Introducción a la teoría de desarrollos asintóticos
Abstract
Grado en Matemáticas
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Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Matemáticas Introducción a la teoría de desarrollos asintóticos Autor: Rubén Galván Galván Tutor/es: Javier Sanz Gil
D. JAVIER SANZ GIL, Profesor Titular de Análisis Matemático de la Universidad de Valladolid, CERTIFICA: Que el presente trabajo, Introducción a la teoría de desarrollos asintóticos, ha sido realizado bajo su dirección en el Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología, por D. Rubén Galván Galván, y constituye su Trabajo Fin de Grado para optar al título de Graduado/a en Matemáticas. Que le consta que el trabajo es original e inédito, y que autoriza su presentación. Y para que conste a los efectos oportunos, rma la presente en Valladolid a veinticinco de junio de dos mil diecinueve. Fdo.: Javier Sanz Gil
Índice general Introducción 4 1. Funciones en regiones sectoriales de la supercie de Riemann del logaritmo 8 1.1. Sectores y regiones sectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Funciones denidas en regiones sectoriales y sus propiedades . 10 2. Desarrollos asintóticos 19 2.1. Propiedades algebraicas y analíticas . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Desarrollos Gevrey 36 3.1. Propiedades algebraicas y analíticas . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2. Desarrollos Gevrey en regiones de amplitud menor o igual que sπ radianes ............................ 45 3.3. Desarrollos Gevrey en regiones de amplitud mayor que s π radianes ............................... 55 4. Una aplicación de los desarrollos asintóticos Gevrey 59 A. Nociones de supercies de Riemann 66 A.1.Cartasyatlas........................... 66 A.2. Supercies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 B. Álgebras de Banach 70 C. Funciones a valores en espacios de Banach 73 C.1. El teorema de Cauchy y sus consecuencias . . . . . . . . . . . 75 C.2. Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 C.3. Orden y tipo de funciones enteras . . . . . . . . . . . . . . . . 82 D. Fórmula de Stirling en el plano complejo 95 D.1. Fórmula de Stirling para números reales mayores que 0 . . . . 95 2
D.2. Fórmula de Stirling en el plano complejo salvo el semieje real negativo.............................. 97
Introducción La presente memoria tiene como objetivo desarrollar la teoría elemental de los desarrollos asintóticos para funciones holomorfas en regiones sectoriales de la supercie de Riemann del logaritmo. Se presentarán las propiedades fundamentales, tanto algebraicas como analíticas, de los desarrollos asintóticos en el sentido clásico de H. Poincaré, y también de los denominados desarrollos asintóticos de Gevrey. Finalmente, se analizará a modo de ejemplo la ecuación diferencial de Euler, con el objetivo de poner de maniesto la forma en que esta teoría proporciona un signicado analítico a la solución formal de la ecuación, aparentemente desprovista del mismo. Los prerrequisitos para el desarrollo de esta materia son esencialmente los contenidos en la asignatura de Variable Compleja, que se imparte en el tercer curso del Grado en Matemáticas de la Universidad de Valladolid. También se hará uso de resultados básicos de la teoría de espacios de normados cubiertos en la asignatura de Introducción a los Espacios de Funciones de cuarto curso, como el teorema de Hahn-Banach. Además de incluir unos breves preliminares en los cuales se explicará como se construye la supercie de Riemann del logaritmo, qué es un álgebra y un álgebra de Banach y las principales propiedades de ellos, qué es el orden y tipo de una función holomorfa y demostraremos la fórmula de Stirling en el plano complejo en sectores de la forma |arg(z)|< π . El primer capítulo se dedica al estudio de propiedades de regularidad o crecimiento de funciones holomorfas, denidas en regiones sectoriales de la supercie de Riemann del logaritmo y a valores en un espacio de Banach complejo. Puesto que algunas de las herramientas que necesitamos no se contemplan habitualmente en las materias del Grado en Matemáticas, se han incluido en la memoria varios apéndices. El primero de ellos recoge unas breves nociones que permiten denir y manejar la supercie de Riemann del logaritmo. También se ha considerado necesario introducir, en un segundo apéndice, una somera introducción a las álgebras de Banach, y en el tercero un estudio de las funciones holomorfas a valores en un espacio de Banach complejo, que es básicamente idéntico al caso de funciones complejas gracias 4
a la equivalencia entre holomorfía y holomorfía débil. Así, después de denir los sectores y regiones sectoriales, con vértice en el origen, en las que estarán denidas las funciones que consideraremos, se estudian los conceptos de acotación, continuidad y diferenciablidad de las mismas en el origen, punto singular de la frontera de dichas regiones, o la noción de crecimiento exponencial en el innito. Con el n de dar algún ejemplo no evidente de función con crecimiento exponencial, en concreto la función de Mittag-Leer, se ha incluido en el tercer apéndice un estudio del orden y tipo exponencial para funciones enteras, en particular las fórmulas que permiten obtener ambos valores a partir de los coecientes de la serie de Taylor en el origen. El segundo capítulo tendrá por objetivo explicar el concepto de desarrollo asintótico de una función f en el vértice de la región sectorial G en la que está denida: las sumas parciales de orden N−1 , con N natural, de una serie de potencias formal, denominada desarrollo asintótico de f , proporcionan aproximaciones al valor de la función en los subsectores cerrados de G con un control del error en términos de la potencia N -ésima de la variable, generalizando lo que ocurre para las sumas parciales de la serie de Taylor de una función analítica en un entorno de un punto. Tras obtener diferentes caracterizaciones de la existencia de desarrollo asintótico para una función, se dene la aplicación de Borel asintótica, que asocia a cada función con desarrollo la serie que lo proprciona, y se prueba que es un homomorsmo de álgebras diferenciales, es decir, las operaciones de suma, producto, derivación e integración de funciones con desarrollo asintótico se traducen en la correspondiente operación entre las series de potencias formales respectivas. Asimismo, también se prueba el teorema de Borel-Ritt, que establece la suprayectividad de la aplicación de Borel asintótica en una región sectorial arbitraria. El concepto de desarrollo asintótico Gevrey de orden s > 0 se estudia en el tercer capítulo, imponiendo ahora un control preciso de las acotaciones para los restos N -ésimos en términos de, básicamente, la potencia de N! de exponente s . De nuevo, las operaciones básicas respetan el desarrollo asintótico Gevrey. Por último, se estudia la suprayectividad de la aplicación de Borel, que se obtendrá en el caso de que la amplitud de la región sectorial G sea menor que sπ (teorema de Borel-Ritt-Gevrey), y la inyectividad de la misma, válida en regiones de amplitud mayor que sπ radianes (resultado conocido como el lema de Watson). Cabe mencionar que en numerosas ocasiones las estimaciones realizadas se basan en la fórmula de Stirling, que analiza el comportamiento asintótico en innito de la función Gamma de Euler. Se ha presentado en el cuarto y último apéndice una prueba de dicha fórmula para Γ(x) , x > 0 , y se ha indicado sin demostración la información disponible en sectores del tipo arg(z)≤π−ε , con ε > 0 . 5
El cuarto y último capítulo de esta memoria se dedica a ilustrar la aplicación de las nociones previas al estudio de un ejemplo particular, proporcionado por la denominada ecuación diferencial de Euler. Esta presenta un punto singular en el origen, y admite una serie de potencias ˆy(z) = P∞ n=0 anzn , centrada en cero y divergente (es decir, con radio de convergencia nulo), como solución formal. No obstante, la ecuación puede ser resuelta por métodos elementales, que proporcionan una solución y(z) . Como veremos, ˆy(z) es precisamente el desarrollo asintótico Gevrey de orden 1 de la función y(z) en el origen, y de hecho y(z) es la única función que admite ese desarrollo en sectores de amplitud mayor que π bisecados por el eje real positivo, como pone de relieve el lema de Watson. 6
