El problema de valores propios para el oscilador de Darboux III con parámetro de curvatura negativo

Trabajo Fin de Máster Máster en Física El problema de valores propios para el oscilador de Darboux III con parámetro de curvatura negativo Autor: Andrés González Lorente Tutor/es: Luis Miguel Nieto Calzada Iván Gutiérrez Sagredo Curso 2022-2023 Resumen En este trabajo se estudia el oscilador de Darboux III, cuyo hamiltoniano es: H(q, p) = p2 2m(1 + λ q2)+m ω2q2 2(1 + λ q2), con el par´ametro λ < 0, que es un caso no estudiado en la bibliograf´ıa especializada. El problema se aborda primero desde el punto de vista de la mec´anica cl´asica, luego se realiza una primera cuantizaci´on semicl´asica, y por ´ultimo se resuelve la ecuaci´on de Schr¨odinger con dos condiciones de contorno distintas. Tambi´en se analizan las entrop´ıas de la informaci´on de Shannon de los estados propios de ambas resoluciones de la ecuaci´on de Schr¨odinger. Abstract In this project is studied the Darboux III oscillator, whose Hamiltonian is: H(q, p) = p2 2m(1 + λ q2)+m ω2q2 2(1 + λ q2), whith the parameter λ < 0, which has not been studied in the literature. The problem is first approached from the point of view of classical mechanics, then a first semiclassical quantization is carried out, and finally the Schr¨odinger equation is solved with two different boundary conditions. The Shannon information entropies of both resolutions of the Schr¨odinger equation are also analyzed. 1 ´ Indice 1. Introducci´on 3 2. El problema cl´asico 5 3. Cuantizaci´on de Bohr-Sommerfeld 10 4. La ecuaci´on de Schr¨odinger en subintervalos 11 4.1. Resoluci´on en el intervalo −1 κ,1 κ................... 12 4.2. Resoluci´on en el intervalo 1 κ,∞.................... 17 5. Entrop´ıas de la informaci´on de Shannon en los subintervalos 20 6. La ecuaci´on de Schr¨odinger en toda la recta 21 7. Entrop´ıas de la informaci´on de Shannon en toda la recta 26 8. Comentarios, conclusiones y trabajo futuro 27 A. Funciones cil´ındrico parab´olico 30 A.1. La funci´on hipergeom´etrica confluente de Kummer . . . . . . . . . . . 30 A.1.1. Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 A.2. La ecuaci´on diferencial y′′(z)−1 4z2+ay(z)=0........... 31 A.3. La ecuaci´on diferencial y′′(z) + 1 4z2−ay(z)=0........... 32 2 1. Introducci´on El oscilador de Darboux III en una dimensi´on espacial es el sistema din´amico regido por el hamiltoniano: H(q, p) = p2 2m(1 + λ q2)+m ω2q2 2(1 + λ q2),(1.1) donde p, q ∈Rson las variable can´onicas conjugadas de posici´on y momento respectivamente, λ∈Res un par´ametro del problema y ωes la frecuencia del oscilador. Se trata de un sistema m´aximalmente superintegrable que ha sido estudiado en [1, 2, 3, 4]. Sin embargo, todos estos resultados solamente consideran el caso λ≥0. Este sistema responde a una part´ıcula con energ´ıa cin´etica: T(q, p) = p2 2m(1 + λ q2),(1.2) sometida al potencial: V(q) = m ω2q2 2(1 + λ q2).(1.3) Observemos que, en todas las expresiones anteriores, en el l´ımite λ→0 se recupera el oscilador arm´onico cl´asico de frecuencia ω. Una posible interpretaci´on de este sistema es como un oscilador en la recta real con masa dependiente de la posici´on m(q)∝1 + λq2. En este trabajo vamos a abordar el problema anterior, pero con par´ametro de curvatura negativo, as´ı que vamos a llamar λ=−κ2<0, con κ > 0. Este sistema no ha sido suficientemente analizado en la literatura especializada, que, como se ha mencionado antes, siempre se ha centrado en el caso λ≥0, de modo que en lo sucesivo podemos reescribir el hamiltoniano (1.1) as´ı: H(q, p) = p2 2m(1 −κ2q2)+m ω2q2 2(1 −κ2q2).