Dinâmica e Sistemas Dinâmicos

Dinâmica e Sistemas Dinâmicos Jaime E. Villate Faculdade de Engenharia Universidade do Porto Dinâmica e Sistemas Dinâmicos Copyright ©2016, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 09, Jaime E. Villate E-mail: [email protected] A versão mais recente deste livro está disponível em http://def.fe.up.pt/dinamica onde pode ser consultado, copiado e reproduzido livremente, respeitando os termos da Licença Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0). Para obter uma cópia desta licença, visite http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ ou envie uma carta para Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA. Edição do autor. ISBN: 978-972-99396-1-7 Quarta edição 13 de fevereiro de 2016 Conteúdo Prefácio ix Lista de símbolos e notações xi 1. Cinemática 1 1.1. Movimento dos corpos rígidos ............... 2 1.2. Movimento e graus de liberdade .............. 3 1.3. Deslocamento e velocidade ................. 7 1.4. Aceleração ......................... 11 1.5. Movimento uniforme e uniformemente acelerado ..... 17 1.6. Equações cinemáticas .................... 18 1.6.1. Projeção do movimento num eixo ......... 21 1.6.2. Aceleração da gravidade .............. 22 Perguntas ............................. 25 Problemas ............................. 26 Respostas ............................. 29 2. Cinemática vetorial 31 2.1. Vetores ........................... 32 2.1.1. Propriedades dos vetores .............. 32 2.1.2. Velocidade e aceleração vetoriais ......... 36 2.1.3. Produto escalar ................... 40 2.2. Velocidade e aceleração relativas .............. 42 2.3. Lançamento de projéteis .................. 45 2.4. Movimentos dependentes .................. 47 Perguntas ............................. 51 Problemas ............................. 52 Respostas ............................. 56 3. Movimento curvilíneo 57 3.1. Versor tangencial ...................... 58 iv Conteúdo 3.2. Versor normal ........................ 60 3.3. Movimento circular ..................... 64 3.4. Cinemática dos corpos rígidos ............... 66 3.5. Vetor aceleração angular .................. 69 3.6. Movimentos de translação e de rotação dependentes . . . . 73 Perguntas ............................. 77 Problemas ............................. 78 Respostas ............................. 83 4. Mecânica vetorial 85 4.1. Leis de Newton ....................... 86 4.1.1. Lei da inércia .................... 86 4.1.2. Força e aceleração ................. 87 4.1.3. Lei de ação e reação ................ 90 4.2. Componentes normal e tangencial da força ......... 94 4.3. Reação normal e força de atrito ............... 96 4.3.1. Atrito estático .................... 96 4.3.2. Atrito cinético ................... 98 4.3.3. Força de resistência nos fluidos .......... 101 Perguntas ............................. 103 Problemas ............................. 105 Respostas ............................. 108 5. Dinâmica dos corpos rígidos 109 5.1. Vetores deslizantes ..................... 110 5.2. Adição de forças ...................... 110 5.3. Momentos e binários .................... 112 5.4. Corpos rígidos em equilíbrio ................ 115 5.5. Centro de massa ....................... 117 5.6. Movimento geral do corpo rígido .............. 122 5.6.1. Rotação com eixo fixo ............... 122 5.6.2. Translação sem rotação ............... 126 Perguntas ............................. 128 Problemas ............................. 129 Respostas ............................. 135 6. Trabalho e energia 137 6.1. Trabalho e energia cinética ................. 138 6.2. Forças conservativas .................... 143 6.2.1. Energia potencial gravítica ............. 146 Conteúdo v 6.2.2. Energia potencial elástica .............. 146 6.2.3. Energia potencial de forças centrais ........ 147 6.3. Energia mecânica ...................... 148 6.3.1. Gráficos de energia ................. 149 6.4. Movimento harmónico simples ............... 151 6.5. Energia cinética de rotação ................. 153 Perguntas ............................. 156 Problemas ............................. 157 Respostas ............................. 161 7. Sistemas dinâmicos 163 7.1. Equações diferenciais .................... 164 7.1.1. Equações de primeira ordem ............ 164 7.2. Sistemas de equações diferenciais autónomas ....... 165 7.2.1. Campos de direções ................ 167 7.2.2. Equações diferenciais de segunda ordem ...... 168 7.2.3. Retratos de fase ................... 170 7.3. Pontos de equilíbrio ..................... 172 7.3.1. Equilíbrio estável e instável ............ 175 7.3.2. Ciclos e órbitas ................... 177 7.4. Sistemas conservativos ................... 180 Perguntas ............................. 185 Problemas ............................. 186 Respostas ............................. 190 8. Mecânica lagrangiana 193 8.1. Graus de liberdade e espaço de fase ............ 194 8.2. Equações de Lagrange ................... 194 8.3. Condições de equilíbrio ................... 201 8.4. Forças dissipativas ..................... 205 8.5. Forças de ligação ...................... 207 Perguntas ............................. 211 Problemas ............................. 213 Respostas ............................. 219 9. Sistemas lineares 221 9.1. Sistemas lineares no plano ................. 222 9.2. Estabilidade dos sistemas lineares ............. 225 9.3. Classificação dos pontos de equilíbrio ........... 228 9.3.1. Pontos de sela .................... 229 vi Conteúdo 9.3.2. Nós estáveis e instáveis ............... 230 9.3.3. Focos e centros ................... 231 9.3.4. Nós próprios e impróprios ............. 232 9.3.5. Sistemas lineares conservativos .......... 235 9.4. Osciladores lineares ..................... 235 9.3.6. Osciladores amortecidos .............. 237 Perguntas ............................. 240 Problemas ............................. 241 Respostas ............................. 246 10. Sistemas não lineares 249 10.1. Aproximação linear ..................... 250 10.2. O pêndulo .......................... 253 10.3. Aproximação linear do pêndulo ............... 256 10.4. Espaços de fase com várias dimensões ........... 259 10.4.1. Sistemas de equações não autónomas ....... 259 10.4.2. Lançamento de projéteis .............. 261 10.4.3. Pêndulo de Wilberforce ............... 265 Perguntas ............................. 268 Problemas ............................. 269 Respostas ............................. 273 11. Ciclos limite e dinâmica populacional 277 11.1. Ciclos limite ......................... 278 11.1.1. Equação de Van der Pol .............. 278 11.1.2. Existência de ciclos limite ............. 281 11.1.3. Inexistência de ciclos limite ............ 286 11.2. Dinâmica populacional ................... 287 11.3. Sistemas de duas espécies .................. 288 11.3.1. Sistemas predador presa .............. 290 11.3.2. Sistemas com competição ............. 294 Perguntas ............................. 297 Problemas ............................. 298 Respostas ............................. 301 12. Sistemas caóticos 303 12.1. Órbitas fechadas atrativas .................. 304 12.2. Comportamento assimptótico ................ 307 12.2.1. Teorema de Poincaré-Bendixson .......... 307 12.2.2. Critério de Bendixson. ............... 309 Conteúdo vii 12.3. Bifurcações ......................... 310 12.4. Sistemas caóticos ...................... 312 12.4.1. Pêndulo forçado .................. 313 12.4.2. Equações de Lorenz ................ 321 Perguntas ............................. 325 Problemas ............................. 327 Respostas ............................. 329 A. Tutorial do Maxima 331 A.1. Introdução .......................... 331 A.2. Interfaces do Maxima .................... 332 A.3. Entrada e saída de dados .................. 333 A.4. Números ........................... 334 A.5. Variáveis .......................... 337 A.6. Listas ............................ 340 A.7. Constantes .......................... 341 A.8. Ficheiros de comandos ................... 342 A.9. Álgebra ........................... 344 A.10.Trigonometria ........................ 347 A.11.Cálculo ........................... 350 A.12.Funções ........................... 352 A.13.Gráficos ........................... 354 A.13.1. Funções de uma variável .............. 354 A.13.2. Criação de ficheiros gráficos ............ 355 A.13.3. Gráficos de pontos ................. 356 A.13.4. Pontos e funções .................. 356 A.13.5. Funções de duas variáveis ............. 358 Problemas ............................. 361 Respostas ............................. 361 B. Equações de Lagrange 363 C. Créditos fotográficos 367 Bibliografia 369 Índice 373 1. Cinemática A cinemática é a análise do movimento sem consideração das suas causas. No caso das corredoras na fotografia, o movimento dos braços e pernas é oscilante, enquanto que o movimento da cabeça é mais aproximadamente uniforme e, por isso, mais fácil de descrever; basta contabilizar o deslocamento horizontal da cabeça, em função do tempo. Para descrever o movimento das pernas, para além de considerar o deslocamento horizontal, é necessário considerar a variação de algum ângulo em função do tempo. 2Cinemática 1.1. Movimento dos corpos rígidos Um objeto encontra-se em movimento se a sua posição for diferente em diferentes instantes; se a posição permanece constante, o objeto está em repouso. Para medir a posição do objeto, é necessário usar um referencial ; nomeadamente, outros objetos usados como referencia. Se a posição do corpo em estudo varia em relação ao referencial, o corpo está em movimento em relação a esse referencial. Assim, o movimento é um conceito relativo, já que um objeto pode estar em repouso em relação a um dado referencial, mas em movimento em relação a um outro referencial. O movimento mais simples de um corpo rígido, de translação sem rotação, é quando todos os pontos do corpo seguem trajetórias idênticas (ver figura 1.1). Assim sendo, basta estudar o movimento de um único ponto para conhecer o movimento do corpo rígido. 20˚ 20˚ 30˚ 20˚ 50˚ Translação Rotação Translação e rotação Figura 1.1.: Movimentos de translação, rotação em torno de um eixo e sobreposição dos dois. 1.2 Movimento e graus de liberdade 3 No movimento de rotação em torno de um eixo, todos os pontos num eixo permanecem em repouso e os outros pontos deslocam-se. Na segunda parte na figura 1.1, o martelo rodou em torno de um eixo perpendicular à página. Nesse tipo de movimento as trajetórias de pontos diferentes já não são idênticas mas todas elas são arcos de círculo, com o mesmo ângulo, que só diferem no valor do raio. Basta saber como varia o ângulo de rotação para descrever o movimento de qualquer ponto no corpo. Um movimento mais complicado é a sobreposição de translação e rotação em torno de um eixo (terceira parte na figura 1.1). Nesse caso, as trajetórias do diferentes pontos do corpo são curvas diferentes. No entanto, esse movimento mais complicado pode ser descrito apenas com a trajetória de um ponto qualquer do corpo e a variação do ângulo de rotação de uma reta qualquer no corpo; com efeito, o ângulo de rotação é o mesmo para qualquer segmento no corpo rígido e após fixar a posição do ponto num instante e o ângulo de rotação, consegue dizer onde estarão todos os outros pontos do corpo nesse instante. Existe também outro tipo de rotação mais geral, rotação à volta de um ponto, em que um único ponto permanece em repouso. Nesse caso as trajetórias dos diferentes pontos são curvas na superfície de uma esfera com centro no ponto em repouso. A forma mais conveniente de descrever esse tipo de movimento consiste em determinar a variação de três ângulos. O caso mais geral do movimento de um corpo rígido consiste na sobreposição de translação e rotação à volta de um ponto. Nesse caso será necessário conhecer a trajetória de um ponto do corpo e a variação de três ângulos. 1.2. Movimento e graus de liberdade Os graus de liberdade de um sistema são as variáveis necessárias para determinar a sua posição exata. Por exemplo, para determinar a posição de uma mosca numa sala “retangular”, podem medir-se as suas distâncias até o chão e duas paredes perpendiculares da sala, dando origem a um sistema de três coordenadas perpendiculares (coordenadas cartesianas ou retangulares), que se costumam designar pelas letras x,yez(figura 1.2). Ou seja, o movimento de um ponto no espaço está associado a 3 graus de liberdade. A trajetória do ponto é uma curva no espaço, que pode ser descrita indicando as expressões para as 3 coordenadas cartesianas x , y e z em função do tempo. Como o movimento mais geral de um corpo rígido 4Cinemática x y z Mosca Figura 1.2.: Coordenadas cartesianas de uma mosca numa sala retangular. é a sobreposição do movimento de um ponto e variação de três ângulos, esse movimento tem 6 graus de liberdade: 3 coordenadas que descrevem o movimento do ponto, mais os 3 ângulos que descrevem a rotação. Outros movimentos mais simples possuem menos graus de liberdade; a rotação em torno de um eixo fixo tem apenas um grau de liberdade, a translação sem rotação 3 graus de liberdade e a translação com rotação em torno de um eixo fixo está associada a 4 graus de liberdade. Neste capítulo estuda-se apenas o movimento de um ponto. Esse estudo será suficiente para descrever a translação dos corpos rígidos e servirá de base para estudar movimentos mais complexos. Quando um ponto está limitado a seguir uma trajetória pré determinada, o movimento desse ponto têm um único grau de liberdade. Por exemplo, no movimento de cada uma das rodas de um carrinho nos carris de uma montanha russa, enquanto o carrinho siga os carris sem perder o contacto com eles, o movimento do centro da roda segue uma curva determinada. Se a posição do ponto num instante inicial é conhecida, para determinar a posição em qualquer outro instante basta saber o deslocamento ao longo dos carris, desde o instante inicial até esse instante. No movimento de translação de um automóvel numa autoestrada poderá ser suficiente um único grau de liberdade (figura 1.3). Se o automóvel sofrer 1.2 Movimento e graus de liberdade 5 uma avaria e o condutor tiver que telefonar para pedir um reboque, basta dizer em que quilómetro da autoestrada se encontra para que o condutor do camião de reboque saiba para onde se dirigir. Assim, o movimento dos automóveis na autoestrada é caraterizado por um único grau de liberdade, o deslocamento ao longo da estrada. Figura 1.3.: A translação de um automóvel numa autoestrada considera-se um movimento com um grau de liberdade. De referir que o deslocamento na estrada não é medido em linha reta, mas ao longo de uma curva no espaço; no entanto, como a forma detalhada dessa curva já está estabelecida, basta uma variável para descrever a posição em cada instante. Em outros casos poderá ser necessário descrever a variação de outros graus de liberdade, por exemplo, a distância à berma da estrada. Se o automóvel fosse perfeitamente rígido e sempre em contacto com a estrada, a descrição completa do movimento seria feita incluindo também um ângulo. Na prática há sempre muitos mais graus de liberdade porque não existem corpos perfeitamente rígidos. Se um ponto está limitado a deslocar-se sobre uma superfície, basta usar duas coordenadas para determinar a sua posição e o seu movimento tem dois graus de liberdade. Um biólogo a seguir o movimento de uma raposa num território terá apenas de medir a sua longitude e latitude, por exemplo, com um dispositivo de GPS, para indicar o ponto onde se encontra em cada instante. Não são necessárias 3 variáveis, mas apenas duas, se o mapa topográfico da região for conhecido, permitindo localizar um ponto apenas com a sua longitude 6Cinemática e latitude; uma terceira variável, a altura, tem um valor pré determinado de acordo com a topografia do terreno, como no exemplo da figura 1.4. Realmente há um terceiro grau de liberdade, a altura sobre a superfície do terreno, mas como essa altura terá variações insignificantes comparada com as variações da latitude e longitude, poderá não ter relevância. Figura 1.4.: A translação na superfície de um terreno é um movimento com dois graus de liberdade. Consequentemente, o movimento da raposa é um movimento com dois graus de liberdade, porque bastam duas coordenadas para determinar a posição. A latitude e a longitude na superfície do terreno não são realmente distâncias mas sim ângulos com vértice no centro da Terra, mas continuam a ser dois graus de liberdade que podem ter diferentes valores em diferentes instantes. Regressando ao exemplo inicial do voo da mosca, que foi considerada como um único ponto em movimento com 3 coordenadas x , y e z , a mosca também pode mudar a sua orientação. Para definir a orientação da reta segundo o corpo da mosca podem usar-se 2 ângulos e é necessário um terceiro ângulo para indicar a rotação da mosca em relação a essa reta; ao todo são 6 graus de liberdade. Mas a mosca pode também esticar ou dobrar o corpo e abrir ou fechar as asas, por exemplo, pelo que, do ponto de vista físico, tem muitos mais graus de liberdade. Se a mosca for modelada com 3 corpos rígidos: as duas asas e o bloco constituído por cabeça, tórax e abdómen, para descrever o movimento do primeiro corpo rígido — cabeça, tórax e abdómen — são precisos os seis graus de liberdade já descritos. Cada asa acrescenta outros 3 graus de liberdade — os ângulos da rotação à volta de um ponto fixo onde a asa está ligada ao tórax — tendo no total 12 graus de liberdade. 1.3 Deslocamento e velocidade 7 1.3. Deslocamento e velocidade Neste capítulo considera-se apenas o movimento com um grau de liberdade, no qual a trajetória é uma curva conhecida. Para determinar a posição na trajetória, s , escolhe-se como origem um ponto qualquer da trajetória (ponto onde s = 0) e arbitra-se sinal positivo para os pontos a um dos lados da origem e negativo para os pontos no outro lado. A posição num ponto da trajetória é o comprimento de arco s da trajetória, desde o ponto até à origem, com sinal positivo ou negativo segundo o lado onde estiver o ponto. A posição é uma função do tempo s(t) , porque em cada instante o objeto só pode estar num ponto e é uma função contínua porque o objeto não pode passar de um ponto para outro, sem passar antes por todos os pontos intermédios. Num instante posterior a t , ou seja, em t + ∆t , onde ∆t é positivo, o objeto estará na posição s(t+∆t) . O aumento da posição nesse intervalo de tempo ∆t, chamado deslocamento, é igual a: ∆s=s(t+∆t)−s(t)(1.1) Define-se a velocidade média , nesse intervalo de tempo ∆t , igual ao deslocamento dividido pelo intervalo de tempo: ¯ v= ∆s ∆t(1.2) O deslocamento e a velocidade média podem ser positivos ou negativos. Se o deslocamento e a velocidade são positivos, quer dizer que o movimento é no sentido positivo em que se mede s ; caso contrário, o movimento é no sentido negativo. O valor absoluto de v é a rapidez com que se desloca o objeto. As unidades da velocidade são distância sobre tempo: por exemplo, metros por segundo, m/s, quilómetros por hora, km/h, etc. Exemplo 1.1 Um condutor que se desloca sempre no mesmo sentido de uma estrada registou a distância total por si percorrida durante vários instantes, obtendo os valores na seguinte tabela: tempo (h) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 distância (km) 0 60 90 100 140 Calcule a velocidade média em cada intervalo de meia hora e represente os gráficos da posição na trajetória e da velocidade média. 8Cinemática Resolução . Como não existe inversão do sentido do deslocamento, as distâncias na tabela correspondem também às posições em relação ao ponto inicial. Sendo t1 , t2 , ..., t5 os 5 instantes indicados na tabela, as velocidades médias nos vários intervalos são: ¯ v12 =60 −0 0.5−0=120 km h ¯ v23 =90 −60 1−0.5=60 km h ¯ v34 =100 −90 1.5−1=20 km h ¯ v45 =140 −100 2−1.5=80 km h O gráfico da posição em função do tempo pode ser criado com o programa Maxima (consulte o apêndice A). Convém agrupar os valores de tempo e posição numa lista que é logo usada na função plot2d para traçar o gráfico: (%i1) s_t:[[0,0], [0.5,60], [1,90], [1.5,100], [2,140]]$ (%i2) plot2d ([discrete,s_t], [style,points], [xlabel,"t (h)"], [ylabel,"s (km)"])$ s (km) t (h) 0 20 40 60 80 100 120 140 0 0.5 1 1.5 2 Figura 1.5.: Gráfico da posição na trajetória em alguns instantes. 1.3 Deslocamento e velocidade 9 O resultado mostra-se na figura 1.5. Como s(t) é uma função contínua, o seu gráfico deve ser uma curva que passa pelos pontos apresentados na figura, mas a informação dada não permite determinar qual é essa curva. Para traçar o gráfico da velocidade média em função do tempo, há que ter em conta que cada velocidade média foi calculada num intervalo de tempo e, por isso, o seu valor deve ser atribuído a todos os pontos nesse intervalo. O seguinte comando associa os dados de tempo e velocidade média a uma lista com quatro sublistas, uma para cada intervalo: (%i3) v_t:[[[0,120],[0.5,120]], [[0.5,60],[1,60]], [[1,20],[1.5,20]], [[1.5,80],[2,80]]]$ A seguir, para fazer o gráfico com quatro segmentos que representem a velocidade média nos quatro intervalos, cria-se uma lista em que cada segmento é identificado pela palavra chave discrete, seguida pelos dois pontos que definem o intervalo; essa lista é logo dada à função plot2d para fazer o gráfico. Já não é necessário usar a opção [style,points], porque será usado o valor por omissão que liga os pontos dados com segmentos de retas, mas usa-se [style,blue] para que os quatro segmentos tenham a mesma cor: (%i4) plot2d (makelist ([discrete,g], g,v_t), [x,0,2], [y,0,150], [xlabel,"t (h)"],[ylabel,"v (km/h)"],[legend,false],[color,blue])$ v (km/h) t (h) 0 20 40 60 80 100 120 140 0 0.5 1 1.5 2 Figura 1.6.: Gráfico da velocidade média em alguns intervalos de tempo. 16 Cinemática s t 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Figura 1.9.: Gráfico da posição na trajetória. expressões algébricas. O gráfico da velocidade mostra que o barco atinge rapidamente, no primeiro minuto, uma velocidade máxima de 12 m/s e permanece com velocidade quase constante até o instante em que é desligado o motor; a partir desse instante, a velocidade diminui rapidamente e em t = 360 s (6 minutos) já é praticamente nula. A expressão exponencial da velocidade implica que, em teoria, nunca chega a ser completamente nula. Na prática, a expressão dada no enunciado para a velocidade não pode ser válida quando o valor obtido for muito pequeno; por exemplo, em t = 400 s a velocidade obtida com essa expressão é (%i14) float (subst (t=400,v2)); (%o14) 0.02975 quase 3 centímetros por segundo. Existem outros fenómenos como correntes na água ventos e ondas na superfície da água, que produzem variações da velocidade maiores do que esse valor. A expressão dada para a velocidade é o resultado de um modelo matemático, que só pode ser válido quando os valores obtidos ultrapassem os efeitos de outras flutuações que não são tidas em conta no modelo. No gráfico da aceleração, a descontinuidade em t =300 s aparece como uma risca contínua, devido a que o comando plot2d do Maxima não deteta a 1.5 Movimento uniforme e uniformemente acelerado 17 descontinuidade nesse ponto, mas considera as duas partes do gráfico como uma única função contínua. O gráfico da posição mostra um aumento linear em quase todo o intervalo dos primeiros 5 minutos e a paragem rápida após esses primeiros minutos. A distância percorrida enquanto o motor esteve ligado é o deslocamento desde t = 0 até t = 300; como arbitrou-se s (0) = 0, essa distância é, s(300)=4850 +50 e−18≈3400 Segundo o modelo teórico, o barco demorava um tempo infinito até parar; na prática, demorará só um pouco mais de 6 minutos, como já foi dito. Como tal, a distância percorrida enquanto o motor esteve desligado é s(∞)−s(300) . O valor s(∞) é o limite de s(t) quando t é infinito. No Maxima, o limite calcula-se assim: (%i15) limit (s2,t,inf); (%o15) 3600 Conclui-se então que o barco percorre 200 m desde o instante em que o motor é desligado até parar. 1.5. Movimento uniforme e uniformemente acelerado Chama-se movimento uniforme ao movimento com velocidade constante. Como a derivada de uma função constante é nula, então a aceleração tangencial é nula nesse caso. Na equação 1.4, independentemente do número de subintervalos, o resultado será o mesmo, porque v é igual em todos os subintervalos (a velocidade média é igual à velocidade v ) e o resultado é: s=s0+vt(1.13) onde s representa a posição s(t) em qualquer instante t , s0 é a posição no instante t=0evé a velocidade constante. O movimento uniformemente acelerado é o movimento com aceleração tangencial constante. Na equação 1.10, a aceleração tangencial média em qualquer subintervalo é a própria aceleração at constante e obtém-se a 18 Cinemática expressão para a velocidade em qualquer instante t, v=v0+att(1.14) onde v0 é a velocidade em t = 0. Substituindo esta expressão na equação 1.5, obtém-se a expressão para a posição, s=s0+ t w 0(v0+att)dt=s0+v0t+1 2att2(1.15) Entre as equaçõeso 1.14 e1.15 pode eliminar-se o tempo t e obtém-se assim uma terceira relação entre a velocidade e a posição: v2=v2 0+2at(s−s0)(1.16) Há que ter em conta que as equações 1.14,1.15 e1.16 são apenas válidas no caso em que a aceleração tangencial é constante. Quando esse não for o caso, para obter a expressão da velocidade a partir da equação 1.11, é necessário integrar a expressão de at em ordem t . E para obter a expressão da posição a partir da equação 1.5, é necessário integrar a expressão de v em ordem a t . Se essas expressões não são conhecidas, em alguns casos pode usar-se o método explicado na seguinte secção. 1.6. Equações cinemáticas As equações diferenciais 1.7 e1.12 definem a relação entre as variáveis cinemáticas ( s , v , at ) e o tempo t . Se for conhecida a expressão para uma das variáveis cinemáticas em função do tempo, as expressões para as outras duas variáveis podem ser obtidas por simples derivação ou integração, tal como no exemplo 1.2. Nos casos em que é conhecida uma expressão para a velocidade em função da distância percorrida s , a derivada da velocidade em ordem ao tempo deve ser calculada usando a regra da cadeia para funções compostas: at=dv dt =dv ds ds dt =vdv ds(1.17) Esta é outra equação cinemática. Resumindo, as quatro equações que relacionam três das quatro variáveis cinemáticas t , s , v e at são (note-se que 1.6 Equações cinemáticas 19 as equações com pontos incluem a variável t): v=Û s at=Û vat=Ü s at=vdv ds(1.18) Qualquer uma dessas equações pode ser resolvida quando existe uma relação conhecida entre algumas das três variáveis na equação. Por exemplo, considere-se a primeira equação, v=Û s ; se for conhecida uma expressão para a posição em relação ao tempo, ou seja, s=f(t), a equação fica v=df(t) dt(1.19) que implica que a expressão para v em relação a t é a derivada Û f(t) da função dada. Note-se que quando a função f depende de outras variáveis, por exemplo s=f(v) ou s=f(v,t) , a velocidade v não seria simplesmente a derivada de f, já que seria necessário usar a regra da cadeia: v=f0(v)dv dt =atf0(v)ou: v=∂f(v,t) ∂t +at ∂f(v,t) ∂v(1.20) No primeiro caso, obtém-se uma expressão para a aceleração em relação à velocidade e no segundo caso obtém-se apenas uma relação entre a aceleração, a velocidade e o tempo. Nos casos em que é conhecida uma expressão para v em função de t , ou seja, v=g(t) , tal como no exemplo 1.2, a equação fica igual a g(t)=ds dt(1.21) que é equivalente a (como na equação 1.5): s(t)=s0+ t w t0 g(t)dt(1.22) Em casos mais complicados, por exemplo se a relação conhecida é da forma v=f(s,t) , obtém-se uma equação diferencial ordinária, isto é, uma equação com duas variáveis e a derivada de uma delas em relação à outra. Pode fazer-se uma análise semelhante para as outras 3 equações. Algumas equações diferenciais podem ser resolvidas analiticamente, usando vários métodos conhecidos, como mostra o exemplo seguinte, mas em outros casos a solução deve ser obtida de forma numérica, que será o tema do capítulo 7. 