todo ε > 0 , existe n0∈N∪{0} de tal forma que si m, n ≥n0|wn−wm|< ε . Entonces, tenemos que la sucesión {f(wm)}∞ m=0 de elementos de E es de Cauchy, para todo z∈T , puesto que, por la desigualdad anterior, si m, n ≥n0 kf(wm)−f(wn)k ≤ CS|wm−wn|< ε, luego f transforma sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy y el resultado se concluye aplicando el criterio secuencial del límite. Una vez probada la continuidad de f en el origen, tendremos que, para estudiar la diferenciabilidad de f en el origen, tenemos que estudiar la existencia del límite en el origen de la función f(z)−f(0) z, donde f(0) = l´ımz→0f(z) dado que f es continua en el origen. Pero sabemos que, por ser f∈ H(G, E), y ser f0(0) = z−1Rz 0f0(0) dz z−1(f(z)−f(0)) −f0(0) = z−1Zz 0 (f0(u)−f0(0)) du. Entonces, tomando normas y sabiendo que f0 es continua en el origen, tenemos que, para un ρ > 0 de tal forma que |z|< ρ , se tiene que kf0(z)−f0(0)k< ε. Tomando ese mismo ρ , si u pertenece al segmento que une los puntos 0 y z , tenemos que |u|≤|z|< ρ y con ello: kz−1(f(z)−f(0)) −f0(0)k =|z−1| Zz 0 (f0(u)−f0(0)) du ≤ |z|−1|z|m´ax{kf0(u)−f0(0)k:u∈[0, z]}< ε, donde, por [0, z] se denota al segmento que une los puntos 0 y z . (2) ⇒(1) Como f es diferenciable en el origen, se tiene que el límite cuando z→0 de f(z)−f(0) z existe y lo denotaremos por f0(0) . Veremos que l´ım z→0f0(z) = f0(0). 13
Si denotamos ahora por h(z) a la función h(z) = f(z)−f(0) z−f0(0), entonces, obtendremos, despejando f(z) = f(0) + zf0(0) + zh(z), con l´ım z→0h(z) = 0. Fijado un subsector cerrado T de G , podemos considerar un nuevo subsector cerrado S de G de modo que T esté contenido en el interior de S . Entonces, elegimos ε > 0 de modo que para todo z∈T , B(z, ε|z|)⊂S y aplicando la fórmula integral de Cauchy deducimos que f0(z) = 1 2πi Z|w−z|=ε|z| f(w) (w−z)2dw =1 2πi Z|w−z|=ε|z| f(0) + wf0(0) + wh(w) (w−z)2dw = 0 + f0(0) + 1 2πi Z|w−z|=ε|z| wh(w) (w−z)2dw. Se ha usado que la función constante f(0) es holomorfa, de hecho, en todo el plano complejo, y como su derivada es 0 , tenemos 0 = Z|w−z|=ε|z| f(0) (w−z)2dw. Análogamente, obtenemos que la integral 1 2πi Z|w−z|=ε|z| wf0(0) (w−z)2dw, es f0(0) , puesto que la función g(w) = w es holomorfa, de hecho, en todo el plano complejo y con ello, como su derivada es g0(w) = 1 , obtenemos 1 = 1 2πi Z|w−z|=ε|z| w (w−z)2dw. Tenemos entonces que f0(z)−f0(0) = 1 2πi Z|w−z|=ε|z| wh(w) (w−z)2dw. 14
A continuación, tomando normas, tenemos que kf0(z)−f0(0)k ≤ 1 2πm´ax n|w|kh(w)k (w−z)2:w∈S(z, ε|z|)o =1 2π 2πε|z| ε2|z|2m´ax{|w|kh(w)k:w∈S(z, ε|z|)}. Ahora, del hecho de la desigualdad triangular |w|=|w−z+z| ≤ |w−z|+|z|=|z|(1 + ε), w ∈S(z, ε|z|), obtenemos kf0(z)−f0(0)k ≤ 1 + ε ε|z||z|m´ax{kh(w)k:w∈S(z, ε|z|)} → 0, cuando z→0 en T , puesto que teníamos l´ım w→0h(w)=0 en S. que era lo que se pretendía probar. De manera trivial, la diferenciabilidad de una función en el origen implica la continuidad en el origen de f , pero una función f puede ser diferenciable en el origen sin ser holomorfa allí. Esto es, la holomorfía de una función f en el vértice de G no es, por lo general, equivalente a la diferenciabilidad de f . Pasaremos a describir cuándo una función es de crecimiento exponencial de orden a lo sumo k en un sector, siendo k > 0 . Este concepto intervendrá en el teorema de Phragmén-Lindelöf, expuesto en el apéndice C. Denición 1.14. Sea S=S(d, α) un sector no acotado, f una función holomorfa en S y a valores en un espacio de Banach complejo E , y sea k > 0 . Diremos que f es de crecimiento exponencial de orden a lo sumo k en S si para cada ϕ , cumpliendo 0<ϕ<α 2 , existen ρ, c1, c2>0 tales que, para cada z con |z| ≥ ρ y |d−arg(z)| ≤ ϕ se tiene que kf(z)k ≤ c1exp(c2|z|k). Esta noción se compara con el orden exponencial como sigue: si f es de crecimiento exponencial de orden a lo sumo k , entonces es de orden exponencial inferior a k o de orden igual a k y de tipo nito, y viceversa. El conjunto de todas las funciones f , holomorfas y de crecimiento exponencial a lo sumo k , será denotado por A(k)(S, E) . 15
Ejemplo 1.15. Sea P(z) = anzn+an−1zn−1+···+a2z2+a1z+a0, an6= 0 , un polinomio con coecientes complejos, y consideramos la función f(z) = exp(P(z)). Puesto que se tiene la igualdad l´ım z→∞ P(z) anzn= 1, por denición de límite, existe r0∈N∪ {0} de tal forma que si |z| ≥ r0 , entonces P(z) anzn<2 . y con ello tendremos |P(z)|<2|an||z|n, Por lo tanto, obtendremos kf(z)k= exp(<(P(z))) ≤exp(|P(z)|)≤exp(2|an||z|n), con lo que f es de crecimiento exponencial a lo sumo n= deg(P). De hecho, se puede probar que f es de orden exponencial igual a n y tipo nito y positivo. Ejemplo 1.16. Como segundo ejemplo, mencionamos la función de Mittag-Leer, denida como Eα(z) = ∞ X n=0 zn Γ(1 + αn), α > 0. La función de Mittag-Leer es una función entera, de orden k=1 α y tipo τ= 1 . Si reescribimos la función de Mittag-Leer de la forma Eα(z) = ∞ X n=0 fnzn, tendremos que, en virtud de la formula de Stirling 1 |fn|= Γ(1 + αn) = αnΓ(αn) ≈ |√2π(αn)αn+1 2e−αn| =e1 2ln(2π)+nα ln(α)+nα ln n+1 2ln(α)+ 1 2ln n−nα, 16
donde por ≈ denotamos el hecho de que las dos expresiones son asintóticamente equivalentes, cuando n→ ∞ (es decir, el límite de su cociente cuando n→ ∞ es 1 ). Como l´ım n→∞ 1 2ln(2π) + αn ln(α) + nα ln n+1 2ln(α) + 1 2ln n−nα nln n, existe y es α , entonces también será α su límite superior. En resumidas cuentas, de acuerdo con lo probado en el apéndice C, hemos probado que el orden exponencial de la función es k=1 α. Por otra parte, como l´ım n→∞hn|fn|k ni = l´ım n→∞heln n+(−1 2ln 2π−nα ln α−nα ln n−1 2ln(α)−1 2ln(n)+αn)1 nα i =e−(αln α)1 α+1 =e α, podemos concluir que también será e α su límite superior, y probamos así que el tipo exponencial verica τek =e α, es decir, τ= 1 (véase de nuevo el apéndice C). 1.2. Series de Potencias Formales Dada una sucesión arbitraria (fn)∞ n=0 de elementos del espacio de Banach E , las series ˆ f(z) = ∞ X n=0 fnzn, son llamadas series de potencias formales (en la variable z ); el término formal enfatiza el hecho de que el radio de convergencia de estas series bien puede ser igual a cero. En caso de que el radio de convergencia ρ sea mayor que 0 (posiblemente innito), se dice que la serie converge. Denición 1.17. Si ˆ f(z) = P∞ n=0 fnzn es una serie de potencias para la cual, para algunas constantes positivas, c, K y s≥0 tenemos: kfnk ≤ cKnΓ(1 + sn), (1.2) 17
para cada n≥0 , entonces diremos que ˆ f es una serie de potencias formal de Gevrey de orden s , y escribimos E[[z]]s para el conjunto de todas estas series de potencias formales. Obsérvese que (1.2) se tiene para s= 0 si y sólo si la serie de potencias converge; por tanto, E[[z]]0=E{z} ; en efecto, si (1.2) se da con s= 0 , al tenerse que Γ(1) = Z∞ 0 e−tdt = 1, tenemos que kfnk ≤ cKn. Entonces, si tomamos |z| ≤ 1 K , se tiene que kfnznk=kfnk|z|n< c(K|z|)n, lo cual dice que la serie de potencias ∞ X n=0 fnzn, converge absolutamente, y como E es un espacio de Banach, tendremos garantizada la convergencia de la serie. Recíprocamente, si se tiene que la serie ∞ X n=0 fnzn tiene radio de convergencia ρ > 0 por el criterio de Hadamard 0< ρ =l´ım sup n→∞ n pkfnk−1 . Esto dirá, por denición de límite superior, que dada una constante K > 1 ρ , existe n0∈N∪{0} de tal forma que kfnk1 n≤K, n ≥n0, es decir, kfnk ≤ Kn, para todo n≥n0 . Ahora, si escogemos una constante c > 0 adecuada tendremos garantizado el hecho de que kfnk ≤ cKn, para todo n∈N∪{0}. Entonces se tendrá (1.2) para s= 0 , probando que E[[z]]0=E{z} . 18
Capítulo 2 Desarrollos asintóticos Se dedicará este capítulo a la presentación del concepto de desarrollo asintótico, introducido por H. Poincaré a nales del siglo XIX. Se estudiará sus principales propiedades algebraicas y analíticas, y se introducirá la aplicación de Borel asintótica. Por último, se probará que esta aplicación es sobreyectiva en cada sector prejado de la supercie de Riemann del logaritmo, es decir, una serie de potencias arbitraria es siempre el desarrollo asintótico de una función adecuada. Denición 2.1. Dada una región sectorial G , una función f∈ H(G, E) y una serie formal de potencias ˆ f(z) = P∞ n=0 fnzn , diremos que ˆ f(z) es el desarrollo asintótico de f(z) en G cuando z→0 , si para cada número natural N∈N∪{0} y cada subsector cerrado S de G existe una constante c=c(N, S)>0 tal que: kf(z)− N−1 X n=0 fnznk ≤ c|z|N, z ∈S. (2.1) La denición que acabamos de dar se traduce en lo siguiente: el término rf(z, N) = z−Nf(z)− N−1 X n=0 fnzn, llamado el resto de orden N del desarrollo asintótico de f en G , es acotado en el origen, para cada N≥0 (en el sentido de la denición 1.8). Si esto ocurre, escribiremos, para abreviar, f(z)∼ˆ f(z) en G , y cada vez que utilicemos esta notación, estaremos escribiendo: G es una región sectorial, f∈ H(G, E) y ˆ f∈E[[z]] es el desarrollo asintótico de f en G . 19
