Ultrafast Saturable Absorption in Single-Layer Graphene with Application to Broadband Mode-Locking
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Ultrafast Saturable Absorption in Single-Layer Graphene with Application to Broadband Mode-Locking Tiago Pinheiro de Faria Pinto Física Faculdade de Ciências 2013 Orientador Helder Manuel Paiva Rebelo Cerejo Crespo, Professor Auxiliar, FCUP
Todas as correções determinadas pelo júri, e só essas, foram efetuadas. O Presidente do Júri, Porto, ______/______/_________
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✇❤❡r❡ ω0 ✐s t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝② ♦❢ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ♠♦❞❡✱ ∆ω t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝② ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠♦❞❡s ❛♥❞ t❤❡ ♣❤❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ♠♦❞❡ ✐s s❡t ❛s ③❡r♦✱ ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✸ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s E(t) = A(t) exp (iω0t) ✭✹✮ ✇✐t❤ A(t) = +n X l=−n E0exp [il (∆ωt +ϕ)] ✭✺✮ ❚❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s s❤♦✇ t❤❡ ✜❡❧❞ E(t) ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛ s✐♥✉s♦✐❞❛❧ ✇❛✈❡ ✇✐t❤ ❢r❡q✉❡♥❝② ω0 ✇✐t❤ ✈❛r②✐♥❣ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ A(t) ✳ ❈❤❛♥❣✐♥❣ t❤❡ t✐♠❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ t′ ✇❤❡r❡ ∆ωt′= ∆ωt +ϕ ❛♥❞ t❤✉s A(t′) = +n X l=−n E0exp [il (∆ωt′)] ✭✻✮ ❚❤✐s ✐s ♥♦t❤✐♥❣ ♠♦r❡ t❤❛♥ ❛ s✉♠♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝ s❡r✐❡s✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ❡❛s✐❧② ♣❡r❢♦r♠❡❞ t♦ ②✐❡❧❞ A(t′) = E0 sin [(2n+ 1) ∆ωt′/2] sin [∆ωt′/2] ✭✼✮ ❋✐❣✉r❡ ✻✿ ❚✐♠❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ A2(t′) ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ s❡✈❡♥ ♦s❝✐❧❧❛t✐♥❣ ♠♦❞❡s ✇✐t❤ ❡q✉❛❧ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ❛♥❞ ❧♦❝❦❡❞ ♣❤❛s❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❬✾❪✳ A2(t′) ✐s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ t❤❡ ❜❡❛♠ ✐♥t❡♥s✐t② ❛♥❞ ✐ts ❢♦r♠ ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✻ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ 2n+ 1 = 7 ✳ ❆ ♠♦❞❡✲❧♦❝❦❡❞ ❧❛s❡r ♣r♦❞✉❝❡s ❛ tr❛✐♥ ♦❢ ❡✈❡♥❧② s♣❛❝❡❞ ♣✉❧s❡s✱ s❡♣❛r❛t❡❞ ✐♥ t✐♠❡ ❜② ✷✺
