Estados no clásicos de la luz: fundamentos matemáticos y aplicaciones físicas

Estados no cl´asicos de la luz: fundamentos matem´aticos y aplicaciones f´ısicas Trabajo de Fin de Grado Autor: Daniel del Corral Mart´ınez 23 de Julio de 2019 Departamento de F´ısica Te´orica, At´omica y ´ Optica Tutor: Luis Miguel Nieto Calzada ´ Indice general Resumen VI Abstract VIII 1. Introducci´on 1 2. Fundamentos matem´aticos 3 2.1. Introducci´on: El oscilador arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. Definici´on de los estados coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.1. Funcion de onda en la representacion de coordenadas . . . . . . 6 2.2.2. Funci´on de onda en la representaci´on de momentos . . . . . . . 9 2.2.3. Funcion de onda en el espacio de fases . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Definiciones alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1. Operador desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2. Relaci´on de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Propiedades generales 15 3.1. Valor esperado de la posici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. Valor esperado del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3. Valor esperado del operador n´umero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4. Valor esperado de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i 3.5. Desviaci´on cuadr´atica media del operador N............... 18 3.6. Relaci´on de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.7. Evoluci´ontemporal............................. 19 3.8. C´alculo de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.9. Ortogonalidad entre estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.10. Acci´on del operador creaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4. Estados gato de Schr¨odinger 25 4.1. Funci´on de onda en la representaci´on de coordenadas . . . . . . . . . . 25 4.2. Funci´on de onda en el espacio de fases: funci´on de Wigner . . . . . . . 27 4.3. Evoluci´ontemporal............................. 28 5. Aplicaciones 33 5.1. Teor´ıa cu´antica de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1.1. Descripci´on del campo electromagn´etico en t´erminos de estados coherentes.............................. 33 5.1.2. Generaci´on de estados coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.1.3. Divegencias infrarrojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2. Estados coherentes de spin (ECH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3. Condensado de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.4. Estados coherentes fermi´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6. Conclusiones 43 ii ´ Indice de figuras 2.1. Funci´on de onda para z1= 1, z2= 5 y z3=10. .............. 8 2.2. Funci´on de onda para z1=ei0, z2=eiπ 4y z3=eiπ 2............. 8 2.3. M´odulo al cuadrado de la funci´on de onda en el espacio de momentos para z1=ei0, z2=eiπ 4y z3=eiπ 2....................... 10 2.4. Funci´on de Wigner (2.48) para z=0.................... 11 2.5. Funci´on de Wigner (2.48) para z= 1 + i.................. 11 2.6. Funci´on de Wigner (2.48) para z= 1 −i.................. 12 3.1. Funci´on de Wigner para t= 0 del estado z=1. ............. 20 3.2. Funci´on de Wigner para t= 0, t =π 2, t =π y t =3π 2del estado z= 1. . . 21 3.3. Evoluci´on temporal de la densidad de probabilidad (3.28) para z= 1 y ω= 1 sobre el plano (x, t). Hemos representado un periodo para t. . . . 21 3.4. Proabilidad de detectar 1,2 ´o 3 estados de vibraci´on para cualquier n´umero medio de estados de vibraci´on, es decir, para cualquier |z|. . . . 22 4.1. Densidad de probabilidad en la representaci´on de momentos para la funci´on de onda de un estado gato par para z1= 0,6, z2= 1, z3= 2. . . 27 4.2. Funci´on de Wigner de un estado gato par para z=1........... 28 4.3. Funci´on de Wigner de un estado gato par para z=2........... 29 4.4. Funci´on de Wigner de un estado gato par para z=3........... 29 iii 4.5. Densidad de probabilidad del estado z= 3eit para diversos instantes de tiempo: de izquierda a derecha y de arriba a abajo, t=π 4,t=3π 8,t=7π 16 yt=π 2. ................................... 30 4.6. Funci´on de Wigner del estado z= 3e−it para diversos instantes de tiempo: de izquierda a derecha y de arriba a abajo, t= 0, t=π 4yt=π 2. . . 