20 Cinemática Exemplo 1.3 Num tiro com arco (ver figura), enquanto a flecha está em contacto com a corda, a sua aceleração diminui linearmente em função da sua posição s , desde um valor máximo inicial de 4500 m/s 2 , na posição A, até zero, na posição B que se encontra a 600 mm de A. Calcule a velocidade com que sai disparada a flecha em B. Resolução: Usando o ponto A como origem para a posição s da seta e em unidades SI, a expressão da aceleração tangencial no intervalo 0 ≤s≤ 0.6 m é a equação da reta que passa pelos pontos ( s , at ) = (0, 4500) e ( s , at ) = (0.6, 0), ou seja, at=4500 −4500 0.6s=4500 1−s 0.6 que pode ser substituída na equação at=vdv ds conduzindo a uma equação diferencial ordinária 4500 1−s 0.6=vdv ds Este tipo de equação em particular chama-se de variáveis separáveis , porque as duas variáveis podem ser separadas nos dois lados da equação da forma seguinte 4500 1−s 0.6ds=vdv 1.6 Equações cinemáticas 21 Escolhendo t = 0 no instante em que a seta parte do ponto A, então a condição inicial necessária para resolver esta equação é que s = 0 quando t = 0. Integração nos dois lados da equação, desde esses valores iniciais até os valores no ponto B, conduz a 4500 0.6 w 01−s 0.6ds= vB w 0 vdv Note-se que os limites nos dois integrais devem ser consistentes; ou seja, cada limite no integral em ordem a s é o valor de s num ponto e o limite correspondente no integral em ordem a v no outro lado da equação é o valor de v nesse mesmo ponto. A resolução dos dois integrais conduz ao valor de vno ponto B v2 B 2=4500 0.6−0.62 2×0.6=⇒vB=52.0m s 1.6.1. Projeção do movimento num eixo Em alguns casos é mais conveniente determinar a posição do ponto na trajetória indicando o valor da projeção desse ponto num eixo retilíneo, por exemplo o eixo dos x, em vez de usar o comprimento de arco. A derivada da projeção x em ordem ao tempo é a velocidade, vx , com que a projeção do ponto se desloca ao longo do eixo dos x e a derivada de vx em ordem ao tempo é a aceleração, ax , do movimento do ponto projetado no eixo dos x . Observe-se que vx=0 não implica que a velocidade v seja nula; pode acontecer que nesse ponto a trajetória seja perpendicular ao eixo x. As equações cinemáticas da projeção do movimento no eixo dos x são semelhantes às equações 1.18 vx=Û x ax=Û vxax=Ü x ax=vx dvx dx(1.23) No caso particular do movimento retilíneo, o eixo pode ser a própria trajetória e, nesse caso, x=s , vx=v e ax=at . Em vez da variável x pode usar-se qualquer outra letra para identificar ou eixo, por exemplo, you z. 22 Cinemática 1.6.2. Aceleração da gravidade No seu livro de 1638, “Diálogos Acerca de Duas Novas Ciências”, Galileu Galilei explicou, pela primeira vez, que o movimento de um projétil no ar pode ser decomposto na sobreposição de dois movimentos: o movimento da projeção do projétil num eixo horizontal e o movimento da sua projeção num eixovertical. A figura1.10éigual à figura108nolivro de Galileuerepresenta um objeto que foi lançado numa plataforma horizontal, abandonando a plataforma no ponto b. abcde io g l n f h Figura 1.10.: Trajetória de um projétil, tal como foi explicada por Galileu. Galileu também descobriu que, quando a resistência do ar pode ser desprezada, por exemplo, se o projétil tem forma compacta e a sua trajetória não é muito comprida, o movimento da projeção horizontal é retilíneo e uniforme. Ou seja, em intervalos de tempo iguais, os deslocamentos horizontais do objeto são ab , bc , cd , de , etc, todos com o mesmo comprimento. Na direção vertical, as distâncias que o objeto cai durante esses intervalos de tempo aumentam quadraticamente; isto é, durante o primeiro intervalo de tempo a distância descida é ci , durante o segundo intervalo já tem descido uma distância total df , que é quatro vezes maior que ci e durante o terceiro intervalo a distância total descida é eh, nove vezes maior do que ci. A componente vertical da velocidade aumenta, mas como os deslocamentos verticais nos intervalos de tempo iguais, bo , og , gl e ln , estão na proporção 1, 3, 5 e 7, então a componente vertical da aceleração (aumento da componente vertical da velocidade) é constante. Galileu também observou que essa aceleração é igual para todos os objetos, independentemente do seu tamanho 1.6 Equações cinemáticas 23 ou da sua massa, e é a aceleração da gravidade, representada pela letra g. O valor da aceleração da gravidade é ligeiramente diferente em diferentes locais na superfície da Terra, mas é aproximadamente igual a 9.8 m/s 2 . A resistência do ar produz outra aceleração que contraria o movimento, mas quando essa resistência for desprezável, admite-se que o valor da aceleração é constante e igual a g. A aceleração tangencial produzida pela gravidade pode ser positiva, negativa ou nula, já que pode fazer aumentar ou diminuir a velocidade do objeto, e pode ter um valor menor que g se a trajetória não for vertical, mas a componente vertical da trajetória é sempre g e a componente horizontal é nula. Se o eixo dos yfor definido na vertical e apontando para cima, então as componentes da aceleração são ay=−9.8 m/s2eax= 0. Exemplo 1.4 Atira-se uma pedra desde uma ponte que está 5 m acima de um rio, com velocidade de 15 m/s e dirigida 36.9 ◦ para cima da horizontal. Determine a velocidade que terá a pedra quando entrar na superfície do rio e a altura máxima da sua trajetória, medida desde a superfície do rio (admita que a resistência do ar pode ser desprezada). Resolução . A componente horizontal da velocidade inicial é 15 cos 36.9 ◦ = 12.0 m/s e a componente vertical é 15 sin 36.9 ◦ = 9.0 m/s. é conveniente escolher o eixo dos x na horizontal, seguindo a direção da projeção horizontal da velocidade, e o eixo dos y na vertical e apontando para cima. A origem pode ser escolhida no ponto onde a pedra foi lançada, mas neste caso vamos escolhê-la diretamente por baixo desse ponto e sobre a superfície do rio. Nesse sistema de coordenadas, a posição inicial é x =0e y = 5 (unidades SI), as componentes da velocidade são vx = 12, vy = 9 e as componentes da aceleração são ax= 0, ay=−9.8. Os dois movimentos ao longo dos dois eixos podem ser analisados independentemente. Como o movimento ao longo do eixo dos y é uniformemente acelerado, podem usar-se as equações 1.14,1.15 e1.16. No entanto, mostraremos como resolver o problema usando o método de separação de variáveis, que pode ser aplicado em mais casos. O valor constante de ay pode substituir-se na segunda e quartas equações 1.23 (usando y em vez de x ), obtendo-se duas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: −9.8= dvy dt−9.8=vy dvy dy 24 Cinemática Para obter a velocidade da pedra quando entra na água, é necessário resolver a segunda equação, que pode ser feito separando as variáveis y e vy aos dois lados da equação −9.8 d y=vydvy A seguir, integra-se o lado esquerdo da equação, desde a altura inicial y = 5, até à altura final y = 0 e o lado direito integra-se desde a velocidade inicial vy= 9 até o seu valor final, vf, ainda desconhecido − 0 w 5 9.8 d y= vf w 9 vydvy Calculam-se estes dois integrais (no Maxima usa-se integrate (9.8,y,5,0) e integrate (vy,vy,9,vf)) e o resultado é 9.8×5= v2 f 2−81 2=⇒vf=−√98 +81 (a segunda solução, +√98 +81 , corresponde à velocidade que a pedra teria se tivesse sido lançada para cima desde o rio, passando pela ponte com componente vertical da velocidade igual a 9 m/s e para cima). Assim sendo, a componente vertical da velocidade quando a pedra entra no rio é vf = − 13.38 m/s. Como o movimento na horizontal é uniforme, a componente horizontal da velocidade é sempre igual ao seu valor inicial 12.0 m/s e a velocidade com que a pedra entra no rio é v=√13.382+122=18.0 m/s No ponto da trajetória onde a altura é máxima, a componente vertical da velocidade é nula, porque a pedra pára de subir e começa a descer. Os mesmos dois integrais já calculados podem ser calculados novamente, mas mudando o ponto final do integral do ponto onde a pedra entra no rio, para o ponto onde está na sua altura máxima, com valor de y ainda desconhecido, mas com componente vertical da velocidade vynula − ym w 5 9.8 d y= 0 w 9 vydvy onde ym é a altura máxima. Resolvem-se esses integrais e obtém-se assim o valor da altura máxima 9.8(5−ym)=−81 2=⇒ym=9.13 m Perguntas 25 Perguntas 1. A aceleração tangencial de um objeto é at=4t (unidades SI). Se no instante inicial t = 0 a velocidade for igual a 4 m/s, qual será a velocidade 3 segundos mais tarde? A. 22 m/s B. 18 m/s C. 40 m/s D. 36 m/s E. 4 m/s 2. Em qual dos seguintes casos é possível afirmar, sem lugar a dúvida, que a rapidez do objeto está a diminuir? A. v= 3 m/s, at= 5 m/s2 B. v=−3 m/s, at= 5 m/s2 C. vy= 3 m/s, ay= 5 m/s2 D. vy=−3 m/s, ay= 5 m/s2 E. vy=−3 m/s, ay=−5 m/s2 3. A expressão da velocidade de uma partícula que se desloca no eixo dos x é vx=2x2 . Qual é a expressão correta para a aceleração tangencial ax ? A. 8x3 B. 4x C. 2x2 t D. 2x E. 2x3 4. O gráfico mostra a velocidade de um corpo, em função do tempo. Determine a distância percorrida desde t= 0 até t= 5 s. 0t (s) v (m/s) 3 5 9 2 4 A. 1 m B. 12 m C. 7 m D. 5 m E. 19 m 32 Cinemática vetorial 2.1. Vetores Uma grandeza que tem sempre o mesmo valor, quando é medida por diferentes observadores em diferentes referenciais, chama-se escalar . Algumas das grandezas usadas no capítulo anterior são escalares; por exemplo, o deslocamento ∆se o intervalo de tempo ∆t. a a b P1 P2 P5 P6 P3 P4 Figura 2.1.: Vetores livres. Alguns exemplos de grandezas físicas que não são escalares são as componentes da posição, velocidade e aceleração ao longo de um eixo. Alterando a direção, o sentido ou a origem desse eixo, os valores dessas grandezas também se alteram. É útil escrever as equações da física de forma a que sejam iguais em qualquer referencial e os vetores permitem atingir esse objetivo. Um exemplo típico de vetor é o vetor deslocamento, que é um segmento de reta orientado entre dois pontos P 1 e P 2 no espaço, em que o primeiro ponto é considerado a origem do segmento e o outro ponto o fim. Por exemplo, na figura 2.1 está representado o vector com origem num ponto P 1 e fim num ponto P 2 ; a seta indica qual é o ponto final e por cima da letra usada para representar o vetor coloca-se também uma seta, ® a , para que fique claro que se trata de um vetor e não de uma variável algébrica comum. 2.1.1. Propriedades dos vetores A distância entre o ponto inicial e final de um vetor deslocamento chama-se módulo , ou norma. Se um vetor é representado por ® a , então neste livro o módulo desse vetor representa-se por a (a mesma letra mas sem seta). Como a distância entre dois pontos é um escalar, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar. Um vetor é caraterizado pelo seu módulo, pela sua direção , que é a orientação da reta que passa pelos dois pontos, e pelo seu sentido, que indica qual o ponto inicial e qual o ponto final nessa reta. Dois vetores são iguais se, e só se, a suas direções, sentidos e módulos são iguais. Por exemplo, na figura 2.1 o vetor entre os pontos P 1 e P 2 e 2.1 Vetores 33 o vetor entre os pontos P 3 e P 4 consideram-se iguais e, por isso, foram identificados com a mesma letra, ® a . A distância entre P 3 e P 4 é igual à distância entre P 1 e P 2 e as retas que passam por esses dois pares de pontos são paralelas. O vetor ® b , entre os pontos P 5 e P 6 , não é igual a ® a por ter módulo e direção diferentes. Este tipo de vetores chamam-se vetores livres porque não interessam os pontos específicos onde estejam colocados, sempre que esses pontos definam corretamente o módulo, direção e sentido do vetor. a b c P Q R Figura 2.2.: Soma de vetores. Na figura 2.2, partindo do ponto P o vetor ® a produz um deslocamento até o ponto Q; a seguir, o vetor ® b provocará um deslocamento até o ponto R; assim sendo, o deslocamento combinado de ® a e ® b é equivalente ao deslocamento desde P até R, representado na figura pelo vetor ® c . Diz-se que ® c é igual à soma dos vetores ® ae® b ® a+® b=® c(2.1) Ou seja, a adição de dois vetores consiste em deslocar um deles de forma a fazer coincidir o seu ponto inicial com o ponto final do primeiro, obtendo-se como resultado o vetor que vai desde o ponto inicial do primeiro vetor até o ponto final do segundo. A equação ® a + ® b=® c implica que ® b=® c−® a e a figura 2.2 mostra que o vetor ® b vai desde o ponto final de ® a até o ponto final de ® c , quando os pontos iniciais de ® a e ® c coincidem. Como tal, para subtrair dois vetores deslocam-se para um ponto inicial comum e o resultado da subtração é o vetor que vai desde o ponto final do segundo vetor, até o ponto final do primeiro vetor. A adição de vetores é comutativa: deslocar o vetor ® b a continuação do vetor ® a produz o mesmo resultado do que deslocar o vetor ® a a continuação do vetor ® b (figura 2.3). A soma dos vetores ® a e ® b é a diagonal do paralelogramo em que dois dos lados são iguais a ® a e os outros dois lados são iguais a ® b . A soma de vários vetores também verifica a propriedade associativa. Seguindo as regras para soma e subtração de vetores, a soma de um vetor com si próprio, ® a + ® a , é um vetor com a mesma direção e o mesmo sentido, mas com módulo duas vezes maior e a subtração de um vetor a si próprio, ® a−® a , produz um vetor nulo (o mesmo ponto inicial e final). Generalizando 34 Cinemática vetorial b b a a a + b Figura 2.3.: Regra do paralelogramo para somar vetores. esses resultados, define-se o produto de um escalar k e um vetor ® a , igual a outro vetor com a mesma direção de ® a mas com módulo igual a |k|a . O sentido de k® a é o mesmo de ® a , se k for positivo, ou oposto se k for negativo. Costuma escrever-se primeiro o escalar e a seguir o vetor, mas o produto entre escalar e vetor é comutativo. Se k for igual a zero, k® a é o vetor nulo, ® 0. Qualquer vetor ® a é igual ao produto aˆ a , em que ˆ a é um vetor de módulo unitário, com a mesma direção e sentido de ® a (figura 2.4). Esse vetor unitário, com a mesma direção e sentido de ® a , chama-se versor de ® a . Neste livro usa-se um til para indicar versores. a ˆa Figura 2.4.: Versor ˆ aassociado ao vetor ® a. No capítulo anterior foi dito que a posição de um ponto P no espaço é dada por três coordenadas definidas em algum sistema de coordenadas e foram introduzidas as coordenadas cartesianas . A figura 2.5 mostra as coordenadas cartesianas (x,y,z) de um ponto P. Existem duas formas diferentes de definir os sentidos positivos dos três eixos x , y e z . A forma habitual consiste em seguir a regra da mão direita : fecha-se o punho direito, esticam-se os dedos maior, indicador e polegar, de forma a formarem ângulos retos entre si; o indicador apontará no sentido do eixo dos x , o dedo maior no sentido do eixo dos y e o polegar no sentido do 2.1 Vetores 35 x y z r ˆi ˆj ˆ k x y z OP Figura 2.5.: Coordenadas cartesianas de um ponto P e versores cartesianos. eixo dos z . Um referencial cartesiano pode ser definido indicando o ponto O que define a origem e 3 versores perpendiculares, ˆ ı , ˆ  e ˆ k , que definem as direções e sentidos dos 3 eixos. Qualquer vetor pode ser obtido somando 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos; por exemplo, ® a=axˆ ı+ayˆ +azˆ k ® b=bxˆ ı+byˆ +bzˆ k(2.2) em que ( ax , ay , az )e( bx , by , bz ) são as componentes cartesianas dos vetores. Usando as propriedades da soma vetorial e do produto de escalar por vetor, a soma dos dois vetores ® a e ® b pode obtida somando as respetivas componentes: ® a+® b=(ax+bx)ˆ ı+(ay+by)ˆ +(az+bz)ˆ k(2.3) Ou seja, a soma de dois vetores é outro vetor com componentes iguais à soma das componentes dos vetores originais. Observe que a direção, o sentido e o módulo de um vetor ® a são independentes do sistema de eixos usado e da escolha da origem O; no entanto, as suas componentes ( ax , ay , az ) são diferentes em diferentes sistemas de eixos. Se dois vetores são iguais, as suas componentes, no mesmo sistema de eixos, também devem ser iguais. 36 Cinemática vetorial O vetor posição de um ponto P, com coordenadas ( x , y , z ), é o vetor ® r que vai desde a origem O até o ponto P e pode ser obtido somando 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos (ver figura 2.5): ® r=xˆ ı+yˆ +zˆ k(2.4) Observe-se que as componentes desse vetor posição são iguais as coordenadas cartesianas do ponto P, ( x , y , z ). O vetor posição do ponto P depende da origem do sistema; ou seja, em dois sistemas com origens diferentes os vetores posição do ponto P são diferentes. Em dois sistemas diferentes mas com a mesma origem, o vetor posição de P é o mesmo, mas as suas componentes são diferentes nos dois sistemas. 2.1.2. Velocidade e aceleração vetoriais A trajetória de um ponto em movimento pode ser definida em cada instante tatravés do vetor posição do ponto, ® r(t)=x(t)ˆ ı+y(t)ˆ +z(t)ˆ k(2.5) Cada uma das três componentes, x(t) , y(t) e z(t) , é uma função do tempo. Num intervalo de tempo ∆t=t2−t1 o deslocamento do ponto (ver figura 2.6) é igual a ∆® r=® r2−® r1(2.6) em que ® r1e® r2são os vetores posição nos instantes t1et2. O vetor obtido dividindo o deslocamento ∆® r por ∆t é o vetor velocidade média, com a mesma direção e sentido do deslocamento ∆® r . Define-se o vetor velocidade em cada instante, igual ao deslocamento dividido por ∆t , no limite em que ∆tse aproxima de zero, ® v=lim ∆t→0 ∆® r ∆t =d® r dt(2.7) Como as componentes cartesianas do deslocamento vetorial ∆® r são ∆x , ∆ye∆z, então o vetor velocidade é igual a ® v=Û xˆ ı+Û yˆ +Û zˆ k(2.8) 2.1 Vetores 37 x y z r1 r2 ∆ r O P1 P2 Figura 2.6.: Trajetória de um ponto e deslocamento ∆® r entre dois instantes t1et2. As equações obtidas aplicando a equação 1.5 às três componentes do vetor posição combinam-se numa única equação vetorial: ® r=® r0+ t w 0® vdt(2.9) O aumento do vetor velocidade, ∆® v , durante o intervalo de tempo ∆t , dividido por esse intervalo, define o vetor aceleração, ® a=lim ∆t→0 ∆® v ∆t =d® v dt(2.10) e as suas componentes são as derivadas das componentes da velocidade: ® a=Û vxˆ ı+Û vyˆ +Û vzˆ k=Ü xˆ ı+Ü yˆ +Ü zˆ k(2.11) As equações obtidas aplicando a equação 1.11 às três componentes do vetor velocidade combinam-se também numa única equação vetorial: ® v=® v0+ t w 0® adt(2.12) As equações 2.8 e2.11 são as equações cinemáticas em 3 dimensões, escritas de forma vetorial. Como a igualdade de dois vetores implica a igualdade das 38 Cinemática vetorial suas componentes, verifica-se vx=Û x , ax=Û vx=Ü x e equações semelhantes para as componentes y e z . Portanto, o movimento em 3 dimensões é a sobreposição de 3 movimentos em uma dimensão, ao longo dos eixos x , y e z , e cada um desses movimentos obedece as equações cinemáticas ao longo de um eixo, estudadas no capítulo anterior. Para cada uma das componentes cartesianas há uma quarta equação cinemática que relaciona a aceleração com a velocidade e a posição, ax=vx dvx dxay=vy dvy dyaz=vz dvz dz(2.13) que podem ser combinadas numa equação vetorial: ® a·d® r=® v·d® v , onde o ponto “ · ” representa o produto escalar, que será introduzido na próxima secção. No entanto, para resolver equações diferenciais usando o método do capítulo anterior é mais útil usar as 3 equações 2.13 por separado. A rapidez |v| referida no capítulo anterior é o módulo do vetor ® v . Quando se trabalha com vetores, costuma chamar-se velocidade ao vetor ® v e “valor da velocidade” a v ; de forma análoga, o vetor ® a costuma chamar-se aceleração eachama-se valor da aceleração. Exemplo 2.1 A velocidade de uma partícula em função do tempo t é dada pela expressão (unidades SI): ® v=5−t2e−t/5ˆ ı+3−e−t/12ˆ  A partícula passa pela posição (2 ˆ ı + 5 ˆ  ) no instante t = 0. Encontre o vetor posição, a velocidade e a aceleração no instante t = 15 s e quando t tende para infinito. Trace o gráfico da trajetória da partícula durante os primeiros 60 segundos do movimento. Resolução . As componentes da velocidade podem ser representadas por uma lista no Maxima: (%i1) v:[5-t^2*exp(-t/5), 3-exp(-t/12)]; (%o1) h5−t2e−t/5,3−e−t/12i As funções diff eintegrate aceitam também uma lista com expressões, derivando (ou integrando) cada um dos elementos da lista. Assim sendo, a aceleração (derivada da velocidade em ordem ao tempo) é, 2.1 Vetores 39 (%i2) a:diff (v,t); (%o2) "t2e−t/5 5−2te−t/5,e−t/12 12 # O vetor posição em qualquer instante pode obter-se a partir da equação 2.9. Quando se integram listas no Maxima, integrate não aceita que a mesma variável de integração apareça num dos limites do integral. Para evitar esse erro, a variável de integração, t, pode ser substituída por outra variável u. (%i3) assume (t>0)$ (%i4) r:expand([2,5]+integrate(subst(t=u,v), u,0,t)); (%o4) h5t2e−t/5+50 te−t/5+250 e−t/5+5t−248,12 e−t/12 +3t−7i usou-se o comando assume para indicar que t é positiva; se não tivesse sido usado, Maxima teria perguntado o sinal de t , já que o resultado do integral depende desse sinal. O vetor posição, a velocidade e a aceleração aos 15 segundos são, (%i5) float (subst (t=15,r)); (%o5) [−67.2,41.44] (%i6) float (subst (t=15,v)); (%o6) [−6.202,2.713] (%i7) float (subst (t=15,a)); (%o7) [0.7468,0.02388] Para obter os vetores no limite do tempo infinito, usa-se a função limit e o símbolo inf que representa infinito: (%i8) limit (r,t,inf); (%o8) [∞,∞] (%i9) limit (v,t,inf); (%o9) [5,3] (%i10) limit (a,t,inf); (%o10) [0,0] 40 Cinemática vetorial Ou seja, a partícula atinge velocidade constante 5ˆ ı+3ˆ  , afastando-se até o infinito. Para traçar o gráfico da trajetória, usa-se a opção parametric da função plot2d. As componentes x e y do vetor posição devem ser dadas por separado, porque a função plot2d não admite que sejam dadas numa lista. O primeiro elemento da lista r(componente x ) identifica-se usando a sintaxe r [1] e o segundo elemento (componente y) com r[2] (%i11) plot2d ([parametric,r[1],r[2]], [t,0,60], [xlabel,"x"], [ylabel,"y"]); O intervalo de tempo desde 0 até 60 foi indicado usando a notação [t,0,60]. O resultado mostra-se na figura 2.7. y x 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 Figura 2.7.: Trajetória da partícula durante os 60 segundos após ter passado pelo ponto (5, 2). 2.1.3. Produto escalar O produto escalar entre dois vetores ® a e ® b , indicado por meio de um ponto entre os vetores, ® a·® b , define-se como o produto entre os módulos dos dois vetores e o cosseno do ângulo θentre eles: ® a·® b=a b cos θ(2.14) 2.1 Vetores 41 A figura 2.8 mostra dois vetores ® a e ® b e o ângulo θ entre eles. A projeção do vetor ® a na direção paralela ao vetor ® b é igual a acos θ e a projeção do vetor ® b na direção paralela ao vetor ® a é igual a bcos θ . Assim sendo, o produto escalar entre os dois vetores é igual ao produto do módulo de um dos vetores pela projeção do outro vetor na direção do primeiro. a cos θ b cos θ θ θ a b Figura 2.8.: Dois vetores ® ae® be o ângulo θentre entre eles. Este produto denomina-se escalar porque os módulos dos dois vetores e o ângulo entre as direções são grandezas escalares, que não dependem do referencial usado para os medir; consequentemente, o produto a b cos θ é também um escalar, independente do sistema de eixos usado. Duas retas que se cruzam num ponto definem dois ângulos θ e (180 ◦−θ ). No caso de vetores, não existe ambiguidade na definição do ângulo, porque deslocando os vetores para um vértice comum, mede-se o ângulo na região por onde passa o vetor ® a+® b(ver figura 2.9). O produto escalar entre dois vetores com módulos a e b está sempre no intervalo [ −a b , a b ]. Se o ângulo entre os vetores é agudo, cos θ > 0, o produto é positivo. Se o ângulo é obtuso, cos θ < 0, o produto é negativo e se os vetores são perpendiculares, cos θ = 0, o produto é nulo (figura 2.9). O valor mínimo do produto, −a b , obtém-se quando os vetores têm a mesma direção, mas com sentidos opostos. O valor máximo, a b , obtém-se quando os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. θ a b a b θ a b Figura 2.9.: Vetores que formam ângulos agudo, reto e obtuso. Como o módulo dos versores é igual a 1, o produto entre dois versores é 48 Cinemática vetorial equação anterior em ordem ao tempo, obtém-se, Û x=−2Û y(2.27) Ou seja, o valor da velocidade do carrinho será sempre o dobro do valor da velocidade do cilindro. O sinal negativo na equação acima indica que se o cilindro desce o carrinho desloca-se para a direita e vice-versa. Derivando novamente essa última equação em ordem ao tempo, conclui-se que a aceleração tangencial do carrinho é também o dobro da aceleração tangencial do cilindro: Ü x=−2Ü y(2.28) Essas relações entre as posições, velocidades e acelerações implicam que o sistema tem apenas um grau de liberdade. Uma vez conhecidas as expressões para a posição, velocidade e aceleração de um dos objetos, as expressões da posição, velocidade e aceleração do outro objeto serão obtidas multiplicando (ou dividindo) por 2. Um segundo exemplo, com dois graus de liberdade, é o sistema de três roldanas e três cilindros na figura 2.13. As alturas dos três cilindros são determinadas pelos valores das 3 distâncias yA , yB e yC ; como existe um único fio em movimento, existe apenas uma restrição (comprimento do fio constante), que permitirá expressar uma das três distâncias em função das outras duas. CBA yAyC yB Figura 2.13.: Sistema com três movimentos dependentes e dois graus de liberdade. 2.4 Movimentos dependentes 49 O comprimento do fio é, L=yA+2yB+yC+constante (2.29) em que a constante é a soma de metade dos perímetros das roldanas, que não é importante conhecer, já que vai desaparecer quando a equação for derivada e só altera as posições num valor constante. A derivada da equação anterior em ordem ao tempo é, Û yA+2Û yB+Û yC=0(2.30) Neste caso existem vários possíveis movimentos; por exemplo, se o cilindro A estiver a subir e o cilindro C estiver a descer com a mesma velocidade, o cilindro B permanecerá estático; ou um dos cilindros poderá estar a descer e os outros dois a subir. O que sim não é possível é que os 3 cilindros estejam simultaneamente a descer ou a subir. A derivada da equação 2.30 conduz à relação entre as acelerações, Ü yA+2Ü yB+Ü yC=0(2.31) Exemplo 2.3 No sistema da figura, calcule o valor da velocidade com que sobe o cilindro, quando o anel A for puxado para baixo com velocidade de valor 2 m/s. y1 y2 y3 y4 A 50 Cinemática vetorial Resolução: Neste caso há 4 sistemas em movimento, as três roldanas móveis e o anel A (o movimento do cilindro é igual ao da roldana móvel da qual está pendurado) e 3 fios inextensíveis; portanto, este sistema tem apenas um grau de liberdade. Com o valor da velocidade de A dada no enunciado será possível calcular as velocidades de todas as roldanas móveis. Sendo y1 a distância desde o teto até o anel e y2 , y3 e y4 as distâncias desde o teto até cada uma das roldanas móveis, os comprimentos dos 3 fios são: L1=y1+2y2+constante L2=y3+(y3−y2)+constante L3=y4+(y4−y3)+constante Derivando essas três equações, obtém-se: vy1=−2vy2vy2=2vy3vy3=2vy4 e substituindo, encontra-se a relação entre vy1evy4, vy1=−8vy4 isto é, o valor da velocidade com que desce o anel é 8 vezes o da velocidade com que o cilindro sobe. Assim sendo, o cilindro sobe com velocidade de valor 0.25 m/s. Perguntas 51 Perguntas 1. O bloco na figura encontra-se sobre um plano inclinado a 40 ◦ . Um extremo do fio está preso na parede e o outro extremo está a ser deslocado com velocidade de valor v no sentido indicado na figura. Qual é o valor da velocidade do bloco em função de v? 40˚ v A. v B. v/2 C. vcos 40◦ D. 2 v E. vsin 40◦ 2. Um automóvel entra numa curva com velocidade de valor 10 m/s em direção sul e 6 segundos mais tarde continua com o mesmo valor da velocidade, mas em direção oeste. Calcule o módulo da aceleração média durante esse intervalo. A. 1.67 m/s2 B. 2.36 m/s2 C. 2.89 m/s2 D. 3.33 m/s2 E. 0 3. Dispara se um projétil com velocidade inclinada 40 ◦ sobre a horizontal. Se no ponto mais alto da sua trajetória o valor da sua velocidade é 80 m/s e se a resistência do ar pode ser ignorada, qual foi aproximadamente o valor da velocidade com que foi lançado? A. 104.4 m/s B. 124.5 m/s C. 61.3 m/s D. 51.3 m/s E. 80 m/s 4. Uma partícula que se desloca a 4 m/s na direção do eixo dos y sofre uma aceleração com valor constante 3 m/s 2 , na direção do eixo dos x , durante dois segundos. Qual será o valor final da velocidade? A. 5.0 m/s B. 6.3 m/s C. 7.2 m/s D. 8.4 m/s E. 10.0 m/s 52 Cinemática vetorial 5. No sistema da figura, com um carrinho, uma barra, um cilindro, 2 roldanas móveis e 4 roldanas fixas, a barra permanece sempre horizontal. Quantos graus de liberdade tem o sistema?> A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Problemas 1. (a) Demonstre a lei dos cossenos: Em qualquer triângulo com lados de comprimento a,bec, verifica-se a relação, a2=b2+c2−2b c cos α em que α é o ângulo oposto ao lado de comprimento a ; o teorema de Pitágoras é um caso particular, em que α é um ângulo reto. Sugestão : desenhe o triângulo formado por dois vectores ® b e ® c e a sua soma ® a=® b+® c e calcule o produto ® a·® a . (b) O ângulo entre dois vetores, com módulos de 5 e 8 unidades, é 42 ◦ ; usando a lei dos cossenos, calcule o módulo da soma desses vetores. 2. Dados dois vetores ® a=3ˆ ı+4ˆ −5ˆ ke® b=−ˆ ı+2ˆ +6ˆ k, calcule: (a) O módulo de cada vetor. (b) O produto escalar ® a·® b. (c) O ângulo entre os vetores. (d) A soma ® a+® b. (e) A diferença ® a−® b. Problemas 53 3. A velocidade de uma partícula em movimento no plano xy é dada pela expressão: ® v=3 e−2tˆ ı−5 e−tˆ  (unidades SI). No instante t = 0 a partícula encontra-se no eixo dos y, na posição 2ˆ . (a) Determine em que instante passará pelo eixo dos x e a que distância da origem estará nesse instante. (b) Calcule a aceleração em t = 0 e no instante em que passa pelo eixo dos x. 4. Um corpo encontra-se inicialmente na posição ® r0=3ˆ ı+ˆ −ˆ k (unidades SI) com velocidade ® v0=5ˆ +4ˆ k . Em qualquer instante, a aceleração é dada pela expressão ® a=2t2ˆ ı+3tˆ k . Encontre as expressões para a velocidade e a posição em função do tempo. 5. Um projétil é lançado desde o chão, com uma inclinação de 30 ◦ com a horizontal. Que valor deverá ter a velocidade inicial para que bata no chão a 30 m do ponto de lançamento? (admita que a resistência do ar pode ser desprezada.) 6. Uma pedra roda pelo telhado de uma casa, que faz um ângulo de 20 ◦ com a horizontal. No instante em que a pedra abandona o telhado e cai livremente, o valor da sua velocidade é 4 m/s e encontra-se a uma altura de 6 m. Admitindo que a resistência do ar é desprezável, (a) Calcule o tempo que demora a cair ao chão, desde o instante em que abandona o telhado. (b) A que distância horizontal bate a pedra no chão, em relação ao ponto onde abandonou o telhado? (c) Calcule o ângulo que a velocidade da pedra faz com a vertical no instante em que bate no chão. 7. Um barco transposta passageiros de uma margem de um rio para a outra margem, seguindo o percurso mais curto de 1.5 km entre as duas margens. Quando o motor do barco funciona na potência máxima, a travessia demora 20 minutos, num dia em que o valor da velocidade da corrente no rio é 1.2 m/s; calcule o valor da velocidade do barco, nesse dia, (a) em relação à Terra e (b) em relação à água. (c) Determine o tempo mínimo que o barco demorava a atravessar o mesmo rio, num dia em que o valor da velocidade da corrente fosse 0.8 m/s. 8. Dentro de um comboio que se desloca horizontalmente, com velocidade de valor constante 35 km/h, um passageiro em pê numa cadeira lança horizontalmente um objeto, no sentido oposto ao deslocamento do 54 Cinemática vetorial comboio. Em relação ao chão da carruagem, o objeto foi lançado desde uma altura de 3 m e desloca-se horizontalmente 3 m antes de bater no chão. Em relação ao referencial da Terra, qual foi a distância horizontal percorrida pelo objeto antes de bater no chão? 9. Um objeto parte da origem em t = 0 e em t > 0 a sua posição é dada pelo vetor ® r=31−e−tˆ ı+41−e−2tˆ (unidades SI). (a) A que distância da origem estará o objeto quando t→∞? (b) Calcule a distância total percorrida desde t = 0 até t→∞ (o integral obtido não pode ser calculado por métodos analíticos, mas pode ser resolvido numericamente, no Maxima, usando a função romberg, que precisa dos mesmos 4 argumentos dados à função integrate; em vez de t→∞ , use, t = 10 e obtenha o resultado; aumente o valor de t sucessivamente e observe os resultados obtidos até poder concluir que o resultado está a aproximar-se de um valor limite). 10. Três cilindros A, B e C foram pendurados no sistema de duas roldanas que mostra a figura. Num instante, a velocidade do bloco A é vA = 3 m/s, para cima, e a sua aceleração é aA = 2 m/s 2 , para baixo; no mesmo instante, a velocidade e aceleração do bloco C são: vC = 1 m/s, para baixo, aC = 4 m/s 2 , para cima. Determine a velocidade e aceleração do bloco B, no mesmo instante, indicando se são para cima ou para baixo. A B C vA aA aC vC Problemas 55 11. No sistema da figura, encontre a relação entre os valores das velocidades e das acelerações da barra A e do cilindro B, admitindo que a barra A permanece sempre horizontal. A B 12. O carrinho na figura desloca-se para a esquerda, com velocidade de valor constante 4 m/s. Sabendo que a altura h é igual a 25 cm e arbitrando t = 0 no instante em que a distância x é nula, encontre expressões para os valores da velocidade e da aceleração do cilindro (admita que os raios das roldanas podem ser desprezados). x y d h v 56 Cinemática vetorial Respostas Perguntas: 1. B. 2. B. 3. A. 4. C. 5. B. Problemas 1. (a) ® a·® a=a2=b2+c2+2® b·® c . Como o ângulo entre os dois vetores é θ=180◦−α, segue que ® b·® c=b c cos(180◦−α)=−b c cos α (b) 12.18 unidades. 2. (a) a=5√2 , b=√41 . (b) − 25. (c) 123.5 ◦ . (d) 2ˆ ı+6ˆ +ˆ k . (e) 4ˆ ı+2ˆ −11ˆ k. 3. (a)t= 0.5108 s, x= 0.96 m. (b) Em t = 0, ® a=(−6ˆ ı+5ˆ ) m/s 2 . Quando passa pelo eixo dos x , ® a=(−2.16ˆ ı+3ˆ )m/s2. 4. ® v=2 3t3ˆ ı+5ˆ +4+3 2t2ˆ k ® r=3+t4 6ˆ ı+(1+5t)ˆ +−1+4t+t3 2ˆ k 5. v= 18.43 m/s. 6. (a) 0.976 s. (b) 3.67 m. (c) 19.0◦. 7. (a) 1.25 m/s. (b) 1.73 m/s. (c) 16 minutos e 20 segundos. 8. 4.6 m. 9. (a) 5 m. (b) 5.23 m. 10. 5 m/s para baixo e aceleração nula. 11. vB=−4vA,aB=−4aA 12. v=64 t √256 t2+1 at=64√256 t2+1 65536 t4+512 t2+1(SI) 3. Movimento curvilíneo As fortes acelerações sentidas numa montanha russa não são devidas apenas aos aumentos e diminuições de velocidade, mas são causadas também pelo movimento curvilíneo. A taxa de aumento da velocidade é apenas uma das componentes da aceleração, a aceleração tangencial. A outra componente da aceleração depende da velocidade e do raio de curvatura da trajetória como se demonstra neste capítulo. 