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Trabajo Fin de Grado Dinámica en el modelo de Hotelling con costes cuadráticos Autor Daniel Crespo Estage Director/es Joaquín Andaluz Funcia Gloria Jarne Jarne Facultad de Economía y Empresa 2014 Din´ amica en el modelo de Hotelling con costes cuadr´ aticos Daniel Crespo Estage Resumen El modelo de Hotelling es el paradigma en el estudio de la competencia espacial. Con el desarrollo de la teor´ ıa de diferenciaci´ on horizontal del producto se extiende a otras vertientes de la microecon´ omia convirti´ endose en un referente. En la literatura reciente se aborda el an´ alisis din´ amico del equilibrio en mercados duopol´ ısticos. Siguiendo esta l´ ınea, en este trabajo se desarrolla el modelo de Hotelling con costes cuadr´ aticos en un contexto din´ amico atendiendo a diferentes formulaciones de las expectativas, en concreto expectativas con racionalidad limitada, expectativas adaptativas y expectativas heterog´ eneas. La variedad de resultados encontrados abarca casos como estabilidad asint´ otica del equilibrio, inestabilidad e incluso din´ amica compleja. Se concluye que el principio de m´ axima diferenciaci´ on es compatible con la estabilidad del equilibrio de Nash, siempre que la velocidad de ajuste de las empresas sea lo suficientemente baja. Con el objeto de ilustrar el comportamiento del modelo son presentadas una serie de simulaciones, atendiendo al caso en el que nos encontremos, las cuales permiten comprender la evoluci´ on temporal de las variables. Lo que motiv´ o la elecci´ on de esta l´ ınea de trabajo fue mi inter´ es por la din´ amica y por la teor´ ıa microecon´ omica como piedra angular de otras vertientes econ´ omicas. La posibilidad de simular el modelo fue un aliciente en el momento de decidirme por este trabajo. Abstract Hotelling’s model is the paradigm in Spatial Competition Theory. Whith the development of the horizontal product differentiation, this model was spread to other microeconomic aspect becoming it into a referent. In the recent literature can be 1 found dynamic analysis of equilibrium in duopolist market. Following this idea, in this essay is developed Hotelling’s model with quadratic costs paying attention to different formulations of expectations, specifically with bounded rationality, adaptative expectations and heterogeneous expectations. The variety of results found cover cases like Asintotic Stability, Inestability or Complex Dynamic. Is included that the Principle of Maximum Differentiation is compatible with Stability of Nash’s Equilibrium as long as speed adjustment of the firms was low enough. In order to illustrate the behaviour of this model are intoduced some simulations, attending to the case we are studing, wich allow understand the temporary evolution of variables. The reason that motivate me to choose this line of work was my interest in Dynamic and Microeconomic Theory like a cornerstone of other microeconomic aspects. The opportunuty to simulate this model was an incentive at the moment of decide this workpaper. 2 ´ Indice 1 INTRODUCCI ´ ON 4 2 EL MODELO DE HOTELLING 7 2.1 Supuestos .................................. 8 2.2 Resoluci´ on ................................. 9 2.3 Correci´ ondeD’Aspremont......................... 11 3 COSTES CUADR ´ ATICOS 12 4 DINAMIZACI ´ ON DEL MODELO 14 4.1 Expectativas................................. 15 4.1.1 Expectativas con racionalidad limitada . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1.2 Expectativas adaptativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 El modelo din´ amico............................. 17 4.2.1 Expectativas adaptativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2.1.1 Condiciones de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2.2 Expectativas con racionalidad limitada . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2.2.1 Condiciones de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2.3 Expectativas Heterog´ eneas..................... 27 4.2.3.1 Condiciones de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 28 5 CONCLUSIONES 32 Referencias 35 3 1 INTRODUCCI ´ ON En el modelo original de Hotelling (1929) dos empresas ofrecen un producto homog´ eneo a un conjunto de consumidores distribuidos uniformemente a lo largo de una calle, representada por un segmento de longitud l: [0, l]. En dicho modelo, las empresas deciden secuencialmente su localizaci´ on espacial y el precio. El equilibrio es el resultado de un juego din´ amico en dos etapas: en la primera se compite mediante la localizaci´ on y en la segunda, a trav´ es de los precios. Suponiendo que cada consumidor soporta un coste de transporte lineal en la distancia entre su localizaci´ on y la de las empresas (pol´ ıtica de precios f.o.b.1), Hotelling concluye que las empresas se localizar´ an en el centro del mercado. Boulding (1966) denomina