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Abstract
Este Proyecto Final de Carrera se desarrolla en el ámbito del análisis de sistemas dinámicos no lineales y particularmente intenta demostrar la validez de la transformación de la clásica ecuación dinámica con las matrices de masa, amortiguación y rigidez, que utiliza coordenadas espaciales, a la ecuación equivalente en coordenadas modales, que se utiliza habitualmente para desacoplar las ecuaciones dinámicas, y su aplicación a la resolución de problemas por elementos finitos. Esta transformación proviene del Análisis Modal de sistemas dinámicos y su ventaja radica en que la matriz modal es constante en cada configuración del sistema y sólo varía cuando cambia la configuración, por lo que es posible obviar las no linealidades del sistema presentes sobre todo en la matriz de rigidez. Si además consideramos que el Análisis Modal es capaz de simplificar la respuesta de un sistema considerando sólo unas pocas variables, los modos propios y sus frecuencias naturales, y que las más influyentes en la dinámica de los sistemas son los primeros modos propios, la conclusión es que la matriz modal se puede reducir enormemente considerando solamente estos primeros modos propios. Aplicando todas estas modificaciones en un modelo desarrollado en Matlab/Simulink, al final de este trabajo se puede comprobar cómo el cálculo es mucho más veloz con respecto al cálculo de un software comercial de elementos finitos como Abaqus/Explicit y que los errores cometidos son despreciables. La primera parte de este Proyecto Final de Carrera se enfoca en conocer en profundidad la técnica de reducción que estamos aplicando mediante la simulación de dos sistemas de masas distribuidas muy sencillos. Estos ejemplos nos han permitido comprobar por un lado que la evolución dinámica de los sistemas antes y después de la transformación es idéntica, lo cual es fundamental para continuar con el desarrollo, y por otro lado nos ha servido para detectar problemas sobre todo cuando el sistema cambia de una configuración a otra. En las simulaciones por elementos finitos es habitual que los sistemas cambien de configuración, por ejemplo, se consideran nuevas condiciones de contorno, se aplican fuerzas diferentes, los sistemas evolucionan dinámicamente ante estos cambios y hemos considerado importante tratar este aspecto en el modelo desarrollado. En un principio hemos considerado únicamente dos configuraciones o niveles, pero en futurostrabajos el método se desarrollará para considerar tantas configuraciones como sea necesario. La segunda parte se basa en la comparación de las simulaciones en Abaqus/Explicit y del modelo desarrollado en Matlab/Simulink de un impacto de una viga libre – articulada con un soporte cuando la viga desciende a causa de la fuerza gravitatoria. Esta comparación nos ha permitido comprobar la gran utilidad de este método dado que la solución es de gran similitud con la calculada por Abaqus. Dado que el modelo desarrollado considera únicamente el Análisis Modal, ha sido necesario superponer el movimiento como sólido rígido de la viga para compaarlo con Abaqus, por lo que el resultado final ha sido una composición de Análisis Modal con Análisis Dinámico de Sistemas Multicuerpo. Mur Espuña, Alberto; Bonisoli, Elvio
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Proyecto Fin de Carrera Modelación funcional y simulación numérica de sistemas no lineales Autor Alberto Mur Espuña Ingeniería Industrial / Diseño de máquinas y vehículos Director y ponente Elvio Bonisoli / Politécnico de Turín Luis Castejón Herrer / Universidad de Zaragoza Universidad de Zaragoza / Escuela de Ingeniería y Arquitectura 2013 Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es
Agradecimientos Amifamilia,especialmenteamispadres,AlbertoyMariaIsabel,por apoyarmeyayudarmecontinuamenteallegarhastaaquí,yamishermanas,Mónica eIsabel,porservirmecomoejemplodelascosasbienhechas. Alalargalistadeprofesoresquemehaneducadoymehanidoformando comopersonayprofesional.Menciónespecialparaaquellossincuyaayudaéste ProyectoFinaldeCarrerahubiesesidoimposible,midirectorD.ElvioBonisolidel PolitécnicodeTurín,yalaspersonasdesuequipodeinvestigación,D.FrancescoDi MonacoyD.GabrieleMarcuccio,yamiponente,D.LuisCastejónHerrer,porsus correccionesysugerencias. Atodosmisamigos,deHuescayZaragoza,perosobretodoaaquellosquehice duranteelmagníficoañoquedisfruteenTorino,tantoEspañolescomoItalianos. Graciasalos‘Gambiteros’poraquellosmomentosúnicos.
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino MODELACIÓNFUNCIONALYSIMULACIÓN RICADESISTEMASNOLINEALESNUMÉ RESUMEN EsteProyectoFinaldeCarrerasedesarrollaenelámbitodelanálisis de sistemasdinámicosnolinealesyparticularmenteintentademostrarlavalidezde la transformación de la clásica ecuación dinámica con las matrices de masa, amortiguación y rigidez, que utiliza coordenadas espaciales, a la ecuación equivalenteencoordenadasmodales,queseutilizahabitualmenteparadesacoplar las ecuaciones dinámicas, y su aplicación a la resolución de problemas por elementos finitos. Esta transformación proviene del Análisis Modal de sistemas dinámicosysuventajaradicaenquelamatrizmodalesconstante en cada configuracióndelsistemaysólovaríacuandocambialaconfiguración,porloque esposibleobviarlasnolinealidadesdelsistemapresentessobretodoenlamatriz derigidez.SiademásconsideramosqueelAnálisisModalescapazdesimplificarla respuesta de un sistema considerando sólo unas pocas variables,losmodos propiosysusfrecuenciasnaturales,yquelasmásinfluyentesenladinámicadelos sistemassonlosprimerosmodospropios,laconclusiónesquelamatrizmodalse puede reducir enormemente considerando solamente estos primeros modos propios. Aplicando todas estas modificaciones en un modelo desarrollado en Matlab/Simulink,alfinaldeestetrabajosepuedecomprobarcómoelcálculoes mucho másvelozconrespectoalcálculodeunsoftwarecomercialdeelementos finitos comoAbaqus/Explicityqueloserrorescometidossondespreciables. LaprimerapartedeesteProyectoFinaldeCarreraseenfocaenconoceren profundidadlatécnicadereducciónqueestamosaplicandomediantelasimulación de dos sistemas de masas distribuidas muy sencillos. Estos ejemplos nos han permitidocomprobarporunladoquelaevolucióndinámicadelossistemasantes ydespuésdelatransformaciónesidéntica,locualesfundamentalparacontinuar coneldesarrollo,yporotroladonoshaservidoparadetectarproblemassobre todocuandoelsistemacambiadeunaconfiguraciónaotra.Enlassimulaciones porelementosfinitoseshabitualquelossistemascambiendeconfiguración,por ejemplo, se consideran nuevas condiciones de contorno, se aplican fuerzas diferentes,lossistemasevolucionandinámicamenteanteestoscambiosyhemos considerado importante tratar este aspecto en el modelo desarrollado. En un principiohemosconsideradoúnicamentedosconfiguracionesoniveles,peroen futuros trabajoselmétodosedesarrollaráparaconsiderartantasconfiguraciones comos eanecesario. Lasegundapartesebasaenlacomparacióndelassimulacionesen Abaqus/ExplicitydelmodelodesarrolladoenMatlab/Simulinkdeunimpactode unavigalibre–articuladaconunsoportecuandolavigadesciendeacausadela fuerzagravitatoria.Estacomparaciónnoshapermitidocomprobarlagranutilidad de este método dado que la solución es de gran similitud con lacalculadapor Abaqus.DadoqueelmodelodesarrolladoconsideraúnicamenteelAnálisisModal, hasidonecesariosuperponer el movimiento como sólido rígidodelavigapara compa arloconAbaqus,porloqueelresultadofinalhasidounacomposiciónde AnálisisModalconAnálisisDinámicodeSistemasMulticuerpo. r Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales1