31 iv Resumen En este trabajo se presenta un resumen de resultados sobre los estados coherentes del oscilador arm´onico cu´antico, as´ı como ilustraciones gr´aficas de las densidades de probabilidad en las representaciones de coordenadas y momentos y en el espacio de fases, ´esta ´ultima a trav´es de la conocida funci´on de Wigner. En el primer cap´ıtulo se da una peque˜na idea de la motivaci´on para realizar este trabajo as´ı como una rese˜na hist´orica sobre el inicio del estudio de los estados coherentes, muy presentes en varios ´ambitos de la f´ısica y en concreto de la ´optica cu´antica. En el segundo cap´ıtulo se comienza con un repaso general de varios resultados ´utiles sobre el oscilador arm´onico cu´antico, principalmente las definiciones de los operadores creaci´on y aniquilaci´on y el hamiltoniano del oscilador arm´onico. Posteriormente aplicamos estos resultados al c´alculo de la expresi´on anal´ıtica de un estado coherente general y de sus funciones de onda en las representaciones de coordenadas y de momentos y en el espacio de fases a trav´es de la ya mencionada funci´on de Wigner. Finalmente, veremos dos definiciones a mayores de los estados coherentes, a trav´es del operador desplazamiento y mediante la relaci´on de incertidumbre, la cual nos permitir´a definir un tipo m´as general de estados coherentes, los squeezed states o estados comprimidos. Una revisi´on m´as detallada de las propiedades generales de los estados coherentes se ver´a en el cap´ıtulo tres. Calcularemos los valores esperados de algunos observables importantes, las desviaciones cuadr´aticas medias de la posici´on y el momento, la relaci´on de incertidumbre que minimizan los estados coherentes, la evoluci´on temporal de las densidades de probabilidad y de la funci´on de Wigner. Veremos tambi´en como la probabilidad de detecci´on de modos de vibracion sigue una distribuci´on de Poisson, la no ortogonalidad entre estados, que permite que formen una base m´as que completa y, por ´ultimo, la acci´on del operador creaci´on sobre estos estados. En el cuarto cap´ıtulo estudiaremos una superposici´on de estados coherentes, los llamados estados gatos de Schr¨odinger. Nos centraremos en el estudio de los estados gato pares. En este caso calcularemos la funci´on de onda en el espacio de fases y la funci´on de Wigner asociada, las cuales veremos, a trav´es de la representaci´on gr´afica, que presentan una zona de interferencia cu´antica entre las gaussianas asociadas a cada v uno de los estados coherentes que forman el estado. Por ´ultimo, veremos la evoluci´on temporal de estos estados gato. En el cap´ıtulo cinco veremos algunas aplicaciones a diversos campos de la f´ısica. Finalmente, en el cap´ıtulo seis discutiremos las conclusiones obtenidas de este trabajo. vi Abstract In this document a summary of results about the coherent states of the harmonic oscillator is presented, as well as graphic representations of the probability densities in the coordinate and momentum representation and in the phase-space formalism through the Wigner Function. In the first chapter a brief idea of the motivation of this work is given, as well as a little historical review about the study of coherent states, very present in several fields of physics. The second chapter begins with a general review of some useful results about the harmonic quantum oscillator, mainly the definitions of the creation and anihilation operators and the harmonic oscillator Hamiltonian. Subsequently, this results are applied to the calculus of the analytic expression of a coherent state and its wave function in the coordinate and momentum representations, and also in phase space through the Wigner function. Finally, two more definitions of coherent states will be given, one through the displacement operator and the other one with the minimal uncertainty relation, which would allow us to define a more general type of coherent state, called squeezed state. A more general review of the properties of coherent states will be seen in the third chapter. Some of the expectation values of some important observables will be calculated: the mean quadratic deviations of the position and the moment, the uncertainty relation (which coherent states minimizes), the temporal evolution of the probability densities and the Wigner function. It will also be seen how the probability of detection of vibrational modes follows a Poissonian distribution, the non ortogonality of states (which allows the coherent sates to form a more-than-complete