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2013 87 Francisco Javier Gómez Diest El problema global en la ecuación de Schrödinger con una clase de potenciales confinantes de potencias Departamento Director/es Física Teórica Sesma Bienzobas, Javier Director/es Tesis Doctoral Autor Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Departamento Director/es Francisco Javier Gómez Diest EL PROBLEMA GLOBAL EN LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER CON UNA CLASE DE POTENCIALES CONFINANTES DE POTENCIAS Director/es Física Teórica Sesma Bienzobas, Javier Tesis Doctoral Autor 2013 Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Departamento Director/es Director/es Tesis Doctoral Autor Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA El problema global en la ecuación de Schrödinger con una clase de potenciales connantes de potencias Memoria presentada en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza por Francisco Javier Gómez Diest para optar al grado de Doctor en Ciencias (sección Físicas) Zaragoza, noviembre de 2012 ii Don Javier Sesma Bienzobas, Catedrático jubilado de la Universidad de Zaragoza, CERTIFICA: Que la presente memoria El problema global en la ecuación de Schrödinger con una clase de potenciales connantes de potencias , ha sido realizada bajo su dirección en el Departamento de Física Teórica de la Universidad de Zaragoza, y que autoriza su presentación para que sea calicada como Tesis Doctoral. En Zaragoza a 28 de noviembre de 2012 Firmado: Javier Sesma Bienzobas iii A mis padres, Lamberto y María Carmen. A mis hermanos, María Paz y José Manuel. Al padre José Nemry Bodson, O. F. M. A mis profesores y compañeros del colegio "La Salle" de Zaragoza. iv Agradecimientos En primer lugar, deseo expresar mi profundo agradecimiento a Javier Sesma Bienzobas, cuya orientación ecaz y paciencia sin límite hacen posible que este trabajo vea la luz. Agradezco también al Departamento de Física Teórica de la Universidad de Zaragoza el apoyo constante y trato amable que me ha dispensado. No son pocas las personas a las que debo agradecer las enseñanzas recibidas durante las etapas de licenciatura y doctorado, en seminarios, cursos y conversaciones informales. Quiero dejar testimonio de particular reconocimiento a los profesores Andrés Cruz Flor, José F. Cariñena Marzo, Manuel F. Rañada, Antonio F. Rañada, José Luis Alonso Buj, José Vicente García Esteve, Manuel Asorey Carballeira, José Luis Cortés Azcoiti, Luis Mario Floría Peralta, María Antonia Navascués, Luis J. Boya, Amalio Fernández Pacheco, Antonio Seguí, Juan Antolín, y a los tristemente fallecidos Justiniano Casas Peláez y J. M. Savirón. Finalmente, quisiera dedicar un recuerdo emocionado a dos compañeros que nos han dejado en la plenitud de la vida, Julio Abad Antoñanzas y Javier Casahorrán Sebastián, cuya bondad y simpatía no olvidaré. v " Supliqué y se me concedió la prudencia, invoqué y vino a mí un espíritu de sabiduría. La preferí a cetros y a tronos, y en su comparación tuve en nada la riqueza. No le equiparé la piedra más preciosa, porque todo el oro a su lado es un poco de arena y junto a ella la plata vale lo que el barro. La preferí a la salud y a la belleza, y me propuse tenerla por luz, porque su resplandor no tiene ocaso. Con ella, me vinieron todos los bienes juntos, en sus manos había riquezas incontables ." ( Sb 7, 7-11 ) vi Prefacio La presente memoria es un resumen del trabajo de investigación desarrollado por el doctorando en el departamento de Física Teórica de la Universidad de Zaragoza bajo la tutela del catedrático doctor don Javier Sesma Bienzobas. El objetivo principal de este proyecto ha sido explorar, más allá de su utilidad como herramienta de cálculo numérico, las posibilidades de aplicación de métodos asintóticos para resolver un conjunto de problemas de la Mecánica Cuántica que derivan de la ecuación de Schrödinger con cierta clase de potenciales connantes dados por una suma de potencias. Estos problemas pueden formularse mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden que, vericadas por funciones de una variable compleja z , presentan singularidades en el origen y en el innito de rangos enteros arbitrarios. El conocimiento de las soluciones físicamente aceptables de la ecuación de Schrödinger en el intervalo completo de distancias de cero a innito exige disponer de representaciones adecuadas de cualquier solución particular de la ecuación en la vecindad de ambos puntos singulares y establecer relaciones entre ambas representaciones mediante expresiones algebraicas denominadas fórmulas de conexión . Estas fórmulas dependen de ciertas constantes complejas, denominadas factores de conexión o multiplicadores de Stokes , cuyo cálculo es equivalente a resolver el problema global o problema de conexión de la ecuación diferencial correspondiente al problema físico de interés. El capítulo primero contiene un breve compendio de algunas deniciones y teoremas fundamentales del Análisis Asintótico que permiten, entre otras cuestiones, comprender el signicado de símbolos utilizados para la expresión del comportamiento de una función en la vecindad de algún punto de su dominio de denición, la diferencia entre un desarrollo asintótico de una función y una serie convergente a la función dada, establecer condiciones bajo las cuales pueden realizarse operaciones algebraicas, integración o derivación de desarrollos asintóticos, o cuándo un desarrollo asintótico constituye una representación válida de una función compleja en la vecindad de un punto dado. En las dos primeras secciones del capítulo segundo el lector encontrará algunos tópicos de la teoría de representación de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden en la vecindad de puntos singulares que son necesarios para formular correctamente nuestro problema de conexión, xiii xiv CAPÍTULO 0. prefacio con referencia especial al fenómeno de Stokes. En la sección tercera describimos el método de F. Naundorf [43] de resolución del problema global en ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con dos puntos singulares, en el cual se inspira nuestro trabajo. En las secciones cuarta y quinta exponemos nuestro método de resolución del problema global, el método de los Wronskianos, considerando primero ecuaciones que presentan una singularidad regular en el origen y una irregular en el innito (caso regular-irregular), y en segundo lugar ecuaciones donde ambos puntos singulares, origen e in- nito, son irregulares (caso irregular-irregular). Este método, exacto salvo cálculos numéricos, se basa en la idea de que es posible obtener los factores de conexión como cocientes de Wronskianos de dos sistemas de soluciones de la ecuación diferencial: el primero representado por series de potencias (soluciones de Floquet), el segundo por desarrollos asintóticos en potencias de la variable independiente (soluciones de Thomé). En particular, el espectro de energías se obtiene exigiendo, en la fórmula que conecta a una solución regular en el origen con las dos soluciones de Thomé, regular e irregular, en la vecindad del innito, la anulación del factor que multiplica a la solución irregular. Los capítulos tercero, cuarto y quinto presentan, siguiendo un orden cronológico, la referencia de los trabajos publicados cuyos contenidos denen etapas sucesivas en el desarrollo de nuestro proyecto. En el capítulo tercero exponemos algunas aplicaciones del método de Naundorf a la ecuación de Schrödinger con diferentes potenciales que han merecido la atención de muchos autores: el potencial "de Cornell" (Coulomb más lineal), [26], V(r) = −a′ r+b+cr, (1) utilizado en la espectroscopia de hadrones, el potencial del efecto Stark esférico en el hidrógeno, [27] V(r) = −1 r+λr, (2) y los osciladores anarmónicos unidimensionales, [28], como el séxtico V(x) = λ2x2+λ4x4+λ6x6, (3) que han servido para contrastar diferentes métodos aproximados de resolución de la ecuación de Schrödinger, y los potenciales "sombrero", [29] Vs(r) = a(r2−b2)2, (4) que aparecen en diferentes modelos de física molecular, física de la materia condensada y teorías de campos. El método de Naundorf da el espectro de energías correspondiente a cada potencial como conjunto de ceros de una xv función denida en términos de series dobles que se suman numéricamente. Los valores de las energías obtenidas por nosotros aplicando este método para diferentes valores escogidos de los parámetros de cada potencial se han comparado con los valores publicados por otros autores, con resultados satisfactorios, lo que para nosotros constituye una prueba de validez suciente del método de Naundorf. En el capítulo cuarto damos cuenta de algunas aplicaciones de la versión (I) del método de los Wronskianos, descrita en la sección 2.4 del capítulo segundo, a problemas de conexión en los cuales uno de los dos puntos singulares de la ecuación diferencial es regular, siendo el otro irregular. En la sección 4.1 consideramos varios ejemplos de osciladores anarmónicos, [31], como el oscilador unidimensional representado por el potencial V(x) = gx2+x2N, N = 1,2,3, ..., (5) estudiado por Guardiola et al. [36], Nanayakkara et al. [42] y Amore et al. [5], otros solubles algebraicamente, como los de Pöschl-Teller, Pöschl-Teller modicado y Morse [23]. Otros ejemplos [30] son el oscilador anarmónico cuártico V(r) = A4r4+A2r2+A−2r−2, A4>0, (6) discutido por Balsa et al. [7] cuando A4= 1 , A−2= 0 , y el oscilador anarmónico general V(r) = 2N ∑ j=−2 Ajrj, N ≥2, A2N>0. (7) En la sección 4.2 aplicamos nuestro método a la ecuación de Schrödinger [32] −z2d2w dz2+  2ˆ N ∑ s=0 ˆgszs w= 0,ˆg2ˆ N= 0, (8) con un potencial polinomial g(z) = z−2ˆg(z) = 2N ∑ s=−2 gszs, gs= ˆgs+2, N =ˆ N−1, (9) que incluye los términos centrífugo y de energía. A n de comparar los valores de los factores de conexión que genera nuestro método con los obtenidos por otros autores, como [16], consideramos dos ejemplos de ecuaciones integrables mediante productos de funciones elementales por funciones hipergeométricas: correspondiendo a ˆ N= 1 ( N= 0 ) la ecuación −z2d2w dz2+(z2+λ2−1 4)w= 0, (10) xvi CAPÍTULO 0. prefacio y para ˆ N= 2 ( N= 1 ) la ecuación de un oscilador armónico de energía ε , −z2d2w dz2+(z4+εz2)w= 0. (11) En el capítulo quinto presentamos algunas aplicaciones de la versión (II) del método de los Wronskianos, descrita en la sección 2.5 del capítulo segundo, a problemas donde la ecuación de Schrödinger contiene un potencial suma de potencias de la variable independiente, de modo que el origen y el innito son ambos puntos singulares irregulares de la ecuación diferencial. La sección 5.1 está dedicada al cálculo de los factores de conexión en la ecuación de Heun doblemente conuyente (DCHE), [1], [51, p. 129], un ejemplo clásico de ecuación que tiene en el origen y el innito dos singularidades irregulares de rango 1 . A n de comprobar la viabilidad del método, tomamos como ejemplo la ecuación radial reducida de Schrödinger de una partícula de masa m , momento angular l¯h y energía E=A2¯h2/2mr2 0 en un potencial con simetría esférica V(r) = −¯h2 2m(A−2r2 0 r4+A−1r0 r3+A0+l(l+ 1) r2+A1r−1 0 r), (12) que mediante un cambio adecuado de variable adopta la forma normal [55] de la DCHE. Eligiendo adecuadamente los valores de los parámetros A−2 , A−1 , A0 , A1 , y del parámetro de energía A2 , (12) pertenece a una clase de potenciales cuasiexactamente solubles [62] y presenta un estado ligado, de momento angular l= 0 y energía E=−(1/4)¯h2/2mr2 0 , representado por una solución normalizable en el semieje real positivo [46]. En estas condiciones, es posible conocer los valores exactos de los factores de conexión de la solución multiplicativa, que vienen dados por series cuyo término general es un producto de funciones elementales. Los valores obtenidos sumando estas series coinciden con los valores de las partes reales de los mismos factores calculados por nuestro método utilizando un programa FORTRAN con doble precisión. Los osciladores "spiked" cuánticos, i.e. osciladores armónicos dotados de un término repulsivo singular en el origen, λ rα, λ > 0, α > 0, (13) han suscitado el interés de una considerable nómina de autores desde la publicación del trabajo pionero de Klauder [38]. En la sección 5.2 utilizamos el método de los Wronskianos para obtener los niveles de energía y funciones de onda de una partícula en un potencial "spiked" connante tridimensional [33] V(r) = qmax ∑ q=qmin A(q)rq, (14) xvii donde el índice q recorre un conjunto nito de números enteros y/o racionales positivos y negativos ( qmin <0 ), ( qmax >0 ), A(qmin)>0 , A(qmax)>0 . La ecuación de Schrödinger con este potencial se lleva a la forma −z2d2w dz2+  2ˆ N ∑ s=−2ˆ M ˆgszs w= 0,ˆ M, ˆ N > 0,ˆg−2ˆ M,ˆg2ˆ N>0, (15) donde ˆ M , ˆ N representan los rangos de las singularidades en el origen y el in- nito respectivamente. Nuestro método no precisa del cálculo de las funciones de onda en ambos puntos singulares, es suciente conocer el comportamiento asintótico de tales funciones en la vecindad de uno y otro punto. En este caso, la condición de cuantización deriva de exigir que, de las dos soluciones de Thomé representadas por sendos desarrollos asintóticos en la vecindad del origen, la que tiene un comportamiento regular en el origen sea también regular en el innito. La idoneidad de nuestro procedimiento para tratar osciladores "spiked" se verica aplicándolo a algunos casos particulares, como el potencial V(r) = A2r2+A−4r−4, A2= 1, (16) estudiado por Buendía et al. [14], Roy [52], Znojil [69], Aguilera-Navarro et al. [4], el potencial V(r) = A2r2+A−4r−4+A−6r−6, (17) tratado en [14], [52], [53], y el potencial V(r) = r2+λr−5/2, (18) considerado por Aguilera-Navarro et al. [3] y Buendía et al. [14]. En el primer caso, con el potencial (16), nuestra aritmética FORTRAN de doble precisión genera resultados cuya exactitud es comparable a la excelente alcanzada por Buendía et al. con un método de continuación analítica, o a la de Roy, quien utiliza un método pseudoespectral generalizado. En el caso del potencial (17), la concordancia de nuestros resultados con los de Buendía et al. y Roy es notable. Finalmente, con el potencial (18) la exactitud de nuestros resultados mejora la de los que se obtienen en [3] por integración numérica de la ecuación de Schrödinger, aunque no alcanza la de Buendía et al. con el método de continuación analítica. En un capítulo suplementario dividido en dos apéndices analizamos sendos problemas cuya solución reviste una dicultad particular. El primero afecta de modo crítico a la validez de nuestro método, mediante el cual se han obtenido expresiones de los factores de conexión que dependen de series innitas cuya convergencia ha de quedar probada. En el apéndice A proponemos una demostración basada en un teorema de Perron [47] sobre recurrencias lineales, que permite establecer mayoraciones de los valores absolutos de los términos generales de las citadas series cuando su índice crece xviii CAPÍTULO 0. prefacio indenidamente. De estas mayoraciones se deduce que en el problema de conexión regular-irregular, así como en el caso irregular-irregular, los factores de conexión dependen de series que convergen a la misma velocidad que la serie geométrica. En [32] se da la prueba de convergencia en los casos de conexión regular-irregular, en el apéndice A consideramos también la convergencia en los casos de conexión irregular-irregular. En el apéndice B se plantea el problema de determinar los índices ρη y coecientes cn,η en las expansiones de las soluciones multiplicativas, o soluciones de Floquet, uη(z) = +∞ ∑ n=−∞ cn,ηzn+ρη, η = 1,2, (19) en la vecindad del origen cuando éste, además del innito, es un punto singular irregular de la ecuación diferencial. Se trata de un problema más complicado que el correspondiente a las expansiones en la vecindad del origen cuando éste es un punto singular regular, uη(z) = +∞ ∑ n=0 cn,ηzn+ρη, η = 1,2, (20) teniéndose entonces que para cada η= 1,2 , ρη son las raíces de una ecuación de segundo grado y cn,η verican una recurrencia cuyo valor inicial c0,η determina a los demás. En el caso irregular-irregular, la sustitución de (19) en la ecuación diferencial da lugar a un conjunto innito de ecuaciones en diferencias homogéneas que puede interpretarse como un problema de valores propios no lineal. El método de iteración de Newton que describimos en el apéndice B da solución al problema en etapas sucesivas, resolviendo en cada una un sistema lineal nito de ecuaciones que procede del sistema original por linealización [44] y truncadura, habida cuenta de que ρη son tales que se verica la condición de normalización +∞ ∑ n=−∞|cn,η|2<+∞. (21) Al nal de algunos capítulos incluimos notas aclaratorias de varias cuestiones cuya exposición detallada en las secciones donde se presentan convertiría en extremadamente ardua y dicultosa la lectura del texto. La bibliografía que completa esta memoria contiene una lista, no exhaustiva, de libros y artículos publicados en revistas cientícas que han contribuido a allanar las dicultades que surgieron en la elaboración de esta tesis. La citada lista incluye casi todos nuestros trabajos de investigación publicados hasta la fecha, donde el lector encontrará una relación pormenorizada de otras referencias que han servido de orientación y guía al desarrollo de este proyecto. Capítulo 1 Desarrollos asintóticos. Ideas generales 1.1. ¾Qué es el análisis asintótico? La elaboración sistemática de la teoría que hoy conocemos como "Análisis asintótico" se inició en 1886 con la publicación de sendos trabajos de Stieltjes [59] y Poincaré [48]. A su desarrollo han contribuido matemáticos ilustres como Borel, Nevanlinna, Carleman, Perron, Birkho y Watson, entre otros. A pesar de su respetable historia y de una presencia frecuente en libros y publicaciones de ámbito cientíco y tecnológico, no parece existir, a día de hoy, un acuerdo unánime acerca de la naturaleza de este cuerpo de doctrina ni de su ubicación precisa en el vasto espacio del conocimiento matemático. Sirvan a modo de ejemplo las deniciones de algunos expertos en la materia: "El Análisis asintótico es la rama de las Matemáticas dedicada al estudio del comportamiento de funciones en y en la vecindad de puntos dados de sus dominios de denición" [13, p. 1]. "El Análisis asintótico es el arte de encontrar una función sencilla que constituye una buena aproximación de una función complicada, de manera que la exactitud de la aproximación aumenta cuando el argumento de la función dada se comporta de cierta manera preestablecida" [66, p. 108]. "La denición más prudente y no la más incierta es la siguiente: El Análisis asintótico es la parte del Análisis que considera problemas del tipo tratado en este libro" [15, p. 1]. Sin ánimo de arrojar más leña al fuego de la incertidumbre acerca de la naturaleza genuina de las cosas, declaramos que, a lo largo de esta memoria, el Análisis asintótico es para nosotros un sistema de conceptos y métodos que constituyen una herramienta útil para resolver problemas de Mecánica Cuántica, en particular para obtener soluciones globales de ecuaciones diferenciales de segundo orden que aparecen al considerar la ecuación de Schrödinger con una amplia clase de potenciales dados por sumas de potencias de 1 2 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales una variable compleja. En este capítulo, a modo de introducción, revisamos los conceptos y resultados fundamentales del Análisis asintótico, centrando la atención en las funciones complejas de una variable compleja z . Las demostraciones de cierto número de teoremas y corolarios aparecen resumidas, remitiendo las restantes a las referencias que se citan a lo largo del texto. 1.2. Relaciones asintóticas. Símbolos de orden O , o La manera más simple de obtener alguna información acerca del comportamiento de una función compleja dada f(z) en la vecindad de un punto z0 de su dominio de denición, consiste en calcular su límite cuando z→z0 . Desde luego, en el paso al límite desaparece una gran parte de la información especíca que permite diferenciar el comportamiento de la función dada del comportamiento de otras funciones g(z) cuyo límite hacia z0 coincide con el de f(z) . No obstante, si el límite del cociente f(z)/g(z) de la función dada entre otra función g(z) cuando z→z0 es conocido, además de comparar las velocidades de crecimiento de ambas funciones en la vecindad de z0 será posible obtener información detallada acerca del comportamiento de f(z) , siempre que se disponga de una representación adecuada de g(z) en dicha vecindad. En el caso más frecuente, la representación de f(z) así obtenida toma la forma de una serie, convergente o no, de funciones de z , denominada serie asintótica o expansión asintótica. Por razones de rigor que luego expondremos, siguiendo a [24, p. 209], consideramos preferible denominar desarrollos asintóticos a las representaciones aproximadas de funciones en la vecindad de algún punto de acumulación de su dominio de denición. Denición 1 .(Dominancia asintótica fuerte. Símbolo o ). Sean f(z) , g(z) funciones complejas de la variable compleja z denidas en una región D del plano complejo. Sea z0 un punto de acumulación de D . Se dice que g(z) domina fuertemente sobre f(z) cuando z→z0 , y se escribe f(z) = o(g(z)) (z−→ z0), (1.1) si lim z→z0 f(z) g(z)= 0, (1.2) es decir, si para todo ε > 0 existe una vecindad Uε de z0 tal que |f(z)| ≤ ε|g(z)| ∀z∈Uε∩D. (1.3) Se dice que g(z) domina asintóticamente sobre f(z) en D si g(z) domina asintóticamente sobre f(z) cuando z→z0 para todo punto de acumulación 1.2. relaciones asintóticas. símbolos de orden 3 z0 del conjunto D . Denición 2 .