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Sistemas dinámicos con simetría. Ana Rojo Echeburúa. Trabajo de fin del grado de Matemáticas. Universidad de Zaragoza. III RESUMEN EN INGLÉS Author: Ana Rojo Echebur´ ua Chapter 1 Introduction to dynamical systems with symmetries. The aim of this work is to find symmetries in dynamical systems. Symmetries in dynamical systems allow us to deduce certain properties that simplify the system for better understanding of its behavior. Although we distinguish the discrete case and the continuous case, we will be mainly interested in the continuous case. We will introduce the concept of Lie group and Lie algebra and we will also see that a manifold, in which a Lie group is acting, can be reduced to a smaller one and thus facilitate us the studying of the first one. 1.1 Basic concepts. Definition 1.1.1. A dynamical system is a tern (S,f,T)where T=R,Z, called set of times, Sis a set called the state space, and f={ft}is a family of maps, ft:S! Sdefined for t 0satisfying: •f0=id, •ft+s=ftfsfor all t,s0. When T=Rthe dynamical system will be said to be coninuous, and if T=Zthe dynamical system will be said to be discrete. If ftis defined for all t2T, whenever t is positive or not, and satisfies the above properties, we say that the dynamical system is invertible. We will refer to a dynamical system indicating only the family of maps ft. For a discrete dynamical system, T=Z,ftis just a t-times composition of F=f1, that is called generator of the dynamical system. For a continuous dynamical system, T=R, and under suitable regularity conditions, ftis the general solution of a system of differential equations. Definition 1.1.2. An invertible map y:S! Sis a symmetry of a dynamical system ftif it satisfies: yft=fty(1.1) for all t 0. Proposition 1.1.3. If yis a symmetry of a dynamical system ftand x02S,y(ft(x0)) = ft(y(x0)). Let (G,)be the group of invertible maps from Sto itself, G={y:S!S|9y1:S!S}, with the composition. The set of symmetries of a dynamical system is a subgroup of G. V VI Chapter 1. Introduction to dynamical systems with symmetries. 1.1.1 Other notions of symmetry. There are other more general notions of symmetries. Sometimes symmetry is accepted as a map y:S! Ssuch that yft=fty. In this case yapplies orbits in orbits in the opposite orientation. It isalso said that y:S! Sis a symmetry of ftif there is a map t:S⇥T! T such that t(x,·):T! Tis monotone, for each x2S, and it is satisfied that yft=ft(,t)y, for all t0. In this case, yapplies orbits in orbits but its parametrization is changed. We will not consider here such generalizations. 1.2 Characterization in terms of the generator. 1.2.1 Discrete time systems. Let ftbe a discrete time dynamical system. Let F=f1:S! Sbe its generator. Then an invertible map yis a symmetry of ftif and only if Fy=yF. The proof is immediate, since ft=F···F (t-times). 1.2.2 Continuous time systems. Suppose the state space is a smooth manifold S=M, and that the map f:R⇥M! M, defined by f:(t,x)7! ft(x)is differentiable C•. We will denote by TM the tangent bundle of M. Definition 1.2.1. A vector field is a differentiable map X :M! TM such that X(m)2TmM for all m2M. We denote by X(M)the set of vector fields in M. We say that the generator of the dynamical system ftis the vector field X2X(M)defined by: X(m)= d dt ft(m)t=0+,for all m2M. Definition 1.2.2. An integral curve gof a vector field X is a map g:I! M such that ˙ g(t)=X(g(t)) where I is an interval in R. If Iis as big as possible, we will say that the curve is maximal. Definition 1.2.3. A vector field it is said to be complete if all its maximal integral curves are defined in all Rand semi-complete if they are defined in [0,+•). Definition 1.2.4. The flow ftof a vector field X is the map ft:S! Sdefined by ft(x)=gx(t), where gx(t)is the maxiamal integral curve of X such that gx(0)=x. We also say that ftis a one-parameter group generated by X. If a vector field Xis semi-complete, it defines a dynamical system and if Xis complete, it defines an invertible dynamical system. We can write d dt ft(x)=X(ft(x)), for all t2Rand all x2M. In terms of the generator of the continuous dynamical system, a symmetry is characterized by the following property. Proposition 1.2.5. Let fta continuous dynamical system and let X be its infenitesimal generator. A diffeomorphism y:M!M is a symmetry if and only if TyX=Xy. Let ftbe a discrete dynamical system genetated by F. Supose that it has an one-parameter group ysof symmetries of F,i.e, Fys=ysF. If Yis the infinisesimal generator for yswe have that TFY=YF. And if TFY=YFthen the one-parameter group that is generated by Yis a one-parameter group of symmetries of F. Dynamical systems with symmetry 1.3. Symmetry groups and reduction. VII 1.3 Symmetry groups and reduction. Definition 1.3.1. A Lie group is a group G that is also a finite dimensioal differentiable manifold, such that the two group operations of G, multiplication and inversion, are differentiable maps. Let Gbe a Lie group and Ma connected differentiable manifold. Consider a left action of Gin M, i.e, a differentiable map j:G⇥M! Mverifying: i)j(e,m)=m,for all m2M, with eidentity element. ii)j(g1,j(g2,m)) = j(g1g2,m),for all g1,g22Gand for all m2M. Definition 1.3.2. A Lie algebra is a vectorial space V endowed with a bilinear operation [,]such that for a,b,c elements in the algebra we have: •[a,b]=[b,a],(skew symmetric), •[a,[b,c]]+[a,[b,c]]+[c,[a,b]] = 0,(Jacobi identity). Definition 1.3.3. A vector field X on a Lie group G is called left-invariant if: (T0 gLg)(X(g0)) = X(gg0),for all g,g02G. The space of left-invariant vector fields is a vectorial space that we denote XL(G). If X,Yare left-invariant vector fields on a Lie group G,[X,Y]is also a left-invariant vector field in G. Therefore XL(G)is a Lie algebra. If eis the identity element of a Lie group Gand TeG=Gis the tangent space to Gin e, we define the map :G!XL(G)such that x(g)=(TeLg)(x), for all g2G. Definition 1.3.4. Let G be a Lie group and Gthe tangent space to G in the identity element. Then a Lie algebra structure [,]Gexists in G such that: [x,h]G=[ x, h](e), for all xand hin G. The