Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities como un recurso para fomentar la Modelización Matemática entre el alumnado de Educación Primaria

Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities como un recurso para fomentar la Modelización Matemática entre el alumnado de Educación Primaria Fermi Problems and Modelling Eliciting Activities as a resource to promote Mathematical Modelling among Primary School students XIMENA TOALONGOA, CÉSAR TRELLESB Y ÁNGEL ALSINAC A y C Universitat de Girona, B Universidad de Cuenca (Ecuador) A ximetoalo[email protected], B [email protected], C [email protected] A https://orcid.org/0000-0001-6163-4574, B https://orcid.org/0000-0002-4096-8353, C https://orcid.org/0000-0001-8506-1838 Recibido/Received: Mayo de 2024. Aceptado/Accepted: Julio de 2024. Cómo citar/How to cite: Toalongo, X., Trelles, C. y Alsina, Á. (2024). Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities como un recurso para fomentar la Modelización Matemática entre el alumnado de Educación Primaria. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 13(1), 58-92. DOI: https://doi.org/10.24197/edmain.1.2024.58-92 Artículo de acceso abierto distribuido bajo una Licencia Creative Commons Atribución 4.0 Internacional (CC-BY 4.0). / Open access article under a Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0). Resumen: La modelización matemática ocupa un lugar relevante en la investigación educativa internacional. En este contexto, el presente estudio trata sobre una actividad de modelización matemática diseñada y elaborada a partir de los planteamientos teóricos tanto de los problemas de Fermi como de las Modelling Eliciting Activities (MEA’s). El objetivo del estudio es describir y comprender los procesos de modelización matemática a través de las producciones y reacciones de alumnos ecuatorianos de Educación Primaria (10-11 años) cuando resuelven una de estas actividades. Se utilizó un enfoque metodológico mixto a través de un diseño de estudio de caso intensivo. Los resultados muestran que el alumnado, a pesar de no tener experiencia previa con estas actividades, es capaz de comprender el problema, establecer conjeturas, suposiciones y proponer ideas de solución. Se concluye que estas actividades presentan grandes ventajas para el desarrollo de las habilidades de modelización del alumnado de esta etapa educativa. Palabras clave: Modelización matemática; Problemas de Fermi; Modelling eliciting activities; Ciclo de modelización; Educación Primaria Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities… 59 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 Abstract: Mathematical modelling occupies a relevant place in international educational research. In this context, the present study deals with a mathematical modelling activity designed and elaborated from the theoretical approaches of both Fermi problems and Modelling Eliciting Activities (MEA's). The aim of the study is to describe and understand the processes of mathematical modelling through the productions and reactions of Ecuadorian primary school students (10-11 years old) when they solve one of these activities. A mixed methodological approach was used through an intensive case study design. The results show that students, despite having no previous experience with these activities, are able to understand the problem, make conjectures and assumptions, and propose ideas for solutions. It is concluded that these activities have great advantages for the development of modelling skills of students at this educational stage. Keywords: Mathematical modelling; Fermi problems; Modelling eliciting activities; Modelling cycle; Primary education INTRODUCCIÓN La investigación en educación matemática en los últimos años ha otorgado gran importancia a la modelización, focalizándose sobre todo en cómo puede favorecer el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas (Trelles-Zambrano y Alsina, 2017). Como muestra de ello, en la actualidad son numerosas las investigaciones educativas cuyo objeto de estudio es la modelización matemática (e.g., Barquero et al., 2018; Barquero y Jessen, 2020; Daher, 2021; Ferrando y Albarracín, 2021; Florensa et al., 2020; Jung et al., 2019; Lu y Kaiser, 2022; Montero y Vargas, 2022; Toalongo et al., 2021; Toalongo et al., 2022; Trelles et al., 2022a; Trelles et al., 2022b; Vargas et al., 2018). Podemos observar también como las principales reuniones de matemática educativa a nivel internacional, como por ejemplo el International Congress on Mathematical Education (ICME), el Congreso Iberoamericano de Educación Matemática (CIBEM) o la Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (RELME), entre otras, han designado espacios específicos para discutir acerca de la modelización matemática y sus implicaciones en los procesos de enseñanza - aprendizaje. Además, varias organizaciones de prestigio internacional plantean, ya sea de forma explícita o implícita, la importancia que tiene