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Trabajo Fin de Máster en Sistemas Mecánicos ANÁLISIS VIBRATORIO EN ESTRUCTURAS LIGERAS SOMETIDAS A EXCITACIONES ARMÓNICAS Autor Carlos Alegre Terrado Director Javier Óscar Abad Blasco Convocatoria Diciembre 2013 Universidad de Zaragoza / Escuela de Ingeniería y Arquitectura 3 Análisis Vibratorio en Estructuras Ligeras sometidas a Excitaciones Armónicas. (Resumen) El presente trabajo Fin de Máster se desarrolla en el ámbito del análisis de vibraciones en sistemas con comportamiento no lineal. En concreto se analiza y estudia la respuesta en estructuras de pequeño espesor de aplicación en el ámbito automovilístico, naval y aeronáutico. Así pues, este trabajo consiste en el análisis de la variación de la rigidez de una estructura ligera sometida a cargas armónicas de amplitud variable, con el fin de caracterizar su no linealidad. El trabajo se ha desarrollado siguiendo una serie de fases: - Revisión bibliográfica y estado del arte. - Definición del problema (geometría, cargas, material). - Análisis estático no lineal con grandes deformaciones. - Análisis modal. - Planteamiento de un modelo analítico con MATLAB. - Análisis dinámico no lineal. - Análisis en el dominio frecuencial. - Validación. El objetivo principal de este Trabajo Fin de Máster es analizar el comportamiento de este tipo de estructuras frente a solicitaciones armónicas con el fin de aplicar los resultados a análisis de estructuras similares empleados en diversos campos de la ingeniería. Estableciendo para ello un procedimiento de caracterización que permita su implementación en modelos simplificados para su análisis, ya que el cálculo del modelo completo, frente a una solicitación dinámica, con comportamiento no lineal supone un alto coste computacional. 4 Agradecimientos El primer agradecimiento es para Javier Abad Blasco por haberme brindado la oportunidad de realizar este Trabajo Fin de Máster, estar siempre disponible para solventarme todas aquellas dudas surgidas durante la realización del trabajo y por haberme transmitido multitud de conocimientos que seguro me seguirán ayudando en el futuro. También querría agradecer al resto de profesores, tanto del máster en sistemas mecánicos como de la carrera, por ayudarme a formarme en esta difícil profesión del ingeniero. Y por supuesto, a mis padres, a mi hermana, a mi familia y a todos mis amigos por su comprensión, apoyo, consejos, experiencia y ayuda en los momentos difíciles porque siempre han estado ahí. 5 ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 6 1.1. Objetivo y alcance del Trabajo Fin de Máster ..................................................... 7 1.2. Historia de las vibraciones ................................................................................... 7 1.3. Definición y conceptos básicos ............................................................................ 9 1.4. Clasificación de las vibraciones ......................................................................... 12 1.5. Programas empleados ....................................................................................... 13 2. ESTADO DEL ARTE ........................................................................................................ 14 2.1. Introducción ...................................................................................................... 14 2.2. Comportamiento geométricamente no lineal en estructuras delgadas ........... 14 2.3. Dificultades encontradas en el análisis no lineal de estructuras delgadas ....... 15 2.4. Nuevos materiales ............................................................................................. 16 2.5. Estudios experimentales ................................................................................... 17 2.6. Conclusiones ...................................................................................................... 17 3. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ........................................................................................ 19 4. ANÁLISIS Y RESULTADOS ............................................................................................. 21 4.1. Análisis estático no lineal .................................................................................. 21 4.2. Análisis modal .................................................................................................... 23 4.3. Modelo analítico con MATLAB .......................................................................... 27 4.3.1. Análisis en el dominio temporal ................................................................ 28 4.3.2. Análisis en el dominio frecuencial ............................................................. 29 4.4. Análisis numérico dinámico transitorio no lineal .............................................. 30 5. VALIDACIÓN ................................................................................................................. 33 6. CONCLUSIONES ............................................................................................................ 40 7. MEJORAS Y TRABAJOS FUTUROS ................................................................................. 41 8. BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 42 ANEXOS ............................................................................................................................ 44 Anexo A: Análisis Estático No Lineal ......................................................................... 45 Anexo B: Análisis Modal ........................................................................................... 46 B.1. Formas Modales ........................................................................................... 46 B.2. Gráficas Modo-Frecuencia ............................................................................ 66 B.3. Relación Fuerza-Frecuencia del Modo 1 ...................................................... 69 Anexo C: Análisis Temporal MATLAB ....................................................................... 70 Anexo D: Análisis Frecuencial MATLAB .................................................................... 87 Anexo E: Análisis Dinámico No Lineal ABAQUS ........................................................ 92 6 1.