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Master Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de idiomas, artísticas y deportivas Especialidad de Matemáticas Trabajo Fin de Máster Geometría métrica con cuerpos geométricos: una propuesta didáctica para 2º de ESO Autor: Raúl Moya Alonso Director: José María Muñoz Escolano Junio de 2014 ÍNDICE A. Sobre la definición del objeto matemático a enseñar……………….….1 B. Sobre el estado de la enseñanza-aprendizaje del objeto matemático.......................................................................................3 C. Sobre los conocimientos previos del alumno………………………………..6 D. Sobre las razones de ser del objeto matemático…………………….…….7 E. Sobre el campo de problemas……………………………………………….……..9 F. Sobre las Técnicas……………………………………………………………………….18 G. Sobre las Tecnologías…………………………………………………………………..31 H. Sobre la secuencia didáctica y su programa………………………………...45 I. Sobre la evaluación………………………………………………………………………46 J. Sobre la bibliografía y páginas web………………………………………………49 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano A. Sobre la definición del objeto matemático a enseñar 1. Nombra el objeto matemático a enseñar. GEOMETRIA MÉTRICA CON CUERPOS GEOMÉTRICOS • Tetraedro. • Pirámides rectas. • Hexaedro o cubo. • Prisma recto. • Cilindro. • Cono. • Esfera. • Octaedro regular. • Dodecaedro regular. • Icosaedro regular. 2. Indica el curso y asignatura en la que sitúas el objeto matemático. 2ºESO. Matemáticas. 3. ¿Qué campo de problemas, técnicas y tecnologías asociadas al objeto matemático pretendes enseñar? Problemas: • Tipo 1: Desarrollos planos de cuerpos geométricos • Tipo 2: Comparación de áreas laterales de cuerpos geométricos o Subtipo 2.1. Conocido su lado o Subtipo 2.2. Conocido su volumen. • Tipo 3: Comparación de volúmenes de cuerpos geométricos o Subtipo 3.1. Conocido su lado. o Subtipo 3.2. Conocido su área. • Tipo 4: Composición y descomposición de cuerpos geométricos en cuerpos más elementales. • Tipo 5: Crear un cuerpo geométrico fijado su área. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 1 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano • Tipo 6: Crear un cuerpo geométrico fijado su volumen. • Tipo 7: Aproximaciones de áreas. • Tipo 8: Aproximaciones de volúmenes. Técnicas: • Técnica 1: Identificar cuerpos geométricos en objetos del entorno • Técnica 2: Componer y descomponer cuerpos geométricos en cuerpos conocidos • Técnica 3: Realizar desarrollos planos de cuerpos geométricos • Técnica 4: Calcular distancias en cuerpos geométricos - Técnica 4.1: Medida directa - Técnica 4.2: Medida indirecta (empleando algún razonamiento geométrico o fórmula). • Técnica 5: Calcular áreas laterales de cuerpos geométricos - Técnica 5.1: Medida indirectas: o Técnica 5.1.1.: Mediante el desarrollo plano del cuerpo geométrico. o Técnica 5.1.2.: Mediante la descomposición de un cuerpo geométrico en otros conocidos. o Técnica 5.1.3.: Mediante el empleo de una fórmula. • Técnica 6: Calcular volúmenes de cuerpos geométricos - Técnica 6.1.: Medida directa. - Técnica 6.2.: Medidas indirectas: o Técnica 6.2.1.: Mediante la descomposición de un cuerpo geométrico en otros conocidos. o Técnica 6.2.2.: Mediante el empleo de una fórmula. • Técnica 7: Aproximar la medida de áreas de figuras planas. • Técnica 8: Aproximar la medida de volúmenes de cuerpos geométricos. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 2 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Tecnologías: • Comprobar las propiedades de los objetos y compararlas con las definiciones y propiedades de los cuerpos geométricos. • Empleo de las fórmulas de volumen y área conocidas despejando la longitud deseada • Conservación de área: la suma de las áreas de figuras más elementales es igual al área de la figura compuesta. • Deducir las fórmulas que permiten calcular las áreas laterales de los cuerpos geométricos. • Conservación del volumen: la suma de los volúmenes de los cuerpos elementales es igual al volumen del cuerpo geométrico compuesto. • Deducir las fórmulas que permiten calcular el volumen de los cuerpos geométricos. • Utilizar figuras geométricas rellenables para corroborar que el cálculo de los volúmenes que nos vienen dados por las fórmulas es el mismo. • Utilizar recortables de cartulina, para posteriormente crear el volumen y ver el desarrollo de las áreas de las caras laterales. B. Sobre el estado de la enseñanza-aprendizaje del objeto matemático 1. ¿Cómo se justifica habitualmente la introducción escolar del objeto matemático? Según los libros observados que se utilizan en la actualidad, (editoriales ANAYA, EDEBE, SANTILLANA) todos tratan de introducir los cuerpos geométricos desde un punto de vista aritmético. En todos los textos se inicia con una introducción sobre el objeto matemático, adaptado a la realidad de una forma bastante superficial, pues aunque en el apartado de introducción sí que hay alguna fotografía, (edificios, almenas de castillo, pirámides de Egipto, etc.