Descomposición de ideales monomiales vía grafos y complejos simpliciales

Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Matemáticas Descomposición de ideales monomiales vía grafos y complejos simpliciales Autor: Elvira Pérez Callejo Tutor/es: Philippe Giménez Dedicado a mi familia i ii Resumen Los ideales monomiales en un anillo de polinomios forman una familia importante de ideales ya que varios problemas sobre ideales generales pueden reducirse al caso de un ideal monomial mediante un c´alculo de base de Gr¨obner. Este trabajo se centra en la descomposici´on de un ideal monomial como intersecci´on de ideales monomiales irreducibles. Tal descomposici´on es ´unica si se pide que sea irredundante y permite obtener una descomposici´on primaria. Los ideales monomiales libres de cuadrados tienen especial inter´es ya que se les puede asociar estructuras combinatorias que permiten determinar la descomposici´on irreducible irredundante. A un ideal de aristas (edge ideal) se le representa con un grafo simple mientras la estructura combinatoria asociada a un ideal de Stanley-Reisner es un complejo simplicial. Tambi´en se presenta un m´etodo puramente algebraico basado en la dualidad de Alexander para obtener la descomposici´on irreducible irredundante. iii iv RESUMEN ´ Indice general Introducci´on 1 1. Ideales monomiales 5 1.1. Propiedades fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Generadores........................ 7 1.2. Operaciones en los ideales monomiales. . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Intersecci´on ........................ 12 1.2.2. Radical y radical monomial . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3. Cociente.......................... 16 1.2.4. Potencia en corchete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Ideales m-irreducibles e irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Descomposiciones m-irreducibles e irreducibles . . . . . . . . . 26 2. M´etodos combinatorios 31 2.1. Ideales monomiales libres de cuadrados . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Grafos e ideales de aristas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Descomposici´on de los ideales de aristas . . . . . . . . . . . . 34 2.4. Complejos simpliciales e ideales de Stanley-Reisner . . . . . . 38 2.5. Descomposici´on de los ideales de Stanley-Reisner . . . . . . . 45 2.6. Ideales de facetas y su descomposici´on . . . . . . . . . . . . . 49 3. Dualidad de Alexander 53 3.1. Dualidad en ideales monomiales libres de cuadrados . . . . . . 53 3.2. Dualidad en ideales monomiales arbitrarios . . . . . . . . . . . 54 Un ejemplo que lo resume todo 62 Bibliograf´ıa 63 v vi ´ INDICE GENERAL Introducci´on En este Trabajo de Fin de Grado se tratan los ideales monomiales y sus descomposiciones irreducibles irredundantes. Es conocida la relaci´on que hay entre el ´algebra conmutativa y la combinatoria, por lo que tienen un inter´es especial los ideales monomiales libres de cuadrados al poder verse dentro de la combinatoria como grafos (o, m´as generalmente, como complejos simpliciales), que son objetos m´as visuales. Esto desvela otras v´ıas para analizar las descomposiciones irreducibles irredundantes, ya que el estudio de las descomposiciones por m´etodos algebraicos es, en muchas ocasiones, largo y tedioso. Por esta raz´on se buscar´a extraer del an´alisis de estos grafos (o complejos simpliciales) la mayor cantidad posible de informaci´on que pueda expresarse en funci´on de los monomios que generan al ideal. Este trabajo consta de tres partes: iEn la primera, se demuestra que si Ies un ideal monomial sobre un anillo de polinomios en dvariables, entonces Iadmite (salvo ordenaci´on) un ´unico sistema minimal de generadores monomiales, es decir, I=hXn1, . . . , Xnki. Adem´as, este sistema minimal de generadores no depende del anillo de coeficientes tomado para construir el anillo de polinomios (siempre y cuando el ideal sea monomial visto en ese anillo de polinomios, un hecho que s´ı depende del anillo de coeficientes). Para probar estas afirmaciones, se considerar´a durante todo el primer cap´ıtulo que Aes un anillo conmutativo unitario y se trabajar´a sobre R=A[X1, . . . , Xd]. Se probar´a que muchas de las operaciones entre ideales son cerradas para el conjunto de los ideales monomiales sin depender del anillo de coeficientes, y que cuando s´ı dependan del anillo de coeficientes para ser operaciones cerradas, se pueden definir unas operaciones alternativas, muy similares, que son cerradas y no dependen de A. En particular, en el Teorema 1.1.20 se demuestra la existencia y unicidad del sistema minimal de generadores monomiales independientemente de las caracter´ısticas del anillo de coeficientes. Cuando una propiedad o un objeto asociados a un ideal monomial 1 8CAP´ ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Demostraci´on. Sea I⊆Run ideal monomial, se puede asumir I6= 0. La prueba de que Iest´a finitamente generado por monomios se hace por inducci´on sobre el n´umero de variables d: d= 1: En este caso R=A[X]. Se toma r= min{e⩾0|Xe∈I}. Por definici´on Xr∈Ilo que implica que hXri ⊆ I. Solo falta probar que I⊆ hXripara tener la igualdad, ya que significar´ıa que Iest´a generado por un monomio. Como se tiene que I=h[[I]]i, basta con probar que hXri ⊇ [[I]]. Para ello, se toma Xs∈I, entonces s⩾rpor definici´on de ryXs∈ hXri. Asumiendo d⩾2 y que todo ideal monomial en A[X1, . . . , Xd−1] es finitamente generado por monomios, se toma un ideal monomial I⊆ A[X1, . . . , Xd]. Sea G={monomios f∈A[X1, . . . , Xd−1]|∃a⩾0 que cumple fXa d∈I} y sea J=hGi.Jes un ideal monomial en A[X1, . . . , Xd−1] y, por la hip´otesis de inducci´on, est´a engendrado por un conjunto finito de monomios en A[X1, . . . , Xd−1], es decir J=hSicon S⊆Gfinito. Para cada f∈Sexiste un entero ef⩾0 tal que fXef d∈I. Como el conjunto Ses finito, entonces existe un entero e⩾0 tal que fXe d∈I,∀f∈S. Para cada m= 0, . . . , e −1, se define Gm={monomios g∈A[X1, . . . , Xd−1]|gXm d∈I} yJm=hGmi.Jmes un ideal monomial en A[X1, . . . , Xd−1] y, por inducci´on est´a engendrado por un n´umero finito de monomios, es decir Jm=hGmicon Smun subconjunto finito de [[Gm]]. Sea I0el ideal de A[X1, . . . , Xd] generado por los monomios fXe dygXm d con f∈Syg∈Smpara m= 0, . . . , e −1: I0=*{fXe d|f∈S}∪ e−1 [ m=0{gXm d|g∈Sm}!+. Se tiene que el conjunto generador de I0es finito. Por definici´on, se tiene que fXe d, gXm d∈Ipara cada f∈Syg∈Sm, as´ı que I0⊆I. A continuaci´on se prueba que I0=I, por lo que se concluye que Iest´a generado finitamente por monomios, lo que concluye la prueba: Basta con probar que I⊆I0. Como I=h[[I]]i, es suficiente probar que [[I]] ⊆I0, as´ı que se toma Xp∈[[I]], siendo p= (p1, . . . , pd). 