-Introducción. En diversos campos de la ingeniería como el de la automoción, aeronáutico y aeroespacial entre otros se están utilizando estructuras ligeras sometidas a diferentes excitaciones armónicas, cuyo comportamiento no queda definido mediante los análisis tradicionales aplicados a estructuras con comportamiento lineal. El uso de estructuras ligeras viene propiciado por el incesante objetivo de conseguir estructuras poco pesadas y lo suficientemente resistentes para las cargas a las que van a estar sometidas. Para ello se utilizan materiales con poca densidad tratados por distintos métodos que consiguen aumentar su rigidez. En el mundo de la ingeniería es importante conocer cómo va a responder un sistema mecánico al estar sometido a una serie de cargas externas para así poder realizar un diseño adecuado de dicho sistema. Las vibraciones son un aspecto a tener muy en cuenta ya que pueden provocar la rotura de ciertos elementos y por lo tanto hay que ser muy cuidadosos para conseguir un diseño en el que se minimice este fenómeno. Resulta ser que un sistema vibratorio puede ser representado por un modelo matemático que incluya los parámetros del sistema, las condiciones iniciales y el tipo de excitación, entre otras cosas. Este modelo permite la formulación de criterios importantes para su análisis y diseño y son representados por ecuaciones diferenciales que pueden clasificarse como [1]: a) Modelo lineal y no lineal. Representado por ecuaciones diferenciales lineales o no lineales, respectivamente. b) Modelo no forzado y forzado. Representado por una ecuación diferencial homogénea y no homogénea, respectivamente. c) Modelo con y sin amortiguamiento. Representado por una ecuación diferencial en donde interviene el término que representa la pérdida de energía o no, respectivamente. d) Modelo de 1 grado de libertad o de varios grados de libertad. Representado por una ecuación diferencial o un conjunto de ecuaciones diferenciales, respectivamente. Para conocer el comportamiento de estas estructuras ligeras se van a realizar distintos análisis, entre los que destacan los siguientes: - Análisis estático no lineal con grandes deformaciones. - Análisis modal. 7 - Análisis dinámico no lineal en el dominio temporal. - Análisis en el dominio frecuencial. Cada uno de ellos aportará distinta información que utilizaremos a lo largo del trabajo para llevar a cabo el análisis planteado en este TFM. De este modo, gracias al primero de ellos, se conocerá la constante de rigidez y el desplazamiento que se produce en el voladizo de la estructura que se va a analizar. En el análisis modal se visualizarán las formas modales de vibración a lo largo del tiempo dependiendo de la fuerza aplicada en el extremo de la estructura y se calcularán las frecuencias naturales. Se comprobará que éstos varían según la fuerza aplicada debido a la no linealidad del modelo. Se verán las distintas variables de desplazamiento, velocidad y aceleración respecto al tiempo mediante un modelo en MATLAB que resolverá el sistema equivalente a la estructura ligera y su forma de vibrar. Mediante la Transformada de Fourier se hará el análisis frecuencial. Finalmente, en ABAQUS, se analizará dinámicamente el modelo de una forma sencilla para comparar con los modelos anteriormente mostrados y realizar, de esta manera, la validación del modelo. 1.1. Objetivo y alcance del Trabajo Fin de Máster. En el presente Trabajo Fin de Máster se pretende analizar el comportamiento de estructuras ligeras frente a solicitaciones armónicas con el fin de aplicar los resultados a análisis de estructuras similares empleadas en diversos campos de la ingeniería. Para ello se establecerá un procedimiento de caracterización que permita su implementación en modelos simplificados para su análisis, ya que el cálculo del modelo completo, frente a una solicitación dinámica, con comportamiento no lineal, supone un alto coste computacional. Así pues, el trabajo propuesto se desarrolla en el ámbito del análisis de vibraciones de sistemas con comportamiento no lineal, en concreto se analizará y estudiará la respuesta en estructuras de pequeño espesor de aplicación en diversos ámbitos como se verá posteriormente. 1.2. Historia de las Vibraciones. El origen de la ciencia de las vibraciones mecánicas es difícil de establecer. No hay una sola persona que apadrine la ciencia de las vibraciones, ya que a lo largo de la historia grandes científicos realizaron importantes aportaciones haciendo que hoy en día el fenómeno de las vibraciones sea toda una ciencia. 8 A continuación se realiza un pequeño recorrido de algunos personajes que hicieron aportaciones importantes sobre el fenómeno de las vibraciones. Antes de Cristo, dos personajes célebres como Pitágoras y Aristóteles ya hacían aportaciones a la ciencia de las vibraciones. El primero de ellos, mediante un experimento realizado con unas agujas del mismo espesor y misma tensión, pero distinta longitud pudo concluir que las notas dependían de la frecuencia de vibración, lo calculó y concluyó que la música no era más que una relación matemática de las vibraciones medidas según intervalos. Por su parte, Aristóteles trabajó con las leyes del movimiento, escribió el primer escrito relacionado con la acústica On Acustic e introdujo el principio del trabajo virtual. Más cercano en el tiempo se encuentra Galileo Galilei, el cual encontró la relación existente entre la longitud de cuerda de un péndulo y su frecuencia de oscilación, así como la relación entre la tensión, longitud y frecuencia de vibración de las cuerdas. A través de un experimento basado en una piedra atada a una cuerda averiguó que el tiempo de oscilación dependía de la longitud de la cuerda. Posteriormente fue Isaac Newton el que se implicó en este campo. Tiene un papel importante en el análisis de sistemas y en la determinación de frecuencias de oscilación. De la misma época es Robert Hooke, reconocido por sus investigaciones en el campo de la elasticidad. Ya en el siglo XVIII, Bernoulli estudió la forma de vibrar de algunos cuerpos usando el principio de superposición de armónicos. Junto con su amigo Euler trataron problemas de pequeñas oscilaciones en cuerdas y vigas. A finales de este mismo siglo y comienzos del XIX, una de las sorprendentes aportaciones del trabajo de Fourier fue que muchas de las funciones más conocidas podían expresarse en series de senos y cosenos, de tal modo que esta es una aportación de las más importantes e interesantes en el ámbito de las vibraciones mecánicas ya que en base al algoritmo de la serie de Fourier trabajan los modernos analizadores de vibraciones [1]. En la era moderna se han