…) el resto de imágenes se centran exclusivamente en dibujos a color, mayoritariamente. Posteriormente, una vez realizada la introducción, cada libro avanza de una forma diferente, mientras las editoriales ANAYA y SANTILLANA, comienzan con una clasificación de los poliedros y los cuerpos de revolución y ya van demostrando los cálculos de los desarrollos de las áreas laterales de los cuerpos y ya en el siguiente tema hacen una breve introducción explicando la geometría métrica con las unidades de volumen, posteriormente se realiza una clasificación y finalmente se procede a calcular los volúmenes de los cuerpos geométricos. Por otro lado, la RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 3 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano editorial EDEBE, dedica un tema a introducir lo que es el cálculo de áreas y volúmenes, tras dedicar una cara del libro a la introducción para la vida cotidiana del objeto matemático con una foto de unos rascacielos de Madrid y hacer un breve repaso a la historia de la construcción, comienzan haciendo un repaso de ocho páginas de geometría elemental del plano y del espacio para continuar con la clasificación bastante detallada y razonada de los cuerpos geométricos. Una vez terminado ese tema de conceptos elementales y básicos, se comienza un tema nuevo denominado áreas y volúmenes en el que ya aparecen las fórmulas de áreas y volúmenes de los cuerpos con todas las justificaciones de las técnicas que se utilizan para obtener esa información. 2. ¿Qué campos de problemas, técnicas y tecnologías se enseñan habitualmente? La variedad de situaciones en las que se presenta tanto el área como los volúmenes de los cuerpos geométricos objeto de estudio son ilimitados, buena prueba de ello los enumeramos con unos cuantos ejemplos: lámina o cartulina de papel, campo de futbol o piscina, territorio de un estado, problemas de empaquetamiento, etiquetado de botes o latas de conserva, cantidad a almacenar en un depósito, cantidad de hormigón para rellenar un cimiento, etc.… Los campos de problemas relacionados con las áreas, están enfocados al cálculo de áreas laterales de edificios, envases, la Tierra, depósitos, un balón etc.…para pintar, enfoscar, etiquetar, medir, arreglar etc.…. Los campos de problemas relacionados con los volúmenes, están enfocados al cálculo del volumen de cuerpos geométricos, envases de colonia, monumentos, jarras, en los que hay que calcular su capacidad. En definitiva, todos los problemas planteados no tiene aparentemente ningún atractivo especial que despierte en el alumno una motivación intrínseca en aprender a resolver los campos de problemas planteados, pues ningún problema se plantea desde un punto de vista en el que el alumno tenga que participar activamente en el sentido de que tengan que medir ellos físicamente algún objeto o tengan que demostrar algún volumen aplicando el principio de Arquímedes. Las técnicas que se suelen utilizar, son la utilización de las formulas con las que se obtienen los RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 4 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano valores numéricos tanto de las áreas como de los volúmenes. No se aprecian ningún tipo de tarea para que los alumnos experimente y midan directamente el volumen de algún cuerpo; es decir, no hay tareas de medida directa, todas se hacen de manera indirecta mediante el empleo de fórmulas, por lo que los números que aparecen como resultado son concebidos de manera abstracta y sin vincularlos a ninguna unidad de medida dada. Se suele utilizar un apartado del tema para explicar las magnitudes de superficie así como de volumen y el cambio de una unidad de volumen a otra y la equivalencia con otro tipo de medidas también de volumen, por ejemplo la equivalencia entre un decímetro cúbico y un litro. No se aprecia ningún tipo de tarea para que los alumnos experimenten y midan directamente el volumen de algún cuerpo. Todas las medidas se hacen de forma indirecta, bien como dato en el dibujo del problema o como información en el texto. Como tecnologías se suelen utilizar las demostraciones matemáticas de las formulas, tanto las del cálculo de áreas como las de volumen. Tanto en la justificación de los desarrollos de las áreas, como en el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos o trozos de estos, se utilizan secuencias de imágenes en donde progresivamente se va viendo el desarrollo completo de los distintos cuerpos geométricos. Para cada cuerpo geométrico se le asigna un elemento que se puede observar en la realidad. 