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M´as all´a de la Relatividad Especial: de sistemas microsc´opicos a sistemas macrosc´opicos Problema del bal´on de f´utbol (Soccer ball problem) Trabajo de fin de grado realizado por el estudiante Alfredo SERRANO JIM´ ENEZ bajo la supervisi´on del profesor Jos´e Luis CORT´ ES AZCOITI (Departamento de F´ısica Te´orica, Universidad de Zaragoza) Grado de F´ısica, 4o Universidad de Zaragoza ´ Indice 1. Introducci´on 2 2. Conceptos previos 5 2.1. DSR(DoublySpecialRelativity) .................................... 5 2.2. Principio de la localidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Problema del bal´on de f´utbol (Soccer ball problem): introducci´on te´orica 10 4. Posibles soluciones al problema del bal´on de f´utbol 11 4.1. Cuerpos microsc´opicos y macrosc´opicos: leyes de conservaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2. Sistemas compuestos en DSR, acotados seg´un el n´umero de constituyentes microsc´opicos . . . . . 13 4.3. Estados de muchas part´ıculas y la densidad de energ´ıa como cota . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.4. Aproximaci´on geom´etrica: localidad relativa y elecci´on de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.5. Detecci´on directa y efectos cu´anticos sobre observables macrosc´opicos. El centro de masas (CM) 22 4.6. El problema del espectador y la longitud de coherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.7. El ’funcionamiento’ de un bal´on. Propuesta de interpretaci´on f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5. Consideraciones finales 31 6. ´ Indice de abreviaturas 32 1 1. Introducci´on El problema de la Gravedad Cu´antica (QG) surge a ra´ız de la unificaci´on de dos partes de la F´ısica: la Mec´anica Cu´antica (parte cu´antica) y la Relatividad General (parte gravitatoria). La Mec´anica Cu´antica queda incorporada, de forma m´as detallada y precisa, en la Teor´ıa Cu´antica de Campos, formalismo usado para describir las interacciones entre part´ıculas elementales despreciando efectos gravitatorios, y que se formula en un espacio-tiempo plano (minkowskiano). La Relatividad General, por su parte, estudia la influencia gravitatoria de la materia (part´ıculas y cuerpos macrosc´opicos) desde un punto de vista cl´asico, ignorando sus propiedades cu´anticas (especialmente significativas en el caso de las part´ıculas). Por separado, son teor´ıas exitosas: aunque ambas posean ingredientes comunes, como la existencia del espacio-tiempo, su forma de enfocarlos es distinta seg´un el ´ambito de aplicaci´on de cada teor´ıa. La Teor´ıa Cu´antica de Campos se ci˜ne al ´ambito microsc´opico; la Relatividad General, a escalas macrosc´opicas. Las dos permiten aproximaciones complementarias a la fenomenolog´ıa y a los experimentos con una gran fiabilidad. El problema surge al mezclar ambas visiones. Como decimos, una de las teor´ıas ignora efectos considerados en la otra y viceversa. De hecho, al juntar ambas, llegamos a resultados aparentemente contradictorios, seg´un nuestra perspectiva actual, uno de los cuales estudiaremos con detalle en este trabajo. [1] As´ı, cabe preguntarse c´omo es esta teor´ıa de la QG. Podemos buscar pistas mediante un an´alisis fenomenol´ogico (fenomenolog´ıa de la QG) [2]. Seg´un las principales hip´otesis y argumentos, la Gravedad Cu´antica se manifestar´ıa, a escalas de energ´ıa Ebajas (como las accesibles en experimentos de laboratorio en la actualidad), en forma de correcciones ´ınfimas, pr´acticamente nulas, a las teor´ıas que utilizamos habitualmente. Dichas correcciones ser´ıan del orden del cociente (E/EP)m, con m > 1 (m∈N) y EP∼1028 eV la energ´ıa de Planck. Por tanto, los efectos gravitatorios a nivel cu´antico resultan ser despreciables (y viceversa). En cambio, a escalas de energ´ıas superiores, como las del Universo primitivo, cuando E∼EP, los efectos de QG se manifiestan y son igualmente relevantes. Procesos como colisiones de part´ıculas a esas energ´ıas no pueden ignorar los efectos gravitatorios y viceversa. Analizar esas situaciones permitir´ıa obtener resultados fenomenol´ogicos que apoyasen unas u otras teor´ıas. Sin embargo, nuestra tecnolog´ıa actual nos impone limitaciones que impiden reproducir procesos a este r´egimen de energ´ıas. El problema de QG se puede abordar bajo diferentes enfoques, especialmente seg´un el tratamiento de la gravedad desde un punto de vista relativista (interacciones gravitatorias o estructuras espacio-temporales) o de part´ıculas (gravit´on como bos´on mediador). Esto nos lleva a distinguir entre varias aproximaciones. En primer lugar, tenemos el r´egimen de agujero negro cu´antico, que se basa en suponer que aparece una energ´ıa E∼EPen una regi´on muy peque˜na, de orden de la longitud de Planck r∼lP=√~GN∼10−35m, como consecuencia de un proceso de colisi´on entre dos part´ıculas que intercambian entre s´ı una energ´ıa E∼EP. Tal concentraci´on de energ´ıa llevar´ıa a la aparici´on de un agujero negro planckiano, de tiempo de vida del orden del tiempo de Planck tP∼10−44s. Si queremos calculamos el valor de r, la obstrucci´on que encontramos es que, como nunca hemos podido reproducir experimentalmente un fen´omeno de colisi´on de esas caracter´ısticas, no sabemos c´omo calcularlo. Ingenuamente, podemos intentar estimar raplicando la Mec´anica Cu´antica, pues la regi´on donde se localiza esa energ´ıa es del orden de lP, es decir, muy peque˜na, y por tanto aparecer´ıan fen´omenos cu´anticos. Otra posibilidad nos la proporciona la Relatividad General, pues la densidad de energ´ıa por unidad de volumen que se concentra en esa regi´on es del orden de EP/lP, es decir, muy grande. Cu´anticamente, rse caracteriza seg´un la longitud de onda Compton, r=rc; seg´un el enfoque relativista, res del tama˜no del radio de Schwarzschild, r=rs. Sus expresiones son diferentes: rc∼~ Mrs∼GNM∼l2 PM ~ con GNla constante de gravedad newtoniana y Mla masa acumulada en dicha regi´on. De este modo, en general, obtenemos resultados para rdiferentes si aplicamos una u otra f´ormula. Sin embargo, cuando se tiene ~/M ∼lP(r´egimen de agujero negro cu´antico), concuerdan las predicciones de ambas expresiones, es decir, rc≃rs∼lP, lo que conlleva que los efectos de QG son relevantes. Aunque se conjetura sobre la posibilidad de estudiar este r´egimen en ciertos agujeros negros, o en otros que se evaporan -si existe la radiaci´on de Hawking realmente-, no existen evidencias experimentales al respecto. A continuaci´on, consideremos la aproximaci´on seg´un la F´ısica de Part´ıculas, partiendo de que la interacci´on gravitatoria viene mediada por el hipot´etico gravit´on. Dar´ıa lugar a correcciones a grandes distancias, en las que la gravedad se puede caracterizar seg´un la interacci´on newtoniana. Las correcciones al potencial newtoniano [6, 7], ∆VNewton ∼~G2 NM r3=l2 P r2VNewton ser´ıan muy peque˜nas (del orden de 10−58 VNewton para escalas de longitud no inferiores a ∼10−6m, cota t´ıpica m´ınima para el tratamiento newtoniano de la gravedad). 2 Despu´es, se tiene el r´egimen del espacio-tiempo cu´antico, seg´un el que la geometr´ıa espacio-temporal no es cl´asica (espacio-tiempo no plano) y los puntos del espacio-tiempo est´an cuantizados, como si se tratase de un teselado. En este sentido, ha habido propuestas de experimentos que podr´ıan ser sensibles a la escala fundamental del espacio-tiempo (ST) cu´antico, como comentaremos m´as adelante (por ejemplo, el experimento pensado indicado en [3] y brevemente comentado en la subsecci´on 4.5.). Existen, adem´as, enfoques adicionales, como considerar una Mec´anica Cu´antica en un espacio-tiempo curvo. ¿C´omo se ha desarrollado, hasta ahora, la fenomenolog´ıa de la QG? Hist´oricamente, la QG comienza a tratarse de forma indirecta, investig´andose el l´ımite cl´asico de la QG. Las primeras referencias a marcos de coexistencia entre gravedad y Mec´anica Cu´antica se remontan a los estudios de Chandrasekhar sobre las enanas blancas [8, 9], desarrollados en los a˜nos 30, en los que se combinan propiedades cu´anticas (principio de exclusi´on de Pauli, principalmente) y gravitatorias. Ya en los a˜nos 70-80, en los experimentos COW (por los primeros en llevar a cabo ese tipo de experimentos: Colella, Overhauser y Werner) [10], se busca estudiar el efecto del campo de gravedad terrestre en experimentos de interferometr´ıa de materia, trat´andose de obtener la ecuaci´on de Schr¨odinger bajo la influencia de dicho campo. En los a˜nos 80, Anandan y otros autores [11, 12] estudian c´omo pueden ser los efectos gravitatorios sobre los estados cu´anticos. Por otra parte, aparecen argumentos relacionados con la caracterizaci´on de un espacio-tiempo cuantizado a peque˜nas distancias, introduci´endose, con ello, el an´alisis a escalas de Planck. Ya en 1965, Mead [13] plantea el posible ensanchamiento de las l´ıneas espectrales asociado a tomar lPcomo escala m´ınima de longitud (m´ınima incertidumbre en longitud). En los a˜nos 80 y principios de los 90, aparecen estudios sobre los efectos de la escala de Planck en la coherencia en estados cu´anticos, como por ejemplo uno sobre violaciones de la simetr´ıa CPT inducidas a esa escala [14, 15]. Otras propuestas destacadas versan sobre la teor´ıa de cuerdas no cr´ıtica [14, 15] y sobre posibles violaciones en Mec´anica Cu´antica (formalismo ”primary-state-diffusion”) [16]. Pero todos estos son trabajos preliminares. La verdadera fenomenolog´ıa de