basis) and, lastly, the action of the creation operator in this states. In the forth chapter a superposition of coherent states, the so called Schr¨odinger’s cat states will be studied. The attention will be focused on the even cat states. In this case it will be calculated the wave function in the phase space and the associated Wigner Function, which will be seen through a graphical representation, which presents an interference quantum zone between the gaussians to each of the coherent states that vii donde a0es una constante de normalizaci´on que determinaremos m´as adelante. Sustituyendo (2.26) en (2.19) obtenemos la expresi´on general, a falta de la constante a0, de un estado coherente general: |zi=a0 ∞ X n=0 zn √n!|ni.(2.27) Para calcular la constante de normalizaci´on utilizaremos la propiedad de ortonormalidad de los estados coherentes, sirvi´endonos de la ortonormalidad de los estados n´umero: 1 = hz|zi= ¯a0 ∞ X n=0 ¯zn √n!hn|! a0 ∞ X m=0 zm √m!|mi!=|a0|2∞ X m,n=0 ¯znzm √n!m!δn,m =|a0|2∞ X n=0 (|z|2)n n!=|a0|2e|z|2= 1, finalmente: |a0|=e−|z|2 2.(2.28) Quedando determiado as´ı el modulo de la constante de normalizaci´on, a falta de la fase compleja. Sustituyendo (2.28) en (2.27), obtenemos la expresi´on general definitiva de los estados coherentes: |zi=e−|z|2 2 ∞ X n=0 zn √n!|ni.(2.29) Podemos observar en (2.29) que, para cada numero complejo z, existe un estado coherente |zi. 2.2.1. Funcion de onda en la representacion de coordenadas Para tener una idea un poco m´as concreta de como son estos estados coherentes que acabamos de hallar, pasamos ahora a calcular la funci´on de onda asociada, para lo cual pasaremos a trabajar en la representaci´on de coordenadas. Llamaremos Ψ(x, z) a dicha funci´on de onda asociada al estado coherente correspondiente al n´umero complejo zen la representaci´on de coordenadas. Calculamos: Ψ(x, z) = hx|zi=e−|z|2 2 ∞ X n=0 zn √n!hx|ni=e−|z|2 2 ∞ X n=0 zn √n!r1 2nn!π−1 4Hn(x)e−x2 2.(2.30) Donde hemos utilizado la representaci´on de coordenadas de los estados n´umero del oscilador harm´onico, dada por las funciones de Hermite: hx|ni=r1 2nn!π−1 4Hn(x)e−x2 2,(2.31) 6 siendo Hn(x) los polinomios de Hermite de la variable x, autovalor del operador posici´on X. Comparando con la funci´on generatriz de los polinomios de Hermite [2]: e2xt−t2=∞ X n=0 Hn(x) n!tn,(2.32) vemos que, si realizamos el cambio t→z √2, y sustituimos (2.32) en (2.30), la funci´on de onda toma un aspecto mucho m´as sencillo, resultando ser: Ψ(x, z) = π−1 4e−|z|2 2e2xz √2−z2 2ex2 2=π−1 4e−|z|2+z2 2e−x2 2+2xz √2 =π−1 4e−|z|2+z2 2e−x √2−z+z2. (2.33) Finalmente la funci´on de onda del estado coherente |zien la representaci´on de coordenadas es Ψ(x, z) = π−1 4e−|z|2−z2 2e−x √2−z2 ,(2.34) donde hemos utilizado la siguiente relaci´on: −x2 2+ 2xz √2=−x √2−z2 +z2.(2.35) Podemos observar que dicha funci´on de onda (2.34) es de tipo gaussiana, pues el producto de dos gaussianas siempre se puede transformar en otra. El m´odulo de dicha funci´on ser´a: |Ψ(x, z)|2=1 √πe−(x−√2Re(z))2.(2.36) Que resulta ser un paquete de ondas gaussiano y, adem´as, estar normalizado Z∞ −∞ |Ψ(x, z)|2dx = 1.(2.37) Si nos restringimos ahora a valores reales de z, es decir, particularizando la ecuaci´on (2.34) a un z∈R, obtenemos: Ψ(x, z) = π−1 2e−x √2−z2 .(2.38) Representamos, usando el programa Mathematica, la funci´on (2.36), para z∈R. Para ello, fijaremos tres z∈Rcualesquiera, es decir, tres estados coherentes diferentes pero reales, y veremos su gr´afica para cualquier x. La Figura 2.1 nos muestra el m´odulo al cuadrado de la funci´on de onda para z1= 1, z2= 5 y z3= 10. En ella, podemos observar que, para cada estado coherente zi, el pico de la gaussiana se ve desplazado exactamente la cantidad x=√2Re(zi) = √2zi, puesto que su parte real coincide con el m´odulo. 7 Figura 2.1: Funci´on de onda para z1= 1, z2= 5 y z3= 10. En la Figura 2.2 hemos representado de nuevo la ecuaci´on (2.36). En ella, podemos observar el modulo al cuadrado de la funci´on de onda para tres diferentes estados coherentes con el mismo m´odulo pero con diferente argumento: z1=ei0, z2=eiπ 4y z3= eiπ 2. En este caso observamos como el m´aximo de la curva se va desplazando hacia la izquierda a medida que va disminuyendo su parte real, hasta llegar a z3, cuya parte real es nula. Si sigui´eramos aumentando la fase ver´ıamos c´omo el pico se sigue desplazando hacia la izquierda hasta llegar al valor extremo correspondiente a una fase de π, y despu´es comenzar´ıa a desplazarse hacia la derecha hasta regresar a el estado inicial z1. Figura 2.2: Funci´on de onda para z1=ei0, z2=eiπ 4y z3=eiπ 2. En vista a estos resultados, cabe destacar una propiedad interesante de los estados coherentes, su densidad de probabilidad no cambia de forma para ning´un z. El ´unico efecto observable al cambiarlo es que el pico de la gaussiana se desplaza, el cual est´a siempre centrado en el punto x=√2Re(z). 