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino TABLADECONTENIDOS 1. ..................................... 2. iosgradosdelibertad............................. 6 Introducción.............................................. .................................................................. 7 ............................. 3 Sistemasdemasasdiscretizadasconvar ad .................................... 10 2.1Sistemaconcincogradosdelibert 3. ............................ 12 2.2Sistemaconochogradosdelibertad............................. ............................ 13 Impactodeunavigaarticulada‐libre......................................... opios........ .................. 15 3.1Resoluciónanalíticadelproblemadevalorespr .................. 16 3.2ExtraccióndefrecuenciasnaturalesconAbaqus/Standard ......... lesconLUPOS............................ ConfianzaModal.................. 17 3.3Extraccióndefrecuenciasnatura ................................................ 21 3.4Comparacióndemodospropios:ElCriteriode nconAbaqus/Explicit........................ odalMultinivel................................................ 26 3.5Simulació ........................................................................... 30 3.6SimulaciónsegúnelAnálisisM nes................................... futurosdesarrollos .......................................................................... 33 4.Conclusio ............................................................................................................ 35 5.Aplicacionesy .. ............................................................................................................ 36 Bibliografía ...... efiguras Índiced Índ An icedetablas ............................................................................................................. 38 exos............................................................................................................................ 39 as AnexoI–Matricesdinámicasutilizadasenlasimulacióndemasasdiscretizad convariosgradosdelibertad................................................................................... 40 AnexoII–Evaluacióndinámicadelafuerzadereaccióncuandohaycontacto.. 45 para AnexoIII–Resoluciónanalíticadetalladadelproblemadevalorespropios lavigasinmasaenelextremolibre ........................................................................ 47 AnexoIV–Visualizacióndelosdiezprimerosmodospropiosextraídosen iguracionesparalavigasinmasaenel ........................................... 51 Abaqus/StandardyLuposenambasconf ..... 55 extremolibre.................................................................. ..... 56 AnexoV–ElCriteriodeConfianzaModal.......................................................... AnexoVI–Movimientocomosólidorígidodelaviga...................................... on ............ 58 AnexoVII–Resumengráficodelassimulacionesdeimpactodelavigac masasde100y200gramosrespectivamenteenelextremolibre .......... AnexoVIII–EsquemagráficodelmodelodelAnálisisModalMultinivel desarrolladoenMatlab/Simulink............................................................................ 62 Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales2
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino 1.Introducción ElobjetivodeesteProyectoFinaldeCarreraesdemostrarlavalidezdeun método de resolución lineal de problemas de elementos finitos, incluyendo los problemas de naturaleza no lineales. Esta validez se evaluará en términos de precisión en el resultado y de tiempo de computación necesario.Si,como pensamos,elmétodoesaplicable,elalcancedeesteProyectoFinaldeCarreraserá egraninterésparaeldesarrollocomputacionaldenuevossoftwarederesoluciónd deproblemasdeingenieríaporelementosfinitos. Este estudio se ha desarrollado con la ayuda de diversos miembros del PolitécnicodeTurín.EntreelloscabedestacaralProfesorAsociadoeinvestigador ElvioBonisoliyalosestudiantesdeDoctoradoFrancescoDiMonacoyGabriele Marcuccio.Susinvestigacionessecentranprincipalmenteenelestudiodesistemas dinámicosnolinealesydemostrarqueelmétodoutilizadoenesteProyectoFinal deCarreraesválidosuponeparasugrupodeinvestigaciónadoptarlainiciativaen ldesarrolloyoptimizacióndelmétodoqueacontinuacióndetallaremos parae adaptarloalaresolucióndetodotipodeproblemasporelementosfinitos. DeaquíenadelantenosvamosareferircomoAnálisisModalMultinivelal métodoquevamosaaplicar.Comoelpropionombreindicasirveparaanalizarlas oscilacionesovibracionesdeunoovariospuntosdeunaestructurarespectodesu posicióndeequilibriocuandosevesometidoafuerzasexternas, y la palabra multinivelindicaqueesunmétodoaplicableinclusocuandoelsistemacambiasu onfiguración. Partiendo de la ecuación general de análisis dinámico en forma atricial[1][2]: c m tfxKxCxM Considerandonolinealidadesenformaparamétrica: tfxKxCxM Dadoquelasmatricesdemasa,amortiguaciónyrigidezsondedimensiones nxnyelvectordedesplazamientoesdedimensiónnx1,consideramosunamatriz detransformaciónTdedimensiónnxvquetieneencuentalaaplicación de condicionesdecontorno,unionesrígidasyelementosrígidos: BCsRBERJsRBE RJs TTTTT T BCs T Aplicandodichamatrizdetransformaciónobtenemos: xTTTxTxxTx TT BCsBCs 1 *1 TMTM T BCs CTTC T BCs Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales3
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino TKTK T BCs fTfBCs onlo queseobtienelasiguienteecuacióndinámica,considerandoyala aplicacióndelascondicionesdecontornoespecíficasparacadaproblema: T C BCsBCsBCsBCsBCsBCsBCs fxKxCxM Llegados a este punto procedemos a considerar uno de los puntosmás importantesenesteestudio,queesmanipularlaecuaciónanteriorutilizandola TransformaciónaCoordenadasModales.Estatransformaciónpermitedesacoplar lasecuacionesdinámicaseintroducelaconsideraciónsimultáneadecoordenadas espacialesycoordenadasmodalesatravésdelamatrizmodal: BCsBCsBCsBCsBCsBCsBCsBCsBCs BCsBCs fηΦKηΦCηΦMηΦx ηΦx BCsBCs ηΦx imultiplicamosporlatranspuestadelamatrizmodal: S BCsBCsBCsBCsBCsBCsBCsBCsBCsBCsBCs fΦηΦKΦηΦCΦηΦMΦ Ysidichamatrizlahemosformadoporlosvectorespropiosnormalizados con respecto a la masa, obtenemos la ecuación fundamental del Análisis Modal Multinivel: TTTT BCsBCsrrr diagdiag fΦηηηI )2( Elúltimopasodeesterazonamientoesevaluarlascondicionesinicialesel las nuevas coordenadas modales. Si consideramos la expansión delosvectores propios: T2 ηΦηΦTxTx BCsBCs ,con BCs ΦTΦ Y utilizando una seudo‐inversa, en este caso nos interesa la inversa de mínimoscuadrados[3][4]: ηΦT 0 x Con 0 00 ηΦT x BCs BCs 0 *1*1 0 0 *1*1 0 xTΦη xTΦη BCs BCs TT TTTT 1 *1 , TT 1 *1 BCsBCsBCsBCs ΦΦΦΦ ElanterioreselpasomásimportanteenlaaplicacióndelAnálisisModal Multinivel. Para conseguir mayor rapidez en el cálculo vamos a considerar solamentealgunospocosdelosprimerosmodosdevibración,porloquelamatriz modal no va a ser cuadrada y no podemos aplicar una inversa tradicional. Al aplicarunaseudo‐inversaestamoscometiendounerror,peroqueconsideramos Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales4