QG surge a mediados de los 90, cuando comienzan a plantearse ciertas hip´otesis en las que la magnitud del efecto de QG contemplado depende de un cierto par´ametro adimensional libre, que suele ser el cociente entre lPy una escala de longitudes del fen´omeno analizado. Estos enfoques no permiten avanzar en la resoluci´on del problema de QG (no se mejora la sensibilidad del fen´omeno hasta la escala de Planck), pero s´ı sirven de base para establecer la fenomenolog´ıa desarrollada en los a˜nos posteriores. De hecho, entre 1997 y 2000, se plantean ciertos fen´omenos astrof´ısicos en los que se podr´ıan observar (no realizar experimentalmente) efectos de QG como por ejemplo el de los rayos c´osmicos de ultra alta energ´ıa (UHECR) [17, 18], que comentaremos brevemente en el apartado 2.1, o los asociados a GRB’s (estallidos de rayos gamma) [19, 20] o blazares [19, 20]. Estamos destacando la importancia de la escala de Planck como escala caracter´ıstica para que los efectos de QG sean relevantes. Hay diferentes argumentos a favor de esta idea. Dos de los m´as significativos son, quiz´as, los que indicamos a continuaci´on. Uno de ellos se basa en la combinaci´on de las constantes fundamentales ~,cyGN, que nos indican efectos cu´anticos, relativistas y gravitatorios respectivamente. Y es que podemos relacionarlas mediante un par´ametro con dimensiones de energ´ıa, √~c5 GN∼1028 eV ∼EP que es del orden de la energ´ıa de Planck. Esa combinaci´on de efectos nos reproduce un marco con los ingredientes de una teor´ıa cu´antica de la gravedad (de la QG), y la escala de energ´ıas que reproducen es la escala de Planck. Otro argumento destacado ser´ıa el de la no unitariedad de la Teor´ıa Cu´antica de Campos (QFT) efectiva para la interacci´on gravitatoria [21]. Una QFT efectiva consiste en una QFT que introduce ciertos efectos suprimidos por una escala de alta energ´ıa en el formalismo. La unitariedad, que se verifica en la mayor parte de dichas QFT efectivas, nos da un criterio de escalas de colapso de QFT’s. Para la interacci´on gravitatoria, la no unitariedad de su QFT se produce a escalas de energ´ıa E∼EP, en consonancia con lo comentado en estas l´ıneas. Hemos hablado de escalas t´ıpicas y de argumentos, pero no tenemos (todav´ıa) evidencias experimentales s´olidas en relaci´on con la QG. A nivel experimental, hay que recordar que buscamos efectos muy peque˜nos en orden de magnitud (del orden de (lP/lchar)m, con lchar la escala de longitudes del fen´omeno y m > 0, m ∈N). Esto dificulta el tratamiento experimental de la QG, pero tambi´en simplifica la b´usqueda de las condiciones favorables para los experimentos al ser ´estas muy restrictivas y especiales. En el laboratorio, suponiendo m= 1, podemos llegar, en el caso m´as optimista, a que ese cociente sea del orden de ∼10−16. En el terreno astrof´ısico -observacional, como hemos comentado antes-, en contextos como los sugeridos a finales del pasado siglo, el caso m´as favorable, con m= 1, nos lleva a obtener lchar ∼10−27m, con lo que el cociente lP/lchar es del orden de ∼10−8. Esto conlleva que podemos detectar, en ese tipo de fen´omenos, energ´ıas E∼10−8EP= 1011 GeV = 1020 eV (la energ´ıa m´axima de los UHECR). Otra alternativa esperanzadora se basa en la amplificaci´on de efectos muy peque˜nos, un m´etodo planteado para estudiar, por ejemplo, el decaimiento del prot´on [1]. Lo que s´ı es claro es que el problema de la QG nos llevar´a a un cambio de paradigma te´orico sustancial, del tipo del que se tuvo al pasar de la Mec´anica Cl´asica a la Mec´anica Cu´antica. Existen bastantes aproximaciones 3 a una teor´ıa de la QG, siendo de las m´as destacadas teor´ıas como la de la Loop Quantum Gravity (LQG), la Teor´ıa de Cuerdas Cr´ıtica o aproximaciones basadas en t´ecnicas de renormalizaci´on perturbativa. Las ideas m´as destacadas comparten elementos en com´un como la ruptura, a escala planckiana, de simetr´ıas espaciotemporales cl´asicas (Lorentz y Poincar´e), de la simetr´ıa CPT o la decoherencia y las modificaciones en el principio de incertidumbre de Heisenberg. Lo que es claro es que acabaremos convergiendo a la teor´ıa de la QG a partir de teor´ıas e hip´otesis parciales, tal y como se hizo al construir la Mec´anica Cu´antica, por ejemplo (teor´ıa de Planck, modelo at´omico de Bohr, principio de exclusi´on de Pauli, etc.). Esas teor´ıas nos permitir´ıan ir resolviendo subproblemas de la QG. Sobre uno de ellos girar´a el trabajo en s´ı: el problema de c´omo modificar la relaci´on de dispersi´on relativista, E2=m2+p2 con pel trimomento de la part´ıcula o sistema de part´ıculas y msu masa. Las correcciones asociadas a efectos de QG dependen de EP(o de mP∼10−5g, masa de Planck), y resultan ser, para ´atomos y part´ıculas, despreciables, mientras que llegan a ser sustancialmente grandes para la materia usual (como por ejemplo un bal´on de f´utbol). El problema de compatibilizar una modificaci´on de la relaci´on de dispersi´on relativista con los reg´ımenes macrosc´opico y microsc´opico al mismo tiempo, conocido como soccer ball problem (problema del bal´on de f´utbol), es el que nos ocupar´a en lo que sigue. En el segundo punto de este trabajo, comentamos algunos conceptos te´oricos previos de utilidad para contextualizar y entender mejor el problema del bal´on de f´utbol y algunas de sus propuestas de soluci´on, conceptos desarrollados en el marco de la investigaci´on en QG. En el tercer apartado,nos centraremos en este problema en s´ı, introduci´endolo brevemente. En la cuarta secci´on, discutiremos diferentes propuestas de soluci´on, planteadas en los ´ultimos a˜nos (este problema, a´un sin resolver, es de bastante actualidad en el marco de la fenomenolog´ıa de la QG), entre las que figuran propuestas de diferentes autores as´ı como dos propuestas nuevas planteadas en este trabajo (los ´ultimos dos apartados). Finalmente, en el punto final, reflejamos diferentes consideraciones finales a modo de conclusi´on. Para facilitar la comprensi´on de este trabajo, a˜nadimos al final un ´ındice de abreviaturas (n´otese que ya nos ha aparecido alguna en esta introducci´on). Asimismo, hemos dado una lista de referencias bibliogr´aficas, art´ıculos pr´acticamente en su totalidad, para que el lector que as´ı lo desee pueda profundizar en la comprensi´on de los temas tratados. 4 2. Conceptos previos 2.1. DSR (Doubly Special Relativity) El SBP surge, de manera natural, en teor´ıas que van m´as all´a de la relatividad especial. Una de la teor´ıas de ese grupo m´as estudiadas en el marco de la investigaci´on sobre QG es la teor´ıa de la relatividad especial doble o deformada (Double -o DeformedSpecial Relativity, o DSR por sus siglas en ingl´es), planteada por primera vez en referencias como [17, 23, 24, 25]. Esta teor´ıa consiste en modificar la acci´on del grupo de Lorentz en el espacio de momentos P, de forma que, preservando el principio de relatividad o de equivalencia de los sistemas inerciales, nos aparezcan dos escalas invariantes en lugar de una sola -la velocidad de la luz en el vac´ıo c, invariante en SR-. El otro invariante para todo observador ser´ıa la energ´ıa de Planck EP(o bien la longitud de Planck lP). Pero vayamos al principio. ¿De d´onde viene el inter´es por una teor´ıa de tales caracter´ısticas? Tal y como destacan diferentes autores [22, 25, 26], posiblemente hay dos motivaciones fundamentales. Por un lado, una motivaci´on te´orica, basada en las hip´otesis de QG que hablan de una cuantizaci´on del espacio-tiempo a escala de Planck, como hemos comentado en la introducci´on. Esa escala marca el umbral en el que la invariancia Lorentz es violada y deja de tener validez (por encima de EPo por debajo de lP, pues ambas marcan la escala de aparici´on de los efectos de QG, como hemos discutido en la introducci´on). En estas condiciones, la geometr´ıa del ST deja de ser suave para convertirse en una geometr´ıa discreta y cuantizada (podemos imaginarlo pensando en la t´ıpica venda con agujeros, en la que los nodos de la red ser´ıan los puntos del ST permitidos). Otro argumento te´orico en favor de ir m´as all´a de SR es el que nos dan la QG y la teor´ıa de cuerdas, en relaci´on con la no conmutatividad del ST [25]. Por otro lado, existe una motivaci´on experimental, basada en la existencia de consecuencias fenomenol´ogicas (observables) que podr´ıan mostrar la necesidad de ir m´as all´a del marco de SR. Un ejemplo t´ıpico de esta ´ultima motivaci´on es el caso de los rayos c´osmicos de ultra alta energ´ıa (UHECR), part´ıculas -fundamentalmente protonesque se producen en galaxias activas lejanas y que se observan a partir de los procesos que originan al cruzar por la atm´osfera terrestre [17]. Los protones que conforman estos UHECR se desplazan hacia nosotros si poseen una energ´ıa Eprot < EGZK, con EGZK el l´ımite de Greisen-Zatsepin-Kuzmin (GZK), que es una energ´ıa umbral. Si tienen una energ´ıa mayor que esta energ´ıa umbral, Eprot > EUHECR, los protones reaccionan con la radiaci´on del fondo c´osmico de microondas (CMBR) y dejan de propagarse por el espacio, de forma que no los podemos detectar. El valor del l´ımite GZK calculado en el marco de SR es de EGZK ≈5·1019eV, que es pr´oximo a la m´axima energ´ıa de los UHECR observados, ∼1020 eV , como hemos dicho en el apartado 1. Si hubiera observaciones de rayos c´osmicos m´as all´a de la escala de energ´ıas provenientes de fuentes suficientemente alejadas de nosotros, nos encontrar´ıamos con una