(1.4) El potencial: V(q) = m ω2q2 2(1 −κ2q2),(1.5) tiene singularidades en q=±1 κy as´ıntotas horizontales en l´ımq→±∞ V(q) = −m ω2 2κ2. En la Figura 1 se muestra la representaci´on del potencial para varios valores de κ. En [1, 2, 3] se estudia el problema en Ndimensiones con el par´ametro λ > 0. En Ndimensiones la energ´ıa cin´etica (1.2) del problema puede interpretarse tambi´en como la de una part´ıcula de masa constante en un espacio de curvatura no constante. Para esta energ´ıa cin´etica, con la elecci´on del potencial (1.3), se trata del ´unico 3 κ=0.5 κ=1.0 κ=2.0 κ=5.0 -2-1 1 2 q -1.0 -0.5 0.5 1.0 V Figura 1: Potencial del problema para distintos valores de κ. Se han tomado los valores num´ericos m= 1, ω= 1. ejemplo conocido de sistema m´aximalmente superintegrable en un espacio de curvatura no constante. Se recuerda que la condici´on de superintegrabilidad maximal para un sistema Hamiltoniano requiere que exista una familia de aplicaciones definidas en el espacio de fases fj:R2N−→ R2N−1 j=1 funcionalmente independientes, siendo f1=H, que restringidas a una soluci´on de las ecuaciones del movimiento sean constantes, y adem´as que en esta familia existan dos subfamilias de Nfunciones conmutativas con respecto a la estructura de Poisson can´onica, cada una de ellas conteniendo al Hamiltoniano. En [2] se estudia la superintegrabilidad del sistema cl´asico y de distintas cuantizaciones, que resultan tener el mismo espectro. En [4] se estudia para este sistema y valores λ≥0 el concepto de entrop´ıa de la informaci´on de Shannon [5], que para una funci´on de densidad de probabilidad continua ρse define por: Sρ:= −Zρ(z) ln ρ(z) dz, (1.6) y se calcula para los distintos estados propios, tanto en el espacio de posiciones como en el espacio de momentos, para estudiar su relaci´on con la curvatura, algo que, tal como han revisado los autores de este art´ıculo, no se ha podido encontrar en la literatura hasta el momento. 4 El trabajo est´a organizado de la siguiente manera: en la secci´on 2 realizamos el estudio del problema desde un punto de vista de la mec´anica cl´asica, en la secci´on 3 se hace el estudio semicl´asico usando la cuantizaci´on de Bohr-Sommerfeld, en las secciones 4 y 6 resolvemos la correspondiente ecuaci´on de Schr¨odinger de dos maneras diferentes, y en las secciones 5 y 7 analizamos las entrop´ıas de la informaci´on de Shannon de las respectivas familias de estados propios obtenidas. El trabajo finaliza con unas conclusiones y contiene tambi´en un ap´endice con detalles matem´aticos. 2. El problema cl´asico En esta secci´on vamos a estudiar el problema asociado al hamiltoniano (1.4) desde el punto de vista de la mec´anica cl´asica, usando el formalismo hamiltoniano. Por lo tanto, a partir de (1.4), planteamos las ecuaciones de Hamilton:            dq dt=∂H ∂p =p m(1 −κ2q2), dp dt=−∂H ∂q =−(κ2p2+m2ω2)q m(1 −κ2q2)2. (2.1) Un hamiltoniano gen´erico es una aplicaci´on: H:R2n+1 H −→ R (t, q, p)7−→ H(t, q, p)(2.2) A lo largo de una trayectoria soluci´on de las ecuaciones de Hamilton (2.1): H:R−→ R2n+1 t7−→ t, q(t), p(t)(2.3) podemos escribir la composici´on: H:R−→ R2n+1 H −→ R t7−→ t, q(t), p(t)7−→ Ht, q(t), p(t)(2.4) donde hemos cometido el abuso de notaci´on de utilizar la misma letra Htanto para el hamiltoniano como para la composici´on, y de llamar ∂H ∂t a la derivada parcial de H(t, q, p) respecto del tiempo y dH dta la derivada de Ht, q(t), p(t)respecto del tiempo. En nuestro problema concreto, el hamiltoniano (1.4) no depende expl´ıcitamente del tiempo, por lo que: ∂H ∂t = 0, dH dt=∂H ∂t +∂H ∂q dq dt+∂H ∂p dp dt=∂H ∂t +∂H ∂q ∂H ∂p −∂H ∂p ∂H ∂q =∂H ∂t = 0,(2.5) 5 en virtud de las ecuaciones de Hamilton (2.1). Entonces, nuestro hamiltoniano Hes una cantidad que se conserva, as´ı que podemos plantear para resolver las ecuaciones del movimiento la siguiente integral primera: H(q, p) = p2 2m(1 −κ2q2)+m ω2q2 2(1 −κ2q2)=E, (2.6) que podemos reescribir: 1 + 2E κ2 m ω2κ2q2+κ2 m2ω2p2=2E κ2 m ω2.(2.7) A continuaci´on hacemos el siguiente cambio de escala:                x=κ q, y=κ p m ω, ε=2E κ2 m ω2, (2.8) y la ecuaci´on (2.7) nos queda: (1 + ε)x2+y2=ε, (2.9) que es la ecuaci´on de una c´onica en el plano, que ser´a de un tipo u otro en funci´on del par´ametro ε. Tambi´en vamos a escribir las ecuaciones de Hamilton (2.1) con las nuevas variables, aplicando el cambio de escala (2.8) a (2.1):            dx dt=ωy (1 −x2), dy dt=−ω(1 + y2)x (1 −x2)2. (2.10) Ahora vamos a analizar la c´onica (2.9) en funci´on del par´ametro ε. Tenemos distintas posibilidades: (i) Si ε > 0, los coeficientes de xey, y el t´ermino independiente son todos positivos, luego se trata de una elipse centrada en el origen que podemos reescribir: 1 + ε εx2+1 εy2= 1,(2.11) 6 y que podemos parametrizar en t´erminos de una nueva variable zde la forma: (x, y) = rε 1 + εcos z, √εsen z.(2.12) Esto es algo puramente geom´etrico. Teniendo en cuenta la din´amica del sistema, este par´ametro ser´a una funci´on del tiempo z(t) a determinar. Se tiene que el recorrido de las variables x,yes finito: x∈"−rε 1 + ε,rε 1 + ε#, y ∈−√ε, √ε.(2.13) Escribimos yen funci´on de xa partir de (2.9) y=±pε−(1 + ε)x2,(2.14) donde los signos + y −corresponden respectivamente a los subconjuntos de la trayectoria contenidos en el semiplano superior y en el semiplano inferior. A partir de la primera ecuaci´on de Hamilton (2.10), x′(t) = ωyx(t) 1−x(t)2,(2.15) para calcular el periodo Tdel movimiento, reescribimos la ecuaci´on anterior: 1 = 1−x(t)2 ω yx(t)x′(t),(2.16) y la integramos. Para ello, nos aprovechamos de la simetr´ıa de las trayectorias, primero, integrando dos veces en la parte contenida en el semiplano superior y segundo integrando dos veces desde la posici´on x= 0 hasta el primer punto de retorno x=pε 1+ε: ZT 4 0 dt=1 ωZT 4 0 1−x(t)2 yx(t)x′(t) dt, (2.17) es decir: T 4=1 ωZ√ε 1+ε 0 1−x2 y(x)dx=1 ωZ√ε 1+ε 0 1−x2 pε−(1 + ε)x2dx. (2.18) Hacemos un primer cambio de variable x2=ε 1+εu2en la integral anterior y resulta T=4 ωZ1 0 1−ε 1+εu2 √ε−ε u2rε 1 + εdu=4 ω(1 + ε)3 2Z1 0 1 + ε+εu2 √1−u2du, (2.19) 7 y a continuaci´on otro cambio de variable u= sen s, con lo cual T=4 ω(1 + ε)3 2Zπ 2 0 (1 + ε+εsen2s) ds=π(2 + ε) ω(1 + ε)3 2 .