Familias de polinomios entrelazados. La Conjetura de Kadison-Singer

Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Matemáticas Familias de polinomios entrelazados. La Conjetura de Kadison-Singer. Autor: Álvaro Samperio Valdivieso Tutor/es: Antonio Campillo López Índice Introducción. 1 1. La Técnica básica. Familias de polinomios entrelazados. 3 2. La formulación de la Conjetura. Reducciones y problemas equivalentes. 11 3. El resultado principal y la prueba de la Conjetura de Kadison- Singer. 32 Referencias. 43 Introducción El TFG está dedicado a estudiar las propiedades conceptuales y técnicas de las familias entrelazadas de polinomios con coecientes y raíces reales y a la reciente prueba de la Conjetura de Kadison-Singer, propuesta en 1959 por Richard Kadison (1925-2008) e Isadore Singer (1924) y resuelta positivamente por Adam Marcus, Daniel Spielman y Nikhil Srivastava en 2013. Los especialistas siempre habían dudado de que la conjetura fuese cierta, y se habían formulado nuevos enunciados equivalentes o relacionados con ella en términos elementales. Su solución se obtuvo utilizando también técnicas elementales, las de las familias de polinomios entrelazados. La técnica de polinomios entrelazados permitió simultáneamente a Adam Marcus, Daniel Spielman y Nikhil Srivastava probar la existencia de grafos de Ramanujan regulares bipartitos de grado arbitrario y número de vértices arbitrariamente grande, resolviendo así parcialmente otro problema clásico de las matemáticas. El grado de un vértice de un grafo es el número de aristas que conuyen en él, el grafo es regular cuando todos los vértices tienen el mismo grado, que entonces se llama grado del grafo. Los grafos de Ramanujan regulares son aquellos que tienen una densidad óptima de distribución relativa de sus vértices, y se caracterizan por ser los que su función zeta (la función zeta de Ihara) satisface la hipótesis de Riemann. El problema de existencia de grafos de Ramanujan no bipartitos de grado arbitario y número de vértices arbitrariamente grande aún permanece abierto. La conjetura de Kadison-Singer armaba que cada estado puro en la C*-álgebra operadores lineales diagonales sobre un espacio de Hilbert separable tiene una única extensión a la C*-álgebra de todos los operadores de dicho espacio. Se sabía que la conjetura era equivalente a otros enunciados sobre espacios de Hilbert de dimensión nita y, en particular, al formulado en 2004 por Weaver. El TFG muestra la formulación completa y la prueba de la conjetura. El autor ha realizado a la vez el TFG para el Grado de Física con título Formulación algebraica de la Mecánica Cuántica. La Conjetura de Kadison-Singer conectado con este TFG de Matemáticas, y presentado a la misma convocatoria en el Grado de Física de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Valladolid. El primer capítulo está dedicado al estudio de las familias entrelazadas de polinomios y a demostrar sus propiedades principales. El segundo capítulo se dedica a la formulación física, en términos de análisis funcional, de la conjetura y a las reducciones sucesivas a otros problemas de dimensión nita que combinan probabilidad y 1 álgebra lineal. El tercer capítulo se dedica a exponer la demostración de la conjetura, basada en la aplicación de la técnica de polinomios entrelazados para probar uno de los enunciados del segundo capítulo del que se conocía que implicaba la validez de la conjetura. 2 1. La Técnica básica. Familias de polinomios entrelazados. En este primer capítulo abordaremos el concepto de familia entrelazada de polinomios, su caracterización y su utilidad. Partiremos de la denición básica de entrelazado introducida por Marcus, Spielman y Srivastava en los artículos [5] y [6]. El primero de ellos ultiliza la técnica de polinomios entrelazados para probar que existen familias innitas de grafos regulares bipartitos de Ramanujan de cualquier grado mayor que 2 con un número arbitrariamente grande de vértices, y el segundo, para probar la Conjetura de Kadison-Singer. Después estudiaremos las consecuencias que se derivan de la propiedad de entrelazado. Algunos de los resultados están tomados de [7]. Por último, deniremos la propiedad de ser familia entrelazada, una propiedad relacionada con la de entrelazado que permite una aplicación con hipótesis más fáciles de comprobar en casos prácticos, de estos resultados. La denición de familia entrelazada que establecemos es más general que la de- nición dada en estas fuentes anteriores, con el objetivo de que su posterior aplicación resulte ligeramente más sencilla. Comenzaremos deniendo qué es un entrelazado. Denición 1.1 Decimos que un polinomio g(x) = a Qn−1 i=1 (x - αi ) de grado n-1 entrelaza a un polinomio f(x) = b Qn i=1 (x - βi ) de grado n ≥ 2, ambos con todos sus coecientes y raíces reales si β1≥α1≥β2≥α2≥...αn−1≥βn Decimos que los polinomios f 1 , ..., f m (de grado n ≥ 2 y con todos sus coecientes y raíces reales) tienen un entrelazado común si existe un polinomio que entrelaza a cada uno de ellos. Las principales consecuencias de esta propiedad se derivan del siguiente teorema. Teorema 1.2 Sean f 1 , ..., f m polinomios de grado n ≥ 2 de coecientes y raíces reales con coeciente principal positivo y entrelazado común. Llamamos: mk=min1≤j≤mλk(fj)y Mk=max1≤j≤mλk(fj) al minimo y al máximo, respectivamente, de las raíces k-ésimas (ordenadas de mayor a menor) de los polinomios de la familia. 