Nota: Si N= 0 , se debe entender que la suma parcial involucrada en la denición del resto de orden N del desarrollo asintótico de f en G es 0 . La siguiente proposición estudiará el comportamiento del resto de orden N del desarrollo asintótico de f en G : Proposición 2.2. Sea G una región sectorial. Sea f una función holomorfa en G a valores en E y sea f(z)∼ˆ f(z) en G para alguna serie de potencias ˆ f(z) = P∞ n=0 fnzn∈E[[z]] ; entonces: (a) Los restos de orden N del desarrollo asintótico de f en G son continuos en el origen (en el sentido de la denición 1.9), y además: rf(z, N)→fN, S 3z→0, N ≥0. En particular, la serie de desarrollo asintótico de f en G es única. (b) Suponemos que la amplitud de G es mayor que 2π y f(z) una función univaluada. Entonces f(z) es holomorfa en el origen, y ˆ f converge y coincide con el desarrollo en series de potencias de f(z) en el origen. Demostración: (a) Se tiene que, para cada N≥0 y z∈G , zrf(z, N + 1) = zz−(N+1)f(z)− N X n=0 fnzn=−fN+rf(z, N). Si hacemos tender z a 0 al ser ψ(z) = zrf(z, N + 1) un producto de funciones en G , una que tiende hacia cero y otra función que está acotada en el origen (en el sentido de la denición 1.8), tendremos que ψ(z)→0 cuando z→0 siguiendo subsectores cerrados S de G . Así pues, rf(z, N)−fN→0, z →0, y de aquí concluimos que rf(z, N)→fN, S 3z→0, N ≥0. 20
De acuerdo con estas expresiones, los coecientes de la serie del desarrollo asintótico de f en G se pueden obtener, de forma recurrente, como límites de rf(z, N) , lo que garantiza la unicidad de ˆ f , es decir, de su desarrollo asintótico. (b) Bajo nuestras hipótesis, f(z) es una función holomorfa y univaluada en un disco punteado centrado en el origen, función que permanecerá acotada en un entorno del origen de acuerdo con la denición 2.1 para N= 0 , y considerando un subsector propio y acotado de amplitud mayor que 2π . Por lo tanto, el origen es una singularidad evitable de f , y sabemos que si f es holomorfa en todo un disco podrá ser escrita como desarrollo en serie de potencias alrededor del origen; además, como los desarrollos en series de potencias son, al mismo tiempo, un desarrollo asintótico, utilizando (a) tendremos garantizado que ˆ f(z) converge y es el desarrollo en serie de Taylor de la función f(z) en el punto 0 . Lema 2.3. Sea E un espacio de Banach y G una región sectorial. Sea f∈ H(G, E) . Entonces, para N≥1 y cada par de puntos z, z0∈G de modo que el segmento [z0, z] esté contenido en G , se tiene que 1 (N−1)! Zz z0 (z−w)N−1f(N)(w)dw =f(z)− N−1 X n=0 f(n)(z0) n!(z−z0)n. Demostración: Este resultado se sigue al aplicar el principio de inducción. Para N= 1 , se verica que Zz z0 f0(w)dw =f(z)−f(z0), por la regla de Barrow. Luego el resultado se sigue para N= 1 . Por hipótesis de inducción, vamos a suponer que el resultado se verica para un número N∈N : 1 (N−1)! Zz z0 (z−w)N−1f(N)(w)dw =f(z)− N−1 X n=0 f(n)(z0) n!(z−z0)n. A la integral del lado izquierdo de esta última igualdad la denotaremos por IN . Entonces, veamos que se cumple que 21
1 N!Zz z0 (z−w)Nf(N+1)(w)dw =f(z)− N X n=0 f(n)(z0) n!(z−z0)n. Entonces, integrando por partes IN+1 , obtendremos que 1 N!Zz z0 (z−w)Nf(N+1)(w)dw =1 N!(z−w)Nf(N)(w)|w=z w=z0+NZz z0 (z−w)N−1f(N)(w)dw =−1 N!(z−z0)Nf(N)(z0) + IN, y aplicando la hipótesis de inducción, se logra ver que 1 N!Zz z0 (z−w)Nf(N+1)(w)dw =−1 N!(z−z0)Nf(N)(z0) + f(z)− N−1 X n=0 f(n)(z0) n!(z−z0)n, que es el resultado solicitado. El resultado siguiente establece diferentes caracterizaciones de la existencia de desarrollo asintótico para una función. Proposición 2.4. Sea f una función holomorfa en una región sectorial G . Entonces, los siguientes resultados son equivalentes: (a) f admite un desarrollo asintótico. (b) La función f es indenitamente diferenciable en el origen, es decir, f y todas sus derivadas sucesivas son diferenciables en el origen. (c) Todas las derivadas f(n)(z) son continuas en el origen. (d) Para todo subsector TG , y para todo n∈N∪{0} , sup z∈Tkf(n)(z)k<∞. Además, si ˆ f(z) = P∞ n=0 fnzn , entonces f(n)(0) = n!fn en (b) y l´ım z→0f(n)(z) = n!fn en (c) . 22
Teorema 2.8. Dada una región sectorial G , suponemos que f(z)∼ˆ f(z), z∈G . Entonces: f0(z)∼ˆ f0(z),Zz 0 f(w)dw ∼Zz 0 ˆ f(w)dw, z ∈G. Demostración: Fijado un subsector cerrado T de G , podemos considerar un nuevo sector cerrado S de G de modo que T esté contenido en el interior de S . Podemos elegir entonces una cantidad ε > 0 de modo que para todo z∈T , el disco B(z, ε|z|)⊂S , y aplicando la fórmula integral de Cauchy, f0(z)− N−1 X n=0 (n+ 1)fn+1zn = f(z)− N X n=0 fnzn0 = 1 2πi Z|w−z|=ε|z| f(w)−PN n=0 fnwn (w−z)2dw ≤1 2π 2πε|z| ε2|z|2m´ax n f(w)− N X n=0 fnwn :w∈S(z, ε|z|)o, Dado que se tiene que f(z)∼ˆ f(z) en G , existe una constante c dependiente de S y de cada entero natural N de tal forma que f(z)− N−1 X n=0 anzn ≤C|z|N. (2.5) y tenemos, por (2.5), y por la desigualdad triangular que f0(z)− N−1 X n=0 (n+ 1)fn+1zn! ≤C(1 + ε)N+1 ε|z|N+1 |z|=˜ C|z|N, siendo ˜ C=C(1+ε)N+1 ε , y concluimos el hecho de que f0(z)∼ˆ f0(z). Por otra parte, observemos que si S es un subsector cerrado de G y z∈S , entonces el segmento que une los puntos 0 y z está contenido en S . Entonces, para cada N≥1 , 29
Zz 0 f(w)dw − N−1 X n=1 fn−1 nzn = Zz 0f(w)− N−2 X n=0 fnwndw ≤ |z|m´ax n f(w)− N−2 X n=0 fnwn :w∈[0, z]o. Por (2.5) concluimos que Zz 0 f(w)dw − N−1 X n=1 fn−1 nzn ≤C|z|N−1|z|=C|z|N, como se quería ver. Antes de proceder a probar el teorema de Borel-Ritt, que establece la sobreyectividad de la aplicación J de Borel denida en (2.3), demostraremos un lema previo. Lema 2.9. Sea Ω = {z∈C:<(z)≥0}. Entonces, se tiene que |1−exp(−z)|≤|z|, z ∈Ω. Demostración: Si logramos probar que para cada z, w ∈Ω se tiene que |ew−e−z| ≤ |z+w|em´ax{R(w),−R(w)}, reduciéndose al caso w= 0 concluiríamos la demostración. Sabemos que ew−e−z=R[−z,w]evdv , y se puede establecer la acotación: Z[−z,w] evdv≤m´ax{|ev|:v∈γ∗}long([−z, w]) =|w+z|em´ax{R(w),−R(z)}, como queríamos. Teorema 2.10 ( Teorema de Borel-Ritt ) . Para cualquier región sectorial G y cualquier serie de potencias formal ˆ f∈E[[z]] , existe f∈ A(G, E) de tal forma que f(z)∼ˆ f(z) . 30
Demostración: Sin pérdida de generalidad, tomemos G un sector S(d, α) no acotado y sea ˆ f(z) = P∞ n=0 fnzn una serie de potencias dada. Para β= π/α , y cn= (kfnkn!)−1 en el caso fn6= 0 , resp. cn= 0 en caso contrario, sea wn(z)=1−exp −cn/(ze−id)β . Vamos a encontrar una cota para |wn(z)| . Como se tiene que <cn zβexp(−idβ)=cn |z|β<(exp(iβ(d−arg(z)))) =cn |z|βcos π α(d−arg(z)), y z∈S(d, α) , ocurre que |d−arg(z)|<α 2 y entonces −π 2<π α(d−arg(z)) <π 2, y con ello cos π α(d−arg(z))>0, de modo que <cn (zβexp(−idβ))=cn |z|βcos π α(d−arg(z))>0, y el lema 2.9 es aplicable. Entonces, obtendremos que |wn(z)|=|1−exp[−cn/(zeid)β]| ≤ cn zβexp(iβd) =cn |zβ|≤|z|−β n!kfnk, y con todo esto, llegamos a kfnk|z|n|wn(z)| ≤ |z|n−β n!. Esto prueba la convergencia puntual en G , y uniforme en los compactos de G de f(z) := P∞ n=0 fnznwn(z) , esto es, f∈ H(G, E) . Además: z−Nf(z)− N−1 X n=0 fnzn=fN(z)− N−1 X n=0 fnzn−Nexp −cn/(ze−id)β, donde fN(z) = P∞ n=Nfnzn−Nwn(z) está acotada en G en el sentido de la denición 1.8, y los otros términos tienden a cero cuando z→0 en cada subsector cerrado S de G , y, por lo tanto, están acotados en el origen. En efecto, si ψ(z) = P∞ n=N+[β]+1 fnzn−Nwn , donde por [β] denotamos la parte entera de β , tendremos entonces 31
kψ(z)k ≤ ∞ X n=N+[β]+1 kfnk|z|n−N|wn| ≤∞ X n=N+[β]+1 |z|n−N−β n!≤∞ X n=N+[β]+1 |z|n−N−β =|z|[β]+1−β 1−|z| y como siempre se tiene que [β]≤β≤[β]+1, el último término |z|[β]+1−β 1−|z| tiende a 0 cuando z→0 . Entonces, como z−Nf(z)− N−1 X n=0 fnzn =|z|−N f(z)− N−1 X n=0 fnzn =|z|−N f(z)− N+[β]+1 X n=0 gnzn+ N+[β]+1 X n=N gnzn ≤ |z|−Nkψ(z)k+ N+[β]+1 X n=Nkgnzn−Nk, y lo que tenemos es que el primer sumando tiende a 0 cuando z→0 y el segundo sumando está acotado, puesto que tenemos una suma nita y el exponente n−N es siempre positivo, lo cual prueba que el resto de orden N de f en el punto z está acotado en el origen. A continuación, supondremos que E es un álgebra de Banach con elemento unidad e , y que f es una función que admite inversa algebraica y también desarrollo asintótico con término independiente invertible. Nuestro objetivo es obtener el desarrollo asintótico de f−1(z) . Comenzamos probando un lema auxiliar. 32
Lema 2.11. Sea E un álgebra de Banach con elemento unidad e . Dada una región sectorial G , suponemos que f(z)∼ˆ f en G . Supondremos, además, que el término constante f0 de ˆ f(z) y todos los valores f(z) , z∈G , son elementos invertibles en E . Si ˆ f−1(z) = P∞ n=0 ˜ fnzn es la inversa formal de la serie de potencias ˆ f , entonces z−Nf(z)− N−1 X n=0 ˜ fnznf(z) = − N−1 X m=0 ˜ fmrf(z, N −m). Demostración: Se tendrá que ˆ f(z)ˆ f−1(z) = ˆe=e+ 0z+ 0z2+··· Entonces, si ˆ f(z) = P∞ n=0 fnzn , se tiene que: ˆe=∞ X n=0 fnzn ∞ X n=0 ˜ fnzn=∞ X n=0 n X m=0 ˜ fmfn−mzn. Ahora bien, tendremos que f0˜ f0=e , y para todo n≥1 , n X m=0 ˜ fmfn−m= 0, (2.6) y con ello z−Nf(z)− N−1 X n=0 ˜ fnznf(z) = z−Nf(z)f−1(z)− N−1 X m=0 ˜ fmzm =z−N− N−1 X m=0 ˜ fmzm−Nf(z) =z−N− N−1 X m=0 ˜ fmzm−Nf(z)− N−m−1 X k=0 fkzk+ N−m−1 X k=0 ˜ fmfkzm−N+k =z−N− N−1 X m=0 ˜ fmrf(z, N −m)−z−N N−1 X m=0 N−m−1 X k=0 ˜ fmfkzm+k. (2.7) De nuevo, el último sumatorio doble se puede reordenar, resultando −z−N N−1 X m=0 N−m−1 X k=0 ˜ fmfkzm+k=−z−N N−1 X m=0 m X k=0 ˜ fmfn−mzm. 33
