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Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas, Artísticas y Deportivas Trabajo Fin de Máster Especialidad de Matemáticas “LA INTEGRAL DEFINIDA” 2º DE BACHILLERATO Autor: Francisco Gimeno Mauri Tutor: D. Rafael Escolano Vizcarra Zaragoza, Junio de 2013 TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | i ÍNDICE INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 1 A. SOBRE LA DEFINICIÓN DEL OBJETO MATEMÁTICO ....................... 1 A.1. Nombra el objeto matemático a enseñar. ................................................... 1 A.2. Indica el curso y asignatura en la que sitúas el objeto matemático. ................................................................................................ 1 A.3. ¿Qué campo de problemas, técnicas y tecnologías asociadas al objeto matemático pretendes enseñar? ....................................................... 2 B. SOBRE EL ESTADO DE LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL OBJETO MATEMÁTICO ............................................................................. 3 B.1. ¿Cómo se justifica habitualmente la introducción escolar del objeto matemático? .................................................................................... 3 B.2. ¿Qué campos de problemas, técnicas y tecnologías se enseñan habitualmente? ........................................................................................... 3 B.3. ¿Qué efectos produce dicha enseñanza sobre el aprendizaje del alumno? ...................................................................................................... 4 C. SOBRE LOS CONOCIMIENTOS PREVIOS DEL ALUMNO ................... 6 C.1. ¿Qué conocimientos previos necesita el alumno para afrontar el aprendizaje del objeto matemático? ........................................................... 6 C.2. La enseñanza anterior, ¿ha propiciado que el alumno adquiera esos conocimientos previos? ...................................................................... 6 C.3. ¿Mediante qué actividades vas a tratar de asegurar que los alumnos posean esos conocimientos previos? ........................................... 7 D. SOBRE LAS RAZONES DE SER DEL OBJETO MATEMÁTICO ....................................................................................................... 9 TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | ii D.1. Cuál es la razón o razones de ser que vas a tener en cuenta en la introducción escolar del objeto matemático. .............................................. 9 D.2. ¿Coinciden con las razones de ser históricas que dieron origen al objeto? ........................................................................................................ 9 D.3. Diseña uno o varios problemas que se constituyan en razones de ser de los distintos aspectos del objeto matemático a enseñar. ................ 10 E. SOBRE EL CAMPO DE PROBLEMAS ...................................................... 12 F. SOBRE LAS TÉCNICAS ............................................................................... 12 G. SOBRE LAS TECNOLOGÍAS ...................................................................... 13 H. SOBRE LA METODOLOGÍA ....................................................................... 13 I. SOBRE LA SECUENCIA DIDÁCTICA Y SU CRONOGRAMA ............. 14 I.1. Cronograma. ............................................................................................. 14 I.2. Secuencia didáctica .................................................................................. 16 J. SOBRE LA EVALUACIÓN ........................................................................... 41 K. SOBRE LA BIBLIOGRAFÍA Y PÁGINAS WEB ....................................... 46 ANEXO I: GUIÓN PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN APPLET DE GEOGEBRA ..................................................................................................... 48 ANEXO II: SOLUCIONES PROBLEMAS ......................................................... 50 ANEXO III: SOLUCIONES PRUEBA ESCRITA ............................................. 57 TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 1 INTRODUCCIÓN La propuesta de enseñanza de la Integral Definida para alumnos de 2º de Bachillerato que se presenta en este documento se va a llevar a cabo como Trabajo Final en el marco del Máster de Profesorado de Secundaria de la Universidad de Zaragoza. El concepto de Integral Definida es uno de los conceptos fundamentales del Análisis Matemático. Sin embargo, las investigaciones sobre la Integral Definida revelan la existencia de dificultades en el aprendizaje y comprensión de este concepto y la necesidad de una mayor indagación en este campo del conocimiento. A. SOBRE LA DEFINICIÓN DEL OBJETO MATEMÁTICO A.1. Nombra el objeto matemático a enseñar. El objeto matemático que se va a estudiar es el de la Integral Definida, correspondiente al área de Análisis. A.2. Indica el curso y asignatura en la que sitúas el objeto matemático. Según el currículo aragonés, en la Orden de 1 de Julio de 2008, (BOA nº 105, del 17 de Julio de 2008), las integrales se enmarcan dentro del bloque de conocimiento de Análisis de la asignatura Matemáticas II cursada en 2º de Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología. Se transcriben a continuación los contenidos referidos al objeto matemático que se fijan en la legislación para este curso: Integrales. El problema del área: aproximación intuitiva a la integral. Definición de integral definida de una función continua. La función área. Noción de primitiva. El teorema fundamental del cálculo integral. La regla de Barrow. Cálculo