64 Movimento curvilíneo parabólica. Usando a equação 3.11 determina-se a expressão para o raio de curvatura: (%i8) R:ratsimp (v^2/an); (%o8) √t2+15t2+5 Nos instantes t=0et= 1 os raios de curvatura são, (%i9) subst (t=0,R); (%o9) 5 (%i10) float (subst (t=1,R)); (%o10) 14.14 3.3. Movimento circular No caso em que o raio de curvatura R é constante e o centro de curvatura permanece fixo, a trajetória é uma circunferência e o movimento é circular, como no caso ilustrado na figura 3.6. Para determinar a posição em cada instante, basta um único grau de liberdade, que pode ser a posição na circunferência, s, ou o ângulo θ. R s θ s = 0 , θ = 0 C Figura 3.6.: Duas posições numa trajetória de um movimento circular. A relação entre o ângulo e a posição na trajetória, se a origem usada para 3.3 Movimento circular 65 medir as duas e o sentido positivo são os mesmos (ver figura 3.6), é s=Rθ(3.12) Sendo Rconstante, derivando os dois lados da equação anterior obtém-se, v=Rω(3.13) em que ω=Û θ é a velocidade angular . A equação 3.13 é a mesma equação 3.10, que aqui foi obtida no caso particular do movimento circular, em que R é constante, mas trata-se de uma equação geral, válida em qualquer movimento. Derivando os dois lados da equação 3.13 em ordem ao tempo obtém-se, at=Rα(3.14) onde α=Û ω é o valor da aceleração angular . A aceleração centrípeta é dada pela equação 3.11, que pode ser escrita também em função do valor da velocidade angular, an=Rω2=vω(3.15) No caso particular em que a velocidade angular é constante, a velocidade linear também será constante, as acelerações angular e tangencial serão nulas e o movimento chama-se movimento circular uniforme. Nesse caso, como a velocidade angular é constante, a derivada Û θ pode calcular-se dividindo o ângulo num intervalo de tempo qualquer, pelo valor desse intervalo de tempo: ω= ∆θ ∆t(3.16) Num intervalo de tempo igual ao período , T , do movimento circular uniforme, o ângulo corresponde a uma volta completa, ∆θ = 2 π , e a equação anterior conduz a uma expressão para o período, T=2π ω(3.17) A frequência de rotação, f , igual ao inverso do período, é o número do voltas que o ponto dá por unidade de tempo. A relação entre o ângulo de rotação θ e os valores da velocidade angular ω e da aceleração angular α , é análoga à relação entre a posição na trajetória, 66 Movimento curvilíneo s, o valor da velocidade, v, e a aceleração tangencial, at, ω=Û θ α =Û ω α =ωdω dθ(3.18) Estas são as equações cinemáticas para o movimento de rotação, que podem ser resolvidas usando os mesmos métodos usados no capítulo 1. As equações 3.12,3.13 e3.14 mostram que as variáveis cinemáticas de translação ( s , v , at ) sou todas iguais ao produto da respetiva variável cinemática de rotação, (θ,ω,α), pelo raio de curvatura R. 3.4. Cinemática dos corpos rígidos A figura 3.7 mostra um corpo rígido em movimento. O ponto O’ é a origem de um referencial externo fixo e o ponto O é um ponto do corpo, usado como origem de um referencial Oxyzque se desloca com o corpo. O P O′ r r′ r′ o x y z R Figura 3.7.: Corpo rígido em movimento e referencial O xyz que se desloca com ele. Um ponto P do corpo rígido tem vetor posição ® r0 , no referencial fixo, e ® r no referencial que se desloca com o corpo rígido. A relação entre esses dois vetores é a seguinte ® r0=® r+® r0 o(3.19) No referencial O xyz , em que o ponto O está estático, qualquer possível movimento do corpo rígido deixará sempre estáticos os pontos numa reta 3.4 Cinemática dos corpos rígidos 67 que passa por O. Seria impossível conseguir que todos os pontos, excepto O, mudassem de posição. A reta que passa por O e que permanece estática é o eixo de rotação do sólido, e na figura 3.7 foi escolhido como eixo dos z . Em diferentes instantes o eixo de rotação pode ser diferente, mas aqui será discutido o caso da rotação plana, em que os eixos x , y e z permanecem sempre nas mesmas direções. Conforme referido na secção 2.2, como o referencial O xyz tem apenas movimento de translação e as direções dos 3 eixos permanecem constantes, a velocidade e a aceleração do ponto P, em relação ao referencial fixo, são iguais à velocidade e aceleração em relação ao referencial do corpo rígido, mais a velocidade e aceleração do ponto O, relativas ao referencial fixo ® v0=® v+® v0 o® a0=® a+® a0 o(3.20) O módulo do vetor ® r e o ângulo que esse vetor faz com eixo dos z permanecem constantes (figura 3.7). O ponto P descreve um movimento circular, num plano paralelo ao plano xy , com centro no eixo dos z e com raio R , como mostra a figura 3.8. x yv R θ O P Figura 3.8.: Trajetória no referencial do corpo rígido. A velocidade ® v e a aceleração ® a , relativas ao referencial que se desloca com o corpo rígido, são a velocidade e a aceleração do movimento circular do ponto P. De acordo com os resultados da secção anterior, o valor da velocidade vé, v=Rω(3.21) e as componentes normal e tangencial da aceleração ® asão, an=Rω2at=Rα(3.22) 68 Movimento curvilíneo Para expressar a velocidade e aceleração de forma vetorial, é conveniente introduzir coordenadas cilíndricas. A figura 3.9 mostra as três coordenadas cilíndricas ( R , θ , z ) do Ponto P. O plano que passa por P, paralelo ao plano xy , corta o eixo dos z num ponto Q; z é a distância desde esse ponto até à origem O e R é a distância desde o ponto P até o ponto Q. O ângulo θ é o ângulo que a projeção do segmento QP , no plano xy , faz com o semi eixo positivo dos x. θ x y z z R r ˆ k ˆ R ˆe θ O QP Figura 3.9.: Coordenadas cilíndricas. Os três versores perpendiculares associados às coordenadas cilíndricas são os versores ˆ R , ˆ eθ e ˆ k . O versor ˆ k é fixo; os outros dois versores apontam em diferentes direções nos diferentes pontos do espaço, mas estão sempre num plano paralelo ao plano xy . O versor ˆ R tem a direção do segmento QP , no sentido que se afasta do eixo dos z . O versor ˆ eθ tem direção tangente à circunferência com centro em Q e que passa pelo ponto P, no sentido em que θaumenta. A direção da velocidade ® v é a mesma do versor ˆ eθ . Como o valor da velocidade angular ω é a derivada do ângulo θ em ordem ao tempo, ω positiva corresponde a rotação no sentido em que θ aumenta e ω negativa implica rotação no sentido oposto. Assim sendo, a expressão para a velocidade é, ® v=Rωˆ eθ(3.23) A componente tangencial da aceleração ® a é na direção do versor ˆ eθ e a direção da componente normal é a direção do versor ˆ R , mas no sentido oposto; assim sendo conclui-se que, ® a=Rαˆ eθ−Rω2ˆ R(3.24) 3.5 Vetor aceleração angular 69 3.5. Vetor aceleração angular É conveniente definir a velocidade angular como um vetor ® ω , na direção do eixo de rotação, tal como se mostra na figura 3.10. O vetor ® ω tem módulo igual ao valor da velocidade angular, ω , direção paralela ao eixo de rotação e sentido segundo a regra da mão direita para a rotação, ou seja, imaginando um sistema de eixos cartesianos em que o eixo dos z aponta na direção e sentido de ® ω , o corpo rígido roda de forma a que o eixo dos x se aproxime do eixo dos y . Também pode fechar-se o punho direito e estender o dedo polegar apontando no sentido de ® ω e o sentido de rotação é o sentido em que se curvam os outros 4 dedos. φ x y ω R r Figura 3.10.: Vetores velocidade angular e posição. A vantagem de usar um vetor para representar a velocidade angular é que o vetor ® ω define no espaço o plano do movimento circular, o seu sentido e o valor da velocidade angular. A equação 3.23 pode ser escrita de forma vetorial, independente do sistema de coordenadas utilizado, através do produto vetorial, ® v=® ω×® r(3.25) O produto vetorial entre dois vetores ® A e ® B define-se como outro vetor ® C=® A×® B , com módulo igual ao produto dos módulos de ® A e ® B e o seno do ângulo entre eles. Em particular, o módulo do produto vetorial ® ω×® r é |ω|rsin φ . A figura 3.10 mostra o ângulo φ entre os vetores; note-se que sin φ é sempre positivo, porque φ está entre 0 e π . O produto rsin φ é igual a R , já que essa distância é medida no plano de rotação, que é perpendicular ao vetor ® ω . Assim sendo, o módulo de ® ω×® r é igual a R|ω| , que é igual ao módulo de ® v. A direção de ® C=® A×® B é perpendicular ao plano formado por ® A e ® B , 70 Movimento curvilíneo seguindo a regra da mão direita de ® A para ® B : se o dedo indicador da mão direita aponta no sentido de ® A e o dedo médio no sentido de ® B , então o dedo polegar indica o sentido de ® C . A figura 3.10 mostra o plano formado por ® ω e ® r , que é perpendicular ao plano xy , de modo que a direção de ® ω×® r é paralela ao plano xye perpendicular ao plano de ® ωe® r; o sentido de ® ω×® r obtém-se pela regra da mão direita de ® ωpara ® r. O produto vetorial não é comutativo; ou seja, ® A×® B e ® B×® A ) não são iguais porque têm o mesmo módulo e a mesma direção, mas sentidos opostos. Sendo o ângulo de um vetor consigo próprio zero, o produto ® A×® A é nulo. Em particular, ˆ ı׈ ı=ˆ ׈ =ˆ k׈ k = 0. O produto vetorial de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular ao plano deles; é fácil conferir que ˆ ı׈ =ˆ k , ˆ ׈ k=ˆ ı e ˆ k׈ ı=ˆ  . Usando estas propriedades e a lei distributiva do produto vetorial, obtém-se uma expressão para o produto ® A×® Bem função das componentes cartesianas dos vetores ® A×® B=(Axˆ ı+Ayˆ +Azˆ k)×(Bxˆ ı+Byˆ +Bzˆ k) =(AyBz−AzBy)ˆ ı+(AzBx−AxBz)ˆ +(AxBy−AyBx)ˆ k (3.26) resultado esse que pode ser escrito de forma mais compacta através de um determinante: ® A×® B= ˆ ıˆ ˆ k AxAyAz BxByBz  (3.27) Observe-se que na figura 3.10 o triângulo sombrejado tem base igual a |ω| e altura igual a R ; assim sendo, a sua área é igual a metade do módulo do produto vetorial da velocidade angular pelo vetor posição: |® ω×® r|/2=R|ω|/2. Em geral, A área do triângulo formado por dois vetores com origem comum é igual a metade do módulo do produto vetorial dos vetores. As componentes da aceleração dum ponto do corpo rígido, em relação ao referencial que se desloca com o corpo rígido, dadas pela equação 3.24, podem ser escritas também usando produtos vetoriais: ® a=® α×® r+® ω×(® ω×® r)(3.28) onde ® α é o vetor aceleração angular, igual à derivada do vetor velocidade angular. Lembre-se que este resultado é válido unicamente na rotação plana, 3.5 Vetor aceleração angular 71 em que os eixos do referencial em movimento permanecem sempre nas mesmas direções e o cálculo da derivada de ® ω para obter ® α deve ser feito nesse sistema de eixos. Exemplo 3.2 Cola-se um extremo de um fio numa roldana com raio de 5 cm, enrolando-o e pendurando um bloco do outro extremo (ver figura). No instante inicial o bloco e a roldana estão em repouso e o ponto P da roldana encontra-se à mesma altura do seu centro C. O bloco começa a descer, com aceleração constante de valor igual a g /4. Determine a velocidade e a aceleração do ponto P, dois segundos após o instante inicial. PC P C x y R θ Resolução . Escolhe-se um sistema de coordenadas, que pode ser o que se mostra na figura, com origem no centro da roldana. A figura mostra também a posição do ponto P quando a roldana já rodou um ângulo θ desde a posição inicial. O vetor posição do ponto P é, ® rP=−R(cos θˆ ı+sin θˆ ) Para calcular a velocidade do ponto P, é necessária também a velocidade angular, que pode ser obtida a partir do valor da velocidade do bloco. Para encontrar uma expressão para o valor da velocidade do bloco, integra-se a equação Û vb=at Û vb=g 4=⇒vb=gt 4 72 Movimento curvilíneo Como todos os pontos do fio têm esse mesmo valor da velocidade e os pontos da superfície acompanham o movimento do fio, esse será também o valor da velocidade dos pontos na superfície da roldana e o valor da velocidade angular da roldana será vb/R=gt/(4R) . A velocidade angular é perpendicular ao plano xy e, como a rotação é no sentido anti-horário, será, ® ω=gt 4R ˆ k A velocidade do ponto P é igual ao produto vetorial da velocidade angular pelo vetor posição do ponto P: ® vP=® ω×® rP=−gt 4cos θ(ˆ k׈ ı)+sin θ(ˆ k׈ ) =gt 4(sin θˆ ı−cos θˆ ) Se o centro da roldana estivesse em movimento, era necessário adicionar a velocidade do centro. Observe-se que o mesmo resultado podia ter sido obtido derivando ® rP em ordem ao tempo, mas seria necessário obter primeiro a expressão para θ em função do tempo e os cálculos seriam mais complicados. A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em ordem ao tempo, ® α=g 4R ˆ k e a aceleração do ponto P é, ® aP=® α×® rP+® ω×® vP =g 4(sin θˆ ı−cos θˆ )+g2t2 16 R(cos θˆ ı+sin θˆ ) Para encontrar a expressão para θ em função do tempo, integra-se a equação Û θ=ω Û θ=gt 4R =⇒θ=gt2 8R substituindo os valores de t = 2, R = 0.05 e g = 9.8, em unidades SI, obtêm-se a velocidade e a aceleração nesse instante, ® vP=−2.81ˆ ı+4.015 ˆ ® aP=−394.8ˆ ı−273.3ˆ  3.6 Movimentos de translação e de rotação dependentes 73 3.6. Movimentos de translação e de rotação dependentes Numa roda em movimento sobre uma superfície, sem derrapar, o ângulo de rotação e o deslocamento da roda estão relacionados. Na figura 3.11, uma roda de raio R desloca-se para a direita, sobre uma superfície, sem derrapar. C C P P Q θ s Figura 3.11.: Roda que se desloca rodando sem derrapar. Num instante inicial um ponto P da roda está em contacto com a superfície; após alguns instantes, a roda rodou um ângulo θ e o centro da roda percorreu uma distância s . O arco de circunferência Rθ deverá ser igual à distância percorrida s , já que todos os pontos nesse arco estiveram em contacto com pontos da superfície. s=Rθ(3.29) derivando os dois lados da equação, obtém-se a relação entre a velocidade do centro C e a velocidade angular, v=Rω(3.30) e derivando novamente, observa-se que a aceleração de tangencial de C é igual ao produto do raio pela aceleração angular: at=Rα(3.31) No caso das roldanas, se a roldana roda sem o fio derrapar sobre a sua superfície, os pontos na superfície da roldana terão a mesma velocidade do fio e subtraindo a velocidade do centro da roldana obtém-se a velocidade do ponto na superfície da roldana, relativa à roldana; o valor dessa velocidade relativa, dividido pelo raio da roldana, deverá ser igual à velocidade angular da roldana. 80 Movimento curvilíneo trajeto em linha reta. Os dois carros deslocam-se à velocidade máxima que podem ter para conseguir fazer a curva, que para o tipo de pneus usados corresponde à velocidade que produz uma aceleração normal de 0.8 g , onde g é a aceleração da gravidade. Calcule o tempo que demora cada um dos carros a fazer a curva. 102 m 82 m C C A B 7. Uma partícula segue a trajetória que mostra a figura, partindo do repouso em A e aumentando a velocidade com aceleração constante até o ponto B. Desde B até E mantém velocidade constante de 10 m/s e a partir de E começa a abrandar, com aceleração constante, até parar no ponto F. A distância AB é 60 cm, CD é 20 cm e EF é 45 cm; o raio do arco BC é 60 cm e o raio do arco DE é 45 cm. Determine: (a) O módulo da aceleração da partícula em cada um dos trajetos AB, BC, CD, DE e EF. (b) O tempo total do movimento desde A até F e a velocidade média nesse percurso. A B C D E F 8. A roda na figura tem duas partes com raios de 3 cm e 6 cm, que estão em contacto com duas barras horizontais A e B. A barra A desloca-se para a direita, com valor da velocidade de 10 m/s e a barra B desloca-se para a esquerda com valor da velocidade de 35 m/s, enquanto a roda mantém o contacto com as duas barras, sem derrapar. Determine para que lado se Problemas 81 desloca o centro O da roda e calcule os valores da velocidade do ponto O e da velocidade angular da roda. A B O 3 cm 6 cm 9. Uma roda com 20 cm de raio desloca-se, sem derrapar, sobre uma superfície plana, ao longo do eixo dos x . No instante t = 0 o centro da roda encontra-se em x = 0 e y = 20 cm e os pontos P e Q da roda são os pontos que estão em x = 0 com y =0e y = 10 cm. O valor da velocidade do centro da roda é 2 m/s, constante. (a) Calcule quanto tempo demora a roda a dar duas voltas completas. (b) Represente os gráficos das trajetórias dos pontos P e Q durante o tempo que a roda demora a dar duas voltas. x y C P Q 10. Um cilindro com raio de 4 cm está colado a uma roda com 6 cm de raio que se encontra sobre uma superfície horizontal plana, tal como mostra a figura. Uma corda foi enrolada à volta do cilindro e está a ser puxada horizontalmente para a direita, com velocidade constante ® v de valor 2.5 cm/s. O movimento da corda faz rodar a roda sobre a superfície horizontal, sem derrapar. (a) Determine o valor da velocidade angular da roda. (b) Diga em que sentido se desloca o ponto O, no eixo da roda e do cilindro, e determine o valor da sua velocidade. (c) Determine quantos centímetros de corda são enrolados à volta do cilindro a cada segundo. 82 Movimento curvilíneo O 4 cm 6 cm v 11. Na máquina representada na figura, todas as roldanas têm raio igual a 5 cm. Determine os valores das velocidades angulares das quatro roldanas, quando o anel A for puxado para baixo com velocidade de valor constante 2 m/s. A 12. A figura mostra um mecanismo biela-manivela usado para transformar movimento circular em movimento retilíneo ou vice-versa. A manivela é a barra de comprimento r que roda à volta de um eixo fixo no ponto O, e a biela é a barra de comprimento L que liga a manivela a um pistão P que só pode deslocar-se ao longo de uma reta. Se o eixo x for escolhido na reta que passa pelo eixo O e o centro P do pistão e θ for o ângulo entre a manivela e o eixo x: (a) Demonstre que em qualquer instante a posição xP do ponto P verifica Respostas 83 a seguinte expressão: xP=rcos θ+pL2−r2sin2θ (b) Encontre a relação entre o valor da velocidade angular da manivela e o valor da velocidade do pistão. (c) O comprimento L deverá ser maior que 2 r ; represente o gráfico de vP em função do ângulo θ , no caso em que r = 1, L = 4 e ω = 1 (SI), no sentido indicado na figura, e mostre que a velocidade do pistão é nula quando θfor igual a 0 ou 180◦. xP r L x OP θ Respostas Perguntas: 1. E. 2. B. 3. A. 4. E. 5. A. Problemas 1. (a)8t2+9 √4t2+9(b)6t √4t2+9(c)t 64t2+93/2 2. Com raio igual a 16 m, o valor da aceleração é aproximadamente 14 m/s 2 3. (a) O cálculo do módulo do vetor velocidade dá um valor constante v = 16 e as componentes obtidas para a aceleração são at=0 e an = 64. Assim sendo, o movimento é uniforme, porque o valor da velocidade permanece constante e circular, porque o movimento é num plano e o raio de curvatura, v2/an , é constante. (b) ω = 4 rad/s, T = π /2 (segundos). (c) coordenadas (4, 0). 4. 18.85 m/s2 5. (a) 14.79 (b) Os três produtos ( a b sin γ ), ( a c sin β ) e ( b c sin α ) são todos iguais ao dobro da área do triângulo; igualando cada par de produtos demonstra-se cada uma das igualdades. 6. 11.74 s para o carro A e 11.33 s para o carro B. 84 Movimento curvilíneo 7. (a) 83.33 m/s 2 em AB, 111.11 m/s 2 em EF, 166.67 m/s 2 em BC e 222.22 m/s2em DE. (b) 0.395 s e 7.34 m/s. 8. Para a esquerda, com vo= 20 m/s e ω= 500 s−1. 9. (a) 1.26 s (b) P Q 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 10. (a) 1.25 s −1 , no sentido dos ponteiros do relógio. (b) Para a direita com velocidade de valor 7.5 cm/s. (c) 5 cm (a corda enrola-se no cilindro, porque este roda no sentido dos ponteiros do relógio). 11. De esquerda para direita, 5 s−1, 10 s−1, 20 s−1e 40 s−1. 12. (b)vP=−ωrsin θ+rsin(2θ) 2√L2−r2sin2θ (c) Em θ igual a 0 ou a 180 ◦ , sin θ e sin(2θ) são ambas nulas, e a expressão da velocidade do ponto P dá o valor 0. v angulo -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 4. Mecânica vetorial Aos 23 anos Isaac Newton teve uma ideia inovadora que foi a inspiração para a sua teoria da gravitação e da mecânica em geral. Newton pensou que assim como uma maçã cai, devido à atração gravitacional da Terra, a Lua também se encontra em queda livre sob a ação gravitacional da Terra. A razão pela qual a queda livre da Lua não faz diminuir a sua distância à Terra, como no caso da queda da maçã, é porque a Lua tem uma velocidade horizontal muito elevada, de forma que em cada instante a distância horizontal percorrida e a distância vertical da queda descrevem um arco de círculo com raio constante. Com os dados conhecidos na época para a distância entre a Terra e a Lua e o período orbital da Lua, Newton calculou a distância vertical que a Lua cai por unidade de tempo; comparando com a distância da queda de uma maçã, descobriu que a força de atração gravitacional decresce inversamente proporcional à distância ao quadrado. 86 Mecânica vetorial 4.1. Leis de Newton As três leis de Newton são a base da mecânica clássica, que permite estudar desde o movimento dos objetos à nossa volta, até o movimento dos planetas, estrelas e outros objetos distantes. As 3 leis foram enunciadas de forma clara numa única página do livro escrito por Newton em 1687 (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural). 4.1.1. Lei da inércia A primeira lei de Newton, denominada lei da inércia, foi enunciada por Newton no seu livro assim: LEI I. Todo corpo mantém o seu estado de repouso ou de movimento uniforme segundo uma linha reta, se não for compelido a mudar o seu estado por forças nele impressas. Os projéteis continuam no seu movimento, a menos que sejam retardados pela resistência do ar ou impelidos para baixo pela força da gravidade. Um pião, cujas partes, pela sua coesão, são continuamente desviadas dos seus movimentos retilíneos, não cessa de rodar se não for retardado pelo ar. Os corpos maiores — planetas e cometas — encontrando menos resistência nos espaços livres, continuam os seus movimentos, retilíneos ou circulares, por tempo muito maior. Um sistema de referência em que se verifique a lei da inércia, é designado por referencial inercial . Considere-se o seguinte exemplo: uma esfera em repouso sobre uma mesa horizontal, numa carruagem de um comboio que passa por uma estação com movimento retilíneo uniforme. Uma pessoa sentada na estação vê a esfera passar junto com o comboio, com movimento retilíneo uniforme. No entanto, um passageiro sentado na carruagem do comboio observará que a esfera está em repouso na mesa. A estação e a carruagem do comboio são ambos referenciais inerciais e as duas pessoas observam que o comportamento da esfera está de acordo com a lei de inércia; uma das pessoas observa que a esfera mantém o seu estado de repouso e a outra observa que mantém o seu movimento retilíneo uniforme, porque não existem forças que a obriguem a alterar o seu estado de repouso ou movimento uniforme. Se o comboio começa a travar, o passageiro na estação verá que a esfera 4.1 Leis de Newton 87 mantém o seu movimento uniforme, mas como a velocidade do comboio está a diminuir, a mesa fica atrasada em relação à esfera e a esfera rola para frente da mesa. A estação continua sendo um referencial inercial. No entanto, a carruagem já não é um referencial inercial e, assim, do ponto de vista da pessoa na carruagem, a esfera já não obedece a lei da inércia: abandona o seu estado de repouso e começa a acelerar, sem que exista nenhuma força responsável por essa alteração. O movimento de rotação da Terra faz com que não seja um referencial inercial; no entanto, o peso dos objetos na superfície da Terra e a força de reação normal que se opõe ao peso anulam o efeito da rotação e, como tal, em relação a movimentos horizontais na superfície da Terra, é uma boa aproximação admitir que a Terra é um referencial inercial. Qualquer objeto em repouso ou com movimento retilíneo uniforme na superfície da Terra também é referencial inercial. A estação ou um comboio estacionado estão em repouso em relação à Terra e, por isso, são referenciais inerciais. Um comboio com movimento retilíneo uniforme em relação à Terra é referencial inercial, mas um comboio a acelerar ou a travar ou com movimento curvilíneo em relação à Terra não é referencial inercial. 4.1.2. Força e aceleração A segunda lei de Newton pode ser considerada a definição do vetor associado a uma força, medido em função do efeito que produz sobre os corpos em que atua. O texto original do livro de Newton é: LEI II. A mudança na quantidade de movimento é proporcional à força motora impressa e faz-se na direção da linha reta segundo a qual a força motora é aplicada. Se uma força gera uma quantidade de movimento, uma força dupla gerará uma quantidade de movimento dupla, uma força tripla gerará uma quantidade de movimento tripla, quer a força seja impressa de uma vez e imediatamente, quer seja impressa gradual e sucessivamente. E se o corpo já então se movia, a nova quantidade de movimento (sempre dirigida na direção da força atuante) é adicionada ou subtraída à quantidade de movimento inicial, conforme sejam concordantes ou opostas uma da outra; ou juntas obliquamente de forma a produzir uma nova quantidade de movimento composta pela determinação das duas. 88 Mecânica vetorial Uma das oito definições que antecedem o enunciado das três leis no livro de Newton é a definição de quantidade de movimento , que é o produto da massa e a velocidade de um corpo. A quantidade de movimento também costuma chamar-se momento linear. A explicação a seguir à segunda lei, sobre como somar a quantidade de movimento devida a uma força, com a quantidade de movimento que o objeto já tinha, corresponde à nossa definição atual de adição de vetores. Como tal, na notação usada atualmente a quantidade de movimento definida por Newton é um vetor ® p , igual ao produto da massa do objeto vezes a sua velocidade ® p=m® v(4.1) A “mudança da quantidade de movimento”, referida na segunda lei, é a quantidade de movimento final, ® p2 , menos a quantidade de movimento inicial, ® p1 e, como é dito no enunciado da lei, essa mudança de quantidade de movimento é um vetor com a mesma direção e sentido da força que a produz. A frase “quer a força seja impressa de uma vez e imediatamente, quer seja impressa gradual e sucessivamente” significa que a mudança na quantidade de movimento é igual ao integral da força durante o intervalo de tempo em que atua. Assim sendo, a expressão matemática da segunda lei de Newton é: t2 w t1 ® Fdt=® p2−® p1(4.2) onde ® F é a força em função do tempo. No enunciado da lei, Newton considera unicamente o caso de uma única força, mas mais para a frente no seu livro explica que se houver várias forças, deverão ser adicionadas vetorialmente e explica a regra do paralelogramo , para somar vetores (ver figura 2.3 no capítulo 2). Assim sendo, a força ® F na equação 4.2 deverá ser interpretada como a força resultante que atua sobre o objeto, ou seja, a soma vetorial de todas as forças aplicadas sobre o objeto O integral da força resultante, no lado esquerdo da equação 4.2, dá como resultado um vetor ® I chamado impulso . Assim sendo, se uma força atua durante um intervalo de tempo [ t1 , t2 ] sobre um corpo com quantidade de movimento inicial ® p1 , a sua quantidade de movimento no instante t2 será ® p2 =® p1+® I. 4.1 Leis de Newton 89 A equação 4.2 pode ser escrita de forma diferencial, ou seja, ® F=d® p dt(4.3) E quando a massa do corpo permanece constante, substituindo ® p por m® v conduz à seguinte equação ® F=m® a(4.4) onde ® a é a aceleração do corpo, igual à derivada da sua velocidade em ordem ao tempo. Esta é a forma mais habitual de escrever a segunda lei de Newton. A unidade de força no Sistema Internacional (SI) de unidades é o newton, N. Uma força de 1 N é a força que produz aceleração de 1 m/s 2 num corpo com massa de 1 kg. Conforme já foi referido em capítulos anteriores, no vácuo todos os objetos em queda livre são acelerados com a aceleração da gravidade , que na superfície terrestre tem um valor g. Assim sendo, de acordo com a segunda lei de Newton o peso de qualquer objeto (força da gravítica exercida pela Terra) é diretamente proporcional à sua massa: ® P=m® g(4.5) em que ® g é um vetor constante na direção vertical, com sentido de cima para baixo e módulo igual à aceleração da gravidade, g , que é aproximadamente igual a 9.8 m/s2. Por exemplo, um corpo com massa de 2 kg na superfície terrestre terá um peso de 19.6 N. Se o mesmo corpo estiver num satélite, a sua massa seria a mesma mas o seu peso seria muito menor, devido a que a aceleração da gravidade é muito menor à altura à que se encontra o satélite. Na distância à que se encontra a Lua, a aceleração da gravidade é apenas 0.00269 m/s 2 ; o peso da Lua é esse valor vezes a sua massa. O peso de um corpo é realmente a sobreposição de muitas forças: o peso de cada uma das partículas que compõem o corpo, que somadas produzem o peso total mg . Para além do módulo, direção e sentido, o ponto onde é aplicada uma força também é importante. Newton aborda essa questão no seu livro, mas esse assunto será adiado até o capítulo 5. Por enquanto, bastará ter em conta que o peso de um corpo deve ser representado sempre num ponto designado por centro de gravidade , que nos corpos homogéneos e com formas geométricas simples encontra-se no centro geométrico. 96 Mecânica vetorial pode ser calculada com os dados conhecidos. an=v2 R =12 0.25 =4 (unidades SI). Igualando as componentes tangencial e normal a m at e m an , obtém-se o seguinte sistema de equações: −0.245 =0.05 at T−0.4244 =0.05 ×4 e a solução do sistema é at = − 4.9 m/s 2 , T = 0.624 N. O sinal negativo da aceleração tangencial indica que a velocidade está a diminuir. 4.3. Reação normal e força de atrito No exemplo do cavalo a arrastrar um bloco da secção anterior já foi referida a existência de forças de contacto entre duas superfícies. Essas forças podem apontar em qualquer direção, mas o sentido é sempre no sentido em que as duas superfícies tendem a se afastar. É habitual separar essas forças de contacto em duas componentes, uma componente perpendicular às superfícies em contacto, chamada reação normal e outra componente tangente às superfícies, denominada força de atrito. A força de contacto entre superfícies é realmente uma força distribuída em vários pontos da superfície. A resultante de todas essas forças será representada num ponto da superfície, separando as componentes normal e tangencial (figura 4.5). A reação normal, Rn terá sempre o sentido que faz separar os dois corpos em contacto. A força de atrito, ® Fa , pode ter qualquer um dos dois sentidos na direção tangencial. 4.3.1. Atrito estático Quando não existe movimento relativo entre as duas superfícies em contacto, a força de atrito designa-se de atrito estático. A força de atrito estático pode ser nula, ou pode estar orientada em qualquer dos dois sentidos na direção tangente às superfícies em contacto. No exemplo do cavalo e o bloco (figura 4.2) as forças de atrito nas ferraduras do cavalo são atrito estático. A força de atrito estático faz possível colocar 4.3 Reação normal e força de atrito 97 Rn Fa Figura 4.5.: Reação normal Rn e força de atrito ® Fa sobre um bloco na superfície de uma mesa. um veículo em movimento ou fazer com que trave. É também a força que nos permite caminhar: empurramos com os nossos pés o chão e a reação do chão no sentido oposto faz-nos avançar. Figura 4.6.: A força que permite que o elétrico suba uma encosta ou trave na descida é a força de atrito estático entre as rodas e os carris. Mas se o chão estivesse coberto por gelo, os pés escorregavam para trás e não se conseguia avançar para a frente. Isso acontece porque o módulo da força de atrito estático não pode ultrapassar um valor máximo, que é proporcional à reação normal: Fe≤µeRn(4.8) em que µe é uma constante própria do tipo de superfícies em contacto, chamada coeficiente de atrito estático . O coeficiente de atrito estático costuma ser menor que 1. Em termos da força de contacto completa, isso implica que a a força de contacto costuma estar perto da direção normal, com desvio máximo de menos de 45◦. 