L(t) = σAθAAAne 1−|v(t)|2 PA! ✭✷✽✮ ✇❤❡r❡ θA ✐s t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❛❜s♦r❜❡r✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r Q/QA ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✶✾✮ ❝❛♥ ♥♦✇ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s Q QA(t)=q 1−|v(t)|2 PA! ✭✷✾✮ ✇✐t❤ q=2σAθAAAne (ω0/2Q)TR ✭✸✵✮ ❚❤✉s✱ ✜♥❛❧❧②✱ ✇❤❡♥ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t s❤♦✇s ❢❛st s❛t✉r❛❜❧❡ ❛❜s♦r♣t✐♦♥✱ t❤❡ ♠❛st❡r ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♣✉❧s❡ ❡♥✈❡❧♦♣❡ ❜❡❝♦♠❡s 1 + q+ (g+δ)1 ωL d dt −g1 + 1 ω2 L d2 dt2v=q|v(t)|2 PA v ✭✸✶✮ ■t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ♥♦ ♣❡r✐♦❞✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ❡①✐st ✇❤❡♥ g+δ6= 0 ✳ ■t ✐s ❛ ❢❛✐r❧② ❧♦♥❣ ❞❡♠♦♥str❛t✐♦♥ ✇❡ s❤❛❧❧ s❦✐♣✱ ❜✉t ❝❛♥ ❜❡ ✉♥❞❡rst♦♦❞ ✐♥ ❬✶✸❪✳ ❚❤✐s s✐♠♣❧✐✜❡s t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ t♦ 1 + q−g1 + 1 ω2 L d2 dt2v−q|v(t)|2 PA v= 0 ✭✸✷✮ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ♣✉❧s❡❧✐❦❡ ❛♥❞ s②♠♠❡tr✐❝ ✐♥ t✐♠❡✱ ❣✐✈❡♥ ❜② v(t) = v0 s❡❝❤ (t/τp) ✭✸✸✮ ✇✐t❤ qv2 0 PA =2g ω2 Lτ2 p ✭✸✹✮ ❛♥❞ 1 + q+g=g ω2 Lτ2 p ✭✸✺✮ ❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ②❡t ❧♦❣✐❝❛❧ ❞❡t❛✐❧ ✐♥ t❤✐s s♦❧✉t✐♦♥✳ ❆ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ s❡❝❛♥t ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ t❛✐❧s✳ ❙✉❝❤ t❛✐❧s ❛r❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ♦❢ ♣❛ss✐✈❡ ♠♦❞❡✲❧♦❝❦✐♥❣✱ ❛s t❤❡ s②st❡♠ ❜❡❤❛✈❡s ❧✐♥❡❛r❧② ✐♥ t❤❡ t❛✐❧s s✐♥❝❡ t❤❡ ✐♥t❡♥s✐t② ✐s s♠❛❧❧❡r✳ ❆ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ s✉❝❤ ❛s ❊q✳✭✸✷✮ r❡q✉✐r❡s ❛♥② ❜♦✉♥❞ ♣✉❧s❡❧✐❦❡ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❜❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧✳ ■t ✐s ❛❧s♦ ✇♦rt❤ ♥♦t✐♥❣ t❤❛t g < 1+q ✱ ❢r♦♠ ✭✸✺✮✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ✐♥ t❤❡ ❧✐♥❡❛r r❡❣✐♠❡✱ ❜❡❢♦r❡ ❛❜s♦r❜❡r ❜❧❡❛❝❤✐♥❣ ❦✐❝❦s ✐♥✱ t❤❡ ❧❛s❡r ✐s ❜❡❧♦✇ ♦♣❡r❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞✱ ✇✐t❤ ✸✷