realizado importantes aportaciones matemáticas que han ampliado considerablemente el área de investigación del campo de las vibraciones. Por ejemplo, los métodos de Rayleigh que sirven para determinar las frecuencias de resonancia de algunos elementos basándose en ecuaciones de energía, las variables de estado que nos permiten resolver y analizar problemas basados en ecuaciones diferenciales no lineales, el elemento finito que consiste en discretizar cualquier elemento para posteriormente modelar y analizar su comportamiento como pudiera ser los modos de vibrar y ecuaciones estadísticas que facilitan el estudio de vibraciones aleatorias. Todo esto combinando con los avances tecnológicos en computadores, analizadores de vibraciones, etc... 1.3. Definición y Conceptos Básicos Una vibración mecánica es la oscilación repetida de un punto material o de un cuerpo rígido en torno a su vibración puede hacerse en el dominio del tiempo o de la frecuencia. En el primero la variable independiente es el tiempo y en el segundo la frecuencia. Ambos dominios están relacionados p Se dice que un cuerpo vibra cuando experimen modo que sus puntos oscilen sincrónicamen equilibrio, sin que el campo cambie de lugar. Figura Las vibraciones pueden producirse por efecto del propio funcionamiento de una máquina o equipo. En toda oscilación vibratoria, en general, se producen los siguientes tres fenómenos energéticos: - Almacenamiento de energía potencial en l - Almacenamiento de energía cinética en las masas e inercias. - Pérdida gradual de energía en los elementos disipativos. Figura 1. La amplitud desde el punto de movimiento puede tener una masa desde una posición neutral. la amplitud del desplazamiento, velocidad o aceleración de la señal de vibración. Se mide en unidades de longitud en el sistema internaciona 9 Conceptos Básicos . Una vibración mecánica es la oscilación repetida de un punto material o de un cuerpo rígido en torno a su posición de equilibrio. El análisis de las señales de vibración puede hacerse en el dominio del tiempo o de la frecuencia. En el primero la variable independiente es el tiempo y en el segundo la frecuencia. Ambos dominios están relacionados p or la transfo rmada de Fourier Se dice que un cuerpo vibra cuando experimen ta cambios alternativos, de tal modo que sus puntos oscilen sincrónicamen te en torno a sus posiciones de equilibrio, sin que el campo cambie de lugar. Figura 1.3.1. Representación de una vi bración armónica. Las vibraciones pueden producirse por efecto del propio funcionamiento de una máquina o equipo. En toda oscilación vibratoria, en general, se producen los siguientes tres fenómenos energéticos: Almacenamiento de energía potencial en l os elementos elásticos. Almacenamiento de energía cinética en las masas e inercias. Pérdida gradual de energía en los elementos disipativos. 1. 3. 2. Representación de la energía sin elemento disipativo. desde el punto de vista d e las vibraciones, es cuá movimiento puede tener una masa desde una posición neutral. la amplitud del desplazamiento, velocidad o aceleración de la señal de vibración. Se mide en unidades de longitud en el sistema internaciona l. Una vibración mecánica es la oscilación repetida de un punto material o de El análisis de las señales de vibración puede hacerse en el dominio del tiempo o de la frecuencia. En el primero la variable independiente es el tiempo y en el segundo la frecuencia. rmada de Fourier . ta cambios alternativos, de tal te en torno a sus posiciones de bración armónica. Las vibraciones pueden producirse por efecto del propio funcionamiento de una máquina o equipo. En toda oscilación vibratoria, en general, se producen los os elementos elásticos. Almacenamiento de energía cinética en las masas e inercias. 2. Representación de la energía sin elemento disipativo. e las vibraciones, es cuá nta cantidad de Se puede medir la amplitud del desplazamiento, velocidad o aceleración de la señal de vibración. 16 - La inercia. - Condiciones de contorno. Actualmente, con los estudios realizados hasta el momento, solamente es considerada la geometría como no lineal, combinado en algunas ocasiones con otros efectos que complican el cálculo. El efecto no lineal es introducido en la relación tensión-desplazamiento. Una dificultad más en problemas de vibraciones no lineales geométricamente aparece en la definición de los modos normales, los cuales se hacen difíciles de interpretar en el caso no lineal debido a que el tiempo y las variables espaciales no son independientes en la mayoría de los problemas de vibración no lineal. Lo cierto es que el concepto de forma modal no lineal no está claro y se aceptó a nivel universal su equivalente lineal. Sin embargo para muchos de los artículos referentes a este tema del que se está tratando, es muy útil para la comprensión cualitativa del comportamiento no lineal, y se espera que sean de un importante papel para desarrollar la teoría de análisis modal no lineal. Hay muy pocos estudios experimentales dedicados a la vibración no lineal de superficies delgadas. También, pocos trabajos experimentales plasmados en literatura corresponden a características especiales geométricas, condiciones de contorno y amplitudes de vibración. Así pues, esto todavía es insuficiente para clarificar en mayor medida el sorprendente comportamiento no lineal de placas delgadas. 2.4. Nuevos materiales. La línea que se está siguiendo actualmente en este campo de los nuevos materiales se rige principalmente por varios factores de los que destacan el peso (densidad), la resistencia y el precio al cual se consiguen esos materiales. Respecto a la densidad, en ámbitos como la industria aeroespacial, aeronáutica, naval o automovilística, se intentan conseguir materiales poco pesados para reducir cargas en otros elementos del conjunto. Actualmente se están utilizando materiales de baja densidad expuestos a tratamientos térmicos, por ejemplo, para que su resistencia aumente considerablemente, de tal forma que sean capaces de aguantar a las fuerzas externas a las que van a ser sometidos. Los componentes fabricados tienen un precio y con él se debe jugar también. Posiblemente un material sea de muy baja densidad y muy resistente, pero para conseguirlo se han podido utilizar muchos tratamientos que hacen que su precio sea inviable con respecto a otros materiales más baratos, pero con peores propiedades. Actualmente, en las industrias anteriormente mencionadas se trabaja duramente en conseguir este tipo de materiales. Los aluminios tratados térmicamente son los más utilizados en estos tiempos. 