contradicci´on. Una manera de escapar de esta contradicci´on consistir´ıa en modificar la relaci´on de dispersi´on de SR a escala LP, tal y como se plantea en [20]: E2=m2+p2+αE3+... donde α∼lP Esta idea ya sugiere que estos efectos se explican yendo m´as all´a de la SR, de forma que la relaci´on de dispersi´on de SR sufre modificaciones. Hay dos posibilidades fundamentales de ir m´as all´a de SR [27]: o bien se olvida el principio de relatividad y se supone que existe un sistema de referencia privilegiado, o bien se preserva ese principio y se modifica la acci´on del grupo de Lorentz en el espacio de momentos P, y, por extensi´on, se modifica la invariancia Poincar´e. Esta ´ultima posibilidad, fundamento de DSR, nos permite no renunciar al principio de relatividad. Cuando hablamos de que el grupo de Lorentz act´ua de forma diferente sobre P, nos referimos a que modificamos las transformaciones de Lorentz usuales de SR incluyendo t´erminos no lineales. Esto lleva asociados los cambios en la relaci´on de dispersi´on (hablamos de relaci´on de dispersi´on modificada (MDR)), como lo es, por ejemplo, la arriba indicada), lo que conduce, asimismo, a cambios en las leyes de conservaci´on a partir de una ley de composici´on modificada (MCL), que en adelante denotaremos por ⊕. Pero existe un problema: en SR, no existen escalas de longitudes invariantes, sino que existe contracci´on de longitudes en funci´on del observador Obajo la acci´on del grupo de Lorentz (transformaciones de Lorentz en SR). Este hecho es el que nos obliga a redefinir las transformaciones de Lorentz introduciendo la escala de Planck como escala invariante... y, de esta forma, llegamos a las teor´ıas de DSR. Decimos teor´ıas, pues, tal y como se muestra en [25], se puede definir m´as de una teor´ıa DSR (pues las no linealidades en la ley de composici´on o en la relaci´on de dispersi´on modificadas no est´an sujetas a ninguna restricci´on especial adicional a su dependencia con la escala de Planck). El principio de relatividad se preserva en el marco de DSR. Esto se cumple si las transformaciones de Lorentz modificadas preservan la propiedad de grupo [25]. En SR, el grupo de transformaciones lineales compatible con la cinem´atica es el grupo de Lorentz con 6 generadores independientes -3 para rotaciones y otros 3 para boosts-. Para que el grupo de Lorentz sea aplicable en DSR, exigimos que la acci´on del grupo de Lorentz sea no lineal. 5 Pero s´ı aparecen modificaciones en los conmutadores de los generadores del grupo de Lorentz con operadores traslaci´on, o lo que es lo mismo, deformaciones en el grupo de Poincar´e. Ahora bien, ¿c´omo obtenemos las transformaciones de Lorentz no lineales? El procedimiento usual consiste en definir, en el espacio de momentos P, variables auxiliares (o pseudovariables) para la energ´ıa E=p0y el trimomento p=pµ, µ = 1,2,3, ϵyπrespectivamente. Las transformaciones invertibles Uque nos conectan Eypcon las pseudovariables son no lineales. Las pseudovariables transforman linealmente bajo la acci´on del grupo de Lorentz -transformaciones T-, como en SR, tras lo que se aplica U−1sobre las variables auxiliares transformadas ϵ′yπ′, lo que nos lleva a E′yp′, las variables f´ısicas de Ptransformadas no linealmente. Aunque volveremos a comentarlo en alguna de las propuestas de soluci´on del SBP, merece la pena mostrar un esquema conceptual, donde p= (E=p0,p) y π= (ϵ=π0,π): p→p′=U−1(π′) = U−1[T(π)] = U−1[T[U(p)]] = [U−1TU](p)≡eτ(p) (eτtr. no lineal) ↓U(p0;p)↑U−1(ϵ′;π′) π≡U(p)→π′=T(π) (Ttransformaci´on lineal) Ahora bien, el marco de DSR nos introduce algunos problemas conceptuales [25], entre los que, como hemos dicho al principio, est´a el SBP. Por otra parte, como se indica en [22], este procedimiento utilizado para construir transformaciones de Lorentz no lineales en Pno es tan directo al aplicarlo a los cuadrivectores del ST. En SR, el grupo de Lorentz es el ´unico que deja invariante la m´etrica de Minkowski con el origen de coordenadas como escalar de Lorentz (no cambia al aplicarle una transformaci´on de Lorentz). As´ı, la aditividad en la energ´ıa y el momento es consecuencia de la invariancia traslacional local. La introducci´on de la MCL en el marco de DSR implica que la invariancia traslacional se realiza de forma diferente a SR. Entre sus posibles propuestas de realizaci´on, la m´as consistente formulada hasta ahora es la de la localidad relativa, que nos ser´a de utilidad para otra propuesta de soluci´on del SBP y que desarrollamos de manera resumida en el siguiente subapartado. 6 2.2. Principio de la localidad relativa El principio de localidad relativa surge al plantearnos si realmente existe, o no, un espacio-tiempo, y si ´este es un invariante universal, i.e., si todos los observadores comparten el mismo espacio-tiempo. Tal y como se plante´o en SR, el espacio-tiempo (ST) se define como un marco absoluto, de forma que existe siempre simultaneidad en la localizaci´on de eventos: incluso observadores muy alejados entre s´ı ubican un evento cualquiera (por ejemplo, una colisi´on de part´ıculas) en el mismo suceso o punto del ST. Esta nueva hip´otesis nos lleva a que la localidad se convierte en un concepto relativo al observador, y supone un marco en el que, como explicaremos m´as adelante, el SBP es evitable. Rescataremos una idea que el f´ısico Max Born introdujo por primera vez en los a˜nos 40 para resolver el problema de las divergencias en el ultravioleta en el marco de la electrodin´amica cl´asica, aunque sin ´exito [28]: la existencia de un espacio de momentos curvo con una posici´on extremal (origen p= 0). Tal y como Einstein postul´o, los sucesos se identifican dando coordenadas espacio-temporales a eventos distantes mediante el env´ıo y la posterior recepci´on de pulsos de luz. [29] As´ı, midiendo par´ametros de los cuantos de luz como su energ´ıa ~ωcomo la direcci´on de incidencia, construimos una proyecci´on del espaciotiempo. Pero esta informaci´on que medimos, en particular la de la energ´ıa de los fotones recibidos, parece ser menos esencial y, por lo tanto, ’no relevante’ en comparaci´on con la localizaci´on de sucesos... sin un motivo aparente. Pero algunos autores [30] plantean un cambio de paradigma en el que el espacio de momentos cuadridimensional Pjuega un papel m´as fundamental que el espacio-tiempo. En efecto, sirvi´endonos de una aproximaci´on en la que los efectos cu´anticos y gravitatorios son despreciables -tomando ~, GN→0-, pero manteniendo su cociente como una escala invariante, la masa de Planck MP=√~/GN, a la que asociamos la aparici´on de nuevos fen´omenos. Adicionalmente, nuestra suposici´on implica que la longitud de Planck tiende a cero, lP=√~GN→0, luego no influir´an efectos asociados a un espacio-tiempo cu´antico en nuestro tratamiento. Como MP= 0 y lP= 0, esto nos sugiere que, como plante´abamos, el espacio de momentos es m´as fundamental. Vamos a considerar un observador O, con sus correspondientes detectores de energ´ıa Ey el trimomento pde las part´ıculas, y con un reloj con el que mide su tiempo propio. El observador puede tomar dos tipos de medidas de cuadrimomentos en P: sobre part´ıculas individuales, lo que le permite determinar la m´etrica, y sobre muchas part´ıculas, para obtener la conexi´on. Suponemos que existe, para cada detector, una coordenada preferente en el espacio de momentos P, que llamamos kµ, µ = 0,1,2,3, que miden la energ´ıa y el [tri]momento con respecto al estado fundamental, origen de P, que tomamos como kµ= 0 por comodidad y que est´a bien definido. Discutimos brevemente la determinaci´on de la m´etrica y de la conexi´on seg´un lo reci´en indicado: M´etrica La m´etrica nos permite determinar la distancia entre puntos en P.Omide la masa relativista de una part´ıcula de cuadrimomento pen su entorno, m≡E(pµ= 0), µ = 1,2,3, como la geod´esica desde la part´ıcula al origen o posici´on del observador: D2(p)≡D2(p, 0) = m2 Adem´as, Opuede determinar la energ´ıa cin´etica Tde una part´ıcula de cuadrimomento p′local al (en las inmediaciones del) observador, movi´endose respecto a ´este. (El concepto de localidad lo precisaremos despu´es). La medida de Tdefine la distancia geod´esica entre la part´ıcula de cuadrimomento py la part´ıcula de cuadrimomento p′(supuesto que Opercibe la part´ıcula con pen reposo respecto a la part´ıcula con p′). Si ambas son de igual masa, es decir, si D(p) = D(p′) = m, esa geod´esica tiene la ecuaci´on D2(p, p′) = −2mT Ambos tipos de medida nos permiten construir una m´etrica en P3, definida seg´un dk2=hµνdkµdkν Conexi´on La conexi´on define el camino m´as directo (recto) entre dos puntos. Una propiedad matem´atica relevante que usamos es que el ´algebra determina la conexi´on Γ de una variedad dada [30]. Por ello, para obtener la conexi´on y sus variables asociadas (torsi´on y curvatura), caracterizaremos la ley de composici´on de los cuadrimomentos para part´ıculas en interacci´on (habiendo un n´umero n1de part´ıculas inicialmente y n2 part´ıculas al final). En general, la ley de composici´on de cuadrimomentos modificada es no aditiva, y, por tanto, no lineal. Esto viene asociado a la idea de que Γ es no trivial. Para dos part´ıculas de cuadrimomentos pAypB, esto lo denotamos como p′ µ= (pA⊕pB)µ Y podemos definir la ant´ıpoda de un momento, ⊖pcomo el momento que cumple que (⊖p)⊕(p⊕q) = q 7 A partir de esta ´algebra modificada, obtenemos par´ametros caracter´ısticos de la geometr´ıa de Pcomo son la propia