1.1. PROPIEDADES FUNDAMENTALES 9 (i) Si pd⩾e,Xp1 1···Xpd−1 d−1∈G⊆J=hSien A[X1, . . . , Xd−1]. Por el Teorema 1.1.4 Xp1 1···Xpd−1 d−1∈ hfipara alg´un f∈S. Escribiendo Xp1 1···Xpd−1 d−1=ff0para alg´un f0∈A[X1, . . . , Xd−1] se tiene el resultado buscado: Xp=Xp1 1···Xpd−1 d−1Xpd d=ff0Xe dXpd−e d= (fXe d)(f0Xpd−e d)∈ hfXei ⊆ I0 (ii) Si pd< e entonces Xp1 1···Xpd−1 d−1∈Gpd⊆Jpd=hSpdi. El Teorema 1.1.4 implica que Xp1 1···Xpd−1 d−1∈ hgipara alg´un g∈Spd. Escribiendo Xp1 1···Xpd−1 d−1=gg0para alg´un g0∈A[X1, . . . , Xd−1] se obtiene Xp=Xp1 1···Xpd−1 d−1Xpd d=gg0Xpd d= (gXpd d)(g0)∈ hgXpd di ⊆ I0 como quer´ıamos demostrar. Algunas consecuencias del Lema de Dickson son: Corolario 1.1.14. Sea I=hSi, con S⊆[[R]]. Entonces existe un conjunto finito {s1, . . . , sn} ⊆ Stal que I=hs1, . . . , sni. Teorema 1.1.15. Son ciertas las siguientes afirmaciones: i(CCA) Dada una cadena I1⊆I2⊆ ··· de ideales monomiales en R, existe un entero N⩾1tal que IN=IN+1 =···. ii Dado un conjunto no-vac´ıo Σde ideales monomiales en R, existe un ideal I∈Σtal que para todo J∈Σ, si I⊆J, entonces I=J. Es m´as, para todo K∈Σ, existe un ideal I∈Σtal que K⊆Iy tal que para todo J∈Σ, si I⊆Jentonces I=J. Nota 1.1.16.Se recuerda que un anilo Res noetheriano si satisface alguna de las tres condiciones siguientes que son equivalentes: iTodo ideal de Rest´a finitamente generado. ii Todo conjunto no vac´ıo de ideales de Rcontiene un elemento maximal. iii Toda cadena ascendente de ideales de Res estacionaria. Nota 1.1.17.El Teorema 1.1.15 se asemeja a la definici´on de anillo noetheriano, restringi´endose a los ideales monomiales. Esto afianza la idea principal del trabajo, que es estudiar estos ideales, ya que cumplen unas propiedades muy valoradas en el estudio de los mismos, independientemente del anillo de coeficientes en el que se construyen. 10 CAP´ ITULO 1. IDEALES MONOMIALES El Teorema de la Base de Hilbert afirma que si un anillo Aes noetheriano, entonces A[X] tambi´en lo es, lo cual implica directamente que si Aes noetheriano, entonces R=A[X1, . . . , Xd] lo es. Como ya se ha probado este teorema en la asignatura de “Algebra conmutativa y computacional”, no se procede a escribir aqu´ı su demostraci´on. La prueba mostrada en clase utiliza argumento cl´asicos del ´ Algebra Conmutativa tal como se hace en [12]. El Lema 1.1.13 se deduce de forma directa del Teorema de la Base de Hilbert cuando Aes noetheriano pero el Lema de Dickson es cierto sin ninguna hip´otesis sobre el anillo Ay por eso se ha incluido aqu´ı su demostraci´on. Tambi´en es cierto al rev´es, es decir, se puede obtener el Teorema de la Base de Hilbert a partir del Lema de Dickson tal y como se demuestra en el Teorema 4 de la secci´on 5 del cap´ıtulo 2 en [3]. Estos resultados permiten estudiar ideales monomiales a trav´es de listas finitas de monomios. Adem´as, la definici´on siguiente da la clave para poder estudiar listas finitas de la manera m´as eficiente. Definici´on 1.1.18. Sea Iun ideal de R, y sean Xi1, . . . , Xim∈[[I]] tales que I=hXi1, . . . , Ximi. La lista {Xi1, . . . , Xim}es un sistema minimal de generadores monomiales (SMGM) de Isi cada j∈ {1, .., m}satisface hXi1, . . . , Xij−1, Xij+1 , . . . , Ximi(I. La prueba de la siguiente proposici´on (que se emplea en la demostraci´on del Teorema 1.1.20) se puede leer en [11]. Proposici´on 1.1.19. Sea Iun ideal monomial de Ry sean los monomios Xi1, . . . , Xim∈[[I]] tales que I=hXi1, . . . , Ximi. Entonces son equivalentes: iXijno es m´ultiplo de Xiksi j6=k. ii Cada j∈ {1, . . . , m}satisface Xij/∈ hXi1, . . . , Xij−1, Xij+1 , . . . , Ximi. iii El sistema monomial de generadores {Xi1, . . . , Xim}es minimal. Teorema 1.1.20. Sea Iun ideal monomial de R, entonces Iadmite un SMGM, que es ´unico salvo por el orden. Demostraci´on. La demostraci´on consta de dos partes: 1.1. PROPIEDADES FUNDAMENTALES 11 iExistencia: Sea Iun ideal monomial, por definici´on, existe un sistema de generadores monomial de I, es decir I=hSi, para alg´un S⊆[[R]]. El Corolario 1.1.14 afirma que I=hs1, . . . , sni, siendo siun monomio de S,∀i. Si el conjunto {s1, . . . , sn}=S0es redundante, eso significa por la Proposici´on 1.1.19 que existe un ´ındice ital que hs1, . . . , si−1, si+1, . . . , sni=I, y como S0es un conjunto finito, se puede repetir este proceso hasta obtener un SMGM en un n´umero finito de pasos. ii Unicidad: Supongamos que I=hs1, . . . , sni=ht1, . . . , tmi, siendo S={s1, . . . , sn} yT={t1, . . . , tm}dos SMGM. Se fija un ´ındice i. Como si∈I=hTi, entonces por 1.1.4 se tiene que si∈ htjipara alg´un j. Por el mismo razonamiento, existe un ´ındice k tal que tj∈ hski. Por la transitividad de la divisi´on en los monomios, entonces si∈ hski, y como Ses un SMGM, debe ser i=kpor lo comentado en 1.1.19. Se tiene entonces que si|tjytj|si, por lo que si=tj. Existe entonces una permutaci´on σde forma que para cada i∈ {1, . . . , n} existe un j=σ(i) tal que si=tj. Como los sison todos distintos entre s´ı, y los tjtambi´en, se tiene que σ:{1, . . . , n} −→ {1, . . . , m}, y haciendo un razonamiento sim´etrico, existe otra permutaci´on δ: {1, . . . , m} −→ {1, . . . , n}tal que sδ(j)=tjy es inyectiva. Entonces m=nyδ=σ−1ya que m=nimplica que σes sobreyectiva. Luego #S= #Tysi=tσ(i), como quer´ıamos demostrar. Nota 1.1.21.Al ser constructiva esta demostraci´on se ha obtenido un algoritmo para sacar el ´unico SMGM de Ipartiendo de un sistema de generadores monomiales de Iarbitrario. Este algoritmo solo manipula monomios y es independiente del anillo de coeficientes A. Existen otros algoritmos para determinar el SMGM, uno de ellos consiste en calcular la base de Gr¨obner reducida del ideal respecto de un orden monomial arbitrario. Para ello se deben tomar coeficientes en un cuerpo, lo cual no supone ninguna traba ya que esto siempre es posible (en esta demostraci´on se ha visto que el SMGM es ´unico si el ideal es monomial, sea cual sea A, luego se puede considerar un cuerpo). No se entra en detalle sobre este tema ya que se aleja del estudio principal del trabajo. El m´etodo de la base de Gr¨obner tambi´en permite determinar si un ideal es monomial o no, lo cual es ´util cuando no se dispone de 12 CAP´ ITULO 1. IDEALES MONOMIALES un sistema de generadores monomial y se desconoce si el ideal es monomial o no. El algoritmo basado en bases de Gr¨obner permite determinar si el ideal es o no monomial, y si lo es, proporciona su SMGM. 1.2. Operaciones en los ideales monomiales. En esta secci´on se estudiar´an las propiedades que cumplen las operaciones usuales dentro del conjunto de los ideales monomiales cuando son operaciones cerradas para ese conjunto. Cuando no sean cerradas se definir´a otra operaci´on similar a la anterior que s´ı lo sea en el conjunto de los ideales monomiales. 1.2.1. Intersecci´on Teorema 1.2.1. Si I1, . . . , Inson ideales monomiales de R, entonces la intersecci´on I1∩. . . ∩Inest´a generada por el conjunto de monomios en I1∩. . . ∩In. En particular, el ideal I1∩. . . ∩Ines un ideal monomial de R y[[I1∩. . . ∩In]] = [[I1]] ∩. . . ∩[[In]]. El resultado anterior implica Γ(I1∩. . . ∩In) = Γ(I1)∩. . . ∩Γ(In). Proposici´on 1.2.2. Sean Xn, Xm∈[[R]], entonces se tiene hXni∩hXmi=hmcm(Xn, Xm)i donde mcm(Xn, Xm)es el m´ınimo com´un m´ultiplo de Xny de Xm, es decir mcm(Xn, Xm) = Xpdonde pi= max{ni, mi}. Teorema 1.2.3. Si I=hXi1, . . . , XimiyJ=hXj1, . . . , Xjni, entonces I∩J est´a generado por el conjunto de monomios {mcm(Xik, Xjl)|1⩽k⩽m, 1⩽l⩽n}. 1.2.2. Radical y radical monomial Una noci´on b´asica del ´algebra conmutativa es la siguiente: Definici´on 1.2.4. Sea Iun ideal de R. El radical de Ies el conjunto √I={x∈R|xn∈Ipara alg´un n⩾1}. 1.2. OPERACIONES EN LOS IDEALES MONOMIALES. 