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❋✐❣✉r❡ ✷✵✿ ❚②♣✐❝❛❧ ❛✉t♦❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ = +∞ ˆ −∞ ˜ E2(t) + ˜ E2(t−τ) + 2 ˜ E(t)˜ E(t−τ) 2dt ✭✻✻✮ ❊①♣❛♥❞✐♥❣ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥✿ G2(τ) = +∞ ˆ −∞ n˜ E2(t)˜ E∗2(t) + ˜ E2(t)˜ E∗2(t−τ) + ˜ E2(t) 2 ˜ E∗(t)˜ E∗(t−τ) +˜ E2(t−τ)˜ E∗2(t) + ˜ E2(t−τ)˜ E∗2(t−τ) + ˜ E2(t−τ) 2 ˜ E∗2(t)˜ E∗2(t−τ) +2 ˜ E(t)˜ E(t−τ)˜ E∗2(t) + 2 ˜ E(t)˜ E(t−τ)˜ E∗2(t−τ) +2 ˜ E(t)˜ E(t−τ) 2 ˜ E∗(t)˜ E∗(t−τ)odt = +∞ ˆ −∞ I2(t) + I2(t−τ) ✭✻✼✮ +4 [I(t) + I(t−τ)] ❘❡ h˜ E(t)˜ E∗(t−τ)i ✭✻✽✮ +2 ❘❡ h˜ E2(t)˜ E∗2(t−τ)i ✭✻✾✮ +4I(t)I(t−τ)}dt ✭✼✵✮ ❚❤✐s ✜♥❛❧ ❢♦r♠ ❤❛s ❢♦✉r t❡r♠s✱ ❡❛❝❤ ✇✐t❤ ❛ s♣❡❝✐✜❝ s✐❣♥✐✜❝❛♥❝❡✳ ✶✳ ´+∞ −∞ I2(t) + I2(t−τ)dt ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ✷✳ ´+∞ −∞ 4 [I(t) + I(t−τ)] ❘❡ h˜ E(t)˜ E∗(t−τ)idt ✐s t❤❡ s✉♠✲♦❢✲✐♥t❡♥s✐t✐❡s ✇❡✐❣❤t❡❞ ✐♥t❡r❢❡r♦❣r❛♠ ♦❢ ˜ E(t) ✸✳ ´+∞ −∞ 2 ❘❡ h˜ E2(t)˜ E∗2(t−τ)idt ✐s t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r♦❣r❛♠ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❤❛r♠♦♥✐❝ ✹✳ ´+∞ −∞ 4I(t)I(t−τ)dt ✐s t❤❡ ❛✉t♦❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ♦❢ I(t) ✹✽
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✇❤❡r❡ P ✐s t❤❡ ✐♥tr❛❝❛✈✐t❛r② ♣♦✇❡r ❛♥❞ w ✐s t❤❡ ❜❡❛♠ ✇❛✐st ❛t t❤❡ s♣♦t✳ ❯s✐♥❣ ✭✼✶✮✱ ✇❡ ❡st✐♠❛t❡ s❛t✉r❛t✐♦♥ t♦ ♦❝❝✉r ✇❤❡♥ ❜❡❛♠ ✇❛✐st ✐s s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ 32.3µ ♠✳ ❚❤❡ ❢♦❝✉s✐♥❣ s②st❡♠ ❝❤♦s❡♥ ✇❛s ❛ ❞✐❡❧❡❝tr✐❝ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝❤✐r♣❡❞ ♠✐rr♦r ♣❛✐r✱ ✇✐t❤ t❤❡ ❣r❛♣❤❡♥❡ ♣❧❛❝❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❝❛❧ ♣♦✐♥t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳ ❚❤❡ ❜❡❛♠ ✇❛✐st ❛t t❤❡ ❢♦❝❛❧ ♣♦✐♥t ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❝❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠✐rr♦rs w0=2λ πf D ✭✼✷✮ ✇❤❡r❡ f ✐s t❤❡ ❢♦❝❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❧❡♥s ❛♥❞ D ✐s t❤❡ ❜❡❛♠ ❞✐❛♠❡t❡r ✐♥❝✐❞❡♥t ♦♥ t❤❡ ❧❡♥s✳ ❙♠❛❧❧❡r ❢♦❝❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s ✇✐❧❧ ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ❜❡❛♠ ✇❛✐st ❛t t❤❡ ❢♦❝✉s ❜✉t t❤❡② ❛❧s♦ ♣♦s❡ s❡t✉♣ ❝♦♥str❛✐♥ts✱ s♦ t❤❡ ❧❛r❣❡st ❢♦❝❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ t❤❛t st✐❧❧ ❣❛r❛♥t❡❡s s❛t✉r❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❣♦❛❧✳ ❲❡ ❢♦✉♥❞ t❤r❡❡ ❝♦♦♠♠❡r❝✐❛❧❧② ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ s✉✐t❛❜❧❡ ♠✐rr♦rs✱ ✇✐t❤ ❢♦❝❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s f ♦❢ 2.5 ❝♠✱ 3.75 ❝♠ ❛♥❞ 5 ❝♠✳ ❙♠❛❧❧❡r ❢♦❝❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s ❛❧❧♦✇ ❢♦r s♠❛❧❧❡r ❜❡❛♠ ✇❛✐st ❛t t❤❡ ❢♦❝❛❧ ♣♦✐♥t✱ ❜✉t ♠❛② ❜❡ ✐♠♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ✐♥ s❡t✉♣✱ ❞✉❡ t♦ s♣❛❝❡ ❝♦♥str✐❝t✐♦♥s✳ ❋✐❣✉r❡ ✷✺ s❤♦✇s ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣♦t s✐③❡ ♦♥ t❤❡ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ f= 3.75 ❝♠ ❢♦❝❛❧ ❧❡♥❣t❤ ♠✐rr♦r ♣❛✐r✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ ✇❡❧❧ ❜❡❧♦✇ t❤❡ 32.3µ ♠ r❡q✉✐r❡❞ ❢♦r s❛t✉r❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ f= 3.75 ❝♠ ♣❛✐r ✇❛s ❝❤♦s❡♥ ❛s t❤❡ ❝♦♠♣r♦♠✐s❡ ❜❡t✇❡❡♥ ♦❜t❛✐♥❛❜❧❡ s♣♦t s✐③❡ ❛♥❞ ❡❛s❡ ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ❋✐❣✉r❡ ✷✺✿ ❙♣♦t s✐③❡ ❛t t❤❡ s❛♠♣❧❡ s✉r❢❛❝❡ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ s✉❜str❛t❡ ♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ✜rst s❛♠♣❧❡ s✉❜✲❝❛✈✐t② ♠✐rr♦r✱ ✐✳❡✳ t❤❡ ♦♥❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s❛♠♣❧❡ ❛♥❞ t❤❡ ❝r②st❛❧ s✉❜✲❝❛✈✐t②✳ ❋✐❣✉r❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ✉s✐♥❣ ❲✐♥▲❛s❡✳ ✺✹
❋✐❣✉r❡ ✷✻✿ Pr♦♣❛❣❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝♦❧❧✐♠❛t❡❞ ❜❡❛♠ t❤r♦✉❣❤ ❛♥ ❛♥❣❧❡❞ ♣❧❛t❡✳ ❚❤❡ ✇✐❞t❤ w′ ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ♣❧❛t❡ ✐s ❧❛r❣❡r t❤❛♥ t❤❡ ♦✉ts✐❞❡ ✇✐❞t❤ w ✽✳✶✳✷ ▲♦ss ❛♥❞ ❆❜❡rr❛t✐♦♥ ❆s ✉s✉❛❧✱ t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❧♦ss❡s✱ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ❣r❛♣❤❡♥❡ ♠✉st ❜❡ ♣❧❛❝❡❞ ❛t ❛ ❇r❡✇st❡r ❛♥❣❧❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❜❡❛♠ ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ♠✐rr♦rs✳ ❚❤❡ ❇r❡✇st❡r ❛♥❣❧❡ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ r❡❢r❛❝t✐✈❡ ✐♥❞❡① ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡✱ ♠❛❞❡ ♦❢ ❢✉s❡❞ s✐❧✐❝❛✱ nf ❴ silica = 1.453 ❛t 800 ♥♠✳ ■t ✇❛s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t❤❛t θB= arctan nf ❴ silica/nair= 55.5 ➸ ✭✼✸✮ ❇r❡✇st❡r ❛♥❣❧❡ ♣❧❛❝❡♠❡♥t ❤❛s ♦♥❡ ✐♥❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✿ ✐t ✐♥tr♦❞✉❝❡s ❛st✐❣♠❛t✐s♠ ✐♥ t❤❡ ❝❛✈✐t②✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❜r❡❛❦ ✐♥ s②♠♠❡tr② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s❛❣✐t❛❧ ❛♥❞ t❛♥❣❡♥❝✐❛❧ ♣❧❛♥❡s ♦❢ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥✳ ❆s s❡❡♥ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✷✻✱ ✇❤❡♥ t❤❡ ❜❡❛♠ ❡♥t❡rs t❤❡ s✐❧✐❝❛ ♣❧❛t❡ ♣❧❛❝❡❞ ❛t ❇r❡✇st❡r ❛♥❣❧❡✱ ✐t ✐s r❡❢r❛❝t❡❞ ❛♥❞ ❜❡❝♦♠❡s ✇✐❞❡r ✇❤❡♥ ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ♠❡❞✐✉♠✳ ❋♦r ❣❛✉ss✐❛♥ ❜❡❛♠s✱ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ❞❡❝r❛s❡s ✇✐t❤ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❜❡❛♠ ✇❛✐st✳ ❙✐♥❝❡ t❤✐s ❜❡❛♠ ❜r♦❛❞❡♥✐♥❣ ♦♥❧② ♦❝❝✉rs ✐♥ t❤❡ s❛❣✐tt❛❧ ♣❧❛♥❡✱ t❤❡ ❜❡❛♠ ❜❡❝♦♠❡s ❧❡ss ❞✐✈❡r❣❡♥t ✐♥ t❤✐s ♣❧❛♥❡ t❤❛♥ ✐♥ t❤❡ t❛♥❣❡♥t✐❛❧ ♣❧❛♥❡✳ ❚❤✐s ❛✛❡❝ts t❤❡ st❛❜✐❧✐t② r❡❣✐♦♥✱ ❝❛✉s✐♥❣ t❤❡ st❛❜✐❧✐t② ♠❛①✐♠❛ t♦ ❜❡ ♠✐s❛❧✐❣♥❡❞✳ ❚♦ ❝♦♠♣❡♥s❛t❡❞ ❢♦r t❤✐s✱ ✇❡ ✉s❡❞ ♦✛✲❛①✐s r❡✢❡❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❞✐❡❧❡❝tr✐❝ ♠✐rr♦rs ❛t ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❛♥❣❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥tr♦❞✉❝❡s s②♠♠❡tr✐❝ ❛st✐❣♠❛t✐s♠✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡❝t✐♦♥ ❛♥❣❧❡ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❢♦❝❛❧ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♠✐rr♦rs ❛♥❞ ✇❛s ❛❧s♦ ❛ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ ❢❛❝t♦r ✐♥ ❝❤♦♦s✐♥❣ t❤❡ ♠✐rr♦r ♣❛✐r✳ ✽✳✶✳✸ ❖t❤❡r ❈♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥s ▼❛tr✐❝✐❛❧ ♦♣t✐❝s st❛t❡ t❤❛t ❛❢♦❝❛❧ s②st❡♠s✱ s✉❝❤ ❛s ❛ t❤❡ ❣r❛♣❤❡♥❡ s✉❜✲❝❛✈✐t②✱ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s✐❣♥❡❞ t♦ ♣r♦❞✉❝❡ ❛ ✉♥✐t❛r② ♠❛tr✐①✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ ❝❛✈✐t② ❝❛♥ r❡♠❛✐♥ ✉♥❛❧t❡r❡❞✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✈✐t❛❧✳ ❲❡ ♠✉st ❡♥s✉r❡ t❤❛t t❤❡ ❝❛✈✐t② ✐s st❛❜❧❡ ✇❤❡♥ ❳✰❨ ✭s❡❡♥ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✷✾✮ ❡q✉❛❧s ❩ ✭s❡❡♥ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✷✷✮✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❡♥s✉r❡ ♦✉r s②st❡♠ ✐s st❛❜❧❡ ✇✐t❤♦✉t t❤❡ ♥❡❡❞ ❢♦r ❢✉rt❤❡r ❛❧t❡r❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ♣❧❛❝❡♠❡♥t ♦❢ ♦t❤❡r ❛❧r❡❛❞② ❡①✐st✐♥❣ ❝❛✈✐t② ❡❧❡♠❡♥ts✳ ✺✺
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