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Sumas de cuadrados Antonio Pablo Lozano Vicente Trabajo de fin del grado de Matemáticas Universidad de Zaragoza Prólogo El propósito de este trabajo es dar una idea general del problema de la suma de cuadrados, y de cómo se ha desarrollado a lo largo del tiempo. Se hace un análisis más profundo de dos de los problemas más clásicos de la teoría de números: el teorema de Fermat y el teorema de Lagrange. El primero trata de la suma de dos cuadrados, mientras que el segundo, trata de la suma de cuatro cuadrados. Sobre estos dos teoremas se ha escrito mucha literatura y se han conseguido demostraciones muy originales, aplicando diferentes herramientas matemáticas. En este trabajo se darán las demostraciones clásicas de estos resultados, haciendo algún comentario sobre otras pruebas cuando sea oportuno y sin profundizar demasiado. En la primera parte del trabajo, se da una pequeña introducción explicando el origen del estudio de las sumas de cuadrados, y de cómo se fueron desarrollando los dos teoremas a tratar, para acabar con su final demostración. Se comenta, cómo diversas eminencias en el campo de las matemáticas, han estado involucrados en la resolución y desarrollo de estos problemas. Los capítulos centrales dan demostraciones rigurosas de estos dos grandes teoremas, incluyendo una segunda demostración en el caso de los dos cuadrados, y un esquema de una demostración alternativa en el caso de los cuatro cuadrados. Remarcar que para estas demostraciones, se suele introducir la ley de reciprocidad cuadrática para probar ciertos resultados clave. Sin embargo, en este trabajo no se hace uso de esta herramienta para probar los teoremas. El último capítulo, se encarga de dar una visión global de cómo ha evolucionado el problema de la suma de cuadrados. Así, han aparecido varias generalizaciones y se han desarrollado herramientas muy útiles y versátiles para la resolución de diversos problemas, no sólo referentes a la teoría de números. Estas extensiones han dado lugar a campos de estudio completamente nuevos, llegando a crear toda una nueva disciplina matemática como es la teoría de cuerpos de clases. La realización de este trabajo fue en un principio causa de la obligación. Sin embargo, una vez que estuve enfrascado entre los diferentes textos, resultó agradable e interesante investigar sobre la teoría de números, la cual ha despertado una gran curiosidad en mi y que de otra forma es muy probable que no hubiera llegado a conocer. Por último agradecer al Dr. Javier Otal, que me ha acompañado en este proyecto dirigiendo este trabajo y ha tenido una gran paciencia conmigo en su labor de corrector. Decir que ha sido una magnífica experiencia, haber realizado esta pequeña escaramuza en el mundo de la teoría de números de la mano de este excelente profesor y amigo. Antonio P. Lozano III English Summary The main aim in this final year dissertation is to proof two of the most classic theorems in Number Theory: Fermat’s Theorem on the Sum of two Squares and Lagrange’s four-square theorem. Both theorems, are about determinate which integers can be expressed as the sum of a given number of squares, that is, which have the form x2 1+···+x2 nwhere xi∈Z, for a given n. In referring to the study of this kind of abstract subjects, people usually ask about why anybody should want to know such facts. While mathematicians rarely raise such questions, they often answer them by pointing out the usefulness of abstract mathematics in physics, engineering, and other scientific disciplines. Also, in the present instance, a case can be made for the usefulness of the study of representations of integers by sums of squares in lattice point problems, crystallography, and certain problems in mechanics. The theorems The first theorem to deal with is the Fermat’s theorem on sums of two squares wich states that an odd prime pis expressible as p=a2+b2, with aand bintegers, if and only if p≡1(m´ od 4). However, Albert Girard had already made a determination of the numbers (not necessarily primes) expressible as a sum of two integral squares. Fermat was the first to claim a proof of it; he announced this theorem in a letter to Marin Mersenne dated December 25, 1640: for this reason this theorem is sometimes called Fermat’s Christmas Theorem. Fermat stated that he possessed an irrefutable proof. Elsewhere he stated that his proof was by the method of infinite descent. The method of infinite descent is a method of demonstration which was developed by Fermat. This method relies on the facts that the natural numbers are well ordered and that there are only a finite number of them that are smaller than any given one. Nevertheless, Fermat usually did not write down proofs of his claims, and he did not provide a proof of this statement. The first proof was found by Euler in the middle of the eighteen century after much effort and is based on infinite descent. In connection with the Lagrange’s four-square theorem, it states that any natural number nis expressible as n=a2+b2+c2+d2 with a,b,c,dintegers. Bachet remarked in the translation notes of Arithmetica that Diophantus apparently assumed that any number is either a square or the sum of 2, 3 or 4 squares. This result is also known as Bachet’s theorem. Fermat, again stated that he possessed a proof that every number is sum of four squares. It was not until 1770 that Lagrange proved the theorem. The origins The origin of these results can be found in Diophantus (325-409 A.D.). He propossed a collection of statements connected with characterize of the set of integers, for which the diophantine equation V VI Capítulo 0. English Summary n=x2+y2has solution. Often those statments are in geometric language, and the meaning of his statements is not always clear. At least some of them appear to be incorrect; one of them, however, is equivalent to the important identities (a2 1+b2 1)(a2 2+b2 2) = (a1a2−b1b2)2+(a1b2+b1a2)2= (a1a2+b1b2)2+(a1b2−b1a2)2 It is easy to prove this identity by applying the multiplicative property of the Gaussian integer’s norm (see below). The identity shows that if two numbers are expressible as sum of two squares, its product is too. Among the mathematicians who studied this problem were Bachet (1581-1638), famous for his own edition of Diophantus, and Girard (1595-1632) who first stated the necessary and sufficient conditions on nfor the solvability of n=x2+y2in integers: n has to be either a square, or a prime p ≡1 (m´ od 4), or a product of such numbers, or the product of one of the preceding with a power of 2. Shortly afterwards, Fermat (1601-1665) who had a Bachet’s copy of Diophantus’ Arithmetica, stated, as a condition on n, that n≡1(m´ od 4)and that when nis divided by its largest square factor, the quotient should not contain any prime q≡3(m´ od 4). In fact, he indicates (in a numerical example), how to compute the number of ways to express such number as sum of two squares. Fermat called the theorem that every prime 4n+1 is a sum of two squares, the fundamental theorem on right triangles. He worked in solving the proposed problems making some annotations in the margin. In one of those annotations is the famous Fermat’s Last Theorem. The problem of characterizing which numbers can be expressed as a sum of three squares is more difficult than the two squares or the four squares problem, what is more important, requires different methods. However, Gauss proved that nis expressible as a sum of three squares if and only if n6=4e(8k+7); thus 7,15,23,28,... are not sums of three squares. There is no explicit statement of the Lagrange’s four-square theorem in Diophantus; however, while he requires conditions for an integer to be a sum of two or of three squares, he states no conditions whatsoever for nto be a sum of four squares. Bachet interpret this as indicating a knowledge of the four squares