8 2.2.2. Funci´on de onda en la representaci´on de momentos Pasamos ahora a calcular c´omo ser´ıa la funci´on de onda de un estado coherente |zi en la representaci´on de momentos. Esta la podemos obtener a traves de la transformada de Fourier de la funci´on de onda en la representaci´on de posiciones, la definici´on que usaremos es la siguiente [3]: e Ψ(p, z) = Z∞ −∞ 1 √2π~e−i ~pxΨ(x, z)dx. (2.39) Teniendo en cuenta la expresi´on para la funci´on de onda en la representaci´on de posiciones Ψ(x, z) (2.34), calculamos la expresi´on de la funci´on de ondas en la representaci´on de momentos: e Ψ(p, z) = Z∞ −∞ 1 √2π~e−i ~pxπ−1 4e−|z|2−z2 2e−x √2−z2 dx =1 √~π−1 4e−|z|2+z2 2eip ~√2−z2 , (2.40) donde hemos utilizado el programa Mathematica para calcular la integral. Como, seg´un nuestra definici´on de transformada de Fourier, ´esta conserva la norma, la funci´on e Ψ(p, z) estar´a tambi´en normalizada. Por tanto, finalmente, la funci´on de onda toma el siguiente aspecto: e Ψ(p, z) = 1 √~π−1 4e|z|2+z2 2eip ~√2−z2 .(2.41) Y el m´odulo al cuadrado de dicha funci´on de onda ser´a: |e Ψ(p, z)|2=1 ~√πe|z|2+z2 2eip ~√2−z2 e|z|2+¯z2 2e−ip ~√2−¯z2 =1 ~√πe−|z|2−Re(z)2+Im(z)2eip ~√2−z2+−ip ~√2−¯z2 =1 ~√πe−|z|2−Re(z)2+Im(z)2e−p2 ~2+2√2p ~Im(z)+2Re(z)2−2Im(z)2 =1 ~√πe−2Im(z)2−p2 ~2+2√2p ~Im(z)=1 ~√πe−(p ~−√2Im(z))2 . (2.42) Donde hemos utilizando que: z2+ ¯z2= 2Re(z)2−2Im(z)2, −2Im(z)2−p2 ~2+2√2p ~Im(z) = −p ~−√2Im(z)2 .(2.43) Finalmente, la densidad de probabilidad en la representacion de momentos es: |e Ψ(p, z)|2=1 ~√πe−(p ~−√2Im(z))2 .(2.44) 9 Podemos observar una gran similitud entre las expresiones (2.41), (2.44) y (2.34), (2.36), pues en ambas representaciones obtenemos gaussianas cuyos picos se ven desplazados por la cantidad √2Re(z) en la representaci´on de posiciones y por √2Im(z) en la representaci´on de momentos, tal y como podemos apreciar en la Figura 2.3, en la cual aparece representada la densidad de probabilidad en el espacio de momentos para tres diferentes z, los mismos que en la Figura 2.2. Figura 2.3: M´odulo al cuadrado de la funci´on de onda en el espacio de momentos para z1=ei0, z2=eiπ 4y z3=eiπ 2. 2.2.3. Funcion de onda en el espacio de fases La funci´on de onda en el espacio de fases viene dada por la funci´on de quasiprobabilidad de Wigner, la cual fue introducida por Eugene Wigner en 1932. ´ Esta la podemos definir de la siguiente manera [4]: W(x, p, z) = 1 2π~Z∞ −∞ e−ipy ~Ψx+y 2, zΨx−y 2, zdy. (2.45) Siendo Ψ(x+y 2, z) la funci´on de onda en la representaci´on de coordenadas (2.34) y Ψ(x−y 2, z) su conjugada. Es importante resaltar que la funcion de Wigner siempre es real, es decir, W(x, p, z) = W(x, p, z),(2.46) aunque puede tomar valores positivos y negativos. Sustituyendo en (2.45) la expresi´on de (2.34), se tiene: W(x, p, z) = 1 2π~Ze−ipy ~1 √πe−|z|2−z2 2e−x+y 2 √2−z2 e−|z|2−¯z2 2e−x−y 2 √2−¯z2 dy =1 2π~√πe−(x−√2Re(z))2Z∞ −∞ e−y2 4−Im(z)2−ipy ~dy =1 2π~√πe−(x−√2Re(z)22√πe−(p ~−√2Im(z))2 . (2.47) 10 Finalmente: W(x, p, z) = 1 π~e−(x−√2Re(z))2e−(p ~−√2Im(z))2 .(2.48) Vemos que se trata del producto de dos gaussianas, por tanto, el aspecto cuando lo representemos en un gr´afico tridimensional, ser´a el de una gaussiana tridimensional. Para la representaci´on utilizaremos el programa Mathematica, en el cual fijaremos un valor de estado coherente, es decir, un zy veremos su representaci´on para el plano (x, p), el plano del espacio de fases. En las Figuras 2.4, 2.5, 2.6, podemos observar la densidad de probabilidad de los estados coherentes en el espacio de fases para tres valores diferentes de z. Vemos que el pico de la gaussiana est´a en todos los casos centrado en los puntos √2Re(z),√2Im(z) y que su forma es siempre la misma. Figura 2.4: Funci´on de Wigner (2.48) para z= 0. Figura 2.5: Funci´on de Wigner (2.48) para z= 1 + i. 11 Figura 2.6: Funci´on de Wigner (2.48) para z= 1 −i. 2.3. Definiciones alternativas 2.3.1. Operador desplazamiento Existen otras formas de definir los estados coherentes que no sea a trav´es de ser autoestados del operador aniquilaci´on a[5], [8]. Una primera definici´on alternativa ser´ıa a trav´es del operador unitario de desplazamiento: D(z) = eza+−¯za.