13 El radical de un ideal monomial no es un ideal monomial si existen elementos nilpotentes en el anillo de coeficientes. Por esta raz´on, en el segundo cap´ıtulo del trabajo se considerar´a Aun dominio de integridad (DI), evitando esta situaci´on, y a continuaci´on, se explica en un ejemplo el porqu´e de esta desigualdad. Ejemplo 1.2.5. Para ilustrar esta patolog´ıa, se toma el anillo de polinomios con coeficientes en Z4en una sola variable, donde el ideal I=hXies un ideal monomial, pero su radical √I=h2, Xino lo es. Esto se debe a que 2 es un elemento nilpotente en Z4, y como el cero est´a en todo ideal, en particular aparece en el radical, luego el 2 tambi´en se encuentra en el radical ya que 22= 0. En general todos los elementos nilpotentes se encuentran en el radical (porque ∀xnilpotente ∃n|xn= 0), lo que implica que el radical de un ideal monomial no es un ideal monomial ya que dichos elementos forman parte del anillo de coeficientes. La siguiente definici´on, no necesaria en ZoR, evita esa patolog´ıa en otros anillos, como el del ejemplo anterior en el cual se ha visto que considerando la operaci´on usual de hallar el radical no se dispone de una operaci´on cerrada en el conjunto de los ideales monomiales. Definici´on 1.2.6. Sea I un ideal monomial en R. El radical monomial (o m-radical) de Ies el ideal monomial m-rad(I) = hSidonde S=√I∩[[R]] = {Xm∈[[R]] |(Xm)n∈Ipara alg´un n⩾1}. En el ejemplo visto anteriormente, m-rad(I) = hXi, por lo que, si Atiene elementos nilpotentes, m-rad(I)(√I. En los DI, casos m´as interesantes como RoZ, se ha observado que estas definiciones coinciden. De hecho coinciden siempre que √Isea un ideal monomial. Los enunciados que se a˜naden a continuaci´on, aunque vienen definidos para el m-radical, son v´alidos para el radical si Aes DI. Proposici´on 1.2.7. Sean I, J ideales monomiales en R: 1. J⊆m-rad(J). 2. [[m-rad(J)]] = √J∩[[R]]. 3. Si I⊆J, entonces m-rad(I)⊆m-rad(J). 4. m-rad(J) = m-rad(m-rad(J)). 14 CAP´ ITULO 1. IDEALES MONOMIALES 5. m-rad(J) = Rsi y solo si J=R. 6. m-rad(J) = 0 si y solo si J= 0. 7. Si n es un entero positivo, entonces m-rad(J) = m-rad(Jn). 8. m-rad(I+J) = m-rad(I) + m-rad(J). 9. m-rad(I·J) = m-rad(I)·m-rad(J). Las siguientes definiciones est´an dirigidas a la b´usqueda de sistemas generadores monomiales para m-rad(J) en funci´on de los generadores de J. Definici´on 1.2.8. Se define el soporte de Xn∈[[R]] como Supp(Xn) = {i∈N|1≤i≤dyni6= 0}. La definici´on que se hab´ıa dado de soporte de un polinomio en 1.1.5 era γ(f) = {n∈Nd|an6= 0}, luego no da lugar a equ´ıvoco ya aunque no sean exactamente el mismo concepto ambos proporcionan informaciones similares. Un ejemplo de ello: Ejemplo 1.2.9. Tomando el polinomio f=X2+XY 2+Y2Z3−XY 2Z3en A[X, Y, Z], se tiene que γ(f) = {(2,0,0),(1,2,0),(0,2,3),(1,2,3)} ⊆ N3. Si se calculan los soportes de los monomios que contiene fse obtiene Supp(X2) = {1}Supp(XY 2) = {1,2} Supp(Y2Z3) = {2,3}Supp(XY 2Z3) = {1,2,3} La informaci´on que proporciona el soporte de un monomio indica las variables que aparecen en ´el, mientras que el soporte de un polinomio indica adem´as cu´al es el exponente de cada una. Definici´on 1.2.10. Se define la reducci´on de Xncomo el monomio red(Xn) = Y i∈Supp(Xn) Xi. En otras palabras, el soporte de un monomio es el conjunto de ´ındices i tales que Xi|Xn. La reducci´on de un monomio es el producto de todas las variables que lo dividen: red(Xn) = Y Xi|Xn Xi. Por ejemplo, si I=hX4 1X2X3 4ientonces Supp(I) = {1,2,4}y red(I) = X1X2X4. 1.2. OPERACIONES EN LOS IDEALES MONOMIALES. 15 Proposici´on 1.2.11. Sea Jun ideal monomial en RyXm∈[[R]]. Entonces: iExiste un entero n⩾1tal que red(Xm)n∈(Xm). ii Si Xm∈J, entonces red(Xm)∈m-rad(J). Demostraci´on. iSea n= max{m1, . . . , md}. Se tiene que Supp(Xm) = {i1, . . . , ik}con 1 ⩽i1<··· < ik⩽d. Reordenando las variables si es necesario, se puede asumir que Supp(Xm) = {1, . . . , k}. De esta forma red(Xm) = X1···XkyXm=Xm1 1···Xmk k. Como n⩾mipara i= 1, . . . , d: Xm=Xm1 1···Xmk k|Xn 1···Xn k= red(Xm)n por lo que red(Xm)n∈ hXmi, como quer´ıamos demostrar. ii Asumiendo que Xm∈J, por el primer apartado se tiene que existe un entero n⩾1 tal que red(Xm)n∈ hXmi ⊆ J. De esta manera se obtiene red(Xm)∈m-rad(J). Teorema 1.2.12. Si S⊆[[R]] yJ=hSi, entonces m-rad(J) = h{red(Xn)|Xn∈S}i. Demostraci´on. Sea T={red(Xm)|Xm∈S}yK=hTi. Cada Xm∈Scumple, por el lema anterior red(Xm)∈m-rad(J). Entonces T⊆m-rad(J), as´ı que K⊆m-rad(J). Para la contenci´on que falta, se toma Xn∈[[m-rad(J)]] = rad(J)∩[[R]], luego existe un entero k⩾1 tal que Xnk∈[[J]]. El Teorema 1.1.4 proporciona un monomio Xm∈Stal que Xm|Xnk, as´ı que red(Xm)|red(Xnk) = red(Xn)|Xn. Por lo tanto, Xn∈ hred(Xm)i⊆hTi=K. Se concluye con que m-rad(J)⊆K. En consecuencia, si J=hXe1 t1, . . . , Xek tki, m-rad(J) = hXt1, . . . , Xtki. En particular, m-rad(X1, . . . , Xd) = hX1, . . . , Xdi. Ejemplo 1.2.13. Gracias a este teorema, se dispone de un m´etodo muy sencillo para calcular el m-radical de un ideal monomial (ya que si el ideal no es monomial, el c´alculo de su radica no es en absoluto trivial en general): Consiste en calcular las reducciones de los monomios generadores, y una vez obtenidos, suprimir las redundancias, por ejemplo como se ha visto en el Teorema 1.1.20. 16 CAP´ ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Considerando I=hX3, X2Y, XY 3, X2Y2, Y 4i, se observa que un SMGM de Ies {X3, X2Y, XY 3, Y 4}ya que X2Y|X2Y2y X3/∈ hX2Y, XY 3, Y 4i(hX3, X2Y, XY 3, Y 4i X2Y /∈ hX3, XY 3, Y 4i(hX3, X2Y, XY 3, Y 4i XY 3/∈ hX3, X2Y, Y 4i(hX3, X2Y, XY 3, Y 4i Y4/∈ hX3, X2Y, XY 3i(hX3, X2Y, XY 3, Y 4i por lo que se tiene que {X3, X2Y, XY 3, Y 4}es el SMGM de I. Calculando las reduciones de sus generadores tenemos: red(X3) = Xred(X2Y) = XY red(XY 3) = XY red(Y4) = Y por lo que m-rad(I) = hX, XY, XY, Y i. Se ve sin dificultad que {X, XY, XY, Y } no es un SMGM, pero se tiene que {X, Y }s´ı que lo es, luego se puede representar m-rad(I) = hX, Y ien funci´on de su SMGM, que sabemos ´unico salvo el orden. 1.2.3. Cociente Definici´on 1.2.14. Sea Sun subconjunto de RyJun ideal de R. El ideal cociente de Jcon Ses: (J:RS) = {r∈R|rs ∈Jpara todo s∈S}. Para cada s∈R, (J:Rs)=(J:R{s}). Notaci´on 1.2.15.En adelante, se usar´a la notaci´on (J:I) en lugar de (J:RI) ya que no se considera que induzca a error el hecho de no aclarar el anillo de polinomios sobre el cual estamos trabajando. Teorema 1.2.16. Si IyJson ideales monomiales de R, entonces el ideal cociente (J:I)es un ideal monomial de R. Demostraci´on. En primer lugar, si I=hXmi, se toma f=X n∈Nd finita anXn∈(J:Xn). Se tiene que probar que cada monomio perteneciente a fest´a en (J:Xn). Por definici´on de f, se tiene que fXm=Pn∈Nd finita anXn+m∈J. El Lema 1.1.7 afirma que si an6= 0, entonces Xn+m∈J, ya que Jes un ideal monomial, y 1.2. OPERACIONES EN LOS IDEALES MONOMIALES. 