theorem. Bachet did state the theorem explicitly and mention that he had verified it up to 325, but had no general proof of it. As mentioned earlier, Fermat claimed (again) to have a proof of the theorem. Fermat, in a letter to Carcavi, indicated that his proof (like so many others of his) was based on the method of descent, whose application in this case, he added, required another new idea. After several attempts to prove the four square theorem, especially from Euler and Goldbach, Euler published some relevant results. Euler proved, among others, that there exists integers a,bsuch that 1+a2+b2is divisible by a given prime p. Also, Euler gave the fundamental formula    (a2+b2+c2+d2)(p2+q2+r2+s2) = x2+y2+z2+v2, x=ap +bq +cr +ds,y=aq −bp ±cs ∓dr, z=ar ∓bs −cp ±dq,v=as ±br ∓cq −dp. These results are essential to prove the four square theorem. Finally, Lagrange gave the first proof of the four square theorem and acknowledged his indebtedness to ideas in the preceding results by Euler. The proofs The classic proofs for the Fermat’s Theorem on the Sum of two Squares and Lagrange’s foursquare theorem are based on the method of infinite descent. Let’s take a closer look at this method. The method of infinite descent is a particular kind of proof by contradiction which relies on the facts that the natural numbers are well ordered and that there are only a finite number of them that are smaller than any given one. Fermat’s own account of it is to be found a letter ‘Relation nouvelles entitled decouvertes la science des nombres’ which he wrote to Carcavi in 1659. In this letter he tells Carcavi that he has discovered a new method demonstration and applied it successfully to the Sumas de cuadrados VII solution of a considerable number of problems in the theory of numbers. He calls it the method of infinite unlimited descent (descente infinie indefinie) says that first applied only negative propositions as: ‘There is no right triangle whose sides are integers whose area is equal to the square of an integer.’ He gives the following abstract of his proof of the latter: ‘The proof is made by reductio ad absurdum in this manner: If there is a right triangle with integral sides and with an area equal to the square of an integer, then there is a second triangle, smaller than the first, which has the same preperty; and if there is a second triangle, smaller than the first, which has the same property, then there is, by like reasoning, a third smaller than the second; and then a fourth, a fifth, and so on ad infinitum. But there is not an infinite number of integers less than a given integer. From which one concludes thar it is impossible that there should be a right triangle with integral sides and with an area wich is the square of an integer.’ In the next paragraph Fermat says: ‘It was a long time before I was able to apply my method to affirmative questions, because the way and manner of getting at them is much more difficult than that which I employ with negative theorems. So much so that, when I had to prove that every prime number of the form 4k+1 is made up of two squares, I found myself in much torment. But at last a certain reflection many times repeated gave me the necessay light, and affirmative questions yielded to my method with some new principles by which sheer necessity compelled me to supplement it. This development of my argument in the case of affirmative questions takes the following line. If a prime number of the form 4k+1 selected at random is not made up of two squares, there will exist another prime number of the same sort but less than given number, and again a third still smaller and so on descending ad infinitum until one comes to the number 5, which i the smallest of all numbers of the kind in question and which the argument would require not to be made up of two squares, although in fact it is so made up. From which one must infer, by reductio ad absurdum, that all numbers of the kind in question are in consequence made up of two squares.’ The foregoing is a good account of Fermat’s method although it leaves out all details of the proof. Fermat’s proof, like so many others of his, is no extant. As seen above, the proof was made by Euler. Unlike many other texts of Numbers theory, the proofs in this final year dissertation are independent of the law of quadratic reciprocity. Before begining the proofs, let’s see some useful results and definitions. Recall that a Gaussian integer is a complex number whose real and imaginary parts are both integers. The Gaussian integers, with ordinary addition and multiplication of complex numbers, form an integral domain, usually written as Z[i]. The norm of a Gaussian integer is defined as the square of its absolute value as a complex number and a natural number: N:Z[i]−→ N∪{0} z7−→ N(z) = z·z The norm is multiplicative i.e. N(zw) = N(z)N(w)and the units of Z[i]are precisely those elements with norm 1, i.e. the set {±1,±i}. Definition 1. For each integer k ≥1, let Sk={n|n=x2 1+...+x2 k, x1,...,xk∈Z}, the set of all sums of k squares. As a consequence of the mutiplicativity of the norm, it follows the next lemma Lemma 2. S2is closed under multiplication. Demostración. Let s,t∈S2,s=a2 1+b2 1and t=a2 2+b2 2. Let’s define z=a1+i·b1and w=a2+i·b2. Now, the lemma follows from the multiplicativity of the norm: N(z)N(w) = (a2 1+b2 1)(a2 2+b2 2) = (a1a2−b1b2)2+(a1b2+b1a2)2=N(zw) Autor: Antonio Pablo Lozano Vicente VIII Capítulo 0. English Summary The next result is crucial to proof the Fermat’s theorem. Lemma 3. For primes p =4m+1the equation x2≡−1(m´ od p)has two solutions s ∈{1,2,...,p− 1}, for p =2there is one such solution, while the primes of the form p =4n+3there is no solution. Demostración. In this proof is where usually other books introduce the law of quadratic reciprocity. However, let’s proof the lemma using some simple principles. For odd p, and x∈{1,.., p−1}let Pxbe the set {x,−x,x−1,−x−1}with x∈{1,2,..., p−1}. with −xthe additive inverse and x−1the multiplicative inverse over Zp. Those sets contains 4 elements with the exception some of the following cases x≡−xes impossible for odd p. x≡x−1, is equivalent to x2≡1. This have two solutions, namely x=1 and x=p−1, and then P1=Pp−1={1,−1}={p−1,1−p}={1,p−1} x≡−x−1is equivalent to x2≡−1. This equation may have no solution or two distinct solutions x=x0,x=p−x0; in this case, Px={x0,p−x0}. The set {1,.., p−1}has p−1 elements, and we partitioned it into quadruples, plus one or two pairs (depending on the size of Px). For p−1=4m+2, there is only one pair {1,p−1}the rest is quadruples, and thus x2≡−1(m´ od p)has no solution. For p−1=4mthere has to be a second pair, and this contains the two solutions of x2≡−1. Theorem 4. An odd prime p is expressible as p =x2+y2, with x,y∈N, if and only if p ≡1(m´ od 4). Demostración. The proof is as follows 1. S2is closed under multiplication. 2. Let pto be a prime 4n+1, pdivide to 1+x2for some x, choosing xsuch that mp =x2+1 with 0<m<p 3. Take the less msuch that x2+y2=mp, with pprime and 1 <m<p, then find x2 1+y2 2=m1p, with x1,y1integers y 0 <m1<mand this contradicts the minimality of m. Generalizing for any integer: Theorem 5. A positive integer n is a sum of two squares if and only if every prime q ≡3(m´ od 4) divides n to an even power. Demostración. It is a rather easy consequence of the unique factorization property in the ring Z, Lemma 2 and Theorem 4 at once. Alternatively, Fermat’s theorem can be proven by using Gaussian integers. First at all, recall some properties of Z[i]. We can define the divisibility and factorization in Z[i] in the same way that in the integers. So, like in Z, we obtain that if pis irreducible in Z[i], it is prime too. Also, Z[i]is a unique factorization domain (UFD). Theorem 6. An odd prime p is expressible as p =x2+y2, with x,y∈N, if and only if p ≡1(m´ od 4). Demostración. The alternative proof is as follows 1. S2is closed under multiplication. Sumas de cuadrados IX 2. Let pto be a prime 4n+1, pdivide to 1+x2for some x, choosing xsuch that mp =x2+1 with 0<m<p 3. Let xsuch that p|1+x2= (1+xi)(1−xi)and then prove that p-(1+xi)and p-(1−xi)then pis not prime in Z[i]. 