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Universidad de Zaragoza Trabajo Fin de Grado Grado en F ´ ısica Formaci´on y evoluci´on estelar Autor: H´ector Villarrubia Rojo Director: Jos´e V. Garc´ıa Esteve 24 de junio de 2014 ii ´ Indice general Introducci´on 1 1. Evoluci´on inicial 3 1.1. Inestabilidad gravitatoria: criterio de Jeans .................. 3 1.2. Revisi´on del criterio de Jeans: esfera isoterma ................. 5 1.3. Fragmentaci´on .................................. 7 1.4. Masa m´ınima ................................... 8 2. Producci´on de energ´ıa 11 2.1. Escala de tiempo de Helmholtz-Kelvin ..................... 11 2.2. Reacci´on prot´on-prot´on ............................. 12 2.3. Otras reacciones ................................. 16 3. Transporte de energ´ıa 19 3.1. Definiciones generales .............................. 19 3.2. Ecuaci´on de transferencia radiativa ....................... 21 3.3. Recorrido libre medio .............................. 21 3.4. Cuerpo negro. Primera aproximaci´on ...................... 22 3.5. Cuerpo negro. Segunda aproximaci´on ...................... 23 3.6. Luminosidad ................................... 24 3.7. Estabilidad .................................... 25 3.7.1. Condiciones de convecci´on ........................ 25 3.7.2. Estabilidad nuclear ............................ 26 3.7.3. Masa m´axima ............................... 27 4. Evoluci´on final 29 4.1. Agotamiento del hidr´ogeno ........................... 29 4.2. Finales: estrellas peque˜nas, masivas y supermasivas .............. 30 4.2.1. Peque˜nas ................................. 30 4.2.2. Masivas .................................. 31 4.2.3. Supermasivas ............................... 31 5. Enanas blancas 33 5.1. Planteamiento del problema ........................... 33 5.2. Funciones de Lane-Emden. Casos no relativista y ultrarrelativista ...... 35 iii 5.2.1. No relativista ............................... 36 5.2.2. Ultrarrelativista ............................. 37 5.3. Consideraciones adicionales ........................... 37 5.3.1. Cristalizaci´on ............................... 37 5.3.2. Equilibrio β................................ 38 5.3.3. Reacciones picnonucleares ........................ 38 5.3.4. Relatividad General ........................... 38 6. Estrellas de neutrones 39 6.1. Ecuaciones de Oppenheimer-Volkoff ...................... 39 A. Ecuaciones de estado 43 A.1. Hidrodin´amica .................................. 43 A.2. Ecuaciones de estado ............................... 44 A.2.1. Gas ideal ................................. 44 A.2.2. Gas de Fermi ............................... 44 A.2.3. Cuerpo negro ............................... 46 A.3. Teorema del virial ................................ 46 A.3.1. Cl´asico .................................. 46 A.3.2. Hidrodin´amico .............................. 47 A.4. Homolog´ıa ..................................... 47 B. Ecuaciones de estructura relativistas 49 C. ´ Ordenes de magnitud 51 C.1. Constantes f´ısicas ................................. 51 C.2. Escalas estelares ................................. 51 Bibliograf´ıa 53 iv Introducci´on El estudio de una estrella es la oportunidad perfecta para, mientras se explican fen´omenos tan cotidianos como el brillo del Sol, aplicar conocimientos de diversas ´areas de la F´ısica. El funcionamiento de una estrella involucra de manera natural la hidrodin´amica, la f´ısica nuclear y cu´antica, la relatividad y la f´ısica estad´ıstica. Es m´as, a lo largo de su vida las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza juegan un importante papel. La gravedad es crucial durante la formaci´on y en todas las fases de evoluci´on, las interacciones d´ebil y fuerte participan en la producci´on de energ´ıa y las interacciones electromagn´eticas a trav´es de la emisi´on de luz. El objetivo central de este trabajo es explicar el origen de las estrellas, sus mecanismos b´asicos de funcionamiento y repasar los diferentes finales que deben afrontar. El programa es lo bastante amplio para resultar inabordable en toda su generalidad. Nos restringiremos a ejemplos sencillos, con multitud de hip´otesis simplificadoras y desarrollos matem´aticos elementales. A pesar de la importancia actual de las simulaciones y los m´etodos num´ericos se ha prescindido de ellos a lo largo del trabajo, s´olo en el ´ultimo cap´ıtulo aparece una peque˜na muestra de un c´alculo num´erico. El Cap´ıtulo 1 comienza la historia evolutiva de una estrella, su formaci´on. Debemos intentar explicar por qu´e existen las estrellas, objetos mucho m´as densos que sus alrededores y con un rango de masas de entre 0.1 y 100M. Introduciremos el concepto de inestabilidad gravitatoria y veremos c´omo permite explicar la formaci´on de objetos de masas estelares a partir de una nube molecular diluida. La referencia principal para elaborar la mayor parte del cap´ıtulo ha sido (Kippenhahn et al., 1990), concretamente 26.2 y 26.3. El Cap´ıtulo 2 se centra en el problema de la producci´on de energ´ıa. Comienza repasando por qu´e existe la necesidad de una fuente de energ´ıa (bien comprendida ya a finales del siglo XIX). Desde finales de los a˜nos 30 es bien sabido que dicha fuente de energ´ıa son las reacciones termonucleares. El resto del cap´ıtulo se centra en las reacciones nucleares y se realiza el c´alculo expl´ıcito (muy simplificado) de uno de los mecanismos nucleares: la reacci´on prot´on-prot´on. El resultado final es una estimaci´on para el ritmo de producci´on de energ´ıa en una estrella. Las referencias principales son el art´ıculo divulgativo (Nauenberg and Weisskopf, 1978) y uno de los art´ıculos originales sobre el tema (Bethe and Critchfield, 1938). Una vez producida la energ´ıa, el Cap´ıtulo 3 estudia c´omo se transporta por el interior de la estrella. Como antes, hay varios mecanismos de transporte de energ´ıa y aqu´ı nos centramos en el transporte por radiaci´on. Con todos los elementos esenciales de la estructura estelar a nuestra disposici´on analizamos brevemente la estabilidad, poniendo de 1 manifiesto algunos aspectos muy interesantes. La mayor parte del an´alisis del transporte radiativo proviene de apuntes personales de la asignatura Astrof´ısica, impartida por el profesor Manuel Membrado en la Universidad de Zaragoza. El Cap´ıtulo 4 repasa las fases finales de evoluci´on. Habiendo estudiado el origen y funcionamiento de las estrellas queda preguntarse c´omo acaban su vida. Justificaremos, con argumentos sencillos, por qu´e podemos esperar que las estrellas tengan diferentes finales dependiendo de su masa. Parte importante del contenido proviene de (Kippenhahn et al., 1990), 30.3 y 30.5. El Cap´ıtulo 5 se centra en uno de los posibles finales de una estrella, la fase de enana blanca. Explicaremos c´omo la existencia de las enanas blancas se fundamenta en el comportamiento cu´antico de los gases a altas densidades y estudiaremos su