17 de esa forma XmXn=Xn+m∈J. Eso es lo mismo que decir que si an6= 0, entonces Xn∈(J:I), como quer´ıamos demostrar. Si Ies un ideal monomial arbitrario, por el Lema de Dickson se tiene que est´a generado por un conjunto finito de monomios,es decir (J:I) = (J:hXn1, . . . , Xnki). Probaremos el siguiente hecho: (J:hXn1, . . . , Xnki) = k \ i=1 (J:hXnii). Para la primera contenci´on, sea r∈(J:hXn1, . . . , Xnki), entonces por definici´on de cociente se tiene que rs ∈Jpara todo s∈ hXn1, . . . , Xnki, en particular rXni∈Jpara todo i∈ {1, . . . , k}, por lo que r∈(J:hXnii) para todo i, luego est´a en la intersecci´on de todos los ideales cocientes. Para la segunda contenci´on sea r∈ k \ i=1 (J:hXnii), entonces r∈(J:hXnii) para i= 1, . . . , k, que es lo mismo que decir que para i= 1, . . . , k se cumple que rsi∈Jpara todo si∈ hXniipor lo que rs ∈Jpara todo s∈ hXn1, . . . , Xnki, es decir r∈(J:hXn1, . . . , Xnki), como quer´ıamos demostrar. Aplic´andolo, se llega a que (J:I) = (J:hXn1, . . . , Xnki) = k \ i=1 (J:hXnii). Es decir, (J:I) es intersecci´on finita de ideales monomiales. Por el Teorema 1.2.1, eso implica que (J:I) es un ideal monomial. El objetivo ahora es, dados I, J ideales monomiales, describir el conjunto [[(J:I)]] en funci´on de [[I]] y [[J]]. Como se tiene que J⊆(J:I), entonces [[J]] ⊆[[(J:I)]]. Se va a describir como calcular un sistema monomial de generadores de (J:I) en funci´on de sistemas monomiales de generadores de Jy de I. Para ello se usa la siguiente notaci´on: Notaci´on 1.2.17.Dados vectores p, q ∈Nd, se denota (p−q)+ i= max{pi−qi,0}. Por definici´on, (p−q)+∈Nd. 24 CAP´ ITULO 1. IDEALES MONOMIALES j= 1. Se considera la menor potencia de X1que aparece en los monomios de f, que es r1= min{n1∈N|n∈γ(f)}. Se tiene que r1< e1, ya que si no fuera as´ı, cada monomio que aparece en festar´ıa contenido en hXei ii, y eso implicar´ıa que f∈J, lo que contradice la hip´otesis de f. Por lo cual se tiene que e1−r1⩾1. Se escribe f=X n∈γ(f) n1=r1 anXn+X n∈γ(f) n1>r1 anXn=f1+g1 donde f1=X n∈γ(f) n1=r1 anXnyg1=X n∈γ(f) n1>r1 anXn y se ve que γ(f1) = {n∈γ(f)|n1=r1} 6=∅ γ(g1) = {n∈γ(f)|n1⩾r1+ 1}. Se toma h1=Xe1−r1−1 1f16= 0. Para mostrar que h1tiene las propiedades deseadas, primero se mostrar´a que Xe1−r1−1 1g1∈J⊆I: si n∈γ(g1), entonces n1⩾r1+ 1. Por construcci´on, Xe1−r1−1 1g1=Xe1−r1−1 1X n∈γ(g1) anXn=X n∈γ(g1) anXe1−r1−1 1Xn. Entonces, si m∈γ(Xe1−r1−1 1g1), se tiene que m1= (e1−r1−1) + n1⩾(e1−r1−1) + r1+ 1 = e1, por lo que Xe1−r1−1 1g1∈ hXe1 1i ⊆ J. Como f∈I, entonces h1=Xe1−r1−1 1f1=Xe1−r1−1 1f−Xe1−r1−1 1g1∈I. Cada monomio en h1es de la forma Xm=Xe1−r1−1 1Xnpara alg´un n∈γ(f1). La condici´on n∈γ(f1) implica que n1=r1, por lo que m1=e1−r1−1 + n1=e1−r1+r1−1 = e1−1. 1.3. IDEALES M-IRREDUCIBLES E IRREDUCIBLES 25 Adem´as, si i⩾2, entonces la condici´on n∈γ(f1) implica que mi= ni< ei, es decir, mi=ni⩽ei−1. Para completar la demostraci´on del caso j= 1, es preciso comprobar que h1/∈J. Como Jes un ideal monomial, seg´un el Lema 1.1.7 es suficiente comprobar que no existe ning´un monomio Xmen h1que est´e en J. Volviendo a escribir Xm=Xe1−r1−1 1Xnpara alg´un n∈γ(f1) y suponiendo que Xm∈J=hXe1 1, . . . , xek ki, se puede aplicar el Teorema 1.1.4 que implica que Xm∈ hXei iipara alg´un i⩽k, luego se tiene que mi⩾ei. Eso contradice el hecho de que mi⩽ei−1, que ya se hab´ıa probado para todo i. El paso de inducci´on es bastante similar al caso j= 1, por lo que, sin entrar en detalle, se asume por inducci´on que 1 ⩽j⩽d−1 y que hj ha sido definido en el paso anterior. Se quiere construir entonces hj+1. Para ello se toma rj+1 = min{nj+1 ∈N|n∈γ(hj)}. Y con ello se muestra que rj+1 ⩽ej+1 −1. Se puede escribir hj=X n∈γ(hj) nj+1=rj+1 anXn+X n∈γ(hj) nj+1>rj+1 anXn=fj+1 +gj+1. Se toma hj+1 =Xej+1−rj+1−1 j+1 fj+1 y se comprueba que hj+1 tiene las propiedades buscadas. Existe entonces un polinomio hk∈I\Jtal que si n∈γ(hk)), entonces ni=ei−1 cuando 1 ⩽i⩽k. En otras palabras, cada monomio contenido en hktiene la forma zw donde z=Xe1−1 1···Xek−1 kywes un monomio en las variables Xk+1, . . . , Xd. Por lo que se tiene que existe un polinomio ˆ h(Xk+1, . . . , xd) tal que hk=zˆ h(Xk+1, . . . , Xd), como quer´ıamos demostrar. Teorema 1.3.7. Sea Aun DI y R=A[X1, . . . , Xd]. Un ideal monomial no nulo J⊆Res irreducible si y solo si es m-irreducible. Demostraci´on. La implicaci´on hacia adelante es directa: si Jno puede ser escrito como una intersecci´on no trivial de dos ideales, no puede ser escrito como una intersecci´on no trivial de dos ideales monomiales. Para lo contrario, se asume que Jes m-irreducible. Seg´un el Teorema 1.3.5 Jest´a generado por potencias puras de variables en R. Se puede asumir sin 26 CAP´ ITULO 1. IDEALES MONOMIALES p´erdida de generalidad que J=hXe1 1, . . . , Xek ki. Sea z=Xe1−1 1···Xek−1 k, y se puede ver f´acilmente que entonces z /∈J(ya que no es divisible por ninguno de los generadores de J). Por reducci´on al absurdo, se supone que existen ideales I, K ⊆Rtales que J=I∩KyJ(IyJ(K. Por el lema anterior, 1.3.6, se tienen que existen los polinomios: fk=zˆ f(Xk+1, . . . , Xd) = zˆ f∈I\J gk=zˆg(Xk+1, . . . , Xd) = zˆg∈K\J. De la propiedad de que fk∈I, se concluye que zˆ fˆg=fkˆg∈I. De forma similar, la condici´on de que gk∈Kimplica que zˆ fˆg∈K, luego zˆ fˆg∈I∩K=J. Como ˆ f=ˆ f(Xk+1, . . . , Xd) y ˆg= ˆg(Xk+1, . . . , Xd), entonces todo monomio wque est´a en zˆ fˆgtiene la forma w=zv =Xe1−1 1···Xen−1 nXmn+1 n+1 ···Xmd d. Como Jes un ideal monomial, por el Lema 1.1.7 todo monomio en zˆ fˆgest´a en J. La condici´on w∈Jimplica que hay un ´ındice jtal que 1 ⩽j⩽k yXej j|w. Comparando los exponentes, se deduce que ej⩽ej−1, lo que es imposible. Se concluye que el polinomio zˆ fˆgno contiene ning´un monomio, es decir, zˆ fˆg= 0. Como Aes un DI (es aqu´ı cuando se necesita esa hip´otesis y no basta con que sea un anillo conmutativo unitario) y zes un monomio, entonces o bien ˆ f= 0 o ˆg= 0. Si ˆ f= 0, entonces 0 = zˆ f=fk/∈J, lo que es imposible. Suponiendo que ˆg= 0, se llega a que 0 = zˆg=gk/∈J, lo que tambi´en es imposible. Entonces, el ideal Jes irreducible, como quer´ıamos probar. 1.4. Descomposiciones m-irreducibles e irreducibles El objetivo ahora es demostrar que todo ideal monomial puede ser escrito como descomposici´on de ideales m-irreducibles, y por el Teorema 1.3.7 obtener entonces que si Aes DI todo ideal puede descomponerse como intersecci´on de ideales irreducibles. Definici´on 1.4.1. Sea J(Run ideal monomial. Una descomposici´on mirreducible de J es una expresi´on J=Tn i=1 Jicon n≥1, donde cada Jies m-irreducible. Sobra decir, que todo ideal J⊆Rm-irreducible tiene una descomposici´on m-irreducible trivial J=T1 i=1 Jicon J1=J. 1.4. DESCOMPOSICIONES M-IRREDUCIBLES E IRREDUCIBLES 27 Ejemplo 1.4.2. En el Ejemplo 1.3.3 se ha visto que J=hX2, Y 3i∩hX3, Y i y que esos ideales eran m-irreducibles, se trata pues de una descomposici´on m-irreducible de J. En cambio, en el Ejemplo 1.2.20 se hab´ıa obtenido, en R=A[X, Y, Z], (J:I) = hX2, Z2i ∩ hX4, X2Y, XZ, Z3i, que no es una descomposici´on mirreducible, por el 1.3.5 no son irreducibles, pero se puede aplicar el algoritmo definido en el Lema 1.3.4 y se obtiene: (J:I) = hX2, Z2i∩hX4, X2, XZ, Z3i∩hX4, Y, XZ, Z3i =hX2, Z2i∩hX4, X2, X, Z3i∩hX4, X2, Z, Z3i∩ ∩hX4, Y, X, Z3i∩hX4, Y, Z, Z3i. Por ´ultimo, se suprimen los generadores redundantes por el algoritmo descrito en el Teorema 1.1.20 y se obtiene: (J:I) = hX2, Z2i∩hX, Z3i∩hX2, Zi∩hX, Y, Z3i∩hX4, Y, Zi que es una descomposici´on m-irreducible de (J:I). Teorema 1.4.3. Todo ideal monomial J(Rtiene una descomposici´on mirreducible. Demostraci´on. Si J= 0 entonces Jes m-irreducible, por lo que tiene una descomposici´on m-irreducible trivial. Por reducci´on al absurdo, se supone que J⊆Res un ideal monomial no nulo que no tiene ninguna descomposici´on m-irreducible. Entonces,el conjunto Σ de todos los ideales monomiales no nulos J∈Rque no tienen descomposici´on m-irreducible es un conjunto no-vac´ıo de ideales monomiales en R. El Teorema 1.1.15 implica que Σ tiene elemento maximal, el cual podemos suponer sin perdida de generalidad que es J. En particular Jno es m-irreducible, por lo que existen ideales monomiales I, K ⊆Rtales que J=I∩KyJ(I, J (K. Se tiene 0 6=I6=R, 0 6=K6=Ry la condici´on de que Jes maximal en Σ implica que I, K /∈Σ. Luego ambos tienen descomposiciones m-irreducibles I=∩m j=1IjyK=∩n i=1Ki. Entonces se tiene J=I∩K= m \ j=1 Ij!