Leyes de escala: tamaño, forma y vida

Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Física Leyes de escala: tamaño, forma y vida Autor: Guzmán Peña Alonso Tutores: Ana Cobos Huerga, Luis Fernando Hevia de los Mozos y José Carlos Cobos Hernández 2 3 Este trabajo se lo dedico a mis padres, por todo su apoyo, al abuelo Cuco y a la abuela Nines, por haber estado siempre ahí, y a Ana Cobos y Fernando Hevia, por hacerme ver la Física de otra manera. 4 5 Prof. Dr. D. José Carlos Cobos Catedrático de Universidad Facultad de Ciencias. Universidad de Valladolid C/ Paseo de Belén, 7. 47071 – Valladolid Tfno. Despacho: 983.42.31.37 e-mail: josecarlos.cobo[email protected] D. JOSÉ CARLOS COBOS HERNÁNDEZ, Catedrático de Universidad del Área de Física Aplicada de la Universidad de Valladolid, CERTIFICA: Que la presente memoria, titulada “Leyes de escala: tamaño, forma y vida”, ha sido realizada bajo su dirección y la de Dª Ana Cobos Huerga y D. Luis Fernando Hevia de los Mozos, por D. Guzmán Peña Alonso, en el Departamento de Física Aplicada de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Valladolid, y constituye su Memoria del Trabajo Fin de Grado. Y para que así conste, firma el presente certificado en Valladolid, a 16 de julio de 2019. Firmado: José Carlos Cobos Hernández 6 7 Tabla de contenido Resumen ..................................................................................................................................... 9 Abstract ....................................................................................................................................10 Capítulo 1 Prefacio ................................................................................................................11 Capítulo 2 Leyes de escala: tamaño, forma y vida ..................................................................15 Capítulo 3 Génesis: Galileo Galilei y dos Ciencias Nuevas .....................................................21 Capítulo 4 El Principio de Semejanza Geométrica .................................................................25 4.1. Fuerza relativa ............................................................................................................26 4.2. División celular ............................................................................................................26 Capítulo 5 El origen estadístico de la alometría .....................................................................29 5.1. Fluctuaciones en los parámetros alométricos................................................................30 5.1.1. Coeficiente alométrico ............................................................................................... 31 5.1.2. Exponente alométrico ................................................................................................ 32 5.1.3. Covariación de los parámetros alométricos ................................................................ 34 5.2. Evolución de las probabilidades ................................................................................... 34 Capítulo 6 Invariancia de escala ............................................................................................37 Capítulo 7 Ejemplos ...............................................................................................................39 7.1. ¿Puede un pájaro de gran masa volar? ........................................................................39 7.2. ¿Cómo dependen de las dimensiones de un animal terrestre la energía por unidad de masa y la longitud recorrida en moverse? ...............................................................................41 7.3. ¿Por qué la muñeca Barbie no llegó a ser Miss Universo? ............................................42 7.4. Leyes de escala en ratas ...............................................................................................44 7.5. Ritmo cardíaco y longevidad .......................................................................................45 7.6. Leyes de escala en árboles............................................................................................46 7.7. Leyes de escala en ciudades .........................................................................................48 Capítulo 8 Conclusiones .........................................................................................................51 Bibliografía ................................................................................................................................ 