17 2.5. Estudios experimentales. No se pueden desarrollar modelos no lineales a no ser que sean realizados a través de los resultados de las investigaciones experimentales. Dichas investigaciones deberían jugar un papel importante a priori y a posteriori del trabajo teórico. Los datos experimentales dirigen las suposiciones básicas e indican la forma de las soluciones esperadas antes de comenzar la realización del modelo. Posteriormente, en una nueva etapa, estos experimentos nos permiten validar los resultados numéricos obtenidos a través del modelo, así como nos indican la gama de validez y el grado de exactitud de cada tipo de solución. Se cree que las primeras investigaciones sobre los efectos de la no linealidad geométrica sobre las vibraciones en estructuras ligeras fueron realizadas por Evensen [15]. Más adelante, otros investigadores, con diferentes tipos de experimentos llegaron a conclusiones similares. Por ejemplo Olson [16] concluyó que las amplitudes de grandes vibraciones exponen una no linealidad leve que va suavizando. Este resultado experimental es usado con frecuencia por los investigadores para validar sus modelos [13]. 2.6. Conclusiones Finalmente, se pueden sacar varias conclusiones respecto a este tema, de las que pueden destacar las siguientes: - Aunque hay muchas publicaciones que traten sobre la no linealidad de tipo geométrico, pocos documentos han sido encontrados sobre la no linealidad de tipo material o la combinación de ambas no linealidades. - El número de referencias relatando investigaciones experimentales sobre este tema es demasiado bajo. Se necesita de una revisión continua para clarificar mucho más el comportamiento no lineal de estructuras de este tipo. - La mayor parte de los estudios sobre las vibraciones no lineales en estructuras delgadas no dan ninguna indicación de la forma física de los modos de vibración en amplitudes grandes. - Se puede observar que la gran mayoría de los trabajos restringen sus estudios a la amplitud, la relación de frecuencia y la estabilidad. Sin embargo, las distribuciones de tensión sobre la superficie de la estructura no son analizadas. Estos efectos no lineales tienen una gran importancia en la ingeniería de diseño y muy significante en comparación con los casos de linealidad. - En muchas aplicaciones se utilizan refuerzos en estructuras delgadas, sin embargo, aunque los estudios referentes a vibraciones lineales en 18 estructuras ligeras reforzadas ha sido extenso, los estudios del mismo tipo de estructuras pero referenciados a vibraciones no lineales es muy escaso. Todas estas conclusiones finales vienen a confirmar la multitud de problemas y complicaciones de las vibraciones no lineales en estructuras ligeras, así como la poca investigación y el poco trabajo que se ha realizado hasta la fecha. 19 3.- Definición del Problema. El Trabajo Fin de Máster analiza la variación de la rigidez de una estructura ligera de poco espesor sometida a una carga armónica de amplitud variable en un extremo de ella con el otro extremo empotrado, con el fin de caracterizar su no linealidad. Esta estructura se va a modelizar como un sistema masa-muelle-amortiguador, con un solo grado de libertad. Figura 3.1. Sistema masa-resorte-amortiguador. El material con el que se ha trabajado es un Al 7075 T6. Es un material de baja densidad tratado térmicamente para aumentar su dureza, resistencia y elasticidad. Las propiedades del material son las siguientes: 122800 !/ 6 7  ) 0.33 :ó  <71.7>10 ? @/ * Para ello se ha utilizado una estructura de dimensiones (en mm) como la del plano siguiente: Con la sección rectangular de la estructura se calcula su momento de inercia: ABC 6 12 50>3 6 12 112,5  F 20 Las dimensiones de la sección de la estructura se han tomado teniendo como ejemplo una placa fabricada de este material. La longitud de la estructura es una medida para la cual nuestras fuerzas van a hacer que el comportamiento de ésta sea de no linealidad. Para ello se calculó una longitud de estructura de la siguiente forma: 2GH 6 3<A Condición de no linealidad: 2I H 10 Igualando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene: H3>71700 @  * >112,5 F 10>10 @ 491,92 LM á H500  La masa total que tiene la estructura viene determinada por la densidad y las dimensiones que se le han dado a ésta. 2800!  6 O0,5O0,05O0,0030,21 ! Uno de los extremos de la placa, como anteriormente se ha mencionado, estará empotrado, es decir, todos sus movimientos estarán restringidos. Mientras que en el otro extremo se aplicará la fuerza armónica de ecuación: GG # OPO La amplitud (G # ) corresponderá al módulo de la fuerza que vamos a aplicar, mientras que la frecuencia de excitación (Ω) variará entre los 0 y los 30 Hz. El tiempo (t) que se va a dejar que vibre la estructura serán 20 segundos en todos los casos. El último parámetro que falta de mencionar es ξ, el factor de amortiguamiento del modo que trabajaremos, el cual será 0,5%. Tras determinar las dimensiones del modelo se procederá, mediante distintos análisis y distintos programas de cálculo, a analizar la estructura para poder validar el modelo que acontece. Se compararán resultados obtenidos en dos programas de cálculo como son ABAQUS y MATLAB en el dominio temporal y en el dominio frecuencial para el primer modo de vibración. Además, mediante el análisis modal se podrán ver las distintas formas modales dependiendo de la fuerza implementada en el extremo. 21 4.- Análisis y Resultados. A continuación se va a proceder a explicar la forma en la que se han realizado los distintos análisis uno a uno, y ver los distintos resultados obtenidos en ellos. 4.1. Análisis Estático No Lineal. El análisis estático no lineal se ha realizado en el programa ABAQUS/CAE. La placa se ha modelizado según un modelo en 3D deformable con elementos Shell, dándoles a estos, posteriormente, su debido espesor. Par ello se ha dibujado un rectángulo de dimensiones 0,5 m x 0,05 m mediante las opciones que tiene el programa en sus barras de herramientas. Figura 4.1.1. Geometría de la placa. Posteriormente se han introducido las propiedades del material elástico (densidad, módulo de elasticidad y coeficiente e Poisson) El siguiente paso ha sido la construcción de una sección a la cual se le han asignado los elementos shell con el espesor mencionado, así como el material creado con anterioridad que tiene las propiedades de nuestro Al 7075 T6. Una vez realizados los primeros pasos, se ha pasado a introducir las condiciones de contorno en el step inicial. De este modo se han restringido los movimientos en uno de los extremos. En este step no se ha aplicado ninguna fuerza, ya que ésta será aplicada en el siguiente step. Luego se ha procedido a crear el nuevo step, concretamente el estático general: Figura 4.1.2. Creación de un step estático. 