∩ n \ i=1 Ki! por lo que Jtiene descomposici´on m-irreducible, en contradicci´on con que J es el elemento maximal de Σ. Como se ha llegado a un absurdo, se tiene que todo ideal monomial tiene una descomposici´on m-irreducible. 28 CAP´ ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Definici´on 1.4.4. Sea J(Run ideal monomial. Se dice que una descomposici´on m-irreducible J=Tn i=1 Jies redundante si existe un indice jtal que J=Ti6=jJi. Una descomposici´on m-irreducible es irredundante si no es redundante, es decir, si cada j∈ {1, . . . , n}satisface J6=∩i6=jJi. Como J=Tn i=1 Ji⊆Ti6=jJientonces una descomposici´on es mDII si y solo si para todo j∈ {1, . . . , n}se satisface J(∩i6=jJi. Es f´acil ver que toda descomposici´on m-irreducible se puede transformar en una mDII retirando las redundancias. La mDII de un ideal monomial es ´unica, salvo ordenaci´on de las variables, como muestra el siguiente teorema, que se apoya en este lema: Lema 1.4.5. Sean I, J1, . . . , Jnideales monomiales en Rtales que Ies mirreducible. Si Tn i=1 Ji⊆I, entonces existe un indice jtal que Jj⊆I. Se puede encontrar una prueba de este resultado en [11] Teorema 1.4.6. Si Jes un ideal monomial en Rcon mDII J=Tn i=1 Ji= Tm h=1 Ih, entonces m=ny existe una permutaci´on σ∈Sntal que Jt=Iσ(t) para t= 1, . . . , n. Demostraci´on. Primero se probar´a que para t= 1, . . . , n existe un ´unico ´ındice utal que Iu=Jt. Para ello, se calcula: m \ h=1 Ih=J= n \ i=1 Ji⊆Jt. Por el lema anterior (1.4.5) se tiene que existe un ´ındice utal que Iu⊆Jt. De la misma forma, n \ i=1 Ji=J= m \ h=1 Ih⊆Iu y por el Lema 1.4.5 existe un ´ındice vtal que Jv⊆Iu⊆Jt. Como la descomposici´on ∩n i=1Jies irredundante, la contenci´on Jv⊆Jtimplica que v=t, luego Jt⊆Iu⊆Jt, es decir Iu=Jt. Falta ver que ues ´unico: Si Iu=Jt=Iu0, entonces la irredundancia de la intersecci´on ∩m h=1Ihimplica que u=u0. Ahora se define σ:{1, . . . , n} −→ {1, . . . , m}tomando σ(t) = u, siendo uel ´ındice ´unico que cumple Iu=Jt. Como de forma sim´etrica se puede ver que para u= 1, . . . , m existe un ´unico indice ttal que Iu=Jt, se define ω:{1, . . . , m} −→ {1, . . . , n} tomando ω(u) = t, siendo tel ´ındice ´unico que cumple que Iu=Jt. Por construcci´on se tiene que ω=σ−1, luego m=ny se ha encontrado la permutaci´on nombrada en el enunciado. 1.4. DESCOMPOSICIONES M-IRREDUCIBLES E IRREDUCIBLES 29 En el Teorema 1.4.3 se ha demostrado que todo ideal tiene una descomposici´on m-irreducible, y en el Lema 1.3.4 se ha mostrado un m´etodo para calcular una descomposici´on m-irreducible. Mas a´un, en el Teorema 1.4.6 se ha probado que la mDII es ´unica salvo ordenaci´on de las componentes. A continuaci´on enunciamos una proposici´on que permite establecer un algoritmo para calcular la descomposici´on mDII a partir de una descomposici´on m-irreducible, por lo que, a partir de cualquier ideal monomial expresado en funci´on de monomios, aplicando la Proposici´on 1.1.19, se tiene un SMGM,y con el algoritmo descrito en 1.3.4 se dispone de una descomposici´on m-irreducible, y se puede calcular la mDII. Proposici´on 1.4.7. Sea Jun ideal monomial en Rcon descomposici´on mireducible J=∩n i=1JiSon equivalentes: iLa descomposici´on J=∩n i=1Jies redundante. ii Existen ´ındices j6=j0tales que Jj0⊆Jj. Nota 1.4.8.Sea Jun ideal monomial con descomposici´on m-irreducible J= ∩n i=1Ji. Usando 1.1.19 y la proposici´on anterior se comprueba si la descomposici´on es irredundante: Si para todos los ´ındices j6=j0se tiene que Jj*Jj0entonces la descomposici´on es la mDII y se ha terminado. Si existen ´ındices j6=j0tales que Jj⊆Jj0, entonces la descomposici´on es redundante, y se suprime el ideal Jj0de la descomposici´on y se vuelve a comprobar si la descomposici´on es irredundante. Como la descomposici´on m-irreducible est´a tomada por un n´umero finito de ideales, entonces este algoritmo termina en un n´umero finito de pasos, y se tiene un m´etodo para calcular la mDII de ideales. Ejemplo 1.4.9. Sea J=hX4, X3Y Z2, XY 3, Y 2, XZ3i. Como XY 3∈ hY2i, {X4, X3Y Z2, XY 3, Y 2, XZ3}es un sistema de generadores redundante de J, pero {X4, X3Y Z2, Y 2, XZ3}es SMGM. Haciendo uso del algoritmo descrito en el Lema 1.3.4 y retirando redundancias se tiene que J=hX4, X3, Y 2, XZ3i∩hX4, Y Z2, Y 2, XZ3i =hX4, X3, Y 2, XZ3i∩hX4, Y, Y 2, XZ3i∩hX4, Z2, Y 2, XZ3i =hX3, Y 2, XZ3i∩hX4, Y, XZ3i∩hX4, Z2, Y 2i. 30 CAP´ ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y repitiendo el proceso para que no aparezca el t´ermino XZ3: J=hX3, Y 2, Xi∩hX3, Y 2, Z3i∩hX4, Y, Xi∩hX4, Y, Z3i∩hX4, Z2, Y 2i =hY2, Xi∩hX3, Y 2, Z3i∩hY, Xi∩hX4, Y, Z3i∩hX4, Z2, Y 2i. Haciendo uso del algoritmo descrito en 1.4.8 para quitar redundancias, como hX3, Y 2, Z3i,hY2, Xi⊆hY, Xiobtenemos finalmente J=hY, Xi∩hX4, Y, Z3i∩hX4, Z2, Y 2i que es la ´unica mDII de J(salvo reordenaci´on). Se puede definir una descomposici´on irreducible irredundante (DII) de un ideal Jgeneral como J=Tn i=1 Jidonde cada Jies irreducible y distinto de los dem´as. Como esa definici´on no es especial para ideales monomiales, la existencia de ella y sus propiedades dependen de la noetherianidad del anillo, pero no es objeto de inter´es en este trabajo. Y como se ha visto que en un DI un ideal monomial no nulo J⊆Res irreducible si y solo si es m-irreducible, para los ideales que se tratar´an en adelante siempre se tiene la DII con todas las propiedades vistas. Para terminar este cap´ıtulo se muestra en un ejemplo sencillo que, aunque el m´etodo definido en 1.3.4 proporciona una descomposici´on irreducible de ideales monomiales, no es trivial obtener una descomposici´on irredundante a partir de la descomposici´on obtenida, y con ello, motivar el estudio de los siguientes cap´ıtulos ya que proporcionan m´etodos m´as eficientes de obtener directamente la DII de un ideal monomial, libre de cuadrados en el caso del cap´ıtulo 2, y arbitrarios en el cap´ıtulo 3. Ejemplo 1.4.10. Sean I=hX, Y, Zi,J=hV, W, Tiideales irreducibles en A[X, Y, Z, V, W, T], siendo ADI (aunque se podr´ıan considerar m-irreducibles y estudiar su mDII si el anillo de coeficientes es cualquier anillo conmutativo unitario). Es claro entonces, aplicando 1.2.3 que I∩J=hX, Y, Zi∩hV, W, Ti =hXV, XW, XT, Y V, Y W, Y T, ZV, ZW, ZTi El SMGM de este ideal est´a generado por 9 monomios producto de dos variables, luego al aplicar el m´etodo descrito en 1.3.4 se obtendr´ıa una descomposici´on de 29= 512 ideales, y sabemos que la irredundante est´a formada por dos ideales, por lo que el proceso de eliminaci´on de ideales sobrantes requiere eliminar 29−2 = 510 ideales, que obviamente no es algo trivial. Cap´ıtulo 2 M´etodos combinatorios Despu´es de haber explicado los conceptos necesarios sobre las descomposiciones de los ideales monomiales, se va a ver como se pueden relacionar los ideales monomiales con la teor´ıa de grafos y la combinatoria. En especial se tratar´a el ideal de aristas de un grafo simple, el ideal de Stanley-Reisner y el ideal de facetas de un complejo simplicial. Para ello hay que conocer mejor este tipo de ideales. Se considera durante todo el cap´ıtulo Aun DI, R=A[X1, X2, . . . , Xd] e introduciendo un v´ertice para cada variable se define V={v1, . . . , vd}. Por el Teorema 1.3.7, si Aes un DI, un ideal monomial es irreducible si y solo si es m-irreducible y por tanto a lo largo de este cap´ıtulo solo se estudian las descomposiciones irreducibles. 