53 8 9 Resumen En el mundo observamos una gran variedad de tamaños y formas: desde el patagotitán, que pesa 69·10 3 kg y mide 36 m de largo y 14 m de alto, o la gran ballena azul, que pesa 2·10 5 kg y mide 30 m de largo, hasta el micoplasma, cuya masa es del orden de 2·10 –16 kg. Para comparar los fenómenos que ocurren a diferentes escalas, utilizamos el análisis dimensional y las leyes de escala. Las leyes de escala son, matemáticamente hablado, leyes de potencias que interrelacionan dos variables que describen un proceso natural. En Biología se las conoce con el nombre leyes alométricas y, obviamente, se caracterizan principalmente por medio del exponente (alométrico). Dichas leyes nos hablan del diferente crecimiento relativo de las dos variables de interés, en contraposición con las leyes isométricas, que serían aquellas en las que el exponente vale 1 y una variable crece proporcionalmente respecto a la otra. No existen leyes de escala generales y, para llegar a una, primero hay que establecer una hipótesis biológica que intente describir el proceso subyacente. En algunos casos se puede utilizar el Principio de Semejanza, establecido por Arquímedes para figuras geométricamente semejantes (isometría), apoyándonos en alguna hipótesis biológica. Pero este principio presenta ciertas limitaciones, y Galileo se dio cuenta de ellas 2000 años después. En este trabajo veremos lo importante que es entender por qué los fenómenos físicos que ocurren a una cierta escala no pueden ser extrapolados a otras por una simple regla de tres, y que por eso son importantes las leyes de escala y las, así llamadas, propiedades emergentes, que aparecen cuando ni siquiera se cumplen las leyes de escala. Palabras clave: tamaño, forma, análisis dimensional, Principio de Semejanza de Arquímedes, hipótesis biológica, Galileo, alometría, Ley de Kleiber, propiedades emergentes. 16 En la naturaleza, y en particular en los seres vivos, el tamaño sí importa, y ya Galileo se dio cuenta de ello (Galilei, 1976). El tamaño de las cosas, y el de los seres vivos, no puede aumentar arbitrariamente. Las leyes de escala nos permiten comprender cómo dependen las propiedades y funciones de los seres vivos de su tamaño. Y es que, a mayor tamaño, mayor complejidad. El tamaño está relacionado con la función de los seres vivos, y también la forma es importante, pues no podemos ni imaginar a un elefante, del tamaño de una ardilla, escalando por el tronco de un árbol. La forma de los animales responde a su función. Por ejemplo, los animales terrestres tienen, por lo general, formas cilíndricas para facilitar su locomoción. Por lo tanto, la forma responde a factores del tipo funcional. Figura 2.2: Los animales terrestres, como los caballos, tienen formas cilíndricas para facilitar su locomoción (Pittau, 2017). Para poder comparar fenómenos físicos de organismos de diferentes tamaños, tenemos que realizar, primero, una hipótesis biológica que permita establecer una relación razonable entre dos elementos o variables. Hay que tener en cuenta además que no se pueden comparar dos cosas completamente dispares. 17 También es importante el análisis dimensional (Jou, 2009). Para un sistema existen una serie de parámetros que lo describen completamente. Para determinar las constantes características independientes de un sistema y su relación con los demás parámetros, recurrimos al análisis dimensional. Elegimos unas magnitudes básicas, y el resto pueden expresarse en función de ellas. La elección de la base de magnitudes básicas, (por ejemplo, unas de ellas podrían ser [longitud, masa, tiempo], las utilizadas en mecánica), se elige en función de los instrumentos de medida a nuestra disposición. El análisis dimensional nos permite comprobar, de forma rápida y sencilla, si una ecuación dada es correcta o no. Figura 2.3: Estas son algunas de las magnitudes más importantes utilizadas en Física (Jou, 2009). Las leyes de escala son importantes en diversas ramas de la Ciencia. En Biología son frecuentes las llamadas leyes alométricas, que describen relaciones entre características anatómicas, fisiológicas o de comportamientos y tamaños y formas. El término alometría fue acuñado por Julian Huxley y Georges Teissier en 1936). Suelen hablar del crecimiento diferente (con el tamaño, por ejemplo) de dos variables que están relacionadas. Estas interrelaciones se expresan matemáticamente