(2.49) Donde ¯zrepresenta el complejo conjugado de zya+,ason los operadores de creaci´on y aniquilaci´on, respectivamente. Los estados coherentes ser´ıan el resultado de aplicar este operador al estado de energ´ıa m´as baja, tambi´en llamado estado de vac´ıo: |zi=D(z)|0i.(2.50) Para comprobar que esta definici´on es v´alida, usaremos la f´ormula de Baker-Campbell- Hausdorff (BCH): eA+B=eAeBe−[A,B]/2,(2.51) la cual es v´alida si se cumple que: [A, [A, B]] = [B, [B, A]] = 0.(2.52) Siendo AyBdos operadores arbitrarios y [A, B] su conmutador. Tomando A=za+y B=−¯za, vemos que se cumplir´ıa la relaci´on (2.52), puesto que, usando la primera de las relaciones (2.8): [A, B] = [za+,−¯za] = −|z|2[a+, a] = |z|2.(2.53) 12 El operador desplazamiento (2.49) pasa a ser: D(z) = eza+−¯za =e−|z|2 2eza+e−¯za,(2.54) de modo que, aplic´andolo al estado de vac´ıo, recuperar´ıamos el resultado de estado coherente (2.29): |zi=D(z)|0i=e−|z|2 2eza+e−¯za |0i=e−|z|2 2 ∞ X n=0 (za+)n n!! ∞ X n=0 −(¯za)n n!!|0i= =e−|z|2 2 ∞ X n=0 zn n!(a+)n|0i=e−|z|2 2 ∞ X n=0 zn √n!|ni. (2.55) Aqu´ı, hemos usado que: |ni=1 √n!(a+)n|0i.(2.56) 2.3.2. Relaci´on de incertidumbre Otra manera de definirlos podr´ıa ser teniendo en cuenta la relaci´on de incertidumbre de Heisenberg (3.22). Un estado coherente es aquel que cumple esta relaci´on, minimiz´andola adem´as: (∆hXiz)2(∆hPiz)2=~ 22 .(2.57) Esta ´ultima definici´on nos permite obtener, adem´as de los estados coherentes, los llamados squeezed states, que son una generalizaci´on de los primeros. Los estados coherentes son aquellos para los cuales la dispersi´on en la posici´on y el momento son iguales, mientras que los squeezed states tienen dispersiones diferentes. M´as detalles sobre estas dispersiones se mostrar´an en el cap´ıtulo siguiente. 13 Cap´ıtulo 3 Propiedades generales 3.1. Valor esperado de la posici´on Para calcular el valor medio o valor esperado de la posici´on, deberemos calcular el siguiente bracket: hXiz=hz|X|zi.(3.1) Puesto que los estados coherentes son una combianci´on lineal de los estados n´umero, necesitaremos ver cual es la acci´on del operador posici´on sobre los estados n´umero. Recordando la expresion de los operadores aniquilaci´on (??) y creaci´on (??), podemos ver f´acilmente la expresi´on que tomar´ıa el operador posici´on en funci´on de dichos operadores: X=1 √2(a++a),(3.2) cuya acci´on sobre los estados n´umero ser´a: hn|X|mi=1 √2√m+ 1 δn,m+1 +√m δn,m−1.(3.3) Por lo tanto: hXiz=hz|X|zi=e−|z|21 √2 ∞ X m,n=0 ¯zm+1zm pm!(m+ 1)!√m+1+ ¯znzn+1 pn!(n+ 1)!√n+ 1 = =e−|z|21 √2 ∞ X n=0 (|z|2)n¯z n!√n+ 1√n+1+ (|z|2)nz n!√n+ 1√n+ 1!= =e−|z|21 √2 ∞ X n=0 (|z|2)n n!(¯z+z)!=1 √22Re(z) = √2Re(z). (3.4) 15 3.8. C´alculo de probabilidades La probabilidad de detectar una part´ıcula en el estado de vibraci´on |milo calculamos como el m´odulo al cuadrado de la proyecci´on del estado hm|sobre el estado |zi: P(m, z) = |hm|zi|2=hm|e−|z|2 2 ∞ X n=0 zn √n!|ni 2 =e−|z|2|z|2m m!.(3.31) Teniendo en cuenta la ecuaci´on (3.14) podemos reescribir la probabilidad (3.31) como: P(N, z) = e−hNizhNim z m!,(3.32) donde vemos que podemos calcular la probabilidad en funci´on del n´umero medio de estados de vibraci´on del estado coherente. En la Figura 3.4 podemos observar la probabilidad de obtener m= 1,2,3 estados de vibraci´on para cualquier n´umero medio de estados de vibraci´on. Vemos que la probabilidad es m´axima cuando el n´umero medio de estados de vibraci´on coincide con m, es decir, cuando hNiz=m. Figura 3.4: Proabilidad de detectar 1,2 ´o 3 estados de vibraci´on para cualquier n´umero medio de estados de vibraci´on, es decir, para cualquier |z|. Podemos observar que dicha distribuci´on de probabilidad coincide con una distribuci´on de Poisson, lo cual es una consecuencia suficiente y necesaria de la invariancia bajo la detecci´on o aniquilaci´on de un estado de vibraci´on, tal y como vimos en la secci´on anterior: todas las detecciones estad´ısticas son independientes. 3.9. Ortogonalidad entre estados Dados dos estados coherentes |ziy|vicualesquiera, no ser´an ortogonales entre s´ı. De hecho, si calculamos su producto escalar: hz|vi=e−|z|2 2e−|v|2 2 ∞ X n=0 ¯znvm √n!m!δn,m =e−|z|2 2e−|v|2 2 ∞ X n=0 (¯zv)n n!=e−|z|2+|v|2−2¯zv 2.