la modelización matemática en los procesos de enseñanza-aprendizaje. Por ejemplo, el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 1989) expresa la importancia y necesidad de desarrollar la comprensión de modelos matemáticos, haciendo énfasis en que los conocimientos matemáticos deben servir para modelizar, analizar, describir, evaluar y tomar decisiones 60 Ximena Toalongo, César Trelles y Ángel Alsina Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 sobre problemas de la vida real. La Organization for Economic Cooperation and Development (OECD, 2023), define la competencia matemática como la capacidad que posee un individuo para razonar matemáticamente, así como para formular, emplear e interpretar la Matemática para resolver problemas en una variedad de contextos del mundo. Esto incluye utilizar conceptos, procedimientos, hechos y herramientas que permitan describir, explicar y predecir fenómenos. Ayuda a las personas a conocer el papel que la Matemática juega en el mundo, además de colaborar en la elaboración de juicios bien fundados y en la toma de las decisiones que necesita un ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo del siglo XXI. Asimismo, para la OECD una de las siete capacidades fundamentales es la matematización, es decir, la capacidad para transformar un problema del mundo real a una forma estrictamente matemática, que es la esencia de la modelización. Por lo expuesto, es necesario continuar con esta importante línea de investigación, y hacerlo desde diferentes aristas contribuirá significativamente a comprender la modelización matemática en todas sus dimensiones. En este sentido, Albarracín y Gorgorió (2019) señalan que los problemas de Fermi son adecuados para introducir la modelización en Educación Primaria, ya que propician la estimación de cantidades desconocidas en una situación real de la que no se conocen los datos. Adicionalmente, considerando que los problemas de Fermi tienen algunos puntos en común con las Modelling Eliciting Activities, es necesario el diseño y elaboración de nuevas actividades a partir de estos planteamientos. En consecuencia, uno de los aspectos importantes a investigar es cómo reaccionan los alumnos de Educación Primaria al enfrentarse a actividades de modelización matemática, en la línea ya iniciada por English (2006, 2010, 2014), English y Watson (2018), Ruiz-Higueras et al. (2013) y Trelles et al. (2022a), entre otros. En este sentido, el objetivo de esta investigación es describir y comprender los procesos de modelización matemática a través de las producciones y reacciones de alumnos ecuatorianos de Educación Primaria (10-11 años) cuando resuelven una de estas actividades. 1. MARCO TEÓRICO 1. 1 La modelización matemática Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities… 61 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 En la literatura podemos encontrar fácilmente varias definiciones de modelización matemática. Por ejemplo, para Alsina et al. (2007), la modelización matemática consiste en un proceso en el cual se construye un modelo con el propósito de comprender y explicar un fenómeno real o matemático y para ello se necesitan constantes traducciones entre la realidad y las matemáticas. Algunos autores tratan de dar una definición más apegada al ámbito educativo, en consecuencia, son estas las que se asumen en este estudio. Por ejemplo, Bliss y Libertini (2019) y Blum y Borromeo (2009) plantean que la modelización matemática se debe entender como un proceso en el que a través de la matemática se pretende predecir o proporcionar información acerca de los fenómenos del mundo real, lo que implica realizar traducciones entre el mundo real y las matemáticas. Para Aymerich y Albarracín (2022) “la modelización matemática es un proceso de resolución de problemas contextualizados en las que se elabora un modelo matemático para describir el fenómeno real estudiado” (p. 4). Trigueros Gaisman (2006, p. 1210), manifiesta: Cuando hablamos de modelación en la enseñanza nos referimos a proporcionar a los estudiantes problemas suficientemente abiertos y complejos en los que puedan poner en juego su conocimiento previo y sus habilidades creativas para sugerir hipótesis y plantear modelos que expliquen el comportamiento del fenómeno en cuestión en términos matemáticos y mediante la revisión, la reflexión, la aplicación de sus conocimientos y la comunicación de sus resultados con la idea de que se acerquen a los procesos que se llevan a cabo en la actividad científica. 1. 2 El ciclo de modelización Uno de los aspectos característicos de la modelización matemática es que se desarrolla a través de procesos no lineales, consecuentemente varios autores (e.g., Carreira et al., 2011; Geiger, 2011; Girnat y Eichler, 2011; Greefrath, 2011) proponen entenderla a través de ciclos de modelización. Si bien las diferentes propuestas presentan varias similitudes, para nuestro estudio asumimos el ciclo de modelización del Blum y Leiβ (2007) que se presenta en la Figura 1. 