a este resultado el principio de m´ ınima diferenciaci´ on, el cual ha trascendido a los modelos puramente espaciales. Estableciendo la equivalencia entre localizaci´ on y el tipo de variedad del producto, este principio explica el comportamiento al lanzar productos muy similares y constituye un resultado fundamental en los modelos de diferenciaci´ on horizontal del producto. Cincuenta a˜ nos m´ as tarde, D‘Aspremont, Gabszewicz y Thisse (1979) demostraron que el principio de m´ ınima diferenciaci´ on es incompatible con la existencia del equilibrio perfecto en subjuegos de localizaciones y precios. Sustituyendo la funci´ on de costes de transporte lineal por una especificaci´ on cuadr´ atica, logran asegurar la existencia de equilibrio pero, en este caso, el comportamiento de las empresas en la primera etapa consiste en localizarse en los extremos del segmento, dando lugar al llamado principio de la m´ axima diferenciaci´ on. En t´ erminos de variedad de producto el principio de m´ axima diferenciaci´ on es identificado con el comportamiento de las empresas al lanzar productos con car´ acteristicas diferentes. A ra´ ız de los resultados anteriores ha surgido una abundante literatura tendente a recuperar el principio de la diferenciaci´ on m´ ınima introduciendo modificaciones al modelo original de Hotelling (1929), tales como especificaciones m´ as generales de los costes de transporte, la consideraci´ on de la demanda el´ astica o la sustituci´ on de la competencia en precios por la competencia en cantidades; para una revisi´ on literaria en profundidad ve´ ase Andaluz (1995). No obstante, todos los trabajos consideran un contexto est´ atico o equi1Free on board 4 valentemente un contexto din´ amico donde las empresas toman sus decisiones de acuerdo a unas expectativas ingenuas (naive expectations). La necesidad de dinamizar el modelo de Hotelling nace de la visi´ on sesgada que proporcionan en su mayor´ ıa los modelos est´ aticos al no incorporar la dimensi´ on temporal. La generaci´ on de expectativas de los agentes sobre las variables econ´ omicas requiere un tratamiento espec´ ıfico en el momento de modelar el comportamiento de los agentes. En la literatuara encontramos art´ ıculos tales como el de Tramontana (2010) y Fanti (2013) en los que se aborda el an´ alisis de mercados duopolistas. En el art´ ıculo de Tramontana (2010) se analiza un duopolio en el que empresas con expectativas heterog´ enas se enfrentan a una demanda isoel´ astica y en Fanti (2013) se estudia la estabilidad local de un duopolio a la Bertrand con diferenciaci´ on vertical y expectativas heterog´ eneas. Objetivo del trabajo: En este contexto, el objetivo del presente trabajo es analizar en un marco din´ amico la estabilidad local del equilibrio de Nash en precios en el modelo de Hotelling (1929) con costes cuadr´ aticos. En concreto, analizamos las condiciones que deben cumplir las localizaciones de las empresas (grado de diferenciaci´ on del producto) para que el equilibrio en precios sea asint´ oticamente estable. El an´ alisis din´ amico exige introducir supuestos sobre el comportamiento de las empresas a lo largo del tiempo. En este trabajo el estudio se realiza considerando distintas expectativas de los jugadores, en concreto expectativas con racionalidad limitada y expectativas adaptativas. Materias y asignaturas relacionadas con el trabajo: La elaboraci´ on del trabajo combina conocimiento de Econom´ ıa Industrial y An´ alisis Din´ amico. Por tanto, permite demostrar habilidades adquiridas en diferentes asignaturas tales como Microeconom´ ıa IV, Matem´ aticas II y Decisi´ on y juegos. Si bien es cierto que en otras asignaturas tales como Microeconom´ ıa II y Econom´ ıa P´ ublica es presentado el modelo de Hotelling, en Microeconom´ ıa IV se profundiza en ´ el. En Decisi´ on y juegos se formalizan y consolidan conceptos tales como funci´ on de 5 mejor respuesta y equilibrio de Nash. En Matem´ aticas II son estudiadas las ecuaciones diferenciales, que son herramientas propias de la din´ amica en tiempo continuo. En este trabajo se considera el tiempo como una variable discreta con lo que ha sido necesario ampliar estos conocimientos adquiridos en tiempo continuo y extenderlos a discreto. Las herramientas matem´ aticas empleadas son las ecuaciones en diferencias. La simulaci´ on de los modelos requiere de programas matem´ aticos, en particular ha sido empleado el programa Wolfram Mathematica 7.0. Estructura El presente trabajo se desarrolla a lo largo de dos bloques. En el primer bloque se presenta el modelo original de Hotelling tanto con costes lineales como costes cuadr´ aticos, as´ ı como la formulaci´ on de las expectativas de los agentes necesaria para el an´ alisis din´ amico. En el segundo bloque se modela y resuelve en un contexto din´ amico el modelo de Hotelling con costes cuadr´ aticos atendiendo a las diferentes especificaciones en la generaci´ on de expectativas, en particular se resuelve con expectativas con racionalidad limidad, expectativas adaptativas y expectativas heterog´ eneas. El trabajo finaliza con la exposici´ on de los resultados derivados del an´ alisis din´ amico. 