por leyes de potencias, de la forma: β α = X Y (2.1) en donde α es el coeficiente alométrico y β el exponente alométrico. En la literatura nos las encontramos representadas habitualmente de manera lineal, utilizando para ello la escala logaritmo(log)–logaritmo(log), en la forma: α β = + ln ln ln X Y (2.2) Y es que, aunque los sistemas vivos se encuentran entre los sistemas más complejos de la naturaleza, muchas de sus leyes son alométricas y muy simples, expresadas en función del tamaño del ser vivo o de su masa. 18 Comencemos exponiendo tres ejemplos de leyes de escala, dos de los cuales son muy sencillos y bien conocidos en la Física (pero reescritos y reinterpretados de otra manera), y un tercero referido a sistemas vivos: 1. La relación entre el periodo de un péndulo simple T y su longitud L se suele escribir cómo: π =2 L T g (2.3) donde g es la intensidad del campo gravitatorio terrestre. Pues bien, lo podemos reescribir cómo (Gil, 2012): π α = = 1/2 0.5 2 T L L g (2.4) y así quedaría escrita como una ley de escala que muestra el diferente “crecimiento” de la longitud del péndulo con respecto del periodo. Podemos hablar de un “crecimiento” alométrico. 2. La tercera ley de Kepler , o la relación entre el periodo T de los planetas y su distancia al Sol , d, se suele escribir como: = 2 3 T kd (2.5) en donde k es una constante de proporcionalidad. La podemos reescribir de la siguiente forma (Gil, 2012), con ′ = 1/2 k k : ′ = 3/2 T k d (2.6) que muestra el diferente “crecimiento” de la distancia de los planetas al Sol con respecto al periodo . De nuevo, podemos hablar de un “crecimiento” alométrico. 3. Una de las leyes de escala más representativas y conocidas en la literatura que será importante durante el desarrollo del trabajo es la Ley de Kleiber , también conocida como la Ley de escalamiento 3/4 (por el exponente alométrico que lleva), establecida en el año 1932, que relaciona el metabolismo basal B con la masa M . Para deducirla, podríamos comenzar planteando la hipótesis biológica siguiente: que el metabolismo B es proporcional a la masa M . De esta manera tendríamos (ley isométrica) que: B M ∼ (2.7) Así por ejemplo, en un animal con el doble de masa deberíamos observar el doble de consumo, pero esto no se cumple en los mamíferos. Hagamos, entonces, otra suposición. Como el calor se disipa a través del área superficial, es lógico suponer que el ritmo metabólico podría depender de esta. Así tenemos que: Área B ∼ (2.8) Como el área es proporcional a una longitud característica al cuadrado, 2 rea loná gitud ∼ y la masa es proporcional al volumen, que a su vez es proporcional al cubo de una longitud característica: 3 (longitud) M ∼ , o bien 1/3 longitud M ∼ . 19 Así que el área se puede escribir en función de la masa cómo: 2/3 Á rea M ∼ (2.9) De donde concluimos que: 2/3 B M ∼ (2.10) Esto concuerda mejor con los resultados experimentales. Pero la realidad es otra y, deducir la Ley de Kleiber, no es tan sencillo. Recurrimos ahora al modelo de semejanza elástica , que nos dice que la forma no se mantiene al variar el tamaño 2 . Se da la siguiente relación: 3/2 d L ∼ (2.11) que constituye una relación alométrica per se . Las variables d y L podrían ser por ejemplo diámetros ( d ) y longitudes ( L ) del húmero de antílopes, o el diámetro del tronco de un árbol ( d ) y su longitud ( L ) 3 . Esto nos indica que, en los animales, al aumentar su tamaño, la anchura de las extremidades y del tronco crece más rápido que la longitud de sus extremidades y altura. La relación 3/2 d L ∼ optimiza la resistencia a la rotura y a la deformación , y de ahí el aspecto funcional . Por ejemplo, para formas cilíndricas (podemos considerar que las partes del cuerpo de muchos animales terrestres están formadas por cilindros) tenemos que: 2 2 2/3 8/3 M d L d d + = = ∼ (2.12) en donde d es la anchura del cilindro que forma el cuerpo del animal, y L el largo de dicho cilindro. Y la masa es proporcional al volumen, claro. Pues bien, aceptando la hipótesis biológica de que la dependencia del ritmo metabólico B es proporcional a la sección trasversal tenemos que: 2 3/8 2 3/4 ( )B d M M= ∼ ∼ (2.13) que es justo la que concuerda con los resultados experimentales . Así que, la ley de Kleiber correcta es: = 3/4 B CM (2.14) Hemos visto ya que: (i) los fenómenos no son extrapolables de una escala a otra por una simple regla de tres , y (ii) que la importancia de las leyes de escala reside en el exponente alométrico . Estas dos últimas ideas son las claves de toda la alometría. La Ley de Kleiber se cumple para una gran variedad de especies cubriendo un rango de masas de hasta 22 órdenes de magnitud, desde bacterias hasta ballenas azules. 