98 Mecânica vetorial Considere-se um exemplo: as forças entre a estrada e os pneus de uma bicicleta. As forças de atrito entre os dois pneus e a estrada são ambas forças de atrito estático, porque as rodas não escorregam. Na roda traseira a força de atrito aponta para a frente, na direção do movimento da bicicleta (figura 4.7), como resultado da reação da estrada à ação que o pneu exerce sobre a estrada no sentido oposto. A força de atrito na roda da frente é no sentido oposto ao movimento, porque nessa roda não é exercida nenhuma tração pelo ciclista. Para manter essa roda em rotação, contrariando o atrito no eixo da roda, é preciso que a estrada atue com força de atrito no sentido oposto à velocidade da bicicleta. F1F2 R1 R2 Figura 4.7.: Forças exercidas pela estrada nos pneus de uma bicicleta em movimento. Se a velocidade da bicicleta for constante, o módulo da força de atrito no pneu traseiro deverá ser igual à soma dos módulos da força de atrito no pneu da frente e da resistência do ar. 4.3.2. Atrito cinético Quando as duas superfícies em contacto deslizam entre si, a força de atrito designa-se de atrito cinético. No exemplo do cavalo e o bloco (figura 4.2) a força de atrito que atua no bloco é atrito cinético. A força de atrito cinético é sempre oposta ao movimento e tem módulo constante, diretamente proporcional à reação normal: Fc=µcRn(4.9) 4.3 Reação normal e força de atrito 99 Em que µc é o coeficiente de atrito cinético , que costuma ser menor que o coeficiente de atrito estático entre as mesmas superfícies. Por ser oposta ao movimento, a força de atrito cinético faz sempre diminuir o valor da velocidade relativa entre as superfícies, mas nunca pode inverter o sentido da velocidade. No instante em que a velocidade seja nula, a força de atrito cinético também será nula. Assim sendo, embora o seu módulo seja constante, a força de atrito cinético depende implicitamente da velocidade, porque é sempre na direção da velocidade e no sentido oposto a ela. A expressão vetorial da força de atrito cinético é a seguinte: ® Fc=      ® 0v=0 −µcRn |v|® v v ,0(4.10) Em que ® v é a velocidade do corpo sobre o qual atua essa força, relativa à superfície que produz o atrito. Exemplo 4.3 Determine as forças que atuam sobre o bloco e o cavalo na figura 4.1, quando a velocidade é constante, sabendo que a massa do cavalo é 300 kg, a massa do bloco 350 kg, o ângulo que a corda faz com a horizontal é 20 ◦ , o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o chão é 0.4 e o coeficiente de atrito estático entre as ferraduras do cavalo e o chão é 0.5. Resolução . As forças que atuam sobre o bloco e sobre o cavalo foram representadas na figura 4.2. Como a aceleração é nula, a soma das componentes horizontais e verticais das forças sobre o bloco e o cavalo deverá ser nula. Começando pelo bloco, convém separar a força ® Fb na sua componente normal, Rn (reação normal) e a sua componente tangencial, Fa (força de atrito). A soma das forças horizontais e verticais é, Tcos(20◦)−Fa=0 Rn+Tsin(20◦)−mbg=0 Como a força de atrito Fa é atrito cinético, pode ser substituída por µcRn e, substituindo os valores do coeficiente de atrito cinético, massa do bloco e 100 Mecânica vetorial aceleração da gravidade, obtém-se um sistema de duas equações com duas incógnitas, Tcos(20◦)−0.4Rn=0 Rn+Tsin(20◦)−3430 =0 a resolução desse sistema, no Maxima, é obtida com o seguinte comando: (%i1) float(solve([T*cos(%pi/9)-0.4*Rn=0,Rn+T*sin(%pi/9)-3430=0])); (%o1) T=1.274 ×10+3,Rn =2.994 ×10+3 A reação normal no bloco é 2994 N e a tensão na corda é 1274 N. A soma das forças horizontais e verticais que atuam sobre o cavalo é: Fa1 +Fa2 −Tcos(20◦)=0 R1+R2−Tsin(20◦)−mcg=0 observe-se que neste caso não existe relação entre as forças de atrito e as reações normais, porque o atrito é estático. Substituindo o valor de T já calculado, a massa do cavalo e a aceleração da gravidade, Fa1 +Fa2 =1198 N R1+R2=3376 N A soma das reações normais nos pes do cavalo é 3376 N e a soma das forças de atrito é 1198 N. No capítulo sobre 5explica-se como calcular os valores de R1 e R2 por separado. Por enquanto, conclui-se apenas que a soma dessas duas forças é igual a 3376 N. Os valores de Fa1 e Fa2 não podem ser calculados sem informação adicional; seria necessário saber a relação entre as pressões que o cavalo está a exercer em cada pé nesse instante. Do ponto de vista da dinâmica é apenas possível calcular a soma dessas duas forças. O coeficiente de atrito estático entre as ferraduras e a estrada permite conferir se o cavalo consegue de facto arrastar o bloco, que tem peso superior ao seu próprio peso. A força de atrito estático máximo entre as ferraduras e o chão é: Fmax =µe(R1+R2)=1688 N A soma das forças Fa1 e Fa2 é menor que esse valor; conclui-se que o cavalo podia arrastar um bloco ainda mais pesado sem que as ferraduras comecem a escorregar. 4.3 Reação normal e força de atrito 101 4.3.3. Força de resistência nos fluidos A maior parte dos movimentos analisados neste livro são movimentos de corpos rígidos dentro de fluidos. No exemplo do cavalo que arrasta um bloco, os dois corpos estão em movimento dentro do ar, que é um fluido. O ar exerce uma força de resistência ao movimento, que é sempre no sentido oposto à velocidade. Nos diagramas de forças na figura 4.2 ignorou-se a força de resistência do ar, admitindo que seria muito menor do que as outras forças, porque o valor da velocidade é baixo. Mas em casos como a queda livre de um objeto, essas forças já não são desprezáveis. Nesta secção explica-se como dependem essas forças da velocidade. A força de resistência ao movimento nos fluidos é produzida principalmente por dois mecanismos diferentes; o primeiro depende da viscosidade do fluido e é devido a que as camadas do fluido mais próximas colam-se ao corpo, acompanhando o seu movimento e criando atrito com outras camadas de fluido mais afastadas, que se traduz numa força diretamente proporcional à velocidade. O segundo mecanismo tem a ver com a diferença de pressões gerada no fluido à frente e atrás do corpo. O fluido é comprimido na região da frente. Essa diferença de pressões produz uma força oposta ao movimento, diretamente proporcional ao quadrado da velocidade. Os dois mecanismos estão sempre presentes, mas em algumas condições um deles pode ser muito mais apreciável do que o outro. O número de Reynolds permite concluir qual dos dois mecanismo é mais importante e é definido por NR=lvρ η(4.11) onde l é um comprimento da ordem de grandeza da secção reta do corpo visto na direção do movimento, v a velocidade do corpo, ρ a massa volúmica do fluido e η o seu coeficiente de viscosidade. O número de Reynolds não tem unidades e não é necessário conhecer o seu valor exato mas apenas a sua ordem de grandeza. Stokes demonstrou que nas condições em que o número de Reynolds é muito baixo (ordem de grandeza de 1 ou menor), a força de resistência do fluido é proporcional à velocidade. No caso de uma esfera de raio R , a expressão para essa força é: Fr=6π η Rv(4.12) 102 Mecânica vetorial Quando o número de Reynolds é muito elevado (ordem de grandeza dos milhares, ou maior) a força de resistência do fluido é proporcional ao quadrado da velocidade do corpo: Fr=1 2CDρAv2(4.13) onde ρ é a massa volúmica do fluido, CD é a constante aerodinâmica do corpo, menor para corpos pontiagudos e maior para corpos menos aerodinâmicos e A é a secção reta do corpo visto na direção do movimento. No caso de uma esfera de raio R , essa secção é πR2 e o coeficiente aerodinâmico é aproximadamente 1/2; como tal, a força de resistência do fluido sobre a esfera, quando o número de Reynolds é elevado é: Fr=π 4ρR2v2(4.14) Se a velocidade for muito elevada, da ordem da velocidade do som no fluido (no ar é da qordem de 340 m/s) a força de resistência do fluido é proporcional à velocidade levantada a um expoente maior do que 2. Para uma esfera de raio R , o número de Reynolds pode ser calculado substituindo l por R na equação 4.11. Para decidir qual das duas equações, 4.12 ou 4.14, é a correta, pode começar-se por admitir que o número de Reynolds é baixo e resolve-se o problema usando a equação 4.12; se os valores obtidos conduzem a um número de Reynolds baixo, admite-se que a solução é correta; caso contrário, resolve-se novamente o problema usando a equação 4.14 e corrobora-se que os resultados conduzem a um número de Reynolds elevado mas a velocidade é menor que a velocidade do som nesse fluido (ver o problema 8no fim do capítulo). mg mfg FrFr Figura 4.8.: Quedanumfluido. A resistência ao movimento dos corpos no ar pode admitir-se que é proporcional ao quadrado da velocidade, a menos que a velocidade seja comparável ou superior à velocidade do som no ar (340 m/s). Com efeito, o coeficiente de viscosidade é 5 ordens de grandeza menor que a massa volúmica, conduzindo a números de Reynolds elevados; o número de Reynolds só é baixo se a velocidade for muito baixa, mas nesse caso a resistência do ar é desprezável, ou Perguntas 103 nos corpos microscópicos em que o tratamento macroscópico da mecânica Newtoniana não é o mais apropriado. No caso de uma esfera em queda livre num fluido, atuam 3 forças externas: o peso, mg , a impulsão, que de acordo com o princípio de Arquimedes é igual ao peso do fluido que ocupava o espaço da esfera, mfg , e a força de resistência do fluido. Se a massa volúmica da esfera é maior que a massa volúmica do fluido, o peso mg é maior que a impulsão mfg e a esfera cai; nesse caso, a resistência do fluido aponta para cima e o seu módulo é dado pelas expressões 4.12 ou 4.14. Na queda livre no ar, a aceleração resultante tem módulo m0g−Cv2 , apontando na direção vertical para baixo, onde C é uma constante e m0=m−mf . No problema 12 do capítulo 1demonstrou-se que a velocidade atinge um valor limite pm0g/C. Perguntas 1. Um livro encontra-se em repouso sobre uma mesa. Qual das afirmações seguintes é correta: A. Não há força a atuar sobre o livro. B. O livro não tem inércia. C. Não há força a atuar sobre a mesa. D. O livro encontra-se em equilíbrio. E. A inércia do livro é igual à inércia da mesa. 2. Duas bolas metálicas têm o mesmo tamanho mas uma delas pesa o dobro da outra. As duas bolas são lançadas simultaneamente, a partir do repouso, do topo de um prédio. Como se comparam os tempos de queda das bolas? A. A bola mais pesada demora aproximadamente metade do tempo da bola mais leve. B. A bola mais leve demora aproximadamente metade do tempo da bola mais pesada. C. Os dois tempos são semelhantes, mas a bola mais pesada demora menos tempo que a bola mais leve. D. Os dois tempos são semelhantes, mas a bola mais leve demora menos tempo que a bola mais pesada. E. As duas bolas demoram exatamente o mesmo tempo. 104 Mecânica vetorial 3. Um camião grande colide frontalmente com um carro pequeno. Durante a colisão: A. O camião exerce uma força maior sobre o carro do que a força do carro sobre o camião. B. O carro exerce uma força maior sobre o camião do que a força do camião sobre o carro. C. Nenhum dos dois exerce força sobre o outro; o carro é esmagado simplesmente por se atravessar no caminho do camião. D. O camião exerce força sobre o carro, mas o carro não exerce nenhuma força sobre o camião. E. O camião exerce uma força sobre o carro e o carro exerce a mesma força sobre o camião. 4. Atira-se uma pedra verticalmente, para cima. No ponto mais alto da trajetória da pedra: A. A sua velocidade e aceleração apontam para baixo. B. A sua velocidade aponta para cima e a aceleração aponta para baixo. C. A velocidade e aceleração são ambas nulas. D. A velocidade é nula e a aceleração aponta para baixo. E. A velocidade aponta para baixo e a aceleração é nula. 5. Uma mulher empurra uma caixa grande, com uma força horizontal constante. A força exercida pela mulher faz com que a caixa se desloque horizontalmente, com velocidade constante v0 . Assim sendo, o módulo da força exercida pela mulher: A. É igual ao peso da caixa. B. É maior do que o peso da caixa. C. É igual à força total que contraria o movimento da caixa. D. É maior do que a força total que contraria o movimento da caixa. E. É maior do que o peso e a força que contraria o movimento da caixa. Problemas 105 Problemas 1. Uma pessoa com 70 kg sobe num ascensor até o sexto andar de um prédio. O ascensor parte do repouso no rés de chão, acelera até o segundo andar, com aceleração uniforme de 2 m/s 2 , mantém a velocidade constante entre o segundo e o quarto andar e trava entre o quarto e o sexto andar, com aceleração uniforme de − 2 m/s 2 . Determine o módulo da reação normal nos pés da pessoa, em cada parte do percurso. 2. Um bloco com massa igual a 30 kg encontra-se sobre uma superfície horizontal, com coeficiente de atrito cinético igual a 0.35. Sobre o bloco atua uma força externa de 100 N, que faz um ângulo de 30 ◦ com a horizontal. Determine o valor da aceleração do bloco. 100 N 30° 3. Um bloco de massa m=2.1 kg desce deslizando sobre a superfície de um plano inclinado com 4 m de base e 3 m de altura. Se o coeficiente de atrito cinético, entre o bloco e a superfície do plano inclinado, for igual a 0.25, calcule o valor da força de atrito sobre o bloco. 4 m 3 m 4. Um objeto com massa de 2 kg desloca-se com velocidade inicial (3ˆ ı− 4ˆ ) m/s, quando é aplicada uma força externa ® F=−0.4® v (unidades SI) que atua durante 5 segundos. Determine: (a) A velocidade final após os 5 segundos. (b) O impulso transmitido pela força externa durante os 5 segundos. 112 Dinâmica dos corpos rígidos comum das suas linhas de ação, S, obtendo-se a força resultante ® F6 no ponto S. Observe-se que a força resultante das duas forças paralelas é também na mesma direção das forças originais e o seu módulo é igual à soma dos módulos das forças originais ( F6=F1+F2 ), se os sentidos das forças for o mesmo, como na figura 5.3, ou igual à diferença entre os módulos (F6=|F1−F2|), caso os sentidos sejam opostos. Para calcular as distâncias b1 e b2 , entre as linhas de ação das forças originais e a linha de ação L6 da força resultante, observa-se na figura 5.3 que a altura h(segmento US) dos dois triângulos com bases b1eb2verifica, h=b1tan θ=b1F1 F3 h=b2tan β=b2F2 F3 (5.1) e, eliminando hnestas duas equações, obtém-se F1b1=F2b2(5.2) Esta é a lei das alavancas e o procedimento usado aqui para obtê-la foi o mesmo que Newton usou no seu livro. Cada distância b1 e b2 chama-se braço da respetiva força, ® F1 e ® F2 , em relação à linha L 6 . Para equilibrar as forças paralelas ® F1 e ® F2 , é necessário aplicar uma força oposta, de módulo F1+F2 , na linha de ação em que os dois braços b1 e b2 verificam a regra das alavancas 5.2. 5.3. Momentos e binários A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento . Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço b), Mo=F b (5.3) O momento Mo representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto. Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica 5.3 Momentos e binários 113 porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada. r sin θ F sin θ θ θ r F Mo OP Figura 5.4.: Momento de uma força. Sendo ® r o vetor posição do ponto P em que a força ® F é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a rsin θ , em que o ângulo θ é o ângulo entre os vetores ® r e ® F (figura 5.4). Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a, Mo=F r sin θ(5.4) Repare-se que ( Fsin θ ) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição ® r , ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, r , pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força. A equação 5.4 mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento de forma vetorial: ® Mo=® r×® F(5.5) d θ rpq F −F M PQ Figura 5.5.: Binário. O vetor ® Mo representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele. Na figura 5.4 o momento é um vetor que aponta para cá da página e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor ® Mo. Um binário é um conjunto de duas forças ® F e −® F , iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura 5.5. O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. 114 Dinâmica dos corpos rígidos O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças, ® rq×® F−® rp×® F=® rq−® rp×® F(5.6) Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor ® rpq na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem. Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência, ® M=® rpq ×® F(5.7) Na figura 5.5 o momento do binário é um vetor para cá da página, representado pela seta circular no sentido anti-horário. Uma força ® F aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura 5.6. Adicionam-se duas forças −® F e ® F nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário ® M com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto. No caso da figura 5.6, M deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de F pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, de forma vetorial, ® M=® rqp ×® F . No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força ® F no ponto Q e o binário ® M=® rqp ×® F que é igual ao momento ® Mqque a força original, em P, produz em relação ao ponto Q. F F F −F F M M QQ P P Figura 5.6.: Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q. 5.4 Corpos rígidos em equilíbrio 115 Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante. Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo x e y e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força ® F em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo z, dadas pelo determinante, Mz= xy FxFy(5.8) em que x e y são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força ® F . Para obter o binário resultante bastará somar os valores de Mz obtidos para cada força. 5.4. Corpos rígidos em equilíbrio Se todas as forças externas aplicadas num corpo rígido, somadas num ponto qualquer, produzem força resultante e binário resultante nulos, conclui-se que a força resultante e o binário resultante também serão nulos em qualquer outro ponto. A justificação é que, como a força resultante é obtida somando as forças como vetores livres, será igual em qualquer ponto; o binário resultante sim é diferente quando a força resultante é colocada em diferentes pontos e a diferença entre o binário em dois pontos diferentes será igual ao momento introduzido quando a força resultante for deslocada entre esses pontos. Mas no caso em que a força resultante é nula, esse deslocamento para diferentes pontos não produz nenhum binário adicional e o binário devera ser igual, e nulo, em todos os pontos. Quando a força resultante e o binário resultante são nulos, diz-se que o corpo rígido está em equilíbrio. Equilíbrio esse que pode ser estático —objeto em repouso— ou cinético —objeto com movimento linear uniforme. Assim sendo, as condições para que um corpo rígido esteja em equilíbrio é que a soma das forças seja nula e que a soma dos momentos das forças, em relação a um ponto qualquer, seja nula. 116 Dinâmica dos corpos rígidos Exemplo 5.1 O automóvel na figura desloca-se com velocidade constante de 120 km/h numa estrada perfeitamente horizontal. Sabendo que o peso total do automóvel é 9000 N, determine a força de reação normal em cada pneu. R1R2 9000 N CG 0.4 m 1.2 m Resolução . Por ter movimento retilíneo e uniforme, o automóvel está em equilíbrio. Na figura, o vetor R1 representa a soma das duas reações nos pneus da frente e R2 a soma das reações normais dos pneus de atrás. As forças horizontais, que são a resistência do ar e o atrito da estrada nos pneus, não podem ser calculadas neste problema. O único que é possível afirmar sobre essas duas forças é que são iguais e opostas e o atrito é estático e contraria a resistência do ar. Por enquanto, admite-se que essas duas forças são desprezáveis em comparação com o peso e no fim será discutida a influência dessas forças no resultado obtido. A condição para que a soma das forças verticais seja nula é: R1+R2=9000 Para encontrar o valor dessas duas variáveis será necessário considerar também a condição de que o binário resultante deverá ser nulo. Por existir 5.5 Centro de massa 117 equilíbrio, qualquer ponto pode ser usado como referência para calcular os momentos; é conveniente escolher o ponto onde há mais forças aplicadas, já que o momento dessas forças em relação ao ponto de referência será nulo. Neste caso escolhe-se um dos pontos de contacto dos pneus com a estrada, ou o centro de gravidade (CG). Usando como referência o ponto de aplicação de R1, a soma dos momentos é: 1.6R2−0.4×9000 =0=⇒R2=2250 N A seguir podia substituir-se esse valor na condição para a soma das forças verticais, mas também é possível calcular novamente soma de momentos, em relação ao ponto de aplicação de R2, 1.2×9000 −1.6R1=0=⇒R1=6750 N Admitindo que o centro de gravidade esteja a igual distância dos lados direito e esquerdo do automóvel, se este for simétrico, as reações nos dois pneus da frente serão iguais e, portanto, a reação em cada pneu será 3375 N. Nos pneus de atrás as reações também serão iguais, cada uma com módulo 1125 N. As forças de atrito e da resistência do ar constituem um binário; como a linha de ação das forças de atrito com a estrada está por debaixo da linha de ação da resistência do ar, esse binário faz rodar o automóvel no sentido horário, aumentando as reações normais nos pneus de atrás e diminuindo as reações normais nos pneus da frente. Para calcular o momento da força de resistência do ar, seria necessário conhecer o coeficiente aerodinâmico CD do automóvel, a velocidade do vento e o ponto de aplicação da resultante dessa força, que está distribuída em toda a superfície do automóvel. 5.5. Centro de massa Um corpo rígido é uma distribução contínua de massa num volume. Se a massa total do corpo for m , e dm for a massa infinitesimal que existe em cada ponto do corpo, m=wdm(5.9) em que o integral é de volume, dentro do volume ocupado pelo sólido, já que dmé o produto da massa volúmica ρpelo volume infinitesimal dxdydz. 118 Dinâmica dos corpos rígidos Define-se o vetor posição do centro de massa , ® rcm , igual à média, pesada pela massa, do vetor posição no sólido: ® rcm =1 mw® rdm(5.10) Exemplo 5.2 Encontre a posição do centro de massa do sólido homogéneo representado na figura. x y z ab c Resolução . O volume do sólido é delimitado pelos 5 planos x = 0, y = 0, y=a,z=0ez=c(1−x/b). A área infinitesimal dm é igual à carga volúmica ρ vezes o volume infinitesimal em coordenas cartesianas, dxdydz . Começa-se por calcular a massa total a partir da equação 5.9: m= a w 0 b w 0 c(1−x/b) w 0 ρdzdxdy Como o corpo é homogéneo, ρ é constante. No Maxima, os três integrais devem ser calculados de forma sequencial; p representará a massa volúmica (%i1) integrate (p,z,0,c*(1-x/b))$ (%i2) integrate (%,x,0,b)$ 5.5 Centro de massa 119 (%i3) m:integrate (%,y,0,a); (%o3) a b c p 2 Embora os resultados intermédios não tenham sido apresentados, estão armazenados nas variáveis %o1 e%o2. Para calcular r® rdm , repete-se o mesmo integral de volume, mudando o integrando de ρ, para (ρ® r) (%i4) r:[x,y,z]$ (%i5) integrate (p*r,z,0,c*(1-x/b))$ (%i6) integrate (%,x,0,b)$ (%i7) rcm:integrate (%,y,0,a)/m; (%o7) b 3,a 2,c 3 Conclui-se que o vector posição do centro de massa é: ® rcm =b 3ˆ ı+a 2ˆ +c 3 ˆ k . Em todo corpo rígido existe sempre um único ponto que é o centro de massa. Se a origem for escolhida exatamente no centro de massa, o valor de ® rcm será nulo e a equação 5.10 dá, w® rdm=0(5.11) O integral em 5.11 será nulo unicamente se a origem estiver no centro de massa. Em qualquer outro ponto o resultado seria um vetor não nulo. Este resultado será muito importante mais para a frente. Derivando os dois lados da equação 5.10 obtém-se a expressão da o velocidade do centro de massa, ® vcm =1 mw® vdm(5.12) Isto é, a velocidade do centro de massa é a média das velocidades de todos os pontos do corpo, pesada pela massa do ponto. Derivando a equação 5.12, obtém-se a aceleração do centro de massa, ® acm =1 mw® adm(5.13) 120 Dinâmica dos corpos rígidos que é a média, pesada pela massa, das acelerações de todos os pontos no sólido. Se o referencial em que é medida a aceleração ® a de cada ponto for um referencial inercial, o produto ® adm será igual à força resultante d® f que atua sobre a massa dm: d® f=® adm(5.14) Observe-se que sempre que exista aceleração, deverá existir uma força infinitesimal d® f aplicada em cada ponto do sólido, para conseguir acompanhar o movimento do corpo, permanecendo rígido. Na maioria dos pontos essa força é devida unicamente às forças internas de contacto entre as partes do corpo, forças essas que são desencadeadas em todo o corpo pela ação de n forças externas ® F1 , ® F2 , . . . , ® Fn que atuam em n pontos do corpo rígido. Nos pontos 1, 2, . . . , n , a força ® f inclui as forças de contacto mais a força externa em cada ponto. A diferencial d® f é a variação da força em todos os pontos do volume do corpo. Substituindo a expressão 5.14 na equação 5.13, conclui-se que, wd® f=m® acm (5.15) Na soma das forças em todos os pontos do corpo, por cada força interna de contacto que existir num ponto, existirá outra força igual mas de sentido oposto em outro ponto vizinho, devido à lei de ação e reação. Assim sendo, no integral rd® f todas as forças internas de contacto serão eliminadas, ficando unicamente a soma das forças externas, ® F1 , ® F2 , . . . , ® Fn , que é igual à força resultante sobre o corpo rígido. Como tal, a equação 5.15 é equivalente a, n Õ i=1® Fi=m® acm (5.16) Este resultado importante é a lei do movimento de translação do corpo rígido: O movimento do centro de massa de qualquer corpo rígido com massa m é igual ao movimento que teria uma partícula pontual com massa m e força resultante igual à soma de todas as forças externas aplicadas sobre o corpo rígido. Lembre-se que a soma das forças é feita como se fossem vetores livres. Se a força resultante for nula, o centro de massa estará ou em repouso ou em 5.5 Centro de massa 121 estado de movimento retilíneo uniforme, mas outros pontos no corpo rígido poderão ter movimentos mais complicados. O peso é um exemplo de força externa aplicada em todos os pontos do corpo rígido. A equação 5.15 nesse caso dá, w® gdm=m® acm (5.17) Se a aceleração da gravidade ® g for igual em todos os pontos do corpo, o integral no lado esquerdo será igual a m® g e conclui-se que a aceleração do centro de massa é igual à aceleração da gravidade e que o centro de gravidade —ponto de aplicação da força resultante do peso de todas as partes do corpo— coincide com o centro de massa. Existem casos em que ® g não é constante em todo o corpo, mas geralmente isso não acontece, sendo possível assumir que o peso total do objeto é a força m® g aplicada no centro de massa. Considere-se, por exemplo, uma lâmina triangular. Pendurando-a por um dos vértices, começará a oscilar até parar numa posição em que o centro de gravidade esteja no mesmo segmento de reta vertical que passa pelo vértice; traçando esse segmento no triângulo e repetindo o procedimento para os outros dois vértices, o ponto onde se cruzam os três segmentos será o centro de gravidade e centro de massa. Se a massa volúmica do triângulo for igual em todos os pontos, cada uma dos segmentos verticais será a mediana que divide o triângulo em duas partes com a mesma área e, consequentemente, com o mesmo peso. Nos sólidos com formas simétricas e massa volúmica constante, o centro de massa encontra-se no centro geométrico. A figura 5.7 mostra outros três exemplos. Figura 5.7.: Centros de massa de 3 objetos com massa volúmica constante: esfera, cilindro e paralelepípedo. 128 Dinâmica dos corpos rígidos Perguntas 1. As componentes cartesianas de uma força são ® F=−3ˆ ı−2ˆ  . Em qual das posições na lista deveria ser aplicada a força para produzir momento no sentido horário em relação à origem? A. −2ˆ ı+3ˆ  B. −3ˆ ı+2ˆ  C. 2ˆ ı+3ˆ  D. 3ˆ ı+2ˆ  E. 3ˆ ı−2ˆ  2. Sobre um disco aplicam-se duas forças externas, como se mostra na figura. Calcule o momento resultante, em relação ao ponto O, em unidades de N·m. 60 N 85 N O 3 cm 6 cm 30˚ A. 0.57 B. 1.05 C. 4.35 D. 5.67 E. 6.15 3. Uma peça metálica com massa volúmica constante e massa m é construída com dois cilindros da mesma altura, mas raios diferentes a>b , colados um sobre o outro de forma que os seus eixos estejam alinhados. Calcule o momento de inércia da peça em relação ao seu eixo de simetria. A. 1 2ma2−b2 B. 1 2ma4+b4 C. 1 2ma4+b4 a2+b2 D. 1 2ma2+b2 E. 1 2ma2+b2 a+b Problemas 129 4. Duas crianças com massas de 30 kg e 45 kg estão sentadas nos dois lados de um sobe e desce. Se a criança mais pesada estiver sentada a 1.2 m do eixo do sobe e desce, a que distância do eixo deverá sentar-se a outra criança para manter o sobe e desce em equilíbrio? A. 1.5 m B. 0.8 m C. 1.8 m D. 1.2 m E. 0.98 m 5. Se um objeto é dividido em duas partes, fazendo um corte vertical ao longo de um reta que passa pelo seu centro de gravidade, qual das afirmações acerca dos dois pedaços obtidos é verdadeira? A. Devem ter a mesma massa. B. Podem ter massas diferentes. C. Devem ter o mesmo peso. D. Devem ter a mesma área. E. Devem ter o mesmo volume. Problemas 1. O martelo na figura apoia-se sobre um bloco de madeira de 40 mm de espessura, para facilitar a extração do prego. Sabendo que é necessária uma força de 200 N (perpendicular ao martelo) para extrair o prego, calcule a força sobre o prego e a reação no ponto A. Admita que o peso do martelo pode ser desprezado e em A existe suficiente atrito para evitar que o martelo escorregue. 200 N 200 mm 40 mm 40 mm 20˚ A 130 Dinâmica dos corpos rígidos 2. Um automóvel com tração frontal acelera uniformemente desde o repouso atingindo uma velocidade de 100 km/h em 11 segundos. Se o peso do automóvel for 9750 N, calcule as reações normais e a força de atrito sobre cada pneu. ¿Qual será o valor mínimo que deverá ter o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada para que o automóvel possa atingir essa aceleração? G 80 cm160 cm 44 cm 3. Um armário de 45 kg, montado sobre rodas que o deixam andar livremente sobre o chão, é acelerado por uma força externa de 310 N. (a) Calcule os valores máximo e mínimo que pode ter a altura y para o armário acelerar sem as rodas perderem o contacto com o chão. (b) Calcule a aceleração do armário, quando y estiver entre os valores mínimo e máximo calculados na alínea anterior. 