6 2 EL MODELO DE HOTELLING En el modelo original de Hotelling (1929), dos empresas A, B, se situan a lo largo de una calle representada por el segmento [0, l]. La primera decisi´ on a la que se enfrentan las empresas es decidir la localizaci´ on a lo largo de la calle. Denotamos la localizaci´ on de la empresa Apor a,a∈[0, l]que es la distancia desde el origen del segmento hasta el punto A,a=d(0, A). Denotamos la localizaci´ on de la empresa Bpor b,b∈[0, l], donde brepresenta la distancia desde el punto Bhasta el extremo final del segmento b=d(B, l). Ambas empresas comercializan un producto homog´ eneo a lo largo del mercado representado por el segmento [0, l]. Los consumidores se distribuyen uniformenente sin tener preferencia alguna por una u otra empresa. ´ Estos han de soportar un coste de transporte lineal c. El precio que han de soportar es p1+cx, si son consumidores de la empresa A,´ op2+cy, si son consumidores de la empresa B, donde x, y representa la distancia de dicho consumidor hasta la empresa AyBrespectivamente. Este modelo de competencia en localizaci´ on y precios ideado por Hotelling adquiere una mayor dimensi´ on al ser aplicado en ´ ambitos propios de la diferenciaci´ on horizontal de productos. La diferencia entre mercados concentrados o dispersos tiene equivalencia entre los mercados con un producto homog´ eneo y aquellos que est´ an diferenciados (en el sentido de caracter´ ısticas de Lancaster (1979)). Las analog´ ıas entre ambos enfoques son: •El espacio geogr´ afico es identificado con el espacio de caracter´ ısticas. •La localizaci´ on del consumidor puede ser identificada con la variedad ideal del consumidor. •La localizaci´ on de la empresa con la variedad ofrecida. •El coste de transporte con la p´ erdida de utilidad que el consumidor padece al alejarse de su variedad ideal. •La funci´ on de costes de transporte con la funci´ on de compensaci´ on. 7 De hecho existe una abundante literatura en la que se toma como referencia el modelo original de Hotelling para el estudio de las diferenciaci´ on del producto como por ejemplo Lipsey (1975), Economides (1984) y Gabszewicz (1986a). En funci´ on de las caracter´ ısticas propias de los distintos productos de una industria se distinguen dos clases de diferenciaci´ on: diferenciaci´ on vertical del producto y diferenciaci´ on horizontal del producto. En la diferenciaci´ on vertical para unos precios dados todos los consumidores est´ an de acuerdo respecto a la ordenaci´ on de la categor´ ıa o calidad de los productos. Esta diferenciaci´ on est´ a basada en aquellas caracter´ ısticas del producto que todos los consumidores valoran de igual modo. En la diferenciaci´ on horizontal las caracter´ ısticas de un producto distintas a la calidad son valoradas de forma diferente por cada uno de los consumidores. En este caso, a precios similares, cada producto se sit´ ua en el espacio de caracter´ ısticas. Al incorporar las caracter´ ısticas de los productos en la toma de decisiones las empresas contemplan su posicionamiento o localizaci´ on respecto a sus rivales, convirti´ endose as´ ı la caracter´ ıstica del producto en una variable estrat´ egica. 2.1 Supuestos 1. El coste marginal de producci´ on de las empresas es constante (cero sin p´ erdida de generalidad) y ambas empresas cuentan con la misma tecnolog´ ıa. 2. La cantidad lanzada al mercado es consumida en su totalidad. 3. Los consumidores no tienen preferencia por ninguna de las dos empresas. 4. El producto es homog´ eneo. 5. El mercado esta representado por un segmento de longitud l. 6. Los consumidores se distribuyen uniformenente por el mercado y tienen un precio de reserva lo suficientemente alto como para adquirir una unidad (supuesto de demanda inel´ astica). 7. El precio al que ofertan es f.o.b. 8 t´ erminos de la traza y el determinante de la matriz sin necesidad de calcular los valores propios. Estas condiciones se especifican en el apartado 4.2 En el caso en que el sistema sea no lineal el an´ alisis de la estabilidad se realiza de forma indirecta. El procedimiento consiste en linealizar el sistema en torno al punto de equilibrio mediante un desarrollo de Taylor. Dada la r´ apida convergencia de los t´ erminos mayores que uno ´ estos pueden ser truncados, con lo que obtenemos la linealizaci´ on del sistema en un entorno del equilibrio. Es por tanto sobre la jacobiana del sistema no lineal evaluada en el punto de equilibrio en la que se realiza el an´ alisis de estabilidad de forma an´ aloga al caso lineal. Hay que se˜ nalar que si existe un valor propio de matriz jacobiana de m´ odulo uno, esta linealizaci´ on no es valida. Para una revisi´ on en profundidad, de estos conceptos e instrumentos matem´ aticos puede verse Fern´ andez et al (2003) y Gandolfo (2010). La aplicaci´ on de estas t´ ecnicas en el an´ alisis din´ amico puede verse en los art´ ıculos de Tramontana (2010) y Fanti et al (2013). 