2 Que la forma no se mantiene al variar el tamaño es una de las claves de la alometría. 3 De hecho, una de las cosas que estudió Galileo (Galilei, 1976) fue el diferente crecimiento del diámetro del tronco de un árbol con respecto de su longitud. 20 No obstante, en muchos organismos, como insectos o aves la Ley falla y se requiere un exponente entre 2/3 o 1. Esta ley se puede generalizar (sin entrar en cómo) de la siguiente forma: = + 2/3 B aM bM (2.15) en donde el término isométrico (crecimientos proporcionales): =B aM , es el gasto energético mínimo por célula y el término alométrico (crecimientos diferentes): = 2/3 B bM , es la disipación calórica pasiva. Figura 2.4: Representación lineal, escala logaritmo-logaritmo de la Ley de Kleiber. Podemos ver como organismos de muy diferentes tamaños y formas se ajustan a una relación lineal, cubriendo un gran número de magnitudes en masa (Gil y Rodríguez, 2001; Gil, 2012). 21 Equation Section (Next) Capítulo 3 Génesis: Galileo Galilei y dos Ciencias Nuevas Arquímedes estableció el Principio de Semejanza, que dice que la superficie es proporcional al cuadrado de la dimensión lineal, y el volumen es proporcional al cubo de la misma. De esa manera podríamos comparar objetos de la misma forma pero diferente tamaño y extrapolar propiedades sin importar su tamaño ( ley isométrica ). Sin embargo esto último tiene sus limitaciones, y Galileo (Galilei, 1976) habla de ellas dos mil años después (Jou, 2009). Galileo escribió “Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias”, cuyo título original era “Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze”, un diálogo en cuatro días. En el tercer y cuarto día expone su solución al problema de lanzamientos de proyectiles, el cual se puede considerar el nacimiento de la Física moderna, tal y como hoy en día la conocemos. Pero esta es solo la segunda de sus “dos nuevas ciencias”... ¿Cúal es la primera? (Peterson, 2002) “Dos nuevas Ciencias” comienza en el Arsenal de Venecia, la base naval de la República de Venecia, con una discusión sobre los efectos de construir a mayor o menor escala diferentes proyectos, como construcciones navales. Galileo incluye en esta discusión a dos amigos cercanos, Giovanni Francesco Sagredo y Filippo Salviati, y a un filósofo Aristotélico, Simplicio. En el Segundo Día del diálogo realiza un profundo análisis sobre la fuerza de los materiales a diferentes escalas , dando mucha importancia a este asunto. Ciencias y creencias estaban entremezcladas por aquellos tiempos, así que Galileo realizó además un estudio sobre la forma, localización y tamaño del “Inferno de Dante”. Las observaciones que hace Galileo sobre las diferentes escalas son elegantes e ingeniosas, incluso sin disponer de las herramientas matemáticas que poseemos hoy en día, como son los métodos del Grupo de Renormalización (Wilson, 1979). Y a pesar de no disponer de estos métodos, sus análisis son los mismos. Por ejemplo dice: “La superficie de un sólido pequeño es comparativamente mayor con respecto de la de un sólido grande”. 22 Esta última frase se refiere a que la superficie crece con el cuadrado, y el volumen con el cubo, con lo que cuanto más pequeño es el objeto mayor es el la superficie del objeto en comparación. También habla de la fuerza de los materiales, fijándose en que si tenemos un barco pequeño, y construimos otro más grande a escala, el grande podría hundirse bajo su propio peso. Esto último puede ser explicado con la idea de que la resistencia de un material está relacionada con la superficie, y la masa con el volumen, creciendo el volumen más rápido que la superficie. Usando el mismo argumento, también explica por qué los huesos, cuanto más grandes son, más frágiles se hacen. Figura 3.1: Galileo se dio cuenta de que cuanto mayor es el tamaño de un hueso, más frágil se hace (Galilei, 1976). Por contra, Sagredo pensaba que las propiedades de un cierto cuerpo geométrico no deberían cambiar a diferentes escalas, pero “Dos nuevas Ciencias” discuten esa idea sobre la invariancia a diferentes escalas y las observaciones que hace Galileo en diferentes ámbitos son irrefutables. También habla sobre las diferentes fuerzas transversales que puede soportar una viga de madera. En un marco geométrico