vectorial space Gwith a Lie algebra structure [,]Gis called Lie algebra of a Lie group G. Let Gbe the Lie algebra of the Lie group Gof M. For each a2Gwe can define a vector field Xa2X(M)through: Xa(m)=Tejm(a), or equivalently, if f2C•(M). Xa(m)f=d dtf(exp(ta)m)t=0, The map X:G! X(M)associating a2Gwith Xais an antihomomorphism of Lie algebras, i.e: [Xa,Xb]=X[a,b]. It follows that Xais complete and the flow ftof Xais defined by: ft=jexp(ta). Proposition 1.3.5. Let M be a manifold and G a Lie group in M. Supppose M/G has a structure of cocient manifold. If X is a vector field such that TjgX=Xjg, for all g 2G the a unique vector field ¯ X2X(M/G)exists such that TpX=¯ Xpwhere p:M! M/G is the projection to the cocient. If ftis the flow of X then the flow of (¯ X)is ¯ ft([m]) = [ft(m)]. From now, we will focus on dynamical systems in continuous time assumimg that they are invertible. If they have continuous symmetry is also assumed that the generator is complete. Author: Ana Rojo Echebur´ ua VIII Chapter 1. Introduction to dynamical systems with symmetries. Dynamical systems with symmetry Chapter 2 Riemannian geometry and symmetries. Geodesics. A physical system is often subjected to restrictions in the state space. The kinetic energy in the constricted space is given by a riemannian metric. To study the symmetries of the dynamical system it is necessary to study the symmetries of the metric. 2.1 Linear connections Definition 2.1.1. A linear connection is a map which asocciates to every vector field U 2X(M)an operator —U:X(M)! X(M)satisfying the following properties: •—U(aX+bY)=a—UX+b—UY, for all a,b2Rand for all U,X,Y2X(M). •—fU+gV X=f—UX+g—VX, for all f ,g2C•(M)and for all U,V,X2X(M). •—U(fX)=U(f)X+f—UX, for all f 2C•(M)and for all X 2X(M). A vector field along a curve g:I! Mis a differentiable map X:I! TM such that: X(t)2Tg(t)M, where Iis an interval of R. Let Mbe a differentiable manifold with an affine connection. Let Xbe a vector field along a differentiable curve g:I⇢R! M. We take a subinterval of Iwhere gis inyective. Let Ube a neighbourhood of this subinterval, we can obtain an other vector field Y2X(M)such that Yg=X. We will call covariant derivative of Xalong gto the vector field that satisfies: —˙ gX=—˙ gY. Let F:¯ M! Mbe a differentiable map. Two vector field X2X(¯ M)and Y2X(¯ M)are F-related if TFX=YF.If Fis a diffeomorphism, then for every vector field X2X(M),TF1XFis also a vector field on X(¯ M)that it is denoted by F⇤X. Besides, if X2X(¯ M),TFXF1is a vector field in X(M)and it is denoted by F⇤X. If f2C•(M),X(fF)=(F⇤X)f. Definition 2.1.2. Let ¯ —and —be linear connections in ¯ M and M respectively. A map F :¯ M! M it is said to be affine if F⇤—XY=¯ —F⇤XF⇤Y,for all X,Y2X(M).(2.1) IX XVI Chapter 3. Geometric formulation of hamiltonian mechanics. 3.4 Complete lift. Definition 3.4.1. Let X 2X(Q)and let ft:Q! Q be its flow. The map (Tf⇤ t)1:TQ⇤! TQ⇤is a flow in TQ⇤. We will say that the infinitesimal generator of this flow is the complete lift of X and we will denote it by Xc. Proposition 3.4.2. The expression in natural coordinates (qi,pi)in T Q⇤of the complete lift is as follows: Xc(q,p)=Xi(q)∂ ∂qipj∂Xj ∂qi(q)∂ ∂pi . Definition 3.4.3. Let ˆ X2C•(TQ⇤)given by ˆ X(aq)=<aq,X(q)>for all aq2TQ⇤. This map is called momentum in the direction of X 2X(Q). In coordinates, ˆ X(q,p)=piXi(q). Proposition 3.4.4. X is hamiltonian with hamiltonian function ˆ X=piXi. Proof. Indeed: iXcw=Xidpi+pj ∂Xj ∂qidqi=d[Xipi]=dˆ X. Proposition 3.4.5. Let H(a)=1 2g1(a,a). X is a Killing vector field if and only if LXcH=0. Proof. In coordinates, H=1 2gij(q)pipjwe have that: LXcH=1 2✓Xk∂gij ∂qkvivjgkj ∂Xj ∂qivivjgki ∂Xi ∂qjvivj◆=1 2LXg(v,v), with vi=gijpjand pj=gijvi. If Xis a Killing vector field then LXg=0 and then LXcH=0.And if LXcH=0, then LXg=0 and Xis a Killing vector field. 3.5 Mardsen-Weinstein reduction. Theorem 3.5.1. (Marsden-Weinstein) Let jbe a free and proper hamiltonian action of G in a symplectic manifold (M,w)with equivariant momentum map J. Then the space Pµ=J1(µ)/Gµwith µ regular value has a unique symplectic form characterized by p⇤ µwµ=i⇤ µw. Besides, if H is an invariant hamiltonian in M and ˜ Hµis the induced hamiltonian in J1(µ)/Gµ, the flows ftand ˜ ftof XHand ˜ XHµ2X(Pµ)satisfy that pµft=˜ ftpµ. This theorem allows us to reduce a symplectic manifold, under certain conditions, to an other whit lower dimension wich preserves the dynamics and structure of the manifold from which it comes. An example where we can apply this teorem is in the Elroy’s Beanie problem: Two rigid bodies that are joined at a fixed point are considered. Two reference semi-axes are set. The manifold to consider is Q=S1⇥S1with coordinates (q,j), where qis the angle between the xsemi-axis with the semi-axis of reference of the first body and fis the angle between a reference semi-axis of the first body with the reference axis of the second body. The angle between the first and the second body is always the same. In this problem we can reduce a manifold of dimension four - S1⇥S1⇥R⇥Rto a manifold of dimension two - S1⇥R. Dynamical systems with symmetry 3.5. Mardsen-Weinstein reduction. XVII Author: Ana Rojo Echebur´ ua XVIII Chapter 3. Geometric formulation of hamiltonian mechanics. Dynamical systems with symmetry Prólogo. La presencia de simetrías en un sistema dinámico implica ciertas propiedades que permiten simplicar dicho sistema y entender mejor su comportamiento. En este trabajo estudiaremos la teoría de la simetría en sistemas dinámicos y la aplicaremos a casos concretos. De manera informal, podemos entender una simetría como lo que se repite, lo reiterativo, lo que vuelve a ser igual, es decir, si aplicamos una simetría a un objeto, este queda de la misma forma. Así pues, podríamos hablar de simetrías de un sistema como su conjunto de invariancias, es decir, que al aplicar una transformación de simetría sobre un sistema, el sistema queda inalterado. Se definirá el concepto de sistema dinámico así como el de simetría de un sistema dinámico y se caracterizarán las simetrías de los sistemas dinámicos distinguiendo el caso en el que sean discretas o continuas. Estaremos interesados