4.1 Expectativas La incorporaci´ on de la din´ amica al modelo requiere modelar el comportamiento de los agentes econ´ omicos respecto al futuro. Ante la incertidumbre los agentes han de establecer mecanismos que les permitan la toma de decisiones. El comportamiento de los agentes est´ a condicionado por las expectativas que proyectan sobre el futuro. Consideremos dos empresas que compiten en precios en tiempo discreto. Denotamos los precios lanzados por cada una de las empresas en el momento tcomo pi(t)ypi(t+ 1) en el siguiente per´ ıodo t+ 1, para i= 1,2. El problema al que se enfrentan las empresas es decidir el precio al que lanzar el producto en el siguiente momento.    p1(t+ 1) = argmaxp1Π1(p1(t), pe 2(t+ 1)) p2(t+ 1) = argmaxp2Π2(p2(t), pe 1(t+ 1)) (22) donde Πi(·,·)denota el beneficio de la empresa iype j(t+ 1) representa las expectativas de la empresa isobre el precio que lanzar´ a la empresa j(j= 1,2, j 6=i). Si el problema de optimizaci´ on tiene soluci´ on ´ unica se definen las funciones de reacci´ on o funciones de 15 mejor respuesta como:    p1(t+ 1) = f(pe 2(t+ 1)) p2(t+ 1) = g(pe 1(t+ 1)) (23) El caso m´ as simple es el de las expectativas ingenuas. En este caso los agentes esperan que el rival se comporte el pr´ oximo periodo igual que el presente. De tal manera que pe i(t+ 1) = pi(t), i = 1,2y el modelo queda as´ ı:    p1(t+ 1) = f(p2(t)) p2(t+ 1) = g(p1(t)) (24) El modelo original de Hotelling desarrollado en un contexto est´ atico proporciona el mismo resultado que se alcanzar´ ıa en un contexto din´ amico en el que los agentes presentan expectativas ingenuas. No obstante, bajo otro tipo de expectativas, dicha equivalencia no se cumple. Es el caso de expectativas con racionalidad limitada y expectativas adaptativas que se present´ an a continuaci´ on. Para profundizar en estudio de las expectativas ver Bischi et al (2010). 4.1.1 Expectativas con racionalidad limitada En este tipo de expectativas el agente no tiene informaci´ on completa del mercado. Pero s´ ı que tiene informaci´ on de la variaci´ on del beneficio respecto a la variaci´ on del precio, por lo que sus decisiones est´ an basadas en el beneficio marginal. Si ´ este es negativo reducir´ an el precio del producto mientras que si es posivo lo incrementar´ an. La din´ amica de la racionalidad limitada adopta la siguente forma:    p1(t+ 1) = p1(t) + φ1p1(t)∂Π1(t) ∂p1 p2(t+ 1) = p2(t) + φ2p2(t)∂Π2(t) ∂p2 φ1, φ2>0(25) donde φ1, φ2, representan la velocidad de ajuste de los precios de cada una de las empresas. 4.1.2 Expectativas adaptativas El comportamiento que adoptan los agentes bajo expectativas adaptativas corrige el error cometido en t, estableciendo para esto una combinaci´ on lineal entre el precio en ty el 16 precio resultante de la funci´ on de mejor respuesta una vez conocido el precio establecido por el rival. La forma que adopta el modelo din´ amico (22) es la siguiente:    p1(t+ 1) = (1 −v1)p1(t) + v1f(p2(t)) p2(t+ 1) = (1 −v2)p2(t) + v2g(p1(t)) 0< v1, v2<1(26) donde v1, v2representa la ponderaci´ on en precios que realizan las empresas entre un comportamiento miope y el comportamiento que realizar´ ıan bajo expectativas ingenuas. Esto es, si vi→1la empresa itiende a comportarse bajo expectativas ingenuas mientras que si vi→0el comportamiento tiende a ser miope. Entendemos un comportamiento miope como aquel en el que la empresa no incorpora la presencia de la empresa rival en la toma de decisiones. 4.2 El modelo din´ amico La demanda a la que se enfrentan las empresas en el momento tqueda determinada por la siguiente expresi´ on: q1(t) = a+p2(t)−p1(t) 2c(l−a−b)+l−a−b 2(27) q2(t) = b+p1(t)−p2(t) 2c(l−a−b)+l−a−b 2(28) Y las funciones de beneficio de las empresas en tson: Π1(p1(t), p2(t)) = p1(t)q1(t) = p1(t)a+p2(t)−p1(t) 2c(l−a−b)+l−a−b 2(29) Π2(p1(t), p2(t)) = p2(t)q2(t) = p2(t)b+p1(t)−p2(t) 2c(l−a−b)+l−a−b 2(30) donde los beneficios marginales quedan: ∂Π1 ∂p1(t)=a+p2(t)−2p1(t) 2c(l−a−b)+l−a−b 2(31) ∂Π2 ∂p2(t)=b+p1(t)−2p2(t) 2c(l−a−b)+l−a−b 2(32) Las funciones de mejor respuesta p1(p2)para la empresa uno y p2(p1)para la empresa dos se obtienen resolviendo el sistema:(∂Π1 ∂p1,∂Π2 ∂p2) = (0,0) tal y como establecen las condiciones de primer orden del problema de optimizaci´ on. Resolviendo el sistema tenemos que las funciones de reacci´ on en el momento tson: p1(p2(t)) = 1 2[c(l−a−b)(l+a−b) + p2(t)] (33) p2(p1(t)) = 1 2[c(l−a−b)(l+b−a) + p1(t)] (34) 17 4.2.1 Expectativas adaptativas Tomando la formulaci´ on de las expectativas adaptativas en (26) y sustituyendo las funciones de reacci´ on dadas en (33) y (34) el comportamiento