3 Sea S = ρ1 f 1 + ... + ρm f m una combinación lineal de los polinomios con coecientes reales no negativos, ρ1 , ..., ρm≥ 0 (un caso particular es una combinación convexa, es decir, con la condición adicional Pm j=1 ρj = 1). Entonces, para todo k ∈ { 1, ..., n } , mk≤λk(S)≤Mk. Demostración: Comenzamos observando que la condición de entrelazado común da un orden a las raíces de tal manera que M 1≥ m 1≥ ... ≥ M n≥ m n , puesto que un polinomio que entrelaza al conjunto debe tener sus raíces entre el mínimo de una raíz y el máximo de la siguiente. Por otra parte, podemos reducir el problema al caso en que ρj6= 0 para todo j = 1, ...,m; ya que si existe un coeciente ρj nulo, el polinomio correspondiente (f j ) no afectará en la combinación lineal S. Además, también podemos reducir el problema al caso en que no existen raíces comunes a todos los polinomios. Si la k-ésima raíz es común a todos los polinomios, el mínimo y el máximo k-ésimo coinciden (m k = M k ), y además ese punto es raíz de S, luego se cumple mk≤λk(S)≤ Mk . Si los polinomios de partida f 1 , ..., f m tienen alguna raíz en común, podemos dividir cada polinomio entre el máximo común divisor del conjunto y obtenemos, para todo k, los polinomios h k = fk mcd(f1, ..., fm) , que no tienen raíces comunes y conservan el entrelazado común de los polinomios de partida. Una vez demostrado el teorema para estos polinomios h k , al multiplicarlos por mcd(f 1 , ..., f m ) añadimos sólo las raíces comunes a f 1 , ..., f m ; que también cumplen el resultado del teorema (como vimos en el párrafo anterior). Ahora demostraremos el teorema en el caso de que los polinomios no tengan raíces comunes ni correspondan a coecientes nulos. Como los polinomios tienen coeciente dominante positivo, cada f j será positivo para x mayor que λ1(fj) . Esto es así, ya que si existiera un punto x 0 con f j (x 0 ) <0 y x 0 > λ1(fj) , como f j (x) → + ∞ cuando x → + ∞ y los polinomios son funciones continuas, por el Teorema de Bolzano f j tendría una raíz mayor que λ1(fj) , lo cual es absurdo. Por tanto f j (M 1 ) ≥ 0 para todo j, y esto implica S(M 1 ) ≥ 0. Ahora, en el caso de que no haya ningún polinomio con raíces múltiples, la derivada de cada polinomio es distinta de 0 en cada raíz. Por tanto, las raíces de cada polinomio son los puntos en los que éste cambia de signo. 4 Esto hace que, para todo j, f j (m 1 ) ≤ 0, f j (M 2 ) ≤ 0, f j (m 2 ) ≥ 0, ..., y en general:      fj(Mk)≥0y fj(mk)≤0si k es impar fj(Mk)≤0y fj(mk)≥0si k es par (1) Como todos los coecientes ρj son positivos, también se tiene:      S(Mk)≥0y S(mk)≤0si k es impar S(Mk)≤0y S(mk)≥0si k es par (2) En el caso de que exista algún polinomio con raíces múltiples, si la multiplicidad de la raíz es mayor o igual que 3, cualquier distribución de las raíces compatible con la existencia de entrelazado tendrá raíces comunes a todos los polinomios. Eliminándolas como se indicó anteriormente, reducimos el problema al caso de raíces con multiplicidad 2. Sea s ≤ m tal que la raíz k-ésima de f 1 , ..., f s tiene multiplicidad 2. Entonces esa raíz es igual a m k y a M k+1 . Además, para todo j = 1, ..., s; f' j (m k ) = 0 y f j (m k ) 6= 0. Por tanto, estos polinomios presentan un mínimo relativo en m k si k es impar y un máximo relativo si k es par. Entonces, en cualquier caso, no cambian de signo entre M k Y m k+1 , y se tiene:      fj(Mk)≥0y fj(mk+1)≥0si k es impar fj(Mk)≤0y fj(mk+1)≤0si k es par (3) Para el resto de los polinomios (que no tienen raíces múltiples) se mantiene el resultado de la ecuación (1). Como k+1 es par cuando k es impar y viceversa, la suma S de los polinomios que cumplen (1) y los que cumplen (3), también cumple (2) para todo k en este caso de existencia de raíces múltiples. Aplicando el Teorema de Bolzano a S en cada uno de los n intervalos [m k , M k ], S tiene al menos una raíz en cada uno de ellos. El grado de S es n (por ser combinación lineal de polinomios de grado n), luego por el Teorema fundamental del álgebra, tiene n raíces. Por tanto, tiene exactamente una raíz en cada uno de estos intervalos, es decir, mk≤λk(S)≤Mk. para todo k = 1, ..., n.  5 En concreto, los espacios vectoriales con los que trabajamos aquí son complejos. El cuerpo K es C con el valor absoluto habitual. Un producto escalar denido en un espacio vectorial V complejo es una aplicación < · , · >: V x V −→ R que dene una métrica hermítica denida positiva, es decir, que cumple: 1. <x + y, z >= <x, z >+ <y, z >para todo x, y, z ∈ V. 2. < λ x, y >= λ <x, y >para todo x, y ∈ V, para todo λ∈C . 3. <x, y >= < y, x > para todo x, y ∈ V (donde la línea horizontal superior es la conjugación compleja). 4. <x, x > ≥ 0 para todo x ∈ ; y además <x, x >= 0 si y solo si x = 0. El producto escalar da lugar a la norma denida por ||x|| = <x, x > 1/2 . También cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz: |<x, y >| 2≤ ||x|| ||y|| para todo x, y ∈ V. Un espacio H es de Hilbert si es un espacio con producto escalar que es espacio de Banach. Si H es un espacio de Hilbert, los operadores lineales y continuos (para la topología dada por la norma) son exactamente aquellas aplicaciones lineales y continuas T: H −→ H para las que existe una constante M >0 tal que ||T(x)|| ≤ M ||x||. Si T es un operador lineal y continuo en H, llamamos adjunto de T al único operador T ∗ , que también es continuo, tal que: < T(x), y >=< x, T∗(y)> para todo x, y ∈ H. Decimos que T es autoadjunto si T = T ∗ . El conjunto de operadores lineales y continuos de H se denota por B(H). Es otro espacio de Banach para la norma dada por ||T|| = sup ||x||=1 ||T(x)||, y, de hecho, es un álgebra donde el producto está dado por la composición de operadores. En particular, B(H) es un álgebra de Banach, de acuerdo con la siguiente denición. Ahora denimos varios conceptos relacionados con álgebras. Un álgebra normada U es un álgebra sobre K con elemento unidad 1 que es también un espacio normado, y satisface las propiedades: ||AB|| ≤ ||A|| ||B|| para todo A, B ∈ U; y ||1|| = 1. Si U es un espacio de Banach respecto de esta norma, decimos que es un álgebra de Banach. Una C*-algebra U es un álgebra compleja de Banach con una involución (es decir, un automorsmo de álgebras de Banach cuyo cuadrado es la identidad) denotada por *, que es una aplicación de U en U, que cumple: 12 1. (aS + bT)* = a S* + b T* 2. (ST)* = T*S* 3. (T*)* = T para todo S, T ∈ U y para todo a, b ∈C . Además debe cumplir la siguiente condición: 4. ||T*T|| = ||T|| 2 Llamamos a T* elemento adjunto de T, ya que en el caso particular de una C*-álgebra B(H), con H espacio de Hilbert, la involución es la operación de tomar el operador adjunto. Dada una C*-álgebra U, decimos que S es una C*-subálgebra de U si es una subálgebra de U y contiene a los adjuntos de todos sus elementos. Sea U un álgebra de Banach. Para A ∈ U, denimos el espectro de A en U, sp U (A) como sp U (A) = {λ∈C tal que A - λ 1 no tiene inverso en U (por los dos lados) } Decimos que un operador A es positivo si sp U (A) ⊂ [0, ∞ ]. Escribimos A ≥ 0 si A es positivo. Escribimos, abusando del lenguaje, A ≥ B si A - B es positivo, con A, B ∈ U. Los elementos A positivos, son aquellos para los que existe un elemento R ∈ U tal que A = R*R. La medida de un observable A, en cualquier