68 cm 87 cm 310 N G y 4. Usando integração no volume do sólido, demonstre o resultado da tabela 5.1, para o momento de inércia de um paralelepípedo com eixo de rotação perpendicular a uma das faces e passando pelo centro de massa. Problemas 131 5. Um tronco uniforme tem forma cilíndrica com 48 cm de diâmetro, 3 m de comprimento, massa de 100 kg e está pendurado em posição horizontal, por meio de dois cabos de 2 m, como mostra a figura. O tronco larga-se a partir do repouso na posição em que cada cabo faz um ângulo de 60 ◦ com a horizontal. Determine a tensão e a aceleração angular de cada um dos cabos, no preciso instante em que o tronco é largado a partir do repouso. ABC 100 kg 2 m 2 m 2 m 1 m 60˚ 60˚ 6. A escada na figura está apoiada numa superfície horizontal (ponto A) e numa parede vertical (ponto B). Entre a escada e a superfície horizontal o coeficiente de atrito estático é µe , enquanto que o atrito da escada com a parede vertical é desprezável. Admitindo que o centro de gravidade da escada se encontra a metade do seu comprimento, calcule o valor mínimo de µe, para garantir que a escada permaneça em repouso. 2.5 m 6 m A B 132 Dinâmica dos corpos rígidos 7. A massa do reboque na figura é 750 kg e está ligado no ponto P a uma trela de um automóvel. A estrada é horizontal e os dois pneus idênticos podem ser considerados como um só, com uma única reação normal e força de atrito desprezável; a resistência do ar também será desprezada. (a) Calcule a reação normal nos pneus e a força vertical no ponto P, quando a velocidade for constante. (b) Quando o automóvel estiver a acelerar, com at=2 m/s 2 , a força em P terá componentes horizontal e vertical. Calcule essas componentes e a reação normal nos pneus (o momento de inércia das rodas e o atrito com a estrada são desprezáveis). 90 cm 128 cm 50 cm 95 cm cm P 8. A caixa retangular homogénea na figura está ligada a duas dobradiças que lhe permitem rodar para fechar a janela, ou abrir até a posição horizontal apresentada na figura, para dar sombra durante o dia. A corrente que segura a caixa na posição horizontal quebra-se repentinamente e a caixa cai batendo na parede. Desprezando o atrito nos eixos das dobradiças e a resistência do ar, calcule a velocidade angular com que a caixa bate na parede. 1.0 m 20 cm 1.2 m Problemas 133 9. O avião na figura, com massa total de 1.1×105 kg, aterra numa pista horizontal. O ponto C representa o centro de gravidade. No instante em que a velocidade é de 210 km/h (para a direita), o piloto liga as turbinas em modo inverso, produzindo a força constante R (representada na figura) e após ter precorrido 580 m na pista a velocidade diminui para 70 km/h. Durante esse percurso, as forças de atrito nos pneus e a resistência do ar podem ser ignoradas, em comparação com a força R que é muito maior. Calcule a reação normal na roda da frente. 1.4 m 3 m 5.1 m 8.2 m C R 10. Um atleta com massa de 91 kg puxa um camião numa estrada horizontal, com velocidade constante, por meio de uma corda amarrada às suas costas. A figura mostra as posições relativas do centro de gravidade do atleta, C, do ponto de apoio do seu pé com o chão, A, e do ponto de ligação com a corda, B. (a) Calcule o módulo da tensão na corda. (b) Faça um diagrama com as forças que julga que poderão estar a atuar no camião. 15° A B C 68 cm 91 cm 33 cm 19 cm 134 Dinâmica dos corpos rígidos 11. Para testar os travões, uma bicicleta foi colocada com as rodas para o ar e a roda foi posta a rodar livremente, como mostra a figura. Foi medido o tempo que a roda demorou a dar 10 voltas, obtendo-se o valor de 8.2 s (admita que nesse intervalo a velocidade angular ω permanece constante). Imediatamente a seguir, aplicaram-se os travões e a roda demorou 2.9 s até parar completamente. A figura mostra a força de atrito ® F entre os calços e o aro, que é tangente ao aro e aplicada a uma distância de 27.1 cm do eixo da roda. (a) Admitindo que a força ® F é constante, a aceleração angular que ela produz também será constante; calcule essa aceleração angular. (b) Calcule o número de voltas efetuadas pela roda durante o tempo em que os travões atuaram. (c) Sabendo que o momento de inércia da roda, em relação ao seu centro, é igual a 0.135 kg·m2, calcule o módulo da força ® F. ω F Respostas 135 Respostas Perguntas: 1. E. 2. D. 3. C. 4. C. 5. B. Problemas 1. O prego exerce uma força de 1000 N, para baixo. ® FA=−187.9ˆ ı+931.6ˆ  (N) 2. Pneus da frente: Rn=3020 N, Fa=1256 N. Pneus trazeiros: Rn= 1855 N, Fa=0 (admitindo que as rodas trazeiras são perfeitamente livres). O coeficiente de atrito estático mínimo é 0.416. 3. (a) Altura mínima 38.6 cm, máxima 135.4 cm (b)® a=6.89ˆ ı(m/s2) 4. Neste caso R2=x2+y2 e o volume do sólido é definido por −a/2≤ x≤a/2,−b/2≤y≤b/2,−c/2≤z≤c/2. 5. TA=153.4N, TB=695.3N, αA=αB=g/4=2.45 rad/s2 6. 0.21 7. (a) Rn=5455 N, Fy=1895 N. (b) Fx=1500 N, Fy=1426 N, Rn=5923 N. 8. 5.274 s−1 9. 448 ×103N. 10. (a) 559 N. (b) No camião atuam a tensão da corda, ® T , o peso, ® P , as reações normais nas rodas, ® R1 e ® R2 , e as forças de atrito nas rodas, ® F1 e ® F2: Fg ~ N1 ~ F1 ~ N2 ~ F2 ~ T 11. (a) 2.64 s−2. (b) 1.77 voltas. (c) 1.32 N. 6. Trabalho e energia Num salto com vara, a energia cinética da corrida inicial é convertida em energia potencial elástica da vara dobrada. Enquanto a vara recupera a forma reta, essa energia potencial elástica é transformada em energia potencial gravítica. No instante em que a vara recupera a forma reta, o saltador aproveita para empurrar para baixo, fazendo com que a reação do chão aumente ainda mais a sua energia potencial gravítica; finalmente, o saltador larga a vara e cai livremente transformando-se a energia potencial gravítica adquirida no salto em energia cinética. 240 Sistemas lineares Perguntas 1. Quantas dimensões tem o espaço de fase de um oscilador harmónico simples em três dimensões (x,y,z)? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 6 2. Os valores próprios de um oscilador harmónico simples são 4 i e −4 i (em unidades SI). Calcule o período de oscilação, em segundos. A. 4π B. π C. π/4 D. 2π E. π/2 3. Se Ft é a componente tangencial da força resultante sobre uma partícula, s é aposição na trajetória e v a velocidade, qual das seguintes expressões conduz a um sistema linear? A. Ft=3sv B. Ft=2v C. Ft=2 sin(s) D. Ft=2s(1−s) E. Ft=3s2 4. O espaço de fase de um sistema é o plano (x,Û x) . Qual pode ser a equação diferencial associada a esse sistema? A. Ü x=x2−2t B. 3xÜ x+2Û x=x2 C. 3Û x+2xÛ x=x2 D. Û x=x2−2t E. 3tÜ x+2Û x=x2 5. A matriz de um sistema linear de segunda ordem tem traço igual a 4 e determinante igual a 3. Que tipo de ponto fixo é a origem? A. nó instável B. nó estável C. ponto de sela D. foco instável E. foco estável Problemas 241 Problemas 1. Em cada caso, use o Maxima para encontrar os valores e vetores próprios do sistema. Diga que tipo de ponto equilíbrio tem cada sistema e represente os retratos de fase. (a)Û x=x+yÛ y=4x+y (b)Û x=−3x+√2yÛ y=√2x−2y (c)Û x=x−yÛ y=x+3y 2. A figura mostra a curva de evolução hipotética de uma bola que cai em queda livre e é disparada para cima novamente após ter batido no chão, se não existisse nenhuma força dissipativa. A parte do gráfico para valores positivos de y corresponde ao lançamento vertical de um projétil, ignorando a resistência do ar. A parte do gráfico para valores negativos de y corresponde à deformação elástica da bola quando choca com o chão; durante o tempo de contacto com o chão, admite-se que o movimento vertical da bola é um movimento harmónico simples, sem dissipação de energia. y v h − A Sabendo que a altura máxima atingida pela bola é h = 10 m e que a deformação máxima quando a bola bate no chão é A = 1 cm, determine: (a) A velocidade máxima da bola ao longo do seu movimento. (b) A frequência angular da deformação elástica da bola. (c) O tempo que a bola pernaece em contacto com o chão. 3. Um bloco com massa m = 0.6 kg que se encontra sobre uma mesa horizontal está ligado a uma mola elástica com constante k = 50 N/m 242 Sistemas lineares ( s = 0 é a posição em que a mola não está nem comprimida nem esticada). O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é µc= 0.4. (a) Trace o retrato de fase e a curva de evolução correspondente às posições iniciais s = ± 0.07 m e s = ± 0.09 m (em ambos casos, use velocidade inicial v= 0.001 m/s). (b) Com base no retrato de fase na alínea anterior, diga quais são os pontos de equilíbrio do sistema. m k µ c s = 0 4. Um cilindro de massa m está pendurado, na vertical, de uma mola com constante elástica k , tal como na figura 6.2; se y é a altura do centro de massa do cilindro, na posição em que a mola não está nem esticada nem comprimida, despreze a resistência do ar. (a) Encontre a equação de movimento, a partir da equação de Lagrange, ou se preferir, a partir da segunda lei de Newton. (b) Encontre o valor de yno ponto de equilíbrio. (c) Mostre que o sistema pode escrever-se como sistema linear, com uma mudança de variável de y para uma nova variável z e que a equação de movimento em função de z é a equação de um oscilador harmónico simples com frequência angular pk/m. 5. Um cilindro tem base circular de área A = 10 cm 2 , altura h = 16 cm e massa volúmica ρ = 0.9 g/cm 3 . Como essa massa volúmica é menor que a da água, ρag = 1 g/cm 3 , quando o cilindro é colocando num recipiente com água flutua na superfície, com uma parte x da sua altura por fora da água, como mostra a figura (0 ≤x≤h ). Empurrando o cilindro para baixo, começará a oscilar com x a variar em função do tempo. Use o seguinte procedimento para analisar a oscilação do cilindro: (a) Sabendo que a força da impulsão da água, para cima, é igual ao peso da água que ocupava a parte do volume do cilindro que está dentro da água, ou seja, I=A(h−x)ρag g Encontre a expressão para a força resultante no cilindro, em função Problemas 243 de x (pode ignorar a força de resistência da água, que é muito menor que o peso e a impulsão). (b) Encontre a equação de movimento do cilindro (expressão para Ü x em função de x). (c) Encontre o valor de xna posição de equilíbrio do cilindro. (d) Mostre que o sistema dinâmico associado ao movimento do cilindro é linear e encontre a matriz do sistema. (e) Mostre que o ponto de equilíbrio é um centro, implicando que o movimento é oscilatório e determine o valor do período de oscilação do cilindro. x 6. A equação de movimento at=C1s+C2v , com C1 > 0, descreve um oscilador invertido, com dissipação de energia (se C2 é negativa) ou com aumento da energia (se C2 é positiva). Mostre que a condição C1 > 0 é suficiente para garantir que existem dois valores próprios reais diferentes, um positivo e o outro negativo, independentemente do valor de C2. Assim sendo, o ponto de equilíbrio sempre é um ponto de sela. 7. Num transformador há duas bobinas, a primária, com resistência R1 e indutância L1 e a secundária, com resistência R2 e indutância L2 . Quando se liga uma fonte na primeira bobina, produzindo corrente I1 nela, na segunda bobina é induzida outra corrente I2 . Quando se desliga a fonte na primeira bobina, as duas correntes começam a diminuir gradualmente, de acordo com as seguintes equações: 244 Sistemas lineares L1Û I1+MÛ I2+R1I1=0 L2Û I2+MÛ I1+R2I2=0 onde M é a indutância mútua entre as duas bobinas e todas as constante M,L1,L2,R1eR2são positivas. (a) Escreva as equações do transformador como equações de evolução de um sistema dinâmico linear e encontre a matriz do sistema. (b) Num transformador real, M2 é menor que L1L2 . Considere o caso L1 = 2, L2 = 8, M = 3, R1 = 1, R2 = 2 (num sistema de unidades escolhido para obter números entre 0 e 10) e determine que tipo de ponto é o ponto de equilíbrio. (c) Com os mesmos valores da alínea anterior, trace o retrato de fase do sistema. (d) Os valores L1=2 , L2=8 , M=5 , R1=1 e R2=2 , correspondem a um caso hipotético que não pode descrever um transformador real porque M2>L1L2 . Diga que tipo de ponto seria o ponto de equilíbrio nesse caso e explique porque esse sistema não pode descrever um transformador real. 8. Um isótopo radioativo A, decai produzindo outro isótopo radioativo B e este decai produzindo um isótopo estável C. A−→ B−→ C Sendo N1 e N2 o número de isótopos das espécies A e B existentes em qualquer instante t , as suas derivadas em ordem ao tempo verificam as seguintes equações: Û N1=−k1N1 Û N2=k1N1−k2N2 onde k1 é a constante de decaimento dos isótopos A (probabilidade de que um isótopo da espécie A se desintegre durante uma unidade de tempo) e k2é a constante de decaimento dos isótopos B. (a) Determine a matriz do sistema e os seus valores próprios. Problemas 245 (b) Tendo em conta que as constantes de decaimento k1 e k2 são positivas, explique que tipo de ponto pode ser o ponto de equilíbrio para os possíveis valores dessas constantes. (c) Se num instante inicial o número de isótopos A, B e C for, respetivamente, N1 =3 NA , N2 = 1.5 NA e N3 = 4.5 NA , onde NA = 6.022 × 10 23 é o número de Avogadro, quais serão os valores de N1 , N2eN3após um tempo muito elevado? 9. No sistema dinâmico com equações de evolução: Û x=−yÛ y=10 x+k(x+y) onde k é um parâmetro real que pode ter qualquer valor entre −∞ e +∞ , determine para quais possíveis valores de k o ponto ( x , y ) = (0,0) é nó atrativo ou repulsivo, foco atrativo ou repulsivo, centro ou ponto de sela. 246 Sistemas lineares Respostas Perguntas: 1. E. 2. E. 3. B. 4. B. 5. A. Problemas 1. (a)λ1= 3, λ2=−1, ® v1=ˆ ı+2ˆ ,® v2=ˆ ı−2ˆ , Ponto de sela. -8 -4 0 4 8 -8 -4 0 4 8 y x (b)λ1=−4, λ2=−1, ® v1=ˆ ı−(√2/2)ˆ ,® v2=ˆ ı+√2ˆ , Nó estável. -2 -1 0 1 -1 0 1 y x (c)λ= 2, ® v=ˆ ı−ˆ , Nó impróprio instável. -2 -1 0 1 -1 0 1 y x Respostas 247 2. (a) 14 m/s (b) 1400 s−1(c) 2.24 ms. 3. (b) O único ponto de equilíbrio é na origem; no entanto, em todos os pontos, diferentes da origem, no intervalo − 0.024 < s < 0.024 o sistema desloca-se em pequenos “saltos” até à origem. Essa situação peculiar é devida a erro numérico; com intervalos de tempo suficientemente pequenos o bloco aproxima-se continuamente da origem. Na prática, existe também atrito estático, que faz com que todos os pontos no intervalo − 0.047 < s < 0.047 sejam, de facto, pontos de equilíbrio ( µcmg/k = 0.047). 4. (a) Ü y=−k my−g (b) ye=−mg k (c) A mudança de variável é z=y+mg k e a nova equação de movimento é Ü z=−k mz (a gravidade não interessa) e: Ω=|λ|=rk m 5. (a)F=15680 −9800 x , em gramas vezes cm/s 2 , x em centímetros e admitindo que Fé positiva quando a força é para cima. (b)Ü x=980 9−1225 18 x (c) 1.6 cm. (d)"0 1 −1225 18 0# (e) Os dois valores próprios são números imaginários. O período é 0.762 segundos. 6. Os dois valores próprios são λ1=(C2+qC2 2+4C1)/2 e λ2=(C2− qC2 2+4C1)/2 . Como C2 2+4C1 é sempre maior que zero, os dois valores são sempre reais. Como λ1−λ2=qC2 2+4C1 é diferente de zero, os dois valores próprios são diferentes. O produto dos dois valores próprios é λ1λ2=−C1 que, por ser negativo, implica que os dois valores têm sempre sinais opostos. 7. (a)Û I1=L2R1I1−M R2I2 M2−L1L2Û I2=−M R1I1+L1R2I2 M2−L1L2 A matriz é: 1 M2−L1L2L2R1−M R2 −M R1L1R2 (b) Nó atrativo. 248 Sistemas lineares (c) O retrato de fase é: -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 I2 I1 (d) Ponto de sela. Não pode descrever um transformador real, porque a instabilidade do sistema implica que com correntes iniciais finitas as correntes aumentavam até infinito, que não é possível. 8. (a) A matriz é: −k10 k1−k2com valores próprios −k1e−k2. (b) Se as duas constantes são diferentes, o ponto de equilíbrio é nó atrativo, se são iguais, é um nó impróprio atrativo. (c)N1= 0, N2=0eN3= 9 NA. 9. Se k < − 10, é ponto de sela. Se − 10 < k≤ −2(√11 −1) , é nó atrativo. Se −2(√11 −1) < k < 0, é foco atrativo. Se k = 0, é centro. Se 0 < k < 2(√11 +1), é foco repulsivo. E se k≥2(√11 +1), é nó repulsivo. 10. Sistemas não lineares Um segway é um veículo com um único eixo e duas rodas. Juntamente com o monociclo, são dois exemplos de pêndulos invertidos. O pêndulo invertido é um sistema instável; uma inclinação fora da vertical conduz a um binário que faz aumentar a inclinação. Para conseguir manter a posição de equilíbrio, o segway precisa de um sistema de controlo automático do motor, de forma a exercer forças de tração no sentido que for necessário para restabelecer a posição vertical. Quando o veículo está parado, a ação do motor desencadeia a força de atrito com o chão, com o módulo e sentido que evite que o veículo se incline. Quando o veículo entra em movimento, a ação do motor desencadeia a força de atrito necessária para contrariar o binário produzido pelo peso do condutor. No caso do monociclo, a ação dos pedais desencadeia a força de atrito necessária para manter o equilíbrio. 256 Sistemas não lineares t angulo vel. angular -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 vel. angular angulo -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Figura 10.4.: Oscilações de um pêndulo de 50 cm com amplitude de 120 ◦ . oscilação aumenta, em relação à amplitude de 30 ◦ e está entre 1.94 s e 1.95 s. Nos dois casos apresentados nas figuras 10.3 e10.4, a curva de evolução é um ciclo, indicando que existe um ponto de equilíbrio estável na região interna do ciclo. Os pontos de equilíbrio do pêndulo, onde os lados direitos das equações 10.9 são nulos, encontram-se em θ= 0, ±π,±2π...eω= 0. Os pontos em θ = 0, ±2π , ±4π . . . são realmente o mesmo ponto físico, na posição mais baixa do pêndulo, correspondentes à passagem do pêndulo por essa posição, após um número qualquer de voltas. Os pontos em θ=±π , ±3π . . . são também o mesmo ponto físico, na posição mais alta do pêndulo. 10.3. Aproximação linear do pêndulo A matriz jacobiana correspondente às equações 10.9 do pêndulo é "0 1 −g lcos θ0#(10.10) No ponto de equilíbrio em θ=0(em geral, 0, ±2π,±4π,. . . ), a matriz é: "0 1 −g l0#(10.11) que é a matriz de um oscilador harmónico simples, analisada no exemplo 9.4 do capítulo 9. Os dois valores próprios são ±ipg/l , o ponto de equilíbrio 10.3 Aproximação linear do pêndulo 257 θ=ω = 0 é um centro e se o estado inicial do sistema está próximo desse ponto, o pêndulo oscila com frequência angular Ω=pg/l . No caso do pêndulo de 50 cm considerado na secção anterior, essa expressão conduz ao período 1.42 s. Lembre-se que esse valor é apenas uma aproximação, que é melhor quanto menor for a amplitude; os valores do período calculados numericamente na secção anterior são mais realistas. Na vizinhança do ponto de equilíbrio θ=π (em geral, ±π , ±3π ,. . . ), a matriz jacobiana é "0 1 g l0#(10.12) que é a matriz de um oscilador invertido, analisada no exemplo 9.3 do capítulo 9. Os dois valores próprios são ±pg/l e o ponto de equilíbrio é ponto de sela (equilíbrio instável). O retrato de fase no intervalo −10 < θ < 10 , mostrará 3 centros ( −2π ,0e 2π ) e 4 pontos de sela ( −3π , −π , π e 3π ). No caso l=50 cm considerado na secção anterior, usa-se o comando: (%i18) plotdf([w,-(9.8/0.5)*sin(q)],[q,w],[q,-10,10], [w,-20,20]); A figura 10.5 mostra o resultado. No eixo das abcissas está representado o ângulo θ e no eixo das ordenadas a velocidade angular ω . As duas curvas identificadas com as letras A e B formam parte de uma órbita heteroclínica . -10 -5 0 5 10 -20 -10 0 10 20 ω θ A B Figura 10.5.: Retrato de fase de um pêndulo de 50 cm. 258 Sistemas não lineares As órbitas heteroclínicas do pêndulo correspondem ao caso em que a energia mecânica do pêndulo é exatamente igual à energia potencial gravítica no ponto de altura máxima. Usando como referência U = 0, na posição em que a barra do pêndulo está na horizontal ( θ=π/2 ), a energia potencial no ponto mais alto é U=mgl . Cada uma das curvas A e B corresponde ao movimento em que inicialmente o pêndulo está parado na posição mais alta, desce completando uma oscilação completa e para novamente na posição mais alta, sem voltar a oscilar mais. A diferença entre a órbita heteroclínica e os ciclos, é que nos ciclos as oscilações repetem-se indefinidamente, enquanto que na órbita heteroclínica há apenas meia oscilação. Dentro da órbita heteroclínica, os ciclos na sua vizinhança correspondem a oscilações em que o pêndulo chega quase até o ponto mais alto, parece ficar parado nesse ponto por alguns instantes e logo desce novamente até o ponto mais baixo, repetindo o movimento no outro lado da vertical. As órbitas heteroclínicas também são separatrizes no retrato de fase, porque delimitam a região onde existe movimento oscilatório: região sombreada na figura 10.6. Se o estado inicial está dentro dessa região, o pêndulo oscila; caso contrário, o pêndulo descreve movimento circular não uniforme. 0 θ ω 0 Figura 10.6.: As órbitas heteroclínicas delimitam a região de movimento oscilatório. As figuras 10.3 e10.4 mostram que com amplitude 30 ◦ a aproximação linear é bastante boa, pois a curva de evolução é muito parecida à do 10.4 Espaços de fase com várias dimensões 259 oscilador harmónico simples e o período é próximo do período obtido com a aproximação linear, mas com amplitude de 120 ◦ , a aproximação linear já não é muito boa. 10.4. Espaços de fase com várias dimensões Nos sistemas mecânicos autónomos, por cada grau de liberdade há uma equação de movimento, que implica duas variáveis de estado. Assim sendo, a dimensão do espaço de fase é o dobro do número de graus de liberdade. Se um sistema não é autónomo é necessário acrescentar mais uma dimensão ao espaço de fase, como se mostra na seguinte secção. Existem então sistemas mecânicos com espaços de fase de dimensão 2, 3, 4, 5, . . . Nos casos em que o espaço de fase tem mais do que duas dimensões o programa plotdf não pode ser utilizado para esboçar o retrato de fase. É necessário resolver as equações de evolução para alguns valores iniciais específicos e construir gráficos mostrando apenas algumas das variáveis de estado. 10.4.1. Sistemas de equações não autónomas A forma geral de um sistema com n equações diferenciais não autónomas é: Û x1=f1(x1,x2, . . ., xn,t) Û x2=f1(x1,x2, . . ., xn,t) . . . Û xn=f1(x1,x2, . . ., xn,t) Para distinguir os diferentes estados do sistema são necessários os valores das n variáveis xi e o valor do tempo; o seja, cada estado é um ponto com n + 1 coordenadas ( x1 , x2 ,..., xn , t ) e o espaço de fase tem n + 1 dimensões. A velocidade de fase é a derivada das coordenadas do estado: ( Û x1 , Û x2 ,..., Û xn , Û t ). As expressões para as primeiras n componentes são dadas pelo sistema de n equações diferenciais acima, e a última componente Û t é sempre igual a 1 (derivada de t em ordem a t ). Como tal, o sistema de n equações não autónomas considera-se um sistema dinâmico com n + 1 variáveis de estado. 260 Sistemas não lineares Esse tipo de sistemas de equações podem ser resolvidos também com o comando rk, sem ser necessário indicar t como variável de estado, nem a última componente da velocidade de fase, Û t = 1; o valor inicial de t dá-se no intervalo de integração e não na lista de valores iniciais das variáveis de estado. No entanto, há que ter em conta que se a velocidade de fase depende da variável independente t, essa variável é também variável de estado. Exemplo 10.2 A equação diferencial: t2Ü x+tÛ x+t2−1 9x=0 é uma equação de Bessel. Escreva a equação como sistema dinâmico e identifique o espaço de fase. Resolução. Define-se uma variável auxiliar yigual a Û x: Û x=y(10.13) assim sendo, a segunda derivada Ü y é igual à primeira derivada de y e a equação de Bessel é: t2Û y+ty+t2−1 9x=0 resolvendo para Û y, obtém-se: Û y=1 9t2−1x−y t(10.14) Como esta equação não é autónoma, é necessário considerar a variável independente t como mais uma variável de estado, com a equação de evolução trivial: dt dt =1(10.15) O espaço tem três dimensões e cada estado tem coordenadas ( t , x , y ). O sistema dinâmico é definido pelas 3 equações 10.13,10.14 e10.15. 10.4 Espaços de fase com várias dimensões 261 10.4.2. Lançamento de projéteis mpg mag Fr Figura 10.7.: Projétil no ar. No caso do lançamento de um projétil com velocidade oblíqua, sobre o corpo atuam três forças externas: o peso, mpg , a resistência do ar, Fr e a impulsão mag , onde mp é a massa do projétil e ma a massa do ar que ocupava o mesmo volume do projétil. O problema é semelhante ao problema da queda livre, estudado na secção 4.3.3 do capítulo 4, mas a força de resistência do ar deixa de ser vertical (ver figura 10.7). O peso e a impulsão são verticais, em sentidos opostos, podendo ser combinados numa única força vertical (peso eficaz) de módulo (mp−ma)g. Admite-se que a massa volúmica do projétil é muito maior que a massa volúmica do ar e, portanto, o peso eficaz aponta para baixo e mp−ma é quase igual a mp . De qualquer modo, a massa do projétil costuma medir-se medindo o seu peso eficaz no ar, assim que o valor medido ( m ) da massa do projétil é realmente mp−mae o peso eficaz é mg. A força de resistência do ar muda constantemente de sentido, porque é sempre tangente à trajetória e no sentido oposto à velocidade. Como foi explicado no capítulo 4, no caso do ar o número de Reynolds costuma ser elevado e admite-se que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade. Se o projétil é uma esfera de raio R , a expressão do módulo de Fré dada pela equação 4.14 e a força é: ® Fr=−π 4ρR2v2® et(10.16) onde ρ é a massa volúmica do ar e ® et é o vetor tangencial que aponta na direção e sentido do vetor velocidade: ® et=® v v(10.17) Escolhendo um sistema de eixos em que a gravidade aponta no sentido negativo do eixo dos y e a velocidade inicial ® v0 com que é lançado o projétil está no plano xy , o peso e a força de resistência do ar estão sempre no plano xy e o movimento do projétil dá-se nesse plano. Assim sendo, o vetor 262 Sistemas não lineares velocidade é (vxˆ ı+vyˆ )e a força de resistência do ar é: ® Fr=−π 4ρR2qv2 x+v2 y(vxˆ ı+vyˆ )(10.18) O vetor do peso é −mgˆ  . Aplicando a segunda lei de Newton, obtêm-se as componentes da aceleração: ax=−π ρ R2 4mvxqv2 x+v2 y ay=−g−π ρ R2 4mvyqv2 x+v2 y(10.19) Estas equações devem ser resolvidas em simultâneo porque as duas componentes vx e vy aparecem nas duas equações. É impossível encontrar a solução exata do problema, mas pode obter-se uma aproximação numérica. A seguir vão-se comparar as trajetórias de duas esferas diferentes, lançadas com a mesma velocidade inicial para compará-las com a trajetória parabólica que teriam se pudessem ser lançadas no vácuo, sem resistência do ar. Considere-se o caso em que a velocidade inicial é 12 m/s, fazendo um ângulo de 45 ◦ com o plano horizontal; as componentes da velocidade inicial são, (%i19) [vx0,vy0]:float (12*[cos(%pi/4),sin(%pi/4)])$ Começando pelo caso mais fácil, o lançamento dos projéteis no vácuo, as componentes da aceleração são ax=0eay=−9.8. O estado do projétil é ( x , y , vx , vy ) e a velocidade de fase ( vx , vy , ax , ay ). Os valores iniciais da velocidade já foram calculados em (%i19) e arbitre-se que o projétil parte da origem com valores iniciais nulos para x e y . Para integrar as equações de movimento desde t=0 até t=2 s, com incrementos de 0.01 s, usa-se o comando: (%i20) tr1:rk ([vx,vy,0,-9.8], [x,y,vx,vy], [0,0,vx0,vy0], [t,0,2,0.01])$ e o último ponto calculado na lista tr1 é, (%i21) last (tr1); (%o21) [2.0,16.97,−2.629,8.485,−11.11] 10.4 Espaços de fase com várias dimensões 263 As 5 componentes do ponto são o tempo, as coordenadas da posição e as componentes da velocidade. Este resultado mostra que em t = 2 a bola já está a cair, porque vy é negativa e que já desceu debaixo da altura inicial, porque yé negativa. Como se pretende obter a trajetória até a bola regressar à altura y=0 , é necessário extrair unicamente os pontos da lista tr1 com terceira componente ( y ) positiva. Percorre-se a lista toda, comparando o terceiro elemento de cada ponto com 0, até encontrar o primeiro ponto em que o terceiro elemento é negativo. Isso consegue-se usando o comando sublist_indices do Maxima: (%i22) first (sublist_indices (tr1,lambda([p],p[3]<0))); (%o22) 175 O comando lambda usou-se para definir um operador que compara o terceiro elemento da entrada que lhe for dada com zero. O comando sublist_indices percorre a lista tr1 passando cada elemento como entrada para esse operador e, nos casos em que o operador produz o resultado “true”, o índice do respetivo elemento da lista é acrescentado a uma sub lista. O comando first seleciona apenas o primeiro elemento nessa sub lista, neste caso, o índice do primeiro ponto em que y é negativo. Como tal, só interessam os primeiros 174 pontos na lista; se o objetivo é construir o gráfico da trajetória, extraem-se as coordenadas xeydos primeiros 174 pontos noutra lista: (%i23) r1:makelist ([tr1[i][2], tr1[i][3]], i,1,174)$ A seguir vai repetir-se o mesmo procedimento para uma bola de ténis e uma bola de ténis de mesa, tendo em conta a resistência do ar. A massa volúmica do ar é aproximadamente 1.2 kg/m 3 . É conveniente definir uma função que calcula a constante que aparece nas equações de movimento 10.19, em função do raio e a massa de cada uma das bolas; também é conveniente definir a expressão do módulo da velocidade para não ter que escrevê-la várias vezes: (%i24) c(R,m):= -%pi*1.2*R^2/4/m$ (%i25) v:sqrt(vx^2+vy^2)$ Uma bola de ténis típica tem raio de aproximadamente 3.25 cm e massa 62 gramas. No comando (%i20) é necessário substituir a aceleração da gravidade pelas duas componentes da aceleração (equações 10.19) 264 Sistemas não lineares (%i26) tr2:rk ([vx,vy,c(0.0325,0.062)*vx*v, -9.8+c(0.0325,0.062)*vy*v], [x,y,vx,vy], [0,0,vx0,vy0], [t,0,2,0.01])$ O primeiro ponto com altura negativa é (%i27) first (sublist_indices (tr2,lambda([p],p[3]<0))); (%o27) 167 e a trajetória da bola de ténis armazena-se noutra variável: (%i28) r2:makelist ([tr2[i][2],tr2[i][3]],i,1,166)$ Repetem-se os mesmos cálculos para uma bola de ténis de mesa típica, com raio 1.9 cm e massa 2.4 g (%i29) tr3:rk ([vx,vy,c(0.019,0.0024)*vx*v, -9.8+c(0.019,0.0024)*vy*v], [x,y,vx,vy], [0,0,vx0,vy0], [t,0,2,0.01])$ (%i30) first (sublist_indices (tr3,lambda([p],p[3]<0))); (%o30) 133 (%i31) r3:makelist ([tr3[i][2],tr3[i][3]],i,1,132)$ O gráfico das 3 trajetórias constrói-se com o seguinte comando: (%i32) plot2d ([[discrete,r1], [discrete,r2], [discrete,r3]], [xlabel,"x (m)"], [ylabel,"y (m)"], [y,0,12], [legend,"vacuo","tenis","tenis de mesa"])$ O resultado é apresentado na figura 10.8. A trajetória das bolas no ar não é uma parábola, mas no fim curva-se mais e termina com uma queda mais vertical. O efeito da resistência do ar é mais visível na bola de ténis de mesa; apesar de ser mais pequena que a bola de ténis, a força de resistência do ar produz nela maior aceleração tangencial negativa, devido à sua menor massa volúmica. Lançadas com a mesma velocidade, o alcance horizontal da bola de ténis de mesa é 6.2 m e o da 10.4 Espaços de fase com várias dimensões 265 y (m) x (m) vacuo tenis tenis de mesa 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Figura 10.8.: Trajetórias de uma bola no vácuo e bolas de ténis e ténis de mesa no ar. bola de ténis 12.4 m. O alcance horizontal hipotético das duas bolas, se a resistência do ar pudesse ser ignorada, seria 14.7 m. 10.4.3. Pêndulo de Wilberforce θ z Figura 10.9.: Pêndulo de Wilberforce. O pêndulo de Wilberforce (figura 10.9) é constituído por um cilindro pendurado de uma mola vertical muito comprida. Quando uma mola é esticada ou comprimida, cada espira muda ligeiramente de tamanho; no pêndulo de Wilberforce, o número elevado de espiras na mola faz com que seja mais visível essa mudança, de forma que enquanto a mola oscila, também se enrola ou desenrola, fazendo rodar o cilindro em relação ao eixo vertical. O sistema tem dois graus de liberdade, a altura z do centro de massa do cilindro e o ângulo de rotação do cilindro à volta do eixo vertical, θ . Se z=0 e θ=0 são escolhidos na posição de equilíbrio, é possível ignorar 272 Sistemas não lineares (c) Faça a mão um gráfico mostrando os versores que encontrou nas alíneas aeb, em vários pontos nos 4 quadrantes do espaço de fase, e trace algumas curvas de evolução seguindo as direções da velocidade de fase. Com base nesse gráfico, que tipo de ponto de equilíbrio julga que é a origem? (d) Diga se existem ciclos, órbitas homoclínicas ou heteroclínicas e no caso afirmativo quantas. 