62 Ximena Toalongo, César Trelles y Ángel Alsina Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 Figura 1. Ciclo de modelización matemática (Blum y Leiβ, 2007) Al ser un proceso no lineal e iterativo, se entiende que el alumnado al enfrentarse a actividades de modelización matemática puede transitar de forma no ordenada por cada una de las fases del ciclo, siendo estas: 1) comprender el problema, la tarea o la actividad; 2) simplificar y estructurar el problema a partir de sus datos y variables; 3) matematizar el problema a partir de las relaciones existentes entre las variables del problema y mediante el uso de objetos matemáticos; 4) trabajo matemático que permita obtener resultados matemáticos; 5) interpretar los resultados obtenidos de acuerdo a las características del problema; 6) validación, a partir de juzgar si el modelo obtenido soluciona el problema; y 7) presentación, donde el alumnado explica a los demás el modelo obtenido. Si bien el ciclo de modelización antes descrito contribuye a tener una idea bastante aproximada de cómo se desarrollan los procesos de modelización, consideramos importante contar con varios indicadores en cada una de las fases del ciclo que permitan realizar un minucioso análisis de la producción de los alumnos al enfrentarse a actividades de modelización matemática, y que a su vez consideren los niveles educativos a los cuales pertenece el alumnado. Al respecto, con el propósito de evaluar los procesos de modelización matemática existen en la literatura varios planteamientos, por ejemplo: Leong (2012), Tekin-Dede y Bukova-Güzel (2018) o Turner et al. (2021); sin embargo, por lo explicado anteriormente, en nuestro estudio se asume la herramienta en forma de rúbrica denominada Rubric for Evaluating Mathematical Modelling Processes (REMMP), desarrollada por Toalongo et al. (2022). 1. 3 Las model-eliciting activities (MEA’s) Son varias las propuestas existentes para implementar la modelización matemática en el proceso de enseñanza - aprendizaje, por ejemplo, Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities… 63 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 Albarracín (2017), Ferrando y Navarro (2015), Gallart et al. (2019) o Trelles-Zambrano et al. (2019), entre otras. En nuestro estudio, asumimos las Model-eliciting activities (MEA’s), propuestas por Lesh et al. (2000) y Lesh y Doerr (2003). Estas actividades están fundamentadas en seis principios: 1) construcción, 2) realidad, 3) autoevaluación, 4) documentación, 5) prototipo efectivo, y 6) generalización. Además, estas actividades se caracterizan por ser abiertas, lo que implica que no existen respuestas únicas, ni siquiera respuestas incorrectas, tan solo unas más eficaces que otras de acuerdo a las condiciones iniciales del problema y a los supuestos planteados por el alumnado. Otra característica es que se trabajan normalmente en grupos reducidos de máximo cuatro alumnos, su duración es de aproximadamente dos o tres sesiones de clase, y normalmente se pide al alumnado que mediante una carta asesore a las personas o instituciones que tienen interés en conocer la solución del problema; aquí explicarán detalladamente los procesos utilizados para la solución. 1. 4 Los problemas de Fermi De acuerdo con Ärlebäck (2009), los problemas de Fermi son enunciados que proponen problemas de situaciones abiertas y no estandarizadas. Estas situaciones pretenden que el alumnado, a través de sus conocimientos previos, estructure ideas y dé respuesta a las necesidades de esa situación en particular. Para ello, se usa la estimación de cantidades como estrategia que permite dar respuestas mediante cálculos sencillos, de acuerdo con su nivel de escolaridad. En este sentido, para Sriraman y Knott (2009), los problemas de Fermi deben ser considerados como problemas que permitan al alumnado estimar cantidades ante una situación particular, de tal manera que, de forma didáctica, se parta de ideas iniciales a través de operaciones sencillas hasta concluir con cálculos que requieren más fundamentación en cuanto a cantidades y variables para dar respuesta al problema. Finalmente, es importante mencionar que se pueden realizar actividades de modelización matemática recogiendo algunos de los planteamientos de los problemas de Fermi. Así, por ejemplo, según Ärlebäck (2011) la utilización de problemas de Fermi en las aulas contribuye a que los alumnos se acerquen a actividades de modelización matemática, por las siguientes razones: a) pueden ser desarrolladas por el alumnado en cualquier etapa escolar sin poseer un conocimiento específico 64 Ximena Toalongo, César Trelles y Ángel Alsina Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 en matemáticas, b) desarrollan la capacidad de estructurar y seleccionar información importante para la resolución del problema, c) desarrollan estrategias específicas de acuerdo al problema que se presenta, d) los alumnos están en capacidad de estimar cantidades sin que posean datos numéricos específicos, y e) fomenta el pensamiento crítico, la reflexión y la argumentación frente al punto de vista de otros alumnos. 