estado, da como resultado un elemento de su espectro. La denición de un observable como un operador autoadjunto asegura que el resultado de una medida siempre será real, dado que el espectro de un operador autoadjunto está contenido en R . Al contrario que en la mecánica clásica, el proceso de medida en la mecánica cuántica tiene una naturaleza probabilista, es decir, la medida de un observable A en un estado tiene una probabilidad asociada (que depende del estado) con soporte en sp U (A). La probabilidad de obtener al medir un resultado dentro de un subconjunto S de sp U (A) es la probabilidad asociada a S. Asociamos cada estado con un funcional lineal continuo ϕ:B(H)−→ R en una C ∗ -álgebra, que asigna a cada observable la esperanza matemática de la distribución de probabilidad, en su conjunto de posibles resultados de la medida, asociada a la medida del observable en cualquier sistema físico que esté en ese estado. Además debe ser positivo ( ϕ (A*A) ≥ 0 para todo operador A) y debe estar normalizado ( ϕ (1)= 1). Entendemos por estado a cualquier funcional lineal ϕ : B(H) −→ R positivo y normalizado. Decimos que un estado ϕ es mezcla estadística de los estados ϕ1 , ..., ϕn si es una combinación lineal convexa de éstos. Es decir, si ρ1ϕ1 + ... + ρnϕn , con ρ1 , ..., ρn∈ R , con ρi≥ 0 para todo i; y Pn i=1 ρi = 1. 13 Llamamos estado puro a un elemento extremal del conjunto convexo de estados en una C*-algebra, es decir, ϕ es puro si para toda expresión de ϕ = t ϕ1 + (1 - t) ϕ2 como mezcla estadística de estados ϕ1 , ϕ2 , con t ∈ [0,1], debe ser t = 0, t = 1, o ϕ1 = ϕ2 ,. Un estado puro se corresponde con un sistema físico ” puro ” en el sentido de no ser una mezcla estadística de sistemas más sencillos. El conjunto de estados es convexo, es decir, cualquier mezcla estadística de estados del conjunto es un estado del conjunto. Además es compacto para una cierta topología llamada topología física, cuya denición no indicamos aquí. Estas dos propiedades garantizan la existencia de estados puros en nuestro sistema, por el Teorema de Klein- Milman. Sea S una C*-subálgebra de una C*-álgebra U. Si ϕ es un estado en S, decimos que un estado Ψ en U es una extensión de ϕ si Ψ = ϕ en S. La existencia de alguna extensión de cualquier estado en una subálgebra está garantizada por el Teorema de Hahn Banach, uno de los resultados fundamentales del análisis funcional, que exponemos a continuación. Teorema de Hahn Banach: Sea V un espacio vectorial complejo, sea p una seminorma en V, esto es, una aplicación de p: V −→ R tal que 1. p(x) ≥ 0 para todo x ∈ V. 2. p( λ x) = | λ | p(x) para todo x ∈ V y para todo λ∈C . 3. p(x + y) ≤ p(x) + p(y) para todo x, y ∈ V (desigualdad triangular). Sean M un subespacio vectorial de V y sea ϕ un funcional en M tal que | ϕ (x)| ≤ p(x) para todo x ∈ M. Entonces, existe un funcional lineal Ψ en V tal que | Ψ (x)| ≤ p(x) para todo x ∈ E, y Ψ = f en M. Dada una C*-álgebra, los observables que conmutan son llamados compatibles y son los que pueden ser medidos a la vez. Una C*-subálgebra abeliana maximal es una C*-subálgebra abeliana con la propiedad de que no existe ninguna C*-subálgebra abeliana que la contenga (excepto ella misma). Si D es una C*-subálgebra abeliana maximal de B(H) con H de dimensión nita n, B(H) es equivalente al conjunto de matrices complejas de tamaño n x n, y D es equivalente a la C*-subálgebra de ésta consistente en el conjunto de matrices diagonales complejas de tamaño n x n. Von Neumann demostró que si el espacio de Hilbert asociado es separable (como espacio topológico), y de dimensión innita, cualquier C*-subálgebra abeliana maximal (respecto de la inclusión de conjuntos) debe ser equivalente a una de las tres opciones siguientes: 14 1. l ∞ (N) ⊂B(l2 (N)) (caso discreto) 2. L ∞ (0,1) ⊂B(L2 (0,1)) (caso continuo), 3. L ∞ (0,1) ⊕ l ∞ ( {1, ..., n})⊂ B(L 2 (0,1) ⊕ l 2 ( {1, ..., n}) ) (caso mixto). Precisemos la estructura de los conjuntos que aparecen en cada caso. En el caso discreto, l ∞ ( N ) ≡ l ∞ es el conjunto de las sucesiones de números naturales acotadas, y l 2 ( N ) ≡ l 2 es el espacio de Hilbert de las sucesiones de números naturales de cuadrado integrable, en el que el producto escalar de a, b ∈ l 2 a = (a(1), a(2), ...) y b = (b(1), b(2), ...) es <a, b >= a(1) b(1) + a(2) b(2) + ... En el caso continuo, L ∞ (0,1) es el conjunto de las funciones reales acotadas en (0,1); L 2 (0,1) es el espacio de Hilbert de las funciones reales de cuadrado integrable en (0,1), en el que el producto escalar de f, g ∈ L 2 (0,1) es R1 0fg Por último, en el caso mixto, l ∞ ( N ) es el conjunto de las sucesiones de elementos contenidos en {1, ..., n}) , y l 2 ( N ) es el espacio de Hilbert de las sucesiones de números en {1, ..., n}) de cuadrado integrable. En el caso discreto, que es el de interés en este texto, la identicación de un elemento a = (a(1), a(2), ...) ∈ l ∞ con un operador φa∈ B(l 2 ) es clara: el operador actúa multiplicando la componente enésima de un elemento x ∈ l 2 por a(n), es decir φa = a(1)x(1) + a(2)x(2) + ... Con esta identicación está claro que los elementos de l ∞ conmutan entre sí, por conmutar el producto componente a componente. A pesar de que no tratamos los casos continuo y mixto, la identicación es similar. Por ejemplo, a una función f acotada en (0,1) le corresponde un operador perteneciente a B(L 2 (0,1)) que multiplica a cada función g de cuadrado integrable, siendo el producto fg también de cuadrado integrable, ya que f es acotada. En 1959, Kadison y Singer [4] plantearon el siguiente problema: Conjetura 2.1 (de Kadison-Singer) ¾Cada estado puro denido en una C*-subál- gebra abeliana maximal de la C*-algebra B(l 2 ) de operadores acotados en l 2 admite una única extensión a un estado puro en B(l 2 )? Este problema plantea la ambiguedad (o no) en la extensión de estados puros en el caso discreto. El problema análogo en los casos continuo y mixto fue resuelto con resultado negativo por Kadison y Singer. Sin embargo el problema en el caso discreto no fue resuelto hasta 2013 por Adam Marcus, Daniel Spielman y Nikhil Srivastava [6] con resultado positivo (a pesar de que Kadison y Singer creían que la respuesta sería negativa). Antes de su demostración, diferentes autores habían probado que el problema de Kadison-Singer es equivalente a varios resultados que abarcan numerosos campos. 