9. Uma partícula de massa m desloca-se no plano xy sob a ação de uma força conservativa com energia potencial, U=kx 2x2+ ky 2y2 onde kx e ky são duas constantes positivas. As trajetórias da partícula obtidas com diferentes valores dessas constantes chamam-se figuras de Lissajous. (a) Encontre as duas equações de movimento para Ü xeÜ y (b) Resolva numericamente as equações de movimento, no caso m = 0.3, kx = 2 e ky = 8 (unidades SI), entre t = 0 e t = 2.43, se a partícula partir do ponto (1, 0) com velocidade inicial ® v=0.6ˆ  . Desenhe o gráfico da trajetória da partícula no plano xy. (c) Repita a alínea anterior, mas admitindo que a partícula parte do ponto (1, 0) com velocidade inicial ® v=0.3ˆ ı+0.6ˆ . (d) Observe que o sistema pode ser considerado como um conjunto de dois osciladores harmónicos independentes, nas direções x e y . Calcule o período de oscilação para cada um dos dois osciladores e diga qual é a relação entre os dois períodos. (e) Repita os cálculos da alínea c, mudando o valor de ky para 18. Que relação encontra entre o gráfico da trajetória e ky/kx? 10. Qualquercorpo celeste (planeta, cometa, asteróide, sonda espacial, etc) de massa m no sistema solar tem uma energia potencial gravítica produzida pelo Sol, que é responsável pelas órbitas elípticas desses corpos. A expressão para a energia potencial é, U=−G M m px2+y2 onde G é a constante de gravitação universal, M é a massa do Sol, e as coordenadas x e y são medidas no plano da órbita do corpo celeste, com Respostas 273 origem no Sol. Se as distâncias forem medidas em unidades astronómicas, UA, e os tempos em anos, o produto G M será igual a 4π2. (a) Encontre as equações de movimento do corpo celeste, em unidades de anos para o tempo e UA para as distâncias. (b) O cometa Halley chega até uma distância mínima do Sol igual a 0.587 UA. Nesse ponto, a sua velocidade é máxima, igual a 11.50 UA/ano, e perpendicular à sua distância até o Sol. Determine numericamente a órbita do cometa Halley, a partir da posição inicial 0.587ˆ ı , com velocidade inicial 11.50 ˆ  , com intervalos de tempo ∆t = 0.05 anos. Trace a órbita desde t = 0 até t = 100 anos. Que pode concluir acerca do erro numérico? (c) Repita o procedimento da alínea anterior com ∆t = 0.02 anos e trace a órbita desde t = 0 até t = 150 anos. Que pode concluir acerca do erro numérico? (d) Diga qual é, aproximadamente, a distância máxima que o cometa Halley se afasta do Sol, e compare a órbita do cometa com as órbitas do planeta mais distante, Neptuno (órbita entre 29.77 UA e 30.44 UA) e do planeta mais próximo do Sol, Mercúrio (órbita entre 0.31 UA e 0.39 UA) (Plutão já não é considerado um planeta). Respostas Perguntas: 1. D. 2. A. 3. C. 4. D. 5. E. Problemas 1. (a) Unicamente um centro em (x,vx) = (0, 0). (b) Um ponto de sela em ( x , vx ) = (0, 0), um foco instável em ( x , vx )=( − 1, 0) e um foco estável em (x,vx) = (1, 0). (a) -5 -2.5 0 2.5 5 -5 -2.5 0 2.5 5 vx x (b) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 3 4 5 vx x 2. (a) Dois pontos de equilíbrio, (3, − 5), com valores próprios 7 e -4, é 274 Sistemas não lineares ponto de sela. ( − 4, 2), com valores próprios 3 e − 7 é ponto de sela. (b) Dois pontos de equilíbrio, (0, 0), com valores próprios ±i√2 é centro e (0.763, 0.874), com valores próprios − 2.193 e 2.736 é ponto de sela. (c) Dois pontos de equilíbrio, ( −2√6/3 , √6/3 )e( 2√6/3 , −√6/3 ), ambos pontos de sela com valores próprios ±2√2. (d) Nove pontos de equilíbrio. Um ponto de sela em (0, 0), com valores próprios 3 e − 5, outros dois pontos de sela em ( √5 , −√5 )e( −√5 , √5), com valores próprios 10 e −12, outros dois pontos de sela em ( √3 , √3 )e( −√3 , −√3 ) com valores próprios 4 e − 6 e quatro focos atrativos em ( b√a , √a ), ( −b√a , −√a ), ( a√b , √b ) e ( −a√b , −√b ), com valores próprios −1+±i√23, onde a=2+√3eb=2−√3. 3. Os pontos de sela continuam sendo pontos de sela e o centro passa a ser foco estável. 4. (a) O pêndulo oscila com amplitude que decresce lentamente: t angulo vel. angular -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 10 20 30 40 50 vel. angular angulo -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 (b) O pêndulo faz três voltas completas, rodando no sentido horário, e quando passa a quarta vez pela posição de equilíbrio estável, começa a oscilar com amplitude que decresce lentamente: t angulo vel. angular -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 0 10 20 30 40 50 vel. angular angulo -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 Respostas 275 5. (b) -10 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 θ ω b = 2 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -3 -2 -1 0 1 2 3 θ ω b = 8 Com ωb =2s −1 , há um ponto de equilíbrio estável em θ = 0 e um ponto de equilíbrio instável em θ=±π . Com ωb =8s −1 , há dois pontos de equilíbrio instável em θ =0e θ=±π e dois pontos de equilíbrio estável em θ≈−1 e θ≈1. 6. Ângulo Alcance (m) 35◦6.293 36◦6.299 37◦6.301 38◦6.299 39◦6.325 40◦6.314 O ângulo de 37 ◦ produz o alcance máximo. No problema 12 do capítulo 6, o valor máximo do seno é 1, quando 2 θ= 90◦e, portanto, θ= 45◦. 7. (a) Û x=v , Û v=4−v2−4x2 (b) ( x , Û x ) = (1, 0) e ( x , Û x )=( − 1, 0) (c) J=0 1 −8x−2Û x (d) (1, 0) é um centro e ( − 1, 0) é ponto de sela. (e)x= 0.5869, Û x= 0.8277. 8. (a) No eixo dos x , −ˆ ı . No eixo dos y , ˆ  . (b) Na reta y=x , (ˆ ı−ˆ )/√2 . Na reta y=−x , (−ˆ ı+ˆ )/√2 . (c) Ver figura; a origem é ponto de sela. (d) Nenhum ciclo nem órbita heteroclínica; número infinito de órbitas homoclínicas (todas as curvas de evolução no primeiro e terceiro quadrantes). 9. (a)Ü x=−kx mxÜ y=−ky my 276 Sistemas não lineares (b)e(c) -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y x -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y x (d) Na direção x , 2.433 s. Na direção y , 1.217 s. O período na direção x é o dobro do período na direção de y . (e) Se pky/kx for um número inteiro, o estado da partícula regressa ao estado inicial depois de descrever uma figura de Lissajous com pky/kxloops segundo o eixo dos x. -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y x 10. (a)Ü x=−4π2x (x2+y2)3/2Ü y=−4π2y (x2+y2)3/2 (b)e(c) -10 -5 0 5 10 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 y x -10 -5 0 5 10 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 y x Na alínea bo erro numérico é muito elevado; a energia do cometa não permanece constante mais diminui. Na alínea co erro numérico é muito menor, mas o cometa continua a perder energia; seria preciso reduzir ainda mais o valor de ∆t para diminuir o erro. (d) 34.4 UA. A órbita sai por fora da órbita de Neptuno, e entra até um ponto entre órbitas de Mercúrio e Vénus. 11. Ciclos limite e dinâmica populacional A aranha caranguejo é um predador que consegue mudar a sua cor para camuflar-se das suas presas. Na fotografia, uma aranha caranguejo, pousada numa flor, apanha duas moscas que estavam a acasalar. Os sistemas predador presa são um exemplo de sistema de duas espécies; a evolução da população das duas espécies pode ser estudada com a teoria de sistemas dinâmicos. 278 Ciclos limite e dinâmica populacional 11.1. Ciclos limite Num sistema conservativo, todos pontos de equilíbrio estável são centros e existem ciclos, que correspondem a movimentos oscilatórios. Na prática, um sistema conservativo é apenas uma idealização. Existem forças dissipativas que tornam um centro em foco atrativo ; os ciclos passam a ser espirais que se aproximam do foco atrativo e o movimento oscilatório descrito por essas espirais tem amplitude de oscilação decrescente, aproximando-se para zero. A energia diminui ao longo da curva de evolução até o valor mínimo local no ponto de equilíbrio estável. Também podem existir forças externas que aumentam a energia mecânica do sistema. Nesse caso o centro torna-se um foco repulsivo e os ciclos são substituídos por espirais que se afastam do ponto. Essas curvas de evolução com forma de espiral representam movimento oscilatório com amplitude crescente; ao longo das curvas a energia aumenta a medida que o estado se afasta do mínimo local de energia. A conjugação dos dois efeitos: forças dissipativas mais forças externas que fornecem energia, pode produzir a combinação exata que mantem o sistema em movimento oscilatório com amplitude constante. Um exemplo típico é um relógio de pêndulo: a dissipação de energia devida à resistência do ar e atrito no eixo é compensada por um mecanismo que produz um momento sobre o pêndulo. Isso explica porque os sistemas não conservativos também podem ter ciclos no espaço de fase. Mas comumente esses ciclos são isolados; nomeadamente, existem apenas para um valor específico da amplitude e não para qualquer amplitude arbitrária. Esse tipo de ciclos isolados, nos sistemas não lineares, são designados ciclos limite. 11.1.1. Equação de Van der Pol Uma equação não linear conhecida há muito tempo e que dá origem a ciclos limite é a equação de Van der Pol, que surgiu no estudo dos circuitos elétricos e outros sistemas mecânicos: Ü x+2ε(x2−1)Û x+x=0(11.1) onde ε é um parâmetro positivo. Se x2 for maior que 1, o segundo termo é dissipativo e implica diminuição da amplitude de oscilação. Se x2 for menor 11.1 Ciclos limite 279 que 1, o sistema terá fornecimento de energia e a amplitude de oscilação aumentará. Assim sendo, espera-se que, independentemente do estado inicial, o sistema termine oscilando com amplitude próxima de 1. A equação de van der Pol é equivalente ao seguinte sistema dinâmico autónomo: Û x=yÛ y=−x−2ε(x2−1)y(11.2) Existe um único ponto de equilíbrio, na origem. A matriz Jacobiana nesse ponto é: 0 1 −1 2ε(11.3) e os valores próprios são λ=ε±√ε2−1. A origem é ponto repulsivo, que pode ser foco ( ε < 1), nó ( ε > 1) ou nó impróprio ( ε = 1). O retrato de fase e o estado em função do tempo, no caso ε = 0.17, com condições iniciais x=y = 0.1 são representados com o seguinte comando: (%i1) plotdf ([y,-x-2*0.17*(x^2-1)*y], [x,y], [direction,forward], [x,-4,4], [y,-5,5], [nsteps,900], [trajectory_at,0.1,0.1], [versus_t,1])$ A figura 11.1 mostra o resultado. -2.5 0 2.5 -4 -2 0 2 4 y x x y 0 10 20 30 -4 -2 0 2 4 t Figura 11.1.: Solução da equação de van der Pol para um valor pequeno do parâmetro, ε= 0.17, com estado inicial próximo da origem. O sistema oscila, com amplitude inicialmente crescente, mas após algumas oscilações estas são cada vez mais uniformes. No retrato de fase, a órbita 280 Ciclos limite e dinâmica populacional cresce aproximando-se de um ciclo limite com forma de retângulo de vértices arredondados. O retrato de fase e a solução em função do tempo, para o mesmo valor do parâmetro, ε = 0.17, mas com um estado inicial que está fora do ciclo limite, obtém-se com o seguinte comando: (%i2) plotdf ([y,-x-2*0.17*(x^2-1)*y], [x,y], [direction,forward], [x,-4,4], [y,-5,5], [nsteps,900], [trajectory_at,-3,3], [versus_t,1])$ A figura 11.2 mostra o resultado. A amplitude das oscilações decresce até ficar uniforme e igual à solução obtida no caso anterior, -2.5 0 2.5 -4 -2 0 2 4 y x x y 0 5 10 15 -5 -2.5 0 2.5 5 t Figura 11.2.: Solução da equação de van der Pol para um valor pequeno do parâmetro, ε= 0.17, com estado inicial afastado da origem. Nos dois casos das figuras 11.1 e11.2 o sistema aproxima-se do mesmo ciclo; no primeiro caso a aproximação é feita desde dentro do ciclo e no segundo caso desde fora. Esse tipo de ciclo é um ciclo limite atrativo . Existem também ciclos limite repulsivos, no caso em que as órbitas perto desse ciclo afastam-se dele. Se o parâmetro ε for maior que 1 e o estado inicial estiver próximo da origem, o sistema aproxima-se muito mais rapidamente do ciclo limite, já que a origem passa a ser um nó repulsivo. Por exemplo, para ε = 1.7 e estado inicial x=y= 0.1: 11.1 Ciclos limite 281 (%i3) plotdf ([y,-x-2*1.7*(x^2-1)*y], [x,y], [direction,forward], [x,-4,4], [y,-6,6], [nsteps,1500], [trajectory_at,0.1,0.1], [versus_t,1])$ A figura 11.3 mostra o resultado. Em comparação com o caso ε = 0.17, as oscilações já não são parecidas com uma função sinusoidal e o ciclo limite tem uma forma mais complicada no espaço de fase. -2.5 0 2.5 -4 -2 0 2 4 6 y x x y 0 10 20 30 -6 -4 -2 0 2 4 6 t Figura 11.3.: Solução da equação de van der Pol para um valor elevado do parâmetro ε= 1.7 e com estado inicial próximo da origem. Em função do tempo, quanto menor for o parâmetro ε , mais parecidas serão as oscilações a uma função periódica de frequência única (função seno ou cosseno). Quanto maior for o parâmetro ε , mais complicadas serão as oscilações, como no caso da figura 11.3, correspondendo à sobreposição de funções sinusoidais com várias frequências diferentes. O circuito, ou sistema físico, descrito pela equação de van der Pol é um sistema auto-regulado. Nomeadamente, independentemente do estado inicial do sistema, o estado final será um movimento oscilatório com amplitudes e frequências específicas do circuito. 11.1.2. Existência de ciclos limite Num ponto do espaço de fase, que não seja ponto de equilíbrio, passa exatamente uma curva de evolução. As curvas de evolução de um sistema dinâmico contínuo, no espaço de fase, nunca se podem cruzar. 288 Ciclos limite e dinâmica populacional Não existem pontos de equilíbrio neste modelo e a população aumenta sem limite. No século XIX, Verhulst introduziu um modelo chamado modelo logístico , em que as taxas de natalidade mais imigração permanecem constantes, mas as taxas de mortalidade mais emigração aumentam de forma diretamente proporcional à população existente. Ou seja, a equação diferencial do modelo é Û x=x(a−b x)(11.7) onde a e b são constantes positivas. O pressuposto deste modelo é que a taxa de natalidade é um fator intrínseco, enquanto que o aumento da população origina conflitos e problemas que conduzem ao aumento da taxa de mortalidade. Neste modelo há dois pontos de equilíbrio, soluções da equação x(a−b x)= 0, ou seja, x=0ex=a/b. A matriz jacobiana tem um único elemento, J=d(x(a−b x)) dx =a−2b x (11.8) O primeiro ponto de equilíbrio, x =0, é repulsivo porque nesse ponto J=a > 0 e o segundo ponto, x=a/b , é atrativo porque J = −a < 0. Como tal, a população atingirá sempre o valor constante a/b. Estes modelos, propostos inicialmente para estudar populações humanas, aplicam-se a qualquer espécie biológica ou no estudo da propagação das epidemias. 11.3. Sistemas de duas espécies Sejam duas populações diferentes que interagem. A função x(t) representa o número de elementos da espécie 1, no instante t , e y(t) o número de elementos da espécie 2, no instante t. Admitindo que os fatores ambientais permanecem inalterados e que a evolução das duas espécies depende apenas da interação entre elas, as equações de evolução do sistema são um sistema autónomo com duas variáveis de estado: Û x=f(x,y)Û y=g(x,y)(11.9) As funções f e g não podem ser duas funções quaisquer, mas têm de verificar 11.3 Sistemas de duas espécies 289 as seguintes condições: lim x→0f(x,y)=0 lim y→0g(x,y)=0(11.10) já que quando uma das populações for extinta, não podem nascer nem morrer mais elementos dessa espécie e a respetiva taxa de aumento deve ser nula. Essas condições implicam que em cada um dos eixos x e y , no espaço de fase, a velocidade de fase é paralela ao respetivo eixo; se o estado inicial estiver num dos eixos, a sua evolução será ao longo desse eixo. Por outro lado, apenas é necessário que as funções f(x,y) e g(x,y) estejam definidas para valores positivos de x e y , já que as populações não podem ser negativas. Admite-se que as duas funções são contínuas no primeiro quadrante do plano xy. Os quatro termos na matriz jacobiana, J(x,y)= ∂f ∂x ∂f ∂y ∂g ∂x ∂g ∂y  (11.11) têm a seguinte interpretação: os termos na diagonal, ∂f/∂x e ∂g/∂y , são as taxas de crescimento de cada uma das duas espécies, independentemente da outra. Os termos fora da diagonal, ∂f/∂y e ∂g/∂x , têm a ver com a influência de cada espécie no crescimento da outra. Por exemplo, se ∂f/∂y for negativa, quer dizer que a existência de elementos da espécie y faz diminuir a população da espécie x. Os sistemas de suas espécies são classificados em três categorias: 1. Sistemas com cooperação . ∂f/∂y e ∂g/∂x são ambas positivas. Cada espécie propicia o aumento da população da outra espécie. 2. Sistemas com competição . ∂f/∂y e ∂g/∂x são ambas negativas. Cada espécie propicia o extinção da população da outra espécie. 3. Sistemas predador presa . ∂f/∂y e ∂g/∂x têm sinais opostos. Uma das espécies (predadores) propicia a extinção da outra (presas); o aumento da população de predadores é maior quantas mais presas houver e a diminuição da população de presas é maior quantos mais predadores houver. 290 Ciclos limite e dinâmica populacional 11.3.1. Sistemas predador presa Se a população das presas for x e a população dos predadores for y , nas equações de evolução 11.9, f(x,y) é a taxa de crescimento da população de presas, decrescente em ordem a y , e g(x,y) é a taxa de crescimento da população de predadores, crescente em ordem a x. Essas propriedades de f e g possibilitam a existência de ciclos, tal como se mostra na figura 11.7. Mas para que possa existir um ciclo no sistema deve existir um centro, foco ou nó dentro desse ciclo. Presas Predadores f f f f g g g g Figura 11.7.: Possível ciclo num sistema predador presa. A origem também é um ponto de equilíbrio. Como sobre cada um dos eixos coordenados o estado evolui na direção desse eixo, a origem e quaisquer outros pontos de equilíbrio nos eixos devem ser nós ou pontos de sela. Se um desses pontos for estável, existe um estado de equilíbrio estável em que uma das espécies é extinta e a população da outra permanece constante. Exemplo 11.3 Analise o modelo de Lotka-Volterra: Û x=x(a−cy)Û y=y(bx −d) com 4 parâmetros positivos a,b,ced. Resolução . Observando as equações, conclui-se que se trata de um sistema predador presa, em que x representa a população de presas, com crescimento exponencial, e yé a população de predadores, com extinção exponencial. Começa-se por determinar os pontos de equilíbrio 11.3 Sistemas de duas espécies 291 (%i19) f:[x*(a-c*y), y*(b*x-d)]$ (%i20) vars:[x,y]$ (%i21) equil:solve (f,vars); (%o21) [x=0,y=0],x=d b,y=a c ou seja, existem 2 pontos de equilíbrio na região de interesse (primeiro quadrante, semieixos positivos e origem): (0,0) e (d/b,a/c). (%i22) J:jacobian(f,vars)$ Na origem, a matriz do sistema linear que aproxima o sistema original é (%i23) subst (equil[1], J); (%o23)  a0 0−d Os valores próprios são a e −d e, como tal, a origem é um ponto de sela (instável). No segundo ponto de equilíbrio, a aproximação linear tem matriz e valores próprios: (%i24) subst (equil[2], J); (%o24)  0c d b a b c0 (%i25) eigenvalues (%); (%o25) hh−√−a d,√−a di,[1,1]i Como os quatro parâmetros são positivos, os valores próprios são imaginários; assim sendo, o segundo ponto de equilíbrio é um centro. Qualquer situação inicial (na região onde as duas variáveis são positivas) faz parte de um ciclo, em que as populações das duas espécies oscilam. Para representar o retrato de fase e a evolução das variáveis, é necessário dar alguns valores numéricos aos parâmetros, por exemplo: (%i26) plotdf (subst([a=6,b=3,c=2,d=15],f),vars,[x,0,10],[y,0,10], [nsteps,1000],[direction,forward],[trajectory_at,7,1],[versus_t,1]); 292 Ciclos limite e dinâmica populacional A figura 11.8 mostra os gráficos obtidos. 0 2.5 5 7.5 10 0 2.5 5 7.5 10 y x x y 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 2 4 6 8 10 t Figura 11.8.: Retrato de fase do modelo de Lotka-Volterra e gráfico das populações em função do tempo. Inicialmente, as populações de presas e de predadores aumentam, mas quando o número de predadores aumentar por cima do seu valor médio, a população de presas começará a decrescer. Quando o número de presas for menor que o seu valor médio, a falta de presas fará com que a população de predadores diminua; quando diminuir por baixo do seu valor médio, a população de presas voltará a aumentar e o ciclo repetir-se-á. O modelo de Lotka-Volterra produz ciclos, que podem fazer oscilar a população entre um valor muito pequeno e um valor muito elevado. Situação essa que não é muito realista num sistema predador presa. Um sistema mais realista deverá ter apenas ciclos limite, como no exemplo seguinte. Exemplo 11.4 Analise o modelo seguinte, de Holling-Tanner , e mostre que tem um ciclo limite Û x=x1−x 7−6xy 7+7xÛ y=0.2y1−y 2x Resolução . Observando as equações, conclui-se que é um modelo predador presa, em que x representa a população de presas, com crescimento logístico, eyé a população de predadores, também com crescimento logístico. 11.3 Sistemas de duas espécies 293 Determinação dos pontos de equilíbrio: (%i27) f:[x*(1-x/7)-6*x*y/(7+7*x), 0.2*y*(1-y/2/x)]$ (%i28) equil:solve (f); (%o28) [ [y=0,x=0],[y=0,x=−1],[y=0,x=7], [y=−14,x=−7],[y=2,x=1] ] Assim sendo, existem 3 pontos de equilíbrio: (0, 0), (7, 0) e (1, 2). Os valores e vetores próprios no ponto (7, 0) são: (%i29) vars:[x,y]$ (%i30) J:jacobian (f,vars)$ (%i31) eigenvectors (subst (equil[3], J)); (%o31) 1 5,−1,[1,1],1,−8 5,[ [1,0] ]  o ponto de equilíbrio em (7, 0) é então ponto de sela. Observe-se que o vetor próprio (1, 0), paralelo ao eixo dos x , corresponde ao valor próprio negativo, − 1. Isso quer dizer que, quando os predadores y se extinguirem, a população de presas evolui aproximando-se do valor de equilíbrio x = 7. Mas se a população de presas estiver próxima desse valor limite x = 7 e existirem alguns poucos predadores, o estado evolui na direção ( − 1, 8/5) (o vetor próprio obtido em (%o30) multiplicado por − 1 também é vetor próprio), afastando-se do ponto de equilíbrio (valor próprio positivo, 1/5) e aproximando-se do ponto de equilíbrio em (1, 2). A matriz jacobiana na origem não pode ser calculada, porque obtêm-se denominadores nulos; a análise de estabilidade da origem será feita no fim desta resolução. O ponto (1, 2) é foco repulsivo, como mostra o cálculo dos valores próprios nesse ponto: (%i32) map (rectform,eigenvalues (subst (equil[5], J))); (%o32) ""3 70 −√551 i 70 ,√551 i 70 +3 70 #,[1,1]# Se y for maior que 2 x , e o valor de x for elevado, as duas componentes da velocidade de fase são negativas (por exemplo, limit(subst(y=3*x,f),x,inf) é ( −∞ , −∞ )). E se y for menor que 2 x e x for elevado, a componente x 294 Ciclos limite e dinâmica populacional da velocidade de fase é negativa. Isso implica que na região afastada da origem, o estado aproxima-se sempre da origem, mas como no ponto (1, 2) há um foco repulsivo, conclui-se que deve existir um ciclo limite atrativo à volta do foco. O retrato de fase (figura 11.9) é obtido com o seguinte comando: (%i33) plotdf (f,vars, [x,-0.1,10], [y,-0.1,8])$ Usou-se − 0.1 para o valor mínimo de x , para evitar os denominadores nulos obtidos quando x= 0. A figura 11.9 mostra o gráfico obtido. 0246810 0 2.5 5 7.5 y x Figura 11.9.: Retrato de fase do modelo de Holling-Tanner. O ciclo limite tem uma cor mais escura na figura 11.9 e as curvas de evolução que entram e saem do ponto de sela em x = 7 têm uma cor mais clara. No eixo dos y há uma descontinuidade na derivada de y e, por isso, não existem curvas de evolução nesse eixo, mas para x > 0 a origem comporta-se como ponto de sela. 11.3.2. Sistemas com competição Num sistema com competição, a taxa de aumento de cada uma das espécies diminui com o aumento da outra população. Consequentemente, não podem existir ciclos, como no caso dos sistemas predador presa. 11.3 Sistemas de duas espécies 295 Exemplo 11.5 Explique os possíveis retratos de fase do seguinte sistema com 6 parâmetros positivos a,b,c,d,e,f: Û x=x(a−b x −cy)Û y=y(d−ey−f x) Resolução: As equações mostram que se trata de um sistema de duas espécies em competição. Para evitar conflitos com valores de variáveis usados nos exemplos anteriores, convém apagar os valores numéricos associados anteriormente a variáveis do Maxima. (%i34) remvalue (all)$ (%i35) fg:[x*(a-b*x-c*y),y*(d-e*y-f*x)]$ (%i36) vars:[x,y]$ (%i37) equil:solve (fg,vars); (%o37) [x=0,y=0],hx=a b,y=0i,x=0,y=d e, x=−a e −c d c f −b e,y=a f −b d c f −b e  O único ponto de equilíbrio fora dos eixos é o quarto; pode usar-se o comando subst para simplificar o resultado, definindo 3 novas constantes, (%i38) ponto:subst ([c*f-b*e=c1,a*e-c*d=-c2,a*f-b*d=c3],equil[4]); (%o38) x=c2 c1,y=c3 c1 esse ponto só estará no primeiro quadrante se as três constantes c1 , c2 e c3 , forem todas positivas ou todas negativas. (%i39) J:jacobian (fg,vars)$ (%i40) A:subst (equil[4], J)$ a matriz pode ser simplificada aplicando as funções ratsimp efactor a cada elemento da matriz (para aplicar uma função a cada elemento de uma lista ou matriz usa-se o comando map): (%i41) A:map (ratsimp,A)$ (%i42) A:map (factor,A); 296 Ciclos limite e dinâmica populacional (%o42)  b(a e −c d) c f −b e c(a e −c d) c f −b e −f(a f −b d) c f −b e −e(a f −b d) c f −b e  Apareceram novamente as três constantes c1 , c2 e c3 definidas previamente; substituindo essas variáveis obtém-se: (%i43) A:subst([c*f-b*e=c1,a*e-c*d=-c2,a*f-b*d=c3], A); (%o43)  −b c2 c1−c c2 c1 −c3f c1−c3e c1  (%i44) factor (ratsimp (determinant (A))); (%o44) −c2c3(c f −b e) c12 Como (c f −b e) é igual a c1 , o determinante da matriz jacobiana no ponto de equilíbrio é igual a −c2c3/c1 . Como já foi dito, as 3 constantes devem ter o mesmo sinal para que exista ponto de equilíbrio fora dos eixos, ou seja, para que exista a possibilidade das duas espécies coexistirem. Se c1 , c2 e c3são todas positivas, o ponto de equilíbrio é um ponto de sela (equilíbrio instável). Se as 3 constantes são todas negativas, o ponto de equilíbrio pode ser atrativo, para alguns valores dos parâmetros. Por exemplo, se as 3 constantes são positivas com os valores (3, 2, 2) obtém-se o retrato de fase no lado esquerdo da figura 11.10: (%i45) plotdf(subst([a=2,b=1,d=2,e=1,c=2,f=2],fg), vars, [x,0,3.1], [y,0,3.1]); Se no instante inicial a população de uma das espécies for menor, essa espécie será extinta (o sistema aproxima-se do ponto de sela num dos eixos). Se inicialmente as duas populações forem iguais, atinge-se o ponto de equilíbrio em que as duas populações são iguais a 2/3 (x=c2/c1,y=c3/c1)). Um exemplo do caso em que o ponto de equilíbrio é nó atrativo é quando as 3 constantes têm os valores (-3/4, -1, -1); o retrato de fase no lado direito da figura 11.10 foi produzido com seguinte comando: (%i46) plotdf(subst([a=2,b=1,d=2,e=1,c=0.5,f=0.5],fg), vars, [x,0,3.1], [y,0,3.1]); Perguntas 297 Neste caso, as duas espécies coexistem de forma harmoniosa atingindo sempre o ponto de equilíbrio em que as duas populações são iguais a 4/3 (x=c2/c1,y=c3/c1). 0 1 2 3 0 1 2 3 y x 0 1 2 3 0 1 2 3 y x Figura 11.10.: Retratos de fase do exemplo 11.5, nos casos de equilíbrio instável (esquerda) e estável (direita). Perguntas 1. Um sistema, no espaço de fase ( x , y ), tem um ciclo limite com raio constante, igual a 2 unidades. Após uma mudança de variáveis para coordenadas polares ( r , θ ), com origem no centro do ciclo limite, a equação obtida para o ângulo foi: Û θ = 3. Qual poderá ser a equação obtida para o raio r? A. Û r=2r2−r B. Û r=3r2−2r C. Û r=2r−2r2 D. Û r=2r2−4r E. Û r=3r−r2 2. Um sistema com variáveis de estado ( x , y ) tem um ciclo limite e um único ponto de equilíbrio P. O que é que carateriza os pontos ( x , y ) do ciclo limite? A. Estão todos à mesma distância de P. B. Em todos eles a velocidade de fase aponta para P. C. Formam uma curva que passa por P. D. Formam uma curva fechada com P no interior. E. Formam uma curva fechada com P no exterior. 304 Sistemas caóticos 12.1. Órbitas fechadas atrativas No capítulo anterior viu-se que quando existe um ciclo limite atrativo, as curvas de evolução aproximam-se assimptoticamente desse ciclo. Também é possível existirem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas atrativas, como no exemplo seguinte. Exemplo 12.1 Represente o retrato de fase do sistema com equações de evolução: Û x=xy2+2xy−x−15 4y+1 Û y=y−2x2−xy+y+15 4x−1 e mostre que existe uma órbita heteroclínica atrativa. Resolução . Começa-se por criar uma lista com as funções f e g , e outra lista com as variáveis de estado: (%i1) fg:[x*(y^2+2*x*y-x-15*y/4+1), y*(-2*x^2-x*y+y+15*x/4-1)]$ (%i2) vars:[x,y]$ A seguir, determina-se a posição dos pontos de equilíbrio: (%i3) solve (fg,vars); (%o3) [ [x=0,y=0],[x=1,y=0],[x=0,y=1], x=7 4,y=−3 4,x=4 3,y=4 3,x=1 4,y=1 4 existem 6 pontos de equilíbrio. Em vez de calcular a matriz jacobiana para cada ponto, será analisado o retrato de fase, numa região que inclui os 6 pontos de equilíbrio: (%i4) plotdf (fg,vars, [x,-0.5,2], [y,-1.5,2]); Traçando algumas curvas de evolução com o programa plotdf, descobre-se que os pontos (0, 0), (1, 0) e (0, 1) são pontos de sela, os pontos (0.25, 0.25) e (1.333, 1.333) são focos repulsivos, e o ponto (1.75, -0.75) é um nó atrativo. Também vê-se que as 3 retas x = 0, y =0e y=1−x são 12.1 Órbitas fechadas atrativas 305 separatrizes (ver figura 12.1). O triângulo com vértices nos 3 pontos de sela é uma órbita heteroclínica. -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 -1 0 1 2 y x Figura 12.1.: Retrato de fase do exemplo 12.1, com uma órbita heteroclínica atrativa. Todas as curvas de evolução que saem do foco no ponto α(Γ) = (0.25, 0.25) aproximam-se assimptóticamente da órbita heteroclínica que, consequentemente é atrativa. A diferença entre uma órbita heteroclínica atrativa, como a que existe no exemplo anterior e um ciclo limite atrativo, está na forma como o sistema se aproxima dessas curvas. Para estudar a forma como é feita essa aproximação no caso da órbita heteroclínica, representa-se o gráfico de evolução das variáveis de estado em função do tempo. Usando o programa rk, com valores iniciais x= 0.26 e y= 0.26, e para tdesde 0 até 500, (%i5) sol:rk (fg,vars,[0.26,0.26],[t,0,500,0.1])$ convém examinar o resultado da última iteração: (%i6) last (sol); (%o6) 414.1,3.657 ×10+20,−2.353 ×10+20 306 Sistemas caóticos neste caso, o programa rk conseguiu integrar unicamente até o tempo final t = 414.1. Em versões do Maxima compiladas com outras variantes de Lisp, o mesmo programa pode parar num tempo t diferente. Isso é devido a que, a acumulação de erros numéricos pode provocar que uma das duas variáveis de estado atinja um valor por fora do triângulo formado pelos 3 pontos de sela; nesse caso, a variável cresce rapidamente para infinito. Quando o valor obtido for muito elevado, provocará um erro no programa rk que terminará as iterações nesse ponto. Para representar os gráficos das duas variáveis de estado, em função do tempo, desde t = 0 até t = 414.1, com os resultados obtidos, usando apenas um quinto dos pontos obtidos (que é suficiente neste caso), usam-se os comandos: (%i7) solx:makelist([sol[i][1],sol[i][2]],i,1,length(sol),5)$ (%i8) plot2d ([discrete,solx],[y,-0.2,1.2],[xlabel,"t"], [ylabel,"x"]); (%i9) soly:makelist([sol[i][1],sol[i][3]],i,1,length(sol),5)$ (%i10) plot2d ([discrete,soly],[y,-0.2,1.2],[xlabel,"t"], [ylabel,"y"]); A figura 12.2 mostra os gráficos obtidos, com a evolução das variáveis de estado em função do tempo. x t -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 y t -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Figura 12.2.: Evolução das variáveis de estado numa curva de evolução que se aproxima da órbita heteroclínica do exemplo 12.1. Inicialmente, cada variável oscila com período aproximadamente constante e amplitude crescente. A amplitude aproxima-se de um valor máximo e o período começa a aumentar gradualmente. O estado permanece cada vez mais tempo perto de cada ponto de sela, e a seguir desloca-se rapidamente 12.2 Comportamento assimptótico 307 para o ponto de sela seguinte. Esse comportamento é semelhante ao que foi analisado na secção 10.3, para a órbita heteroclínica do pêndulo. Nesse caso, com energia ligeiramente menor que a energia no ponto de equilíbrio instável, a curva de evolução do pêndulo encontrava-se muito próxima da órbita heteroclínica. No pêndulo, as curvas na vizinhança interna da órbita heteroclínica são ciclos fechados, que se repetem indefinidamente sem alteração, enquanto que no exemplo anterior as curvas na vizinhança interna da órbita heteroclínica são espirais que se aproximam cada vez mais da órbita heteroclínica. 