4. If pis not prime in Z[i]then p∈S2. Just as the two-squares identity can be explained in terms of complex numbers, a similar foursquares identity can be derived from a generalisation of complex numbers known as the quaternions H. The elements of Hare the points q= (a,b,c,d)∈R4, and addition and subtraction are performed by the usual method for vectors. To define multiplication, it is useful to write each quaternion in the form q=a1+bi +c j +dk, where a,b,c,d∈Rand 1,i,j,kdenote the standard basis vectors of R4. Defining the products of the basis vectors by i2=j2=k2=−1 i j =−i j =k jk =−k j =i ki =−ik =j Notice that multiplication is not commutative, since i j =−ji for example. By assuming distributivity (that is, q(q0+q”) = qq0+qq” and (q0+q”)q=q0q+q”qfor all q,q0,q”), we find that the product of any pair of quaternions q1= (a2 1+b2 1+c2 1+d2 1)and q2= (a2 2+b2 2+c2 2+d2 2) q1q2= (a2 1+b2 1+c2 1+d2 1)(a2 2+b2 2+c2 2+d2 2) = (a1a2−b1b2−c1c2−d1d2)2 + (a1b2+b1a2+c1d2−d1c2)2 + (a1c2−b1d2+c1a2+d1b2)2 + (a1d2+b1c2−c1b2+d1a2)2 The conjugate of a quaternion q=a+bi +c j +dk is the quaternion q=a−bi −c j −dk. The norm of a Quaternion qis defined as the square root of the product qq. It will be denoted by ||q||. Since conjugation is an automorphism, it follows: ||q1q2||=||q1||·||q2|| So the norm is multiplicative. As a consequence of this, it is easy to proof the next lemma. Lemma 7. S4is closed under multiplication. Demostración. Let x1=a2 1+b2 1+c2 1+d2 1=||1·a1+i·b1+j·c1+k·d1||2=||q1||2and x2=a2 2+b2 2+ c2 2+d2 2=||1·a2+i·b2+j·c2+k·d2||2=||q2||2. Now, the lemma follows from the multiplicativity of the norm: x1x2=||q1||2||q2||2=||q1q2||2 Then (a2 1+b2 1+c2 1+d2 1)(a2 2+b2 2+c2 2+d2 2) = (a1a2−b1b2−c1c2−d1d2)2 + (a1b2+b1a2+c1d2−d1c2)2 + (a1c2−b1d2+c1a2+d1b2)2 + (a1d2+b1c2−c1b2+d1a2)2 Autor: Antonio Pablo Lozano Vicente 2Capítulo 1. Introducción Por otra parte 65 =12+82=42+72y teniendo en cuenta que 4(a2−b2,2ab,a2+b2)es un triángulo rectángulo (se comprueba directamente), se obtienen cuatro triángulos rectángulos con igual hipotenusa y lados enteros: 4(39,52,65),4(25,60,65),4(33,56,65)y4(16,63,65). Figura 1.2: Cuaro triángulos rectángulos con igual hipotenusa. Y con estos triángulos con igual hipotenusa se obtiene la solución al problema planteado xi=17136600 163021824,12675000 163021824,15615600 163021824,8517600 163021824. Otro de los problemas propuestos por Diofanto fue el de descomponer la unidad en dos partes de modo que al añadir a cada una el mismo número dado se forme un cuadrado, es decir, dado a, encontrar x,ytales que x+y=1 y x+ayy+asean cuadrados. Para ello el número dado no debe ser impar y el doble más uno, 2a+1, no debe ser divisible por ningún número primo de la forma 4n−1 Desafortunadamente la condición necesaria no se lee con claridad en los manuscritos de Diofanto. Respecto esto último Fermat postuló lo siguiente: ‘La verdadera condición (aquella que es general y excluye los números que son inadmisibles) es que el número dado a no puede ser impar y que 2a+1 tras dividirlo por el mayor cuadrado como factor, no puede ser divisible por un número primo de la forma 4n−1’. Realmente fué Girard en 1632 quien por primera vez dió una caracterización de los numeros que podian expresarse como suma de dos cuadrados: «Todo cuadrado, todo número primo de la forma 4n+1, un producto formado por éstos y el doble de uno de los anteriores» Por esta razón, en algunos textos el teorema de los dos cuadrados es conocido como Teorema de Girard. A raíz de estos problemas y diversas soluciones que fueron surgiendo, sobre todo con casos particulares, Fermat comunicó en una carta a Mersenne el 25 de Diciembre de 1640 (Por lo que en ocasiones el teorema de la suma de dos cuadrados también es conocido como el Teorema de la Navidad) las siguientes observaciones: Todo número primo de la forma 4n+1 es la hipotenusa de sólo un triángulo rectángulo, su cuadrado de dos, su cubo de tres y así sucesivamente. Un número primo de la forma 4n+1 y su cuadrado son suma de dos cuadrados de manera única, su cubo y potencia cuarta es suma de dos cuadrados de dos formas distintas, su potencia quinta y sexta de tres y así sucesivamente. Sumas de cuadrados 1.1. Sumas de cuadrados: El origen 3 Es sencillo hallar cuantos triángulos rectángulos se pueden formar con una hipotenusa wdada. Se pueden formar paqbrcsdonde p,q,rson primos de la forma 4n+1 y ses un cuadrado sin ninguno de los factores anteriores y definir w=2c(2ab +a+b)+2ab +a+b+c Para encontrar un número que sea la hipotenusa de un número determinado wde triángulos rectángulos, basta tomar los factores primos de 2w+1 y restar uno a cada uno de éstos y tomar la mitad de lo que queda como exponente para cualquier primo de la forma 4n+1. Por ejemplo, si w=7, 2w+1=15 = (2+1)(2·2+1)por tanto pq2resuelve el problema con p,qprimos de la forma 4n+1. Fermat llamó al teorema de que todo número primo de la forma 4n+1 es una suma de dos cuadrados el teorema fundamental de los triángulos rectángulos. Y afirmó que tenía una prueba irrefutable de éste basada en el método del descenso infinito. Sin embargo, no fue hasta más de un siglo despúes cuando Euler publica una demostración tras varios intentos y resultados intermedios por parte de varios matemáticos como Goldbach o Jaquemet. Posteriormente se publicaron diversas demostraciones de este resultado relacionando varias ramas de las matemáticas. En los problemas propuestos por Diofanto también se pueden encontrar cuestiones sobre representaciones superiores, decir qué números pueden ser expresados como suma de tres, cuatro, cinco cuadrados. Gauss demostró que un número es suma de tres cuadrados si y sólo si n6=4e(8k+7); por tanto 7,15,23,28,... no son suma de tres cuadrados. Es fácil probar que ningún entero n=4e(8k+7) puede expresarse como suma de tres cuadrados. Probar el recíproco es más complicado, principalmente porque el conjunto de números expresables como suma de tres cuadrados no es cerrado bajo la multiplicación. Al igual que ocurre con la suma de dos cuadrados, se puede encontrar el origen del enunciado del teorema de los cuatro cuadrados en Diofanto quien propuso encontrar cuatro números xitales que la suma de sus cuadrados sumados (restados) con la suma de los xi, diera como resultado un número dado n. Tomó como ejemplo n=12 (n=4). Para ello observar que x2±x+1/4= (x±1/2)2es un cuadrado. Por tanto la suma de los cuatro cuadrados más la suma de sus lados más 1 es la suma de otros cuatro cuadrados, luego tendrá que ser igual a 13(5). Es decir ∑x2 i±∑xi+1 es una suma de cuatro cuadrados, en este caso 13(5). Así pues si se divide 13(5)en cuatro cuadrados. Después se resta (suma) 1/2 a cada uno de sus lados y se obtienen los lados de los cuadrados pedidos. 