(2.20) Y deshaciendo el cambio (2.8): T=π2ω2+2E κ2 m ω2+2E κ2 m3 2 ,(2.21) que depende de la energ´ıa. Notemos que por un lado, si κ= 0, recuperamos el periodo del oscilador arm´onico: TOA =π2ω2 ω3=2π ω,(2.22) y que haciendo el l´ımite ω→0 : T0=πm 2E κ21 2,(2.23) que es el per´ıodo de una part´ıcula cl´asica que se mueve confinada en un pozo infinito de potencial. Para intentar resolver las ecuaciones del movimiento, sustituimos la parametrizaci´on (2.12) en la primera de las ecuaciones de Hamilton (2.10): −rε 1 + εsen z(t)z′(t) = ω√εsen z(t) 1−ε 1 + εcos2z(t),(2.24) ω(1 + ε)3 2+1 + ε−εcos2z(t)z′(t)=0.(2.25) Podemos integrar esta expresi´on para obtener una soluci´on impl´ıcita de z(t): 0 = ω(1 + ε)3 2Zdt+Z(1 + ε−εcos2z)z′dt, (2.26) ω(1 + ε)3 2t+1 + ε 2z−ε 4sen 2z+C= 0,(2.27) donde la constante Cse toma en funci´on de las condiciones iniciales. La expresi´on (2.27) nos da la forma impl´ıcita de las trayectorias, ya que de ah´ı z(t) nos muestra c´omo se recorren en el tiempo las elipses (2.9). (ii) Si ε= 0, la c´onica (2.9) se transforma en x2+y2= 0, luego ha de ser x=y= 0. No hay movimiento en este caso. 8 0 2 4 6 8 10 12 800 1000 1200 1400 1600 μ ϵ 0 200 400 600 800 1000 1200 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 μ ϵ 0 2 4 6 8 10 12 0 200 400 600 800 μ ϵ 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 1200 μ ϵ Figura 3: Representaci´on de las ecuaciones (4.24) (curvas azules) y (4.25) (curvas naranjas), y su intersecci´on con las rectas µ= 1 (verde), µ= 10 (cian), µ= 100 (morado) y µ= 1000 (rojo). Obs´ervese que los valores de ϵque, para µfijo, cumplen (4.24) no cumplen (4.25) y viceversa. a las cuales si imponemos las condiciones frontera: 0 = B2ne−√µ+ϵ2n 2M3 4−ϵ2n 4√µ+ϵ2n ,3 2;√µ+ϵ2n,(4.28) 0 = A2n+1 e−√µ+ϵ2n+1 2M1 4−ϵ2n+1 4√µ+ϵ2n+1 ,1 2;√µ+ϵ2n+1.(4.29) Para que se verifiquen, ha de ser tambi´en B2n=A2n+1 = 0, de modo que las 15 ϵn n µ = 1 µ= 10 µ= 100 µ= 1000 0 2.9681 4.1062 10.5146 32.1267 1 13.8241 16.6722 34.8540 99.4740 2 32.5766 36.3288 64.1210 171.1072 3 59.2955 63.5988 98.9134 247.2111 4 93.9985 98.6785 139.7798 327.9722 5 136.6926 141.6511 187.1911 413.5726 6 187.3809 192.5568 241.5255 504.1907 7 246.0654 251.4176 303.0707 600.0000 8 312.7470 318.2464 372.0380 701.1689 9 387.4265 393.0516 448.5791 807.8598 10 470.1044 475.8385 532.8019 920.2288 11 560.7809 566.6110 624.7833 1038.4255 12 659.4564 665.3719 724.5786 1162.5926 13 766.1311 772.1233 832.2280 1292.8658 14 880.8049 886.8668 947.7611 1429.3738 15 1003.4782 1009.6036 1071.2000 1572.2384 16 1134.1509 1140.3346 1202.5614 1721.5745 17 1272.8232 1279.0606 1341.8584 1877.4904 18 1419.4951 1425.7823 1489.1010 2040.0880 19 1574.1666 1580.5002 1644.2972 2209.4610 Cuadro 1: Tabla con los valores propios para el problema en el intervalo [−1,1]. soluciones de la ecuaci´on de Schr¨odinger con las condiciones de contorno dadas son: φ2n(x) = A2ne−√µ+ϵ2nx2 2M1 4−ϵ2n 4√µ+ϵ2n,1 2;√µ+ϵ2nx2 φ2n+1(x) = B2n+1 x e−√µ+ϵ2n+1 x2 2M3 4−ϵ2n+1 4√µ+ϵ2n+1 ,3 2;√µ+ϵ2n+1 x2        (4.30) donde (A2n)∞ n=0 y (B2n+1)∞ n=0 son las constantes de normalizaci´on. En el Cuadro 1 se muestran los valores propios ϵnpara algunos valores del par´ametro µ, y se representan gr´aficamente en la Figura 4. En cuanto a las constantes de normalizaci´on, se calculan tambi´en num´ericamente para as´ı representar las funciones propias ya normalizadas, que pueden verse en las Figuras 5 y 6. 16 μ=1 μ=10 μ=100 μ=1000 5 10 15 n 500 1000 1500 2000 ϵ Figura 4: Representaci´on gr´afica de los primeros 20 valores propios para distintos valores del par´ametro µ. Para µ= 1 y µ= 10 los valores propios est´an pr´acticamente solapados, puede observarse la diferencia entre ambos en el Cuadro 1. 