15 Weaver [11] introdujo la siguiente conjetura, llamada KS r , cuya veracidad para algún r entero mayor o igual que 2 es equivalente a la veracidad de Conjetura de Kadison-Singer. Conjetura 2.2 (KS r , r ≥ 2) Existen constantes universales η≥ 2 y θ >0 de manera que se tiene lo siguiente: Sea w 1 , ..., w m∈Cd cualquier elección de vectores cumpliendo ||w i || ≤ 1 para todo i y satisfaciendo m X i=1 |hu, wii|2=η para todo vector unitario u ∈ C d . Entonces existe una partición S 1 , S 2 , ... S r de {1, ...m} tal que X i∈Sj|hu, wii|2≤η−θ para todo j y para todo vector unitario u ∈ C d . Nuestro objetivo es vericar el problema de Kadison-Singer demostrando la conjetura KS 2 de Weaver, como hicieron Spielman, Marcus y Srivastava en la prueba original [6]. Detallamos la demostración de la conjetura KS 2 entre el nal de este capítulo y el capítulo siguiente (que consiste en la demostración del resultado fundamental de su prueba). Por el momento supondremos cierta la conjetura KS r para algún r entero mayor o igual que dos y veremos que esto implica el Teorema de Kadison-Singer (en el caso discreto). Weaver [11] mostró que la veracidad de la conjetura KS r para algún r entero mayor o igual que dos es equivalente a la siguiente conjetura formulada por Anderson [1]. Nosotros sólo exponemos aquí la implicación hacia la derecha, como paso intermedio para llegar hasta la Conjetura de Kadison-Singer. Conjetura 2.3 (de Pavimentación) Para todo  >0 existe un r ∈N tal que para toda matriz T compleja autoadjunta, con todos sus elementos diagonales nulos y de tamaño n x n, existen proyecciones diagonales P 1 ,...,P r cuya suma es la matriz identidad tal que k|PiTPi|| ≤ ||T|| para todo i = 1, 2,..., r. A continuación exponemos cuatro consideraciones sobre la notación que aparece en el teorema, que será de uso común en lo sucesivo. La norma que utilizamos para un operador lineal y continuo T entre los espacios normados V y W es ||T|| =sup{||T(x)||(W) tal que ||x||(V)≤1} = sup{||T(x)||(W) tal 16 que ||x||(V)= 1} , donde con ||x||(V) nos referimos a la norma que se considera en V (x ∈ V) y con ||T(x)||(W) nos referimos a la norma que se considera en W (T(x) ∈ W). En un caso como el anterior en el que V y/o W sea de dimensión nita, consideramos que la norma en ese espacio es la norma euclidea sin indicarlo explícitamente. Esta norma ya fue utilizada, en particular, para denir la estructura de álgebra de Banach de B(H) anteriormente. En dimensión nita, como es el caso de este teorema, una proyección ortogonal es una matriz P de tamaño n x n tal que P = P 2 = P ∗ . Una proyección diagonal es una proyección ortogonal cuyos elementos no diagonales son nulos y cuyos elementos diagonales son 0 ó 1. Daremos una demostración del Teorema de Pavimentación probando el siguiente teorema en términos de proyecciones ortogonales en lugar de matrices autoadjuntas. La equivalencia entre los dos resultados fue establecida por Anderson y Akemann [1]. Teorema 2.4 Existen constantes universales 0 ≤≤ 1 y δ >0 de manera que se tiene lo siguiente: Para toda proyección P = (p ij ) de tamaño n x n cumpliendo max i p ii ≤δ , existen proyecciones diagonales Q 1 , ..., Q r cuya suma es la matriz identidad tal que k|QiPQi|| ≤ 1− para todo i = 1, 2,..., r. Demostración: Suponemos que existen constantes r ≥ 2 entero, η≥ 2 y θ >0 de tal manera que cumplen la conjetura KS r . Veremos que el Teorema 2.4 se cumple entonces para las constantes =θ η , δ=1 η y r = r. Vemos que, por ser η≥ 0, también δ≥ 0, y además por ser η−θ≥ 0, y ser ambas constantes positivas, se tiene 0 ≤≤ 1 Sea P una proyección ortogonal con max i p ii ≤1 η . Queremos demostrar que existen proyecciones diagonales Q 1 , ..., Q r cuya suma es la matriz identidad tal que k|QiPQi|| ≤ 1−θ η Llamamos k al rango de P, es decir, k es la dimensión del subespacio vectorial imagen de P, P( Cn ) ⊂Cn . Para todo i = 1, ..., n denimos los vectores v i = √η P(e i ) ∈ P( Cn ), donde e i ∈Cn es el vector i-ésimo de la base canónica, es decir aquel cuyas componentes son igual 0 a excepción de la componente i-ésima, que es igual a 1. Estos vectores v i ; con i = 1, ..., n; cumplen las hipótesis de la conjetura KS r Por un lado, para todo i, ||vi||2=η||P(ei)||2=η < P(ei), ei>≤ηmaxipii ≤1 17 Y por otro lado, para todo vector unitario u ∈ P( Cn ), n X i=1 |hu, vii|2= n X i=1 |hu, √ηP(ei)i|2=η n X i=1 |hP(u), eii|2=η n X i=1 |hu, eii|2=η Para pasar de la segunda igualdad a la tercera utilizamos el hecho de que P es autoadjunta por ser una proyección. Además, obtenemos la siguiente igualdad debido a que u es un vector de la imagen de P, y por tanto P(u) = u. La última igualdad es debida a que los vectores canónicos forman una base ortonormal y u es unitario. Aplicando la Conjetura KS r , existe una partición S 1 , S 2 , ... S r de {1, ...n} tal que X i∈Sj|hu, vii|2≤η−θ para todo j = 1, ..., r; y para todo vector unitario u ∈ P( Cn ). Para todo j = 1, ..., r, denimos la proyección diagonal Q j como: Qj(ei) =      eisi i ∈Sj 0si i /∈Sj para todo i = 1, ..., n. Ahora buscamos una cota de ||QjPQj|| para todo j. Primero vemos que ||QjPQj|| =||QjPPQj|| =||QjP(QjP)∗|| =||QjP||2 Por otra parte, ||QjP(u)|| =sup{||QjP(u)|| tal que ||u|| ≤ 1}= =sup{||QjP(Pu)|| tal que ||u|| ≤ 1}= =sup{||QjP(Pu)|| tal que ||Pu|| ≤ 1} ya que por ser P y (1-P) proyecciones ortogonales, ||u|| =||Pu||+||(1 −P)u|| , entonces si ||u|| ≤ 1,||Pu|| ≤ 1||u|| ≤ 1 . De la última igualdad deducimos que podemos calcular la norma de QjP como: ||QjP(u)|| =sup{||QjP(u)|| tal que ||u|| = 1, u ∈P(Cn)} Sea u ∈ P( Cn ) unitario. Entonces, ||QjPQj(u)|| =||QjP(u)||2= n X i=1 |hQjP(u), eii|2= = n X i=1 |hu, PQj(ei)i|2=X i∈Sj|hu, P(ei)i|2=1 ηX i∈Sj|hu, vii|2≤1−θ η 18 Por tanto, para todo j, ||QjPQj|| ≤ 1−θ η y queda probado el resultado.  