de integrales indefinidas inmediatas, por cambio de variable, por partes o racionales sencillas. Integrales definidas. Cálculo de áreas de regiones planas. Así como los criterios de evaluación: TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 2 5. Calcular áreas de regiones limitadas por rectas y curvas sencillas fácilmente representables, y aplicar este cálculo a situaciones de la naturaleza o la tecnología. Este criterio pretende evaluar la capacidad para aplicar algunas técnicas sencillas de búsqueda de primitivas: integración inmediata, por partes, descomposición en fracciones elementales y cambios de variables sencillos. También se trata de valorar si el alumnado comprende el significado de la integral definida y la relaciona con el cálculo de primitivas. Con este criterio se desea averiguar si los alumnos son capaces de aplicar el cálculo de primitivas de funciones sencillas al cálculo de áreas, analizando la gráfica correspondiente a cada situación y tomando las decisiones que correspondan para una correcta delimitación del recinto objeto del estudio. También se valorará que sepan identificar, en contextos del mundo físico o tecnológico, situaciones problemáticas que sean susceptibles de resolverse usando el cálculo integral. A.3. ¿Qué campo de problemas, técnicas y tecnologías asociadas al objeto matemático pretendes enseñar? El campo de problemas que se plantea en esta propuesta lo constituye, en primer lugar, el cálculo de áreas; y en segundo lugar, el cálculo de la integral definida de una función usando la relación entre integración y derivación de la función área. Queda fuera del estudio el cálculo de primitivas y profundizar en las aplicaciones del cálculo integral. Se pretenderá que la contextualización de los problemas sea a través de situaciones de la naturaleza o la tecnología donde sea necesario aplicar el cálculo integral; identificando así la integración no solo como cálculo directo de un área geométrica sino como cálculo de un área que representa una magnitud física determinada. En el primer campo de problemas, para calcular el área de una función continua en un intervalo las técnicas que se utilizarán serán en un comienzo y para funciones sencillas, la aplicación de los conocimientos geométricos que ya poseen (área de un rectángulo, triángulo, trapecio…); y posteriormente, para funciones más complejas, el método de los rectángulos. En cuanto a las tecnologías, se empleará el software de geometría dinámica Geogebra para justificar el método de los rectángulos, TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 3 pudiendo visualizar las aproximaciones sucesivas conforme la anchura de los rectángulos se hace cada vez más pequeña. En el segundo campo de problemas, para hallar la integral definida en un intervalo, la técnica que se utilizará será regla de Barrow, que se justifica gracias al teorema fundamental del cálculo integral. De nuevo, usaremos Geogebra como herramienta sobre la que nos apoyaremos para demostrar y justificar geométricamente las técnicas mencionadas. B. SOBRE EL ESTADO DE LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL OBJETO MATEMÁTICO B.1. ¿Cómo se justifica habitualmente la introducción escolar del objeto matemático? La forma tradicional de introducir estos temas a los alumnos es comenzar con el cálculo de primitivas o anti derivadas para después, una vez que los alumnos tienen suficiente destreza en el cálculo de las mismas, continuar con el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow, es decir, las integrales definidas, convirtiéndose dichos conceptos en transparentes para los alumnos y sin llegar a ser asimilados correctamente (Llorens, 1997). Los efectos perniciosos que causa esta introducción se detallan en el apartado B.3. Esta propuesta abordará la integración con un cambio de orden de los dos temas: primero se tratará intuitivamente el cálculo de áreas de forma gráfica como introducción al concepto de integral para ir poco a poco afinando los cálculos mediante el álgebra y terminar al final relacionando la integración y derivación mediante los teoremas propios del tema. B.2. ¿Qué campos de problemas, técnicas y tecnologías se enseñan habitualmente? TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 4 El campo de problemas y técnicas que se enseñan habitualmente se corresponde con el que se pretende enseñar en esta propuesta. La diferencia radica fundamentalmente en el orden en el que se abordan. Cómo ya hemos mencionado, habitualmente la enseñanza de la integración comienza con el significado de integral como operación inversa a la derivación, y es de este significado de donde se suele partir para justificar e introducir las técnicas. En esta propuesta se trata precisamente de desvincular, inicialmente, la integración y la derivación, cuya relación aparecerá solo en última instancia; y tomar el significado de integral como área como la base sobre la que se construirán las tecnologías que empleemos y se justificarán las técnicas. B.3. ¿Qué efectos produce dicha enseñanza sobre el aprendizaje del alumno? Recogemos a continuación algunas de las ideas principales que presenta Aldana (2011) con respecto a este punto: “El aprendizaje del concepto de Integral Definida, de acuerdo con los resultados obtenidos en diversas investigaciones, presenta dificultades para los estudiantes que se manifiestan mediante la utilización mecánica, algorítmica y memorística de su definición; no logran establecer una conexión entre el pensamiento numérico, algebraico, geométrico y analítico; tienen problemas para interpretar las gráficas de áreas bajo curvas cuando la gráfica de la función pasa de ser positiva a ser negativa o