3. ¿Qué efectos produce dicha enseñanza sobre el aprendizaje del alumno? Los resultados, si nos remitimos al último informe PISA, parece que en general los efectos no son muy positivos. Los alumnos olvidan a la semana lo que han ejercitado y estudiado, por tanto podemos intuir que debe existir una forma de enseñar en la que los resultados que se obtengan sean más satisfactorios en general. Los alumnos no asimilan bien los conceptos, pues no participan activamente en la propuesta de los campos de problemas y aunque si bien es cierto que los problemas en los que hay que participar midiendo, tocando, palpando…se destina mucho más tiempo que en los otros tipos de problemas, se podría probar en realizar tres problemas de los de participación activa y cinco del tipo que se plantean en los libros actuales, en lugar de los quince o veinte que se hacen en la actualidad con los resultados que ya sabemos. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 5 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Además, los alumnos se tienen que imaginar los contextos de los problemas, lo que dificulta asimilar los conceptos que se trabajan, en lugar de primero trabajar tocar, palpar, objetos reales relacionados con los cuerpos geométricos para posteriormente identificarlos en las fotos e imágenes que aparecen en los problemas que aparecen en los libros actuales. Esta descontextualización de la medida de superficies y volúmenes propicia la llamada ilusión de linealidad (Van Dooren, 2012) que lleva a los estudiantes a aplicar razonamientos de tipo proporcional a la relación entre longitudes, áreas y volúmenes. C. Sobre los conocimientos previos del alumno 1. ¿Qué conocimientos previos necesita el alumno para afrontar el aprendizaje del objeto matemático? Se necesitarán unos conocimientos básicos de geometría de figuras planas: - Definición y propiedades de triángulos, paralelogramos, polígonos regulares y círculos. - Elementos de esas figuras planas: lado, radio, diámetro, altura, apotema, ángulo. - Fórmula del área de triángulos, paralelogramos, polígonos regulares, círculos. - Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras. Se necesitarán unos conocimientos básicos de geometría de cuerpos geométricos: - Definiciones y propiedades los poliedros regulares. - Conocer de manera superficial los cuerpos de revolución: cono, cilindro y esfera. - Elementos de esos cuerpos: aristas, caras, vértices, bases, altura y radio. 2. La enseñanza anterior, ¿ha propiciado que el alumno adquiera esos conocimientos previos? Según los libros de texto de 1º ESO observados sí, aparecen en el temario de los libros. En el Currículo también aparecen dentro de los contenidos del curso, por lo que se entiende que el alumno que está en 2ºESO, tiene los conocimientos previos apropiados. No obstante, somos conscientes de que algunos estudiantes pueden no haber adquirido esos conocimientos. 3. ¿Mediante qué actividades vas a tratar de asegurar que los alumnos posean esos conocimientos previos? Se realizará una primera clase de repaso general de los conceptos básicos dados en 1ºESO. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 6 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Además se repartirán unas tablas con las figuras geométricas y todos los elementos característicos de las mismas y una fotografía a color de un elemento real cercano que se identifique con la figura geométrica. También se pretende realizar una actividad a modo de introducción y a la vez para trabajar la visual de los cuerpos geométricos, que consiste en construir varios poliedros con gominolas como vértices y palillos en las aristas. También, para completar la introducción del tema, se realizará una actividad mediante un palillo largo y un trozo de cartulina pegado a él, para ver cómo se generan los distintos cuerpos de revolución. D. Sobre las razones de ser del objeto matemático 1. ¿Cuál es la razón o razones de ser que vas a tener en cuenta en la introducción escolar del objeto matemático? La razón de ser que tendremos en cuenta en la introducción escolar del objeto estará vinculada a la vida cotidiana. En numerosas ocasiones es útil conocer las áreas laterales y los volúmenes de cuerpos geométricos, para por ejemplo ver qué tipo de trabajo te interesa más en un momento dado o cuando vas a comprar un material o producto que viene envasado y necesitas saber el volumen para ahorrarte un dinero. 