adecuado las Leyes de escala se convierten en una nueva ciencia. Además, al segundo día de la discusión, hace hincapié en que quiere una teoría que pueda ser aplicada a cualquier material sólido, y no solo a los fibrosos, como la madera. Galileo puede ser considerado uno de los primeros científicos según la imagen que tenemos hoy en día de ellos. Su vida fue muy interesante. Se formó en la Universidad de Pisa a los 17 años y estudió por su cuenta las matemáticas Euclidianas y las de Arquímedes. Comenzando su carrera escribió un libro sobre el equilibrio de los cuerpos, el cual le dio considerable reputación académica. Ya aceptado en los altos círculos de Florencia, le fue propuesto realizar el cálculo de las dimensiones y situación del Inferno propuesto por Dante en “La Divina Comedia”. Supuso que la Tierra era el centro del Universo y que bajo la superficie terrestre estaban los nueve niveles del Inferno de Dante (Alighieri, 2017). En la Academia de Florencia dio dos conferencias sobre esto y mediante argumentos matemáticos, dictó que el Inferno debía tener forma de cono con la punta en el centro de la Tierra, y que estaría cubierto por una cúpula situada en la superficie terrestre. Dicha cúpula abarcaría unos 5000 kilómetros y tendría al menos 600 kilómetros de espesor, y con esas condiciones, se hundiría bajo su propio peso. Galileo argumentó que no se hundía comparando con la cúpula de Brunelleschi de la capital de Florencia, que sí que soporta su propio peso. Pero se equivocaba, pues al haber aumentado de escala en un factor 100.000, el 23 Inferno sí se hundiría bajo su propio peso. Y efectivamente, pese a haber formulado él mismo la teoría de escalamiento, cometió ese error. Galileo guardó para sí mismo su teoría de escala alrededor de 50 años y finalmente la publicó al final de su vida (Abellán, 2013). Figura 3.2: Los diferentes niveles del Inferno de Dante. El Inferno tenía forma de cúpula, y se preguntaban si podría sostenerse por sí mismo (pintura de Sandro Botticelli, ca. 1480–1495). 24 25 Equation Section (Next) Capítulo 4 El Principio de Semejanza Geométrica Es un Principio reduccionista establecido por Arquímedes que nos habla de las relaciones geométricas que guardan diferentes objetos. Es un principio aplicable a figuras semejantes. Veremos cómo varían la longitud, el área y el volumen, ya que muchas propiedades están relacionadas con estas magnitudes. Trabajaremos con un cubo, por poner el ejemplo más sencillo. Sea un cubo inicial de lado L, área = 2 A L y volumen = 3 V L , y otro cubo final más grande de longitud L', área ′ ′ = 2 ( ) A L y volumen ′ ′ = 3 ( ) V L , siendo ′ = 2 L L . Vamos a tratar de relacionarlos. Definamos un factor de escala k como ′ = / k L L . Entonces tenemos: 1. Que la longitud aumenta como ′ = L k L , igual a 2 en este caso concreto. 2. Que el área aumenta como ′ = 2 A k A , igual a 4 en este caso concreto. 3. Que el volumen aumenta como ′ = 3 V k V , igual a 8 en este caso concreto. Figura 4.1: Siguiendo el Principio de Semejanza van variando la longitud, superficie y volumen del cubo (Pittau, 2017). Veamos dos ejemplos. 32 Figura 5.1: La naturaleza aleatoria del coeficiente α ′ = / a a con β = 0,71 para 391 especies de mamíferos tabuladas por Huesner. Figura 5.2: Histograma de las desviaciones de las predicciones para la relación alométrica α ′ = / a a usando los datos de la figura anterior y haciendo una partición en 20 celdas iguales en escala logarítmica. El coeficiente de correlación resulta ser 2 0.98 r = . Argumentos reduccionistas deben ser tenidos en cuenta para las fluctuaciones. La relación alométrica para interespecies dada por la relación (5.3) no puede ser derivada de la relación alométrica cuando la condición para dicha derivación es violada. Notar además que la misma distribución para el coeficiente alométrico con 3.89 µ = fue obtenido usando el metabolismo basal para 533 especies de pájaros listadas por McNab. 5.1.2. Exponente alométrico Otro enfoque fenomenológico consiste en razonar matemáticamente que el coeficiente alométrico es constante y que la variación aleatoria se debe a la naturaleza variable del exponente alométrico. La idea es plausible. 