en las simetrías continuas y serán las que trataremos a lo largo de todo el trabajo. También se introducirá el concepto de grupo de Lie y álgebra de Lie, así como el de álgebra de Lie de un grupo de Lie. Interpretando el conjunto de estados como una variedad diferenciable, se verá que si la cocientamos por un grupo de Lie de simetrías, ésta puede reducierse a la variedad cociente, obteniendo un sistema dinámico en una variedad de dimensión menor. En muchas ocasiones un sistema físico se ve sometido a restricciones en el espacio de estados. La energía cinética en el espacio restringido viene dada por una métrica riemanniana. Por tanto, estaremos interesados en estudiar el flujo geodésico asociado a dicha métrica. Para estudiar las simetrías del sistema dinámico se procede a estudiar las simetrías de la métrica. Los grupos uniparamétricos de isometrías son simetrías continuas de la métrica y por tanto estaremos interesados en estudiarlos junto con sus campos vectoriales asociados, los campos de Killing. Un tipo de sistema dinámico muy común en mecánica clásica es el de los sistemas dinámicos hamiltonianos. La geometría simpléctica nos permite encontrar simetrías en estos sistemas de una manera sistemática. Estudiaremos la invariancia de los hamiltonianos bajo un cierto grupo de simetrías y veremos que tiene consecuencias importantes, como por ejemplo el teorema de Noether. Este teorema dice que cada simetría continua de un sistema dinámico implica que alguna magnitud del sistema se conserva, y que, cada magnitud conservada tiene una correspondiente simetría. También se verá el teorema de Marsden y Weinstein, que proporciona un método para construir, a partir de una variedad simpléctica sobre la que actúa un grupo de Lie, otra variedad simpléctica de dimensión menor con las mismas propiedades que la de partida. En un apéndice se han recogido diversas propiedades de la derivada de Lie que hemos utilizado frecuentemente. Aunque su estudio también ha formado parte de este trabajo, se ha preferido separarlas del texto principal para una exposición más fluida. XIX Índice general Prólogo. XIX 1. Introducción a los sistemas dinámicos con simetría. 1 1.1. Conceptos básicos. ................................... 1 1.1.1. Otras nociones de simetría. ........................... 2 1.2. Caracterización en términos del generador. ....................... 2 1.2.1. Sistemas en tiempo discreto. .......................... 2 1.2.2. Sistemas en tiempo continuo. ......................... 2 1.3. Grupos de simetría y reducción. ............................ 4 2. Geometría riemanniana y simetrías. Geodésicas. 7 2.1. Conexiones lineales ................................... 7 2.2. Geometría riemanniana. Conceptos. .......................... 8 2.3. Conexión de Levi-Civita. ................................ 8 2.4. Campos de Killing. ................................... 10 2.5. Geodésicas ....................................... 11 2.6. Mecánica newtoniana. ................................. 14 3. Formulación geométrica de la mecánica hamiltoniana. 15 3.1. Variedades simplécticas. Formas simplécticas. Simplectomorfismos. ......... 15 3.1.1. Estructura simpléctica canónica en un fibrado cotangente. .......... 16 3.2. Sistemas dinámicos hamiltonianos y simetrías. ..................... 16 3.2.1. Sistemas dinámicos hamiltonianos ....................... 16 3.2.2. Simetrías en sistemas dinámicos hamiltonianos ................ 17 3.2.3. Paréntesis de Poisson .............................. 18 3.3. Ecuaciones de las geodésicas como sistema hamiltoniano. ............... 18 3.4. Levantamiento completo. ................................ 20 3.5. Reducción de Mardsen-Weinstein ........................... 22 A. Derivada de Lie y diferencial exterior. 27 A.1. Relación entre sistemas dinámicos simétricos y el corchete de Lie. .......... 27 Bibliografía 31 XXI Capítulo 1 Introducción a los sistemas dinámicos con simetría. La presencia de simetrías en un sistema dinámico implica ciertas propiedades que permiten simplicar dicho sistema dinámico. En este capítulo se presentará la noción de sistema dinámico así como la de simetría de un sistema dinámico y se caracterizarán las simetrías de los sistemas dinámicos en el caso en que estas sean discretas o sean continuas. También se introducirá el concepto de grupo de Lie y álgebra de Lie, así como el de álgebra de Lie de un grupo de Lie. Interpretando el conjunto de estados como una variedad diferenciable, se verá que si la cocientamos por un grupo de Lie de simetrías de un sistema dinámico, éste puede reducierse a la variedad cociente, obteniendo un sistema dinámico en una variedad de dimensión menor. 1.1. Conceptos básicos. Definición 1.1.1. Un sistema dinámico es una terna (S,f,T)donde T=R,Z, denominado conjunto de tiempos, Ses un conjunto, denominado espacio de estados, y f={ft}es una familia de aplicaciones, ft:S! Sdefinida para t 0satisfaciendo: f0=id, ft+s=ftfspara todo t,s0. Cuando T=Rse dirá que es un sistema dinámico en tiempo continuo, mientras que si T=Zse dirá que el sistema dinámico es en tiempo discreto. Si ftestá definido para todo t2T(positivo o no) y satisface las propiedades anteriores, se dirá que es invertible. Por comodidad se referirá a un sistema dinámico indicando únicamente la familia de aplicaciones ftde la terna que define el sistema dinámico. En el caso de un sistema dinámico en tiempo discreto, T=Z, la aplicación ftes simplemente la composición t-veces de la aplicación F=f1, que se denomina generador del sistema dinámico. En el caso de un sistema dinámico en tiempo continuo, T=R, bajo condiciones adecuadas de regularidad (que se precisarán más adelante) la aplicación ftes la solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales. En cualquier caso, nótese que un sistema dinámico equivale a la acción del semigrupo aditivo T+={t2T|t0}sobre el espacio de estados S. La órbita de un punto x2Ses el conjunto ordenado {ft(x)|t2T}. Definición 1.1.2. Se dice que una aplicación invertible y:S! Ses una simetría de un sistema dinámico ftsi satisface yft=fty(1.1) 1 2Capítulo 1. Introducción a los sistemas dinámicos con simetría. para todo t 0. Una