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Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es Trabajo Fin de Máster “ANÁLISIS MODAL MEDIANTE EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Y ENSAYOS EXPERIMENTALES DE UNA PLATAFORMA MULTI-REGISTRO PARA LA VERIFICACIÓN DE INSTRUMENTOS DE MEDIR POR COORDENADAS PORTÁTILES” Autor Pascual Ibañez Deler Director/es Jorge Santolaria Mazo Javier Óscar Abad Blasco Universidad de Zaragoza/ Escuela de Ingeniería y Arquitectura de Zaragoza 2014 Análisis modal mediante el Método de Elementos Finitos y ensayos experimentales de una plataforma multiregistro para la verificación de instrumentos de medir por coordenadas portátiles Resumen Este trabajo final de master surge de motivaciones e intereses en conocer y determinar el comportamiento de un sistema particular, desarrollado en el seno del departamento de Ingeniería de Diseño y Fabricación y con el cual se han desarrollado y se siguen desarrollando tesis doctorales. Este ingenio pretende constituir un hito en los sistemas de medición rápida asegurando en todo momento una buena calidad en la medida. Con el objeto de conocer los comportamientos del sistema de coordenadas portátiles durante su uso en laboratorio, surge la necesidad de conocer e investigar sus posibles comportamientos ante excitaciones frecuenciales que pudiesen aparecer en el uso del dispositivo, establecer esas frecuencias perjudiciales y las consecuencias que ellas originan en el conjunto. Generando un modelo teórico es posible dar una imagen rápida de posibles características e influencias y estudiar diferentes supuestos, casos extraños que fundasen interés, sin comprometer la integridad de la plataforma multiregistro. El caso que aborda esta memoria se centra en la generación de un modelo que parametrice el comportamiento frecuencial del sistema mediante el Método de los Elementos Finitos y, gestionando tanto el cálculo como los resultados, utilizando ABAQUS. Para corroborar la adecuación del modelo es ineludible caracterizar el comportamiento real del sistema y es por ello la necesidad de establecer diferentes ensayos que fundamenten las correlaciones entre teoría y experimentalidad. Con estos diferentes ensayos, es factible realizar o no, la adecuación del modelo teórico planteado con el real, de aquí la razón fundamental del grueso de este trabajo. El método Montecarlo, como método numérico estadístico usado para resolver problemas físicos mediante la simulación de variables aleatorias, permite la obtención de una matriz general donde extraer los parámetros de medida finales a partir de entradas de medidas aleatorias otorgadas por la plataforma multiregistro y sujeta a su configuración probabilística, distribución de probabilidad, media y desviación determinada. A fecha de redacción y entrega de esta memoria, cabe destacar la confirmación de un modelo teórico apropiado, en término de formas modales, sujeto a las limitaciones de los equipos utilizados, añadiendo la generación de un método de Montecarlo en un sistema complejo, sujeto a grandes incertidumbres y variables a considerar; propiciando que esta memoria sea pie de avance en investigación y desarrollo para posteriores miembros investigadores. Índice Página Presentación .................................................................................................................................. 3 Agradecimientos ........................................................................................................................... 4 Justificación del TFM ..................................................................................................................... 5 Introducción .................................................................................................................................. 7 Capítulo 1: Simplificaciones previas al análisis modal .................................................................. 9 1.1 Justificación del diseño y sus simplificaciones para el análisis y estudio ............................ 9 1.2 Simplificaciones del modelo ................................................................................................ 9 1.2.1 Uniones atornilladas..................................................................................................... 9 1.2.2 Simplificación de geometrías ..................................................................................... 10 1.2.3 Eliminación de elementos de masa despreciable ....................................................... 11 1.3 Resultado global de las simplificaciones en el modelo final para cálculo ......................... 12 Capítulo 2. Análisis modal del modelo mediante ABAQUS ......................................................... 21 2.1 Importación y tratamiento del modelo ............................................................................. 22 2.2 Resultados Análisis modal modelo libre ............................................................................ 25 2.3 Resultados Análisis modal modelo apoyo en mesa (apoyo real) ...................................... 29 2.4 Conclusiones al análisis computacional ............................................................................ 33 Capítulo 3. Análisis modal experimental del modelo .................................................................. 35 3.1 Secuencia del ensayo ......................................................................................................... 35 3.2 Realización del ensayo y obtención de modos de vibración y frecuencias naturales ........ 40 3.3 Conclusiones al ensayo experimental ................................................................................ 44 Capítulo 4. Montecarlo ................................................................................................................ 47 4.1 Fases del proceso de estimación de la incertidumbre de medida ..................................... 47 4.2 Ejecución del modelo Monte Carlo mediante parámetros de medida experimentales para el modelo en cuestión. ............................................................................................................. 48 4.3 Resultados obtenidos en Montecarlo para un caso general ............................................. 54 4.4 Conclusiones a los resultados de la simulación de Montecarlo ........................................ 57 Conclusiones generales al Proyecto ............................................................................................ 