33 Las fluctuaciones en el exponente alométrico se obtienen de la ecuación (5.4) en términos de la derivación de un valor fijo. Resulta ser: α δ β = − ln( / ) ln B b M (5.8) El histograma concuerda con la función densidad de probabilidad de Laplace con el valor empírico γ = 12.85 . ( ) exp 2 b b γ ψ γ β = − −     (5.9) Figura 5.3: Naturaleza aleatoria del exponente con α = 0.02 para 391 especies de mamíferos tabulado por Huesner. Cada entrada se calcula con un par < > < > ( , ) B M usando la ecuación (5.5). Figura 5.4: Histograma de las desviaciones de las predicciones para la relación alométrica usando los datos de la Figura anterior. Se usa escala logarítmica y una partición en 20 celdas iguales. Se obtiene un coeficiente de correlación de = 2 0.97 r . 34 5.1.3. Covariación de los parámetros alométricos Hasta ahora hemos obtenido dos distribuciones diferentes para los mismos datos. En la primera las fluctuaciones estaban asociadas al coeficiente alométrico y en la segunda al exponente alométrico. Según apuntó Glazier las especies dentro de un taxón (grupo de organismos emparentados) presentan varios ritmos metabólicos y no solo el estimado por una regresión lineal. Abandonamos ahora la asunción de que el coeficiente alométrico y el exponente alométrico son independientes el uno del otro, y que la probabilidad de una fluctuación dada es la misma independientemente de la representación. Tenemos que: ψ = ( ) ( ) P a da b db (5.10) Para calcular un jacobiano diferente de cero de la transformación entre los dos parámetros alométricos, estos tienen que estar relacionados de manera funcional. Aquí asumimos que β = − ln b c a . Insertando el exponente alométrico de la ecuación (5.9) en la ecuación (5.10) y usando el jacobiano = / / db da c a (y simplificando) obtenemos: γ γ α γ α − +  ≤  = ≥   1 1 , ( ) 1 2, c c a a c P a a a (5.11) Comparando (5.11) con (5.7) podemos identificar µ γ = c obteniendo la función densidad de probabilidad para el coeficiente alométrico ′ ′ = ( ) ( ) P a da P a da . Usando los valores empíricos µ = 2,79 y γ = 12,85 obtenemos = 0,217 c y en consecuencia la transformación empírica puede ser escrita como: = − ⋅ 10 0.71 0.50 log b a (5.12) 5.2. Evolución de las probabilidades El resultado estadístico de que las fluctuaciones de las relaciones alométricas de las interespecies pueden ser largas debilitan los argumentos reduccionistas. Para resolver esta contradicción, y trabajando de manera más general se suelen usar cálculos probabilísticos. Consideremos la dinámica de una red compleja que es heterogénea en la variable aleatoria y cuyas fluctuaciones contienen información del sistema a lo largo del tiempo. Usaremos el derivado fraccional dado por Riemann-Liouville de orden v v t O y un potencial de Reisz en el espacio de fases de la variable zeta de orden η η z O . Formalmente representamos le ecuación de difusión fraccional (FDE, fractional diffusion equation) como: = ( , ) ( , ) 0 v t t z G O O P z t (5.13) en donde G es una función lineal de los operadores. En vez de examinar el cálculo fraccional y aplicarlo a la FDE, examinaremos otras propiedades. 35 La transformada de Fourier de una función analítica ( ) f z es ɶ ( ) f k y la transformada de Laplace de una función analítica ( ) g t es ˆ ( ) g u . La FDE puede ser expresada en el espacio de Fourier-Laplace como = * * ( , ) ( , ) 0 G u k P k u (5.14) en donde el asterisco denota la transformada de Fourier-Laplace. La transformada de Fourier-Laplace de la función densidad de probabilidad se puede escribir como η η − =+ 1 * ( , ) v v u P k u u K k (5.15) siendo η K una constante. La función densidad de probabilidad que resuelve la FDE viene dada por la transformada de Laplace-Fourier inversa de la ecuación (5.2.2) y resulta ser: µ µ   =     1 ( , ) z z z z P z t F t t (5.16) con µ η = / z v. En este caso ( ) z F q es una función analítica con la variable µ = / z q z t , t el tiempo y µ z un parámetro de escala indexado a la variable alométrica de interés. La distribución de escala en (5.15) indica que el fenómeno es del tipo estocástico fractal. Es razonable asumir que el conjunto de redes principales y la distribución del conjunto de redes secundarias fuertemente acopladas a la red principal o anfitriona, por así llamarla, están fuertemente relacionadas. Para el fenómeno considerado aquí el conjunto de distribuciones vienen dados para procesos fractales con diferentes dimensiones fractales. Asumimos aquí que X e Y vienen descritos por la ecuación (5.15) con los cambios apropiados en los índices. El valor medio para la variable espacial es: µ < >= z t Z Zt (5.17) con la constante =  ( ) z Z qF q dq (5.18) y obtenemos valores independientes del tiempo para < > X e < > Y . Tomando las derivadas en el tiempo de estos valores y eliminando el tiempo de las dos ecuaciones llegamos a una ecuación que nos da el crecimiento diferencial de los valores medios: µ µ < > < > = < > < > 1 1 x y d X d Y X dt Y dt (5.19) Esta última ecuación integra directamente a la relación alométrica empírica (5.4). Los parámetros alométricos van a resultar ser µ µ = / x y b y = / b a X Y . 