12.2. Comportamento assimptótico Em capítulos anteriores têm sido apresentados sistemas em que o estado evolui para um ponto de equilíbrio estável. Um exemplo é um pêndulo; o atrito com o ar faz diminuir a amplitude das oscilações e o pêndulo aproxima-se do ponto de equilíbrio estável, na posição mais baixa do pêndulo. Outros sistemas evoluem aproximando-se de um ciclo no espaço de fase; após algum tempo, cada variável de estado varia de forma cíclica repetitiva. Os pontos do espaço de fase que fazem parte do ciclo limite constituem o conjunto limite das curvas de evolução do sistema. O conjunto limite positivo , ω(Γ) , de uma curva de evolução Γ no espaço de fase, é o ponto, ou conjunto de pontos, para onde a curva Γ se aproxima no limite t→∞ . Define-se também o conjunto limite negativo , α(Γ) , constituído pelo ponto ou conjunto de pontos para onde a curva Γ aproximase no limite t→−∞. Esses conjuntos limite poderão não existir, se a curva de evolução se afastar continuamente sem limite. Se existirem, os conjuntos limite poderão ser pontos de equilíbrio, ciclos ou órbitas homoclínicas ou heteroclínicas. A designação α e ω para os conjuntos limite negativo e positivo, é devida a que essas duas letras são a primeira e última letra no alfabeto grego; α(Γ) é a origem donde sai a curva de evolução Γ, e ω(Γ)é o fim de Γ. 12.2.1. Teorema de Poincaré-Bendixson Num sistema dinâmico onde existam unicamente duas variáveis de estado, que possam ter qualquer valor real, o espaço de fase é um plano. Se as 308 Sistemas caóticos duas variáveis de estado são x1 e x2 , o espaço de fase é o plano x1x2 e as equações de evolução são: Û x1=f1(x1,x2)Û x2=f2(x1,x2)(12.1) e a velocidade de fase em qualquer ponto do espaço de fase é o vetor: ® u=f1(x1,x2)® e1+f2(x1,x2)® e2(12.2) Em cada ponto esse vetor determina a tangente à curva de evolução Γ que passa por esse ponto. Duas curvas de evolução diferentes nunca se podem cruzar em nenhum ponto no domínio das funções f1 e f2 , porque no ponto onde se cruzavam existiam então duas velocidades de fase diferentes, que não é possível. O enunciado do teorema de Poincaré-Bendixson é: Em qualquer sistema com apenas duas variáveis de estado (espaço de fase plano), se existir o conjunto limite positivo, ou negativo, de uma curva de evolução Γ , esse conjunto limite deverá ser um dos três casos seguintes: (a)Um ponto de equilíbrio. (b)Um ciclo. (c)Uma órbita homoclínica ou heteroclínica. Em particular, quando existir o conjunto limite positivo ω(Γ) , chama-se também atrator . De acordo com o teorema de Poncairé-Bendixson, num espaço de fase plano os únicos atratores podem ser pontos de equilíbrio, ciclos, órbitas homoclínicas ou órbitas heteroclínicas. Se o conjunto limite positivo, ω(Γ) , de uma curva de evolução for um único ponto, esse ponto deverá ser um ponto de equilíbrio, que pode ser um nó ou foco estável, ou um ponto de sela. Se o conjunto limite negativo, α(Γ) , for um único ponto, poderá ser um nó ou foco repulsivo, ou um ponto de sela. Um ponto de sela pode ser simultâneamente conjunto limite positivo e negativo de uma curva de evolução; nomeadamente, a curva de evolução começa na vizinhança desse ponto de sela e fecha-se regressando à região inicial. Esse tipo de curva de evolução constitui uma órbita homoclínica. 12.2 Comportamento assimptótico 309 12.2.2. Critério de Bendixson. No espaço de fase x1x2 , a divergência da velocidade de fase 12.2 é definida por: ∇· ® u=∂f1 ∂x1 +∂f2 ∂x2 (12.3) Outro teorema importante, designado de critério de Bendixson é o seguinte: Num sistema dinâmico com apenas duas variáveis de estado, se numa região simplesmente conexa R, do plano de fase, a divergência da velocidade de fase é sempre positiva ou sempre negativa, então em R não existe nenhum ciclo, nem órbita homoclínica nem órbita heteroclínica. Uma região R simplesmente conexa é uma região sem nenhum buraco no seu interior: a reta que une dois pontos quaisquer na região deverá estar contida completamente em R. O critério de Bendixson é útil para determinar em que regiões do plano de fase podem existir ciclos, órbitas homoclínicas ou heteroclínicas. Exemplo 12.2 Demonstre que um pêndulo, amortecido pela resistência do ar não pode ter nenhum ciclo, nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas, mas um pêndulo sem amortecimento sim. Resolução . No capítulo 8 obteve-se a equação de movimento (equação 8.8) que conduz às equações de evolução para o ângulo, θ e a velocidade angular ω: Û θ=ωÛ ω=−K1sin θ−K2|ω|ω onde K1eK2são constantes positivas. A divergência da velocidade de fase é: ∇· ® u=∂ω ∂θ +∂(−K1sin θ−K2|ω|ω) ω=−2K2|ω| Assim sendo, conclui-se que a divergência é sempre negativa (sistema dissipativo) e, assim sendo, não existe nenhum ciclo nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas. No caso conservativo, quando a resistência do ar é nula, K2=0 , a divergência é nula e já não se verifica a condição do critério de 310 Sistemas caóticos Bendixson. Como tal, no caso do pêndulo sem amortecimento sim podem existir ciclos e, de facto, todas as curvas de evolução são ciclos. Se existir uma curva de evolução fechada C, formada por um ciclo, órbita homoclínica ou órbita heteroclínica, as curvas de evolução no interior e na vizinhnaça de C podem apresentar um dos 3 comportamentos seguintes: •Aproximam-se assimptóticamente de C. •Afastam-se assimptóticamente de C. •Formam uma família contínua de ciclos. No primeiro caso, a curva C é o conjunto limite positivo, ω(Γ) , de todas as curvas Γ no seu interior. Deve existir necessariamente um ponto de equilíbrio, no interior de C, que seja o conjunto limite negativo α(Γ) de todas essas curvas; ou seja, esse ponto de equilíbrio deve ser nó ou foco instável. No segundo caso, a curva C é conjunto limite negativo, α(Γ) , de todas as curvas Γ no seu interior. Deve existir necessariamente um ponto de equilíbrio, no interior de C, que seja o conjunto limite positivo ω(Γ) de todas essas curvas; como tal, esse ponto de equilíbrio deve ser nó ou foco estável. No terceiro caso, um dos ciclos menores pode ser ciclo limite atrativo ou repulsivo, existindo assim um nó ou foco no seu interior, como nos dois casos anteriores. Se nenhum dos ciclos na família de ciclos internos é um ciclo limite, deve existir um centro no interior da família de ciclos. Independentemente da situação no interior da curva C, no seu exterior podem existir outros ciclos ou C pode ser conjunto limite atrativo ou repulsivo. Isto é, uma órbita fechada pode ser atrativa no interior e no exterior, atrativa no interior mas repulsiva no exterior, etc. 12.3. Bifurcações Considere-se um pêndulo rígido, como o que foi estudado na secção 10.2, que se encontra sobre uma base horizontal que roda com velocidade angular ω constante (figura 12.3). No problema 5do capítulo 10 mostrou-se que, se a velocidade angular for maior que pg/r , onde r é a distância desde o 12.3 Bifurcações 311 eixo até o centro de massa, a posição mais baixa do pêndulo deixa de ser ponto de equilíbrio estável, passando a ser ponto de equilíbrio instável, e aparecem dois novos pontos de equilíbrio estável. ω b Figura 12.3.: Pêndulo simples com a base em rotação no plano horizontal. A equação de movimento (ver problema 5do capítulo 10) conduz às equações de evolução para o ângulo, θe a velocidade angular, ω Û θ=ωÛ ω=sin θl rω2 bcos θ−g l(12.4) O lado esquerdo da figura 12.4 mostra o retrato de fase correspondente a essas equações, no caso em que a velocidade angular da base, ωb , é menor que pg/r . Existem dois pontos de equilíbrio, em θ=0 e θ=±π ; o primeiro ponto é um centro, e o segundo ponto é um ponto de sela. O lado direito da figura 12.4 mostra o retrato de fase quando a velocidade angular da base, ωb , é maior que pg/r . O ponto de equilíbrio em θ=0 tornase instável, passando a ser um ponto de sela com duas órbitas homoclínicas. Dentro de cada órbita homoclínica há um novo centro. O sistema poderá oscilar de forma periódica à volta de algum dos dois centros. Diz-se que o sistema sofre uma bifurcação em ωb=pg/r . Imagine que a base do pêndulo estivesse inicialmente em repouso, e o pêndulo na posição de equilíbrio estável, com θ =0e ω = 0. Se a base começar a rodar com aceleração angular positiva, chegará um instante em que o estado do pêndulo se torna instável, e qualquer pequena perturbação faz com que o pêndulo suba abruptamente para uma das duas novas posições de equilíbrio estável. 312 Sistemas caóticos -10 -5 0 5 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 ω θ -15 -10 -5 0 5 10 15 -3 -2 -1 0 1 2 3 ω θ Figura 12.4.: Bifurcação do ponto de equilíbrio de um pêndulo. Esquerda: ω < pg/r. Direita: ω > pg/r. Como normalmente existe alguma incerteza experimental associada às medições de θ = 0 e ω = 0, isso implicará a impossibilidade de prever para qual dos dois novos pontos de equilíbrio irá subir o pêndulo, quando ωb atingir o valor que produz bifurcação. Outro exemplo físico simples com bifurcação, já estudado por Euler no século XVIII, é uma barra flexível, por exemplo uma régua plástica apoiada numa mesa, e com uma força externa F que faz com que permaneça na posição vertical. Se F não ultrapassar um valor crítico Fc , a régua permanecerá direta e em equilíbrio. Se a força F ultrapassar o valor crítico Fc , a régua encurva-se, até ficar numa nova posição de equilíbrio em que o centro da régua está afastado uma distância ∆x da vertical. Acontece que o desvío da régua pode ser para a direita ou para a esquerda da vertical. Ou seja, existem dois pontos de equilíbrio com ∆xpositiva ou negativa. Em função de F , o ponto de equilíbrio ∆x = 0, para F < Fc , separa-se em dois pontos de equilíbrio, ∆x >0e ∆x < 0, para F > Fc . Trata-se de uma bifurcação: em ∆x = 0 ainda existe uma posição de equilíbrio, mas é bastante instável. Aparecem duas novas posições de equilíbrio com ∆x positivo e negativo. Numa régua reta e simétrica em relação às deformações para os dois lados, é difícil prever para qual dos dois lados irá inclinar-se, quando Fultrapassa o valor de bifurcação. 12.4. Sistemas caóticos Num sistema contínuo com duas variáveis de estado, o teorema de PoincaréBendixson garante que as curvas de evolução que não têm conjuntos limite 12.4 Sistemas caóticos 313 positivo nem negativo aproximam-se do infinito nos limites t→∞ e t→−∞ . Num sistema contínuo com 3 ou mais variáveis de estado, para além dos 3 tipos de conjuntos limites previstos pelo teorema de Poincaré-Bendixson, surge outro tipo de conjunto limite chamado atrator estranho . Um atrator estranho é uma curva de evolução infinita, sem princípio nem fim, que ocupa uma região do espaço de fase. Como o atrator estranho não se afasta até o infinito, representa a evolução do sistema de forma semelhante a uma oscilação cíclica; mas como o atrator não tem princípio nem fim, isso significa que a oscilação é sempre diferente sem chegar nunca a repetir-se (período infinito). Esse tipo de comportamento chama-se caos. Os atratores estranhos são fractais . As curvas normais têm dimensão igual a 1, ou seja, se todas as distâncias nos eixos aumentam num factor k , o comprimento d da curva aumenta no mesmo factor k ; as superfícies simples têm dimensão igual a 2, porque a sua área aumenta em k2 . No entanto, as curvas fractais são curvas com dimensão não inteira, entre 1 e 2. Nas duas secções seguintes estudam-se dois exemplos de sistemas caóticos. 12.4.1. Pêndulo forçado A figura 12.5 mostra um pêndulo rígido no qual atua uma forção externa ® F perpendicular à barra do pêndulo e aplicada a uma distância a desde o eixo do pêndulo. A distância desde o eixo do pêndulo até o seu centro de massa éreθé o ângulo entre a barra do pêndulo e a vertical. c.m. r a F θ Figura 12.5.: Pendulo com força externa. Como foi concluído na secção 10.2, a energia cinética de translação do 320 Sistemas caóticos do atrator é diferente. Trata-se de facto de uma oscilação caótica, que nunca chega a repetir-se. A parte do atrator estranho apresentada na figura 12.10 corresponde a várias oscilações em torno dos pontos de equilíbrio estável θ = 0, −2πe−4π. v. angular angulo -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -20 -15 -10 -5 0 5 Figura 12.10.: Oscilação caótica, com C2= 1.03. O pêndulo oscila algumas vezes em torno da posição de equilíbrio, com diferentes amplitudes, e em alguma dessas oscilações a amplitude aumenta tanto que faz com que o pêndulo descreva uma volta completa. Após quantas oscilações isso acontece, ou em qual dos dois sentidos será a próxima volta completa não segue nenhum padrão simples. Claro está que o movimento no atrator estranho não é aleatório e está perfeitamente determinado pelas equações de evolução. No entanto, uma pequena alteração das condições iniciais faz com que o movimento comece num ponto diferente do atrator estranho, produzindo um padrão de oscilações completamente diferente. O próprio erro numérico inerente aos cálculos feitos pelo programa rk implica a impossibilidade de saber se o resultado dado pelo programa estará na parte do atrator estranho onde realmente estará o pêndulo ou se estará a obter-se outra região diferente desse atrator estranho. Nos sistemas caóticos, dentro da região caótica costumam aparecer “janelas” de ordem, em que o sistema tem soluções com período finito. Por exemplo, com C2= 1.1, obtém-se o ciclo limite triplo apresentado na figura 12.11. 12.4 Sistemas caóticos 321 v. angular angulo -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 Figura 12.11.: Ciclo triplo, quando C2= 1.1. O período do ciclo com C2 = 1.1 é três vezes o período da força externa. Os ciclos triplos são uma das propriedades associadas à existência de atratores estranhos. Quando C2 é um pouco maior do que 1.1, entra-se novamente numa região de movimento caótico. Neste exemplo do pêndulo forçado, o movimento caótico surge devido ao fenómeno de duplicação do período. Outro exemplo de sistema que se torna caótico devido à duplicação do período é o sistema de Rössler (problema 10 do capítulo 11 e problema 3no fim deste capítulo). Existe outro mecanismo diferente que também conduz à aparição de atratores estranhos, ilustrado pelo exemplo da próxima secção. 12.4.2. Equações de Lorenz No sistema estudado na secção anterior, o atrator estranho permanece numa região finita do plano θω , mas a terceira variável de fase, φ , está sempre a aumentar; ou seja, o atrator estranho estende-se em todo o eixo φ , desde menos infinito até infinito. Outro exemplo de sistema caótico no qual todas as variáveis permanecem numa região finita do espaço de fase é o sistema de Lorenz. Em 1963, o meteorologista E. N. Lorenz introduziu um modelo meteoroló- 322 Sistemas caóticos gico para as correntes de convecção do ar em planos verticais, produzidas por aquecimento na aresta inferior dos planos. As três equações diferencias do sistema são as seguintes Û x=σ(y−x) Û y=r x −y−x z Û z=xy−b z (12.18) onde x representa a amplitude das correntes de conveção, y é a diferença de temperaturas entre as correntes ascendente e descendente e z representa o desvio da temperatura normal no plano. Os três parâmetros σ , r e b são positivos e dependem das propriedades físicas do fluxo de ar. Algumas propriedades deste sistema são as seguintes: •Existe simetria em relação à transformação (x,y,z)→(−x,−y,z) • O eixo z é invariante; ou seja, se o estado em algum instante estiver no eixo z, continuará a evoluir nesse eixo. • Se o parâmetro r (número de Rayleigh) estiver no intervalo 0 < r < 1, o único ponto de equilíbrio é a origem, que é ponto de equilíbrio estável. • Existe uma bifurcação do ponto de equilíbrio na origem, quando r=1 . Para valores r superiores a 1, a origem torna-se ponto de equilíbrio instável, e aparecem outros dois pontos de equilíbrio, com os mesmo valor de z, mas com valores simétricos de xey. •Se restiver compreendido entre 1 e o valor crítico: rc=σ(σ+b+3) σ−b−1(12.19) os dois novos pontos de equilíbrio são estáveis e a origem é instável. Para valores de r superiores ao valor crítico, os 3 pontos de equilíbrio são instáveis, e constituem um atrator estranho. Alguns valores típicos de σ (número de Prandtl) e de b são 10 e 8/3. Com esses parâmetros, o valor crítico de r é aproximadamente 24.737. O valor r = 28, conduz a um sistema caótico. Nesse caso as equações de Lorenz são, (%i19) eqs:[10*(y-x), 28*x-y-x*z,x*y-8*z/3]$ Podem guardar-se os nomes das variáveis de estado e uns valores iniciais para elas em duas listas: 12.4 Sistemas caóticos 323 (%i20) v:[x,y,z]$ (%i21) v0:[5,5,5]$ Para obter a curva de evolução com esses valores iniciais x=y=z = 5, desde t = 0 até t = 20, convém primeiro conferir que a solução numérica tenha um erro numérico aceitável; isso consegue-se diminuindo sucessivamente o valor de ∆t, até os resultados convergirem: (%i22) p:rk (eqs,v,v0,[t,0,20,0.005])$ (%i23) last (p); (%o23) [20.0,−9.828,−15.52,19.71] (%i24) p:rk (eqs,v,v0,[t,0,20,0.001])$ (%i25) last (p); (%o25) [20.0,−9.983,−16.02,19.29] (%i26) p:rk (eqs,v,v0,[t,0,20,0.0005])$ (%i27) last (p); (%o27) [20.0,−9.983,−16.03,19.28] A lista ppode ser usada para obter vários gráficos diferentes. Por exemplo, para representar o gráfico da projeção da curva no plano x z , usa-se o seguinte comando: (%i28) plot2d ([discrete,makelist([s[2],s[4]],s,p)],[ylabel,"z"]); A figura 12.12 mostra o resultado. O sistema oscila em torno dos dois pontos de equilíbrio estável, com x = ± 8.485 e z = 27. Após algumas oscilações em torno de um desses pontos, com amplitudes diferentes, o sistema passa a oscilar à volta do outro ponto de equilíbrio. A variação da amplitude das oscilações e o número de oscilações antes de passar para o outro ponto de equilíbrio, não segue nenhum padrão repetitivo. O número de oscilações em cada ponto de equilíbrio é identificado mais facilmente no gráfico de x em função de t (figura 12.13). O sistema começa por aproximar-se do ponto de equilíbrio em x positivo, mas salta logo para o lado negativo de x , realizando sete oscilações completas em torno do ponto 324 Sistemas caóticos z x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Figura 12.12.: Atrator estranho de Lorenz, projetado no plano xz. de equilíbrio em x negativo, passando logo para x positivo, onde faz duas oscilações completas, etc. O gráfico 12.13 mostra também a solução obtida começando com um valor inicial ligeiramente diferente, x = 5.005, em vez de 5. A figura foi produzida x t -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 Figura 12.13.: Oscilações do sistema de Lorenz com dois valores iniciais diferentes, x (0) = 5 e x (0) = 5.005. Parâmetros: σ = 10, b = 8/3, r= 28, y(0) = 5, z(0) = 5. Perguntas 325 com o seguinte comando: (%i29) p2:rk (eqs,v,[5.005,5,5],[t,0,20,0.0005])$ (%i30) plot2d ([[discrete,makelist([s[1],s[2]],s,p)], [discrete,makelist([s[1],s[2]],s,p2)]], [xlabel,"t"],[ylabel,"x"],[legend,false]); As duas soluções parecem idênticas até t = 10, mas a partir desse tempo começam a diferir; em t aproximadamente 12.5, a primeira solução passa de x positivo para negativo, enquanto a outra solução continua oscilando no lado positivo de x . A partir desse instante as duas soluções são drasticamente diferentes. Essa sensibilidade em relação aos valores iniciais é outra das caraterísticas dos sistemas caóticos. O mecanismo que dá origem a que o sistema de Lorenz se torne caótico, quando r aumenta por cima de um valor crítico, chama-se intermitência . O ponto de equilíbrio estável em x = 0 bifurca-se, passando a ser instável e com a aparição de dois pontos de equilíbrio estável com x positivo e x negativo; as oscilações, que no caso não caótico eram em torno do único ponto de equilíbrio estável passam a alternar de forma intermitente entre os dois pontos de equilíbrio estável no caso caótico. Perguntas 1. No sistema representado na figura, qual é o conjunto limite negativo da curva de evolução que passa pelo ponto (0, 0.5)? -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 y x 326 Sistemas caóticos A. (0, -0.5) B. (1, 0) C. (0, 0) D. (-1, 0) E. não existe 2. Se a curva de evolução de um sistema dinâmico, no espaço de fase, passa duas vezes pelo mesmo ponto P, o qué é que podemos concluir? A. P é um ponto de equilíbrio. B. o sistema é caótico. C. o sistema tem mais do que duas variáveis de estado. D. o sistema tem duas variáveis de estado. E. a curva é um ciclo. 3. Qual das seguintes não é uma propriedade dos sistemas caóticos? A. sistema não linear. B. 3 ou mais variáveis de estado. C. existência de atratores estranhos. D. soluções não periódicas. E. inexistência de pontos de sela. 4. Para resolver numericamente um sistema caótico, é necessário usar maior precisão do que para um sistema não caótico. Isso é devido a que um sistema caótico: A. não tem curvas de evolução periódicas. B. tem mais do que duas variáveis de estado. C. é muito sensível às condições iniciais. D. produz fractais. E. tem soluções que aumentam muito rapidamente. 5. Em que condições poderá um sistema de duas espécies tornar-se caótico? A. só se for sistema predador presa. B. só se existir competição entre as espécies. C. só se existir cooperação entre espécies. D. só se o sistema não for autónomo. E. nunca. Problemas 327 Problemas 1. Em cada caso, encontre os conjuntos limite positivo e negativo das curvas de evolução que passam pelos pontos (0, 0) e (1, 1), usando técnicas analíticas ou gráficas: (a)Û x=x,Û y=x2+y2−1. (b)Û x=y,Û y=−x 2. Demonstre que o sistema Û x=2x−y+36 x3−15 y2Û y=x+2y+x2y+y5 não tem ciclos, nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas. 3. O sistema de Rössler é definido pelas seguintes equações de evolução, com 3 parâmetros positivos a,bec: Û x=−y−z Û y=x+cy Û z=a+(x−b)z Investigue a solução do sistema com a=2 e b=4 fixos e com os seguintes valores de c: (a)c= 0.3 (b)c= 0.35 (c)c= 0.375 (d)c= 0.398. Em cada caso use o programa rk para obter a solução, com incrementos de tempo ∆t=0.01 e de forma a que sejam feitas 6000 iterações. Pode usar como valores iniciais x=y=z=2 . Trace os gráficos da curva projetada no plano xy e de x em função de t . Volte a executar 6000 iterações do programa rk, mas agora usando como valores iniciais os valores finais obtidos na primeira execução do programa (o comando rest (last (lista )) extrai o último vetor na lista anterior, excluindo o tempo). Trace novamente os mesmos gráficos e repita o procedimento até conseguir concluir qual é o conjunto limite positivo da curva considerada e se for um ciclo, determine o seu período. Em cada alínea deve dizer qual é o conjunto limite, o seu período (se for um ciclo) e mostrar um gráfico que justifique a sua conclusão. 328 Sistemas caóticos 4. Use o mesmo procedimento do problema anterior e responda às mesmas perguntas, mas para o sistema de Chen e Ueta: Û x=σ(y−x) Û y=(28 −σ)x+28 y−x z Û z=xy−3z com os seguintes valores do parâmetro: (a)σ= 35 (b)σ= 50 (c)σ= 60 Use incrementos de tempo de 0.001, 6000 iterações e valores iniciais x = 0.1, y=z = 0. Analise os gráficos da curva no plano yz e de y em função de t. 5. Encontre os pontos de equilíbrio do sistema de Lorenz com os seguintes parâmetros: Û x=10(y−x) Û y=28 x−y−z x Û z=xy−8 3z e demonstre que o valor de r=28 é superior ao valor crítico para que o sistema seja caótico. Respostas 329 Respostas Perguntas: 1. B. 2. E. 3. E. 4. C. 5. D. Problemas 1. (a) Para o ponto (0, 0), α é o ponto (0, 1) e ω é o ponto (0, -1). Para (1, 1) αé o ponto (0, 1) e ωnão existe. (b) Para o ponto (0, 0), que é ponto de equilíbrio, α e ω são o próprio ponto. Para (1, 1) α e ω são iguais ao círculo que com centro na origem e raio igual a √2. 2. A divergência é 4 + 109 x2 + 5 y4 , que é sempre positiva. O critério de Bendixson implica que não existe nenhum ciclo nem órbitas homo/heteroclínicas. 3. Os dois gráficos seguintes, mostram que o conjunto limite positivo na alínea (a) é um ciclo simples e na alínea (b) é um ciclo duplo: y x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 O período calcula-se com precisão no gráfico x vs t , medindo o tempo entre várias oscilações e dividindo pelo número de oscilações. Na alínea (a) o período é 6.2 e na alínea (b) 12.4. O gráfico seguinte mostra que na alínea (c) obtém-se um ciclo quadruplo, com período 24.8 e na alínea (d) o resultado é um atrator estranho, porque cada vez que se calculam mais iterações, o gráfico é sempre diferente. y x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 4. Na alínea (a) o conjunto limite é um atrator estranho, porque cada vez que se calculam mais iterações o gráfico é sempre diferente; o gráfico seguinte mostra dois desses resultados, no plano yz. 336 Tutorial do Maxima deve ser da forma 2 n . A função rationalize do Maxima mostra a representação aproximada, na forma de uma fracção, que está a ser usada para um número. Por exemplo, (%i7) rationalize (0.1); (%o7) 3602879701896397 36028797018963968 O numerador é menor que 2 52 (e maior que 2 51 ) e o denominador é exatamente igual a 2 55 . Para que o resultado fosse exatamente igual a 0.1, o denominador devia ser dez vezes maior que o numerador, ou seja, devia terminar em 70 em vez de 68, mas teve de ser usada a potência de 2 mais próxima. Para evitar os erros numéricos inerentes ao sistema de vírgula flutuante, pode usar-se frações; por exemplo, 1/10 em vez de 0.1. Existe também um formato próprio do Maxima que permite usar um número arbitrário de algarismos significativos para números de vírgula flutuante. Esse formato chama-se big float e é indicado usando “b”, em vez de “ e ” nos expoentes, por exemplo, o número 2.56 × 10 20 , escrito como 2.56e20, é representado em precisão dupla, com 16 algarismos significativos, e operações feitas com esse número produzem outros números de precisão dupla, com 16 algarismos significativos; mas o mesmo número, escrito como 2.56b20, é inserido no formato big-float e quando entra em operações matemáticas dá origem a outros números nesse formato, que podem ter mais algarismos significativos até um máximo fixado pelo valor da variável fpprec (floatingpoint precision). A função bfloat permite converter um número para o formato big-float e o valor predefinido de fpprec é 16. Por exemplo, para obter a aproximação do resultado (%o2) com 60 algarismos significativos, usam-se os seguintes comandos: (%i8) fpprec:60; (%o8) 60 (%i9) bfloat (%o2); (%o9) 3.60436533891171573209728052144843624984298344312084369367127b0 A letra b e o número 0 no fim do resultado (%o9) indicam que o número é big-float e deve ser multiplicado por 100= 1. A.5 Variáveis 337 No resto deste apêndice, e em todos os capítulos do livro, todos os resultados serão arredondados automaticamente para 4 algarismos significativos. Isso consegue-se alterando o valor da variável do sistema fpprintprec (%i10) fpprintprec:4; (%o10) 4 Internamente os números de precisão dupla continuarão a ter 16 algarismos significativos e os números big-float o número de algarismos estabelecido por fpprec; no entanto, no momento de serem apresentados no ecrã, serão arredondados para 4 algarismos significativos. Se em algum momento se pretende ver todos os algarismos associados internamente a um número, será necessário dar a fpprintprec o seu valor habitual de 0. A.5. Variáveis Para associar uma variável a um valor usa-se o símbolo “:” e não o símbolo de igualdade “=”, que é utilizado para definir equações matemáticas. O nome das variáveis pode ser qualquer combinação de letras, números e os símbolos % e _, mas o primeiro caráter não pode ser um número. Maxima faz distinção entre maiúsculas e minúsculas. Por exemplo: (%i11) a:2$ (%i12) [b,c]:[-2,-4]; (%o12) [−2,−4] (%i13) c; (%o13) −4 (%i14) Raiz1:(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); (%o14) 2 (%i15) d:sqrt(z^2+a*c); (%o15) √z2−8 as variáveis a,b,ceRaiz1 ficaram associadas aos valores numéricos 2, − 2, −4 e 2, e a variável dficou associada a uma expressão. Observe-se que a entrada (%i11) terminou-se com o símbolo $, em vez 338 Tutorial do Maxima de ponto e vírgula. Isso faz com que o comando seja executado, mas sem que o resultado seja apresentado no ecrã. De qualquer forma a variável %o11 ficou associada ao resultado da entrada (%i11) e pode ser referido posteriormente, embora o seu valor não tenha sido mostrado. Na entrada (%i12) mostra-se como associar valores a várias variáveis com um único comando. Na entrada (%i13), quando se escreve o nome de uma variável, a saída é o valor associado a ela; se não tiver nenhum valor associado, a saída será o próprio nome da variável. Na expressão dada para a variável Raiz1, foram substituídos os valores numéricos associados às variáveis a,bece o resultado foi associado à variável, enquanto que a variável dficou associada a uma expressão que depende de z, porque essa variável não estava associada a nenhum valor numérico. Para eliminar o valor associado a uma variável usa-se remvalue; no exemplo seguinte remove-se o valor associado a ae associa-se a Raiz1 uma expressão que depende de a: (%i16) remvalue (a)$ (%i17) Raiz1:(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); (%o17) √16 a+4+2 2a Para eliminar os valores atribuídos a todas as variáveis escreve-se remvalue( all). Observe-se que uma variável pode estar associada a um valor numérico, a uma expressão algébrica ou a outros objetos do Maxima. Para substituir uma variável numa expressão por um valor dado, usa-se o comando subst; por exemplo, para obter o valor da expressão Raiz1 no caso em que aé igual a 1 e aproximar o resultado exato a um número de vírgula flutuante, usam-se os seguintes comandos: (%i18) subst (a=1,Raiz1); (%o18) 2√5+2 2 (%i19) float(%o18); (%o19) 3.236 estes dois