El problema de Riemann-Hilbert

FACULTAD DE CIENCIAS TRABAJO FIN DE MÁSTER Máster en Matemáticas El problema de Riemann-Hilbert Autor: Mario García Mayo Tutor: Jorge Mozo Fernández 2023 Índice general Introducción 3 1. Prolongación analítica 4 1.1. Prolongación a lo largo de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. El teorema de monodromía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Ecuaciones diferenciales complejas 11 2.1. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n.................. 17 2.3. Prolongación analítica y grupo de monodromía . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. Soluciones en el recubrimiento universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5. Singularidades regulares y fuchsianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. El problema de Riemann-Hilbert 31 3.1. El contraejemplo de Bolibruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. BasesdeLevelt.................................. 33 3.3. El sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4. El sistema de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5. Algunas variantes del problema con solución positiva . . . . . . . . . . . . . 62 A. Superficies de Riemann y topología algebraica 64 A.1. Superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 A.2.Homotopíadecurvas............................... 65 A.3.Recubrimientos.................................. 67 B. Algunos teoremas clásicos del análisis complejo 70 Bibliografía 72 2 Introducción En el año 1900, el matemático alemán D. Hilbert presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos de París una lista con veintitrés de los problemas más importantes del siglo XX que aún estaban sin resolver, los llamados problemas de Hilbert. Entre ellos, el problema número veintiuno era el siguiente: demostrar que existe un sistema fuchsiano con singularidades y monodromía prefijadas. El problema adquiriría el nombre de problema de Riemann-Hilbert cuando se vio que B. Riemann había investigado problemas similares anteriormente. En 1908, J. Plemelj supuestamente resolvió este problema, obteniendo una respuesta afirmativa. Sin embargo, más de setenta años después se descubrió un fallo en su demostración. La solución que había obtenido Plemelj era al problema de encontrar un sistema regular con singularidades y monodromía prefijadas. Los sistemas regulares y los fuchsianos guardan cierta relación entre ellos, y de hecho los sistemas fuchsianos resultan ser también regulares, pero no son conceptos equivalentes. Sería en 1989 cuando A. A. Bolibruch encontró una monodromía que no podía pertenecer a ningún sistema fuchsiano, obteniendo así una respuesta negativa para el problema. El objetivo de este trabajo será estudiar el problema de Riemann-Hilbert y el contraejemplo de Bolibruch, haciendo previamente una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias complejas y desarrollando toda la teoría necesaria para entenderlo. Esta, además de nociones de variable compleja y ecuaciones diferenciales, incluirá también conceptos propios de la topología algebraica, la teoría de grupos y la geometría diferencial. 3 Capítulo 1 Prolongación analítica En este primer capítulo estudiaremos el problema de extender una función analítica a un dominio más amplio de su dominio de definición original y veremos como extender funciones definidas en un disco a través de curvas que no estén contenidas en él. El resultado principal que demostraremos, el teorema de monodromía, nos dará condiciones para ver cuándo las prolongaciones de funciones a través de distintas curvas coiniciden. La referencia principal de este capítulo será [12]. 1.1. Prolongación a lo largo de curvas Definición 1.1. Un elemento de función es un par ordenado (f, D)donde Des un disco abierto de Cyfuna función holomorfa en D. Dos elementos de función (f0, D0)y(f1, D1) se dice que son prolongación analítica uno del otro si D0∩D1=∅yf0(z) = f1(z)para todo z∈D0∩D1. En este caso escribiremos (f0, D0)∼(f1, D1). Definición 1.2. Una cadena es una sucesión finita de discos C={D0, . . . , Dn}tal que Di−1∩Di=∅para cada i= 1, . . . , n. Si dados una cadena C={D0, . . . , Dn}y un elemento de función (f0, D0)existen elementos de función (f1, D1), . . . (fn, Dn)tales que (fi−1, Di−1)∼(fi, Di)para cada i= 1, . . . , n, se dice que (fn, Dn)es prolongación analítica de (f0, D0)a través de C. Observación 1.3.De la definición anterior se pueden deducir fácilmente dos propiedades interesantes: I) Dados C={D0, . . . , Dn}y(f0, D0)existe a lo sumo una única prolongación analítica 4 Capítulo 1. Prolongación analítica 5 a través de C: si tuviesemos (f0, D0)∼(f1, D1)y(f0, D0)∼(g1, D1), entonces f1(z) = f0(z) = g1(z)∀z∈D0∩D1, y al ser D1un conjunto conexo por el principio de identidad (B.1) se tiene que f1=g1 en D1. Aplicando el mismo razonamiento por inducción se llega a la unicidad de fn. II) Si C={D0, . . . , Dn}es una cadena tal que D0∩Dn=∅y(fn, Dn)la prolongación analítica de (f0, D0)a través de C, en general no es cierto que (f0, D0)∼(fn, D0). Por ejemplo, si D0,D1yD2son los discos de radio 1 centrados en los puntos 1,ωy ω2, donde ω=e2πi 3(ω3= 1), y consideramos las funciones f0(z) = q|z|eiarg(z) 2,arg(z)∈[−π, π), f1(z) = q|z|eiarg(z) 2,arg(z)∈−π 3,5π 3, f2(z) = q|z|eiarg(z) 2,arg(z)∈π 3,7π 3, analíticas en D0,D1yD2, se tiene que (f0, D0)∼(f1, D1),(f1, D1)∼(f2, D2)y D0∩D2=∅, pero f0=f2en D0∩D2: si z∈D0∩D2, al calcular f0(z)tomaremos arg(z)en (−π 2,−π 6)⊂[−π, π)y al calcular f2(z)en (3π 2,11π 6)⊂[π 3,7π 3), luego f2(z) = f0(z)eiπ =−f0(z). Definición 1.4. Sean γ: [0,1] →Cuna curva continua y C={D0, . . . , Dn}una cadena. Se dice que Crecubre γsi existen números 0 = s0< s1< . . . < sn= 1 tales que γ(0) es el centro de D0,γ(1) el centro de Dnyγ([si, si+1]) ⊂Dipara cada i= 0, . . . , n −1. Si un elemento de función (f0, D0)puede ser prolongado a través de esta cadena Ca(fn, Dn), se dice que (fn, Dn)es una prolongación analítica de (f0, D0)a través de γ. La prolongación analítica de un elemento de función a través de una curva a priori no parece que tenga por qué ser única, ya que aunque sí que lo sea a través de cadenas podría haber más de una cadena que recubriese la curva. Probaremos a continuación que en verdad sí que lo es, haciendo uso de una especie de transitividad de ∼bajo hipótesis más restrictivas. Proposición 1.5. Sean (f0, D0),(f1, D1)y(f2, D2)tres elementos de función tales que (f0, D0)∼(f1, D1),(f1, D1)∼(f2, D2)yD0∩D1∩D2=∅. Entonces (f0, D0)∼(f2, D2). Demostración. Como f0=f1en D0∩D1yf1=f2en D1∩D2se tiene que f0=f2en D0∩D1∩D2=∅. Al ser D0∩D2un conjunto conexo, por el principio de identidad (B.1) Capítulo 1. Prolongación analítica 6 se tiene que f0=f2en D0∩D2. De aquí en adelante, cuando hablemos de curvas supondremos que son continuas, toman parámetros en el intervalo [0,1] y tienen llegada en Ca no ser que se especifique lo contrario. Teorema 1.6. Sean (f, D)un elemento de función y γuna curva tal que γ(0) es el centro de D. Entonces existe una única prolongación analítica de (f, D)a través de γ. Demostración. Sean C1={A0, . . . , Am}yC2={B0, . . . , Bn}dos cadenas que recubren γ y a través de las cuales se puede prolongar analíticamente (f, D). Por definición, existen números 0 = s0< s1< . . . < sm= 1, 0 = σ0< σ1< . . . < σn= 1, tales que γ([si, si+1]) ⊂Ai, γ([σj, σj+1]) ⊂Bj∀i= 0, . . . , m −1, j = 0, . . . , n −1, y elementos de función (gi, Ai)∼(gi+1, Ai+1),(hj, Bj)∼(hj+1, Bj+1), para cada i= 0, . . . , m −1,j= 0, . . . , n −1, donde A0=B0=Dyg0=h0=f. Vamos a ver que si 0≤i≤m−1y0≤j≤n−1, y si [si, si+1]tiene intersección no vacía con [σj, σj+1], entonces (gi, Ai)∼(hj, Bj). Supongamos que esto no es cierto, es decir, que existen pares (i, j)para los que la hipótesis no se cumple. Entre estos pares, escogemos el par que haga que i+jsea minimal. Supongamos que si≥σj(en caso contrario se razonaría de forma similar). Entonces i≥1, y como [si, si+1]corta a [σj, σj+1]se tiene que γ(si)∈Ai−1∩Ai∩Bj. Al ser i+jminimal se tiene que (gi−1, Ai−1)∼(hj, Bj), y como (gi−1, Ai−1)∼(gi, Ai)la proposición 1.5 implica que (gi, Ai)∼(hj, Bj), contradiciendo la suposición. Como 1∈[sm−1, sm]∩[σn−1, σn], se tiene que (gm−1, Am−1)∼(hn−1, Bn−1). Además, (gm−1, Am−1)∼(gm, Am),(hn−1, Bn−1)∼(hn, Bn)y γ(1) ∈Am−1∩Am∩Bn−1∩Bn. Capítulo 1. Prolongación analítica 7 Entonces, por la proposición 1.5 se tiene que (gm, Am)∼(hn, Bn)y por tanto gm=hn en Am∩Bn. Como ambos discos AmyBnestán centrados en γ(1), las expansiones en potencias de z−γ(1) de gmy de hntienen que ser las mismas y podemos concluir que gm=hnen el disco más grande de los dos. Observación 1.7.La prolongación analítica de un elemento de función a través de dos curvas con los mismos extremos no tiene por qué ser la misma. Por ejemplo, consideramos las dos semicircunferencias de radio 1 que van de 1 a -1 γ1(t) = cos(πt) + isin(πt), γ2(t) = cos(πt)−isin(πt), y los discos A0=B0=D,A1,B1yA2=B2que se muestran a continuación: Figura 1.1: Curvas con extremos iguales que dan prolongaciones distintas. Si definimos las funciones gien Aiyhien Bi(i= 0,1,2) mediante f(z) = g0(z) = h0(z) = log(|z|) + iarg(z),arg(z)∈[−π, π), g1(z) = g2(z) = log(|z|) + iarg(z),arg(z)∈[−π 2,3π 2), h1(z) = h2(z) = log(|z|) + iarg(z),arg(z)∈[−3π 2,π 2), Capítulo 1. Prolongación analítica 8 entonces C1={A0, A1, A2}recubre γ1,C2={B0, B1, B2}recubre γ2y(gi, Ai)∼(gi+1, Ai+1), (hi, Bi)∼(hi+1, Bi+1)para i= 0,1, pero g2(z)=h2(z)en A2=B2. De un modo similar, ultilizando distintas ramas del logaritmo y la circunferencia completa se puede ver que la prolongación analítica de una función a través de una curva cerrada no tiene por qué coincidir con la propia función (esto también se podía intuir tras ver la observación 1.3, II). Este hecho nos será de gran importancia más adelante. 