1. 5 La modelización matemática en las primeras etapas educativas Tradicionalmente, la modelización matemática ha sido implementada en los procesos de enseñanza - aprendizaje de niveles educativos superiores, fundamentalmente en la educación secundaria, universitaria, así como en la formación del profesorado (Barquero et al., 2014; Hernández-Martínez y Vos, 2018; Segura et al., 2023; Sol et al., 2011; Trelles-Zambrano et al., 2019). En consecuencia, son aún escasas las investigaciones que abordan el uso de la modelización matemática en las primeras etapas educativas, a pesar de que documentos elaborados por importantes organizaciones como el NCTM (2000) y la National Governors Association Center for Best Practices and Council of Chief State School Officers (2010) recomiendan implementarla en las aulas desde los primeros niveles escolares. Si bien en estas edades las investigaciones aún son limitadas, los trabajos pioneros de English (1996, 1997, 2004, 2006, 2010) permiten tener evidencia acerca del desarrollo de los procesos de modelización del alumnado de estos niveles. Concretamente, plantean que la modelización matemática propicia que los niños desarrollen ideas propias y procesos matemáticos en el marco de la resolución de problemas reales. Por su parte, investigaciones más recientes como las de Alsina et al. (2021), English (2014), English y Watson (2018), Ruiz-Higueras y García (2011), RuizHigueras et al. (2013), Toalongo et al. (2022) o Trelles et al. (2022a, 2022b) permiten comprender los procesos de modelización matemática desde diferentes enfoques, como, por ejemplo, desde el punto de vista numérico, algebraico, geométrico y estadístico. A su vez, Toalongo et al. (2021) sugieren que los procesos de modelización matemática pueden ser desarrollados incluso por alumnado de Educación Infantil, logrando una verdadera conexión de significados de los objetos matemáticos y su utilidad en la vida cotidiana. En cuanto a Educación Primaria, los problemas de Fermi son accesibles para los estudiantes de este nivel ya que no requieren Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities… 65 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 conocimientos previos de cursos superiores, sino más bien razonamientos de tipo aritmético y algunas nociones de estimación de medidas. Para autores como Albarracín y Gorgorió (2019), estos problemas pueden ser considerados como problemas de modelización “en miniatura”, lo que hace que sean completamente pertinentes para este nivel educativo. No obstante, para su implementación adecuada en el aula es conveniente la capacitación del profesorado, pues estudios como los de Segura y Ferrando (2023) dan cuenta de la dificultad que pueden tener con estos problemas inclusive algunos profesores. En lo que concierne al tratamiento que se da a la modelización matemática en los documentos curriculares dirigidos a estos niveles educativos, Trelles-Zambrano y Alsina (2017) han realizado un estudio de estos documentos en países como España, Ecuador y Estados Unidos, identificando que la modelización matemática está presente y que uno de los aspectos comunes es la implementación progresiva de los procesos de modelización, siendo los modelos concretos y los modelos gráficovisuales los que predominan en los currículos de estas edades. Por todo ello, nos planteamos la siguiente pregunta de investigación: ¿Cómo se dan los procesos de modelización en la producción y reacción de los alumnos ecuatorianos de educación primaria cuando resuelven actividades diseñadas a partir de los problemas de Fermi y las MEA’s? 2. METODOLOGÍA La investigación responde al paradigma interpretativo, con un enfoque metodológico de diseño mixto, concretamente cualitativo-cuantitativo (Hernández-Sampieri y Mendoza, 2018), es decir, con una preponderancia del enfoque cualitativo. En lo referente al enfoque cualitativo, se ha diseñado un estudio de caso descriptivo (Coller, 2005; Yin, 2018) con el propósito de identificar y describir los elementos clave del objeto de estudio, y realizar un estudio en profundidad del caso seleccionado. Un estudio de caso es un estudio intensivo de un solo caso o un pequeño número de casos que se basa en datos de observación y promete arrojar luz sobre una población más grande de casos (Gerring, 2017); de acuerdo con esto una de las principales características es estudiar el caso en profundidad, el mismo debe proporcionar importante evidencia para el argumento, logrando así una generalización analítica. Las unidades de análisis son los 882 diálogos y producciones realizados por los participantes de la investigación, las categorías guardan 66 Ximena Toalongo, César Trelles y Ángel Alsina Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 relación con la fundamentación teórica explicada en el anterior apartado y están formadas por cada fase del ciclo de modelización. En lo referente al enfoque cuantitativo, se realizó un análisis de contenido cuantitativo (Hernández-Sampieri y Mendoza, 2018; Krippendorff, 2018), con el propósito de determinar qué fase del ciclo de modelización tiene una mayor presencia en el estudio del caso seleccionado. 