4.2. Resoluci´on en el intervalo 1 κ,∞ En este intervalo el potencial est´a acotado por la as´ıntota horizontal V=−m ω2 2κ2. Luego todos los posibles estados que sean soluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger lo han de ser con E < −m ω2 2κ2;−2κ2E > m ω2;m ω2+ 2κ2E < 0. Por ello, definamos ahora: Ω2=−(m ω2+ 2κ2E),(4.31) con lo que la ecuaci´on (4.3) se transforma en: −ℏ2 2mψ′′ −Ω2 2q2ψ=E ψ. (4.32) Si hacemos el cambio de variable (4.6), para convertir el intervalo en [1,∞), obtenemos la ecuaci´on: −φ′′ −mΩ2 κ4ℏ2x2φ=2m E κ2ℏ2φ. (4.33) Sean de nuevo los par´ametros γ,ϵdefinidos en (4.8), con la diferencia de que ahora ϵ=2m E κ2ℏ2<−m2ω2 κ4ℏ2<0. La ecuaci´on nos queda: −φ′′ −γ2x2φ=ϵ φ, (4.34) 17 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 φ0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.0 -0.5 0.5 1.0 φ1 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.0 -0.5 0.5 1.0 φ2 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.0 -0.5 0.5 1.0 φ3 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.0 -0.5 0.5 1.0 φ4 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.0 -0.5 0.5 1.0 φ5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.0 -0.5 0.5 1.0 φ6 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.0 -0.5 0.5 1.0 φ7 Figura 5: Representaci´on gr´afica de las primeras funciones propias φn(x) (l´ıneas continuas) para µ= 1, comparadas con las funciones propias del pozo infinito (l´ıneas discontinuas). Se observa que las primeras son bastante parecidas mientras a medida que ncrece la diferencia entre las curvas continuas y discontinuas se hace m´as notable. que reescribimos as´ı: φ′′(x) + γ2x2+ϵφ(x) = 0.(4.35) Para que la soluci´on sea una funci´on de L2[1,+∞), es necesario que tenga l´ımite 0 en +∞. Por otra parte, si consideramos la barrera de potencial impenetrable, la otra condici´on frontera apropiada ser´ıa la anulaci´on tambi´en en x= 1. El problema 18 - 1.0 -0.5 0.5 1.0 x 0.5 1.0 1.5 φ 0 μ=1μ=10 μ=100 μ=1000 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 φ 1 μ=1μ=10 μ=100 μ=1000 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 φ 2 μ=1μ=10 μ=100 μ=1000 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 φ 3 μ=1μ=10 μ=100 μ=1000 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 φ 4 μ=1μ=10 μ=100 μ=1000 - 1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 φ 5 μ=1μ=10 μ=100 μ=1000 - 1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 φ 6 μ=1μ=10 μ=100 μ=1000 - 1.0 -0.5 0.5 1.0 x -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 φ 7 μ=1μ=10 μ=100 μ=1000 Figura 6: Representaci´on gr´afica de las primeras funciones propias φncomparando distintos valores de µ. El parecido entre las funciones propias para µ= 1 y µ= 10 es notable, al igual que sucede con los valores propios, y de hecho parece aumentar a medida que se incrementa n. planteado es entonces: (φ′′(x) + γ2x2+ϵφ(x)=0, x ∈(1,+∞), l´ım x→+∞φ(x) = φ(1) = 0.(4.36) 19 Ahora hacemos el cambio de variable (4.12) para transformar la ecuaci´on en una de la forma presentada en el Ap´endice A.3. Se obtiene: y′′(z) + 1 4z2+ϵ 2γy(z) = 0.