presenta discontinuidades; en otros casos piensan la integral sólo asociada al concepto de área pero aislada de otros contextos; y demuestran dificultades para aplicar las propiedades de la Integral Definida. Resumiendo, los problemas en el aprendizaje del concepto de Integral Definida, se pueden sintetizar de la siguiente forma:  Generalmente los estudiantes identifican “Integral” con “primitiva”. La integral para ellos no comporta ningún proceso de convergencia ni tampoco un aspecto geométrico. Es por tanto, un proceso puramente algebraico, más o menos complicado, de modo que un estudiante puede conocer diversas técnicas de integración e incluso saberlas aplicar, y al mismo tiempo, no ser capaz de aplicarlas al cálculo de un área o ignorar por completo qué son las sumas de Riemann. La primera imagen que evocan muchos TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 5 estudiantes sobre integrar es la de “hallar una función de la que se conoce la derivada”.  Los estudiantes generalmente identifican las Integrales Definidas con la regla de Barrow, incluso cuando esta no pueda aplicarse. Es el caso de los resultados encontrados por Mundy (1984), donde un porcentaje alto de estudiantes no supo responder a la pregunta: ¿Por qué , es incorrecto? Esto pone en evidencia que el estudiante no sólo desconoce las condiciones para poder aplicar la regla de Barrow, sino que además muestra una desconexión entre la definición del concepto de Integral Definida y la imagen particular que tiene de este concepto matemático.  Falta de relación entre el concepto de Integral Definida y el de área. Muchos estudiantes no distinguen entre la Integral Definida como área y la Integral Definida cómo cálculo algebraico, porque no establecen una conexión entre la representación gráfica y la representación algebraica de una función y no son capaces de calcular el área bajo una curva a partir de su gráfica. En otros casos porque el estudiante no tiene los conceptos previos necesarios para resolver la tarea satisfactoriamente. En este sentido, Mundy (1984) encontró también que un 95% de los estudiantes respondieron incorrectamente a la pregunta: Calcular la , en la que les planteó varias opciones de respuesta; porque no saben integrar la función valor absoluto y no han logrado establecer una relación entre la representación algebraica formal y la visualización gráfica de la función. Otros estudios, han demostrado el predomino del modo algebraico sobre el gráfico que tienen los estudiantes al resolver tareas de Cálculo Integral, hay un dominio de los procedimientos algorítmicos frente a los aspectos conceptuales. Al respecto, Orton (1980), (citado por Azcárate et al. 1996, p. 15) pone de manifiesto que existe “un nivel relativamente bueno en la manipulación de los algoritmos algebraicos que aparecen en los cálculos de primitivas de funciones y, sin embargo, dificultades en la conceptualización de los procesos de límite asociados al concepto de Integral Definida; por ejemplo, pocos alumnos fueron capaces de expresar de forma correcta que el valor exacto del área bajo TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 12 Con este problema se introduce al alumno en la problemática del cálculo de áreas de recintos encerrados por una curva no regular y cómo puede ayudarnos el método de aproximaciones sucesivas de cuadrados cada vez más pequeños. Azcárate (1996, p.128) E. SOBRE EL CAMPO DE PROBLEMAS El campo de problemas que se presentan en esta propuesta didáctica es el que hemos presentado en el apartado A.3, y que se corresponden con: 1. Cálculo de áreas y su relación con el concepto de suma de infinitos rectángulos. 2. Conexión de la integración y la derivación a través de la función área. Los tipos de problemas concretos se pueden ver en la secuencia didáctica completa que se muestra en el apartado I de esta propuesta. F. SOBRE LAS TÉCNICAS Las técnicas que se van a enseñar son las que hemos nombrado con anterioridad en el apartado A.3. Para el cálculo de áreas:  La aplicación de los conocimientos geométricos elementales (área de un rectángulo, triángulo, trapecio…)  El método de los rectángulos. En el cuál se aproxima el área del recinto mediante aproximaciones sucesivas de rectángulos cada vez más estrechos. Para el cálculo de la integral definida a través de su conexión con la derivada:  La regla de Barrow, que se justifica por el teorema fundamental del cálculo integral. TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 13 Igualmente, los tipos de ejercicios que se van a presentar están reflejados en la secuencia didáctica del apartado I. G. SOBRE LAS TECNOLOGÍAS Las técnicas que hemos nombrado en el apartado anterior se justificarán en un primer momento a un nivel geométrico, utilizando el software Geogebra, y en segunda instancia se corroborarán a nivel analítico. Las actividades y procedimientos concretos dedicados a justificar las diferentes técnicas están bien detallados a lo largo de la secuencia didáctica que se presenta en el apartado I. En estas actividades se tratará que los alumnos traten de explorar la solución a los problemas siendo ellos los que intenten deducir las técnicas y su justificación, aunque será el profesor el que sirva de guía en el proceso y el que en última instancia institucionalice y formalice cada técnica. H. SOBRE LA METODOLOGÍA Se optará por una metodología sustentada en la resolución de problemas. Ésta se concretará del siguiente modo: el profesor planteará una situación problemática y se dejará a los alumnos que piensen y traten de resolver el problema; cuando los conocimientos que tienen no sean suficientes será el profesor el que tenga que orientar y dar pistas para