estructura en cierto detalle. La referencia principal es (Shapiro and Teukolsky, 2008), cap´ıtulo 3. El Cap´ıtulo 6 estudia objetos a´un m´as ex´oticos que las enanas blancas, las estrellas de neutrones. Su estructura es muy compleja y nos limitaremos a trabajar sobre un gas ideal de neutrones. Este cap´ıtulo sirve adem´as como ejemplo de un c´alculo de Relatividad General. Durante el cap´ıtulo se han seguido los c´alculos del art´ıculo original (Oppenheimer and Volkoff, 1939). Por ´ultimo se incluyen algunos ap´endices, con resultados que se sal´ıan de la discusi´on general pero que proporcionan informaci´on complementaria. El Ap´endice A contiene una recopilaci´on de resultados importantes de f´ısica general: ecuaciones de la hidrodin´amica, ecuaciones de estado, implicaciones del teorema del virial y relaciones de homolog´ıa. El Ap´endice B recoge el c´alculo relativista completo de las ecuaciones de estructura, todo el contenido puede encontrarse en (Weinberg, 1972), 11.1. Finalmente, el Ap´endice C contiene valores num´ericos, tanto de constantes fundamentales como otros datos que pueden ayudar a hacerse una idea de los ´ordenes de magnitud del problema, la mayor´ıa procedentes de (Zombeck, 2008). Los c´alculos no son detallados y los resultados son por tanto s´olo semicuantitativos. No obstante, mostraremos c´omo mediante c´alculos sencillos y estimaciones de orden de magnitud podemos obtener una verdadera comprensi´on de las estrellas: por qu´e est´an ah´ı, cu´al es el origen de su brillo, a qu´e se debe que sean tan estables y longevas... 2 Cap´ıtulo 1 Evoluci´on inicial El primer paso para comprender la historia evolutiva de una estrella es entender su origen. Veremos en este primer apartado c´omo explicar la presencia de inhomogeneidades de escalas estelares en una nube molecular. 1.1. Inestabilidad gravitatoria: criterio de Jeans En 1902, Sir James Jeans se enfrent´o al problema de la estabilidad de una nebulosa esf´erica y encontr´o el concepto fundamental de inestabilidad gravitatoria. Intuitivamente parece evidente el resultado al que debemos llegar. Si tenemos un fluido sometido a la gravedad que ´el mismo genera y una fluctuaci´on aumenta la densidad de una regi´on, ´esta ejercer´a mayor fuerza sobre sus alrededores y tender´a a hacerse m´as densa. No obstante, la presi´on del fluido se opone a este fen´omeno por lo que la fluctuaci´on debe involucrar una masa lo suficientemente grande para que la gravedad se imponga; todo el que haya jugado con un globo sabe que no suelen colapsar. Las ecuaciones b´asicas que describen el fen´omeno que hemos comentado son la ecuaci´on de continuidad (conservaci´on de la masa), la ecuaci´on de Euler (conservaci´on del momento, sin viscosidad) y la ecuaci´on de Poisson (ecuaci´on del campo gravitatorio). A falta de especificar la ecuaci´on de estado, el conjunto de ecuaciones queda ∂ρ ∂t +∇·(ρv) = 0 (1.1) ∂v ∂t + (v·∇)v=−1 ρ∇P−∇φ(1.2) ∇2φ= 4πGρ (1.3) donde ρes la densidad del medio, vla velocidad, Pla presi´on y φel potencial gravitatorio. El procedimiento ahora ser´a considerar peque˜nas desviaciones respecto a una soluci´on de estas ecuaciones, para analizar la estabilidad de dicha soluci´on. En nuestro modelo consideraremos como situaci´on a orden cero una soluci´on homog´enea y est´atica, es decir: ρ0yP0= cte. y v0= 0. Es muy importante se˜nalar que las condiciones que hemos escogido no son soluci´on del sistema de ecuaciones, con esta soluci´on es imposible conciliar el equilibrio hidrost´atico y la ecuaci´on de Poisson (con ρ6= 0). A pesar de ser fundamentalmente incorrecto, el modelo es suficientemente ilustrativo y simple como para que merezca 3 la pena seguir adelante antes de refinarlo. Buscamos soluciones de la forma ρ(t) = ρ0+ρ1+. . . P(t) = P0+P1+. . . v(t) = v1+. . . junto con un t´ermino potencial φ1. Las perturbaciones a la presi´on y a la densidad se relacionan a trav´es de la velocidad del sonido1P1=v2 sρ1. Sustituyendo tenemos a primer orden en  ∂ρ1 ∂t +ρ0∇·v1= 0 (1.4) ∂v1 ∂t =−v2 s ρ0 ∇ρ1−∇φ1(1.5) ∇2φ1= 4πGρ1(1.6) Aplicando ∂ta (1.4), ∇a (1.5) y usando (1.6) tenemos ∂2ρ1 ∂t2=v2 s∇2ρ1+ 4πGρ0ρ1(1.7) Buscamos soluci´on en forma de ondas planas ρ1=Z˜ρ1(k) exp(ik·r−iωt) d3k y encontramos la relaci´on de dispersi´on ω2=k2v2 s−4πGρ0(1.8) Como esper´abamos, las fluctuaciones de densidad de un determinado tama˜no son inestables (ω2<0). Encontramos as´ı el criterio de Jeans para la inestabilidad gravitatoria. Las fluctuaciones inestables son aquellas que cumplen k < 4πGρ0 v2 s1/2≡kJ(1.9) donde kJse denomina n´umero de Jeans. Nos permite definir un escala de longitudes λJ≡2π/kJy lo que es m´as importante, una escala de masas MJ=4πρ0 3λ3 JλJ=π Gρ01/2vs El criterio de inestabilidad queda finalmente M > MJ≡4π 3ρ0πv2 s Gρ03/2(1.10) 1Para perturbaciones adiab´aticas es general δP =∂P ∂ρ adb δρ ≡v2 sδρ Para perturbaciones isotermas tambi´en tenemos esta relaci´on (con otra velocidad del sonido) si nos restringimos a un gas ideal P∝ρT 4 1.2. Revisi´on del criterio de Jeans: esfera isoterma Para superar las dificultades del modelo homog´eneo y est´atico debemos considerar alternativas m´as realistas. Una posibilidad es abandonar la suposici´on de estaticidad. Existe una teor´ıa consistente de crecimiento de inhomogeneidades en un universo en expansi´on (soluci´on de FriedmannLemaˆıtre-Robertson-Walker de las ecuaciones de Einstein, con factor de escala a(t)) en un marco newtoniano. En este caso lo que se mantiene constante son las magnitudes com´oviles, es decir, tenemos soluciones a orden cero de la forma ρ=ρ0(a0/a(t))3. Obtenemos as´ı una condici´on equivalente a la de Jeans2 k2<6πGρ0 v2 s Aunque este enfoque es de inter´es innegable en cosmolog´ıa y para explicar el origen de las estructuras cosmol´ogicas, nosotros plantearemos otro modelo m´as adecuado para nuestro objetivo: explicar la formaci´on de estrellas en una nube molecular fr´ıa. Hasta ahora no hemos hecho especial ´enfasis en el tipo de fluctuaci´on que estamos tratando. Debemos decidir si tenemos fluctuaciones adiab´aticas o isotermas, pues su comportamiento es radicalmente diferente. La diferencia entre ambas se relaciona con la existencia de dos escalas de tiempos: τg, la escala de crecimiento de la fluctuaci´on por efecto de la gravedad y τadj, el tiempo de ajuste t´ermico o tiempo necesario para equilibrar una variaci´on de temperatura. Si τg> τadj la fluctuaci´on es isoterma, mantiene su temperatura constante mientras crece, el equilibrio t´ermico no se ve afectado por la contracci´on. En cambio, si τadj > τgla fluctuaci´on es adiab´atica, contrae demasiado r´apido para intercambiar calor con el entorno. La escala de crecimiento puede leerse directamente de (1.8) como τg= (Gρ)−1/2, mientras que la escala de ajuste t´ermico τadj ∼ρ. Para una nube molecular fr´ıa diluida esperaremos que las fluctuaciones sean isotermas, al menos al principio. Busquemos una aproximaci´on menos formal que en el apartado anterior, de orden de magnitud. Consideremos una esfera isoterma embebida en un medio con presi´on P∗>0. Supondremos que la esfera es de un gas ideal monoat´omico y que s´olo interacciona con el medio a trav´es de la presi´on (el exterior tiene simetr´ıa esf´erica). Figura 1.1: Esfera isoterma con presi´on en superficie P0en un medio con presi´on P∗. 