(Equivalencia asintótica. Símbolo ∼ ). En las mismas condiciones de la denición 1 , se dice que f(z) y g(z) son asintóticamente equivalentes cuando z→z0 en D , y se escribe f(z)∼g(z) (z−→ z0), (1.4) si lim z→z0 f(z) g(z)= 1. (1.5) La propiedad anterior también se expresa diciendo que g(z) es una aproximación asintótica a f(z) , o bien que f(z) es asintótica a g(z) . Se dice que f(z) y g(z) son asintóticamente equivalentes en D si son asintóticamente equivalentes cuando z→z0 para todo punto de acumulación z0 del conjunto D . La equivalencia asintótica de funciones complejas denidas en una región D⊆C es una relación de equivalencia algebraica, toda vez que verica las propiedades reexiva, simétrica y transitiva. Denición 3 . (Proporcionalidad asintótica). En las mismas condiciones de las deniciones 1 y 2 , se dice que f(z) y g(z) son asintóticamente proporcionales cuando z→z0 en D , y se escribe f(z)∝g(z) (z−→ z0), (1.6) si existe una constante A compleja no nula tal que f(z) y Ag(z) son asintóticamente equivalentes cuando z→z0 en D , es decir, si f(z)∼Ag(z) (z−→ z0), (1.7) o bien si lim z→z0 f(z) g(z)=A. (1.8) Se dice que f(z) y g(z) son asintóticamente proporcionales en D si son asintóticamente proporcionales cuando z→z0 para todo punto de acumulación z0 del conjunto D . Corolario 1 . En las mismas condiciones de la denición 3, si las funciones f(z) y g(z) son asintóticamente proporcionales y A es la constante de proporcionalidad correspondiente, entonces la función f(z)−Ag(z) es dominada asintóticamente por la función Kg(z) para todo valor no nulo de la constante compleja K . En efecto, lim z→z0 f(z)−Ag(z) Kg(z)= 0, (1.9) 4 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales es decir, f(z)−Ag(z) = o(Kg(z)),(z−→ z0), (1.10) en particular, para K=A , f(z) = Ag(z)(1 + o(1)),(z−→ z0). (1.11) Denición 4 . (Dominancia asintótica débil. Símbolo O ). En las mismas condiciones de las deniciones precedentes, se dice que g(z) domina débilmente sobre f(z) cuando z→z0 , y se escribe f(z) = O(g(z)) (z−→ z0), (1.12) si existe una constante real no negativa A y alguna vecindad U de z0 tales que |f(z)| ≤ A|g(z)| ∀z∈U∩D. (1.13) En particular, si g(z)= 0 en alguna vecindad de z0 , 1.12 signica que lim z→z0 f(z) g(z)≤A. (1.14) Se dice que g(z) domina débilmente sobre f(z) en D si g(z) domina débilmente sobre f(z) cuando z→z0 para todo punto de acumulación z0 del conjunto D . Corolario 2 . Si g(z) domina fuertemente sobre f(z) cuando z→z0 , entonces g(z) domina débilmente sobre f(z) cuando z→z0 . Formalmente, f(z) = o(g(z)) (z→z0) =⇒f(z) = O(g(z)) (z→z0). (1.15) En efecto, asumida la dominancia asintótica fuerte de g(z) sobre f(z) , existe una innidad de vecindades de z0 en las cuales |f(z)| es mayorada por A|g(z)| , donde la constante no negativa A depende en general de la vecindad considerada. La proposición recíproca no es verdadera necesariamente. Si f(z) = O(g(z)) , cabe deducir solamente que lim z→z0 f(z) g(z)≤A, (1.16) donde A es una constante no negativa, que puede ser cero o mayor que cero. Corolario 3 . Si la dominancia de g(z) sobre f(z) cuando z→z0 es débil y no fuerte, entonces ambas funciones son asintóticamente proporcionales cuando z→z0 . Formalmente, f(z) = O(g(z)) y f(z)=o(g(z)) ⇒f(z)∝g(z) (z→z0). (1.17) 1.3. desarrollos asintóticos 11 en D si y solo si las funciones f(z) y ϕ0(z) son asintóticamente proporcionales cuando z→z0 en D . Formalmente, f(z)≈a0ϕ0(z) (z→z0)⇐⇒ f(z)∼a0ϕ0(z) (z→z0). (1.46) En particular, si a0= 1 , las funciones f(z) y ϕ0(z) son asintóticamente equivalentes cuando z→z0 en D . El enunciado es consecuencia inmediata de las deniciones 3 y 9 . Denición 10 . (Desarrollo asintótico de una función). Sean f(z) una función compleja denida en una región D⊆C , z0 un punto de acumulación de D y {ϕn}+∞ n=0 una sucesión asintótica cuando z→z0 en D . Se dice que la serie asintótica ∑+∞ n=0 anϕn(z) es un desarrollo asintótico de f(z) cuando z→z0 en D , y se escribe f(z)≈ +∞ ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0), (1.47) cuando, para todo N= 1,2,3, ... , la serie asintótica dada es un desarrollo asintótico de f(z) hasta N términos en el sentido de la denición 8 . El símbolo ∼ (cfr. denición 2) se utiliza frecuentemente en vez de ≈ para expresar el desarrollo asintótico de una función relativo a una secuencia asintótica dada. (Ver nota 5). Denición 11 . (Sucesiones asintóticamente equivalentes). Sean {ϕn}+∞ n=0 y {ψn}+∞ n=0 sucesiones de funciones complejas denidas en una región D⊆ C . Sea z0 un punto de acumulación de D . Se dice que {ϕn} y {ψn} son asintóticamente equivalentes cuando z→z0 en D si para todo n= 0,1,2, ... , ϕn(z) = O(ψn(z)) y ψn(z) = O(ϕn(z)) (z→z0). (1.48) Se dice que {ϕn}+∞ n=0 y {ψn}+∞ n=0 son asintóticamente equivalentes en D si ambas secuencias son asintóticamente equivalentes cuando z→z0 para todo punto de acumulación z0 de la región D . Corolario 6 . En las condiciones de la denición 11, si {ϕn}+∞ n=0 , {ψn}+∞ n=0 son sucesiones asintóticamente equivalentes cuando z→z0 en D⊆C y una de ellas es una sucesión asintótica cuando z→z0 en D , entonces la otra es también una sucesión asintótica cuando z→z0 en D . En efecto, si por ejemplo {ϕn} es asintótica, por hipótesis se tiene que para todo n= 0,1,2, ... , ψn+1 =O(o(O(ψn))) (z→z0), (1.49) expresión que, aplicando el teorema 1, se reduce a ψn+1 =o(ψn) (z→z0), (1.50) 12 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales concluyendo así (cfr. 1.36) que {ψn} es también una secuencia asintótica cuando z→z0 en D . Corolario 7 . Si {ϕn}+∞ n=0 y {ψn}+∞ n=0 son sucesiones asintóticas cuando z→z0 en D , y ambas contienen el mismo número de funciones, entonces la sucesión producto {ϕnψn}+∞ n=0 es también una sucesión asintótica cuando z→z0 en D . A partir de la hipótesis y de la proposición 1.8 se tiene que, para todo n= 0,1,2, ... , ϕn+1ψn+1 =o(ϕn)o(ψn) = o(ϕnψn) (z→z0). (1.51) Corolario 8 . (Unicidad del desarrollo asintótico de una función dada relativo a una secuencia asintótica dada). Sea f(z) una función compleja denida en una región D⊆C y z0 un punto de acumulación de D . Sea ∑N−1 n=0 anϕn(z) el desarrollo asintótico de f(z) hasta N≥1 términos, relativo a una sucesión asintótica dada {ϕn}+∞ n=0 cuando z→z0 en D . En estas condiciones, el desarrollo asintótico f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0) (1.52) es único. En otras palabras, una condición necesaria y suciente para que una función compleja dada f(z) denida en una región D⊆C posea un desarrollo asintótico (1.52) en la vecindad de un punto de acumulación z0 de D es que, para todo n= 0,1, ..., N −1 , exista el límite an= lim z→z0 f(z)−∑n−1 k=0 akϕk(z) ϕn(z). (1.53) En efecto, por hipótesis se tiene que lim z→z0 f(z)−∑N−2 n=0 anϕn(z)−aN−1ϕN−1(z) ϕN−1(z)= 0, (1.54) de donde aN−1= lim z→z0 f(z)−∑N−2 n=0 anϕn(z) ϕN−1(z),(N= 1,2,3, ...), (1.55) fórmula recurrente que permite calcular los coecientes an del desarrollo asintótico an= lim z→z0 f(z)−∑n−1 k=0 akϕk(z) ϕn(z),(n= 0,1, ..., N −1), (1.56) 1.3. desarrollos asintóticos 13 ( N nito o innito) y demuestra que todos ellos están determinados unívocamente por f(z) y por la secuencia asintótica {ϕn}+∞ n=0 . Corolario 9 . En las mismas condiciones de la denición 8, si la serie formal ∑+∞ n=0 anϕn(z) es un desarrollo asintótico hasta N≥1 términos de una función f(z) cuando z→z0 , entonces la misma serie formal es un desarrollo asintótico hasta M= 1,2, ..., N −1 términos de la función dada f(z) . En notación abreviada, dado un entero N≥1 , Si f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anϕn(z) =⇒f(z)≈ M−1 ∑ n=0 anϕn(z),(z→z0), (M= 1,2, ..., N −1). (1.57) A consecuencia de la hipótesis y del carácter asintótico de la sucesión ϕn(z) , se deduce que f(z) = N−2 ∑ n=0 anϕn(z) + aN−1ϕN−1(z) + o(ϕN−1(z)) = = N−2 ∑ n=0 anϕn(z) + o(ϕN−2(z)) + o(ϕN−2(z)) (z→z0), (1.58) es decir, habida cuenta de la proposición 1.12 (ver 1.31), f(z) = N−2 ∑ n=0 anϕn(z) + o(ϕN−2(z)),(z→z0), (1.59) quedando así probado el corolario cuando M=N−1 y por iteración para todo M= 1,2, ..., N −1 . Corolario 10 . En las mismas condiciones del corolario 9 se verica que, para todo M= 1,2, ..., N , la función ϕM(z) domina débilmente sobre la función FM−1(z) = f(z)−∑M−1 n=0 anϕn(z) cuando z→z0 , es decir, f(z) = M−1 ∑ n=0 anϕn(z) + O(ϕM(z)) (z→z0), (M= 1,2, ..., N). (1.60) En efecto, del corolario 9 y la denición 8 se deduce que FM−1(z)≡f(z)− M−1 ∑ n=0 anϕn(z) = o(ϕM−1(z)) (z→z0), (M= 1,2, ..., N), (1.61) 14 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales es decir, según la denición 1, lim z→z0 FM−1(z) ϕM−1(z)≡lim z→z0 f(z)−∑M−1 n=0 anϕn(z) ϕM−1(z)= 0, (M= 1,2, ..., N). (1.62) Escribiendo lim z→z0 FM−1(z) ϕM−1(z)= lim z→z0 FM−1(z) ϕM(z)×ϕM(z) ϕM−1(z)= 0, (1.63) y teniendo en cuenta el carácter asintótico de la sucesión {ϕn} , se deduce que el límite del módulo de FM−1(z)/ϕM(z) está acotado superiormente para todo M= 1,2, ..., N . Este resultado permite justicar el uso del símbolo O para expresar la relación entre una función dada f(z) y su desarrollo asintótico relativo a una sucesión asintótica dada {ϕn(z)} . (Ver nota 6). Un aspecto fundamental de los desarrollos asintóticos es que una expansión asintótica dada no representa en general a una única función compleja. En otras palabras, dada una sucesión asintótica {ϕn}+∞ n=0 cuando z→z0 en una región D⊆C y una serie asintótica ∑+∞ n=0 anϕn(z) cuando z→z0 en D , en general existe más de una función compleja cuyo desarrollo asintótico relativo a {ϕn} es la expansión dada. Por ejemplo [18, p. 14], las funciones (1 + z)−1,1 + e−z 1 + z,(1 + e−√z+z)−1, (1.64) tienen el mismo desarrollo asintótico relativo a {z−n}+∞ n=1 +∞ ∑ n=1 (−1)n−1z−n(z→ ∞),(z∈S(−π/2, π/2)), (1.65) donde S(α, β)≡ {z∈C; 0 <|z|<+∞, α +δ≤arg(z)≤β−δ, δ > 0}. (1.66) Asimismo [24, p. 208], las funciones (1 + z)−1,(1 + z)−1+e−z, (1.67) tienen el mismo desarrollo asintótico relativo a {z−n}+∞ n=1 +∞ ∑ n=1 (−1)n−1z−n(z→ ∞),(z∈S(−π/4, π/4)). (1.68) 1.3. desarrollos asintóticos 15 Denición 12 . (Funciones asintóticamente iguales). Sea D⊆C una región del plano complejo y z0 un punto de acumulación de D . Sea {ϕn(z)}+∞ n=0 una sucesión asintótica cuando z→z0 en D . Se dice que dos funciones complejas f(z) , g(z) denidas en D son asintóticamente iguales cuando z→z0 respecto de la sucesión dada {ϕn} si, para todo n= 0,1,2, ... , la función ϕn domina fuertemente sobre la función diferencia f(z)−g(z) cuando z→z0 , es decir, si f(z)−g(z) = o(ϕn(z)),(z→z0),(n= 0,1,2, ...). (1.69) Si la propiedad anterior se verica para todo punto de acumulación z0 de la región D , se dice que f(z) y g(z) son asintóticamente iguales en D respecto de {ϕn} . La relación de igualdad asintótica respecto de una secuencia dada es una relación de equivalencia, cuyas propiedades reexiva, simétrica y transitiva se comprueban sin dicultad. Corolario 11 . En las condiciones dadas para la denición 12, las funciones f(z) y g(z) son asintóticamente iguales cuando z→z0 en D respecto de una sucesión asintótica {ϕn}+∞ n=0 si y solo si f(z) y g(z) tienen el mismo desarrollo asintótico cuando z→z0 en D relativo a la sucesión asintótica dada. En efecto, si el desarrollo asintótico de g(z) es g(z)≈ N−1 ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0),(N= 1,2,3, ...), (1.70) por hipótesis se tiene: f(z)− N−1 ∑ n=0 anϕn(z)−o(ϕN−1) = o(ϕN−1),(z→z0), (1.71) expresión equivalente a f(z) = N−1 ∑ n=0 anϕn(z) + o(ϕN−1) (z→z0), (1.72) luego f(z) tiene el mismo desarrollo asintótico que g(z) . Recíprocamente, si f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0), y g(z)≈ N−1 ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0), (1.73) 16 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales entonces, para todo N= 1,2,3, ... , f(z)−g(z) = N−1 ∑ n=0 anϕn(z) + o(ϕN−1)− N−1 ∑ n=0 anϕn(z)−o(ϕN−1) = =o(ϕN−1)−o(ϕN−1) = o(ϕN−1) (z→z0), (1.74) es decir, f(z)−g(z) = o(ϕn) (z→z0),(n= 0,1,2, ...). (1.75) En resumidas cuentas, una serie asintótica dada ∑+∞ n=0 anϕn(z) representa a una clase de funciones cuyo comportamiento asintótico es similar en una región determinada del plano complejo. 1.4. Operaciones con desarrollos asintóticos generales Teorema 2 . (Combinación lineal de los desarrollos asintóticos de dos o más funciones). Sean f(z) , g(z) funciones complejas denidas en una región D⊆C , z0 un punto de acumulación de D y {ϕn(z)} una sucesión asintótica cuando z→z0 en D . Sean f(z) , g(z) tales que existen los desarrollos asintóticos hasta N≥1 términos (N nito o innito) f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anϕn(z), g(z)≈ N−1 ∑ n=0 bnϕn(z),(z→z0). (1.76) Entonces, para todo par de constantes complejas λ , µ , la función λf(z)+ µg(z) tiene el desarrollo asintótico hasta N≥1 términos λf(z) + µg(z)≈ N−1 ∑ n=0 (λan+µbn)ϕn(z),(z→z0). (1.77) El resultado es consecuencia inmediata de la hipótesis enunciada y de la propiedad (ver teorema 1) λo(ϕN−1) + µo(ϕN−1) = o(ϕN−1) (z→z0), (1.78) y se extiende sin dicultad a la combinación lineal de los desarrollos asintóticos de un conjunto nito arbitrario de M > 2 funciones complejas {fj(z)}M−1 j=0 1.4. operaciones con desarrollos asintóticos generales 17 [18, p. 14]. Dado un conjunto {αj}M−1 j=0 de M > 2 constantes complejas, Si fj(z)≈ N−1 ∑ n=0 an,jϕn(z) (z→z0),(0 ≤j≤M−1) ⇒ ⇒FM(z)≡ M−1 ∑ j=0 αjfj(z)≈ N−1 ∑ n=0 Anϕn(z) (z→z0), siendo An≡ M−1 ∑ j=0 an,jαj,(n= 0,1, ..., N −1). (1.79) En el caso de la combinación lineal de desarrollos asintóticos de un conjunto innito numerable de funciones complejas, el resultado es válido cuando la serie ∑+∞ j=0 αj converge absolutamente y la serie ∑+∞ j=0 an,jαj converge para todo n . La multiplicación de desarrollos asintóticos no da lugar en general a desarrollos asintóticos porque en el producto formal de ∑+∞ n=0 anϕn por ∑+∞ n=0 bnϕn se obtienen todos los productos ϕmϕn y no es posible en general ordenar el conjunto de funciones {ϕmϕn}(m, n = 0,1, ...) de manera que constituya una sucesión asintótica. No obstante, existen sucesiones asintóticas {ϕn} tales que los productos ϕmϕn , o bien forman una sucesión asintótica, o bien poseen desarrollos asintóticos en términos de alguna sucesión asintótica dada, que puede ser {ϕn} u otra [18, p. 17, 18]. El teorema 3 establece condiciones sucientes para la existencia del desarrollo asintótico del producto de dos funciones complejas. Teorema 3 . Sean {ϕn(z)}N−1 n=0 , {ψm(z)}M−1 m=0 , {χk(z)}K−1 k=0 , ( N , M , K nitos o innitos) sucesiones asintóticas cuando z→z0 en una región D del plano complejo tales que (i) ϕ0ψM−1=O(χK−1) (z→z0), (1.80) y(ii) ϕN−1ψ0=O(χK−1) (z→z0), (1.81) y para todo n , m , (iii) ϕnψm≈ K−1 ∑ k=0 cn,m,kχk(z→z0). (1.82) Sean f(z) , g(z) funciones complejas denidas en D tales que (iv) f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0), (1.83) 18 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales y (v) g(z)≈ M−1 ∑ m=0 bmψm(z) (z→z0), (1.84) y (vi) +∞ ∑ n=0 M−1 ∑ m=0 anbmcn,m,k converge si N= +∞ y M es nito, o bien N−1 ∑ n=0 +∞ ∑ m=0 anbmcn,m,k converge si N es nito y M= +∞ , o bien +∞ ∑ n=0 +∞ ∑ m=0 anbmcn,m,k converge si N y M son ambos innitos . (1.85) En estas condiciones, la función producto f(z)g(z) posee el desarrollo asintótico respecto a {χk} f(z)g(z)≈ K−1 ∑ k=0 Ckχk(z) (z→z0), (1.86) donde los coecientes Ck= N−1 ∑ n=0 M−1 ∑ m=0 anbmcn,m,k,(k= 0,1,2, ...) (1.87) se han obtenido "por sustitución formal", es decir, por multiplicación formal de los desarrollos asintóticos de ambas funciones y sustitución de los desarrollos asintóticos (1.82) de los productos ϕnψm . El teorema se verica en particular cuando las tres secuencias asintóticas coinciden en una sola {ϕn}N−1 n=0 , asegurando la existencia del desarrollo asintótico de la función producto f(z)g(z) relativo a la secuencia asintótica dada. Corolario 12 . Sea {ϕn(z)}N−1 n=0 ( N nito o innito) una sucesión asintótica cuando z→z0 en una región D⊆C tal que (i) ϕ0ϕN−1=O(ϕN−1) (z→z0) (1.88) y para todo m, n = 0,1, ..., N −1 , (ii) ϕnϕm≈ N−1 ∑ k=0 cn,m,kϕk(z→z0). (1.89) Sean f(z) , g(z) funciones complejas denidas en D tales que f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0), (1.90) 1.4. operaciones con desarrollos asintóticos generales 19 g(z)≈ N−1 ∑ m=0 bmϕm(z) (z→z0), (1.91) donde, cuando N es innito, la serie ∑+∞ n=0 ∑+∞ m=0 anbmcn,m,k converge para todo k . En estas condiciones, la función producto f(z)g(z) posee el desarrollo asintótico relativo a {ϕn} f(z)g(z)≈ N−1 ∑ k=0 Ckϕk(z) (z→z0), donde Ck≡ N−1 ∑ n=0 N−1 ∑ m=0 anbmcnmk,(k= 0,1,2, ...). (1.92) Denición 13 . (Sucesiones asintóticas multiplicativas). Sea {ϕn}N−1 n=0 ( N nito o innito) una sucesión de funciones complejas denidas en una región D⊆C y sea z0 un punto de acumulación de D . Se dice que {ϕn}N−1 n=0 es una sucesión asintótica multiplicativa cuando z→z0 en D si (i) {ϕn}N−1 n=0 es una sucesión asintótica cuando z→z0 , de manera que ϕn+1(z) = o(ϕn(z)) (z→z0),(n= 0,1,2, ...), y (1.93) (ii) La función ϕ0(z) es dominada débilmente por 1 cuando z→z0 , es decir, ϕ0=O(1) (z→z0), y (1.94) (iii) Para todo n, m = 0,1, ..., N−1 , el producto ϕnϕm posee un desarrollo asintótico relativo a la sucesión asintótica dada, es decir, ϕn(z)ϕm(z)≈ N−1 ∑ k=0 cnmkϕk(z) (z→z0). (1.95) Si {ϕn}N−1 n=0 es una sucesión asintótica multiplicativa cuando z→z0 para todo punto de acumulación z0 de la región D donde las funciones ϕn están denidas, se dice que {ϕn}N−1 n=0 es una sucesión asintótica multiplicativa en D . Dentro de la clase de las sucesiones asintóticas, existe una subclase caracterizada por la siguiente propiedad. Denición 14 . (Sucesión de índice aditivo). Una sucesión {ϕn(z)}+∞ n=0 de funciones complejas denidas en una región D⊆C es de índice aditivo si, para todo z∈D , ϕn(z)ϕm(z) = ϕn+m(z) (m, n = 0,1,2, ...). (1.96) 20 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales Corolario 13 . Si {ϕn(z)}+∞ n=0 es una sucesión de índice aditivo, entonces ϕ0(z) = 1 para todo z∈D . En efecto, ϕ0(z)ϕm(z) = ϕ0+m(z) = ϕm(z) para todo m= 0,1,2, ... y todo z∈D . El producto de desarrollos asintóticos relativos a una sucesión asintótica de índice aditivo dada tiene una forma particularmente sencilla que deriva del siguiente resultado, cuya prueba por inducción no reviste especial di- cultad. Teorema 4 . (Producto de formas lineales sobre una sucesión de índice aditivo). Sea {ϕn(z)}+∞ n=0 una sucesión de índice aditivo de funciones complejas denidas en una región D⊆C . Sean ∑N−1 n=0 anϕn(z) , ∑M−1 m=0 bmϕm(z) (M≤N) , an, bn∈C , formas lineales sobre {ϕn} tales que, si N es innito, la serie ∑N−1 n=0 ∑M−1 m=0 anbm es convergente. En estas condiciones, el producto de ambas formas lineales admite la expresión (N−1 ∑ n=0 anϕn(z))×(M−1 ∑ m=0 bmϕm(z))= N−1 ∑ n=0 M−1 ∑ m=0 anbmϕn+m(z) = K−1 ∑ k=0 Ckϕk(z), (1.97) donde K=N+M−1 y los coecientes Ck dependen de los an , bm en la forma siguiente: (i) Si N es nito, Ck= k ∑ j=0 ajbk−j(k= 0,1, ..., M −1), Ck= k ∑ j=k−M+1 ajbk−j(k=M, M + 1, ..., N −1),(M < N), Ck= N−1 ∑ j=k−M+1 ajbk−j(k=N, N + 1, ..., K −1). (1.98) (ii) Si N es innito y M es nito, Ck= k ∑ j=0 ajbk−j(k= 0,1, ..., M −1), Ck= k ∑ j=k−M+1 ajbk−j(k=M, M + 1, ...). (1.99) 1.4. operaciones con desarrollos asintóticos generales 27 a) La función Fa(x) denida en (1.130) posee el desarrollo asintótico Fa(x)≈A0− N−1 ∑ n=0 bnΦn,b(x) (x→b), (1.136) donde Φn,b(x) han sido denidas en (1.132). b) La función Fb(x) denida en (1.134) posee el desarrollo asintótico Fb(x)≈A0− N−1 ∑ n=0 anΦn,a(x) (x→a), (1.137) donde Φn,a(x) han sido denidas en (1.128) y A0≡∫b a f(t)dt =Fa(b) = Fb(a). (1.138) (Fin del teorema 7). Corolario 20 . (Integración de desarrollos asintóticos respecto de un parámetro real). Sea x una variable real denida en una región D de la recta real ampliada ¯ R . Sean x0 un punto de acumulación de D y λ un parámetro real denido en un intervalo I= (α, β) de ¯ R . Sea {ϕn(x)}N−1 n=0 (N nito o innito) una sucesión de funciones denidas en D tales que (i) {ϕn(x)}N−1 n=0 es una sucesión asintótica cuando x→x0 en D . (ii) ϕn(x) es independiente de λ para todo n= 0,1, ..., N −1 . Sea f(x, λ) una función de D×I en ¯ R tal que (iii) f(x, λ) es una función medible respecto de λ en I para todo x∈D . (iv) f(x, λ) posee el desarrollo asintótico f(x, λ)≈ N−1 ∑ n=0 an(λ)ϕn(x) (x→x0), (1.139) donde an(λ) es medible respecto de λ en I para todo n= 0,1, ..., N −1 . Sea h(λ) una función integrable respecto de λ en I tal que todas las integrales An=∫β α h(λ)an(λ)dλ (n= 0,1, ..., N −1) (1.140) existen. En estas condiciones, la integral F(x) = ∫β α h(λ)f(x, λ)dλ (1.141) existe para todo x en alguna vecindad de x0 y posee el desarrollo asintótico F(x)≈ N−1 ∑ n=0 Anϕn(x) (x→x0). (1.142) 28 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales La derivación de desarrollos asintóticos respecto de la variable independiente o respecto de algún parámetro es posible solo cuando se dan ciertas condiciones. Si una función compleja f(z) denida en una región D⊆C tiene un desarrollo asintótico f(z)≈∑N−1 n=0 anϕn(z) cuando z→z0 en D relativo a una sucesión asintótica {ϕn(z)} , la función derivada f′(z) no existe necesariamente. Cuando f(z) es derivable, la mera existencia de la derivada no asegura que ésta posea un desarrollo asintótico respecto a la secuencia dada {ϕn} . Por ejemplo, [24, p. 209] la función f(z) = 2z1/2 es derivable y su primera derivada es f′(z) = z−1/2 , función que no tiene desarrollo asintótico respecto a la sucesión asintótica {z−n}+∞ n=0 , toda vez que la aplicación del corolario 8 al caso actual da como resultado que el coeciente del término de orden cero de tal desarrollo sería igual a cero, e igual a innito los coecientes de los términos sucesivos. La razón inmediata de la imposibilidad de derivar desarrollos asintóticos reside [18, p. 7] en que no es admisible en general la diferenciación de relaciones de orden, ora respecto de la variable independiente, ora respecto de algún parámetro. Por consiguiente, la diferenciación de una sucesión asintótica no produce en general una sucesión asintótica. Por ejemplo, [18, p.11] la sucesión {ϕn(x)}+∞ n=0 , donde ϕn(x) = x−(n+1) [a+cos (xn+1)] es asintótica cuando |x| → +∞ en el eje real, toda vez que lim|x|→+∞ϕn+1(x)/ϕn(x) = 0 para todo n= 0,1,2, ... . No obstante, la sucesión {ϕ′ n(x)}+∞ n=0 , donde ϕ′ n(x)∼ −(n+ 1)x−1sen (xn+1) cuando |x| → +∞ para todo n= 0,1,2, ... , no es una sucesión asintótica cuando x tiende a innito en el eje real, toda vez que ϕ′ n+1(x)/ϕ′ n(x) es oscilante cuando |x| → +∞ . En la sección siguiente se darán condiciones sucientes de diferenciación de desarrollos asintóticos relativos a sucesiones asintóticas de potencias. 1.5. Operaciones con desarrollos asintóticos de potencias Las sucesiones de potencias enteras {zn}+∞ n=0 y {z−n}+∞ n=0 desempeñan un papel fundamental en el estudio del comportamiento de funciones en la vecindad del origen y el innito respectivamente. En lo sucesivo nos referimos a la segunda, toda vez que es posible transformar una en otra mediante la inversión de la variable independiente. Corolario 21 . La sucesión de potencias enteras {z−n}+∞ n=0 es una sucesión asintótica multiplicativa cuando z→+∞ en toda región D del plano complejo excluido el origen. 