Nótese que, en el Teorema de Pavimentación, el número r de elementos de la partición es independiente de la dimensión n, lo que nos permitirá extender el resultado de matrices de tamaño n x n a operadores acotados en l 2 , de dimensión innita. A partir de esta información sobre elementos de B(l 2 ) y otras conclusiones generales sobre estados en C*-álgebras, probaremos la Conjetura de Kadison-Singer. Algunos de los resultados que exponemos se pueden encontar en [10]. Previamente, veamos que el Teorema de Pavimentación sigue siendo cierto eliminando la restricción de que la matriz T debe ser autoadjunta. Teorema 2.5 Para todo  >0 existe un l ∈N tal que para toda matriz T compleja, con todos sus elementos diagonales nulos y de tamaño n x n, existen proyecciones diagonales P 1 ,...,P r cuya suma es la matriz identidad tal que k|PiTPi|| ≤ ||T|| para todo i = 1, 2,..., l. Demostración: Sea  >0. Por el Teorema de Pavimentación, existe un r ∈N tal que para toda matriz T compleja autoadjunta, con todos sus elementos diagonales nulos, con ||T|| ≤ 1 y de tamaño n x n, existen proyecciones diagonales P 1 , ..., P r cuya suma es la matriz identidad tal que k|PiTPi|| ≤  para todo i = 1, 2,..., r. Veamos que el Teorema 2.5 se cumple para la constante l = r 2 . Sea T una matriz compleja, con todos sus elementos diagonales nulos y de tamaño n x n. El caso en que T sea la matriz es trivial, lleva a la desigualdad 0 ≤ 0 para cualquier elección de l proyecciones cuya suma sea la matriz identidad. Tratamos por lo tanto el caso T 6= 0. Denimos las siguientes matrices: A=T+T∗ 2 B=T−T∗ 2i Con esta denición, las matrices A y B son autoadjuntas, tienen todos sus elementos diagonales nulos y T = A + iB. De la desigualdad triangular tomando normas en la denición de A y B, obtenemos ||A|| ≤ ||T|| y ||A|| ≤ ||T||. 19 Aplicando el Teorema de Pavimentación a las matrices A ||T|| y A ||T|| , de norma menor o igual que 1, tenemos que existen proyecciones diagonales R 1 ,...,R r cuya suma es la matriz identidad tal que k|Ri A ||T||Ri|| ≤  2 para todo i = 1, 2,..., r. Y también existen proyecciones diagonales S 1 ,...,S r cuya suma es la matriz identidad tal que k|Ri B ||T||Ri|| ≤  2 para todo i = 1, 2,..., r. Ahora denimos para cada uno de los l = m 2 pares (i, j) ∈ { 1, ..., r } x { 1, ..., r } , la proyección diagonal P ij = R i S j = S j R i . Estas proyecciones diagonales están bien denidas, ya que las matrices diagonales conmutan entre sí, y además el producto será una matriz diagonal de tamaño n x n con con elementos diagonales iguales a 0 ó 1 (resultado del producto 0 x 0, 0 x 1 ó 1 x 1, en cada caso). Veamos que el teorema se cumple para estas proyecciones. La suma de las proyecciones P ij es la matriz identidad: X i,j Pij =X i,j RiSj= m X i=1 Ri m X j=1 Sj!= m X i=1 Ri= 1 Por otro lado, para todo par (i, j), se tiene la siguiente desigualdad: ||PiAPi|| =||SiRiARiSi|| ≤ ||RiARi|| ≤  2||T|| donde la primera desigualdad es consecuencia de que la norma de una proyección ortogonal es menor o igual que 1, y obtuvimos la segunda desigualdad al aplicar el Teorema de Pavimentación a A ||T|| . Análogamente, obtenemos la desigualdad k|PiBPi|| ≤  2||T|| . Por último, aplicando la desigualdad triangular a la expresión T = A + iB, obtenemos el resultado buscado: ||PiTPi|| ≤ ||PiAPi||+||PiBPi|| ≤ ||T||  A continuación exponemos el teorema que extiende el resultado del Teorema de Pavimentación a dimensión innita. 20 Las matrices n x n (pertenecientes a M n ( C )), serán remplazadas por operadores acotados T ∈ B(l 2 ) y las proyecciones diagonales serán reemplazadas por elementos de la C*-subálgebra Maximal Abeliana (CCOC) de B(l 2 ), que se identican con los elementos de l ∞ , como vimos en la introducción, con la propiedad de que sus componentes (como elemento de l ∞ ) son 0 ó 1. la condición sobre los elementos diagonales de un operador se expresará en términos de la función diag: B(l 2 ) −→ l ∞ , denida como: diag(T)(i) = hT(ei), eii , donde e i es la sucesión con todos sus elementos nulos, salvo el elemento i-ésimo, que es igual a 1. Con estas modicaciones, el teorema nos proporcionará un resultado muy potente que involucra a elementos de B(l 2 ) y l ∞ , espacios en los que se formula la Conjetura de Kadison-Singer, de manera que su prueba se deducirá casi inmediatamente de éste. Teorema 2.6 Para todo  >0 existe un l ∈N tal que para todo T ∈ B(l 2 ) con diag(T) = 0, existen proyecciones diagonales P 1 ,...,P l con Pl i=1 Pi = 1 tal que ||PiTPi|| ≤ ||T|| para todo i = 1, 2,..., l. Demostración: Sea  >0. Por el Teorema 2.5, existe un l ∈N tal que para toda matriz A ∈ M n ( C ), con todos sus elementos diagonales nulos, existen proyecciones diagonales R 1 , ..., R l∈ M n ( C ) con Pl i=1 Ri = 1 tal que ||RiARi|| ≤  para todo i = 1, 2,..., l. Sea T ∈ B(l 2 ) con diag(T) = 0. Para cada n ∈N consideramos la función φn : B(l 2 ) −→ M n ( C ) que asigna a cada operador B ∈ B(l 2 ) la matriz formada por sus n x n primeros elementos de matriz en la base canónica ortonormal, es decir (φn (B)) ij = hB(ej), eii . Trivialmente, vemos que, para todo n, diag( φn (T)) = 0 y ||φn (T) || = 1. Por lo tanto, existen proyecciones diagonales R n,1 ,...,R n,l ∈N con Pl i=1 Ri = 1 tal que ||Rn,iφn(T)Rn,i|| ≤ ||φn(T)|| ≤ ||T|| para todo i = 1, 2,..., l. Ahora veamos que existe una función estrictamente creciente f: N−→ N y l sucesiones cuyos elementos son 0 ó 1, {yi}l i=1⊂ { 0, 1 }N , de tal manera que para cada i jo, yi es el límite de la sucesión de sucesiones {xi,n}n∈N⊂ { 0, 1 }N , denida de la 21 =|Ψ(Pi0TPi0)| ≤ ||Pi0TPi0|| ≤ ||T|| donde la penúltima desigualdad se da porque || Ψ || = 1, al ser Ψ un estado. Como esta desigualdad se tiene con  para todo T ∈ B(l 2 ) con diag(T) = 0,  es una cota para la norma del funcional Ψ restringido al subespacio vectorial de B(l 2 ) formado por los elementos de B(l 2 ) con diag(T) = 0, || Ψ || ≤ . Como podemos aplicar el Teorema 2.6 (y por tanto este argumento), para cualquier ≥ 0, tenemos || Ψ || ≤ para todo ≥ 0, y por tanto Ψ = 0 en ese subespacio. Ahora es sencillo ver que debe ser Ψ = ϕ◦ diag en B(l 2 ). En efecto, si A ∈ B(l 2 ), diag(A - diag(A)) = diag(A) - diag(A) = 0, luego aplicando el resultado anterior, Ψ (A - diag(A)) = 0, por lo que: Ψ(A) = Ψ(diag(A)) = ϕ(diag(A)) ya que diag(A) ∈ l ∞ por ser imagen de la función diag. Hemos demostrado que si Ψ es una extensión de ϕ , entonces Ψ = ϕ◦ diag, por lo que si existen dos funciones Ψ1 y Ψ2 que sean extensiones de ϕ , debe ser Ψ1 = ϕ◦ diag = Ψ1 . Luego la extensión es única y la conjetura de Kadison-Singer queda probada con resultado positivo.  