de los agentes queda caracterizado por el siguiente sistema din´ amico lineal    p1(t+ 1) = (1 −v1)p1(t) + v1 2p2(t) + v1 2β1 p2(t+ 1) = (1 −v2)p2(t) + v2 2p1(t) + v2 2β2 (35) donde β1=c(l−a−b)(l+a−b)yβ2=c(l−a−b)(l+b−a), ambos positivos. En el equilibrio ha de cumplirse que pi(t+ 1) = pi(t) = pi, i = 1,2. Sustituyendo en (35), el equilibrio en precios es el mismo que en el modelo original est´ atico y resolviendo el sistema se obtiene p∗ 1=c(l−a−b)l+1 3(a−b) p∗ 2=c(l−a−b)l+1 3(b−a) que constituye el equilibrio de Nash. 4.2.1.1 Condiciones de estabilidad La condici´ on que ha de cumplirse para que este equilibrio estacionario sea asint´ oticamente estable es que los valores propios de la matriz jacobiana del sistema (35) evaluada en p∗ 1, p∗ 2tengan m´ odulo menor que uno 4. La matriz jacobiana de (35) es: J(p1, p2) =   1−v1v1 2 v2 21−v2 (36) En este caso la matriz jacobiana es constante y coincide con J(p∗ 1, p∗ 2)al ser el sistema din´ amico lineal. Como ya he se˜ nalado, existen unas condiciones que nos garantizan que los valores propios de (36) tengan m´ odulo menor que uno, en t´ erminos de la traza y el determinante, son las condiciones de Shur. H= 1 −D > 0(37) F= 1 + T+D > 0(38) TC = 1 −T+D > 0(39) 4v´ ease Fern´ andez (2003) 18 Si se cumplen estas condiciones se garantiza que los valores propios de la matriz jacobiana son menores que uno y consecuentemente se garantiza la estibilidad asint´ otica del equilibrio. El determinante, D≡det(J(p1, p2)) y la traza T≡Tr(J(p1, p2)) de (35) son: D= 1 −v1−v2+3 4v1v2(40) T= 2 −v1−v2(41) La primera de las condiciones a comprobar es que H= 1 −D > 0. H= 1 −D =v1+v2−3 4v1v2 =v1(1 −3 4v2) + v2 Es f´ acil ver H=v1(1 −3 4v2) + v2>0dado que v1, v2∈(0,1), por lo que siempre se cumple (37). La segunda de las condiciones de condiciones que se debe comprobar es que T C = 1−T+D > 0. Donde T C es: TC = 1 −2 + v1+v2+ 1 −v1−v2+3 4v1v2 =3 4v1v2 Tambi´ en se cumple siempre que TC > 0. La ´ ultima de las condiciones que ha de ser comprobada es F= 1 + T+D > 0. El valor de Fes: F= 1 + T+D = 1 + 2 −v1−v2+1+v1−v2+3 4v1v2 = 4 −2v1−2v2+3 4v1v2 = 2(2 −v1−v2) + 3 4v1v2>0ya que: v1, v2∈(0,1) Por lo tanto queda comprobado que el equlibrio de Nash es asint´ oticamente estable para cualquier par de localizaciones. Es decir, indistintamente de las localizaciones y para cualesquiera que fueran las condiciones iniciales, las trayectorias de los precios convergen a los precios de equilibrio. As´ ı pues cualquier perturbaci´ on ex´ ogena que modifique los precios de equilibrio ser´ a corregida y los precios volver´ an al valor de equilibrio. 19 La convergencia hacia el equilibrio puede ser mon´ otona u oscilante en torno al mismo. ´ Esto puede ser determinado atendiendo a los signos de los valores propios, λ1, λ2, asociados a la matriz (36) y a los valores iniciales que adquieran los precios. La ecuaci´ on caracter´ ıstica de (36), |J(p1, p2)−λI|= 0, tiene como valores propios: λ1=2−(v1+v2)−pv2 1+v2 2−v1v2 2(42) λ2=2−(v1+v2) + pv2 1+v2 2−v1v2 2(43) estos valores propios (demostrada la estabilidad asint´ otica del equilibrio) toman valores entre menos uno y uno, λi∈(−1,1); i= 1,2. En particular tenemos que λ2∈(0,1), puesto que 2−(v1+v2)>0. Adem´ as λ1< λ2para cualquier valor de las ponderaciones v1, v2. El signo de λ1queda determinado por el signo de 2−(v1+v2)−pv2 1+v2 2−v1v2, tal que: λ1≶0⇔2−(v1+v2)−qv2 1+v2 2−v1v2≶0 resolviendo la inecuaci´ on tenemos que:    λ1>0si: f(v2) = 4(1−v2) 4−3v2> v1 λ1<0si: f(v2) = 4(1−v2) 4−3v2< v1 (44) La convergencia ser´ a mon´ otona si λ1>0yλ2>0. Dado que λ2>0la convergencia ser´ a mon´ otona cuando 4(1−v2) 4−3v2> v1⇔λ1>0, indistintamente de los precios iniciales. Mientras que para 4(1−v2) 4−3v2< v1⇔λ1<0debemos atender a los valores iniciales de los precios para discernir entre convergencia mon´ otona u oscilante. Para ilustrar los casos anteriores se muestran las trayectorias temporales de los precios obtenidas al simular con el programa Mathematica 7 el sistema din´ amico (35). En cada caso se especifica los par´ ametros y las condiciones iniciales. En la figura 1 las trayctorias temporales de los precios, pi(t), presentan una convergencia mon´ otona a los precios de equilibrio. 