simetría aplica órbitas en órbitas. Proposición 1.1.3. Si yes una simetría de un sistema dinámico ftyx 02Sentonces la imagen por yde la órbita de x0es igual a la órbita de y(x0), es decir, y(ft(x0)) = ft(y(x0)). Demostración. Se obtiene inmediatamente al aplicar (1.1)ax0. Proposición 1.1.4. Consideremos el grupo (G,)de las aplicaciones invertibles de Sen sí mismo, G={y:S! S|9y1:S! S}, con la composición de aplicaciones. El conjunto de simetrías de un sistema dinámico es un subgrupo de G. Demostración. Hay que ver que S={y2G|yes simetría de ft}es un subgrupo de G. En primer lugar, contiene al elemento neutro de G,id :S! S, ya que trivialmente se tiene que: id ft=ftid. Por otro lado, hay que ver que si yes simetría entonces y1es simetría. A partir de yft=fty componiendo con y1por la izquierda se obtiene ft=y1fty. Componiendo ahora con y1 por la derecha se llega a fty1=y1ft, por lo que y1es simetría. Por último hay que ver que si y1,y2son simetrías entonces y1y2es simetría. Componiendo y2ft=fty2con y1por la izquierda se obtiene que y1y2ft=y1fty2, y componiendo y1ft=fty1con y2por la derecha se obtiene que y1fty2=fty1y2, de donde se obtiene y1y2ft=y1fty2=fty1y2. 1.1.1. Otras nociones de simetría. Existen otras nociones más generales que la considerada aquí. En ocasiones se acepta como simetría una aplicación y:S! Stal que yft=fty. En este caso la aplicación yaplica órbitas en órbitas con la orientación contraria. Con más generalidad, se dice que y:S! Ses un simetría de ftsi existe una aplicación t:S⇥T! Ttal que t(x,·):T! Tes monótona, para cada x2S, y se satisface yft=ft(,t)y, para todo t0. En este caso, yaplica órbitas en órbitas, como conjuntos, aunque cambia su parametrización. No se considerarán aquí dichas generalizaciones. 1.2. Caracterización en términos del generador. Veamos cómo se puede caracterizar una simetría de un sistema dinámico dependiendo de si éste es discreto o continuo. 1.2.1. Sistemas en tiempo discreto. Se considera un sistema dinámico ften tiempo discreto, T=Z, y sea F=f1:S! Ssu generador. Entonces una aplicación invertible yes una simetría de ftsi y sólo si Fy=yF. La demostración es inmediata, ya que ft=F···F(t-veces). 1.2.2. Sistemas en tiempo continuo. Como se ha mencionado anteriormente los sistemas dinámicos en tiempo continuo están relacionados con los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Supongamos que el espacio de estados es una variedad diferenciable S=M, y que la aplicación f:R⇥M! M, definida por f:(t,x)7! ft(x)es diferenciable de clase C•. De tonaremos por TM al fibrado tangente a M. Definición 1.2.1. Un campo vectorial es una aplicación diferenciable X :M! T M tal que para todo m 2M se tiene que X(m)2TmM. Sistemas dinámicos con simetría 1.2. Caracterización en términos del generador. 3 Se denota por X(M)al conjunto de los campos de vectores sobre M. Llamamos generador infinitesimal del sistema dinámico ftal campo vectorial X2X(M)definido por: X(m)= d dt ft(m)t=0+,para todo m2M. Definición 1.2.2. Una curva integral gde un campo vectorial X es una aplicación g2R:I! M tal que ˙ g(t)=X(g(t)) e I es un intervalo de R. Diremos que una curva integral ges maximal si su dominio de definición Ies el mayor posible en el sentido de la inclusión. Definición 1.2.3. Un campo vectorial se dice completo si todas sus curvas integrales maximales están definidas en todo Ry semicompleto si lo están para [0,+•). Definición 1.2.4. Sea gmuna curva integral maximal del campo vectorial X tal que gm(0)=m para todo m 2M. El flujo de un campo vectorial es una aplicación ft:M! M definida por ft(m)=gm(t). Afttambién se le llama grupo uniparamétrico generado por X. Si un campo Xes semicompleto, define un sistema dinámico y se Xes completo, define un sistema dinámico invertible. Se sigue de la definición de generador que: d dt ft(m)=X(ft(m)),para todo t2Rypara todo m2M. En términos del generador del sistema dinámico en tiempo continuo una simetría queda caracterizada por la siguiente propiedad. Proposición 1.2.5. Sea ftun sistema dinámico en tiempo continuo y sea X su generador infinitesimal. Un difeomorfismo y:M!M es una simetría si y sólo si TyX=Xy. Demostración. Aplicando (1.1) a un punto cualquiera m2My tomando la derivada en t=0+se tiene, por un lado d dt (yft)(m)t=0+=Tft(m)yd dt ft(m)t=0+=Tmy(X(m)), y por otro d dt (fty)(m)t=0+=X(y(m)). Se llega así a Tmy(X(m)) = X(y(m)). Recíprocamente, supongamos que TyX=Xy. Probaremos que ftyft=y. Derivando ftyftcon respecto de ten un punto cualquiera m2Mse tiene que: d dt (ftyft)(m)=X(ftyft)(m)TmftTmyXft(m). Por otro lado, derivando con respecto a sla igualdad ftfs=fsften un punto cualquiera m2M se tiene que Tmft(X(m)) = X(ft(m)). Por tanto TmftTmyXft(m)=TmftXy(ft)(m)= X(ftyft)(m)yd dt (ftyft)(m)=0. Así ftyftes constante respecto a t. Tomando, por ejemplo, t=0 en ftyftse obtiene yy así ftyft=ypara todo t 0. Consideremos un sistema dinámico en tiempo discreto generado por F. Supóngase que se tiene un grupo uniparamétrico ysde simetrías de F, es decir, Fys=ysF. Si Yes el generador infinitesimal de ysentonces TF Y=YF. Recíprocamente, si se cumple TF Y=YFentonces el grupo uniparamétrico generado por Yes un grupo uniparamétrico de simetrías de F. Autor: Ana Rojo Echeburúa 10 Capítulo 2. Geometría riemanniana y simetrías. Geodésicas. Demostración. Sean U,V,W2X(M)campos F-relacionados con X,Y,Z2X(¯ M), respectivamente. Por ser F isometría se tiene que: U¯g(V,W)=U¯g(F⇤Y,F⇤Z)=U(g(Y,Z)F)=F⇤Ug(Y,Z)=Xg(Y,Z). Análogamente se tiene que V¯g(W,U)=Yg(Z,X)y que W¯g(U,V)=Zg(X,Y). Por otro lado: ¯g(U,[V,W]) = ¯g(F⇤U,F⇤[V,W]) = ¯g(F⇤U,[F⇤V,F⇤W]) = g(X,[Y,Z]). Análogamente se tiene que ¯g(W,[U,V]) = g(Z,[X,Y]) y que ¯g(V,[W,U]) = g(Y,[Z,X]). Teniendo en cuenta la identidad de Koszul: ¯g(F⇤—UV,F⇤W)= ¯g(¯ —XY,Z)F=¯g(—F⇤UY,F⇤W)= ¯g(¯ —F⇤UF⇤V,F⇤W), para todo W2X(¯ M), luego: F⇤—UV=¯ —F⇤UF⇤V. Por tanto F es afín. 2.4. Campos de Killing. Un campo de Killing Kes un campo vectorial en una variedad de Riemann (M,g)que define un grupo uniparamétrico de isometrías. Definición 2.4.1. Sea K un campo vectorial en (M,g)y sea ftsu flujo. Se dice que K es un campo de Killing si cada aplicación ftes una isometría, es decir: f⇤ tg=g. Proposición 2.4.2. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes: i) Un campo vectorial K en (M,g)es de Killing. ii) LKg=0. iii) g(—XK,Y)+g(—YK,X)=0, para todo X,Y2X(M). Demostración. i),ii) Sea ftel grupo uniparamétrico asociado a Kcampo de Killing. Derivando f⇤ tgcon respecto de t y usando (A.1.6): d dt f⇤ tg=d dss=0f⇤ t+sg=d dss=0f⇤ tf⇤ sg=f⇤ t d dss=0f⇤ sg=f⇤ tLKg. Supongamos primero que Kes de Killing. Entonces, f⇤ tg=g. Por tanto se tiene que d dt f⇤ tg=d dt g=0 y así LKg=0. Recíprocamente, supongamos ahora que LKg=0. Entonces f⇤ tLKg=0 y así se tiene que d dt f⇤ tg=0.Por tanto f⇤ tgconstante respecto a t, luego f⇤ tg=gy así Kes de Killing. ii),iii) Utilizando (A.1.7), para todo X,Y2X(M)se tiene: LKg(X,Y)=Kg(X,Y)g([K,X],Y)g(X,[K,Y]) =g(—KX,Y)+g(X,—KY)g(—KY—xK,Y)g(X,—KY—YK) =g(—KX,Y)+g(X,—KY)g(—KX,Y)+g(—XK,Y)g(X,—KY)+g(X,—YK) =g(—XK,Y)+g(—YK,X), de donde se deduce el resultado. Sistemas dinámicos con simetría 2.5. Geodésicas 11 Expresemos en coordenadas LKg. Usando otra vez (A.1.7) se tiene que para X=∂ ∂miy para Y=∂ ∂mj: LKg✓∂ ∂mi,∂ ∂mj◆=Kg✓∂ ∂mi,∂ ∂mj◆g✓K,∂ ∂mi,∂ ∂mj◆g✓∂ ∂mi,K,∂ ∂mj◆ =Kk∂gij ∂xk+gik ∂Ki ∂mj+gjk ∂Kj ∂mi, puesto que hK,∂ ∂mki=h∂ ∂mk,Ki=L∂ ∂mk K=∂Kl ∂mk ∂ ∂ml. Por tanto, Kes campo de Killing si y sólo si se tiene que la expresión Kk∂gij ∂mk+gik ∂Ki ∂mj+gjk ∂Kj ∂mise anula. 2.5. Geodésicas Sea (M,g)una variedad de Riemann de dimensión n. Definición 2.5.1. Una curva g:I⇢R! M sobre una variedad de Riemann (M,g)es una geodésica si no hay variación covariante del campo tangente a la curva a largo del tiempo, es decir: —˙ g(t)˙ g(t)=0. Lema 2.5.2. Si una curva g:I⇢R! M es geodésica entonces el vector tangente en un punto de la misma tiene módulo constante, es decir: g(˙ g,˙ g)=cte. Demostración. Derivando g(˙ g,˙ g)respecto a t: d dt (g(˙ g,˙ g)) = g(—˙ g(t)˙ g(t),˙ g)+g(˙ g,—˙ g(t)˙ g(t)) = 2g(—˙ g(t)˙ g(t),˙ g)=0, ya que por ser g:I⇢R! Mgeodésica, —˙ g(t)˙ g(t)=0.Por tanto g(˙ g,˙ g)es constante. Esta constante ces proporcional a la longitud de arco sya que s=Zb a g(˙ g(t),˙ g(t)) dt =(ba)c. Se dice que gestá parametrizada por un parámetro natural. Si c=1 está parametrizada por la longitud del arco. Proposición 2.5.3. En un sistema de coordenadas locales, una curva g(t)=(g1(t),...,gk(t)) es geodésica si y sólo si satisface el sistema de ecuaciones diferenciales: d2gk dt2+(Gk i,jg)dgi dt dgj dt =0.(2.2) Demostración. Expresando ˙ gen coordenadas, ˙ g=˙ gi∂ ∂mi.Se tiene la siguiente expresión: —˙ g˙ g=—˙ gi∂ ∂mi ˙ gi∂ ∂mi=˙ gi—˙ gj∂ ∂mi ∂ ∂mi+d2gk dt2 ∂ ∂mk =˙ gi˙ gj—∂ ∂mi ∂ ∂mi+d2gk dt2 ∂ ∂mk=✓d2gk dt2+(Gk i,jg)dgi dt dgj dt ◆∂ ∂mk, de donde se deduce directamente el resultado. Autor: Ana Rojo Echeburúa 12 Capítulo 2. Geometría riemanniana y simetrías. Geodésicas. Corolario 2.5.4. Sea vm2T M. El campo vectorial correspondiente al sistema de ecuaciones anterior se puede expresar como G(vm)= d dt ˙ g(t)t=0, donde ges la solución del sistema —˙ g˙ gque satisface ˙ g=vm. Demostración. En coordenadas podemos escribir el sistema anterior como: ⇢˙mk=vk ˙vk=Gk i,jvivj. Por tanto el generador en coordenadas, al que denotaremos G, se expresa de la siguiente forma: G=vi∂ ∂xiGk i,jvivj∂ ∂vi. Por el teorema de existencia y unicidad, si m2Myv2TmM, existe un intervalo maximal I2R alrededor del 0 y una única geodésica g:I⇢R! Mtal que: ⇢g(0)=m, ˙ g(0)=v. Luego para todo vm2TM se tiene que: G(vm)= d dt ˙ g(t)t=0. El sistema (2.2) se puede reescribir de forma más cómoda de la siguiente forma: ¨mk+Gk i,j˙mi˙mj=0. Definición 2.5.5. El flujo asociado a Gse denomina flujo geodésico y está dado por ft:TM! TM tal que ft(m,vm)=(g(t),˙ g(t)) para todo vm2TM yg(t)curva geodésica con g(0)=m,˙ g(0)=vm. Proposición 2.5.6. Un difeomorfismo F :(¯ M,¯ —)! (M,—)es afín si y sólo si la imagen de cualquier geodésica en ¯ M es una geodésica en M. Demostración. Supongamos que Fes afín y sean gy¯ guna curvas en ¯ Mde forma que g=F ¯ g. Sea Y2X(M)tal que Yg=˙ g.Por (2.1.3) se tiene que F⇤—ZY=¯ —F⇤ZF⇤Ypara todo Y,Z2 X(M). Aplicando esta igualdad a Z=Yse tiene que F⇤—YY=¯ —F⇤YF⇤Y. Evaluando en ¯ g(t)el primer miembro se obtiene que: TF1—YYF¯ g(t)=TF1(—YF¯ g(t)Y)=TF1(—˙ gY)=TF1(—˙ g˙ g). Evaluando en ¯ g(t)el segundo miembro de la igualdad se obtiene que: (¯ —F⇤YF⇤Y)¯ g(t)= ¯ —(F⇤Y)( ¯ g)F⇤Y=¯ —TF1YF¯ g(t)(F⇤Y)= ¯ —TF1˙ g(t)F⇤Y=¯ —˙ ¯ g(t)F⇤Y=¯ —˙ ¯ g(t)˙ ¯ g(t), ya que F⇤Y¯ g=TF1YF¯ g=TF1Yg=d dt (F1g)=d¯ g dt =˙ ¯ g.Por tanto: TF1(—˙ g(t)˙ g(t)) = ¯ —˙ ¯ g(t)˙ ¯ g(t). Supongamos que ¯ g(t)es geodésica. Se tiene que —˙ ¯ g(t)˙ ¯ g(t)=0, luego TF1(—˙ g(t)˙ g(t)) = 0. Como Fes difeomorfismo, —˙ g(t)˙ g(t)=0 y así ges también geodésica. Recíprocamente, si ges geodésica —˙ g(t)˙ g(t)=0 y por ser Fdifeomorfismo TF1(—˙ g(t)˙ g(t)) = 0 y así ¯ —˙ ¯ g(t)˙ ¯ g(t)=0y ¯ ges geodésica. Sistemas dinámicos con simetría 2.5. Geodésicas 13 Proposición 2.5.7. Si K es un campo vectorial de Killing, entonces la aplicación f:TM ! R definida por f(vm)=gm(K(m),vm)para todo vm2TM, es constante de movimiento para el flujo geodésico. Demostración. Sea g(t)curva geodésica. Derivando f(˙ g(t)) con respecto a tse tiene que: d dt (f(˙ g(t)) = d dt gg(t)(K(g(t)),˙ g(t)) = gg(t)(—˙ gK,˙ g(t))+gg(t)(—˙ g˙ g,K(g(t))). Por ser g(t)geodésica se tiene que —˙ g˙ ges cero, luego el segundo sumando es cero. Por (2.4.2) tomando los campos X e Y como ˙ g(t)se tiene que: LKg(˙ g(t),˙ g(t)) = g(—˙ g(t)K,˙ g(t))+g(—˙ g(t)K),˙ g(t)) = 2g(—˙ g(t)K,˙ g(t)) = 0 Luego el primer sumando también se anula y así d dt (f(˙ g(t)) = 0 y por tanto f(˙ g(t)) = cte. Una aplicación de la proposición anterior se ve reflejada en el teorema siguiente: Teorema 2.5.8. (de Clairaut) Sea g(t)=(x(t),y(t),z(t)) una curva geodésica de una superficie de revolución M ✓R3. Si r(t) es la función que mide la distancia de g(t)al eje de rotación y q(t)ángulo que forma ˙ g(t)con el paralelo que corta en el instante t, entonces r(t)cos(q(t)) es constante. Demostración. Nótese que la métrica es la heredada de R3, es decir: g(u,v)=u·vdonde u,vson vectores tangentes a Men el mismo punto. El grupo de rotaciones respecto al eje z Rt=8 < :0 @ cos(t)sin(t)0 sin(t)cos(t)0 001 1 A t2R9 = ; , es un grupo uniparamétrico de isometrías ya que preserva tanto la variedad