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Estudio numérico de fenómenos de fricción en la nanoescala Disipación de energía en el fenómeno stick-slip en el marco del modelo Prandtl-Tomlinson AUTOR LUIS VALIÑO BORAU DIRECTOR D R. JUAN JOSÉ MAZO TORRES UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA MATERIA CONDENSADA a Índice general 1. INTRODUCCIÓN 1 1.1. ModelodePrandtl-Tomlinson....................................... 1 2. OBJETIVOS 4 3. PROGRAMA Y COMPROBACIÓN 5 4. RESULTADOS 7 4.1. Cualitativos................................................. 7 4.2. Cuantitativos................................................ 15 5. CONCLUSIONES 17 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN El estudio de la fricción ha estado siempre justicado, desde un punto de vista tecnológico, por su importancia en el funcionamiento de cualquier sistema mecánico. Debido a esto, las leyes de la fricción a escala macroscópica están muy claras y se han podido implementar métodos para controlarlas de manera más o menos eciente a través de los lubricantes. Pero con el paso del tiempo se ha descubierto su inuencia crucial en una gran cantidad de procesos de diferentes campos y a diferentes escalas, desde los terremotos [10] hasta los motores moleculares [2] y otros procesos a escala nanométrica. En el caso de los procesos a escalas tan pequeñas, el funcionamiento de la fricción no se comprende realmente y para obtener una descripción teórica satisfactoria parece necesario tener en cuenta todo un conjunto de fenómenos de formación y ruptura de enlaces bajo condiciones rápidamente cambiantes. Dado que hasta hace poco tiempo no existía ningún modo de obtener datos empíricos a escala microscópica, cualquier estudio de la fricción a estas escalas eran meras conjeturas, pero gracias al desarrollo de microscopios tipo AFM (microscopio de fuerza atómica) los datos experimentales sobre nanofricción son cada vez más abundantes y el número de estudios teóricos se ha disparado. Para abordar el problema desde un punto de vista teórico existen varias alternativas. Por un lado es posible simular el movimiento de cada molécula implicada en el proceso, modelando las interacciones entre distintas moléculas mediante potenciales empíricos, este método se conoce como MD (molecular dynamics). El MD, aunque extremadamente preciso, requiere de un enorme poder computacional debido al gran número de moléculas implicadas en el proceso, de forma que no es factible (por ahora) su utilización para supercies de contacto o tiempos no muy pequeños. La alternativa pasa por reducir el número de grados de libertad mediante modelos mesoscópicos, que incluyan los principales parámetros asociados al problema pero que sean lo sucientemente ligeros como para poderse utilizar de forma práctica. Dentro de este último grupo destaca el modelo de Prandtl [9]-Tomlinson [12] que es capaz de predecir gran cantidad de fenómenos que se observan experimentalmente y que es el utilizado en este trabajo. 1.1. Modelo de Prandtl-Tomlinson En su versión más simple este modelo describe el comportamiento de un átomo o molécula al arrastrarlo sobre una supercie sólida, que es básicamente el fenómeno que se produce en los microscopios AFM. La punta del microscopio se modela como una partícula puntual de masa m unida a un muelle de constante efectiva K , el cual se desplaza a velocidad constante v . El muelle se utiliza para reproducir las propiedades elásticas la punta del microscopio. La interacción punta-sustrato se modela mediante un potencial periódico de amplitud Uo y periodicidad a , de forma que el potencial total que sufre la partícula es: U(x) = −Uo·cos 2πx a+K 2(x−vt)2 (1.1) donde x es la posición de la partícula y t es el tiempo. Las pérdidas de energía debidas a la formación y destrucción de enlaces y a la interacción con fonones se agrupan en un término de fuerza viscosa −mγ ˙x , con γ el coeciente de damping . La temperatura se modela utilizando una fuerza aleatoria tipo Langevin. Sumando todo, la ecuación que describe el comportamiento del sistema es: md2x dt2+mγ dx dt +∂U (x, t) ∂x =ξ(t) (1.2) 1 −20 0 20 40 60 80 100 −20 −10 0 10 20 U(x,t) (adimensional) posición (adimensional) −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Fuerza (adimensional) tiempo (periodos) Figura 1.1: En la imagen de la izquierda se observa la forma del potencial total que sufre la partícula para diferentes valores de η . Vemos como el sistema pasa de tener un solo mínimo a tener 4. Los valores de η para los que se producen estas transiciones son 1, 4.6, 7.79, 10.95 [11]. En la otra imagen vemos la relación entre la fuerza (del muelle) y el tiempo para una simulación del modelo de Prandtl-Tomlinson con su característica forma en dientes de sierra . Se produce un stick-slip en cada periodo. Los máximos en la fuerza se producen justo antes del salto de la punta al siguiente mínimo. donde ξ(t) es un ruido aleatorio que cumple hξ(t)i= 0 y hξ(t)ξ(t0)i= 2γmkBTδ(t−t0) . Una adimensionalización de esta ecuación lleva a: ¨z+γ0˙z+η·sen (z)+(z−v0τ) = ξ0(τ) (1.3) en este caso z es la posición adimensional y τ el tiempo adimensional. De aquí deducimos que realmente el comportamiento del sistema depende de tan solo 4 parámetros: η , v0 , γ0 y T0 . El primero de ellos es el más importante y da una idea de la proporción entre el potencial del muelle y el del sustrato, viene denido por: η=4π2·Uo K·a2 (1.4) Los dos siguientes son resultado de la adimensionalización de γ y v : γ0=γ·rm Kv0=2πv a·rm K (1.5) Y la adimensionalización de la temperatura es: kBT0=4π2·kBT K·a2 (1.6) Según el valor de η el potencial tendrá 1, 2, 3 o más mínimos (ver [gura 1.1]), deniendo el movimiento de la punta, que será continuo cuando solo hay un mínimo y de tipo stick-slip en el resto de casos. El stick-slip consiste en el movimiento intermitente de la punta, que queda atrapada en un mínimo de potencial, acumula energía por la elongación del muelle y luego salta al siguiente mínimo cuando esta energía alcanza el valor suciente como para superar el pozo. Según el sistema esté sobreamortiguado o subamortiguado el salto se realizará al mínimo más cercano o a otro, incluso podrían producirse saltos hacia atrás. La forma más típica de reconocer el stick-slip es en la gráca fuerza de rozamiento (fuerza sobre el muelle) frente al tiempo (o posición del microscopio, no de la punta) [gura 1.1], lo interesante es que se corresponde con lo observado experimentalmente (por ejemplo, [3]). En cuanto a la velocidad, se puede observar una dependencia logarítmica de esta con la fuerza de rozamiento (fuerza del muelle) para temperaturas distintas de cero [5], en cualquier caso no será tratada en este trabajo. El modelo predice que la fuerza de rozamiento varía en función de la temperatura, llegando a ser muy baja para temperaturas altas en lo que se conoce como régimen de superlubricidad . A bajas temperaturas, el efecto de la fuerza aleatoria es el de una reducción efectiva de la altura de las barreras de potencial, ya que permite a la punta saltar antes de lo que lo haría a temperatura cero. En cambio a altas temperaturas la punta tiene tanta energía que puede saltar cualquier barrera sin problemas y se mueve como si no existiese el potencial. Aunque dependiendo de los parámetros, el comportamiento del sistema puede ser más complejo [14]. Más información sobre el modelo en [13]. Aunque el modelo de Prandtl-Tomlinson ha sido estudiado de forma intensiva, todavía quedan algunos aspectos por explorar, entre ellos el de la disipación de energía. ¾Implica necesariamente una mayor fuerza de rozamiento 2 una mayor disipación de energía?, ¾en qué momento del proceso se produce mayor disipación?, ¾cómo depende la disipación de la temperatura?, ¾hay alguna forma de reducirla de forma efectiva? Estas son algunas de las preguntas que tratarán de contestarse en este trabajo. 