22 En este momento se indica que el periodo durante el que se va a aplicar este cálculo estático va a ser de 1 segundo, ya que la fuerza se aplica instantáneamente y para que calcule rápidamente el programa. También se debe seleccionar la opción de no linealidades geométricas ya que es un análisis no lineal. A continuación se aplica la fuerza en el extremo. Para cada caso habrá que aplicar la nueva carga, es decir, para 10 N habrá que hacer un cálculo, y para 20 N deberemos de cambiar la carga. Así sucesivamente hasta los 10 casos que se han analizado. Luego, se malla la geometría. Cuantos más elementos tengamos en el mallado, más exacta será la solución. En este caso, al realizar los cálculos en la versión estudiantil del ABAQUS, éste sólo deja realizar cálculo con un máximo de 1000 nodos. Se ha procedido a tener el mayor número de elementos posibles, y con ellos se ha realizado el cálculo. Finalmente se crea un trabajo y se lanza el cálculo. Tras haber lanzado el cálculo, el propio programa crea una serie de archivos con distintas extensiones entre los que cabe destacar el ODB y el STA. El ODB es un archivo que se puede abrir con ABAQUS VIEWER y en él se muestran los resultados. Por otra parte, el archivo de extensión STA nos informa como va transcurriendo el cálculo y nos indica si éste ha sido completado correctamente (ha convergido) o por el contrario ha habido algún tipo de problema y no ha convergido. Tras haber realizado todos estos pasos, los resultados obtenidos en el extremo donde se aplica la carga se muestran en la siguiente tabla: F(N) K(N/m)no lineal δ(m) no lineal 10 198.0590216 0.05049 20 204.3318349 0.09788 30 213.8275125 0.1403 40 226.6288952 0.1765 50 241.1963338 0.2073 60 257.4002574 0.2331 70 275.2654345 0.2543 80 293.040293 0.273 90 311.8503119 0.2886 100 331.3452618 0.3018 Tabla 4.1.1. Resultados del análisis estático no lineal. De esta forma podemos sacar la relación que hay entre la constante de rigidez y el desplazamiento que la fuerza genera en el extremo del voladizo de la estructura. 23 Gráfica 4.1.1. Relación rigidez-desplazamiento. Mediante la Tabla 4.1.1., en una hoja Excel, se crean una serie de gráficas iguales a la anterior con aproximaciones mediante la línea de tendencia, las cuales pueden observarse en el Anexo A.1. De entre todas ellas, la que mejor se aproxima es aquella que está elevada a la cuarta potencia. Gráfica 4.1.2. Aproximación de la relación rigidez-desplazamiento. De este modo podemos finalizar este análisis diciendo, que la constante de rigidez del muelle dependerá del desplazamiento obtenido. Conforme va aumentando el desplazamiento, la estructura tendrá una mayor rigidez. 4.2. Análisis Modal. El objetivo de este análisis es observar el cambio de las formas modales según la carga que se aplique en el extremo y la variación de la frecuencia a la que dichas formas modales suceden. 0 50 100 150 200 250 300 350 0 0.1 0.2 0.3 0.4 K(N/m) ɗ ɗɗ ɗ(m) y = 30872x413790x3+ 3463.6x2208.74x + 201.4 R² = 0.9999 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0.1 0.2 0.3 K(N/m) ɗ ɗɗ ɗ(m) Aproximación a la Cuarta Potencia 24 El modelo geométrico empleado en ABAQUS es idéntico al utilizado en el análisis estático no lineal. Este análisis es continuación del propio análisis estático no lineal, ya que se quieren visualizar las formas modales obtenidas para cada carga. Así pues, se crea el nuevo step, en este caso será: Figura 4.2.1. Creación de un step modal. De este modo, no hay que introducir ningún dato para realizar el análisis, simplemente el número de modos que queremos visualizar. Se lanza el cálculo como anteriormente se ha realizado en el caso anterior y se visualizan los resultados. El trabajo realizado consta de 10 modos para las 10 cargas aplicadas de 10 N a 100 N. En el Anexo B.1. y sus diferentes apartados se pueden observar las distintos modos de cada carga aplicada, así como las frecuencias de cada uno de ellos. Si nos fijamos en el primer modo de todas las cargas aplicadas, observamos que tiene la misma forma, por el contrario, las demás formas modales (tanto a flexión como a torsión), varían su forma conforme aumentamos la carga aplicada. En las tablas que se adjuntan en cada apartado del Anexo B.1. se pueden ver las distintas masas efectivas que se mueven en cada eje para cada modo. El estudio se centrará a partir de este momento en el modo 1 de todas las cargas, ya que es el único que no varía su forma y su forma movilizada es la mayor. Así pues, la Tabla 4.2.1. nos muestra las frecuencias del modo 1 para cada carga aplicada y su relación con la fuerza: FUERZA (N) FRECUENCIA (Hz) FRECUENCIA (rad/s) 10 9.969 62.635 20 10.202 64.101 30 10.548 66.275 40 10.965 68.895 50 11.416 71.729 60 11.885 74.676 70 12.345 77.566 80 12.797 80.406 90 13.249 83.246 100 13.667 85.872 Tabla 4.2.1. Frecuencias del modo 1 según la carga aplicada. 25 Gráfica 4.2.1. Relación Fuerza aplicada-Frecuencia del modo 1. Para seguir adelante en el análisis de nuestro modelo, habrá que tener en cuenta la siguiente relación: ! * O Esta ecuación nos indica que la constante de rigidez va a depender de la masa efectiva (en nuestro caso en el eje Z) y de la frecuencia. MODO 1 F(N) δ(m) K (N/m) Masa Efectiva (kg) 10 0.05049 4.99E+02 1.27E-01 20 0.09788 5.09E+02 1.24E-01 30 0.1403 5.23E+02 1.19E-01 40 0.1765 5.39E+02 1.14E-01 50 0.2073 5.54E+02 1.08E-01 60 0.2331 5.69E+02 1.02E-01 70 0.2543 5.82E+02 9.67E-02 80 0.273 5.93E+02 9.17E-02 90 0.2886 6.04E+02 8.72E-02 100 0.3018 6.12E+02 8.30E-02 Tabla 4.2.2. Resultados del modo 1 según la carga aplicada. Ante esta nueva situación se genera una nueva relación entre la constante de rigidez y el desplazamiento no lineal teniendo en cuenta la masa efectiva y la frecuencia de cada carga aplicada: y = -2E-05x3+ 0.0034x2+ 0.0755x + 61.466 R² = 0.9999 60.0 65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0 0 20 40 60 80 100 120 Frecuencia (rad/s) Fuerza (N) MODO 1 32 Una vez introducida la fuerza, ésta se aplicará mediante la creación de una carga dependiente de la amplitud generada. Tal y como muestra la Figura 