59 Bibliografía .................................................................................................................................. 61 ANEXOS ....................................................................................................................................... 64 Anexo I. Comandos utilizados en MATLAB para la obtención de MONTECARLO .................... 64 Anexo II. Cálculo de Fourier mediante MATLAB ...................................................................... 66 2 3 Presentación En esta memoria se plasma el trabajo desarrollado por Pascual Ibañez Deler para el desarrollo del Trabajo Final del Master Universitario de Sistemas Mecánicos de la Universidad de Zaragoza. Este texto, de carácter técnico, pretende plasmar los aspectos más relevantes del trabajo, experiencias, imágenes del proceso, problemas, adopción de soluciones; todo aquello que ha comportado la consecución de los objetivos marcados. El título del Trabajo Final del Master resume lo que se desarrolla en el cuerpo de esta memoria. “ANÁLISIS MODAL MEDIANTE EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Y ENSAYOS EXPERIMENTALES DE UNA PLATAFORMA MULTI-REGISTRO PARA LA VERIFICACIÓN DE INSTRUMENTOS DE MEDIR POR COORDENADAS PORTÁTILES” 4 Agradecimientos A mi familia, mi pareja y allegados. 5 Justificación del TFM Actualmente existe una demanda en alza en tareas de medición rápida y fiable para el control, asegurando en todo momento una buena calidad de los sistemas modernos para producción y planteando retos en las áreas de la metrología dimensional. Una clase importante de sistemas de medición es la integrada por los instrumentos de medición de coordenadas portátiles. En este momento, estos sistemas presentan algunas desventajas asociadas a las técnicas aplicadas en sus procedimientos de verificación y optimización de parámetros, basándose en la captura con elementos de medida de datos de un objeto patrón calibrado, dispuesto sucesivamente en varias posiciones dentro del rango del alcance de medida del equipo, con el fin de cubrir gran parte de su espacio de trabajo disponible. Estas variaciones de posicionamiento del objeto patrón, hace que el procedimiento de verificación sea un proceso costoso en duración. A partir del diseño, fabricación y calibración de una plataforma multi-registro desarrollada dentro del área de fabricación de la Universidad de Zaragoza, para mejorar y simplificar los procedimientos de verificación en instrumentos de medición por coordenadas portátiles, recae el desarrollo de este Trabajo Fin de Máster de Sistemas Mecánicos. En el estado de desarrollo del prototipo actual resulta de interés realizar una serie de ensayos y caracterizaciones del funcionamiento del sistema completo, sometiéndolo a excitaciones reales que sucederían durante su uso. Es este el objetivo del trabajo, conocer el comportamiento del sistema en sus posibles usos a través de análisis modales y captación de las frecuencias naturales y, la influencias de las excitaciones ajenas al sistema que pudiesen influir en la medida exacta de los dispositivos de captación, para su posterior análisis y estudio de dichas influencias durante el procedimiento de medida. La aplicación del método Montecarlo sobre el sistema permitirá caracterizar los parámetros que se obtienen durante su uso, determinando una medida ajustada a una distribución de posibles medidas y rangos del valor de medida dentro de ciertos intervalos de confianza, incluso del 99%. 12 Imagen 4. Simplificación de casquillo por eliminación del cuerpo 1.3 Resultado global de las simplificaciones en el modelo final para cálculo A partir del modelo total, en este apartado de la memoria se dispondrá a visualizar todas las simplificaciones realizadas para obtener un modelo básico de cálculo. Inicialmente, se dispone de un modelo CAD general como el que se puede apreciar en las imágenes, compuesto por la propia plataforma más el brazo articulado de medida. Imagen 5. Modelo CAD completo, Plataforma + Brazo de medida Eliminando de las consideraciones de cálculo el brazo de medida, dado que su repercusión en el comportamiento real es despreciable en relación a la masa total del conjunto y, su aporte únicamente radica en una mayor rigidización del sistema y un posible desplazamiento del rango de frecuencias naturales totales, se obtiene el modelo de la imagen, compuesto por una serie de elementos que son numerados a continuación. 13 Imagen 6. Modelo CAD completo sin brazo de medida La placa fija o base consta de los siguientes componentes mecánicos que se muestran en la imagen, asociados a la siguiente numeración: 1. Sensores capacitivos horizontales con sus soportes. 2. Sensores capacitivos verticales con sus soportes. 3. Cilindros de acoplamientos cinemáticos de 18 mm de diámetro y 30 mm de longitud. 4. Pasadores de registro. 5. Rodamientos esféricos. 6. Rodamiento axial a bolas. 7. Rodamientos lineales. 8. Barras para desplazamiento lineal. 9. Husillo a bolas. 10. Sistema neumático para generar precarga. 11. Esferas de caracterización de sistema de coordenadas de placa fija de 20 mm de diámetro. 12. Esferas de elevación de placa móvil de 16 mm de diámetro. 13. Postizos centrales para evitar rozamiento. 14. Patas para amarre de la placa fija. 14 Imagen 7. Componentes mecánicos de placa fija global Haciendo uso de las consideraciones de simplificación mencionadas se obtiene un modelo de base o placa fija con un número más reducido de elementos. Donde se mantienen posicionados los siguientes elementos: 1. Sensores capacitivos horizontales con sus soportes. Se mantienen en el modelo simplificado para visualizar su comportamiento simulado en los análisis a desarrollar, aplicando únicamente las consideraciones en las cuales se respeta la geometría base del elemento comercial, eliminar rebajes, resaltes u operaciones sobre elementos que generen complicaciones de cálculo o problemas de acomodo de elementos en el archivo para exportación, mallado y asignación CAD. 2. Sensores capacitivos verticales con sus soportes. Criterios análogos al caso anterior. 