2. 1 Participantes La actividad se desarrolló dentro de un curso de 24 alumnos —14 niñas y 10 niños— de sexto grado de Educación General Básica de una institución privada de la ciudad de Cuenca-Ecuador, de edades comprendidas entre 10 y 11 años. El nivel socioeconómico al que pertenece el alumnado se puede catalogar como medio. El rendimiento académico de los alumnos en la asignatura de Matemáticas está en un promedio de 8.00/10, lo que corresponde a Alcanzar los Aprendizajes (AA) de acuerdo con el Artículo 26 del Reglamento a la Ley Orgánica de Educación Intercultural de Ecuador. Ningún alumno tenía experiencia previa en el trabajo con actividades de modelización matemática, debido a que estas actividades tienen poca o nula presencia en el currículo ecuatoriano (véase, por ejemplo, la investigación de Trelles et al., 2022b). La actividad analizada en este estudio fue desarrollada por dos niñas de 10 años. El rendimiento académico de una de las niñas es de 10/10 y de la otra es de 9,5/10 en la asignatura de Matemáticas, lo que corresponde a la escala cualitativa de Dominio de los aprendizajes (DA), de acuerdo con el Artículo 26 del Reglamento a la Ley Orgánica de Educación Intercultural anteriormente mencionado. 2. 2 Diseño y aplicación de la actividad La actividad fue ideada y diseñada por los autores siguiendo los planteamientos teóricos de las Modelling Eliciting Activities (MEA’s) y los problemas de Fermi. La actividad pretende que el alumnado proponga un método para calcular el número de perros en cualquier ciudadela de Cuenca-Ecuador, y que mediante una carta expliquen los procedimientos utilizados. Como se ha indicado, se aplicó una primera actividad a los 24 alumnos descritos en el apartado anterior, en la que se les pidió que se organizaran Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities… 73 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 Tabla 3. Análisis de los datos generados por las alumnas (momento 2) N.º de diálogo Participante Diálogo Fase correspondiente del ciclo de modelización / Ítem de acuerdo con la rúbrica 106 I Ya, una vez que tenemos los dibujos N1 y N2, ¿qué más tendríamos que hacer, ya tenemos el dibujo de una ciudadela hecha por N1 y una ciudadela hecha por N2, ahora ¿qué podríamos hacer?, ¿qué deberíamos hacer? 107 N2 Contar los perros Estructuración / 2.2 115 N1 Las casas, que hay 117 N2 Dónde hay perros, y luego contar los perros 121 N1 1, 2, 3, … 18, 19, 20, 21 Matematización / 3.1 134 I ¿Ya está todo? ¿Cuántas casas hay en total? 135 N1 39 Matematización / 3.1 139 N1 [Continúa con la parte del gráfico que faltaba] 40, 41, 42,4 3, … 85 143 I Entonces N2 ¿Cuántas en la tuya? 148 N2 [Cuenta] 1, 2, 3, … 50 Matematización / 3.1 156 I ¿Cómo podríamos saber cuántos perros hay, por ejemplo, en la que tiene 50 casas? ¿Y cuántos perros hay en la que tiene 85 casas? 182 I ¿Entonces qué más tendríamos que hacer ahora? 184 N2 Multiplicación, mmm sumar Estructuración / 2.2 186 N1 No, primero deberíamos de restar el 85 menos las casas que están deshabitadas Estructuración / 2.2 74 Ximena Toalongo, César Trelles y Ángel Alsina Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 190 N1 85-3. Ya acabé [muestra en su hoja la operación realizada 853=82] Trabajo matemático / 4.2 191 I Perfecto 192 N2 [Escribe en su hoja la operación de forma vertical 50-1=49], listo Trabajo matemático / 4.2 195 I En estas 49 casas y en estas 82 casas, ¿qué pasaría en estas? En estas casas que ustedes han obtenido como respuesta 196 N1 Que si hay personas Interpretación / 5.1 197 I Si hay personas, y el hecho de que haya personas, significa que… 198 N1 Tal vez, puede haber perros Interpretación / 5.1 200 N1 Seguro hay perros y en otras no han de haber perros Comprensión / 1.1 215 I Como podríamos saber cuáles sí tienen perros y cuales no 235 N1 Estaba haciendo que 9 casas tienen perros, 10 perros aquí en toda la ciudadela, pero sería poco Comprensión / 1.1 239 N1 Porque si es que hay 82 casas, es muy poco que haya 10 perros en total Interpretación / 5.1 241 N2 La idea que yo propongo es que pongan el número de casas que hay en la ciudadela y le resten por las casas que tienen perros Estructuración / 2.2 243 N2 Y de ahí, esas casas que tienen perros, mmm [piensa] tengo que sumar los perros que viven en cada casa 244 N1 ¿Pero si no sabemos el número de perros que hay en cada casa? Comprensión / 1.2 247 I Qué tal si, si es que, pensamos en esta calle de aquí [señala la calle que queda frente a la escuela] que ustedes conocen. ¿Cuántas casas habrá en esta calle? 