4.4.4. Figura 4.4.4. Aplicación de la fuerza. Finalizados todos los pasos que se deben dar para generar el análisis que se está realizando, se lanza el cálculo como se ha hecho en análisis anteriores. El coste computacional de este modelo es mucho mayor a los realizados hasta el momento. Los resultados obtenidos a través de este análisis pueden observarse en el Anexo D. Si observamos las gráficas temporales del desplazamiento observamos que la amplitud va en aumento conforme se aplica mayor carga en el extremo. La forma gráfica es muy parecida en las cargas de 0.1 N a 2 N, pero a partir de este valor la forma gráfica cambia debido a la aparición de la no linealidad. También observamos que cuando se llega a la no linealidad, aparece una segunda fase en la gráfica en la cual vuelve a aumentar la amplitud. Al igual que en el desplazamiento, en la velocidad también se aumenta la amplitud conforme aumentamos la carga, y aparece el mismo fenómeno, en la segunda fase, en las cargas de valor alto. El fenómeno que se produce en la segunda fase o parte de la gráfica será analizado en la validación del modelo que se muestra en el siguiente apartado. 33 5.- Validación. La validación de los modelos que se han presentado en este Trabajo Fin de Máster consiste en valorar las diferencias que existen entre el funcionamiento del modelo en MATLAB con el modelo de ABAQUS. Para realizar la validación del análisis en el dominio temporal se van a superponer las gráficas que ambos programas nos muestran en el programa EXCEL (solo permite hacer gráficos con un máximo de 32.000 puntos). Para ello se han pasado los datos de los tiempos, desplazamientos y velocidades de ambos programas a una hoja EXCEL. Para simplificar un poco la cantidad de imágenes se va a reproducir la validación para tres cargas significativas (0.3 N, 1.5 N y 20 N) de tal forma que puedan verse las diferencias más notables en el desplazamiento y en la velocidad. En primer lugar, para las cargas de pequeño valor (0.3 N y 1.5 N), se puede decir que los resultados que se producen en ambos programas son prácticamente idénticos, con unas pequeñas diferencias derivadas de la deficiente definición del amortiguamiento en el programa ABAQUS, por ello sus amplitudes son mayores que en el caso de MATLAB. Esta conclusión se puede observar gráficamente en las gráficas (Gráfica 5.1., Gráfica 5.2., Gráfica 5.3. y Gráfica 5.4.) de a continuación. Gráfica 5.1. Comparativa del desplazamiento en el dominio temporal con carga de 0.3 N. El porcentaje de error cometido en este caso de desplazamiento será: '(  'V'WXM '(  :'H'VO1000,0071 0,0061O100116,4L16,4 % 34 Gráfica 5.2. Comparativa de la velocidad en el dominio temporal con carga de 0.3 N. El porcentaje de error cometido en este caso de velocidad será: '(  'V'WXM '(  :'H'VO1000,420 0,380O100110,5L10,5 % Gráfica 5.3. Comparativa del desplazamiento en el dominio temporal con carga de 1.5 N. El porcentaje de error cometido en este caso de desplazamiento será: '(  'V'WXM '(  :'H'VO1000,0345 0,0325O100106,1L6,1 % 35 Gráfica 5.4. Comparativa de la velocidad en el dominio temporal con carga de 1.5 N. El porcentaje de error cometido en este caso de velocidad será: '(  'V'WXM '(  :'H'VO1002,150 1,825O100117,8L17,8 % Las gráficas correspondientes a la carga de 20 N son difíciles de comparar debido a que empiezan a aparecer diferentes formas modales para cada modelo. Gráfica 5.5. Comparativa del desplazamiento en el dominio temporal con carga de 20 N. 36 Gráfica 5.6. Comparativa de la velocidad en el dominio temporal con carga de 20 N. Respecto al análisis frecuencial, en primer lugar observamos en la Figura 5.1. la velocidad respecto al tiempo en el programa MESCOPE de los dos análisis (ABAQUS y MATLAB respectivamente). Estas gráficas corresponden a unas fuerzas aplicadas que son 1 N, 1.5 N, 2 N, 5 N, 10 N y 20 N de arriba a abajo como se muestran. Aquí también se puede observar lo que se ha comentado al final del análisis dinámico transitorio no lineal (la diferencia entre la forma de las gráficas con poca carga y con carga alta). Figura 5.1. Velocidades en el dominio temporal en el programa MESCOPE. 37 A través de las herramientas que tiene el programa MESCOPE y de las velocidades anteriormente vistas en la Figura 5.1., se hallan las Transformadas de Fourier para cada una de ellas, tal y como se muestra en la Figura 5.2. Figura 5.2. Transformada de Fourier de la velocidad en el programa MESCOPE. Se observan cambios en las frecuencias conforme aumentamos las cargas. Esto es debido a la diferencia en las formas modales. Para los puntos donde el tiempo es de 3,25 segundos, 9,8 segundos y 19,2 segundos encontramos picos de frecuencia, que si los analizamos en la animación de ABAQUS, podemos ver que corresponden a deformadas de vibración diferentes como se muestra a continuación en las figuras. Figura 5.3. Deformada de la geometría en vibración para una carga de 1,5 N en el tiempo 3,25 segundos. 38 En la Figura 5.4. se muestra la deformada de la vibración para una carga de 1,5 N en el instante 9,8 segundos, la cual no varía respecto al instante de 3,25 segundos (Figura 5.3.). Se produce en este punto la mayor frecuencia debido a que es donde mayor velocidad y menor amplitud tiene la respuesta. Figura 5.4. Deformada de la geometría en vibración para una carga de 1,5 N en el tiempo 9,8 segundos. Para el instante 19,2 segundos se puede observar en la animación de ABAQUS que la deformada comienza a cambiar (Figura 5.5.), por eso aparece un pequeño barrido de frecuencias en la Transformada de Fourier. Figura 5.5. Deformada de la geometría en vibración para una carga de 1,5 N en el tiempo 19,2 segundos. Referente a la carga de 20 N, podemos observar que las formas modales han cambiado respecto a la que se veía para la carga de 1,5 N, de ahí los cambios producidos en las frecuencias de la Transformada de Fourier. 39 Figura 5.6. Deformada de la geometría en vibración para una carga de 20 N en el tiempo 3,25 segundos. Figura 5.7. Deformada de la geometría en vibración para una carga de 20 N en el tiempo 9,8 segundos. Figura 5.8. Deformada de la geometría en vibración para una carga de 20 N en el tiempo 19,2 segundos. 40 6.