3. Cilindros de acoplamientos cinemáticos de 18 mm de diámetro y 30 mm de longitud. Son eliminados los orificios de atornillado, considerados solidarios y como uniones rígidas a la base de la plataforma 15 Imagen 8. Simplificación de cilindro de acoplamiento 4. Pasadores de registro. Estos elementos garantizan el correcto posicionamiento final del sistema una vez desplazado sobre su eje, sus requerimientos técnicos son nulos o escasos y pueden ser obviados en los primeros análisis, podría resultar interesante incluirlos en posteriores análisis, pero su coste computacional aumenta por geometría y número de elementos 5/6/7 Rodamientos esféricos, axiales de bolas y lineales. Son eliminados del modelo simplificado debido a que, idealmente, carecen de requerimientos o exigencias mecánicas para los análisis a realizar. 8. Barras para desplazamiento lineal. Serán eliminados de las simplificaciones por su aporte en términos de rigidez en el sistema. De esta forma, se podrá realizar un análisis algo más desfavorable del modelo real. 9. Husillo a bolas. Eliminado por no suponer un elemento que, en el conjunto simplificado, modifique la estructura base. 10. Sistema neumático para generar precarga. Obviado para los cálculos, para el caso de análisis sin precarga, por ser un elemento externo a la estructura elemental del sistema. 11. Esferas de caracterización de sistema de coordenadas de placa fija de 20 mm de diámetro. Masas despreciables y externas a la estructura, son obviadas para cálculos. 16 12. Esferas de elevación de placa móvil de 16 mm de diámetro. Sistema de elevación eliminado para los primeros análisis, pudiéndose considerar para posteriores análisis de sensibilidad de los cálculos y observar su influencia en la rigidez conjunta del sistema, por simplicidad se eliminan de los primeros ensayos computacionales. 13. Postizos centrales para evitar rozamiento. Elemento de masa despreciable, solidario a la estructura, puede ser eliminado de las consideraciones. 14. Patas para amarre de la placa fija. Simplificadas a cilindros solidarios a la superficie inferior de la placa base, en condiciones de contorno serán considerados igualmente empotrado al suelo. Imagen 9. Componentes mecánicos y geometría final de placa fija simplificada En este caso, el conjunto queda reducido: 1. Sensores capacitivos horizontales sin sus soportes. 1 1 1 2 2 2 6 6 3 3 3 3 3 3 4 4 5 17 2. Sensores capacitivos verticales sin sus soportes. 3. Cilindros de acoplamientos cinemáticos de 18 mm de diámetro y 30 mm de longitud 4. Barras para desplazamiento lineal. 5. Husillo a bolas. 6. Patas para amarre de la placa fija. La placa móvil global consta de los siguientes componentes que se muestran en la imagen asociados a la siguiente numeración: 1. Targets de sensores capacitivos horizontales. 2. Targets de sensores capacitivos verticales. 3. Par de esferas de los acoplamientos cinemáticos de 20 mm de diámetro cada esfera. 4. Casquillos para pasadores de registro. 5. Anillo de rodadura. 6. Eje. 7. Muelle de precarga. 8. Esferas de caracterización de sistema de coordenadas de placa móvil de 20 mm de diámetro. Imagen 10. Componentes mecánicos de placa móvil Aplicando los criterios de simplificaciones, de manera semejante al caso de la simplificación de la base fija, se obtiene un modelo más simple de elementos con geometrías elementales y con uniones semejantes al modelo real. 18 Imagen 11. Componentes mecánicos y geometría final de placa móvil simplificada Reduciendo el número de elementos para introducir en los ensayos computacionales a los siguientes: 1. Targets de sensores capacitivos horizontales. 2. Targets de sensores capacitivos verticales. 3. Par de esferas de los acoplamientos cinemáticos de 20 mm de diámetro cada esfera. De aplicar las simplificaciones se obtiene un modelo de ensamblaje simplificado. Imagen 12. Simplificación final para el posterior análisis mediante ABAQUS Resumiendo, las simplificaciones dan lugar a un modelo más simple y similar en propiedades del real. El modelo reducido disminuye el número de elementos que lo componen 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 19 y, simplificar su geometría permite una sustancial reducción del coste computacional en los posteriores cálculos a realizar mediante los software específicos. Desde el punto de vista de trabajo con el modelo reducido, este permite un proceso más ligero y menos laborioso a la hora del lanzamiento de los cálculos necesarios. De esta forma, el coste computacional, medido en horas de cálculo, tratamiento de datos y resultados, preparación de los casos de análisis, queda disminuido significativamente en comparación con el uso de un modelo compuesto íntegramente y sin simplificaciones. Concluyendo, a mayor complejidad del sistema, mayor número de elementos y geometrías complejas, los costes asociados posteriormente son directamente proporcionales. 20 21 Capítulo 2. Análisis modal del modelo mediante ABAQUS El método de los elementos finitos es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales, muy utilizado en diversos problemas de ingeniería y física. Permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema físico sobre geometrías complicadas. El MEF se usa en el diseño y mejora de productos y aplicaciones industriales, así como en la simulación de sistemas físicos y biológicos complejos aportando una solución numérica aproximada sobre un cuerpo. La estructura se divide en un número elevado de ‘’elementos finitos’’, dentro de cada uno de estos elementos se distinguen una serie de puntos representativos llamados ‘’nodo’’ y un conjunto de estos generan una malla. El método de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones). Además, el método es fácilmente adaptable a problemas de transmisión de calor, de mecánica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones o de campo electromagnético. Dada la imposibilidad práctica de encontrar la solución analítica de estos problemas, con frecuencia, se convierten en la única alternativa práctica de cálculo. El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La solución obtenida por MEF es sólo aproximada, coincidiendo con la solución exacta sólo en un número finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solución aproximada se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos para los nodos, lo que hace que la solución sea sólo aproximada debido a ese último paso. Las tareas necesarias para llevar a cabo un cálculo mediante un programa MEF se dividen en:  Pre-proceso, que consiste en la definición de geometría, generación de la malla, condiciones de contorno y propiedades de los materiales.  Cálculo, resolución de sistemas de N ecuaciones y N incógnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no lineal o un problema dependiente del tiempo, a veces, el cálculo consiste en una sucesión finita de sistemas de N ecuaciones y N incógnitas que deben resolverse uno a continuación de otro y cuya entrada depende del resultado del paso anterior.  