1.5. operaciones con desarrollos asintóticos de potencias 29 En efecto, denominando ϕn(z) = z−n , es inmediato vericar que el límite de ϕn+1/ϕn es cero y que ϕ0(z) = O(1) cuando z→+∞ . Además, para todo m, n = 0,1,2, ... , el producto ϕn+m(z) = ϕn(z)ϕm(z) admite un desarrollo en potencias donde los coecientes an,m,k de todos los términos son nulos excepto el de orden n+m , que es igual a 1 . Este es además un desarrollo asintótico porque para todo N= 1,2,3, ... , se comprueba sin dicultad que la función FN−1(z)≡ϕn+m(z)−∑N−1 k=0 an,m,kϕk(z) es dominada fuertemente por ϕN−1(z) cuando z→+∞ . La sucesión {z−n}+∞ n=0 cumple así las condiciones de la denición 13. A la misma conclusión se llega teniendo en cuenta que la sucesión de potencias enteras es de índice aditivo (cfr. denición 14) y aplicando el corolario 15. Una consecuencia directa del corolario 21 es que las deniciones 7, 8 y 10 son aplicables a la sucesión {z−n} . Denición 15 . (Serie asintótica de potencias). Dada una sucesión {an}+∞ n=0 de constantes complejas, la serie formal (convergente o no) +∞ ∑ n=0 anz−n=a0+a1z−1+a2z−2+..., (1.143) es una serie asintótica de potencias cuando z→+∞ en cualquier región D⊆C excluido el origen. Denición 16 . (Desarrollo asintótico nito de una función compleja en potencias enteras de la variable independiente). Sea f(z) una función compleja denida en una región no acotada D⊆C . La serie asintótica ∑N−1 n=0 anz−n es un desarrollo asintótico de f(z) en potencias hasta N≥1 términos cuando z→+∞ en D , y se expresa f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anz−n(z→+∞), (1.144) si se verica que la función FN−1(z)≡f(z)−∑N−1 n=0 anz−n es dominada fuertemente por z−(N−1) cuando z→+∞ en D , es decir, si FN−1(z)≡f(z)− N−1 ∑ n=0 anz−n=o(z−(N−1))(z→+∞), (1.145) o lo que es igual, f(z) = N−1 ∑ n=0 anz−n+o(z−(N−1))(z→+∞). (1.146) 30 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales Denición 17 . (Desarrollo asintótico de una función compleja en potencias enteras de la variable independiente). En las mismas condiciones de la denición 16, la serie asintótica de potencias ∑+∞ n=0 anz−n es un desarrollo asintótico de la función compleja f(z) en potencias cuando z→+∞ en D , y se expresa f(z)≈ +∞ ∑ n=0 anz−n(z→+∞), (1.147) si para todo N= 1,2,3, ... , la serie asintótica de potencias ∑N−1 n=0 anz−n es un desarrollo asintótico de f(z) hasta N términos en el sentido de la denición 16. Corolario 22 . (Combinación lineal de los desarrollos asintóticos en potencias enteras de dos funciones complejas). Proposición 22.1 . Sean f(z) , g(z) funciones complejas denidas en sendas regiones no disjuntas Df , Dg del plano complejo ampliado ¯ C , sea D=Df∩ Dg la región del plano donde ambas funciones están denidas. Si f(z) y g(z) poseen desarrollos asintóticos en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta un número nito dado N≥1 de términos, es decir, si f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anz−n(z→+∞), (1.148) g(z)≈ N−1 ∑ n=0 bnz−n(z→+∞), (1.149) para todo par de constantes complejas λ , µ , la función λf(z)+µg(z) denida en D posee el desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta N términos λf(z) + µg(z)≈ N−1 ∑ n=0 (λan+µbn)z−n(z→+∞). (1.150) Proposición 22.2 . En las condiciones de la proposición 22.1, si f(z) y g(z) poseen desarrollos asintóticos en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta cualquier número N≥1 de términos, es decir, si f(z)≈ +∞ ∑ n=0 anz−n(z→+∞), (1.151) g(z)≈ +∞ ∑ n=0 bnz−n(z→+∞), (1.152) para todo par de constantes complejas λ , µ , la función λf(z)+µg(z) denida en D posee el desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→+∞ 1.5. operaciones con desarrollos asintóticos de potencias 31 hasta cualquier número de términos λf(z) + µg(z)≈ +∞ ∑ n=0 (λan+µbn)z−n(z→+∞). (1.153) El resultado es consecuencia del teorema 2 y el corolario 21 y se extiende sin condiciones adicionales a la combinación lineal de un conjunto nito de funciones complejas de z . Corolario 23 . (Combinación lineal de los desarrollos asintóticos en potencias enteras de un conjunto nito de funciones complejas). Proposición 23.1 . Sea {fj(z)}M−1 j=0 (M= 3,4,5, ...) , un conjunto nito de M funciones complejas denidas en una región común D⊆¯ C tales que poseen M desarrollos asintóticos en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta un número nito dado N≥1 de términos, es decir, fj(z)≈ N−1 ∑ n=0 an,jz−n(z→+∞),(j= 0,1, ..., M −1). (1.154) Entonces, para todo conjunto {αj}M−1 j=0 de M constantes complejas, se verica que la función FM(z)≡∑M−1 j=0 αjfj(z) tiene el desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta N términos FM(z)≡ M−1 ∑ j=0 αjfj(z)≈ N−1 ∑ n=0 Anz−n(z→+∞), siendo An≡ M−1 ∑ j=0 an,jαj,(n= 0,1, ..., N −1). (1.155) Proposición 23.2 . En las condiciones de la proposición 23.1, si todas las M funciones fj(z) poseen desarrollos asintóticos en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta cualquier número N≥1 de términos, es decir, si fj(z)≈ +∞ ∑ n=0 an,jz−n(z→+∞),(j= 0,1, ..., M −1), (1.156) entonces se verica que para todo conjunto nito de M constantes complejas {αj}M−1 j=0 la función FM(z)≡∑M−1 j=0 αjfj(z) tiene el desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta cualquier número de términos FM(z)≡ M−1 ∑ j=0 αjfj(z)≈ +∞ ∑ n=0 Anz−n(z→+∞), siendo An≡ M−1 ∑ j=0 an,jαj,(n= 0,1,2, ...). (1.157) 32 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales Corolario 24 . (Combinación lineal de los desarrollos asintóticos en potencias enteras de un conjunto innito numerable de funciones complejas). Proposición 24.1 . Sea {fj(z)}+∞ j=0 un conjunto innito numerable de funciones complejas denidas en una región D⊆C tales que poseen desarrollos asintóticos en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta un número nito dado N≥1 términos fj(z)≈ N−1 ∑ n=0 an,jz−n(z→+∞),(j= 0,1,2, ...). (1.158) Entonces, para todo conjunto innito numerable de constantes complejas {αj}+∞ j=0 tal que (i) La serie ∑+∞ j=0 αj converge absolutamente, (ii) La serie ∑+∞ j=0 an,jαj converge para todo n= 0,1, ..., N −1 , se verica que la serie ∑+∞ j=0 αjfj(z) converge para todo z tal que |z|> ρ > 0 y la función F(z)≡∑+∞ j=0 αjfj(z) denida por esta serie posee el desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta N términos F(z)≡ +∞ ∑ j=0 αjfj(z)≈ N−1 ∑ n=0 Anz−n(z→+∞), siendo An≡ +∞ ∑ j=0 an,jαj,(n= 0,1, ..., N −1). (1.159) Proposición 24.2 . En las condiciones de la proposición 24.1, si para todo j= 0,1,2, ... fj(z) posee un desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta cualquier número N≥1 de términos fj(z)≈ +∞ ∑ n=0 an,jz−n(z→+∞), (1.160) y si {αj}+∞ j=0 es un conjunto innito numerable de constantes complejas tales que(i) La serie ∑+∞ j=0 αj converge absolutamente, (ii) La serie ∑+∞ j=0 an,jαj converge para todo n= 0,1,2, ... , se verica que la serie ∑+∞ j=0 αjfj(z) converge para todo z tal que |z|> ρ > 0 y la función F(z)≡∑+∞ j=0 αjfj(z) denida por esta serie posee el desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta cualquier número de términos F(z)≡ +∞ ∑ j=0 αjfj(z)≈ +∞ ∑ n=0 Anz−n(z→+∞), 1.5. operaciones con desarrollos asintóticos de potencias 33 siendo An≡ +∞ ∑ j=0 an,jαj,(n= 0,1,2, ...). (1.161) El resultado es consecuencia del corolario 21 y de la extensión del teorema 2 a las combinaciones lineales de conjuntos innitos numerables de funciones que verican las condiciones (i) y (ii). El producto de desarrollos asintóticos en potencias enteras de la variable independiente es siempre realizable hasta un número nito de términos. También es realizable hasta cualquier número de términos, asumida la convergencia de la serie producto de los coecientes de los desarrollos asintóticos de los factores. Corolario 25 . (Producto de desarrollos asintóticos en potencias enteras de dos funciones complejas). Sean f(z) , g(z) funciones complejas denidas en una región D⊆C tales que poseen desarrollos asintóticos en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta N≥1 ( N nito o innito) f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anz−n(z→+∞), (1.162) g(z)≈ N−1 ∑ m=0 bmz−m(z→+∞), (1.163) de manera que si N es innito, la serie ∑+∞ n=0 ∑+∞ m=0 anbm es convergente. Entonces, la función producto f(z)g(z) posee el desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta N términos en D ( N nito o innito respectivamente) f(z)g(z)≈ N−1 ∑ n=0 Cnz−n(z→+∞), donde Cn≡ n ∑ j=0 ajbn−j,(n= 0,1,2, ...). (1.164) El resultado es consecuencia de los corolarios 14 y 21. El cociente de desarrollos asintóticos en potencias enteras de la variable independiente se realiza en las condiciones establecidas en los corolarios 17 y 18. Corolario 26 . (Inversión del desarrollo asintótico de una función compleja en potencias enteras de la variable independiente). Sea g(z) una función 34 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales compleja denida en una región D⊆C tal que posee un desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta N términos en D ( N nito o innito) g(z)≈ N−1 ∑ n=0 bnz−n(z→+∞),(b0= 0). (1.165) Entonces, la función 1/g(z)≡[g(z)]−1 , recíproca de g(z) respecto a la multiplicación de funciones, posee el desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→+∞ 1/g(z)≡[g(z)]−1≈ N−1 ∑ m=0 ¯ bmz−m(z→+∞) (1.166) donde ¯ b0= 0 y las constantes ¯ bm(m= 0,1,2, ...) se obtienen resolviendo el sistema recurrente de ecuaciones b0¯ b0= 1 k ∑ j=0 bj¯ bk−j= 0 (k= 1,2,3, ...). (1.167) El resultado es consecuencia directa de los corolarios 17 y 21. También consecuencia directa de los corolarios 18 y 21 es el enunciado que expresa el cociente de desarrollos asintóticos en potencias enteras. Corolario 27 . (Cociente de los desarrollos asintóticos de dos funciones complejas en potencias enteras de la variable independiente). Sean f(z) , g(z) funciones complejas denidas en una región D⊆C tales que poseen los desarrollos asintóticos en potencias enteras de z cuando z→+∞ hasta N términos ( N nito o innito) f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anz−n(z→+∞), (1.168) g(z)≈ N−1 ∑ m=0 bmz−m(z→+∞),(b0= 0). (1.169) Entonces, la función cociente f(z)/g(z) tiene el desarrollo asintótico en potencias de z cuando z→+∞ f(z)/g(z)≈ N−1 ∑ n=0 Cnz−n(z→+∞), (1.170) donde los coecientes Cn(n= 0,1, ..., N −1) , que son soluciones del sistema recurrente de ecuaciones n ∑ j=0 Cjbn−j=an,(n= 0,1, ..., N −1), (1.171) 1.5. operaciones con desarrollos asintóticos de potencias 35 tienen la forma explícita Cn= n ∑ j=0 aj¯ bn−j(n= 0,1, ..., N −1), (1.172) donde ¯ bj son los coecientes del desarrollo asintótico de la función recíproca 1/g(z) dados en (1.167). La integración de desarrollos asintóticos en potencias enteras de una variable real x es consecuencia del corolario 19. Corolario 28 . (Integración de desarrollos asintóticos en potencias enteras de la variable independiente). Sea f(x) una función real o compleja denida en un intervalo I= (a, +∞) del semieje real positivo tal que (i) f(x) es continua en I . (ii) f(x) posee el desarrollo asintótico en potencias enteras de x cuando x→+∞ f(x)≈ +∞ ∑ n=0 anx−n=a0+a1x−1+a2x−2+a3x−3+... (x→+∞). (1.173) Entonces, la función Fa(x) = ∫x a f(t)dt (1.174) existe en algún intervalo (a, c)⊂(a, +∞) y posee el desarrollo asintótico en potencias enteras de x cuando x→+∞ Fa(x)≡∫x a f(t)dt ≈A+a0x+a1ln x− +∞ ∑ n=2 anx−(n−1)/(n−1) = =A+a0x+a1ln x− +∞ ∑ n=1 an+1x−n/n (x→+∞), (1.175) siendo A≡∫+∞ a(f(t)−a0−a1t−1)dt −a0a−a1ln a. (1.176) Desde luego, para todo n= 0,1,2, ... , la función ϕn(x)≡x−n es positiva en el intervalo I= (a, +∞) del semieje real positivo. Además, las funciones Φn,+∞(x)≡∫+∞ x ϕn(t)dt =∫+∞ x t−ndt, (n= 0,1,2, ...), (1.177) existen para n= 2,3,4, ... , no para n= 0,1 . Ahora bien, la función ˆ f(x)≡ f(x)−a0−a1x−1 posee un desarrollo asintótico en potencias enteras de 36 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales x cuando x→+∞ en el que faltan los términos de órdenes cero y uno que hacen diverger la integral del desarrollo de f(x) . En consecuencia, ˆ f(x) verica las condiciones del corolario 19 y la función ˆ F+∞(x)≡∫+∞ x ˆ f(t)dt ≡∫+∞ x(f(t)−a0−a1t−1)dt (1.178) existe en algún intervalo (c, +∞) (c≥a) y posee el desarrollo asintótico ˆ F+∞(x)≈ +∞ ∑ n=2 anx−(n−1)/(n−1) (x→+∞). (1.179) Además, para todo x∈(a, +∞) , la función f(x) es integrable sobre (a, x) debido a su continuidad y al carácter acotado del intervalo, de manera que Fa(x) = ˆ Fa(x) + a0x+a1ln x−a0a−a1ln a, (1.180) donde ˆ Fa(x)≡∫x a ˆ f(t)dt (1.181) existe en I= (a, +∞) y posee el desarrollo asintótico que deriva de la igualdad ˆ Fa(x) = ∫+∞ a ˆ f(t)dt −∫+∞ x ˆ f(t)dt ≡ˆ A0−ˆ F+∞(x), (1.182) donde ˆ A0≡∫+∞ a ˆ f(t)dt =∫+∞ a(f(t)−a0−a1t−1)dt. (1.183) La tesis del corolario resulta de llevar (1.179) a (1.182) y sustituir la expresión asintótica de ˆ Fa(x) así obtenida en (1.180). La derivación del desarrollo asintótico de una función en potencias enteras de la variable independiente es posible cuando la función verica determinadas condiciones. Teorema 8 . (Condiciones sucientes para la derivación de desarrollos asintóticos en potencias enteras de una variable real). Sea f(x) una función real o compleja denida en la recta real R tal que (i) f(x) es diferenciable en R . (ii) f(x) posee el desarrollo asintótico en potencias enteras de x cuando x→+∞ f(x)≈ +∞ ∑ n=0 anx−n=a0+a1x−1+a2x−2+a3x−3+... (x→+∞). (1.184) 1.6. representación asintótica de funciones 43 Si N= +∞ , las funciones que constituyen la suma asintótica de una serie asintótica dada son asintóticamente iguales cuando z→z0 en D respecto a la sucesión asintótica {ϕn} dada. (Recordar la denición 12 y el corolario 11). 1.6.3. Representación asintótica de funciones Consideremos una serie asintótica ∑+∞ n=0 anϕn(z) cuando z→z0 relativa a una sucesión asintótica {ϕn(z)}+∞ n=0 denida en una región D⊆C de la cual z0 es punto de acumulación. Sabemos (ver teorema 11) que existe al menos una función denida en D cuyo desarrollo asintótico cuando z→z0 en D es precisamente la serie dada: f(z)≈ +∞ ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0), (1.215) y decimos que f(z)∈ Sasy , donde Sasy representa a la suma asintótica (1.214) de la serie dada. La suma asintótica de la serie dada existe siempre, porque el conjunto Sasy es no vacío. Si la serie asintótica es divergente en el sentido usual de la convergencia de series, no existe función a la que pueda denominarse suma de la serie en alguna vecindad de z0 . Si la serie asintótica es convergente, existe la función suma g(z) = +∞ ∑ n=0 anϕn(z), (1.216) que puede pertenecer o no a Sasy , toda vez que la condición (1.216) no asegura por sí sola que la serie asintótica sea el desarrollo asintótico de g(z) . En suma, dada una serie asintótica cuando z→z0 en D⊆C , su suma asintótica Sasy ≡ {fθ(z)}, fθ(z)≈ +∞ ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0), (θ∈I⊆R), (1.217) consta en general de más de una función. Cuando la serie es convergente a g(z) en alguna vecindad de z0 , es posible que g(z) no pertenezca a Sasy , sea porque su desarrollo asintótico relativo a la sucesión {ϕn(z)} no es igual a la serie asintótica (1.217) dada, o bien porque no tiene desarrollo asintótico relativo a esa sucesión asintótica. También puede suceder que g(z) pertenezca a Sasy , pero esta condición no asegura que la suma asintótica de la serie ∑+∞ n=0 anϕn(z) se reduzca a g(z) solamente. Cuando la serie asintótica es divergente en toda vecindad de z0 , su suma asintótica puede constar asimismo de una o más funciones. Recíprocamente, dada una función f(z) denida en una región D⊆C y una sucesión {ϕn(z)}+∞ n=0 asintótica cuando z→z0 en D , puede suceder que 44 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales f(z) no tenga desarrollo asintótico relativo a dicha sucesión, o bien que tal desarrollo exista. En este último caso, existe una y solo una sucesión {an} de constantes complejas tal que f(z)≈ +∞ ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0), (1.218) que puede ser convergente o no y, si fuera convergente, su suma g(z) puede ser igual o no a f(z) . Además, si g(z)=f(z) , g(z) puede pertenecer o no a la suma asintótica de la serie formal ∑+∞ n=0 anϕn(z) . Sea o no convergente esta serie, la función dada f(z) puede ser o no la única función que verique (1.218). El teorema que sigue puede considerarse recíproco del teorema 10. Teorema 12 . [18, p. 22], [24, pp. 210, 211] (Una condición suciente para que el desarrollo asintótico de una función compleja sea convergente a la propia función). Sea f(z) una función compleja denida en una región D⊆C que contiene a una vecindad anular Ω del innito, Ω≡ {z∈C;|z| ≥ A > 0} ⊆ D⊆C, (1.219) tal que (i) f(z) es univaluada y holomorfa en Ω . (ii) f(z) posee el desarrollo asintótico en potencias enteras de z cuando z→ ∞ f(z)≈ +∞ ∑ n=0 anz−n(z→ ∞), (1.220) para todo valor de arg(z) . Entonces, la serie asintótica ∑+∞ n=0 anz−n es convergente para todo z tal que |z| es sucientemente grande y su suma es la función dada f(z) , es decir, f(z) = +∞ ∑ n=0 anz−n,|z|> ρ > A, (1.221) para todo valor de arg(z) . La idea de la demostración puede consultarse en la nota 11. Para que una serie asintótica dada (convergente o no) represente asintóticamente a una sola función f(z) en la vecindad de un punto z0 , es necesario que f(z) sea la única función cuyo desarrollo asintótico en una vecindad de z0 sea la serie formal dada. Denición 19 . (Representación asintótica de una función compleja). Sean ∑+∞ n=0 anϕn(z) una serie asintótica cuando z→z0 en una región D⊆ C y f(z) una función compleja denida en D . Se dice que la serie formal 1.6. representación asintótica de funciones 45 ∑+∞ n=0 anϕn(z) es la representación asintótica de f(z) cuando z→z0 en D si f(z) es la única función cuyo desarrollo asintótico es la serie formal dada cuando z→z0 en D . Es decir, cuando se verica (i) f(z)≈ +∞ ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0), (1.222) y (ii) Si g(z)≈ +∞ ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0)⇒f(z) = g(z) en D . (1.223) El problema de la representación asintótica de una función compleja dada consiste en establecer cuándo la función verica las propiedades (i) y (ii) de la denición 19 en la vecindad de algún punto de acumulación de su región de existencia. Ahora bien, ni el teorema 10 ni el teorema 12 aseguran la correspondencia biunívoca entre una función y su desarrollo asintótico [18, p. 24]: "En general no hay modo de asociar una única suma asintótica a una serie asintótica, pero en ciertas circunstancias un tanto especiales puede suceder que bajo hipótesis más precisas acerca de los coecientes de la serie asintótica, y bajo ciertas restricciones sobre la función f(x) , pueda obtenerse una única suma; y con frecuencia en tales casos la serie asintótica, aunque divergente, es en algún sentido sumable a su suma asintótica. Watson (1912a) y Nevanlinna (1916) han obtenido teoremas de esa especie para series asintóticas de potencias sumadas por funciones analíticas regulares en alguna región sectorial." En nuestro caso, el problema de la representación asintótica atañe a funciones que verican una ecuación diferencial en un sector determinado del plano complejo. ¾Es suciente que un desarrollo asintótico verique la ecuación diferencial dada para que represente asintóticamente a una solución de la ecuación y solo a una? [56]: "Reriéndonos a las series asintóticas de potencias, se ve que si uno se limita a considerar valores de la variable sólo a lo largo de un rayo del plano complejo, un mismo desarrollo puede corresponder a funciones distintas. Pero esa ambigüedad desaparece si se estudia lo que ocurre cuando la variable cubre el plano complejo. De hecho, si exigimos que el desarrollo asintótico cumpla formalmente las mismas relaciones (ecuaciones diferenciales, recurrencias, etc.) que una función f(z) dada en cierto sector, α < arg(z)< β , del plano complejo, la correspondencia entre función y desarrollo asintótico es biunívoca [16, pp. 19-20]. A la hora de representar una función en el citado sector, el desarrollo asintótico es tan válido como podría serlo una serie convergente. Su única desventaja es que no permite asignar un valor numérico tan preciso como se desee a la función." 