- Conclusiones. La realización del Trabajo Fin de Máster respecto al análisis vibratorio de estructuras ligeras sometidas a excitaciones armónicas ha llevado a la obtención de una serie de conclusiones como las que se indican en este apartado. Se ha establecido un procedimiento para modelizar el comportamiento dinámico no lineal en una placa de pequeño espesor mediante la reducción a un sistema de un grado de libertad. El comportamiento no lineal del sistema para el primer modo de vibración, que ha sido empleado para la construcción del modelo simplificado dado que es el que mayor masa moviliza, presenta las siguientes particularidades: - Aumento de la frecuencia con la amplitud de la carga. - Disminución de la masa movilizada del primer modo de vibración con la amplitud de la carga. - De las dos anteriores se deduce el aumento de la rigidez con la amplitud de carga. - Teniendo todo lo anterior en cuenta se constata que el empleo del amortiguamiento de Rayleigh en el modelo numérico no es el más adecuado. - Los resultados obtenidos con un grado de libertad presentan un comportamiento similar a los obtenidos con el modelo numérico para niveles de carga que generan comportamientos no lineales de pequeña magnitud, presentando mayor discrepancia para niveles de carga que generan efectos no lineales de mayor amplitud. - Finalmente, del análisis numérico se constata que para niveles de carga que generan lo linealidades de gran magnitud su comportamiento se aleja de la respuesta asociada al primer modo de vibración. 41 7.- Mejoras y trabajos futuros. El trabajo realizado aborda un tema muy poco investigado hasta la fecha como muy bien se recoge en el estado del arte de este documento. Por ello, sería interesante profundizar en aspectos sobre la no linealidad. Hay múltiples opciones de investigación para un futuro próximo en relación con este tema. 1. FASE EXPERIMENTAL: Entre esas opciones destacaría la realización de una fase experimental desarrollando un sistema sin contacto para no alterar la dinámica de la estructura debido a su bajo peso como por ejemplo sistemas piezoeléctricos, magnéticos, etc. En este caso se podría utilizar un vibrómetro láser para medir y, de este modo, ajustar al máximo los resultados obtenidos. 2. AUMENTO DE LA COMPLEJIDAD DEL MODELO: El trabajo desarrollado en este Trabajo Fin de Máster ha consistido en un modelo analítico de un sólo grado de libertad, por lo que sería muy interesante aumentar la complejidad de este modelo analítico aumentando el número de grados de libertad, incrementando de esta manera la dificultad, pero, por el contrario, ajustándose más a la realidad. 3. AJUSTE DEL AMORTIGUAMIENTO: Como se ha explicado cuando se ha hablado del análisis numérico dinámico transitorio no lineal, el amortiguamiento en el programa ABAQUS da problemas por lo que una mejora podría dirigirse en este sentido, en el ajuste de la definición del amortiguamiento en el análisis dinámico del mencionado programa. 48 B.1.2. Fuerza 20 N. MODO 1 MODO 2 MODO 3 MODO 4 MODO 5 MODO 6 49 MODO 7 MODO 8 MODO 9 MODO 10 MASA EFECTIVA MODO FRECUENCIA (ciclos/tiempo) FRECUENCIA (rad/tiempo) X Y Z 1 10.202 64.101 4.76E-03 3.34E-25 1.24E-01 2 61.657 387.402 7.23E-04 5.01E-24 4.20E-02 3 86.455 543.213 1.93E-26 1.00E-01 5.18E-24 4 172.350 1082.907 2.01E-03 1.30E-24 1.48E-02 5 258.310 1623.010 3.57E-26 2.45E-02 3.74E-25 6 339.900 2135.655 1.16E-03 1.55E-25 7.42E-03 7 564.260 3545.350 9.65E-04 1.55E-24 4.47E-03 8 645.760 4057.430 2.22E-25 1.73E-02 7.56E-25 9 846.750 5320.287 7.43E-04 8.02E-24 2.98E-03 10 980.730 6162.108 4.14E-24 4.24E-03 1.27E-23 TOTAL 1.04E-02 0.14646 0.1955 50 B.1.3. Fuerza 30 N. MODO 1 MODO 2 MODO 3 MODO 4 MODO 5 MODO 6 51 MODO 7 MODO 8 MODO 9 MODO 10 MASA EFECTIVA MODO FRECUENCIA (ciclos/tiempo) FRECUENCIA (rad/tiempo) X Y Z 1 10.548 66.275 9.83E-03 1.19E-23 1.19E-01 2 61.378 385.649 1.36E-03 1.46E-22 4.47E-02 3 67.731 425.566 5.72E-24 1.04E-01 2.06E-23 4 171.050 1074.739 3.85E-03 3.02E-26 1.60E-02 5 267.390 1680.061 1.02E-26 2.12E-02 7.94E-25 6 338.720 2128.241 2.21E-03 1.29E-25 7.82E-03 7 562.960 3537.182 1.81E-03 9.60E-25 4.68E-03 8 644.660 4050.518 8.10E-26 2.31E-02 3.70E-25 9 845.590 5312.999 1.38E-03 1.13E-22 3.09E-03 10 1,073.300 6743.743 3.18E-23 6.64E-03 5.12E-22 TOTAL 2.04E-02 0.15477 0.1953 52 B.1.4. Fuerza 40 N. MODO 1 MODO 2 MODO 3 MODO 4 MODO 5 MODO 6 53 MODO 7 MODO 8 MODO 9 MODO 10 MASA EFECTIVA MODO FRECUENCIA (ciclos/tiempo) FRECUENCIA (rad/tiempo) X Y Z 1 10.965 68.895 1.57E-02 1.27E-23 1.14E-01 2 56.784 356.784 8.48E-24 0.10587 6.29E-22 3 61.091 383.846 1.95E-03 1.04E-21 4.77E-02 4 169.630 1065.817 5.65E-03 8.95E-25 1.74E-02 5 268.050 1684.208 9.00E-27 2.03E-02 1.00E-27 6 337.420 2120.072 3.22E-03 2.35E-27 8.29E-03 7 561.550 3528.323 2.61E-03 2.60E-25 4.91E-03 8 624.950 3926.677 2.77E-26 2.44E-02 1.07E-25 9 844.360 5305.270 1.97E-03 1.22E-22 3.22E-03 10 1,088.900 6841.760 4.55E-22 1.07E-02 1.59E-23 TOTAL 3.11E-02 0.1612 0.19507 54 B.1.5. Fuerza 50 N. MODO 1 MODO 2 MODO 3 MODO 4 MODO 5 MODO 6 55 MODO 7 MODO 8 MODO 9 MODO 10 MASA EFECTIVA MODO FRECUENCIA (ciclos/tiempo) FRECUENCIA (rad/tiempo) X Y Z 1 11.416 71.729 2.19E-02 2.52E-23 1.08E-01 2 49.972 313.983 2.03E-23 0.10725 2.65E-23 3 60.833 382.225 2.40E-03 2.15E-22 5.10E-02 4 168.260 1057.209 7.17E-03 1.10E-26 1.89E-02 5 265.360 1667.306 1.18E-29 2.04E-02 1.83E-25 6 336.140 2112.030 4.07E-03 1.47E-25 8.76E-03 7 560.180 3519.715 3.28E-03 2.01E-25 5.14E-03 8 604.190 3796.238 2.45E-26 2.44E-02 1.66E-25 9 843.180 5297.856 2.45E-03 1.25E-22 3.34E-03 10 1,090.200 6849.929 9.08E-21 1.02E-02 3.60E-21 TOTAL 4.12E-02 0.16211 0.19483 56 B.1.6. Fuerza 60 N. MODO 1 MODO 2 MODO 3 MODO 4 MODO 5 MODO 6 57 MODO 7 MODO 8 MODO 9 MODO 10 MASA EFECTIVA MODO FRECUENCIA (ciclos/tiempo) FRECUENCIA (rad/tiempo) X Y Z 1 11.885 74.676 2.79E-02 1.68E-22 1.02E-01 2 45.504 285.910 2.49E-23 0.10828 3.48E-22 3 60.637 380.994 2.69E-03 6.27E-23 5.42E-02 4 167.030 1049.480 8.35E-03 8.34E-25 2.03E-02 5 261.480 1642.927 3.04E-26 2.08E-02 3.99E-26 6 334.970 2104.679 4.75E-03 4.40E-25 9.23E-03 7 558.920 3511.798 3.79E-03 1.94E-25 5.37E-03 8 586.360 3684.209 7.89E-31 2.39E-02 1.48E-27 9 842.090 5291.008 2.82E-03 5.52E-23 3.46E-03 10 1,086.600 6827.309 4.35E-21 9.60E-03 2.08E-21 TOTAL 5.03E-02 0.1626 0.19461 64 B.1.10. Fuerza 100 N. MODO 1 MODO 2 MODO 3 MODO 4 MODO 5 MODO 6 65 MODO 7 MODO 8 MODO 9 MODO 10 MASA EFECTIVA MODO FRECUENCIA (ciclos/tiempo) FRECUENCIA (rad/tiempo) X Y Z 1 13.667 85.872 4.85E-02 9.17E-24 8.30E-02 2 37.429 235.173 8.27E-25 0.11099 7.97E-23 3 60.418 379.617 2.73E-03 6.74E-23 6.48E-02 4 163.600 1027.929 1.05E-02 1.16E-24 2.52E-02 5 246.110 1546.355 1.30E-27 2.29E-02 7.41E-25 6 331.390 2082.185 6.17E-03 7.21E-27 1.08E-02 7 541.580 3402.847 6.17E-24 2.17E-02 6.71E-24 8 555.070 3487.608 4.84E-03 2.66E-23 6.13E-03 9 838.680 5269.582 3.56E-03 7.92E-23 3.87E-03 10 1,062.100 6673.371 6.74E-22 8.56E-03 8.74E-21 TOTAL 7.64E-02 0.16423 0.19382 B.2. Gráficas ModoFrecuencia. 