Post-proceso, se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos y, en ocasiones, se aplican operaciones de suavizado de mallas, interpolación de errores de aproximación. Realizar un análisis modal mediante el método de los elementos finitos permite obtener, de manera rápida y con reducida inversión, un modelo de cálculo que suministre diferentes parámetros del elemento a analizar. 28 Nombre Frecuencia Modo 9 2.35955e+006 Hz Lista resumen de modos Número de frecuencias Rad/seg Hertz 1 6.3827e+006 1.0158e+006 2 9.4384e+006 1.5022e+006 3 1.0630e+007 1.6918e+006 4 1.0983e+007 1.748e+006 5 1.1248e+007 1.7902e+006 6 1.2043e+007 1.9166e+006 7 1.2398e+007 1.9732e+006 8 1.4485e+007 2.3053e+006 9 1.4826e+007 2.3596e+006 29 2.3 Resultados Análisis modal modelo apoyo en mesa (apoyo real) El modelo está ideado para su uso sobre una superficie fija y horizontal, de esta forma un análisis real del mismo parte de establecer unas condiciones de contorno fijas de desplazamientos y giros permitidos nulos en las superficies de apoyo. Nombre Frecuencia Modo 1 1.50089e+006 Hz Nombre Frecuencia Modo 2 1.67601e+006 Hz 30 Nombre Frecuencia Modo 3 1.73384e+006 Hz Nombre Frecuencia Modo 4 1.79265e+006 Hz Nombre Frecuencia Modo 5 1.94942e+006 Hz 31 Nombre Frecuencia Modo 6 2.14359e+006 Hz Nombre Frecuencia Modo 7 2.35807e+006 Hz Nombre Frecuencia Modo 8 2.45456e+006 Hz 32 Nombre Frecuencia Modo 9 2.48793e+006 Hz Lista resumen de modos Número de frecuencias Rad/seg Hertz 1 9.4304e+006 1.5009e+006 2 1.0531e+007 1.676e+006 3 1.0894e+007 1.7338e+006 4 1.1264e+007 1.7927e+006 5 1.2249e+007 1.9494e+006 6 1.3469e+007 2.1436e+006 7 1.4816e+007 2.3581e+006 8 1.5422e+007 2.4546e+006 9 1.5632e+007 2.4879e+006 33 2.4 Conclusiones al análisis computacional Con los resultados obtenidos de los cálculos realizados por el Método de los elementos finitos y mediante el uso del programa ABAQUS podemos concluir, que la estructura se comporta como un cuerpo extremadamente rígido, visible por sus altas frecuencias naturales. Estas frecuencias se encuentran comprendidas entre 1.000.000 Hz y 2.500.000 Hz, en respectivos cálculos, libre-libre y aplicando condiciones de contorno reales o acordes al uso general del modelo real. Estas frecuencias naturales tan altas corroboran la rigidez del modelo. En el uso común de la plataforma portátil las frecuencias a las que normalmente podría estar estimulada no superaría, en ningún caso, frecuencias superiores a los 1000 Hz, muy inferiores a la resultantes de las simulaciones como se puede ver. Por esta razón, la influencia por deformación modal del sistema no es preocupante en el uso del mismo y, por consiguiente, tampoco lo es en el registro de la medida, utilizando los sistemas de captación destinados a este fin y posicionados solidarios a largo de la estructura. 34 35 Capítulo 3. Análisis modal experimental del modelo 3.1 Secuencia del ensayo La secuencia general para la realización de un Ensayo de Análisis Modal (EMA) es:  Selección de sustentación de la estructura. Dado la condiciones de trabajo esperadas del dispositivo se optará por ensayar el sistema en condiciones de contorno reales (apoyos), en este caso con el sistema sobre una estructura plana, horizontal y rígida. La realización del ensayo con otro tipo de apoyos, como apoyos suspendido, para la obtención de resultados experimentales no tiene razón alguna, ya que el análisis suspendido permitiría obtener un modelo modal que aportaría información de comportamiento del modelo si fuese a ser introducido, unido o apoyado a otro tipo de componentes estructurales, dado que no es el caso, no es necesario el análisis sujeto a dicha condición de apoyo.  Definición de los puntos y las direcciones de medida Es necesario definir un modelo geométrico de la estructura a ensayar. El número de grados de libertad del modelo (Número de nodos X direcciones de medida), el número de estos nodos deberá ser mayor que el número de modos que se desean obtener con objeto de evitar el fenómeno de aliasing espacial, requiere de experiencia o de un conocimiento a priori del comportamiento dinámico de la estructura a ensayar, por ello se ha realizado con anterioridad el ensayo mediante elementos finitos. Imagen 18. Descripción del fenómeno aliasing espacial. La utilización de muchos puntos de medida alarga los tiempos del ensayo y, en muchos casos, no aportan excesiva información adicional. 36 A partir de la información y los modos de vibración capturados en el análisis explicado en el capítulo 2 de esta memoria, se establecerá el criterio de estimulación y captación en dirección Z, como se puede observar en el dibujo, y se dispondrá de seis puntos de estimulación, correspondientes a los seis extremos de la plataforma, de esta forma se captará los posibles modos de vibración de la plataforma, basándonos en el análisis previo realizado con ABAQUS. Imagen 19. Disposición de puntos y dirección de la medida  Instrumentación de medida y configuración de equipo Imagen 20. Dispositivos necesarios para el análisis modal La instrumentación utilizada consiste principalmente en un excitador, que puede ser un martillo, un mazo o un vibrador. Estos instrumentos estimularan la estructura y su comportamiento será recogido mediante un acelerómetro triaxial adherido a la estructura, la masa despreciable de este dispositivo no tiene influencia perceptible en los resultados modales finales que se obtienen; estas señales son captadas por el acelerómetro y transcritas a una tarjeta de registro y tratamiento de datos que se transfieren mediante red a un dispositivo CPU con software adecuado para el tratamiento y puesta en pantalla de la interfaz y resultados. La configuración del ensayo partirá de la captación de tres medidas por puntos de impacto en el rango total máximo de frecuencia de captación del dispositivo 37 disponible en laboratorio (25000Hz), es decir, se obtendrán modos de vibración de acuerdo a las frecuencias naturales del sistema comprendidas entre los 0 Hz hasta los 25000Hz.  