248 N2 ¿Unas 15? Matematización / 3.1 Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities… 75 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 249 N1 Mmm [piensa] tal vez unas 9 254 N2 ¿12? Comprensión / 1.2 255 I ¿Por qué el 12? 258 N1 Porque tal vez es el número del medio que está entre el 15 y el 9 [lo expresa con una ligera duda] Trabajo matemático / 4.1 344 I De esas 12 casas ¿cuántas tendrán perros? 346 N2 La de lado, mmm, la del otro… la siguiente allí al lado [indica con el dedo en señal de ubicación de casas] Comprensión / 1.1 352 N2 Mmm [piensa] unos seis Matematización / 3.1 353 I Unas 6, muy bien, ¿cuántas casas había? 354 N2 12 Matematización / 3.1 355 I Y ustedes dicen que las 6 tienen perros 357 I Ya, el 6 qué es para el 12 361 N2 La mitad Matematización / 3.3 La Tabla 4 que forma parte del momento 3, presenta como las niñas hacen uso de los análisis que han desarrollado durante el momento 1 y 2, de esta manera se acercan a la solución final del problema. 76 Ximena Toalongo, César Trelles y Ángel Alsina Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 Tabla 4. Análisis de los datos generados por las alumnas (momento 3) N.º de diálogo Participante Diálogo Fase correspondiente del ciclo de modelización / Ítem de acuerdo con la rúbrica 446 I ¿Cuál es la idea para saber el número de perros? 447 N1 Tal vez podríamos dividir el 41 para el 2 Estructuración / 2.2 448 I Pero, ¿qué era este 41? 449 N1 El 41 era el número de casas con perros Matematización / 3.1 460 I N1 y N2, N2 ha dicho que hay 24 casas que tienen perros y N1 ha dicho que en la ciudadela que ella dibujó hay 41 casas que tienen perros. Atención a esta pregunta, N2 y N1 muy atentas a esta pregunta ¿cuántos perros habría en cada casa?, ¿cuántos perros vamos a poner que hay en cada casa? 463 N1 Yo pondría unos 2 Comprensión / 1.1 492 I Haber veamos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… [cuenta en la hoja con el dedo] bien, hay 15 perros aquí en el dibujo de N2, hay 15 perros en 8 casas 493 N1 Y tal vez podríamos hacer esos 15 dividido para 8 Estructuración / 2.2 552 I Entonces, si es que tengo 41 casas [señala en la hoja de trabajo] y digo que en cada casa hay 2 perros, cuántos perros hay 564 N1 me da 82 Trabajo matemático / 4.2 596 I Pero ¿ya con eso estaríamos? O falta o hay que poner algo más 599 N1 No creo [piensa mirando a I] Estructuración / 2.1 602 I Había unos perros que ustedes dijeron antes Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities… 77 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 603 N2 Que eran callejeros Comprensión / 1.1 604 I Eso, ahora ¿cuántos callejeros pondríamos? 605 N2 Yo aquí [mira en sus otras hojas] hay, aquí tengo yo 6 callejeros Comprensión / 1.1 636 I Si, entonces les podríamos decir al ministerio que no sabe cómo calcular los perros, ¿le podríamos decir como una secuencia de operaciones para que ellos determinen el número de perros? 637 N1 y N2 Sí, responden simultáneamente Comprensión / 1.1 A continuación, en la Figura 3, se presentan los dibujos de las dos niñas que representan cada una de las ciudadelas con las que realizaron el trabajo. Figura 3. Representación de la ciudadela de la niña N1 (izquierda) y de la niña N2 (derecha) Finalmente, la investigadora pregunta a las alumnas cuál es el procedimiento seguido para sumar los perros callejeros, las niñas utilizan el concepto de media aritmética y proponen que al final se deben sumar 5 perros callejeros; esto debido a que N1 en su trabajo sumó cuatro perros callejeros y N2 sumó 6. La síntesis del procedimiento se puede observar en la carta redactada por las niñas (Figura 4). 78 Ximena Toalongo, César Trelles y Ángel Alsina Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 Figura 4. Carta redactada por las niñas Fuente: Elaboración de las alumnas Al cuantificar las fases por las que transitaron las dos alumnas al desarrollar la actividad, se obtuvieron los resultados que se muestran en la Tabla 5. Tabla 5. Cuantificación de las fases del ciclo de modelización presentes en el desarrollo de la actividad Fases Total % Comprensión 119 34,10 Estructuración 65 18,62 Matematización 54 15,47 Trabajo matemático 82 23,50 Interpretación 18 5,16 Validación 11 3,15 Presentación 0 0 Total 349 100 Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities… 79 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 Es importante mencionar que dentro de las 882 unidades de análisis están los diálogos planteados por la investigadora, los mismos que no son categorizados dentro de las fases del ciclo de modelización, ya que esto hace alusión exclusiva a la producción de las alumnas. Así mismo, existen algunos diálogos que no son relevantes y que no pertenecen a ninguna de las fases del ciclo de modelización. También conviene aclarar que la fase correspondiente a la Exposición/Presentación no estuvo presente en el desarrollo de la actividad, esto se debe fundamentalmente al diseño del estudio, pues las características del diseño no posibilitaron que las alumnas presenten el trabajo ante sus pares. 