(3.33) 22 Finalmente, operando se llega a: hz|vi=e−|z−v|2.(3.34) Vemos por tanto que siempre existir´a un cierto solapamiento entre los estados coherentes. Este solapamiento ser´a menor a medida que |z−v|>> 0, pero nunca llegar´a a ser nulo. 3.10. Acci´on del operador creaci´on Hemos visto que los estados coherentes se definen como aquellos propios del operador aniquilaci´on, pero todav´ıa no hemos visto la acci´on del operador creaci´on sobre un estado coherente. Esta la podemos calcular como sigue [6]: a+|zi=a+∞ X n=0 zn n!(a+)n|0i=∞ X n=0 zn n!(a+)n+1|0i =∞ X n=0 (n+ 1) zn (n+ 1)!(a+)n+1 =∞ X n=0 nzn−1 n!(a+)n|0i, (3.35) donde hemos usado la definici´on (2.56). Por lo tanto podemos observar que la acci´on del operador creaci´on formalmente se puede considerar como si se realizara la derivada del estado coherente respecto de la variable z, es decir: a+|zi=∂ ∂z|zi.(3.36) De esta manera vemos que el operador creaci´on no es un operador propio de los estados coherentes as´ı definidos, lo cual resulta evidente de su definici´on. 23 Cap´ıtulo 4 Estados gato de Schr¨odinger Los estados gato de Schr¨odinger, del ingl´es Schr¨odinger’s cat states, consisten en una superposici´on de estados coherentes. El nombre de dichos estados deriva de la muy conocida paradoja sobre el gato de Schr¨odinger. En ella, se propon´ıa el estado de un gato como una superposici´on de dos estados, el estado vivo y el estado muerto. Del mismo modo, definiremos los estados gato como una superposici´on de dos estados coherentes que est´en en oposici´on de fase. Esto se podr´ıa extrapolar a m´as sistemas, por ejemplo, definir el estado de spin de una part´ıcula como superposici´on de spin up yspin down. Para los estados coherentes del oscilador arm´onico podemos definir dos tipos de estados gato, los pares: |C+i=N(|zi+|−zi),(4.1) y los impares: |C−i =M(|zi−|−zi),(4.2) siendoNuna constante de normalizaci´on, dada por [7]: N=1 √2+2e−2|z|2, M =1 √2−2e−2|z|2.(4.3) En este cap´ıtulo nos centraremos solo en el estudio de los estados gato pares |C+i. 4.1. Funci´on de onda en la representaci´on de coordenadas Comenzamos calculando la funci´on de onda asociada en la representaci´on de coordenadas para los estados gato pares: ΨC(x, z) = hx|C+i=N(hx|zi+hx|−zi) = N(Ψ(x, z) + Ψ(x, −z)).(4.4) 25 Teniendo en cuenta la expresi´on de la funci´on de onda (2.34): ΨC(x, z) = Nπ−1 4e−|z|2−z2 2e−x √2−z2 +e−x √2+z2,(4.5) cuyo modulo al cuadrado ser´a: |ΨC(x, z)|2=N2 √πe−|z|2−z2 2e−|z|2−¯z2 2e−x √2−z2 +e−x √2+z2e−x √2−¯z2 +e−x √2+¯z2. (4.6) Podemos observar que se trata del producto de varias gaussianas, de modo que al final obtendremos tres t´erminos. Dos de ellos corresponder´an a las densidades de probabilidad asociadas a Ψ(x, z) y Ψ(x, −z) y la resultante estar´a asociada a la interferencia cu´antica entre ambos estados, tal y como vemos a continuaci´on: |ΨC(x, z)|2=N2 √πΨ(x, z) + Ψ(x, −z) + e−x √2−z2 e−x √2+¯z2 +e−x √2+z2 e−x √2−¯z2 =N2 √πΨ(x, z) + Ψ(x, −z)+2e−x2e−2Im(z)2e−z2−¯z2cos (2√2xIm(z)) =N2 √πΨ(x, z) + Ψ(x, −z)+2e−x2e−2Re(z)2cos (2√2xIm(z)),(4.7) donde nos hemos servido del programa Mathematica para simplificar la expresi´on. Podemos observar como obtenemos las gaussianas asociadas a cada uno de los estados coherentes |ziy|−zi, centradas en los respectivos puntos √2Re(z) y −√2Re(z), mas un t´ermino adicional: una gaussiana centrada en el origen y modulada por un coseno, el cual nos dar´a cuenta de la interferencia cu´antica entre ambos estados. Utilizando el programa Mathematica vamos a representar la funci´on (4.7) para diferentes z∈R, tal y como podemos observar en la Figure 4.1. El motivo de la elecci´on de z∈Res por simplicidad, estamos considerando una fase inicial nula y por tanto todos los zse encuentran en el eje real. Adem´as, el t´ermino del coseno ser´a m´aximo, ya que la parte imaginaria ser´a nula. Vemos como, a medida que las gaussianas de cada uno de los estados coherentes est´an m´as cercanas, m´as interferencia ocurre entre ellas. Por ejemplo, en la Figura 4.1, observamos como para z1= 0,6 la interferencia es tal que las dos gaussianas se solapan, mientras que para z3= 2 las gaussianas est´an lo suficientemente alejadas y los t´erminos de interferencia resultan ser pr´acticamente nulos. Una situaci´on intermedia podemos observar para z2= 1. Si consider´aramos z∈Cser´ıa como evaluar la evoluci´on temporal de un estado gato, lo cual vermos en las siguientes secciones. 