Selección del tipo de excitación y secuencia de ensayo La estimulación del modelo se realiza mediante martillo impactador de punta de acero, estableciendo una secuencia de puntos de ensayo y una localización del acelerómetro de manera. Imagen 21.Martillo para excitación con punta metálica 2 3 4 5 6 Acelerómetro Imagen 22. Vista en planta distribución y secuencia de excitación del ensayo 44 Imagen 32. Modo 3 vibración a 2211,9 Hz 3.3 Conclusiones al ensayo experimental Tras la realización del ensayo apoyado, disposición real al uso al que está destinado, se han obtenido una serie de frecuencias naturales distintas a las esperadas, dados los resultados obtenidos anteriormente con ABAQUS. Como se mencionó en el capítulo anterior, era de esperar una gran rigidez del sistema general, con frecuencias del orden de 106Hz. En comparación, los resultados experimentales recogen unas frecuencias del orden 103Hz, es decir, tres órdenes de magnitud inferiores, dando la primera impresión de un modelo computacional muy discrepante con el real, dada las frecuencias tan reducidas en comparación con lo esperado; surge la inquietud de observar si realmente el dispositivo durante la estimulación vibra en conjunto, ya que las frecuencias de vibración están estrechamente ligadas a la masa total del sistema. De este modo, se plantea la posibilidad de que durante el ensayo se captase únicamente los modos y frecuencias naturales de la plataforma superior del conjunto, de menor masa y, por tanto, daría como resultado frecuencias naturales inferiores, es por ello que se realiza el análisis computacional exclusivamente de la parte superior del modelo. Corroborando el supuesto, las frecuencias resultantes y los modos de vibración corresponden fielmente al modelo real. Dan apoyo al modelo simplificado por ordenador ya que éste se ajusta a la realidad en concepto de comportamiento frecuencia. Para concluir, con los dispositivos existentes en laboratorio para la realización del ensayo experimental no ha sido posible captar los modos globales del sistema y sus frecuencias, principalmente por las limitaciones de potencia durante la estimulación y el reducido rango de captación de frecuencias por los dispositivos. 45 Una posible línea futura de trabajo para la continuación de este estudio radicaría en la realización de un ensayo de captación de modos y frecuencias mediante la estimulación de la plataforma multi-registro sobre una mesa o bancada de vibración a tres ejes. Donde con la potencia suficiente y con los hardware adecuados, no disponibles actualmente, se obtendrá la captura de todos los parámetros vibracionales (frecuencias, modos, amortiguaciones, …). 46 47 Capítulo 4. Montecarlo El método Montecarlo es un método numérico, no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y resolver problemas físicos y matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias. Esquema 1. Esquema de cálculo Montecarlo Y = f (X1, X2,..., Xi, ..., Xm) (Función modelo) (Incertidumbre de la salida) La importancia actual del método Montecarlo se basa en la existencia de problemas que tienen difícil solución por métodos exclusivamente analíticos o numéricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a un modelo probabilístico. Gracias al avance en diseño de los ordenadores, cálculos Montecarlo que en otro tiempo hubieran sido inconcebibles, hoy en día se presentan como asequibles para la resolución de ciertos problemas. En estos métodos el error ≈ √ , donde N es el número de pruebas y, por tanto, ganar una cifra decimal en la precisión implica aumentar N en 100 veces. La base del cálculo es la generación de números aleatorios para calcular probabilidades. 4.1 Fases del proceso de estimación de la incertidumbre de medida Se clasificará el proceso de estimación de incertidumbres para este trabajo de una manera muy diferenciada: 1º Formulación del Método, incluyendo:  Definición de la magnitud de salida.  Determinación de las magnitudes de entrada disponibles y necesarias y el desarrollo del modelo matemático que vincule las salidas y la entrada.  Asignación de las distribuciones estadísticas de las entradas. 2º Propagación de las distribuciones de las magnitudes de entrada a través del modelo planteado para obtener la distribución de salida. 48 3º Resumen, donde se estima la magnitud de salida, de su incertidumbre y de los intervalos de cobertura. 4.2 Ejecución del modelo Monte Carlo mediante parámetros de medida experimentales para el modelo en cuestión. Desarrollando el procedimiento para la determinación de las incertidumbres de medida es necesario comenzar con el establecimiento de la magnitud de salida deseada para el sistema. La variable de salida de la plataforma, que determinará las coordenadas medidas por el instrumento que se monte en el sistema de referencia inferior de la plataforma, es la posición y orientación del sr plataforma superior respecto al sistema de referenciar plataforma inferior, representada mediante una matriz obtenida a partir de una serie de parámetros geométricos calibrados previos, además de las lecturas de los 6 sensores capacitivos. El resto de la cadena de medida depende del instrumento y de su relación con el sistema de referencia plataforma superior. En este apartado se pretende caracterizar la influencia sobre la incertidumbre de medida de la propia plataforma durante su uso, por lo que no se considerarán dentro de la simulación de Montecarlo ni el propio instrumento ni su relación con el sistema de referencia plataforma superior, que es constante y, a su vez depende de mediciones con el propio instrumento. Tampoco se considera la incertidumbre de calibración de la plataforma. Imagen 33. Esquema general de los parámetros de salida deseados. 49 En la imagen se puede apreciar un esquema elemental para la determinación de las salidas deseadas y requeridas. De esta forma, existe la necesidad de obtener las posiciones y posibles giros establecidos y capturados por los sensores de medida activos en cada medida. Determinando unas magnitudes de salida que se definirán como: X→ Posición respecto al eje X Y→ Posición respecto al eje Y Z→ Posición respecto al eje Z α→ Giro respecto al eje X β→ Giro respecto al eje Y γ→ Giro respecto al eje Z Obteniendo de la ejecución de Montecarlo un resultado esperado con una configuración de matriz para los n valores aleatorios introducidos: ( ) Que determinarán diferentes distribuciones para cada salida y la determinación de la incertidumbre de medida de cada parámetro de la salida. Posteriormente, es necesario establecer la definición de las variables de entrada en el método de estimación de la incertidumbre. Estas señales de entrada corresponderán a la captación de señales de los sensores/targets dispuestos a lo largo de la plataforma inferior y superior. Estas señales, a su