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino que va a ser despreciable. De este modo estamos aplicando quizás una de las propiedadesmásimportantesdelAnálisisModal,queessuhabilidadparareducir acomplejidaddeunproblemaalaconsideracióndesólounaspocasvariables,losl modospropiosylasfrecuenciasnaturales. Alintegrarahoraencoordenadasmodalesynoencoordenadasespaciales estamos evitando el problema de integrar en cada paso de simulación grandes matrices que se vuelven más incómodas en el cálculo cuando consideramos no linealidades, especialmente en la matriz de rigidez. Con la Transformación a Coordenadas Modales pasamos el problema a integrar la matriz modal,quees constanteysólocambiacuandopasamosaotraconfiguracióndelsistemayque demás reducimos enormemente al considerar solo los primeros modos de ibraci a v ón. Unavezexplicadoelnuevométodo,quehasidodesarrolladoenelentorno Matlab/Simulink,seprocedeacomprobarsuvalidezyadetectar posibles problemasysussolucionescondosejemplosmuysencillosdesistemasdemasas discretizadas con varios grados de libertad. Se considerará solo dos niveles de configuración y se utilizarán las siguientes técnicas de análisis de señal de vibraci neo s: Análisis temporal. Comprobaremos la solución dada por el Análisis Modal Multinivel con la conseguida por la Integración Directa de las matricesdemasa,amortiguaciónyrigidez. Análisisfrecuencial. Seaplicaráunanálisismediante la Transformada discretadeFourierparacomprobarquelasfrecuenciasdelarespuesta coincidenconlasfrecuenciasnaturalesdelsistema. Análisistemporalyfrecuencialsimultáneamente.Nospermitiráevaluar la evolución de las frecuencias en la respuesta del sistema cuando se cambiadeunaconfiguraciónaotra. Porúltimo,secomparauncasosimple,aunquereal,deimpactodeunaviga articulada – libre en sus extremos. En este caso haremos uso del software comercial de elementos finitos Abaqus para comprobar la solución del Análisis Modal Multinivel frente a la simulación llevada a cabo en Abaqus/Explicit. Analizaremos las frecuencias naturales del sistema mediante el uso de tres técnica dis ferentes: Resoluciónanalíticadelproblemadelosvalorespropios. FrecuenciasnaturalesextraídasdelasimulaciónenAbaqus/Standard. Frecuencias naturales calculadasconelsoftwareLUPOS,desarrollado porelgrupodeinvestigacióndelPolitécnicodeTurín.Estesoftwarees capaz de considerar modelos paramétricos y lo utilizamos en la e a valu cióndelasmatricesmodalesmultinivel. En este caso, utilizaremos también las técnicas de análisis de señal temporal,frecuencialyambassimultáneamente. Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales5
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino 2.Sistemasdemasasdiscretizadasconvariosgradosdelibertad Lossistemasdiscretizadosconmasaspuntualessuponenunasimplificación delossistemascontinuosrealesquenospermiteutilizarlaecuacióndelanálisis dinámicoenformamatricial.Además,esunadelasbasesdelanálisis por elementos finitos, ya que como su nombre indica éste divide el sistema en equeñoselementosdiscretizadoscadaunoconunvalorproporcionaldemasa,p amortiguaciónyrigidez. Elempleodedossistemasdemasasdiscretizadasnossirveparacomprobar a validez del método y para identificar posibles problemas. En concreto, dos onclusion f a n l c es undament les ha sidoobservadasconestassimulaciones: La evolución en el tiempo de las coordenadas espaciales debe ser continua,mientrasquelaevolucióntemporalencoordenadasmodales es necesariamente discontinua en el momento en que se cambia de nivel. Alcambiardenivellasnuevascondicionesdecontornodebenser aplicadasunapasodesimulaciónanterioralcambiodelamatrizmodal, Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales6 esdecir,ambasseñalesnopuedenestarsincronizadas. Sevanaanalizardossistemas,elprimeroconcincogradosdelibertadyel segundo con ocho. Para ambos casos se verificará primero que lasolución temporal de desplazamiento de los diferentes nodos es idéntica utilizando el AnálisisModalMultinivelcomoempleandolaIntegraciónDirectadelasmatrices demasa,amortiguaciónyrigidez.Seguidamente,ysabiendoqueelpasoanterior ha sido concluido con éxito, se procede a simular la evolución temporal de los desplazamientosnodalesmientraselsistemacambiaentredosconfiguraciones.La primera configuración o nivel es el sistema con todos los grados de libertad hábiles, mientras que en la segunda configuración se bloqueará el grado de libertad de unos de los nodos y se observará cómo evoluciona elsistema.En sistemascontanpocosgradosdelibertadelhechodebloquearelmovimientode unosdelosnodospuedesuponerungranefectodisipativosegúnelmomentoenel quesebloqueedichonodo.Porejemplo,enunodeloscasossebloqueaelnodo cuandoéstealcanzaunaposicióndevelocidadnula,esdecir,unaposiciónextrema enlavibracióndedichonodo.Enlaevolucióntemporaldelresto de nodos se esperaqueésteefectonoseamuydisipativoyqueelrestodenodossiganconsu vibraciónconunaamplitudparecidaydecrecienteporefectodelaamortiguación detipoRayleigh.Enotrocasosimularemoscontactoentrelabancadayunodelos nodos cuando éste comienza los desplazamientos negativos respecto de su posicióndeequilibrio,esdecir,exactamenteensuposicióndeequilibrioquees una posición de velocidad máxima. Por ello esperamos que este contacto sea muchomásdisipativoyquelaamplituddevibracióndelrestodenodossevea muyinfluenciadaporestaausenciadeenergía.Hayquedecirqueenestecontacto elnodosepuedemoverensudesplazamientopositivorespectodesuposiciónde equilibrio cuando la dinámica del sistema lo requiere, por lo tanto estamos simulandodosconfiguracionesenlasqueenlaprimeranohaycontactoyenla segundahaycontacto,locuálnosvaaserdegranutilidadparaelúltimoejemplo
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales7 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x 10 -3 Displacement x [m] Time [s] Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x 10 -3 Displacement x [m] Time [s] Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 delimpactodelavigaarticulada–libre.Lasmatricesutilizadasenlassimulaciones sepuedenconsultarenelAnexoI.ElAnexoIIrecogelasecuaciones dinámicas paralaevaluacióndelareacciónenelcontacto. 2.1Sistemaconcincogrado delibertad El sistema considerado se puede apreciar en la figura 1. Como se ve los nodos1y5sonsolidariosalabancada,mientrasqueelrestodenodossepueden desplazar. Para que esto ocurra es necesario o bien aplicar unas condiciones iniciales en desplazamiento o velocidad, o bien aplicar una fuerza externa. En uestrasimulaciónhemosoptadoporaplicarundesplazamientoinicialde1cm.a osnodos2,3y4,dejandolavelocidadinicialylafuerzaexternaenvaloresnulos. s n l grados Figura1–Sistemaconcinco delibertad Las siguientes gráficas muestran la evolución temporal de los desplazamientosdelonodosutilizandoenlaprimeragráficalaIntegraciónDirecta yenlasegundaelAnálisisModalMultinivel: Figura2–ResultadotemporaldelaIntegraciónDirecta(izquierda)vs.Resultadotemporal delAnálisisModalMultinivel(derecha) Seobservaclaramente,comoesperábamos,queambosmétodosdancomo resultadolamismasolucióntemporal,loquenospermitecontinuarconelanálisis. ElsiguientepasoeslasimulacióndelsistemautilizandoelAnálisisModal Multinivelyconsiderandodosconfiguraciones.Enunprimerejemplobloqueamos elnodonúmero4cuandoéstaalcanzaunaposicióndeterminadade velocidad nula,oloqueeslomismo,unadesusposicionesextremasensu movimiento
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales14 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 lam*l[N] val[-] Las raíces de las anteriores ecuaciones características son losvalores propios asociados a cada modo y corresponden con el cruce por cero de los gráficosrepresentadosenlasFiguras11y12.Unavezconocidos los valores propiosdeflexión,elcálculodelasfrecuenciasnaturalesdeflexiónesinmediato aplicandolasiguientefórmula: 4 2 rlA Para calcular los modos propios de torsión es necesario variar el razonamientoyaquesedebeconsiderarlavariacióndelaorientaciónangularen lugardeldesplazamiento.EnelAnexoIIIsepuedeencontrarelmétododecálculo analític IE l r odelasfrecuenciasnaturalesdetorsión. Enelsegundoniveloconfiguracióndelavigaéstasufreunavariaciónenlas condicionesdecontorno,yaquepasaatenerunapoyointermedio.Estecambio suponeunavariaciónenlasecuacionescaracterísticasyporlotantounas frecuenciasnaturalesdiferentescomoesobvio.Acontinuaciónserecogelagráfica e la ecuación característica para los modos propios de flexiónenelplanoXZ, unqueelanálisisdetalladodeestosresultadossepuedeencontrarenelAnexoIII. d a Figura13–Ecuacióncaracterística paralosmodospro iosdeflexiónenel planoXZparala vigaarticulada– apoyada–libre p