2.1. Ideales monomiales libres de cuadrados Definici´on 2.1.1. Un monomio Xn∈[[R]] es libre de cuadrados si cada ni est´a en {0,1}. Un ideal monomial J⊆Res libre de cuadrados si tiene un sistema de generadores formado por monomios libres de cuadrados. Ejemplo 2.1.2. Los monomios libres de cuadrados en A[X, Y, Z] son: 1, X, Y, Z, XY, XZ, Y Z, XY Z. Un monomio es libre de cuadrados si y solo si no tiene ning´un factor de la forma X2 i, es decir, si y solo si Xn= red(Xn) seg´un la definici´on 1.2.10. Proposici´on 2.1.3. Un ideal monomial J⊆Res libre de cuadrados si y solo si m-rad(J) = J. En particular m-rad(J)es libre de cuadrados. 31 32 CAP´ ITULO 2. M ´ ETODOS COMBINATORIOS Como aplicaci´on directa del Teorema 1.3.5, obtenemos que los ideales monomiales libres de cuadrados e irreducibles son aquellos generados por variables. Proposici´on 2.1.4. Un ideal monomial J⊆Res libre de cuadrados e irreducible si y solo si existen enteros positivos k, t1,...tktales que 1⩽t1<··· < tk⩽d yJ=hXt1, . . . , Xtki. Definici´on 2.1.5. Para cada subconjunto V0⊆V: sea PV0⊆Rel ideal generado por las variables correspondientes a los elementos de V0, es decir PV0=hXi|vi∈V0i. sea XV0∈Rel monomio producto de las variables correspondientes a los elementos de V0, es decir XV0=Qvi∈V0Xi. Ejemplo 2.1.6. Algunos ejemplos que ilustran estos conceptos: P∅= 0. X∅= 1. P{v1,v5}=hX1, X5i. X{v1,v5}=X1X5. PV=hX1, . . . , Xdi. XV=X1···Xd. Proposici´on 2.1.7. Un ideal monomial J(Res libre de cuadrados si y solo si existen subconjuntos V1, . . . , Vn⊆Vtales que J=Tn i=1 PVi. No se demuestra las dos proposiciones anteriores ya que su prueba se obtiene aplicando varios de los resultados expuestos a lo largo del trabajo. Esta secci´on se concluye con unas notas de inter´es: Nota 2.1.8.Si V0, V 00 ⊆V, entonces PV0⊆PV00 si y solo si V0⊆V00. Nota 2.1.9.Un ideal monomial J⊆Res libre de cuadrados e irreducible si y solo si existe un subconjunto V0⊆Vtal que J=PV0. Nota 2.1.10.Para darbitrario, d⩾1, por definici´on, para cada V0⊆V, el monomio XV0es libre de cuadrados. Y todo monomio libre de cuadrados en Res de la forma XV0para alg´un V0⊆V, siendo V0= Supp(XV0). Adem´as, dados V0, V 00 ⊆V, se tiene que PV0⊆PV00 si y solo si XV00 ∈ hXV0i. 2.2. GRAFOS E IDEALES DE ARISTAS 33 2.2. Grafos e ideales de aristas Geom´etricamente, un grafo es un conjunto de v´ertices y aristas (l´ıneas que unen v´ertices), pero se puede ver desde un punto de vista m´as combinatorio, y as´ı se pueden relacionar grafos con ideales monomiales. Definici´on 2.2.1. Un grafo con conjunto de vertices Ves un par ordenado G= (V, E), donde Ees un conjunto de pares desordenados vivj, con vi6=vj. Un elemento vies un v´ertice de G. El conjunto Ees el conjunto de aristas de G. Dada una arista e=vivj, los puntos finales de eson viyvj. Dos v´ertices son adyacentes si existe una arista eque les tiene como puntos finales. En este caso se dice que la arista vivjes incidente en viyvj. Esta definici´on implica que los grafos que se van a considerar son finitos y que son simples, es decir, sin bucles ni aristas m´ultiples. A continuaci´on se muestran algunos ejemplos de los grafos m´as conocidos. Para cada d⩾1 se define la n-cadena Pdcomo el grafo cuyo conjunto de v´ertices es {v1, . . . , vd+1}y cuyo conjunto de aristas es {v1v2, . . . , vdvd+1}. Ejemplo 2.2.2. P4es de la forma: v1v2v3v4v5 Para cada entero d≥3, un d-ciclo (denotado Cd) es el grafo cuyo conjunto de v´ertices es {v1, . . . , vd}y cuyo conjunto de aristas es v1v2, . . . , vd−1vd, vdv1. Ejemplo 2.2.3. C5es de la forma: v1v2 v3 v4 v5 Para cada entero d⩾2, el grafo completo en dv´ertices (denotado Kd) es el grafo cuyo conjunto de v´ertices es {v1, . . . , vd}, y cuyo conjunto de aristas es {vivj|1⩽i<j⩽d}. Ejemplo 2.2.4. K5es de la forma: 40 CAP´ ITULO 2. M ´ ETODOS COMBINATORIOS Este complejo simplicial ∆2consiste en un tetraedro s´olido, un tri´angulo sombreado (sin contar los que delimitan el tetraedro) y una arista (sin contar las que delimitan tanto el tri´angulo como el tetraedro). Tiene las siguientes caras: Trivial → ∅. V´ertices → {v1},{v2},{v3},{v4},{v5},{v6}. Aristas → {v1, v2},{v1, v3},{v1, v4},{v1, v5},{v2, v3},{v2, v4},{v3, v4},{v4, v5},{v4, v6}. Tri´angulos sombreados → {v1, v2, v3},{v1, v2, v4},{v1, v3, v4},{v1, v4, v5},{v2, v3, v4}. Tetraedros s´olidos → {v1, v2, v3, v4}. Facetas → {v1, v2, v3, v4},{v1, v4, v5},{v4, v6}. Definici´on 2.4.3. Sea ∆ un complejo simplicial en V, y R=A[X1, . . . , Xd]. El ideal de Stanley-Reisner asociado a ∆ es el ideal generado por las no-caras de ∆, es decir: J∆=hXV0|V0⊆VyV0/∈∆i. Por definici´on, como XV0es libre de cuadrados, el ideal de Stanley-Reisner J∆tambi´en lo es. Ejemplo 2.4.4. Sean ∆1y ∆2los dos complejos simpliciales del Ejemplo 2.4.2. Los ideales Stanley-Reisner asociados a cada complejo simplicial son: Usando las caras de ∆1determinadas en el Ejemplo 2.4.2, se observa que sus no-caras son: {v1, v5} {v2, v5} {v2, v3} {v3, v5} {v1, v2, v3} {v1, v2, v5} {v1, v3, v4} {v1, v3, v5} {v1, v4, v5} {v2, v3, v4} {v2, v3, v5} {v2, v4, v5} {v3, v4, v5} {v1, v2, v3, v4} {v1, v2, v3, v5} {v1, v2, v4, v5} {v1, v3, v4, v5} {v2, v3, v4, v5} {v1, v2, v3, v4, v5} Entonces los generadores de J∆1son: X1X5X2X5X2X3X3X5 X1X2X3X1X2X5X1X3X4X1X3X5X1X4X5X2X3X4 2.4. COMPLEJOS SIMPLICIALES E IDEALES DE S-T 41 X2X3X5X2X4X5X3X4X5 X1X2X3X4X1X2X3X5X1X2X4X5X1X3X4X5X2X3X4X5 X1X2X3X4X5 Eliminando las redundacias se obtiene que J∆1=hX1X5, X2X5, X2X3, X3X5, X1X3X4i. Repitiendo el mismo proceso para ∆2se obtiene J∆2=hX1X6, X2X5, X2X6, X3X5, X3X6, X5X6i Nota 2.4.5.Igual que en el caso de los ideales de aristas, es sencillo identificar los ideales que son de la forma J∆para alg´un complejo simplicial ∆ sobre el conjunto de v´ertices V, ya que son precisamente los ideales monomiales libres de cuadrados. Por definici´on, se tiene que todo ideal de Stanley-Reisner es libre de cuadrados, pero adem´as, se puede observar que todo ideal libre de cuadrados se puede identificar como el ideal de Stanley-Reisner de un complejo simplicial: Si Jes un ideal monomial libre de cuadrados en A[X1, . . . , Xd], se toma V={v1, . . . , vd}y se puede escribir Jen funci´on de su SMGM: J=hXV1, . . . , XVnipara algunos conjuntos V1, . . . , Vn⊆V. Tomando ∆ = {V0|Vk*V0,∀k∈ {1, . . . , n}}, se tiene por definici´on que J∆=hXV0|V0⊆VyV0/∈∆i=hXV0|V0⊆Vy∃k∈ {1, . . . , n},Vk⊆ V0i=hXV0|V0⊆VyXV0∈Ji=J.Se ha justificado que cualquier ideal monomial libre de cuadrados se puede identificar con el ideal de StanleyReisner de alg´un complejo simplicial, adem´as, a lo largo de la memoria, se ver´an ejemplos donde se muestra de forma constructiva como encontrar el ideal Stanley-Reisner asociado. En particular, dado un grafo Gsobre el conjunto de v´ertices V, el ideal de aristas IGse puede escribir tambi´en de la forma J∆Gpara alg´un complejo simplicial ∆G. El objetivo ahora es identificar ese complejo simplicial. Definici´on 2.4.6. Sea Gun grafo sobre el conjunto de v´ertices V. Se dice que un subconjunto F⊆Ves independiente en Gsi ninguno de los v´ertices de Fson adyacentes en G. Se dice que un subconjunto independiente es maximal si lo es respecto a la contenci´on. Se denotar´a ∆Gel conjunto de los subconjuntos independientes de G. Se llama el complejo independiente de G. Ejemplo 2.4.7. Para el grafo del Ejemplo 2.3.4, que gr´aficamente es: 42 CAP´ ITULO 2. M ´ ETODOS COMBINATORIOS v1v2 v3 v4 v5 Sus conjuntos independientes son ∅. {v1} {v2} {v3} {v4} {v5}. {v1, v4} {v2, v5} {v3, v5}. Y los conjuntos maximales