1.2. El teorema de monodromía Definición 1.8. Sean α, β puntos de C,I= [0,1] yφuna aplicación continua de I2=I×I en Ctal que φ(0, t) = αyφ(1, t) = βpara todo t∈I. Las curvas γtdefinidas por γt(s) = φ(t, s)t∈I, s ∈I, se dice que forman una familia uniparamétrica de curvas {γt}t∈Ide αaβ. Vamos ahora con una propiedad de la prolongación analítica que será fundamental para demostrar el teorema de monodromía. Proposición 1.9. Sean α, β ∈C,{γt}una familia uniparamétrica de curvas de αaβ,D un disco centrado en αy(f, D)un elemento de función que admite prolongación analítica a través de cada curva γta un elemento (gt, Dt). Entonces, g0=g1. Demostración. Fijamos t∈I. Sea C={A0, . . . , An}una cadena que recubre γttal que A0=D. Existen números 0 = s0< . . . < sn= 1 tales que Ei=γt([si, si+1]) ⊂Ai∀i= 0, . . . , n −1. Como cada Eies compacto, existe ε > 0tal que la distancia entre Eiy el complementario de Aies menor que εpara cada i= 0, . . . , n −1. Sea φ:I2→Cla función que define la familia uniparamétrica de curvas {γt}. Al ser φcontinua en el compacto I2, se tiene que φes uniformemente continua en I2y entonces existe un δ > 0tal que para cada s, u ∈I con |(s, t)−(s, u)|=|t−u|< δ se tiene que |φ(s, t)−φ(s, u)|=|γt(s)−γu(s)|< ε Tomamos u∈Ique satisfaga |t−u|< δ. Por la elección de ε, se tiene que la cadena C también recubre γu. Entonces, por el teorema 1.6 se tiene que gtyguse obtienen mediante Capítulo 1. Prolongación analítica 9 prolongación analítica a través de la misma cadena Cy por tanto gt=gu. Se tiene así que cada t∈Ies el centro de un segmento Jtde longitud 2δtal que gt=gu para todo u∈I∩Jt. Como Ies compacto, se puede recubrir por una cantidad finita de Jt, y como es conexo en un número finito de etapas se puede llegar a que g0=g1. Introducimos a continuación las últimas definiciones que necesitaremos antes de llegar al resultado final del capítulo. Definición 1.10. Sean αyβpuntos de un dominio (abierto conexo y no vacío) Ωde C yΓ0yΓ1dos curvas en Ωde αaβ. Se dice que Γ0yΓ1son Ω−homótopas si existe una familia uniparamétrica de curvas {γt}de αen βtal que cada γtes una curva en Ω,γ0= Γ0 yγ1= Γ1. Definición 1.11. Sean Ωun dominio de C,D⊂Ωun disco y (f, D)un elemento de función. Se dice que (f, D)admite prolongación analítica sin restricciones en Ωsi (f, D) se puede prolongar analíticamente a través de cada curva en Ωque comience en el centro de D. Teorema 1.12 (de monodromía).Sean Ωun dominio de C,D⊂Ωun disco y (f, D)un elemento de función que admite prolongación analítica sin restricciones en Ω. Entonces, I) Si Γ0yΓ1son curvas Ω-homótopas de αaβ, siendo αel centro de D, entonces la prolongación analítica de (f, D)a través de Γ0coincide con su prolongación analítica a través de Γ1. II) Si además Ωes simplemente conexo, existe una función gholomorfa en Ωtal que g(z) = f(z)para todo z∈D. Demostración. La primera parte se deduce trivialmente del teorema 1.9. Para probar II, observamos que al ser Ωsimplemente conexo, por el teorema de representación conforme de Riemann (B.2) existe un homeomorfismo h: Ω →U, donde Ues el disco unidad. Al ser Uconvexo, podemos definir γt(s) = h−1(1 −t)h(Γ0(s)) + th(Γ1(s)),donde 0≤s≤1,0≤t≤1. La familia uniparamétrica de curvas {γt}que obtenemos muestra que cualquier par de curvas Γ0yΓ1en Ωde αen βson Ω-homótopas. Entonces, por I se tiene que todas las prolongaciones analíticas de (f, D)a través de una curva en Ωque acaben en un punto Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales complejas 16 Demostración. Derivando det(Y(z)) por filas, se tiene que d dz det(Y(z)) =  y′ 11(z)y′ 12(z). . . y′ 1n(z) y21(z)y22(z). . . y2n(z) . . .. . ..... . . yn1(z)yn2(z). . . ynn(z)  +···+ +. . . + y11(z)y12(z). . . y1n(z) y21(z)y22(z). . . y2n(z) . . .. . ..... . . y′ n1(z)y′ n2(z). . . y′ nn(z)  Como Y′(z) = A(z)Y(z), se tiene que el primer sumando es  a11y11 +···+a1nyn1. . . a11y1n+···+a1nynn y21 . . . y2n . . ..... . . yn1. . . ynn  =a11(z)det(Y(t)), y de modo similar el resto son a22(z)det(Y(t)), . . . , ann(z)det(Y(t)). Entonces, el wronskiano es solución de la ecuación diferencial (2.11). Al resolverla, obtenemos la expresión (2.12). Teorema 2.8. Un conjunto de soluciones y1,...,yn∈ S(D)es un sistema fundamental de soluciones si, y solo si, existe z0∈Dtal que W(y1,...,yn)(z0)= 0. Demostración. Por el teorema 2.7, el wronskiano de la matriz asociada al conjunto de soluciones será identicamente nulo si, y solo si, se anula en algún punto, lo que nos da el resultado que buscabamos. El último resultado que comentaremos relacionado con la estructura de espacio vectorial de S(D)es el siguiente. Proposición 2.9. Sea Y(z)una matriz solución de (2.1). Si X(z)es otra matriz tal que X(z) = Y(z)Cpara alguna matriz C, entonces Y(z)es otra matriz solución de (2.1). Además, si Y(z)es una matriz fundamental del sistema, entonces X(z)es otra matriz fundamental si, y solo si, X(z) = Y(z)Cpara alguna matriz Cregular. Demostración. Si X(z) = Y(z)C, derivando y teniendo en cuenta que Yes una matriz Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales complejas 17 solución es sencillo ver que X′(z) = Y′(z)C=A(z)Y(z)C=A(z)X(z). Esto también nos da la segunda implicación de la última parte de la proposición, ya que solo habría que añadir que al ser X(z) = Y(z)Cproducto de matrices invertibles también sería invertible. Para probar la primera implicación, en primer lugar observamos que al derivar la expresión I=Y(z)Y−1(z)se obtiene 0 = I′= (Y Y −1)′=−Y′Y−1+Y(Y−1)′, y despejando (Y−1)′=Y−1Y′Y−1. Entonces, teniendo en cuenta que XeYson soluciones del sistema (Y−1X)′=(Y−1)′X+Y−1X′=Y−1Y′Y−1X+Y−1X′= =−Y−1AY Y −1X+Y−1AX = 0, y concluimos que C=Y−1(z)X(z)es la matriz regular que buscabamos. 2.2. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n Si tenemos una ecuación diferencial lineal de orden ncomo (2.2), podemos construir un sistema de necuaciones diferenciales de primer orden equivalente del tipo (2.1). Basta considerar el sistema con matriz A(z) =        0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 . . .. . .. . ..... . . −an(z)−an−1(z)−an−2(z). . . −a1(z)        ,(2.13) Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales complejas 18 y tomar y=y1. Entonces, la existencia y unicidad de soluciones del problema de Cauchy asociado a (2.2),    y(n)+a1(z)y(n−1) +···+an(z)y= 0, y(z0) = w0, . . . , y(n−1)(z0) = wn−1, wi∈C, (2.14) se deduce fácilmente del teorema 2.1. Teorema 2.10. El problema de Cauchy (2.14) tiene una única solución y∈ H(D)que solamente depende de los valores iniciales w0, . . . , wn−1. Demostración. Si consideramos el problema de Cauchy (2.3) con la matriz A(z)dada en (2.13) y w0= (w0, . . . , wn−1), por el teorema 2.1 se tiene que existe una única solución y= (y1, . . . , yn)∈ H(D)ndel problema. Entonces, la función y=y1∈ H(D)será la única solución de (2.14). De un modo similar a como sucedía en el caso de los sistemas de primer orden, para las ecuaciones lineales de orden superior el conjunto de soluciones S(D)también tendrá estructura de espacio vectorial. Teorema 2.11. El conjunto de soluciones de (2.2), S(D) = {y∈ H(D) : y(n)+a1(z)y(n−1) +···+an(z)y= 0}, es un espacio vectorial de dimensión n. Además, {y1, . . . , yn}es una base de S(D)si, y solo si, {y1(z0),...,yn(z0)}es una base de Cn, donde yi(z0)=(yi(z0), . . . , y(n−1) i(z0)). Demostración. Es sencillo ver que, por la linealidad de la derivada, S(D)es cerrado por la suma y el producto escalar de H(D), luego forma un subespacio vectorial suyo. Para ver la dimensión de S(D), observamos que la aplicación S(D)−→ Cn y7−→ y(z0)=(y(z0), . . . , y(n−1)(z0)), es un isomorfismo por el teorema 2.10. De aquí se deduce que dimS(D) = ny la equivalencia entre las bases de S(D)yCn. Vamos ahora a estudiar cómo son las bases de S(D). Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales complejas 19 Definición 2.12. Sean y1, . . . , yn, n soluciones de la ecuación (2.2). Si las nsoluciones son linealmente independientes, es decir, forman una base de S(D), diremos que forman un sistema fundamental de soluciones de (2.2). Definición 2.13. Sean y1, . . . , yn∈ H(D). La aplicación W(y1, . . . , yn) : D−→ Cdefinida por W(y1, . . . , yn)(z) =  y1(z)y2(z). . . yn(z) y′ 1(z)y′ 2(z). . . y′ n(z) . . .. . ..... . . y(n−1) 1(z)y(n−1) 2(z). . . y(n−1) n(z)  , se denomina wronskiano de y1, . . . , yn. Observamos que, si y1, . . . , yn∈ S(D), esta definición de wronskiano se puede ver como un caso particular de la definición 2.6 al considerar el sistema con matriz (2.13) asociado a nuestra ecuación. Entonces, de los teoremas 2.7 y 2.8 se deducen inmediatamente los dos teoremas siguientes: Teorema 2.14. Sea y1, . . . , yn∈ S(D)un conjunto de soluciones de (2.2). Entonces, su wronskiano W(y1, . . . , yn)es solución de la ecuación diferencial y′=−an−1(z)y, y, por tanto, W(y1, . . . , yn)(z) = W(y1, . . . , yn)(z0) exp (Z[z0,z]−an−1(u)du) para todo z, z0∈D. Teorema 2.15. Un conjunto de soluciones y1, . . . , yn∈ S(D)es un sistema fundamental de soluciones si, y solo si, existe z0∈Dtal que W(y1, . . . , yn)(z0)= 0. 2.3. Prolongación analítica y grupo de monodromía Consideramos ahora el sistema (2.1) en un dominio cualquiera S. Sabemos que en cualquier disco Dcontenido en Spodemos encontrar soluciones al sistema. Si y= (y1, . . . , yn)es una solución en D, tiene sentido considerar los elementos de función (yi, D)y preguntarnos si Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales complejas 20 al prolongarlos analíticamente a otro disco contenido en Sobtendremos una nueva solución del sistema en él. Proposición 2.16. Sean D0=D(z0, r0)yD1=D(z1, r1)dos discos contenidos en Stales que z1∈D0. Si y∈ H(D0)nes una solución de (2.1) en D0, entonces existe y∗∈ H(D1)n tal que y∗es solución de (2.1) en D1y(y∗ i, D1)es prolongación analítica de (yi, D0)para cada i= 1, . . . , n. Demostración. Consideramos el problema de Cauchy    x′=A(z)x, x(z1) = y(z1). Por el teorema 2.1, existe una única solución y∗∈ H(D1)nal problema en D1. Para dicha solución se verifica que yi(z1) = y∗ i(z1)∀i= 1, . . . , n. Como z1es un punto de acumulación del abierto conexo D0∩D1, por el principio de identidad B.1 se tiene que yi=y∗ ien D0∩D1y por tanto (yi, D0)∼(y∗ i, D1)para cada i= 1, . . . , n. Corolario 2.17. Sean D0⊂Sun disco, y= (y1, . . . , yn)una solución de (2.1) en D0yγ una curva en S. Entonces, cada elemento de función (yi, D0)admite prolongación analítica (y∗ i, D1)a través de γ, y además y∗= (y∗ 1, . . . , y∗ n)es solución de (2.1) en D1. Demostración. Basta con construir una cadena contenida en Stal que el centro de cada disco esté en el disco anterior y que recubra γ, e ir aplicando la proposición anterior en cada par de discos consecutivos. Corolario 2.18. Si Ses un dominio simplemente conexo e y= (y1, . . . , yn)una solución de (2.1) definida en un disco D⊂S, entonces yse puede extender a una función y∗∈ H(S) que es solución de (2.1) en todo S. Demostración. Se deduce inmediatamente del teorema de monodromía 1.12 viendo que cada (yi, D)se puede prolongar a través de cualquier curva en Scomo en el corolario anterior. Si consideramos una curva cerrada γcon origen en z0y prolongamos una solución de (2.1) definida en un disco D=D(z0, r)⊂Sa través de γ, obtendremos una nueva solución Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales complejas 21 en ese disco que, a priori, no tiene por qué ser la misma. Además, por el teorema de monodromía 1.12 sabemos que las soluciones que obtengamos de este modo al prolongar por curvas homótopas serán las mismas. Entonces, para cada clase de equivalencia [γ]∈π1(S) podemos definir la aplicación Φγ:S(D)−→ S(D) y7−→ yγ, que envía cada solución de (2.1) en Den la solución que obtenemos al prolongar a través de una curva homótopa a γ. Al prolongar analíticamente se respetan las combinaciones lineales de funciones (simplemente hay que observar que coinciden en las intersecciones de los discos), luego Φγenvía bases de S(D)en bases de S(D)y resulta ser un automorfismo del espacio vectorial S(D). Proposición 2.19. Sean D⊂Uun disco y S(D)el espacio de soluciones de (2.1) en D. Con la notación anterior, la aplicación χ:π1(S)−→ Aut(S(D)) [γ]7−→ Φγ es un homomorfismo de grupos. Demostración. El producto de curvas ·definido en π1(S)consiste en ”pegar” curvas una detrás de otra (ver A.10), así que es obvio que si γyηson dos representantes de clases de π1(S)las soluciones que obtendremos al prolongar a través de la curva γ·ηserán las mismas que las que obtenemos al prolongar primero a través de γy luego a través de η. El resultado anterior nos permite introducir la siguiente definición. Definición 2.20. Con la notación de la proposición 2.19, la imagen de π1(S)a través de χes un subgrupo de Aut(S(D)) que se denomina grupo de monodromía de (2.1) en D. Observación 2.21.El espacio de soluciones S(D)es isomorfo a CnyAut(Cn)∼ =GL(n, C), luego χse puede ver como un homomorfismo de grupos χ:π1(S)−→ GL(n, C), es decir, χes una representación de grupos. La llamaremos la respresentación de monodromía. Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales complejas 22 2.4. Soluciones en el recubrimiento universal Para esta sección son necesarias algunas nociones sobre superficies de Riemann y topología algebraica que se introducen en el apéndice A. También pueden encontrarse con mayor detalle en [6]. Sea p:˜ S−→ Sel recubrimiento universal del dominio S. Por definición de recubrimiento, para cada z∈Sexiste un entorno U⊂Sde ztal que p−1(U) = Sj∈JVj, donde los Vjson abiertos disjuntos de ˜ Sy las restricciones p|Vj:Vj−→ Uson homeomorfismos para cada j∈J. Entonces, estas restricciones son cartas complejas de ˜ Sque forman un atlas complejo con el que podemos dotar al recubrimiento de estructura de superficie de Riemann. Además, si fes una función holomorfa en S, se tiene que (f◦p)◦p|−1 Vj:p(Vj)−→ C, es la función f|p(Vj), holomorfa para cada Vj, luego f◦pes holomorfa en ˜ S. Además, si ˜z∈p−1z⊂˜ Sse tiene que (f◦p)(˜z) = f(z), luego denotaremos también por fa la composición f◦p. Entonces, si yes una solución de (2.1) en un disco D⊂S,ytambién será solución del sistema en p−1(D)⊂˜ Sy, al ser ˜ Ssimplemente conexo, yserá solución del sistema en todo ˜ S. De un modo similar, si Yes una matriz fundamental de soluciones del sistema en Dlo será en todo ˜ S. Además, si ∆es el grupo de transformaciones recubridoras de p:˜ S−→ Syσ∈∆, se tiene que p◦σ=py entonces y◦σeY◦σserán de nuevo soluciones de (2.1) y (2.10) en ˜ S. Por tanto, existirá una matriz χ(σ)∈GL(n, C)tal que Y= (Y◦σ)χ(σ).(2.15) La aplicación χ: ∆ −→ GL(n, C)resulta ser una representación de grupos: si τes otro elemento de ∆, Y◦τ= ((Y◦σ)χ(σ)) ◦τ= (Y◦σ◦τ)χ(σ), y entonces Y= (Y◦τ)χ(τ)=(Y◦σ◦τ)χ(σ)χ(τ)=(Y◦στ)χ(σ)χ(τ), luego χ(στ) = χ(σ)χ(τ). Si en vez de partir de Ypartimos de otra matriz fundamental de Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales complejas 23 soluciones ˆ Yde (2.1), por la proposición 2.9 se tiene que ˆ Y=Y C, donde C∈GL(n, C). En lugar de (2.15), obtenemos ˆ Y= ( ˆ Y◦σ)ˆχ(σ), donde ˆχtambién es una representación de grupos ˆχ: ∆ −→ GL(n, C). Entonces, (Y◦σ)χ(σ)C=Y C = (Y C ◦σ)ˆχ(σ)=(Y◦σ)Cˆχ(σ), y se tiene por tanto que ˆχ(σ) = C−1χ(σ)C, donde Ces la misma para cada σ∈∆. Diremos en este caso que las representaciones χy ˆχson conjugadas. Definición 2.22. La clase de representaciones de grupos conjugadas ∆−→ GL(n, C) correspondiente al sistema (2.1) se denomina la monodromía del sistema. Observación 2.23.La monodromía de la definición anterior es, esencialmente, la representación de monodromía definida en la observación 2.21, en el sentido de que prolongar soluciones a través de lazos cerrados en Sse traduce en aplicar la transformación recubridora correspondiente en ˜ S(el grupo de transformaciones recubridoras ∆y el grupo fundamental π1(S)son isomorfos, ver teorema A.37). Los contenidos de esta sección y la anterior se puede llevar al caso de ecuaciones diferenciales lineales (2.2) considerando el sistema asociado con matriz (2.13) a la ecuación, así que daremos por introducidos estos conceptos también en ese contexto. 