conexi´on Γ µν ρ, la torsi´on Tµν ρy la curvatura Rµνρ σ, cuyas definiciones generales son, para part´ıculas que interact´uan con cuadrimomentos iniciales pµ,qµyrµ Conexi´on: Γ µν ρ(0) = −∂ ∂pµ ∂ ∂qν ((p⊕q)ρ)|p,q=0 Torsi´on: Tµν ρ(0) = −∂ ∂pµ ∂ ∂qν [(p⊕q)ρ−(p⊕q)ρ]|p,q=0 Curvatura: Rµνρ σ(0) = 2 ∂ ∂p{µ ∂ ∂qν} ∂ ∂rρ [(p⊕q)⊕r−p⊕(q⊕r)ρ]σ|p,q=0 (Las llaves en los super´ındices, en la definici´on de curvatura, indican antisimetrizaci´on) La torsi´on da informaci´on sobre la asimetr´ıa en la ley de composici´on modificada, mientras que la curvatura caracteriza la falta de asociatividad en dicha ley. Para calcular esos par´ametros fuera del origen, se define un transporte paralelo en P, algo en lo que no es necesario profundizar aqu´ı. En general, una ley de composici´on modificada no ha de ser necesariamente asociativa, algo justificado por la diferencia entre procesos que, para la ley de composici´on aditiva usual +, concuerdan. Es decir, por ejemplo, un proceso con part´ıculas entrando con cuadrimomentos iniciales p,qyrcumple que (p⊕q)⊕r=p⊕(q⊕k). Esto conlleva que existe curvatura en el espacio de momentos P, algo que matem´aticamente es consistente al ser R= 0 ⇔(p⊕q)⊕r=p⊕(q⊕k). En este sentido, un an´alisis din´amico [30] justifica un cambio de paradigma: cuando un observador Ose encuentra en la posici´on espacio-temporal en que ocurre un evento de interacci´on, o en un entorno muy cercano, todas las l´ıneas de mundo implicadas en la interacci´on convergen al mismo evento (al mismo punto) en el espacio-tiempo. Sin embargo, cuando la interacci´on ocurre a una distancia suficientemente grande del O, el observador O′all´ı situado observa la interacci´on ocurriendo en un conjunto distante de sucesos, dispersados a lo largo de una cierta regi´on del espacio-tiempo, centrada en el punto donde verdaderamente ocurre el evento interactivo. Es decir, O′percibe una separaci´on aparente de eventos que corresponden a la misma interacci´on. Esta idea clave sobre la localizaci´on de sucesos en el espacio-tiempo asociada a la curvatura de Pes la base del principio de localidad relativa [30]: Principio de la localidad relativa La f´ısica tiene lugar en el espacio de fase Py no existe una proyecci´on global invariante que describa los procesos en el espacio-tiempo. A partir de sus medidas, observadores locales pueden construir descripciones de part´ıculas movi´endose e interactuando en un espacio-tiempo, pero diferentes observadores construyen distintos espacio-tiempos, que son porciones de Pdependientes del observador. La relatividad en la localizaci´on de eventos tiene otras implicaciones. Por un lado, que las traslaciones en las coordenadas espacio-temporales dependen de la energ´ıa y del momento de las part´ıculas con las que interacciona la part´ıcula en traslaci´on, a causa de la no linealidad de las leyes de conservaci´on y de la consecuente curvatura en P. Esto lleva a que las coordenadas locales para un observador Ose mezclen con la energ´ıa y el momento al trasladarse a la posici´on distante de un observador O′. Por otro lado, como nos dice el enunciado del principio, el espacio-tiempo se hace local para cada observador. A´un no hemos precisado nada sobre la geometr´ıa concreta del espacio de momentos, sino que hemos dado definiciones generales sobre sus par´ametros, como la curvatura o la torsi´on. Y es que diferentes principios f´ısicos imponen restrcciones a la geometr´ıa de P[30]: 1. Principio de correspondencia SR describe bien los procesos con momentos |p| ≪ m0, con m0una escala que, a priori, coincidir´ıa con la masa de Planck MPseg´un lo ya discutido en el marco de QG. 2. Principio de equivalencia d´ebil: El ´algebra (ley de composici´on modificada) y la geometr´ıa de Pno est´an influidos por el tipo o las caracter´ısticas de las part´ıculas. 3. Principio de equivalencia fuerte: Se verifica la relaci´on entre masa y energ´ıa relativista, E=mc2(E=m si c= 1). 4. M´axima simetr´ıa: Este principio, el m´as restrictivo de los cuatro, indica que la geometr´ıa de Pes homog´enea e is´otropa, as´ı como la invariancia Lorentz y traslacional de P. ¿Qu´e implica cada principio? 1. ⇒ P tiene una m´etrica lorentziana, gµν(p)dpµdpν. Esto conlleva que Γ, T ∝M−1 P, as´ı como que R∝M−2 P. 8 4.3. Estados de muchas part´ıculas y la densidad de energ´ıa como cota Otra de las aproximaciones al SBP consiste en ver, nuevamente en el marco de DSR, una dependencia de los efectos de QG con el volumen, lo que llevar´ıa a considerar la densidad de energ´ıa como cota superior [32], en lugar de energ´ıas o masas de Planck. En el contexto de DSR, ya las part´ıculas microsc´opicas perciben efectos de QG, y no tenemos ninguna incongruencia en la escala, pues su energ´ıa es E≪mP. En cambio, para objetos macrosc´opicos, la energ´ıa resulta ser mucho mayor que la escala E≫mP, de forma que nos aparece nuevamente el SBP. Tenemos, pues, un problema derivado de la cota de energ´ıa, solucionable si definimos una densidad de energ´ıa ρmax tal que todos los objetos cumplan E V≪ρmax =MP l3 P y, como V aumenta tambi´en para objetos macrosc´opicos, la densidad de energ´ıa asociada no se disparar´ıa, de forma que esa condici´on se cumplir´ıa. El punto de partida, nuevamente, se basa en jugar con cuadrimomentos (que ahora funcionar´an como variables auxiliares) pµ= (p0=E, p) y con cuadrivectores de onda kµ= (k0=ω, k), en el sistema natural de unidades (c=~= 1). Inicialmente, consideramos una serie de transformaciones entre ellas. pµse relaciona con kµmediante una transformaci´on general, que definimos como p→k=F(p) = (E f(p),pg(p)) p=G(k)←k siendo necesario que al menos una de las componentes de kµinvolucre la escala de Planck, para as´ı poder implementar los efectos de QG. En este caso, definimos la relaci´on de dispersi´on modificada (MDR) en el espacio de momentos: m2= [G(k)]2 mientras que asumimos que pµverifica la relaci´on de dispersi´on relativista usual. Relacionamos ahora cuadrivectores pyp′, por un lado, y kyk′por otro. Asumimos que, en el espacio de cuadrimomentos, por un lado, act´uan las transformaciones de Lorentz, L, de forma que se verifica que p′ µ=Lpµy se preserva la invariancia Lorentz: E2−p2=E′2−p′2. En cambio, las transformaciones en el espacio de cuadrivectores de onda son modificadas: las llamaremos e L. Reproducimos un cuadro explicativo de tranformaciones con distinta notaci´on en este caso, pero que es an´alogo al visto en la p´agina 5, en la secci´on 2.1.: p=G(k)↔p′=L(p) ↕ ↕ k=F(p)↔k′=F(p′) = F′(L(p)) = F(L(G(k))) ≡e L(p) siendo e L(k) una transformaci´on no lineal en el espacio de momentos al ser Funa transformaci´on no lineal. Una consecuencia de este hecho es que el espacio de momentos presenta una cierta curvatura asociada a una m´etrica dependiente de la energ´ıa, como se ve al integrar a todos los posibles valores de ky al relacionar esa integral con la correspondiente a los cuadrimomentos: ∫d4k=∫ ∂F ∂p d4p siendo |∂F/∂p|=√g(E), con g(E) la m´etrica, que depende de la energ´ıa. Esta discusi´on es la correspondiente a sistemas de part´ıculas individuales, pero... ¿qu´e pasa con sistemas de muchas part´ıculas? Podemos estudiar un caso sencillo: el sistema de dos part´ıculas. Una pregunta que podemos hacernos es qu´e cantidades permanecen conservadas, dados sus cuadrimomentos y cuadrivectores de ondas pi yki,i=A, B, respectivamente. Podemos plantearnos que se conserva la ley de composici´on aditiva (usual) de ambas cantidades, PAB oKAB, ya que, en DSR, se puede construir m´as de una cantidad conservada: PAB =pA+pBKAB =kA+kB Sin embargo, la cantidad PAB no nos aporta informaci´on relevante para nuestro problema al ser una suma usual de cuadrimomentos que transforman linealmente seg´un Lorentz. Por su parte, es f´acil ver que KAB no transforma apropiadamente, pues hemos definido las transformaciones e L(ki) = k′icomo no lineales (e L(ki) es funci´on s´olo de ki, no de la suma ki+kj), y esto implica que: K′AB =e L(KAB) = e L(kA+kB)=e L(kA) + e L(kB) = k′A+k′B 15 Dar por v´alida una ley de composici´on de esta forma nos conducir´ıa a que, si tom´asemos dos vectores de ondas diferentes, kCykD, tales que su suma fuese kC+kD=KAB =kA+kB, tendr´ıamos que K′AB =e L(kA+kB) = e L(kC+kD),pero e L(kA) + e L(kB)=e L(kC) + e L(kD) As´ı las cosas, buscaremos otra alternativa. Como ambas leyes de composici´on presentan inconsistencias con nuestro marco te´orico, nos preguntarnos por una MCL en el espacio de funciones de onda, cuyas transformaciones asociadas son no lineales, KAB =kA⊕kB=F(pA+pB) Estudiemos c´omo transforma: teniendo en cuenta que, como hemos visto antes, F◦L◦G=e L: KAB ′=e L(kA⊕kB) = F{e L[G(kA⊕kB)]}=F[e L(pA+pB)] = F(pA′+pB′) = kA′⊕kB′ de forma que la transformaci´on de KAB bajo la nueva MCL est´a bien definida. Esta MCL nos lleva a nuevas leyes de conservaci´on modificadas. En efecto, considerando un proceso del tipo A+B→C, con KAB el vector de ondas de la part´ıcula C, tenemos la siguiente ley de conservaci´on: kA⊕kB=kAB ⇒kA⊕kB−kAB = 0 donde el vector de ondas KAB pertenece a un espacio de fases ϵAB que engloba a los espacios de fases de las part´ıculas A y B, ϵAyϵB, respectivamente. Tenemos que tener en cuenta que kA∈ϵAykB∈ϵB, respectivamente, de forma que la suma no aditiva pertenece al espacio ϵAB y nos permite construir ese espacio de fases conjunto. Ya para tres o m´as part´ıculas, la suma no aditiva nos conduce a canales de adici´on, como hemos comentado antes. Ahora bien, esta suma no aditiva nos lleva