A lo largo de este capítulo, hemos demostrado que si la Conjetura KS r es cierta para algún r ≥ 2, la conjetura de Kadison-Singer tiene resultado positivo. En lo sucesivo nos centraremos en encontrar una prueba positiva de la conjetura KS 2 , lo que, por lo tanto, es suciente para que la Conjetura de Kadison-Singer quede demostrada. Veremos a continuación que el teorema KS 2 se deduce del siguiente teorema, cuya demostración detallamos en el próximo capítulo: Teorema 2.10 Sea  >0. Sean v 1 , ..., v m vectores aleatorios independientes en Cd con soporte nito tal que E ||v i || ≤ para todo i y tal que m X i=1 Eviv∗ i=Id Entonces P"     m X i=1 viv∗ i    ≤(1 + √)2#>0 En este caso, denotamos por v ∗ i el vector traspuesto conjugado de v i . Precisemos los conceptos probabilísticos que aparecen en la formulación de este teorema. 28 Un espacio probabilístico ( Ω , σ , P ) consta de un espacio muestral Ω cuyos elementos son los posibles resultados de un experimento aleatorio, una sigma-álgebra σ cuyos elementos son ciertos subconjuntos de Ω a los que es posible asignar una probabilidad y una probabilidad P : σ−→ [0, 1] con P ( Ω ) = 1 y tal que para toda unión disjunta numerable de subconjuntos A i∈σ , ∪∞ i=1 A i , se tiene P (∪∞ i=1Ai) = P∞ i=1 P(A i ). Un vector aleatorio v en Cd con soporte nito es una función v: Ω−→ Cd de tal manera que el conjunto de valores posibles de v, que es el conjunto imagen de v, v( ω ) ⊂Cd , es nito; y si B ⊂ v( Ω ), entonces su contraimagen por v está en σ , v −1 (B) ∈σ . Esta última propiedad nos permite denir la ley de probabilidad de v, que es una probabilidad P◦ v −1 denida en el conjunto de partes de v( Ω ) como P (v ∈ B) = P ◦ v −1 (B). Si v 1 , ..., v m vectores aleatorios en Cd , el vector combinado dado por (v 1 , ..., v m ) es un vector aleatorio en (Cd)m , por tanto tiene una ley de probabilidad asociada, que llamaremos ley de probabilidad conjunta de v 1 , ..., v m . Decimos que los vectores aleatorios v 1 , ..., v m son independientes si, eligiendo cualquier cantidad nita k de ellos, v jk , ..., v jk , su ley de probabilidad conjunta es el producto de sus leyes de probabilidad (individuales). La esperanza matemática de un vector aleatorio v en Cd con soporte nito, que puede tomar valores z 1 ,...,z n∈Cd , se dene como E v = z 1 P(v = z 1 ) + ... + z n P(v = z n ). La esperanza es lineal en el conjunto de vectores aleatorios. La esperanza del vector conjunto (v 1 , ..., v m ) de los vectores aleatorios v 1 , ..., v m es igual al producto de las esperanzas de todos los vectores si y solo si estos son independientes. Es importante notar que, al tratarse de un soporte nito de probabilidad, la desigualdad que implica el teorema es equivalente a la existencia de al menos una asignación de v 1 ,...,v m con probabilidad no nula, tal que kPm i=1 viv∗ ik ≤ (1 + √)2 . De este resultado se sigue el siguiente corolario, en términos de proyecciones, del que se deduce trivialmente el Teorema KS 2 : Corolario 2.11 Sea δ >0 y r un entero positivo. Sean u 1 ,...,u m∈ C d tal que ||u i || ≤δ para todo i y tal que m X i=1 uiu∗ i=Id Entonces existe una partición S 1 ,..., S r de {1, ...m} tal que      X i∈Sj uiu∗ i     ≤1 √r+√δ2 para todo j = 1,..., r. 29 Demostración: Sean δ >0, r un entero positivo y u 1 ,...,u m∈ C d cumpliendo las hipótesis del corolario. Para cada i ∈ {1, ...m} y cada k ∈ {1, ...r} , denimos wi,k ∈ ( Cd)r como el vector cuya componente k-ésima es u i y el resto de sus componentes son el vector nulo en Cd. A partir de estos vectores, denimos los vectores aleatorios independientes v1, ..., vm∈ ( Cd)r tal que vi toma los valores {√rwi,1, ...√rwi,r} con distribución de probabilidad uniforme (esto es, cada valor con probabilidad 1 r ). Calculamos para cualquier i, la esperanza de viv∗ i es: Eviv∗ i=      uiu∗ i0··· 0 0uiu∗ i··· 0 . . .. . ..... . . 0 0 ··· uiu∗ i       En este caso denotamos por 0 al elemento nulo Cdxd de resultante del producto de un vector nulo en Cd por su traspuesto. Puesto que por hipótesis la suma de los uiu∗ i es la identidad, la suma de esperanzas resulta en la identidad E m X i=1 viv∗ i!=Ird Por otra parte,||v i || = r||u i || ≤ r δ para todo i. Estamos en las condiciones de aplicar el Teorema 2.10 a los vectores v1, ..., vm con  =r δ y dimensión rd. Existe, por tanto, una asignación de v1, ..., vm tal que: (1 + √)2≥     m X i=1 viv∗ i     =      r X k=1 X i:vi=wi,k √rwi,k√rw∗ i,k      Denominando Sk={i:vi=wi,k} para todo k = 1,..., r, tenemos que estos Sk son los elementos de la partición que cumplen la condición del corolario, ya que, por ser diagonal la matriz que aparece en la última igualdad, tenemos que:      X i∈Sj uiu∗ i      =     X i∈Sj wi,kw∗ i,k     ≤1 r      r X k=1 X i:vi=wi,k √rwi,k√rw∗ i,k     ≤1 √r+√δ2 para todo k = 1,..., r.  Por último, terminamos esta sección utilizando este corolario para demostrar el Teorema KS 2 . Mencionamos que, a pesar de que aquí hemos propuesto la demostración del Teorema de Kadison Singer partiendo del Teorema 2.10, que implica el Corolario 2.11, 30 que a su vez implica el Teorema KS 2 , a partir del cual hemos visto que se puede obtener el Teorema de Pavimentación 2.3 y a partir de éste último obtener el Teorema de Kadison-Singer, es posible obtener el Teorema de Pavimentación 2.3 directamente como consecuencia del Corolario 2.11, tomando r= (6/)4 , como se establece en [6]. Demostración: del Teorema KS 2 (2.2 en el caso particular r = 2) Elegimos las constantes universales η =18 y θ =2. Sea w 1 ,...,w m∈ C d cualquier elección de vectores cumpliendo las hipótesis del Teorema KS 2 . Para todo i, denimos u i =w i/η . Además denimos las constantes δ = 1/18 y r = 2. Entonces, ||u i || ≤ 1 para todo i. Por otro lado m X i=1 |hu, uii|2= 1 para todo vector unitario u ∈ C d . Eligiendo en la suma anterior como vector unitario u i /||u i || para todo i, obtenemos que el conjunto de vectores u 1 ,...,u m debe ser ortogonal. Además debe ser una base ortogonal, ya que de existir algún vector unitario ortogonal a todos los u i , no se cumpliría la suma. Además, como para todo vector unitario u, ||u|| = m X i=1 |hu, uii|2= 1 tenemos que el conjunto de vectores debe ser una base ortonormal. Por tanto: m X i=1 uiu∗ i=Id Entonces los vectores u 1 ,...,u m satisfacen el Corolario 2.11 con constantes δ = 1/18 y r = 2. Por tanto, existe una partición S 1 ,S 2 de {1, ...m} tal que X i∈Sj|hu, wii|2=η     X i∈Sj uiu∗ i     ≤η1 √r+√δ2 = 16 = 18 −2 = η−θ para todo j y para todo vector unitario u ∈ C d .  