Por (2.6), se tendrá entonces que N−1 X m=0 N−m−1 X k=0 ˜ fmfkzm+k=e, y por lo tanto, llegamos a la igualdad pedida. Podemos ya probar el resultado que caracteriza la inversibilidad de los elementos en A(G, E) en el caso en el que E sea un álgebra de Banach con elemento unidad. Teorema 2.12. Sea E un álgebra de Banach con elemento unidad e . Dada una región sectorial G , suponemos que f(z)∼ˆ f(z) en G . Además, suponemos que el término constante f0 de ˆ f(z) y todos los valores f(z) , z∈G , son elementos invertibles en E . Entonces f−1(z)∼ˆ f−1(z), z ∈G. Demostración: Como todos los elementos invertibles de E[[z]] son aquellos cuyo término constante es invertible en E , este hecho pone de maniesto la existencia de ˆ f−1(z) = P∞ n=0 ˜ fnzn . Dado un subsector cerrado S de G , existe cN>0 de tal forma que krf(z, N)k ≤ cN para N≥0 y z∈S y, usando el apartado (a) de la proposición 2.2, kfNk ≤ cN para cada N≥0 . Por el lema 2.11 obtenemos z−Nf(z)− N−1 X n=0 ˜ fnznf(z) = − N−1 X n=0 ˜ fnrf(z, N −n). Por otra parte como se tiene que f06= 0 (para que f0 sea invertible), y f es continua en el compacto S∩{z∈ R :|z| ≥ ε}, para cada ε > 0, llegamos a que, por el teorema de Weierstrass, existe δ > 0 de tal forma que kf(z)k ≥ δ > 0, en S. Notemos que cuando z→0 se tiene que ˆ f(z)→f0 y como se tenía que f06= 0 y f(z)∼ˆ f(z) en G cuando z→0 entonces f(z)6= 0 en un entorno 34
de 0 . Con todo esto y dado que se verica el lema 2.11 deducimos que z−Nf(z)− N−1 X n=0 ˜ fnzn ≤ kf(z)k−1 N−1 X n=0 kfnkkrf(z, N −n)k ≤δ−1 N−1 X n=0 cncN−n completando la demostración. 35
Capítulo 3 Desarrollos Gevrey Este capítulo se centrará en el estudio de los desarrollos asintóticos de tipo Gevrey, caracterizados por imponer una limitación en el crecimiento de los restos de orden N en términos de, básicamente, una potencia de N! . Como se verá, este concepto conserva las propiedades de estabilidad respecto de las operaciones algebraicas y analíticas, pero el carácter de la aplicación de Borel asintótica dependerá ahora de la amplitud de la región sectorial en la que se trabaje: será inyectiva para amplitudes grandes, y sobreyectiva para amplitudes pequeñas, no siendo nunca biyectiva. Denición 3.1. Dado s > 0 , f una función holomorfa en una región sectorial G y una serie de potencias ˆ f(z) = Pfnzn , diremos que ˆ f(z) es el desarrollo asintótico Gevrey de orden s si para cada subsector cerrado S de G , existen constantes c, K > 0 de tal forma que para cada entero no negativo N , y cada z∈S se tiene que krf(z, N)k ≤ cKNΓ(1 + sN), (3.1) donde Γ es la función Gamma de Euler (ver apéndice D). Si esto ocurre, escribiremos para abreviar f(z)∼sˆ f(z) en G . Esta terminología no está unánimemente aceptada, pero está en consonancia con la terminología clásica usada en la mayoría de documentos donde se explican los desarrollos de Gevrey. Mientras que para un desarrollo asintótico general, la cota cN para los restos krf(z, N)k puede ser completamente arbitraria, notemos que para un desarrollo Gevrey de una función f de orden s , el modo en que esta cota crezca con respecto a N está restringido. Como podremos ver, esto traerá consecuencias importantes. Observemos que f(z)∼sˆ f(z) en G implica f(z)∼ˆ f(z) en G en el sentido del capítulo anterior; además, de la proposición 2.4, podemos concluir que f(z)∼sˆ f(z) en G implica ˆ f(z)∈E[[z]]s . 36
Observación 3.2. En la denición de desarrollo Gevrey de orden s > 0 para una función f , la cota que exigimos en (3.1) es equivalente, por la fórmula de Stirling, a establecer cotas de la forma krf(z, N)k ≤ cKN(N!)s, (3.2) siendo c y K constantes no necesariamente iguales a las de (3.1). En efecto, por la fórmula de Stirling, sabemos que Γ(1 + sN) = sNΓ(sN) ≈sN√2π(sN)sN e−sN (sN)−1 2 =√2πNs(ss)NNsN e−sN = (ss)N√s√2πNNsN e−sN , mientras que (N!)s= Γ(1 + N)s≈(√2πN)sNNse−Ns, y, dado el comportamiento de las expresiones potenciales frente a las exponenciales, queda visto el hecho de que las acotaciones que pedíamos en (3.1) son equivalentes a las acotaciones del tipo (3.2) Para ˜s>s , la fórmula de Stirling implica Γ(1 + sN)/Γ(1 + ˜sN)→0, N → ∞, puesto que si utilizamos cotas del tipo (3.2) llegamos a que existen constantes c, K > 0 tales que Γ(1 + sN)/Γ(1 + ˜sN)≤CKN(N!)s−˜s→0, cuando N→ ∞; por lo tanto f(z)∼sˆ f(z) en G implica f(z)∼˜sˆ f(z) en G . Notemos también que si se dan las acotaciones (3.1) o (3.2) para s= 0 es equivalente a la holomorfía en el origen de la función f , y ˆ f(z) será su desarrollo en serie de Taylor en z0= 0 . Proposición 3.3. Sea f una función holomorfa en una región sectorial G , y sea s≥0 . Los siguientes asertos son equivalentes: (a) f(z)∼sˆ f(z) en G . 37
(b) Todas las derivadas f(n)(z) son continuas en el origen, y para cada subsector cerrado S de G , existen constantes c, K de tal forma que 1 n!sup z∈Skf(n)(z)k ≤ cKnΓ(1 + sn), para cada n≥0 . Demostración: (a)⇒(b) Fijado un subsector cerrado T de G , podemos considerar un nuevo subsector cerrado S de G de modo que T esté contenido en el interior de S . Entonces, elegimos ε > 0 de modo que para todo z∈T , B(z, ε|z|)⊂S y aplicando la fórmula integral de Cauchy f(n)(z) = f(z)− n−1 X k=0 fkzk(n)=n! 2πi Z|w−z|=ε|z| f(w)−Pn−1 k=0 fkwk (w−z)n+1 dw. Ahora, tomando normas y acotando de la forma clásica, llegamos a kf(n)(z)k ≤ n! 2πi 2πε|z| εn+1|n|n+1 m´ax n f(w)− n−1 X k=0 fkwk :w∈S(z, ε|z|)o ≤n! 2πCKnΓ(1 + sN) m´ax{|w|n:w∈S(z, ε|z|)}, para constantes adecuadas C, K > 0 , y de nuevo, al tenerse por la desigualdad triangular |w|=|w−z+z|≤|w−z|+|z|=|z|(1 + ε), si w∈S(z, ε|z|), llegamos a que 1 n!kf(n)(z)k ≤ C 2πKnΓ(1 + sn)(1 + ε)n εn|z|n, para todo z∈T , lo cual resuelve esta implicación. Para demostrar la implicación (b)⇒(a) , hemos de hacer tender z0 a 0 en G en (2.3) para obtener f(z)− N−1 X n=0 fnzn=1 (N−1)! Zz 0 (z−w)N−1f(N)(w)dw, (3.3) 38
f(z)− N−1 X n=0 fnzn ≤cKN(N!)s|z|N. Entonces, deniendo las constantes cN=cKN(N!)s , llegamos a que krf−1(z, N)k ≤ δ−1 N−1 X n=0 cKn(n!)scKN−n[(N−n)!]s = (N−1)c2KN(n!)s[(N−n)!]s ≤(N+ 1)c2KN(n!)s[(N−n)!]s ≤˜c˜ KN(N!)s. siendo ˜c=c2 , ˜ K= 2K . Con ello probamos que f−1(z)∼sˆ f−1(z). 3.2. Desarrollos Gevrey en regiones de amplitud menor o igual que sπ radianes El siguiente resultado que presentaremos es una versión del teorema de Ritt, adaptado al caso de desarrollos asintóticos Gevrey; su demostración utiliza la denominada transformada de Laplace nita o truncada, cuya denición es la siguiente. Denición 3.9. Sean d, ρ > 0 números reales jos y sea g(u) una función continua para arg(u) = d y 0≤ |u| ≤ ρ . Denimos f(z) mediante f(z) = z−kZa 0 g(u) exp[−(u/z)k]d(uk), (3.5) para k > 0 y a=ρeid , calculando la integral a lo largo del segmento [0, a] . Entonces la aplicación f se denomina transformada de Laplace nita o truncada de g . 45
Nota: La notación d(uk) se reere a la siguiente expresión d(uk) := kuk−1du, luego, la transformada de Laplace nita se puede escribir también como f(z) = kz−kZa 0 uk−1g(u) exp[−(u/z)k]du. Para probar la holomorfía de la función f denida en 3.5 recurriremos al siguiente resultado clásico. Teorema 3.10 ( Holomorfía bajo el signo integral ) . Sea U un conjunto abierto del plano complejo, X un subconjunto medible Lebesgue de la recta real y f:X×U−→ C una aplicación que verica las condiciones siguientes: 1. Para todo t∈X , la función z7→ f(t, z) es holomorfa en U . 2. Para todo z∈U , la función t7→ f(t, z) es integrable en X . 3. Para cada z0 en U existen un entorno V de z0 contenido en U y una función integrable g:X−→ [0,∞), de modo que |f(t, z)| ≤ g(t) para todo t∈X y todo z∈V . Denimos la función h(z) = ZX f(t, z)dt, z ∈U. Entonces, h es holomorfa en U . Demostración: La demostración de este resultado se basa en utilizar el teorema de derivación de integrales paramétricas para variables reales y deducir que la función h es de clase C1 en sentido real, y en probar posteriormente que h verica las condiciones de Cauchy-Riemann en cada punto de U . 46
Observación 3.11. Mencionemos también que el resultado se puede formular para funciones f:X×U−→ E, siendo E un espacio de Banach complejo y X y U como en el teorema 3.10, pidiendo en 3. que kf(t, z)k ≤ g(t),(t, z)∈X×V, siendo V como en el teorema 3.10. Su demostración se reducirá a probar la holomorfía débil, de acuerdo con el apéndice C, para lo que se utilizará el lema previo. Lema 3.12. Sea f(z) la transformada de Laplace nita denida como en 3.5. Entonces: (a) f(z) es holomorfa en la supercie de Riemann del logaritmo. (b) Supongamos que existen números complejos gn y números reales cn≥0 (para n≥0 ) tal que para cada N≥0 y cada u como en las hipótesis de este lema, u−Ng(u)− N−1 X n=0 gnun ≤cN. • Haciendo g(u)=0 para arg(u) = d , |u|> d , se tiene que u−Ng(u)− N−1 X n=0 gnun ≤˜cN, para cada N≥0 , cada u con arg(u) = d , y siendo ˜cN= m´ax ncN, N−1 X n=0 cnρn−No. • Para z con cos(k(d−arg(z))) ≥ε > 0 y N≥0 , si ponemos fn=gnΓ(1 + n/k) , entonces z−Nf(z)− N−1 X n=0 fnzn ≤KN=ε−1−N/k˜cNΓ(1 + N/k). 47