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino 3.2ExtraccióndefrecuenciasnaturalesconAbaqus/Standard Abaqus/Standardeselmotordecálculoimplícitopararesolverproblemas deelementosfinitosdisponibleenelpaquetecomercialdeAbaqus.Enestecaso,la herramientautilizadasellamaExtracciónFrecuencialysirvepara obtener las recuencias naturales y los vectores propios de un sistema previamente e arrolladoenCAD.LaFigura14muestraelmodeloutilizadoenAbaqus: f d s Figura14–Modeloutilizadoen Abaqus De las funciones disponibles hemos extraído las 10 primeras frecuencias aturales utilizando el algoritmo Lanczos y los vectores propios han sidon normalizadossegúneldesplazamientomáximounitario. Lavigalibre–articuladayelsoportehansidoelaboradosenelsoftwarede CADSolidworkseimportadosenelformatoParasolid.LosresultadosdelAnálisis ModalenAbaqus/Standarddependenenormementedeladiscretizaciónutilizada, consiguiendo sólo resultados correctos cuando el mallado esta suficientemente definido y los elementos utilizados son los adecuados para una Análisis Modal. iguiendolasrecomendacionesfacilitadasporAbaqus/Standardensubibliografía, adiscretizaciónutilizadaapareceenlasiguientetabla: S l Tabla1–Discretizaciónutilizadaenelmodelodelavigaarticulada–libreen Abaqus/Standard EntornoPropiedadValor #Nodos 4493 #Elementos(3D,C3D20R: Prismarectangularde20nodos, desegundoordeneintegración reducida) 720 Abaqus/Standard #Gradosdelibertad 13479 Lascaracterísticasgeométricasylosmaterialesutilizadosestánrecogidos nlaTablanúmerodos:e Tabla2–Caracterizacióngeométricaydematerialesparaelmodelodelavigaarticulada– libreenAbaqus/Standard EntornoCaracterísticaPropiedadValor L ]ongitud x[mm 300 Profundidady[mm] 30 Geometriadelaviga Alturaz[mm] 3 Densidad [kg m3]/2700 MóduloelásticoE[GPa] 70 Abaqus/ tandardS Materialdelaviga (Aluminio) Co ]eficientedePoi on [‐ss0.30 Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales15
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales16 3.3Extraccióndefrecuen iasnaturalesconLUPOSc LUPOS es el software paramétrico de elementos finitos no comercial desarrollado en el Politécnico de Turín, y que como tal está enconstante desarrollo.Actualmente,lahabilidaddeestesoftwareresideenobtenervaloresde frecuenciasnaturalesprecisosconelusodepocoselementos.Lasiguientefigura muestraelmodeloempleado: Figura15–ModeloutilizadoenLUPOS ComoseobservacomparandolaFigura15conla14,ladiscretizaciónen LUPOS diferentealautilizadaenAbaqus/Standard.Concretamente,lasiguiente tablarecogeladiscretizaciónempleadaenLUPOS: es Tabla3–Discretizaciónutilizadaenelmodelodelavigaarticulada–libreenLUPOS Entorno PropiedadValor #Nodos 31 #Elementos(1D,viga) 30 LUPOS #Gradosdelibertad 186 LageometríaylosmaterialesempleadosenelmodelodeLUPOSaparecen enlasiguientetabla: Tabla4–Caracterizacióngeométricaydematerialesparaelmodelodelavigaarticulada– libreenLUPOS EntornoCaracterísticaPropiedadValor L ]ongitud x[mm 300 Profundidady[mm] 30 Geometriadelaviga Alturaz[mm] 3 Densidad [kg/m3] 2700 MóduloelásticoE[GPa] 69 LUPOS Materialdelaviga (Aluminio) CoeficientedePoisson [‐] 0.33
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino 3.4Comparacióndemodospropios:ElCriteriodeConfianzaModal UnavezdetalladoslostresmétodosdeAnálisisModalprocedemosa ostraryanalizarlosresultadosenlassiguientestablas: m Tabla5–Frecuenciasnaturalesymodospropiosparalavigaarticulada–libre Solución nalítica a LUPOS Abaqus/Standard Modo r l r [rad/s] Freq.[Hz] Freq.[Hz] Er ]r.[% Freq.[Hz] Err.[%] Descripción 1 0 0 0 0 0,00 0 0,00 S ó orígidorylid 2 1,25π 755,57 120,25 119,4 ‐0,71 120,22 ‐0,02 1 re aflexiónxz 3 1,875 1722,49 274,14 272,2 ‐0,71 232,43 ‐15,21 1eflexiónxy ra 4 2,25π 2448,05 389,62 386,8 ‐0,72 389,54 ‐0,02 2 flexiónxz a 5 ‐ 3189,61 507,64 497,4 ‐2,02 509,40 0,35 1eratorsiónx 6 3,25π 5107,65 812,91 807,1 ‐0,71 812,42 ‐0,06 3eraflexiónxz 7 4,25π 8734,39 1390,12 1380 ‐0,73 1387,6 ‐0,18 4 flexiónxz a 8 ‐ 9568,83 1522,93 1493 ‐1,97 1432,4 ‐5,94 2atorsiónx 9 4,694 10795,47 1718,15 1706 ‐0,71 1575,7 ‐8,29 2aflexiónxy 10 5,25π 13328,26 2121,26 2106 ‐0,72 2110,5 ‐0,51 5aflexiónxz Tabla6–Frecuenciasnaturalesymodospropiosparalavigaarticulada–apoyada–libre Soluciónanalítica LUPOS Modo r l r [rad/s] Freq.[Hz] Freq.[Hz] Err.[%] Descripción 1 3,823 716,08 113,97 113,2 ‐0,68 1 re aflexiónxz 2 1,875 1722,49 274,14 272,2 ‐0,71 1eflexiónxy ra 3 6,74 2225,74 354,24 351,7 ‐0,72 2 flexiónxz a 4 ‐ 3189,61 507,64 497,4 ‐2,02 1eratorsiónx 5 8,958 3931,67 625,75 621,2 ‐0,73 3eraflexiónxz 6 12,39 7521,39 1197,07 1188 ‐0,76 4 flexiónxz a 7 ‐ 9568,83 1522,93 1493 ‐1,97 2atorsionx 8 4,694 10795,47 1718,15 1706 ‐0,71 2 lexiónxy af 9 16,11 12715,88 2023,80 2009 ‐0,73 5aflexiónxz 10 ‐ 15948,06 2538,21 2494 ‐1.74 3eratorsiónx Abaqus/Standard Modo Freq.[Hz] E rr.[%] Descripción 1 114,02 0,04 1 re aflexiónxz 2 233,86 ‐14,69 1 flexiónxy era 3 356,84 0,73 2 flexiónxz a 4 630,64 0,78 3eflexiónxz ra 5 1198,1 0,09 4 flexiónxz a 6 1276,8 151,52 1eratorsiónx 7 1491,4 ‐13,20 2aflexiónxy 8 2014,1 ‐0,48 5 lexiónxz af 9 2591,0 70,13 2atorsionx 10 2772,6 9.23 3eratorsiónx LaprimeraconfiguracióndelavigacorrespondeconlosdatosdelaTabla5. Tomandocomovaloresexactoslasfrecuenciasnaturalesanalíticasseobservaque loserroresenLUPOSsonmenoresdel1%paralosmodosdeflexión y aproximadamente del 2% para los modos de torsión. En cambio el modelo de Abaqus/StandardesmásprecisoconlosmodosdeflexiónenelplanoXZysin embargoseobtienenerroresinaceptablesconlosmodosdeflexiónenXYyconlos Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales17
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino modos torsionales. En la Tabla 6 se recogen los resultados de la segunda configuracióndelavigaylosvalorescontinúanconlamismatendencia,LUPOSda resultadosprecisosentodoslosmodospropiosyAbaqus/Standardlosdaenlos modosdeflexiónenelplanoXZ.MientrasloserroresenAbaqus/Standardparalos modosdeflexiónenXYylosmodosdetorsiónsiguenaumentando. Una explicaciónaestehechoesquemientrasenAbaqusestamosutilizandoelementos tridimensionales,esdecir,enelextremoarticuladoestárestringidosumovimiento paratodossusnodos,enLUPOSyenlasoluciónanalíticasuponemoselementos unidimensionales,esdecir,sólorestringimoselmovimientodelnodocentraldela sección.EsteefectonoinfluyeenlaflexióndelavigaenelplanoXZ,perolohace enormementeenlaflexiónenelplanoXYyenlatorsión.Tambiénhayqueañadir queenlasegundaconfiguraciónde lavigaeste efectosevemaximizadoporel hechodequeenlazonadeimpactoocurrelomismo,porloqueesnormalquelos erroresseanmayores.Además,enlasegundaconfiguraciónobtenemosunorden diferenteenlosmodospropiosdebidoaestoserrores.Encualquiercaso,nuestro análisissecentraconcretamenteenlosmodospropiosdevibraciónenelplanoXZ dado que es como esperamos responda la viga después del impactoyconel nálisisprevioestamosconvencidosdequelosvaloresdefrecuenciasnaturalesa 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 Configuration 1 Configuration 2 0 20 40 60 80 100 18 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 Configuration 1 Configuration 2 0 20 40 60 soncorrectosentodoslosmodelos. Encuantoalosmodospropios,hayqueañadirqueenelAnexoIV