13 =4+9=64 25 +36 25 +144 25 +81 25,5=9 25 +16 25 +64 25 +36 25 Por tanto, la solución al problema es 11 10 +7 10 +19 10 +13 10,11 10 +13 10 +21 10 +17 10 Bachet observó que Diofanto, tanto aquí como en otros enunciados, parecía asumir que cualquier número puede ser expresado como suma de dos, tres o cuatro cuadrados (resultado conocido como Teorema de Bachet) y afirmó haber demostrado la proposicion para números menores que 325 y hallado la descomposición en suma de cuatro cuadrados para números menores que 120. Fermat por su parte, aseguraba tener una demostracion de que todo número podía ser expresado como suma de cuatro cuadrados y que seguramente este teorema ya era conocido por Diofanto. Descartes enunció el teorema (‘cuya demostración juzgó de tal dificultad que no se atrevió a intentarla’): cualquier número que es suma de tres cuadrados y mayor que 41, puede también ser expresado como suma de cuatro cuadrados. Euler admitió que no pudo probar el teorema de Bachet de que cualquier número puede expresarse como suma de cuatro cuadrados, ni dar una regla general para expresar n2+7 como suma de cuatro cuadrados. Sin embargo demostró el teorema para ciertos conjuntos de números y dió la fórmula fundamental    (a2+b2+c2+d2)(p2+q2+r2+s2) = x2+y2+z2+v2, x=ap +bq +cr +ds,y=aq −bp ±cs ∓dr, z=ar ∓bs −cp ±dq,v=as ±br ∓cq −dp. Autor: Antonio Pablo Lozano Vicente 4Capítulo 1. Introducción A mediados del siglo XVIII, Euler declaró haber demostrado que si pes un número primo cualquiera, entonces existen cuatro números enteros a,b,c,dno divisibles por p, tales que a2+b2+c2+d2es divisible por p. Después de diversos intentos para demostrar el teorema de Bachet, sobre todo por parte de Euler y Goldbach, Euler publicó algunos resultados sobre éste. Euler probó, entre otros, que existen enteros a,btales que 1+a2+b2es divisible por un número primo pdado. Fué finalmente Lagrange quien en 1770 dió la primera demostración del teorema de Bachet reconociendo que no habría sido posible sin las ideas y aportaciones de Euler. Lagrange añadió una generalización para la identidad dada por Euler: (p2−Bq2−Cr2+BCs2)(p2 1−Bq2 1−Cr2 1+BCs2 1) = (pp1+Bqq1±C(rr1∓Bsq1))2−B(pq1+qp1±C(rs1+sr1))2− C(pr1−Bqs1±rp1∓Bsq1)2+BC(qr1−ps1±sp1∓rq1)2 Posteriormente, en 1773, Euler dió una demostración mucho más simple que la de Lagrange. A parte de las generalizaciones que surgieron de los resultados probados, estos teoremas han sido mirados desde muy diferentes ángulos dando con demostraciones ingeniosas y creando nexos entre diferentes aspectos de las matemáticas. 1.2. Método del descenso infinito La primera vez que se menciona este método es en una carta de Fermat enviada a Pierre de Carcavi en 1659 cuyo titulo rezaba “Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres.”. En esta carta comunicaba a Carcavi que había descubierto un nuevo método de demostración y que lo había aplicado con exito en la resolución de un número considerable de problemas de la teoría de números. A esta forma de demostración la llamó método de descenso infinito o ilimitado y que en un principio sólo lo había aplicado a proposiciones negativas como: «No existe ningún triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros y su área sea el cuadrado de un número entero» Fermat argumentó de forma abstracta la demostración de la siguiente manera: ‘La demostración se realiza por reducción al absurdo como sigue: si existe un triángulo de lados enteros y área el cuadrado de un entero, entonces existe un segundo triángulo menor que el primero con esta misma propiedad; y si existe un segundo triángulo menor que el primero con la misma propiedad, entonces existe un tercero menor que el segundo, y entonces hay un cuarto, un quinto y así ad infinitum. Pero no hay un número ilimitado de enteros menor que uno dado. Por tanto es imposible que pueda haber un triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros y su área sea el cuadrado de un número entero’ En el siguiente parrafo de la carta, Fermat comentaba que había encontrado grandes dificultades para aplicar este método a enunciados no negativos, lo cual le produjo grandes quebraderos de cabeza a la hora de intentar demostrar el teorema de los dos cuadrados. Para este último afirmaba tener finalmente una demostración basada en el metodo del descenso infinito aunque según decía, necesitó emplear algunos nuevos principios. Expuso en esta carta un esquema de los pasos que había seguido en la demostración pero ésta estaba falta de detalles. Notar que este método se basa principalmente la aplicación del principio de buena ordenación (todo conjunto no vacío de números naturales posee un número mínimo). Otro ejemplo algo más detallado de este tipo de razonamiento se ve en el siguiente ejemplo. Se consideran ternas pitagóricas, es decir aquellas ternas de números naturales (a,b,c)tales que c2=b2+a2, o dicho de otra forma, son lados de un triángulo rectángulo. Teorema 1.2.1. No existen ternas pitagóricas que se correspondan con un triángulo isosceles, o lo que es lo mismo que no existen ternas pitagóricas de la forma (a,a,c). Sumas de cuadrados 1.2. Método del descenso infinito 5 Demostración. Si existiera una tal tupla (a,a,c)se tendría c2=2a2, esto querría decir que c2es par luego ctambién es par. Sea pues c=2c1con c1∈N. Se tiene la igualdad 4c2 1=2a2, es decir a2=2c2 1, por tanto aes par; sea ahora a=2a1, es decir c2 1=2a2 1de donde se tiene otra terna (a1,a1,c1)que es un triángulo estrictamente menor que el primero. Aplicando este proceso sobre el nuevo triángulo se obtendría otro (a2,a2,c2)menor que el anterior. Repitiendo este proceso, se tiene una secuencia infinita de tuplas cuyos primeros valores forman una sucesión infinita decreciente a>a1>a2>a3> ... de valores enteros lo cual es imposible ya que en una sucesión tal, tarde o temprano tendrían que aparecer números negativos (La correspondiente sucesión de triángulos pitagóricos se muestra en la figura 1.2; es claro que no pueden ser valores negativos pues son medidas). Luego no existen tuplas pitagóricas de la forma (a,a,c). Figura 1.3: Una secuencia de triángulos pitagóricos. De este resultado, se desprende fácilmente el hecho de que √2 no es un número racional, ya que si lo fuera se tendría que existen a,cnúmeros enteros tales que √2=c/ay por tanto c2=2a2lo cual es imposible. El descubrimiento de números irracionales fue un verdadro trauma para los Pitagoricos, quienes basaban toda su ciencia y filosofía en las propiedades de los números enteros y racionales. Autor: Antonio Pablo Lozano Vicente Capítulo 2 El Teorema de los dos cuadrados En este capítulo se demuestra el resultado más conocido como el Teorema de Fermat. Aunque en realidad fué Albert Girard en 1632 quien formula por primera vez que "todo número primo de la forma 4n+1es suma de dos cuadrados" (como ya se ha comentado en la introducción). Para ello se verán inicialmente algunas definiciones y resultados previos necesarios para la demostración. Como se puede observar, se darán dos demostraciones distintas del mismo teorema. Suele ser de gran utilidad tener más de una demostración de un mismo resultado, no porque le añada validez (una sóla demostración correcta es suficiente), sino que puede servir para comprender mejor el resultado e incluso dar opción para desarrollarlo en diversas direcciones. Como se comentará en su momento, a diferencia de muchos textos de Teoría de Números, las demostraciones en este trabajo son independientes de la ley de reciprocidad cuadrtica de LegendreGauss. 2.1. Aritmética modular Se recordarán a continuación, algunos resultados básicos de la aritmética modular, la cual será de gran ayuda a la hora de trabajar con los problemas a abordar. Dados enteros a,b,mcon m>0, se dice que aes congruente con bmódulo msi se cumple que m|a−by se escribe como a≡b(m´ od m). Una expresión como la anterior se denomina congruencia. Se tiene que a≡b(m´ od m)cuando la diferencia a−bpertenece al conjunto de los múltiplos de m. Todavía cabe otra definición, basada en que el resto de la división de apor mes único: aes congruente con bmódulo msi, y solo si, dan el mismo resto al dividirlos por m. Dicho de otra forma, a≡b(m´ od m)quiere decir que aes de la forma mk +bcon k∈Z. La relación de congruencia es una relación de equivalencia en el conjunto Zde los números enteros cuyas clases de equivalencia son conjuntos formados por todos los números que al dividirlos por mse obtiene el mismo resto. La clase de equivalencia de un entero a se denota como [a]m(o simplemente [a]si sobreentendemos el módulo) y hay exactamente mclases de equivalencia {[0],[1],[2],...,[m−1]}; este conjunto suele denotarse como Zm. En ocasiones es más conveniente utilizar como representantes de las clases de equivalencia aquellos números con menor valor absoluto,    {0,±1,±2,...,±(m−1)/2}si mes impar {0,±1,±2,...,±(m−2)/2}si mpar (2.1) de modo que para cualquier resto r, se tendrá −m/2≤r≤m/2. 7 8Capítulo 2. El Teorema de los dos cuadrados Además las sumas y productos de enteros congruentes también son congruentes, es decir si a≡b (m´ od m)yx∈Zse tiene a+x≡b+x(m´ od m);ax ≡bx (m´ od m);−a≡−b(m´ od m), lo que muestra que la suma y la multiplicación son operaciones bien definidas sobre el conjunto de las clases de equivalencia [a]+[b]=[a+b]y[a]·[b]=[a·b]. Así el conjunto Zmes un anillo conmutativo con unidad. Si aybson dos enteros cualesquiera y mes un entero positivo, la congruencia ax ≡b(m´ od m) tiene una solución en xsi y sólo si bes divisible por el máximo común divisor mcd(a,m)de ay m. Cuando éste es el caso, y x0es una solución, el conjunto de todas las soluciones viene dado por {x0+km d|k∈Z}. En particular, existen exactamente d=mcd(a,n)soluciones en el conjunto de residuos {0,1,2,...,n−1}. Como consecuencia, si m=pes primo, Zpes un cuerpo, pues la congruencia ax ≡1(m´ od p) tiene una única solución si [0]6= [a]∈Zp. 2.2. Enteros de Gauss Es de sobra conocido el conjunto de los números enteros Zy el de los números complejos C ambos muy interesantes y muy útiles en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas. Un entero de Gauss es exactamente un número complejo cuyas partes real e imaginarias son números enteros. Los enteros de Gauss fueron introducidos por Gauss en 1832 motivado por el estudio de las sumas de cuadrados. El conjunto de los enteros de Gauss se representa como Z[i]y por tanto es el siguiente: Z[i] = {x+yi |x,y∈Z}(donde i2=−1) Con las operaciones heredadas de Cse tiene que la suma y la multiplicación de enteros de Gauss es un entero de Gauss: z,w∈Z[i]con z=a1+ib1yw=a2+ib2, z+w= (a1+a2)+i(b1+b2)∈Z[i]yz·w= (a1a2−b1b2)+i(a1b2+a2b1)∈Z[i] En consecuencia Z[i]es un dominio de integridad, cuyo cuerpo de fracciones es la extensión simple Q(i)formada por los números complejos cuya parte real e imaginaria son números racionales. Se puede ver una estrecha relación entre estos números y las sumas de cuadrados ya que si se toma z=a+b·i∈Z[i], se tiene que |z|2=z·z=a2+b2. Se define la norma en el dominio Z[i]como: N:Z[i]−→ N∪{0} z7−→ N(z) = z·z Y se demuestra entonces que la norma así definida satisface las propiedades N(z) = 0 si y sólo si z=0 N(zw) = N(z)N(w)para todos z,wen Z[i] La primera propiedad es trivial y para la segunda basta aplicar la definición N(zw) = zwzw =zzww =N(z)N(w) Sumas de cuadrados 2.3. Primera demostración del teorema de Fermat 9 2.3. Primera demostración del teorema de Fermat Se dan primero algunas definiciones que ayudarán a hacer más comprensible la demostración. Definición 2.3.1. Por cada entero k ≥1, sea Sk={n|n=x2 1+...+x2 k, x1,...,xk∈Z}, el conjunto de todas las sumas de k cuadrados. Ejemplo 2.3.1. S1={0,1,4,9,...}es el conjunto de todos los cuadrados, se comprueba directamente que S2, el conjunto de las sumas de dos cuadrados, contiene a 0, 1, 2, 4, 5 y 8 pero no a 3, 6 o 7. Lema 2.3.2. El conjunto S2, es multiplicativamente cerrado, es decir, si s,t∈S2, entonces st ∈S2 Demostración. Sea s=a2 1+b2 1yt=a2 2+b2 2elementos de S2con a1,b1.a2,b2∈Z, luego aplicando que los enteros de Gauss z=a1+i·b1yw=a2+i·b2tienen como norma sytrespectivamente, aplicando ahora que N(zw) = N(z)N(w)se tiene: N(z)N(w) = (a2 1+b2 1)(a2 2+b2 2) = (a1a2−b1b2)2+(a1b2+b1a2)2=N(zw)(2.2) y por tanto st ∈S2ya que a1a2−b1b2,a1b2+b1a2∈Z. Observación 2.3.1. Aplicando inducción, se demuestra que el producto de cualquier numero finito de elementos de S2también está en S2. Observación 2.3.2. Reemplazando z por z en 2.2 obtenemos la igualdad (a2 1+b2 1)(a2 2+b2 2) = (a1a2+b1b2)2+(a1b2−b1a2)2(2.3) una identidad que se utiliza más adelante. El Lema 2.3.2 sugiere que para determinar los elementos de S2, se pueden estudiar primero los números primos ya que todo entero n≥2 es producto de números primos y si todos sus factores estan en S2entonces ntambién lo está. Notar que no todos los números primos son suma de dos cuadrados, por ejemplo el 3. El resultado que aparece a continuación se prueba sin emplear la ley de reciprocidad cuadrática y será clave para demostrar el teorema de Fermat. Lema 2.3.3. Para números primos p de la forma p =4n+1la ecuación s2≡−1(m´ od p)tiene dos soluciones s ∈{1,2,...,p−1}, si p =2tiene solución única, mientras que para primos de la forma 4n+3la ecuación no tiene solución. Demostración. Si p=2 basta tomar s=1. Sea pimpar. Dado x∈{1,.., p−1}, se cosidera el conjunto Px:={x,−x,x−1,−x−1}con x∈{1,2,..., p−1}siendo −xla inversa aditiva y x−1la inversa multiplicativa en Zp. Estos conjuntos tienen cuatro elementos salvo que alguno de ellos coincida, es decir, estos casos serán: x≡−xes imposible por ser pimpar. x≡x−1, es decir x2≡1, que tiene dos soluciones x=1 y x=p−1, con lo que se tiene que la única tupla cumpliendo esta relación es P1=Pp−1={1,−1}={p−1,1−p}={1,p−1} x≡ −x−1por tanto, x2≡ −1. Esta ecuación puede tener dos soluciones distintas o no tener ninguna. De tener dos soluciones, serían x=x0yx=p−x0por lo el conjunto tendría dos elementos {x0,p−x0}. Autor: Antonio Pablo Lozano Vicente 10 Capítulo 2. El Teorema de los dos cuadrados El conjunto {1,2,...,p−1}tiene p−1 elementos y se ha realizado una partición en cuadruplas (cuando Pxtiene 4 elementos) y una o dos tuplas (los casos en los que Pxtiene 2 elementos). Ahora, si p−1=4m+2 entonces sólo puede haber una tupla y lo demás son cuadruplas, por tanto s2≡−1 (m´ od p)no tiene solución. Si p−1=4mdebe exisitir una segunda tupla y esta contiene las dos soluciones de s2≡−1(m´ od p) Teorema 2.3.4. Todo número primo de la forma 4n+1, con n ∈N, es suma de dos cuadrados. Demostración. Supongamos que p≡1(m´ od 4), por el teorema 2.3.3 se tiene que para algún uentero u2+1=rp con r∈Z. Se puede elegir un utal que 0 ≤u≤p−1, con 0 ≤r≤py se tiene que rp =u2+12∈S2. Sea mel menor entero tal que mp ∈S2y 0 <m<p. Si m=1 entonces p∈S2y el resultado est demostrado. Sea m>1. Como mp ∈S2, se tiene que mp =a2 1+b2 1para algunos enteros a1yb1. Sean a2,b2∈Z los representantes de las clases de a1yb1con menor valor absoluto como en 2.1, de modo que a2≡a1 yb2≡b1(m´ od m)y|a1|,|b1|<m/2, se tiene a2 2+b2 2≡a2 1+b2 1≡0(m´ od m); Así a2 2+b2 2=sm para algún s∈Z. Como |a1|,|b1|<m/2, se tiene a2 1+b2 1≤2(m/2)2=m2/2 luego s≤m/2 y por tanto s<m. También se tiene s>0, pues si s=0, entonces a2 2+b2 2=0, y esto implica que a1≡b1≡0 (m´ od m), esto es mdivide a a1yb1. Luego m2divide a a2 1+b2 1=mp y por tanto mdivide a p. Esto no puede ser ya que p es primo y 1 <m<p, luego 0 <s<m. Ahora (a2 1+b2 1)(a2 2+b2 2) = mpsm =m2sp y de la identidad 2.3 (a2 1+b2 1)(a2 2+b2 2) = (a1a2+b1b2)2+(a1b2−b1a2)2 se tiene (a1a2+b1b2)2+(a1b2−b1a2)2=m2sp. Como a1a2+b1b2=a2 2+b2 2=0(m´ od m)ya1b2−b1a2=0(m´ od m)se puede dividir esta ecuación por m2quedando a1a2+b1b2 2 m2 +a1b2−b1a2 m2 =sp donde ambos sumandos son enteros. Luego sp ∈S2con 0 <s<mlo cual es una contradicción por la minimalidad de m. Por tanto m=1 Teorema 2.3.5. Un número entero positivo n es suma de dos cuadrados si y sólo el exponente en la factorización de n de los primos q ≡3(m´ od 4)es par. Demostración. (⇐)Supongamos que n=2epe1 1···pek kq2f1 1···q2fl l=2epe1 1···pek k(q2 1)f1···(q2 1)fl para algunos primos pi≡1(m´ od 4)yqj≡3(m´ od 4), donde los exponentes son enteros e≥0,ei>0 yfj>0. Ahora bien 2 =12+12∈S2, por el teorema anterior se tiene que pi∈S2y también que q2 j=q2 j+02∈S2. Por tanto nes producto de elementos de S2y por el lema 2.3.2 y por tanto n∈S2 (⇒)Sea n∈S2, y tomemos como hipotesis que n=x2+y2. Sea q cualquier número primo tal que q≡3(m´ od 4), sea qfla mayor potencia de qque divide a n(qf|n) y supongamos que fes impar. Sea del máximo común divisor de xey, es decir, x=ad yy=bd con mcd(x,y) = 1. Se tiene que n= (a2+b2)d2y por tanto nd−2=a2+b2. Si qe|d, entonces qf−2e|nd−2. Ahora bien f−2ees impar luego distinto de cero, así que q|nd−2=a2+b2y por tanto a2≡−b2(m´ od q). Pero bno puede ser divisible por q(ya que si así fuera, qdividiría a aybcontradiciendo m.c.d.