20 Figura 1: l= 1; a= 0; 5; b= 0; v1= 0,2; v2= 0,8; p1(0) = 0,2; p2(0) = 0,8 En la figura 2 el comportamiento de los precios es oscilante aunque tambi´ en covergen al equilibrio. Figura 2: l= 1; a= 0; 5; b= 0; v1= 0,9; v2= 0,6; p1(0) = 0,9; p2(0) = 0,6 4.2.2 Expectativas con racionalidad limitada En el caso de expectativas con racionalidad limitada el comportamiento de los agentes se concreta sustituyendo (31) y (32) en (25). La forma funcional que caracteriza el comportamiento de los agentes es un sistema discreto bidimensional no lineal. Este sistema determina la din´ amica de precios y es:    p1(t+ 1) = p1(t) + φ1p1(t)ha+p2(t)−2p1(t) 2c(l−a−b)+l−a−b 2i p2(t+ 1) = p2(t) + φ2p2(t)hb+p1(t)−2p2(t) 2c(l−a−b)+l−a−b 2iφ1, φ2>0(45) En el estado estacionario se cumple que pi(t+ 1) = pi(t) = pi, i = 1,2, por lo tanto los equilibrios Equedan determinados por las combinaciones de precios que satisfacen el siguiente sistema:    φ1p1ha+p2−2p1 2c(l−a−b)+l−a−b 2i= 0 φ2p2hb+p1−2p2 2c(l−a−b)+l−a−b 2i= 0 (46) 21 donde la ´ unica soluci´ on interior5del sistemas es: E1= (p∗ 1, p∗ 2) = (l+a−b 3)(l−a−b)c, (l+b−a 3)(l−a−b)c que corresponde al equilibrio de Nash. 4.2.2.1 Condiciones de estabilidad La condici´ on que ha de cumplirse para que este equilibrio estacionario sea asint´ oticamente estable es que los valores propios de la matriz jacobiana del sistema definido en (45) evaluada en E1tengan m´ odulo menor que uno6. La matriz jacobiana J(p1, p2)de (45) es: J(p1, p2) =   1 + φ1[(l+a−b)(l−a−b)c+p2−4p1] 2c(l−a−b) φ1p1 2c(l−a−b) φ2p2 2c(l−a−b)1 + φ2[(l+b−a)(l−a−b)c+p1−4p2] 2c(l−a−b) (47) Evaluando (47) en el equilibrio E1: J(E1) =   1−φ1l+1 3(a−b)φ1 2l+1 3(a−b) φ2 2l+1 3(b−a)1−φ2l+1 3(b−a) (48) En aras de simplificar supondremos que l= 1 y que φ1=φ2=φpor lo que (48) queda: J(E1) =   1−φ1 + 1 3(a−b)φ 21 + 1 3(a−b) φ 21 + 1 3(b−a)1−φ1 + 1 3(b−a) (49) Con objeto de comprobar la estabilidad asint´ otica del equilibrio estacionario se estudian a continuaci´ on las condiciones de Shur, presentadas en (37), (38) y (39). Desarrollando la traza y el determinante tenemos que: Det(J(E1)) ≡D= 1 −2φ+3 4φ2(1 −A2)(50) Tr(J(E1)) ≡T= 2(1 −φ)(51) Por simplicidad denotamos A=1 3(a−b). 5Existen cuatro soluciones del sistema no lineal, las otras tres son soluciones esquina, E2= (0,0), E3= (0,1 2c(l−a−b)(l+b−a)), E4= (1 2c(l−a−b)(l+a−b),0) 6Analizando la estabilidad de los equilibrio esquina obtenemos que son puntos de equilibrio inestables. 22 La primera de las condiciones que ser´ a comprobada es TC = 1 −T+D > 0donde TC es: TC = 1 −2(1 −φ)+1−2φ+3 4φ2(1 −A2) =3 4φ2(1 −A2) (52) Es f´ acil ver que T C > 0si tenemos en cuenta que A=1 3(a−b)y|a−b|<1supuesto l= 1. Otra condici´ on es que H= 1 −D > 0, en este caso desarrollando Htenemos que: H= 1 −1+2φ−3 4φ2(1 −A2) =φ2−3 4φ(1 −A2)(53) donde deducimos que H > 0si y solo si: 2−3 4φ(1 −A2)>0 φ < 8 3(1 −A2) Por lo tanto: H > 0⇔φ < 8 3(1 −A2)(54) En el caso que las empresas se comporten de forma sim´ etrica (caso que incluye los de m´ ınima y m´ axima diferenciaci´ on) se tiene a−b= 0 y por tanto la condici´ on queda φ < 8 3. Si una de las empresas se situara en el centro del mercado y la otra en uno de los extremos entonces |a−b|=1 2y esta condici´ on ser´ ıa φ < 96 35 ≃2,7428. Por ´ ultimo la condici´ on (38) F= 1 + T+D > 0donde F: F= 1 + 2 −2φ+ 1 −2φ+3 4φ2(1 −A2) = 4 −4φ+3 4φ2(1 −A2) puede ser factorizada, dado que ∆ = √1+3A2∈R, en funci´ on de φde tal manera que: F= φ−8−4√1+3A2 3(1 −A2)! φ−8+4√1+3A2 3(1 −A2)!>0 Dado que el coeficiente director 3 4(1 −A2)>0los intervalos en los que F > 0son: F > 0⇔φ∈( 0,8−4√1+3A2 3(1 −A2)!∪ 8+4√1+3A2 3(1 −A2),∞!) (55) En s´ ıntesis y agrupando las condiciones (54) y (55) tenemos que el equilibrio es asit´ oticamente estable si se cumplen simult´ aneamente ambas restricciones, esto es: ( 0,8−4√1+3A2 3(1 −A2)!∪ 8+4√1+3A2 3(1 −A2),∞!)∩0,8 3(1 −A2)(56) 23 Dado que el valor de φque hace H(φ)=0est´ a comprendido entre los valores para los que F < 0, el intervalo en el que H > 0yF > 0es: φ∈ 0,8−4√1+3A2 3(1 −A2)!(57) En el caso particular de simetr´ ıa, y por lo tanto contemplando el caso de m´ axima diferenciaci´ on, el intervalo de φen los que el equilibrio de Nash es asint´ oticamente estable es: φ∈0,4 3 resultado del que se deduce que a pesar de que las empresas tiendan a diferenciarse lo m´ aximo posible, bajo los supestos de l= 1, φ1=φ2=φ, existen velocidades de ajuste en el mecanismo de fijaci´ on de precios incompatibles con la estabilidad asint´ otica en precios. Por lo tanto el principio de m´ axima diferenciaci´ on no se ve comprometido puesto que las empresa maximizan su beneficio situ´ andose en los extremos del mercado. Como ilustraci´ on a las posibles trayectorias temporales mostramos cuatro simulaciones del sistema din´ amico (45) suponiendo m´ axima diferenciaci´ on, a=b= 0. En la figura 3 se muestra una situaci´ on de convergencia a los precios de equilibrio. Figura 3: l= 1; a= 0; b= 0; φ= 1; p1(0) = 0,8; p2(0) = 0,2 En la figura 4 y 5 la condici´ on de F > 0es la ´ unica que no se satisface. Se observa que el equilibrio de Nash no es asint´ oticamente estable apareciendo oscilaciones en torno a´ el. 7 La regularidad de estas oscilaciones puede variar segun los valores par´ ametrico. Se observa mayor irregularidad en la figura 5. 7Para φ=4 3se produce un bifuraci´ on de Flip. Este tipo de bifuraci´ on se produce cuando F= 0 pero T C >=yH > 0(uno de los valores propios es menos uno). Asociados a esta bifurcaci´ on pueden aparecer ciclos de orden 2,4,8, ... o din´ amicas m´ as complejas como la de la figura 5. 