2. ¿Coinciden con las razones de ser históricas que dieron origen al objeto? De alguna manera sí, porque la necesidad de medir y comparar es tan antigua como la existencia de las antiguas civilizaciones. Al comienzo de las civilizaciones, primero existió una necesidad de almacenar en recipientes y de ahí la formación de recipientes en arcilla. Posteriormente surgió la necesidad de tener una medida personal (palmo, brazo…) como conocimiento de construcciones propias y gestión de sus propios recursos, pero hasta que no aparece la necesidad del comercio o previamente el intercambio no se requiere de la necesidad de crear unos patrones de medida en los cuales el poder y el comercio fueron los dos factores que impulsaron fuertemente esta unificación. Hoy en día, esos patrones y unidades de medida están ya muy instaurados, pero la necesidad de medir es una de las principales razones de ser del objeto matemático de estudio, aunque en la RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 7 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano • Tipo 5: Crear un cuerpo geométrico fijado su área. Ejemplo 1: Tenemos una plancha de cartulina de 1m por 1m. ¿Qué dimensiones tiene el cuerpo geométrico que puedes construir que tenga mayor volumen con esa plancha de cartulina? Ejemplo 2: Tenemos una plancha de cartón de 90 cm por 90 cm. Si los rollos de papel higiénico son de 9,5 cm de altura por 4 cm de diámetro. ¿Cuántos rollos puedo hacer con la plancha de dimensiones indicadas? • Tipo 6: Crear un cuerpo geométrico fijado su volumen. Ejemplo 1: Una caja tiene forma de ortoedro de 8 cm de longitud, 6 cm de anchura y 5 cm de altura. Averigua si en dicha caja puede caber un lápiz de 13 cm de longitud. Ejemplo 2: Un depósito cilíndrico tiene 2 m3 de capacidad y 12,56 m2 de superficie lateral. Determina el radio de la base y la altura de dicho depósito. • Tipo 7: Aproximaciones de áreas. Ejemplo 1: En una excursión a un lago, un alumno se plantea cuantos metros cuadrados de superficie ocupa dicho lago. El lago tiene una forma irregular de tal forma que la circunferencia interior que se inscribe en el lago tiene radio 48 metros y la circunferencia que circunscribe al lago tiene un radio de 64 metros. Calcula aproximadamente que superficie tiene el lago. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 14 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Ejemplo 2: Te sugerimos el diseño de un bonito disfraz para los próximos carnavales. Para ello construirás un cilindro y un cono sin bases. Teniendo presente tus propias medidas, te habrás de proveer de la cartulina correspondiente a las áreas laterales de ambas figuras, las cuales dependerán de tu propia estatura. Ejemplo 3: Estamos en una tienda y nos encargan para envolver en papel de regalo 10 balones de futbol, 7 cajas de zapatillas, 3 raquetas de tenis y 12 botes de 3 pelotas cada bote. Todos los artículos hay que envolverlos por separado. ¿Cuántos dm2de papel hacen falta aproximadamente para envolver todos los artículos? Justifica la respuesta y todas las suposiciones que hagas. • Tipo 8: Aproximaciones de volúmenes. Ejemplo 1: En el laboratorio de química hay un icosaedro regular de cristal del cual se pretende calcular su volumen por diferentes métodos: a) Con un cazo de 8 cm3 graduado cada cm3. b) Sabiendo que la esfera inscrita en dicho icosaedro es de radio 5 cm y la esfera que la circunscribe tiene un radio de 7 cm. c) Sabiendo que el volumen de una esfera viene dado por la expresión V = 4πr3 3 , deducir una formula de aproximación del cálculo del volumen del icosaedro. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 15 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Ejemplo 2: Con los datos obtenidos en el problema 4.1 (cálculo de la superficie de la plaza del Torico) y teniendo en cuenta que en la fuente (radio: 3 m) no se puede subir, estima el número de personas que hay en la Plaza El Torico en las Fiestas del Ángel. Según el Documento Básico de Seguridad en caso de Incendio el aforo legal permitido en zona de espectadores de pie, es de cuatro personas por metro cuadrado. ¿Se cumple la normativa? Comenta el resultado. Ejemplo 3: Si tenemos una caja de zapatos de dimensiones 30cm por 15cm por 10cm, y tenemos que guardar canicas de diámetro 1 cm. ¿Cuántas canicas podemos guardar en la caja? 2. ¿Qué modificaciones de la técnica inicial van a exigir la resolución de dichos problemas? En un primer momento, en gran parte de los problemas hay un trabajo previo de toma de medidas mediante métodos directos, cinta métrica, pie de rey, cuerpos rellenables, desarrollos RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 16 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano planos en cartulina, etc.… Luego se pretende que se obtengan datos a través de medidas indirectas como, descomposición en cuerpos conocidos, datos expuestos en los dibujos de los problemas y finalmente mediante la utilización de fórmulas. En los problemas de aproximaciones de áreas y volúmenes se deben utilizar diferentes estrategias para obtener datos para la resolución de los problemas como por ejemplo identificar elementos de la vida cotidiana con cuerpos geométricos de los cuales sabemos calcular sus áreas y volúmenes. En muchos de los problemas planteados, como ya hemos comentado, habrá que salir del aula y tomar medidas por lo que, para optimizar el tiempo, los alumnos tendrán que utilizar tiempo fuera del horario escolar para obtener esas informaciones, por lo que se