2Ver por ejemplo (Weinberg, 1972). 5 general) necesita fuentes adicionales de energ´ıa. El origen de estas fuentes fue un misterio hasta el desarrollo de la f´ısica nuclear. Hoy d´ıa sabemos que la producci´on de energ´ıa en las estrellas se basa en reacciones termonucleares, que analizamos en la siguiente secci´on. 2.2. Reacci´on prot´on-prot´on La liberaci´on de energ´ıa en las estrellas proviene fundamentalmente de dos cadenas de reacciones termonucleares: la cadena prot´on-prot´on y el ciclo del carbono. Trataremos aqu´ı en detalle la cadena prot´on-prot´on, dando mediante argumentos sencillos una estimaci´on del ritmo de producci´on de energ´ıa. Por ´ultimo se incluyen algunos resultados para otras cadenas. La cadena de reacciones que tiene lugar en la reacci´on prot´on-prot´on es p+p→D+e++νe+ 1.44 MeV (×2) (2.4) D+p→He3+γ+ 5.49 MeV (×2) (2.5) He3+ He3→He4+ 2p+ 12.85 MeV (2.6) El resultado final es la combinaci´on de cuatro protones en un n´ucleo de helio y dos neutrinos, con una producci´on de energ´ıa de 26.1 MeV (donde se han descontado ∼0.3 MeV que se pierden en promedio con cada neutrino3). La energ´ıa por prot´on es de 6.5 MeV. Por otro lado, de las tres reacciones la primera es much´ısimo m´as lenta que el resto. Los dos protones tienen, en primer lugar, que vencer la repulsi´on coulombiana para quedar confinados dentro del rango de la interacci´on fuerte. En segundo lugar, durante el poco tiempo que dura este confinamiento uno de los pdebe decaer β+para formar el deuter´on (este proceso d´ebil ya es por s´ı mismo mucho m´as lento). Para calcular el ritmo de producci´on de energ´ıa nuclear Q´unicamente necesitamos estudiar el primer proceso, que al ser mucho m´as lento marca el ritmo de toda la reacci´on. Figura 2.1: Potencial coulombiano entre dos protones. Representaremos la interacci´on fuerte por un pozo cuadrado de ∼2 fm. 3(Kippenhahn et al., 1990) 12 Uno de los factores que necesitamos conocer es la probabilidad de atravesar la barrera de la figura 2.1. La probabilidad cl´asica a las temperaturas consideradas (107K) es ´ınfima, el proceso debe tener lugar por efecto t´unel. Las caracter´ısticas del efecto t´unel (dependencia exponencial con la anchura de la barrera) nos permite intuir una fuerte dependencia del ritmo de la reacci´on con la temperatura. Habiendo anticipado algunos de los resultados, pasemos ahora s´ı a los c´alculos. Debemos tener en cuenta tres factores para calcular la probabilidad de recombinaci´on de los dos protones i) La probabilidad de penetraci´on de la barrera durante la colisi´on de dos protones. ii) La probabilidad de emisi´on de un positr´on durante la colisi´on, para lo que utilizaremos la teor´ıa de Fermi de la desintegraci´on β. iii) La distribuci´on de velocidades de las part´ıculas dentro de la estrella con la estad´ıstica de Maxwell-Boltzmann. El n´umero de reacciones por unidad de tiempo para la reacci´on p+p→D+e++νe viene dado por la regla de oro de Fermi, para protones con momento p1yp2tenemos Ppp =2π ~ZdNedNνdNDδ(Ei−Ef)|hf|Hβ|ii|2(2.7) donde dNi=V h3d3piyhf|Hβ|ii=Hfi es el elemento de matriz que conecta los estados inicial y final. Es decir, consideramos la probabilidad de transici´on |Hfi|2y sumamos sobre todos los posibles estados finales e iniciales cinem´aticamente permitidos. Con las aproximaciones habituales de mν= 0 y de que el deuter´on es mucho m´as masivo que e+ yν(absorbe mucho momento sin contribuir apreciablemente a la energ´ıa) tenemos Ppp =2π ~|Hfi|2f(E0) (2.8) donde E0es el m´aximo valor para la energ´ıa del positr´on y la funci´on f(E0) es una integral4 sobre el espacio de fases accesible por el positr´on y el neutrino. Podemos simplificar la expresi´on escribi´endola en funci´on de la probabilidad de desintegraci´on del neutr´on Pn Ppp =Zψ∗ Dψpp d3r 2fE0(pp) fE0(n)Pn(2.9) 4La forma general es f(Z, E0) = Zp0 0 F(Z, E)p2(E0−E)2dp donde F(Z, E) es el factor de Fermi, una correcci´on que da cuenta de que el positr´on se encuentra en un potencial coulombiano y no es una onda plana. Si despreciamos esta correcci´on electrost´atica F(0, E)=1 y la integral se calcula anal´ıticamente. M´as detalles en (Weisskopf and Blatt, 1952) p. 688. 13 donde ψDes la funci´on de ondas del deuter´on y ψpp la funci´on de ondas del sistema prot´onprot´on. Hasta aqu´ı el tratamiento es bastante general. A continuaci´on particularizaremos a nuestro problema en tres pasos. Primero calcularemos el factor estad´ıstico. En segundo lugar calcularemos de forma aproximada el elemento de matriz. Por ´ultimo promediaremos sobre los posibles estados iniciales (promedio con la estad´ıstica de Boltzmann) para obtener el resultado final del ritmo de la reacci´on. Factor estad´ıstico. Evaluaremos la energ´ıa disponible en los dos procesos. En la desintegraci´on del neutr´on n→p+e−+ ¯νeE0=mn−mp−me= 0.8 MeV Para nuestro proceso p+p→D+e++νeE0= 2mp−mp−mn−me+b(D) = 0.4 MeV Recalcamos de nuevo que la formaci´on del deuter´on s´olo puede tener lugar si los protones est´an lo suficientemente cerca. El neutr´on es m´as masivo que el prot´on por lo que p→n s´olo puede tener lugar si el estado final tiene una energ´ıa a´un menor, como en el caso del deuter´on. En el rango de energ´ıas considerado5 f(E0)∼E4 0→ fE0(pp) fE0(n)≈ E0(pp) E0(n)!4 =1 16 Elemento de matriz. Necesitamos estimar la forma de las funciones de onda para el deuter´on y el sistema prot´on-prot´on. Representaremos la interacci´on fuerte por un potencial cuadrado de anchura δ, estrecho. ψpp se puede calcular exactamente, hay que buscar soluciones con el hamiltoniano H=−~2 2µ∇2+e2 r+V(r) donde µes la masa reducida, rla distancia relativa y V(r) el potencial de corto alcance. Las soluciones pueden escribirse6 ψpp =G(r) √Veik·r(2.10) donde rykson las posiciones y momento relativo. Para r= 0 (consideraremos que G(r=δ)≃G(r= 0)) G(0) = v∗ v1/2e−v∗/2vv∗=2πe2 ~(2.11) 5La forma expl´ıcita de la funci´on f(E0) puede encontrarse en algunos textos de f´ısica nuclear o tambi´en en (Bethe and Critchfield, 1938). 6Ver por ejemplo (Merzbacher, 1998) 13.8, la soluci´on realmente se encuentra para un potencial coulombiano puro pero en nuestra aproximaci´on es indiferente. 