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Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es Proyecto Fin de Carrera SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENÓMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL AUTOR LUIS BUSTO ARANAZ DIRECTOR DEL PROYECTO SERGIO PUERTOLAS EINA - ESCUELA UNIVERSITARIA INGENIERIA TÉCNICA INDUSTRIAL ESPECIALIDAD MECÁNICA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE DE 2014 Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es Proyecto Fin de Carrera SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENÓMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL AUTOR LUIS BUSTO ARANAZ DIRECTOR DEL PROYECTO SERGIO PUERTOLAS EINA - ESCUELA UNIVERSITARIA INGENIERIA TÉCNICA INDUSTRIAL ESPECIALIDAD MECÁNICA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE DE 2014 Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es Proyecto Fin de Carrera SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENÓMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL AUTOR LUIS BUSTO ARANAZ DIRECTOR DEL PROYECTO SERGIO PUERTOLAS EINA - ESCUELA UNIVERSITARIA INGENIERIA TÉCNICA INDUSTRIAL ESPECIALIDAD MECÁNICA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE DE 2014 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA ÍNDICE 1 OBJETIVOS GENERALES Y BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA 2 PANDEO POR FLEXIÓN O DE EULER 2.1 Revisión teórica del fenómeno 2.1.1 Problema patrón. Elemento articulado-articulado 2.1.2 Problema patrón. Elemento empotrado-empotrado 2.1.3 Problema patrón. Elemento empotrado-libre 2.1.4 Problema patrón. Elemento empotrado-empotrado con apoyo deslizante 2.1.5 Problema patrón. Elemento empotrado-articulado 2.1.6 Longitud de pandeo y curva de Euler 2.1.7 Limitaciones de la teoría de Euler. Pandeo real 2.2 Normativa de aplicación CTE DB SE-A 2.3 Caso analizado 2.3.1 Presentación del modelo 2.3.2 Cálculos teóricos 2.3.3 Cálculo según normativa de aplicación CTE DB SE-A 2.3.4 Cálculo mediante DLUBAL elementos finitos 2.3.5 Análisis de los resultados obtenidos 2.4 Análisis de los resultados obtenidos 3 PANDEO LATERAL 3.1 Revisión teórica del fenómeno 3.1.1 Problema patrón. Viga sometida a flexión pura: Mc 3.1.2 Viga en voladizo con carga puntual en el extremo libre 3.2 Normativa de aplicación CTE DB SE-A 3.3 Caso analizado: Viga en voladizo 3.3.1 Cálculo teórico 3.3.2 Cálculo según normativa de aplicación CTE DB SE-A 3.3.3 Cálculo mediante DLUBAL elementos finitos 3.3.4 Cálculo mediante DLUBAL módulo para el análisis de pandeo lateral y flexo torsión mediante elementos finitos. 3.3.5 Cálculo mediante DLUBAL módulo para el análisis de pandeo lateral y flexo torsión según Eurocódigo 3.3.6 Análisis de los resultados obtenidos 3.3.7 Influencia del peso propio en los resultados SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 4 PANDEO DE PLACAS: ABOLLADURA 4.1 Revisión teórica del fenómeno 4.1.1 Ecuación diferencial del pandeo de placas en teoría lineal 4.1.2 Carga crítica para placa comprimida en una dirección 4.1.3 Carga crítica para placa sometida a cortante 4.1.4 Fcr para varios casos. Coeficiente de pandeo de placas 4.2 Normativa de aplicación CTE DB SE-A 4.2.1 Abolladura a cortante 4.2.2 Abolladura ante cargas puntuales 4.3 Casos analizados 4.3.1 Abolladura a cortante 4.3.1.1 Cálculo según normativa de aplicación CTE DB SE-A 4.3.1.2 Cálculo mediante DLUBAL 4.3.1.3 Análisis y comparativa de los resultados obtenidos 4.3.2 Abolladura a cortante-Influencia de la colocación de rigidizadores 4.3.2.1 Cálculo mediante DLUBAL elementos finitos 4.3.2.2 Análisis gráfico de los resultados obtenidos 4.3.2.3 Análisis y comparativa de los resultados obtenidos 4.3.3 Abolladura frente a cargas puntuales. Carga transmitida de un ala a otra 4.3.3.1 Cálculo según normativa de aplicación CTE DB SE-A 4.3.3.2 Cálculo mediante DLUBAL elementos finitos 4.3.3.3 Análisis y comparativa de los resultados obtenidos 4.3.4 Abolladura frente a cargas puntuales. Efecto de la colocación de rigidizadores 4.3.4.1 Cálculo según normativa de aplicación CTE DB SE-A 4.3.4.2 Cálculo mediante DLUBAL elementos finitos 4.3.4.3 Análisis y comparativa de los resultados obtenidos 5 ANEXOS 6 AGRADECIMIENTOS SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 3 1.-OBJETIVOS GENERALES E INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Tal y como se desprende del título de este documento, “Simulación Numérica de Fenómenos de Inestabilidad Mediante DLUBAL”, el desarrollo del mismo se centrará principalmente en el análisis de los fenómenos de inestabilidad a los que con mayor frecuencia suelen enfrentarse las estructuras metálicas, y en la exposición y aplicación de las diferentes herramientas disponibles para el estudio de dichos fenómenos (teóricas, numéricas, etc.). Definiendo la estructura como un conjunto de elementos conectados entre sí con el objeto de resistir con seguridad las cargas a las que se encuentra sometida y transmitirlas al terreno base, durante la realización de este documento centraremos nuestra atención en el estudio de situaciones en las que la combinación de cargas actuantes impide a la estructura cumplir con los objetivos definidos, y más concretamente, vamos a analizar la influencia que diversas geometrías y condiciones de contorno de los elementos de la estructura, tienen sobre el valor de la carga que hace que la estructura se convierta en inestable, definiéndose la estabilidad como la “capacidad de un elemento o estructura para resistir los esfuerzos a los que se encuentra sometido sin llegar a pandear o colapsar”. Así, se estudiarán varios tipos de elementos metálicos sometidos a un cierto estado de carga, analizando en cada caso el valor crítico de dicha carga y el modo en que la inestabilidad se manifestará. En concreto se propondrán 3 situaciones diferentes, las cuales se describen a continuación: 1) Elemento “esbelto”sometido a axil de compresión, con condiciones de empotramiento en los apoyos. En este caso el elemento presentará un fenómeno de inestabilidad conocido como Pandeo de Euler. 2) Viga en voladizo con carga aplicada en el extremo libre, provocando flexión según el eje fuerte, que dará lugar a la aparición de desplazamientos laterales al alcanzarse cierto valor de la carga, conociéndose comúnmente a este tipo de inestabilidad como Pandeo lateral. 3) Perfil armado con alma esbelta sometido a esfuerzo cortante o a cargas puntuales, aproximándonos en estos casos a los fenómenos de Abolladura de Placas por cortante en el alma o por compresión transversal del alma. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 4 El desarrollo de los casos mencionados se realizará con un carácter fundamentalmente docente, pretendiendo dotar a todo aquel que pudiese consultar el presente texto de las herramientas necesarias para la comprensión de los fenómenos de inestabilidad con mayor presencia en el campo de las estructuras metálicas, cualquiera que sea su conocimiento previo de los mismos. Como objetivo concreto y principal, buscaremos dejar constancia del desarrollo de cada caso estudiado con DLUBAL, para que sirva de referencia a futuros usuarios del programa. Para ello se ha descrito paso a paso, a "modo de guión de prácticas", como se modela, como se introducen cargas, como se calcula y como se consultan los resultados obtenidos. Con objeto de desarrollar los contenidos mencionados, el presente documento se estructurará del siguiente modo: -Capítulo 1:Pandeo de Euler -Capítulo 2:Pandeo lateral -Capítulo 3: Pandeo de placas: Abolladura Cada uno de estos apartados se analizará desde varios puntos de vista: a) Teórico. Se desarrollarán en detalle los modelos teóricos y matemáticos que definen cada problema de forma genérica, pasando a continuación a obtener expresiones concretas para las situaciones propuestas. b) Normativo. Se describirán las expresiones matemáticas, tablas y gráficas empleadas por la normativa de aplicación vigente en España para el estudio de cada uno de los casos tratados. c) Numérico. Un apartado fundamental de este proyecto, consistente en el modelado y resolución de los problemas propuestos mediante la utilización del software comercial DLUBAL, basado en el cálculo numérico mediante el Método de los Elementos Finitos (MEF). Como anexos se adjuntará la normativa vigente para cada uno de los fenómenos de inestabilidad estudiados. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 5 EL PROGRAMA DLUBAL La herramienta en torno a la que gira el proyecto y con la que se calcula el apartado numérico de cada uno de los casos es el programa DLUBAL, un extenso y potente paquete informático que abarca el cálculo de estructuras en diversos materiales(vidrio, madera, acero, hormigón), cálculo de instalaciones, planificación BIM etc. Dentro de este paquete, el programa empleado en este proyecto es RFEM , es un potente programa de análisis de elementos finitos 3D que ayuda a los calculistas estructurales a satisfacer las necesidades de la ingeniería moderna. El manejo intuitivo, la facilidad de uso y la eficiente entrada de datos hacen posible un trabajo fácil con RFEM. La familia de programas de RFEM está basada en un sistema modular. El programa principal RFEM se utiliza para definir estructuras, materiales y cargas para tanto sistemas de estructuras planas como espaciales compuestas de placas, muros, láminas y barras. La creación de estructuras combinadas así como el modelado de sólidos y elementos de contacto también es posible. RFEM proporciona deformaciones, esfuerzos internos, esfuerzos en los apoyos, así como también las tensiones de contacto del suelo. Los módulos adicionales facilitan la entrada de datos automática al crear las estructuras, así como también para las uniones, y realizan análisis y diseños avanzados. La filosofía modular permite combinar todos los programas de manera individual según sus necesidades. RFEM ofrece numerosas interfaces representando la herramienta perfecta para una suave interacción entre CAD y el análisis estructural en el Modelado de información para la edificación (BIM). El cálculo se puede realizar para todos los tipos de barras de acuerdo con el análisis estático lineal, de segundo orden o de grandes deformaciones. Esta selección está disponible para tanto los casos de carga como para las combinaciones de carga. Los parámetros de cálculo posteriores pueden definirse individualmente para los casos de carga, combinaciones de carga y de resultados, que incrementa la flexibilidad con respecto al método de cálculo y especificaciones detalladas. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 6 BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Aunque en lo que sigue trataremos la aparición del fenómeno de la inestabilidad ante diversos tipos de carga (no necesariamente de compresión), uno de los problemas más complejos en la ingeniería estructural y de mayor trascendencia práctica, es el de la inestabilidad de elementos estructurales parcial o totalmente comprimidos y el de las estructuras constituidas por dichos elementos. Es natural, por tanto, que su análisis y la reflexión sobre su comportamiento hayan atraído la atención de multitud de mentes conocidamente brillantes, que a lo largo del tiempo han contribuido a establecer los fundamentos del análisis estructural. Así, Galileo en el libro editado en 1638 “Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove Scienze”, utilizó el recurso pedagógico y literario del diálogo entre Sagredo y Salviati para plantear la influencia de la esbeltez en la capacidad resistente de una pieza comprimida: SAGREDO:“Yo estoy convencido por los hechos, pero no comprendo por qué la resistencia no se multiplica en la misma proporción que el material; y yo estoy muy asombrado porque, al contrario, la resistencia aumenta en mayor proporción que la cantidad de material. Así por ejemplo, si comprimimos dos barras cilíndricas, la que tiene doble área soporta no sólo dos veces más la carga, sino tres o tres veces y media más.” SALVIATI:“Incluso no se equivocará si dice cuatro veces más.” SAGREDO:“Entonces, Salviati, tendrías que resolver estas dificultades y clarificar estos conceptos, porque imagina a qué campo de ideas bellas y útiles da acceso la solución de este problema; y si tú te ocupas de él en tu exposición de hoy, tanto Simplicio como yo, te estaremos muy agradecidos.” Más de un siglo después, Euler demostró que la respuesta “teórica” era que la barra cilíndrica con doble área que otra, soporta 4 veces más de carga, por cuanto ésta es directamente proporcional a la inercia de la sección que, siendo circular, varía con la potencia cuarta del diámetro. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 7 Hoy la respuesta es...que depende, y que la relación de las cargas en el caso expuesto puede variar entre 2, en piezas poco esbeltas, y 4 en las de gran esbeltez, y que para precisar el valor hay que aceptar convenciones basadas, ciertamente, en numerosísimos análisis teóricos y experimentales. Un hito fundamental en lo referente al conocimiento del fenómeno de inestabilidad estructural se produce en 1744 cuando el matemático alemán Leonar Euler (1707-1783) publica el “Methodus inveniendi Líneas curvas…”, donde por primera vez se planteó la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la pieza comprimida biarticulada y el valor de la carga para la que “teóricamente”se desestabilizará la pieza. Al valor de la carga, Pcr, se le conoce desde entonces, en honor a su autor, como carga crítica de Euler, y es la fórmula de referencia en la que se basan, explícita o implícitamente, todos los planteamientos modernos de la inestabilidad estructural. A partir de Euler fueron muy numerosos los matemáticos que, al tiempo que impulsaron el desarrollo del cálculo diferencial y de otras especialidades del saber matemático, se interesaron por los problemas de inestabilidad estructural y aplicaron en su solución los nuevos conocimientos disponibles. Euler partió de unas hipótesis muy claras que simplificaban y hacían posible el análisis de la pieza comprimida. La observación, el estudio y la experimentación, han ido progresivamente acotando el campo de validez de las hipótesis de partida de Euler y ajustando los valores que resultan de las formulaciones consiguientes con los “reales”. Pero la metodología que nació con Euler y sus continuadores, permanece y ha sido esencial como marco eficaz del progreso en nuestros conocimientos sobre la estabilidad estructural. Durante los posteriores desarrollos teóricos referentes a las distintas clases de inestabilidad a estudiar tendremos ocasión de desarrollar con más profundidad el problema planteado por Euler, analizando sus limitaciones prácticas y la influencia que las condiciones de contorno tendrán sobre el valor de la carga crítica del problema. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 8 Desde los tiempos de Euler y Lagrange hasta nuestros días, el apoyo en multitud de ensayos y el desarrollo de técnicas de cálculo no lineal han contribuido a una mejora en los modelos empleados para la definición de la inestabilidad “de Euler”, comúnmente llamada pandeo de Euler. Además, se ha avanzado notablemente en el estudio de otros tipos de inestabilidades que afectan a las estructuras o a alguna de sus partes bajo ciertos estados de carga y que también serán desarrolladas ampliamente más adelante. El Método de los Elementos Finitos (MEF en castellano o FEM en inglés) es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales muy utilizado en diversos problemas de ingeniería y física. Muchos de los problemas de la ingeniería y de las ciencias aplicadas están gobernados por ecuaciones diferenciales o integrales. La complejidad de geometría o de las condiciones de contorno halladas en muchos de los problemas del mundo real impiden obtener una solución exacta del análisis considerado, por lo que se recurre a técnicas numéricas de solución de las ecuaciones que gobiernan los fenómenos físicos. El Método de los Elementos Finitos es una de estas técnicas numéricas, muy apropiada para su implementación en computadores. Cuando se produce la llegada de los primeros ordenadores en la década de los 50, el cálculo de estructuras se encontraba en un punto en el que los métodos de cálculo predominantes consistían en técnicas de iteración (métodos de Cross y Kani) que se realizaban de manera manual y por tanto resultaban bastante tediosos. La llegada de la computadora permitió el resurgimiento del método de los desplazamientos ya conocidos en siglos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran difíciles de aplicar dado que al final conducían a la resolución de enormes sistemas de ecuaciones inabordables desde el punto de vista manual. El Método de Elementos Finitos fue inicialmente desarrollado en 1943 por R. Courant, quien utilizó el método Ritz de análisis numérico y minimización de las variables de cálculo para obtener soluciones aproximadas a un sistema de vibración. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 15 2.1.3. Elemento empotrado-libre Procediendo del mismo modo que en el caso anterior, con la misma condición de contorno en x=0:                 x EI P P M ycos1 0 (2.7)  En este caso, en el extremo x=L deberemos cumplir y ‟‟ =0:        2 1 0cos" 0nL EI P L EI P EI P P M y Así, la carga crítica para n=1 será: EI LL EI P)²2( ² ² 2 2           (2.8) Imagen 2.4.Soporte empotrado-libre Expresión esta última que equivale a afirmar que la carga de pandeo para un elemento empotrado-libre es igual a la de un elemento biarticulado de igual " EI ‟ y longitud " 2L ‟ como se refleja Imagen 2.5. Imagen 2.5. Longitud de pandeo en soporte empotrado-libre SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 16 2.1.4. Elemento empotrado-empotrado con apoyo deslizante El problema es totalmente análogo a los anteriores, obteniéndose la carga crítica de pandeo de imponer la condición y´=y”=0. Así se obtiene que nL EI P ,y por tanto, para n=1: EI L Pcr ² ²  (2.9) Esta carga coincide con la del elemento biarticulado, lo cual es lógico por otra parte, como puede deducirse comparando la Figura 2.6 con la expuesta para el caso biempotrado (Figura 2.3) Figura 2.6 Soporte empotradoEmpotrado (deslizante) SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 17 2.1.5. Elemento empotrado-articulado Este caso difiere de los anteriores, ya que, como puede observarse en la Figura 2.7, al producirse la deformación aparecen en los apoyos unos esfuerzos en dirección ý´. Por lo tanto, la ecuación de equilibrio que debe satisfacerse en este caso tendrá la siguiente forma: 0 0 0 Mx L M yPM (2.10) Que se transforma en: )1(" 0 L x EI M y EI P y (2.11) La solución para la ecuación diferencial formulada tendrá la forma: )1(cos 0 21 L x P M x EI P Cx EI P senCy                  (2.12) En el extremo x=L, tenemos que y=y”=0, y por tanto tendremos:         L EI P x EI P sen EIPL P M ycos / 1 0 (2.13) Aplicando las ya conocidas condiciones de contorno en el extremo x=0 se obtiene: P M C P M Cy 0 2 0 20 0 EIPLP M C LP M EI P Cy / ´0 0 1 0 10   SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 18 Con lo cual :         L x x EI P x EI P sen EIPL P M y1cos / 1 0 (2.14) La solución distinta de la trivial será: 49,42  nL EI P L EI P L EI P tg  y para n=1 tendremos: )²7.0( ² ² )²49,4( L EI L EI Pcr    (2.15) Es decir, la carga crítica coincide con la de un elemento biarticulado de longitud 0,7·L y con igual ÉI; lo cual quiere decir que en la figura anterior tendremos un punto de inflexión a un longitud 0,3·L del extremo empotrado, y el resto del elemento se comporta como biarticulado. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 19 2.1.6 Longitud de pandeo y curva de Euler Del estudio de los casos anteriores (correspondientes al pandeo por flexión bajo diversas condiciones de sustentación) se desprende que en cualquiera de ellos la carga crítica de pandeo puede expresarse en la forma: EI L P k cr ² ²  (2.16) Siendo Lkla longitud de pandeo, que suele expresarse como Lk=β∙L, donde βes un coeficiente que depende de las condiciones de contorno y que indica qué tanto por ciento de la longitud total de la barra se ve afectada por el pandeo. Lk=L Lk=0.5∙L Lk=2∙L Lk=L Lk=0.7∙L Imagen 2.9. Longitudes de pandeo En la figura anterior y de izquierda a derecha el coeficiente βtoma los siguientes valores: β=1 (articulado-articulado), β=0.7 (empotrado articulado) β=0.5 (empotrado-empotrado) β=2 (empotrado-libre) SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 20 La expresión de la cargas crítica puede modificarse haciendo uso de la ecuación I=A∙i2, donde „ A ‟ es el área de la sección e „ i ‟ es el radio de giro según el momento flector. Procediendo de este modo se obtiene: )²/( ² iL E A P k cr cr   (2.17) El factor Lk/i se denomina habitualmente esbeltez y permite expresar la tensión crítica de pandeo de un modo unívoco sean cuales sean las condiciones de apoyo: ² ²   E cr  (2.18) En la siguiente figura se representa la tensión ζcr en función de la esbeltez, obtenida a partir de la ecuación anterior con E=2.1∙106Kg/cm2. Esta curva, conocida como curva de pandeo ocurva de Euler, es suficiente para obtener la tensión crítica de un elemento de acero (o de cualquier otro material sin más que cambiar el valor de E) cualesquiera que sean sus condiciones de apoyo, y como veremos más adelante, la normativa actual la emplea como base para el diseño “seguro” frente a pandeo de estructuras metálicas. Imagen 2.10. Curva de Euler Se muestra también a continuación una imagen real de barras de acero que han sido sometidas a compresiones mayores o iguales a la crítica correspondiente a sus condiciones de sustentación. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 21 De izquierda a derecha pueden observarse las compresiones realizadas a un elemento biarticulado (2.1.1.1), biempotrado (2.1.1.2), empotrado articulado (2.1.1.5) y empotrado libre (2.1.1.3) Imagen 2.8. Pandeo de barras con diferentes condiciones de contorno 2.1.7. Limitaciones a la teoría de Euler. Pandeo real. Como vimos anteriormente Euler partió de unas hipótesis muy claras que simplificaban y hacían posible el análisis de la pieza comprimida. Estas hipótesis, en base a la observación y el estudio empírico, presentan claras incoherencias con el comportamiento real. La causa de las incoherencias entre comportamiento real y teórico de la pieza comprimida se encuentra en las mencionadas hipótesis de las que Euler, conscientemente, partió para establecer la ecuación diferencial. Ninguna de las “perfecciones” supuestas son atributos de la pieza real. Euler modelizó una pieza ideal, sin imperfecciones. La “pieza real”, en contra de lo ocurrido con la “pieza perfecta o ideal”de Euler, se caracterizará por los siguientes rasgos: •Su directriz no será nunca perfectamente recta. Es inevitable una deformación inicial de geometría impredecible. •La carga no estará nunca perfectamente centrada. Es inevitable una cierta excentricidad de las cargas aplicadas. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 22 •El material de la pieza no tiene un comportamiento indefinidamente lineal y elástico, por lo que no es indiferente el nivel de cargas y deformaciones a las que estará sometido. •Los procesos de fabricación y manipulación de las piezas y los efectos de las condiciones ambientales (gradientes de temperatura, por ejemplo), generan inevitables tensiones residuales que se auto equilibran pero que afectan al comportamiento de la pieza real. Imagen 2.11. “Imperfecciones” de la pieza real Pasamos a continuación a analizar la influencia que estos factores, anteriormente obviados, tienen sobre la validez de la teoría desarrollada hasta ahora: En el apartado 2.1.1.6. obtuvimos la expresión de la tensión crítica de Euler en función de la longitud característica y el radio de giro de la sección, resultando: ² ² )²/( ²     E iL E A P cr k cr cr  λ: esbeltez de la pieza La esbeltez de la pieza, definida como la relación entre la longitud de pandeo y el radio de giro mínimo de la sección transversal de la pieza, es un parámetro sumamente importante en el problema de pandeo. Efectivamente, cuanto más esbelta es una barra mayor es el riesgo de pandeo. Esto puede deducirse sin más que observar la expresión de la tensión crítica de Euler, que depende inversamente de la esbeltez. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 23 Podemos representar la función  cr =f(λ) y al hacerlo vemos que cuando λtiende a cero, la tensión crítica de Euler tiende a infinito. La fórmula de Euler fue deducida bajo la hipótesis de la validez ilimitada de la Ley de Hooke por lo tanto la misma solamente es válida si  cr <  p (límite de proporcionalidad): La esbeltez límite para la cual tiene validez la Ley de Euler será: p ppcr EE      ² ² (2.19) Para el acero λp=103,9 y ² 0²   E cr  para cualquier λp≥103,9 Imagen2.12. Curva “real”de pandeo Como se observa en la figura anterior, en la zona comprendida entre esbeltez cero y λp, la fórmula de Euler debe ser reemplazada por otra ley que contemple el comportamiento elastoplástico del material (región  crk ), aunque habitualmente se acepta el uso de la curva de Euler hasta alcanzar σcr=fy, como pudo apreciarse en la curva mostrada en la Imagen 2.10. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 24 2.2. Normativa de aplicación CTE DB SE-A Revisaremos ahora el tratamiento que se da al fenómeno analizado (pandeo de Euler) en las normativas de aplicación españolas relativas a estructuras de acero: Código Técnico dela Edificación (CTE). SE-A. Los criterios aplicados para asignar una cierta capacidad resistente a las secciones, así como los criterios de plastificación aceptados para establecer los límites últimos resistentes se recogen para cada caso en el ANEXO I al final de este documento. Se incluye también en este anexo la clasificación relativa a los tipos de sección contemplados, y los artículos, tablas y figuras necesarios para la obtención de algunos coeficientes empleados en las expresiones que se recogen en este apartado. Nos centraremos aquí en las expresiones de aplicación para la comprobación de barras en prevención de la aparición del tipo de inestabilidad analizado en este apartado. El documento de Seguridad Estructural para Acero (SE-A) del CTE es un Documento Básico destinado a verificar la seguridad estructural de los elementos metálicos realizados con acero en edificación. Como ya hemos comentado se incluyen a continuación las expresiones a aplicar para la comprobación de elementos rectos de sección y axil constantes, emplazando al apartado de anexos las aclaraciones referentes a la obtención de alguno de los componentes de dichas expresiones. Así, el CTE SE-A admite que la capacidad a pandeo por flexión para el caso que nos ocupa puede tomarse como Nb,Rd=χ∙A∙fyd donde A, fyd y el coeficiente de pandeo χse calculan de acuerdo a lo establecido en los artículos 6.3.2 y 6.3.2.1 recogidos en el Anexo I. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 31 Pulsamos el botón Nuevo apoyo en nudo y seleccionamos empotrado. Lo aplicamos en el nudo superior de la barra obteniendo el resultado de la imagen inferior. Para el nudo inferior vamos a elegir un empotramiento con desplazamiento en Z. Ya tenemos nuestro modelo correctamente definido. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 32 2.-INTRODUCCIÓN DE CARGAS Vamos a proceder a introducir una carga unitaria en el extremo libre de la barra. Seleccionamos Nueva carga en barra Se nos abre la pantalla para configurar los casos de carga. Para este primer caso desactivamos el peso propio. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 33 Aceptamos y se abre la ventana para configurar la carga. Seleccionamos una carga puntual de valor 1kN en el eje Z y la aplicamos en el extremo con libertad en Z. Aceptamos y veremos la carga aplicada en el punto deseado. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 34 3.-CÁLCULO Como deseamos analizar las posibles inestabilidades en esta barra, vamos al módulo específico que DLUBAL tiene para este fin: RF-STABILITY. Ponemos 8 como número de valores propios y pulsamos calcular. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 35 4.-RESULTADOS La primera ventana que obtenemos en resultados es la de los factores de carga crítica, en este caso es de 21.649. Es decir que la carga crítica será: 1 x 21.649=21.649 kN. Si pulsamos en gráfico podremos ver los efectos producidos para cada valor propio. En las imágenes inferiores podemos ver los primeros cuatro modos de pandeo. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 36 2.4 Análisis de los resultados obtenidos En el siguiente cuadro se pueden ver los diferentes resultados obtenidos para cada forma de cálculo: TEÓRICO CTE DLUBAL EF Pcr 20.727 15.445 21.649 Se puede apreciar que el cálculo teórico coincide casi exactamente con los cálculos mediante elementos finitos. Se ve claramente que el cálculo mediante normativa queda del lado de la seguridad en comparación con los cálculos mediante elementos finitos. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 37 3. PANDEO LATERAL El pandeo lateral es un fenómeno de inestabilidad que aparece en vigas sometidas a flexión, para determinadas geometrías de la sección de la viga y bajo ciertas condiciones de aplicación de la carga. Imaginemos una viga sometida a un momento flector uniforme (Imagen 2.1); en cada sección habrá una zona comprimida y otra traccionada (Imagen 2.2), de modo que a lo largo de la viga existe un cordón sometido a compresión. Imagen 2.1 Imagen 2.2 Consecuentemente, si la compresión de este cordón alcanza un determinado valor, éste tenderá a pandear. No obstante, el cordón comprimido “no está solo”, el resto de la viga tiende a impedir el pandeo, y solo cuando M alcanza un valor suficientemente grande (de modo que la tendencia al pandeo pueda más que la rigidez lateral de la viga) se producirá la inestabilidad. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 38 Imagen 2.3 Esta inestabilidad se traduce en una flexión lateral de la viga acompañada de un giro de torsión como se puede apreciar en la imagen superior. Siguiendo el guión general del proyecto se va a analizar este fenómeno de inestabilidad a través de la teoría sobre la materia, la normativa que la rige y la introducción de un ejemplo ilustrativo en el programa DLUBAL según las diferentes posibilidades que este nos ofrece: módulos específicos para el cálculo de pandeo lateral y elementos finitos. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 39 3.1. Revisión teórica del fenómeno Se considera la viga de la Imagen 2.3 con 2 planos de simetría y sometida a cargas en el plano (y-z). Se supone, como en el caso del pandeo de Euler, que es posible una situación de equilibrio con una cierta flexión lateral y torsión. En la imagen se definen unos ejes x, y, z para toda la viga, y unos ejes ξ, η, ζ para cada sección, siendo ξ y η los ejes de simetría, y ζ el perpendicular. La posición de una sección se define por el movimiento según x e y de su centro, con desplazamientos denominados u,y, v, así como por el ángulo φ girado en torno a z. Para pequeñas deformaciones los cosenos directores de los ejes ξ,η,ζson:           dz du n m l 1 1 11            dz dv n m l 2 2 2 1               1 3 3 3 ndz dv m dz du l             2 2 2 2 dz yd KK dz ud KK ZY ZX   Fórmula 2.1 Para pequeñas deformaciones el ángulo υ girado es pequeño, y se puede suponer que las curvaturas en los planos x - z y ξ – ζ son iguales, y que las curvaturas en y-z y η – ξ también lo son: Con lo que las 2 ecuaciones de flexión de una rebanada resultan:   M dz ud IE M dz vd IE   2 2 2 2 Fórmula 2.2 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 40 Donde Iξe Iηson los momentos de inercia de la sección respecto de ξ y η. Mξy Mηson los momentos flectores en torno a estos ejes, con sentido positivo según la Imagen 2.5. Imagen 2.5 De la ecuación de torsión para el caso general con torsión no uniforme en perfiles abiertos obtenemos una 3ª ecuación:   M dz d EI dz d GJ  3 3 Fórmula 2.3 Podemos referir las 3 ecuaciones anteriores al momento M, sin más que tener en cuenta que: ,cos  MM  , MsenM  , MsenM  Y dado que υ es pequeño, senυ ≈ υ , cosυ ≈ 1 y senα ≈ - du/dx. Desarrollaremos inicialmente estas y otras ideas para el problema patrón que nos servirá de base para el resto de casos. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 47 Realizando de nuevo la aproximación para pequeños ángulos (senυ ≈ υ , cosυ≈1 y senα ≈ - du/dx), se tiene que: dz du uPzLP dz du MMM ZX  )()(   dz dv uPzLP dz dv MMM ZX  )()(   )()( uP dz du zLPM dz du MM ZX    Fórmula 2.13 Despreciando los términos de orden mayor que la unidad resulta: )( zLPM   Fórmula 2.14   )( zLPM )()( uP dz du zLPM dz du MM ZX    Fórmula 2.15 Para los sentidos positivos de desplazamientos y momentos supuestos en la Imagen 2.8, las ecuaciones de momentos flectores y torsores referidas a los ejes solidarios a la sección son las ya conocidas :   M dz ud IE M dz vd IE Y X   2 2 2 2 Z MM dz d EI dz d GJ    3 3 con 0  I en este caso (sección rectangular) Fórmula 2.16 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 48 Sustituyendo las expresiones de los momentos en las ecuaciones diferenciales anteriores obtenemos las ecuaciones a resolver: 0)( 0)( 2 2 2 2   zLP dz ud IE zLP dz vd IE Y X 0)()(  uP dz du zLP dz d GJ   Fórmula 2.17 Puede observarse como las ecuaciones (2.17a) , que gobiernan los desplazamientos tras el pandeo (“u” y “υ”), son independientes de la ecuación (2.17b), que define el desplazamiento vertical que tiene lugar en la viga antes de alcanzarse la inestabilidad. Antes de intentar resolver las ecuaciones (2.17c), es conveniente eliminar la variable uderivando (2.17c), y sustituir la expresión de d2u/dz2 despejándola de (2.17b), como ya hicimos en el caso general. Procediendo de este modo resulta: 010 )( 2 2 2 222 2 2            L z dz d EI zLP dz d GJ Y Fórmula 2.18 En la ecuación anterior se ha definido por comodidad el parámetro Y EIGJ LP  22 2  La Fórmula 2.18 es lineal, pero sus coeficientes no son constantes; por esta razón, su resolución es considerablemente más complicada que la llevada a cabo para el caso del apartado anterior. Realizando varios cambios de variable, la ecuación 2.18 puede transformarse en una ecuación tipo Bessel cuya solución es conocida; este procedimiento puede ser consultado en la obra de Timoshenko y Gere anteriormente referenciada. En lugar de ello, utilizaremos el método de las diferencias finitas para obtener una solución aproximada. Este método permite aproximar la derivada de una función en un punto en términos del valor de la función en dicho punto, y su valor en 1 ó más puntos próximos a éste. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 49 Así: h ff f dx df ihi i ix          Fórmula 2.19 2 2/2/ 22)( )( h fff hh ff h ff h ff ff hiihi hiiihi hihi ii            Para obtener la formulación del problema en el sentido de las diferencias finitas dividimos la viga en 2 segmentos iguales de longitud h=L/2 (Imagen 2.10). Los extremos de los segmentos así formados se denotan por i=0, 1, 2. El punto i=0 corresponde al extremo empotrado, y el i=2 se refiere al extremo libre del elemento. Se incluye además un segmento adicional que se extiende desde i=2 hasta i=3, correspondiendo a la prolongación del eje del elemento hasta una distancia L/2 del extremo libre. Imagen 2.10 En la imagen aparece también la prolongación imaginaria de la deformada del elemento hasta el punto i=3, ya que como se verá para el desarrollo del método es necesario evaluar el valor de υ a ambos lados del punto i=2. La ecuación diferencial en cualquier punto z=i se obtiene sin más que sustituir en la ecuación la expresión de la derivada 2ª dada por el método de las diferencias finitas, recogida en la ecuación, resultando: 01 22 2 2         i ihiihi L z h  Fórmula 2.20 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 50 Particularizando en i=1 (z=L/2) se tiene que 0 42 1 12 1 2 2 2 012         L y para i=2 (z=L) resulta   0 4 112 2 2 2 2 123   L Operando se llega finalmente a las ecuaciones buscadas: 02 16 1 22 02               L 02 123   Fórmula 2.21 En el extremo empotrado (Z=0) del elemento el giro de torsión es υ0= 0. La 2ª condición de contorno se obtiene de imponer que el momento de torsión se anule en el extremo libre del elemento. Así: 0 z M dz d Gj  en z=L 0 dz d en z=L Esta última condición implica que υ3=υ1, con lo que la Fórmula 2.21 quede como sigue: 022 02 16 21 1 22 2                L Fórmula 2.22 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 51 Para obtener una solución distinta de la trivial para el sistema de ecuaciones anterior y obtener así el valor de la carga crítica debemos igualar a cero el determinante; así: 0 22 12 16 22    L  022 16 222            L Quedándonos con la solución positiva de la ecuación anterior: y cr EIGJ LP L   22 4   ycr GJEI L P2 4  Fórmula 2.23 La expresión de la carga crítica se ha obtenido en este caso bajo el supuesto de sección rectangular de pared delgada con la carga aplicada en el CEC de la sección transversal. Secciones doblemente simétricas y carga aplicada en el borde superior Aún hoy existe poca claridad respecto al tratamiento teórico de otros casos de carga y tipo de sección como el que intentaremos modelar en este documento, correspondiente a un perfil doblemente simétrico de pared delgada con carga aplicada en el extremo libre (Imagen 2.11), a una distancia ‘a’ del centro de esfuerzos cortantes, alternándose en este sentido expresiones “poco fiables” con métodos más exactos pero de difícil aplicación. Imagen 2.11 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 52 En este documento se hará uso de la expresión empírica, para la determinación de la carga crítica bajo los supuestos anteriores, desarrollada por Lei Zhang y Geng Shu Tong en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Zhejiang (China), en base a múltiples cálculos numéricos llevados a cabo mediante la aplicación de programas de elementos finitos (EF) desarrollados a tal efecto. A partir de estos “análisis por elementos finitos” (AEF) se desprende que la carga crítica en ménsulas con doble simetría, con carga vertical aplicada en el CEC y actuando de manera uniformemente repartida o concentrada sobre el extremo libre del voladizo, puede calcularse como:               EI LGJ I I L EI CM y y cr 2 2 2 2 12 1 2 Fórmula 2.24 Donde: 2 14 )1(9.4 K K C   2 2 GJL EI Kw   Debe considerarse igualmente el efecto de un cambio de posición de la carga a lo largo del eje vertical de la sección, dado que con el giro de la sección, una carga aplicada fuera del CEC induce un momento adicional sobre el elemento, reduciéndose considerablemente el valor de la carga admisible (carga crítica) estimada para la aparición de la inestabilidad. El efecto mencionado puede