(c) Con cn , Kn como en el apartado (b) , supongamos que, para s1≥0 , cn≤cKnΓ(1 + ns1) , n≥0 , para constantes sucientemente grandes c, K ≥0 , independientes de n . Entonces, Kn≤˜c˜ KnΓ(1 + ns2) , con s2= 1/k +s1 y para constantes ˜c, ˜ K≥0 sucientemente grandes (independientes de n pero dependientes de ε > 0 ). Demostración: (a) Utilizaremos el lema 3.10 para probar la holomorfía de f(z) en la supercie de Riemann del logaritmo. Antes de nada, parametrizando la integral dada en 3.5, obtendremos que f(z) = kz−kZa 0 uk−1g(u) exp[−(u/z)k]du =kz−kZρ 0 g(teid)tk−1eidke−(teid/z)kdt, (t, z)∈(0, ρ)×R Pondremos F(t, z) = g(teid)tk−1eidke−(teid/z)k , como g es continua para arg(z) = d , tenemos que kg(teid)k ≤ M , para cierta constante M > 0 , y como |eidk|= 1 , obtendremos que |F(t, z)| ≤ Mtk−1e−<((teid/z)k). Ahora bien, también tenemos que <(teid)k zk=|teid|k |zk|cos arg teid zk=tk |z|cos(k(d−arg(z))), dado que el argumento de un cociente de números complejos es la diferencia de los argumentos. Ahora, si tenemos |k(d−arg(z))|<π 2γ, γ ∈(0,1), entonces tk |z|kcos(k(d−arg(z))) >tk |z|kcos π 2γ≥0. y como <tkeidk zk≥0 , obtenemos la acotación |F(t, z)| ≤ Me−cos( π 2γ)tk/|z|ktk−1, Ahora bien, como k > 0 , la función tk−1 es integrable en un entorno de 0 y con ello, podemos establecer la acotación de F, en un entorno de cada punto z∈ R , por una función integrable, y obtenemos la holomorfía de la transformada de Laplace nita. (b) • Tendremos dos casos en función de |u| , siendo arg(u) = d : 48
Caso I: Si 0≤u≤ρ , entonces las hipótesis del apartado (b) dice ku−Ng(u)− N−1 X n=0 gnunk ≤ cN≤˜cN. Caso II: Si |u|> ρ , entonces, al ser g(u) = 0 , tendremos: ku−Ng(u)− N−1 X n=0 gnunk=|u|−N − N−1 X n=0 gnun = N−1 X n=0 gnun−N ≤ N−1 X n=0 kgnk|u|n−N ≤ N−1 X n=0 cnρn−N≤˜cn, donde se ha utilizado que cn≥ kgnk , como se deduce de las desigualdades krg(u, n)k ≤ cn mediante un paso al límite cuando u tiende hacia 0. • Utilizando la representación integral de la función Γ , Γ(z) = Z∞ 0 tz−1e−tdt, y teniéndose en cuenta que zNrf(z, N) = f(z)− N−1 X n=0 fnzn, como fn=gnΓ(1 + n/k) , obtendremos: zNrf(z, N) = f(z)− N−1 X n=0 fnzn =z−kZa 0 g(u)e−(u/z)kduk− N−1 X n=0 gnΓ(1 + n/k) =z−kZa 0 g(u) exp(−(u/z)k)duk− N−1 X n=0 Z∞ 0 gntn/ke−tzndt =z−kZa 0 g(u) exp(−(u/z)k)duk−Z∞ 0 e−t N−1 X n=0 gntn/kzndt. 49
Haciendo el cambio de variable t1/kz=u en la segunda integral, obtendremos dt =1 zkduk y con ello la expresión anterior puede reescribirse como: z−kZa 0 g(u) exp(−(u/z)k)duk −z−kZ∞(d=arg(u)) 0 e−(u/z)k N−1 X n=0 gnunduk, donde por Z∞(d=arg(u)) 0 haremos referencia a la integral entre 0 e innito siguiendo la dirección d= arg(u) . Por el teorema de los residuos aplicado a sectores de la forma S={u∈ R : 0 ≤ |u| ≤ ρ, 0<arg(u)≤d}, dotado de la orientación positiva tal y como muestra la siguiente gura obtenemos que como en S la función f(u) = e−(u/z)k N−1 X n=0 gnun, no tiene ninguna singularidad, entonces, si γρ denota el arco de circunferencia de centro 0 y radio ρ : 0 = Z[0,ρ] f(u)du +Zγρ f(u)du −Z[0,ρeid] f(u)du, (3.6) 50
puesto que el segmento [0, ρeid] se recorre en sentido opuesto. Acotando se obtiene Zγρ e−(u/z)k N−1 X n=0 gnundu ≤dρ m´ax{e−<((u/z)k) N−1 X n=0 kgnk|u|n:u∈γ∗ ρ} =dρe−(ρk/|z|k) cos(k(d−arg(z))) N−1 X n=0 kgnkρn→0, cuando ρ→ ∞ . Dado que la integral Zγρ f(u)du cuando ρ→ ∞ tiende hacia 0 , deducimos, por (3.6) que Z∞(d=arg(u)) 0 f(u)du =Z∞ 0 f(u)du. Teniendo en cuenta esta igualdad en la última expresión obtenida para zNrf(z, N) , obtenemos que zNrf(z, N) = z−kZ∞ 0 uNrg(u, N) exp(−(u/z)k)duk. A continuación, si tomamos normas, obtendremos |z|Nkrf(z, N)k≤|z|−kZ∞ 0 uNkrg(u, N)kexp(−<(u/z)k)d(uk) ≤˜cN|z|−kZ∞ 0 uNe−uk |z|kcos(k(d−arg(z))) d(uk). y, por lo tanto, si aplicamos el cambio de variable t=uk |z|kε, dt =d(uk) |z|kε 51
llegaremos a ˜cN|z|−kZ∞ 0|u|Ne−|u|k |z|kcos(k(d−arg(z))) d(uk) ≤˜cN|z|−kZ∞ 0 uNe−uk |z|kεd(uk) = ˜cN|z|N|z|k|z|−kε−1−N/k Z∞ 0 tN/ke−tdt = ˜cN|z|Nε−1−N/kΓ(1 + N/k) Esto es, tendremos que z−Nf(z)− N−1 X n=0 fnzn ≤˜cNε−1−N/kΓ(1 + N/k). (c) Este apartado se basa en las acotaciones realizadas en (3.2). En efecto, si se tiene que cnKn(n!)s1 , para n≥0 y para constantes sucientemente grandes c, K ≥0 independientes de n , entonces, la acotación del apartado anterior z−Nf(z)− N−1 X n=0 fnzn ≤KN=ε−1−N/k˜cNΓ(1 + N/k), dice que Kn≤ε−1−n/kcnKn(n!)s1cKn(n!)1 k= ˜c˜ K(n!)s1+1 k, siendo ˜c=cnε−1 y ˜ K=ε1 kK2 concluyendo la demostración de este lema. Proposición 3.13 ( Teorema de Ritt para desarrollos Gevrey ) . Dado s > 0 , sea ˆ f(z)∈C[[z]]s y una región sectorial G de amplitud, como mucho, sπ dado de manera arbitraria. Entonces, existe una función f(z) , holomorfa en G , de tal manera que f(z)∼sˆ f(z) en G . 52
Demostración: Sea ˆ f(z) = P∞ n=0 fnzn y denimos g(u) = ∞ X n=0 fnun/Γ(1 + sn); entonces ˆ f(z)∈C[[z]]s implica la holomorfía de g(u) para |u| sucientemente pequeño. Sea d la bisectriz de G y denimos para a=ρeid , para ρ > 0 sucientemente pequeño, y k= 1/s : f(z) = z−kZa 0 g(u) exp[−(u/z)k]duk. (3.7) El lema anterior permitirá concluir que la función f tiene las propiedades que deseamos. El resultado anterior garantiza que la aplicación de Borel asintótica Gevrey J:As(G, E)−→ E[[z]]s, es suprayectiva si la amplitud de G es menor o igual que sπ . Sin embargo, en este caso, la aplicación J no es inyectiva. Para ver este hecho, consideremos la función de variable compleja f(z) = exp −1 z en un sector de amplitud π y sea |arg(z)|<π 2γ , donde γ∈(0,1) . Esta función verica que f6= 0 , pero ˆ f(z) = 0 , puesto que |z−Nf(z)|=|z−Nexp(−(1/z))| ≤ 1 |z|Nexp −<1 z. Ahora, como tenemos el siguiente hecho <1 z=1 |z|cos(arg(z)) ≥cγ |z|, con cγ=πγ 2 , tendremos que 1 |z|Nexp −<1 z≤1 |z|Nexp −cγ |z|. Si consideramos la función de variable real f(x) = xne−cx, x > 0, c > 0 , bastará estudiar dónde alcanza el máximo de esta función para concluir. Entonces, derivando e igualando a cero la derivada de f tenemos que f0(x) = nxn−1e−cx −xne−cx =xn−1e−cx(n−cx)=0, 53
hecho que ocurre siempre y cuando x=n c o x= 0 . La segunda condición no puede ocurrir, puesto que x > 0 . Entonces, ocurre que f00(x) = n(n−1)xn−2e−cx −ncxn−1e−cx −f0(x), y por lo tanto f00n c=n(n−1)nn−2 cn−2e−n−(nc)nn−1 cn−1e−n =nne−n cn−2−nn−1e−n cn−2−nne−n cn−2 =−nn−1 cn−2e−n<0, dado que n c es un punto crítico de f , y por lo tanto f0n c= 0 . Con ello concluimos que x=n c es donde la función alcanza su máximo relativo, que vale fn c=nn cne−n. Por lo tanto 1 |z|Nexp −cγ |z|≤NN cN γ e−N, dado que 1 |z|>0 y cγ>0 . Ahora bien, como NNe−N≤√2πNNNe−N≈N!, tendremos que 1 |z|Nexp −cγ |z|≤√2πNNNe−Nc−N γ≈c−N γ(N!), es decir exp −1 z≤˜cKNN!|z|N, con K=c−1 γ y ˜c= 1 . Juntando toda esta información, concluimos que kf(z)k ≤ cKNN!|z|N, y con ello probamos que f∼1ˆ 0 en el semiplano de la derecha a pesar de que f6= 0 . 54
y obligar a que ˆy(z) sea solución de la ecuación diferencial de Euler. Haciendo esto, llegamos a z2∞ X n=0 nanzn−1+∞ X n=0 anzn=z, o también, ∞ X n=0 nanzn+1 +∞ X n=0 anzn=z. Ahora, si igualamos coecientes, llegaremos al sistema de recurrencias a0= 0, a1= 1, nan+an+1 = 0, n ≥1, cuya solución es an= (−1)nn!, y con ello tendremos que ˆy(z) = ∞ X n=0 (−1)nn!zn+1, serie que sabemos que diverge para z6= 0 . Por este motivo, no es posible encontrar soluciones analíticas en 0 , pero es de esperar que ˆy(z) tenga algún signicado analítico con respecto a la ecuación que satisface. Como vamos a ver, resulta que y(z)∼1ˆy(z) , siendo y(z) la solución de la ecuación dada en (4.1). Comencemos recordando que n! = Γ(n+ 1) = Z∞ 0 tne−tdt, y entonces n!zn+1 =Z∞ 0 (zt)ne−t(zdt), z ∈H. Si realizamos el cambio de variable zt =u , obtendremos n!zn+1 =Z∞(arg(z)) 0 unexp −u zdu, donde Z∞(arg(z)) 0 61
hace referencia a una integral calculada en la semirrecta (0,∞) , siguiendo la dirección arg(z) . Si aplicamos el teorema de los residuos a esta última integral en sectores de la forma Sρ={w∈C:|w| ≤ ρ, 0≤arg(w)≤arg(z)}, y dotando a S de la orientación positiva como muestra la gura aplicando el teorema de los residuos a la función f(s) = snexp −s z y dado que esta función no tiene ninguna singularidad en Sρ , tendremos que si denotamos por γρ al arco de circunferencia de centro 0 y radio ρ , tendremos 0 = Z[0,ρ] f(u)du +Zγρ f(u)du −Z[0,ρeiarg(z)] f(u)du, (4.2) dado que el segmento [0, ρeiarg(z)] se recorre en sentido opuesto. Ahora, acotaremos de la manera clásica la integral Zγρ f(u)du, sin más que hacer Zγρ f(u)du≤arg(z)ρm´ax{|u|nexp(−<−u z) : u∈γ∗ ρ} = arg(z)ρn+1e−ρk/|z|kcos(k(arg(u)−arg(z))) →0, cuando ρ→ ∞ . Como la integral a lo largo del arco de circunferencia γρ tiende a 0 cuando ρ tiende a innito, concluimos por (4.2) que Z∞ 0 f(u)du =Z∞(arg(z)) 0 f(u)du. Con ello hemos visto que también se puede escribir n!zn+1 =Z∞ 0 unexp −u zdu. 62