46 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales 1.7. Notas Nota 1 [15, p. 10]. En sentido amplio, la expresión "obtener el comportamiento asintótico de f(z) cuando z→z0 " signica "obtener información de cualquier clase acerca de f(z) en la vecindad de z0 ". No obstante, el signicado usual de la citada expresión es "encontrar una función sencilla g(z) que sea asintóticamente equivalente a f(z) cuando z→z0 ." En este caso, por "sencilla" se entiende que el cálculo de sus valores en la vecindad de z0 no resulte extremadamente dicultoso. En consecuencia, el signicado usual de la expresión "fórmula asintótica de f(z) cuando z→z0 " es el de una equivalencia asintótica: f(z)∼g(z) (z→z0) . Nota 2 [15, p. 10]. En el análisis asintótico, las relaciones de dominancia fuerte ( o ) no son tan interesantes como las de dominancia débil ( O ) porque ocultan mucha información acerca del comportamiento asintótico de una función en la vecindad de un punto dado. Por ejemplo, además de saber que f(z)/g(z) tiende a cero, también interesa conocer lo mejor posible la rapidez de esa convergencia. Nota 3 [66, p. 110]. La expresión f(z) = g(z) + o(h(z)) (z→z0), (1.224) signica f(z)−g(z) = o(h(z)) (z→z0). (1.225) Asimismo, la expresión f(z) = g(z) + O(h(z)) (z→z0), (1.226) signica f(z)−g(z) = O(h(z)) (z→z0). (1.227) Nota 4 [24, p. 209]. El concepto de desarrollo asintótico es muy diferente del concepto de desarrollo de Taylor, no obstante ambos se confunden frecuentemente. El error se debe a que se suele emplear la denominación de "serie asintótica" para lo que debería llamarse desarrollo asintótico. El concepto de desarrollo de Taylor hace referencia a la representación exacta de una función en la vecindad de un punto del plano complejo por medio de una serie de potencias convergente en dicha vecindad, de manera que tal desarrollo corresponde a la función dada y solo a ella. El concepto de desarrollo asintótico alude a la aproximación de una función dada en la vecindad de un punto del plano complejo, hasta cierto orden de precisión, mediante una "serie asintótica" o "serie formal" que puede o no ser convergente, y 1.7. notas 47 en general no lo es. Una consecuencia notable de este hecho (recordar 1.64, 1.65, 1.67, 1.68) es que dos o más funciones diferentes pueden tener el mismo desarrollo asintótico relativo a una sucesión asintótica dada. Nota 5 [45, p. 16], (ver deniciones 2, 8, 10). El uso del símbolo ∼ en lugar de ≈ en la expresión de los desarrollos asintóticos de funciones se justica del modo siguiente: f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0)⇔ ⇔f(z)− N−1 ∑ n=0 anϕn(z) = o(ϕN−1) (z→z0)⇔ ⇔lim z→z0 f(z)−SN−1(z) ϕN−1(z)= 0,(N= 1,2,3, ...), (1.228) donde SN−1(z)≡ N−1 ∑ n=0 anϕn(z),(N= 1,2,3, ...). (1.229) Del carácter asintótico de la sucesión {ϕn} se deduce que para todo N= 1,2,3, ... , lim z→z0 ϕN−1(z) SN−1(z)= 0,lim z→z0 f(z)−SN−1(z) SN−1(z)= 0, (1.230) de manera que lim z→z0 f(z) SN−1(z)= lim z→z0 f(z)−SN−1(z) SN−1(z)+ 1 = 1, (1.231) expresión equivalente a f(z)∼ N−1 ∑ n=0 anϕn(z) (z→z0). (1.232) Nota 6 [45, p. 16, 17], (ver deniciones 8 y 10). Sobre el uso del símbolo O en lugar de o en la denición de los desarrollos asintóticos de funciones. La relación entre una función compleja dada f(z) y su desarrollo asintótico se expresa de modo equivalente a la denición 8 mediante el símbolo O : f(z) = N−1 ∑ n=0 anϕn(z) + O(ϕN) (z→z0). (1.233) 48 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales En efecto, poniendo FN−1(z)≡f(z)−∑N−1 n=0 anϕn(z) , a partir de 1.228 (ver nota 5) se tiene: lim z→z0 FN−1(z) ϕN−1(z)= lim z→z0 FN−1(z) ϕN(z)×ϕN(z) ϕN−1(z)= 0, (1.234) donde debido al carácter asintótico de la sucesión {ϕn} , lim z→z0 ϕN(z) ϕN−1(z)= 0, (1.235) por consiguiente, existe algún número real no negativo A tal que en alguna vecindad de z0 , |FN−1(z)| ≤ A|ϕN(z)|, (1.236) quedando así justicada (1.233). Nota 7 [18, p. 13, 14], (ver denición 11 y corolario 8). Una función dada f(z) puede tener desarrollos asintóticos respecto de dos o más secuencias asintóticas diferentes, equivalentes o no equivalentes en el sentido de la denición 11. Algunos de tales desarrollos pueden ser convergentes, otros divergentes. Nota 8 (ver teorema 8). Por hipótesis, existen los desarrollos asintóticos f(x)≈ +∞ ∑ n=0 anx−n=a0+a1x−1+a2x−2+a3x−3+... (x→+∞), (1.237) f′(x)≈ +∞ ∑ n=0 bnx−n=b0+b1x−1+b2x−2+b3x−3+... (x→+∞), (1.238) donde los an son dados y se ha de demostrar que los bn están determinados unívocamente por los an . A consecuencia de (1.237), (1.238) se tiene que para todo N= 1,2,3, ... , f(x)− N−1 ∑ n=0 anx−n=o(x−(N−1)),(x→+∞), (1.239) f′(x)− N−1 ∑ n=0 bnx−n=o(x−(N−1)),(x→+∞), (1.240) lim x→+∞f(x) = a0,lim x→+∞f′(x) = b0. (1.241) Para cada N= 1,2,3, ... se consideran las funciones (N= 1) : g0(x)≡f(x)−b0x, (N= 2) : g1(x)≡f(x)−(b0x+b1ln x), 1.7. notas 49 (N= 3) : g2(x)≡f(x)−(b0x+b1ln x−b2x−1), (N= 4) : g3(x)≡f(x)−(b0x+b1ln x−b2x−1−1 2b3x−2), .................................................................................................... (1.242) es decir, g0(x)≡f(x)−b0x, gN−1(x)≡f(x)−(b0x+b1ln x− N−2 ∑ n=1 bn+1 nx−n), (N= 2,3,4...), (1.243) donde se asume que el sumatorio en el paréntesis se anula cuando N= 2 . Las funciones g0(x) , g1(x) ,... permanecen acotadas cuando x→+∞ solo si b0=b1= 0 . En tal caso, lim x→+∞gj(x) = lim x→+∞f(x) = a0,(j= 0,1,2, ...). (1.244) Las primeras derivadas de estas funciones admiten la expresión g′ N−1(x) = f′(x)− N−1 ∑ n=0 bnx−n,(N= 1,2,3, ...). (1.245) A partir de (1.240) y (1.245) se deduce g′ N−1(x) = o(x−(N−1)),(x→+∞),(N= 1,2,3, ...), (1.246) y lim x→+∞g′ N−1(x) = lim x→+∞f′(x)−b0=b0−b0= 0. (1.247) Aplicando el teorema 6, tenemos ∫+∞ x g′ N−1(t)dt =o(∫+∞ x t−(N−1)dt)(x→+∞), (1.248) donde, habida cuenta de (1.239), para N= 1,2 se tiene ∫+∞ x g′ 0(t)dt =g0(+∞)−g0(x) = f(+∞)−f(x) = =a0−f(x) = o(1),(x→+∞), (1.249) ∫+∞ x g′ 1(t)dt =g1(+∞)−g1(x) = f(+∞)−f(x) = =a0−f(x) = o(1),(x→+∞), (1.250) 50 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales y para N= 3,4,5, ... , gN−1(+∞)−gN−1(x) = a0−gN−1(x) = o [t−(N−2) −(N−2)]+∞ x = =o(x−(N−2))(x→+∞). (1.251) Para obtener una expresión del desarrollo asintótico de f(x) en potencias de x cuando x→+∞ hasta N−1 términos para todo N≥1 donde aparezcan los coecientes bn del desarrollo asintótico de su derivada f′(x) , es necesario que las funciones gN−1(x) introducidas en (1.242), (1.243) permanezcan acotadas cuando x→+∞ . Sabemos que esta condición se verica solamente si los dos primeros coecientes del desarrollo asintótico de la derivada son nulos: b0=b1= 0 . Entonces, gN−1(x) = f(x) + N−2 ∑ n=1 bn+1 nx−n,(N= 1,2,3, ...). (1.252) Comparando (1.251) con (1.252) se obtiene, después de cambiar N por N+ 1 , f(x) = a0− N−1 ∑ n=1 bn+1 nx−n+o(x−(N−1))(x→+∞), (N= 2,3,4, ...). (1.253) Comparando (1.237) con (1.253) se tiene, habida cuenta de la unicidad del desarrollo asintótico de una función relativo a una secuencia asintótica dada, bn=−(n−1)an−1,(n= 0,1,2, ...), (1.254) quedando así probado que los coecientes bn del desarrollo asintótico de la derivada f′(x) están determinados unívocamente por los coecientes an del desarrollo asintótico de la función f(x) . Nota 9 . [15, p.14], [45, p. 7, 17]. (Ver teorema 10). Si la serie ∑+∞ n=0 anz−n converge para todo z tal que |z|> ρ > 0 , se verica que RN≡ +∞ ∑ n=N anz−n=O(z−n)(z→ ∞), (1.255) para todo N= 1,2,3, ... y todo arg(z) . Además, existe f(z) tal que f(z) = +∞ ∑ n=0 anz−n,(|z| ≥ p > ρ), (1.256) 1.7. notas 51 siendo p un número real positivo mayor que el radio de convergencia ρ . En particular, la serie converge para |z|=p , luego existe al menos un número real positivo A tal que anp−n< A, i. e. |an|< Apn,∀n= 0,1,2, ... (1.257) La serie también converge para |z|= 2p , es decir, para p|z|−1= 1/2 . Entonces se tiene que  +∞ ∑ n=N anz−n≤ +∞ ∑ n=N|an||z|−n< A +∞ ∑ n=N pn|z|−n, (1.258) donde +∞ ∑ n=N pn|z|−n=pN|z|−N +∞ ∑ n=0 (p|z|−1)n=pN|z|−N +∞ ∑ n=0 (1/2)n= 2pN|z|−N. (1.259) En consecuencia,  +∞ ∑ n=N anz−n <ˆ Az−N,(N= 1,2,3, ...), (1.260) donde ˆ A≡2ApN . Entonces, a partir de la igualdad f(z) = +∞ ∑ n=0 anz−n= N−1 ∑ n=0 anz−n+ +∞ ∑ n=N anz−n, (1.261) se deduce que para todo N= 1,2,3, ... ,  f(z)− N−1 ∑ n=0 anz−n = +∞ ∑ n=N anz−n <ˆ Az−N,(|z|> ρ). (1.262) Aplicando la denición del símbolo de orden O , (1.262) equivale a f(z)− N−1 ∑ n=0 anz−n=O(z−N)(z→+∞), (1.263) es decir, (recordar nota 6) a f(z)≈ +∞ ∑ n=0 anz−n(z→ ∞). (1.264) 52 CAPÍTULO 1. desarrollos asintóticos. ideas generales Nota 10 . [18, pp. 22,23,24]. (Ver teorema 11). La idea de la demostración es la siguiente. Si N es nito, la suma N−1 ∑ n=0 anϕn(z) = f(z) (1.265) existe y dene una función f(z) cuyo desarrollo asintótico es la propia suma: f(z)≈ N−1 ∑ n=0 anϕn(z),(z→z0). (1.266) Si N= +∞ , existe para todo n= 0,1,2, ... una función continua µn(z) tal que |an+pµn+p(z)ϕn+p(z)| ≤ 2−p|anϕn(z)|, (1.267) para todo p= 0,1,2, ... y todo z en cierta vecindad Un de z0 . Entonces, la serie +∞ ∑ n=0 anµn(z)ϕn(z) = f(z) (1.268) es convergente y dene una función f(z) en la región D⊆C de existencia de la secuencia asintótica {ϕn(z)}+∞ n=0 , siendo z0 un punto de acumulación de D .Entonces, tomando p= 0 en (1.267) y la expresión (1.268) de f(z) resulta:  f(z)− N−1 ∑ n=0 anϕn(z)≤ +∞ ∑ n=N|anµn(z)ϕn(z)| ≤ ≤ |aNϕN(z)| +∞ ∑ n=N 2N−n= 2 |aNϕN(z)|= 0 (ϕN−1) (z→z0), (1.269) quedando así probado que ∑+∞ n=0 anϕn(z) es el desarrollo asintótico de la función f(z) denida por (1.268). Nota 11 . [24, p. 210, 211] (ver teorema 12). La idea es que en el desarrollo de Laurent de f(z) en Ω0≡ {z;|z|> ρ0≥A} , i.e. f(z) = +∞ ∑ n=−∞ bnzn,(z∈Ω0), (1.270) para todo n= 1,2,3, ... , |bn| ≤ M/ρn , donde ρ > ρ0 y M > 0 es tal que |f(z)|< M para todo z tal que |z| ≥ A . La existencia de M deriva del desarrollo asintótico f(z)≈∑+∞ n=0 anz−n , del que resulta limz→∞ f(z) = a0 . Haciendo tender ρ→+∞ , resulta que el desarrollo de Laurent queda reducido a los términos de órdenes 0,−1,−2, ... , cuyos coecientes se identican respectivamente con los coecientes a0 , a1 , a2 ,... del desarrollo asintótico de f(z) . 2.1. ecuaciones diferenciales con coecientes polinomiales 59 diferencial. Así, cuando la singularidad irregular zi es nita y la diferencia ρ1−ρ2 no es igual a un número entero, en vez de (2.24) se tiene y1(z) = (z−zi)ρ1 +∞ ∑ n=−∞ c1,n(z−zi)n, y2(z) = (z−zi)ρ2 +∞ ∑ n=−∞ c2,n(z−zi)n, (2.29) o bien, si ρ1−ρ2 es igual a un número entero, en vez de (2.25) se tiene y1(z) = (z−zi)ρ1 +∞ ∑ n=−∞ c1,n(z−zi)n, y2(z) = (z−zi)ρ1 +∞ ∑ n=−∞ c2,n(z−zi)n+Ay1(z) ln(z−zi), (2.30) donde las series convergen en el disco de centro la singularidad zi , excluida ésta, y radio igual a la distancia de zi a la singularidad más próxima. Cuando la singularidad irregular se localiza en el innito y la diferencia ρ1−ρ2 no es igual a un número entero, en vez de (2.26) se escribirá y1(z) = zρ1 +∞ ∑ n=−∞ c1,nz−n, y2(z) = zρ2 +∞ ∑ n=−∞ c2,nz−n, (2.31) y si ρ1−ρ2 es igual a un número entero, (2.27) se reemplaza por y1(z) = zρ1 +∞ ∑ n=−∞ c1,nz−n, y2(z) = zρ1 +∞ ∑ n=−∞ c2,nz−n+Ay1(z) ln z, (2.32) donde las series convergen en una vecindad anular del innito y A es una constante que, en casos particulares, puede ser cero. A diferencia de las singularidades regulares, en el caso de las singularidades irregulares los coecientes c1,n , c2,n verican un sistema innito de ecuaciones en diferencias lineales y la ecuación que determina los valores de ρ1 , ρ2 no es sencilla como (2.28). Thomé descubrió que el comportamiento local de las soluciones de (2.1) en una vecindad de una singularidad irregular de rango nito se representa de manera más ventajosa mediante formas funcionales que son los desarrollos asintóticos de soluciones particulares de la ecuación diferencial en ciertos sectores del z -plano con vértice en la singularidad zi (cuando es nita) o en 60 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales el origen (cuando la singularidad se localiza en el innito), y amplitud angular ∆ϕi determinada por el rango de la singularidad. Los coecientes cs de los términos de las series asintóticas en tales desarrollos pueden obtenerse de modo recurrente, y los exponentes característicos α0 , α1 ,... correspondientes verican sistemas de ecuaciones algebraicas. Estos desarrollos asintóticos, denominados soluciones de Thomé , son soluciones formales de (2.1), es decir, si son sustituidos en la ecuación, ésta se verica. No obstante, las series asintóticas asociadas con estos desarrollos son en general divergentes, de modo que, a diferencia de las series de Taylor y de Laurent, no constituyen representaciones exactas de soluciones de la ecuación diferencial. Si zi es una singularidad irregular nita de rango entero R≥1 , las soluciones de Thomé tienen la forma y1(z) = (z−zi)α1,0exp   R ∑ j=1 α1,j j(z−zi)−j  +∞ ∑ s=0 c1,s(z−zi)s, y2(z) = (z−zi)α2,0exp   R ∑ j=1 α2,j j(z−zi)−j  +∞ ∑ s=0 c2,s(z−zi)s, (2.33) y reciben el nombre de soluciones de Thomé normales . Si el rango de la singularidad nita es semientero, R≥1/2 , para la ecuación (2.4), forma normal de (2.1), las soluciones de Thomé son ˆy1(z) = (z−zi)α1,0exp   R+1/2 ∑ j=1 α1,j j−1/2(z−zi)−j+1/2  +∞ ∑ s=0 c1,s(z−zi)s/2, ˆy2(z) = (z−zi)α2,0exp   R+1/2 ∑ j=1 α2,j j−1/2(z−zi)−j+1/2  +∞ ∑ s=0 c2,s(z−zi)s/2, (2.34) y reciben el nombre de soluciones de Thomé subnormales . Si la singularidad irregular se localiza en el innito, (2.33) ha de reemplazarse por y1(z) = zα1,0exp   R ∑ j=1 α1,j jzj  +∞ ∑ s=0 c1,sz−s, y2(z) = zα2,0exp   R ∑ j=1 α2,j jzj  +∞ ∑ s=0 c2,sz−s, (2.35) y (2.34) ha de reemplazarse por ˆy1(z) = zα1,0exp   R+1/2 ∑ j=1 α1,j j−1/2zj−1/2  +∞ ∑ s=0 c1,sz−s/2, ˆy2(z) = zα2,0exp   R+1/2 ∑ j=1 α2,j j−1/2zj−1/2  +∞ ∑ s=0 c2,sz−s/2. (2.36) 2.1. ecuaciones diferenciales con coecientes polinomiales 61 Dentro de la clase de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, para nosotros revisten interés particular las que, llevadas a la forma normal (2.4), presentan en el origen o en el innito una singularidad irregular de rango entero, siendo ordinarios los demás puntos del plano nito. Si el rango de una singularidad irregular es semientero, la ecuación (2.4) puede transformarse en una ecuación también exenta del término en la primera derivada d2˜y dξ2+˜ Q(ξ)˜y(ξ) = 0, (2.37) donde ˜ Q(ξ) = 4ξ2ˆ Q(ξ2)−3 4ξ2, (2.38) mediante los cambios de variables z−→ ξ, z =ξ2, ˆy−→ ˜y, ˆy= ˜yξ1/2. (2.39) La ecuación (2.37) presenta en ξ= 0 (resp. ξ=∞ ) una singularidad irregular cuyo rango entero es igual al doble del rango de la singularidad correspondiente en z= 0 (resp. z=∞ ). En la aplicación al modelo de potencial connante que presentamos en esta memoria, el origen y el innito son ambos puntos singulares de la ecuación diferencial, el origen puede ser regular o irregular, el innito es en todo caso irregular y los rangos de uno y otro son enteros. En estas condiciones, la ecuación diferencial de referencia adopta la forma u′′(z) + q(z)u(z) = 0, (2.40) donde q(z) = 2N ∑ j=2M qjzj, (2.41) pudiendo ser M=−1,−2,−3, ... y N= 0,1,2, ... , de manera que el rango de z= 0 es R(0) = −M−1, (2.42) correspondiendo a M=−1 una singularidad regular en el origen y a M= −2,−3,−4, ... una irregular. El rango de z=∞ es R(∞) = N+ 1. (2.43) Cuando z= 0 es un punto singular regular de (2.40), existe un sistema fundamental de soluciones de la ecuación tal que al menos una de ellas es de la forma multiplicativa de Taylor o solución Frobenius sin término logarítmico, i.e. de la forma (2.24) con zi= 0 : u(z) = zρ +∞ ∑ n=0 cnzn,(z∈C). (2.44) 62 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales Cuando z= 0 es un punto singular irregular, existe un sistema fundamental de soluciones de (2.40) tal que al menos una de ellas es de la forma multiplicativa o de Floquet sin término logarítmico, i.e. de la forma (2.29) con zi= 0 : u(z) = zρ +∞ ∑ n=−∞ cnzn,(z∈C), (2.45) así como dos sistemas fundamentales de soluciones formales. En una vecindad de la singularidad irregular z=∞ existe un sistema fundamental de soluciones formales de Thomé normales de la forma (2.35) a las que denominamos soluciones formales de clase (a) ua,k(z) = zµkexp   R(∞) ∑ p=1 αk) p pzp  +∞ ∑ s=0 ak) sz−s, (αk) R(∞)= 0),(k= 1,2), (2.46) donde µk sustituye a αk,0 , p= 1,2, ..., R(∞) a j= 1,2, ..., R , αk) p a αk,j y ak) s a ck,s . Para cada k= 1,2 , los parámetros αk) p verican el sistema de ecuaciones R(∞)−p ∑ j=0 αk) R(∞)−jαk) p+j+qR(∞)−2+p= 0, (p=R(∞), R(∞)−1, ..., 2,1,0), (2.47) de cuya resolución recurrente se obtienen las relaciones de antisimetría α1) p=−α2) p,(p= 0,1, ..., R(∞)). (2.48) En una vecindad de la singularidad irregular z= 0 existe además un sistema fundamental de soluciones formales de Thomé normales, i.e. de la forma (2.33) con zi= 0 , a las que denominamos convencionalmente soluciones formales de clase (b) ub,τ (z) = zµτexp   R(0) ∑ p=1 βτ) p pz−p  +∞ ∑ s=0 ˆaτ) sz−s, (βτ) R(0) = 0),(τ= 3,4), (2.49) donde el índice τ= 3,4 sustituye a k= 1,2 , µτ a ατ,0 , p= 1,2, ..., R(0) a j= 1,2, ..., R , βτ) p a αk,j y ˆaτ) s a ck,s . Los parámetros βτ) p verican, para cada τ= 3,4 , el sistema de ecuaciones R(0)−p ∑ j=0 βτ) R(0)−jβτ) j+p+qR(0)−2−p= 0,(p=R(0), R(0)−1, ..., 2,1,0), (2.50) 2.2. EL FENÓMENO DE STOKES 63 de cuya resolución recurrente se obtienen las relaciones de antisimetría β3) p=−β4) p,(p= 0,1, ..., R(0)). (2.51) Las expresiones (2.44), (2.45) son representaciones exactas y unívocas de soluciones particulares de la ecuación (2.40) en sendas vecindades completas del origen z= 0 . Las expresiones (2.46), (2.49) son en cambio desarrollos asintóticos de ciertos sistemas fundamentales de soluciones, {ua,1, ua,2} y {ub,3, ub,4} , de la ecuación, respectivamente válidos en ciertos sectores {S1,p1, S2,p2} y {S3,p3, S4,p4} , que constituyen vecindades incompletas del in- nito y el origen. Estos desarrollos no son en general representaciones exactas de soluciones de la ecuación diferencial cuando z→ ∞ o z→0 a lo largo de cualquier rayo en el z-plano complejo, tampoco son unívocas, toda vez que la correspondencia entre funciones complejas y desarrollos asintóticos no es en general biyectiva. 2.2. El fenómeno de Stokes A pesar del carácter generalmente no convergente y sectorialmente limitado de los segundos miembros de (2.46), (2.49), la suma de un número de términos no muy grande en las series asintóticas correspondientes a estas expresiones genera valores precisos de ciertas soluciones de la ecuación diferencial (2.40) cuando |z| es tan grande o pequeño respectivamente que la convergencia de las series en (2.44), (2.45) es muy lenta. La representación de una solución particular de (2.40) es completa si es válida en todo el z - plano complejo, incluyendo los puntos singulares de la ecuación. Cuando tal representación existe, armamos que la solución representada es una solución global de la ecuación diferencial. A n de obtener soluciones globales, es necesario resolver el problema global o problema de conexión de la ecuación, i. e. obtener las relaciones algebraicas que representan a las soluciones multiplicativas (2.44) o (2.45) como sendas combinaciones lineales de soluciones formales de clase (a) (2.46) o de clase (b) (2.49): u(z) = T1,p1u1(z) + T2,p2u2(z), z ∈S1,p1∩S2,p2, (2.52) u(z) = T3,p3u3(z) + T4,p4u4(z), z ∈S3,p3∩S4,p4, (2.53) donde p1 , p2 , p3 , p4 son números enteros. Las expresiones (2.52), (2.53) son las fórmulas de conexión de clases (a) y (b) respectivamente y los coecientes Tk,pk(k= 1,2) y Tτ,pτ(τ= 3,4) que multiplican a las soluciones formales en tales expresiones son los factores de conexión cuya determinación es equivalente a la resolución del problema global. Conocidos estos factores, las fórmulas de conexión permiten describir el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial en todo el rango de valores complejos de la 64 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales variable independiente z . Si la ecuación diferencial depende de un parámetro, las fórmulas de conexión permiten además caracterizar el conjunto de valores del parámetro para los cuales las soluciones globales presentan un comportamiento regular en ambos puntos singulares. En las aplicaciones a la Mecánica Cuántica, será posible obtener de este modo una caracterización simple y general del espectro de energías, i. e. del conjunto de valores del observable hamiltoniano para los cuales las soluciones de la ecuación de Schrödinger representan estados físicamente aceptables de un sistema cuántico. Una consecuencia del carácter asintótico de las soluciones formales de Thomé uτ(z) , uk(z) es que al abandonar un sector de validez Sτ,pτ (resp. Sk,pk ) variando arg z de modo continuo, una o ambas uτ (resp. uk,pk ) pueden dejar de ser desarrollos asintóticos de los mismos sistemas fundamentales de soluciones {ub,τ (z)} , τ= 3,4 (resp. {ua,k(z)} , k= 1,2 ) a los que representan en el sector abandonado, para convertirse en desarrollos asintóticos de otros sistemas fundamentales de soluciones en el nuevo sector. Por ejemplo, supongamos que las soluciones formales (2.46) representan a un sistema fundamental {ua,1, ua,2} de soluciones en sendas vecindades sectoriales S1,p1 , S2,p2 del innito, i.e. ua,1(z)≈u1(z) = zµ1exp   R(∞) ∑ p=1 α1) p pzp  +∞ ∑ s=0 a1) sz−s,(z→ ∞),(z∈S1,p1), ua,2(z)≈u2(z) = zµ2exp   R(∞) ∑ p=1 α2) p pzp  +∞ ∑ s=0 a2) sz−s,(z→ ∞),(z∈S2,p2). (2.54) Es posible que al modicar arg z abandonando el sector S1,p1 y pasando al sector adyacente S1,p1+1 suceda que u1(z) no es el desarrollo asintótico de ua,1(z) cuando z→ ∞ en el nuevo sector S1,p1+1 y sí lo es de otra solución ¯ua,1(z) de la ecuación diferencial (2.40), vericándose en consecuencia ¯ua,1(z)≈u1(z) = zµ1exp   R(∞) ∑ p=1 α1) p pzp  +∞ ∑ s=0 a1) sz−s,(z→ ∞), (z∈S1,p1+1), (2.55) también es posible que al modicar arg z pasando del sector S2,p2 al sector adyacente S2,p2+1 suceda que u2(z) no es el desarrollo asintótico de ua,2(z) cuando z→ ∞ en el nuevo sector S2,p2+1 y sí lo es de otra solución ¯ua,2(z) de la ecuación diferencial ¯ua,2(z)≈u2(z) = zµ2exp   R(∞) ∑ p=1 α2) p pzp  +∞ ∑ s=0 a2) sz−s,(z→ ∞), (z∈S2,p2+1). (2.56) 2.2. el fenómeno de stokes 65 Entonces, para obtener una representación asintótica de cualquier solución particular de (2.40) en una región sectorial dada del z -plano mediante las soluciones formales de Thomé de clase (a) {u1, u2} , es necesario que los sectores de validez correspondientes a cada una S1,p1 , S2,p2 sean no disjuntos y que su intersección contenga a la región de interés. Es decir, si u(z) es una solución particular de la ecuación diferencial cuya representación exacta en una base de soluciones {ua,1, ua,2} viene dada por sendos factores constantes complejos T1,p1 , T2,p2 , u(z) = T1,p1ua,1(z) + T2,p2ua,2(z),(z∈C), (2.57) y se verica (2.54), se tendrá la representación asintótica cuando z→ ∞ u(z)≈T1,p1u1(z) + T2,p2u2(z),(z→ ∞),(z∈S1,p1∩S2,p2), (2.58) con {u1(z), u2(z)} dadas en (2.46). Esta representación es válida en el sector S1,p1∩S2,p2 , no es válida necesariamente fuera de este sector. Por ejemplo, si las relaciones (2.55), (2.56) se verican y los sectores correspondientes no son disjuntos, para tener una representación asintótica de la misma solución particular u(z) mediante las mismas soluciones formales de clase (a) {u1, u2} cuando z→ ∞ en el sector intersección S1,p1+1∩S2,p2+1 , la representación exacta (2.57) no es adecuada, debe reemplazarse por otra representación exacta en la base de soluciones {¯ua,1,¯ua,2} cuyos desarrollos asintóticos cuando z→ ∞ en los sectores S1,p1+1 , S2,p2+1 son u1 y u2 respectivamente. Cuando tiene lugar este cambio sectorial de base en el espacio de soluciones de la ecuación (2.40) permaneciendo invariante el sistema fundamental de soluciones formales de clase (a), se produce un cambio en el valor de T1 o T2 al atravesar el rayo que separa dos sectores adyacentes. En lugar de (2.57) ahora se tiene u(z) = T1,p1+1¯ua,1(z) + T2,p2+1 ¯ua,2(z),(z∈C), (2.59) y en lugar de (2.58) se tiene u(z)≈T1,p1+1u1(z) + T2,p2+1u2(z),(z→ ∞), (z∈S1,p1+1 ∩S2,p2+1). (2.60) Por consiguiente, cualquier solución particular de la ecuación diferencial puede representarse asintóticamente cuando z→ ∞ en cada sector no vacío S1,p1∩S2,p2 mediante una combinación