vez, están sometidas a diferentes incertidumbres de medida como los errores propios del aparato de medida que el fabricante informa en las características técnicas del dispositivo. Para ello, es necesario que mediante matemática computacional se determine las distribuciones que mejor se ajustan a cada una de estas posibles influencias de medida. Determinando:  Errores de medida del fabricante, según las especificaciones del fabricante de los sensores es posible la aparición de una serie de errores que generan variaciones de la medida real del sensor, estos son definidos como:  Error de sensibilidad se presenta generalmente como un porcentaje de la pendiente; comparando la pendiente ideal, con la pendiente real. Gráfico 4. Sensibilidad del sensor 50  Error Offset. Este tipo de error surge cuando se añade un valor constante de la tensión de salida del sistema, estos errores típicos surgen de la influencia de factores como la temperatura, donde añadiendo un desplazamiento constante se puede mantener este error a menos de 0,04% FS / ° C del error máximo cometido en medida.  Error de linealidad, los datos de calibración se compara con la línea recta que mejor se ajusta a los puntos. Esta recta de referencia se calcula a partir de los datos de calibración usando una técnica llamada de mínimos cuadrados apropiado. La cantidad de error en el punto de la curva de calibración que está más lejos de esta línea ideal es el error de linealidad. Error de linealidad se expresa habitualmente en términos de porcentaje de la escala completa. Si el error en el peor momento fue 0,001 mm y el rango de la escala completa de la calibración fue de 1 mm, el error de linealidad sería del 0,1%. La banda de error representa la combinación de errores de linealidad y sensibilidad. Es la medida del error absoluto en el rango calibrado. La banda de error se calcula comparando los voltajes de salida a su valor esperado. El error más desfavorable de esta comparación se muestra como la banda de error del sistema, y es aportada por el fabricante como un valor en % de la medida realizada por el sensor. Además, es posible ajustarla a una distribución uniforme, para ser utilizada en el análisis de Monte Carlo, centrada en la medida del sensor y de extremos de probabilidad: Siendo: Error(%)= porcentaje de error de medida. L= rango de medida del sensor (100 μm) Gráfico 5. Offset en salida del sensor Gráfico 6. Error de linealidad del sensor 51 Gráfico 7. Distribución del error de medida del sensor capacitivo  Variaciones de la medida debido a ruidos de medida, ajustados a una distribución normal. Para conocer la influencia de los ruidos existentes en los sensores de medida se realiza una serie de captación continua de medida con la plataforma en condiciones preparadas para su funcionamiento. La captura se realizará durante un segundo y se tomarán mil datos. Obteniendo como resultado una gráfica de ruido real para cada sensor de medida. Imagen 34. Captura en continuo del ruido señal en precarga 1000 medidas duración 1 sg Con el objeto de conocer cuáles son las frecuencias predominantes del ruido de medida, resulta de interés la obtención de la función de Fourier que rige esta señal mediante MATLAB, utilizando las funciones integradas en el software se puede determinar esta función. -Error(%)1 +Error(%) 0 Magnitud (V) Tiempo (ms) 52 Imagen 35. Función rápida de Fourier Como puede observarse en la función rápida de Fourier obtenida, existe una influencia principal de frecuencias a baja frecuencia (25Hz y 65Hz) y gran número de pequeños armónicos de alta frecuencia, cuyo peso en la señal no es tan influyente. Resultando una función temporal de la forma que podemos ver en el gráfico, representada en otra escala de tiempo para visualizar los diferentes armónicos principales que la componen. Gráfico 8. Un ciclo de señal compuesta por principales armónicos de Fourier -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ≈25 Hz ≈60 Hz Espectro simétrico Frecuencia (Hz) Magnitud Tiempo (ms) Magnitud (V) 53 Media(mV) Desviación estándar Sensor 1 4.5030 0.0014 Sensor 2 1.2344 0.0012 Sensor 3 1.0807 0.0018 Sensor 4 5.8458 0.0014 Sensor 5 1.2730 0.0016 Sensor 6 2.7235 0.0012 Tabla 3. Medidas de ruido por captación en continuo 1000 medidas por segundo Con la razón de introducir los parámetros de ruido de cada uno de los sensores capacitivos dentro de la simulación de Montecarlo, es necesario conocer su comportamiento estadístico. De esta manera, se tratan los datos capturados anteriormente y se ajustan a una distribución tipo. Apreciando que todos ellos se ajustan fielmente a una distribución normal, mediante el uso de MATLAB, quedando totalmente caracterizados, tanto en media estadística como en desviación estándar, para poder ser introducidos como parámetros de entrada correspondientes en la función global para la simulación de Montecarlo. Planteamiento de la función modelo que rige el comportamiento del sistema a simular. La disposición de sensor/target, en ambas placas de la plataforma, establece la necesidad de definir sistemas de coordenadas para cada una de las placas. Estos sistemas de coordenadas permitirán calcular las matrices de transformación homogéneas que expresen las lecturas de la placa móvil en el sistema global de la placa fija. Permitiendo localizar la posición (X, Y y Z) para cualquiera de los sensores/targets capacitivos existentes en la plataforma y que pueden corresponder, indistintamente, a cada una de las seis posiciones y para cada uno de los posibles puntos de medida del dispositivo palpador. Determinando un vector distancia respecto de ejes móviles, referenciados a la placa móvil o a los ejes globales solidarios a la placa inferior (plataforma fija). Gráfico 9. Ruido de medida de los sensores sometidos a precarga de 4 Bar de la estructura 60 Para terminar, es necesario establecer unas líneas futuras de trabajo que podrían resultar interesantes al finalizar este trabajo final de master. Comenzando con un análisis modal extenso y externo al departamento. Donde se disponga de dispositivos con potencia suficiente para excitar frecuencialmente la totalidad del conjunto y así determinar todos los modos de vibración existentes en un rango de altas frecuencias y, además, sustituir los equipos limitados en la medida del rango de frecuencias por otros superiores que permitan la captación con mayor precisión. Otra línea de avance paralela sería la determinación de un modelo computacional para el estudio del comportamiento