se encuentranlasvisualizacionesdelosdiezprimerosmodosdevibracióndelaviga articulada–libreenAbaqus/StandardyenLUPOS.Paracomprobarlacorrelación entreéstos,esdecir,cuántounaformamodalsepareceaotra,sevieneutilizando desdelosúltimos30añoselCriteriodeConfianzaModal(eninglésMAC:Modal AssuranceCriterion)[6].Estecriterio,queseexplicaconmayordetenimientoenel AnexoV,comparalosvectorespropiosdelosdistintosmodosypermitedecidirsi losmodospropiossonsimilaresono.Aplicandoestecriterioanuestroejemplode laviga,enlos siguientesgráficosdebarras sevisualizaelCriteriode Confianza Modal comparando el primer nivel de la viga con el segundo paralosvectores propioscalculadosenLUPOSylosextraídosdeAbaqus/Standard(Figura16): 80 Figura16–CriteriodeConfianzaModalparalosmodospropiosdeLUPOSentreambas configuraciones(izquierda)vs.CriteriodeConfianzaModalparalosmodospropiosde Abaqus/Standardentreambasconfiguraciones(derecha) Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino La comparación de los modos propios en LUPOS nos da una perfecta diagonal,esdecir,cadaunodelasformasmodalesdelaprimeraconfiguraciónde lavigaseasemejaenormemente(entodosloscasosmásdeun80%yenalgunos prácticamenteun100%)aunadelasformasmodalesdelasegundaconfiguración. Esteeraunhechoquenoesperábamos,yaqueconelcambiodeconfiguraciónse espera,sobretodoenlosmodospropiosdeflexiónenelplanoXZ,unadivisiónen el Criterio de Confianza Modal, es decir, que uno de los modos propios de la segundaconfiguraciónseasimilarnoaunodelosmodospropiosdelaprimera sinoavarios,repartiéndoseentreelloselcoeficientedeConfianzaModal.Elhecho de que hayamos obtenido una diagonal perfecta sólo se explica diciendoqueel puntodóndehemossupuestoelimpactocoincideexactamenteconelvallequese produceenelprimermododeflexiónenXZdelaviga,coincidenciatotalmente fortuita.Paraeliminaresteefectoesnecesariocambiarladinámicadelsistemao bien desplazando el punto de impacto a otro sitio o bien añadiendo masas puntualesalolargodelaviga.Ennuestrocasohemosdecidido añadir dos diferentes masas puntuales en el extremo libre, la primera de 100 gramosy la segundade200gramos.Antesdeevaluarestenuevoefectohacefaltaranalizar condetenimientolaFigura16derecha,quenospermitevisualizarelCriteriode Confianza Modal para los vectores propios extraídos de Abaqus/Standard. Se observaqueladiagonalpreviayanosemantieneaunquehayciertatendenciaa mantenerla. El hecho de que el orden de los modos propios en lasegunda configuraciónvaríedificultaelanálisisenunprimervistazo,perodeteniéndosese observaqueparalosmodosdeflexiónenXZseproduceelmismoefectoquecon LUPOS,aunodelaconfiguraciónunolecorrespondeotrodelaconfiguracióndos. EnelcasodelosmodosdeflexiónenelplanoXYydetorsiónelanálisisesmás complejo,puestoqueelCriteriodeConfianzaModalmezclaambostiposdemodos ynoseobservaningunarelaciónclara.Dehecho,enelAnexoIVsepuedevercomo estosmodossonmuysimilaresenAbaqus/Standard.Porúltimohayqueañadir queloselementosutilizadosenAbaqus/Standardcarecenderotacionesyquelos modostorsionalessonpuramentederotación,porloqueesunacausamásque probabledequeelCriteriodeConfianzaModalnodebuenosresultadosenestos modos.EnLUPOSencambioloselementosempleadossíquetienenrotacionesya queutilizamosseisgradosdelibertad(tresdesplazamientosytresrotaciones)y losresultadossonmássatisfactorios. Comohabíamosanticipado,modificamosladinámicadelsistemaañadiendo unamasapuntualenelextremolibredelaviga.LaFigura17muestraelCriteriode ConfianzaModalentreconfiguracionesparaLUPOScuandoestamasaesde100 gramos,ylaFigura18lomismocuandolamasaesde200gramos.Elhechode modificarladinámicadelavigahavariadotambiénelordendelosmodospropios, aunque sólo apreciable en el caso de 200 gramos, de modo que enlastablas adyacentesalosgráficosapareceelordencorrecto. Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales19
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales20 246810 2 4 6 8 10 Configuration 1 Configuration 2 0 20 40 60 80 100 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 Configuration 1 Configuration 2 0 20 40 60 80 100 Tabla7 –Frecuenciasnaturalesymodospropiosalcolocar unamasapuntualde100gramosenelextremolibre Figura17–CriteriodeConfianzaModalparalosmodospropiosdeLUPOSentreambas onfiguc racionesconmasapuntualde100gramosenelextremolibre LaFigura17confirmanuestrassospechasporqueenefectoparatodoslos modosdeflexióntantoenelplanoXYcomoenelplanoXZlasformasmodalesde unaconfiguracióncompartenuncoeficientedeConfianzaModalelevadocondos modospropiosdiferentesdelaotraconfiguración.Comomuestraexplicamosel mássignificativo:enelsegundomododeflexiónenelplanoXZ de la segunda configuraciónseobtienencoeficientesdeConfianzaModalparadosmodospropios eflexiónenXZdelaprimeraconfiguración,elprimeroyelsegundo.Alañadiruna asamayoresperamosqueesteefectosemagnifique. d m Tabla8 –Frecuenciasnaturalesymodospropiosalcolocar unamasapuntualde200gramosenelextremolibre F o igura18–CriteriodeConfianzaModalparalosmodospropiosdeLUPOSentreambas nfigu 20 ebrec racionesconmasapuntualde0gramosnelextremoli En efecto se comprueba que, para el caso que estamos analizando, la divisióndelcoeficientedeConfianzaModaltiendeaigualarseentrelosdosmodos propios en los que se divide: Mientras el coeficiente entre elsegundo modo de flexiónenXZdelasegundaconfiguraciónyelprimermododeflexiónenXZdela primeraaumentarápidamente,elcoeficienteentreelmismomododelasegunda Modo Freq. [Hz] Descripción Configuración 1 Freq. [Hz] Descripción Configuración 2 1 0 S ó orígidorylid 52,89 1 r e aflexiónxz 2 81,38 1 re aflexiónxz 105,73 1exy raflexión 3 105,73 1eflexiónxy ra 174,37 2 flexiónxz a 4 310,95 2 flexiónxz a 497,38 1eratorsiónx 5 497,37 1eratorsiónx 547,41 3e aflexiónxz r 6 693,12 3e aflexiónxz r1146,82 4aflexiónxz 7 1228,06 4aflexiónxz 1242,21 2 flexiónxy a 8 1242,21 2 flexiónxy a1493,47 2 torsionx a 9 1493,47 2atorsionx 1915,72 5aflexiónxz 10 1915,86 5aflexiónxz 2045,67 3eratorsiónx Modo Freq. [Hz] Descripción Configuración 1 Freq. [Hz] Descripción Configuración 2 1 0 S ó orígidorylid 38,90 1 eraflexiónxz 2 77,68 1 r e aflexiónxy 77,68 1er xy aflexión 3 79,05 1eflexiónxz ra 169,69 2 flexiónxz a 4 308,37 2 flexiónxz a 497,37 1eratorsiónx 5 497,37 1eratorsiónx 546,31 3 e aflexiónxz r 6 690,46 3e aflexiónxz r1145,98 4axzflexión 7 1219,10 2aflexiónxy 1219,10 2 lexiónxy af 8 1225,37 4 lexiónxz af 1493,46 2atorsionx 9 1493,46 2atorsionx 1527,10 3 atorsiónx er 10 1527,10 3eratorsiónx 1913,10 5aflexiónxz
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino configuraciónyelsegundomododeflexiónenXZdelaprimeraconfiguración disminuyelentamente,aproximándosealvalordelprimercoeficiente.Añadiendo estasmasasesperamosquelasegundaconfiguracióndelavigaarticulada–libre adquiera mayor protagonismo, ya que dada la naturaleza del impacto (no es nstantáneoperodurauncortolapsodetiempo)creemosquelasegunda onfiguraciónapenasseráapreciablesinlasmasaspuntualesenelextremolibre. i c 3.5Simulaciónco Abaqus/Explicitn Abaqus/Expliciteselmotordecálculoenformaexplícitadelosproblemas de elementos finitos disponible en el paquete comercial de Abaqus. Es la herramienta ha utilizar cuando se quiere obtener una simulaciónreal considerando las no linealidades.Elimpactodelavigaarticulada – libre que estamosestudiandosehaanalizadoconestaherramienta.Eltiemposimuladoha sidouncuartodesegundoylosefectosdisipativossehandespreciadoporloque lasimulacióndebeserconservativa,esdecir,lavigadebealcanzarlamismaaltura despuésdelimpactoquelaqueteníaalcomienzodelasimulación.Lociertoesque alfinallasimulaciónhasidoaproximadamenteun90%conservativapordiversos