3 Capítulo 2 OBJETIVOS Los objetivos de este trabajo se pueden dividir en tres partes: Construcción de un programa capaz de simular el modelo de Prandtl-Tomlinson con temperatura y oscilaciones y comprobación del correcto funcionamiento del mismo. Obtención de grácas que permitan explicar de modo cualitativo el proceso de disipación de energía, en qué momento tiene lugar y cómo puede modicarse. Para llevar a cabo este punto se realizarán simulaciones para observar si la disipación tiene lugar de forma continua o discontinua y si es de forma discontinua se estudiará la distribución exacta. Se considerarán varias posibilidades para modicar el comportamiento de la disipación; lo primero que se hará es comparar los resultados arrojados por las simulaciones para distintas temperaturas, después se hará lo mismo para distintas amplitudes de oscilación, considerando los dos tipos principales de oscilaciones que existen: out-of-plane e in-plane . Obtención de resultados cuantitativos y comparativa entre fuerza de rozamiento y disipación en distintas condiciones. Este punto consistirá principalmente en la simulación repetida del sistema bajo las mismas condiciones que en el punto anterior, de forma que puedan calcularse resultados medios que incluyan la temperatura, pero excluyan, en la manera de lo posible, cualquier efecto extraordinario asociado a la estocasticidad de la misma. Se obtendrán resultados para la fuerza media, la fuerza máxima y la disipación y se intentará explicar el comportamiento observado. Para ello se utilizarán el concepto de reducción efectiva del parámetro η por oscilaciones y el de superlubricidad . 4 Capítulo 3 PROGRAMA Y COMPROBACIÓN Sin duda una parte esencial de cualquier trabajo que implique la simulación de un sistema es el programa, en este caso el código puede encontrarse en el ANEXO A. El núcleo del programa es un algoritmo de verlet de orden 2, modicado de tal forma que incluya la temperatura. Antes de incluir en el programa las modicaciones necesarias para calcular la disipación de energía, era necesaria la comprobación de que el núcleo del programa funcionaba correctamente, para ello se compararon los resultados obtenidos para la fuerza de rozamiento media en función del parámetro η a temperatura cero [gura 2], con la predicción teórica (anexo de [6]): hFi=η−π+4 3rπ η−1 2η+2 15 π η3/2 (3.1) Por otro lado se comprobó que las simulaciones reproducían la relación fuerza de rozamiento media frente a temperatura que se ha explicado en la introducción, es decir, la fuerza decrece con la temperatura hasta llegar a un valor muy cercano a cero a temperaturas altas [gura 3.1]. Una vez se sabe que el núcleo del programa funciona correctamente, pasamos a incluir el cálculo de la magnitud central del trabajo, la energía disipada. Para contextualizarlo, conviene obtener la ecuación del balance energético, que obtendremos partiendo de la ecuación en fuerzas. Por tanto partimos de la ecuación: m¨x+mγ ˙x+2π aUo·sen 2πx a+K(x−vt) = ξ(t) (3.2) Para obtener la ecuación en energías, multiplicamos por la velocidad e integramos con respecto al tiempo: ˆt2 t1 m¨x˙x·dt +ˆt2 t1 mγ ˙x·˙x·dt +ˆt2 t1 2π aUo·sen 2πx a˙x·dt +ˆt2 t1 K(x−vt)·˙x·dt =ˆt2 t1 ξ(t)·˙x·dt (3.3) Donde t1 y t2 son dos tiempos cualesquiera durante la evolución del sistema. Hay que tener en cuenta que, dado que estamos moviendo uno de los extremos del muelle con velocidad constante, estamos proporcionando energía al sistema. Por tanto podemos dividir el término del muelle en dos términos distintos, uno asocidado únicamente a la energía potencial del muelle y otro únicamente a la energía proporcionada al sistema al mover uno de los extremos del mismo. El primer término se obtiene como: ˆt2 t1 d dt K 2(x−vt)2dt =ˆt2 t1 K(x−vt) ( ˙x−v)dt (3.4) Y el segundo es la diferencia