buscar un camino alternativo, surgiendo de este modo los conceptos y técnicas que más tarde el profesor institucionalizará. En resumen, se procurará que en todo momento sean los alumnos los que se enfrenten a las situaciones planteadas, siendo ellos mismos los que se planteen preguntas y empleen diferentes alternativas para resolver los problemas. La labor del profesor no será la TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 14 de realizar exposiciones para transmitir saberes, sino que consistirá en diseñar y plantear problemas y actividades que potencien el aprendizaje y que sean adecuadas para que surja el conocimiento en el aula. Una vez que hayan trabajado de modo autónomo, será el profesor el encargado de realizar el proceso de institucionalización. Mención especial en la metodología del aula es el uso del software de geometría dinámica Geogebra. Geogebra es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo, por lo que puede ser usado también en otras disciplinas como física. Con Geogebra pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cónicas, etc., mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratón o la anotación de comandos en la barra de entrada, con el teclado o seleccionándolos del listado disponible. Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A. Geogebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc. I. SOBRE LA SECUENCIA DIDÁCTICA Y SU CRONOGRAMA I.1. Cronograma. La propuesta didáctica que aquí presentamos se va a desarrollar a lo largo de aproximadamente 12 sesiones de 55 min. Mostramos a continuación la secuenciación de las actividades: TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 15 SESIÓN APARTADO ACTIVIDADES 1 EVALUACIÓN INICIAL  Evaluación inicial (apartado C.3) 2 JUSTIFICACIÓN DEL CÁLCULO DE ÁREAS  Justificación histórica  Problema introductorio (apartado D.3) 3 CAMPO 1: CÁLCULO DE ÁREAS. PROCEDIMIENTOS GEOMÉTRICOS  Actividad 1 , 2 y 3: Funciones constante, lineal y afín 4 CAMPO 1: CÁLCULO ÁREAS. SUMA DE RECTÁNGULOS.  Actividad 4: Función cuadrática 5 CAMPO 1: CÁLCULO ÁREAS. SUMA DE RECTÁNGULOS. SUMAS DE RIEMANN E INTEGRAL DEFINIDA  Actividad 5: Función exponencial  Institucionalización: Sumas de Riemann e integral definida 6 CAMPO 1: PROPIEDADES INTEGRAL DEFINIDA  Institucionalización: Propiedades integral definida  Actividad 6: Problemas de propiedades 7 CAMPO 1: PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS  Actividad 7: Problemas de aplicación 8 CAMPO 2: FUNCIÓN ÁREA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.  Actividad 8 y 9: Función lineal  Institucionalización: Función área F(x) 9 CAMPO 2: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.  Actividad 10: Función proporcionalidad inversa 10 CAMPO 2: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.  Actividad 11: Función coseno.  Institucionalización: Teorema Fundamental del Cálculo y Regla de Barrow. 11 EVALUACIÓN  Prueba escrita 12 EVALUACIÓN  Prueba práctica  Corrección pruebas. TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 16 I.2. Secuencia didáctica Siguiendo la idea principal ya propuesta por Turégano (1997) de introducir el concepto de integral como una continuación de la noción de área ya conocida por los estudiantes, la estructura de esta propuesta didáctica tiene dos puntos que corresponden con los dos campos de problemas que se pretenden enseñar. 1. Cálculo de áreas y su relación con el concepto de suma de infinitos rectángulos. Notación de la integral definida. Propiedades de la integral. 2. Conexión de la integración y la derivación mediante la función área (teorema fundamental del cálculo). Regla de Barrow. En el primer campo de problemas se comienza abordando el cálculo de áreas desde un enfoque totalmente aritmético y geométrico. De alguna forma es una especie de que los alumnos busquen procedimientos conocidos para calcular áreas. En esta etapa se le da sentido conceptual al cálculo de áreas. No es sólo el cálculo de un área geométrica lo que se halla, sino que ésta puede significar cualquier magnitud física que esté expresada como producto de otras dos magnitudes. Posteriormente, cuando los conocimientos aritméticos no sean suficientes para hallar el área se introducirá la técnica de la suma de rectángulos. Por último se terminará identificando la expresión del sumatorio con la notación de la integral definida. El segundo campo de problemas se ocupará del teorema fundamental del cálculo. Éste relaciona la derivación con la integración a través de la función área, llevándonos a la regla de Barrow, de manera que a partir de este momento se pueden calcular áreas conociendo la primitiva de la función que representa dicha área, sin tener que recurrir a resolver costosos sumatorios. CAMPO 1: CÁLCULO DE ÁREAS Para introducir el concepto de integral como cálculo de áreas el primer paso será presentar situaciones donde hallar el área de un recinto tenga una utilidad práctica. Los alumnos tienen que ver, incluso antes de nombrar la palabra integración, como calcular un TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 17 área puede ser una herramienta muy útil que nos simplifique el cálculo de una magnitud determinada. Una vez que entiendan la utilidad de calcular áreas, el cómo hacerlo irá apareciendo poco a poco. Todos los estudiantes en secundaria conocen el cálculo de áreas de figuras planas sencillas como el rectángulo, el triángulo, el trapecio, etc. En los primeros pasos, estos conocimientos serán suficientes, pero progresivamente irán surgiendo situaciones donde estos conocimientos no bastarán y será en este momento cuando aparezca la suma de infinitos rectángulos como solución a estas situaciones. Actividad 