2.5. Singularidades regulares y fuchsianas Definición 2.24. Se dice que un punto z0∈Ces un punto singular del sistema (2.1) (resp. de la ecuación (2.2)) si la matriz A(z)(resp. alguno de los coeficientes ai(z)) presenta una singularidad aislada en z0. Vamos a estudiar como se comporta el sistema (2.1) cerca de un punto singular z0. Supongamos que z0= 0 y consideramos un disco U∗={z∈C: 0 <|z|< ε}tal que A(z)es holomorfa en U∗. Si p:˜ U∗−→ U∗es el recubrimiento universal de U∗, las soluciones ye Yserán holomorfas en ˜ U∗. El grupo fundamental π1(U∗)es un grupo cíclico isomorfo a Zgenerado por la clase de Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales complejas 24 curvas homótopas que dan una vuelta al origen en sentido antihorario, luego ∆será un grupo cíclico generado por una transformación recubridora σ∈∆que se corresponde con dicha clase de curvas homótopas. Entonces, la función logaritmo, que en U∗es una función multiforme con diversas ramas, en ˜ U∗será una función holomorfa que verifica log(σ˜z) = log ˜z+ 2πi. Observación 2.25.En este caso, se puede construir explícitamente el recubrimiento universal de U∗. Se trata de la exponencial p:˜ U∗−→ U∗ ˜z7−→ e˜z, definida en ˜ U∗={˜z∈C:Re˜z < log ε}. Las transformaciones recubridoras son las traslaciones por 2kπi con k∈Z, y el generador σes la traslación por 2πi. Se puede ver entonces que al llevar el logaritmo de U∗a˜ U∗lo que obtenemos es la aplicación constante (estamos componiendo exponencial y logaritmo), y entonces está claro que log(σ˜z) = log(˜z+ 2πi) = ˜z+ 2πi = log ˜z+ 2πi. Aún así, no es necesario usar la expresión explícita del recubrimiento universal. En general, el recubrimiento universal será notablemente más complicado de obtener explícitamente, si es que es posible hacerlo. Sean G=χ(σ−1)yE=1 2πi log G, donde log Ges una matriz que verifica elog G=Gsiendo eA= ∞ X k=0 Ak k!, la exponencial matricial (por tanto, e2πiE =G). Observamos que de (2.15) se deduce Y◦σ=Y χ(σ)−1=Y G, (2.16) al ser χun homomorfismo de grupos. A priori log Gno es única, pero si λjson los autovalores de Gentonces los autovalores de Etendrán que ser de la forma µj=1 2πi log λj, e imponiendo que 0≤Reµj<1,(2.17) Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales complejas 25 (es decir, tomando la rama con 0≤argz < 2πpara los µj) conseguiremos la unicidad de log G. Consideramos la función ˜zE=eElog ˜z, holomorfa en ˜ U∗. Se tiene que (σ˜z)E=eE(log ˜z+2πi)=eElog ˜ze2πiE = ˜zEG, y, aplicando (2.16), Y(σ˜z)(σ˜z)−E=Y(˜z)Ge−E(2πi+log ˜z)=Y(˜z)GG−1˜zE=Y(˜z)˜zE. Por tanto, la aplicación Z(z) = Y(˜z)˜zEestá bien definida y es holomorfa en U∗. Obtenemos así el siguiente resultado. Teorema 2.26 (representación de Poincaré).Para cualquier matriz fundamental de soluciones Yde (2.1) en ˜ U∗existen una función Zholomorfa en U∗y una matriz constante E∈CL(n, C)tales que Y(˜z) = Z(z)˜zE.(2.18) Corolario 2.27. La ecuación (2.2) admite una solución en ˜ U∗de la forma y(˜z) = h(z)˜zλ, donde h(z)es una función holomorfa en U∗. Este resultado nos servirá para estudiar qué sucede cerca de determinados tipos de puntos singulares que introduciremos a continuación. Definición 2.28. Sea z0un punto singular del sistema (2.1). Se dice que z0es una singularidad regular o que (2.1) es regular en z0si cualquier solución y= (y1, . . . , yn)del sistema tiene a lo sumo crecimiento polinomial (crecimiento moderado) cuando z→z0, es decir, si existen k∈NyC > 0tales que para cualquier sector Σ = {z=z0+reiθ : 0 < r < ε, a ≤θ≤b}, se tenga que |yj(z)|<C |z−z0|k∀z∈Σ, para cada j= 1, . . . , n. Si todos los puntos singulares del sistema son singularidades regulares, diremos que el sistema es regular. Observación 2.29.Si en la definición de punto regular no imponemos que z−→ z0en un sector del tipo de Σ, podríamos hacer que funciones multiformes como el logaritmo Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 32 El sistema tiene singularidades en a1= 0,a2=−1,a3= 1 ya4=1 2(tendríamos que comprobar también que no tiene una singularidad en ∞, lo deduciremos de la fórmula (3.30) que probaremos más adelante). Los puntos a2,a3ya4son singularidades fuchsianas, pero en a1la matriz A(z)presenta un polo de orden 2, luego el sistema no es fuchsiano en a1. Vamos a probar el siguiente resultado: Teorema 3.2. Consideramos el sistema (2.1) con matriz (3.1). Sean {a1, a2, a3, a4}sus puntos singulares y χsu monodromía. Entonces, no existe ningún sistema fuchsiano con dichos puntos singulares y dicha mondromía. Como consecuencia, la respuesta al problema de Riemann-Hilbert 3.1 es negativa. La forma de probar este resultado será algo peculiar. En primer lugar, observamos que la matriz del sistema se puede escribir de la forma A(z) =        0a12(z)a13(z) 0 B(z) 0        ,(3.2) donde a12(z) = 1 z2+1 z+ 1 −1 z−1 2 ;a13(z) = 1 z−1−1 z−1 2 ,(3.3) y B(z) = 1 z 1 0 0−1!+1 6(z+ 1) −1 1 −1 1!+(3.4) +1 2(z−1) −1−1 1 1 !+1 3(z−1 2) −1 1 −1 1!. Entonces, si y= (y1, y2, y3)Tes una solución del sistema, se tendrá que y′ 1=a12(z)y2+a13(z)y3,(3.5) e(y2, y3)será solución del sistema con matriz (3.4), y′=B(z)y.(3.6) Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 33 Estudiaremos este sistema de forma independiente para ver que cualquier sistema con sus singularidades y monodromía tiene que cumplir cierta condición, y después veremos que si existe un sistema fuchsiano con las singularidades y monodromía de (3.1), podremos extraer un sistema de orden 2 con las singularidades y monodromía de (3.6) pero que no cumple la condición adicional que hemos comentado. 3.2. Bases de Levelt Antes de estudiar el contraejemplo, necesitaremos introducir una nueva teoría local para sistemas regulares que presentaremos en esta sección. Esta teoría fue desarrollada por Levelt en [7]. Supongamos que yes una función holomorfa en U∗con crecimiento moderado en z0= 0. Si existen k∈ZyC > 0tal que para cualquier sector Σ |y(z)| ≤ C |z|kcuando z−→ 0, z ∈Σ, al considerar ˜ Σ⊂˜ U∗tal que p(˜ Σ) = Σ se tendrá que existe λ∈Rtal que y(˜z)|z|−λ−→ 0cuando z−→ 0, p˜z=z, ˜z∈˜ Σ.(3.7) Esta es la definición de punto regular que se da en algunos textos como [2], y aunque es equivalente a la anterior nos resultará más cómodo trabajar con ella de aquí en adelante. Si yes una función holomorfa en ˜ U∗con crecimiento moderado cuando z→0, definimos φ(y) = sup λ∈R:y(˜z) |z|λ−→ 0cuando z−→ 0= = m´ax k∈Z:y(˜z) |z|λ−→ 0cuando z−→ 0∀λ<k,(3.8) φ(0) = ∞, donde la convergencia se entiende como en (3.7). Si tenemos un vector de funciones holomorfas y= (y1, . . . , yn)T, definimos φ(y) = m´ın 1≤j≤nφ(yj). Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 34 Observamos que si σ∈∆es una transformación recubridora de ˜ U∗, y(˜z) |z|λ−→ 0cuando z−→ 0⇔(y◦σ)(˜z) |z|λ−→ 0cuando z−→ 0, luego se tiene que φ(y◦σ) = φ(y).(3.9) Definición 3.3. Sea Xun espacio vectorial sobre C. Una aplicación φ:X−→ Z∪{∞} es una valoración si para todo x, y ∈X,a∈C\{0}se tiene que φ(x)=0⇔x= 0, φ(ax) = φ(x),(3.10) φ(x+y)≥m´ın{φ(x), φ(y)}. Observación 3.4.Las valoraciones tienen una definición más general en el álgebra (ver [13]), pero nosotros solo necesitaremos estas propiedades. Proposición 3.5. Sean Xun espacio vectorial sobre Cyφuna valoración. Si x, y ∈Xy φ(x)=φ(y), entonces se da la igualdad φ(x+y) = m´ın{φ(x), φ(y)}. Demostración. Supongamos que φ(x)< φ(y). Entonces, φ(x+y)≥m´ın{φ(x), φ(y)}=φ(x). Por otro lado, φ(x) = φ((x+y)+(−y)) ≥m´ın{φ(x+y), φ(y)}. Como φ(x)< φ(y), el mínimo tiene que ser φ(x+y)y tenemos la igualdad. Proposición 3.6. Sea Xun espacio vectorial sobre Cde dimensión n < ∞yφuna valoración. Entonces, φsolo puede tomar una cantidad finita de valores ∞=ψ0> ψ1> . . . > ψh, Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 35 con h≤n. Si para cada j= 0, . . . , h definimos Xj={x∈X:φ(x)≥ψj}, se tiene que cada Xjes un subespacio vectorial de Xy {0}=X0⊂X1⊂ ··· ⊂ Xh=X. Además, φ(Xj\Xj−1) = ψjpara cada j= 1, . . . , h y, si kj= dim(Xj/Xj−1), entonces h X j=1 kj=n. Demostración. Definimos para cada k∈Zel conjunto Yk={x∈X:φ(x)≥k}. Es sencillo ver que cada Ykes un subespacio vectorial de X: si x, y ∈Yk,a∈C, entonces φ(x+y)≥m´ın{φ(x), φ(y)} ≥ k, φ(ax) =    φ(x)≥ksi a= 0, ∞> k si a= 0. Además, si x∈Yk, se tiene que φ(x)≥k > k −1y entonces Yk⊂Yk−1para cada k∈Z, luego tenemos una cadena infinita de subespacios contenidos en X. Como Xtiene dimensión n < ∞, solo puede haber una cantidad finita h≤nde subespacios distintos. Es decir, φsolo puede tomar los valores ∞=ψ0> ψ1> . . . > ψh. Sea Xj={x∈X:φ(x)≥ψj}para cada j= 0, . . . , h. Entonces, {0}=X0⊂X1⊂ ··· ⊂ Xh=X. Si x∈Xj\Xj−1, se tiene que ψj≤φ(x)< ψj−1, luego φ(Xj\Xj−1) = ψj. Por último, si Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 36 definimos kj= dim(Xj/Xj−1) = dim Xj−dim Xj−1para cada j= 1, . . . , h, se tiene que n= dim Xh= h X j=1 (dim Xj−dim Xj−1) + dim X0= h X j=1 kj, quedando así probado el último de los resultados. Sea Sel espacio vectorial de soluciones de (2.1) en ˜ U∗, y supongamos que el sistema es regular en 0. Si definimos φcomo en (3.8), la restricción de φaSserá una valoración en un espacio vectorial de dimensión finita, luego dará lugar a una cadena de subespacios {0}=S0⊂ S1⊂ ··· ⊂ Sh=S.