factoresentrelosquecabedestacarquelavigaabsorbealgode energía de deformación después del impacto,queAbaqus/Explicitutilizaalgo de amortiguación en el parámetro ‘BulkViscosity’yenelmomentodel impacto, aunqueambosparámetroshabíansidoanuladosodisminuidosalmáximo,yque napartedeenergíaesdisipadaenladiscretizaciónfinita.Losparámetrosmás elevan e u r tes nlasimulaciónsonlossiguientes: Las propiedades de los materiales,lageometría,lascondiciones de ontornoeinicialesylasfuerzasexternassonidénticasalasimulaciónc llevadaacaboconAbaqus/Standard. Ladiscretizaciónhasidodiferente,principalmenteparaevitarodisminuir lo máximo posible el ‘hourglassing’. Por ello elementos hexaédricos de primerordeneintegraciónreducidahansidoempleados.También,como recomendaciónenlabibliografíadeAbaqus/Explicit,cuatroelementoshan sidoutilizadosalolargodeladimensiónmenordelaviga,queenestecaso essualtura.Porúltimosehavisualizadolagráficaconlosdistintostiposde energíasqueintervienenenlasimulaciónysehaverificadoquelaenergía dedeformaciónartificial,queeslaempleadaparacontrolarel ‘hourglassing’, no sobrepasa el 5% de la energía total. La tabla siguiente resumeladiscretizaciónempleada: Tabla9–DiscretizaciónempleadaenAbaqus/Explicit EntornoPropiedadValor #Nodos 2135 #Elementos(3D,C3D8R: Hexaedroslinealeseintegración reducida) 1440 Abaqus/Explicit #Gradosdelibertad 6405 Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales21
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Elalgoritmodecontactoutilizadohasidodetipo‘HardContact’yla propiedadsehadefinidoparaqueseproduzcauncontactofuerte,yaque nosinteresacompararelresultadoconeldadoporelAnálisisModal Multinivel,yésteúltimohasidodesarrolladoparaevaluaruncontactosin penetraciónentresólidos.Laamortiguaciónenelcontactosefijoacero.La tablasiguienterecogelosparámetrosimportantesdelcontacto: Tabla10–ParámetrosdelcontactoenAbaqus/Explicit CaracterísticaPropiedadValor Formulaciónderestricciónmecánica Méto lty’dodecontacto‘Pena Interacción Formulacióndedeslizamiento Deslizamientofinito Métododeaplicación delarestricción Default Comportamiento endirección normal Relación Presión‐Penetración ‘HardContact’ Permitirlaseparacióndespuésdelcontactoactivado Propiedadde lainteracción Comportamiento endirección tangencial Formulaciónde fricción Sinfricción Unavezrealizadalasimulaciónhemoselegidocuatropuntoscaracterísticos paraanalizarsusvibraciones.Estossonelextremoarticulado,elpuntomediodela viga,elpuntodeimpactoyelextremolibre.Lastécnicasdeseñalempleadasson: primero un análisis temporal de la señal vibracional, segundo un estudio frecuenciamediantelaTransformadaDiscretadeFourier,ytercerounanálisisen tiempoyenfrecuenciasimultáneomediantelafunciónSpectrogramdeMatlab.En eltratamientodelosdatosdesalidasehaelegidounafrecuenciademuestreode 20000Hz,másquesuficienteparaobtenerunaseñaladecuadadelasvibraciones, aquelafrecuenciamásaltacalculadaenelAnálisisModaleraaproximadamentey 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x 10 -3 Vibration Time (seconds) Displacement (meters) Hinged End Medium Point Contact Point Free End de2500Hz. Lasiguientefiguramuestraelanálisistemporal delasvibracionesdedichos cuatropuntos: Figura19–Señaltemporalde lavibracióndelossiguientes puntosdelaviga:extremo articulado,puntomedio,punto deimpactoyextremolibreen Abaqus/Explicit Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales22
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Comoseapreciaelimpactoseproduceentornoalsegundo0.12,ymientras en el punto de contacto la vibración es menor (como es obvio, en el extremo articuladoesnula),enelpuntomedioyenelextremolibreseproducen vibracionesalternativas,estoes,mientraselextremolibretienedesplazamientos respectodesuposicióndeequilibriopositivos,elpuntomediolostienenegativos yviceversa.Tambiénhayquedestacarquetodaslasseñalessecruzanporceroen el mismo instante, por lo que esperamos que la frecuencia fundamentalseala mismaentodasellas. Echandounvistazounofácilmentesepuededarcuentadeunefecto totalmenteinesperadoenlospasospreviosalimpacto,yesquepartiendodela posicióndereposoybajolafuerzadelagravedadlavigayavibrasinnecesidaddel impacto,éstesólohacequeaumentarlaamplituddelavibraciónyquizásexcitar algunas frecuencias superiores. Este comportamiento inesperado se intenta explicarconelsiguienteesquema: Figura20–Esquemadelavibracióndelavigaenlosprimerospasosdelasimulación Estavibraciónnosindicaqueenefectolavigaseencuentradeformadatras elinstanteinicialyquesuspuntosvibranrespectodeestadeformadaqueesla posicióndeequilibrio.LaFigura21,extraídadelasimulaciónenAbaqus/Explicit, demuestra también este efecto. En ella se muestra el vector velocidad lineal en cadaunodelospuntosdelavigaysevecómoestevectoresmáximoenlazona mediadelavigaynoenelextremolibrecomoseríarazonadamente en el movimientocomosólidorígido: Figura21–Vectorvelocidadlinealenlospunt delavigaparalosprimerosinstantesdela simulaciónenAbaqus/Explicit os Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales23
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales30 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x 10 -3 V ibration Time (seconds) Displacement (meters) Free End Simulink Free End Abaqus 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -6 -4 -2 0 2 4 6x 10 -4 Vibration Time (seconds) Displacement (meters) Contact Point Simulink Contact Point Abaqus 4.Conclusiones Losresultadosmuestranunagransimilitudentreambosprocedimientosde cálculoloquedemuestralavalidezdelAnálisisModalMultinivelcomomejorade losactualesprogramasderesoluciónporelementosfinitos.Todohaceindicarque elmétododebeserprobadoconotrosejemplosmáscomplejosyquemerecela penadesarrollarlodadassusincreíblesventajas.AliniciodeesteProyectoFinalde Carrerahablábamosdedosparámetrosfundamentalescomomedidadelavalidez delmétodo:precisiónenelresultadoytiempodecomputaciónnecesario.Ahora somoscapacesdedarcifrasexactasaestosparámetros. Precisión: Entérminosdelanálisistemporal,lasFiguras27,28y29muestran una comparación de la vibración de los tres puntos fundamentales (extremo libre, puntodeimpactoypuntomedio)delavigaparaambosmétodos: Figura27–Comparacióndelanálisis temporaldelavibracióndelextremo libredelavigaenelAnálisisModal MultinivelyenAbaqus/Explicitparala vigasinmasaenelextremolibre Figura28–Comparacióndelanálisis temporaldelavibracióndelpuntode impactodelavigaenelAnálisisModal ultinivelyenAbaqus/Explicitparala igasinmasaenelextremolibre M v
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales31 00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x 10 -3 Vibration Time (seconds) Displacement (meters) Medium Point Simulink Medium Point Abaqus )()( )( 1 *100(%) 1, 2 ii N io io xmínimoxmáximo xx N RNMSE Figura29–Comparacióndelanálisis temporaldelavibracióndelpunto mediodelavigaenelAnálisisModal MultinivelyenAbaqus/Explicitparala vigasinmasaenelextremolibre Aprimeravistayaseaprecianvariosaspectos.Primeroquelasgráficasson realmentemuyparecidasysegundoquelospequeñoserroresquesecometenvan aumentando conforme evoluciona el tiempo, como es evidente a causa de la evolución dinámica de sistemas con condiciones parecidas pero no idénticas. TambiénhayquedecirqueenlasimulaciónconAbaqus/Explicitseproduceun segundoimpactopróximoaltiempo0.2segundos,ydeallílasmayoresamplitudes de la vibración que se observan. En elAnexo VII se recoge estemismoanálisis comparativotantoparalasimulaciónconunamasade100gramosenelextremo librecomoparalade200gramos. ParamedirelerrorcometidoutilizamoselparámetroNRMSE(Normalizad RootMeanSquareError–Raízcuadradadelerrorcuadráticomedionormalizado). LaTabla11muestralosresultados: Tabla11–Raízcuadradadelerrorcuadráticomedionormalizadodelasoluciónen Matlab/SimulinkrespectoalasolucióndeAbaqus/Explicitparalostrespuntos característicosdelaviga CaracterísticadelavigaPuntoconsiderado RN )MSE(% Extremolibre 10.03 Puntodeimpacto 11.57 Sinmasaenelextremolibre Puntomedio 9.40 Extremolibre 3.91 Puntodeimpacto 8.28 Masade100gramosenelextremolibre Puntomedio 4.18 Extremolibre 3.68 Puntodeimpacto 4.15 Masade200gramosenelextremolibre Puntomedio 3.61