1: Función constante Un ciclista se desplaza a una velocidad constante de 20 km/h. a) ¿Qué espacio habrá recorrido al cabo de 3 horas? b) Representa la gráfica de la función velocidad en unos ejes cartesianos. c) Halla el área limitada entre la recta , el e e , y las rectas . ¿Qué relación existe entre el área y el espacio recorrido? d) ¿Qué representa el área bajo la función de la figura? ¿En qué unidades de medida se expresa? e) Supón ahora que el ciclista a las 3 horas sube su velocidad a 25 km/h durante las 2 horas siguientes. Representa la gráfica de la función . TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 18 f) Calcula el área bajo la función a partir de la gráfica. g) ¿Cuál es el espacio recorrido por el ciclista en el intervalo [3, 5]? ¿en qué intervalo de tiempo recorre mayor distancia? En esta primera actividad quizás los alumnos no ven todavía la necesidad de calcular el área para hallar la magnitud ‘espacio recorrido’, puesto que se trata de un ejercicio muy simple que se resuelve de forma inmediata utilizando la conocida formula de espacio igual a velocidad por tiempo: . Sin embargo esta actividad nos ha permitido que aparezca el concepto de área bajo la curva de una función y relacionar esta área con una magnitud (‘espacio recorrido’), que es lo que pretendíamos en primera instancia. Se pueden plantear otros ejemplos en los que el área represente otras magnitudes. Por ejemplo: - La cantidad de tejido que produce una determinada empresa textil por unidad de tiempo, sabiendo que la producción es constante a r m minuto. - El volumen de agua que obtenemos de un grifo abierto en un tiempo t, sabiendo que el agua fluye de forma constante a razón de 12 m minuto. - La cantidad de luz que recibe una planta en un intervalo de tiempo t, suponiendo que la luz es recibida de forma constante a 1 lux hora; Para finalizar la actividad comprobamos geométricamente que el área bajo la curva de una función constante en el intervalo viene dada como: TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 19 Actividad 2: Función lineal Se dejar caer una piedra desde una azotea de la que no conocemos su altura. Pero hemos cronometrado que la piedra ha tardado 6 segundos en llegar al suelo. Ayuda: , donde es la velocidad inicial que en este caso es igual a 0 m/s y es la aceleración de la gravedad que aproximamos a 10 m/s2. a) Representa la gráfica de la velocidad en función del tiempo. b) ¿Qué magnitud representa el área encerrada por la función v(t) en el intervalo [0, 6] en este problema? c) ¿Qué altura tiene la azotea? En esta actividad es bastante posible que muchos de los alumnos no recuerden la fórmula para calcular el espacio recorrido en un movimiento uniformemente acelerado: . En este caso, hallar el área del triangulo puede ser un recurso más sencillo que nos permite calcular la altura de la azotea con la misma precisión que la fórmula: TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 20 Comprobamos que, como en la actividad 1, el área bajo la curva tiene el significado de ‘espacio recorrido’: Actividad 3: Función afín En un embalse que está casi al 100% de su capacidad se ha abierto la presa y el agua sale a una velocidad de 1000 m3/s. Cuando el embalse se ha vaciado un poco se decide cerrar la presa. Las compuertas tardan en cerrarse 10 segundos, de modo, que el caudal de agua que sale disminuye con el tiempo. El caudal del agua (m3/s) en este periodo sigue la siguiente función: a) Representa la gráfica del caudal en función del tiempo. b) ¿Qué magnitud representa el área encerrada por la función c(t) en el intervalo [0, 10] en este problema? c) Representa el área bajo la curva en el intervalo [0,4] TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 21 d) ¿Qué volumen de agua se ha expulsado 4 segundos después de empezar a cerrar las compuertas? En este caso, para hallar el volumen total de agua que ha salido a los 4 segundos, los alumnos tendrán que calcular el área del trapecio: Para finalizar la actividad comprobamos geométricamente que el área bajo la curva de una función afín en el intervalo viene dada como: Si la función es de tipo lineal , entonces: TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 28 En el ejemplo anterior, para la función , la integral en el intervalo , o lo que es lo mismo, el número de personas que oyen el rumor en las dos horas siguientes a iniciarse es igual a . Institucionalización: Sumas de Riemann Sea una función continua y no negativa en ; en general, una forma de calcular el área encerrada por la gráfica de , el eje horizontal y las rectas verticales es:  Dividir el intervalo en subintervalos que, para facilitar cálculos, se toman de la igual longitud , con los puntos  En cada subintervalo se toma un punto y se obtiene la suma de las áreas de los rectángulos de base , y altura : Estas sumas se suelen escribir como: y son conocidas como sumas de Riemann  Se toma como área A, el límite cuando de TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 29 Integral definida Para una función continua en el intervalo , hemos calculado el área en dicho intervalo como: El área, y por lo tanto, el límite del sumatorio, es la integral definida de f de a hasta b, y se representa por . Si existe este límite, decimos que f es integrable en [a, b] Integral definida y área bajo una curva Si es no negativa en el intervalo , la definición de coincide con el área encerrada por la gráfica de , el eje horizontal y las rectas verticales y .  Si en , es el área bajo la curva desde hasta Si es negativa en , entonces la función es positiva en y como , resulta que será el número opuesto al que mide el área encerrada por la curva desde hasta . Es decir:  Si en , es el área entre el eje de abscisas y la curva desde hasta .  