31 3. El resultado principal y la prueba de la Conjetura de Kadison-Singer. En este último capítulo exponemos una demostración detallada del Teorema 2.10, que por lo visto en el capítulo 2, es suciente para completar la prueba positiva de la Conjetura de Kadison-Singer (2.1). Esta demostración nos proporciona además un ejemplo de aplicación de la técnica de polinomios entrelazados , la cual mostramos en el capítulo 1. Comenzaremos discutiendo el contenido del teorema y describiéndolo en términos de polinomios. Para todo i = 1, ..., m, v i es un vector aleatorio que toma valores en Cd , por lo tanto v i v ∗ i es una matriz compleja de tamaño d x d. Además es hermítica, es decir, es igual a su conjugada traspuesta; y es de rango 1, ya que la imagen de cualquier vector z ∈Cd por v i v ∗ i es proporcional a v i , (v i v ∗ i )z = (v ∗ i z)v i . También es semidenida positiva, es decir, z v i v ∗ i z = (v ∗ i z) ∗ v ∗ i z = |v ∗ i z| 2≥ 0 para todo z ∈Cd . Por lo tanto, Pm i=1 viv∗ i es una matriz compleja de tamaño d x d hermítica, suma de matrices de rango 1. Por ser hermítica, las raíces de su polinomio caracteístico χ(Pm i=1 viv∗ i) (x)≡det (xI −Pm i=1 viv∗ i) (sus autovalores) son reales, y sus coecientes también. Esta matriz, como matriz de un operador T en Cd , tiene una norma, ||T|| = sup{||T(z)|| tal que ||z|| ≤ 1} , que es igual a la mayor raíz de su polinomio característico,      m X i=1 viv∗ i     =λ1 χ m X i=1 viv∗ i!! Por otra parte, por ser v 1 , ..., v m vectores aleatorios en Cd con soporte nito, (v 1 , ..., v m ) sólo puede tomar un número nito de valores, cada uno de los cuales da lugar a uno de los posibles valores que puede tomar el polinomio χ(Pm i=1 viv∗ i) . Habrá por lo tanto un número nito de estos posibles valores. Esto nos permite ver al polinomio χ(Pm i=1 viv∗ i) como una variable aleatoria con soporte nito contenido en el conjunto de polinomios con coecientes y raíces reales de grado d. El teorema arma, por tanto, que existe al menos una asignación del polinomio χ(Pm i=1 viv∗ i) con probabilidad no nula que cumple que su raíz más grande es menor o igual que (1+ √ ) 2 (de tal manera que la asignación correspondiente de los vectores v 1 , ..., v m , a partir de los cuales se construye el polinomio, cumpla las hipótesis del teorema). La idea principal de esta demostración es sortear la dicultad de tener que buscar una cota para las raíces de alguno de los valores (polinomios) que puede tomar la 32 variable χ(Pm i=1 viv∗ i) , de los cuales puede haber una cantidad nita, pero arbitrariamente grande; reduciendo el problema a demostrar que la esperanza de esta variable es un polinomio con todas sus raíces reales, buscar una cota superior adecuada para estas raíces y demostrar que los posibles valores que puede tomar la variable forman una familia entrelazada. La esperanza matemática de la variable aleatoria χ(Pm i=1 viv∗ i) , al ser esta de soporte nito, es una combinación lineal convexa de los posibles valores que puede tomar la variable. Demostraremos que estos posibles valores forman una familia de polinomios entrelazados, lo que nos permitirá aplicar una version del Corolario 1.5 para familias entrelazadas, que se deduce como un caso particular del Teorema 1.8, que garantizará la existencia de un polinomio cuya mayor raíz sea a lo sumo la mayor raíz de la esperanza. Utilizaremos que (1 + √)2 es una cota superior de esta última para completar la demostración. La posibilidad de realizar esta reducción del problema es un ejemplo de la potencia de esta técnica de polinomios entrelazados, y fue la clave de la prueba original de la Conjetura de Kadison-Singer que realizaron Spielman, Marcus y Srivastava [6]. En la demostración de este teorema utilizaremos resultados que podemos encontrar en [10] y [6], algunos con ligeras variaciones, debido a que la denición de familia entrelazada que hemos dado en el capítulo 1 es más general que la denición que aparece en estas fuentes. Comenzaremos exponiendo el concepto de estabilidad real en polinomios, el cual es una generalización de la propiedad de polinomios en una variable de tener todas las raíces reales a polinomios multivariantes, y varios resultados relacionados con este, que emplearemos más adelante para deducir que la esperanza de χ(Pm i=1 viv∗ i) tiene raíces reales. Denición 3.1 Decimos que un polinomio en m variables con coecientes complejos, f ∈C [z 1 ,...,z m ] , es estable si no tiene raíces con las partes imaginarias de todas sus coordenadas mayores estrictamente mayor que 0, es decir, si: f(z1, ..., zm)6= 0 siempre que para todo i = 1, ..., m se tenga Im(zi)>0. En particular, decimos que f es real estable si es estable y tiene todos sus coecientes reales. Si un polinomio f tiene todos sus coecientes reales, z es raíz de p si y sólo si lo es su complejo conjugado z . Por tanto, la estabilidad real de un polinomio garantiza que tampoco tiene raíces con las partes imaginarias de todas sus coordenadas menores estrictamente que 0. 33 Por lo tanto, en el caso partícular de un polinomio p(z) en una variable, la condición de estabilidad real implicará que no tiene raíces con Im(z)>0 ni con Im(z)<0, luego esta condición es equivalente a tener todas sus raíces reales. Esto justica haber introducido la condición de estabilidad real como una generalización de esta última a polinomios multivariantes. En algunos casos resultará de utilidad la siguiente caracterización de la estabilidad (y de la estabilidad real). Lema 3.2 Sea f ∈C [z 1 ,...,z m ]. Entonces f es estable (respectivamente, real estable) si y sólo si para todo a ∈Rm y para todo v ∈(0,∞)m se tiene que el polinomio de una variable compleja f(a + vt) es estable (respectivamente, real estable). Demostraremos que la esperanza tiene raíces reales obteniendo una expresión para ella como el resultado de una aplicación de transformaciones que preservan la estabilidad real a un polinomio real estable, de tal manera que el polinomio resultante de estas aplicaciones sea de una variable, y por tanto de raíces reales por ser real estable. Para ello veremos a continuación un tipo de polinomio real estable y dos transformaciones que preservan la estabilidad real. Proposición 3.3 Sean A 1 , ..., A m matrices semidenidas positivas y sea B una matriz hermítica, todas ellas de tamaño d x d. Entonces el polinomio: f(z1, ..., zm) = det m X i=1 ziAi+B! es, o bien real estable, o bien idénticamente nulo. Demostración: Comenzamos tratando el caso en el que A 1 , ..., A m son matrices