14 donde ves la velocidad relativa entre los protones. La funci´on de ondas del deuter´on es (en nuestra aproximaci´on) un autoestado del pozo cuadrado. ´ Estos oscilan para r < δ y decaen exponencialmente para r > δ, simplificando a´un m´as tomaremos para todo rla siguiente expresi´on ψD=1 √πδ3e−r/δ δ: “radio”del deuter´on (2.12) Ahora s´ı podemos calcular el elemento de matriz, por la dependencia de ψDla ´unica contribuci´on apreciable viene de la integral sobre el volumen del deuter´on ZV ψ∗ Dψpp d3r≈ψpp(0) ZV ψ∗ Dd3r= 4πψpp(0) Z∞ 0 r2e−r/δ (πδ3)1/2dr =ψpp(0) 8π1/2δ3/2= 8π1/2v∗ v1/2e−v∗/2vδ3 V1/2 Promedio t´ermico. Con los resultados anteriores tenemos que el n´umero de reacciones que se producen por unidad de tiempo para dos protones con velocidad relativa ves Ppp = 4πv∗ ve−v∗/vδ3 VPn(2.13) Finalmente para obtener el ritmo de la reacci´on debemos promediar con la estad´ıstica de Maxwell-Boltzmann sobre todas las posibles velocidades iniciales Rpp =hPppi=1 2ZPpp φ(E1)φ(E2) d3p1d3p2 φ(E) = Nexp −mv2 2kBTN−1=v3 Tπ3/2m3v2 T=2kBT m(2.14) Para evitar el problema de tratar con los m´odulos v=|v2−v1|podemos promediar directamente sobre velocidades relativas empleando la masa reducida µ=m/2 en lugar de men φ(E) Rpp =ZPpp φ(E) d3p=16π1/2v∗ v3 Tδ3 VPnZ∞ 0 ve−v∗/ve−v2/v2 Tdv(2.15) Podemos aproximar la integral en (2.15) d´andonos cuenta que el integrando presenta un m´aximo estrecho en una velocidad v0. Desarrollando en torno a este m´aximo obtenemos Rpp ≃32π 9√3S2(v0)e−S(v0)δ3 VPncon S(v0)=3v∗ 2vT2/3(2.16) En definitiva, la probabilidad por unidad de tiempo de que un par de protones en un volumen Vforme un deuter´on es Rpp =32π 9√3S2e−Sδ3 VPnS= 3v∗ 2vT2/3         v∗=2πe2 ~ v2 T=4kBT mp (2.17) 15 Figura 2.2: Representaci´on del n´ucleo como una esfera isoterma. La energ´ıa producida por unidad de tiempo en la reacci´on total se calcula a partir del ritmo, la energ´ıa q/2 producida por cada par de protones y el n´umero de pares de protones N2 p/2 Q=qN2 p 4Rpp (2.18) Tratemos de ver ahora a partir de argumentos sencillos si podemos deducir la dependencia de Qcon la temperatura. Consideremos una esfera homog´enea e isoterma (n´ucleo), con radio Rc, masa Mcy temperatura Tc. Tenemos Ne=Np, despreciando la presencia de elementos compuestos y suponiendo que la ecuaci´on de estado es la de un gas ideal monoat´omico (N=Np+Ne= 2Np) del teorema del virial tenemos 3ZPdV=−Eg+ 4πR3 cPext ≈ −Eg 6M mp kBT=3 5 GM2 R=4π 5 GM2R2 V→M=Npmp= 10RcTckB Gmp Si adem´as tomamos δ= 4.3×10−13 cm, P−1 n= 920 s y q= 26.1 MeV llegamos finalmente a Q= 25qR2 cT2 ck2 B G2m4 p Rpp Rpp =24 √3Pnδ3 R3 cS2e−S Q= 3.5×1039R Rc Tc 107K4/3exp h−15.7107K Tc1/3ierg/s (2.19) Tomando como datos concretos Tc= 107K y Rc= 0.1Robtenemos Q= 5.3×1033 erg/s, del mismo orden de magnitud que la luminosidad solar L= 3.8×1033 erg/s. 2.3. Otras reacciones Hemos visto c´omo la cadena pp permite estimar la energ´ıa producida en las estrellas. Sin embargo este proceso s´olo es dominante a bajas temperaturas, en la mayor´ıa de estrellas se producen otras reacciones que comentamos a continuaci´on 16 Cadena pp.Ya hemos profundizado en esta reacci´on, repasamos sus caracter´ısticas principales p+p→D+e++νe1.44 MeV 14 ×109a˜nos D+p→He3+γ5.49 MeV 6 s He3+ He3→He4+ 2p12.85 MeV 10 a˜nos La energ´ıa liberada es q= 26.7 MeV, algo menos si descontamos la energ´ıa de los neutrinos (unos 0.3 MeV). Es la m´as energ´etica entre todas las reacciones de fusi´on y la menos sensible a los cambios de temperatura (c´alculos detallados muestran que para T≈5×106→Q∼T6,T≈2×107→Q∼T3.5) Ciclo del carbono. Otra manera de unir 4 protones en un n´ucleo de helio es mediante el ciclo del carbono. Al contrario que la pp , requiere la presencia de elementos pesados (C12), que act´uen como catalizadores, reponi´endose al final. El ciclo completo es C12 +p→N13 +γ1.95 MeV 1.3×107a˜nos N13 →C13 +e++νe2.22 MeV 7 min C13 +p→N14 +γ7.54 MeV 2.7×106a˜nos N14 +p→O15 +γ7.35 MeV 3.2×108a˜nos O15 →N15 +e++νe2.71 MeV 82 s N15 +p→C12 + He44.96 MeV 1.1×105a˜nos Junto con la cadena pp es la fuente principal de energ´ıa en las estrellas. La energ´ıa liberada descontando las p´erdidas de los neutrinos es q= 25.0 MeV (la energ´ıa de los neutrinos depende de la reacci´on donde se producen). Es muy sensible a la temperatura, en el rango T= 1 ···5×107→Q∼T23 ···T13. Otras reacciones. Si la estrella es suficientemente masiva se alcanza la temperatura de fusi´on para elementos m´as pesados, procesos dominantes cuando se agotan las reservas de H. Para T&108K comienza la quema del helio, a T&109K el ox´ıgeno (con todos los intermediarios). Cuando T≈3×109K empieza a producirse hierro como producto y la estrella deja de poder obtener energ´ıa de la fusi´on (el hierro es estable, ni su fusi´on ni su fisi´on son energ´eticamente favorables). Una vez explicado el origen de la energ´ıa en las estrellas, reacciones nucleares de fusi´on en el n´ucleo, debemos examinar c´omo se transporta esta energ´ıa en el interior y relacionarlo con la luminosidad. 17 18 Cap´ıtulo 3 Transporte de energ´ıa 3.1. Definiciones generales Antes de estudiar el transporte radiativo de energ´ıa repasaremos algunos conceptos fundamentales. Consideremos un elemento de superficie dSorientado seg´un ˆny centrado en el punto P, con vector de posici´on r. Definimos un sistema de coordenadas {ˆı,ˆ,ˆ k} sobre el elemento de superficie y denotamos la direcci´on de emisi´on de los fotones por ˆc. Intensidad. La direcci´on de emisi´on ˆcqueda definida por los ´angulos θyϕ. El diferencial de ´angulo s´olido en torno a ˆcse define como dΩ = sin θdθdϕ. La energ´ıa que atraviesa la superficie dSen un intervalo dten las direcciones comprendidas por dΩ en torno a ˆces dE=I(ˆc,r, t)ˆc·dSdΩ dt=I(ˆc,r, t) cos θdSdΩ dt(3.1) donde Ies la intensidad en el punto P. Flujo. La energ´ıa neta que atraviesa la superficie dSen un dtpuede escribirse F·dSdt Donde el flujo (energ´ıa por unidad de tiempo y superficie) se obtiene sumando sobre todas las posibles direcciones de emisi´on F=ZΩI(ˆc,r, t)ˆcdΩ (3.2) 19 Distribuci´on frecuencial. Para an´alisis posteriores, es interesante descomponer la energ´ıa en sus componentes frecuenciales. De manera an´aloga al primer caso, la energ´ıa que atraviesa la superficie dSen un intervalo dty con frecuencia comprendida entre νyν+ dνes dEν=Iν(ˆc,r, t)ˆc·dSdΩ dtdν(3.3) donde Iνes la intensidad monocrom´atica y se relaciona con I I(ˆc,r, t) = Z∞ 0Iν(ˆc,r, t) dν Distribuci´on de fotones en el espacio de fases. Pasamos ahora a considerar la luz compuesta de fotones, buscaremos relacionar la distribuci´on de fotones en el espacio de fases con las intesidades antes calculadas. El n´umero de fotones en un volumen elemental en el espacio de fases dN=f(r,p, t)dVdVp h3·2 = f(r,p, t)2dV h3p2dpdΩ Utilizando la relaci´on p=E/c =hν/c,p=pˆc dN=2ν2 c3f(r,p, t) dVdνdΩ Ahora nos preguntamos cu´antos fotones atraviesan la superficie dSseg´un la direcci´on ˆcen un intervalo dt. Los fotones viajan a velocidad c, luego ser´an los contenidos en el cilindro de altura cdt. El volumen del cilindro es dV=c·dSdt, luego el n´umero de fotones que atraviesan dicha superficie es dN=2ν2 c3f(r,p, t)c·dSdtdνdΩ La energ´ıa se obtiene sin m´as que considerar que la energ´ıa que lleva cada fot´on es hν, dEν=hνdN. Relacionamos as´ı la intensidad con la funci´on de distribuci´on dEν=2hν3 c3f(r,p, t)c·dSdtdνdΩ dEν=Iν(r,p, t)ˆc·dSdtdνdΩ        Iν=2ν3 c2fν 20 3.2. Ecuaci´on de