(4.37) Transformamos la ecuaci´on (4.35) en (4.37) y esta vez expresamos la soluci´on general en t´erminos de (A.11). Como se ha escrito en el Ap´endice A.3, las funciones W(a;±z), que forman una base del espacio de soluciones, se comportan asint´oticamente como una funci´on que no es de cuadrado integrable. Luego el problema de Sturm-Liouville no tiene soluciones de L2[1,+∞). 5. Entrop´ıas de la informaci´on de Shannon en los subintervalos En la introducci´on se presenta la definici´on de entrop´ıas de la informaci´on de Shannon para una funci´on de densidad de probabilidad, que en nuestro caso ser´an los cuadrados de los m´odulos de las funciones propias (φn)∞ n=1 soluciones de la ecuaci´on de Schrodinger: Sn=−Z1 −1|φn(x)|2ln |φn(x)|2dx. (5.1) En el Cuadro 2 se muestran estos valores para los 20 primeros estados propios para distintos valores del par´ametro µ, y se representan tambi´en en una gr´afica en la Figura 7. Las entrop´ıas de la informaci´on de Shannon del pozo infinito son todas iguales, ya que la integral (5.1) para los estados propios es siempre el mismo valor, que se menciona en [6]: Z1 −1 cos2nπ x 2ln cos2nπ x 2dx=Z1 −1 sen2nπ x 2ln sen2nπ x 2dx= 1 −ln 4 ∀n∈Z. (5.2) En la Figura 5, que compara las funciones propias de los primeros estados para µ= 1 con las del pozo infinito, se puede comprobar, adem´as de la divergencia entre los dos casos a medida que crece n, que cada vez las funciones propias est´an menos dispersas. Por ello es l´ogico que, como se aprecia en el Cuadro 2 y la Figura 7, las entrop´ıas alcancancen un m´aximo que se aproxime a la del pozo infinito para uno de los primeros estados y a partir da aquel vayan decreciendo. Por otra parte, como se puede ver en la Figura 6, a medida que aumenta µlas funciones propias son menos dispersas, lo cual tambi´en se ve reflejado en los valores del Cuadro 2 y las gr´aficas de la Figura 7. 20 Sn n µ = 0.5 µ= 1 µ= 5 µ= 10 0 0.3597 0.3553 0.3209 0.2803 1 0.3722 0.3712 0.3626 0.3502 2 0.3728 0.3723 0.3683 0.3627 3 0.3711 0.3708 0.3682 0.3649 4 0.3687 0.3685 0.3667 0.3643 5 0.3663 0.3661 0.3646 0.3628 6 0.3639 0.3637 0.3625 0.3610 7 0.3615 0.3614 0.3604 0.3591 8 0.3594 0.3592 0.3583 0.3572 9 0.3573 0.3572 0.3564 0.3554 10 0.3553 0.3552 0.3545 0.3536 11 0.3535 0.3534 0.3527 0.3519 12 0.3517 0.3516 0.3510 0.3503 13 0.3500 0.3410 0.3494 0.3487 14 0.3485 0.3484 0.3479 0.3472 15 0.3410 0.3469 0.3464 0.3458 16 0.3455 0.3455 0.3450 0.3445 17 0.3442 0.3441 0.3439 0.3432 18 0.3429 0.3428 0.3424 0.3419 19 0.3416 0.3416 0.3412 0.3407 Cuadro 2: Tabla con las entrop´ıas de la informaci´on de Shannon para el problema en el intervalo [−1,1]. 6. La ecuaci´on de Schr¨odinger en toda la recta En esta secci´on vamos a resolver la ecuaci´on de Schr¨odinger (4.2) pasando por alto las singularidades, ya que conforman un conjunto de medida nula: −ℏ2 2mψ′′(q) + m ω2q2 2ψ(q) = (1 −κ2q2)E ψ(q),(6.1) de donde: −ℏ2 2mψ′′(q) + m ω2+ 2κ2E 2q2ψ(q) = E ψ(q).(6.2) Vamos a estudiar por separado si existen valores propios positivos y negativos: Si m ω2+ 2κ2E > 0: Este caso es el de valores propios E > −m ω2 2κ2.Sea Ω2=m ω2+ 2κ2E > 0. Nos 21 μ=0.5 μ=1 μ=5 μ=10 pozo infinito 0 5 10 15 n 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 S Figura 7: Representaci´on gr´afica de las entrop´ıas de la informaci´on de Shannon para los primeros 20 estados propios para distintos valores del par´ametro µ. queda la ecuaci´on: −ℏ2 2mψ′′(q) + Ω2 2q2ψ(q) = E ψ(q).