entre el término total y este, siendo por tanto: ˆt2 t1 K(x−vt)·˙x·dt −ˆt2 t1 K(x−vt) ( ˙x−v)dt =−ˆt2 t1 Kv (x−vt)dt (3.5) Así que integrando donde se puede, la ecuación del balance energético queda: 1 2m˙x2 t2 t1 +ˆt2 t1 mγ ˙x2·dt −Uo·cos 2πx a t2 t1 +1 2K·(x−vt)2 t2 t1 =ˆt2 t1 ξ(t)·˙x·dt +ˆt2 t1 Kv (x−vt)dt (3.6) ⇒∆EC+ED+ ∆EP−S+ ∆EP−M=ET+EI−M (3.7) 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 10 Fuerza media (adimensional) η 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Fuerza media (adimensional) Temperatura (adimensional) Figura 3.1: En la gráca de la izquierda se puede ver el ajuste de los datos obtenidos en la simulación respecto a la predicción teórica [eq. 3.1] para η >> 1 . Efectivamente se ajustan a la perfección para el rango de valores en el que la predicción teórica es válida. Ambos ejes están en unidades adimensionales. En la segunda gráca se presentan los valores obtenidos para la fuerza media frente a la temperatura, ambos ejes en unidades adimensionales. Se observa la dependencia esperada de acuerdo a, por ejemplo, [13]. Donde EC es la energía cinética de la punta, ED es la energía dispada, EP−S es la energía potencial asociada a la interacción punta-sustrato, EP−M es la energía potencial del muelle, ET la energía térmica que se introduce en el sistema y EI−M es el trabajo realizado para arrastrar el cantilever por la supercie. Otra parte importante que hay que incluir en el programa son las oscilaciones. Como se muestra en el capítulo 5 de [4], actuar sobre la punta del microscopio mediante oscilaciones, es un método ecaz para reducir la fuerza de rozamiento que esta sufre al desplazarse sobre el sustrato. Y de nuevo el modelo de Prandtl-Tomlinson puede reproducir este fenómeno en sus distintas vertientes. Para ello las modicaciones que hay que hacerle al programa son sencillas, aunque diferentes según consideremos oscilaciones in-plane (se hace oscilar la punta sobre el plano del sustrato) o out-of-plane (se hace oscilar la punta en dirección perpendicular al plano del sustrato). En el primer caso se modica el término de la fuerza del muelle (lo equivalente a mover el microscopio hacia delante y hacia atrás), en el segundo caso se modica el término del potencial (lo equivalente a mover el sustrato hacia arriba y hacia abajo): K(x−vt)−→ K(x−vt −a·βsen (2πft)) (3.8) Uo·sen 2πx a−→ Uo·sen 2πx a(1 + αsen (2πft)) (3.9) Siendo f la frecuencia de oscilación y α y β las amplitudes de oscilación. 6 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 5e−005 0.005 0.5 Fuerza media (adimensional) Frecuencia (adimensional) 0 5 10 15 20 25 30 35 -4e-005 0 4e-005 Potencia tiempo (periodos) β=0 β=0.2 β=0.4 β=0.6 β=0.8 Figura 4.10: En la gura de la iquierda vemos la dependencia de la fuerza de rozamiento media frente a la frecuencia de oscilación (ambas magnitudes adimensionales) para η= 7 y β= 0,3 . El mínimo se encuentra aproximadamente en f= 0,0035 , que es el valor que se utilizará en el resto de simulaciones. En la gura de la derecha se puede observar la dependencia del calor disipado por unidad de tiempo frente al tiempo para diferentes valores de la amplitud de oscilación del potencial ( β ). De nuevo el tiempo está expresado en periodos adimensionales y el calor disipado por unidad de tiempo en unidades adimensionales de potencia. Los parámetros adimensionales utilizados son γ0= 2 , ηP T = 7 , v0= 10−4 y KT0= 0 . La disipación es igual en todos los casos. Por otro lado tenemos las oscilaciones in-plane , es decir, oscilaciones del extremo del muelle en el que no está la punta, que en un microscopio AFM se correspondería con el cantilever. El efecto que tienen estas oscilaciones es parecido al que tienen las oscilaciones out-of-plane pero por razones completamente distintas. Imaginemos la punta del microscopio en un mínimo de potencial, las oscilaciones harán variar la elongación del muelle, reduciendo