como la métrica — si giramos cualquier ángulo la variedad respecto al eje z, la variedad no cambia y el ángulo formado por dos vectores tangentes en el mismo punto tampoco. Luego tiene asociado un campo vectorial de Killing. Vamos a hallar ese campo de Killing: K(g(t)) = d dt Rtt=00 @ x y z1 A=0 @ sin(t)cos(t)0 cos(t)sin(t)0 001 1 At=00 @ x y z1 A=0 @ y x 01 A K=y∂ ∂x+x∂ ∂y,que es tangente a los paralelos. Aplicamos ahora el anterior teorema. Se tiene que g(K,˙ g)=|K|| ˙ g|cos(q(t)) es constante. Por (2.5.2) y como |K|=(x2+y2)1 2es la distancia de un punto de la curva geodésica al eje de revolución, se tiene que r(t)cos(q(t)) es constante. En coordenadas cartesianas en R3la expresión de dicha constante de movimiento es: f(˙ g(t)) = gg(t)(K(g(t)),˙ g(t)) = K(g(t)) ˙ g(t)=yx00 @ ˙x ˙y ˙z1 A=˙yx ˙xy. lo que en mecánica se llama momento angular. Por tanto, el momento angular se conserva. Autor: Ana Rojo Echeburúa 14 Capítulo 2. Geometría riemanniana y simetrías. Geodésicas. 2.6. Mecánica newtoniana. Sea Mvariedad diferenciable y consideremos una función, V:M! R, que llamaremos el potencial. Definimos el gradiente de Vcon respecto a la métrica gcomo el campo vectorial gradV2X(M) que satisface g(gradV(m),w)=dV(m)(w), para todo m2M. A partir de él, planteamos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: —˙ g˙ g=gradV(g(t)). Nótese que este sistema coincide con la segunda ley de newton, F=ma, donde m=1yF=gradV. Proposición 2.6.1. Si K es un campo de Killing tal que LKV=0entonces la función f:TM ! R definida por f(vm)=g(K(m),vm)es constante de movimiento para el sistema dinámico anterior. Demostración. Derivando g(K(g(t)),˙ g(t)) con respecto a t: d dt g(K(g(t)),˙ g(t)) = g(—˙ g(t)K,˙ g(t))+g(K(g(t)),—˙ g(t)˙ g(t)). Como Kes campo de Killing se tiene por (2.4.2) que el primer sumando es cero. Por otro lado, g(K(g(t)),—˙ g(t)˙ g(t)) = g(K(g(t)),gradV(g(t))) = dV(g(t))K=LKV(g(t)) que es cero por hipótesis. Por tanto el segundo sumando es cero y d dt g(K(g(t)),˙ g(t)) también es cero. Así g(K(g(t)),˙ g(t)) es constante. Ejemplo: Supongamos que estamos las mismas condiciones del anterior ejemplo del teorema de Clairaut salvo que, en este caso, suponemos que existe un campo gravitatorio V(x,y,z)=mgz. Es obvio que LKV=0 puesto que no hay componente z en K y el gradiente de Ves la proyección ortogonal de mg ∂ ∂z(x,y,z)sobre T(x,y,z)M. Así podemos aplicar el teorema anterior y afirmar que g(K,v)es constante de movimiento, que es la misma que la del teorema de Clairaut. Sistemas dinámicos con simetría Capítulo 3 Formulación geométrica de la mecánica hamiltoniana. En física, los sistemas mecánicos suelen ser sistemas dinámicos hamiltonianos. La geometría simpléctica es una herramienta que permite encontrar simetrías en estos sistemas de manera sistemática. En este capítulo estudiaremos la invariancia de los sistemas dinámicos hamiltonianos bajo un cierto grupo de simetrías y veremos que tiene consecuencias importantes, como por ejemplo el teorema de Noether. También se verá el teorema de Marsden y Weinstein, que proporciona un método para construir, a partir de una variedad simpléctica sobre la que actúa un grupo de Lie, otra variedad simpléctica de dimensión menor con las mismas propiedades que la de partida. 3.1. Variedades simplécticas. Formas simplécticas. Simplectomorfismos. Sea Muna variedad diferenciable. Definición 3.1.1. Una forma simpléctica wen M es una aplicación diferenciable w:TM⇥MTM ! R tal que wm:TmM⇥TmM! Rdefine una forma bilineal en cada punto, antisimétrica, regular y cerrada. El par (M,w)recibe el nombre de variedad simpléctica. Nótese que wes una 2-forma, es decir, w(u,v)=w(v,u), cerrada, es decir, dw=0, siendo dla diferencial exterior, y no degenerada, es decir, para todo men M, si existe uen TmMtal que w(u,v) para todo ven TmM, entonces u=0. Definición 3.1.2. Si (M,w)y(N,r)son variedades simplécticas, una aplicación diferenciable F:M! N se dirá simpléctica cuando F⇤r=w, es decir: w(u,v)=rF(m)(TF(u),TF(v)),para todo u,v2M. Si F es difeomorfismo se dice que F es simplectomorfismo. El ejemplo más sencillo de variedad simpléctica es R2ncon coordenadas (q1,...,qn,p1,...,pn) junto con la 2-forma diferencial w=dqi^dpi. Es de gran importancia puesto que proporciona el modelo local para una variedad simpléctica arbitraria. Este resultado es conocido como Teorema de Darboux. Teorema 3.1.3. (Darboux) Si wes una forma simpléctica en una variedad diferenciable M, para cada punto m 2M existe una carta local coordenada (U,j)en torno a m en donde la aplicación j está dada por j(m)=(q1,...,qn,p1,...,pn)tal que wse expresa como: w=dqi^dpi. 15 16 Capítulo 3. Formulación geométrica de la mecánica hamiltoniana. Tales coordenadas (qi,pj)se denominan coordenadas canónicas. En mecánica, a qise les llama posiciones y a pjse les llama momentos. Para la demostración y otros detalles véanse los libros [AM], [M]. 3.1.1. Estructura simpléctica canónica en un fibrado cotangente. Sea Quna variedad tal que M=TQ⇤.Otro ejemplo de variedad simpléctica importante es el fibrado cotangente de una variedad. Un covector tangente a una variedad Qen un punto qes una forma lineal sobre TqQ. El conjunto de tales covectores constituye el espacio vectorial dual del espacio tangente y se denomina espacio cotangente a Qen q, denotándose por (TqQ)⇤. El fibrado cotangente de una variedad es la unión de todos los espacios cotangentes en cada punto de la variedad. Si la variedad Qrepresenta el conjunto de posiciones posibles qien un sistema dinámico, entonces el espacio cotangente representa el conjunto de posibles posiciones qiy momentos pi. Así el fibrado cotangente describe el espacio de fases del sistema. La 1-forma de Liouville es una 1-forma definida en el espacio contangente TQ⇤de Q. Su derivada exterior define una forma simpléctica dando a TQ⇤estructura de variedad simpléctica. Sea (U,j)una carta local de Qque induce una carta en TQ⇤. Si las coordenadas en dicha carta se denotan (q1,...,qn,p1,...,pn), entonces la 1-forma de Liouville está dada de la siguiente manera: q=pidqi. Sin recurrir a las coordenadas, podemos definir la 1-forma de Liouville como sigue: Sea TQ⇤el fibrado contangente a la variedad Qy denotemos por pa la proyección p:TQ⇤! Qque a cada par (q,p) le asocia q. Sea Tp:T(TQ⇤)! TQ la aplicación tangente de p. Para todo a2TQ⇤definimos la aplicación qa:Ta(TQ⇤)! Rde forma que qa(v)=aTp(v)para todo ven Ta(TQ⇤). La forma simpléctica, a veces denominada 2-forma de Poincaré está dada por: w=dq=dqi^dpi. 3.2. Sistemas dinámicos hamiltonianos y simetrías. 