realizarán como deberes para los días asignados. La idea con la que están concebidos la mayoría de los problemas es que los alumnos participen activamente en la resolución de los problemas y despierten en ellos cierto interés por resolverlos, además de hacer más divertidas y entretenidas las clases de matemáticas y de esta forma vean una aplicación práctica de la asignatura. También se plantean problemas en los que el profesor llevará al aula objetos medibles que aparecen en los problemas, en donde los alumnos podrán manipular, medir, tocar, observar y utilizar distintos aparatos de medida, para en ocasiones recopilar los datos necesarios para resolver los problemas planteados y en otras ocasiones hacer las comprobaciones que nos piden los problemas. Alguno de los problemas se realizaran como actividades en grupo de 3 alumnos mezclados por capacidad cognitiva en donde los alumnos de distinta capacidad van proponiendo, explorando y descubriendo las soluciones de los problemas y se van dando cuenta que la opinión de otros alumnos puede ser constructiva. 3. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula. Tras una breve explicación de teoría, se propone a los alumnos que vayan pensando que datos son necesarios para resolver el problema y después que instrumentos o herramientas necesitarán para resolver el problema. Como profesor iría recorriendo las mesas de los grupos observando por donde van avanzando y RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 17 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano donde encuentran los obstáculos. Una vez tomados los datos, los alumnos deben al menos intentar resolver el problema planteado. Posteriormente trabajaría el razonamiento e interpretación de los cálculos obtenidos para tomar la decisión más acertada. F. Sobre las técnicas 1. Diseña los distintos tipos de ejercicios que se van a presentar en el aula. Como Actividad de introducción al tema se realizará la Actividad “Poliedros Regulares con gominolas” en la que se trabajarán los contenidos (Del plano al espacio. Polígono-Poliedros. Vértices, caras y aristas). El objetivo de la actividad es conocer y reconocer los distintos tipos de figuras planas y espaciales a través de su construcción directa con palillos y gominolas. Otro objetivo es afianzar el concepto de poliedro regular relacionando vértices, caras y aristas. Los alumnos construirán: tetraedro, octaedro, cubo, y cuando hayamos terminado la actividad podrán guardárselo o comérselo. Otra Actividad a realizar en clase con el objetivo de entretener a la vez que se introduce el objeto matemático pretendido es realizar la práctica “Recortables para montar poliedros regulares”. En ella lo que se pretende es trabajar el desarrollo de las caras de los poliedros para posteriormente montar mediante el pegado de las pestañas de montaje los poliedros que en el origen estaban sobre un plano. Como tercera actividad para atraer e introducir el objeto matemático propuesto, será la realización de la Actividad “Cuerpos de Revolución con pajitas y cartulinas”. En esta actividad, lo que se pretende a demás de introducir y amenizar el objeto matemático propuesto es ver como mediante una pajita utilizándola como eje de revolución y un elemento de cartulina unido a él, se pueden visualizar distintos cuerpos de revolución. Para cada tipo de problemas se mandarán para casa como deberes, ejercicios sencillos una vez resuelto el problema general. Una técnica a utilizar serán las formulas que nos dan los volúmenes de los cuerpos a estudiar. Se realizará la Actividad “Comprobación de las formulas con poliedros rellenables”, de tal forma que los volúmenes calculados mediante las formulas se comprobarán rellenando el cuerpo geométrico y se corroboraran en litros que el resultado es el mismo y por RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 18 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano tanto la utilidad de las fórmulas. Como una de las modificaciones de la técnica y para conseguir el objetivo de ver la utilidad de las fórmulas del cálculo de las áreas laterales, se realizará una práctica con el programa informático Geógebra, en el cual comprobaremos que el área lateral de un cuerpo geométrico se puede obtener de una forma fácil a través de la fórmula. Se trabajará la elección de la toma de decisión en los problemas, de tal manera que se trabaje la visión global y el por qué de la elección correcta. Así, como recalcar y priorizar la necesidad de saber estos conocimientos sobre el objeto matemático propuesto para el futuro en la vida cotidiana. • Ejercicios para practicar técnica 1: Identificar cuerpos geométricos en objetos del entorno Ejercicio 1: A qué cuerpo geométrico se parecen los siguientes objetos: RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 19 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Ejercicio 2: A qué cuerpo geométrico se parecen los siguientes objetos: • Ejercicios para practicar técnica 2: Componer y descomponer cuerpos geométricos en cuerpos conocidos Ejercicio 3: Descomponer las siguientes figuras en cuerpos geométricos conocidos e indicar las medidas características de éstos últimos. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 20 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano a) b) c) d) Ejercicio 4: Con los siguientes cuerpos geométricos que se ven en el dibujo, componer ocho figuras que estén en tu entorno y al menos aparezca una vez todos los cuerpos geométricos. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 21 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano • Ejercicios para practicar técnica 3: Realizar desarrollos planos de cuerpos geométricos. Ejercicio 5 ¿Cuáles de las siguientes figuras son desarrollo de un cilindro? Ejercicio 6 ¿Cuáles de las siguientes figuras son desarrollo de un cono? RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 22 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Ejercicio 7 Haz el desarrollo en superficie de: a) Un prisma triangular. b) Una pirámide cuadrangular. c) Hexaedro regular. • Ejercicios para practicar técnica 4: Calcular distancias en cuerpos geométricos - Técnica 4.1: Medida directa. Ejercicio 8 Tomad las medidas necesarias para calcular su área lateral y volumen de los siguientes lugares u objetos: • Aula • Un vaso • Una pelota • Una lata de refresco. • El monumento de la plaza San Juan (pirámide de base cuadrada). - Técnica 4.2: Medida indirecta (empleando algún razonamiento geométrico o fórmula). Ejercicio 9 En la figura tienes el desarrollo de un prisma de base cuadrada. Calcula su superficie total. Ejercicio 10 Calcula el volumen del sólido que aparece a continuación: RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 23 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano aproximar la medida de volúmenes de cuerpos geométricos. 3. Dichas técnicas ¿están adecuadas al campo de problemas asociado al objeto matemático? Si, todas las técnicas están enfocadas para resolver los problemas que se plantean en el campo de problemas. 4. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula. La metodología a seguir sería ir introduciendo las técnicas en el orden que se han numerado, pues se han ordenado con el criterio de menor a mayor complejidad de comprensión para el alumno. Se comenzaría explicando y practicando las dos primeras técnicas que como ya hemos dicho consisten en identificar cuerpos geométricos en objetos del entorno y en componer y descomponer cuerpos geométricos en cuerpos conocidos, de esta forma, nos serviría para introducir los distintos campos de problemas. Una vez trabajadas las dos primeras técnicas que servirían de introducción, continuaríamos con las dos siguientes técnicas que son un poco más complejas y nos acercan un poco más a la razón de ser del objeto matemático. Estas técnicas son la de realizar desarrollos planos de cuerpos geométricos y calcular distancias en cuerpos geométricos de una forma directa e indirecta. Posteriormente, y como previamente se han trabajado las técnicas de desarrollos planos de cuerpos geométricos y calcular distancias en cuerpos geométricos de una forma directa, continuaríamos con la técnica 5, que consiste calcular áreas laterales de cuerpos geométricos, mediante el desarrollo plano del cuerpo geométrico, mediante la descomposición de un cuerpo geométrico en otros conocidos y el empleo de una fórmula. A continuación de la técnica expuesta y con un grado más de dificulta se introduciría la técnica del cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos a través de medidas directas e indirectas que ya previamente se habrían avanzado. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 30 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Para finalizar y por ser unas técnicas en las que aparece un grado mayor de complejidad en el sentido que se incorpora una competencia de precisión y de identificación de objetos del entorno se trabajarían las técnicas 7 y 8 que consisten en aproximar la medida de áreas de figuras planas y la medida de volúmenes de cuerpos geométricos. G. Sobre las tecnologías (justificación de las técnicas) 1. ¿Mediante qué razonamientos se van a justificar las técnicas? Se aplicarán razonamientos matemáticos sencillos a partir de datos conocidos y se introducirán aplicaciones sencillas como por ejemplo el teorema de Pitágoras. Se realizarán razonamientos lógicos mediante actividades de manualidades cuyos objetivos serán afianzar los razonamientos matemáticos, como por ejemplo comprobar los resultados obtenidos con las fórmulas con figuras rellenables. Tecnologías: • Comprobar las propiedades de los objetos y compararlas con las definiciones y propiedades de los cuerpos geométricos. • Empleo de las fórmulas de