últimos comandos não modificaram a expressão associada à variável Raiz1 que continua igual. Maxima define internamente algumas variáveis, com nomes a começar pelo A.5 Variáveis 339 símbolo %. Alguns exemplos, são as variáveis %i2 e%o2, associadas aos comandos inseridos e os seus resultados. O símbolo %representa o último resultado obtido; por exemplo, no comando (%i19) bastava escrever apenas %, em vez de %o18. Convém não usar nomes de variáveis iguais aos nomes de funções do Maxima, embora seja possível ter funções, variáveis e outros objetos com os mesmos nomes. Uma variável também pode estar associada a uma equação matemática; por exemplo: (%i20) segundalei:F=m*a; (%o20) F=a m A maior parte dos comandos inseridos são simplificados pelo Maxima antes de serem executados. Neste caso, a simplificação consistiu em reordenar as variáveis no produto m*aem ordem alfabética. Se alguma das 3 variáveis F,mou ativesse sido associada a algum objeto, esse objeto teria sido substituído, antes de se associar a equação resultante à variável segundalei. Neste caso nenhuma das 3 variáveis tinha sido associada a nenhum objeto; se a seguir fosse associado um valor a uma dessas variáveis, a equação que já foi associada a segundalei não é alterada, como mostram os seguintes comandos: (%i21) a:3; (%o21) 3 (%i22) segundalei; (%o22) F=a m Para substituir valores nessa equação já associada à variável segundalei, há que usar o comando subst; por exemplo, (%i23) subst([m=2,’a=5], segundalei); (%o23) F=10 Observe-se que quando se substituem várias variáveis numa expressão é necessário colocar todos os valores das variáveis, separados por vírgulas e entre parêntesis retos. O apóstrofo antes de afoi usado para impedir que 340 Tutorial do Maxima afosse substituída pelo valor associado a ela; se não tivesse sido usado o apóstrofo, a expressão “a=5” ficava “3=5” e nenhum valor seria atribuído à variável ana equação associada a segundalei: (%i24) subst([m=2,3=5], segundalei); (%o24) F=2a A.6. Listas Uma variável pode também ser associada a uma lista de valores, que são colocados entre parêntesis retos, separados por vírgulas. Por exemplo, o comando seguinte associa a variável quadrados a uma lista com os quadrados dos 5 primeiros números inteiros positivos: (%i25) quadrados:[1,4,9,16,25]$ Muitas das operações entre números realizadas no Maxima podem também ser realizadas com listas. Por exemplo, para obter outra lista em que cada elemento é a raiz quadrada do respetivo elemento na lista anterior, multiplicado por 3, basta escrever: (%i26) 3*sqrt(quadrados); (%o26) [3,6,9,12,15] Os elementos da lista são enumerados com índices inteiros a começar por 1. Para referir-se a um elemento na lista, escreve-se o seu índice entre parêntesis retos; por exemplo, o terceiro elemento da lista quadrados é 9 que se extrai assim: (%i27) quadrados[3]; (%o27) 9 Uma função muito útil para criar listas é makelist, que expande uma expressão atribuindo diferentes valores a uma variável. O primeiro argumento para makelist é a expressão, o segundo argumento é o nome da variável que será substituída na expressão anterior por uma sequência de valores que vão desde um valor inicial até um valor final definidos pelo terceiro e quarto A.7 Constantes 341 argumentos. Se houver um quinto argumento, será o incremento usado para os valores da variável; caso contrário, o incremento da variável será 1. Dois exemplos do seu uso são os seguintes (%i28) cubos1:makelist (i^3,i,1,5); (%o28) [1,8,27,64,125] (%i29) cubos2:makelist (i^3,i,2,6,0.6); (%o29) [8,17.58,32.77,54.87,85.18,125.0,175.6] Na primeira lista foram calculados os cubos de 1, 2, 3, 4 e 5. Na segunda, foram calculados os cubos de 2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.0 e 5.6. Observe-se que os cubos dos números de vírgula flutuante produziram números de vírgula flutuante, que foram automaticamente arredondados para 4 algarismos significativos, devido ao valor dado à variável fpprintprec em (%i10), enquanto que o cubo do número inteiro 2 deu como resultado também um inteiro. O terceiro argumento para a função makelist pode ser também outra lista, com os valores que deverão ser substituídos para a variável do segundo argumento. Por exemplo, para criar uma lista com os cubos de 5, -3.2b0 e x2, usa-se: (%i30) makelist (i^3,i, [5,-3.2b0,x^2]); (%o30) 125 ,−3.276b1,x6 A.7. Constantes Existem algumas constantes importantes já predefinidas no Maxima. Os seus nomes costumam começar com o símbolo % . Três constantes importantes são o número π , representado por %pi, o número de Euler, e , base dos logaritmos naturais, representado por %e, e o número imaginário i=√−1 , representado por %i. Tanto %pi como %e são números irracionais, que não podem ser representados de forma numérica exata, mas pode obter-se uma aproximação numérica com 16 algarismos significativos, usando a função float, ou com um número de algarismos significativos diferente, usando a função bfloat e a variável fpprec. 342 Tutorial do Maxima O número %i é útil para trabalhar com números complexos. Por exemplo, o produto entre dois números complexos: (%i31) (3+%i*4)*(2+%i*5); (%o31) (4 i +3) (5 i +2) Para que no resultado anterior sejam apresentadas a parte real e a parte imaginária do resultado, usa-se a função rectform (que significa rectangular form): (%i32) rectform(%); (%o32) 23 i −14 A.8. Ficheiros de comandos As interfaces gráficas têm opções no menu que permitem guardar todos os comandos escritos durante uma sessão de trabalho no Maxima ou executar os comandos num ficheiro gravado previamente. Por exemplo, no Xmaxima essa opção é “Save Maxima Input to File” no menu “File”. O ficheiro gravado com essa opção pode ser carregado mais tarde no Maxima e todos os comandos no ficheiro serão executados como se tivessem sido escritos sequencialmente (no caso do Xmaxima, com a opção “Batch File” no menu “File”). Mas é preferível usar as funções próprias do Maxima, stringout ( “ficheiro” ,input ), para gravar os comandos num ficheiro chamado “ficheiro”, ebatch(“ficheiro” ), para executar um ficheiro gravado previamente. Essas funções funcionam igual em qualquer interface ou na consola (consulte a documentação dessas funções). O ficheiro criado é um ficheiro de texto simples, que pode ser editado com um editor de texto. Os comandos inseridos aparecem todos sem os identificadores (%i1),(%i2), etc, tornando necessário ter cuidado com os comandos que incluem referências a resultados anteriores, %o1,%o2, etc, já que quando o ficheiro seja executado mais tarde, os números atribuídos a esses resultados podem ser diferentes. Dentro do ficheiro podem incluir-se comentários, que começam com os símbolos /* e terminam com os símbolos */ e podem ocupar várias linhas. Os comandos introduzidos diretamente no Maxima ou escritos nesse ficheiro podem também ter espaços em branco entre números, operadores, variáveis e outros objetos, para torná-los mais legíveis e cada comando também pode ocupar várias linhas. A.8 Ficheiros de comandos 343 Uma forma eficiente de trabalhar no Maxima consiste em preparar previamente um ficheiro de texto, chamado ficheiro “batch”, com os comandos que serão usados, e a seguir carrega-se esse ficheiro com a função batch ( “ficheiro” ), onde “ficheiro” é o nome completo do ficheiro. Dessa forma, se houver um erro que exige que todos os comandos sejam inseridos novamente, bastará corrigir o ficheiro e carregá-lo novamente. Nesse ficheiro escrevemse unicamente os comandos, sem incluir as marcas (%i1),(%i2),. . . que serão atribuídas automaticamente quando o ficheiro seja executado. Pode também ser útil gravar todo o que aparece no ecrã numa sessão de trabalho no Maxima. No caso de Xmaxima, usa-se a opção “Save Console to File” e se o Maxima for executado desde o editor de texto Emacs, basta gravar o ficheiro. Esse ficheiro serve como informação, mas não pode ser utilizado como ficheiro batch. Alguns comandos que costumam ser usados novamente em sessões de trabalho posteriores, por exemplo, a definição de uma função usada com frequência, podem ser colocados num ficheiro que depois é carregado usando-se a função batch. Se o nome do ficheiro não inclui o caminho para o diretório onde se encontra, será procurado primeiro no diretório atual e logo num diretório onde o Maxima procura ficheiros executáveis do utilizador. A localização desse diretório pode ser descoberta examinando o conteúdo da variável maxima_userdir. Para que um ficheiro batch seja carregado automaticamente cada vez que se inicia uma nova sessão do Maxima, deverá ter o nome maxima-init.mac e estar localizado no diretório onde são procurados ficheiros executáveis do utilizador. Por exemplo, as sessões de Maxima nos capítulos deste livro são executadas num sistema onde existe um ficheiro maxima-init.mac, no diretório “/home/username/.maxima”, com o seguinte conteúdo: ratprint:false$ fpprintprec:4$ cada vez que se inicia o Maxima, a variável especial ratprint fica com valor lógico falso, que faz com que não apareçam advertências de que um número de vírgula flutuante foi aproximado automaticamente para um número racional, e a variável especial fpprintprec fica com valor de 4, o que faz com que os resultados de vírgula flutuante sejam arredondados para 4 algarismos significativos. Qualquer outro comando válido do Maxima pode ser incluído nesse ficheiro, mas há que ter cuidado de não incluir comandos que produzam erros que podem bloquear o arranque do Maxima. 344 Tutorial do Maxima A.9. Álgebra As expressões podem incluir operações matemáticas com variáveis abstratas. Por exemplo: (%i33) 3*x^2+2*cos(t)$ Essas expressões podem ser depois manipuladas, produzindo novas expressões. Por exemplo: (%i34) %^2+x^3; (%o34) 3x2+2 cos t2 +x3 O símbolo de igualdade usa-se para definir equações matemáticas; por exemplo: (%i35) 3*x^3+5*x^2=x-6; (%o35) 3x3+5x2=x−6 Para encontrar as raízes de um polinómio pode usar-se a função allroots; por exemplo: (%i36) allroots(%); (%o36) [x=0.9073 i +0.2776,x=0.2776 −0.9073 i,x=−2.222] Há duas raízes complexas e uma real. As três raízes foram colocadas numa lista. Para extrair, por exemplo, o lado direito na terceira raiz na lista, usa-se a função rhs (right-hand side): (%i37) rhs(%[3]); (%o37) −2.222 A variável xpermanece indefinida, já que o sinal de igualdade não é usado para associar valores numéricos às variáveis. As raízes obtidas em (%o36) são aproximadas e não exatas. Em alguns casos, as raízes podem ser calculadas de forma algébrica exata, usando o comando solve que também A.9 Álgebra 345 resolve outros tipos de equações diferentes de polinómios. Por exemplo, o uso de solve para encontrar as raízes do polinómio acima é o seguinte: (%i38) solve (3*x^3+5*x^2=x-6,x)$ (%i39) float (rectform (%)); (%o39) [x=0.9073 i +0.2776,x=−2.222,x=0.2776 −0.9073 i] O resultado exato encontrado pela função solve ocupa várias linhas e não foi apresentado no ecrã; apenas foi apresentada a aproximação dessas raízes para números de vírgula flutuante. Lembre-se que quando já está associado um valor a uma variável, deverá escrever-se um apostrofo antes do nome dessa variável para poder ser usada como variável algébrica indefinida. Ou também pode eliminar-se o valor associado à variável usando a função remvalue. Para resolver um sistema de equações, que podem ser lineares ou não lineares, o primeiro argumento para o comando solve deve ser uma lista com as equações e o segundo uma lista com os nomes das variáveis; a lista das equações ou cada equação podem ser previamente associadas a alguma variável. Por exemplo: (%i40) eqA:(4+8)*x1 -8*x2 =6+4$ (%i41) eqB:(2+8+5+1)*x2 -8*x1 = -4$ (%i42) solve ( [eqA,eqB], [x1,x2] ); (%o42) x1=1,x2=1 4 O resultado foi uma lista dentro de outra lista, porque a primeira lista engloba os valores das variáveis e a segunda lista as várias soluções do sistema, que neste caso foi apenas uma. O sistema anterior também podia ter sido resolvido com o comando linsolve, em vez de solve, por tratar-se de um sistema de equações lineares. Maxima inclui outras funções para trabalhar com expressões algébricas. Por exemplo, para expandir produtos e potências de expressões usa-se expand. (%i43) expand ((x+4*x^2*y+2*y^2)^3); (%o43) 8y6+48 x2y5+96 x4y4+12 xy4+64 x6y3+48 x3y3 +48 x5y2+6x2y2+12 x4y+x3 352 Tutorial do Maxima Um integral definido calcula-se também com a função integrate, mas incluindo os limites de integração a seguir à variável de integração; por exemplo: (%i71) integrate (1/(1+x^2), x,0,1); (%o71) π 4 A.12. Funções Uma função no Maxima é um programa com algumas variáveis de entrada e uma saída. O Maxima tem uma linguagem simples de programação que permite definir essas funções e também é possível usar a linguagem Lisp, que é a linguagem em que o código do Maxima está escrito. É ainda possível redefinir qualquer uma das funções que já têm sido referidas; por exemplo, se na versão do Maxima a ser usada alguma função tem um bug que já foi corrigido numa versão mais recente, é possível carregar a nova versão dessa função e, a menos que introduza conflitos com outras funções antigas, deverá funcionar corretamente. Um primeiro exemplo consiste na criação de uma função fact que calcule o fatorial de um número inteiro (no Maxima basta colocar o símbolo ! após um número para obter o seu fatorial, mas aqui será criada outra versão do mesmo programa): (%i72) fact(n):= if n<= 1then 1else n*fact(n-1); (%o72) fact(n):=if n≤1then 1else nfact (n−1) (%i73) fact(6); (%o73) 720 Não é preciso usar nenhum comando para produzir a saída, já que a saída de um programa é sempre a que for produzida pelo último comando executado pela função. Uma função pode usar-se a si própria de forma recursiva, como foi feito neste exemplo. Vários comandos do Maxima podem ser agrupados, entre parêntesis e separados por vírgulas. Esses comandos são executados sequencialmente e o resultado do último comando será o resultado de todo o grupo; os comandos podem ser indentados e podem ocupar mais do que uma linha. O seguinte exemplo define uma função que soma todos os argumentos que lhe sejam A.12 Funções 353 dados: (%i74) soma([v]) := block([s:0], for i:1thru length(v)do (s:s+v[i]), s)$ (%i75) soma (45,2^3); (%o75) 53 (%i76) soma (3,log(x),5+x); (%o76) log x+x+8 Usou-se uma lista no argumento da função, indicando que a função admite qualquer número de variáveis de entrada (ou até nenhuma) e todas as variáveis de entrada são colocadas numa lista associada á variável local v. A função block foi usada para definir outra variável local s, com valor inicial 0, que no fim terá a soma de todas as variáveis de entrada. O primeiro elemento dado a block deve ser uma lista, que pode ter qualquer número de variáveis locais, com ou sem valores iniciais, e a seguir a essa lista vem o resto da função. O comando for itera a variável local i, neste caso desde 1 até o comprimento da lista ve com incrementos, por omissão, de 1 (a opção step pode usar-se para modificar o incremento por omissão). Quando as iterações terminam, escreve-se o nome da variável spara que o valor associado a ela fique como saída do programa. Quando se usa uma função que não existe, não é produzida nenhuma mensagem de erro, mas na saída do comando aparece a mesma função sem alteração; por exemplo: (%i77) 2*4*maximo(3,5,2); (%o77) 8 maximo(3,5,2) O mesmo pode acontecer com algumas funções do Maxima quando não é possível obter um resultado. Por exemplo: (%i78) log(x^2+3+x); (%o78) log x2+x+3 354 Tutorial do Maxima Esse comportamento das funções é muito útil, porque assim é possível alterar mais tarde os valores dos argumentos e avaliar novamente a função. Por exemplo, neste último resultado, substituindo a variável xpelo número de vírgula flutuante 2.0, o logaritmo já será calculado: (%i79) subst(x=2.0,%); (%o79) 2.197 A.13. Gráficos A.13.1. Funções de uma variável Para traçar o gráfico de uma ou várias funções de uma variável, usa-se o comando plot2d. Por exemplo, para desenhar o gráfico do polinómio 3x3+5x2−x+6, no intervalo de xentre −3 e 1, usa-se o comando: (%i80) plot2d(3*x^3+5*x^2-x+6, [x,-3,1]); -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3*x^3+5*x^2-x+6 x Figura A.2.: Gráfico do polinómio 3x3+5x2−x+6. o resultado (%o80) (que não foi mostrado aqui) é o nome de um ficheiro auxiliar que foi criado e logo submetido a um programa externo (Gnuplot) que interpreta os comandos nesse ficheiro e mostra o gráfico numa janela A.13 Gráficos 355 separada (figura A.2). Passando o rato sobre um ponto no gráfico, mostramse as coordenadas desse ponto. Para traçar os gráficos de várias funções num mesmo gráfico, colocam-se as funções dentro de uma lista. Por exemplo: (%i81) plot2d ( [sin(x), cos(x)], [x,-2*%pi,2*%pi] ); O resultado é apresentado na figura A.3. -1 -0.5 0 0.5 1 -6 -4 -2 0 2 4 6 x sin(x) cos(x) Figura A.3.: Gráfico das funções seno e cosseno. A.13.2. Criação de ficheiros gráficos A partir da versão 5.32, existem três opções, pdf_file,png_file eps_file que permitem gravar o gráfico num ficheiro em formato PDF, PNG ou PostScript. Por exemplo, para gravar o gráfico produzido pelo comando (%i80) num ficheiro PNG, usa-se o comando: (%i82) plot2d(3*x^3+5*x^2-x+6,[x,-3,1],[png_file,"funcao1.png"]); (%o82) [/home/username/maxout.gnuplot,/home/username/funcao1.png] O resultado mostra que foram criados dois ficheiros; o primeiro com nome maxout.gnuplot contém comandos do Gnuplot que produzem o 356 Tutorial do Maxima gráfico e gravam o resultado no segundo ficheiro, com nome funcao1.png . Como não foi indicado um caminho completo para o nome do ficheiro na opção png_file, o ficheiro foi criado no diretório do utilizador. O ficheiro maxout.gnuplot é um ficheiro de texto simples, que pode ser editado com um editor de texto e executado, independentemente do Maxima, com o programa gnuplot: gnuplot /home/username/maxout.gnuplot Para produzir a figura A.2 em formato PDF, usa-se o seguinte comando: (%i83) plot2d(3*x^3+5*x^2-x+6,[x,-3,1],[pdf_file,"funcao1.pdf"]); A.13.3. Gráficos de pontos É possível também criar um gráfico de um conjunto de pontos num sistema com duas coordenadas. As duas coordenadas de cada ponto podem ser indicadas como uma lista dentro de outra lista com todos os pontos; por exemplo, para criar um gráfico com os três pontos (1.1, 5), (1.9, 7) e (3.2,9), as coordenadas dos pontos podem ser associadas a uma lista p: (%i84) p:[[1.1,5], [1.9,7], [3.2,9]]$ Para criar o gráfico, é necessário dar à função plot2d uma lista que comece com a palavra-chave discrete, seguida pela lista de pontos. Neste caso não é obrigatório indicar o domínio para a variável do eixo horizontal: (%i85) plot2d ( [discrete,p] ); O gráfico é apresentado na figura A.4. Por omissão, os pontos são ligados entre si por segmentos de reta; para mostrar apenas os pontos, sem segmentos de reta, usa-se a opção style, com o valor points. A.13.4. Pontos e funções Podem também combinar-se o gráfico de um ou vários conjuntos de pontos com o gráfico de uma ou várias funções. Nesse caso, cada conjunto de pontos será representado por uma lista a começar com a palavra-chave A.13 Gráficos 357 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 1 1.5 2 2.5 3 3.5 y x Figura A.4.: Gráfico de um conjunto de 3 pontos. discrete, como na secção anterior, e cada função será representada por uma expressão; as listas de pontos e expressões deverão ser colocadas dentro de outra lista e será necessário indicar o domínio para a variável independente (eixo das abcissas); é possível também especificar o contradomínio para a variável dependente (eixo das ordenadas), através da opção y. Exemplo A.1 Represente num gráfico os resultados experimentais na tabela, junto com a curva teórica esperada: T=2πpL/g, com g=980 cm/s2 L(cm) T(s) 10 0.6 20 0.9 30 1.1 40 1.3 50 1.4 Resolução . O gráfico dos resultados, junto com a curva esperada, pode ser obtido com os seguintes comandos: 358 Tutorial do Maxima (%i86) tabela:[[10,0.6],[20,0.9],[30,1.1],[40,1.3],[50,1.4]]$ (%i87) plot2d([[discrete,tabela], 2*%pi*sqrt(L/980)], [L,0,60], [style,points,lines], [color,red,blue], [point_type,asterisk], [legend,"resultado","teoria"], [xlabel,"L (cm)"], [ylabel,"T (s)"], [y,0,2]); A opção style em (%i87) indica que o primeiro conjunto de pontos será ser representado por pontos e a expressão a seguir será representada com segmentos de recta. O gráfico é apresentado na figura A.5. A opção yé especialmente útil para limitar os valores apresentados no eixo vertical, no caso de funções com assimptotas verticais. 0 0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 40 50 60 T (s) L (cm) resultado teoria Figura A.5.: Gráfico de dados experimentais junto com uma expressão teórica. A.13.5. Funções de duas variáveis Para traçar gráficos de funções de duas variáveis, em 3 dimensões, usa-se o comando plot3d. Por exemplo, o gráfico na figura A.6 foi produzido com o comando: A.13 Gráficos 359 (%i88) plot3d (sin(x)*sin(y), [x,0,2*%pi], [y,0,2*%pi] ); 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 z sin(x)*sin(y) x y z Figura A.6.: Gráfico da função sin(x)sin(y). Deslocando o rato enquanto o botão do lado esquerdo estiver premido, a superfície roda podendo ser vista desde diferentes direções. O comando plot3d também aceita uma lista de várias funções a serem representadas no mesmo gráfico. Também pode usar-se uma lista de 3 funções, que representam as 3 componentes do vector posição que define uma superfície em 3 dimensões (gráfico paramétrico). Existem muitas outras opções para as funções plot2d eplot3d e outras funções gráficas. A secção “Plotting” no Manual do Maxima descreve essas funções: http://maxima.sourceforge.net/docs/manual O gráfico mais elaborado neste livro é a figura 7.13, que foi produzida com os seguintes comandos: (%i89) Ft:-s^4/2+4*s^3-3*s^2/2-32*s+25$ (%i90) V:-integrate (Ft,s,0,s)/0.3$ (%i91) se:map (lambda([x],rhs(x)), float (realroots (Ft)))$ (%i92) He:makelist (subst (s=v,V), v,se)$ (%i93) p:makelist(map(lambda([x],rhs(x)),float(realroots(V=H))), H,[He[1],250,He[3],70])$ 360 Tutorial do Maxima (%i94) l1:[discrete, [[-4,He[1]], [p[1][1],He[1]]]]$ (%i95) l2:[discrete, [[-4,250], [p[2][1],250]]]$ (%i96) l3:[discrete, [[p[2][2],250], [p[2][3],250]]]$ (%i97) l4:[discrete, [[p[3][2],He[3]], [p[3][5],He[3]]]]$ (%i98) l5:[discrete, [[p[4][2],70], [p[4][3],70]]]$ (%i99) l6:[discrete, [[p[4][4],70], [p[4][5],70]]]$ (%i100) rep:[discrete,[l1[2][2],l2[2][2],l3[2][1],l3[2][2], l4[2][1],l4[2][2],l5[2][1],l5[2][2],l6[2][1],l6[2][2]]]$ (%i101) max:[discrete,[[se[1],He[1]],[se[3],He[3]]]]$ (%i102) min:[discrete,[[se[2],He[2]],[se[4],He[4]]]]$ (%i103) plot2d ([V,l1,l2,l3,l4,l5,l6,rep,max,min], [s,-4,7.5], [ylabel,"V(s)"], [legend,false], [color,blue,red,red,red,red,red,red,red,black,black], [style,lines,lines,lines,lines,lines,lines,lines, points,points,points], [point_type,bullet,asterisk,circle],[label,["-32.9",0.3,-65], ["51.1",5.5,20], ["70",0.8,85], ["70",5.6,85], ["114.7",0.6,132], ["114.7",5.4,132], ["250",-3.99,270], ["250",3.5,270], ["356.4",-3.9,375], ["356.4",3.4,375]])$ A função V(s) a ser representada é menos a primitiva da força Ft , dividida pela massa, 0.3. Na lista se foram extraídos os valores de s em que a força Ft é nula, ou seja, os pontos onde V tem máximos e mínimos locais. A lista psão as coordenadas desses máximos e mínimos e dos pontos onde V é igual a 70 e a 250. Com as coordenadas desses pontos foram construídas 6 linhas horizontais, l1...l6 e 3 conjuntos de pontos, rep,max emin, com as coordenadas dos pontos onde V é igual a 70 e a 250, os máximos locais e os mínimos locais. A seguir foi criado o gráfico mostrando a função, as linhas horizontais e os três conjuntos de pontos usando objetos diferentes e finalmente foi usada a opção label para escrever alguns números em algumas partes do gráfico. Problemas 361 Problemas 1. Trace o gráfico de cada uma das seguintes funções, usando intervalos que mostrem bem a forma das funções. (a)y=x3−5x2+2x+3 (b)y=sin(x) x (c)y=√20 −x2 (d)y=3x2+2 x2−4 2. O gráfico da função y=x3−6x2+7x+2 apresenta dois pontos extremos (um mínimo local e um máximo local). Desenhe o gráfico dessa função. Sabendo que a derivada da função é nula nos dois pontos extremos, calcule as coordenadas xeydesses dois pontos. 3. Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos ( − 2, 7), ( − 4, 1) e (4, − 5). Sugestão : a forma geral da equação será (x−a)2+(y−b)2= r2 . Para encontrar as três constantes a , b e r , substitua as coordenadas de cada um dos 3 pontos dados, e resolva o sistema das 3 equações obtidas. 4. Defina uma função fib(n) em Maxima para calcular qualquer número na sequência de Fibonacci, fn= 1, 1, 2, 3, 5, 8,. . . , definida por: f0=1f1=1fn=fn−1+fn−2 Determine a relação fn+1/fn para alguns valores crescentes de n , e mostre que a relação aproxima-se do limite (1+√5)/2 . O número ϕ=(1+√5)/2 é designado de proporção áurea e no Maxima está predefinido na constante %phi. 5. Crie uma função “maximo” que encontre o máximo de todos os números que lhe sejam dados. Respostas 2. O máximo local encontra-se em (0.709, 4.30), e o mínimo local em (3.29, -4.30). 3. (x−3)2+(y−2)2=50 368 Créditos fotográficos Commons Attribution 2.0. • Figura de abertura do capítulo 10. Autor: Mario Roberto Duran Ortiz. Licença Creative Commons Attribution Sharealike 3.0. • Figura de abertura do capítulo 11. Autor: Alvesgaspar (Wikimedia Commons). Licença: GFDL 1.2+ ou Creative Commons Attribution Sharealike 3.0. • Figura de abertura do capítulo 12. Foto número EL-1996-00130 do arquivo da NASA-LaRC. Domínio público. Bibliografia Acheson, D. (1997). From calculus to chaos. An introduction to dynamics. Oxford, UK: Oxford University Press. Alonso, M. & Finn, E. J. (1999). Física. Reading, MA, USA: AddisonWesley. Antunes, F. (2012). Mecânica Aplicada. Uma Abordagem Prática. Lisboa, Portugal: Lidel, edições técnicas, Lda. Arnold, V. I. (1987). Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica. Moscovo, Rússia: Editora Mir. Banks, B. W. (2000). Differential Equations with Graphical and Numerical Methods. Upper Saddle River, NJ, USA: Pearson. Beer, F. P. & Johnston Jr, E. R. 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Porto, Portugal: edição do autor. (Disponível em http://def.fe.up.pt/numericos/index.html) Índice Símbolos :, 337 =, 337 A aceleração, 89 angular, 65 centrípeta, 62 da gravidade, 89 média, 11 normal, 60 tangencial, 12,60 allroots, 344 amortecimento crítico, 239 forte, 239 fraco, 238 amplitude, 152 Arquimedes, 103 at, 350 atan, 298 atan2, 348 atom, 347 atrator estranho, 313 atrito cinético, 98 estático, 96 B backward, 172 Bendixson, Ivar, 308 Bessel, Friedrich, 260 bfloat, 336 biela-manivela, 82 bifurcação, 311 big float, 336 binário, 113 block, 353 braço, 112 C campo de direções, 167 caos, 313 centro, 232,278 de curvatura, 62 de gravidade, 89,121 de massa, 118 ciclo, 177,278 limite, 278 cinemática, 1 coeficiente de atrito cinético, 99 de atrito estático, 97 de viscosidade, 101 coefmatrix, 226 componentes cartesianas, 35 Config, 171 constante 374 Índice aerodinâmica, 102 de gravitação universal, 158, 218 elástica, 147 coordenadas cartesianas, 34 cilíndricas, 68 generalizadas, 194,363 corpo rígido, 2 D derivada, 11 describe, 333 deslocamento, 7 diff, 199,350 direction, 172 divergência, 181 duplicação do período, 319 E eigenvectors, 226 elongação, 146 Emacs, 332 energia cinética, 139 de rotação, 154 mecânica, 149 potencial, 143 potencial elástica, 147 potencial gravítica, 146 equação autonoma, 164 cinemática, 18 de Lagrange, 196 de movimento, 194 de Van der Pol, 278 diferencial, 19,164 equilíbrio dinâmico, 174 dos corpos rígidos, 115 estático, 174 estável, 175 instável, 176 escalar, 32 espaço de fase, 166 estado, 166 ev, 284 expand, 345 F factor, 295,346 first, 263,346 float, 334 foco, 232 atrativo, 278 repulsivo, 278 força, 88 central, 147 conservativa, 143 de atrito, 96 de atrito cinético, 98 de atrito estático, 96 de resistência nos fluidos, 101 elástica, 146 generalizada, 195 não conservativa, 148 forward, 172 fpprintprec, 337 fractal, 313 frequência, 65,153 angular, 153,238 G gradef, 199 graus de liberdade, 3 Índice 375 gravidade, 45,89 gravitação, 158 H Hamilton, William Rowan, 180 hamiltoniana, 180 Holling, Crawford S., 292 Hooke, Robert, 147 I imaxima, 332 implicit_plot, 298 impulsão, 103 impulso, 88 integral, 10 integrate, 350 intermitência, 325 J Jacobi, Carl, 250 jacobian, 251 jacobiana (matriz), 250 L Lagrange multiplicador de, 207 Lagrange, Joseph-Louis, 195 lambda, 263 lei das alavancas, 112 da inércia, 86 de ação e reação, 90 de conservação da energia mecânica, 149 de Hooke, 146 dos cossenos, 52 dos senos, 79 Leibnitz, Gottfried W., 31 leis de Newton, 86 length, 346 linha de ação, 110 linsolve, 345 Lissajous, 272 log, 333 Lorenz, Edward N., 321 Lotka, Alfred J., 290 M makelist, 340 Malthus, Thomas Robert, 287 map, 295,347 massa, 88 volúmica, 101 maxima-init.mac, 343 maxima_userdir, 343 mediana, 121 modelo de Holling-Tanner, 292 de Lotka-Volterra, 290 de Malthus, 287 logístico, 288 módulo, 32 momento angular, 217 de inércia, 123 linear, 88 movimento circular, 64 circular uniforme, 65 harmónico simples, 152 uniforme, 17,86 uniformemente acelerado, 17 N newton, 89 Newton, Isaac, 31,85 376 Índice nó estável, 231 impróprio, 234 instável, 231 próprio, 233 norma, 32 nulclina, 173,224 número de Reynolds, 101 O órbita heteroclínica, 179,257,304 homoclínica, 177,304 oscilador amortecido, 237 invertido, 235 P pdf_file, 355 pendulo simples, 159 pêndulo, 253 de Wilberforce, 265 invertido, 249 simples, 94,189,206,254 período, 65,153 peso, 89,146 plot2d, 8,317,354 plot3d, 358 plotdf, 169,227,304 ploteq, 182 png_file, 355 Poincaré, Henri, 308 ponto de equilíbrio, 151,172 de inflexão, 61 de sela, 230 posição, 2 precisão dupla, 335 princípio de Arquimedes, 103 produto escalar, 40 vetorial, 113 projétil, 45 ps_file, 355 Q quad_qags, 216 quantidade de movimento, 88 R Rössler, Otto, 300,321 radcan, 346 rapidez, 7 ratsimp, 295,346 Rayleigh, Lord, 322 reação, 90 normal, 96 realroots, 175 rectform, 342 referencial, 2 inercial, 86 regra da mão direita, 35 do paralelogramo, 33,88, 111 remvalue, 338 repouso, 2,86,151 resistência nos fluidos, 101 rest, 317 retrato de fase, 170 Reynolds, Osborne, 101 rk, 254,300,305 romberg, 216 Índice 377 S Save, 171 segway, 249 separatriz, 258 sistema caótico, 313 com competição, 289 com cooperação, 289 conservativo, 180 de duas espécies, 288 holonómico, 195,363 linear, 222 não linear, 250 predador-presa, 289 solitão, 177 solve, 173,223,344 Stokes, George G., 101 stringout, 342 sublist_indices, 263 subst, 295,338 T Tanner, Wilmer W., 292 teorema de Poincaré Bendixson, 308 dos eixos paralelos, 124 do trabalho e a energia cinética, 139 do trabalho e a energia mecânica, 149 do trabalho e a energia potencial, 143 trabalho, 139 trajectory_at, 169 trigexpand, 349 trigreduce, 300,349 trigsimp, 349 V valor próprio, 226 variável de estado, 166 velocidade, 36 angular, 60 angular (vetor), 69 generalizada, 194,363 instantanea, 10 média, 7 terminal, 28,103 Verhulst, Pierre François, 288 versor, 34 cartesiano, 34 normal, 60 tangencial, 58 vetor, 32 aceleração, 37 deslizante, 110 livre, 33 posição, 36 próprio, 226 velocidade, 36 viscosidade, 101 Volterra, Vito, 290 W Wilberfoce, Lionel R., 265 wxmaxima, 332 X xmaxima, 332 xthru, 346