Por lo tanto, si N∈N∪{0} , z∈H : y(z)− N−1 X n=0 (−1)nn!zn+1 =Z∞ 0 e−u z1 1 + u− N−1 X n=0 (−1)nundu =(−1)NZ∞ 0 e−u zuN 1 + udu, y en consecuencia, si tomamos γ∈(0,1) y z∈Sγ , donde Sγ=nz∈C:|arg(z)|<π 2γo, entonces cos(arg(z)) = <(z) |z|≥cos π 2γ. Si llamamos cγ:= cos π 2γ>0 , hemos probado que cγ>0 . Con ello y(z)− N−1 X n=1 (−1)n−1(n−1)!zn≤Z∞ 0 e−u<(z)/|z|2·uN 1 + udu ≤Z∞ 0 e−cγu/|z|·uNdu =|z|N+1 cN+1 γZ∞ 0 e−ttNdt =N! cN+1 γ|z|N+1. (4.3) Estas dos últimas igualdades se deben al cambio de variable cγu |z|=t, du =|z| cγ dt, y a la denición de N! a partir de la función Gamma. En el caso clásico (desarrollo de Taylor-Laurent de una función analítica en 0 ) se tiene que estas cotas tienden hacia 0 , para z jo y con |z| pequeño, cuando N→ ∞ . Esto no ocurre en este caso, pero puesto que y(z) es jo si jamos z , interesará minimizar la cota haciendo variar N y calcular la precisión de dicha aproximación para el valor de N que haga óptima la misma. En otras palabras, estudiando la monotonía de la sucesión nN! cN+1 γ|z|N+1o∞ N=0, obtenemos que 63
N! cN+1 γ|z|N+1 ≤(N+ 1)! cN+2 γ|z|N+2, precisamente cuando N+ 1 ≥cγ |z|, es decir, la cota óptima se alcanza en N0=hcγ |z|i es decir, se alcanzará en la parte entera de cγ |z| . Para estimar su valor, observamos que si |z|<cγ 2 se tiene que 1−cγ |z|<1−2 = −1<−cγ 2|z|, con lo que −N0<1−cγ |z|<−cγ 2|z|. Por la fórmula de Stirling, existe C > 0 sucientemente grande para que N!≤CNNe−NN1 2, luego tenemos N0!|z| cγN0+1 ≤N0!·N−N0−1 0≤Ce−N0 N 1 2 0 ≤Ce−N0≤Cexp −cγ 2|z|. (4.4) La primera desigualdad de (4.4) se debe a que, como N0=hcγ |z|i , se tiene que N0≤cγ |z| , y la tercera desigualdad de (4.4) se debe a que N0=hcγ |z|i≥2 , lo cual cierra este ejemplo. Otros comentarios que podemos hacer es que las cotas dadas en (4.3) indican que y(z) admite a ˆy(z) como desarrollo asintótico Gevrey de orden 1 en S1=nz∈C:|arg(z)|<π 2o. De hecho, si se rota el camino de integración en la expresión dada en (4.1), es posible comprobar que y(z) admite prolongación analítica a sectores de amplitud mayor que π , en los que conserva el mismo desarrollo asintótico ˆy(z) . Esto, aplicando el lema de Watson, garantiza que y(z) es la única función que en tales sectores admite a ˆy(z) como desarrollo asintótico Gevrey 64
de orden 1 , y tiene sentido considerarla como la suma de ˆy(z) . También el hecho de que la suma conocida como "to the least term" proporciona aproximaciones exponencialmente correctas se debe precisamente a que el desarrollo es de Gevrey. De hecho, esto es una caracterización de estos desarrollos asintóticos. 65
Apéndice A Nociones de supercies de Riemann Sea X un espacio topológico. Nuestro objetivo es dotar a X de una estructura que permita ver a X , en forma local, como un abierto del plano complejo e introducir las nociones necesarias para disponer de la maquinaria relativa a las funciones complejas holomorfas en X . A.1. Cartas y atlas Pasaremos a continuación a denir nociones básicas tales como qué es una carta , explicaremos cuándo dos cartas son compatibles y procederemos con la denición de atlas complejo . Denición A.1. Una carta compleja , o simplemente carta , sobre un espacio topológico X es un par (φ, U) , siendo U⊂X un conjunto abierto de X , y φ un homeomorsmo φ:U−→ φ(U) , y φ(U)⊂C es un subconjunto abierto del plano complejo. El abierto U se denomina dominio de la carta φ . Denición A.2. Sean (φ1, U1) y (φ2, U2) dos cartas complejas en X . Decimos que φ1 y φ2 son compatibles si U1∩U2=∅ o cuando la aplicación cambio de carta o función de transición entre las cartas : φ2◦φ−1 1:φ1(U1∩U2)−→ φ2(U1∩U2), es holomorfa y su inversa también es holomorfa por el teorema de la aplicación abierta. Dicho teorema se puede aplicar ya que la aplicación cambio de carta es una biyección. 66
Observamos que la denición de cartas compatibles es simétrica; si φ2◦φ−1 1 es holomorfa en φ1(U1∩U2) , entonces φ1◦φ−1 2 es holomorfa en φ2(U1∩U2) . La aplicación cambio de carta es una biyección en cualquier caso. Pasemos ahora a la denición de atlas complejo: Denición A.3. Un atlas complejo , o simplemente atlas , A de X es una colección A={(φα, Uα)}α∈Λ de cartas compatibles dos a dos, cuyos dominios recubren a X , es decir, X=SαUα , siendo α un elemento que recorrerá un conjunto de índices Λ dado. Dos atlas A y B son equivalentes si cada carta de uno es compatible con cada carta del otro. Observación: Notemos que dos atlas son equivalentes si y solamente si su unión es un atlas complejo. Si aplicásemos el Lema de Zorn, tendríamos garantizado el resultado de que todo atlas complejo está contenido en un atlas maximal y sólo en uno. Más aún; dos atlas son equivalentes si y solamente si están contenidos en el mismo atlas maximal. A.2. Supercies de Riemann Denición A.4. Una estructura compleja en X es un atlas complejo maximal en X , o de forma equivalente, una clase de equivalencia de atlas complejos en X . Observación: Cualquier atlas determina una única estructura compleja; de este hecho parte el que se dena una estructura compleja mediante un atlas. A continuación, pasaremos a denir el concepto de supercie de Riemann ; aunque lo haremos de forma general, sólo estamos interesados en un caso particular, el de la denominada supercie de Riemann del logaritmo. Denición A.5. Una supercie de Riemann es un espacio topológico X , Hausdor, conexo y cumpliendo el segundo axioma de numerabilidad, dotado de un atlas. Habitualmente se añade la condición de conexo, puesto que las supercies de Riemann más interesantes son las de este tipo. 67
Denición A.6. Sean S1, S2 supercies de Riemann y sea U abierto de S1 y f:U−→ S2 una aplicación entre un abierto de S1 y S2 . Diremos que f es holomorfa en U si para cada carta (φ1, U1) de S1 , con U∩U16=∅ y cada carta (φ2, U2) de S2 con f(U∩U1)∩U26=∅ se tiene que φ2◦f◦φ−1 1:φ1(U∩U1)−→ C, es holomorfa en sentido clásico. A continuación, veremos la construcción de la supercie de Riemann asociada a la función multiforme (o multivaluada) log(z) . Dado un número complejo z∈C y θ un argumento de dicho número complejo, el conjunto de todos los logaritmos de z es log(z) = {ln |z|+i(θ+ 2πk) : θ∈R, k ∈Z}. Una forma de evitar este carácter multivaluado del logaritmo es distinguir en el dominio los pares (|z|, θ) y (|z|, θ + 2π) que representan el mismo número complejo en C\{0} de módulo |z| y argumentos θ o θ+ 2π . Para ello consideramos el espacio topológico producto X= (0,∞)×R dotado de la topología producto. Es claro que X es conexo y para cada θ∈R , consideramos el abierto Uθ= (0,∞)×(θ, θ + 2π) y la carta (φθ, Uθ) dada por φθ:Uθ= (0,∞)×(θ, θ + 2π)−→ C\Lθ (t, ψ)7−→ texp(iψ) = t(cos ψ+isin ψ), donde Lθ={z∈C:θ es un argumento de z }∪{0} . Es claro que φθ es un homeomorsmo, y que [ θ∈R Uθ=X Entonces, nuestro atlas quedará denido mediante la familia de pares {(φθ, Uθ)}θ∈R. Observemos que si Uθ∩Uθ06=∅ , entonces φθ◦φ−1 θ0(z) = z , con lo que la condición de compatibilidad de cartas está garantizada. El resultado nal es una supercie conexa que puede ser vista como una espiral innita hacia 68
Figura A.1: Supercie de Riemann del Logaritmo arriba y hacia abajo. Esta es la supercie de Riemann del logaritmo , R , o también llamada supercie de Riemann asociada al logaritmo . En esta supercie tiene sentido considerar la función logaritmo como función univaluada log: X−→ C (r, θ)7−→ log(r, θ) := ln |r|+iθ, que es holomorfa por serlo las funciones log ◦φ−1 θ , que son precisamente las ramas o determinaciones del logaritmo manejadas habitualmente. 69
Apéndice B Álgebras de Banach Dedicaremos esta sección a explicar qué es un álgebra, qué es un álgebra de Banach y los resultados que utilizaremos en el desarrollo de esta memoria. Denición B.1. Un álgebra A sobre un cuerpo K es un espacio vectorial A sobre K tal que para cada par ordenado de elementos x, y ∈ A hay denido un producto xy ∈ A cumpliendo las siguientes propiedades: (a) (xy)z=x(yz), (b) x(y+z) = xy +xz, (c) (x+y)z=xz +yz, (d) α(xy) = (αx)y=x(αy), para todo x, y, z ∈ A y escalares α∈K . Si K=R o C , entonces diremos que A es un álgebra real o compleja, respectivamente. A será llamada álgebra conmutativa o abeliana si para cada x, y ∈ A , xy =yx. Diremos que A es un álgebra con elemento unidad si A contiene un elemento e tal que para todo x∈ A , ex =xe =x. (B.1) Este elemento e es llamado elemento unidad o elemento identidad de A . Proposición B.2. Si un álgebra A tiene elemento unidad, éste es único. 70
Notemos que la primera igualdad se da puesto que φ es lineal, y la penúltima igualdad se da al ser φ continua, con lo que se llega a la veracidad de (b) . Supongamos que se da (b) . Esto es, para todo funcional φ∈E0 , tendremos que la aplicación φ◦f:G−→ C , siendo G un abierto del plano complejo, es holomorfa en sentido clásico. Luego, si γ es un camino cerrado: Zγ φ◦f= 0 = φ(0). Notemos que la segunda igualdad se da al ser φ lineal. Entonces, sabemos que, por el Teorema de Hahn-Banach, E0 separa puntos, y como se tiene Zγ φ◦f=φZγ f, llegamos a la conclusión de que: φZγ f=φ(0). Por el Teorema de Hahn-Banach, se tendrá el resultado buscado: Zγ f= 0. Supongamos, que se da (c) y veremos la veracidad de (d) . Sea γ un camino de Jordan orientado positivamente y z un número complejo situado en el interior del soporte de γ . Como se da (c) , tendremos que, para cada φ∈E0 se tendrá que: φZγ f=φ(0) = 0. Por otra parte, a partir de la denición de la integral a lo largo de una curva como límite de sumas de Riemann, tanto en el caso complejo como en el caso vectorial, es sencillo probar, dada la linealidad y continuidad de φ , que se tiene la igualdad Zγ φ◦f=φZγ f esto se traduce en que: Zγ φ◦f= 0, 77