ante esfuerzos mecánicos puntuales o la influencia de parámetros externos al dispositivo, tales como golpes, inercias, temperaturas de trabajo, humedad. Con este modelo, a su vez, sería necesaria la implementación de sub-rutinas, para la determinación y captación de parámetros y características en diferentes puntos de interés del modelo de la plataforma. En lo correspondiente a la simulación generada por Montecarlo, parece de interés realizar un estudio de mayor precisión, incrementando el número de iteracciones y por consiguiente una mayor calidad de los resultados. Además, es de utilidad introducir, en la señales de captación y entrada en la función global del modelo, otras posibles incertidumbres que alteren la captación de los sensores generando un modelo más real y más controlado de la medida del sistema y su incertidumbre. Para perfeccionar esta memoria me permito recalcar, e insistir, en la motivación y continuación de las futuras líneas de investigación en estos nuevos sistemas de medición y otros dispositivos que podrían cambiar la percepción de la metrología ingenieril en un espacio de tiempo cercano. 61 Bibliografía A.BRAU, TESIS DOCTORAL, “DISEÑO, FABRICACIÓN Y CALIBRACIÓN DE UNA PLATAFORMA MULTI-REGISTRO PARA LA VERIFICACIÓN DE INSTRUMENTOS DE MEDIR POR COORDENADAS PORTÁTILES”, Universidad de Zaragoza, Junio 2013 Randall Allemang, James De Clerck, Christopher Niezrecki, Alfred Wicks, ”Topics in Modal Analysis, Volume 7”, Conferencia sobre Dinámica Estructural, 2013 G. Niemann, “Tratado teórico-Práctico de ELEMENTOS de MÁQUINAS, Cálculo, diseño y construcción”, Munich G. Daza “VIBRACIONES MECÁNICAS”, Mecánica de procesos y Mantenimiento Industrial, Universidad Federico Santa María, 2007 Nuno M.M. Maia, “Theoretical and Experimental Modal Analysis” DDS, “Manual de Usuario de ABAQUS 6.10.1” W. T. Thomson, “Teoría de Vibraciones” S. Timoshenko, “Resistencia de materiales, teoría elemental”, Espasa-Calpe S.A., Madrid 1957 C. Pérez, “Análisis matemático y algebra lineal con MATLAB”, Ra-ma, 1999 J. H. Mathews, K. D. Fink, “Métodos numéricos con MATLAB”, Tercera edición, Prentice Hall, 1999 I. M. Sóbol, “Lecciones populares de matemáticas, MÉTODO DE MONTECARLO”, Editorial MIR, Moscú 1976 62 Índice de Imágenes Imagen 1.simplificación uniones atornilladas ............................................................................... 9 Imagen 2. Ejemplo1 simplificación esfera posicionamiento ....................................................... 10 Imagen 3. Ejemplo proceso simplificación soporte sensor horizontal ....................................... 11 Imagen 4. Simplificación de casquillo por eliminación del cuerpo ............................................. 12 Imagen 5. Modelo CAD completo, Plataforma + Brazo de medida ............................................ 12 Imagen 6. Modelo CAD completo sin brazo de medida .............................................................. 13 Imagen 7. Componentes mecánicos de placa fija global ............................................................ 14 Imagen 8. Simplificación de cilindro de acoplamiento ............................................................... 15 Imagen 9. Componentes mecánicos y geometría final de placa fija simplificada ...................... 16 Imagen 10. Componentes mecánicos de placa móvil ................................................................. 17 Imagen 11. Componentes mecánicos y geometría final de placa móvil simplificada ................ 18 Imagen 12. Simplificación final para el posterior análisis mediante ABAQUS ............................ 18 Imagen 13. Importación de modelos para análisis modal .......................................................... 22 Imagen 14. Modelo importado ................................................................................................... 22 Imagen 15. Inserción de materiales en ABAQUS ........................................................................ 23 Imagen 16. Mallado resultante ................................................................................................... 24 Imagen 17. Detalle mallado elementos de posicionamiento ..................................................... 24 Imagen 18. Descripción del fenómeno aliasing espacial............................................................. 35 Imagen 19. Disposición de puntos y dirección de la medida ...................................................... 36 Imagen 20. Dispositivos necesarios para el análisis modal ......................................................... 36 Imagen 21.Martillo para excitación con punta metálica ............................................................ 37 Imagen 22. Vista en planta distribución y secuencia de excitación del ensayo .......................... 37 Imagen 23.Interfaz de captación de datos .................................................................................. 38 Imagen 24. Extracción de función de respuesta frecuencial ...................................................... 38 Imagen 25. Función de coherencia ............................................................................................. 39 Imagen 26. Función de respuesta en frecuencia del ensayo modal resultante.......................... 41 Imagen 27. Modo vibración 1 a 964,5 Hz .................................................................................... 41 Imagen 28. Modo vibración 1 a 991,9 Hz .................................................................................... 42 Imagen 29. Modo vibración 1 a 1879 Hz ..................................................................................... 42 Imagen 30. Modo vibración 1 a 1170,3 Hz .................................................................................. 43 Imagen 31. Modo vibración 2 a 1184 Hz ..................................................................................... 43 Imagen 32. Modo 3 vibración a 2211,9 Hz .................................................................................. 44 Imagen 33. Esquema general de los parámetros de salida deseados. ....................................... 48 Imagen 34. Captura en continuo del ruido señal en precarga 1000 medidas duración 1 sg ...... 51 Imagen 35. Función rápida de Fourier ........................................................................................ 52 Imagen 36. Entrada sensor capacitivo para Montecarlo ............................................................ 