(x,y) = 1), así que bes una unidad (m´ od q). Si c=b−1módulo q,bc ≡1(m´ od q). Entonces multiplicando por c2se tiene (ac)2≡−1(m´ od q). Pero esto es imposible para un qprimo tal que q≡3(m´ od 4)por el lema 2.3.3 luego ftiene que ser par. Sumas de cuadrados 2.4. Aritmética de los Enteros de Gauss 11 Ejemplo 2.3.2. El entero 60(= 22·3·5)no es suma de dos cuadrados ya que el exponente de 3 en la factorización es impar. Sin embargo, 180(= 22·32·5)si que es suma de dos cuadrados. Para encontrarlos, primero se expresa 5 como suma de dos cuadrados: 5=12+22. Al multiplicar por 22·32y se obtiene 180 =22·3·5= (2·3·2)2+(2·3·1)2=122+62. Ejemplo 2.3.3. El entero 221(= 13 ·17)es suma de dos cuadrados ya que 13 ≡17 ≡1(m´ od 4). Para encontrar estos cuadrados, se utiliza la demostración del Lema 2.3.2 sustituyendo 13 =32+22 y17 =42+12: 221 =st = (a1a2−b1b2)2+(a1b2+b1a2)2= (3·4−2·1)2+(3·1+2·4)2=102+112. Notar que la ecuación 2.3 puede dar diferentes expresiones, en este caso, 221 =142+52. De manera similar, se puede expresar 6409(= 221·29)repitiendo el proceso: 221 =102+112y 29 = 52+22, por tanto, 6409 = (10·5−11·2)2+(10·2+11·5)2=282+752. Corolario 2.3.1. Un número primo p es suma de dos cuadrados si y sólo si p =2ó p ≡1(m´ od 4). 2.4. Aritmética de los Enteros de Gauss En esta sección se hace un estudio mas profundo de los enteros de Gauss. Ya se había visto que Z[i]es un dominio de integridad al que se le ha dotado de una norma. El siguiene paso razonable es ver si se puede dividir y factorizar de la misma forma que con los números enteros. Se tiene que las unidades en Z[i](elementos invertibles, es decir, los α∈Z[i]tales que ∃β∈Z[i]y αβ =βα =1) tienen norma 1, de hecho, un entero de Gauss tiene norma 1 si y solo si es una unidad. Se demuestra de forma sencilla que las unidades de Z[i]son {±1,±i}. Dados z,w∈Z[i], se dice que z divide a w, o z|wsi z=sw para algún s∈Z[i]y dado un z∈Z[i]se recuerda que zque es irreducible en Z[i]si zno es una unidad y sus únicos divisores son {±1,±i,±z±iz} Dicho de otra forma, si sus únicos divisores son z,1 y sus asociados (w=uz con uunidad). No todos los números primos en Zson irreducibles en Z[i]; por ejemplo 2 es primo en Zy sin embargo no lo es en Z[i]ya que 2 = (1+i)(1−i). Se tienen los siguientes resultados: Lema 2.4.1. Si z |w en Z[i], entonces N(z)|N(w)en Z Demostración. Si z|w, entonces w=sz, tomando normas N(w) = N(sz) = N(s)N(z)y se tiene que N(z)|N(w). Este lema puede ser útil a la hora de determinar si un número es irreducible en Z[i], por ejemplo, z=4+ies irreducible ya que N(z) = 42+12=17 que es irreducible en Zy por tanto si w|zse tendrá que z=sw, aplicando normas N(z) = N(w)N(s) = 17 y como la norma es un entero positivo, las únicas opciones son N(w) = 1, N(s) = 17 o N(s) = 1, N(w) = 17. Por simetrá se puede tomar cualquiera de las dos opciones y se tiene que wes una unidad, luego s=w−1z, es decir, los únicos divisores de zson las unidades y asociados de z. Por tanto z=4+ies irreducible en Z[i]. Se demuestra a continuación que todo entero de Gauss se factoriza como producto de enteros de Gauss irreducibles. Teorema 2.4.2. Sea 06=z∈Z[i]y N(z)6=1, entonces ∃p1... pk∈Z[i]irreducibles tales que z = p1···pk. Autor: Antonio Pablo Lozano Vicente 18 Capítulo 3. Teorema de los cuatro cuadrados 3.2. Teorema de los cuatro cuadrados Como se ve a continuación existe una cierta analogía entre la demostración de este teorema y el teorema de Fermat. Se han ordenado los razonamientos de forma que este parecido sea más evidente. Lema 3.2.1. El conjunto S4, es multiplicativamente cerrado, es decir, si s,t∈S4, entonces st ∈S4 Demostración. Sea x1=a2 1+b2 1+c2 1+d2 1=||1·a1+i·b1+j·c1+k·d1||2=||q1||2yx2=a2 2+b2 2+ c2 2+d2 2=||1·a2+i·b2+j·c2+k·d2||2=||q2||2. Por la propiedad multiplicativa de la norma, se tiene que x1x2=||q1||2||q2||2=||q1q2||2 Por tanto se tiene: (a2 1+b2 1+c2 1+d2 1)(a2 2+b2 2+c2 2+d2 2) = (a1a2−b1b2−c1c2−d1d2)2 + (a1b2+b1a2+c1d2−d1c2)2 + (a1c2−b1d2+c1a2+d1b2)2 + (a1d2+b1c2−c1b2+d1a2)2(3.1) Observación 3.2.1. Aplicando inducción, se demuestra que el producto de cualquier numero finito de elementos de S4también está en S4. Observación 3.2.2. Si en 3.1 en vez de q =a·1+b·i+c·j+d·k se toma su conjugado se obtiene la siguiente identidad (a2 1+b2 1+c2 1+d2 1)(a2 2+b2 2+c2 2+d2 2) = (a1a2+b1b2+c1c2+d1d2)2 + (a1b2−b1a2−c1d2+d1c2)2 + (a1c2+b1d2−c1a2−d1b2)2 + (a1d2−b1c2+c1b2−d1a2)2(3.2) Esta última identidad se utiliza más adelante. Lema 3.2.2. Sea p un número primo, entonces, existen x,y enteros tales que p divide a x2+y2+1(la ecuación x2+y2≡−1(m´ od p)tiene solución). Además se pueden tomar x,y con x2+y2+1=mp tales que 0≤m<p. Demostración. Si p=2 es trivial. Sea pun primo impar. Sea Pel conjunto de todos los cuadrados módulo p. Notar que si se toman clases de equivalencia como en 2.1, es decir, con menor valor absoluto, los cuadrados módulo pserán {0,1,...,(p−1)/2}y por tanto hay (p+1)/2 elementos en P. Sea P0el conjunto de los números de la forma −1−xcon x∈P.P0también tiene (p+1)/2 elementos. Como hay pelementos distintos módulo p, se tiene que PyP0tienen algún elemento en común, lo que implica que x2+y2≡−1(m´ od p)tiene solución. Además, para esta pareja concreta se tiene: 0<1+x2+y2≤1+((p−1)/2)2+((p−1)/2)2≤p2/4+p2/4<p2 Y por tanto 0 <mp <p2. De otra forma Sumas de cuadrados 3.2. Teorema de los cuatro cuadrados 19 Demostración. Sea A={1+x2|x∈0,1,...,(p−1)/2}. No hay dos elementos de Acongruentes módulo p. En efecto si 1+x2≡1+x2 1(m´ od p), se tiene que pdivide a (x−x1)(x+x1). Se tiene por tanto que p|(x−x1)op|(x+x1)es decir, como x,x1∈{0,1,...,(p−1)/2}, se tiene que x+x1<p y solo puede ser x=x1. Luego, los restos al dividir cada uno de los (p+1)/2 elementos de Ppor p son distintos. De forma similar tomando B={−y2|y∈0,1,...,(p−1)/2}también dan restos diferentes al dividirlos por p. Estos conjuntos son disjuntos pues los elementos de Bson negativos y los de Ason mayores que 1. Se tiene que la unión de ambos conjuntos tiene p+1 elementos. Como sólo hay pposibles restos distintos, alguno de los restos es común en ambos conjuntos, es decir x2+1≡−y2(m´ od p). Además, para esta pareja concreta se tiene: 0<1+x2+y2≤1+((p−1)/2)2+((p−1)/2)2≤p2/4+p2/4<p2 Y por tanto 0 <mp <p2. Lema 3.2.3. Si p es un primo impar y m un entero positivo par tal que mp es suma de cuatro cuadrados, entonces (m/2)p es también suma de cuatro cuadrados. Demostración. Sean mypcomo en el enunciado y sea mp =a2+b2+c2+d2donde a,b,c,dson enteros. Como mes par, se da uno de los siguientes casos: 1. a,b,c,dson todos pares. 2. a,b,c,dson todos impares. 3. Dos de ellos son pares y otros dos impares. En cualquiera de los casos se tiene que a+b,a−b,c+dyc−dson pares. Por tanto: mp 2=a+b 22 +a−b 22 +c+d 22 +c−d 22 Y se tiene que (m/2)p∈S4 Teorema 3.2.4. Todo entero no negativo es suma de cuatro cuadrados. Demostración. Es claro que 0,1,2∈S4, luego por el Lema 3.2.1, es suficiente probar que todo primo impar pestá en S4. Sea pprimo entero impar, por el lema 3.2.2, para algún 0 <m<pse tiene mp =x2 1+x2 2+x2 3+x2 4(3.3) Se observa que si un número es suma de tres cuadrados también es suma de cuatro cuadrados (S3⊆S4). Sea m0el menor mque cumple (3,3). Por el lema 3.2.1, se puede suponer mimpar. Si m0=1 se tiene el el resultado. Supongamos 1 <m0<p. No todos los xjson divisibles por p, ya que si lo fueran se tendría m0p=p2(y2 1+y2 2+y2 3+y2 4), pero m0<p. Como m0≥3, se puede suponer por el algoritmo de la división xj=m0bj+yj,j=1,2,3,4. Donde |yi|<m0/2 y y2 1+y2 2+y2 3+y2 4>0. Además xj≡yj(m´ od m0). Por tanto 0<y2 1+y2 2+y2 3+y2 4<4(m0/2)2=m2 0 luego y2 1+y2 2+y2 3+y2 4≡x2 1+x2 2+x2 3+x2 4≡0(m´ od m0) Autor: Antonio Pablo Lozano Vicente 20 Capítulo 3. Teorema de los cuatro cuadrados Luego se tiene y2 1+y2 2+y2 3+y2 4=m0m1(3.4) con 0 <m1<m0. Multiplicando 3,3y3,4y aplicando la identidad 3.2, se tiene (x2 1+x2 2+x2 3+x2 4)(y2 1+y2 2+y2 3+y2 4) = (x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)2 + (x1y2−x2y1−x3y4+x4y3)2 + (x1y3+x2y4−x3y1−x4y2)2 + (x1y4−x2y3+x3y2−x4y1)2 =z2 1+z2 2+z2 3+z2 4=m2 0m1p Como xj≡yj(m´ od m0), se tiene z1=x1y1+x2y2+x31y3+x4y4≡x2 1+x2 2+x2 3+x2 4≡0(m´ od m0) z2=x1y2−x2y1−x3y4+y4x3≡x1y2−y2x1−x3y4+y4x3≡0(m´ od m0) y así con cada uno de los zi. Luego se puede dividir en ambos lados por m2 0quedando m1p= ( z1 m0)2+( z2 m0)2+( z3 m0)2+( z4 m0)2 Es decir, m1p∈S4con 0 <m1<m0, lo que contradice la minimalidad de m0y se tiene m0=1 lo que finaliza la demostración. La demostración de este teorema se basa en el método del descenso infinito al igual que la primera demostración del teorema de Fermat en la sección anterior. En esencia, ambas demostraciones son similares, basta recordar a grandes rasgos los pasos empleados en la del teorema de Fermat 1. S2es multiplicativamente cerrado. 