y luego aumentando la fuerza sobre la punta. Cuando debido a las oscilaciones la fuerza alcance el valor suciente para saltar, la punta pasará al siguiente mínimo, pero la elongación media del muelle será menor que si no hubiese oscilaciones, ya que el salto se ha producido en un máximo de elongación. De esta forma la fuerza media sobre la punta se reduce ([6]), pero veremos en las grácas [gura 4.11] y [gura 4.10] como las oscilaciones no tienen efecto sobre la disipación, ya que la punta requiere la misma fuerza y por tanto la misma energía para saltar que sin oscilaciones. En este caso para hacernos una idea de la magnitud de la amplitud de oscilación β , nos jamos en que va multiplicada por a en la ecuación, de forma que un valor de β= 1 conlleva una oscilación de un periodo interatómico de amplitud. De nuevo buscamos la frecuencia para la cual los efectos de las oscilaciones son más evidentes, de acuerdo a lo observado en [gura 4.10]. Las oscilaciones in-plane también pueden considerarse de acuerdo a [6] como una reducción efectiva del parámetro η : ηeff =η−2πβ (4.2) Lo que vemos en estas grácas es que esto no es cierto para la disipación, ya que esta es exactamente igual para valores altos de β que para valores bajos. 13 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -4e-005 0 4e-005 Potencia tiempo (periodos) β=0 β=0.2 β=0.4 β=0.6 β=0.8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.004 0 0.004 Potencia tiempo (periodos) β=0 β=0.2 β=0.4 β=0.6 β=0.8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -4e-005 0 4e-005 Potencia tiempo (periodos) β=0 β=0.2 β=0.4 β=0.6 β=0.8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -0.004 0 0.004 Potencia tiempo (periodos) β=0 β=0.2 β=0.4 β=0.6 β=0.8 0 10 20 30 40 50 60 -4e-005 0 4e-005 Potencia tiempo (periodos) β=0 β=0.2 β=0.4 β=0.6 0 10 20 30 40 50 60 -0.004 0 0.004 Potencia tiempo (periodos) β=0 β=0.2 β=0.4 β=0.6 0 10 20 30 40 50 60 70 -4e-005 0 4e-005 Potencia tiempo (periodos) β=0 β=0.2 β=0.4 β=0.6 0 10 20 30 40 50 60 70 -0.004 0 0.004 Potencia tiempo (periodos) β=0 β=0.2 β=0.4 β=0.6 Figura 4.11: En estas grácas se presenta el calor disipado por unidad de tiempo frente al tiempo para diferentes valores de la amplitud de oscilación del potencial ( β ). De nuevo el tiempo está expresado en periodos adimensionales y el calor disipado por unidad de tiempo en unidades adimensionales de potencia. Los parámetros adimensionales utilizados son γ0= 2 , ηP T = 7 , v0= 10−4 y KT0= 0.05,0.1,0.5 y 1 . Como esperábamos en ningún caso (excepto a KT = 1 ) la disipación depende de la amplitud de oscilación, ni en la disipación en los picos, ni en el fondo térmico. La diferencia de altura en los picos que se observa a temperatura KT = 1 se comenta en el siguiente apartado. 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Energía (eV) α 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fuerza máxima (nN) α 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fuerza media (nN) α T=0 K T=21 K T=41 K T=207 K T=414 K 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 100 200 300 400 Energía (eV) Temperatura (Kelvin) 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0 100 200 300 400 Fuerza máxima (nN) Temperatura (Kelvin) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 100 200 300 400 Fuerza media (nN) Temperatura (Kelvin) α=0 α=0.2 α=0.4 α=0.6 α=0.8 α=1 Figura 4.12: Grácas con oscilaciones out-of-plane . En la primera la se presentan las dependencias de la energía disipada, fuerza máxima y fuerza media en función de la amplitud de oscilación. En la segunda la se presentan las dependencias en función de la temperatura, los datos son los mismos representados de dos formas distintas. Cada la comparte la misma leyenda. Hay puntos para los que hay datos para la fuerza y no para la energía dispada en el slip, esto es así porque bajo oscilaciones out-of-plane de suciente amplitud, el sistema es capaz de saltar hacia delante y hacia atrás debido al efecto de la temperatura sobre un potencial efectivo de baja altura y por lo tanto para estos valores no existe un solo pico de disipación, esto es fácil de ver para valores de α= 1 , que conllevan un potencial efectivo llano. Los valores de T y α para los que se simula se corresponden con los utilizados en el apartado de resultados cualitativos. 