66 Frecuencia. 67 68 B.3. Relación FuerzaFrecuenci FUERZA (N) FRECUENCIA (ciclos/tiempo) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y = 2E07x 60.0 65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0 0 Frecuencia (rad/s) 69 Frecuenci a del MODO 1. FRECUENCIA (ciclos/tiempo) FRECUENCIA (rad/tiempo) 9.969 62.635 10.202 64.101 10.548 66.275 10.965 68.895 11.416 71.729 11.885 74.676 12.345 77.566 12.797 80.406 13.249 83.246 13.667 85.872 07x 46E-05x3+ 0.0064x20.0052x + 62.096 R² = 1 20 40 60 80 100 Fuerza (N) MODO 1 FRECUENCIA (rad/tiempo) 120 70 ANEXO C: Análisis Temporal MATLAB. C.1. Código de MATLAB implementado. clear all close all %Parámetros N=2^16; %Constante n=[0:N-1]; %Número de puntos a calcular t_final=20; %Tiempo Final t=t_final/N*n; %Como incrementa el tiempo %Calculamos la ecuación de segundo orden [t,y]=ode45(@solucion,t,[0;0;0;0]); %Nos devuelve un vector velocidad, aceleración, desplazamiento, Fuerza del Resorte. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%GRÁFICAS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% a=figure; plot(t,y(:,1)); %Dibuja Tiempo-DesplAzamiento xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Desplazamiento (m)') b=figure; plot(t,y(:,2)); %Dibuja Tiempo-Velocidad xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Velocidad (m/s)') d=figure; plot(y(:,1),y(:,2)); %Dibuja DesplazamientoVelocidad xlabel('Desplazamiento (m)'); ylabel('Velocidad (m/s)'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%TRANSFORMADADEFOURIER%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ts=t_final/(N-1); fs=1/ts; X=fft(y(:,2),N)/N; k=fs/2*linspace(0,1,N/2+1); AmplitudEspectro=abs(X); FrecuenciaEjes=0:fs/2; g=figure; plot(FrecuenciaEjes,AmplitudEspectro(1:fs/2+1)); title('Transformada de Fourier'); xlabel('Frecuencia'); ylabel('Amplitud (velocidad)'); %Create axes %Create semilogy semilogy(k,2*abs(X(1:N/2+1)),'Color',[1 0 0]); 71 Esta codificación siguiente es una función a parte que es llamada por la anterior. function du = solucion(t, y ) %parametros ecuaciones wexcitacion_inicio=0; wexcitacion_final=30; t_final=20; wexcitacion=wexcitacion_inicio+(t*(wexcitacion_finalwexcitacion_inicio)/t_final); masa=(-0.5378*y(1)^2+0.0151+y(1)+0.1276); K0=494.9; K1=12.034; K2=1254.4; K3=1128.3; K4=-3770.4; amortiguamiento=0.005*(4*(K0+K1*abs(y(1))+K2*abs((y(1)^2))+K3*abs( (y(1)^3))+K4*abs((y(1)^4)))/masa)^0.5; Fuerza=2.0; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fresorte=(K0+K1*abs(y(1))+K2*abs((y(1)^2))+K3*abs((y(1)^3))+K4*abs ((y(1)^4)))*y(1); du=zeros(4,1); du(1)=y(2); du(2)=((Fuerza*(sin(2*pi*wexcitacion*t)))-(Fresorte)- (amortiguamiento*y(2)))/masa; end 72 C.2. Fuerza de 0.1 N. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x 10 -3 Tiempo (s) Desplazamiento (m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Tiempo (s) Velocidad (m/s) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10 -3 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) 73 C.3. Fuerza de 0.2 N. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x 10 -3 Tiempo (s) Desplazamiento (m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Tiempo (s) Velocidad (m/s) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x 10-3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) 80 C.10. Fuerza de 0.9 N. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Tiempo (s) Desplazamiento (m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Tiempo (s) Velocidad (m/s) -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) 81 C.11. Fuerza de 1 N. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Tiempo (s) Desplazamiento (m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Tiempo (s) Velocidad (m/s) -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) 82 C.12. Fuerza de 1.5 N. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Tiempo (s) Desplazamiento (m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Tiempo (s) Velocidad (m/s) -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) 83 C.13. Fuerza de 2 N. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Tiempo (s) Desplazamiento (m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Tiempo (s) Velocidad (m/s) -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) 84 C.14. Fuerza de 5 N. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Tiempo (s) Desplazamiento (m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -6 -4 -2 0 2 4 6 Tiempo (s) Velocidad (m/s) -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 -6 -4 -2 0 2 4 6 Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) 85 C.15. Fuerza de 10 N. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Tiempo (s) Desplazamiento (m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Tiempo (s) Velocidad (m/s) -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) 86 C.16. Fuerza de 20 N. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Tiempo (s) Desplazamiento (m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -15 -10 -5 0 5 10 15 Tiempo (s) Velocidad (m/s) -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 -15 -10 -5 0 5 10 15 Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) 87 ANEXO D: Análisis Frecuencial MATLAB. D.1. Fuerza de 0.1 N. D.2. Fuerza de 0.2 N. D.3. Fuerza de 0.3 N. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 Frecuencia (Hz) Amplitud (m/s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 Frecuencia (Hz) Amplitud (m/s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 Fecuencia (Hz) Ampitud (m/s) 88 D.4. Fuerza de 0.4 N. D.5. Fuerza de 0.5 N. D.6. Fuerza de 0.6 N. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 Frecuencia (Hz) Amplitud (m/s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 Frecuencia (Hz) Amplitud (m/s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 Frecuencia (Hz) Amplitud (m/s) 89 D.7. Fuerza de 0.7 N. D.8. Fuerza de 0.8 N. D.9. Fuerza de 0.9 N. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 Frecuencia (Hz) Amplitud (m/s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 Frecuencia (Hz) Amplitud (m/s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 Frecuencia (Hz) Amplitud (m/s) 96 D.7. Fuerza de 0.7 N. D.8. Fuerza de 0.8 N. 97 D.9. Fuerza de 0.9 N. 98 D.10. Fuerza de 1 N. D.11. Fuerza de 1.5 N. 99 D.12. Fuerza de 2 N. 100 D.13. Fuerza de 5 N. D.14. Fuerza de 10 N. 101 D.15. Fuerza de 20 N.