(6.3) Sean de nuevo los par´ametros γyϵde (4.8) y hagamos los cambios de variable (4.6) y (4.12). Obtenemos la ecuaci´on: y′′(z)−1 4z2−ϵ 2γy(z) = 0.(6.4) Establecemos como condici´on frontera el l´ımite 0 en ±∞, para que la soluci´on sea una funci´on de L2(R):      y′′(z)−1 4z2−ϵ 2γy(z)=0, z ∈R, l´ım z→−∞y(z) = l´ım z→+∞y(z) = 0. (6.5) Expresamos en este caso la soluci´on general como combinaci´on lineal de las funciones dadas en (A.8)–(A.9): y(z) = A U−ϵ 2γ;z+B V −ϵ 2γ;z,(6.6) 22 donde AyBson constantes arbitrarias. Como la funci´on V−ϵ 2γ;ztiene l´ımite ∞cuando z→ ∞, para que esta soluci´on general verifique las condiciones frontera ha de ocurrir que B= 0, y por lo tanto: y(z) = A√π e−z2 4M1 4−ϵ 4γ,1 2;z2 2 21 4−ϵ 4γΓ3 4−ϵ 4γ− z e−z2 4M3 4−ϵ 4γ,3 2;z2 2 2−1 4−ϵ 4γΓ1 4−ϵ 4γ!,(6.7) donde hemos tenido en cuenta (A.7). El potencial es par, luego las soluciones del problema de Sturm-Liouville han de ser pares o impares. Como la soluci´on (6.7) est´a expresada como combinaci´on lineal de las funciones (A.7), que son una par y la otra impar, las soluciones v´alidas del problema de Sturm-Liouville ser´an aquellas en que se anule el coeficiente de una o de la otra, es decir, cuando: Γ3 4−ϵ 4γ=∞,(6.8) o: Γ1 4−ϵ 4γ=∞,(6.9) lo cual ocurre cuando los argumentos de la funci´on gamma toman el valor 0 o enteros negativos. De (6.8) se obtienen las soluciones impares: 3 4−ϵ2n+1 4γ=−n⇒ϵ2n+1 =γ(4n+ 3) = γ(2(2n+ 1) + 1), n ≥0, mientras que (6.9) da lugar a las soluciones pares: 1 4−ϵ2n 4γ=−n⇒ϵ2n=γ(4n+ 1), n ≥0. Combinando las dos tenemos la sucesi´on de valores propios (ϵn)∞ n=0 : ϵn=γ(2n+ 1),(6.10) y la sucesi´on de funciones propias (yn)∞ n=0 : y2n(z) = A2n2n√π e−z2 4M−n, 1 2;z2 2 y2n+1(z) = A2n+1 2n+1√π z e−z2 4M−n, 3 2;z2 2          (6.11) donde los coeficientes (An)∞ n=0 son constantes de normalizaci´on. Deshacemos los cambios de escala en (6.10) para obtener los valores de la energ´ıa: 2m E κ2ℏ2=√mΩ κ2ℏ(2n+ 1) = √m√mω2+ 2 κ2E κ2ℏ(2n+ 1), 23 y operando: 4m2E2 n−2mℏ2κ2(2n+ 1)2En−m2ℏ2ω2(2n+ 1)2= 0. Resolviendo la ecuaci´on de segundo grado nos queda: E=ℏ2κ2 mn+1 22±ℏn+1 2rω2+ℏ2κ4 m2n+1 22. Como estamos en el caso de energ´ıas positivas, descartamos la soluci´on negativa: En=ℏ2κ2 mn+1 22+ℏn+1 2rω2+ℏ2κ4 m2n+1 22,(6.12) donde n∈N∪{0}, que formalmente es el mismo resultado que para el caso del par´ametro de curvatura positivo, como puede consultarse en [2, 3, 4]. Recordamos en el Ap´endice A.1 que las funciones M(−n, b;z) son polinomios en z. En nuestro caso, reescribimos las soluciones en t´erminos de los polinomios de Hermite: y2n(z) = (−1)nC2ne−z2 4H2nz √2 y2n+1(z) = (−1)nC2n+1 e−z2 4H2n+1 z √2            es decir: yn(z)=(−1)⌊n 2⌋Cne−z2 4Hnz √2.(6.13) donde (Cn)∞ n=0 son constantes de normalizaci´on, que se calculan sabiendo que: ZR e−z2 4Hnz √2 2 dz= 2n√2π n!, por la relaci´on de ortogonalidad (A.6). Deshacemos los cambios de variable (4.12) y (4.6) para expresar las funciones propias en t´erminos de las variables y par´ametros originales: ψn(q) = (−1)⌊n 2⌋Cne−κ2γ 2q2Hn(κ√γ q), o de forma m´as expl´ıcita, ψn(q) = (−1)⌊n 2⌋Cne−√m2ω2+2κ2m En 2ℏq2Hn s√m2ω2+ 2κ2m En ℏq .(6.14) 24 A.1.1. Polinomios de Hermite Notemos adem´as que si el primer par´ametro a=−nes un entero negativo o 0, la funci´on hipergeom´etrica confluente de Kummer es un polinomio: M(−n, b;z) = n X k=0 (−n)k (b)k zk k!.