26 Figura 4.1: Densidad de probabilidad en la representaci´on de momentos para la funci´on de onda de un estado gato par para z1= 0,6, z2= 1, z3= 2. 4.2. Funci´on de onda en el espacio de fases: funci´on de Wigner Para el c´alculo de la funci´on de Wigner de un estado gato par utilizaremos el mismo procedimiento que el utilizado anteriormente, es decir, tomaremos la definici´on dada en [4]. Para simplificar notaci´on, dividiremos el c´alculo en cuatro integrales. Dos de ellas corresponderan a las funciones de Wigner W(x, p, z) y W(x, p, −z) y las otras dos a las interferencias entre los estados, las cuales finalmente se podr´an expresar en forma de un coseno, al igual que en la secci´on anterior. Teniendo en cuenta la definici´on de la funci´on de onda en la representaci´on de coordenadas dada por (4.5), calculamos la funci´on de Wigner: WC(x, p, z) = 1 2π~Z∞ −∞ e−ipy ~ΨC(x+y 2, z)ΨC(x−y 2, z)dy =N2W(x, p, z) + W(x, p, −z) + I1+I2. (4.8) En esta expresi´on, las integrales I1eI2se calculan de un modo an´alogo al realizado en la secci´on dedicada a la funci´on de Wigner. La primera es: I1=1 2π~Z∞ −∞ e−ipy ~ΨC(x+y 2, z)¯ ΨC(x−y 2,−z)dy =e−2|z|2 π~e−(p ~+i√2Re(z))2e−(x−i√2Im(z))2. (4.9) Por otro lado, la segunda es: I2=1 2π~Z∞ −∞ e−ipy ~ΨC(x+y 2,−z)¯ ΨC(x−y 2, z)dy =e−2|z|2 π~e−(p ~−i√2Re(z))2e−(x+i√2Im(z))2. (4.10) 27 Juntando los cuatro t´erminos, obtenemos finalmente la expresi´on de la funci´on de Wigner para un estado gato par: WC(x, p, z) = N2 π~(e−(x−√2Re(z))2e−(p ~−√2Im(z))2 +e−(x+√2Re(z))2e−(p ~+√2Im(z))2 +e−2|z|2e−(p ~+i√2Re(z))2e−(x−i√2Im(z))2+e−2|z|2e−(p ~−i√2Re(z))2e−(x+i√2Im(z))2) =N2 π~e−(x−√2Re(z))2e−(p ~−√2Im(z))2 +e−(x+√2Re(z))2e−(p ~+√2Im(z))2 +2e−p2−x2cos 2√2pRe(z)−xIm(z),(4.11) donde nuevamente hemos utilizado el programa Mathematica para simplifcar la expre- si´on obtenida. Podemos representar dicha funci´on utilizando de nuevo el programa Mathematica. Para ello, fijaremos un valor de z y representaremos en el eje zla funci´on de Wigner y sobre el plano x−yel plano del espacio de fases. En las Figuras 4.2, 4.3 y 4.4 podemos observar la funci´on de Wigner para un estado gato par para tres diferentes z. De nuevo observamos que aparece una interferencia cu´antica modulada por el coseno entre las dos gaussianas que representan los dos estados coherentes que forman el estado gato. Observamos tambi´en como las oscilaciones de dicha interferencia son paralelas al eje p, ya que fijado un z, la forma del coseno viene dada por la variable p. Figura 4.2: Funci´on de Wigner de un estado gato par para z= 1. 4.3. Evoluci´on temporal Pasamos ahora a estudiar la evoluci´on temporal de la densidad de probabilidad (4.1). Para ello, seguiremos un procedimiento an´alogo al de la (3.28), es decir, a˜nadi- 28 Figura 4.3: Funci´on de Wigner de un estado gato par para z= 2. Figura 4.4: Funci´on de Wigner de un estado gato par para z= 3. remos una fase compleja al numero zque representa el estado coherente: |ΨC(x, z, t)|2=e−iωt 2N2 √πne−(x−√2Re(ze−iwt))2+e−(x+√2Re(ze−iwt))2(4.12) +2e−x2e−2Re(ze−iwt)2cos 2√2hpRe(ze−iωt)−xIm(ze−iωt)io, A continuaci´on, en la Figura 4.5, representamos las densidades de probabilidad para un z∈C, el cual tomaremos de m´odulo unitario y de fase inicial nula, de modo que la acci´on de la evoluci´on temporal, al igual que en las secciones anteriores, ser´a la de cambiar la fase. Esto lo podemos observar en las siguientes figuras. Para fases mayores a π 2la forma de la densidad de probabilidad se repetir´ıa, pero en sentido contrario, pues los dos estados se encuentran en oposici´on de fase. A continuaci´on, estudiaremos la evoluci´on temporal de la funci´on de Wigner, para 29 Figura 4.5: Densidad de probabilidad del estado z= 3eit para diversos instantes de tiempo: de izquierda a derecha y de arriba a abajo, t=π 4,t=3π 8,t=7π 16 yt=π 2. ello, al igual que cuando vimos la evoluci´on temporal de un estado coherente, iremos variando la fase del zasociado al estado gato. En la Figura 4.6, podemos observar dicha evoluci´on temporal. Podemos observar como las dos gaussianas de los extremos van girando en sentido antihorario a medida que la fase de zva cambiando. De igual modo, las interferencias cu´anticas moduladas por el coseno tambi´en giran, siendo siempre perpendiculares a las rectas dadas por: p=Im(z) Re(z)x. (4.13) 30 Figura 4.6: Funci´on de Wigner del estado z= 3e−it para diversos instantes de tiempo: de izquierda a derecha y de arriba a abajo, t= 0, t=π 4yt=π 2. 