volumen y área conocidas despejando la longitud deseada • Conservación de área: la suma de las áreas de figuras más elementales es igual al área de la figura compuesta. • Deducir las fórmulas que permiten calcular las áreas laterales de los cuerpos geométricos. • Conservación del volumen: la suma de los volúmenes de los cuerpos elementales es igual al volumen del cuerpo geométrico compuesto. • Deducir las fórmulas que permiten calcular el volumen de los cuerpos geométricos. • Utilizar figuras geométricas rellenables para corroborar que el cálculo de los volúmenes que nos vienen dados por las fórmulas es el mismo. • Utilizar recortables de cartulina, para posteriormente crear el volumen y ver el desarrollo de las áreas de las caras laterales. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 31 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano TÉCNOLOGIAS DE LAS TÉCNICAS DE ÁREAS. Área de los prismas El área de un prisma o de cualquier poliedro, es la suma de las áreas de cada una de sus caras. Podemos distinguir: Área lateral: Suma de las áreas de las caras laterales. En el prisma las caras laterales son rectángulos. Área total: Es la suma del área lateral y el área de las dos bases. Las bases son dos polígonos iguales. Prisma rectangular recto Prisma pentagonal Desarrollo Prisma pentagonal Desarrollo Prisma rectangular recto Área de la pirámide Al desarrollar una pirámide se obtiene la base que es un polígono y las caras laterales que son triángulos. Área lateral: Suma de las áreas de las caras laterales. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 32 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Área total: Es la suma del área lateral y el área de la base. La base es un polígono cualquiera, regular o no. (Aquí trabajaremos con bases que son polígonos regulares). Pirámide de base cuadrada Desarrollo de una pirámide de base cuadrada: se obtienen cuatro triángulos isósceles iguales y un cuadrado. En una pirámide de base cuadrada: La arista lateral, la altura de una cara y la mitad de la arista de la base forman un triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa la arista lateral. La altura de la pirámide, la altura de una cara y la mitad de la arista de la base forman un triangulo rectángulo, siendo la hipotenusa la altura de una cara. La altura de la pirámide, la arista lateral y la mitad de la diagonal de la base forman un triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa la arista lateral. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 33 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 34 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Área de los cuerpos de revolución Área de un cilindro El desarrollo de un cilindro se compone de dos círculos que son las bases y un rectángulo de base la longitud de la circunferencia y de altura la del cilindro. Área lateral: Al=2·π·r·h Área total: At=2·π·r·h+ 2·π·r2 Área de un cono El desarrollo de un cono se compone del círculo de la base y un sector circular que tiene por longitud de arco, la longitud de la circunferencia y por radio, la generatriz del cono. Área lateral: Al=π·r·g Área total: At=π·r·g+π·r2 RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 35 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano En un cono: La generatriz, la altura y el radio de la base forman un triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa la generatriz. Área de una esfera La esfera no se puede desarrollar y representar en un plano. El área de la esfera es igual a cuatro veces la superficie del círculo de mayor radio que contiene. Área: A=4·π·r2 RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 36 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano TÉCNOLOGIAS DE LAS TÉCNICAS DE VOLÚMENES. Volumen y capacidad Unidades de volumen El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. La unidad principal es el metro cúbico (m3). Una unidad de volumen es 1000 veces mayor que la del orden inmediato inferior y 1000 veces más pequeña que la del orden inmediato superior. Relación entre las unidades. Cada unidad de volumen es 1000 veces mayor que la del orden inferior siguiente y 1000 veces menor que la del orden superior anterior. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 37 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Capacidad y volumen El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo y capacidad es lo que cabe dentro de un recipiente. Un litro (l) es la capacidad de una caja cúbica de 1 dm de lado. En general se llama capacidad de un recipiente a su volumen. Volúmenes de prismas y pirámides Cubo Un cubo es un prisma particular formado por seis caras cuadradas. Su volumen es el cubo de la longitud de la arista. Volumen (V)= a · a · a = a3 Un cubo de 3 cm de arista estaría formado por 33=27 cubos unidad, de un cm3 cada uno. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 38 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Ortoedro Un ortoedro es un prisma cuyas caras son todas rectangulares. Volumen (V)= a · b · c RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 39 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano I. Sobre la evaluación 1. Diseña una prueba escrita (de una duración aproximada de una hora) que evalúe el aprendizaje realizado por los alumnos. 1. Estoy construyendo una piscina de 5,7 metros de largo, 4 metros de ancho y 1,9 metros de alto. Quiero cubrir las paredes y el fondo con azulejos de forma cuadrada de 20 cm de lado. ¿Cuántos azulejos necesitaré si aproximadamente se desperdicia un 10%? 2. Calcula los metros cuadrados de tela que se necesita para fabricar una sombrilla con forma de pirámide dodecagonal de 84 cm de arista de la base y 194 cm de arista lateral. 3. a) Calcula la superficie de una pelota de 5 cm de radio. b) Calcula la superficie de una pelota de radio doble de la anterior. c) Calcula la superficie de una pelota de radio 10 veces mayor que la primera. d) ¿Qué relación hay entre las superficies de las esferas? RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 46 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano 4. Un macetero de plástico tiene forma de tronco de pirámide hexagonal. Los lados de las bases miden respectivamente 36 y 42 cm y la arista lateral mide 7,5 cm. Calcula la cantidad de plástico que se necesita para su fabricación. 5. Una piscina tiene unas dimensiones de 7x4x2 m. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarla dos grifos cuyo caudal es de 70 litros por minuto cada uno? 6. Calcula el peso en gramos de un lingote de plata de 24x4x3 cm. La densidad de la plata es 10,5 g/cm3. 7. La etiqueta lateral de papel, que rodea completamente una lata cilíndrica de tomate frito, mide 25x13 cm. Calcula el volumen de la lata. 8. Calcula el peso de un cable cilíndrico de cobre de 2 mm de diámetro y 1350 m de longitud, sabiendo que la densidad del cobre es 8,9 g/cm3. Todos los problemas valdrán 1,25 puntos 2. ¿Qué aspectos del conocimiento de los alumnos sobre el objeto matemático pretendes evaluar con cada una de las preguntas de dicha prueba? Se sepa calcular áreas laterales de los cuerpos geométricos estudiados. Se sepa asociar a cada elemento de la vida real un cuerpo geométrico. Saber pasar de unas unidades de capacidad a otras. Trabajar con diferentes unidades de medida. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 47 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano Calcular volúmenes de cuerpos geométricos. Saber cuántos cuerpos geométricos se pueden hacer con determinado material. Saber cuánto material te hace falta para realizar un determinado trabajo. 3. ¿Qué respuestas esperas en cada uno de las preguntas en función del conocimiento de los alumnos? Los problemas más sencillos que son de aplicar la formula, espero que la mayoría de los alumnos hayan resuelto correctamente ese tipo de problemas. Los problemas que se mezclan con unidades de longitud y densidad creo que la mayoría de alumnos calcularán correctamente el área o volumen y tendrán bastantes problemas llegados a este punto. 4. ¿Qué criterios de calificación vas a emplear? Como criterio de evaluación de la asignatura se desglosaría de la siguiente forma: • Un 15% actividades que se realizan en clase, contabilizando su participación e interés. • Un 20% problemas y ejercicios a realizar fuera del horario escolar. • Un 65% prueba escrita. Para la prueba escrita los criterios de evaluación serian los siguientes:  Un 20% organización del planteamiento, croquis, dibujo, datos del problema, etc.…  Un 40% Correcto planteamiento y correctas fórmulas.  Un 40% desarrollo de las operaciones. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 48 TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario de Profesorado de Matemáticas en ESO y bachillerato Tutor Universidad de Zaragoza: José María Muñoz Escolano J. Sobre la bibliografía y páginas web 1. Indica los libros, artículos y páginas web revisadas para la realización de este trabajo. • Moreno M.F., del Olmo M.A., Gil F., (1989) Volumen 19 Superficie y Volúmenes ¿Algo más que el trabajo con formulas? Síntesis: Madrid. • Gómez Cutillas J.L., (2008) Matemáticas 2ºESO. Grupo EDEBE: Barcelona. • Cólera J., Gaztelu I., (2008) Matemáticas 2ºESO ANAYA: Madrid. • Domínguez Sánchez F., (2008) Matemáticas 2ºESO SANTILLANA: Madrid • Web del centro de innovación y desarrollo a distancia CIDE@D http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/ • Real Pérez M., (2009). Representación de poliedro y superficies con un aplicación TIC SUMA 60, 63-71. • Muñoz Escolano J.M., Oller Marcén A.M., (2013). Identificación de figuras geométricas en fotografías de objetos reales. Un estudio con maestros. NÚMEROS, 83, 105-122. RAÚL MOYA ALONSO Nip 403492 Página 49