55 Imagen 37. Salida Montecarlo eje X, media -0.4095mm, desviación 2.256 ............................... 55 Imagen 38. Salida eje Y, media 196.2mm, desviación 3.0481 .................................................... 55 Imagen 39. Salida Montecarlo eje Z, media 410.912mm, desviación 2.5678............................. 56 Imagen 40. Salida Montecarlo giro en X, media 0.03190, desviación 0.1584 ............................. 56 Imagen 41. Salida Montecarlo giro en Y, media 0.11660, desviación 0.1229 ............................. 56 Imagen 42. Salida Montecarlo giro en Z, media 59.8770, desviación 1.0088 ............................. 56 Imagen 43. Conjunto plataforma+brazo articulado .................................................................... 57 63 Índice de Tablas Tabla 1. Número de modos, frecuencias y desfases resultantes del análisis modal de campo . 40 Tabla 2. Resultados modales de ensayo modal realizado por elementos finitos plataforma superior ....................................................................................................................................... 43 Tabla 3. Medidas de ruido por captación en continuo 1000 medidas por segundo .................. 53 Tabla 4. Medidas nominales sensores capacitivos y errores de banda en posición 1, para simulación de Montecarlo........................................................................................................... 54 Tabla 5. Medias, desviaciones estándar e intervalos de confianza del 95% de la matriz (X Y Z α β γ ) ................................................................................................................................................. 56 Índice de Gráficos Gráfico 1. Ejemplo ilustrativo de picos de resonancia ................................................................ 39 Gráfico 2. Ejemplo ilustrativo de picos de anti-resonancia ......................................................... 39 Gráfico 3. Ejemplo ilustrativo desfase 180º-180º entre resonancias y anti-resonancias ........... 40 Gráfico 4. Sensibilidad del sensor ............................................................................................... 49 Gráfico 5. Offset en salida del sensor.......................................................................................... 50 Gráfico 6. Error de linealidad del sensor ..................................................................................... 50 Gráfico 7. Distribución del error de medida del sensor capacitivo ............................................. 51 Gráfico 8. Un ciclo de señal compuesta por principales armónicos de Fourier .......................... 52 Gráfico 9. Ruido de medida de los sensores sometidos a precarga de 4 Bar de la estructura ... 53 64 ANEXOS Anexo I. Comandos utilizados en MATLAB para la obtención de MONTECARLO % Montecarlo para obtención de distribución de medida de sensor % n= número de casos, d= medida del sensor, e= rango de error del sensor, mu= media normal ruido, dst=desviación ruido L1=linspace(d1,d1,n); % matriz de medida para generación de Montecarlo L1=transpose(L1); L2=linspace(d2,d2,n); % matriz de medida para generación de Montecarlo L2=transpose(L2); L3=linspace(d3,d3,n); % matriz de medida para generación de Montecarlo L3=transpose(L3); L4=linspace(d4,d4,n); % matriz de medida para generación de Montecarlo L4=transpose(L4); L5=linspace(d5,d5,n); % matriz de medida para generación de Montecarlo L5=transpose(L5); L6=linspace(d6,d6,n); % matriz de medida para generación de Montecarlo L6=transpose(L6); x1_1=-e1*d1+(2*e1*d1.*rand(n,1)); % error medida, comportamiento uniforme sensor 1 x2_1= 0 + dst1.*randn(n,1); % influencia ruido medida, comportamiento normal sensor 1 y1=L1+x1_1+x2_1; % Función modelo, medida y errores y_m1=mean(y1); % media de la medida y_s1=std(y1); % desviación de la medida y1=sort(y1); % ordenación del vector x1_2=-e2*d2+(2*e2*d2.*rand(n,1)); % error medida, comportamiento uniforme sensor 2 x2_2= 0 + dst2.*randn(n,1); % influencia ruido medida, comportamiento normal sensor 2 y2=L2+x1_2+x2_2; % función modelo, medida y errores y_m2=mean(y2); % media de la medida y_s2=std(y2); % desviación de la medida y2=sort(y2); % ordenación del vector x1_3=-e3*d3+(2*e3*d3.*rand(n,1)); % error medida, comportamiento uniforme sensor 3 x2_3= 0 + dst3.*randn(n,1); % influencia ruido medida, comportamiento normal sensor 3 y3=L3+x1_3+x2_3; % Función modelo, medida y errores y_m3=mean(y3); % media de la medida y_s3=std(y3); % desviación de la medida y3=sort(y3); % ordenación del vector 65 x1_4=-e4*d4+(2*e4*d4.*rand(n,1)); % error medida, comportamiento uniforme sensor 4 x2_4= 0 + dst4.*randn(n,1); % influencia ruido medida, comportamiento normal sensor 4 y4=L4+x1_4+x2_4; % Función modelo, medida y errores y_m4=mean(y4); % media de la medida y_s4=std(y4); % desviación de la medida y4=sort(y4); % ordenación del vector x1_5=-e5*d5+(2*e5*d5.*rand(n,1)); % error medida, comportamiento uniforme sensor 5 x2_5= 0 + dst5.*randn(n,1); % influencia ruido medida, comportamiento normal sensor 5 y5=L5+x1_5+x2_5; % Función modelo, medida y errores y_m5=mean(y5); % media de la medida y_s5=std(y5); % desviación de la medida y5=sort(y5); % ordenación del vector x1_6=-e6*d6+(2*e6*d6.*rand(n,1)); % error medida, comportamiento uniforme sensor 6 x2_6= 0 + dst6.*randn(n,1); % influencia ruido medida, comportamiento normal sensor 6 y6=L6+x1_6+x2_6; % Función modelo, medida y errores y_m6=mean(y6); % media de la medida y_s6=std(y6); % desviación de la medida y6=sort(y6); % ordenación del vector for i=1:n sensor_reading_act=[y1(i);y2(i);y3(i);y4(i);y5(i);y6(i)]; % llamada función global mat(i,:) = MatrizCambio(Posplat, sensor_reading_act, M2pos1, X2pos1, M2pos2,... X2pos2, M2pos3, X2pos3, M2pos4, X2pos4, M2pos5, X2pos5,... M2pos6, X2pos6, M1, M2, M3, M4, M5, M6, X_op,... Sensor_Reading_M1, Sensor_Reading_M2, Sensor_Reading_M3,... Sensor_Reading_M4, Sensor_Reading_M5, Sensor_Reading_M6) end x=mat(:,1); w=mat(:,2); z=mat(:,3); A=mat(:,4); B=mat(:,5); C=mat(:,6); 66 Anexo II. Cálculo de Fourier mediante MATLAB Fs = 1000; % Numero de captaciónes de muestra T = 1/Fs; % Tiempo de muestra L = 1000; % Longitud de señal t = (0:L-1)*T; % Vector tiempo z = y; % senoide de ruido plot(Fs*t(1:1000),y(1:1000)) % visualización del ruido de medida xlabel('time (milliseconds)') plot(Fs*t(1:1000),y(1:1000)) Y = fft(y)/L; %Función rápida de Fourier f = Fs/2*linspace(0,1,length(Y)); plot(f,2*abs(Y)) % muestra en pantalla Función frecuencias y amplitud