3.2.1. Sistemas dinámicos hamiltonianos Definición 3.2.1. Se llama sistema dinámico hamiltoniano a una terna (M,w,H)donde (M,w)es una variedad simpléctica y H 2C•(M). Esta función define un campo vectorial único dado por iXHw=dH. A dicho campo vectorial lo llamamos campo vectorial hamiltoniano definido por H. Propiedades 3.2.2. i)El campo XHcorrespondiente a H se escribe en coordenadas canónicas como: XH=∂H ∂pi ∂ ∂qi∂H ∂qi ∂ ∂pi . ii)Las curvas integrales del campo vectorial XHson determinadas en coordenadas canónicas por las ecuaciones diferenciales: (˙qi=∂H ∂pi, ˙pi=∂H ∂qi. iii)H es integral primera de XH. Demostración. i)Sean w=dqi^dpiyX=Ai∂ ∂qi+Bi∂ ∂piexpresados en coordenadas canónicas. Determinemos AiyBipara que este campo sea XH. Para ello ha de cumplirse que iXHw=dH.Expresando dH yiXwen coordenadas canónicas se tiene que dH =∂H ∂qidpi+∂H ∂pidqiy que iXw=AidpiBidqi. Igualando coeficientes se tiene que Ai=∂H ∂qiy que Bi=∂H ∂piy se obtiene el resultado. Sistemas dinámicos con simetría 3.2. Sistemas dinámicos hamiltonianos y simetrías. 17 ii)Es inmediato por la proposición anterior y la definición de curva integral. iii)Es inmediato ya que XHH=dH(XH)=w(XH,XH)=0 por ser wantisimétrica. 3.2.2. Simetrías en sistemas dinámicos hamiltonianos Definición 3.2.3. Se dice que fes una simetría de wsi f⇤w=w, es decir: wm(u,v)=wf(m)(Tmf(u),Tmf(v)),para todo m 2M,y para todo u,v2TmM Teorema 3.2.4. Sea Y un campo vectorial con ftsu flujo. ftes un grupo uniparamétrico de simetrías de wsi y sólo si la derivada de Lie de wa lo largo de Y es cero. Demostración. Supongamos que ftes un grupo uniparamétrico de simetrías de w. Por (A.1.5) se tiene que:f⇤ tLYw=d dt f⇤ tw=d dt w=0,y como ftes un grupo uniparamétrico de simetrías de wse tiene que LYwes también cero. Recíprocamente supongamos que LYw=0. Por (A.1.5) se tiene que d dt f⇤ tw=0, luego f⇤ twes constante con respecto a ty así f⇤ tw=wy por tanto ftes un grupo uniparamétrico de simetrías de w. Definición 3.2.5. Se dice que fes una simetría de H 2C•(M)si f⇤H=H, es decir: H(f(x)) = H(x). Teorema 3.2.6. Sea Y un campo vectorial con ftsu flujo. ftes un grupo uniparamétrico de simetrías de H si y sólo si la derivada de lie de H a lo largo de Y es cero. Demostración. Supongamos que ftes un grupo uniparamétrico de simetrías de H. Por (A.1.5) se tiene que:f⇤ tLYH=d dt f⇤ tH=d dt H=0,y como ftes un grupo uniparamétrico de simetrías de Hse tiene que LYHes también cero. Recíprocamente supongamos que LYH=0. Por (A.1.5) se tiene que d dt f⇤ tH=0, luego f⇤ tHes constante con respecto a ty así f⇤ tH=Hy por tanto ftes un grupo uniparamétrico de simetrías de H. Definición 3.2.7. Se dice que un campo vectorial X es hamiltoniano si existe H 2C•(M)tal que X es el campo vectorial hamiltoniano asociado a H, es decir: iXw=dH. Nótese que si Xes hamiltoniano 0 =d2H=d(iXw)=(diX+iXd)w=LXw.El recíproco no es cierto globalmente, pero sí localmente: Lema 3.2.8. (Poincaré) Si LXw=0existe un entono U 2M para cada punto m 2M y una función f2C•(M)tal que iXw=df. Por esta razón a un campo Xtal que LXw=0 se le llama campo localmente hamiltoniano. Teorema 3.2.9. Si Y 2X(M)es hamiltoniana con función hamiltoniana f , es decir, iYw=df y además LYH=0, entonces XHf=0, es decir, f es constante de movimiento por XH. Demostración. En efecto, XHf=df(XH)=iYw(XH)=w(Y,XH)=w(XH,Y)=dH(Y)=LYH=0. El resultado anterior se llama Teorema de Noether en el formalismo hamiltoniano. Autor: Ana Rojo Echeburúa 18 Capítulo 3. Formulación geométrica de la mecánica hamiltoniana. 3.2.3. Paréntesis de Poisson Los paréntesis de Poisson son operadores muy utilizados en la mecánica hamiltoniana y conviene mencionarlos puesto que permiten de manera cómoda encontrar las constantes de movimiento de un sistema. Consideramos una variedad simpléctica fija (M,w). Definición 3.2.10. Llamaremos paréntesis de Poisson de dos funciones f ,g2C•(M)a: {f,g}=w(Xf,Xg). El paréntesis de Poisson de dos funciones f,g2C•(M)puede escribirse como: {f,g}=Xgf=Xfg. Se puede expresar lo visto en el apartado de sistemas dinámicos hamiltonianos en términos del paréntesis de Poisson. Nótese que {f,f}=w(Xf,Xf)=0. Luego para Hhamiltoniano se tiene que 0 ={H,H}= w(XH,XH)=XH(H)=dH(XH)=LXHH. Es decir, la derivada de lie de Ha lo largo de su campo hamiltoniano es nula. Podemos expresar en términos del paréntesis de Poisson el Teorema de Noether: si f es constante de movimiento se tiene, por (3.2.9) que: {f,H}=w(Xf,XH)=XHf=0. El paréntesis de Poisson es no degenerado en el siguiente sentido: Las funciones fa las que corresponde el campo vectorial nulo son las funciones constantes. Teorema 3.2.11. El conjunto C•(M)queda dotado de estructura de álgebra de Lie mediante el producto definido por el paréntesis de Poisson. Corolario 3.2.12. Si mi(t)son las coordenadas de una curva integral del campo XHque parte de un punto, se tiene que: d dt f(mi(t)) = {f,H}(mi(t)) Para la demostración y otros detalles véase el libro [AM]. 3.3. Ecuaciones de las geodésicas como sistema hamiltoniano. Vamos a probar que las ecuaciones de las geodésicas son hamiltonianos. Veremos primero en el caso en el que no haya potencial y luego en el caso en el que haya potencial. En cualquier caso, la energía cinética viene dada por inversa de la métrica. Sea guna métrica en una variedad Qy sea TQ⇤su variedad cotangente correspondiente. Sea H2C•(TQ⇤)la función hamiltoniana dada de la siguiente forma: H(a)=1 2g1(a,a). Expresado en las coordenadas canónicas (qi,pi), H=1 2gij(q)pipj, donde gij es la inversa de la métrica gij. Las ecuaciones canónicas serán por tanto: (˙qk=∂H ∂pk=gik pi, ˙pl=∂H ∂ql=1 2 ∂grm ∂qlprpm. Sistemas dinámicos con simetría 3.3. Ecuaciones de las geodésicas como sistema hamiltoniano. 