36 Y aquí, en definitiva, lo que se ha hecho ha sido, en analogía a que los radios de crecimiento son constantes, determinar que el radio de los índices de las funciones de densidad de probabilidad nos da un crecimiento relativo de las dos medias. 37 Equation Section (Next) Capítulo 6 Invariancia de escala La invariancia de escala es una propiedad de objetos o leyes en los que no hay cambios si la escala de tamaño es multiplicada por un factor común. Las propiedades emergentes son la consecuencia de que las Leyes de la Naturaleza no son invariantes bajo transformaciones de escala, de modo que no pueden ser justificadas en términos microscópicos. Recordemos que cuando las leyes de escala no se cumplen dan lugar a las propiedades emergentes. No existen pues leyes de escala generales. Sea una ley de potencias de la forma: − = ( ) a f x Cx (6.1) La podemos expresar en escala logaritmo como: = − log ( ) log log f x C a x (6.2) Entonces la invariancia de escala se escribe como: λ λ λ λ − − − = = − = ∼ ( ) ( ) ( ) ( ) a a a f x C x aCx f x f x (6.3) 39 Equation Section (Next) Capítulo 7 Ejemplos Los aspectos tratados hasta ahora tienen aplicaciones muy diversas e interesantes en ámbitos muy variados. En este capítulo veremos varios ejemplos. En algunos de ellos se contempla lo importante que es el análisis dimensional . Los ejemplos van desde explicar por qué un pájaro de gran masa no puede volar hasta analizar el comportamiento de las ciudades durante su crecimiento. Este es un capítulo muy importante del trabajo, pues veremos que las leyes de escala aparecen de forma natural, y que son de gran utilidad. 7.1. ¿Puede un pájaro de gran masa volar? Es difícil imaginarse a un pájaro de mucho peso volando, pero, ¿cómo podemos expresar esto en un lenguaje físico? Para ello utilizaremos las leyes de escala. Para comprobar, que efectivamente, un gran pájaro con mucha masa no puede volar demostraremos las siguientes dos relaciones (las cuales son alométricas): 1/6 velocidad de vuelo velocidad necesaria para volar M= ∼ (7.1) 1/4 velocidad metabólica velocidad que soporta M − = ∼ (7.2) y con ellas veremos por qué un pájaro de masa considerablemente mayor que uno más pequeño no puede volar. Comenzamos comparando el levantamiento con el peso: Para volar, el peso necesita estar compensado con el levantamiento. En la demostración volveremos a usar el Principio reduccionista que usamos para intentar demostrar la Ley de Kleiber de esa manera: 2/3 Área M ∼ (7.3) Y como el levantamiento ha de ser proporcional al área, y por lo tanto a 2/3 M vemos que: 2/3 2 levantamiento peso M v M ⋅ = ∼ ∼ (7.4) 40 Sin más que despejar ahora de 2/3 2 M v M ⋅ ∼ tenemos finalmente que: 1/6 v M ∼ (7.5) lo que muestra que la velocidad necesaria para poder alzar el vuelo es mayor cuanto mayor lo es la masa. El cuerpo debe someter además la velocidad de arrastre. Figura 7.1: Las fuerzas levantamiento y peso deben compensarse, hipótesis biológica. Figura 7.2: La velocidad que lleva el pájaro y la de arrastre deben compensarse, hipótesis biológica. 41 Tenemos pues, usando además la “archiconocida” Ley de Kleiber: 3/4 Potencia arrastre velocidad potencia metabólica M= ⋅ = ⋅ (7.6) Y cuando el pájaro está en vuelo: arrastre levantmiento M ∼ ∼ (7.7) Y sin más que despejar de 3/4 Mv M ∼ finalmente tenemos que: 1/4 v M − ∼ (7.8) que era la otra fórmula que queríamos demostrar. De esta última extraemos que la velocidad que puede soportar es menor cuanto mayor es la masa. 7.2. ¿Cómo dependen de las dimensiones de un animal terrestre la energía por unidad de masa y la longitud recorrida en moverse? Sea L una longitud característica del animal, sabemos que la masa es proporcional al volumen, es decir, a 3 L (Jou, 2009). En una primera aproximación, podemos suponer que las patas se mueven como un péndulo simple cuando el animal corre. Tenemos pues que: π =2 L T g (7.9) en donde g es la aceleración de la gravedad. De la ecuación del péndulo simple obtenemos que el periodo es proporcional a 1/2 L . Entonces la velocidad es: 1/2 1/2 L L v L T L = =∼ (7.10) El movimiento viene limitado por el ritmo al que se