2. Si pes un primo de la forma 4n+1pdivide a 1+x2para algún x, pudiendo elegir este xde forma que mp =x2+1 con 0 <m<p 3. Se toma el menor mpara el que x2+y2=mp, con pprimo y 1 <m<p, entonces encontrar x2 1+y2 2=m1p, con x1,y1enteros y 0 <m1<mcontradiciendo la minimalidad de m. Al igual que en el teorema de los dos cuadrados existe una demosración alternativa utilizando los enteros de Gauss, se puede dar una damostración de este teorema empleando los cuaternios de Hamilton. Esta demostración no ha sido incluida dada la limitada extensión para este trabajo pero se da una idea esquemática. Para tal demostración, se definen los cuaternios de Hurwitz (también llamados enteros de Hurwitz) como H1:={a+bi+c j+dk |a,b,c,d∈Zoa,b,c,d∈Z+1/2}que es un subanillo de los cuaternios de Hamilton. Se tiene que todo irreducible en H1es primo en H1y la demostración sigue el siguiente esquema: 1. S4es multiplicativamente cerrado. 2. Si pes un entero primo, pdivide a 1+x2+y2para algún x,y. 3. Dado p, se toman x,ytales que p|1+x2+y2= (1+xi +y j)(1−xi −y j)y se prueba que p-(1+xi +y j)yp-(1−xi −y j)luego pno es primo en H1. 4. Si pno es primo en H1se tiene que p∈S4. Una demostración completa se puede ver en Quaternions and the four square theorem de Jia Hong Ray Ng [Ji08]. Sumas de cuadrados Capítulo 4 Representaciones superiores Los teoremas sobre las sumas de dos y cuatro cuadrados, originaron diversas generalizaciones sobre estos. Algunas de estas generalizaciones surgieron antes de las demostraciones del teorema de Fermat y el de Lagarnge. Una de las preguntas que sugieren estos teoremas es cómo representar un número dado como suma de cuadrados y de cuantas formas puede hacerse. En 1834 Jacobi encontró el número exacto de formas en las que se puede expresar un número entero positivo ncomo suma de cuatro cuadrados. Este número es 8 veces la suma de los divisores de nsi nes impar y 24 veces la suma de los divisores impares de nsi nes par. Una de las generalizaciones es el teorema de los números poligonales de Fermat. Recordar que un número poligonal es aquel que puede ser representado como puntos dispuestos en forma de polígono regular, empezando por el 1. El teorema de los números poligonales, dice que todo número entero positivo puede ser expresando como suma de, como mucho, 3 números triangulares, 4 números cuadrados, 5 números pentagonales, etc. Gauss demostró el resultado para números triangulares en 1796 y anotó en su diario ‘EϒPHKA! num =4+4+4’conmemorando tal ocasión. El teorema de los números poligonales fué finalmente probado por Cauchy en 1813. Nathanson en 1987 da una demostración más corta basada en un lema probado por Cauchy que dice: Para números naturales impares aybtales que b2<4ay 3a<b2+2b+4 se pueden encontrar enteros no negativos s,t,uyvtales que a=s2+t2+u2+v2yb=s+t+u+v. Otra generalización es tomar combinaciones de cuadrados, es decir, buscar números expresables como x2+ay2donde aes un número dado y x,y∈Z. La ley de reciprocidad cuadrática de Gauss, responde parcialmente a este problema y conduce en último término, a desarrollar toda una nueva disciplina conocida como Teoría de cuerpos de clases. Del mismo modo, con la suma de cuatro cuadrados, se puede plantear para que a,b,c,dnúmeros naturales, la ecuación n=ax2 1+bx2 2+cx2 3+dx2 4, tiene solución para todo nsiendo x1,x2,x3,x4enteros. El teorema de los cuatro cuadrados es el caso a=b=c=d=1. La solución general de este problema fue dada por Ramanujan: Asumiendo que a≤b≤c≤dentonces hay exactamente 54 elecciones de a,b,c,dtal que la ecuación anterior puede resolverse en enteros x1,x2,x3,x4para todo n(en realidad Ramanujan dio una elección más, a=1,b=2,c=d=5, pero en este caso la ecuación no tiene solución para n=15). En los teoremas demostrados en este trabajo, se deja la posibilidad, de que en las representaciones de números como suma de cuadrados, alguno de los sumandos sea nulo. Encontrar descomposiciones en sumas de cuadrados tales que ningún sumando se anule, es un problema interesante pero escapa a los contenidos de este trabajo. Puede encontrarse un análisis de este problema en Representations of Integers as Sums of Squares de Emil Grosswald [Gros85]. Otra forma de generalizar estos teoremas consiste en buscar representaciones de números como potencias superiores, es decir, buscar números que se puedan expresar como sumas de potencias késimas. Este problema es conocido como el problema de Waring. 21 22 Capítulo 4. Representaciones superiores 4.1. El problema de Waring ‘Omnis integer numerus vel est cubus, vel e duobus, tribus, 4, 5, 6, 7, 8, vel novem cubis compositus, est etiam quadrato-quadratus vel e duobus, tribus &c. usque ad novemdecim compositus & sic deinceps.’ Meditationes Algebraicæ 1770, pp. 204-5(Edward Waring) Así enunció Waring, la conjetura que afirma que todo entero es expresable como suma de 9 cubos, 19 potencias cuartas y en general un número finito de potencias k-ésimas. Es decir, todo entero positivo puede expresarse como suma de a lo sumo spotencias k-ésimas positivas, siendo sdependiente de k (se entiende que kes un número entero no negativo). n=xk 1+...+xk s Se denota por g(k)al mínimo sque verifica la condición anterior. El teorema de Lagrange prueba esta conjetura para el caso k=2. No fue hasta 1909 cuando David Hilbert, resolvió el problema de la existencia de g(k)<∞, para todo k. La demostración se basa en la siguiente identidad: Lema 4.1.1. Dados k ≥1, n ≥1, sea N =2k+n−1 2k. Existen N números racionales λ1,...,λNy enteros a1i,...,ani, i =1,...,N tales que (x2 1+···+x2 n)k= N ∑ i=1 λi(a1ix1+···+anixn)2k para todo xientero. Aunque la conjetura quedaba demostrada, Hilbert no determinó la forma de calcular el valor numérico de g(k)para cualquier k. Se conocen algunos valores de estos números. Como ya se ha comentado el caso g(2) = 4, es el teorema de Lagrange. Otros valores conocidos son g(3) = 9, demostrado por Wieferich y Kempner entre 1909 y 1912. g(4) = 19, demostrado por Balasubramanian, Dress y Deshouillers en 1986. g(5) = 37, demostrado por Chen Jingrun en 1964. g(6) = 73, demostrado por Pillai en 1940. Como se puede ver, lo que conjeturó Waring en su día, resultó ser cierto. Es curioso el hecho de que g(6)se encontrara antes que g(5), y éste a su vez antes que g(4). Sin embargo, aunque hacen falta 9 cubos para expresar cualquier entero, únicamente son necesarios 9 cubos para dos números, el 23 y el 239, para el resto es suficiente con 8 sumandos. Por este curioso hecho, se generaliza algo más el problema de Waring. Se denota como G(k)al menor número de k-ésimas potencias, necesario para representar cualquier entero, salvo un número finito de ellos. Es inmediato que G(k)≤g(k). Aunque no se conoce ninguna fórmula para calcular estos números, si se pueden establecer cotas Teorema 4.1.2. Dado un entero positivo k se tiene g(k)≥b(3/2)kc+2k−2 donde bxces el mayor entero menor o igual que x. Demostración. Sea 3k=q2k+r, donde 1 ≤r<2kyq=b(3/2)kc, como el entero n=2kq−1<3k, solo puede ser representado