a que existe una cota superior debida a la no linealidad de la transformaci´on Fdel espacio de momentos. Hay que recordar que, en las teor´ıas de DSR, definimos una composici´on de la recta real en ella misma, lo que nos restringe a un subespacio caracterizado por los estados de energ´ıa menor que la escala de Planck, E < EP(o bien, si trabajamos con unidades naturales, E≈M, de forma que M < MP). Este l´ımite superior es f´acilmente excedido por sistemas de muchas part´ıculas, puesto que la suma no aditiva de energ´ıas arbitariamente grandes transforma en una suma no aditiva de energ´ıas arbitrariamente grandes, de forma que tenemos SBP. Luego suponer que la suma no aditiva es de igual naturaleza para sistemas de dos o tres part´ıculas, por ejemplo, y para sistemas de N≫1 part´ıculas no es consistente con lo que observamos. Un intento de desarrollar una Teor´ıa Cu´antica de Campos que incluya la existencia de una MDR y de una MCL [32] nos lleva a una nueva idea para solucionar el SBP. En vez de comparar la energ´ıa de un objeto macrosc´opico con EP, pasamos a comparar densidades de energ´ıa ρde un objeto macrosc´opico por unidad de volumen Vcon la energ´ıa EPpor unidad de volumen planckiano l3 P: ρ=E/V ≪MP/l3 P ser´ıa la condici´on l´ımite para los reg´ımenes macrosc´opico (E≪EP≈MP) o macrosc´opico (E≫EP≈MP). As´ı, para sistemas microsc´opicos, de muy peque˜no volumen, se cumple esta condici´on al ser su masa muy peque˜na tambi´en. En cambio, al aumentar la masa Mde un sistema de muchas part´ıculas, como tambi´en aumenta su volumen (proporcional a l3, con luna escala de longitud para el objeto), la densidad de energ´ıa ρsuele disminuir, luego la condici´on se respeta. Por otra parte, ρes una cantidad intensiva, de forma que la adici´on de nuevas part´ıculas no nos modifica pr´acticamente su valor si ρ≪M4 P[32]. Ahora bien, si aplicamos este planteamiento de forma te´orica a la fenomenolog´ıa, encontramos discrepancias. Un ejemplo consiste en el estudio de los fotones emitidos en estallidos de rayos gamma (GRBs). Al calcular la densidad de energ´ıa asociada a estos fotones, y al compararla con los resultados experimentales, se encuentran discrepancias de 57 ´ordenes de magnitud entre ambos resultados. (En este ejemplo, se asume que todos los sistemas de referencia tienen igual importancia, es decir, que no hay un sistema preferencial, conserv´andose la invariancia Lorentz). En concreto, el resultado calculado es 57 ´ordenes de magnitud menor (∼10−76MP/l3 P), lo que lo har´ıa inobservable. Resumiendo, tenemos una hip´otesis te´oricamente consistente basada en DSR, pero cuyos efectos ser´ıan muy dif´ıcilmente observables a nivel fenomenol´ogico actualmente. 16 4.4. Aproximaci´on geom´etrica: localidad relativa y elecci´on de coordenadas Otra posible propuesta de resoluci´on del SBP se basa en una aproximaci´on geom´etrica al problema, a partir del principio de localidad relativa (v´ease secci´on 2.2. del trabajo). En este sentido, la aparici´on de un espacio de momentos curvo Pinvariante da lugar a cambios no lineales en las relaciones de dispersi´on y en las leyes de conservaci´on, que caracterizan la m´etrica y la conexi´on del espacio, respectivamente. Estos cambios est´an asociados a una acci´on no lineal del grupo de Lorentz en P. Las relaciones de dispersi´on modificadas (MDR) las obtiene un observador dado al medir la distancia entre una part´ıcula y el origen del espacio de momentos con respecto a una m´etrica lorentziana gµν(p)dpµdpν, µ, ν = 0,1,2,3 (recordemos que Pes el espacio dual al espacio-tiempo). Presentan la forma general D2=m2, de acuerdo con el formalismo empleado al hablar de la localidad relativa. Haciendo uso de nuestra libertad de elecci´on de coordenadas, podemos escoger unas en las que la m´etrica de Lorentz sea la suma de la de Minkowski y de t´erminos proporcionales a potencias inversas de MP, gµν =ηµν +E MP (ηµν −η00) y, por tanto, en las que podemos expandir, en la vecindad del origen de P,p= 0, la MDR como: D2(p) = D2(p, 0) = (p0)2−p2−λE MP p2+... =E2−p2−λE MP p2+... =m2 con λun n´umero. Por su parte, la conexi´on en Pest´a asociada a una ley de composici´on modificada (MCL) ⊕, como ya hemos comentado anteriormente. ´ Esta determina leyes de conservaci´on modificadas. As´ı, para un proceso A+B→C, por ejemplo, se tiene la ley de conservaci´on de momentos pA µ⊕pB µ=pC µ. Nuevamente, eligiendo coordenadas apropiadas, podemos expandir la composici´on ⊕introduciendo la escala de Planck pA µ⊕pB µ=pA µ+pB µ−Λαβ µ 1 MP pA αpB β+... con Λ αβ µcoeficientes num´ericos adimensionales dependientes de la conexi´on, Λ αβ µ=MPΓαβ µ El problema que encontramos respecto a este tratamiento es que nos sirve para el r´egimen microsc´opico ´unicamente, pero... ¿son estas f´ormulas consistentes con la caracterizaci´on de objetos macrosc´opicos compuestos por un n´umero muy grande de part´ıculas o constituyentes fundamentales? (Es decir, el SBP de nuevo). En esta alternativa, la idea clave consiste en la elecci´on de un sistema de coordenadas apropiado para ’evitar’ el SBP [33]. Al igual que en una variedad curva (no plana) existen sistemas de coordenadas privilegiados para su caracterizaci´on (por ejemplo, las coordenadas esf´ericas en el caso de una geometr´ıa esf´erica), hacemos uso de esta noci´on al decir que el SBP nos aparece por no escoger las coordenadas adecuadas para caracterizar la geometr´ıa no trivial de P. Esto nos permitir´a aumentar la cota de MPaNMPpara un objeto de Ncomponentes, que, cuando N→ ∞, nos dar´a (NMP)−1→0. En efecto, una primera aproximaci´on ingenua nos da pistas de esta modificaci´on. El asunto consiste en tomar un objeto macrosc´opico, por ejemplo un bal´on de f´utbol, y definirlo como un sistema de N≫1 componentes que, por simplicidad, suponemos de igual masa my cuadrimomento pµ. A priori, podemos pensar que la masa y el cuadrimomento (energ´ıa y trimomento totales) del bal´on son, respectivamente, la composici´on aditiva de masas y momentos individuales de los constituyentes, MSB =Nm P SB µ=Npµ aunque esta ’aditividad’ no ha de cumplirse necesariamente en general, es decir, el caso m´as general ser´a el de que pSB venga de una composici´on no aditiva, algo que discutiremos despu´es en m´as profundidad. Sustituyendo la expresi´on de MSB en la relaci´on de dispersi´on desarrollada en potencias inversas de MP -hasta primer orden-, nos aparecen las modificaciones en el umbral, que aumenta hasta NMP: N2(E2−p2−λE MP p2+...)=N2m2⇒E2 SB −P2 SB −λESB NMP P2 SB +... =M2 SB Aplicando la definici´on ’ingenua’ de PSB a la ley de conservaci´on modificada, para balones de f´utbol A y B (en lugar de part´ıculas) con Ncomponentes y momentos iguales para cada constituyente, pA µypB µrespectivamente (Pm µ=Npm µ, m =A, B), obtenemos: PA µ⊕PB µ=PA µ+PB µ−1 NMP Λαβ µPA αPB β+... de forma que el t´ermino no lineal de la ley de composici´on va dividido por NMPtambi´en. 17 Vamos a considerar ahora un caso m´as general, donde el momento total de un bal´on de f´utbol no es la composici´on aditiva de los momentos de los constituyentes y donde tiene relevancia la elecci´on de coordenadas, como sucede en la localidad relativa. El sistema de coordenadas escogido deber´a reproducir el l´ımite de SR: el origen de coordenadas ha de estar en p= 0 y, en cuanto a la MDR y a la MCL, se recuperan sus expresiones en SR cuando MP→ ∞. Las expresiones m´as generales de ambas son, respectivamente, las que hemos visto al principio de la p´agina, D2(p) = E2−p2−λE MP p2+... =m2pA µ⊕pB µ=pA µ+pB µ−1 MP Λαβ µpA αpB β+... Pero existen sistemas de coordenadas para los que estas relaciones se modifican de forma especial. De nuevo, tenemos que escoger sistemas de coordenadas especiales para la m´etrica y para la conexi´on, de acuerdo con la localidad relativa. 1. M´etrica: Un ejemplo t´ıpico de coordenadas que concuerdan con el l´ımite de SR, como hemos comentado, son las coordenadas normales de Riemann (las geod´esicas desde el origen a la part´ıcula observada son l´ıneas rectas), en las que la MDR es igual a la relaci´on de dispersi´on de SR, luego la informaci´on sobre la curvatura del espacio de momentos debe venir codificada en la MCL en este caso: D2(p) = E2−p2 2. Conexi´on: Un sistema coordenado especialmente ´util es el de las coordenadas de conexi´on normales, donde las geod´esicas que conectan diferentes part´ıculas son rectas, incluso si la conexi´on es no m´etrica, es decir, si la m´etrica y la conexi´on no concuerdan (si no existe dependencia mutua entre ambas). En este sistema de coordenadas bp, la particularidad es que los momentos paralelos componen aditivamente, pbp⊕qbp= (p+q)bp. Asimismo, las coordenadas tienen la siguiente expresi´on si desarrollamos hasta orden M−1 P: bpµ=fµ(p) = pµ+1 2MP Λαβ µpαpβ+... mientras que ley de composici´on modificada es, en estas coordenadas y desarrollando en potencias inversas de MP, an´aloga a la expresi´on general: f(f−1(bp)⊕f−1(bq)) = bpµ+bqµ−1 MP Λαβ µbpαbqβ+... Ambos sistemas de coordenadas son compatibles cuando la conexi´on es m´etrica, es decir, cuando ∇µgµν = 0. De este modo, las geod´esicas asociadas a la m´etrica y a la conexi´on en los sistemas de coordenadas especiales concuerdan, lo que nos permitir´a formular nuestro tratamiento del SBP. Pasemos ahora a analizar diferentes situaciones: un caso ideal, en el que los componentes de los balones no experimentan fluctuaciones de ning´un tipo, y otro, en el que asumimos movimiento cuasir´ıgido (caso de peque˜nas fluctuaciones). A. Caso ideal (sin fluctuaciones en los momentos de los constituyentes) Planteamos la situaci´on de la siguiente forma. Sean dos balones de f´utbol A y B, de igual n´umero de part´ıculas N, las cuales suponemos de igual masa my cuadrimomentos pµpor simplicidad. Modelizamos cada uno de estos balones como ’nubes de part´ıculas’ desplaz´andose por el espacio de momentos curvo en direcciones paralelas o coincidentes y mismo sentido, de tal forma que las distancias entre las part´ıculas son lo suficientemente peque˜nas para que hablemos de objetos macrosc´opicos cohesionados. Obviamente, al considerar interacciones entre part´ıculas, entra en juego la conexi´on a trav´es de la MCL para establecer las nuevas leyes de conservaci´on. Como los sistemas coordenados especiales que hemos escogido son compatibles por lo antes comentado, y hemos dicho que la m´etrica es la de SR, toda la informaci´on sobre la curvatura del espacio de momentos, y, por tanto, la modificaci´on en el umbral de valor NM−1 Pnos deber´a aparecer en la MCL. (Figura 1) Modelizamos las interacciones entre los balones A y B como un conjunto de interacciones 2 a 2 entre parejas de componentes, uno de una pelota y el otro de la otra. Los procesos interactivos son de esta forma: una part´ıcula de un bal´on, por ejemplo el A, emite un fot´on que absorbe una part´ıcula del otro bal´on, el B en este caso. Para ello, asumimos que los componentes fundamentales son ´atomos. Luego hay que definir, en t´erminos de la MCL, las relaciones de conservaci´on de cuadrimomentos para cada proceso: si llamamos kal cuadrimomento del fot´on ypyp′los cuadrimomentos de los ´atomos, nos queda Emisi´on de γpor un ´atomo de A: pµ=p′ µ⊕kµAbsorci´on de γpor un ´atomo de B: pµ⊕kµ=p′ µ y, si despejamos kµ, podemos hallar la ley de conservaci´on entre los cuadrimomentos de los ´atomos de A y B, [((⊖p′A)µ⊕pA µ)⊕pB µ] = p′B µ 18 Figura 1: Representaci´on idealizada de dos sistemas de part´ıculas movi´endose por Pen el caso ideal (en el marco de la propuesta de soluci´on basada en la localidad relativa). A ser´ıa una agrupaci´on de part´ıculas, por ejemplo las rojas; B ser´ıa la otra (o viceversa) donde ⊖es la ant´ıpoda de p, ya definida al hablar de localidad relativa (apartado 2.2.), que admite desarrollo en potencias inversas de MPcomo vemos a continuaci´on -hasta primer orden-, (⊖p)µ=−pµ−1 MP Λαβ µpαpβ+... Si tenemos una ley de conservaci´on de cuadrimomentos para los objetos macrosc´opicos A y B igual que la expresada unas l´ıneas m´as arriba para los dos ´atomos en interacci´on de A y B, nos aparecer´ıa el SBP al no haber alteraci´on en la escala M−1 P. Es por ello necesario que definamos una MCL no trivial. La ley de conservaci´on modificada puede generalizarse a todas las parejas de un ´atomo de A y otro de B, con cuadrimomentos pi,j µ=pi µ∀i, i =A, B;j= 1, ..., N, pues hemos supuesto iguales los cuadrimomentos de los constituyentes para cada bal´on. Nos queda la siguiente expresi´on: [((⊖p′A,i)µ⊕pA,i µ)⊕pB,i µ] = p′B,i µ y, si expandimos en potencias inversas de M−1 P, truncando a primer orden (aplicando el desarrollo de bp⊕bq arriba indicado), llegamos a pA,i µ+pB,i µ−1 MP Λαβ µpA,i αpB,i β+... =p′A,i µ+p′B,i µ−1 MP Λαβ µp′A,i αp′B,i β+... Como indic´abamos, tomamos ahora una MCL de forma general, de modo que la composici´on de momentos microsc´opicos en el bal´on es diferente de la suma usual, al menos a priori: PA=∑ ⊕,i pA,i =pA,1⊕(pA,2⊕(... ⊕pA,N )...) pero, bajo la utilizaci´on de coordenadas de conexi´on normales, como hemos supuesto iguales los cuadrimomentos de los constituyentes de cada bal´on por separado, estos componen aditivamente, y se verifica que Pj µ=Npj µ, j =A, B. Esto nos conduce a un resultado revelador si vamos al desarrollo de la ley de conservaci´on de los cuadrimomentos pi,j hasta orden M−1 Pexpresado arriba y multiplicamos a ambos lados por N: PA µ+PB µ−1 NMP Λαβ µPA αPB β+... =PA µ+P′B µ−1 NMP Λαβ µP′A αP′B β+... PA µ+PB µ=P′A µ+P′B µ−1 NMP Λαβ µ(P′A αP′B β−PA αPB β) de forma que obtenemos una modificsci´on del umbral en un factor Ny nos desaparece el SBP. De hecho, cuando N≫1 (N→ ∞), recuperamos las leyes de conservaci´on de SR. Es interesante ver que el tomar ´atomos como componentes fundamentales de cada bal´on de f´utbol no parece ser descabellado. En efecto, teniendo en cuenta que N∼NA∼1023 al menos, y que MP∼10−5g, 19 1/NMP∼10−18 ≃0, de forma que obtenemos los resultados usuales de SR para la conservaci´on de energ´ıa y momento. B. Caso de movimiento cuasirr´ıgido: aproximaci´on perturbativa (peque˜nas fluctuaciones en los momentos de los constituyentes) En este caso, el cuadrimomento de cada constituyente pi,j se modifica en una peque˜na variaci´on δpi,j. Insistimos, esa variaci´on ha de ser lo suficientemente peque˜na para que el objeto macrosc´opico i, el bal´on, mantenga su cohesi´on interna sin desintegrarse. As´ı, nuestro punto de partida es: pi,j µ=pi µ+δpi,j µ≡pi µ+δpi,j µ donde adoptamos la notaci´on pi µpara dejar claro que lo que coincid´ıa con el cuadrimomento de cada part´ıcula del objeto ien el caso ideal -sin fluctuaci´ones realmente un cuadrimomento promedio para cada constituyente en esta situaci´on. Impondremos, por simplicidad, la igualdad de este cuadrimomento promedio para todas las part´ıculas. De forma consistente, el cuadrimomento del bal´on de f´utbol de Ncomponentes pasa a ser, si componemos los cuadrimomentos de los constituyentes de forma aditiva (’naifmente’): Pi,adit µ= N ∑ +,j=1 pi,j µ= N ∑ +,j=1 (pi µ+δpi,j µ) = Npi µ donde nos hemos servido de la propiedad de que, en coordenadas normales, los cuadrimomentos promedio, iguales para todo j, componen aditivamente por ser paralelos, y donde hemos impuesto que la suma de todas las fluctuaciones sobre los constituyentes se anula, i.e., ∑N +,j=1 δpi,j µ= 0. Vamos a considerar, de nuevo, la situaci´on general en que la ley de composici´on de cuadrimomentos no es aditiva: Pi,gen µ≡Pi µ= N ∑ ⊕,j=1 pi,j µ= N ∑ ⊕,j=1 (pi µ+δpi,j µ) = (pi µ+δpi,1 µ)⊕[(pi µ+δpi,2 µ)⊕[... ⊕(pi µ+δpi,N µ)]...] donde, aplicando la expansi´on de la ley de composici´on modificada -MCLen potencias inversas de MPdefinida antes, se obtiene que Pi µ= N ∑ +,j=1 pi,j µ−1 MP Λαβ µ N ∑ +,j=1 j ∑ +,k=1 (pαδpi,k β+δpi,j αpi β+δpi,j αδpi,k β) + ... Pi µ=Pi,adit µ−1 MP Λαβ µ N ∑ +,j<k (pαδpi,k β+δpi,j αpi β+δpi,j αδpi,k β) + ... =Pi,adit µ+ tno. fluctuaci´on Es preciso que la suma en los ´ındices jykno sea sim´etrica, como mostramos en el ´ultimo paso, es decir, que la suma sobre kno sea hasta Ncomo la de j, pues eso nos implicar´ıa que el ´ultimo t´ermino a la derecha de la igualdad, dependiente de M−1 P-que llamaremos el t´ermino de fluctuaci´on-, se anular´ıa, llev´andonos al resultado Pi µ=Pi,adit. Esto ser´ıa lo buscado para N≫1, pero, si esa suma a jykfuese sim´etrica (no asim´etrica), entonces el t´ermino de fluctuaci´on, al no aparecer, no podr´ıa introducirnos la informaci´on nueva que caracteriza el caso de movimiento cuasirr´ıgido. Al evaluar la diferencia entre los cuadrimomentos del bal´on obtenidos componiendo no aditiva y aditivamente, Pi µ−Pi,adit, en [34], Hossenfelder afirma, bajo la suposici´on de que el sistema experimenta s´olo fluctuaciones termales y sirvi´endose de un modelo de random walk (RW), que δpi,l γ∝T√N, l =j, k, siendo la dependencia √Npara cada componente del trimomento. Como tenemos tres componentes, el t´ermino de fluctuaci´on para las tres va con T(√N)3y se obtiene que Pi µ∝ − 1 MP Λαβ µ N ∑ +,j<k (pαδpi,k β+δpi,j αpi β+δpi,j αδpi,k β)≈ −N3/2T MP Λαβ µpi µ=−1 MP Λαβ µN1/2TPi,adit µ de modo que el t´ermino de fluctuaci´on excede en gran medida el t´ermino promedio sin fluctuaci´on Pi,adit µpara N≫1, y es trivial ver que nos reaparece el SBP al considerar estas fluctuaciones termales, as´ı como que nuestra MCL definida es contradictoria con la F´ısica que observamos (v´ease [34]). El tratamiento desarrollado en [35] permite escapar a esta obstrucci´on indicando un aparente error en el procedimiento de [34]: el desarrollo perturbativo se debe truncar a un orden superior de potencias inversas de 20 MP, no a orden M−1 P, sino a orden M−2 P. Esto conlleva la aparici´on de t´erminos nuevos que, una vez evaluados convenientemente, nos dan un resultado consistente en el caso sin fluctuaci´on: que, a N >> 1, las correcciones respecto a la masa de Planck tienden a anularse. Eso s´ı, para que esto se cumpla, hay que imponer simplemente nuevas condiciones a las geometr´ıas del espacio de momentos Pv´alidas. Esto conlleva que este problema se d´e en otras variedades; simplemente consideramos las que llevan impl´ıcita esta anulaci´on del t´ermino de fluctuaci´on y ’dejamos de lado’ las otras. Como observaci´on final, hemos apuntado que Nes una cantidad igual al n´umero total de part´ıculas en cada bal´on, al suponerlos formados por el mismo n´umero de componentes. Ahora bien, no es claro el papel que juegan estas interacciones internas entre parejas de ´atomos de cada bal´on. De esta forma, cabe la posibilidad de que Nno coincida con el total de componentes, sino que sea proporcional al n´umero total de interacciones. 