transferencia radiativa La evoluci´on de la distribuci´on de part´ıculas en el espacio de fases viene dada por la ecuaci´on de Boltzmann. Establece una relaci´on entre la variaci´on del n´umero de part´ıculas contenidas en un volumen dVque se mueve con velocidad vy los procesos de p´erdida y ganancia que tienen lugar. En nuestro caso v=cy tenemos ∂fν ∂t +c·∇fν=γ+ ν−γ− ν(3.4) donde γ+yγ−representan los procesos de ganancia y p´erdida. O bien multiplicando por 2hν3/c3y definiendo Γ±= 2hν3γ±/c3 1 c ∂Iν ∂t +ˆc·∇Iν= Γ+ ν−Γ− ν(3.5) Procesos de p´erdida Γ− ν Absorci´on (desaparecen fotones del modo) Scattering (sacan los fotones del volumen considerado) Ambos son proporcionales al n´umero de fotones ∼ Iνy a la densidad del medio. Para tener en cuenta ambos procesos definimos la opacidad κν Γ− ν=κνρ(r, t)Iν(ˆc,r, t) (3.6) Procesos de ganancia Γ+ ν Emisi´on (las fuentes de energ´ıa generan nuevos fotones) Scattering (las colisiones pueden introducir fotones dentro del volumen) Caracterizamos gen´ericamente estos procesos a trav´es de una funci´on fuente Γ+ ν=κνρ(r, t)Sν(ˆc,r, t) (3.7) La ecuaci´on de transferencia radiativa queda 1 c ∂Iν ∂t +ˆc·∇Iν=κνρ(r, t)hSν(ˆc,r, t)−Iν(ˆc,r, t)i(3.8) 3.3. Recorrido libre medio Buscando evaluar el camino libre medio de los fotones en el medio consideremos en primer lugar Sν= 0, estudiamos c´omo cambian los fotones que hay en el medio si no se inyectan m´as. Realizamos algunas aproximaciones: situaci´on estacionaria y simetr´ıa esf´erica. En estas circunstancias ˆc·∇Iν(ˆc, r) = −κνρ(r)Iν(ˆc, r) (3.9) 21 28 Cap´ıtulo 4 Evoluci´on final 4.1. Agotamiento del hidr´ogeno Hemos visto que las estrellas son objetos tremendamente estables, adem´as, gracias a sus grandes reservas de energ´ıa nuclear, tienen tiempos de vida muy largos. El primer suceso que perturba significativamente la vida de cualquier estrella, y que marca el inicio de las fases finales de evoluci´on, es el agotamiento del hidr´ogeno. El tiempo transcurrido hasta que una estrella consume el hidr´ogeno depende de su masa. Podemos estimar esta escala de tiempo como τH=EH L(4.1) donde Les la luminosidad (que se mantiene aproximadamente constante) y EHla energ´ıa disponible. La energ´ıa disponible es proporcional a la cantidad de hidr´ogeno que se consume, si suponemos adem´as que la fracci´on de combustible consumido es igual para todas las estrellas tenemos EH∝M. Con esto y la relaci´on L∝M3que obtuvimos en (3.15), podemos estimar τH∼M−2(4.2) Las estrellas m´as masivas tienen tiempos de vida m´as cortos, brillan con m´as intensidad y proceden antes a la siguiente etapa. No s´olo eso, veremos ahora c´omo dependiendo de su masa tienen finales significativamente distintos. Las estrellas presentan una estructura estratificada y cada capa tiene un comportamiento diferente. Las mayores temperaturas se alcanzan en el n´ucleo y las capas interiores, la fusi´on tiene lugar aqu´ı y no en las capas exteriores. Para nuestros prop´ositos, tomaremos un modelo elemental de dos capas: un n´ucleo y su envolvente. En nuestro modelo la fusi´on ´unicamente tiene lugar en el n´ucleo y una vez que ´este consume todo el hidr´ogeno la estrella queda como un n´ucleo de helio inerte y una envolvente de hidr´ogeno1. En ausencia de fuentes de energ´ıa, el n´ucleo alcanza el equilibrio t´ermico a una temperatura Tc. Nos encontramos de nuevo con el problema de equilibrio de una esfera isoterma, 1Por supuesto suponemos un salto abrupto entre el n´ucleo y la envolvente, no se produce fusi´on en las zonas internas de la envolvente. Tampoco consideramos convecci´on, que podr´ıa suministrar combustible al n´ucleo. No consideramos tampoco, de momento, expansiones o contracciones del n´ucleo. 29 debemos estudiar la estabilidad en funci´on de la relaci´on entre la presi´on en la superficie del n´ucleo Pcy la presi´on de la envolvente Pe. Ya discutimos2que para una masa Mcy una temperatura Tcexiste una presi´on m´axima Pcmax =Pcmax (Mc, Tc). Si Pe> Pcmax el n´ucleo es inestable y se contrae, mientras que si Pe< Pcmax existe soluci´on de equilibrio (Pcmax ∝T4 c/M2 c) Figura 4.1: Comparativa entre la presi´on ejercida por la envolvente y la presi´on en la superficie de la esfera isoterma. Pe> Pcmax , contracci´on. La contracci´on produce Tc↑y contin´ua hasta que aparezcan otros fen´omenos (degeneraci´on u otra etapa nuclear). Pe< Pcmax , equilibrio. Realmente, como la fusi´on de H sigue teniendo lugar en las capas m´as internas, el tama˜no del n´ucleo de helio aumenta progresivamente. Es decir, Mc↑y por tanto en alg´un momento llegamos a la condici´on Pe> Pcmax y comienza la contracci´on. Llegados a este punto las estrellas peque˜nas y grandes siguen caminos diferentes. 4.2. Finales: estrellas peque˜nas, masivas y supermasivas 4.2.1. Peque˜nas Una de las caracter´ısticas m´as importantes de las estrellas m´as peque˜nas es que presentan mayores densidades centrales ρcdurante la quema del hidr´ogeno. Podemos justificarlo cualitativamente a partir del teorema del virial 6NkBT=αGM2 R→kBT=αGMm 6R donde Nes el n´umero de protones y msu masa. Entonces, si tenemos dos configuraciones a la misma temperatura (quema de H, por ejemplo) M1 R1 =M2 R2 2En la secci´on 1.2, en concreto la f´ormula (1.11) nos permite calcular inmediatamente la presi´on m´axima. 30 Para esferas homog´eneas esto implica3 ρ1 ρ2 =R2 2 R2 1→R2> R1⇒ρ1> ρ2 Las estrellas m´as peque˜nas est´an por tanto m´as cerca del punto de degeneraci´on. En este tipo de estrellas cuando el n´ucleo comienza a colapsar se alcanza antes la degeneraci´on que el punto de ignici´on del helio. La presi´on del gas de electrones degenerados es superior al gas cl´asico y el equilibrio ahora s´ı se mantiene. La envolvente se expulsa progresivamente o bien se enfr´ıa y cae sobre el n´ucleo. El remanente final, este n´ucleo degenerado, es lo que denominamos una enana blanca (de He). 4.2.2. Masivas Las estrellas m´as masivas alcanzan la temperatura de fusi´on del He. Una vez consumido el helio nos encontramos con el mismo problema, o bien se alcanza la degeneraci´on o la temperatura necesaria para la siguiente etapa nuclear. El tama˜no de una estrella determina cu´antas etapas nucleares recorre. Estas estrellas producen enanas blancas de elementos m´as pesados (como C, N, O). 