˆ encia temperada Vamos introduzir uma noc¸ ˜ ao de equivalˆ encia entre cociclos que preserva expoentes de Lyapunov entre cociclos equivalentes. Mais uma vez, supomos que a transformac¸ ˜ ao ´ e invert´ ıvel, deixando ao leitor a tarefa de reter o essencial para as transformac¸ ˜ oes gerais. Seja Y Xum conjunto mensur´ avel T-invariante n˜ ao vazio. Definic¸ ˜ ao C.3. Dizemos que uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel L:X Ñ GL p R, d q ´ etemperada em Y com respeito a uma trasnformac¸ ˜ ao Tou simplesmente temperada, se lim n Ñ8 1 nlog } L p Tn p x qq 1 } 0,para todo x P Y . Uma condic¸ ˜ ao imediata para que uma func¸ ˜ ao Lseja temperada em qualquer conjunto mensur´ avel T-invariante n˜ ao vazio Y Xcom respeito a qualquer transformac¸ ˜ ao invert´ ıvel ´ e que as func¸ ˜ oes x P X ÞÑ } L p x q} , } L p x q 1 } sejam limitadas. Exemplo C.3. Considere-se uma aplicac¸ ˜ ao mensur´ avel L:X Ñ O p R, d q , onde O p R, d q designa o conjunto das matrizes quadradas ortogonais de dimens˜ ao dcom entradas no corpo dos n´ umeros reais. Segue do que foi dito que L´ e uma aplicac¸ ˜ ao temperada pois } L 1 p x q} 1, para todo x P X. Temos ainda o seguinte crit´ erio, retirado de [5], que ´ e mais uma aplicac¸ ˜ ao do Teorema de Birkhoff. Proposic¸ ˜ ao C.2. Seja T:X Ñ Xuma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel que preserva uma probabilidade µeL:X Ñ GL p R, d q uma transformac¸ ˜ ao mensur´ avel. Se log } L 1 } P L1 p µ q , ent˜ ao L´ e temperada num conjunto de probabilidade total com respeito a f. Em termos simples, cociclos equivalentes s˜ ao aqueles que se podem obter um do outro por uma mudanc¸a de coordenadas temperada. Para formalizar esta noc¸ ˜ ao, sejam A, B :X Ñ GL p R, d q os geradores de dois cociclos AeBsobre uma transformac¸ ˜ ao invert´ ıvel TeY X um conjunto mensur´ avel.
FCUP 92 AP ˆ ENDICE C. COCICLOS LINEARES Definic¸ ˜ ao C.4. Os cociclos AeBdizem-se equivalentes em You cohom´ ologos em Y, se existir uma func¸ ˜ ao mensur´ avel L:X Ñ GL p R, d q que ´ e temperada em Ycom respeito a Te tal que A p x q L p Tx q 1 B p x q L p x q ,para todo x P Y . A noc¸ ˜ ao de cohomologia em Y´ e uma relac¸ ˜ ao de equivalˆ encia, que denotamos por Y. A equac¸ ˜ ao que relaciona os geradores de cociclos cohom´ ologos diz-se a equac¸ ˜ ao de cohomologia. Mais geralmente, A p x, n q L p Tnx q 1B p x, n q L p x q ,para todo x P Yen P Z. Denotando por FT,A o cociclo (extens˜ ao linear) sobre Tgerado por Afacilmente se vˆ e que se A YBpor uma aplicac¸ ˜ ao L:X Ñ GL p R, d q temperada em Ycom respeito a T, ent˜ ao o diagrama Y RdFT,A ÝÝÝÝÑ Y Rd FId,L FId,L Y RdFT,B ÝÝÝÝÑ Y Rd comuta. O que mais importa desta noc¸ ˜ ao para a presente dissertac¸ ˜ ao ´ e o facto dos expoentes de Lyapunov serem invariantes por equivalˆ encia temperada, de acordo com a seguinte Proposic¸ ˜ ao C.3. Sejam AeBcociclos tais que A YBpor uma aplicac¸ ˜ ao temperada L: X Ñ GL p R, d q . Ent˜ ao, para todo x P Ye todo v P Rd, tem-se lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } lim sup n Ñ8 1 nlog } B p n q p x q L p x q v } . Al´ em disso, se existir algum dos limites em algum dos lados da igualdade acima, ent˜ ao existe o limite respetivo no outro e, nesse caso, coincidem. Prova: Sejam x P Y Xev P Rd. Temos lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } lim sup n Ñ8 1 nlog } L p Tnx q 1 B p n q p x q L p x q v } ¤ lim sup n Ñ8 1 nlog } L p Tnx q 1 } 1 nlog } B p n q p x q L p x q v } lim sup n Ñ8 1 nlog } B p n q p x q L p x q v } .
FCUP 93 AP ˆ ENDICE C. COCICLOS LINEARES Analogamente, lim sup n Ñ8 1 nlog } B p n q p x q L p x q v } lim sup n Ñ8 1 nlog } L p Tnx q A p n q p x q v } ¤ lim sup n Ñ8 1 nlog } L p Tnx q} 1 nlog } A p n q p x q v } lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } . Juntando as duas desigualdades acima, temos lim sup n Ñ8 1 nlog } A p n q p x q v } lim sup n Ñ8 1 nlog } B p n q p x q L p x q v } . A mesma igualdade ´ e v´ alida substituindo o limite superior pelo limite inferior, exatamente pelo mesmo argumento. Isto conclui a demonstrac¸ ˜ ao. 2