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Entérminosfrecuenciales,elanálisissegúnlaTransformadaDiscreta de Fourier ofrece el mismo resultado para ambas señales según los modos considerados.Porotrolado,elanálisistiempo–frecuenciaofreceunaresolución más detallada para la señal proveniente de Abaqus/Explicit, sobre todo en el momentodelimpacto,yaqueconlaseñaldelAnálisisModalMultinivelelimpacto suponelaexcitacióndetodaslasfrecuencias,consecuenciadelerrorqueestamos cometiendoalconsiderarunaseudoinversa. Tiempodecomputaciónnecesario: EnAbaqus/Explicithasidonecesariountiempode4horasparasolucionar elproblemaconservativo,mientrasquelasimulaciónconamortiguacióndetipo Rayleigh no ha sido posible debido a su lentitud, aunque estimamos un tiempo necesariode40días.ConelAnálisisModalMultinivelnohaygrandiferenciaentre eltiemponecesarioparalasimulaciónconservativayparaladisipativa,siendoen amboscasosde10minutos.Elahorroentiempoesmásqueevidenteyaquees24 vecesmásvelozenelcasoconservativoymuchomásenelejemplodisipativo.Bien esciertoqueAbaqus/Explicitempleaunmayornúmerodeelementos,peroestoes necesarioparaobtenerresultadosaceptables.Sinembargo,conelnuevométodoy un menor número de elementos los resultados son muy similares eincluso mejorablesconsiderandomásmodospropios.Comoyahemoscomentado,laclave delAnálisisModalMultinivelresideenconsiderarunamatrizmodalconlospocos einfluyentesmodospropiosdelsistema,porlotantounamatrizmuyreducida,y deestemodoeliminardelcálculocasitodaslasnolinealidadesprovenientesdela integracióndelasmatricesdemasa,rigid zyamortiguación.e Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales32
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino 5.Aplicacionesyfuturosdesarrollos Lasaplicacionesdeestemétodosontantascomoelusoenelmundodela IngenieríadelsoftwaredeElementosFinitos,esdecir,sepuedeaplicaratodotipo deproblemasmecánicos.Particularmente,elinterésdelgrupodeinvestigaciónen lquesehadesarrolladoesteProyectoFinaldeCarreraesaplicarelmétodoados roblemas e p mecánicosamedioplazo: Elprimeroesconsiderarunmodelodemotordecombustióninternade cuatrotiemposyconcuatropistonesmedianteunadiscretización simpleperoconloselementosmásdestacadosqueloforman:pistones, bielas y cigüeñal. Conforme el cigüeñal gira y dependiendo de la posición de los pistones el sistema evoluciona en una infinidadde configuracionesloqueocasionaunagranvariaciónenlosmodos propiosyenlasfrecuenciasnaturales. Elsegundoconsisteenunapiezadegomaquesirveparasoportedeun sistemawirelessquesecolocaenlabandainternadelosneumáticosde los vehículos y cuyo objetivo es recoger información de presión, temperatura,velocidad,etc.,yenviarlaaunreceptorparaeltratamiento delosdatos.Lafuentedeenergíadelsistemaeslavibracióndeunos imanescolocadosdentrodeldispositivoacausadelasdeformaciones provocadasporlasirregularidadesdelterrenoconformeelvehículose desplaza. Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales33
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino El siguiente paso para la aplicación del método a estos problemas es extendereldesarrolloalaconsideracióndetantasconfiguraciones como sea necesario.Paraellolosfuturostrabajossevanacentrarenlaconsideracióndeuna matriz odaltridimensionalcondiferentesnivelesdeformaqueseutilizarásólo aquella m partedelamatrizquerepresentalaconfiguraciónactualdelsistema. Porúltimoyconelobjetivodereducir los errores cometidos con este método,queparaelcasoestudiadohemosvistoquesonaceptablesyque dependerándelproblemaanalizado,seránecesarioevaluarelnúmerodemodos propios necesarios para que el compromiso entre precisión en elresultadoy iempo decomputaciónnecesarioseaelóptimo.t Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales34
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Bibliografía 1]NUNOM.M.MAIA,JÚLIOM.M.SILVA,TheoreticalandExperimentalModal ná Portugal,1997,pág.5056. [ A lisis,InstitutoSuperiorTécnico, [2]A.FASANA,S.MARCHESIELLO,Meccanicadellevibrazioni,CLUT,2006,pág.31 40. [3]MOODYT.CHU,GENEH.GOLUB,InverseEigenvalueProblems:Theory, Algo ations,2005,pág.10 rithmsandApplications,OxfordSciencePublic 8. [4]GENEH.GOLUB,CHARLESF.VANLOAN,MatrixComputations, The Johns HopkinsUniversityPress,ThirdEdition,1996 ,pág.496498. [5]G.GENTA, icsandControl,Springer,2009,pág.280286. VibrationDynam [6]RANDALLJ.ALLEMANG,TheModalAssuranceCriterion–TwentyYearsofUse andAbuse,JournalofSoundandVibration,August,2003. Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales35
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Índicedefiguras Figura1–Sistemaconcincogradosdelibertad.......................................................... 7 7 Figura2–ResultadotemporaldelaIntegraciónDirecta(izquierda)vs.Resultado temporaldelAnálisisModalMultinivel(derecha)....................................................... l ... 8 Figura3–ResultadotemporaldelAnálisisModalMultinivelcuandosebloqueae nodonúmero4enunaposicióndevelocidadnula................................................... Figura4–Sistemaconcincogradosdelibertadycontactoentrelabancadayel nodonúmerocuatro....................................................................................................... 8 alMultinivelsimulandoelcontacto 9 Figura5–ResultadotemporaldelAnálisisMod 0 entreelnodonúmero4ylabancada............................................................................ Figura6–Sistemaconochogradosdelibertad......................................................... 1 0 Figura7–ResultadotemporaldelaIntegraciónDirecta(izquierda)vs.Resultado temporaldelAnálisisModalMultinivel(derecha)..................................................... 1 el .. 11 Figura8–ResultadotemporaldelAnálisisModalMultinivelcuandosebloquea nodonúmero5enunaposicióndevelocidadnula.................................................. yel ........ 11 Figura9–Sistemaconochogradosdelibertadycontactoentrelabancada nodonúmerocinco ............................................................................................... 1 Figura10–ResultadotemporaldelAnálisisModalMultinivelsimulandoel contactoentreelnodonúmero5ylabancada........................................................... 1 3 Figura11–Ecuacióncaracterísticaparalosmodospropiosdeflexiónenelplano XZparalavigaarticulada–libre ................................................................................. 1 3 Figura12–Ecuacióncaracterísticaparalosmodospropiosdeflexiónenelplano XYparalavigaarticulada–libre ................................................................................. 1 losmodospropiosdeflexiónenelplano re............................................................... 14 Figura13–Ecuacióncaracterísticapara ib 15 XZparalavigaarticulada–apoyada–l Figura14–ModeloutilizadoenAbaqus..................................................................... Figura15–ModeloutilizadoenLUPOS...................................................................... 16 Figura16–CriteriodeConfianzaModalparalosmodospropiosdeLUPOSentre s 18 ambasconfiguraciones(izquierda)vs.CriteriodeConfianzaModalparalosmodo propiosdeAbaqus/Standardentreambasconfiguraciones(derecha)................... 