Por último, si es positiva o cero en y negativa en , valdrá siendo y las áreas de las regiones indicadas en la figura TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 30 Propiedades de la integral definida En la definición de , se ha supuesto que a < b. Pero ésta sigue teniendo sentido si b < a. En este caso, x cambia de a , es decir, las sumas cambian de signo, por lo que Análogamente a la propiedad 1, si a = b, x = 0, y por tanto Se justifica analíticamente observando que la igualdad se cumple de forma obvia para las sumas de Riemann, y gráficamente  Se justifica analíticamente observando que la igualdad se cumple de forma obvia para las sumas de Riemann, y gráficamente  Se justifica analíticamente observando que la igualdad se cumple de forma obvia para las sumas de Riemann, y gráficamente  TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 31 Se justifica analíticamente observando que la igualdad se cumple de forma obvia para las sumas de Riemann, y gráficamente  Se justifica analíticamente observando que la igualdad se cumple de forma obvia para las sumas de Riemann. En consecuencia de las propiedades 7, 5 y 4, por lo ue es decir, Es consecuencia inmediata de las propiedades 8 y 3 Por la propiedad 8: y por 3: Así, es mayor o igual que el número y que su opuesto. TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 32 Actividad 6: Propiedades de la integral definida Con la ayuda de Geogebra, representa gráficamente las funciones . Comprueba que: a) b) c) d) e) Actividad 7: Problemas de aplicación 1.- Circulandia, una típica ciudad, está muy poblada cerca del centro pero su población decrece cuando nos alejamos de él. En efecto, su densidad de población es – siendo la distancia al centro en km. a) Si la densidad de población en los confines de la ciudad es 0, ¿cuál es el radio de la zona en la que viven? b) Calcula el número total de habitantes de la ciudad. 2.- La densidad de coches ρ(x) (en coches por km) en los primeros 20 km de una autovía de salida de una gran ciudad viene dada por la función siendo la distancia en km al comienzo de la autovía. a) Escribe una suma de Riemann para hallar el número de coches en esos 20 km con cinco intervalos de igual longitud tomando como punto muestra el extremo derecho del intervalo. TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 33 b) Calcula el número de coches en esos 20 km mediante una suma de Riemann con n intervalos de igual longitud tomando como punto muestra el extremo derecho del intervalo. Ayuda: Se verifican las siguientes ecuaciones. c) Calcula el número total de coches en esos 20 km utilizando las propiedades de la integral definida y las expresiones de la integral que ya conoces. Compara este resultado con el obtenido en el apartado anterior. CAMPO 2: CONEXIÓN DE LA INTEGRACIÓN Y LA DERIVACIÓN Hasta aquí, hemos estado calculando integrales definidas, bien por argumentos geométricos o bien calculando límites de sumas de Riemann; procedimiento este último que, como ya hemos, visto puede ser muy engorroso. La búsqueda de una manera sencilla de calcular la integral es lo que llevó a Newton y a Leibniz a establecer las bases de lo que hoy conocemos como Cálculo Infinitesimal. Actividad 8: Función área Vamos a tomar de nuevo el problema que planteamos en la actividad 2: Se dejar caer una piedra desde una azotea de la que no conocemos su altura. Pero hemos cronometrado que la piedra ha tardado 6 segundos en llegar al suelo. Ayuda: , donde es la velocidad inicial que en este caso es igual a 0 m/s y es la aceleración de la gravedad que aproximamos a 10 m/s2. a) Representa la gráfica de la velocidad en función del tiempo. TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 34 b) Calcula la integral definida . ¿Qué representa este valor en el contexto del problema? c) Calcula el espacio recorrido por la piedra cuando han transcurrido 1, 2, 3, 4, 5 segundos. Dibuja los valores sobre la gráfica y trata de hallar la función del espacio recorrido en función del tiempo. Institucionalización: Función área o función integral F(x) Hasta ahora hemos calculado la integral definida de una función f de a hasta b como el área de una región concreta delimitada por la función , el eje horizontal y las rectas y . Si dejamos un punto del intervalo fijo, a, y variamos el valor del otro extremo, b, de manera que pueda tomar cualquier valor de x, tendremos una función que nos dará el valor de la integral definida para cada uno de los intervalos [a, x]. A esta función se le llama función integral o función área y se representa como: TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 35 Actividad 9: Conexión integración y derivación a través de la función área. En esta actividad continuamos con el problema anterior, pero visualizándolo con un applet de Geogebra. Abre el programa de Geogebra de Sada (2007) y redefine la función como . Contesta a las siguientes cuestiones: a) ¿Qué representa el área sombreada en el intervalo [0,6]? ¿Cómo se representa? b) ¿Qué relación hay entre el valor del área y el segmento vertical verde? c) Al mover el punto B se traza una curva. Compara los valores que toma la curva con los obtenidos en la actividad anterior. d) ¿Cómo definirías a la función que dibuja la curva? ¿Cuál es su expresión analítica? e) Derívala y compárala con la función f(x). f) Resume tus conclusiones. – Sobre este mismo applet podemos dibujar cualquier otra función f(x) y su función área F(x); y además obtener la derivada de esta función para comprobar la relación TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 36 entre la derivada de F(x) y f(x). Proponemos