4.2. Cuantitativos Una vez conocemos cómo se comporta el sistema de forma cualitativa, parece necesario ir un paso más allá y obtener resultados cuantitativos para el valor de la disipación. En este apartado se presentarán los datos obtenidos a partir de las simulaciones, para fuerza media y máxima así como para energía disipada en el slip. Se han realizado todas las simulaciones con los parámetros adimensionales γ0= 2 , ηP T = 7 y v0= 10−4 , que pueden asociarse al set de parámetros típico en experimentos y desarrollos teóricos ([14], [7], [6]) a= 0,246 nm , K= 3,73 N/m , Uo= 0,25 eV y m= 2 ·10−12 Kg , para la velocidad se usa un valor v= 5,4nm/s . En el apartado anterior se han mostrado las grácas de las cuales se han obtenido los valores adimensionales para las frecuencias a las cuales se han realizado las simulaciones, los valores obtenidos han sido muy cercanos a f= 0,0035 para ambos tipos de oscilaciones, esta frecuencia adimensional se corresponde con una frecuencia ν= 4,8KHz . En este caso la variable que utilizaremos para cuanticar la disipación no será la potencia disipada, sino la energía dispada en el slip. Para ello necesitamos saber cuánto tiempo dura el slip, lo cual es muy sencillo ya que al menos para los valores de los parámetros utilizados siempre dura prácticamente lo mismo, 1·10−4 periodos de stick-slip (lo que da una idea de lo poco que dura en comparación con el stick) o 4,6·10−6s . Este valor se obtiene independientemente de si se aplican o no oscilaciones así como de la temperatura. Puesto que queremos comparar los resultados a distintas temperaturas, debemos restar el fondo térmico de disipación no asociada al slip, que se obtiene simplemente como KT 0·γ0·t0 que es el producto del tiempo que dura el slip por la potencia térmica suministrada a la partícula por la temperatura. En cualquier caso, debido a que este cálculo está pensado para sistemas en equilibrio y durante el slip el sistema no lo está, la gráca que muestra la dependencia de la energía disipada con la temperatura no pretende ser del todo exacta. Las grácas que muestran la dependencia de la fuerza de rozamiento media [gura 4.12] presentan una forma similar a la que podemos ver en [6], es decir, se aprecia una reducción del rozamiento con la temperatura y la amplitud de oscilación; en cambio la fuerza máxima decrece con la amplitud de oscilación y apenas varía con la temperatura. Esto tiene sentido considerando que el aumento de α permite que la punta salte antes, de forma que la fuerza sobre el muelle ha de ser por fuerza menor y por tanto fuerza máxima y fuerza media disminuyen con α . Sin embargo, aunque la temperatura también hace que la punta salte antes, puesto que puede empujarla 15 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Energía (eV) β 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fuerza máxima (nN) β 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fuerza media (nN) β T=0 K T=21 K T=41 K T=207 K T=414 K 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 0 100 200 300 400 Energía (eV) Temperatura (Kelvin) 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 0 100 200 300 400 Fuerza máxima (nN) Temperatura (Kelvin) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 100 200 300 400 Fuerza media (nN) Temperatura (Kelvin) β=0 β=0.2 β=0.4 β=0.6 β=0.8 β=1 Figura 4.13: Grácas con oscilaciones in-plane . En la primera la se presentan las dependencias de la energía disipada, fuerza máxima y fuerza