19 Derivando con respecto a tla primera ecuación se tiene: ¨qk=dgik dtpi+gik ˙pi=∂gik ∂qn˙qnpi+gik ˙pi =∂gik ∂qn˙qnpigik 1 2 ∂grm ∂qiprpm =∂gik ∂qn˙qn˙qsgis gik 1 2 ∂grm ∂qi˙qjgrj˙qpgmp (⇤) donde hemos usado que pi=gij ˙qj. Por otro lado se tiene que: gabgbc =da c. Derivando ambos miembros: ∂gab ∂qdgbc +∂gbc ∂qdgab =0. Multiplicando por gcf: ∂gab ∂qdgbcgcf +∂gbc ∂qdgabgcf =0 ∂gab ∂qddf b+∂gbc ∂qdgabgcf =0 ∂gaf ∂qd=∂gbc ∂qdgabgcf. Así hemos obtenido una expresión general de la derivada parcial de la inversa de la métrica con respecto a una coordenada qdcualquiera. Sustituyendo en el sustraendo de (⇤)se tiene que, agrupando los términos gij con sus inversas gij: ∂gbc ∂qngibgck ˙qn˙qsgis =∂gbc ∂qngck ˙qb˙qn. Por otro lado: ∂grm ∂qi=∂gb0c0 ∂qigrb0gc0m. Sustituyendo en el minuendo de (⇤)se tiene que, agrupando los términos gij con sus inversas gij: gik 1 2 ∂gb0c0 ∂qigrb0gc0m˙qjgrj˙qpgmp =1 2 ∂gb0c0 ∂qi˙qb0˙qc0gik. Por tanto: ¨qk=∂gbc ∂qngck ˙qb˙qn+1 2 ∂gb0c0 ∂qi˙qb0˙qc0gik. Como los índices en cada sumando son independientes - se pueden repetir indices en cada sumandose puede identificar b0=byn=c0, y así: ¨qk=∂gbc ∂qngck ˙qb˙qn+1 2 ∂gbn ∂qi˙qb˙qcgik. De la misma forma, identificando c=i: ¨qk=∂gbc ∂qngck ˙qb˙qn+1 2 ∂gbn ∂qc˙qb˙qcgck. Autor: Ana Rojo Echeburúa Apéndice A Derivada de Lie y diferencial exterior. Se recogen en este apéndice algunas propiedades de la derivada de Lie que se han usado en este trabajo. Dada una variedad diferenciable M, denotaremos TM al espacio tangente de MyTM⇤al espacio cotangente de M. Dada F:¯ M! Mla aplicación diferenciable entre las variedades ¯ MyMquedarán definidas de forma natural las aplicaciones diferenciables TF:T¯ M! TM yTF⇤:TM⇤! T¯ M⇤. Denotaremos C•(M)al conjunto de funciones diferenciables en M,X(M)al conjunto de campos vectoriales de MyWp(M)al conjunto de p-formas sobre M. A.1. Relación entre sistemas dinámicos simétricos y el corchete de Lie. Sea X2X(M)yftsu flujo local. Para m2Myf2C•(M)se tiene que: X(m)( f)= d dt t=0(fft)(m)=l´ ım t!0 1 t[( fft)(m)f(m)]. Definición A.1.1. Dados X,Y2X(M), se define el corchete de Lie [X,Y]2X(M)por: [X,Y](m)( f)=X(m)(Y(f)) Y(m)(X(f)) con f 2C•(M). El corchete de dos campos de vectores cumple las siguientes propiedades : [X,Y]=[Y,X]; [X+X0,Y]=[X,Y]+[X0,Y]; [lX,Y]=l[X,Y]; [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]] = 0; [fX,gY ]= fX(g)YgY (f)X+fg[X,Y]; para todo X,Y,Z,X02X(M),l2Ryf,g2C•. Definición A.1.2. Sean X,Y2X(M)ym2M. Se define la derivada de Lie de Y con respecto de X como el campo de vectores sobre M que en el punto m 2M vale: LXY(m)=l´ ım t!0 1 t[(Tft(m)ft)(Y(ft(m)))Y(m)] = d dt (f⇤ tY)(m)t=0. 27 28 Capítulo A. Derivada de Lie y diferencial exterior. Proposición A.1.3. Sean X,Y2X(M). Entonces: LXY=[X,Y].(A.1) Demostración. Sea a(r,s)=Y(fr(m))( ffs). Se tiene que: a(0,s)=Y(m)( ffs), a(r,0)=Y(fr(m)) f=(Yf(fr(m)). De aquí: ∂a ∂s(0,0)= d dsY(m)( ffs)s=0=Y(m)(Xf)=Y(Xf)(m), ∂a ∂r(0,0)= d drYf(fr(m))t=0=X(Yf)(m). Por tanto: LXY(f(m)) = d dt (f⇤ tY)(m)f =d dt TftY(ft(m))) ft=0 =d dtY(ft(m))( fft)t=0 =d dt a(t,t)t=0 =∂a ∂r(0,0)∂a ∂s(0,0) =X(Yf)(m)Y(Xf)(m) =[X,Y](m)f, de donde LXY=[X,Y]. El paréntesis de Lie mide la conmutatividad de los flujos. Proposición A.1.4. Sean X,Y2X(M)yft,ytsus flujos respectivamente. Entonces, son equivalentes las siguientes condiciones: i)ftys=ysft. ii) [X,Y]=0. iii)TftY=Yft. Demostración. i))iii)Se ha probado en (1.2.5) y se omite. i))ii) Si ftys=ysftse tiene que Yes invariante por ft. Luego para todo m2Mse tiene que: LXY(m)=l´ ım t!0 1 t[(Tft(m)ft)(Y(ft(m)))Y(m)] = l´ ım t!0 1 t[Y(m)Y(m)] = 0. ii))i) Supongamos que [X,Y]=0. Luego, si m2Mse tiene que: 0=(Tys[X,Y]ys)(m) =[TysXys,TysYys](m)=[X,TysYys](m) =l´ ım t!0 1 t(Tys(m)ys)(Y(ys(m)))(Tys(m)yt)(Ty(s+t)(m)ys)(Y(y(t+s)(m))) =l´ ım t!0 1 t(Ty(s+t)(m)yt+s)(Y(y(t+s)(m)))(Tys(m)ys)(Y(ys(m))) =d ds(TysYys)(m). Sistemas dinámicos con simetría A.1. Relación entre sistemas dinámicos simétricos y el corchete de Lie. 29 Tomando s=0 en (TysYys)(m)se tiene que (Ty0Yy0)(m)=Y(m). Por tanto, Yes invariante por yty, así ftyt=ytft. Definición A.1.5. Sea U un tensor covariante y sea X campo vectorial con ftsu flujo. Se define la derivada de Lie de U a lo largo de X por: LXU=d dt f⇤ tUt=0. Proposición A.1.6. Sea U tensor covariante y X,Y1,...,Ypcampos vectoriales. Se tiene que: (LXU)(Y1,...,Yp)=LX(U(Y1,...,Yp)) ÂU(Y1,...,LXYi,...,Xp). Proposición A.1.7. Sea U un tensor covariante y sea X campo vectorial con ftsu flujo. Entonces: d dt f⇤ tU=f⇤ tLXU. Como vimos en Análisis II: Definición A.1.8. Sea U una abierto de Rny sea w:U! Lp(Rn)una p-forma diferencial de clase C•. Si w=Pi1,...,ipdxi1^...^dxip, se llama diferencial exterior de wa la (p+1)-forma dw:U! Lp+1(Rn) dada por dw=(dP i1,...,ip)^dxi1^... ^dxip =✓∂Pi1,...,ip ∂xj◆dxj^dxi1^...^dxip. La diferencial exterior se extiende de manera natural a formas diferenciales en variedades diferenciables sin mas que tomar cartas coordenadas. Se comprueba que el resultado no depende de la carta elegida, obteniendo un operador d:Wp(M)! Wp+1(M)que llamamos diferencial exterior en M. Definición A.1.9. Se define la aplicación contracción para p-formas iX:Wp(M)! Wp1(M)de forma que iXw(Y1,...,Yp)=w(X,Y1,...,Yp),para todo X,Y1,...,Yp2X(M). Teorema A.1.10. Para cualquier X 2X(M)ywuna p-forma en una variedad M se tiene: LXw=iX(dw)+d(iXw). Esta identidad suele llamarse fórmula de Cartan. Para la demostración véase el libro [M]. Autor: Ana Rojo Echeburúa Bibliografía [BC] Duistermaat, J. J.; Kolk, J. A. C. Grupos de Lie, Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2000. [M] Michor, Peter W, Topics in differential geometry, Graduate Studies in Mathematics, 93. American Mathematical Society, Providence. [KN] Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of differential geometry. Vol. I y II., Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley and Sons, Inc., New York-London-Sydne [AM] Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of mechanics., Second edition. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Advanced Book Program, Reading, Mass., 1978 [PW] Poor, Walter A. Differential geometric structures., McGraw-Hill Book Co., New York, 1981. [B] Brickell, F.; Clark, R. S. Differentiable Manifolds., McGraw-Hill Book Co., New York, 1981. 31