4.2.3. Supermasivas Las estrellas que recorren todas las fases nucleares hasta el Fe y no alcanzan la degeneraci´on del n´ucleo tienen un final violento, los fen´omenos conocidos como supernovas. Sus productos finales son, dependiendo de la masa, agujeros negros o estrellas de neutrones. Aunque no entraremos en los detalles concretos de la formaci´on de estrellas de neutrones, s´ı vamos a explicar un fen´omeno fundamental para su existencia: la neutronizaci´on. Neutronizaci´on Consideremos un gas de electrones y protones, a temperaturas suficientemente altas la energ´ıa de las part´ıculas es lo bastante grande para que se produzca la captura electr´onica e−+p→n+νe Para que el proceso tenga lugar el electr´on debe tener una energ´ıa E=Ekin +mec2> (mn−mp)c2= 1.3 MeV. En nuestra experiencia cotidiana, el neutr´on libre es inestable y decae βen unos 15 minutos a trav´es de la reacci´on inversa n→p+e−+νe Sin embargo, a densidades suficientemente altas, la desintegraci´on βse bloquea y tenemos una producci´on neta de neutrones. Ve´amoslo. Supongamos que el gas de electrones est´a degenerado, con energ´ıa de Fermi EF. La energ´ıa cin´etica m´axima que puede adquirir el electr´on en la desintegraci´on βdel neutr´on es Q= (mn−mp−me)c2. En el caso de que EF> Q el electr´on producto no tiene ning´un estado libre, el proceso queda inhibido. Se produce as´ı la neutronizaci´on del gas. Es importante notar que tanto en nuestro gas como en la estrella de neutrones necesitamos 3Sabemos que R2> R1para M2> M1por el equilibrio gravitacional. 31 mantener una peque˜na concentraci´on de protones y electrones para mantener este bloqueo. Las estrellas de neutrones tienen una alt´ısima proporci´on de neutrones y una peque˜na cantidad de electrones y protones que aseguran su estabilidad frente a la desintegraci´on β. No obstante, en un caso real de formaci´on de una estrella de neutrones no tenemos un gas de protones y electrones sino elementos pesados como el hierro. El proceso de producci´on de neutrones libres es diferente en este caso, pero el mecanismo subyacente que permite la supervivencia de estos neutrones es el bloqueo βque hemos explicado. 32 Cap´ıtulo 5 Enanas blancas Trataremos ahora sobre las fases finales de la vida de las estrellas. Involucran en algunos casos estados ex´oticos de la materia y debemos ser cuidadosos a la hora de escoger una ecuaci´on de estado, as´ı como decidir el papel que debe jugar la relatividad en su estructura. 5.1. Planteamiento del problema Como ya hemos comentado anteriormente, una de las ecuaciones m´as importantes en una estrella es la ecuaci´on de balance energ´etico dE dt=Q−L Parad´ojicamente, la producci´on de energ´ıa nuclear contribuye a mantener la estrella fr´ıa. Cuando se agota el combustible nuclear, la p´erdida de energ´ıa por radiaci´on induce una contracci´on y consecuentemente un aumento de la temperatura. Sin fuentes internas de energ´ıa ¿Deber´ıa continuar la contracci´on indefinidamente haciendo m´as y m´as densa la estrella? La respuesta es no. Como ya adelant´abamos en el primer cap´ıtulo y seg´un los resultados del cap´ıtulo anterior, antes se alcanza el l´ımite de degeneraci´on del gas de electrones (TTF). El gas degenerado de electrones es radicalmente diferente de un gas cl´asico, los electrones se encuentran ocupando todos los estados posibles desde el fundamental y s´olo unos pocos cercanos al nivel de Fermi contribuyen a los procesos t´ermicos1. En este caso, la energ´ıa que se gana en la contracci´on gravitatoria se invierte en aumentar la energ´ıa de los electrones sin que esto se refleje en un aumento de la temperatura. El resultado final es que la estrella se enfr´ıa. Veamos qu´e informaci´on podemos obtener sobre las caracter´ısticas de las enanas blancas mediante estimaciones de orden de magnitud. Esto nos ayudar´a a plantear las ecuaciones y a anticipar resultados. Ecuaci´on de estado. Seg´un la discusi´on anterior, nuestra ecuaci´on de estado ser´a la de un gas degenerado para los electrones y un gas cl´asico para los iones. Esperamos encontrar 1Notar que la temperatura de Fermi depende de la masa de las part´ıculas que estemos considerando. Mientras que el gas de electrones est´a degenerado, los protones y otros iones tienen una temperatura de Fermi mucho menor y se comportan como un gas cl´asico. 33 tanto el caso no relativista como el ultrarrelativista para el gas de electrones, dependiendo de la densidad. Masa m´axima. Uno de los resultados m´as importantes que obtendremos es la existencia de una masa l´ımite. En este tipo de objetos estelares la presi´on cu´antica de los electrones (mayor que la de los iones) es la fuerza que se opone al colapso gravitatorio. ¿C´omo var´ıan estas dos fuerzas al variar el volumen? Consideremos el caso m´as extremo de enana blanca, la ultrarrelativista (m´as densa) Pg=−dEg dV=−1 4πR2 dEg dR∼GM2 4πR4=GM2 4π4π 3V4/3(5.1) Pe=2πm4 ec5 3h3pF mec4=hc 43 8π1/3N V4/3(5.2) Ambas evolucionan igual con el volumen, si la fuerza gravitatoria es mayor y se inicia la contracci´on, sigue siendo mayor y la contracci´on contin´ua. Por tanto, la masa m´axima que puede soportar una enana blanca sin convertirse en alg´un otro objeto m´as compacto es la que cumple Pg=Pe. Con M=Nmpesto nos lleva a Mmax =Nmaxmp∼1 m2 p~c G3/2≃1.5M(5.3) Para masas mayores la gravedad se impone y el destino de la estrella es otro. Este sencillo an´alisis permite anticipar la existencia de una masa l´ımite y estimar el orden de magnitud de la masa de estos objetos (∼M). Radio. Hemos calculado la masa para una enana blanca ultrarrelativista (pFmec), para estimar2el radio consideramos el caso pF=mec. Operando llegamos a R≃~ mecN1/3(5.4) Sustituyendo de (5.3) llegamos a R∼5×108cm = 7 ×10−3R(5.5) Ecuaciones de estructura. Una vez calculados los par´ametros caracter´ısticos del problema estimaremos el rol que jugar´an la relatividad especial y general en la estructura. En primer lugar, la energ´ıa interna de los constituyentes del sistema Ue= 3PV =3hc 43 8π1/3N4/3 V1/3≃4.2×1049 erg (5.6) Up=Nmpc2= 1.5×1054 erg (5.7) 2Obtenemos realmente una cota superior. 34 Aunque los electrones son la contribuci´on principal en la presi´on, la energ´ıa est´a dominada por la masa en reposo de los iones. No necesitamos considerar correcciones de relatividad especial. Veamos la relatividad general GM Rc2∼4.4×10−41 (5.8) No esperamos por tanto que las correcciones de relatividad general tengan un rol importante en la estructura3. Nuestro problema se reduce a resolver las ecuaciones newtonianas, que ya hemos trabajado, con una nueva ecuaci´on de estado. 5.2. Funciones de Lane-Emden. Casos no relativista y ultrarrelativista Las ecuaciones de estado para el gas ideal de Fermi se reducen a la forma simple (politr´opica) P=KργP= (γ−1)u(5.9) en los dos casos l´ımite no relativista (γ= 5/3) y ultrarrelativista (γ= 4/3). Trataremos de solucionar estos dos casos. Las ecuaciones de estructura son las newtonianas, que pueden agruparse en 1 r2 d drr2 ρ dP dr=−4πGρ (5.10) Definimos el ´ındice politr´opico ncomo γ= 1 + 1/n. Sustituyendo la ecuaci´on de estado (5.9) en (5.10) y realizando los siguientes cambios de variables (ρces la densidad central ρc=ρ(r= 0)) ρ=ρcθn r=aξ a=h(n+ 1)Kρ1/n−1 c 4πG i1/2 llegamos a la ecuaci´on de Lane-Emden de orden n 1 ξ2 d dξξ2dθ dξ=−θn(5.11) con las condiciones de contorno4 θ(0) = 1 (5.12) θ0(0) = 0 (5.13) 3Las correcciones de relatividad general son importantes para ciertas cuestiones de estabilidad. 