(3.11) Sean ψj=φ(Sj\ Sj−1)ykj= dim(Sj/Sj−1)para j= 1, . . . , h. Definimos los números φ1, . . . , φnmediante φ1=··· =φk1=ψ1, . . . φk1+···+kn−1+1 =··· =φk1+···+kn−1+kn=ψh. Si tomamos k1vectores linealmente independientes de S1,k2representantes de vectores linealmente independientes de S2/S1, y así sucesivamente, obtenemos una base {y11,...,yk11,...,y1h,...,ykhh} de Stal que φ(ylm) = ψm.(3.12) Vamos a ver como podemos ”mejorar” esta base. Si σ∈∆es una transformación recubridora en ˜ U∗eyes una solución del sistema, y◦σseguirá siendo una solución del sistema. Tenemos entonces una aplicación lineal σ∗:S −→ S,(3.13) y7−→ y◦σ. Por (3.9), σ∗conserva la cadena de subespacios (3.11). Además, σ∗induce una aplicación lineal σ∗ jen cada espacio cociente Sj/Sj−1. Sea {y1j,...,ykjj}una base de Sj/Sj−1tal que Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 37 la matriz de σ∗ jen esta base esté en su forma de Jordan (luego será triangular superior). Podemos entonces repetir el procedimiento mostrado en el párrafo anterior para obtener una base de Sutilizando representantes de {y1j,...,ykjj}en cada Sj/Sj−1. Definición 3.7. Sea {y11,...,yk11,...,y1h,...,ykhh}una base de Sobtenida mediante el procedimiento descrito en el párrafo anterior (teniendo en cuenta el orden de los elementos). Diremos que la base es una base de Levelt de Sy que la matriz Ycuyas columnas son los vectores de la base es una matriz de Levelt. Proposición 3.8. Sea {y11,...,yk11,...,y1h,...,ykhh}una base de Levelt de S. Entonces, la matriz de la aplicación σ∗definida en (3.13) en esta base es triangular superior. Demostración. Sea yj=ylm con 1≤l≤km,1≤m≤h, un elemento de la base de Levelt. En Sm/Sm−1, se tiene que la matriz de σ∗ mes triangular superior y entonces σ∗ mylm ∈ l X q=1 Cyqm. Por tanto, como {y11,...,yk11,...,y1,m−1,...,ykm−1,m−1}es una base de Sm−1se tiene que σ∗yj=σ∗ylm ∈ l X q=1 Cyqm +Sm−1= l X q=1 Cyqm + m−1 X r=1 kr X q1 Cyqr = j X s=1 Cys, y concluimos que la matriz de σ∗en la base de Levelt es triangular superior. Corolario 3.9. Sea {y11,...,yk11,...,y1h,...,ykhh}una base de Levelt de S. Entonces la matriz G=χ(σ−1)asociada a Y= (y1,...,yn)según (2.16) es triangular superior. Demostración. Basta con darnos cuenta de que la matriz Ges precisamente la matriz de σ∗en esta base de Levelt. Para ello, consideramos un vector y∈ S con coordenadas c= (c1, . . . , cn)∈Cen la base de Levelt, es decir, y=Pn j=1 cjyj=Yc(viendo ccomo un vector columna). Entonces, σ∗y= n X j=1 cj(yj◦σ)=(Y◦σ)c=Y Gc. Es decir, σ∗ytiene coordenadas Gcen la base de Levelt, luego Ges la matriz de σ∗en esta base. Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 38 Al ser Guna matriz triangular superior, las matrices E=1 2πi log Gy˜zE=eElog ˜ztambién lo serán. Vamos a ver que esto nos permitirá mejorar la representación de Poincaré (2.18) cuando Ysea una matriz de Levelt. En primer lugar, observamos que la matriz X(t) = etE es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden dado por dX dt =EX que verifica X(0) = I. De aquí se deduce que si X(t)=(xjk(t))1≤j,k≤n, entonces xjj(t) = eµjt(µjson los autovalores de E), xjk = 0 si j > k y cada xjk(t)con j < k es una suma de productos de polinomios en ty exponenciales del tipo eµlt. Por tanto, si ˜zE=elog ˜zE = (αkj(˜z))1≤k,j≤nse tiene que αjj(˜z) = ˜zµj y, por la condición (2.17) impuesta sobre la parte real de los autovalores, φ(αkj)≥0.(3.14) Ahora, si Z(z)es la matriz holomorfa en U∗obtenida en (2.18) y zkson sus columnas, al ser ˜zEtriangular superior se tendrá que yj(˜z) = j X k=1 αkj(˜z)zk(z)(3.15) y entonces cada zkpuede tener, a lo sumo, un polo en el origen. Entonces, podemos considerar φ(zk)y escribir zk(z) = zφ(zk)wk(z), donde wk(0) =0. Una vez hecha esta introducción, vamos a probar dos lemas que nos permitirán obtener la representación de Poincaré mejorada que habíamos comentado. Lema 3.10. Con la notación anterior, se tiene que φ(αkjzk)≥φ(zk)y, en particular, φ(αjjzj) = φ(zj). Demostración. Para ver la primera desigualdad, observamos que si λ<φ(zk)existe ε > 0 tal que λ+ε<φ(zk), luego αkjzk |z|λ= (|z|εαkj)zk |z|λ+ε−→ 0, cuando z−→ 0(el primer término tiende a cero porque −ε < 0≤φ(αkj)y el segundo Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 39 porque λ+ε<φ(zk)) y entonces {λ∈R:λ<φ(zk)} ⊂ λ∈R:αkjzk |z|λ−→ 0si z−→ 0, lo que implica que φ(zk)≤φ(αkjzk). Para ver la igualdad en el caso j=k, observamos que para ε > 0suficientemente pequeño se tiene por (2.17) que Reµj<1 + εy entonces |αjjzj| |z|φ(zj)+1−ε=|˜zµj| |z|1−ε|zj| |z|φ(zj)−→ ∞, cuando z−→ 0(el primer término tiende a infinito por la elección de εy el segundo a |wj(0)| = 0), luego sup λ∈R:αjjzj |z|λ−→ 0si z−→ 0≤φ(zj)+1−ε, y entonces la parte entera de este superior, es decir, φ(αjjzj), es menor que φ(zj). Lema 3.11. Con la notación anterior, se tiene que φ(zj)≥φ(yj) = φj. Demostración. Razonamos por inducción. Para j= 1, como y1=α11z1(ver (3.15)) se tiene por el lema anterior que φ(z1) = φ(y1). Supongamos que el resultado es cierto para cada k < j, es decir, que φ(zk)≥φ(yk)para cada k < j. Usando (3.15) de nuevo, obtenemos que yj=αjjzj+ j−1 X k=1 αkjzk. Supongamos que φ(zk)< φ(yk). Si denotamos por Σal sumatorio de la expresión anterior, se tiene que φ(Σ) ≥m´ın{φ(αkjzj) : k= 1 ...,j−1} ≥ m´ın{φ(zj) : k= 1 ...,j−1} ≥ ≥m´ın{φ(yj) : k= 1 ...,j−1}=φ(yj−1)≥φ(yj)> φ(zj) = φ(αjjzj), donde hemos usado las propiedades (3.10) y (3.12) de la valoración φ, el lema anterior y la hipótesis de inducción. Entonces, por la proposición 3.5 se tiene que φ(yj) = φ(αjjzj) = φ(zj), Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 40 lo que nos lleva a una contradicción. Tiene que darse entonces φ(zj)≥φ(yj). Teorema 3.12. Si Yes una matriz de Levelt de un sistema (2.1) regular en 0, existen una función Vholomorfa en U, una matriz diagonal Φde números enteros y una matriz E∈GL(n, C)triangular superior tales que Y(˜z) = V(z)zΦ˜zE.(3.16) Demostración. Si zjson las columnas de la función Z(z)en (2.27), por el lema 3.11 se tiene que φ(zj)≥φ(yj). Entonces, podemos escribir zj(z) = zφ(yj)vj(z), con vjholomorfa en U, y entonces Z(z)=(z1(z),...,zn(z)) = (v1(z),...,vn(z))zΦ=V(z)zΦ, donde Φes la matriz diagonal dada por Φjj =φ(yj) = φj. Consideramos ahora la función L(z) = Φ + zΦEz−Φ.(3.17) Claramente, Les holomorfa en U∗. Vamos a ver que sucede en 0. Si E= (eij)1≤i,j≤n, se tiene que el sumando de la derecha viene dado por zΦEz−Φ= (zφieijz−φj)1≤i,j≤n. Entonces, haciendo tender z−→ 0se tiene que l´ım z→0zφieijz−φj=           0,si i > j, eij,si i≤j, φi=φj, 0,si i < j, φi> φj. Luego el límite existe y Les holomorfa en todo U. Además, por lo que acabamos de ver L(0) es una matriz diagonal por bloques (triangulares superiores) donde cada bloque procede de los kjelementos de la base de Levelt en los que φtiene el mismo valor ψj, y es sencillo ver que trL(0) = trΦ + trE. Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 41 Teorema 3.13. Un sistema (2.1) regular en 0 es fuchsiano en 0 si y solo si V(0) es invertible, donde Ves la matriz que aparece en (3.16). Demostración. Comenzamos con la segunda implicación. Si Yes una matriz de Levelt del sistema, por ser solución de este se tiene que A(z) = Y′Y−1. Teniendo en cuenta que (zΦ)′= ΦzΦ−I=1 zΦzΦ, (y similar para ˜zE), al derivar (3.16) se obtiene Y′=V′zΦ˜zE+1 zVΦzΦ˜zE+1 zV zΦE˜zE=1 z(zV ′+V L)zΦ˜zE. Como Y−1= (˜zE)−1(zΦ)−1V−1, se tiene que A=Y′Y−1=1 z(zV ′+V L)V−1. Por hipótesis V(0) es invertible, luego todas las matrices del lado derecho son holomorfas en Uy entonces Atiene a lo sumo un polo de orden uno en 0, luego el sistema es fuchsiano en 0. Vamos ahora con la primera implicación. Supongamos que el sistema es fuchsiano en 0, es decir, A(z) = 1 zC(z),(3.18) con Cholomorfa en U. Entonces, 1 zCV zΦ˜zE=1 zCY =AY =Y′=1 z(zV ′+V L)zΦ˜zE, luego CV =zV ′+V L. (3.19) Haciendo tender z−→ 0en esta expresión, se obtiene C(0)V(0) = V(0)L(0).(3.20) Para ver que V(0) es invertible, probaremos que ker V(0) = {c∈Cn:V(0)c= 0}={0}. Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 48 3.3. El sistema de segundo orden Vamos a estudiar el sistema (3.6) con matriz (3.4). Los puntos singulares del sistema son a1= 0,a2=−1,a3= 1 ya4=1 2, y todas ellas son singularidades fuchsianas (para ver que no hay singularidad en ∞se puede comprobar fácilmente que el sistema verifica la condición (3.30)). Si escribimos el sistema en la forma y′=1 z−ai Ci(z)y, de forma similar a como hicimos en (3.18), obtenemos que las matrices Ci(0) son C1(0) = 1 0 0−1!, C2(0) = 1 6 −1 1 −1 1!, C3(0) = 1 2 −1−1 1 1 !, C4(0) = 1 3 −1 1 −1 1!. Recordamos que el polinomio característico de una matriz M, det(M−λI)=0, resulta ser λ2−λtrM+detM= 0 cuando la matriz es de tamaño 2×2. Entonces, los autovalores de cada una de las matrices, que son los exponentes βi j, vienen dados por β1 1= 1,β2 1=−1 yβj i= 0 para j= 1,2,i= 2,3,4. Entonces, para i= 2,3,4se tiene que φj i=βj i=µj i= 0, j = 1,2, yΦi= 0, luego los factores zΦino aparecen en las representaciones (3.35) cerca de los puntos a2,a3ya4, las cadenas de subespacios (3.11) son triviales ({0}=S0 i⊂ S1 i=Si)y la única condición que tenemos para tener una base de Levelt es que la matriz Eien esta base sea de la de la forma Ei= 0ei 0 0!