lo cual dice entonces, que la función φ◦f:G−→ C , siendo G un abierto del plano complejo, es holomorfa en sentido clásico, y entonces se vericará, para esta aplicación, la fórmula integral de Cauchy: φ◦f(z) = η−1(γ, z)1 2πi Zγ φ◦f(w) w−zdw. Ahora bien, utilizando los mismos argumentos que antes, el segundo miembro de esta última igualdad es igual a: φη−1(γ, z)1 2πi Zγ f(w) w−zdz. Y de nuevo, por el teorema de Hahn-Banach, como se tiene: φ(f(z)) = φη−1(γ, z)1 2πi Zγ f(w) w−zdz, y E0 separa puntos, llegamos a (C.2): η(γ, z)f(z) = 1 2πi Zγ f(w) w−zdw. Supongamos, ahora, que se da (d) . Veremos que (a) es cierto sin más que probar que existe l´ım z→z0 f(z)−f(z0) z−z0 . 78
Sea φ∈E0 . Entonces, tenemos: φl´ım z→z0 f(z)−f(z0) z−z0 = l´ım z→z0 1 z−z0 (φ(f(z)) −φ(f(z0))) = l´ım z→z0 1 z−z01 2πi Zγ φ◦f(w) w−zdw −1 2πi Zγ φ◦f(w) w−z0 = l´ım z→z0 1 z−z01 2πi Zγ φ◦f(w) w−z−φ◦f(w) w−z0 dw = l´ım z→z0 1 z−z01 2πi Zγ (w−z0)φ(f(w)) −(w−z)φ(f(w) (w−z)(w−z0)dw = l´ım z→z0 1 z−z01 2πi Zγ (z−z0)φ(f(w)) (w−z)(w−z0)dw =1 2πi Zγ φ(f(w)) (w−z0)2dw =φ(f0(z0)). Y de nuevo, por el Teorema de Hahn-Banach, tendremos que: l´ım z→z0 f(z)−f(z0) z−z0 =f0(z0). Notemos que f0(z0) existe aplicando el teorema de derivación bajo el signo integral en (C.2), lo cual cierra la demostración. Por H(G, E) denotaremos al conjunto de todas las funciones a valores en un espacio de Banach complejo E que son holomorfas en G . Utilizando en (C.2) el teorema de diferenciabilidad bajo el signo integral, y dado que el índice de una curva es constante en cada componente conexa de G , probamos el siguiente teorema: Teorema C.7. Cada función f∈ H(G, E) es de clase C∞ y además: η(γ, z)·f(n)(z) = n! 2πi Zγ f(w) (w−z)n+1 dw, n ≥0, para γ y z como en (C.2). C.2. Series de Potencias De la misma forma que en el caso escalar, podemos representar de manera holomorfa funciones mediante series de potencias, como mostraremos ahora. 79
Para fn∈E, n ≥0 , consideramos la serie de potencias P∞ n=0 fn(z−z0)n (notemos, de nuevo que hacemos un abuso de notación y ponemos el factor escalar (z−z0)n a la derecha de los vectores fn ). Si E es un espacio de Banach complejo, la convergencia de la serie equivale a la vericación de la condición de Cauchy, y esto implica que los términos de la serie han de tender hacia cero. Además, toda serie que converja normalmente en un conjunto lo hará absoluta y uniformemente. Denición C.8. Dado E un espacio de Banach complejo y P∞ n=0 fnzn una serie de potencias formal, denimos su radio de convergencia ρ , mediante 1 ρ= l´ım sup n→∞ kfnk1/n. (C.3) Usaremos el convenio clásico de considerar 1/0 = ∞ y 1/∞= 0 . Para cada K > 1/ρ tenemos kfnk ≤ Kn para cada n≥n0 adecuado. En efecto, como l´ım sup n→∞ kfnk1/n =1 ρ< K, tendremos que, por denición de límite superior, existe n0∈N de tal forma que kfnk1 n< K para cada n≥n0, y por lo tanto, obtendremos kfnk< Kn . Con un argumento análogo, para cada k < 1/ρ , sin embargo, obtendremos kfnk> kn para innitos n . Esto prueba que, como en el caso escalar, la serie de potencias converge absolutamente en el disco D(z0, ρ) y uniformemente en cada uno de los compactos del disco, pues es sencillo acotar sus sumandos por los de una serie numérica geométrica de razón menor que 1 , con lo que hay convergencia, de hecho, normal, mientras que diverge siempre que |z|> ρ , puesto que el término general no tiende a 0 , no pudiéndose decir nada acerca de la convergencia en la frontera del disco. Este comportamiento justica el nombre dado a ρ . Proposición C.9. Para z0∈G , sea ρ > 0 de tal forma que D(z0, ρ)⊂G . Entonces, para cada f∈ H(G, E) , tenemos f(z) = ∞ X n=0 fn(z−z0)n, z ∈D(z0, ρ), (C.4) con sus coecientes dados por 80
fn=f(n)(z0) n!=1 2πi I|z−z0|=ρ−ε f(z) (z−z0)n+1 dz, n ≥0, para cada ε > 0 sucientemente pequeño. Demostración: Desarrollando (w−z)−1=P∞ n=0(z−z0)n(w−z0)−n−1 , insertando este desarrollo en (C.2) e intercambiando sumatorio con la integral, lo cual está justicado, puesto que tenemos convergencia uniforme (probado siendo z0 interior al soporte de γ y |z−z0|<´ınfw∈γ|w−z0| ), y a partir de este punto se procederá de forma análoga a como se realizó en el caso escalar. Las series de potencias convergentes con el mismo centro, z0 pueden ser sumadas término a término, pero en general, el producto de dos series de potencias no está denido. Sin embargo, el siguiente aserto siempre es correcto: Proposición C.10. Para f∈ H(G, E), α ∈ H(G, C) y T∈ H(G, L(E,F)) suponemos f(z) = P∞ n=0 fn(z−z0)n , α(z) = P∞ n=0 αn(z−z0)n y T(z) = P∞ n=0 Tn(z−z0)n , para |z−z0|< ρ . Entonces Tf ∈ H(G, F) , αf ∈ H(G, E) , y tenemos T(z)f(z) = ∞ X n=0 n X m=0 Tn−mfm!(z−z0)n,|z−z0|< ρ, α(z)f(z) = ∞ X n=0 n X m=0 αn−mfm!(z−z0)n,|z−z0|< ρ. Demostración: Se sigue de la construcción del producto de Cauchy de series. En efecto, como T(z) = P∞ n=0 Tn(z−z0)n y f(z) = P∞ n=0 fn(z−z0)n entonces: T(z)f(z) = ∞ X n=0 Tn(z−z0)n! ∞ X m=0 fm(z−z0)m! =∞ X n=0 X n=m+k Tnfm(z−z0)n+m! =∞ X n=0 n X m=0 Tn−mfm!(z−z0)n,|z−z0|< ρ. 81
De manera análoga se prueba la segunda igualdad. Sea f la función dada por (C.4) y escogemos un punto z1∈D(z0, ρ) . Entonces, la representación de f mediante su serie de potencias en torno al punto z1 puede ser dada por: f(z) = ∞ X m=0 ∞ X n=0 n+m mfn+m(z1−z0)n!(z−z1)m, y la serie converge al menos para los puntos que verican |z−z1|< ρ−|z1−z0| pero puede converger en un disco más grande. C.3. Orden y tipo de funciones enteras Antes de empezar a explicar conceptos relacionados con el orden y tipo de funciones enteras, daremos la denición de función entera. Denición C.11. Diremos que una función f a valores en un espacio de Banach E es entera si f∈ H(C,E) . Sea f una función entera. Denimos M(ρ, f) = m´ax{kf(z)k:|z|=ρ}, para ρ≥ρ0 . Si no hay ambigüedad en la notación, denotaremos por M(ρ) a M(ρ, f) . Notemos que, como consecuencia del teorema del módulo máximo que se verica en C , la función M(ρ, f) es estrictamente creciente en (0,∞) siempre que f no sea constante. De hecho, se verica que l´ım ρ→∞M(ρ, f) = ∞, puesto que si no, gracias al teorema de Liouville, deduciríamos que f sería constante, llegando a una contradicción. De forma natural, haciendo uso del conocimiento de las funciones elementales reales, procede comparar M(ρ) con funciones del tipo eρµ , con µ > 0 . Esto motiva las siguientes deniciones; el orden y el tipo de una función. Pero antes daremos la denición de función entera. A continuación, pasaremos a denir el orden y tipo de una función entera. 82
Denición C.12. Sea f una función entera. Decimos que f es de orden nito cuando se verica la siguiente propiedad: Existen µ > 0 y R(µ)>0 tales que M(ρ)< eρµ para todo ρ>R(µ). (C.5) Llamaremos orden de la función f al extremo inferior del conjunto {µ > 0 : µ verica (C.5) } Habitualmente denotaremos el orden de una función mediante k . Si el conjunto anterior es vacío se dirá que f es de orden innito. El siguiente resultado caracterizará en términos de límites al orden de una función f . Proposición C.13. Sea f una función entera. Entonces su orden k se puede escribir como k= l´ım sup ρ→∞ log(log(M(ρ))) log(ρ). Demostración: Por la denición de orden como inferior, dado ε > 0 , tendremos lo siguiente: Por un lado, existe R(ε) tal que M(ρ)< eρk+ε para cada ρ>R(ε) . Despejando, obtendremos log(log(M(ρ))) log(ρ)< ρ +ε, siempre que r > R(ε) . Por otro lado, existen módulos ρ1 , ρ2 , . . . , ρn , . . . arbitrariamente grandes cumpliendo que M(ρn)> eρk−ε n (puesto que M(ρ)→ ∞ , cuando ρ→ ∞ ), esto es log(log(M(ρn))) log(ρn)> ρ −ε, para todo n∈N. De las dos desigualdades anteriores, deducimos precisamente que k= l´ım sup ρ→∞ log(log(M(ρ))) log(ρ). 83
Denición C.14. Sea f una función entera, de orden nito k . Decimos que f es de tipo nito cuando se cumple la siguiente propiedad: Existen K > 0 y R(K)>0 tales que M(ρ)< eKρk para ρ>R(K). (C.6) Llamaremos tipo de la función f al extremo inferior del conjunto {K > 0 : K verica (C.6) }. Habitualmente denotaremos el tipo de una función por τ . De nuevo, si el conjunto anterior es vacío, se dirá que f es de tipo innito , τ=∞ . De manera similar al orden, el siguiente resultado caracterizará al tipo de f en términos de límites superiores. Proposición C.15. Sea f una función entera, f no constante de orden nito k . Entonces, su tipo τ se puede escribir como τ= l´ım sup ρ→∞ log M(ρ) ρk Demostración: Por la denición de tipo como inferior, dado ε > 0 , tendremos lo siguiente: Por un lado, existe R(ε) tal que M(ρ)< e(τ+ε)ρk para todo ρ>R(ε) . Despejando esta desigualdad, tendremos log M(ρ) ρk< τ +ε, siempre que ρ>R(ε). Por otra parte, de manera análoga a como teníamos para el orden de f , existen módulos ρ1, ρ2...,ρn, . . . arbitrariamente grandes cumpliendo que M(ρn)> e(τ−ε)ρk n , es decir log(M(ρn)) ρk n > τ −ε. Al vericarse las dos desigualdades para log(M(ρ)) ρk , deducimos que τ= l´ım sup ρ→∞ log M(ρ) ρk. A continuación, veremos un lema que permitirá simplicar algunos cálculos para probar las fórmulas de orden y tipo de una función entera f cuando conocemos su desarrollo de Taylor. 84