adquiere energía. En este caso el combustible del animal es el oxígeno y su entrada al organismo es a través de los pulmones, proporcional a su área 2 L , suponiendo que el ritmo de respiración no depende prácticamente del tamaño (hipótesis biológica). La energía por unidad de masa y unidad de longitud recorrida es = E C md , que lo podemos evaluar como: = P C vm (7.11) siendo P la potencia debida al consumo de oxígeno, proporcional a 2 L , es decir: − = = 2 3/2 1/2 3 ~ P L C L mv L L (7.12) o bien − ∼ 0.5 C M , que concuerda con el exponente alométrico correcto que es de 0,4. En el año 1972. Schmidt y Nielsen publican ese resultado en la revista Science. El resultado obtenido 48 7.7. Leyes de escala en ciudades Se espera que dos tercios de la población humana vivan en ciudades en el año 2050. La escala y el ritmo de la urbanización suponen un reto a la hora de gestionar recursos dentro de una ciudad, como son el transporte y la infraestructura (Moro, 2016). Para entender la dinámica y organización de las ciudades necesitamos modelos predictivos y cuantitativos. Se ha encontrado que a pesar de diferencias culturales, económicas o políticas las ciudades crecen por las leyes de escala. Los indicadores de una ciudad crecen con la población de la forma: = b Y aP (7.15) es decir, una ley de escala en donde Y es el indicador y P es la población. Para cada indicador tenemos un crecimiento diferente. Por ejemplo, para el PIB (Producto Interior Bruto) > 1 b , ya que crece más rápido que la población. A medida que la población crece se crea más PIB por persona. Otros indicadores crecen con < 1 b , y son los relacionados con las infraestructuras (tendidos eléctricos, kilómetros de carreteras, número de hospitales...). Al doblar la población crecen menos del 100 %, lo que nos permite ahorrar en infraestructura. En España el presupuesto de los ayuntamientos crece de manera lineal con la población, es decir, con = 1 b . Así pues, tenemos tres situaciones: 1. Si > 1 b el gasto por habitante crece con la población. 2. Si = 1 b el gasto por habitante es el mismo para cualquier población. 3. Si < 1 b el gasto por habitante decrece con la población. Que las leyes de escala se cumplan tan fielmente nos permiten hacer predicciones sobre el impacto que tendrá el crecimiento urbano en los presupuestos de una ciudad. Y además, cabe destacar que un cambio en el comportamiento de los individuos que constituyen una ciudad tendría un cambio en el exponente alométrico b . 49 Figura 7.13: El presupuesto de los ayuntamientos en España crece de manera lineal con la población. En naranja vemos la regresión lineal. 50 Figura 7.14: Vemos el valor del exponente alométrico para los presupuestos en diferentes aspectos. 51 Equation Section (Next) Capítulo 8 Conclusiones El estudio que comenzó Galileo en su libro “Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica & i movimenti locali.”, y que hoy en día constituye dos Ciencias : una, la Mecánica Clásica , bien conocida por todos; y otra Ciencia, mucho más desconocida, pero toda una ciencia, la Alometría , ha tenido profundas implicaciones a la hora de entender cómo se comporta la naturaleza y los fenómenos que ocurren en ella. En este trabajo hemos aprendido que muchas de las leyes de la naturaleza son leyes de potencias alométricas, lo cual nos explica que haya un ritmo de crecimiento diferente entre magnitudes que observamos y que están relacionadas funcionalmente entre sí. Al cambiar el tamaño de los seres vivos y, en particular, al cambiar de escala, lo hacen sus funciones y su forma . También hemos sido conscientes de que los fenómenos de la naturaleza no son extrapolables de una escala a otra por simples reglas de tres; y que, en las leyes de escala alométricas, la importancia reside en que dos magnitudes estén relacionadas a través de un exponente, el exponente alométrico (distinto de uno). Por contra, si el exponente es igual a uno, las Leyes son isométricas. Además, cuando las Leyes de Escala no se cumplen, dan lugar a propiedades emergentes. 53 Bibliografía Abellán, G. (2013) El inferno de Dante, Galileo y la teoría de escalamiento. Blog “La Belle Physique”, wordpress.com. https://labellephysique.wordpress.com/2013/08/21/dante-galileo-teoria-escalamiento/ Alighieri, D. (2017) Divina Comedia. Plutón Ediciones X, Barcelona, Séptima Edición. Anderson, P.W. (1972) More is different. Science N.S. 177 [4047] pp. 373-396. 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