31 Tal y como hemos comentado anteriormente, si el numero de part´ıculas que estamos considerando es tan grande que lo podemos considerar infinito, podremos considerar los estados como una combinaci´on lineal infinita de estos estados |zi+, puesto que no tendremos l´ımite inferior. Estos estados son propios del operador creaci´on: a+|zi+=z∗|zi+.(5.25) Y se pueden expresar, por tanto, como estados coherentes del operador creaci´on, resultando ser: |zi+=e−|z|2 2 ∞ X n=0 (z∗)n √n!|ni+.(5.26) Los cuales pueden ser obtenidos aplicando el complejo conjugado del operador desplazamiento definido en (2.49): |zi+=D+(z)|0i+,(5.27) de esta manera, podemos observar como los condesados de Bose-Einstein desplazados en un potencial arm´onico pueden ser vistos como estados coherentes propios del operador creaci´on. 5.3. Estados coherentes fermi´onicos Al igual que como hicimos en la secci´on anterior, podemos establecer los estados coherentes para un sistema fermi´onico [12]. Para ello, consideraremos un sistema cu´antico compuesto por N fermiones. Podemos definir los operadores de creaci´on y aniquilaci´on para cada fermi´on, a+ iyai, los cuales cumplir´an con las mismas condiciones de conmutaci´on (2.8) que hab´ıamos definido anteriormente: [a+ i, aj] = −δi, j, [Ni, ai] = −ai, [Ni, a+ i] = a+ i, (5.28) donde el operador n´umero Nivendr´a definido tambi´en de igual modo que en (2.5). Ni=a+ iai.(5.29) Necesitamos definir el espacio donde vamos a trabar. Este ser´a un espacio de Hilbert formado por el producto directo de cada uno de los espacios de Hilbert bidimensionales Hi≡C2, es decir: H=H1⊗H2⊗... ⊗HN=C2N(5.30) Del mismo modo, la base de este espacio ser´a: |n1n2...nNi=|n1i⊗|n2i⊗... ⊗|nNi.(5.31) 38 Donde los nison los numeros de ocupaci´on de cada fermi´on, los cuales, a diferencia de los bosones que pod´ıan tener cualquier valor, pueden valer s´olamente 1 ´o 0. Los operadores de creaci´on y de aniquilaci´on tendr´an la siguiente acci´on sobre dichos estados: ai|0ii=|0ii, a+ i|0ii=|1ii, ai|1ii=|0ii, a+ i|1i=|0ii. (5.32) A su vez, el operador n´umero: Ni|niii=ni|nii, Ni|n1n2...nNi=ni|n1n2...nNi.(5.33) Denotaremos los estados coherentes fermi´onicos por |Ψi, siendo Ψ numeros de Grassmann [12] [?], y para su definici´on vamos a utilizar la definici´on an´aloga a (2.50): |Ψi=e−|Ψ|2 2eΨa+|0i=e−|Ψ|2 2 ∞ X n=0 Ψn n!(a+)n|0i=e−|Ψ|2 2|0i+ Ψ|1i,(5.34) donde hemos considerado un solo fermi´on. Si ahora extendemos la definici´on a un sistema de dos fermiones y llamamos |ψ1ial estado del primer fermi´on y |ψ2ial estado del segundo, el estado del sistema vendr´a descrito por el producto directo ordenado de dos estados coherentes de un fermi´on cada uno: |Ψi=|ψ1i⊗|ψ2i=e−|Ψ|2 2|00i+ψ1|10i+ψ2|01i−ψ1ψ2|11i,(5.35) donde hemos utilizado: |Ψ|2=ψ1¯ ψ1+ψ2¯ ψ2.(5.36) Por ´ultimo, si quisi´eramos extenderlo a un sistema formado por un n´umero arbitrario de N fermiones [12]: |Ψi=|ψ1i⊗|ψ2i⊗... ⊗|ψNi=e−|Ψ|2 2 N Y i=1 eψia+ i|0i=e−|Ψ|2 2ePN i=1 ψia+ i|0i(5.37) 39 40 Cap´ıtulo 6 Conclusiones Los estados coherentes del oscilador arm´onico son unos estados cu´anticos que comparten una gran similitud con los estados cl´asicos, sobre todo en lo que a trayectoria se refiere. Esto lo podemos observar en la preservaci´on de la forma de la densidad de probabilidad en el tiempo, tanto en la representacion de momentos como en la de coordenadas. Adem´as, la funci´on de Wigner tambi´en describe una trayectoria cl´asica en el espacio de fases. La forma de la densidad de probabilidad es siempre la misma, una gaussiana, simplemente se desplaza siguiente un movimiento arm´onico simple, igual que en el caso cl´asico. La distribuci´on de probabilidad, cuando nos referimos a la detecci´on de modos de vibracion, es de tipo Poissoniana, lo cual concuerda con la teor´ıa. Por otro lado, son unos estados que minimizan la relaci´on de incertidumbre, tal y como hemos visto. Finalmente, hemos visto como los estados gato de Schr¨odinger presentan una zona de interferencia cu´antica, la cual viene dominada por una gaussiana multiplicada por un coseno. 41 42 Bibliograf´ıa [1] A. Galindo, P. Pascual, Mec´anica Cu´antica, Alhambra, (1978). [2] M. Gadella, L.M Nieto, M´etodos Matem´aticos Avanzados para Ciencias e Ingenier´ıas, Secretariado de Publicaciones Universidad de Valladolid, (2000). [3] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. 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