lineal de las dos soluciones formales de clase (a) dadas en (2.46). La importancia relativa de cada contribución depende del signo de la parte real del exponente más alto λkzR(∞) , (λk≡αk) R(∞)) , en los factores exponenciales de (2.46) correspondientes a k= 1,2 . Los coecientes complejos T1,p1 , T2,p2 que multiplican a cada solución formal en (2.58) reciben el nombre de coecientes de Stokes de clase 66 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales (a) y sus valores pueden cambiar cuando arg z varía de modo continuo, permaneciendo constante |z| , al atravesar ciertos rayos del z -plano complejo, a los cuales denominamos rayos de Stokes de clase (a) . Cuando este cambio sectorial de los coecientes de Stokes tiene lugar, se produce abruptamente porque responde a un cambio de base en el espacio de soluciones de la ecuación diferencial que deja invariante el sistema fundamental de soluciones formales de clase (a). No obstante, este cambio abrupto de los coecientes de Stokes no genera discontinuidad en la representación asintótica de la función porque el cambio de uno u otro coeciente se produce cuando la solución formal a la que multiplica es recesiva por decrecer exponencialmente, mientras la solución formal multiplicada por el otro factor crece exponencialmente cuando z→ ∞ . Estos cambios en los valores de los coecientes complejos que multiplican a cada solución formal de Thomé en la representación asintótica compuesta de una solución particular de una ecuación diferencial lineal cuando el argumento de la variable independiente varía de modo continuo recibe el nombre de fenómeno de Stokes en honor de su descubridor George G. Stokes [60]. Para cada k= 1,2 , las líneas ℜ(λkzR(∞))= 0, (2.61) son líneas críticas de clase (a) sobre las cuales se produce un cambio en el comportamiento asintótico de las soluciones formales de clase (a) cuando z→ ∞ . Cuando ℜ(λ1zR(∞)) cambia de signo, la solución formal u1(z) pasa de recesiva a dominante o viceversa y, habida cuenta de (2.48), u2(z) pasa de dominante a recesiva o viceversa. Un razonamiento paralelo al antecedente nos lleva a establecer otra clase de representaciones asintóticas de cualquier solución particular de la ecuación diferencial (2.40) en regiones sectoriales del z -plano donde son válidas las soluciones formales de clase (b) {u3, u4} dadas en (2.49) u(z)≈T3,p3u3(z) + T4,p4u4(z),(z→0),(z∈S3,p3∩S4,p4), (2.62) donde los coecientes T3,p3 o T4,p4 , denominados coecientes de Stokes de clase (b) , pueden variar abruptamente de un sector a otro al atravesar ciertos rayos denominados rayos de Stokes de clase (b) . La importancia relativa de uno y otro término en el segundo miembro de (2.62) depende ahora del signo de la parte real del exponente más alto λτzR(0) , (λτ≡βτ) R(0)) , en los factores exponenciales de (2.49) correspondientes a τ= 3,4 . Para cada τ= 3,4 , las líneas críticas de clase (b), en las cuales se produce un cambio en el comportamiento asintótico de las soluciones formales de clase (b) {u3, u4} , son, análogamente a (2.61), ℜ(λτzR(0))= 0. (2.63) 2.2. el fenómeno de stokes 67 La localización de los sectores de validez ha sido establecida por M. Kohno [39]. Consideremos por ejemplo la variación discontinua del factor de conexión T1,p1 cuando arg z cambia de manera continua al atravesar ciertos rayos (fenómeno de Stokes). Para que este cambio brusco no afecte a la continuidad de la solución u(z) representada asintóticamente mediante (2.58), es necesario y suciente que las partes real e imaginaria de la solución formal u1(z) a la cual dicho factor multiplica tengan un comportamiento evanescente cuando |z| crece indenidamente ( z→ ∞ ) sobre los rayos en los que se produce la discontinuidad de Stokes, i.e. que u1(z) sea recesiva sobre los rayos de Stokes del factor T1,p1 . Esta condición se cumple si ℑ(λ1zR(∞))= 0, y ℜ(λ1zR(∞))<0, (2.64) es decir, si arg (λ1zR(∞))= (2p1+ 1)π, (p1∈Z), (2.65) y una condición semejante se tiene sobre los rayos de Stokes del factor T2,p2 . Por consiguiente, para cada k= 1,2 , los rayos de Stokes de clase (a) −→ sk,pk tienen argumentos ϕk,pk≡arg(−→ sk,pk) = (2pk+ 1)π−arg(λk) R(∞),(pk∈Z), (2.66) y los sectores de validez de las soluciones formales de clase (a) limitados por sendos rayos de Stokes consecutivos Sk,pk={z∈C;arg (λkzR(∞))−2πpk< π},(pk∈Z), (2.67) tienen amplitudes angulares ∆ϕk,pk=2π R(∞). (2.68) Análogamente, para cada solución formal de clase (b) ( τ= 3,4 ) se tienen los sectores de validez Sτ,pτ={z∈C;arg (λτz−R(0))−2πpk< π},(pτ∈Z). (2.69) Los rayos de Stokes de clase (b) que separan sectores contiguos Sτ,pτ , Sτ,pτ+1 tienen argumentos ϕτ,pτ≡arg(−→ sτ,pτ) = (2pτ+ 1)π−arg(λτ) −R(0) , (2.70) y las amplitudes angulares de los sectores Sτ,pτ son ∆ϕτ,pτ=2π R(0). (2.71) 68 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales A modo de ejemplo consideremos el comportamiento a grandes valores de |z| de las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel de orden cero, cuya forma estándar es d2y dz2+1 z dy dz +y(z) = 0,(z∈C), (2.72) que llevamos a la forma normal d2u dz2+(1 + 1 4z2)u(z) = 0,(z∈C), (2.73) mediante el cambio de la variable dependiente y−→ u, y =z1/2u. (2.74) A partir de (2.17), (2.20) establecemos que el origen (z= 0) es el único punto singular de la ecuación de Bessel en el z -plano nito, es también un punto singular regular (rango R(0) = 0 ). Asimismo, a partir de (2.18), (2.21) establecemos que en el punto innito la ecuación presenta una singularidad irregular de rango R(∞) = 1 que, siendo entero, hace innecesario un nuevo cambio de variables (2.39). En una vecindad del innito, la ecuación (2.73) admite por tanto un sistema fundamental de soluciones de Thomé normales, i.e. soluciones formales (de clase (a)) de la forma (2.35) u1(z) = zµ1exp(λ1z) +∞ ∑ s=0 a1) sz−s, u2(z) = zµ2exp(λ2z) +∞ ∑ s=0 a2) sz−s, (2.75) donde para cada k= 1,2 utilizamos la notación µk≡αk,0≡αk) 0 , λk≡αk,1≡ αk) 1 , ak) s≡ck,s . Los valores de µ1 , µ2 , λ1 , λ2 y la recurrencia vericada por los coecientes ak) s se obtienen sustituyendo (2.75) en (2.73): µ1=µ2= 0, λ1=i, λ2=−i, (2.76) 2λ1sas= (s−1/2)2as−1,(s∈Z),(a0= 0), (a−1=a−2=... = 0). (2.77) La recurrencia (2.77) es soluble analíticamente, dando lugar al sistema fundamental de soluciones formales de (2.72) y1(z) = (2 π)1/2 exp(iz −iπ/4) +∞ ∑ s=0 ˜as(−i)sz−s−1/2, y2(z) = (2 π)1/2 exp(−iz +iπ/4) +∞ ∑ s=0 ˜asisz−s−1/2, (2.78) 2.3. método de naundorf de solución del problema global 75 En síntesis [31, p. 3194] el procedimiento de Naundorf consiste en obtener 2R series formales de potencias independientes (véase (2.121)), con índice entero que recorre el intervalo de −∞ a +∞ , de comportamientos asintóticos bien denidos, y cuyos coecientes f(k,L) n son utilizados como una base en el subespacio 2R-dimensional del espacio de soluciones de la recurrencia (2.102) donde estas series formales reeemplazan a los desarrollos asintóticos (2.103). A n de obtener esta base, Naundorf sustituye, en las expresiones (2.103) de w1) asy , w2) asy , el término exponencial que determina sus comportamientos asintóticos respectivos por R expansiones formales independientes del tipo serie exponencial de Heaviside que corresponden a las determinaciones de la raíz R -ésima de tR . La multiplicación de estas expansiones formales por las series de Taylor de los restantes términos exponenciales y por las series asintóticas en (2.103) produce 2R expansiones formales cuyos coecientes verican la recurrencia mencionada, teniéndose de este modo la base requerida. Comparando 2R coecientes consecutivos de la expresión (2.101) de wη en serie de potencias con los coecientes análogos de los elementos de la base, se establece un sistema de 2R ecuaciones lineales cuya solución permite obtener los factores de conexión. Para unos valores dados de los factores de conexión Tη) k , las relaciones (2.106) no son válidas en general para todo valor de arg(t) . La validez de las relaciones de conexión queda restringida a regiones sectoriales del plano complejo limitadas por rayos denominados rayos de Stokes a causa del denominado fenómeno de Stokes (véase la sección 2.2 ). En la ecuación canónica de Naundorf (2.100), el fenómeno de Stokes consiste en que los factores de conexión Tk que intervienen en los desarrollos asintóticos de las soluciones multiplicativas (2.101) toman valores que dependen de arg(t) y cambian de modo discontinuo cuando arg(t) varía de modo continuo manteniendo constante |t| . Las variaciones discontinuas de Tk ocurren cuando arg(t) alcanza ciertos valores que corresponden a otros tantos rayos en el plano complejo de la variable t : estos son los rayos de Stokes. El cambio brusco de T1 se produce cuando la función w1) asy(t) a la que multiplica es despreciable frente a w2) asy(t) , y recíprocamente, el cambio brusco de T2 se produce cuando la función w2) asy(t) a la que multiplica es despreciable frente a w1) asy(t) . Para cada η, k = 1, 2, los factores de conexión de wη(t) con wk) asy(t) son las constantes Tη) k,pk ( pk∈Z ), denidas en los sectores Sk,pk≡{t∈C;arg (λktR)−2πpk< π}, (2.107) denominados sectores de validez , tales que en cada uno de ellos se verican las relaciones de conexión (2.106). Por consiguiente, los sectores de validez de las fórmulas de conexión corresponden a las intersecciones no vacías de 76 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales los sectores Sk,pk : S(p1, p2)≡S1,p1∩S2,p2,(p1, p2∈Z). (2.108) Los argumentos de los rayos de Stokes sk,pk que separan a sectores adyacentes Sk,pk y Sk,pk+1 se obtienen a partir de (2.107): ϕk,pk≡arg (sk,pk) = (2pk+ 1)π−arg(λk) R, (2.109) de donde resulta que la amplitud angular de estos sectores está determinada por el rango de la singularidad del innito: ∆ϕk,pk=2π R,(k= 1,2),(pk∈Z). (2.110) La idea fundamental del método de Naundorf es que puede obtenerse información precisa acerca de los factores Tη) k mediante las relaciones de conexión (2.106) comparando el desarrollo (2.101) de wη(t) en serie de potencias tn+ρ , donde n toma los valores enteros en el intervalo (−∞,+∞) , con los desarrollos formales (2.103) de wk) asy(t) ( k= 1,2 ) que dependen de series asintóticas en potencias t−s , donde s toma los valores enteros del intervalo (0,+∞) . A tal n, es necesario disponer de representaciones asintóticas de wk) asy(t) que dependan de series de potencias de t cuyo índice entero recorra también el intervalo completo (−∞,+∞) . En el método de Naundorf, esas representaciones se obtienen a partir de la serie exponencial de Heaviside [37] +∞ ∑ n=−∞ tn+δ (n+δ)!, (2.111) que es igual a exp(t) para todo valor entero de δ y diverge para todo t∈C y todo δ no entero, aunque verica la relación asintótica exp(t)≈ +∞ ∑ n=−∞ tn+δ Γ(n+1+δ),(t→ ∞), |arg(t)|< π, (t, δ ∈C), (2.112) cuyo signicado es (i) ∑+∞ n=0 tn+δ/Γ(n+1+δ) es una función entera, y (ii) ∑−1 n=−∞ tn+δ/Γ(n+1+δ) es el desarrollo asintótico de la función exp(t)−∑+∞ n=0 tn+δ/Γ(n+1+δ) cuando t→ ∞ en el sector −π < arg(t)< π . 2.3. método de naundorf de solución del problema global 77 Para cada k= 1,2 , el desarrollo de Heaviside del factor exp(λktR)≡ exp(αk) RtR) en (2.103) conduce, debido al carácter multivaluado de la raíz R-ésima, a R desarrollos asintóticos linealmente independientes exp (λk RtR)≈ +∞ ∑ n=−∞ (λk/R)n+(δ+L)/R (n+ (δ+L)/R)!tnR+L+δ,|t| → +∞, arg (λktR)< π, (L= 0,1, ..., R −1), (2.113) donde la condición arg (λktR)< π corresponde a cualquier rayo dentro del sector Sk,0 (ver (2.107)). El producto de (2.113) por la serie de Taylor de exp (∑R−1 j=1 αk) jtj/j) da como resultado, para cada L= 0,1, ..., R −1 , la expansión del factor exponencial en el desarrollo asintótico (2.103) exp   R ∑ j=1 αk) j jtj ≈ +∞ ∑ n=−∞ g(k,L) ntn+δ,(t→ ∞),(t∈Sk,0), (2.114) donde para todo n∈Z , R= 1,2,3, ... , g(k,L) n= [(n−L)/R] ∑ p=−∞ aRp+LbR) n−L−Rp, (2.115) aRp+L=(λk/R)p+(δ+L)/R (p+ (δ+L)/R)!, (2.116) siendo bR) n−L−Rp los coecientes del desarrollo de Taylor de exp (∑R−1 j=1 αjtj/j) exp   R−1 ∑ j=1 αj jtj = +∞ ∑ m=0 bR) mtm,(0 <|t|<+∞), (2.117) es decir, bR) 0= 1, bR) 1=α1/1!, bR) 2=(α2 1+α2)/2!, bR) 3=(α3 1+ 3α1α2+ 2α3)/3!, ................................................ (2.118) al efectuar el cambio de índice m→n−L−Rp . Para cada k= 1,2 , los coecientes g(k,L) n en el segundo miembro de (2.114) constituyen un sistema fundamental de soluciones de la recurrencia [43, p. 161] (n+δ)gk) n= R ∑ j=1 αk) jgk) n−j,(n∈Z), (2.119) 78 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales que se obtiene derivando (2.114) respecto a t . El desarrollo (2.114) se extiende a otros sectores Sk,pk teniendo en cuenta que si t pertenece a un sector Sk,pk , entonces texp(−i2πpk/R) pertenece al sector Sk,0 : exp   R ∑ j=1 αk) j jtj ≈exp (−i2πpk(L+δ R)) +∞ ∑ n=−∞ g(k,L) ntn+δ, (t→ ∞),(t∈Sk,pk),(L= 0,1, ..., R −1). (2.120) La multiplicación formal del desarrollo (2.114) por tµ y por la expansión asintótica en el segundo miembro de (2.103) conduce, para cada k= 1,2 , a los R desarrollos asintóticos [43, p. 161] wk) asy(t)≈ +∞ ∑ n=−∞ f(k,L) ntn+ρ,(t→ ∞),(t∈Sk,0), (L= 0,1, ..., R −1), (2.121) donde f(k,L) n= +∞ ∑ s=0 g(k,L) n+shk) s,(n∈Z), (2.122) y δ se elige de manera que δ=ρ−µk. (2.123) La convergencia de la serie en el segundo miembro de (2.121) se establece [43, p. 171] aplicando un teorema de Perron sobre recurrencias lineales a las recurrencias (2.105) y (2.119) vericadas por hk) s y gk) n respectivamente. Nosotros hemos utilizado ese teorema para vericar la convergencia de nuestro método de cálculo de los factores de conexión (véanse las secciones 2.4, 2.5 y el apéndice A). Ahora es posible comparar en las relaciones de conexión (2.106) las expansiones (2.101) de wη(t) y (2.121) de wk) asy(t) , dando como resultado que los coecientes cn en los desarrollos de las soluciones multiplicativas dependen linealmente de los f(k,L) n [43, p. 162] cn= 2 ∑ k=1 R−1 ∑ L=0 βk,Lf(k,L) n,(n∈Z), (2.124) para todo n a partir de cierto N , de manera que R ∑ j=−r|aj(n+ 2R−j+ρ)|+ 2R ∑ j=−2r|bj|<|(n+ 2R+ρ)(n+ 2R−1 + ρ)|. (2.125) 2.3. método de naundorf de solución del problema global 79 En el primer miembro de las relaciones de conexión (2.106) para los sectores Sk,0 se reemplaza wη(t) por la expansión wη(t) = +∞ ∑ n=−∞ 2 ∑ k=1 R−1 ∑ L=0 βk,Lf(k,L) ntn+ρ,(0 <|t|<+∞),(η= 1,2), (2.126) y en el segundo miembro de (2.106) las wk) asy(t) son reemplazadas por las expansiones (2.121), es decir, para cada η= 1,2 , y cada L= 0,1, ..., R −1 , 2 ∑ k=1 Tη) k,0wk) asy(t)≈ +∞ ∑ n=−∞ 2 ∑ k=1 Tη) k,0f(k,L) ntn+ρ,(t→ ∞),(t∈Sk,0). (2.127) Comparando los segundos miembros de (2.126) y (2.127) se obtiene la expresión Tη) k,0= R−1 ∑ L=0 βk,L,(η, k = 1,2), (2.128) válida en el sector Sk,0 . En otros sectores Sk,pk se obtiene Tη) k,pk= R−1 ∑ L=0 βpk) k,L,(η, k = 1,2),(pk∈Z), (2.129) donde βpk) k,L verican la relación semejante a (2.124) cn= 2 ∑ k=1 R−1 ∑ L=0 βpk) k,Lf(k,L) n,pk,(n∈Z), (2.130) siendo f(k,L) n , para cada k= 1,2 , los coecientes en los R desarrollos asintóticos análogos a (2.121) wk) asy(z)≈ +∞ ∑ n=−∞ f(k,L) n,pktn+ρ,(t→ ∞),(t∈Sk,pk), (L= 0,1, ..., R −1), (2.131) que resulta de la multiplicación formal del desarrollo (2.120) por tµk y por la expansión asintótica en el segundo miembro de (2.103), de manera que en vez de (2.122) se tiene ahora f(k,L) n,pk= exp (−i2πpk(L+ρ−µk R))f(k,L) n,(n∈Z), (2.132) siendo f(k,L) n,0=f(k,L) n . 80 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales Sustituyendo (2.132) en (2.130) se obtiene la expresión de cn cn= 2 ∑ k=1 R−1 ∑ L=0 βpk) k,L exp (−i2πpk(L+ρ−µk R))f(k,L) n,(n∈Z), (2.133) que comparada con (2.124) para cada k= 1,2 y L= 0,1, ..., R −1 , da lugar a expresiones de las constantes β válidas en todo sector Sk,pk βpk) k,L = exp (i2πpk(L+ρ−µk R))βk,L,(pk∈Z). (2.134) Llevando (2.134) a (2.129) se obtiene nalmente la expresión de los factores de conexión en cualquier sector Sk,pk Tη) k,pk= R−1 ∑ L=0 exp (i2πpk(L+ρ−µk R))βk,L,(η, k = 1,2),(pk∈Z). (2.135) Cuando la variable independiente t recorre un rayo de Stokes que separa dos sectores adyacentes Sk,pk y Sk,pk+1 , se adopta como valor del factor de conexión la semisuma de los valores que toma el mismo factor en ambos sectores, es decir, para cada η, k = 1,2 , para cada pk∈Z , Tη) k(sk,pk) = 1 2(Tη) k,pk+Tη) k,pk+1). (2.136) La resolución numérica del sistema de ecuaciones (2.124), donde fk,L n son dados por (2.123), permite a Naundorf calcular los coecientes βk,L y obtener los factores de conexión por medio de (2.129). 2.4. Resolución del problema global por el método de los Wronskianos (I). Ecuación con dos puntos singulares, regular e irregular El método de Naundorf [43] constituye una estrategia diferente de solución del problema global o problema de conexión de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con dos puntos singulares en el origen y el innito. Ejemplos de esta clase de problema se presentan al resolver la ecuación de Schrödinger con potenciales dados por combinaciones lineales de potencias de exponentes enteros de la variable radial r . En todos ellos, la ecuación de Schrödinger puede llevarse a la forma canónica (2.40) mediante cambios adecuados de las variables y parámetros. Cuando las potencias de r son tales que la ecuación canónica presenta una singularidad regular en el 2.4. método de los wronskianos (i) 81 origen y una irregular en el innito, hablamos de potenciales polinomiales . En este caso siempre es posible obtener dos soluciones Frobenius de la ecuación linealmente independientes que contienen series de potencias rn de exponentes enteros no negativos, de las que una al menos, sea ureg , es físicamente aceptable en el origen al carecer de término logarítmico. Además, es posible obtener otro sistema de dos soluciones de Thomé normales linealmente independientes, sean u1) asy , u2) asy , en la forma de expansiones asintóticas cuando r→+∞ , tales que una de ellas, sea u1) asy , tiende a cero cuando la variable independiente crece, mientras u2) asy tiende a innito. El problema es conectar ambos sistemas de soluciones de la ecuación diferencial, a n de obtener soluciones globales , esto es, soluciones válidas en el rango completo de valores de la variable radial (0 ≤r < +∞) . El problema se resuelve calculando los factores de conexión Tk que representan a ureg en combinación lineal de u1) asy , u2) asy , i.e. las fórmulas de conexión . A n de determinar las soluciones físicamente aceptables y el espectro de energías, sugerimos en [30] un método diferente de resolución del problema global en la ecuación de Schrödinger de un oscilador anarmónico cuántico que presenta dos puntos singulares, uno en el origen (regular) y otro en el innito (irregular). Nuestro método, inspirado en el estudio de Naundorf [43] citado en la sección precedente, se apoya como éste en las relaciones de conexión entre la solución ureg físicamente aceptable en el origen y las soluciones u1) asy , u2) asy conocidas por sus expansiones asintóticas en la vecindad del innito ureg =T1u1) asy +T2u2) asy, (2.137) donde los factores de conexión Tk dependen de los parámetros del potencial y de la energía. La nulidad del factor T2 , multiplicador de la solución que diverge en el innito, es la condición que determina el espectro de valores propios de la energía cuando los parámetros del potencial se han ajustado numéricamente. Para estos valores de la energía la función ureg tiene un comportamiento regular en ambos puntos singulares y representa una solución físicamente aceptable de la ecuación de Schrödinger. Asimismo, nuestro método coincide con Naundorf en el uso de la serie exponencial de Heaviside para obtener desarrollos formales del factor exponencial exp (λktR/R) que determina el comportamiento de las soluciones uk) asy ( k= 1,2 ) en la vecindad del innito. En vez de seguir las etapas del método de Naundorf, nosotros utilizamos un procedimiento de cálculo de los factores de conexión en el que éstos se expresan como cocientes de Wronskianos de las soluciones que intervienen 82 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales en las fórmulas de conexión T1=W[ureg, u2) asy] W[u1) asy, u2) asy], T2=W[ureg, u1) asy] W[u2) asy, u1) asy]. (2.138) El objeto de esta sección es describir este nuevo método de cálculo de los factores de conexión, al que denominamos en lo sucesivo método de los Wronskianos , en el caso de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con dos puntos singulares en el origen (regular) y en el innito (irregular). 2.4.1. Ecuación de Schrödinger con un potencial polinomial más culombiano En muchas situaciones físicas: sistemas hidrogenoides, osciladores anarmónicos, efecto Stark esférico, potenciales connantes, etc., la interacción de una partícula con su entorno se describe de modo satisfactorio incorporando a la ecuación radial de Schrödinger en un espacio de dimensión D= 3 ¯h2 2mR′′(r) + [E−V(r)−l(l+ 1)¯h2 2mr2]R(r) = 0, (0 ≤r < +∞),(l= 0,1,2, ...), (2.139) un potencial polinomial más culombiano V(r) = ˜ν ∑ j=−1 Ajrj,(A˜ν= 0),(A−1= 0), (2.140) donde ˜ν≥ −1 . Cuando ˜ν=−1 el potencial es culombiano puro, cuando ˜ν= 0,1,2, ... al término culombiano se superpone uno o más términos que en conjunto constituyen un polinomio de grado ˜ν . Una vez ajustados los valores numéricos de los parámetros Aj del potencial, l del momento cinético orbital y m (masa), interesa conocer el espectro de energías , esto es, el conjunto de valores numéricos del parámetro E para los cuales las soluciones correspondientes R(r) de la ecuación (2.139) son componentes radiales de funciones de onda de Schrödinger, ψ(r, θ, φ) = Y˜m l(θ, φ)R(r)/r, (l= 0,1,2, ...),( ˜m=l, l −1, ... −l) (2.141) tales que son de cuadrado integrable, i.e. verican la condición ∫R3d3r|ψ|2<+∞, (2.142) siendo Y˜m l(θ, φ) , (0 ≤θ≤π) , (0 ≤φ < 2π) armónicos esféricos. Para cada valor numérico de E , las soluciones de la ecuación radial (2.139) dependen de l porque al potencial polinomial (2.140) se suma el término 2.4. método de los wronskianos (i) 83 centrífugo l(l+ 1)¯h2 / 2mr2 resultante de la separación de la variable radial r y las variables angulares (θ, φ) en la ecuación de Schrödinger vericada por ψ(r, θ, φ) . Las funciones de onda de Schrödinger dependen por tanto de la energía E y de un potencial efectivo Vef (r) = ˜ν ∑ j=−2 Ajrj,(A˜ν= 0),(A−1= 0), (2.143) donde además de los parámetros Aj(j=−1,0,1, ..., ˜ν) del potencial central (2.140) denimos el parámetro correspondiente al potencial centrífugo A−2=l(l+ 1)¯h2 2m,(l= 0,1,2, ...), (2.144) de manera que la ecuación radial (2.139) se escribe en notación más sencilla R′′(r) + 2m ¯h2(E−Vef (r)) R(r) = 0,(0 ≤r < +∞). (2.145) En lo sucesivo, nos referimos a (2.145) como la ecuación radial . Esta ecuación proporciona una descripción ajustada de muchas situaciones físicas que se plantean en el estudio de la materia a escala atómica y subatómica. En todas ellas, interesa obtener la parte regular del espectro de energías de un sistema cuántico, entendida como el conjunto de valores numéricos del parámetro E a los cuales corresponden funciones radiales R(r) cuyo comportamiento regular en el rango de distancias de cero a innito se caracteriza por la condición ∫+∞ 0 dr |R(r)|2<+∞. (2.146) Denominamos función radial completamente regular a toda solución R(r) de la ecuación radial tal que verica la condición (2.146). Esta condición asegura que la medida de la distribución de probabilidad sobre el espacio tridimensional asociada con las funciones propias del operador de Schrödinger es nita y por tanto normalizable. A este conjunto de funciones radiales completamente regulares corresponde un subconjunto del espectro de energías donde se encuentran los valores físicamente realizables de la energía de una partícula en interacción con su entorno vía el potencial central (2.140). 