por potencias k-éimas de 1 y 2, y el menor número de éstas es b(3/2)kc−1 potencias k-éimas de 2 y 2k−1 potencias k-éimas de 1 esto es, n= (q−1)2k+(2k−1)1k, así que se requieren 2k+q−2 potencias k-éimas. Sumas de cuadrados 4.2. Números Taxicab 23 Este resultado fue probado por Johann Albrecht Euler, hijo de Leonhard Euler. Si se toman los primeros valores conocidos de g(k)se observa que coincide con su cota superior. Por este motivo se cree que la cota da el valor exacto. De hecho se sabe que es así exceptuando un número finito de casos. Teorema 4.1.3. Si k >6y se cumple 3k−2k+2<(2k−1)b(3/2)kc(4.1) se tiene g(k) = b(3/2)kc+2k−2. Además, si no se cumple 4.1, definiendo N(k) = b(3/2)kc·b(4/3)kc+b(3/2)kc+b(4/3)kcse tiene    g(k) = b(3/2)kc+b(4/3)kc+2k−3 si N(k)>2k g(k) = b(3/2)kc+b(4/3)kc+2k−2 si N(k) = 2k En 1957 Mahler demostró, que si existen valores de kpara los cuales 4.1 es falsa, entonces sólo pueden ser un número finito. Posteriormente Stemmler (1964) verificó, en ordenador, que 4.1 se cumple para k≤200000. En 1990, Kubina y Wunderlich ya lo habían extendido a k≤471600000. Igualmente, también existe una acotación para los G(k). Se tiene que si k≥2, entonces se verifica la desigualdad G(k)≥k+1. Resultado probado por Maillet en 1908. Esto significa que existen números naturales arbitrariamente grandes que no son suma de k-éimas potencias. Así que para todo k≥2 se verifican las desigualdades k+1≤G(k)≤g(k). Para el caso de sumas de cuadrados se tiene por el teorema de Lagrange que g(2) = 4 y por tanto G(2)≤4. Ahora bien, como se ha comentado, los números de la forma n=4e(8k+7)no pueden expresarse como suma de tres cuadrados. Por tanto se tiene G(k) = 4 Para los cubos (caso k=3), no se conoce el valor exacto de G(3). En 1949, Yu V. Linnik, demostró que G(3)≤7. Aplicando el resultado de Maillet, se tiene que 4 ≤G(3)≤7, aunque los cálculos numéricos, parecen indicar que G(3) = 4. Igualmente se puede extender el problema de Waring permitiendo sumar y restar potencias késimas. Es decir un número npuede ser expresado como suma o diferencia de spotencias k-ésimas si n=±xk 1±···±xk s De forma similar a lo anterior, se denota por w(k)al mínimo sque verifica lo anterior para cualquier n. Igualmente, se define como W(k)al menor número de k-ésimas potencias, necesario para representar cualquier entero, salvo un número finito de ellos. El problema de determinar w(k)yW(k)se suele conocer como el problema ‘fácil’ de Waring, aunque en realidad es más dificil. Un desarrollo más amplio del problema de Waring se puede ver en Waring’s Problem: A Survey, de Vaughan y Wooley [VW02] 4.2. Números Taxicab El problema de los números taxicab, profundiza en el estudio de la suma de cubos. Da comienzo con una anécdota, bastante conocida, entre los matemáticos Hardy y Ramanujan. Srinivasa Ramanujan, nació en 1887 en Erode, India, en el seno de una familia de brahmanes pobre y ortodoxa. Ramanujan fue autodidacta de las matemáticas. Adquirió prácticamente la totalidad de su conocimiento sobre éstas, a través de los libros La Trigonometría plana de S. Looney, y Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics de S. Carr que contenían un listado de unos 6000 teoremas sin demostración. El 16 de enero de 1913, el matemático británico Godfrey Harold Hardy, recibe una carta de Ramanujan, un joven indio de 25 años. En esta carta, Ramanujan, explicaba su situación, admitiendo Autor: Antonio Pablo Lozano Vicente 24 Capítulo 4. Representaciones superiores que carecía de una formación universitaria en matemáticas, habiendo seguido una trayectoria propia. En esta carta se adjuntaban 120 fórmulas, alguna de las cuales desbordaban al propio Hardy, el cual comentó: ‘Forzoso es que sean verdaderas, porque si no lo fueran, nadie habría tenido la suficiente imaginación para inventarlas’. Hardy le invitó a trasladarse a Cambridge, a lo que Ramanujan en un principio se mostró reticente. Por fin, tras la intervención de su madre y de la diosa Namagiri, de la que Ramanujan afirmaba que le dictaba sus resultados en sueños, y de una beca de 250 libras, Ramanujan llega al Trinity College en la primavera de 1913. Durante su estancia en Cambridge, en plena guerra mundial, Ramanujan enfermó de tuberculosis, por lo que acabó ingresado en diversas ocasiones. En 1919 tras el fin de la contienda, y gravemente enfermo, decide regresar a la India. Morirá a los pocos meses. A pesar de ello, su trabajo con Hardy ha dejado una increíble producción de resultados matemáticos sorprendentes, en forma de ‘Cuadernos’. Algunos de ellos todavía están siendo estudiados. Una de las veces que Ramanujan fue ingresado, Hardy fue a visitarlo, y le llamó la atención el número del taxi, 1729, pues lo encontraba muy poco interesante. Debió de estar pensando en ello porque entró en la habitación del hospital en donde estaba Ramanujan tumbado en la cama y, con un ‘hola’ seco, expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, un número aburrido, agregando que esperaba que no fuese un mal presagio. ‘No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes.’ Hardy, a continuación, le preguntó si conocía la respuesta para las cuartas potencias. Ramanujan contestó, tras pensarlo un momento, que no podía ver la respuesta, pero que pensaba que debía ser un número extremadamente grande. De hecho, la respuesta, obtenida mediante cálculos con ordenador, es 635318657 =1344+1334=1584+594. De esta anécdota surgen los llamados números taxicab. Se define el enésimo número taxicab (Ta(n)) como el menor entero que se puede expresar como suma de dos cubos de nformas distintas. Para n=1 es sencillo comprobar que Ta(1) = 2=13+13. Otros valores son Ta(2) = 1729 =13+123=93+103conocido como el número Hardy-Ramanujan, fue publicado por primera vez por Bernard Frènicle de Bessy en 1657. Ta(3) = 87539319 =1673+4363=2283+4233=2553+4143obtenido por John Leech en 1967 mediante cálculos con supercomputadoras. Se conocen 6 números taxicab, siendo Ta(6) = 24153319581254312065344 hallado por Uwe Hollerbach en 2008. Para el resto, Christian Boyer en 2006 encontró cotas superiores para Ta(7),...,Ta(12). Incluyendo alguna restricción más, se encuentran los llamados números ‘cubefree taxicab’ T(n) siendo éste, el menor número que se puede descomponer como nsumas distintas de la forma T(n) = x3+y3siendo xeycoprimos. Se tiene que Ta(1) = T(1)yTa(2) = T(2). Otros valores conocidos T(3) = 15170835645 hallado por Paul Vojta en 1981. T(4) = 1801049058342701083 hallado por Stuart Gascoigne e independientemente por Duncan Moore en 2003. Se puede generalizar los números taxicab permitiendo mayor número de sumandos y potencias mayores. Así, se denota como Taxicab(k,j,n)al menor entero positivo que puede expresarse como la suma de jpotencias positivas de kde nformas diferentes. Los números taxicab son el caso k=3 y j=2. Por ahora no se conoce nigún Taxicab(5,2,n)para n≥2. Así mismo, también pueden generalizarse los números taxicab, permitiendo sumas y restas de potencias cúbicas. A éstos se los conoce como números cabtaxi, siendo Cabtaxi(n)el menor entero positivo que puede descomponerse como suma o resta de dos potencias cúbicas de nformas. Para estos números se conocen hasta n=10. Cabtaxi(5),Cabtaxi(6)yCabtaxi(7)fueron hallados por Randall L. Rathbun; Cabtaxi(8)hallado por Daniel J. Bernstein; Cabtaxi(9)hallado por Duncan Sumas de cuadrados 4.2. Números Taxicab 25 Moore. Para Cabtaxi(10)Christian Boyer encontró una cota superior en 2006 y ésta fue verifcada como Cabtaxi(10) por Uwe Hollerbach en mayo de 2008. Como se observa existen infinidad de maneras de abordar y generalizar este problema. Las generalizaciones proporcionan una visión más amplia de resultados anteriores e incluso en ocasiones permiten demostrar resultados con mayores restricciones. Autor: Antonio Pablo Lozano Vicente Bibliografía [AZ09] M. Aigner y G.M. Ziegler. 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