visualizar algunas de las funciones elementales que hemos visto hasta ahora, como la función cuadrática o exponencial. – Antes de institucionalizar el teorema fundamental del cálculo se plantearán algunos problemas más para distintas funciones. Actividad 10: Conexión integración-derivación: función de proporcionalidad inversa Considera la función en el intervalo genérico [1, x]. Se pide: a) Dibuja la función f(x) con lápiz y papel. b) Utiliza Geogebra visualizar gráficamente la función área bajo la curva f(x.) c) Calcula la derivada de la función área bajo la curva f(x) y verifica que se obtiene la función de partida. Actividad 11: Conexión integración-derivación: función coseno En un cable ideal, supuesta resistencia nula, se aplica un campo eléctrico en dirección longitudinal de valor Se sabe que el trabajo realizado por el campo eléctrico para mover una carga desde un punto hasta otro punto viene dado por donde es la carga, que esta uniformemente repartida de TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 37 forma constante a lo largo del cable; mientras que el potencial viene expresado por . Se pide: a) ¿Que representa la función área E (x) de la función campo eléctrico? b) Utiliza el programa de Geogebra Sada (2007) con la función f(x) = 1 + cos(x) para visualizar graficamente la función área. c) Calcula la diferencia de potencial entre dos puntos distantes un periodo . Institucionalización: El teorema fundamental del cálculo. Vamos a repasar alguna de las funciones que hemos estudiado y de las cuales ya hemos hallado su función área Además también hemos comprobado que para estas funciones se cumple que: Es decir, que dada una función , la derivada de su función área es dicha función TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 44 Problema 2: (3 puntos) Se considera la función = Dibuja la función y calcula el área total encerrada bajo la curva de la función en el intervalo [-5, 2e]. Criterio de evaluación: - Resolver integrales definidas en las que haya que utilizar la propiedad de aditividad de intervalo y en las que, cuando f(x) es negativa, haya que tomar el valor del área como el opuesto al valor de la integral. - Resolver la integral mediante métodos geométricos en los dos primeros intervalos y mediante la regla de Barrow en el último intervalo. Criterio de calificación: - Calcular el área de los dos primeros intervalos: 1 punto - Calcular el área del tercer intervalo: 1 punto - Aplicar las propiedades de la integral para hallar el área total: 1 punto Problema 3: (1 punto) Se trasplanta un árbol y se observa que su tasa de crecimiento a los x años es de metros/año. Calcula los metros que ha crecido el árbol del segundo al quinto año. Criterio de evaluación: - Resolver, mediante la integral definida y utilizando la regla de Barrow, problemas contextualizados. Criterio de calificación: - Plantear la integral definida: 0,25 puntos - Resolver la integral utilizando la regla de Barrow: 0,75 puntos TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 45 Problema 4: (1 punto) Un resorte elástico situado en un plano horizontal tiene un extremo fijo a una pared. Se tira del extremo libre hasta alargarlo 10 cm. Halla el trabajo (W) que realiza el muelle cuando su extremo libre pasa desde los 10 cm hasta los 5 cm respecto de la posición de equilibrio. La constante elástica del muelle es k = 2000 N/metro. Ayuda: Criterio de evaluación: - Resolver, mediante la integral definida y utilizando la regla de Barrow, problemas relacionados con la Física. Criterio de calificación: - Plantear la integral definida con las unidades correctas: 0,25 puntos - Resolver la integral utilizando la regla de Barrow: 0,75 puntos TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Página | 46 K. SOBRE LA BIBLIOGRAFÍA Y PÁGINAS WEB ALDANA BERMÚDEZ, E. (2011). Comprensión del concepto de integral definida en el marco de la teoría “APOE”. Tesis doctoral. Universidad de Salamanca. ARANDA, C.; CALLEJO, M.L. (2011). Un experimento de enseñanza con applets de geometría dinámica. Investigación en Educación Matemática XV, pp. 247-256. Ciudad Real: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM. AZCÁRATE C., CASADEVALL M., CASELLAS E., BOSCH D. (1996). Cálculo Diferencial e Integral. Educación Matemática en Secundaria Editorial Síntesis, S.A ESCUDERO BAYLÍN, M. (1997). Fermat y Arquímedes en la clase de integrales. Suma, 24, pp. 77-79. LLORENS FUSTER, JOSÉ L. y SANTOJA GÓMEZ, FRANCISCO J. (1997). Una interpretación de las dificultades en el aprendizaje del concepto de integral. Divulgaciones matemáticas, v.5, No. 1/2, pp. 61-76. GUTIERREZ, I.A. (2013). La integral definida. Trabajo Fin de Máster en Profesorado de Educación Secundaria. Universidad de Zaragoza. SADA ALLO, M. Webs Interactivas de Matemáticas http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/derivadas.htm TURÉGANO MORATALLA, P. (1997). El aprendizaje del concepto de integral. Suma, 26, pp. 39-52. TURÉGANO MORATALLA, P. (1998). Del área a la integral. Un estudio en el contexto educativo. Enseñanza de las ciencias, 16 (2), pp. 233-249. ANEXOS TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Anexos Página | 48 ANEXO I: GUIÓN PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN APPLET DE GEOGEBRA A continuación se presenta un guión (Gutiérrez, 2013) que se les proporcionará a los alumnos para la construcción de un applet de Geogebra. El guión que aquí se muestra está adaptado para el desarrollo de la actividad 4 de este trabajo, pero se podrá adaptar fácilmente para cualquier otro tipo de ejercicio, ya que presenta las nociones básicas del manejo de Geogebra que se necesitarán para el estudio de la integral definida.  