Lema C.16. Sean K y µ números reales positivos. Sea, para cada n natural, gn(ρ) = eKρµ ρn, para ρ > 0. Entonces se tiene que eµK nn/µ ≤gn(ρ) = eKρµ ρn. Demostración: Veamos que este resultado se cumple porque, de hecho se tiene m´ın ρ>0gn(ρ) = eµK nn/µ, pero esto último se reduce a un sencillo problema de optimización de funciones. Derivando la función gn(ρ) , para cada n∈N , obtenemos que gn(ρ) = Kµρµ+n−1eKρµ−nρn−1eKρµ ρ2n=ρn−1eKρµ[Kµρµ−n] ρ2n. Luego, los posibles candidatos a ser extremos relativos son aquellos que anulen a la derivada de la función gn(ρ) para cada n∈N . Es decir, estos son aquellos que veriquen µKρµ−n= 0, o también ρ=n Kµ1/µ. Derivando dos veces la función gn(ρ) y evaluando en el punto crítico, se puede ver claramente que dicha derivada segunda es mayor que cero, y por ello los candidatos a ser puntos críticos son, efectivamente, mínimos relativos para la función gn(ρ) , para cada n∈N . Viendo el valor que toma gn en su mínimo correspondiente permite concluir que dicho mínimo es el que dice el resultado. Ahora, pasaremos a la denición de función trascendente. Denición C.17. Diremos que una función f es trascendente si es entera y su desarrollo de Taylor tiene innitos coecientes no nulos, es decir, cuando f no es una función polinómica. Así pues, vamos a dar otro resultado auxiliar con el que, con su ayuda, completará la demostración de las fórmulas de orden y tipo de una función entera conocido su desarrollo de Taylor. 85
Lema C.18. Sea f una función trascendente con desarrollo de Taylor f(z) = ∞ X n=0 fnzn. Supongamos además que existen constantes K, µ > 0 y N∈N tales que |fnk<eµK nn/µ, para todo n > N. Entonces para todo ε > 0 , existe R=R(ε) tal que para ρ>R se tiene que M(ρ)< e(K+ε)ρµ. Demostración: Separaremos en tres sumas la serie de Taylor de f y acotaremos convenientemente cada uno de los tres sumandos usando lo siguiente: Utilizando el criterio mayorante de Weierstrass, es inmediato que, para µ y K jos, la serie ∞ X n=1 eµK nn/µ, es convergente. Por esto, existirá un N1=N1(µ, K) , que supondremos mayor que el N del enunciado, N1> N de modo que ∞ X n=N1eµK nn/µ <1, esto es, el resto de orden N1 del desarrollo de Taylor de f es acotado. Por otra parte, del lema C.16 anterior y por las hipótesis de los coecientes fn tendremos que, para n > N , se verica que kfnk<eµK nn/µ ≤gn(ρ) = eKρµ ρn, es decir, que para n>N tendremos que kfnkρn< eKρµ . Acotando, pues, y suponiendo que ρ > 1 tendremos lo siguiente M(ρ)≤∞ X n=N1+1 kfnkρn+ N1 X n=N+1 kfnkρn+ N X n=0 kfnkρn <1+(N1−N)eKρµ+ρN N X n=0 kfnk < eKρµhN1−N+e−Kρµ1 + ρN N X n=0 kfnki. 86
Cogeremos ahora 0< k < k1< k2<1/α y denotaremos por SR al sector acotado SR={z∈S:|z|< R}. Dado ε > 0 , aplicaremos el principio del módulo máximo a la función auxiliar Fε(z) = f(z) exp(−εzk2) tomando como recinto el sector acotado SR . Con vistas a aplicar el principio del módulo máximo, acotaremos Fε en la frontera del recinto SR . Tendremos dos casos: Caso I: Si z es un punto del plano perteneciente a los lados de SR expresado como z=ρeiθ , entonces se tendrá que kFε(z)k ≤ C|exp(−εzk2)|=Cexp(−ερk2cos(k2θ)). puesto que la parte real de z=ρeiθ es ρcos(θ) . Si vemos que el exponente del lado derecho de la desigualdad es negativo, podremos concluir. En efecto, puesto que z se encuentra en un lado del sector de amplitud πα centrado en el eje real, observamos que |θ|=πα 2 y que k2<1 α, esto es, tendremos que |k2θ|<πα 2α y que k2<1 α, y, por supuesto, cos(k2θ)>0. Con todo esto, podremos concluir que kFε(z)k ≤ C . Caso II: Si z es un punto de la frontera del sector circular que se encuentra en el arco circular de radio R , es decir, z=Reiθ , con |θ| ≤ πα/2 , tendremos que, por denición de orden, kf(z)k ≤ M(R)<exp(Rk1) para cada R > R1 adecuado. Por consiguiente, tendremos kFε(z)k<exp(Rk1−εRk2cos(k2θ)) <exp Rk1−εRk2cos k2απ 2. Esto es, para todo R sucientemente grande tendremos que kFε(z)k ≤ C en la frontera del recinto SR y el principio del módulo máximo avala que dicha acotación es también válida en el sector SR y por ello en S . 93
Observamos que lo anterior es válido para cada ε > 0 . Haciendo ε→0 , obtendremos kFε(z)k=kf(z0) exp(εzρ2 0)k=kf(z0)k, y podremos cerrar la demostración de este resultado al ser kf(z0)k ≤ C, para todo z0∈S. 94
Apéndice D Fórmula de Stirling en el plano complejo En este apéndice estudiaremos el comportamiento de la función Γ de Euler y de la fórmula de Stirling deduciremos el desarrollo asintótico de la función Γ denida en el semiplano H={z∈C:<(z)>0}. A partir de ahora y salvo que se diga lo contrario H denotará ese conjunto del plano complejo. D.1. Fórmula de Stirling para números reales mayores que 0 Denición D.1. Sea z∈H . Llamamos función Gamma de Euler a la función denida mediante Γ(z) = Z∞ 0 tz−1e−tdt. Observemos que si z=x+iy con x > 0 , entonces |tz−1e−t|=tx−1e−t∈L1(0,∞) lo que garantiza que la función Γ está bien denida en H . Además por el teorema de holomorfía bajo el signo integral, Γ es holomorfa en H . Teorema D.2. Para todo x > 0 se tiene que l´ım x→∞ ex√x xxΓ(x) = √2π. 95
Demostración: Sea x > 0 . Aplicando la denición D.1, y realizando el cambio de variable t=u2 , tenemos ex√x xxΓ(x) = 2 Z∞ 0 ex−u2u √x2x−1du. Realizando el cambio de variable u=√x+v , tendremos ex√x xxΓ(x) = 2 Z∞ √x e−2v√x1 + v √x2x−1e−v2dv = 2 Z∞ −∞ ϕx(v)e−v2dv, donde ϕx(v) = 0 si v≤ −√x e−2v√x(1 + v/√x)2x−1 si v > −√x. Por una parte, usando el desarrollo asintótico de ln 1 + v √x que es ln 1 + v √x=v √x−v2 2x+. . . tenemos que para un v jo ln ϕx(v) = −v2+O1 √x, para x→ ∞, de donde l´ım x→∞ϕx(v) = e−v2. Derivando, obtenemos ϕ0 x(v) = − √xe−2v√xv √x+ 12x(2v√x+ 1) (v+√x)2 Podremos observar que ϕx(v) alcanza el máximo para v=−1 2√x. Teniéndose la mayoración ϕx(v)≤e1−1 2x2x−1 dicha cota está acotada para valores de x arbitrariamente grandes, ya que 96
l´ım x→∞1−1 2x2x−1 =1 e. Resumiendo, hemos demostrado que l´ımx→∞ ϕx(v)e−v2=e−2v2,∀v∈R ϕx(v)e−v2=O(e−v2) para x→ ∞, siendo la función e−v2 integrable en R . Podemos aplicar entonces el teorema de la convergencia dominada y concluir que l´ım x→∞ ex√x xxΓ(x) = 2 Z∞ −∞ e−2v2dv =√2π, que era lo que se pretendía probar. D.2. Fórmula de Stirling en el plano complejo salvo el semieje real negativo Probaremos en primer lugar un lema que permite extender el dominio de denición de la función Gamma. Lema D.3. Sea z∈H . Entonces, se verica la siguiente ecuación funcional Γ(z+ 1) = zΓ(z). Demostración: Utilizando la denición (D.1), obtenemos Γ(z+ 1) = Z∞ 0 tze−tdt. Si integramos por partes esta expresión u=tz, du =ztz−1;dv =e−tdt, v =−e−t, llegamos a Γ(z+ 1) = Z∞ 0 tze−tdt =−tze−tt→∞ t=0 +zZ∞ 0 tz−1e−tdt =zΓ(z), 97
obteniendo el resultado solicitado. Esta identidad permite extender Γ a la banda vertical {z∈C:−1<<(z)≤0, z 6= 0}, poniendo Γ(z) = Γ(z+ 1) z. Es inmediato que Γ así extendida es holomorfa en {z∈C:<(z)>−1, z 6= 0}, y presenta un polo simple en z= 0 . Recurrentemente, podemos extender Γ a C\{0,−1,−2, . . . } de manera holomorfa, siendo −j un polo simple de Γ , para todo j∈N . A continuación, presentamos, sin demostración, una escritura de la función Gamma como un producto innito: Γ(z) = e−γz z ∞ Y n=1 1 + z n−1ez/n, z ∈C\{0,−1, . . . }, siendo γ la constante de Euler ( γ= 0,5772156649 . . . ). A partir de esta escritura es posible proporcionar el comportamiento asintótico de la función Gamma en sectores del plano complejo adecuados. No entraremos en detalles, pues su demostración (que se puede consultar en [5]) requeriría un esfuerzo adicional considerable. Teorema D.4. Para todo z con |arg(z)|< π se tiene que Γ(z) = √2πzz−1 2e−zeJ(z), donde la potencia de z se considera en la rama principal y J es la llamada función de Binet. Para cada θ con 0≤θ < π existe κ(θ)>0 de tal forma que |J(z)| ≤ κ(θ) |z|, para todo z en el sector Sθ:|arg(z)| ≤ θ . Por lo tanto, l´ım z→∞Γ(z)ez√z √2πzz= 1 uniformemente en cada sector Sθ . 98
Bibliografía [1] W. Balser, From divergent power series to analytic functions, Universitext, Springer, 1994. [2] W. Balser, Formal power series and linear systems of meromorphic ordinary dierential equations, Universitext, Springer, 2000. [3] J. Dieudonné, Elementos de análisis tomo II, Reverté, 1982. [4] J. Gago Vargas, Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla, Supercies de Riemann, disponible en la página web: https://rodas5.us.es/le/9c67d392-d8a9-65f4-3e52e773f337f88c/1/apuntes-sri-paso01.pdf, 2013. [5] P. Henrici, Applied and computational complex analysis Volume 2, Wiley classics library, 2000. [6] E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications, Wiley classics library, 1978. 99