media en función de la amplitud de oscilación. En la segunda la se presentan las dependencias en función de la temperatura, los datos son los mismos representados de dos formas distintas. Cada la comparte la misma leyenda. Igual que sucedía con las oscilaciones out-of-plane , hay puntos para los que no se presentan los datos para la energía disipada en el slip debido a que no hay un solo pico de disipación diferenciable. en dirección contraria con la misma probabilidad, al nal la fuerza máxima permanece más o menos constante; pero como el valor máximo de la fuerza se da durante menos tiempo, la fuerza media disminuye. El aumento en la fuerza máxima para valores altos de la temperatura y de la amplitud de oscilación, se puede explicar por la transición progresiva que sufre el sistema hacia un régimen de termolubricidad ( superlubricidad por temperatura). Cuando el sistema se encuentra en este régimen, un aumento en T o α , provocará que la punta se mueva con mayor libertad, de forma que los efectos térmicos pueden llevarla más lejos y por tanto modicar más la longitud del muelle y con ella la fuerza máxima. Pero la magnitud principal bajo estudio es la disipación en el slip, que como podemos ver crece con la temperatura y decrece con la amplitud de oscilación, a pesar de que le hemos restado la energía aportada por el fondo térmico. Las razones detrás de la dependencia con la temperatura no están claras, lo que sabemos es que no puede deberse a la fuerza máxima ya que esta permanece más o menos constante; quizás se deba a la fórmula utilizada para el cálculo del fondo térmico. Por otro lado el efecto de la amplitud de oscilación es evidente, ya que permite saltar a la punta con menos energía. Parece necesario notar como para la curva de disipación con α= 0 , se produce una disminución de la disipación para las temperaturas de 41 K y 207 K frente a la observada a temperatura cero o a temperaturas más altas. En cuanto a los efectos de las oscilaciones in-plane , vemos como la fuerza media decrece tanto con la temperatura como con la amplitud de oscilación, de acuerdo a lo esperado [6]. La dependencia de la fuerza máxima con la temperatura es parecida a la vista para oscilaciones out-of-plane , lo que se explica por los mismos motivos. Pero la dependencia con la amplitud de oscilación β es muy diferente; la fuerza máxima es la misma independientemente de β , excepto para valores altos de T , para los cuales aumenta. El hecho de que la fuerza máxima permanezca constante se ajusta perfectamente a lo esperado, ya que este tipo de oscilaciones no reducen las barreras de potencial que debe superar la punta. El comportamiento de la energía disipada en el slip es en este caso bastante interesante. Por un lado comprobamos que en general aumenta con la temperatura igual que ocurre para oscilaciones out-of-plane . Además vemos como para temperaturas bajas la disipación no depende en absoluto de la amplitud de oscilación, tal y como preveíamos; esto está en perfecta consonancia con lo observado en la fuerza máxima; como esta permanece constante, la energía que necesita la punta para saltar es la misma. Pero vemos como para temperaturas de 414 K y 207 K , tanto la disipación como la fuerza máxima aumentan con la amplitud de oscilación, sin embargo en las simulaciones se observa como el sistema sigue teniendo un slip denido, de forma que no puede asociarse a ningún efecto de superlubricidad. 