20 Figura17–CriteriodeConfianzaModalparalosmodospropiosdeLUPOSentre ambasconfiguracionesconmasapuntualde100gramosenelextremolibre....... re .... 20 Figura18–CriteriodeConfianzaModalparalosmodospropiosdeLUPOSent ambasconfiguracionesconmasapuntualde200gramosenelextremolibre... Figura19–Señaltemporaldelavibracióndelossiguientespuntosdelaviga: ......... 22 extremoarticulado,puntomedio,puntodeimpactoyextremolibreen Abaqus/Explicit.................................................................................................... ..... 23 Figura20–Esquemadelavibracióndelavigaenlosprimerospasosdela simulación................................................................................................................. Figura21–Vectorvelocidadlinealenlospuntosdelavigaparalosprimeros instantesdelasimulaciónenAbaqus/Explicit .......................................................... 23 4 Figura22–Análisisfrecuencialdelavibracióndelossiguientespuntosdelaviga: puntomedio,puntodeimpactoyextremolibreenAbaqus/Explicit...................... 2 Figura23–Análisisentiempoyfrecuenciadelavibracióndelextremolibredela vigaenAbaqus/ExplicitycomparaciónconlosmodospropiosdeflexiónenXZ analíticosdelaprimeraconfiguración(blanco)ydelasegundaconfiguración (magenta) ...................................................................................................................... 25 Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales36
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Figura24–Señaltemporaldelavibracióndelossiguientespuntosdelaviga: extremoarticulado,puntomedio,puntodeimpactoyextremolibreenelAnálisis ModalMultinivel ........................................................................................................... 27 Figura25–Análisisfrecuencialdelavibracióndelossiguientespuntosdelaviga: puntomedio,puntodeimpactoyextremolibreenAnálisisModalMultinivel....... 28 Figura26–Análisisentiempoyfrecuenciadelavibracióndelextremolibredela vigaenAnálisisModalMultinivelycomparaciónconlosmodospropiosdeflexión enXZanalíticos ............................................................................................................. 29 Figura27–Comparacióndelanálisistemporaldelavibracióndelextremolibrede asalavigaenelAnálisisModalMultinivelyenAbaqus/Explicitparalavigasinm enelextremolibre........................................................................................................ 30 Figura28–Comparacióndelanálisistemporaldelavibracióndelpuntode impactodelavigaenelAnálisisModalMultinivelyenAbaqus/Explicitparalaviga sinmasaenelextremolibre ........................................................................................ 30 Figura29–Comparacióndelanálisistemporaldelavibracióndelpuntomediode 1 lavigaenelAnálisisModalMultinivelyenAbaqus/Explicitparalavigasinmasa enelextremolibre........................................................................................................ 3 Figura30–Señaltemporaldelavibracióndelossiguientespuntosdelavigacon 8 unamasade100gramosenelextremolibre:extremoarticulado,puntomedio, puntodeimpactoyextremolibreenAbaqus/Explicit.............................................. 5 Figura31–Señaltemporaldelavibracióndelossiguientespuntosdelavigacon unamasa de100gramosenelextremolibre:extremoarticulado,puntomedio, puntodeimpactoyextremolibreenelAnálisisModalMultinivel.......................... 58 Figura 32 –Comparacióndelanálisistemporaldelavibracióndelextremolibrede lavigaenelAnálisisModalMultinivelyenAbaqus/Explicitparalavigacon100 gramosenelextremolibre .......................................................................................... 59 Figura 33 –Comparacióndelanálisistemporaldelavibracióndelpuntodeimpacto delaviga 9 enelAnálisisModalMultinivelyenAbaqus/Explicitparalavigacon100 gramosenelextremolibre .......................................................................................... 5 Figura 34 –Comparacióndelanálisistemporaldelavibracióndelpuntomediode lavigaenelAnálisisModalMultinivelyenAbaqus/Explicitparalavigacon100 gramosenelextremolibre .......................................................................................... 59 Figura 35 –Señaltemporaldelavibracióndelossiguientespuntosdelavigacon unamasade200gramosenelextremolibre:extremoarticulado,puntomedio, puntodeimpactoyextremolibreenAbaqus/Explicit.............................................. 60 Figura 36 –Señaltemporaldelavibracióndelossiguientespuntosdelavigacon unamasa de200gramosenelextremolibre:extremoarticulado,puntomedio, puntodeimpactoyextremolibreenAbaqus/Explicit.............................................. 60 Figura 37–Comparacióndelanálisistemporaldelavibracióndelextremolibrede lavigaenelAnálisisModalMultinivelyenAbaqus/Explicitparalavigacon200 gramosenelextremolibre .......................................................................................... 61 Figura 38–Comparacióndelanálisistemporaldelavibracióndelpuntodeimpacto delaviga 1 enelAnálisisModalMultinivelyenAbaqus/Explicitparalavigacon200 gramosenelextremolibre .......................................................................................... 6 Figura 39 –Comparacióndelanálisistemporaldelavibracióndelpuntomediode avigaenelAnálisisModalMultinivelyenAbaqus/Explicitparalavigacon200 ramosenelextremolibre .......................................................................................... 61 l Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales37 g
AlbertoMurEspuñaEINA–UniversidaddeZaragoza/PolitecnicodiTorino Índicedetablas .. 15 Tabla1–Discretizaciónutilizadaenelmodelodelavigaarticulada–libreen Abaqus/Standard........................................................................................................ .... 15 Tabla2–Caracterizacióngeométricaydematerialesparaelmodelodelaviga articulada–libreenAbaqus/Standard................................................................... .. 16 Tabla3–Discretizaciónutilizadaenelmodelodelavigaarticulada–libreen LUPOS........................................................................................................................... Tabla4–Caracterizacióngeométricaydematerialesparaelmodelodelaviga articulada–libreenLUPOS.......................................................................................... 16 Tabla5–Frecuenciasnaturalesymodospropiosparalavigaarticulada–libre... 17 a Tabla6–Frecuenciasnaturalesymodospropiosparalavigaarticulada–apoyad –libre ............................................................................................................................. 17 Tabla7–Frecuenciasnaturalesymodospropiosalcolocarunamasapuntualde 100gramosenelextremolibre................................................................................... 20 locarunamasapuntualde .......................................... 20 Tabla8–Frecuenciasnaturalesymodospropiosalco 200gramosenelextremolibre......................................... Tabla9–DiscretizaciónempleadaenAbaqus/Explicit ............................................ 21 Tabla10–ParámetrosdelcontactoenAbaqus/Explicit .......................................... 22 Tabla11–Raízcuadradadelerrorcuadráticomedionormalizadodelasoluciónen Matlab/SimulinkrespectoalasolucióndeAbaqus/Explicitparalostrespuntos característicosdelaviga .............................................................................................. 31 Modelaciónfuncionalysimulaciónnuméricadesistemasnolineales38