Abre un nuevo documento Geogebra en el que estén habilitados los ejes de coordenadas. Introduce con el teclado la función . El programa dibuja la gráfica de la función. Para una mejor visualización, con el botón derecho del ratón selecciona una relación Eje X: Eje Y = 1:20.  Introduce con la función “nuevo punto” del menú dos puntos que el programa denotará A y B, y sitúalos en el eje de abscisas, en x = 0 y x = 5. Dichos puntos representan los límites del intervalo donde queremos hallar el área. Puede comprobarse que dichos puntos pueden desplazarse fácilmente con el ratón.  Crea un “deslizador” con la ayuda del menú. Introduce un rango de variación desde 1 a 100, con un salto de 1 unidad y una anchura de 200 (al pinchar en deslizador con el ratón, se abre una ventana donde se pueden introducir fácilmente dichos parámetros).  Podemos situar el deslizador a la derecha de la gráfica de la función, renombrarlo con la letra n y comprobar que pinchando con el ratón podemos variar el parámetro n a cualquier valor entre 0 y 100. Colocamos el deslizador en n = 5.  Introduce con el teclado la orden: SumaInferior[v(t), x(A), x(B) n]. El comando SumaInferior[] está predefinido, el programa dibujará los rectángulos inferiores de amplitud la longitud del intervalo dividido por n, y guardará en una variable el valor numérico de las sumas inferiores que representan las sumas de las áreas de dichos rectángulos. Podemos renombrar la variable y denominarla SumasInf. TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Anexos Página | 49  Introduce con el teclado la orden: SumaSuperior[f(x), x(A), x(B) n]. El comando SumaSuperior[] también está predefinido, el programa dibujará los rectángulos superiores de amplitud la longitud del intervalo dividido por n, y guardará en una variable el valor numérico de las sumas superiores que representan las sumas de las áreas de dichos rectángulos. Podemos renombrar la variable y denominarla SumasSup.  Introduce con el teclado la orden: SumaSuperior[f(x), x(A), x(B) n], SumaInferior[f(x), x(A), x(B), n]  El programa guardará en una variable el valor numérico de la diferencia entre las sumas superiores y las sumas inferiores. Podemos renombrar la variable y denominarla Error.  En el menú podemos activar el apartado vista algebraica y podemos visualizar el valor de todas las variables que aparecen en el programa. Alternativamente, con el botón derecho del ratón podemos ir a “propiedades del ob eto” activar la opción “mostrar nombre y valor” y dichas variables aparecerán escritas junto a la gráfica con su nombre y valor.  Solo una vez llegado al apartado i) de la actividad: Introduce con el teclado la orden: Integral[v(t), x(A), x(B)]. El comando Integral[] está predefinido, el programa coloreara el recinto determinado bajo la curva de la función v(t) y las rectas verticales determinadas por los puntos A y B. TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Anexos Página | 50 ANEXO II: SOLUCIONES PROBLEMAS En este anexo no aparecen las soluciones de todas y cada una de las actividades, sino que se muestran solo aquellos problemas y apartados de mayor complejidad y que consideramos oportuno añadir en este anexo. Actividad 4: Función cuadrática Un avión acelera de 0 a 100m/s (360 km/h) en 5 segundos. Notamos que la variación de la velocidad entre 0 y 100 no es lineal, sino que cada vez la aceleración es mayor y la velocidad aumenta más rápidamente. La velocidad del avión en cada instante viene representada en la siguiente gráfica, dada por la siguiente ecuación: . ¿Qué espacio habrá recorrido el avión en esos 5 segundos? h) Considera una subdivisión en 5n subintervalos de longitud . Calcula el área de los rectángulos superiores e inferiores en función de n. Ayuda: Se verifica la fórmula: Solución: El área de los rectángulos superiores vendrá dada como: El área de los rectángulos inferiores vendrá dada como: TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Anexos Página | 51 Por tanto, i) Toma límites cuando y comprueba que las sumas superiores e inferiores convergen ambas al mismo valor. Este valor es el área bajo la curva de la función, esto es, el área que estamos buscando: Solución TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Anexos Página | 52 Demostración: La suma se puede hallar a partir de la siguiente tabla en donde la última fila representa la suma de las dos columnas externas. En la última fila se puede simplificar y sustituir por , ya que se trata de la suma de los primeros términos de una progresión aritmética . Despejando: Actividad 5: Función exponencial A las nueve de la mañana surge un rumor en el instituto que se difunde a un ritmo de personas/hora. Sabiendo que t representa el número de horas transcurridas desde la aparición del rumor, calcular el número de personas que lo habrán oído a las 11 de la mañana. a) Halla la expresión de la suma de rectángulos medios si subdividimos el intervalo [0,2] en 2n subintervalos de longitud 1/n. Ayuda: La suma de una expresión geométrica de razón r se halla como: TFM: La integral definida en 2º de Bachillerato Anexos Página | 53 Solución: El área de los rectángulos medios será: Por tanto, La expresión entre [] es la suma de 2n primeros términos de una progresión geométrica de razón , con primer término , y último término . Esta suma vale: b) Halla el límite cuando de la suma hallada en el apartado anterior. Interpreta el valor obtenido según el contexto del problema. 0 Actividad 7: Problemas de aplicación 1.- Circulandia, una típica ciudad, está muy poblada cerca del centro pero su población decrece cuando nos alejamos de él. En efecto, su densidad de población es – siendo la distancia al centro en km.