24 ∂¯ φ ∂b =2 (2 −v) 32−2 3vl+1 3(a−b)2(76) En este caso tenemos que ∂¯ φ ∂b >0por lo que cuanto m´ as se aleje la empresa bdel extremo lmayores podr´ an ser los valores de la velocidad de ajuste compatibles con la estabilidad asint´ otica del equilibrio. Por lo tanto el valor de la velocidad de ajuste compatible con la estabilidad asint´ otica del equilibrio aumentar´ a conforme la empreasa con expectativas adaptativas tienda a diferenciarse lo m´ ınimo posible, es decir, se sit´ ue en el centro del mercado. Teniendo en cuenta la relaci´ on entre la velociadad de ajuste φy las localizaciones de las empresas. La localizaci´ on de las empresas para las cuales el valor de la velocidad de ajuste compatible con la estabilidad asint´ otica del equilibrio es m´ axima son la max´ ıma diferenciaci´ on para la empresa con expectativas con racionalidad limitada y la m´ ınima diferenciaci´ on para la empresa con expectativas con racionalidad limitada. Esto es (a, b) = (0,l 2). Por lo que en expectativas heterog´ eneas el principio de m´ axima diferenciaci´ on no representa el caso en el cual el valor de φse hace m´ aximo sino un caso intermedio en el rango de posibles valores de la velocidad de ajuste compatibles con la estabilidad del equilibrio. Este resultado no implica la ruptura del principio de m´ axima diferenciaci´ on puesto que las empresas optimizan su beneficio conforme diferencian sus productos. El caso en el que la localizaci´ on de las empresas fuera (a, b) = (0,l 2)se justificar´ ıa atendiendo ´ unicamente a criterios de estabilidad del sistema. Supongamos que la empresa ase sit´ ua en la localizaci´ on correspondiente al principio de m´ axima diferenciaci´ on y que tiene una velocidad de ajuste cercana al l´ ımite de estabilidad. Bajo esta hip´ otesis la empresa bsacrifica parte de los beneficios que le proporcionar´ ıa la m´ axima diferenciaci´ on en aras de alcanzar un rango mayor de valores en la velocidad de ajuste compatible con el equilibrio. Otro tipo de combinaciones en el espacio param´ etrico puede darse suponiendo casos l´ ımite. 31 5 CONCLUSIONES A lo largo de los diferentes apartados se explota el modelo din´ amico de Hotelling con costes cuadr´ aticos arrojando diferentes resultados en funci´ on de la formulaci´ on empleada en las expectativas de precios. Concretando bajo expectativas adaptativas tenemos que la convergencia en precios se produce para cualquier par de localizaciones. En particular y teniendo en cuenta el resultado de D’Aspremont et al (1979) en el que se cumple el principio de m´ axima diferenciaci´ on queda asegurada la estabilidad del equilibrio. Otro resultado obtenido son los valores de las ponderaciones para los cuales la convergencia a los precios de equilibrio es mon´ otona u oscilante. Si consideramos expectativas con racionalidad limitada se garantiza la estabilidad de los precios en un entorno del equilibrio para un rango concreto de velocidades de ajuste y sean las que fueran las localizaciones. Fuera de este rango de las velocidades de ajuste el equilibrio es inestable. Por lo que la estabilidad en precios, teniendo presente el principio de m´ axima diferenciaci´ on, se produce si y solo si las velocidades de ajuste est´ an dentro del rango de valores de estabilidad. Otra de las conclusiones que arroja la adopci´ on de expectativas con racionalidad limitada es que existe una relaci´ on inversa entre la amplitud del rango de valores en los que las velocidades de ajuste son compatibles con la estabilidad en precios y la asimetr´ ıa en la diferenciaci´ on de las empresas. La aplicaci´ on de este resultado a las estrategias de negocio induce a considerar que las estrategias sim´ etricas son aquellas que dotan al sistema de mayor grado de estabilidad. Respecto al resultado bajo expectativas heterog´ eneas tenemos que el equilibrio es asint´ oticamente estable imponiendo ciertas restricciones. Uno de los resultados es que existe una relaci´ on inversa entre el valor m´ aximo de la velocidad de ajuste compatible con la estabilidad asint´ otica del equilibrio y la amplitud del mercado. Conforme aparecen variedades potenciales o se expande el tama˜ no del mercado el rango de valores en la velocidad de ajuste compatibles con el equilibrio se estrecha. Atendiendo al comportamiento del agente miope frente al ingenuo, tenemos que las posibilidades de estabilidad se ampl´ ıan conforme se comporta de forma miope y se reducen en caso de que el comportamiento tienda hacia las expectativas ingenuas. Considerando las posiciones de las empresas las localizaciones propias del principio 32 de m´ axima diferenciaci´ on no son el par de localizaciones que aportan el mayor grado de estabilidad al sistema. El par de localizaciones que aporta mayor estabilidad en t´ erminos del rango de valores son la m´ axima diferenciaci´ on para la empresa ay el de la m´ ınima diferenciaci´ on para la empresa b. Este resultado no