4La primera condici´on se obtiene directamente de ρ(0) = ρc. La segunda es m´as elaborada. En primer lugar, cuando r→0 tenemos M∼4π 3r3ρc. Por otro lado de la condici´on de equilibrio hidrost´atico tenemos dP dr=Kγργ−1dρ dr∼ − 4πG 3ρ2 cr→θ0(0) = 0 35 La ecuaci´on (5.11) puede integrarse num´ericamente5desde ξ= 0 con las condiciones de contorno anteriores. Se encuentra que para n < 5 (γ > 6/5) las soluciones decrecen mon´otonamente y se anulan (tienen un cero) en ξ=ξ1. En este punto P=ρ= 0, corresponde a la superficie de la estrella. Con esto podemos calcular el radio y la masa a partir de la densidad central, con ello la relaci´on M-R. El radio queda R=aξ1=h(n+ 1)K 4πG i1/2ρ(1−n)/2n cξ1(5.14) y la masa M=ZR 0 4πr2ρdr= 4πa3ρcZξ1 0 ξ2θndξ=−4πa3ρcZξ1 0 d dξξ2dθ dξdξ = 4πh(n+ 1)K 4πG i3/2ρ(3−n)/2n cξ2 1|θ0(ξ1)|(5.15) despejando la densidad central obtenemos una relaci´on entre MyR M= 4πξ2 1|θ0(ξ1)|R ξ13−n 1−nh(n+ 1)K 4πG in n−1(5.16) Definimos tambi´en el peso molecular medio por electr´on (n´umero de nucleones nBpor electr´on) µe=A/Z, con esto ρ=mpnB=mpneµe(5.17) Paticularicemos los resultados ahora a los casos que nos interesan. 5.2.1. No relativista γ= 5/3n= 3/2ξ1= 3.65375 ξ2 1|θ0(ξ1)|= 2.71406 KNR =h2 5mem5/3 p3 8π2/31 µ5/3 Por tanto obtenemos R= 1.12 ×104ρc 106g cm−3−1/6µe 2−5/6km (5.18) M= 0.49ρc 106g cm−31/2µe 2−5/2M = 0.70R 104km−3µe 2−5M(5.19) Uno de los resultados curiosos es que el radio de la estrella es inversamente proporcional a la masa, a˜nadir m´as masa no hace m´as grande a la estrella s´olo m´as compacta. 5Los valores pueden encontrarse por ejemplo en (Chandrasekhar, 2010). 36 5.2.2. Ultrarrelativista γ= 4/3n= 3 ξ1= 6.89685 ξ2 1|θ0(ξ1)|= 2.01824 KUR =hc 43 8π1/31 (mpµe)4/3 De aqu´ı obtenemos R= 3.35 ×104ρc 106g cm−3−1/3µe 2−2/3km (5.20) M= 1.45Mµe 2−2(5.21) Como ya anticip´abamos en (5.3) los c´alculos detallados muestran la existencia de una masa m´axima, independiente del radio y donde la composici´on qu´ımica interviene a trav´es de µe. Este es el conocido l´ımite de Chandrasekhar. Para masas mayores la presi´on del gas de electrones es incapaz de contener la contracci´on gravitatoria y el destino de la estrella es convertirse en una estrella de neutrones, que estudiaremos en el siguiente cap´ıtulo. 5.3. Consideraciones adicionales En este cap´ıtulo hemos tratado las enanas blancas primero mediante argumentos cualitativos que nos han permitido estimar las magnitudes del problema y plantear las ecuaciones completas. A continuaci´on hemos presentado la resoluci´on utilizando la ecuaci´on de estado de un gas ideal de fermiones completamente degenerado, cuya ecuaci´on no var´ıa en toda la configuraci´on. En esta secci´on daremos una visi´on de los nuevos fen´omenos que deben considerarse para mejorar el modelo6. 5.3.1. Cristalizaci´on Aunque el gas de iones no alcanza el l´ımite de degeneraci´on y se comporta como cl´asico, lo cierto es que se encuentra bajo condiciones extremas. La densidad es extremadamente alta (los iones est´an muy juntos) por lo que parece l´ogico que conforme la temperatura baje debamos considerar las interacciones coulombianas. Definimos un par´ametro Γ que cuantifique la importancia de las interacciones electrost´aticas Γ≡(Ze)2 rikBT=energ´ıa Coul. energ´ıa term. aqu´ı ricuantifica la distancia entre iones (concretamente la distancia entre iones si se encuentran equiespaciados ocupando toda la estrella) y se define como 4πnir3 i 3= 1 6Evidentemente puede mejorarse considerando estratificaci´on en capas, permitiendo diferentes rangos de degeneraci´on y de “relatividad”. Aqu´ı nombramos fen´omenos nuevos, en muchos casos ´unicos, ocurriendo s´olo bajo las circunstancias especiales de las enanas blancas. 37 A.2. Ecuaciones de estado A.2.1. Gas ideal El comportamiento de un gas ideal viene dado por PV =NkBT U =1 γ−1NkBT=1 γ−1PV (A.6) La constante γda cuenta de los grados de libertad internos, por ejemplo1 γ= 5/3 (monoat´omico) (A.7) γ= 7/5,9/7 (diat´omico) (A.8) Adem´as, si consideramos procesos adiab´aticos en un gas ideal tenemos las relaciones TγP1−γ= cte. TV γ−1= cte. PV γ= cte. (A.9) Por ´ultimo, la ecuaci´on de estado del gas ideal para sistemas multicomponente (nindica densidad num´erica de part´ıculas) P=nkBT=kBTX i ni(A.10) puede reescribirse de una forma m´as conveniente P=kBTX i ni=kBTX i miniPini Pimini =ρ µkBT(A.11) donde se ha definido el peso molecular medio µ≡Pimini Pini (A.12) Por ejemplo, en el caso de un gas de protones y electrones, np=nepor la neutralidad de carga y adem´as mpme µ=mpnp+mene ne+np =mp 2(A.13) A.2.2. Gas de Fermi En general, las caracter´ısticas de un gas de Fermi se describen por (en el caso no relativista, si no la densidad de estados es m´as complicada) N=ZfF(, T)D() d fF(, T) = 1 exp β(−µ)+1 (A.14) U=ZfF(, T)D() d D() = (2s+ 1)V 4π22m ~23/21/2(A.15) 1El valor para el gas diat´omico depende de si consideramos s´olo rotaciones o rotaciones y vibraciones. 44 En el caso degenerado (T→0) puede simplificarse la discusi´on. La funci´on de Fermi es una funci´on escal´on, todos los estados se encuentran llenos hasta el momento pF(´ultimo estado ocupado). El n´umero de electrones se obtiene contando todos los estados N= 2 ZfF dVdVp h3=2V h3ZfFdVp=8πV h3ZpF 0 p2dp=8πV 3h3p3 F pF=3N 8πV 1/3h(A.16) La energ´ıa cin´etica de las part´ıculas es =p(cp)2+ (mc2)2−mc2=mc2"r1 + p mc2−1#(A.17) definiendo x≡pF mc (A.18) la energ´ıa interna y la presi´on quedan U=8πV h3ZpF 0 p2dp=8πV h3ZpF 0 mc2"r1 + p mc2−1#p2dp=πV m4c5 3h3B(x) (A.19) P=−∂U ∂V N =8π 3h3ZpF 0 mc2(p/mc)2 p1+(p/mc)2p2dp=πm4c5 3h3A(x) (A.20) donde A(x) = x(2x2−3)p1 + x2+ 3 sinh−1x(A.21) B(x) = 8x3[p1 + x2−1] −A(x) (A.22) Conviene buscar los casos particulares ultrarrelativista y no relativista (x1 y x1 respectivamente) A(x) = 8 5x5−4 7x7+. . . para x1 (NR) (A.23) = 2x4−2x2+. . . para x1 (UR) (A.24) B(x) = 12 5x5−3 7x7+. . . para x1 (NR) →PV =2 3Ucl´asico (A.25) = 6x4−8x3+. . . para x1 (UR) →PV =1 3U(A.26) Temperatura de Fermi Podemos intuir f´acilmente el grado de degeneraci´on de un sistema si definimos una escala de temperaturas TF≡F kB (A.27) Por ejemplo, en el caso no relativista F=p2 F/2my tenemos TF=~2 2mkB (3π2n)2/3(A.28) Consideraremos que un sistema est´a totalmente degenerado cuando TTF. 45 A.2.3. Cuerpo negro Las ecuaciones del cuerpo negro pueden obtenerse semicl´asicamente, contando los modos en una cavidad, o de manera an´aloga al gas de Fermi, utilizando la estad´ıstica de Bose-Einstein. En este ´ultimo caso, fωes el n´umero (promedio) de fotones en un modo ω yg(ω) la densidad de estados N=Zfωg(ω) dω fω=1 exp β~ω−1(A.29) U=Z~ωfωg(ω) dω g(ω) = V ω2 π2c3(A.30) Integrando encontramos U V=π2k4 B 15~3c3T4=4σ cT4(A.31) Tambi´en podemos calcular la presi´on del gas2 PV =π2V 45~3c3(kBT)4=1 3U(A.32) A.3. Teorema del virial A.3.1. Cl´asico Cosideremos el lagrangiano de un sistema de Npart´ıculas L=T−V=1 2X i mi˙ r2 i−V(r1,...,rN) (A.33) donde adem´as V(r1,...,rN) es homog´enea de grado k, es decir, cumple V(λr1, . . . , λrN) = λkV(r1,...,rN)⇒X i ri·∂V ∂ri =kV (A.34) Escribimos las ecuaciones del movimiento y tratamos de explotar la propiedad anterior d dt∂Ti ∂˙xi+∂V ∂xi = 0 →xi d dt∂Ti ∂˙xi+xi ∂V ∂xi = 0 (A.35) 1 2 d2 dt2(mix2 i) = ˙xi ∂Ti ∂˙xi−xi ∂V ∂xi (A.36) Sumando sobre todas las part´ıculas y definiendo el momento de inercia I=Pimir2 tenemos 1 2 d2I dt2= 2T−kV (A.37) Si consideramos la situaci´on estacionaria y un potencial newtoniano de atracci´on entre las part´ıculas (k=−1) 2T=−V(A.38) 2Para el c´alculo de la presi´on necesitamos recurrir a la funci´on de partici´on del gas (o justificar mediante alg´un tipo de consideraci´on cin´etica adicional). Intuitivamente parece razonable, es la misma relaci´on entre presi´on y energ´ıa que para un gas de Fermi ultrarrelativista. 