(triangular superior con los autovalores µj i= 0 en la diagonal). Por tanto, para cualquier matriz fundamental de soluciones Ydel sistema (que no tiene por qué ser de Levelt en ai) se tendrá que Y(˜z) = Vi(z)(˜z−ai)Ei,˜z∈˜ U∗ i,(3.36) con Viholomorfa en Ui,Eitriangular superior con ceros en la diagonal y Vi(0) es invertible: si Yes dicha matriz fundamental, se tiene que Y=YiCcon Yimatriz de Levelt en aiy C∈GL(2,C), luego Y=YiC=Vi(˜z−ai)EiC= (ViC)(C−1(˜z−ai)EiC)=(ViC)(˜z−ai)C−1EiC, Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 49 y las matrices ViCyC−1EiCverifican las condiciones deseadas. Además, por (3.35) en p−1U∗ i\˜ U∗ ise tiene que Y(˜z) = Vi(z)(τ−1˜z−ai)Eiχ(τ−1),(3.37) donde τes la transformación recubridora de ˜ Stal que el punto ˜z∈p−1U∗ i\˜ U∗ iestá en la componente conexa τ˜ U∗ i. En el punto a1= 0, la situación es algo más complicada. Se tiene que φ1 1=β1 1= 1, φ2 1=β2 1=−1, µj 1= 0, j = 1,2, La matriz E1tendrá la forma E= 0e 0 0!(es triangular superior y µj 1= 0), pero a priori ees desconocido. Para hallarlo, vamos a considerar los términos de orden menor o igual que 2 en C1(z) = zB(z)yV1(z). La matriz (3.4) se puede escribir de la forma B(z) = 1 z−1 6(z+ 1) −1 2(z−1) −1 3(z−1 2)Φ+ +1 6(z+ 1) −1 2(z−1) +1 3(z−1 2)Ψ, donde Φ = 1 0 0−1!yΨ = 0 1 −1 0!. Desarrollando en serie de potencias en torno a z= 0, obtenemos que C1(z) = (1 + z+ 2z2)Φ −z2Ψ + . . . (3.38) Es sencillo ver que Φ, a b c d!= Φ a b c d!− a b c d!Φ = 0 2b −2c0!,(3.39) α0 0β!E1 α−10 0β−1!= 0αβ−1e 0 0 !=αβ−1E1.(3.40) Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 50 Tomando α=z,β=z−1, se observa también que zΦE1z−Φ=z2E1.(3.41) Entonces, de (3.41) se deduce que L1(z) = Φ + z2E1. Al ser V1holomorfa en U1, se tiene que V1= ∞ X n=0 znWn.(3.42) Sustituyendo las expresiones que acabamos de obtener para C1,V1yL1en zV ′=CV −V L (recordemos (3.19)) e igualando los términos en potencias de zde orden menor o igual que 2, obtenemos 0 = [Φ, W0],(3.43) W1= [Φ, W1]+ΦW0,(3.44) 2W2= [Φ, W2]+ΦW−1+(2Φ −Ψ)W0−W0E1.(3.45) Si W0= a b c d!, por (3.39) y (3.43) se tiene que b=c= 0. Además, si (y1,y2)es una base de Levelt, al multiplicar por constantes no nulas (c1y1, c2y2)seguirá siendo una base de Levelt (φ(ciyi) = φ(yi)y la forma triangular de σ∗se conserva), luego podemos reemplazar (y1,y2)por (a−1y1, d−1y2). Entonces, Y a−10 0d−1!es una nueva solución de (3.6) y, como Yverifica (3.16), se tiene que Y a−10 0d−1!=V1zΦ˜zE1 a−10 0d−1!= =V1 a−10 0d−1! a0 0d!zΦ a−10 0d−1!! a0 0d!˜zE1 a−10 0d−1!! Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 51 Por (3.40), se tiene que a0 0d!zΦ a−10 0d−1!=z a0 0d!Φ a−10 0d−1!=zΦ, a0 0d!˜zE1 a−10 0d−1!= ˜z a0 0d!E1 a−10 0d−1!, donde en el caso de Φtambién hemos tenido en cuenta la forma diagonal de esta. Entonces, para la nueva matriz de Levelt (la denotaremos Yde nuevo, al igual que con el resto de matrices de las que hablaremos a continuación), tenemos que V1se reemplaza por V1 a−10 0d−1!,E1por ad−1E1yΦsigue igual. Entonces, la nueva V1verificará que W0=V1(0) = I. En esta nueva base de Levelt con V1(0) = I, (3.44) pasa a ser W1= [Φ, W1]+Φ.(3.46) Si W1= a b c d!, la igualdad anterior junto con (3.39) implecan que b= 2byc=−2c, luego b=c= 0. Entonces, [Φ, W1]=0y (3.46) se reduce a W1= Φ. Sustituyendo W0=I yW1= Φ en (3.45), se tiene que 2W2= [Φ, W2]+Φ2+ 2Φ −Ψ−E1. Si W2= a b c d!, al igualar el elemento de la esquina superior derecha en ambos lados (usando de nuevo (3.39)) se obtiene que 2b= 2b−1−e, luego e=−1= 0. Además, como en W1yW2b=c= 0 se tiene que V1(z)es de la forma V1(z) = 1 + . . . αz2 βz21 + . . .!. Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 52 Observando que Ek 1= 0 para k≥2(es decir, E1es nilpotente de orden dos), vemos que ˜zE1=elog ˜z E1= ∞ X k=0 (log ˜z E1)k k!=I+ log ˜z E1= 1−log ˜z 0 1 !, luego sustituyendo en (3.16) obtenemos que los primeros términos de Y(˜z)para ˜z∈˜ U∗ 1 son Y(˜z) = 1 + . . . αz2 βz21 + . . .! z10 0z−1! 1−log ˜z 0 1 != z+. . . −zlog ˜z+αz +. . . βz3+. . . 1 z+. . . !. (3.47) Utilizaremos esta expresión más adelante. Ahora, vamos a introducir una nueva definición que usaremos para obtener la condición que habíamos comentado al principio del capítulo que tiene que cumplir un sistema con las singularidades y monodromía de (3.6). Definición 3.17. Si (3.6) es un sistema fuchsiano de orden 2 con puntos singulares a1, . . . , an, se define el peso fuchsiano del sistema como γ(B)= n X i=1 (φ1 i−φ2 i). En el caso (3.4) que hemos estudiado, de los valores de φj ise obtiene que γ(B)= 2. A partir de estos pesos fuchsianos de un sistema dado, podemos definir otros pesos asociados a todos los sistemas que compartan una misma mondromía. Definición 3.18. Sean {a1, . . . , an}un conjunto de puntos singulares y {C−1χC}una clase de monodromía (χes una representación ∆−→ GL(2,C)). Se define el peso fuchsiano de χcomo el mínimo de todos los pesos fuchsianos de los sistemas y′=Dycon singularidades aiy monodromía {C−1χC}. Lo denotaremos por γχ= m´ın γ(D). Vamos ahora con la condición que comentamos en la introducción. Lema 3.19. Si aiyχson las singularidades y monodromía del sistema (3.4) con matriz (3.6), entonces γχ= 2. Demostración. Supongamos que existe un sistema y′=Dycon estas singularidades y monodromía tal que γ(D)<2. Para este sistema, denotamos los parámetros mencionados en (3.31) por φj i(D),βj i(D),µj i(D),ρj i(D). Para la monodromía χ, las matrices Ei=1 2πi log Gi (donde Gi=χ(σ−1), luego estas matrices realmente dependen de χ) hemos visto que son Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 53 triangulares superiores con ceros en la diagonal y tienen autovalores µj i(D) = 0, luego ρj i(D) = 0 yφj i(D) = βj i(D). Sean k=P4 i=1 φ1 i(D)yl=P4 i=1 φ2 i(D). Se tiene entonces que γ(D)=k−lyk≥l(recordemos que φ1 i(D)≥φ2 i(D)), luego por el teorema 3.16 se tiene que k+l=X i,j φj i=X i,j βj i= 0. Entonces, k=−l,γ(D)= 2ky si 0≤γ(D)<2se tiene que k=l=γ(D)= 0, luego φ1 i(D) = φ2 i(D)para cada i. Esto quiere decir que en un mismo punto regular aitodas las soluciones del sistema tienen un crecimiento similar (ignorando potencias fraccionarias y logaritmos), pero para diferentes puntos aiel crecimiento puede variar. Vamos a modificar el sistema para que esto no ocurra manteniendo las singularidades y monodromía. Sea mi=φ1 i(D) = φ2 i(D). Consideramos el cambio de variable z=fy, donde f= 4 Y i=1 (z−ai)−mi. Derivando, z′=fy′+f′y= (D+f′ fI)fy=Fz,(3.48) donde F=D+ (log f)′I=D−P4 i=1 mi z−aiI. Entonces, si D=P4 i=1 1 z−aiDise tiene que F=P4 i=1 1 z−aiFicon Fi=Di−miI, luego el nuevo sistema no tiene ninguna singularidad adicional en ∞(P4 i=1 Di= 0 por ser y′=Dyfuchsiano y P4 i=1 mi=k= 0). Entonces, el nuevo sistema tiene las mismas singularidades y monodromía y para cualquier solución zsuya se tiene φi(z) = φi(y)−mi= 0. Por tanto, para cualquier matriz solución Zcon Z′=FZ se tiene que Z(˜z) = Wi(z)(τ−1˜z−ai)Eiχ(τ−1),˜z∈τ˜ U∗ i.(3.49) Consideramos ahora una matriz de Levelt Ydel sistema con matriz (3.6) tal que V1(0) = I. Sea χsu representación de monodromía (definida según (3.5)) y Zuna solución de Z′=FZ con la misma representación de monodromía. En p−1U∗ icon i= 2,3,4se verifica (3.37), mientras que en p−1U∗ 1se tiene que Y(˜z) = V1(z)zΦ(τ−1˜z)E1χ(τ−1),˜z∈τ˜ U∗ 1. Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 54 Entonces, al hacer el producto Y Z−1se cancelan factores y se tienen las siguientes propiedades: Y Z−1=V1(z)zΦW1(z)−1,˜z∈p−1U∗ 1,(3.50) Y Z−1=Vi(z)Wi(z)−1,˜z∈p−1U∗ i, i = 2,3,4,(3.51) Y Z−1es holomorfa en ˜ S, (3.52) Y Z−1◦σ= (Y◦σ)(Z◦σ)−1=Y χ−1(σ)χ(σ)Z−1=Y Z−1.(3.53) Las propiedades (3.52) y (3.53) implican que Y Z−1es holomorfa en S, y (3.51) junto con el teorema 3.13 (que implica Wi(0) = 0) nos dice que Y Z−1también es holomorfa en U2∪U3∪U4. En U1, recordando la expresión de Yque obtuvimos en (3.47) se tiene que Y Z−1=V1(z)zΦW−1 1(z) = O(1) O(z2) O(z)O(1) ! z0 0z−1!(matriz hol.) = O(z)O(z) ∗ ∗ !. Se tiene entonces que la primera fila de Y Z−1es holomorfa en U1, luego es holomorfa en todo Cy, por tanto, constante. Al ser O(z)en U1, tiene que ser idénticamente nula, pero esto contradice el hecho de que Y Z−1sea invertible. 