16 Capítulo 5 CONCLUSIONES En el proceso de stick-slip, la disipación de energía sufre un pico en el momento del slip, lo que puede conllevar un brusco aumento de la temperatura local en el sistema y provocar porcesos de abrasión, deformación, desgaste e incluso facilitar la interacción química entre supercies; de ahí la importancia de entender y controlar los procesos de fricción a escala atómica, marco conceptual en el que se sitúa el trabajo realizado. Aunque interesante, la falta de resultados experimentales con los que comparar los datos obtenidos no permite sacar conclusiones denitivas sobre este tema. En cualquier caso se ha comprobado como de acuerdo al modelo de Prandtl-Tomlinson, el efecto de la temperatura es siempre el de aumentar la energía en el slip, incluso cuando descontamos el efecto del fondo térmico. Cabe destacar que cuando no hay oscilaciones de ningún tipo se produce una excepción, a temperaturas de 41 K y 207 K vemos menor disipación (una vez restado el fondo térmico) que a temperatura cero o a temperaturas más altas. También se puede observar una dependencia interesante de la disipación y la fuerza máxima en las oscilaciones in-plane para temperaturas de 207 K y 414 K , ya que ambas crecen con la amplitud de las oscilaciones. Además las grácas aquí presentadas permiten apreciar claramente las diferencias entre los dos tipos de oscilaciones. Tanto la actuación out-of-plane como la in-plane producen una disminución de la fuerza de fricción media. Sin embargo el mecanismo de actuación en ambos casos es muy distinto, mientras que el primero lleva asociado una dismunución de la fuerza de fricción máxima y por tanto una disminución de la energía disipada en el slip; el caso de la actuación in-plane se muestra diferente: la fuerza de fricción máxima permanece constante y la energía disipada en el slip no cambia. Por tanto el primer ejemplo puede proponerse como esquema para reducir la fricción a nivel atómico, mientras que el segundo no resultaría efectivo; de hecho podría llegar a ser contraproducente, atendiendo a las dependencias de la energía disipada y la fuerza máxima con la amplitud de oscilación β a temperaturas 414 K y 207 K [gura 4.13]. 17 ANEXO A Puesto que durante la realización del trabajo ha sido necesario calcular una gran cantidad de magnitudes bajo muy diferentes condiciones, en este anexo solo se muestra el programa más sencillo que incluye el núcleo común de todos los programas. El programa es: 18 19 Y el núcleo que comparten todos los programas (que se explicará brevemente): 20 Las variables x , t y v son posición, tiempo y velocidad respectivamente. Los parámetros k1 , k2 , g1 y g2 son los auxiliares necesarios para simular la ecuación de orden 2 con temperatura. Tanto Z1 como Z2 son números aleatorios con distribución gaussiana obtenidos a partir del algoritmo de Box-Muller. raizD es el parámetro directamente proporcional a la temperatura, utilizado para jar la anchura de la distribución de Z1 y Z2 , es decir, a mayor temperatura mayor será raizD y por tanto más variarán velocidad y posición. La función force calcula la fuerza sobre la punta excluyendo la temperatura de acuerdo a la expresión: ¨x=η·sen (x)−(x−v0τ)−γ0˙x Además V tilde se corresponde con la velocidad adimensional de la punta y Xc con la posición del cantilever. Por último el término Cin´etico se corresponde con el valor de la variación de la energía cinética durante un diferencial de tiempo dt . 21 Bibliografía [1] S. Maier O. Pfeier A. Barato R. Bennewitz E. Meyer A. Socoliuc, E. Gnecco. Atomic-scale control of friction by actuation of nanometer-sized contacts. Science , 313, 2006. [2] V. Bormuth. Protein friction limits diusive and directed movements of kinesin motors on microtubules. Science , 325:870873, 2009. [3] R.W. Carpick I. Szlufarska, M. Chandross. Recent advances in single-asperity nanotribology. Journal of Physics D: Applied Physics , 2008. [4] S. Maier. Contact Dynamics from the Atomic Scale to Nanostructured Surfaces . PhD thesis, Universität Basel, 2006. [5] M.H. Müser. Velocity dependence of kinetic friction in the prandtl-tomlinson model. Physical Review B , 84, 2011. [6] J.J. Mazo O.Y. Fajardo, E. Gnecco. Out-of-plane and in-plane actuation eects on atomic-scale friction. Physical Review B , 89, 2014. 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