46 A.3.2. Hidrodin´amico Podemos obtener el teorema del virial para un fluido en equilibrio hidrost´atico. La ecuaci´on de equilibrio hidrost´atico (A.5) para un fluido con simetr´ıa esf´erica es dP dr=−GM(r) r2ρ(A.39) Multiplicando por r3a ambos lados e integrando por partes encontramos 3ZPdV=−Eg+ 4πR3Ps(A.40) donde Pses la presi´on en superficie y Egla energ´ıa gravitatoria. Podemos encontrar algunos resultados interesantes concretando la ecuaci´on de estado. Supongamos que la ecuaci´on de estado puede escribirse P= (γ−1)u , ZudV=U(A.41) Nos permite relacionar la energ´ıa gravitatoria con la energ´ıa interna U=−1 3(γ−1)Eg(A.42) y lo que es m´as importante, la energ´ıa total E=Eg+U=3γ−4 3(γ−1)Eg(A.43) Consideramos ahora una contracci´on de este sistema, suficientemente lenta para no perturbar significativamente el equilibrio hidrost´atico. En una contracci´on ∆Eg<0 y tenemos por tanto, para γ > 4/3, ∆E=3γ−4 3(γ−1)∆Eg<0 (A.44) El sistema radia energ´ıa como consecuencia de la contracci´on. A.4. Homolog´ıa Diremos que dos configuraciones estelares son hom´ologas si difieren por ´unicamente por un factor de escala. Concretamente, si la masa total y el radio de dos estrellas guarda la relaci´on R0=αR (A.45) M0=βM (A.46) diremos que son hom´ologas si para toda la configuraci´on se cumple la misma relaci´on r0=αr (A.47) M0(r0) = βM(r) (A.48) 47 A partir de aqu´ı podemos obtener otras relaciones de proporcionalidad. Directamente de la definici´on de M(r) tenemos ρ0(r0) = 1 4π2r02 dM0 dr0=α β3ρ(r) (A.49) Por otro lado, de la condici´on de equilibrio hidrost´atico dP0(r0) = GM0(r0)ρ0(r0) r02dr0=α2 β4dP(r) (A.50) Si consideramos la ecuaci´on de estado de un gas ideal podemos evaluar la variaci´on de la temperatura (permitiremos tambi´en un cambio de composici´on µ0(r0) = γµ(r)) T0(r0) = P0(r0)µ0(r0) ρ0(r0)kB =αγ βT(r) (A.51) En definitiva, podemos resumir las relaciones obtenidas como ρ0(r0) ρ(r)=M0 MR R03P0(r0) P(r)=M0 M2R R04T0(r0) T(r)=µ0 µ M0 M R R0(A.52) Estas sencillas relaciones nos permiten intuir c´omo cambian las variables del problema al cambiar el tama˜no de la estrella, ya sea al comparar dos estrellas o en diferentes fases de evoluci´on de una misma estrella (por ejemplo durante un colapso). 48 Ap´endice B Ecuaciones de estructura relativistas Elegimos la m´etrica1is´otropa e independiente del tiempo, que se puede expresar en la forma general grr =A(r)gθθ =r2gϕϕ =r2sin θ gtt =−B(r) gµν = 0 µ6=ν Siguiendo con la consideraci´on de isotrop´ıa, tomamos el tensor de energ´ıa-momento de un fluido perfecto (verifica la ley de Pascal) Tµν =Pgµν + (P+ρ)UµUνT= 3P−ρ Donde Pes la presi´on y ρes la densidad de energ´ıa (propias, definidas para un observador com´ovil). El cuadrivector velocidad est´a normalizado, de manera que gµνUµUν=−1 Como el fluido est´a en reposo Ur=Uθ=Uϕ= 0 →Ut=−(gtt)−1/2=−pB(r) Las componentes del tensor de Ricci son las mismas que en la soluci´on de Schwarzschild (exterior), escribimos las ecuaciones de Einstein (las componentes no triviales) Rrr =B00 2B−B0 4BA0 A+B0 B−A0 rA =−4πG(ρ−P)A(B.1) Rθθ =−1 + r 2AB0 B−A0 A+1 A=−4πG(ρ−P)r2(B.2) Rtt =−B00 2A+B0 4AA0 A+B0 B−B0 rA =−4πG(ρ+ 3P)B(B.3) 1Seguimos el convenio de signos de (Weinberg, 1972). 49 Condici´on de equilibrio hidrost´atico. Las ecuaciones de Einstein contienen informaci´on tanto sobre la geometr´ıa como sobre la din´amica del fluido. Formalmente, para encontrar las ecuaciones que buscamos s´olo tendr´ıamos que manipular las ecuaciones adecuadamente. En muchos casos, es m´as directo hacer uso de leyes de conservaci´on para simplificar el problema. La ley de conservaci´on del tensor de energ´ıa-momento se escribe Tµν ;ν= 0 para un fluido perfecto Tµν =Pgµν + (P+ρ)UµUν(B.4) Tµν ;ν=∂P ∂xνgµν +g−1/2∂ ∂xνg1/2(P+ρ)UµUν+ Γµ νλ(P+ρ)UνUλ= 0 (B.5) para fluidos est´aticos Ui= 0 y U0= (−g00)−1/2 Tµν ;ν=∂P ∂xνgµν +g−1/2∂ ∂x0g1/2(P+ρ)UµU0+ Γµ 00(P+ρ)U0U0= 0 Γµ 00 =−1 2gµν ∂g00 ∂xν Adem´as, en la situaci´on est´atica todas las derivadas temporales se anulan Tµν ;ν=gµν ∂P ∂xν+1 2g00 gµν ∂g00 ∂xν(P+ρ) = 0 Mutiplicando por gµλ y tomando trazas llegamos a ∂P ∂xi=−(P+ρ)∂ ∂xilog(√−g00) Para la m´etrica general que hemos mencionado antes g00 =B(r) y nos queda B0 B=−2P0 P+ρ(B.6) Soluci´on interior Operando con las ecuaciones de Einstein, buscamos una ecuaci´on que s´olo contenga A(r) Rrr 2A+Rθθ r2+Rtt 2B=−A0 rA2−1 r2+1 r2A=−8πGρ 1 A−A0r A2= 1 −8πGρr2=r A0 Integrando, la soluci´on de la ecuaci´on anterior con A(0) finito queda A(r) = 1−2GM(r) r−1M(r) = Zr 0 4πρ(r)r2dr(B.7) Introduciendo ahora (B.6) y (B.7) en (B.2) encontramos P0=−GM(r)ρ(r) r2h1 + P ρih1 + 4πr3P M(r)ih1−2GM(r) ri−1(B.8) Llegamos as´ı a la expresi´on para el equilibrio hidrost´atico. Con esta expresi´on se aprecia muy bien el l´ımite no relativista. El primer t´ermino es newtoniano, mientras que los tres ´ultimos son puramente relativistas. 50 Ap´endice C ´ Ordenes de magnitud C.1. Constantes f´ısicas Velocidad de la luz c3.00 ×1010 cm s−1 Constante de la gravitaci´on G6.67 ×10−8dyn cm2g−2 Constante de Planck h6.626 ×10−27 erg s ~1.05 ×10−27 erg s Carga del electr´on e4.80 ×10−10 esu Masa del electr´on me9.11 ×10−28 g Masa del prot´on mp1.673 ×10−24 g Masa del neutr´on mn1.675 ×10−24 g Constante de Boltzmann kB1.38 ×10−16 erg K−1 Constante de Stefan-Boltzmann σ5.67 ×10−5erg cm−2K−4s−1 C.2. Escalas estelares Gas interestelar Densidad media ρ3×10−24 g cm−3 Temperatura T80 K Sol Masa M1.989 ×1033 g Radio R6.96 ×1010 cm Luminosidad L3.826 ×1033 erg s−1 Distancia a la Tierra 1 AU 1.496 ×1013 cm Temperatura superficial Ts5770 K Temperatura central Tc1.5×107K Densidad media ¯ρ1.41 g cm−3 Densidad central ρc160 g cm−3 51 Enana blanca Masa M0.5 - 1.4M Radio R109cm = 104km Densidad media ρ106g cm−3 Temperatura central Tc107K Estrella de neutrones Masa M1.4 - 3 M Radio R105cm = 10 km Densidad media ρ1015 g cm−3 Temperatura central Tc109K 52 Bibliograf´ıa Bahcall, J. N. and May, R. M. (1969). The rate of the proton-proton reaction and some related reactions. The Astrophysical Journal, 155:501. Balian, R. and Blaizot, J.-P. (1999). Stars and statistical physics: a teaching experience. American Journal of Physics, 67(12):1189–1206. Bethe, H. A. and Critchfield, C. L. (1938). The formation of deuterons by proton combination. Physical Review, 54(4):248. Burrows, A. (2008). 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