21 4.5. Detecci´on directa y efectos cu´anticos sobre observables macrosc´opicos. El centro de masas (CM) Hasta el momento, hemos estado considerando propuestas de soluci´on del SBP basadas en una b´usqueda de huellas asociadas a un espacio-tiempo cu´antico a escala planckiana a partir de efectos o manifestaciones indirectas. Un ejemplo de ello ser´ıa la propuesta de estudio de la geometr´ıa no trivial (curva) del espacio de momentos Py su influencia sobre la cuantizaci´on del ST vista en el marco de la localidad relativa (secciones 2.2. y 4.4 del trabajo). Sin embargo, un paradigma alternativo considerado en los ´ultimos dos a˜nos se basa en buscar esos efectos asociados a la cuantizaci´on del ST a escala de la longitud de Planck, LP, mediante la observaci´on directa de determinados efectos sobre cuerpos macrosc´opicos. Dos de los primeros ejemplos en este sentido vienen indicados en las referencias [5] y [3] y tienen como ingrediente esencial el an´alisis del movimiento del CM de un objeto macrosc´opico al que un fot´on γde baja energ´ıa ha transferido parte de su momento, todo ello en un contexto no relativista (en el que las velocidades son aditivas y las leyes de conservaci´on de cuadrimomentos son las de la Mec´anica Cl´asica). En particular, nos serviremos de la conservaci´on de los momentos, p. En [5], Pikovski y otros autores analizan el movimiento del CM de un oscilador mec´anico. En [3], Bekenstein sugiere otra situaci´on cuyo punto clave es tambi´en el movimiento del CM de un objeto macrosc´opico. Vamos a centrarnos brevemente en el planteamiento de Bekenstein, en [3]. Se plantea c´omo medir experimentalmente las posibles irregularidades del ST a escalas planckianas, un efecto de la cuantizaci´on del ST propuesto por el astrof´ısico Wheeler como ’espuma cu´antica’ (quantum foam) [4]. Bekenstein se pregunta si este efecto se puede determinar en el laboratorio usual, y, por tanto, si podemos reproducir fen´omenos de QG mediante experimentos apropiadamente dise˜nados en ese contexto. Su respuesta es que s´ı, aunque aplicando leyes de conservaci´on. Para verlo, argumenta que, a nivel de part´ıculas, en el mundo microsc´opico, no podemos localizar exactamente una part´ıcula en una posici´on del orden de la escala de Planck (longitud de Planck lP) con nuestra tecnolog´ıa, pues se necesitar´ıa comunicar un momento a la part´ıcula de valor p≥~/lP∼1019 GeV, de acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg (recordemos que, actualmente, se ha llegado a escalas de energ´ıa de casi 10 TeV = 105GeV, 13 ´ordenes de magnitud menor). Asimismo, detectar un desplazamiento del CM de un objeto macrosc´opico, ∆XCM ∼LPde forma directa nos obligar´ıa a ser capaces de detectar escalas de tiempos τm´as peque˜nas que 10−32 s. Por ello, la manera de escapar a esta obstrucci´on consistir´ıa en medir ∆Xsin necesidad de localizar exactamente al CM en sus posiciones inicial y final, para lo que ser´ıa ´util aplicar la conservaci´on del trimomento. En este sentido, Bekenstein propone un experimento pensado consistente en enviar un fot´on γde baja energ´ıa (γ´optico) a trav´es de un bloque diel´ectrico y evaluar, a partir de dicha ley de conservaci´on (en un contexto no relativista, insistimos), el desplazamiento ∆XCM . Mediante una configuraci´on apropiada del sistema, se podr´ıan detectar ∆XCM ≈LP(incluso contando perturbaciones externas, ruidos, etc. sobre el sistema [3]. Ahora bien, tenemos que recordar que, mientras el marco usual de SR funciona cuando ∆XCM ≫lP, y no hay impedimentos a la traslaci´on de γpor el bloque, esto no es as´ı cuando ∆XCM ≈lP, pues las fluctuaciones cu´anticas se hacen muy grandes y significativas. Conceptualmente, esto se puede concebir como que, a escalas del orden de lP, aparece un paisaje de agujeros negros de masa MPy de di´ametro DBH ∼lPque se forman y desaparecen en una escala de tiempos planckiana tP∼10−44 s. Estos agujeros negros planckianos s´ı deben tener una influencia significativa de tipo din´amico sobre el movimiento del CM, ya que su densidad de masa no es despreciable en comparaci´on con la masa Mdel bloque. Asumiendo que ´este ´ultimo se mueve durante un tiempo τ≫tP, atraviesa multitud de estos agujeros negros. Pero, seg´un plantea Bekenstein, si ∆XCM ≪lP, es decir, si el CM se desplaza una distancia mucho menor que la escala de Planck, no atravesar´ıa agujeros negros distintos y, por tanto, no experimentar´ıa efectos de QG en su desplazamiento. Sin embargo, las part´ıculas (en concreto, los γenviados) s´ı que sufren estos efectos cu´anticos, ya que su longitud de onda Compton es mucho m´as grande que lP(el CM de un objeto macrosc´opico tendr´ıa una longitud de onda Compton mucho menor que lP) si ∆XCM ≪lP. Por tanto, existe una cierta probabilidad de que, en nuestro ejemplo particular, los γno puedan atravesar el bloque, en consonancia con una cierta ’rugosidad’ del ST a escala de Planck -la confirmaci´on de la existencia de la ’espuma cu´antica’-. El momento del fot´on rechazado pγno ser´ıa comunicado a los agujeros negros planckianos al requerirse que el vac´ıo gravitatorio sea homog´eneo a escalas de longitud lbloque -una de las dimensiones del bloque atravesada por el fot´on en l´ınea rectao incluso a la escala dada por la longitud de onda del fot´on λ, ambas mucho mayores que lP. Por tanto, no habr´ıa transferencia de energ´ıa a los agujeros negros. Pero esto no es lo relevante para nuestra discusi´on. La idea esencial es la de que los efectos de QG afectan al r´egimen microsc´opico, pero influyen en mucha menor medida al movimiento del CM de un objeto macrosc´opico. Sin embargo, Amelino-Camelia va m´as all´a, como explica en [36]. En el campo de la fenomenolog´ıa de la QG, tradicionalmente se ha pensado que, si los efectos de un ST cu´antico a escala lPafectan a part´ıculas microsc´opicas, necesariamente han de influir tambi´en sobre las propiedades de objetos macrosc´opicos (lo que 22 incluye al CM). Pero este argumento inductivo falla al menos en el caso del CM. En determinados modelos de cuantizaci´on del ST a escala de Planck (planteados mediante ´algebras de conmutadores no triviales), puede probarse que estos efectos cu´anticos sobre el CM desaparecen [36]. En primer lugar, vamos a definir los observables posici´on y momento para el CM de un objeto macrosc´opico de Ncomponentes. Bastar´a con utilizar s´olamente las coordenadas espaciales en nuestro argumento. Tomamos las definiciones usuales (no relativistas, donde la ley de composici´on es la suma usual +): Posici´on del CM: X=1 N N ∑ +,n=1 xnY=1 N N ∑ +,n=1 ynZ=1 N N ∑ +,n=1 zn Momento del CM: Px=1 N N ∑ +,n=1 px,n Py=1 N N ∑ +,n=1 py,n Pz=1 N N ∑ +,n=1 pz,n No resulta descabellado servirnos del citado argumento inductivo para extrapolar la manifestaci´on de fen´omenos de QG del r´egimen microsc´opico al macrosc´opico. Por ejemplo, en Mec´anica Cu´antica no relativista (espacio-tiempo cl´asico), sabemos que la incertidumbre al medir la posici´on de una part´ıcula es exactamente la misma que cuando medimos la del CM de un objeto macrosc´opico. En efecto, defin´ıamos el conmutador de Heisenberg como [a, pa] = i~, a =x, y, z. Es muy sencillo demostrar que, para el CM de un objeto macrosc´opico, obtenemos el mismo resultado. As´ı, si consideramos la direcci´on xpor simplicidad, tenemos que [x, px] = i~. En el CM, se demuestra de forma sencilla que [X, PX] = i~= [x, px] (lo mismo vale para los ejes y, z), en favor del modo de proceder inductivo. Pero, como decimos, este paradigma ha de cambiar, al menos al hablar del CM de objetos macrosc´opicos, en un contexto de QG. Vamos a ver c´omo, en tres ejemplos de modelos de cuantizaci´on del ST, se suprimen, en gran medida, los efectos de QG para el CM: a. No conmutatividad del ST basada en un ´algebra de Lie Este modelo es muy popular en la literatura de QG, al ser actualmente el ´unico en el que se plantea esta diferencia de efectos para los reg´ımenes microsc´opicos y macrosc´opicos. Un espacio de momentos Pque es curvo o presenta no linealidades puede tener como dual un ST basado en un ´algebra de Lie [33]. En este ST, las leyes de conservaci´on para energ´ıas y momentos son no lineales, con correcciones para la energ´ıa y momento de un objeto macrosc´opico (CM) menores que para sus propios constituyentes microsc´opicos. Esto se manifiesta en cambios sobre la escala de longitudes asociada al ´algebra de Lie, que llamamos lL. Para verlo, partimos de la expresi´on general de un ´algebra de Lie adaptado a nuestro problema: [rµ, rν] = i lLθµνρrρdonde r1=x, r2=y, r3=z aunque podemos usar, por simplicidad, un ejemplo m´as sencillo: [x, y] = i lLrµdonde µ= 1,2,3 Aplicando la definici´on de los observables X, Y, Z del CM (no hace falta usar los observables momento del CM): [X, Y ] = [1 N N ∑ +,m=1 xm,1 N N ∑ +,n=1 yn]=1 N2 N ∑ +,m=1 N ∑ +,n=1 [xm, yn] = 1 N2 N ∑ +,m=1 N ∑ +,n=1 δmni lLrµ=1 N2i lL N ∑ +,n=1 rα n [X,Y] = ilL NRµdonde Rµ=1 N N ∑ +,n=1 rµ n Vemos c´omo, en efecto, lLes reescalado para un sistema macrosc´opico en un factor 1/N. De esta forma, la no conmutatividad es m´as d´ebil para las coordenadas del CM que para las de las part´ıculas microsc´opicas b. No conmutatividad de Moyal Esta imagen de un ST cu´antico se caracteriza por presentar conmutadores independientes de las coordenadas. Requeriremos de las definiciones de las posiciones y momentos del CM. Los conmutadores dependen de una escala de longitudes lMcomo [rµ, rν] = i l2 M, µ, ν = 1,2,3 Centr´emonos en el conmutador [x, y] = i l2 M. Para el CM, obtenemos tambi´en un decrecimiento de esa escala de longitudes seg´un N: [X, Y ] = [1 N N ∑ +,m=1 xm,1 N N ∑ +,n=1 yn]=1 N2 N ∑ +,m=1 N ∑ +,n=1 [xm, yn] = 1 N2 N ∑ +,m=1 N ∑ +,n=1 δmni l2 M=1 N2 N ∑ +,n=1 i l2 M 23 [X, Y ] = 1 N2iN l2 M⇒[X,Y] = i(lM √N)2 En este caso, el reescalado viene con un factor N−1/2en vez de N−1, pero la idea de fondo de la disminuci´on de efectos cu´anticos sobre el CM sigue reflej´andose claramente. c. Conmutadores de Heisenberg modificados Esta imagen se caracteriza por llevar impl´ıcita la idea de que es imposible localizar exactamente a una part´ıcula en un punto dado. En Mec´anica Cu´antica, si queremos localizar exactamente una part´ıcula en una posici´on r(δr= 0), la incertidumbre en su momento es m´axima (divergente, δp→ ∞). Pues bien, usando conmutadores de Heisenberg modificados, es imposible localizar exactamente a una part´ıcula en un punto, de forma que δr= 0 ∀δp. Matem´aticamente, esto se deriva de la forma general de un conmutador de Heisenberg modificado [37, 38] [rµ, pµ] = i~(1 −λ′pµ+λ2p2 µ), µ = 1,2,3 donde tenemos dos escalas de longitud diferentes, λyλ′. El que λ2= 0 conlleva que siempre exista una incertidumbre en la posici´on a´un cuando δpµ→ ∞. Nuevamente, consideramos por simplicidad el conmutador [x, px]. Al considerar el sistema CM, tenemos: [X, Px] = [1 N N ∑ +,m=1 xm,1 N N ∑ +,n=1 px,n]=1 N2 N ∑ +,m=1 N ∑ +,n=1 [xm, px,n] = 1 N2 N ∑ +,m=1 N ∑ +,n=1 δmni~(1 −λ′pµ+λ2p2 µ) [X, PX] = i~[1−λ NPx+λ2 N2P2 x+λ2 N N ∑ +,n=1 (p2 x,n −P2 x N2)] En principio, esta expresi´on nos da un reescalado de λ′con 1/N, pero no nos dice nada de si existe una reducci´on sobre la escala λ. Esto es as´ı por el ´ultimo t´ermino a la derecha de esta ´ultima igualdad, dependiente de λ:i~λ2N−1∑N +,n=1 (p2 x,n −P2 x N2), que puede ser considerablemente grande sobre todo cuando las temperaturas son muy elevadas (hablamos de ultra altas temperaturas). Eso se debe a que la diferencia que va entre par´entesis puede ser muy elevada al involucrarnos componentes del trimomento de los diferentes constituyentes microsc´opicos del objeto macrosc´opico, px,n en nuestro ejemplo, que pueden adquirir correcciones por fluctuaciones t´ermicas muy elevadas cuanto mayor sea la temperatura del objeto macrosc´opico, T. Este t´ermino puede a˜nadir, pues. una contribuci´on adicional al valor del conmutador, de tal forma que no escale como 1/N. Sin embargo, parece descabellado regresar directamente al paradigma de que los efectos de un ST cuantizado son iguales a niveles microsc´opicos y macrosc´opicos, tal y como Amelino-Camelia apunta en [36]. Y es que, en el caso particular de que i~λ2N−1∑N +,n=1 (p2 x,n −P2 x N2)≈0 (caso de movimiento cuasirr´ıgido o de fluctuaciones sobre los valores medios de los trimomentos -en nuestro caso particularde los constituyentes muy peque˜nas), las fluctuaciones del ST cu´antico son m´as d´ebiles sobre el CM, como vemos al aparecer tambi´en el reescalado de λexpl´ıcitamente: [X,PX]≈i~[1−λ NPx+λ2 N2P2 x] donde λ2queda reescalado por un factor N−2, o, equivalentemente, λes reducida en un factor 1/N. En cierto modo, estos resultados (que se han aplicado s´olo a tres de los muchos posibles modelos de un ST cu´antizado a una cierta escala de longitudes) pueden resultar descorazonadores en cuanto a la detecci´on de efectos de QG en cuerpos macrosc´opicos y de forma directa. Estamos afirmando que el CM de un objeto macrosc´opico sufre efectos debidos a un ST cu´antico en mucha menor medida que una part´ıcula microsc´opica, hasta el punto de que esos efectos son pr´acticamente despreciables. Pero a´un quedan motivos para la esperanza: puede haber otros observables macrosc´opicos que s´ı manifiesten claramente modificaciones en un r´egimen de QG respecto de sus valores o propiedades en un marco de SR. Otro comentario a realizar es el siguiente. Toda esta discusi´on se ha hecho bajo la suposici´on impl´ıcita de que los grados de libertad del CM del objeto macrosc´opico est´an desacoplados, en su totalidad, de los grados de libertad internos de los constituyentes. Queda sin resolver, en este momento, la pregunta de c´omo ser´ıan exactamente los reescalados en el caso de que existiesen tales acoplos entre grados de libertad, as´ı como la dependencia de los reescalados con dichos acoplos. Adem´as, este an´alisis nos vuelve a llevar al problema de qu´e podemos definir por part´ıcula microsc´opica fundamental, entendida como el objeto que experimenta los efectos de QG en su m´axima intensidad: si es un 24 5. Consideraciones finales Hemos visto, de una manera no demasiado profunda, en qu´e consiste exactamente el SBP. Este problema, muy actual en la investigaci´on en QG, se basa en la disparidad de resultados te´oricos que observamos, en un r´egimen macrosc´opico, al aplicar unas leyes de conservaci´on y una relaci´on de dispersi´on modificadas mediante la inclusi´on de correcciones dependientes de la escala de Planck, en un contexto alejado del marco de SR. Hemos explorado algunas propuestas de soluci´on en este trabajo, en las que se plantea desde que la ley de conservaci´on modificada presenta diferentes posibles formas (canales) para un mismo proceso hasta c´omo la elecci´on de coordenadas y la imposici´on de restricciones a la geometr´ıa, en una aproximaci´on geom´etrica como la que nos da el marco de localidad relativa, puede permitir escapar a este problema. Quedan, a lo largo del trabajo, diferentes inc´ognitas abiertas que no hemos tocado. Por ejemplo, cu´al es la part´ıcula microsc´opica m´as fundamental en nuestro formalismo, de forma que podamos modelizar el resto de cuerpos como sistemas de ese tipo de constituyentes. ¿Es un ´atomo? ¿Es un nucle´on? ¿Es un quark o un lept´on? Hasta ahora no hemos discernido cu´al es esa part´ıcula fundamental. Quiz´as el concepto de part´ıcula microsc´opica fundamental dependa de a qu´e sistema (un ´atomo, un nucle´on, una mol´ecula, una enana blanca, etc.) estemos aplicando la MDR y las leyes de conservaci´on modificadas, es decir, de si las modificaciones asociadas a la escala de Planck son grandes o peque˜nas en comparaci´on con los ´ordenes de magnitud de los cuadrimomentos de los constituyentes que forman ese sistema. Tampoco sabemos c´omo pueden ser realmente las expresiones de la MDR o de la MCL en un contexto de DSR, es decir, cu´ales son, de entre todas las posibles, las ecuaciones modificadas que nos reproducen coherentemente los resultados que estamos observando, en el marco de la investigaci´on experimental (a partir de observaciones astrof´ısicas en F´ısica de Altas Energ´ıas, etc.). O bien cu´ales son las clases de geometr´ıas que, en el marco de la aproximaci´on perturbativa hecha en el apartado 4.4.b, son compatibles realmente con t´erminos de fluctuaci´on m´as peque˜nos que los promedios de los cuadrimomentos (hemos llegado, como mucho, a segundo orden en teor´ıa de perturbaciones, hasta orden M−2 P, pero no hemos ido m´as all´a). O qu´e interpretaci´on matem´atica y f´ısica tienen tales restricciones sobre la geometr´ıa asociadas a los diferentes ´ordenes en teor´ıa de perturbaciones, en ese mismo apartado. O incluso hasta qu´e punto la interpretaci´on f´ısica que hemos desarrollado para los acoplos de cuadrimomentos en la MCL (c´omo ’funciona’ un bal´on de f´utbol por dentro) es correcta o no... Es evidente que muchas de estas cuestiones siguen abiertas, fundamentalmente por la falta de pruebas de QG de que disponemos actualmente. Las condiciones f´ısicas que pretendemos determinar (mediciones a escalas de la energ´ıa o de la longitud de Planck) est´an totalmente fuera de nuestro alcance en la actualidad, por mucho que existan propuestas experimentales seg´un las que podamos medir efectos de QG incluso en el laboratorio [3, 5]. No cabe duda de que, mientras no avancemos en la resoluci´on de nuestros detectores (por ejemplo, generando energ´ıas m´as elevadas que ≈10 TeV en un acelerador de part´ıculas) o en la identificaci´on y detecci´on de efectos de amplificaci´on de fen´omenos de QG como los propuestos para medir el decaimiento del prot´on, por ejemplo, a´un quedar´an muchas inc´ognitas abiertas. Incluyendo la del problema del bal´on de f´utbol... Porque, incre´ıblemente, un bal´on de f´utbol alberga en su interior muchos m´as secretos de los que a´un imaginamos. Como comentario final, quisiera agradecer a los profesores Jos´e Luis Cort´es y Jos´e Manuel Carmona, del ´area de F´ısica Te´orica, por su apoyo y ayuda en la realizaci´on de este trabajo, en la explicaci´on de conceptos nuevos para m´ı y en el inter´es que han mostrado en las discusiones que hemos mantenido sobre todos estos conceptos. 31 6. ´ Indice de abreviaturas Listamos, a continuaci´on, una serie de abreviaturas que aparecen a lo largo del trabajo, para que el lector que lo requiera pueda recurrir a ella. SBP: Soccer ball problem (Problema del bal´on de f´utbol) QG: Quantum gravity (Gravedad Cu´antica) SR: Relatividad especial DSR: Doubly/ Deformed special relativity (Relatividad especial deformada/doble) QFT: Quantum field theory (Teor´ıa Cu´antica de Campos) MDR: Modified dispersion relation (Relaci´on de dispersi´on modificada) MCL: Modified composition law (Ley de composici´on modificada) ST: Espacio-tiempo CM: Centro de masas RW: Random walk 32 Referencias [1] Amelino-Camelia G., ’Quantum-Spacetime Phenomenology’, Living Rev. Relativity 16 (2013), 5; p´ags. 7 a 23, [arXiv:gr-qc/0806.0339] [2] Amelino-Camelia, G., ’Are We at the Dawn of Quantum-Gravity Phenomenology?’, (2000) [arXiv:grqc/9910089] (citas en p´ags. 9, 17, 20, 23, 58, y 66) [3] Bekenstein, J., ’Is a tabletop search for Planck scale signals feasible?’ (2012). 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