4. DISCUSIÓN En este estudio se ha analizado la producción de alumnos ecuatorianos de Educación Primaria al enfrentarse a una actividad de modelización matemática considerando los problemas de Fermi en combinación con los planteamientos teóricos de las Modelling Eliciting Activities (MEA’s). Los resultados obtenidos a partir de las producciones de dos alumnas evidencian que, a pesar de no haber tenido experiencia previa con actividades de modelización matemática, son capaces de comprender el problema, realizar suposiciones, conjeturas y proponer estrategias de solución, aspectos que, usualmente, están descuidados en los planes de estudio de matemáticas. Desde esta perspectiva, English (2010) afirma que normalmente no se expone al alumnado ante el desarrollo de eficaces procesos matemáticos, tan útiles para resolver los problemas actuales y futuros de la sociedad contemporánea. En la misma línea de ideas, coincidimos con Trelles et al. (2022a) en que es imperante entregar al alumnado problemas contextualizados, altamente significativos y que desafíen sus procesos de pensamiento. El modelo elaborado por las alumnas pone de manifiesto la capacidad que tienen para hacer uso de conocimientos extramatemáticos, relacionarlos con la situación propuesta y proponer ideas de solución que se ajusten a las condiciones del problema. Esto coincide con los hallazgos de Trelles et al. (2022a), quienes afirman que los alumnos participantes en su investigación fueron capaces de relacionar aspectos extramatemáticos y decidir cómo estos aspectos pueden incidir en los datos; además, concuerda con los estudios previos que tratan específicamente sobre los problemas de Fermi como los de Henza y Fritzlar (2010) y Sriraman y Knott (2009). 80 Ximena Toalongo, César Trelles y Ángel Alsina Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 Según los datos obtenidos, se evidencia que las alumnas transitan con mayor frecuencia por la fase denominada Comprensión. Esto sugiere que lograron un alto nivel de entendimiento del problema, lo cual es corroborado por el hecho de que alcanzaron a proponer una solución a través de un modelo. Sin embargo, estos resultados conviene interpretarlos con cautela, pues la subrepresentación de una fase del ciclo de modelización no necesariamente representa una debilidad, así como una sobrerrepresentación una fortaleza. Consideramos que esto está en función de la naturaleza del problema, en ocasiones podría darse que la fase más transitada por los alumnos sea precisamente la que más dificultad les generó. Esto conlleva a pensar que lo más probable en un problema de modelización es que el alumnado transite con distinta frecuencia por cada una de las fases de ciclo. Nuestros hallazgos coinciden con Kaygisiz y Şenel (2023), quienes describen que en su investigación los trabajos de los alumnos demostraron que la competencia de comprensión se había alcanzado en un nivel satisfactorio, pues los alumnos asociaron el problema con sus conocimientos previos y relacionaron la situación del problema con la vida real. No obstante, estos investigadores reportaron que el alumnado participante en su investigación tuvo dificultades para dibujar la representación del problema, resultados que difieren de nuestros hallazgos, ya que en nuestro estudio las dos niñas no presentaron dificultad para representar el problema mediante un dibujo. Además, consideramos que la interacción de las dos alumnas en el desarrollo de la actividad de modelización les permitió fortalecer capacidades comunicativas, así como intercambiar ideas, pensamientos y formas de representación que les facilitan desarrollar el pensamiento matemático. Estos aspectos son coincidentes con los hallazgos de Segura et al. (2023) al trabajar con los Problemas de Fermi con estudiantes de educación superior. Para Brady (2018) y Jung y Brady (2023), los alumnos, cuando se enfrentan a actividades de modelización, pueden utilizar herramientas representacionales para imaginar una variedad de fenómenos en el mundo real que pueden ser capturados por esas herramientas; este trabajo imaginativo ayuda a condicionar sus formas de ver y les apoya en la producción reflexiva de matematizaciones. A su vez, esto apoya las lecturas críticas de los alumnos sobre sus propios modelos o modelos creados por sus compañeros. Asimismo, para Zubi et al. (2018), los alumnos aprendieron diferentes conocimientos de parte de sus compañeros al enfrentarse a actividades de modelización. Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities… 81 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 En cuanto a las fases de Estructuración y Matematización, se puede notar que están presentes en el desarrollo de la actividad en mayor medida en el momento 2, pues estas son esenciales para acercarse al planteamiento del modelo final. Estudios como los de Ärlebäck y Bergsten (2010) y Sriraman y Knott (2009), enfocados en los problemas de Fermi, muestran que una estrategia válida consiste en dividir un problema en subproblemas y hacer suposiciones o estimaciones parciales para cada uno de ellos. Al final, es conveniente encadenar estos resultados parciales a través de relaciones que conduzcan a la solución, en la misma línea de lo propuesto por Taggart et al. (2007). Una de las fases menos presente en el desarrollo de la actividad fue la Validación. De manera similar, Zubi et al. (2018), Ji (2012) y Tekin-Dede y Yilmaz (2013) encontraron que el alumnado con o sin experiencia en modelización presentaba dificultades al validar el modelo. Zubi et al. (2018) concluyen que, en su investigación, se examinaron las competencias de modelación de los alumnos y se observaron que estos se desempeñaron en el nivel deseado en términos de comprensión, simplificación, matematización y trabajo matemático. Sin embargo, su desempeño fue inadecuado o parcialmente adecuado en las fases de interpretación y verificación, hallazgos que coinciden en su gran mayoría con los nuestros. Un aspecto que merece también la atención, y que ya ha sido manifestado por varios investigadores, como por ejemplo Toalongo et al. (2021), tiene que ver con el hecho de que los procesos de modelización siguen una estructura no lineal, es decir, los alumnos transitan de forma desordenada por cada una de las fases del ciclo de modelización. Consideramos también que la combinación de los problemas de Fermi con actividades de modelización matemática pueden resultar una estrategia interesante para afianzar el conocimiento matemático en el alumnado. En esta misma línea, diversos autores (e.g., Albarracín y Gorgorió, 2019; Haberzettl et al., 2018) han subrayado que los problemas de Fermi pueden constituirse en un primer acercamiento del alumnado hacia la modelización. No obstante, recomendamos que para su elaboración se consideren los intereses de los alumnos, así como la formación del profesorado para su implementación. 82 Ximena Toalongo, César Trelles y Ángel Alsina Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 5. CONCLUSIONES La actividad fue ideada y diseñada por el equipo investigador partiendo de los intereses del alumnado, en este caso, las mascotas. A pesar de que las dos participantes no tenían experiencia previa en el desarrollo de estas actividades, se evidenció la capacidad que tienen para enfrentarse a actividades de este estilo, situación que sugiere que actividades como estas deberían estar más presentes en la planificación del profesorado. Uno de los aspectos relevantes es el potencial que tienen las alumnas para intercambiar ideas, realizar conjeturas, suposiciones, relacionar conocimientos previos con la situación problemática, utilizar objetos matemáticos para representar problemas de la vida real y de realizar un aprendizaje conjunto. Sin embargo, estas situaciones difícilmente ocurren de manera espontánea, pues es preciso que el currículo, así como el profesorado, promuevan el desarrollo de actividades de modelización matemática en las aulas. Para ello, los problemas de Fermi, en combinación con las características de las actividades de modelización matemática, podrían ser una buena alternativa. La formación del profesorado para diseñar actividades de modelización, orientar al alumnado en su desarrollo y evaluar sus respectivos procesos se convierten en un aspecto fundamental, pues en cualquier contexto comprender los procesos de pensamiento emergentes del alumnado es mucho más complicado que imponerles nuestro propio modelo. Una de las principales limitaciones del estudio es que trata de un estudio de caso intensivo, concretamente del estudio en profundidad del trabajo de una pareja de niñas de 10 años con un alto dominio de los aprendizajes; por lo tanto, los resultados de este estudio no pueden generalizarse a todos los niños de esta edad. Sin embargo, existe la posibilidad de seguir estudiando más actividades de modelización matemática con otros niños de esta misma edad o incluso con grupos de diferentes edades en distintos contextos educativos. Una segunda limitación del estudio tiene que ver con la imposibilidad de que las alumnas expongan sus trabajos ante sus pares y que estos a su vez también den opiniones para la mejora del modelo, para ello se necesita previamente que todo el grupo de alumnos hayan trabajado en la misma actividad. Sin embargo, queda abierta esta modalidad para futuras investigaciones. Los Problemas de Fermi y las Modelling Eliciting Activities… 89 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 13(1), 58-92 ISSN 2254-8351 Desing in Mathematics and Science Education (pp. 591-645). Lawrence Erlbaum Associates. Lu, X. y Kaiser, G. (2022). Can mathematical modelling works as a creativity-demanding activity? An empirical study in China. ZDM Mathematics Education, 54(1), 67-81. https://doi.org/10.1007/s11858-021-01316-4 Montero, L. E. y Vargas, V. (2022). Ciclos de modelación y razonamiento covariacional al realizar una actividad provocadora de modelos. 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