(A.2) Para b=1 2,3 2, estos polinomios se expresan en t´erminos de los polinomios de Hermite: H2n(z) = (−1)n(2n)! n!M−n, 1 2;z2 H2n+1(z) = (−1)n(2n+ 1)! n!2z M−n, 3 2;z2          (A.3) que se definen por: Hn(z) = (−1)nez2dn dzne−z2,(A.4) y para n≥2 pueden calcularse por la relaci´on de recurrencia: Hn+1(z) = 2z Hn(z)−2n Hn−1(z).(A.5) Se puede comprobar que los dos primeros polinomios de Hermite son H0(z)≡1, par, yH1(z) = 2z, impar, y que por la relaci´on de recurrencia los polinomios (H2n)∞ n=0 son pares y los polinomios (H2n+1)∞ n=0 son impares. Los polinomios de Hermite verifican adem´as la relaci´on de ortogonalidad: ZR Hm(z)Hn(z)e−z2dz= 2n√π n!δmn.(A.6) A.2. La ecuaci´on diferencial y′′(z)−1 4z2+ay(z)=0 La soluci´on general de esta ecuaci´on diferencial viene dada en t´erminos de la funci´on hipergeom´etrica confluente de Kummer. Las funciones: y1(a;z) = e−z2 4M1 4+a 2,1 2;z2 2 y2(a;z) = z e−z2 4M3 4+a 2,3 2;z2 2        (A.7) 31 forman una base del espacio de soluciones de la ecuaci´on. Otra base muy ´util del espacio de soluciones viene dado por las funciones: U(a;z) = √π 1 21 4+a 2Γ3 4+a 2y1(a;z)−1 2−1 4+a 2Γ1 4+a 2y2(a;z)!,(A.8) V(a;z) = √π Γ1 2−a tg h1 4+a 2πi 21 4+a 2Γ3 4+a 2y1(a;z)− cotg h1 4+a 2πi 2−1 4+a 2Γ1 4+a 2y2(a;z)!.(A.9) Estas dos ´ultimas funciones tienen la ventaja de que su comportamiento asint´otico est´a estudiado y es muy sencillo: l´ım z→+∞ U(a;z) e−z2 2z−a−1 2 = 1,l´ım z→+∞ V(a;z) ez2 2za−1 2 = 1, de donde se deduce que: l´ım z→+∞|U(a;z)|= 0,l´ım z→+∞|V(a;z)|=∞. A.3. La ecuaci´on diferencial y′′(z) + 1 4z2−ay(z)=0 Las funciones: y1(a;z) = e−iz2 4M1 4−ia 2,1 2;iz2 2 y2(a;z) = iz e−iz2 4M3 4−ia 2,3 2;iz2 2        (A.10) forman una base del espacio de soluciones de la ecuaci´on. Otra base del espacio de soluciones viene dado por las funciones: W(a;±z) = 2−3 4  Γ1 4+ia 2 Γ3 4+ia 2 1 2 y1(a;z)∓ 2Γ 3 4+ia 2 Γ1 4+ia 2 1 2 y2(a;z) (A.11) Sea: s(a;z) = ∞ X l=0 (−i)l 2ll! Γ2l+1 2+ ia Γ1 2+ ia 1 z2l=s1(a;z)+is2(a;z). Definimos adem´as los par´ametros adicionales: k=√1 + e2πa −eπa;1 k=√1 + e2πa +eπa, ϕ2= arg Γ 1 2+ ia. 32 Entonces, el comportamiento asint´otico de estas funciones es: l´ım z→+∞r2k zhs1(a;z) cos z2 4−aln z+π 4+ϕ2 2−s2(a;z) sen z2 4−aln z+π 4+ϕ2 2i W(a;z)= 1, l´ım z→+∞r2 kz hs1(a;z) sen z2 4−aln z+π 4+ϕ2 2+s2(a;z) cos z2 4−aln z+π 4+ϕ2 2i W(a;−z)= 1. Por la forma de s(a;z): s(a;z) = 1 −i 2 Γ2 + 1 2+ ia Γ1 2+ ia 1 z2+∞ X l=2 (−i)l 2ll! Γ2l+1 2+ ia Γ1 2+ ia 1 z2l, de modo que los comportamientos asint´oticos relevantes son: l´ım z→+∞r2k zcos z2 4−aln z+π 4+ϕ2 2 W(a;z)= 1, l´ım z→+∞r2 kz sen z2 4−aln z+π 4+ϕ2 2 W(a;−z)= 1. Esto quiere decir que, en esencia, W(a;±x) se comporta asint´oticamente como 1 √z. Referencias [1] A. Ballesteros, A. Enciso, F.J. Herranz, O. Ragnisco (2008). A maximally superintegrable system on an n-dimensional space of nonconstant curvature. Physica D: Nonlinear Phenomena, 237, 505–509. [2] A. Ballesteros, A. Enciso, F.J. Herranz, O. Ragnisco, D. Riglioni (2011). Quantum mechanics on spaces of nonconstant curvature: The oscilator problem and superintegrability. Annals of Physics 326, 2053–2073. [3] A. Ballesteros, A. Enciso, F.J. Herranz, O. Ragnisco, D. Riglioni (2011). A new exactly solvable quantum model in N dimensions. Physics Letters A 375, 1431–1435. [4] A. Ballesteros, I. Guti´errez-Sagredo (2023). 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