2.4.2. Ecuación canónica El método de los Wronskianos puede aplicarse directamente sobre la misma ecuación radial, cuya variable independiente r tiene dimensiones de longitud y cuyos parámetros ¯h , m , E , Aj(j=−2,−1,0,1, ..., ˜ν) tienen dimensiones de acción, masa, energía y energía dividida entre longitud elevada a j respectivamente. Esa vía directa produce resultados que dependen del sistema de unidades elegido para representar los valores numéricos de la variable, 84 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales de los parámetros y de otras cantidades relacionadas con ellos. En cambio, resulta ventajoso plantear y resolver el problema global en una ecuación canónica cuyas variables y parámetros son adimensionales y guardan relaciones funcionales explícitas con las variables y parámetros de la ecuación radial. Esta ecuación adimensional de variable independiente y parámetros complejos es la ecuación canónica I o ecuación canónica correspondiente a (2.145) d2u dz2−g(z)u= 0,(z∈C), (2.147) donde g(z) es la combinación lineal de potencias de z g(z) = 2N ∑ j=−2 gjzj,(g2N= 0) . (2.148) El proceso de transformación de la ecuación radial de Schrödinger (2.145) en la ecuación canónica (2.147) se describe en la nota 13. La ecuación canónica (2.147), (2.148) responde a la forma general u′′(z) + p(z)u′(z) + q(z)u(z) = 0, (2.149) donde p(z) = 0, q(z) = −g(z) = − 2N ∑ j=−2 gjzj, (2.150) de manera que, siendo nulo el término en la primera derivada, el comportamiento de la función g(z) determina el carácter ordinario o singular de los puntos del z -plano complejo respecto de la ecuación diferencial. Así, el origen y el innito son los únicos puntos en los que pueden localizarse singularidades de la ecuación canónica porque g(z) tiene un comportamiento regular para todo z= 0,∞ con independencia de los valores numéricos asignados a N , gj ; en cambio, el comportamiento de g(z) en el origen y el innito es en general irregular. El origen z= 0 es un punto singular regular (rango de Poincaré igual a cero) si g−2 o g−1 toman valores diferentes de cero porque si z→0 la razón de crecimiento de g(z) hacia innito nunca es mayor que la de 1/z2 , de manera que g(z) tiene un polo de orden menor o igual que 2 en z= 0 ; si g−2 y g−1 son ambos nulos, el origen es un punto ordinario en el cual g(z) permanece nita. El comportamiento de p(z) y q(z) en la vecindad del origen se caracteriza por sendos exponentes K1 , K2 dados en (2.13), (2.14) tales que p(z) = O(z−K1),(z→0), K1=−∞, (2.151) q(z) = O(z−K2),(z→0), K2= 2, (2.152) 2.4. método de los wronskianos (i) 91 en el sistema cuántico objeto de análisis. Otro aspecto fundamental del problema de conexión también considerado en la sección 2.2 es que los factores Tk,pk no solo dependen de los parámetros de la ecuación diferencial, también dependen de ciertos sectores de validez en el z -plano complejo denidos en (2.182) porque, a diferencia de las soluciones analíticas {ureg, uirr} , las soluciones formales {ua,1, ua,2} se caracterizan por sus formas asintóticas cuando |z| → +∞ en un rayo arg z arbitrario dado. Entonces, cuando arg z cambia de modo continuo, las soluciones formales {ua,1, ua,2} , una u otra o bien ambas, cambian al atravesar ciertos rayos, denominados rayos de Stokes , de manera que en el nuevo sector al otro lado de cada rayo, las nuevas soluciones formales tengan las mismas formas asintóticas (2.166) que en los otros sectores. El cambio sectorial de las soluciones formales a uno y otro lado de cada rayo de Stokes modica en consecuencia de manera brusca los valores numéricos de los factores de conexión que representan la relación algebraica lineal entre ambos sistemas fundamentales de soluciones de la ecuación canónica: este cambio brusco de los factores de conexión al atravesar los rayos de Stokes recibe el nombre de fenómeno de Stokes . Los valores de los factores de conexión en cada uno de sus rayos de Stokes se denen entonces iguales a la semisuma de los valores que toma el factor correspondiente en los dos sectores adyacentes separados por cada rayo, es decir Tk(−→ sk,pk) = 1 2(Tk,pk+Tk,pk+1),(pk∈Z),(k= 1,2), (2.186) representa el valor del factor de conexión Treg k , o de Tirr k en su caso, en el rayo de Stokes −→ sk,pk que separa a los sectores adyacentes Sk,pk y Sk,pk+1 . En la mayoría de las aplicaciones físicas, la variable independiente z es real no negativa, los parámetros gj(j=−2,−1,0,1, ..., 2N) son reales y en particular g2N es positivo, de manera que en las formas asintóticas (2.166) de las soluciones formales {ua,1, ua,2} , el parámetro αk) N+1 ≡λk toma valores iguales a las dos raíces cuadradas positiva y negativa de g2N (cfr. (2.178)). Habida cuenta del convenio de notación introducido en (2.177), se tiene en esos casos {λ1≡α1) N+1 =−√g2N<0, λ2≡α2) N+1 = +√g2N>0, (2.187) es decir,    arg (λ1) = arg (α1) N+1)=±π, arg (λ2) = arg (α2) N+1)= 0. (2.188) Tomando por ejemplo arg (λ1) = +π y haciendo k= 1 , p1= 0 en (2.183) obtenemos ϕ1,0≡arg (−→ s1,0) = 0, (2.189) 92 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales es decir, el semieje real positivo arg z= 0 es un rayo de Stokes en el cual cambia bruscamente el valor del factor de conexión T1 ; los sectores separados por este rayo se obtienen haciendo sucesivamente p1= 0 y p1= 1 en (2.182):    S1,0≡{z∈C;−2π N+1 <arg z < 0}, S1,1≡{z∈C; 0 <arg z < 2π N+1 }. (2.190) Tomando ahora k= 2 y haciendo sucesivamente p2=−1 , p2= 0 en (2.183) obtenemos los rayos de Stokes {ϕ2,−1≡arg (−→ s2,−1) = −π N+1, ϕ2,0≡arg (−→ s2,0) = π N+1, (2.191) en los cuales cambia bruscamente el valor del factor de conexión T2 ; estos rayos delimitan el sector S2,0≡{z∈C;−π N+ 1 <arg z < π N+ 1}, (2.192) cuya bisectriz es el semieje real positivo. Por consiguiente, en la mayoría de las situaciones que tienen interés en las aplicaciones físicas, el semieje real positivo es un rayo de Stokes de las fórmulas de conexión (2.180) al atravesar el cual se produce un cambio brusco del factor de conexión T1 , no de T2 . En estos casos, siguiendo la prescripción (2.186), se dene T1(arg z= 0) = 1 2(T+ 1+T− 1), (2.193) siendo T+ 1≡T1,0T− 1≡T1,1 (2.194) los valores de T1 en los sectores adyacentes S1,0 y S1,1 respectivamente. En las guras 2.3 y 2.4 representamos los sectores de validez y rayos de Stokes de los factores de conexión en la primera hoja de Riemann del z -plano cuando N= 2 . 2.4.5. Cálculo de los factores de conexión El procedimiento elegido por nosotros para obtener los factores Tk parte de la idea siguiente: T1 y T2 son las soluciones del sistema lineal de ecuaciones formado por la primera fórmula de conexión (2.180) y su primera derivada respecto a z : {ureg(z) = T1ua,1(z) + T2ua,2(z), u′ reg(z) = T1u′ a,1(z) + T2u′ a,2(z). (2.195) La teoría algebraica de estos sistemas de ecuaciones establece que las soluciones se expresan mediante la regla de Cramer T1=W[ureg, ua,2] W[ua,1, ua,2], T2=W[ureg, ua,1] W[ua,2, ua,1], (2.196) 2.4. método de los wronskianos (i) 93 S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z Figura 2.3: Sectores de validez S1,p1(p1=−1,0,1,2) de los factores de conexión T1,p1 en el caso N= 2 cuando el parámetro asintótico principal λ1 es real negativo: S1,−1 : −4π/3<arg(z)<−2π/3 , S1,0 : −2π/3<arg(z)<0 , S1,1 : 0<arg(z)<2π/3 , S1,2 : 2π/3<arg(z)<4π/3 . Los sectores cubren la primera hoja de Riemann y los rayos de Stokes que los separan corresponden a valores −2π/3 , 0 , 2π/3 de arg z . La mitad de cada sector S1,−1 , S1,2 pertenece a las hojas inferior y superior respectivamente. donde, para todo par ordenado (u, v) de funciones derivables en una región del z -plano complejo, W[u, v]≡u v′−u′v=−W[v, u] (2.197) representa al Wronskiano de las funciones (u, v) . De este modo, el problema global se resuelve mediante el cálculo de los Wronskianos que aparecen en los numeradores y denominadores de (2.196). Los valores de estos Wronskianos son constantes, al no haber en la ecuación canónica I término en la primera derivada. Los Wronskianos en los denominadores de (2.196) son además constantes no nulas porque {ua,1, ua,2} constituyen un sistema fundamental de soluciones de la ecuación canónica (2.147), es decir, se verica la condición W[ua,1, ua,2] = −W[ua,2, ua,1]= 0, (2.198) que asegura la compatibilidad del sistema (2.195). La condición de cuantización (2.185) se reescribe ahora teniendo en cuenta la expresión (2.196) del factor T2 : W[ureg, ua,1] = 0. (2.199) 94 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z Figura 2.4: Sectores de validez S2,p2(p2=−1,0,1) de los factores de conexión T2,p2 en el caso N= 2 cuando λ2 es real positivo: S2,−1 : −π < arg(z)<−π/3 , S2,0 : −π/3< arg(z)< π/3 , S2,1 : π/3<arg(z)< π . Los tres sectores cubren la primera hoja de Riemann y los rayos de Stokes que los separan corresponden a valores −π/3 , π/3 , de arg z . Los Wronskianos en los denominadores de (2.196) se obtienen sustituyendo las formas asintóticas (2.166) de ua,1(z) , ua,2(z) y sus derivadas en la expresión general (2.197); las expansiones resultantes contienen solamente potencias de z de exponentes no positivos, de manera que los Wronskianos son iguales a los términos en z0 : W[ua,1, ua,2] = 2 α2) N+1 a1) 0a2) 0≡2λ2a1) 0a2) 0, (2.200) siendo W[ua,2, ua,1] el opuesto de W[ua,1, ua,2] . Es posible obtener desarrollos formales de los Wronskianos de (ureg, ua,k) (k= 1,2) en los numeradores de (2.196) directamente, sustituyendo las expansiones (2.164) de ureg(z) , (2.166) de ua,k(z) y las expansiones de sus derivadas en la expresión general (2.197). Sin embargo, la determinación de los valores de tales Wronskianos a partir de aquellos desarrollos no es un problema tan sencillo como en el caso de los Wronskianos (2.200) de las soluciones formales {ua,1, ua,2} porque, a diferencia de éstos, los desarrollos formales de W[ureg, ua,k] contienen potencias de z de exponentes enteros positivos y negativos. Para determinar los valores de W[ureg, ua,k] (k= 1,2) introducimos las funciones auxiliares vreg,k(z) , va,k(z) mediante sendas relaciones con ureg(z) , 2.4. método de los wronskianos (i) 95 ua,k(z) : vreg,k(z) = exp (−λk 2(N+ 1) zN+1)ureg(z),(k= 1,2), (2.201) va,k(z) = exp (−λk 2(N+ 1) zN+1)ua,k(z),(k= 1,2), (2.202) donde λk≡αk) N+1 . La relación entre el Wronskiano de las funciones auxiliares W[vreg,k, va,k] = vreg,k v′ a,k −v′ reg,k va,k,(k= 1,2), (2.203) y el Wronskiano de (ureg, ua,k) desempeña un papel fundamental en nuestro método de cálculo de los factores de conexión Tk ; la relación entre ambos Wronskianos se obtiene reemplazando (2.201), (2.202) y sus derivadas en el segundo miembro de (2.203) (véase la nota 14): W[vreg,k, va,k] = exp (−λk N+ 1 zN+1)W[ureg, ua,k],(k= 1,2), (2.204) donde W[ureg, ua,k] es constante para cada k= 1,2 , toda vez que ureg , ua,k son soluciones de la ecuación canónica (2.147), (2.148). La etapa inicial de nuestro método consiste en obtener un primer desarrollo formal del Wronskiano de las funciones auxiliares en potencias de la variable independiente z , y comprende varias fases. En primer lugar, obtenemos la forma asintótica de va,k(z) sustituyendo en (2.202) la forma asintótica (2.166) de ua,k(z) y teniendo en cuenta la forma polinómica (2.167) de χa,k(z) : va,k(z)∼exp (ˆ ζa,k(z))Sa,k(z),(z→ ∞),(k= 1,2), (2.205) siendo ˆ ζa,k(z) = ζa,k(z) + λk 2(N+ 1) zN+1,(k= 1,2), (2.206) ζa,k(z) = χa,k(z)−αk) N+1 N+ 1 zN+1 = N ∑ p=1 αk) p pzp,(k= 1,2), (2.207) donde el sumatorio en (2.207) es nulo cuando N= 0 . En segundo lugar, obtenemos una expresión asintótica del Wronskiano de las funciones auxiliares en términos de una única función wreg,k sustituyendo en la forma exacta (2.203) del Wronskiano las expresiones (2.201) de vreg,k(z) , (2.205) de va,k(z) y sus derivadas (véase la nota 15): W[vreg,k, va,k]∼(2ˆ ζ′ a,k(z)wreg(z)−w′ reg,k(z))Sa,k(z) + +wreg,k(z)S′ a,k(z),(z→ ∞),(k= 1,2), (2.208) 96 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales donde wreg,k(z) = exp (ˆ ζa,k(z))vreg,k(z),(k= 1,2), (2.209) es decir, habida cuenta de (2.201), wreg,k(z) = exp (−λk 2(N+ 1) zN+1 +ˆ ζa,k(z))ureg(z),(k= 1,2). (2.210) En tercer lugar, obtenemos un desarrollo de wreg,k(z) en potencias ascendentes de z . La ecuación diferencial vericada por esta función es una herramienta adecuada para llegar a tal desarrollo y se obtiene introduciendo en la ecuación canónica (2.147), (2.148) el cambio funcional inspirado en (2.210) u−→ w, u(z) = exp (λk 2(N+ 1) zN+1 −ˆ ζa,k(z))w(z), (k= 1,2), (2.211) que transforma a la ecuación canónica en w′′ +  N ∑ j=0 ˆ ρk) a,j zj w′+  2N ∑ j=−2 ˆεk) a,j zj w= 0,(k= 1,2), (2.212) donde para cada k= 1,2 los parámetros ˆρk) a,j , ˆεk) a,j son funciones de los parámetros gj de la ecuación canónica (2.147), (2.148) y de los parámetros αk) p que caracterizan el comportamiento asintótico de sus soluciones formales (2.166), (2.167) (véase la nota 16). Introduciendo en la ecuación (2.212) el desarrollo wreg,k(z) = +∞ ∑ n=0 bk) nzn+νk,(bk) 0= 0),(k= 1,2), (2.213) encontramos los valores del exponente νk νk=1 2(1±√1 + 4g−2),(k= 1,2), (2.214) entre los cuales distinguimos adoptando el criterio de asignación de los índices k= 1,2 ℜ(ν1)≥0, (2.215) de manera que (ν1, ν2) coinciden respectivamente con (ρ1, ρ2) (cfr. (2.161)). Obtenemos asimismo para cada k= 1,2 la recurrencia de orden 2N+ 2 2.4. método de los wronskianos (i) 97 vericada por los coecientes bk) n : n(n+ 2νk−1) bk) n+ N ∑ j=0 [ˆρk) a,j (n−j−1 + νk) + ˆεk) a,j−1]bk) n−j−1+ + 2N+1 ∑ j=N+1 ˆεk) a,j−1bk) n−j−1= 0,(n= 0,1,2, ...),(bk) 0= 0). (2.216) Finalmente sustituimos en la expresión asintótica (2.208) la forma polinómica de ˆ ζ′ a,k(z) obtenida de (2.206), (2.207), el desarrollo (2.213) de wreg,k(z) y el de su derivada, así como la expansión (2.166) de Sa,k(z) y la de su derivada S′ a,k(z) ; el cálculo subsiguiente da como resultado un desarrollo formal del Wronskiano de las funciones auxiliares en potencias ascendentes y descendentes de z : W[vreg,k, va,k]∼ +∞ ∑ ˆn=−∞ γk) a,ˆnzˆn+νk+µk−1,(z→ ∞),(k= 1,2), (2.217) cuyos coecientes γk) a,ˆn se expresan mediante series γk) a,ˆn= +∞ ∑ j=0 ˆω(ˆn,k) a,j ,(ˆn= 0,±1,±2, ...),(k= 1,2), (2.218) donde para cada k= 1,2 y para todo N= 0,1,2, ... se tiene ˆω(ˆn,k) a,j ≡ak) j(−(ˆn+ 2j+νk−µk)bk) ˆn+j+ N ∑ p=1 2αk) pbk) ˆn−p+j+λkbk) ˆn−N−1+j), (ˆn= 0,±1,±2, ...),(j= 0,1,2, ...), (2.219) siendo nulo el sumatorio de índice p cuando N= 0 . La validez de nuestro método de cálculo de los factores de conexión depende de la convergencia de las series (2.218), cuyos términos generales se dan en (2.219). A n de simplicar el estudio de la convergencia de tales series, introducimos para cada k= 1,2 las series parciales Ω(a,k) ˆn,p = +∞ ∑ j=0 ak) jbk) ˆn−p+j,(p= 0,1, ...N + 1),(ˆn= 0,±1,±2, ...), (2.220) Q(a,k) ˆn= +∞ ∑ j=0 j ak) jbk) ˆn+j,(ˆn= 0,±1,±2, ...), (2.221) en función de las cuales reescribimos la expresión (2.218) γk) a,ˆn=−2Q(a,k) ˆn−(ˆn+νk−µk) Ω(a,k) ˆn,0+ 2 N ∑ p=1 αk) pΩ(a,k) ˆn,p +λkΩ(a,k) ˆn,N+1, (ˆn= 0,±1,±2, ...),(k= 1,2), (2.222) 98 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales de manera que la convergencia de las series que denen a Ω(a,k) ˆn,p y Q(a,k) ˆn asegura la convergencia de las series (2.218) que denen a γk) a,ˆn . Este problema será investigado con detalle en el apéndice A. La segunda etapa de nuestro método consiste en obtener un desarrollo formal, en potencias ascendentes y descendentes de z , del segundo miembro de la relación exacta (2.204), y comparar tal desarrollo con el segundo miembro de (2.217). A tal n, la función exponencial en el segundo miembro de (2.204) se desarrolla en serie exponencial de Heaviside (cfr. (2.111), (2.112)) exp(t)∼ +∞ ∑ n=−∞ tn+δ Γ(n+ 1 + δ),(t→ ∞),(|arg(t)|< π), (t, δ ∈C), (2.223) cuyo carácter asintótico demostró Barnes [8]. Esta serie desempeña un papel fundamental en el tratamiento del problema de conexión que hace F. Naundorf [43], el cual inspira nuestro método. Dado un valor de N= 0,1,2, ... , el cambio de la variable t por la variable independiente z de la ecuación canónica t−→ z, t =−λk N+ 1 zN+1,(k= 1,2), (2.224) hace depender a z de la raíz de índice (N+ 1) de t . Debido al carácter multivaluado de esta función, para cada k= 1,2 introducimos los N+ 1 desarrollos formales de Heaviside en la variable z Ek) a,L(z)≡ +∞ ∑ n=−∞ (−λkzN+1/(N+ 1))n+δ(a,k) L Γ(n+1+δk) L),arg (−λkzN+1)< π, (z, δ(a,k) L∈C),(L= 0,1, ..., N). (2.225) Las expresiones (2.196) de los factores de conexión admiten la notación abreviada T˜ k=W[ureg, ua,k] W[ua,˜ k, ua,k],(z∈S˜ k,p˜ k),(k= 1,2),(˜ k= 2,1), (2.226) donde (cfr. (2.182)) S˜ k,p˜ k={z∈C;arg (λ˜ kzN+1)−2πp˜ k< π},(˜ k= 2,1),(p˜ k∈Z), (2.227) siendo ˜ k≡k+ (−1)k−1,(k= 1,2), (2.228) 2.4. método de los wronskianos (i) 99 de manera que ˜ k= 2 si k= 1 y ˜ k= 1 si k= 2 ; de este modo, las relaciones de antisimetría (2.173) se reescriben α˜ k p=−αk p,(p= 0,1, ..., N + 1),(k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.229) Entonces, habida cuenta de (2.229) y (2.178), en (2.225) se tiene arg (−λkzN+1)=arg (λ˜ kzN+1), (k= 1,2),(˜ k= 2,1), (2.230) y en consecuencia el sector de validez de los desarrollos formales (2.225) coincide con S˜ k,0 . Además, teniendo en cuenta el carácter asintótico de tales desarrollos, encontramos que en S˜ k,0 se verican las N+ 1 relaciones asintóticas exp (−λk N+ 1 zN+1)∼ Ek) a,L(z),(z→ ∞),(z∈S˜ k,0⊂C), (L= 0,1, ..., N),(k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.231) Consideremos el segundo desarrollo formal del Wronskiano de las funciones auxiliares en el sector S˜ k,0={z∈C;arg (λ˜ kzN+1)< π},(˜ k= 2,1), (2.232) que se obtiene a partir de (2.225) y (2.231). Aunque estas expresiones no son válidas fuera del sector S˜ k,0 , se extienden sin dicultad a cualquier sector S˜ k,p˜ k mediante un cambio de la variable independiente z (véase la nota 17). Una consecuencia inmediata de (2.231) es que para cada k= 1,2 y pk∈Z , dado un conjunto de N+ 1 constantes complejas no nulas {βk) a,L;L= 0,1, ..., N},(k= 1,2), (2.233) la combinación lineal de los desarrollos (2.225) denida en cada sector S˜ k por esas constantes, i.e. Λk) a,N (z)≡ N ∑ L=0 βk) a,L Ek) a,L(z),(z∈S˜ k,0⊂C), (k= 1,2),(˜ k= 2,1), (2.234) es proporcional asintóticamente a la exponencial en el primer miembro de (2.231), es decir, Λk) a,N (z)∼exp (−λk N+ 1 zN+1)N ∑ L=0 βk) a,L,(z→ ∞), (z∈S˜ k,0⊂C),(k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.235) 100 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales Comparando (2.234), (2.235) con (2.204) encontramos que si las constantes βk) a,L verican N ∑ L=0 βk) a,L =W[ureg, ua,k],(k= 1,2), (2.236) entonces el Wronskiano de las funciones auxiliares en el primer miembro de (2.204) verica la relación asintótica W[vreg,k, va,k]∼ N ∑ L=0 βk) a,L Ek) a,L(z),(z→ ∞),(z∈S˜ k,0⊂C), (k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.237) El cálculo de los Wronskianos W[ureg, ua,k] en los numeradores de las expresiones (2.226) de los factores T˜ k se reduce en (2.236) al problema de encontrar los valores de las constantes βk) a,L . Para obtener esas constantes, así como las δ(a,k) L y la relación entre índices ˆn , n , sustituimos en el segundo miembro de (2.237) los desarrollos formales (2.225): el resultado es un nuevo desarrollo formal del Wronskiano de las funciones auxiliares vreg,k , va,k en potencias ascendentes y descendentes de la variable z : W[vreg,k, va,k]∼ N ∑ L=0 βk) a,L Ek) a,L(z) = = +∞ ∑ n=−∞ N ∑ L=0   βk) a,L Γ(n+1+δ(a,k) L) (−λk N+ 1)n+δ(a,k) Lz(N+1)(n+δ(a,k) L), (z→ ∞),(z∈S˜ k,0⊂C), (δ(a,k) L∈C),(k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.238) Este desarrollo se compara con el primer desarrollo (2.217) (véase la nota 18), dando lugar a las expresiones de las constantes βk) a,L βk) a,L ≡γk) a,ˆnLΓ(n+1+δ(a,k) L) (−λk/(N+ 1))n+δ(a,k) L ,(n, ˆnL∈Z),(k= 1,2), (L= 0,1, ..., N), (2.239) donde n toma cualquier valor entero y ˆnL , δ(a,k) L se dan en (2.242), (2.243) para cada L= 0,1, ..., N . 2.5. método de los wronskianos (ii) 107 polinómicas de χb,τ (z) y de sus derivadas χ′ b,τ (z) , χ′′ b,τ (z) . De este modo encontramos que para cada τ= 3,4 los parámetros βτ) q son las soluciones del sistema recurrente de ecuaciones −M−1−q ∑ j=0 βτ) −M−1−jβτ) j+q−gM−1−q= 0, (q=−M−1,−M−2, ..., 2,1,0), (2.268) de donde se obtienen las relaciones de antisimetría β3) q=−β4) q,(q= 0,1, ..., −M−1). (2.269) Los coecientes ˆaτ) s verican a su vez la recurrencia de orden 2N−M+1 −2βτ) −M−1sˆaτ) s+−2 ∑ j=M+1 [˜ βτ) j−1−2βτ) −j−1(s+M−j)]ˆaτ) s+M−j+ +[˜ βτ) −2+ (s+M+ 1) (s−2βτ) 0)]ˆaτ) s+M+1 + 2N+1 ∑ j=0 −gj−1ˆaτ) s+M−j= 0, (s= 0,1,2, ...),(ˆaτ) 0= 0), (2.270) cuyo primer sumatorio, donde M+ 1 ≤j≤ −2 , es nulo para todo M≥ −2 , y donde los parámetros ˜ βτ) j son las funciones de βτ) j ˜ βτ) −2≡ −g−2+(βτ) 0+M/2)(βτ) 0+M/2 + 1), ˜ βτ) j≡ −gj+ (M−j−1) βτ) −j−2+−j−2 ∑ σ=0 βτ) σβτ) −j−2−σ, (j=−3,−4, ..., M + 1, M). (2.271) El comportamiento asintótico de las soluciones formales de clase (b) ub,τ (z) cuando z→0 sobre un rayo arg(z) dado, depende del signo que toma en el rayo considerado la parte real del término βτ) −M−1zM+1/(−M−1) que domina el exponente χb,τ (z) en las formas asintóticas (2.263) características de esas soluciones. En particular, la solución formal de clase (b) que verica sobre un rayo dado la condición ℜ(βτ) −M−1zM+1)<0, (2.272) tiene un comportamiento regular en el origen, decreciendo exponencialmente cuando z→0 , y convenimos en denominarla ub,3(z) . La otra solución formal de clase (b), i.e. ub,4(z) , crece exponencialmente cuando z→0 sobre el mismo rayo, haciéndose innita en el origen, toda vez que la primera ecuación del sistema (2.268) correspondiente a q=−M−1 (βτ) −M−1)2=g2M, (2.273) 108 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales tiene como consecuencia la relación de antisimetría (2.269) correspondiente a q=Q≡ −M−1 : β3) −M−1=−β4) −M−1, (2.274) para todo M=−2,−3,−4, ... . 