3.4. El sistema de tercer orden Finalmente, vamos a estudiar el sistema (2.1) con matriz (3.1). Como habíamos comentado, este sistema es equivalente al sistema de orden 2 (3.6) con matriz (3.4) junto con la ecuación (3.5). En primer lugar, vamos a ver que el sistema no tiene singularidad en ∞. Para el sistema (3.6) ya lo habíamos comprobado en la sección anterior, luego solo basta con reescribir la ecuación (3.5) en términos de la variable t=1 zy comprobar que no hay polos en t= 0. Con el cambio de variable la ecuación tiene la forma dy dt =−1 t2a121 ty2+a131 ty3. Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 55 Teniendo en cuenta (3.3), se ve fácilmente que 1 t2a121 ty1 t2a131 tno tienen polos en t= 0. Los puntos a2=−1,a3= 1 ya4=1 2son claramente fuchsianos. Entonces, escribiendo y′=1 z−ai Ci(z)y, como en (3.18) obtenemos que C2(0) = 1 6    060 0−1 1 0−1 1     , C3(0) = 1 2    0 0 2 0−1−1 0 1 1     , C4(0) = 1 3    0−3−3 0−1 1 0−1 1     . Calculando los autovalores de estas matrices, se obtiene que βj i= 0 para i= 2,3,4, j= 1,2,3, luego φj i=βj i=µj i= 0, i = 2,3,4j= 1,2,3. Por tanto, Φi= 0, y Ei=Li(0). Observamos que y7→ C2 i(0)yanula las dos últimas componentes de cada vector y(lo vimos en la sección anterior al estudiar el sistema de orden 2), y entonces C3 i(0)y=0al ser la primera componente de C3 i(0) una combinación lineal de las dos últimas. Entonces, las matrices Ei=Li(0) son nilpotentes de orden tres (Ek i= 0 si k≥3) y tienen rango 2 al ser semejantes a Ci(0). Vamos ahora con el punto singular a1= 0. Si yes una solución del sistema, al ser (3.6) fuchsiano (y por tanto regular) las componentes y2ey3tendrán crecimiento moderado, y entonces al satisfacerse la ecuación (3.5) la primera componente y1también lo tendrá. Por tanto el sistema es regular en a1= 0 (aunque no es fuchsiano, ya que un coeficiente de la matriz presenta un polo de orden 2). Vamos a ver como obtener una base de Levelt del sistema en el punto 0. Sean y1=    1 0 0     ,y2= y2 2 y3 2!,y3= y2 3 y3 3!, donde (y2,y3)es una base de Levelt para el sistema de orden 2 (3.6) tal que V(0) = I (vimos en la sección anterior que se podía construir una base de esta forma). Añadimos a Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 56 los vectores de esta base las componentes y1 2=Z(a12y2 2+a13y3 2)dz, y1 3=Z(a12y2 3+a13y3 3)dz, de modo que los vectores y2ey3satisfacen la ecuación (3.5) (la constante de integración no es relevante, podemos tomar 0 mismamente). Entonces, de las expresiones de a12 ya13 de (3.3) y la expresión de Yde (3.47) obtenemos que a12y2 2+a13y3 2=1 z2(z+. . . )+(hol.)(z+. . . )+(hol.)(βz3+. . . ) = 1 z+hol., donde hol. denota una expresión holomorfa en 0 y los puntos suspensivos términos de orden superior. Por tanto, y1 2= log ˜z+f, (3.54) donde fes holomorfa en U1yφ(f)>0. Por tanto, λy1+µy2=    λ+µlog ˜z+hol. hol. hol.     , y entonces si (λ, µ)= (0,0) se tiene que φ(λy1 1+µy1 2) = φ(λ+µlog ˜z+f)=0, y para el resto de coordenadas al aplicar φobtenemos un número mayor que 0 por ser holomorfas. Entonces, S1 1=Cy1LCy2es un subespacio vectorial de S1(el espacio de soluciones del sistema en ˜ U∗ 1) para el que se verifica φ(S1 1\{0})=0. Veamos que sucede con y3. Teniendo en cuenta (3.3) y (3.47) de nuevo, obtenemos que a12y2 3+a13y3 3=1 z2+hol.(−zlog ˜z+αz +. . . ) + −1 2+. . . 1 z+. . . = =−log ˜z z+α−1 21 z+. . . , Capítulo 3. El problema de Riemann-Hilbert 57 luego y1 3=−1 2log2˜z+α−1 2log ˜z+. . . Entonces, φ(y1 3) = φ(y2 3) = 0 yφ(y3 3) = −1, luego el mínimo es φ(y3) = −1. Por tanto, φ(S1\S1 1) = φ(Cy3\{0}) = −1y hemos obtenido así la cadena de subespacios (3.11) {0}=S0 1⊂ S1 1⊂ S2 1=S1, donde φ1 1=φ2 1= 0 yφ3 1=−1. Nos queda ver cómo es E1. Como y1es holomorfa (constante), σ∗ 1y1=y1◦σ1=y1. Además, como log ◦σ1= log +2πi se deduce de (3.54) que σ∗ 1y2=y2◦σ1=y2+ 2πiy1 (σ1sólo modifica la primera componente del vector porque lleva un logaritmo, el resto son holomorfas). Entonces, si G1=χ(σ−1 1)donde χes la monodromía asociada a Yse tiene que Y G1=    1y1 2y1 3 0y2 2y2 3 0y3 2y3 3        a b c 0d e 0 0 f     =    1y1 2+ 2πi y1 3 0y2 2y2 3 0y3 2y3 3     =Y◦σ1. Podemos despejar fácilmente a=d= 1 yb= 2πi. Además, (y2,y3)◦σ1= (y2,y3) 1e 0f!= (y2,y3)G1, donde G1=χ(σ−1 1)es la matriz de la representación χobtenida al considerar el sistema fundamental de soluciones (y2,y3)del sistema (3.6) que estudiamos en la sección anterior (recordemos que se trata de una base de Levelt con V1(0) = I). Tal y como vimos en esa sección, la matriz E1correspondiente viene dada por E1= 0−1 0 0 !y entonces G1=I+ 2πiE1= 1−2πi 0 1 !. Apéndice A Superficies de Riemann y topología algebraica En este apéndice daremos una breve introducción a las superficies de Riemann y a algunos conceptos de topología algebraica. El apéndice está basado completamente en las cinco primeras secciones del primer capítulo de [6]. Omitiremos las demostraciones de los resultados que enunciemos, pero todas ellas se pueden encontrar en el texto mencionado. A.1. Superficies de Riemann Definición A.1. Sea Xuna variedad dos-dimensional (es decir, un espacio topológico Hausdorff tal que todo punto a∈Xtiene un entorno abierto homeomorfo a un abierto de Rn). Una carta compleja en Xes un homeomorfismo φ:U−→ Vde un abierto U⊂X en un abierto V⊂C. Dos cartas complejas φi:Ui−→ Vi,i= 1,2, son holomórficamente compatibles si la aplicación φ2◦φ−1 1:φ1(U1∩U2)−→ φ2(U1∩U2), es biholomorfa. Definición A.2. Sea Xuna variedad dos-dimensional. Un atlas complejo en Xes un sistema U={φi:Ui−→ Vi, i ∈I}de cartas complejas que son holomórficamente compatibles y recubren X, es decir, ∪i∈IUi=X. Dos atlas complejos UyU′son analíticamente equivalentes si cada carta de Ues holomórficamente compatible con cada carta de U′. Observamos que la noción de equivalencia analítica de atlas complejos es una relación de 64 Apéndice A. Superficies de Riemann y topología algebraica 65 equivalencia. Definición A.3. Sea Xuna variedad dos-dimensional. Una estructura compleja en Xes una clase de equivalencia de atlas analíticamente equivalentes en X. Definición A.4. Una superficie de Riemann es un par (X, Σ) donde Xes una variedad dos-diferenciable conexa y Σuna estructura compleja en X. A no ser que haya ambigüedad, escribiremos tan solo Xpara referirnos a una superficie de Riemann. Definición A.5. Sea Xuna superficie de Riemann y Y⊂Xun abierto. Una función f:Y−→ Ces holomorfa si para cada carta ψ:U−→ Ven Xla función f◦ψ−1:ψ(U∩Y)−→ C, es holomorfa en el sentido usual en el abierto ψ(U∩Y)⊂C.Denotaremos por H(Y)al conjunto de funciones holomorfas en Y, que resulta ser una C-álgebra. Definición A.6. Sean XeYsuperficies de Riemann. Una aplicación continua f:X−→ Y es holomorfa si para cada par de cartas ψ1:U1−→ V1en Xyψ2:U2−→ V2en Ycon f(U1)⊂U2, la aplicación ψ2◦f◦ψ−1 1:V1−→ V2, es holomorfa en el sentido usual. Si además fes biyectiva y f−1:Y−→ Xtambién es holomorfa, se dice que fes biholomorfa. Dos superficies de Riemann XeYson isomorfas si existe una aplicación biholomorfa f:X−→ Y. Muchos de los teoremas de la variable compleja se pueden llevar al caso de superficies de Riemann, ya que cuentan con una estructura similar a C. Por ejemplo, Teorema A.7 (principio de identidad).Sean XeYdos superficies de Riemann y f1, f2: X−→ Ydos aplicaciones holomorfas que coinciden en un conjunto A⊂Xque contiene a un punto de acumulación ade X. Entonces f1=f2. A.2. Homotopía de curvas Recordamos que una curva en un espacio topológico Xes una aplicación u:I−→ X, donde I= [0,1]. Los puntos a=u(0) yb=u(1) son los puntos inicial y final, y se dice que ues una curva de aab. Un espacio topológico es arcoconexo si para cada par de puntos a, b ∈Xexiste una curva de aab. Apéndice A. Superficies de Riemann y topología algebraica 66 Definición A.8. Sean Xun espacio topológico y a, b ∈X. Dos curvas u, v :I−→ Xde a abson homótopas si existe una aplicación continua A:I×I−→ Xtal que A(t, 0) = u(t) yA(t, 1) = v(t)para todo t∈IyA(0, s) = ayA(1, s) = bpara todo s∈I. Teorema A.9. Sean Xun espacio topológico y a, b ∈X. La noción de homotopía es una relación de equivalencia en el conjunto de curvas de aab, cuyas clases denotaremos por [u]. Definición A.10. Sean Xun espacio topológico, a, b, c ∈X,u:I−→ Xuna curva de a abyv:I−→ Xuna curva de bac. Se define la curva producto u·v:I−→ Xde aacpor (u·v)(t) =    u(2t)si 0≤t≤1 2, v(2t−1) si 1 2≤t≤1. Se define la curva inversa u−:I−→ Xde baapor u−(t) = u(1 −t)∀t∈I. Definición A.11. Sean Xun espacio topológico y a∈X. Se define la curva constante en acomo la aplicación constante u0:I→Xdada por u0(t) = apara todo t∈I. Definición A.12. Sean Xun espacio topológico y u:I−→ Xuna curva. Se dice que u es una curva cerrada si u(0) = u(1). Una curva cerrada u:I−→ Xcon punto inicial y final ase dice que es homótopanula si es homótopa a la curva constante en a. Teorema A.13. Sean Xun espacio topológico y