denidas positivas Utilizamos la caracterización del Lema 3.2. Tomamos z(t) = a + vt, con a = (a 1 ,...a m ) ∈Rm y v = (v 1 ,...,v m ) ∈(0,∞)m cualquiera, y t ∈C ; y debemos demostrar que el polinomio: f(z(t)) = det m X i=1 aiAi+ m X i=1 tviAi+B! tiene todas sus raíces reales. Denotamos Q ≡Pm i=1 tviAi , la cual es una matriz denida positiva por ser todos los v i >0. Al ser denida positiva es invertible y posee una raíz cuadrada Q (1/2) . Denotamos H ≡Pm i=1 aiAi+B , la cual es una matriz hermítica. Entonces, multiplicando por Q (1/2) y su inversa a izquierda y derecha de H: f(z(t)) = det (tQ +H) = det (Q)det tI +Q(−1/2)HQ(−1/2) 34 Obtenemos que f(z(t)) es proporcional, con constante det(Q) >0 (ya que Q es denida positiva), al polinomio característico de la matriz hermítica Q(−1/2)HQ(−1/2) , por lo que tiene todas sus raíces y coecientes reales. El caso general, en el que A 1 , ..., A m son matrices semidenidas positivas, se demuestra tomando el límite de matrices denidas positivas y aplicando que en cada restricción univariante el límite debe tener todas sus raíces reales o ser el polinomio cero.  Para comprobar que las transformaciones que nos interesan preservan la estabilidad, necesitaremos trabajar con sucesiones convergentes de polinomios en variable compleja y obtener información de las raíces de su límite a partir de información sobre las raíces de los polinomios de la sucesión. Para ello utilizaremos el Teorema de Hurwitz, un resultado central en el análisis complejo. Teorema 3.4 (de Hurwitz) Sea {fk}∞ k=1 una sucesión de funciones analíticas en un dominio (un conjunto abierto y conexo) D ⊂Cm . Si las funciones de la sucesión no tienen raíces en D y convergen uniformemente a una función f en subconjuntos compactos de D, entonces, o bien f no tiene raíces en D, o bien f es idénticamente nula. Ahora presentamos una transformación que preserva la estabilidad real que es de especial utilidad por eliminar una variable de un polinomio. Lema 3.5 La transformación consistente en evaluar una variable, z i , de un polinomio estable f(z 1 ,...,z m ) en un valor c con Im(c) >0 preserva la estabilidad. Es decir, f(z 1 ,...,z i−1 ,c,z i+1 ,...,z m ) es estable. Por otra parte, la transformación consistente en evaluar una variable z i , de un polinomio real estable f(z 1 ,...,z m ) en un valor c real, preserva la estabilidad real. Es decir, f(z 1 ,...,z i−1 ,c,z i+1 ,...,z m ) es real estable. Demostración: La primera parte del teorema es inmediata razonando por reducción al absurdo. Dado un polinomio estable f(z 1 ,...,z m ), si el polinomio en m-1 variables f(z 1 ,...,z i−1 ,c,z i+1 ,...,z m ) tuviera una raíz en un punto con todas las coordenadas con parte imaginaria mayor que 0, el polinomio original f se anularía en el punto cuyas m coordenadas son las m-1 coordenadas de este más la coordenada c en el lugar de la variable i-ésima, en contra de la hipótesis de que f es estable. Veamos ahora la segunda parte del teorema. Sea ahora f(z 1 ,...,z m ) un polinomio real estable. Claramente esta transformación de evaluación en un número real, conserva el hecho de que todos los coecientes sean reales. 35 Resta por tanto demostrar que se preserva la estabilidad en este caso. Para ello de- nimos para todo k natural, denimos los polinomios f k en m-1 variables, resultado de evaluar la variable i-ésima en c+ 1 k , f k (z 1 ,...,z i−1 ,z i+1 ,...,z m ) = f(z 1 ,...,z i−1 ,c+ 1 k ,z i+1 ,...,z m ). Por tener c+ 1 k parte imaginaria estrictamente positiva, los polinomios f k son estables, luego, aplicando el Lema 3.2, para todo a ∈Rm−1 y para todo v ∈(0,∞)m−1 se tiene que los polinomios f k (a + vt) son estables. Dado que estos son univariantes, no tienen raíces en el semiplano complejo superior D = { t ∈C tal que Im(t) >0 } , que es un dominio. Además la sucesión {fk(a+vt)}∞ k=1 converge a f(a + vt) en los compactos de D. Por el Teorema de Hurwitz, f(a + vt) no tiene raices en D, luego es estable. Como f(a + vt) es estable para a y v cualquiera, aplicando el Lema 3.2 (la implicación recíproca a la que usamos en el párrafo anterior), f es estable.  El último resultado de estabilidad que necesitaremos es otra transformación que preserva la estabilidad real. Lema 3.6 Si f(z 1 ,...,z m ) es un polinomio estable (respectivamente, real estable), entonces para todo i = 1, ..., m: (1 −∂i)f(z1, ..., zm) es un polinomio estable (respectivamente, real estable). Por ∂i denotamos a la derivada parcial i-ésima. Demostración: Esta transformación conserva el hecho de que los coecientes sean reales, luego si conserva la estabilidad, también conservará la estabilidad real. Por tanto, basta con probar que conserva la estabilidad. Sea f(z 1 ,...,z m ) un polinomio estable. Fijamos z 1 ,...,z i−1 ,z i+1 ,...,z m cualquiera con parte imaginaria estrictamente mayor que 0. El polinomio de una variable g(z i ) = f(z 1 ,...,z m ) es estable por la aplicación recurrente del Lema 3.5 al jar las variables z 1 ,...,z i−1 ,z i+1 ,...,z m . Además, (g - g')(z i ) = (1 - ∂i ) f( z1 ,..., zm ), luego el problema queda resuelto si g - g' no tiene raíces con parte imaginaria positiva. Llamamos r 1 ,...,r d a las raíces de g. Si g y g - g' tuvieran alguna raíz común r j , tendríamos g(r j ) = g'(r j ) = 0 y por tanto, g tendría un cero de orden k ≥ 2. Dividiendo q por (z - r j ) k , tenemos un polinomio h sin raíces comunes con h - h' y con las mismas raíces (sin contar el orden de estas) que g. Por tanto sin pérdida de generalidad, suponemos que g y g - g' no tienen raíces comunes. Con esta suposición, si z es raíz de g - g': 1 = q0(z) q(z)= d X j=1 1 z−rj = d X j=1 z−rj |z−rj|2 36 la misma propiedad. Repetimos el proceso hasta encontrar una asignación con esta propiedad y probabilidad positiva. Entonces P"     m X i=1 viv∗ i    ≤(1 + √)2#>0, y queda probado el resultado.  Referencias [1] Akemann, C. A., and Anderson, J. Lyapunov theorems for operator algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 94 , 458 (1991), iv+88. [2] Batson, J., Spielman, D. A., and Srivastava, N. Twice-Ramanujan spar- siers. SIAM Rev. 56 , 2 (2014), 315334. [3] Kadison, R. V., and Ringrose, J. R. Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I , vol. 15 of Graduate Studies in Mathematics . American Mathematical Society, Providence, RI, 1997. 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