apreciarse claramente en la Imagen 2.12. Imagen 2.12 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 53 Para el caso de carga colocada a una distancia a del CEC sobre el eje vertical de la sección (con a positivo en el borde superior), la determinación de la carga crítica puede realizarse sin más que modificar la expresión del caso centrado, resultando:                         EI LGJ I I aCaC L EI CM y y cr 2 2 2 22 2 2 12 1 2 Fórmula 2.25 El coeficiente C1 para el caso que nos ocupa es el mismo que el definido anteriormente, mientras que C2 tomará valores en función del punto de aplicación de la carga (en función de “a”). Definimos en primer lugar el parámetro m=2a/h, siendo h la distancia entre el CEC y los 2 bordes. Así: para a ≥ 0 (0 ≤ m ≤2): C2= 2.165 - 0.28(k - 2.4)2 para a < 0 (-2 ≤ m ≤ 0): C2= mK K   1 6.069.0 Esta expresión arroja resultados con un alto grado de exactitud para el rango habitual de K (K=0.1÷2.5) al ser comparados con los resultados obtenidos experimentales y con los obtenidos mediante métodos numéricos (MEF), como puede apreciarse en la Imagen 2.13. Imagen 2.13 En la Imagen 2.13 se comparan los resultados derivados de la aplicación de la expresión aquí desarrollada con los derivados del AEF, y con los reportados por SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 54 Nethercot en “The effective lengths of cantilevers as governed by lateral buckling”, por Guo YJ. en “Stability of cantilevers, theory and aplications” y por Wang yKitipornchai en “”The stability of mono-symmetric cantilevers”. En la Imagen 2.13. la comparación tiene lugar de nuevo con el AEF y con los resultados reportados por Trahair en “Flexural-torsional buckling of structures” [12]. Queda demostrada en sendas gráficas la más que aceptable validez de la expresión utilizada para el rango de valores de K anteriormente mencionado. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 55 3.2. Normativa de aplicación CTE DB SE-A El Código Técnico establece la obligatoriedad de la comprobación frente a pandeo lateral para los casos en los que exista flexión dentro del plano del elemento con un arriostramiento lateral insuficiente En los casos en que se haga necesaria esta comprobación, se sugiere un valor para la resistencia frente a pandeo lateral dado por la expresión: 1 , M yd yLTRdb f WM   Fórmula 2.26 La obtención del coeficiente de pandeo lateral (χLT) se lleva a cabo a partir de la esbeltez lateral (λLT) : cr ypy LT M fW 1,  En cuya expresión se hace uso del momento crítico, que es el dato que nos interesa a efectos de este proyecto y cuya obtención mediante el CTE pasa por la aplicación de la siguiente ecuación: 22 LTWLTVcr MMM  con          22,1 2 2 ,1 1 f C yeLTW zT C LTV iC L E WM EIGI L CM   Fórmula 2.27 Los términos y parámetros relacionados en estas formulas se encuentran claramente definidos en el anexo I, donde se incluye la normativa de aplicación al completo. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 56 3.3. Casos analizados En los epígrafes anteriores se han repasado los fundamentos teóricos y la normativa de aplicación para el pandeo lateral. En este apartado se va a modelar un perfil IPE100 con condiciones de contorno de empotramiento en uno de los extremos y libertad en el otro, para poner en práctica lo expuesto anteriormente. Al modelo descrito se le va a imponer una carga P vertical y hacia arriba en el extremo libre, con punto de aplicación en el centro del borde inferior del perfil, la cual provocará la aparición de unos esfuerzos de flexión alrededor del eje fuerte de la barra, estableciéndose así las condiciones necesarias para el pandeo lateral. Las características geométricas de la sección se muestran en la imágenes 2.14 y 2.15. Imagen 2.14 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 63 3.3.3. Cálculo mediante DLUBAL Elementos finitos En este epígrafe vamos a realizar el cálculo de pandeo lateral, se va a seguir paso a paso la modelado y resolución del caso. 1.-MODELADO Abrimos un nuevo archivo y lo llamamos Pandeo lateral-EF y aceptamos. Pulsamos el botón Nuevas barras simples. Vamos al apartado Sección y elegimos para el inicio de barra, en el apartado laminadas y elegimos un perfil IPE-100. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 64 Aceptamos e introducimos las coordenadas de origen de la barra (0,0,0). Aceptamos e introducimos las coordenadas del final de la barra (5.7,0,0). Ya tenemos nuestra barra. Ahora vamos a convertir el modelo en superficies para proceder al AEF Seleccionamos la barra y clicando botón derecho elegiremos Generar superficies desde barras-Generar. Una vez hecho esto, obtendremos el resultado de la imagen inferior, habiendo terminado ya la configuración del modelo. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 65 Vamos a definir el empotramiento de la barra. Pulsamos el botón Nuevo apoyo en nudo y seleccionamos empotrado. Lo aplicamos en el nudo derecho de la barra obteniendo el resultado de la imagen inferior. Ya tenemos nuestro modelo correctamente definido. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 66 2.-INTRODUCCIÓN DE CARGAS Vamos a proceder a introducir una carga unitaria en el extremo libre de la barra. Seleccionamos Nueva carga en nudo. Se nos abre la pantalla para configurar los casos de carga. Para este primer caso desactivamos el peso propio. Aceptamos y se abre la ventana para configurar la carga. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 67 Seleccionamos una carga puntual de valor 1kN en el eje Z y la aplicamos en el extremo libre. Aceptamos y veremos la carga aplicada en el punto deseado. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 68 3.-CÁLCULO Como deseamos analizar las posibles inestabilidades en esta barra, vamos al módulo específico que DLUBAL tiene para este fin: RF-STABILITY. Ponemos 8 como número de valores propios y pulsamos calcular. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 69 4.-RESULTADOS La primera ventana que obtenemos en resultados es la de los factores de carga crítica, en este caso es de 0,638. Es decir que la carga crítica será: 1 x 0,638 = 0,638 kN. Si pulsamos en gráfico podremos ver los efectos producidos para cada valor propio. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 70 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 71 3.3.4. Cálculo mediante DLUBAL Modulo para el análisis de pandeo lateral y flexo torsión mediante elementos finitos En este epígrafe vamos a realizar el calculo de pandeo lateral, se va a seguir paso a paso la modelado y resolución del caso. Este módulo también calcula por elementos finitos. 1.-MODELADO Abrimos un nuevo archivo y lo llamamos Pandeo lateralBarra y aceptamos. Pulsamos el botón Nuevas barras simples. Vamos al apartado Sección y elegimos para el inicio de barra, en el apartado laminadas y elegimos un perfil IPE-100. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 72 Aceptamos e introducimos las coordenadas de origen de la barra (0,0,0). Aceptamos e introducimos las coordenadas del final de la barra (5.7,0,0). Ya tenemos nuestra barra. Vamos a definir el empotramiento de la barra. Pulsamos el botón Nuevo apoyo en nudoy seleccionamos empotrado. Lo aplicamos en el nudo derecho de la barra obteniendo el resultado de la imagen inferior. Ya tenemos nuestro modelo correctamente definido. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 79 2.-INTRODUCCIÓN DE CARGAS Vamos a proceder a introducir una carga unitaria en el extremo libre de la barra. Seleccionamos Nueva carga en nudo. Se nos abre la pantalla para configurar los casos de carga. Para este primer caso desactivamos el peso propio. Aceptamos y se abre la ventana para configurar la carga. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 80 Seleccionamos una carga puntual de valor 1kN en el eje Z y la aplicamos en el extremo libre. Aceptamos y veremos la carga aplicada en el punto deseado. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 81 3.-CÁLCULO Vamos a emplear el módulo especifico con el que cuenta DLUBAL para el análisis de Pandeo Lateral y flexotorsión. El primer paso será seleccionar todas las barras y el caso de carga que queremos analizar, según la imagen inferior. Comprobamos que el material elegido sea acero S275. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 82 En el apartado Parámetros-barras hemos de seleccionar en la opción Tipo de apoyo: VOLADIZO. Una vez hecho esto, pulsamos en calcular. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 83 4.-RESULTADOS La primera ventana que obtenemos en resultados es la de los factores de carga crítica, en este caso es de 1,994 en rojo. Es decir que la carga crítica será: 1 : 1,994 = 0,501 kN. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 84 3.3.6. Análisis de los resultados obtenidos En el siguiente cuadro se pueden ver los diferentes resultados obtenidos para cada forma de cálculo: Se puede apreciar que el cálculo teórico coincide casi exactamente con los cálculos mediante elementos finitos. Se ve claramente que el cálculo mediante normativa queda del lado de la seguridad en comparación con los cálculos mediante elementos finitos, aproximadamente en un 12%. TEÓRICO CTE DLUBAL EF 648 565 638 642 501 DLUBAL MÓDULO EF DLUBAL MÓDULO EC PCR (N) SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 85 3.3.7. Influencia del peso propio de la viga en los resultados La consideración del peso propio de la viga lleva asociada la aparición de un momento en el empotramiento de signo contrario al introducido por la carga puntual. Para el caso de carga distribuida dicho momento tomará un valor: Nm LApL Mpp 22.1287 2 8.9 2 22     Así, aplicando el principio de superposición, se requerirán P = Mpp /L = 225.83 Nadicionales respecto de la carga crítica obtenida con anterioridad, para la “compensación” de este momento que se opone al producido por la carga aplicada. Vamos a contrastar este punto con los diferentes métodos empleados en el apartado anterior. Por no ser repetitivos solamente se va a exponer paso a paso cada uno de los procesos. Solamente tenemos que activar la casilla de peso propio en la hipótesis de carga nº1, según se aprecia en la imagen inferior. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 86 3.3.7.1. Cálculo mediante DLUBAL Elementos finitos La primera ventana que obtenemos en resultados es la de los factores de carga crítica, en este caso es de 0,781 Es decir que la carga crítica será: 1 x 0,781 = 0,781 kN. 3.3.7.2. Cálculo mediante DLUBAL Módulo para el análisis de pandeo lateral y flexiotorsional según método de elementos finitos La primera ventana que obtenemos en resultados es la de los factores de carga crítica, en este caso es de 0,7427 Es decir que la carga crítica será: 1 x 0,7427 = 0,7427 kN. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 87 3.3.7.3. Análisis de los resultados Se va a comparar los resultados obtenidos en este punto con los obtenidos en el análisis sin peso propio. En el siguiente cuadro se pueden ver los diferentes resultados obtenidos para cada forma de cálculo: Se puede apreciar que la el valor para PCR aumenta significativamente, entre un 13 y un 18% al considerar el peso propio. DLUBAL EF 638 642 781 742 DIFERENCIA (N) 143 100 DIFERENCIA (N) 18% 13% DLUBAL MÓDULO EF PCR SIN PP(N) PCR CON PP (N) SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 88 4. PANDEO DE PLACAS: ABOLLADURA En los apartados anteriores a esta sección se ha tratado el pandeo de elementos “mono dimensionales”. Estos análisis han resultado relativamente simples dado que en ellos podía asumirse que la flexión tenía lugar únicamente en 1 plano. En este apartado se tratará el pandeo de placas, el cual implica la aparición de momentos flectores en 2 planos, dando lugar por tanto a un análisis más complejo. El sentido de estudiar el fenómeno del pandeo en placas reside en la aplicabilidad de las expresiones resultantes al campo del pandeo de los elementos que componen un perfil laminado (o armado) como puede apreciarse en la Imagen 3.1. Figura 3.1 En piezas sometidas a flexión, el alma se encuentra sometida a unas tensiones normales y tangenciales que hacen que, en general, pueda haber zonas sometidas a una tensión principal (o las dos) de compresión. Si estas tensiones de compresión son lo suficientemente grandes, puede aparecer una bifurcación del equilibrio, siendo posibles estados de equilibrio con deformaciones transversales del alma. Es decir, es posible que se produzca el pandeo o abolladura del alma. El análisis se centrará en primer lugar en la obtención de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento con pandeo de la placa. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 95               2 2 2 2 y w x w DMx               2 2 2 2 x w y w DMy yx w DMxy    2 )1(  )1(12 2 3  Eh D Fórmula 3.12 La variable D representa la rigidez a flexión por unidad de ancho de la placa, resultando equivalente al término EI utilizado en barras. Por otra parte, las relaciones momento-curvatura dadas anteriormente para la placa son análogas a las que teníamos en el apartado anterior para el caso de la barra (M=-EI(d2y/dx2)). Comparando las relaciones obtenidas para ambos casos se observa que la relación para el caso de la placa coincide con la de la barra, afectada por un factor 1/(1-μ2). Esta diferencia se debe a que la barra tiene permitida la deformación lateral, mientras que en la placa dicha deformación se encuentra restringida por el material adyacente. Sustituyendo las relaciones (3.11) en la Ecuación (3.12) se obtiene finalmente la ecuación diferencial a integrar para resolver el problema de pandeo de placas: yx w N y w N x w N y w yx w x w Dxyyx                         2 2 2 2 2 4 4 22 4 4 422 Fórmula 3.13 Ya estamos pues en disposición de particularizar esta expresión para los casos de interés en lo que respecta a este documento que en concreto serán el de abolladura por compresión uniaxial y el de abolladura por cortante, desarrollados respectivamente en los próximos apartados. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 96 4.1.2. Carga crítica para placa comprimida en una dirección Consideraremos una placa rectangular simplemente apoyada de lados ayby espesor hsolicitada por una fuerza de compresión uniforme por unidad de longitud de valor Nx tal y como se indica en la imagen 3.6 Imagen 3.6 Observando que la carga aplicada es negativa respecto de los signos definidos en la imagen 3.4, y que para el caso analizado Ny=Nxy=0, la ecuación diferencial de la placa flexionada (3.13) queda de la forma: 02 2 2 4 4 22 4 4 4                    x w N y w yx w x w Dx Fórmula 3.14 Dado que los 4 bordes se encuentran simplemente apoyados las condiciones de contorno vienen dadas por la anulación de los momentos y de la deflexión lateral en dichos bordes. Así: 0 2 2 2 2      y w x w w en x=0 y en x=a 0 2 2 2 2      x w y w w en y=0 y en y=b 0 2 2   y w en x=0 y en x=a SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 97 0 2 2   x w en y=0 y en y=b Fórmula 3.15 Sustituyendo las 2 últimas condiciones en las 2 primeras se tiene: 0 2 2   x w en x=0 y en x=a 0 2 2   y w en y=0 y en y=b Fórmula 3.16 De acuerdo a los procesos ya conocidos de resolución el siguiente paso para la obtención de la carga crítica se corresponde con la determinación de la solución no trivial de la ecuación diferencial que gobierna el fenómeno considerado. En este caso la ecuación diferencial viene expresada en derivadas parciales, por lo que resulta conveniente realizar ciertas consideraciones previas. La principal diferencia entre una ecuación diferencial ordinaria y otra en derivadas parciales reside en que mientras para el primer caso puede la ecuación puede ser satisfecha por una única función, para el segundo pueden existir numerosas funciones que cumplan la expresión. Es por ello que la solución general en derivadas parciales es mucho más difícil de obtener, ya que mientras que la solución general de la ecuación ordinaria nos da una expresión de la variable en función de 1 ó varias constantes, la solución obtenida para una ecuación diferencial en derivadas parciales solo describe el comportamiento de la variable dependiente en términos generales. A consecuencia de lo anterior, no merece la pena la obtención de la solución general a la Ecuación (3.14), en lugar de ello, se acostumbra a obtener una expresión del comportamiento de la variable utilizando una solución en forma de serie de Fourier: y b n senx a m senAw m n mn                     1 1 Fórmula 3.17 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 98 La expresión mostrada cumple todas las condiciones de contorno (i-iv), y en ella mynson el número de semiondas de la placa abollada en direcciones xey respectivamente. Para imponer también el cumplimiento de la ecuación diferencial basta derivar la expresión anterior y sustituirla en la Ecuación (3.14), resultando: y b n senx a m sen a m D N b m ba nm a m Aw m n x mn                           1 1 2 22 4 44 22 422 4 44 2 Fórmula 3.18 El primer término de la expresión anterior consiste en un número infinito de sumandos de funciones independientes. La única forma de que dicha suma valga cero es que todos y cada uno de los coeficientes de los sumandos valgan cero. Así: 02 2 22 4 44 22 422 4 44        a m D N b m ba nm a m Ax mn  0 2 22 2 2 2 2 2 4                 a m D N b n a m Ax mn   Fórmula 3.19 La solución trivial implica Amn=0, que marca el equilibrio sin pandeo. Las posibles bifurcaciones del equilibrio con aparición de la flexión vienen dadas por implican la anulación del término contenido en el corchete. Despejando el valor de la carga en dicho término tenemos: 2 2 2 2 2 2 22         b n a m m Da Nx ó 2 2 2 2         mb an a mb b D Nx Fórmula 3.20 Si llamamos resulta finalmente a / b = r resulta finalmente: SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 99 2 2 2 2         m rn r m b D Nx Fórmula 3.21 De acuerdo con la expresión obtenida el valor crítico de la carga de compresión está relacionado con las características geométricas de la placa, y con el número de ondas generados en cada dirección. Como en el caso de los fenómenos anteriormente analizados, se determinará el valor más bajo de la carga para el que se produce el pandeo. Dicha solución se dará siempre con un valor de n=1 (1 sola semionda en dirección y), dado que n se encuentra únicamente en el numerador. Para n=1, y expresando (3.21) como: k b D Nx 2 2  con 2       m r r m kx Fórmula 3.22 El mínimo valor de la carga se dará para kmín. Así, derivando krespecto de mse tiene: 0 12 )( 22 2             m r rm r r m b D dm Nd x 40 1 2 krm m r r Fórmula 3.23 Resultando: 2 2 4 b D Nxcrit   Fórmula 3.24 Conforme a los resultados obtenidos, al ir aumentando la carga se alcanzará un cierto valor de Nx para el cual se producirá la abolladura. En este primer instante de aparición de la abolladura se generará una semionda en dirección y, y un número de semiondas en dirección x que dependerá de la relación entre los lados de la placa a/b, y que según (3.23) será igual a m. Hay que notar en este punto, que msiempre será un número entero y que r=a/b no tiene porque serlo, por lo que la ecuación anterior se SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 100 cumplirá estrictamente únicamente en el caso en que rsea un número entero. En el caso general, para un rdado, no entero, el pandeo se producirá con un número de ondas m próximo al valor de r, pero no igual (típicamente, el nº de ondas mserá igual a la parte entera de ro a la parte entera de r+1). Representando las evoluciones de ken función de rpara un mfijo, observamos que para cada valor de rexisten varios valores de k posibles, cada uno correspondiente a un mi dado. Nos interesaremos así, para cada r, por el valor mínimo de k(mi,r) que nos indicará que el pandeo para dicha relación de aspecto de la placa r=a/b se producirá para un cierta carga y con un número de semiondas mi en dirección x. ),( min 2 2rmk b D Nixcrit   Fórmula 3.25 Imagen 3.7 En la gráfica se observa que el primer modo de pandeo presentará una única semionda en dirección x para r<a, mientras que se manifestará mediante dos semiondas para r< a modo de ejemplo se desarrolla la obtención del primero de estos puntos de cambio del comportamiento a pandeo. Se observa en la curva que en el primer tramo la curva con menor k es la de m=1, mientras que a partir de cierto valor de r la curva de m=2 se encuentra por debajo de la de m=1. Deberemos buscar por tanto el punto de corte de las 2 curvas, presentándose un modo de pandeo diferente a uno y otro lado de dicho punto. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 101 2 22 1 )1( r r mk  igualando resulta 4 2 4 )2( 2 2 r r mk  4 41 2 2 2 2 r r r r 43 4 3 )14( 1 4 1 144 2 2              rr r r 2 r Del mismo modo se obtendría el resto de puntos; sin embargo a partir de m=4 la curva es muy aplanada y se acepta que para r>4 (a>4b), podemos tomar kmin=4. 4.1.3. Carga crítica para placa sometida a cortante El fenómeno de pandeo de placas no es exclusivo de elementos sometidos a compresión axial, sino que puede manifestarse en placas sometidas a un esfuerzo cortante puro, ya que la única condición necesaria para la aparición de la abolladura es la existencia de tensiones de compresión en alguna zona del elemento. En el caso mencionado, la compresión aparece en planos que forman 45º con los bordes sobre los que se encuentra aplicada la carga, tal y como puede observarse en la siguiente imagen, provocando la aparición de abolladuras que siguen la dirección de estas tensiones como se aprecia en la imagen de la Imagen3.9. Imagen3.8 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 102 Imagen 3.9 Imagen 3.10 Consideremos en lo que sigue la placa simplemente apoyada mostrada en la Imagen 3.10 cargada por un cortante uniforme Nxy aplicado sobre los 4 bordes. Para la determinación de la carga crítica en el caso que nos ocupa haremos uso del método de Galerkin mostrado en el Apartado 2.8 del libro de Alexander Chajes [4] consultado para la realización de estos desarrollos. Se necesita en primer lugar una expresión que modele el comportamiento de la placa deformada para las condiciones de contorno dadas. En este caso: a y sen a x senA a y sen a x senAw  22 21  Fórmula 3.26 Para una placa a cortante puro cuya deformada venga dada mediante la Ecuación (2.100), la ecuación de Galerkin toma la forma:  a i adxdyxgwQ 00 )()( i=1,2 yx w N y w yx w x w wQ xy            2 4 4 22 4 4 422)( a y sen a x senxg  )( 1 a y sen a x senxg  22 )( 2 Fórmula 3.27 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 103 Obteniéndose una ecuación diferente para cada término gi(x). Sustituiremos pues las expresiones de Q(w) y gi(x) y procederemos a la integración de las 2 ecuaciones resultantes. El proceso detallado de integración puede consultarse en las referencias citadas anteriormente (Chajes [4], Pág.261). Finalmente, las ecuaciones ya integradas adoptan la siguiente forma: 0 9 32 21 2 4 A D N A a xy  0 9 32 16 12 2 4 A D N A a xy  Fórmula 3.28 Para establecer el valor de la carga crítica basta con igualar a cero el determinante de las 2 ecuaciones anteriores: 2 4 a  D Nxy 9 32 D Nxy 9 32 2 4 16 a  Fórmula 3.29 Resultando un valor para la carga crítica D a Nxycr 2 2 1.11   Fórmula 3.30 Otros análisis más precisos que el aquí desarrollado, como el de Stein y Neff, ofrecen expresiones alternativas para esta carga crítica. En concreto, las fuentes citadas sugieren el siguiente valor de la carga crítica lineal de cortante: D a Nxycr 2 2 34.9   Fórmula 3.31 0 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 104 4.1.4. Fcr para varios casos. Coeficiente de pandeo de placas A la vista de los resultados presentados y de otros muchos casos reportados en las referencias consultadas se puede observar que la expresión de la carga crítica de abolladura presenta una estructura común sean cuales sean las condiciones de contorno y tipo de carga para el elemento analizado. Así, cualquiera de los valores obtenidos para la carga crítica puede ser escrito de la forma: 2 2 2 )1(12        b tEk Fcr   Fórmula 3.32 Donde Fcr es la tensión crítica normal o tangencial, y la única diferencia entre los distintos casos posibles la representa el coeficiente k, que depende de las condiciones de contorno, de la geometría de la placa y del tipo de carga aplicada. En la siguiente tabla se recoge el valor del coeficiente k para los posibles casos de interés en los posteriores estudios a realizar. Estos valores han sido extraídos nuevamente del libro de Alexander Chajes. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 111 Imagen 3.12 En lo que sigue, para cada caso analizado se mostrará inicialmente el modelo empleado para los diferentes estudios, no resultando definitivas las configuraciones mostradas en las imágenes, ya que en los estudios numéricos se han realizado modificaciones sobre las mismas con objeto de estudiar la influencia de alguno de los parámetros de la sección (existencia de rigidizadores, espesor de los mismos, espesor de las alas, etc.) sobre el valor final de la carga crítica y sobre el tipo de abolladura resultante para un acero de calidad S275. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 112 4.3.1. ABOLLADURA A CORTANTE En este primer caso se desea que el alma de la viga trabaje a cortante, para lo cual se ha modelado un elemento formado por 2 rectángulos del modelo patrón con carga aplicada sobre el rigidizador intermedio según la imagen inferior. Imagen 3.13 4.3.1.1. Cálculos según normativa de aplicación CTE DB SE-A El Apartado 6.3.3.4 del CTE, incluido en el Anexo I, establece las bases de la comprobación frente a abolladura de los elementos metálicos cuya sección presenta determinadas características geométricas, anteriormente mencionadas. El primer paso será ver que es necesaria llevar a cabo la comprobación  70 t d Al no disponer de rigidizadores d/t será 750/5 = 150 con lo que la comprobación es necesaria. La resistencia del alma frente a abolladura por cortante vendrá dada por la siguiente expresión: 1 , M b Rdb td V   SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 113 . Donde : 59.7 )/( 4 34.5 2 da k Donde   k td w4.37 /  El valor de λw es de 1,57. Donde: 3 y b f  8,0w    8,0625,01 3 w fy b si 2,18,0  w        w fy b 9,0 3 w2,1 Resultando: 02.91 9,0 3        w fy b  N/mm² Con estos datos el resultado final para Vba,Rd será de 325.075 N. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 114 4.3.1.2. Cálculos mediante el programa DLUBAL En este apartado vamos a emplear el programa de cálculo de estructuras DLUBAL para obtener la carga crítica a cortante. Vamos a ver dos opciones, en la primera emplearemos el modulo especifico del que dispone el programa para comprobación de abolladura RF-PLATE BUCKLING y en la segunda se llevará a cabo el cálculo mediante elementos finitos. Cálculos mediante el módulo Plate-Buckling Se indica paso a paso como se modela y se desarrolla el proceso de cálculo en el programa. 1.-MODELADO Abrimos un nuevo archivo y lo llamamos Abolladura-barra y aceptamos. Pulsamos el botón Nuevas barras simples. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 115 Vamos al apartado Sección y elegimos para el inicio de barra, en el apartado Parametrica-Pared delgada, la primera de las opciones, Sección simétrica en I. En el menú introducimos los datos de nuestra sección según el croquis. Aceptamos y vamos a la pestaña opciones, donde seleccionaremos una nueva excentricidad para la barra, con el fin de que apoye en su ala inferior. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 116 Aceptamos e introducimos las coordenadas de origen de la barra (0,0,0). Aceptamos e introducimos las coordenadas del final de la barra (2,0,0). Ya tenemos nuestra barra, ahora definimos sus apoyos. Pulsamos el botón Nuevo apoyo en nudo. Impedimos el desplazamiento y el giro en todos los sentidos menos el giro en Y y lo aplicamos a los dos nudos de la barra SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 117 Ahora dividimos la barra en el punto donde más adelante colocaremos un rigidizador. Botón derecho sobre la barra, seleccionamos Dividir barra y la opción n nudos intermedios, eligiendo 1 nudo intermedio. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 118 2.-INTRODUCCIÓN DE CARGAS Vamos a proceder a introducir la carga. Pulsamos el botón Nueva carga en barra. Se nos abre la pantalla para configurar los casos de carga. Al ser un modelo experimental lo dejaremos como esta, desactivando el peso propio de la barra. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 119 Aceptamos y se abre la ventana para configurar la carga. Seleccionamos una carga puntual de valor 100kN en el eje Z aplicada a 1 metro del origen. Aceptamos y veremos la carga aplicada en el punto deseado. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 120 3.-CÁLCULO Como deseamos analizar la abolladura en esta barra, vamos al módulo específico que DLUBAL tiene para este fin: RF-PLATE BUCKLING. Vamos a importar la barra que ya hemos modelado, para ello pulsamos Importar desde RFEM. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 127 Ahora dividimos la barra en el punto donde más adelante colocaremos un rigidizador. Botón derecho sobre la barra, seleccionamos Dividir barra y la opción n nudos intermedios, eligiendo 1 nudo intermedio. Ahora vamos a convertir en el modelo en superficies para proceder al análisis por elementos finitos. Para ello vamos a Herramientas-Generar superficies desde barras-Configuración. Colocaremos placas frontales en ambos bordes como rigidizadores, según aparece en las siguientes imágenes SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 128 Una vez hecho esto, seleccionamos todas las barras y clicando botón derecho elegiremos Generar superficies desde barras-Generar. Obtendremos el resultado de la imagen inferior, habiendo terminado ya la configuración del modelo. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 129 2.-INTRODUCCIÓN DE CARGAS Vamos a proceder a introducir la carga. Pulsamos el botón Nueva carga en nudo. Se nos abre la pantalla para configurar los casos de carga. Al ser un modelo experimental lo dejaremos como esta, desactivando el peso propio de la barra. Aceptamos y se abre la ventana para configurar la carga. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 130 Seleccionamos una carga puntual de valor 100kN en el eje Z aplicada a 1 metro del origen. Aceptamos y veremos la carga aplicada en el punto deseado. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 131 3.-CÁLCULO Como deseamos analizar las posibles inestabilidades en esta barra, vamos al módulo específico que DLUBAL tiene para este fin: RF-STABILITY. Ponemos 8 como número de valores propios y le damos a calcular. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 132 4.-RESULTADOS La primera ventana que obtenemos en resultados es la de los factores de carga crítica, en este caso es de 4,45, por lo que la carga crítica por abolladura será de 445kN. Si pulsamos gráfico podremos ver los efectos producidos para cada valor propio. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 133 Para poder analizar los resultados, los exportaremos a una tabla Excel. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 134 4.3.1.3. Comparativa de resultados En este epígrafe se comparan los resultados obtenidos en cada método de cálculo con el fin de ver las diferencias entre ellas y poder sacar las conclusiones pertinentes. Puede observarse en la tabla anterior como el valor de la carga previsto por el análisis lineal de elementos finitos de DLUBAL es muy superior al cálculo según el CTE y del modulo de abolladura que calcula según Eurocodigo. Podemos concluir que las normativas quedan ampliamente del lado de la seguridad. CTE DB SE-A 325 334 445 DLUBAL PLATE BUCKLING DLUBAL ELEMENTOS FINITOS Fcr (kN) SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 135 4.3.2. ABOLLADURA A CORTANTE – INFLUENCIA DE LA COLOCACIÓN DE RIDIGIZADORES En este punto, empleando el mismo modelo que en el punto anterior se va a observar la influencia que tiene la colocación de rigidizadores en la carga crítica a cortante. Se van a modelar los siguientes supuestos: -Viga de 6 metros de longitud sin rigidizadores intermedios. -Viga de 6 metros de longitud con 1 rigidizador intermedio. -Viga de 6 metros de longitud con 2 rigidizadores intermedios. -Viga de 6 metros de longitud con 5 rigidizadores intermedios. -Viga de 6 metros de longitud con 11 rigidizadores intermedios. El estudio se va a llevar a cabo empleando el programa DLUBAL, mediante elementos finitos. 4.3.2.1. Cálculo mediante elementos finitos Se va a desarrollar el proceso en el programa para uno de los 5 casos, el resto de llevan a cabo de manera análoga. 1.-MODELADO Abrimos un nuevo archivo y lo llamamos Abolladura rigidizadores A1 y aceptamos. Pulsamos el botón Nuevas barras simples. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 136 Vamos al apartado Sección y elegimos para el inicio de barra, en el apartado Para métrica-Pared delgada, la primera de las opciones, Sección simétrica en I. En el menú introducimos los datos de nuestra sección según el croquis. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 143 4.3.2.2. Análisis gráfico de los resultados En las imágenes que aparecen a continuación se puede apreciar el efecto de abolladura dependiendo del número de rigidizadores colocados. RIDIGIZADORES A 6m RIDIGIZADORES A 3 m RIDIGIZADORES A 2m RIDIGIZADORES A 1m RIDIGIZADORES A 0,5 m SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 144 4.3.2.3. Análisis numérico de los resultados. En el siguiente cuadro observamos el valor del factor de carga crítica para cada distancia entre rigidizadores. Se observa que el aumento importante del factor de carga crítica se mantiene estable mientras la relación a/d esta en los valores por encima de 2. Es cuando este valor llega al valor de 1,33 cuando el factor de carga crítica aumenta considerablemente, mas aun cuando llega a 0,66. En el gráfico inferior podemos observar esta tendencia. Se ha incorporado la columna de peso del modelo para hacer notar que el incremento de kg de acero y en consecuencia de coste económico no es significativo para el aumento de resistencia que conlleva. a/d 6 8 6,15 352.81 3 4 6,75 358,83 2 2,66 6,99 364,85 1 1,33 7,28 382,92 0,50 0,66 9,07 419,04 DISTANCIA ENTRE RIDIGIZADORES Factor de carga crítica Peso del modelo (kg) 8,00 4,00 2,66 1,33 0,66 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Incremento de Fcr según el valor a/d a/d Fcr SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 145 4.3.3. Abolladura frente a cargas puntuales. Carga transmitida de un ala a otra DESCRIPCIÓN DEL MODELO De nuevo vamos a emplear el modelo de los puntos anteriores, con la diferencia sus condiciones de contorno, ya que contará con un apoyo justo debajo de la zona en la que se aplica la carga. El modelo quedará según aparece en la imagen inferior. Las comprobaciones a realizar que se llevan a cabo en este punto son según normativa y elementos finitos mediante el programa DLUBAL. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 146 4.3.3.1. Cálculos según normativa de aplicación CTE El CTE establece una expresión genérica para la resistencia del alma frente a cargas concentradas, sea cual sea el modo de transmisión de dicha carga. Dicha expresión era de la forma : 1 , M efyw Rdb Lft F  Donde Lef es un coeficiente de minoración obtenido a partir del valor que la Norma aplica para la carga crítica de abolladura (Fcr), que viene dada por d t EkF Fcr 3 9.0  La diferenciación entre uno y otro tipo de inestabilidad de entre los 3 casos posibles ya conocidos para este tipo de carga viene dada por el valor de kF y por el de un factor ly utilizado para determinar la esbeltez relativa. Para el caso de carga (o reacción) transferida de un ala al otra a través del alma estos parámetros vienen dados por: 625.425.3 2         a d kF   69.25512 21  mmtssy  mm a wyw fyf tf bf m   1          f t d 02.0 si 5.0 f  0 si 5.0 f  55.1   cr ywy fF ft   132.0 5.0  F F  mmL yFef 82.81   52.107 , Rdb F KN  2 m SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 147 En los cálculos anteriores se hace necesaria una primera iteración con m2=0 para determinar el valor de , ya que su cálculo requiere del empleo del parámetro ly que depende directamente de m2. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 148 4.3.3.2. Cálculo mediante DLUBAL-Elementos finitos 1.-MODELADO Abrimos un nuevo archivo y lo llamamos Abolladura cargas puntuales-EF y aceptamos. Pulsamos el botón Nuevas barras simples. Vamos al apartado Sección y elegimos para el inicio de barra, en el apartado Parametrica-Pared delgada, la primera de las opciones, Sección simétrica en I. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 149 En el menú introducimos los datos de nuestra sección según el croquis. Aceptamos y vamos a la pestaña opciones, donde seleccionaremos una nueva excentricidad para la barra, con el fin de que apoye en su ala inferior. Aceptamos e introducimos las coordenadas de origen de la barra (0,0,0). Aceptamos e introducimos las coordenadas del final de la barra (1,0,0). SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 150 Ya tenemos nuestra barra. Ahora vamos a convertir en el modelo en superficies para proceder al análisis por elementos finitos. Para ello vamos a Herramientas-Generar superficies desde barras-Configuración. Colocaremos placas frontales en ambos bordes como ridigizadores, según aparece en la siguiente imagen. Una vez hecho esto, seleccionamos todas las barras y clicando botón derecho elegiremos Generar superficies desde barras-Generar. Obtendremos el resultado de la imagen inferior, habiendo terminado ya la configuración del modelo. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 151 Se definen los apoyos, se va a colocar un apoyo intermedio para representar el caso de cargas puntuales según aparece en la normativa. Se gira el modelo de manera que veamos la parte inferior del mismo, para ello mantenemos pulsados a la vez en la rueda del ratón scroll y el botón derecho y desplazamos el ratón hasta que esté en la posición deseada. Se seleccionan una a una, las 3 líneas del ala inferior y inferior. Pulsando botón derecho sobre ellas elegiremos la opción de dividir en n nudos intermedios, en este caso 9 nudos. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FENOMENOS DE INESTABILIDAD EN ESTRUCTURAS METÁLICAS CON DLUBAL PROYECTO FINAL DE CARRERA 152 Ya tenemos nuestra las líneas divididas en segmentos de 0,1m y vamos a colocar 3 apoyos centrales en cada una de las 3 líneas. Pulsamos el botón Nuevo apoyo en nudo. Impedimos el desplazamiento y el giro en todos los sentidos menos el giro en Y. Vamos girando el modelo hasta que tengamos colocados los 9 apoyos, nos debe de quedar como en la imagen inferior.