a∈X. El conjunto π1(X, a)de clases de homotopía de curvas cerradas en Xcon punto inicial y final atiene estructura de grupo con el producto de curvas definido en A.10. Definición A.14. En las condiciones del teorema anterior, al grupo π1(X, a)se le denomina grupo fundamental de Xcon punto base a. Teorema A.15. Sean Xun espacio topológico y a, b ∈Xpuntos unidos por una curva w. Entonces, la aplicación f:π1(X, a)−→ π1(X, a) [u]7−→ [w−·u·w] Apéndice A. Superficies de Riemann y topología algebraica 67 es un isomorfismo de grupos. Como consecuencia directa, si Xes un espacio arcoconexo entonces el grupo fundamental de Xno depende del punto base (escribiremos π1(X)). Definición A.16. Un espacio topológico arcoconexo Xse dice que es simplemente conexo si π1(X)=0(es decir, el grupo fundamental solo contiene al elemento unidad). Teorema A.17. Sea Xun espacio topológico simplemente conexo y a, b ∈X. Entonces, para cualquier par de curvas u, v :I−→ Xde aabse tiene que uyvson homótopas. A.3. Recubrimientos Definición A.18. Sean XeYespacios topológicos y p:Y−→ Xuna aplicación continua. Para cada x∈X, el conjunto p−1(x)⊂Yse denomina fibra de psobre x. Definición A.19. Sean Xun espacio topológico y A⊂X. Se dice que Aes discreto si para cada a∈Aexiste un entorno Vtal que V∩A={a}. Una aplicación p:Y−→ Xentre espacios topológicos es discreta si la fibra de psobre cada punto de Xes un subconjunto discreto de Y. Teorema A.20. Sean XeYsuperficies de Riemann y p:Y−→ Xuna aplicación holomorfa y no constante. Entonces pes abierta y discreta. Definición A.21. Sean XeYsuperficies de Riemann y p:Y−→ Xuna aplicación holomorfa y no constante. Un punto y∈Yes un punto de ramificación si no existe ningún entorno Vde ytal que p|Vsea inyectiva. Teorema A.22. Sean XeYsuperficies de Riemann. Una aplicación holomorfa no constante p:Y−→ Xno tiene puntos de ramificación si, y solo si, pes un homeomorfismo local, es decir, para cada punto y∈Yexiste un entorno abierto Vde ytal que p|Ves un homeomorfismo sobre un abierto Ude X. Definición A.23. Sean X,YyZespacios topológicos y p:Y−→ X,f:Z−→ X aplicaciones continuas. Un levantamiento de frespecto a pes una aplicación continua g:Z−→ Ytal que f=p◦g. Teorema A.24. Sean XeYespacios topológicos de Hausdorff y p:Y−→ Xun homeomorfismo local. Sea Zun espacio topológico conexo y f:Z−→ Xuna aplicación continua. Si g1, g2:Z−→ Yson dos levantamientos de fyg1(z0) = g2(z0)para algún punto z0∈Z entonces g1=g2. Apéndice A. Superficies de Riemann y topología algebraica 68 En particular, es interesante aplicar el concepto de levantamiento a curvas. Si XeYson espacios de Hausdorff, p:Y−→ Xun homeomorfismo local y u:I−→ Xuna curva en X, si existe un levantamiento ˆu:I−→ Yde u, quedará determinado de forma única al fijar su punto inicial. Teorema A.25. Sean XeYdos espacios de Hausdorff, p:Y−→ Xun homeomorfismo local, a, b ∈Xyˆa∈Ytal que p(ˆa) = a. Además, supongamos que A:I×I−→ Xes una aplicación continua tal que A(0, s) = ayA(1, s) = bpara cada s∈I. Sea us(t) = A(t, s). Si cada curva usse puede levantar a una curva ˆuscon punto inicial ˆa, entonces ˆu0yˆu1 tienen el mismo punto final y son curvas homótopas. Buscar una condición que nos permita levantar curvas siempre nos lleva a la siguiente definición. Definición A.26. Sean XeYespacios topológicos. Se dice que una apliación p:Y−→ X es una aplicación recubridora orecubrimiento si cada punto x∈Xtiene un entorno abierto Utal que su preimagen p−1(U)se puede escribir como p−1(U) = ∪j∈JVj, donde los Vj,j∈J, son abiertos disjuntos de Yy las restricciones p|Vj:Vj−→ Uson homeomorfismos (es decir, pes un homeomorfismo local). Definición A.27. Una aplicación continua p:Y−→ Xtiene la propiedad de levantamiento de curvas si para cada curva u:I−→ Xy cada punto y0∈Ycon p(y0) = u(0) existe un levantamiento ˆu:I−→ Ytal que ˆu(0) = y0. Teorema A.28. Todo recubrimiento p:Y−→ Xentre espacios topológicos XeYtiene la propiedad de levantamiento de curvas. Teorema A.29. Sean XeYespacios de Hausdorff con Xarcoconexo y sea p:Y−→ Xun recubrimiento. Entonces, para cada par de puntos x0, x1∈Xlas fibras p−1(x0)yp−1(x1) tienen el mismo cardinal. En particular, si Yno es vacío se tiene que pes sobreyectiva. Teorema A.30. Sea Xuna variedad, Yun espacio de Hausdorff y p:Y−→ Xun homeomorfismo local con la propiedad de levantamiento de curvas. Entonces pes un recubrimiento. De todos los recubrimientos de un espacio topológico, nos interesa ver si hay alguno que podría considerarse el más ”grande”. Apéndice A. Superficies de Riemann y topología algebraica 69 Definición A.31. Sean XeYespacios topológicos conexos y p:Y−→ Xun recubrimiento. Se dice que pes el recubrimiento universal de Xsi satisface la siguiente propiedad universal: para cada recubrimiento q:Z−→ Ycon Zconexo, y cada par de puntos y0∈Y yz0∈Zcon p(y0) = q(z0), existe exactamente una aplicación continua que conserva las fibras f:Y−→ Ztal que f(y0) = z0. Teorema A.32. Un espacio topológico conexo Xtiene a lo sumo, salvo isomorfismo, un único recubrimiento universal. Teorema A.33. Sean XeYvariedades conexas con Ysimplemente conexa y sea p: Y−→ Xun recubrimiento. Entonces pes el recubrimiento universal de X. Teorema A.34. Sea Xuna variedad conexa. Entonces existen una variedad simplemente conexa ˜ Xy un recubrimiento p:˜ X−→ X(por el teorema anterior, pes el recubrimiento universal de X). Vamos ahora con los últimos conceptos del apéndice y con un resultado que será fundamental en el trabajo. Definición A.35. Sean XeYespacios topológicos y p:Y−→ Xun recubrimiento. Diremos que una aplicación f:Y−→ Yes una transformación recubridora si fes un homeomorfismo que conserva las fibras de p. Con la composición de aplicaciones, el conjunto de transformaciones recubridoras de p:Y−→ Xforma un grupo al que denotaremos Deck(Y/X). Definición A.36. Sean XeYespacios de Hausdorff conexos y p:Y−→ Xun recubrimiento. Se dice que el recubrimiento es normal si para cada par de puntos y0, y1∈Ycon p(y0) = p(y1)existe una transfomación recubridora f:Y−→ Ytal que f(y0) = y1. Teorema A.37. Sea Xuna variedad conexa y p:˜ X−→ Xsu recubrimiento universal. Entonces pes normal y además Deck(˜ X/X)es isomorfo al grupo fundamental π1(X). Apéndice B Algunos teoremas clásicos del análisis complejo En este apéndice se recogen los enunciados de los teoremas clásicos del análisis complejo que emplearemos a lo largo del trabajo. Las demostraciones de todos los resultados se pueden encontrar en [1]. Teorema B.1 (principio de identidad).Sean fygfunciones holomorfas en un abierto conexo Ω. Si el conjunto {z∈Ω : f(z) = g(z)}, tiene algún punto de acumulación de Ω, entonces f≡g. Teorema B.2 (de representación conforme de Riemann).Sea Ωun abierto simplemente conexo no vacío de Cque no sea todo el plano complejo. Entonces existe una aplicación biholomorfa de Ωen el disco abierto unidad D. Teorema B.3 (fórmula integral de Cauchy).Sean Ωun abierto de C,Dun disco cerrado contenido en Ωyfuna función holomorfa en Ω. Si Γes la circunferencia que forma la frontera de D(recorrida en sentido antihorario) y zun punto del interior de D, se tiene que f(z) = 1 2πi ZΓ f(w) w−zdw. Teorema B.4 (de Liouville).Si fes una función entera (holomorfa en todo C) acotada, entonces fes constante. 70 Apéndice B. Algunos teoremas clásicos del análisis complejo 71 Teorema B.5 (de los residuos).Sean Ωun abierto simplemente conexo, Sun subconjunto de Ωsin puntos de acumulación y funa función holomorfa en Ω\S. Si γes una curva cerrada en Ω\Stal que n(γ, z) = 0 para cada z∈C\Ω(n(γ, z)denota el índice de la curva γen el punto z), se tiene que Zγ f(z)dz =1 2πi X w∈S n(γ, w)Res(f, w). Bibliografía [1] R.B. Ash y W.P. Novinger. Complex Variables: Second Edition. Dover Publications, 2007. [2] D.V. Asonov y A.A. Bolibruch. The Riemann-Hilbert Problem. Springer Vieweg, 1994. [3] A. Borel. Algebraic D-Modules. Academic Press, 1987. [4] M. de Guzmán. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Teoría de Estabilidad y Control. Alhambra Universidad, 1975. [5] W. Dekkers. The matrix of a connection having regular singularities on a vector bundle of rank 2 on P1(C). En Lecture Notes in Mathematics, 712. Springer, 1979. [6] O. Forster. Lectures on Riemann Surfaces. Springer, 1981. [7] A.H.M. Levelt. Hypergeometric Functions. [8] C. Mitschi y D. Sauzin. Divergent Series, Summability and Resurgence I. Springer, 2016. [9] J. Mozo. Topics on Holomorphic Differential Equations. 2022. [10] J. Plemelj. Problems in the sense of Riemann and Klein. 1964. [11] E.G.C. Poole. Introduction to the Theory of Linear Differential Equations. Clarendon Press, 1936. [12] W. Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, 1974. [13] O. Zariski y P. Samuel. Commutative Algebra: Volume II. Springer, 2013. 72