2.5.3. Fórmulas de conexión, sectores de validez y rayos de Stokes La existencia de dos sistemas fundamentales (a) y (b) de soluciones formales da lugar a dos sistemas de soluciones globales de la ecuación canónica. El sistema (a) de soluciones globales está formado por las soluciones multiplicativas uη(z) (η= 1,2) dadas en (2.250) y sus formas asintóticas de clase (a) ˜ua,η(z) cuando z→ ∞ en aquellos sectores del z-plano complejo delimitados por rayos de Stokes sobre los cuales las soluciones formales de clase (a) ua,k(z) (k= 1,2) (cfr. (2.252)) cambian de manera brusca. El sistema (b) de soluciones globales está formado por las soluciones multiplicativas uη(z) y sus formas asintóticas de clase (b) ˜ub,η(z) cuando z→0 en aquellos sectores del z-plano complejo delimitados por rayos de Stokes sobre los cuales las soluciones formales de clase (b) ub,τ (z) (τ= 3,4) (cfr. (2.263) cambian de manera brusca. Las formas asintóticas de clase (a) ˜ua,η(z) se obtienen, análogamente a las (2.180) del caso regular-irregular, reemplazando las soluciones formales de clase (a) ua,k(z) por sus formas asintóticas (2.252), (2.253) en las ecuaciones u1(z) = T1) 1,p1ua,1(z) + T1) 2,p2ua,2(z), u2(z) = T2) 1,p1ua,1(z) + T2) 2,p2ua,2(z), (z∈S(p1, p2)) , (2.275) que expresan en cada sector de validez S(p1, p2) la relación algebraica lineal entre las soluciones multiplicativas y las soluciones formales de clase (a). Denominamos fórmulas de conexión de clase (a) a las ecuaciones (2.275) y factores de conexión de clase (a) a las constantes multiplicativas Tk,pk que denen en cada sector Sk,pk la relación lineal entre ambos sistemas fundamentales de soluciones de la ecuación canónica. Los sectores de validez S(p1, p2) de las fórmulas de conexión de clase (a) son entonces las intersecciones no vacías de los sectores de validez Sk,pk de los factores de conexión Tη) k,pk , es decir, S(p1, p2) = S1,p1∩S2,p2,(p1, p2∈Z), (2.276) siendo Sk,pk≡{z∈C,arg (λkzN+1)−2π pk< π}, (pk∈Z),(k= 1,2), (2.277) 2.5. método de los wronskianos (ii) 109 donde λk≡αk) N+1 . Las formas asintóticas de clase (b) ˜ub,η(z) se obtienen reemplazando las soluciones formales de clase (b) ub,τ (z) por sus formas asintóticas (2.263), (2.264) en las ecuaciones u1(z) = T1) 3,p3ub,3(z) + T1) 4,p4ub,4(z), u2(z) = T2) 3,p3ub,3(z) + T2) 4,p4ub,4(z), (z∈S(p3, p4)) , (2.278) que expresan en cada sector de validez S(p3, p4) la relación algebraica lineal entre las soluciones multiplicativas y las soluciones formales de clase (b). Denominamos fórmulas de conexión de clase (b) a las ecuaciones (2.278) y factores de conexión de clase (b) a las constantes multiplicativas Tη) τ,pτ que denen en cada sector Sτ,pτ la relación lineal entre ambos sistemas fundamentales de soluciones de la ecuación canónica. Los sectores de validez S(p3, p4) de las fórmulas de conexión de clase (b) son entonces las intersecciones no vacías de los sectores de validez Sτ,pτ de los factores de conexión Tη) τ,pτ , es decir, S(p3, p4) = S3,p3∩S4,p4,(p3, p4∈Z), (2.279) siendo Sτ,pτ≡{z∈C,arg (λτzM+1)−2π pτ< π}, (pτ∈Z),(τ= 3,4), (2.280) donde λτ≡βτ) −M−1 . Los rayos de Stokes −→ sk,pk que separan los sectores adyacentes Sk,pk y Sk,pk+1 tienen por argumentos (véase la nota 20) ϕk,pk≡arg (−→ sk,pk) = (2pk+ 1) π−arg (λk) N+ 1 , (2.281) y las amplitudes angulares de los sectores Sk,pk son ∆ϕk,pk=2π N+ 1. (2.282) Los rayos de Stokes −→ sτ,pτ que separan los sectores adyacentes Sτ,pτ y Sτ,pτ+1 tienen argumentos ϕτ,pτ≡arg (−→ sτ,pτ) = (2pτ+ 1) π−arg (βτ) −M−1) M+ 1 , (2.283) y las amplitudes angulares de los sectores Sτ,pτ son ∆ϕτ,pτ=2π −M−1. (2.284) 110 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales Los valores de los factores de conexión en cada rayo de Stokes se denen como la semisuma de los valores que toma el factor correspondiente en los dos sectores adyacentes separados por el rayo: Tη) k(−→ sk,pk) = 1 2(Tη) k,pk+Tη) k,pk+1), Tη) τ(−→ sτ,pτ) = 1 2(Tη) τ,pτ+Tη) τ,pτ+1). (2.285) En la mayoría de las aplicaciones físicas, la variable independiente z en la ecuación canónica es real no negativa, los parámetros gj(j= 2M, 2M+ 1, ..., 2N) son reales y en particular g2M , g2N , son positivos. Entonces, a consecuencia de (2.257) y (2.258), se tienen ahora las expresiones, semejantes a las obtenidas en el problema de conexión regular-irregular (cfr. (2.187), (2.188)), λ1≡α1) N+1 =−√g2N<0, λ2≡α2) N+1 = +√g2N>0, (2.286) es decir, arg (λ1) = arg (α1) N+1)=π, arg (λ2) = arg (α2) N+1)= 0. (2.287) Asimismo, a consecuencia de (2.268) y (2.269), se tiene: λ3≡β3) −M−1=−√g2M<0, λ4≡β4) −M−1= +√g2M>0, (2.288) es decir, arg(λ3) = arg (β3) −M−1)=π, arg(λ4) = arg (β4) −M−1)= 0. (2.289) En estas condiciones, el semieje real positivo es un rayo de Stokes en las fórmulas de conexión de clase (a) (2.275), atravesando el cual se produce un cambio brusco del factor de conexión Tη) 1,p1 (gura 2.5 ), aunque no de Tη) 2,p2 , porque habida cuenta de (2.277), (2.281) y de la primera expresión (2.285), se tiene: ϕ1,0= arg (−→ s1,0) = 0, ϕ2,p2= arg (−→ s2,p2)= 0,∀p2∈Z. (2.290) 2.5. método de los wronskianos (ii) 111 S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z S1,1 S1,0 S1,2 S1,-1 Re z Im z Figura 2.5: Sectores de validez S1,p1(p1=−1,0,1,2) de los factores de conexión T1,p1 cuando M=−2 , N= 2 y el parámetro asintótico principal λ1 es real negativo: S1,−1 : −4π/3<arg(z)<−2π/3 , S1,0 : −2π/3<arg(z)<0 , S1,1 : 0<arg(z)<2π/3 , S1,2 : 2π/3<arg(z)<4π/3 . Los sectores S1,0 , S1,1 y la mitad de S1,−1 , S1,2 cubren la primera hoja de Riemann. La mitad de S1,−1 y de S1,2 pertenecen a las hojas inferior y superior respectivamente. Los rayos de Stokes que separan estos sectores corresponden a arg(z) = −2π/3 , 0 , 2π/3 . Aunque representan casos diferentes, esta gura coincide con la 2.3 . La gura 2.6 muestra, en el mismo caso de la gura 2.5 , los rayos de Stokes que separan sectores de validez de T2,p2 en la primera hoja de Riemann. El valor de Tη) 1,p1 en el semieje real positivo es por tanto Tη) 1(−→ s1,0) = 1 2(Tη) 1,1+Tη) 1,0),(η= 1,2), (2.291) donde Tη) 1,1 , Tη) 1,0 son los valores de Tη) 1 en los sectores adyacentes S1,1 y S1,0 respectivamente. Asimismo, habida cuenta de (2.280), (2.283) y de la segunda expresión (2.285) se tiene ϕ3,0= arg (−→ s3,0) = 0, ϕ4,p4= arg (−→ s4,p4)= 0,∀p4∈Z, (2.292) luego el semieje real positivo es también un rayo de Stokes en las fórmulas de conexión de clase (b) (2.278), atravesando el cual se produce un cambio brusco del factor de conexión Tη) 3,p3 (gura 2.7 ) y no de T4,p4 . La gura 2.8 muestra, en el mismo caso de la gura 2.7 , los rayos de Stokes que separan sectores de validez de T4,p4 en la primera hoja de Riemann. 112 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z S2,1 S2,-1 S2,0 Re z Im z Figura 2.6: Sectores de validez S2,p2(p2=−1,0,1) de los factores de conexión T2,p2 cuando M=−2 , N= 2 y el parámetro asintótico principal λ2 es real positivo: S2,−1 : −π < arg(z)<−π/3 , S2,0 : −π/3<arg(z)< π/3 , S2,1 : π/3<arg(z)< π . Los tres sectores S2,−1 , S2,0 y S2,1 , cubren exactamente la primera hoja de Riemann. Los rayos de Stokes que separan estos sectores corresponden a arg(z) = −π/3 , π/3 . Aunque representan casos diferentes, esta gura coincide con la 2.4 . El valor de Tη) 3,p3 en el semieje real positivo es por tanto Tη) 3(−→ s3,0) = 1 2(Tη) 3,0+Tη) 3,1),(η= 1,2), (2.293) donde Tη) 3,0 , Tη) 3,1 son los valores de Tη) 3 en los sectores adyacentes S3,0 y S3,1 respectivamente. En las secciones precedentes hemos convenido en denominar ua,1(z) , ua,2(z) a las soluciones formales de clase (a) regular e irregular respectivamente cuando z→ ∞ . Asimismo, convenimos en que ub,3(z) , ub,4(z) representan a las soluciones formales de clase (b) regular e irregular respectivamente cuando z→0 . A n de que ub,3(z) pueda representar estados físicos, la regularidad en el origen no es suciente, siendo exigible un comportamiento regular cuando z→ ∞ , propiedad que puede expresarse mediante los factores de conexión en la forma que indicamos seguidamente. Como toda solución de la ecuación canónica, ub,3(z) es igual a una combinación lineal del sistema fundamental de soluciones formales de clase (a) {ua,1(z), ua,2(z)} . Entonces, el comportamiento asintótico de ub,3(z) es regular en el innito solo si en esa combinación lineal es nulo el coeciente 2.5. método de los wronskianos (ii) 113 S3,0 Re z Im z S3,0 Re z Im z S3,0 Re z Im z S3,0 Re z Im z S3,0 Re z Im z S3,0 Re z Im z Figura 2.7: Sectores de validez S3,p3(p3=−1,0,1) de los factores de conexión T3,p3 cuando M=−2 , N= 2 y el parámetro asintótico principal λ3 es real negativo: S3,1 : −2π < arg(z)<0 , S3,0 : 0<arg(z)<2π , S3,−1 : 2π < arg(z)<4π . Los sectores S3,0 y S3,−1 cubren la mitad positiva de la primera hoja de Riemann y toda la hoja superior, S3,1 cubre la mitad negativa de la primera hoja de Riemann y mitad de la hoja inferior. Los rayos de Stokes que separan estos sectores corresponden a arg(z) = 0 , 2π . de la solución irregular ua,2(z) . Este coeciente es igual a cierta función del parámetro E de energía en la ecuación de Schrödinger y los ceros de esta función son por tanto los valores de la energía físicamente admisibles, en otras palabras, son los valores del parámetro E que constituyen el espectro de energías de Schrödinger correspondiente al potencial suma de potencias (2.244). La expresión de ub,3(z) en combinación lineal de {ua,1(z), ua,2(z)} es (véase la nota 21) ub,3(z) =   T1) 1,p1T2) 4,p4−T1) 4,p4T2) 1,p1 D3 ua,1(z) + +  T1) 2,p2T2) 4,p4−T1) 4,p4T2) 2,p2 D3 ua,2(z), (z∈S(p1, p2)∩S(p3, p4)) ,(p1, p2, p3, p4∈Z), (2.294) donde D3≡T1) 3,p3T2) 4,p4−T2) 3,p3T1) 4,p4= 0, (2.295) 114 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales S4,0 Re z Im z S4,0 Re z Im z S4,0 Re z Im z S4,0 Re z Im z S4,0 Re z Im z S4,0 Re z Im z Figura 2.8: Sectores de validez S4,p4(p4=−1,0,1) de los factores de conexión T4,p4 cuando M=−2 , N= 2 y el parámetro asintótico principal λ4 es real positivo: S4,1 : −3π < arg(z)<−π , S4,0 : −π < arg(z)< π , S4,−1 : π < arg(z)<3π . Cada sector cubre una hoja de Riemann completa , correspondiendo la primera a S4,0 . Los rayos de Stokes que separan estos sectores corresponden a arg(z) = −π , π . para enteros p1, p2, p3, p4 tales que la intersección del sector S(p1, p2) con S(p3, p4) es no vacía. El espectro de energías es entonces el conjunto de raíces de la ecuación que expresa la nulidad del coeciente de ua,2(z) en (2.294): T1) 2,p2T2) 4,p4−T1) 4,p4T2) 2,p2= 0. (2.296) 2.5.4. Cálculo de los factores de conexión El método de cálculo de los factores de conexión Tη) k,pk en las fórmulas (2.180) que describimos en la sección 2.4 resuelve el problema global de la ecuación canónica (I) (2.147), (2.148), la cual tiene en z= 0 una singularidad regular y en z=∞ una singularidad irregular. El método, que utiliza las propiedades de la serie exponencial de Heaviside, se fundamenta en la comparación de dos expresiones del desarrollo asintótico de los Wronskianos de las funciones auxiliares introducidas en (2.201), (2.202). En esta subsección extendemos el método de los Wronskianos al cálculo de los factores de conexión de clases (a) y (b) que intervienen en el problema 2.5. método de los wronskianos (ii) 115 global de la ecuación canónica (II) (2.246), (2.247), la cual presenta singularidades irregulares en z= 0 y en z=∞ . Consideramos en primer lugar, para cada η= 1,2 , el sistema de ecuaciones denido por la fórmula de conexión de clase (a) (2.275) y su primera derivada en un sector S(p1, p2) dado por (2.276), (2.277): uη(z) = Tη) 1,p1ua,1(z) + Tη) 2,p2ua,2(z), u′ η(z) = Tη) 1,p1u′ a,1(z) + Tη) 2,p2u′ a,2(z). (2.297) Las expresiones de los factores de conexión de clase (a) como cocientes de Wronskianos se obtienen aplicando la regla de Cramer al sistema (2.297): Tη) ˜ k,p˜ k =W[uη, ua,k] W[ua,˜ k, ua,k],(z∈S˜ k,p˜ k), (k= 1,2),(η= 1,2), (2.298) donde ˜ k es la función de k introducida en (2.228), de manera que ˜ k= 2 si k= 1 y ˜ k= 1 si k= 2 , y S˜ k,p˜ k viene dado por (2.227). Asimismo, W[u, v] representa al Wronskiano del par ordenado de funciones (u, v) introducido en (2.197). El sistema (2.297) es compatible, toda vez que {ua,1, ua,2} constituyen un sistema fundamental de soluciones de la ecuación canónica, vericándose en consecuencia W[ua,˜ k, ua,k]= 0, (2.299) para cada k= 1,2 . Los Wronskianos W[ua,˜ k, ua,k] en los denominadores de (2.298) se obtienen de manera semejante al problema de conexión regular-irregular, sustituyendo en la expresión funcional del Wronskiano las formas asintóticas de ua,k , ua,˜ k dadas en (2.252)y sus derivadas: W[ua,˜ k, ua,k]≡ua,˜ ku′ a,k −u′ a,˜ kua,k = 2αk) N+1ak) 0a˜ k) 0≡2λkak) 0a˜ k) 0. (2.300) Los Wronskianos en los numeradores de las expresiones (2.298) se determinan siguiendo un proceso semejante al que hemos descrito en el problema de conexión regular-irregular. Como paso previo introducimos, para cada η= 1,2 , las funciones auxiliares vη,k(z) = exp (−λk 2(N+ 1) zN+1)uη(z),(k= 1,2), va,k(z) = exp (−λk 2(N+ 1) zN+1)ua,k(z),(k= 1,2). (2.301) 116 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales La relación entre los Wronskianos de (vη,k, va,k) y de (uη, ua,k) para cada k= 1,2 se obtiene reemplazando (2.301) y sus derivadas en el segundo miembro de la expresión W[vη,k, va,k] = vη,k v′ a,k −v′ η,k va,k, (2.302) el cálculo se realiza de modo semejante al caso regular-irregular (véase la nota 14) dando como resultado W[vη,k, va,k] = exp (−λk N+ 1 zN+1)W[uη, ua,k], (2.303) donde W[uη, ua,k] es igual a una constante, toda vez que uη y ua,k son soluciones de la misma ecuación diferencial (2.246) cuyo término en la primera derivada es nulo. Los Wronskianos W[uη, ua,k] se determinan, como en el caso regularirregular considerado en la sección 2.4, obteniendo y comparando dos desarrollos formales de los Wronskianos de las funciones auxiliares W[vη,k, va,k] . El primer desarrollo se obtiene sustituyendo en los segundos miembros de (2.301) las expresiones (2.250) de uη(z) y (2.252) de ua,k(z) y reemplazando las formas funcionales resultantes de vη,k , va,k y sus derivadas en la forma exacta (2.302) del Wronskiano (véanse las notas 22, 23): W[vη,k, va,k]∼ +∞ ∑ ˆn=−∞ γk) a,ˆnzˆn+νk+µk−1,(z→ ∞), (2.304) siendo para cada k= 1,2 γk) a,ˆn=−2Q(a,k) ˆn−(ˆn+νk−µk) Ω(a,k) ˆn,0+ 2 N ∑ p=1 αk) pΩ(a,k) ˆn,p +λkΩ(a,k) ˆn,N+1, (ˆn∈Z), (2.305) donde Ω(a,k) ˆn,p = +∞ ∑ j=0 ak) jbk) ˆn−p+j,(ˆn∈Z),(p= 0,1, ..., N + 1), (2.306) Q(a,k) ˆn= +∞ ∑ j=0 j ak) jbk) ˆn+j,(ˆn∈Z), (2.307) son series de cuya convergencia depende la validez de nuestro método de cálculo de los factores de conexión (véase el apéndice A). 2.5. método de los wronskianos (ii) 123 constantes βτ) b,L de forma semejante a la que se tiene en (2.313) en el caso de los factores de clase (a): W[uη, ub,τ ] = −M−2 ∑ L=0 βτ) b,L,(η= 1,2),(τ= 3,4). (2.343) Las fórmulas de los factores de conexión de clase (b) se obtienen ahora poniendo (2.342) en el segundo miembro de (2.343), sustituyendo la expresión resultante en el numerador de (2.320) con p˜τ= 0 y la expresión (2.323) en el denominador: Tη) ˜τ=−1 2λτˆaτ) 0ˆa˜ τ) 0 −M−2 ∑ L=0 γτ) b,ˆnΓ(n+ 1 + δ(b,τ) L) (−λτ/(−M−1))n+δ(b,τ) L , (n, ˆn∈Z),(η= 1,2),(τ= 3,4),(˜τ= 4,3), (2.344) donde Tη) ˜τ=Tη) ˜τ,0 y para cada M=−2,−3,−4, ... ˆn≡ˆnL= (M+ 1)n+L+ 1,(n, ˆn∈Z), (2.345) δ(b,τ) L=µτ+ντ+L M+ 1 ,(L= 0,1, ..., −M−2). (2.346) La extensión a cualquier sector S˜τ,p˜τ de (2.341), (2.342), (2.344) se realiza de la forma señalada en el caso de los factores de conexión de clase (a), obteniendo (para los detalles, véanse las notas 17 y 18) W[ˆvη,τ ,ˆvb,τ ]∼ +∞ ∑ n=−∞ −M−2 ∑ L=0    β(τ,pτ) b,L ω−p˜τ(−M−1)δ(b,τ) L −M−1 Γ(n+1+δ(b,τ) L)  × ×(−2ˆ λτ −M−1)n+δ(b,τ) L z(M+1)(n+δ(b,τ) L),(z→0), (z∈S˜τ,p˜τ⊂C\{0}),(pτ, p˜τ∈Z), (η= 1,2),(τ= 3,4), (2.347) donde β(τ,pτ) b,L =β(τ,0) b,L ωp˜τ(−M−1)δ(b,τ) L −M−1,(L= 0,1, ..., −M−2), (pτ, p˜τ∈Z), (2.348) son ahora los coecientes constantes en la combinación lineal de desarrollos de Heaviside que reemplazan a βτ) b,L en (2.343). Los sectores S˜τ,p˜τ vienen dados por (2.280) cambiando τ por ˜τ , pτ por p˜τ y teniendo en cuenta la 124 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales relación de antisimetría (2.324). Poniendo (2.348) en el segundo miembro de (2.343), sustituyendo la expresión resultante en el numerador de (2.320) y (2.323) en el denominador, se obtiene la extensión a cualquier sector S˜τ,p˜τ de las fórmulas (2.344) de los factores de conexión: Tη) ˜τ,p˜τ=−1 2λτˆaτ) 0ˆa˜ τ) 0 −M−2 ∑ L=0 γτ) b,ˆnΓ(n+ 1 + δ(b,τ) L)ωp˜τ(−M−1)δ(b,τ) L −M−1 (−2ˆ λτ/(−M−1))n+δ(b,τ) L , (n, ˆn, p˜τ∈Z),(η= 1,2),(τ= 3,4),(˜τ= 4,3), (2.349) 2.6. Notas Nota 12 . Siempre existe al menos una solución de (2.100) de la forma (2.101). Para ciertos valores de b−2r , solo existe una solución de la forma (2.101); la otra solución independiente contiene términos logarítmicos que divergen en el innito. Nosostros estamos interesados en aquellas soluciones cuyo comportamiento es regular en ambos puntos singulares. En consecuencia, nuestra discusión se limita a las soluciones de la forma (2.101), descartando aquellas que presentan términos logarítmicos. Nota 13 . Describimos a renglón seguido la secuencia de cambios de las variables y parámetros que transforman a la ecuación radial (2.145) en la ecuación canónica I (2.147), (2.148). En primer lugar, introducimos una variable adimensional x proporcional a la variable radial r {r−→ x, r =κ x, R(r)−→ y(x), R(r) = y(κ−1r), (2.350) donde el parámetro κ puede elegirse de maneras diferentes a condición de que tenga dimensiones de longitud; por ejemplo, dado que A˜ν= 0 es posible tomar κ=(¯h2 2mA˜ν)1/(˜ν+2) . (2.351) El parámetro κ y la variable x podrían ser en general complejos; no obstante, en la mayoría de las aplicaciones físicas κ es real y positivo, de manera que en tales casos la variable adimensional x recorre el semieje real no negativo del plano complejo. El cambio de variable (2.350) transforma a la ecuación radial (2.145) en la ecuación de variables y parámetros adimensionales y′′(x) +   G ∑ j=−2 Cjxj y(x) = 0,(CG= 0) , (2.352) 2.6. notas 125 donde G={˜ν+ 1 = 0, si ˜ν=−1, ˜ν, si ˜ν= 0,1,2, ..., (2.353) representa el grado del polinomio en el factor de la variable dependiente y en (2.352). La relación entre los parámetros Aj de la ecuación radial y los parámetros Cj de la ecuación adimensional es {C0=−2m(A0−E)κ2/¯h2, Cj=−2mAjκj+2/¯h2,(j=−2,−1),(j= 1,2, ..., ˜ν). (2.354) La ecuación (2.352) ya tiene forma adimensional pero todavía no es adecuada para estudiar el problema global porque cuando el grado G es impar, lo cual sucede si ˜ν= 1,3,5,7, ... , sus soluciones formales dependen de expansiones asintóticas que contienen potencias de la variable x de exponentes semienteros, y esas soluciones no se conectan fácilmente a las soluciones analíticas denidas por series de potencias de x de exponentes enteros. En estos casos impares, es conveniente introducir una nueva variable independiente adimensional z=x1/2 de manera que las soluciones formales de la ecuación transformada dependan de series asintóticas cuyos términos contienen solamente potencias de z de exponentes enteros. De este modo, sea el grado G par o impar, el problema global se formula en una única ecuación adimensional (2.147), de variable independiente y parámetros complejos, a la cual denominamos ecuación canónica I o ecuación canónica correspondiente a (2.145). Las relaciones entre las variables y parámetros de la ecuación canónica I y las variables y parámetros de la ecuación radial (2.145) son las siguientes. a) Si ˜ν=−1 , tenemos z=r/κ, u(z) = R(κ z), N = 0, (2.355) g−2=l(l+ 1), g−1=2mA−1κ ¯h2, g0=2m(−E)κ2 ¯h2. (2.356) b) Si ˜ν= 0,2,4,6, ... , tenemos z=r/κ, u(z) = R(κ z), N = ˜ν/2 = 0,1,2, ..., (2.357) g−2=l(l+ 1), g0=2m(A0−E)κ2 ¯h2, gj=2mAjκj+2 ¯h2,(j=−1),(j= 1,2, ..., 2N). (2.358) 126 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales c) Si ˜ν= 1,3,5,7, ... , tenemos z= (r/κ)1/2, u(z) = z−1/2R(κ z2), N = ˜ν+ 1 = 2,4,6,8, ..., (2.359) g−2= (2l+ 1/2)(2l+ 3/2), g2=8m(A0−E)κ2 ¯h2, gj=8mAj/2−1κj/2+1 ¯h2,(j= 0),(j= 4,6,8, ..., 2N), gj= 0,(j=−1,1,3,5, ..., 2N−1). (2.360) Por consiguiente, en (2.148) el valor máximo del índice j es 2N= 0 si ˜ν=−1 , 2N= ˜ν si ˜ν= 0,2,4,6, ... y 2N= 2˜ν+ 2 si ˜ν= 1,3,5,7, ... . Nota 14 . Las relaciones (2.201), (2.202) entre (vreg,k, va,k) y (ureg, ua,k) en el problema de conexión regular-irregular que describimos en la sección 2.4 son formalmente semejantes a las relaciones (2.301) entre (vη,k, va,k) y (uη, ua,k) que se establecen en el problema de conexión irregular-irregular de clase (a), y a las relaciones (2.325) entre (ˆvη,τ ,ˆvb,τ ) y (uη, ub,τ ) en el problema de conexión irregular-irregular de clase (b) considerados en la sección 2.5. Por consiguiente, la relación entre el Wronskiano de (vreg,k, va,k) y el Wronskiano de (ureg, ua,k) que se presenta en el problema de conexión regular-irregular es formalmente semejante a la relación entre los Wronskianos de (vη,k, va,k) y de (uη, ua,k) que sucede en el problema de conexión irregular-irregular de clase (a) y otro tanto cabe armar de la relación entre los Wronskianos de (ˆvη,τ ,ˆvb,τ ) y de (uη, ub,τ ) en el problema de conexión irregular-irregular de clase (b). Estas relaciones pueden obtenerse utilizando una notación unicada a partir de las correspondencias z, ˜z≡z−1−→ z, vreg,k, vη,k,ˆvη,τ −→ vη, va,k,ˆvb,τ −→ vasy, λk, λτ−→ λ, N, ˜ M−→ G, ureg, uη−→ uη, ua,k, ub,τ −→ uasy, (2.361) de manera que las relaciones (2.201), (2.202) y sus análogas (2.301), (2.325) en el problema de conexión irregular-irregular se escriben vη(z) = exp (−λ 2(G+ 1)zG+1)uη(z), (2.362) 2.6. notas 127 vasy(z) = exp (−λ 2(G+ 1)zG+1)uasy(z). (2.363) Las primeras derivadas de (2.362) y (2.363) son v′ η(z) = exp (−λ 2(G+ 1)zG+1)(−λ 2zGuη(z) + u′ η(z)), (2.364) v′ asy(z) = exp (−λ 2(G+ 1)zG+1)(−λ 2zGuasy(z) + u′ asy(z)), (2.365) y el Wronskiano de (vη, vasy) es por denición W[vη, vasy] = vηv′ asy −v′ ηvasy. (2.366) Efectuamos el producto vηv′ asy reemplazando las expresiones (2.362), (2.365): vηv′ asy = exp (−λ G+ 1zG+1)(−λ 2zGuηuasy +uηu′ asy), (2.367) y el producto −v′ ηvasy reemplazando las expresiones (2.363), (2.364): −v′ ηvasy = exp (−λ G+ 1zG+1)(λ 2zGuηuasy −u′ ηuasy). (2.368) Sustituimos los segundos miembros de (2.367) y (2.368) en el segundo miembro de (2.366) para obtener W[vη, vasy] = exp (−λ G+ 1zG+1)(uηu′ asy −u′ ηuasy), (2.369) donde uηu′ asy −u′ ηuasy ≡ W[uη, uasy] (2.370) es el Wronskiano de (uη, uasy) . Obtenemos así la deseada relación entre Wronskianos: W[vη, vasy] = exp (−λ G+ 1zG+1)W[uη, uasy]. (2.371) Nota 15 . La expresión asintótica (2.208) del Wronskiano de las funciones auxiliares en términos de ureg(z) , ˆ ζa,k(z) , Sa,k(z) y sus derivadas se obtiene sustituyendo en la forma exacta (2.203) del Wronskiano las expresiones (2.201) de vreg,k(z) , (2.205) de va,k(z) y sus derivadas: W[vreg,k, va,k]∼exp (−λk 2(N+ 1) zN+1 +ˆ ζa,k(z))ureg(z)S′ a,k(z) + + exp (−λk 2(N+ 1) zN+1 +ˆ ζa,k(z))(ˆ ζ′ a,k(z) + λkzN 2)ureg(z)Sa,k(z)− −exp (−λk 2(N+ 1) zN+1 +ˆ ζa,k(z))u′ reg(z)Sa,k(z), (z→ ∞),(k= 1,2). (2.372) 128 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales La expresión (2.372) gana en sencillez si introducimos la función wreg,k(z) = exp (ˆ ζa,k(z))vreg,k(z),(k= 1,2), (2.373) es decir, habida cuenta de (2.201), wreg,k(z) = exp (−λk 2(N+ 1) zN+1 +ˆ ζa,k(z))ureg(z),(k= 1,2). (2.374) Poniendo (2.374) y su derivada en (2.372) obtenemos W[vreg,k, va,k]∼(2ˆ ζ′ a,k(z)wreg,k(z)−w′ reg,k(z))Sa,k(z) + +wreg,k(z)S′ a,k(z),(z→ ∞),(k= 1,2). (2.375) que es (2.208). Nota 16 . Para cada k= 1,2 , los parámetros ˆρk) a,j , ˆεk) a,j de la ecuación diferencial (2.212) vericada por wreg,k(z) dependen de los parámetros gj de la ecuación canónica (2.147), (2.148) y de los parámetros αk) p que caracterizan el comportamiento asintótico de sus soluciones formales (2.166), (2.167) en la forma que indican las expresiones siguientes. Si N= 0 tenemos ˆρk) a,0= 0, (2.376) ˆεk) a,j =−gj,(j=−2,−1), (2.377) ˆεk) a,0=−g0. (2.378) Si N= 1 tenemos ˆρk) a,0=−2αk) 1, (2.379) ˆρk) a,1= 0, (2.380) ˆεk) a,j =−gj,(j=−2,−1), (2.381) ˆεk) a,0=−g0+(αk) 1)2, (2.382) ˆεk) a,1=−g1, (2.383) ˆεk) a,2=−g2. (2.384) Si N= 2,3,4, ... tenemos ˆρk) a,j =−2αk) j+1,(j= 0,1, ..., N −1), (2.385) ˆρk) a,N = 0, (2.386) ˆεk) a,j =−gj,(j=−2,−1), (2.387) 2.6. notas 129 ˆεk) a,j =−gj+ j+1 ∑ σ=1 αk) σαk) j+2−σ−(j+ 1)αk) j+2, (j= 0,1, ..., N −2), (2.388) ˆεk) a,N−1= N ∑ σ=1 αk) σαk) N+1−σ−gN−1, (2.389) ˆεk) a,j =−gj+ N ∑ σ=j+2−N αk) σαk) j+2−σ, (j=N, N + 1, ..., 2N−2), (2.390) ˆεk) a,2N−1=−g2N−1, (2.391) ˆεk) a,2N=−g2N=−λ2 k. (2.392) Nota 17 . Para obtener desarrollos de Heaviside válidos en cualquier sector S˜ k,p˜ k , p˜ k∈Z , realizamos en (2.225) y (2.231) el cambio de variable z∈S˜ k,0−→ z ω−p˜ k N+1,(z∈S˜ k,p˜ k), (p˜ k∈Z),(˜ k= 2,1), (2.393) donde ωN+1 ≡exp (i2π/(N+ 1)) , (2.394) de manera que z ω−p˜ k N+1 ∈S˜ k,0 si z∈S˜ k,p˜ k ; el cambio de variable transforma a (2.225) en E(k,pk) a,L (z) = +∞ ∑ n=−∞ (−λkzN+1 ω−p˜ k(N+1) N+1 /(N+ 1))n+δ(a,k) L Γ(n+1+δ(a,k) L), (z∈S˜ k,p˜ k⊂C),(δ(a,k) L∈C),(pk, p˜ k∈Z), (k= 1,2),(˜ k= 2,1),(L= 0,1, ..., N), (2.395) y a (2.231) en exp (−λk N+ 1 zN+1 ω−p˜ k(N+1) N+1 )∼ E(k,pk) a,L (z),(z→ ∞), (z∈S˜ k,p˜ k⊂C),(L= 0,1, ..., N), (pk, p˜ k∈Z),(k= 1,2),(˜ k= 2,1), (2.396) 130 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales donde E(k,pk) a,L (z)≡ Ek) a,L (z ω−p˜ k N+1),(L= 0,1, ..., N), (pk, p˜ k∈Z),(k= 1,2),(˜ k= 2,1) (2.397) y las potencias de ωN+1 en (2.395) y (2.396) se reescriben teniendo en cuenta (2.394) (ω−p˜ k(N+1) N+1 )n+δ(a,k) L=ω−p˜ k(N+1)δ(a,k) L N+1 = exp (−i2πp˜ kδ(a,k) L), ω−p˜ k(N+1) N+1 = 1, (n, p˜ k∈Z),(k= 1,2),(˜ k= 2,1),(L= 0,1, ..., N). (2.398) De (2.395) y (2.398) obtenemos, habida cuenta de (2.225), los desarrollos formales válidos en todo sector S˜ k,p˜ k E(k,pk) a,L (z) = Ek) a,L(z)ω−p˜ k(N+1)δ(a,k) L N+1 = =ω−p˜ k(N+1)δ(a,k) L N+1 +∞ ∑ n=−∞ (−λkzN+1/(N+ 1))n+δ(a,k) L Γ(n+1+δ(a,k) L), (z∈S˜ k,p˜ k⊂C),(δ(a,k) L∈C),(L= 0,1, ..., N), (pk, p˜ k∈Z),(k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.399) Asimismo, de (2.396) y (2.398) obtenemos las N+1 relaciones asintóticas válidas en todo sector S˜ k,p˜ k exp (−λk N+ 1 zN+1)∼ E(k,pk) a,L (z) = Ek) a,L(z)ω−p˜ k(N+1)δ(a,k) L N+1 ,(z→ ∞), (z∈S˜ k,p˜ k⊂C),(pk, p˜ k∈Z),(k= 1,2),(˜ k= 2,1),(L= 0,1, ..., N). (2.400) Una consecuencia inmediata de (2.400) es que para cada k= 1,2 y pk∈Z , dado un conjunto de N+ 1 constantes complejas no nulas {β(k,pk) a,L ;L= 0,1, ..., N},(pk∈Z),(k= 1,2), (2.401) la combinación lineal de los desarrollos (2.399), (2.225) denida en cada sector S˜ k,p˜ k por esas constantes Λ(k,pk) a,N (z)≡ N ∑ L=0 β(k,pk) a,L E(k,pk) a,L (z),(z∈S˜ k,p˜ k⊂C), (pk, p˜ k∈Z),(k= 1,2),(˜ k= 2,1), (2.402) 2.6. notas 131 es proporcional asintóticamente a la exponencial en el primer miembro de (2.400), es decir, Λ(k,pk) a,N (z)∼exp (−λk N+ 1 zN+1)N ∑ L=0 β(k,pk) a,L ,(z→ ∞), (z∈S˜ k,p˜ k⊂C),(pk, p˜ k∈Z),(k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.403) Comparando (2.402), (2.403) con (2.204) encontramos que si las constantes β(k,pk) a,L verican N ∑ L=0 β(k,pk) a,L =W[ureg, ua,k],(pk∈Z),(k= 1,2), (2.404) entonces el Wronskiano de las funciones auxiliares en el primer miembro de (2.204) verica la relación asintótica W[vreg,k, va,k]∼ N ∑ L=0 β(k,pk) a,L E(k,pk) a,L (z),(z→ ∞),(z∈S˜ k,p˜ k⊂C), (pk, p˜ k∈Z),(k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.405) Nota 18 . Describimos paso a paso el proceso de cálculo de los Wronskianos W[ureg, ua,k] en los numeradores de las expresiones (2.226) y por añadidura de los factores T˜ k . Para encontrar los valores de las constantes βk) a,L en el primer miembro de (2.236), así como las δ(a,k) L y la relación entre índices ˆn , n , sustituimos en el segundo miembro de (2.237) los desarrollos formales (2.225): el resultado es un nuevo desarrollo formal del Wronskiano de las funciones auxiliares vreg,k , va,k en potencias ascendentes y descendentes de la variable z : W[vreg,k, va,k]∼ N ∑ L=0 βk) a,L Ek) a,L(z) = = +∞ ∑ n=−∞ N ∑ L=0   βk) a,L Γ(n+1+δ(a,k) L) (−λk N+ 1)n+δ(a,k) Lz(N+1)(n+δ(a,k) L), (z→ ∞),(z∈S˜ k,0⊂C), (δ(a,k) L∈C),(k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.406) La comparación de este desarrollo con el primer desarrollo (2.217) se realiza identicando en primer lugar los exponentes de las potencias de z , de donde resulta la relación entre índices ˆn , n ˆn= ˆnL= (N+ 1)n+L+ 1,(n, ˆn∈Z),(L= 0,1, ..., N), (2.407) 132 CAPÍTULO 2. ecuaciones diferenciales. soluciones globales y las constantes δ(a,k) L δ(a,k) L=νk+µk+L N+ 1 ,(k= 1,2),(L= 0,1, ..., N). (2.408) Por consiguiente, el desarrollo (2.217) equivale a W[vreg,k, va,k]∼ +∞ ∑ n=−∞ N ∑ L=0 γk) a,ˆnLz(N+1)(n+δ(a,k) L),(z→ ∞), (k= 1,2),(L= 0,1, ..., N). (2.409) Identicando ahora los coecientes de las potencias de z en (2.406) y (2.409) obtenemos las constantes β(k,0) a,L ≡βk) a,L =γk) a,ˆnLΓ(n+1+δ(a,k) L) (−2ˆ λk/(N+ 1))n+δ(a,k) L ,(n, ˆnL∈Z), (L= 0,1, ..., N),(k= 1,2), (2.410) donde n toma cualquier valor entero y ˆnL , δ(a,k) L se obtienen de (2.407), (2.408) para cada L= 0,1, ..., N . Reemplazando ( ?? ), (2.410) en (2.236) obtenemos las fórmulas de los Wronskianos en los numeradores de (2.226) W[ureg, ua,k] = N ∑ L=0 βk) a,L = N ∑ L=0 γk) a,ˆnLΓ(n+1+δ(a,k) L) (−λk/(N+ 1))n+δ(a,k) L , (n, ˆnL∈Z),(k= 1,2),(˜ k= 2,1), (2.411) de las cuales resulta la forma explícita de la condición de cuantización (2.199): N ∑ L=0 γ1) a,ˆnLΓ(n+1+δ(a,1) L) (−λ1/(N+ 1))n+δ(a,1) L = 0, (n, ˆnL∈Z). (2.412) Los Wronskianos en los denominadores de (2.226), dados en (2.200), se reescriben para cada N= 0,1,2, ... W[ua,˜ k, ua,k]=−2λ˜ kak) 0a˜ k) 0= 2λkak) 0a˜ k) 0,(k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.413) Reemplazando (2.411) y (2.413) en el numerador y denominador de (2.226) respectivamente, obtenemos las fórmulas explícitas de los factores de conexión para la solución analítica regular ureg(z) en el sector S˜ k,0 : T˜ k,0=≡T˜ k=1 2λkak) 0a˜ k) 0 N ∑ L=0 γk) a,ˆnLΓ(n+1+δ(a,k) L) (−λk/(N+ 1))n+δ(a,k) L , (n, ˆnL∈Z),(k= 1,2),(˜ k= 2,1). (2.414) A.4. notas 235 cuyas raíces son z= 0 con multiplicidad 2N+ 2, (A.206) y las −2M−2 raíces complejas de 1/g2M : ˆz(k,0) L1= ˆσ(k,0) exp (iˆφ(k,0) L1),(L1= 0,1, ..., −2M−3), (A.207) donde ˆσ(k,0) = 1 g2M 1/(−2M−2) ,ˆφ(k,0) L1=arg(1/g2M)+2πL1 −2M−2, (L1= 0,1, ..., −2M−3). (A.208) El polinomio característico del segmento ˆ L′ 1 es análogamente ˆ G(k,1) 2N−2M(z) = ∑ j∈ˆ I1 ˆ Ak) jz2N−2M−j=−1 g2M(z2N+2 −g2N), (A.209) y sus raíces son las 2N+ 2 raíces complejas de g2N : ˆz(k,1) L2= ˆσ(k,1) exp (iˆφ(k,1) L2),(L2= 0,1, ..., 2N+ 1), (A.210) donde ˆσ(k,1) =(|g2N|1/2)1/(N+1) ,ˆφ(k,1) L2=arg(g2N)+2πL2 2N+ 2 , (L2= 0,1, ..., 2N+ 1). (A.211) En estas condiciones, el teorema de Perron establece que para cada k= 1,2 existe un sistema fundamental de soluciones de la recurrencia (2.468), (A.186) ˆ Yk) 2N−2M={b(k,j) n;j= 1,2, ..., 2N−2M}, (A.212) cuyas funciones pueden agruparse en g= 2 clases, que distinguimos mediante el índice ˜η= 0,1 , correspondientes a los dos segmentos ˆ L′ 0 , ˆ L′ 1 de la línea poligonal de Newton-Puiseux. Estas funciones verican ∀ϵ > 0∃ˆ M(k,˜η) B>0∋b(k,j) n,˜η<ˆ M(k,˜η) B(ˆσ(k,˜η)+ϵ)n(n!)ˆq˜η, (|n| ≥ 0),(˜η= 0,1). (A.213) A partir de (A.203), (A.213) se deduce que, cuando n tiende a innito, solamente las soluciones b(k,1) n asociadas al segmento ˆ L′ 1 tienen asegurada la convergencia. Por consiguiente, las soluciones aceptables bk) n de la recurrencia (2.468) verican la mayoración ∀ϵ > 0∃ˆ Mk) B>0∋bk) n<ˆ Mk) B(|λk|1/(N+1) +ϵ)n(n!)−1/(N+1), (n→+∞), (A.214) 236 APÉNDICE A. convergencia de las series Ω y q siendo λk≡αk) N+1 = (g2N)1/2 . Nota 26 . Describimos a continuación las etapas sucesivas del proceso que nos lleva a establecer sendas mayoraciones asintóticas de las soluciones ˆaτ) s de la recurrencia (2.270) y de las soluciones ˆ bτ) n de la recurrencia (2.340). El método se basa en la aplicación del teorema de Perron a una y otra recurrencia, siguiendo un recorrido paralelo al que describimos en la nota 25 para las soluciones ak) s de (2.259) y bk) n de (2.468). Consideramos en primer lugar la recurrencia (2.270), (2.271) vericada por ˆaτ) s cuya forma canónica de Perron-Kreuser es 2N−M+1 ∑ j=0 pτ) j(s) ˆaτ) s+2N−M+1−j= 0,(s= 0,1,2, ...), (ˆaτ) 0= 0), (A.215) donde pτ) 0(s) = 1, (A.216) pτ) j(s) = ˜ βτ) M−1+j−2βτ) −M−1−j(s+ 2N−M+ 1 −j) −2βτ) −M−1(s+ 2N−M+ 1) , (j= 1,2, ..., −M−2), (A.217) pτ) −M−1(s) = ˜ βτ) −2+ (s+ 2N+ 2)(s+ 2N−M+ 1 −2βτ) 0) −2βτ) −M−1(s+ 2N−M+ 1) , (A.218) pτ) j(s) = −gM+j−1 −2βτ) −M−1(s+ 2N−M+ 1), (j=−M, −M+ 1, ..., 2N−M+ 1), (A.219) siendo ˜ βτ) j las funciones de βτ) j dadas en (2.271). El comportamiento asintótico de los coecientes funcionales pτ) j(s) cuando s→+∞ es por tanto, para cada τ= 3,4 , pτ) 0(s) = 1, (A.220) pτ) j(s) = Aτ) jsK′′ j(1 + o(1)),(s→+∞), (j= 1,2, ..., −M−2,−M−1,−M, −M+ 1, ..., 2N−M+ 1), (A.221) A.4. notas 237 donde Aτ) j=βτ) −M−1−j βτ) −M−1 , K′′ j= 0,(j= 0,1, ..., −M−2), ( si βτ) −M−1−j= 0), (A.222) Aτ) j= ˜ βτ) M−1+j −2βτ) −M−1 , K′′ j=−1,(j= 0,1, ..., −M−2), ( si βτ) −M−1−j= 0 y ˜ βτ) M−1+j= 0), (A.223) Aτ) −M−1=1 −2βτ) −M−1 , K′′ −M−1= 1, (A.224) Aτ) j=gM+j−1 2βτ) −M−1 , K′′ j=−1,(j=−M, −M+ 1, ..., 2N−M+ 1), ( si gM+j−1= 0), (A.225) donde K′′ j=−∞ para todo j tal que Aτ) j= 0 . El conjunto de Puiseux de la recurrencia (2.270), (A.215) es por consiguiente P2N−M+1 ={P′′ j(j, K′′ j); j= 0,1, ..., 2N−M+ 1}, (A.226) del cual obtenemos el diagrama de Newton-Puiseux de la recurrencia, formado por dos segmentos L′′ 0=P′′ 0P′′ −M−1,L′′ 1=P′′ −M−1P′′ 2N−M+1, (A.227) cuyos vértices y pendientes respectivas son: P′′ 0(0,0), P′′ −M−1(−M−1,1), P′′ 2N−M+1(2N−M+1,−1), (A.228) q′′ 0=1 −M−1>0, q′′ 1=−1 N+ 1 <0. (A.229) Para todo N= 0,1,2, ... y todo M=−2,−3,−4, ... , los conjuntos de Kreuser correspondientes a uno y otro segmento están formados por las abscisas de los puntos de P2N−M+1 que pertenecen a L′′ 0 y a L′′ 1 respectivamente, es decir, I′′ 0={0,−M−1}, I′′ 1={−M−1,2N−M+ 1}. (A.230) 238 APÉNDICE A. convergencia de las series Ω y q El polinomio característico de L′′ 0 es entonces, para cada τ= 3,4 , habida cuenta de (A.18), G(τ,0) 2N−M+1(z) = ∑ j∈I′ 0 Aτ) jz2N−M+1−j=z2N+2 (z−M−1−1 2λτ), (A.231) donde λτ≡βτ) −M−1= (g2M)1/2. (A.232) Las raíces de G(τ,0) 2N−M+1(z) son z= 0 con multiplicidad 2N+ 2, (A.233) y las −M−1 raíces complejas de 1/2λτ : z(τ,0) L0=σ(τ,0) exp (iφ(τ,0) L0),(L0= 0,1, ..., −M−2), (A.234) donde σ(τ,0) = 1 2λτ 1/(−M−1) , φ(τ,0) L0=arg(1/2λτ)+2πL0 −M−1, (L0= 0,1, ..., −M−2). (A.235) Análogamente, el polinomio característico de L′′ 1 es G(τ,1) 2N−M+1(z) = ∑ j∈I′ 1 Aτ) jz2N−M+1−j=−1 2λτ(z2N+2 −g2N), (A.236) donde g2N= (λk)2≡(αk) N+1)2,(k= 1,2). (A.237) Las raíces de G(τ,1) 2N−M+1(z) son las 2N+ 2 raíces complejas de g2N : z(τ,1) L1=σ(τ,1) exp (iφ(τ,1) L1),(L1= 0,1, ..., 2N+ 1), (A.238) donde σ(τ,1) =|g2N|1/(2N+2) , φ(τ,1) L1=arg(g2N)+2πL1 2N+ 2 , (L1= 0,1, ..., 2N+ 1). (A.239) Cuando s→+∞ , las soluciones de la recurrencia (2.270) asociadas a L′′ 0 dominan sobre las soluciones dependientes de L′′ 1 . En estas condiciones, el teorema de Perron establece que toda solución ˆaτ) s de la recurrencia verica la mayoración siguiente: ∀ϵ > 0,∃Mτ) A>0∋ ∋ˆaτ) s< Mτ) A( 1 2λτ 1/(−M−1) +ϵ)s (s!)1/(−M−1), (s→+∞). (A.240) A.4. notas 239 La forma canónica de Perron-Kreuser de la recurrencia (2.340) vericada por ˆ bτ) n es, para cada τ= 3,4 , 2N−2M ∑ j=0 ˆpτ) j(n)ˆ bτ) n+2N−2M−j= 0,(n∈Z),(ˆ bτ) 0= 0), (A.241) donde para cada τ= 3,4 , ˆpτ) 0(n) = 1, (A.242) ˆpτ) j(n) = ˆετ) b,j+2M ˆετ) b,2M ,(j= 1,2, ..., −M−2), (A.243) ˆpτ) j(n) = ˆρτ) b,j+2M+1(n+ 2N−2M+ντ−j) + ˆετ) b,j+2M ˆετ) b,2M , (j=−M−1,−M, −M+ 1, ..., −2M−3), (A.244) ˆpτ) −2M−2(n) = (n+ 2N+2+ντ)(n+ 2N+1+ντ) + ˆετ) b,−2 ˆετ) b,2M , (A.245) ˆpτ) j(n) = ˆετ) b,j+2M ˆετ) b,2M ,(j=−2M−1,−2M, −2M+1, ..., 2N−2M). (A.246) El comportamiento asintótico de los coecientes funcionales ˆpτ) j(n) cuando |n| → +∞ es por tanto, para cada τ= 3,4 , ˆpτ) 0(n) = 1, (A.247) ˆpτ) j(n) = ˆ Aτ) jnˆ K′′′ j(1 + o(1)),(|n| → +∞), (j= 1,2, ..., −M−2,−M−1,−M, −M+ 1, ..., 2N−2M), (A.248) donde ˆ Aτ) j=ˆετ) b,j+2M ˆετ) b,2M ,ˆ K′′′ j= 0,(j= 0,1, ..., −M−2), ( si ˆετ) b,j+2M= 0), (A.249) ˆ Aτ) j=ˆρτ) b,j+2M+1 ˆετ) b,2M ,ˆ K′′′ j= 1,( si ˆρτ) b,j+2M+1 = 0), (j=−M−1,−M, −M+ 1, ..., −2M−3), (A.250) 240 APÉNDICE A. convergencia de las series Ω y q ˆ Aτ) j=ˆετ) b,j+2M ˆετ) b,2M ,ˆ K′′′ j= 0,( si ˆρτ) b,j+2M+1 = 0 y ˆετ) b,j+2M= 0), (j=−M−1,−M, −M+ 1, ..., −2M−3), (A.251) ˆ Aτ) −2M−2=1 ˆετ) b,2M ,ˆ K′′′ −2M−2= 2, (A.252) ˆ Aτ) j=ˆετ) b,j+2M ˆετ) b,2M ,ˆ K′′′ j= 0,( si ˆετ) b,j+2M= 0), (j=−2M−1,−2M, −2M+ 1, ..., 2N−2M), (A.253) donde ˆ K′′′ j=−∞ para todo j tal que ˆ Aτ) j= 0 y en (A.250) tenemos, cuando j=−M−1 , ˆρτ) b,M = 0, (A.254) ˆ Aτ) −M−1=ˆετ) b,M−1 ˆετ) b,2M ,ˆ K′′′ −M−1= 1,( si ˆετ) b,M−1= 0), ˆ Aτ) −M−1= 0,ˆ K′′′ −M−1=−∞,( si ˆετ) b,M−1= 0), (A.255) toda vez que si ˆρτ) b,M = 0 , ˆ Aτ) −M−1 se expresa mediante (A.251) en lugar de (A.250). A partir del conjunto de Puiseux de la recurrencia (2.340) ˆ P2N−2M={P′′′ j(j, ˆ K′′′ j); j= 0,1, ..., 2N−2M}, (A.256) obtenemos el diagrama de Newton-Puiseux de esta recurrencia, que está formado por dos segmentos: ˆ L′′′ 0=P′′′ 0P′′′ −2M−2,ˆ L′′′ 1=P′′′ −2M−2P′′′ 2N−2M, (A.257) cuyos vértices y pendientes respectivas son: P′′′ 0(0,0), P′′′ −2M−2(−2M−2,2), P′′′ 2N−2M(2N−2M, 0), (A.258) ˆq′′′ 0=1 −M−1>0,ˆq′′′ 1=−1 N+ 1 <0, (A.259) si se considera el comportamiento de las soluciones de la recurrencia cuando n→+∞ . Ahora bien, cuando z→0 , en el desarrollo (2.336) de ˆwη,τ (z) , cuyos coecientes ˆ bτ) n verican la recurrencia (2.340), dominan los términos correspondientes a los valores negativos del exponente n de la variable independiente z . Por consiguiente, en vez del comportamiento de ˆ bτ) n cuando A.4. notas 241 n→+∞ , debe considerarse el comportamiento de estos coecientes cuando n→ −∞ invirtiendo la ordenación de los elementos del conjunto de Puiseux (A.256) y, en consecuencia, la orientación de la línea poligonal de NewtonPuiseux, cuyos vértices son ahora P′′′ 2M−2N(2M−2N, 0) , P′′′ 2M+2(2M+ 2,2) , P′′′ 0(0,0) . Los segmentos y pendientes son entonces ˜ L′′′ 0=P′′′ 2M−2NP′′′ 2M+2,˜ L′′′ 1=P′′′ 2M+2P′′′ 0, (A.260) ˜q′′′ 0=−ˆq′′′ 1=1 N+ 1 >0,˜q′′′ 1=−ˆq′′′ 0=1 M+ 1 <0. (A.261) Los conjuntos de Kreuser correspondientes a ˆ L′′′ 0 y ˆ L′′′ 1 son ˆ I′′′ 0={0,−2M−2},ˆ I′′′ 1={−2M−2,2N−2M}. (A.262) El polinomio característico de ˆ L′′′ 0 , i.e. de ˜ L′′′ 1 es, habida cuenta de (A.18), ˆ G(τ,0) 2N−2M(z) = ∑ j∈ˆ I′′′ 0 ˆ Aτ) jz2N−2M−j=z2N+2 (z−2M−2−1 (λτ)2), (A.263) donde λτ se da en (A.232). Las raíces de ˆ G(τ,0) 2N−2M son por tanto z= 0 con multiplicidad 2N+ 2, (A.264) y las −2M−2 raíces complejas de 1/(λτ)2= 1/g2M : ˆz(τ,0) L1= ˆσ(τ,0) exp (iˆφ(τ,0) L1),(L1= 0,1, ..., −2M−3), (A.265) donde ˆσ(τ,0) = 1 λτ 1/(−M−1) ,ˆφ(τ,0) L1=arg(1/(λτ)2)+2πL1 −2M−2, (L1= 0,1, ..., −2M−3). (A.266) De modo semejante obtenemos el polinomio característico de ˆ L′′′ 1 , i.e. de ˜ L′′′ 0 : ˆ G(τ,1) 2N−2M(z) = ∑ j∈ˆ I′′′ 1 ˆ Aτ) jz2N−2M−j=−1 g2M(z2N+2 −g2N), (A.267) donde g2N= (λk)2 según se estableció en (A.237). Las raíces de ˆ G(τ,1) 2N−2M(z) son las 2N+ 2 raíces complejas de g2N : ˆz(τ,1) L2= ˆσ(τ,1) exp (iˆφ(τ,1) L2),(L2= 0,1, ..., 2N+ 1), (A.268) 242 APÉNDICE A. convergencia de las series Ω y q donde ˆσ(τ,1) =|g2N|1/(2N+2) ,ˆφ(τ,1) L2=arg(g2N)+2πL2 2N+ 2 , (L2= 0,1, ..., 2N+ 1). (A.269) Cuando n→ −∞ , solamente las soluciones de la recurrencia (2.340) correspondientes al segmento ˜ L′′′ 1 tienen asegurada la convergencia. En estas condiciones, el teorema de Perron establece que toda solución aceptable ˆ bτ) n de la recurrencia verica la mayoración ∀ϵ > 0,∃Mτ) B>0∋ ∋ˆ bτ) n< Mτ) B( 1 λτ 1/(−M−1) +ϵ)n ((−n)!)1/(M+1) , (n→ −∞). (A.270) Apéndice B Índices de las soluciones multiplicativas en la vecindad de un punto singular irregular El objeto de este apéndice es describir un método que determine los índices ρη y coecientes cn,η (η= 1,2) en las soluciones multiplicativas (2.250) de la ecuación canónica (2.246), (2.247) cuando M=−2,−3,−4, ... y la singularidad en z= 0 es irregular. La solución de este problema es más complicada que la del problema correspondiente, resuelto en la subsección 2.4.3, que se presenta en la ecuación canónica cuando M=−1 y la singularidad en el origen es regular. Sabemos que, excepto para conjuntos particulares de valores de los parámetros gj , la ecuación canónica (2.246) d2u dz2−g(z)u= 0,(z∈C), (B.1) donde g(z) = 2N ∑ j=2M gjzj,(g2M= 0),(g2N= 0), (B.2) admite un sistema fundamental de soluciones multiplicativas de la forma (2.250) uη(z) = +∞ ∑ n=−∞ cn,ηzn+ρη,(z∈C\{0}),(η= 1,2). (B.3) La sustitución de (B.3) en (B.1) da lugar a la recurrencia (2.251), i.e. para cada η= 1,2 , (n+ρη)(n+ρη−1)cn,η + 2N ∑ j=2M−gjcn−j−2,η = 0, (n∈Z),(g2M= 0),(g2N= 0), (B.4) 243 244 APÉNDICE B. índices de las soluciones multiplicativas que consiste en un sistema innito de ecuaciones homogéneas. Este sistema puede interpretarse como un problema no lineal de valor propio ρη tal que se verica la condición +∞ ∑ n=−∞|cn,η|2<+∞, (B.5) suciente para que lim n→±∞|cn,η|= 0, (B.6) y el sistema innito (B.4) pueda reducirse por truncadura a un sistema nito donde el índice n toma valores enteros −M ≤ n≤ N , siendo M y N enteros positivos sucientemente grandes para que la solución del problema nito sea una buena aproximación de la solución del problema innito. Otra consecuencia de (B.5) es que los coecientes cn,η pueden elegirse de modo que veriquen la condición de normalización +∞ ∑ n=−∞|cn,η|2= 1, (B.7) de la que resulta la condición de normalización truncada N ∑ n=−M c∗ n,ηcn,η = 1. (B.8) El método de iteración de Newton permite obtener aproximaciones sucesivas de la solución del problema no lineal (B.4) procediendo en un número nito de etapas. A n de distinguir entre sí las diferentes etapas utilizamos un índice (i) cuyo valor inicial es i= 0 . La etapa de orden (i) consiste en pasar de una solución aproximada {ρ(i), c(i) n} a otra {ρ(i+1), c(i+1) n} resolviendo un sistema nito de ecuaciones que resulta de la linealización de (B.4) y (B.8). La linealización de (B.4) se realiza siguiendo el procedimiento descrito por Naundorf en [44]. Para cada η= 1,2 , el miembro a la izquierda en (B.4) es la función fn(ρη,{cn,η}) = (n+ρη)(n+ρη−1)cn,η + 2N ∑ j=2M−gjcn−j−2,η, (B.9) que depende linealmente de {cn,η} . Dados {ρ(i) η,{c(i) n,η}} , la fórmula que linealiza su relación con {ρ(i+1) η,{c(i+1) n,η }} es fn(ρ(i+1) η,{c(i+1) n,η })≈fn(ρ(i) η,{c(i+1) n,η })+ +∂fn(ρ(i) η,{c(i) n,η}) ∂ρ(i) η(ρ(i+1) η−ρ(i) η), (B.10) 251 θm−n≡{−gm−n−2 si ¯ν1(m)≤n≤¯ν2(m),(m, n ∈Z), 0 si n < ¯ν1(m) ó n > ¯ν2(m),(m, n ∈Z), (B.56) ¯ν1(m) = m−2N−2,¯ν2(m) = m−2M−2,(m∈Z). (B.57) Los valores de ρ se obtienen entonces como soluciones de la ecuación trascendente sin2[π(ρ−1 2)]= ∆ (1 2)sin2(π√1 4+g−2), (B.58) que expresa la compatibilidad del sistema lineal homogéneo (B.53) cuyo determinante es ∆(ρ) . Los coecientes cn en las expansiones (B.3) de las soluciones multiplicativas se obtienen, hasta un orden ω= 1,2,3, ... dado, resolviendo el sistema homogéneo de rango 2ω+ 1 extraído del sistema innito (B.53) cuyo término central es A00c0 y cuyas incógnitas son cm(m=−ω, −ω+ 1, ..., −1,0,1, ..., ω −1, ω) , vericándose la proporción c−ω ∆(−ω) =c−ω+1 ∆(−ω+1) =... =c0 ∆(0) =... =cω−1 ∆(ω−1) =cω ∆(ω) , (B.59) siendo ∆(p)(p=−ω, −ω+ 1, ..., ω) el cofactor correspondiente al elemento de matriz Aωp en la matriz [Amn]−ω≤m,n≤ω . 252 APÉNDICE B. índices de las soluciones multiplicativas Bibliografía [1] J. Abad, F. J. Gómez, J. Sesma, Numer. Algor. (2008) 33. [2] M. Abramowitz, A. I. Stegun (eds.), Handbook of mathematical functions, Dover Pub. Inc., New York 1972. 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