invalida el principio de m´ axima diferenciaci´ on, simplemente restringe las velocidades de ajuste compatibles con el equilibrio. Englobando todos los resultados y en l´ ıneas generales tenemos que podemos encontrar valores en el espacio param´ etrico para los cuales se garantiza la estabilidad asint´ otica del equilibrio de Nash. En particular el principio de m´ axima diferenciaci´ on se afianza como resultado y no ha sido encontrado ning´ un caso en el que categ´ oricamente no exita la posibilidad de equilibrio. Tanto en el modelo con expectativas heterog´ eneas como en el de racionalidad limitada encontramos valores de los par´ ametros para los que aparece inestabilidad o din´ amica compleja. En cualquier caso este tipo de comportamiento se produce si las velocidades de ajuste de los precios son lo suficientemente grandes. Este trabajo no puede considerarse un trabajo completo sino un punto de partida. Como futuras l´ ıneas de trabajo cabe la generalizaci´ on de las expectativas con racionalidad limitada extendiendo los p´ arametros al caso general. Atendiendo al comportamiento complejo de la din´ amica para ciertos valores de los par´ ametros las posibilidades de profundizar son muy amplias. Respecto a la especificaci´ on del modelo podr´ ıa ser generalizada la funci´ on de costes a una especificaci´ on mucho m´ as general. Otra de las posibles l´ ıneas de trabajo podr´ ıa considerar que los consumidores no se distribuyen uniformenente a lo largo de la calle o romper el supuesto de demanda inel´ astica. Si consideremos el n´ umero de jugadores podr´ ıa ampliarse a m´ as de dos. Las posibilidades del modelo claramente no est´ an agotadas y son m´ ultiples. Al observar el comportamiento de las variables en las figuras con din´ amica compleja se aprecia un comportamiento err´ atico. Este comportamiento, a pesar de que es generado por un proceso determinista, aparentemente se muestra como un proceso estoc´ astico. Es decir, parece que las variables est´ an sometidas a un shock externo de car´ acter aleatorio. Pensando en otras disciplinas, en particular en econometr´ ıa, ser´ ıa interesante considerar 33 el modelo din´ amico con el objeto de obtener los par´ ametros que permitieran predecir el comportamiento de los precios en sectores particulares de la econom´ ıa en los que se d´ e la diferenciaci´ on horizontal del producto. La innovaci´ on que plantea este trabajo es la incorporaci´ on de din´ amica al modelo de Hotelling. En este sentido puede ser utilizado como un documento de trabajo a partir del cual desarrollar otras variantes en el modelo. Con la realizaci´ on de este trabajo he tenido la oportunidad de profundizar en el an´ alisis formal de un modelo econ´ omico en un marco din´ amico. En particular este trabajo me ha permitido afianzar un concepto clave en la teor´ ıa econ´ omica como son las expectativas. La formalizaci´ on de las expectativas a la teor´ ıa econ´ omica increment´ o las posibilidades de aproximarse a la realidad desde un punto de vista te´ orico. En este trabajo he podido aprehender con mayor profundidad el concepto de expectativa y adem´ as he aprendido a modelar dos tipos de las mismas, de las que combinadas nace una tercera. Adem´ as el equilibrio de Nash se ha extendido a un contexto puramente din´ amico, lo cual me ha llevado a explorar la idea de equilibrio de Nash asint´ oticamente estable o inestable y me ha permitido descubrir que existen comportamientos que aparecen como err´ aticos pero son de naturaleza determinista. De igual modo he podido determinar las condiciones que han de cumplirse para que el equilibrio sea asint´ oticamente estable. Al profundizar en el modelo de Hotelling me ha permitido vislumbrar la importancia que adopta dicho modelo en la teor´ ıa microecon´ omica como se da el caso en la teor´ ıa de la diferenciaci´ on horizontal del producto. Como consecuencia tambi´ en me ha permitido descubrir y afianzar conceptos en la difereciaci´ on del producto, tanto horizontal como vertical. 34 Referencias [1] ANDALUZ, J (1995) Competencia en localizaci´ on y precios: Influencia de los costes de transporte Cuadernos aragoneses de econom´ ıa, Vol 5, no2, pp 343-358. [2] BISCHI, G.I., CHIARELLA, C., KOPEL, M., SZIDAROVSKY,F (2010) Nonlinear Oligopolies Stability and Bifurcations Springer [3] BOULDING, K. (1966) Economic Analysis. vol 1 Microeconomics, Harpers, New York. [4] D’ASPREMONT, C; J. GABSZEWICZ; J.F. THISSE (1979) On Hotelling’s Stability in CompetitionEconometrica, vol. 47,no5,pp 1145-1150 [5] EATON, B.C.; LIPSEY, R.G. (1975) The principle of minimun diferentation reconsidered: Somo news developments in the theory of spatial competitionReview of Economic Studies vol. 42 no129 pp 27-29 [6] ECONOMIDES , N (1984) The principle of minimun diferentation revisitedEuropean Economic Review no24 pp 345-368. 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