independientes son {v1, v4},{v2, v5},{v3, v5}. Gr´aficamente, ∆Gse puede ver como el “complementario”de G: v1v2 v3 v4 v5 Nota 2.4.8.El conjunto vac´ıo, as´ı como los conjuntos unipuntuales son siempre conjuntos independientes. Y todo subconjunto de un conjunto independiente es tambi´en independiente. Lema 2.4.9. Existe la siguiente relaci´on entre la cobertura de v´ertices de un grafo Gy las caras de ∆G: (i) Un subconjunto F⊆Ves independiente en Gsi y solo si V\Fes una cobertura de v´ertices de G. (ii) Un subconjunto independiente F⊆Ven Ges maximal si y solo si la cobertura de v´ertices V\Fes una CMV. 2.4. COMPLEJOS SIMPLICIALES E IDEALES DE S-T 43 Demostraci´on. (i) Por definici´on si un conjunto Fes independiente, ninguno de sus v´ertices son adyacentes entre s´ı, por lo que lo que todas las aristas tiene al menos un punto final en V\F, lo que implica que V\Fes una cobertura de v´ertices. Y si V\Fes una cobertura de v´ertices, entonces todas las aristas de G tienen un punto final en V\F, luego Fes un subconjunto independiente. (ii) Si Fes maximal significa que todo v´ertice vi∈V\F=Kes adyacente a un v´ertice de F, por lo que K\{vi}no ser´ıa una cobertura de v´ertices para todo vi∈K, lo que implica que K=V\Fes una CMV. Y si K=V\Fes una CMV, entonces para todo vi∈K,K\ {vi} no es una cobertura de v´ertices, es decir, para todo vi∈Kexiste una arista vivjcon vi, vj/∈K\{vi}, lo que implica vi, vj∈F∪{vi}y son adyacentes, luego para todo vi∈K,F∪{vi}no es independiente, que significa que Fes maximal. Teorema 2.4.10. Sea G= (V, E)un grafo. Sea R=A[X1, . . . , Xd]. Entonces IG=J∆G. Demostraci´on. Para la primera contenci´on, se considera un generador cualquiera de IG, que es de la forma XiXjpara vivj∈E. Como se tiene que {vi, vj}son adyacentes en G, entonces no es un conjunto independiente, luego es una no-cara de ∆G, y entonces XiXjse encuentra en el ideal StanleyReisner asociado a ∆G. Para la contenci´on inversa, se considera un generador de J∆G, dado por una no-cara de ∆G,V0/∈∆G. Eso significa que V0no es independiente en G, luego debe contener al menos un par de v´ertices vi, vjque sean adyacentes en G. Entoncs XiXjes un generador de IGy se tiene que XV0∈ hXiXji ⊆ IG, como quer´ıamos demostrar. Ejemplo 2.4.11. Se va a ilustrar esa igualdad con el grafo del Ejemplo 2.3.4. Se hab´ıa visto en un ejemplo anterior que el ideal de aristas asociado a ese grafo era: IG=hX1X2, X1X3, X1X5, X2X3, X2X4, X3X4, X4X5i Sus conjuntos maximales independientes tambi´en se han estudiado: {v1, v4},{v2, v5},{v3, v5}. Gr´aficamente se ten´ıa ∆G: 44 CAP´ ITULO 2. M ´ ETODOS COMBINATORIOS v1v2 v3 v4 v5 Por lo que las no-caras de ∆Gson los subconjuntos de V={v1, v2, v3, v4, v5} siguientes: {v1, v2} {v1, v3} {v1, v5} {v2, v3} {v2, v4} {v3, v4} {v4, v5} {v1, v2, v3} {v1, v2, v4} {v1, v2, v5} {v1, v3, v4} {v1, v3, v5} {v1, v4, v5} {v2, v3, v4} {v2, v3, v5} {v2, v4, v5} {v3, v4, v5} {v1, v2, v3, v4} {v1, v2, v3, v5} {v1, v2, v4, v5} {v1, v3, v4, v5} {v2, v3, v4, v5} {v1, v2, v3, v4, v5} Entonces, el ideal J∆G=hX1X2, X1X3, X1X5, X2X3, X2X4, X3X4, X4X5i=IG como ya se hab´ıa visto, pero ejemplifica el teorema. Definici´on 2.4.12. Sea ∆ un complejo simplicial. La dimensi´on de una cara F∈∆ es |F|−1. La dimensi´on de ∆, denotada dim(∆), es la mayor de las dimensiones de las caras de ∆. El complejo simplicial ∆ es puro si todas sus facetas tienen la misma dimensi´on. Para i=−1,0,...,dim(∆), el n´umero de caras i-dimensionales de ∆ se denota por fi(∆), y el f-vector de ∆ es el vector f(∆) = (f0(∆), f1(∆), . . . , fdim(∆)(∆)) . Ejemplo 2.4.13. Por la definici´on anterior, la ´unica cara que tiene dimensi´on -1 es la cara vac´ıa y un grafo (con al menos una arista) es de dimensi´on 1. Como el conjunto de las facetas de un grafo es el conjunto de sus caras maximales, se puede calcular la dimensi´on de un complejo simplicial como la m´axima de las dimensiones de sus facetas. Para ilustrarlo se consideran los complejos simpliciales del Ejemplo 2.4.2. Para ∆1se tiene que dim(∆1) = 2, ya que sus facetas son {v1, v2, v4},{v1, v3}, {v3, v4},{v4, v5}, y f(∆1) = (5,6,1). Para ∆2se tiene dim(∆2) = 3 ya que sus facetas son {v1, v2, v3, v4},{v1, v4, v5}, {v4, v6}, y se tiene f(∆2) = (6,9,5,1). 2.5. DESCOMPOSICI ´ ON DE LOS IDEALES DE STANLEY-REISNER 45 2.5. Descomposici´on de los ideales de StanleyReisner El objetivo de esta secci´on es obtener un m´etodo de c´alculo de DII para los ideales Stanley-Reisner de complejos simpliciales. De esta manera se obtendr´a un m´etodo para calcular la DII de cualquier ideal monomial libre de cuadrados. Definici´on 2.5.1. Para cada subconjunto F⊆V, se define QF⊆Rcomo el ideal generado por los no-elementos de F, es decir: QF=h{Xi|vi/∈F}i. Ejemplo 2.5.2. Sobre V={V1, . . . , V6}se tiene: Q∅=hX1, . . . , X6i. Q{v2,v5}=hX1, X3, X4, X6i. QV=∅. En general, si F⊆V, entonces QF=PV\Fpor definici´on. Se hab´ıa visto que una consecuencia del Teorema 1.3.5 era que un ideal monomial J⊆Res libre de cuadrados e irreducible si y solo si exist´ıan subconjuntos V0⊆Vtales que J=PV0, por lo que ahora se puede decir que un ideal monomial J⊆Res libre de cuadrados e irreducible si y solo si existe un subconjunto F⊆Vtal que J=QF. Nota 2.5.3.(i) Si F, G ⊆V, entonces QF⊆QGsi y solo si G⊆F. (ii) Un ideal monomial J(Res libre de cuadrados si y solo si existen subconjuntos F1, . . . , Fn⊆Vtales que J=∩n i=1QFipor la Proposici´on 2.1.7. Igual que se hizo en su momento con los ideales de aristas, se va a demostrar la relaci´on que hay entre las descomposiciones irreducibles de los ideales libres de cuadrados con las caras de los complejos simpliciales. Lema 2.5.4. Sea ∆un complejo simplicial sobre el conjunto de v´ertices V yF⊆V. Entonces J∆⊆QFsi y solo si Fes una cara de ∆. Demostraci´on. Analizaremos los tres casos siguientes: Si F=∅, entonces se deduce f´acilmente el resultado gracias al hecho de que J∆⊆ hX1, . . . , Xdi=Q∅, y ∅ ∈ ∆ siempre. 46 CAP´ ITULO 2. M ´ ETODOS COMBINATORIOS El caso F=Vtambi´en se razona de forma sencilla ya que QV= 0, y como J∆=hXV0|V0⊆VyV0/∈∆i, se tiene que J∆= 0 si y solo si no hay ning´un V0/∈∆, luego V(= F) en particular es una cara de ∆, que es lo que se quer´ıa probar. Si ∅ 6=F6=V, se puede asumir que F={v1, . . . , vn}reordenando los v´ertices si es necesario, por lo que V\F={vn+1, . . . , vd}, luego QF=hXn+1, . . . , Xdi. Para probar la primera implicaci´on (⇒) se razona por contrarec´ıproco: Se asume que F /∈∆. Por definici´on, XF=X1···Xn∈J∆. Como es trivial que XF/∈QF, se tiene J∆*QF, luego se ha terminado. Para probar F∈∆⇒J∆⊆QF, se asume que F∈∆, y se prueba que cada generador de J∆est´a contenido en QF. Para ello, se fija un generador XV0∈J∆, siendo V0una no-cara de ∆, es decir V0/∈∆. Como F∈∆, la propia definici´on de complejo simplicial muestra que V0*F(ya que es cerrado para la inclusi´on). Entonces existe ital que vi∈V0\F, y entonces Xi∈QF. Se tiene que XV0∈ hXii ⊆ QF, como quer´ıamos demostrar. Teorema 2.5.5. Sea ∆un complejo simplicial sobre el conjunto de v´ertices V. El ideal de Stanley-Reisner J∆⊆Rse descompone en ideales irreducibles de la siguiente forma: J∆=\ F∈∆ QF=\ Ffaceta QF donde la primera intersecci´on se toma sobre todas las caras de ∆y la segunda sobre todas las facetas de ∆. La segunda intersecci´on es la DII. Demostraci´on. Por lo comentado en el primer punto de la Nota 2.5.3, se tiene que la segunda descomposici´on es DII. Es inmediato que ∩F∈∆QF⊆ ∩FfacetaQF. La contenci´on ∩FfacetaQF⊆ ∩F∈∆QFviene del hecho que toda cara de ∆ est´a contenida en una faceta junto con la aplicaci´on del primer punto de 2.5.3 de nuevo. Luego las dos descomposiciones son equivalentes. La contenci´on J∆⊆ ∩F∈∆QFse ha demostrado en el Lema 2.5.4. Para terminar, la contenci´on J∆⊇ ∩F∈∆QFse basa en que J∆es un ideal libre de cuadrados, y aplicando en esta ocasi´on el segundo punto de la Nota 2.5.3 se tiene que existen subconjuntos F1, . . . , Fntales que J∆=∩n j=1QFj. Cada ´ındice jsatisace por tanto J∆⊆QFjluego aplicando de nuevo el Lema 2.5. DESCOMPOSICI ´ ON DE LOS IDEALES DE STANLEY-REISNER 47 2.5.4 se tiene que Fjdebe ser una cara de ∆. Por lo que se ha obtenido que J∆=∩n j=1QFj⊇ ∩F∈∆QF, como quer´ıamos demostrar. Ejemplo 2.5.6. El teorema anterior proporciona la DII de un ideal de Stanley-Reisner J∆a partir del c´alculo de los ideales QFcorrespondientes a sus facetas. Por ejemplo, tomando J∆1del Ejemplo 2.4.2, se tiene que Q{v1,v2,v4}=hX3, X5i, Q{v1,v3}=hX2, X4, X5i, Q{v3,v4}=hX1, X2, X5i, Q{v4,v5}=hX1, X2, X3i. En el Ejemplo 2.4.4 se hab´ıa calculado J∆1=hX1X5, X2X5, X2X3, X3X5, X1X3X4i. Y por el Teorema 2.5.5: J∆1=hX3, X5i∩hX2, X4, X5i∩hX1, X2, X5i∩hX1, X2, X3i es su DII. Tomando J∆2del mismo ejemplo, se calculan los ideales Q{v1,v2,v3,v4}=hX5, X6i, Q{v1,v4,v5}=hX2, X3, X6i, Q{v4,v6}=hX1, X2, X3, X5i. Se hab´ıa calculado en 2.4.4 J∆2=hX1X6, X2X6, X3X5, X3X6, X5X6, X1X2X5, X2X4X5i y por 2.5.5: J∆2=hX5, X6i∩hX2, X3, X6i∩hX1, X2, X3, X5i. Ejemplo 2.5.7. Se va a mostrar un ejemplo de como calcular la DII de un ideal libre de cuadrados cualquiera, sea J=hX1X3, X2X3, X2X4, X3X4X6, X5i ⊆ A[X1, . . . , X6]. Primero hay que encontrar el complejo simplicial ∆ sobre V={v1, . . . , v6} tal que J=J∆. Como J∆=hXV0|V0⊆VyV0/∈∆ise busca ∆ como el conjunto de caras correspondientes a los monomios libres de cuadrados que no est´an en J. Es decir: ∆ = { ∅,{v1},{v2},{v3},{v4},{v6},{v1, v2},{v1, v4},{v1, v6},{v2, v6},{v3, v4}, {v3, v6},{v4, v6},{v1, v2, v6},{v1, v4, v6}}. Geom´etricamente, ∆ es: 48 CAP´ ITULO 2. M ´ ETODOS COMBINATORIOS v1v2 v3 v4 v6 Por lo tanto, las facetas de ∆ son: {v1, v2, v6},{v1, v4, v6},{v3, v4},{v3, v6}. Por lo que, aplicando el Teorema 2.5.5 se tiene que J=J∆=hX3, X4, X5i∩hX2, X3, X5i∩hX1, X2, X5, X6i∩hX1, X2, X4, X5i. Teorema 2.5.8. Sea Gun grafo sobre el conjunto de v´ertices V. El ideal IG⊆Rtiene entonces la siguiente descomposici´on irreducible: IG=\ Findep. QF=\ Fmax. indep. QF donde la primera intersecci´on se toma sobre todos los subconjuntos independientes en Gy la segunda sobre todos los subconjuntos independientes maximales en G. La segunda intersecci´on es la DII. Demostraci´on. Por definici´on, los subconjuntos independientes en Gson las caras de ∆G, y los maximales son las facetas de ∆G. Por tanto, el resultado se obtiene del Teorema 2.5.5. Ejemplo 2.5.9. Se considera el ideal de aristas del Ejemplo 2.3.4: IG=hX1X2, X1X3, X1X5, X2X3, X2X4, X3X4, X4X5i del cual se han identificado sus conjuntos independientes maximales en 2.4.7: {v1, v4},{v2, v5},{v3, v5}. Aplicando entonces el Teorema 2.5.8 se tiene IG=Q{v1,v4}∩Q{v2,v5}∩Q{v3,v5}=hX2, X3, X5i∩hX1, X3, X4i∩hX1, X2, X4i, que coincide con lo obtenido en el Ejemplo 2.3.7. En general, dada la DII IG=∩n i=1PVicomo se da en el Teorema 2.3.6, se deduce que los subconjuntos independientes maximales en Gson precisamente V\V1, . . . , V \Vn. El Teorema 2.5.8 proporciona la DII IG=∩Fmax. inde.QF, por lo que la unicidad de esta descomposici´on se deduce del Teorema 1.4.6. 2.6. IDEALES DE FACETAS Y SU DESCOMPOSICI ´ ON 49 2.6. Ideales de facetas y su descomposici´on La idea de esta secci´on es estudiar una versi´on del ideal de aristas adaptado a los complejos simpliciales, que se llamar´a “ideal de facetas”. Proporciona una construcci´on algebraica definida en t´erminos de los datos combinatorios de un complejo simplicial. Se mostrar´an las propiedades combinatorias que proporcionan las descomposiciones irreducibles. Definici´on 2.6.1. Sea ∆ un complejo simplicial sobre el conjunto de v´ertices V. El ideal de facetas de Rasociado a ∆ es el ideal generado por las facetas de ∆: K∆=hXF|Fes una faceta en ∆i. Ejemplo 2.6.2. Se consideran los complejos simpliciales del Ejemplo 2.4.2 ∆1y ∆2. Se hab´ıan calculado las facetas de ∆1:{v1, v2, v4},{v1, v3},{v3, v4},{v4, v5}. Entonces el ideal de facetas de ∆1es. K∆1=hX1X2X4, X1X3, X3X4, X4X5i. De la misma forma se tienen las facetas de ∆2:{v1, v2, v3, v4},{v1, v4, v5}, {v4, v6}as´ı que K∆2=hX1X2X3X4, X1X4X5, X4X6i. Por convenci´on, se define K∅=Ry de esa forma K∆6= 0 para todo ∆. El ideal de facetas es un ideal libre de cuadrados, de hecho, como las facetas de ∆ no tienen relaci´on de contenci´on entre ella, generan ∆Kdirectamente de forma irredundante, es decir, el conjunto {XF|Fes una faceta en ∆}es un SMGM de K∆. Se trata ahora de identificar los ideales PV0que se encuentran en la DII de un ideal de facetas. Definici´on 2.6.3. Sea ∆ un complejo simplicial sobre el conjunto de v´ertices V. Una cobertura de v´ertices de ∆ es un subconjunto V0⊆Vtal que para cada faceta F∈∆ el conjunto F∩V06=∅. Una cobertura de v´ertices se dice minimal si no contiene propiamente ninguna otra cobertura de v´ertices. El conjunto de coberturas de v´ertices de ∆ cumple que si V0⊆Ves una cobertura de v´ertices de ∆ y V0⊆V00 ⊆Ventonces V00 es tambi´en una cobertura de v´ertices de ∆. Como Ves finito, toda cobertura de v´ertices contiene una cobertura minimal de v´ertices. Ejemplo 2.6.4. Si ∆ 6={∅} entonces Ves una cobertura de v´ertices. Si ∆ = {{vi1},...,{vin},∅} entonces las coberturas de v´ertices son los subconjuntos de Vque contienen a todos los vij. Se calculan las coberturas de v´ertices de ∆1del Ejemplo 2.4.2: Si v1∈V0 entonces est´an sin cubrir las facetas {v3, v4}y{v4, v5}que se cubren o bien 56 CAP´ ITULO 3. DUALIDAD DE ALEXANDER De esta forma, I∨=hX1, X2 2i∩hX2, X5 4i∩hX2 2, X3, X4i. Para calcular I∨∨se necesita disponer antes del SMGM de I∨: I∨=hX1X2X3, X1X2X4, X1X5 4, X2 2i Y repitiendo el procedimiento anterior pero teniendo en cuenta que ahora, al cambiar el mcm de los monomios generadores, se construye el dual sobre el vector aI∨= (1,2,1,5): Xb1=X1X2X3→b1= (1,1,1,0) →b1aI∨ = (1,2,1,0) →mb1aI∨ =hX1, X2 2, X3i Xb2=X1X2X4→b2= (1,1,0,1) →b2aI∨ = (1,2,0,5) →mb2aI∨ =hX1, X2 2, X5 4i Xb3=X1X5 4→b3= (1,0,0,5) →b3aI∨ = (1,0,0,1) →mb3aI∨ =hX1, X4i Xb4=X2 2→b4= (0,2,0,0) →b4aI∨ = (0,1,0,0) →mb4aI∨ =hX2i I∨∨=hX1, X2 2, X3i∩hX1, X2 2, X5 4i∩hX1, X4i∩hX2i Se puede expresar I∨∨en funci´on de su SMGM I∨∨=hX1, X2 2, X3X5 4i∩hX1X2, X4X2i=hX1X2, X2 2X4, X2X3X5 4i 6=I(3.1) Adem´as, se tiene que no todos los generadores de Idividen a XaI∨ : X2 1X2-X1X2 2X3X5 4=XaI∨. Se observa en la ecuaci´on (3.1) que I∨∨= (I[aI])[aI∨]6=I, y es aqu´ı donde cobra sentido el haber definido I[a]y no solo I∨, ya que (I[aI])[aI]=Imientras que I∨∨6=Ien general (en los ideales libres de cuadrados s´ı ya que aI=aI∨ debido a que aI i∈ {0,1}). Esta es la clave de la dualidad de Alexander, ya que la igualdad (I[aI])[aI]=Iproporciona un m´etodo de calcular la DII de un ideal monomial arbitrario partiendo de su SMGM. La siguiente proposici´on es un resultado previo al Teorema 3.2.9, el resultado principal del cap´ıtulo, ya que demuestra que est´a bien definida la operaci´on (I[aI])[aI]y que adem´as cumple (I[aI])[aI]=I, que es el objetivo principal. Nota 3.2.7.Si a, b ∈Nd,ab⇔ai⩽bi∀i∈ {1,...d}. Del mismo modo ab⇔ ∃i∈ {1, . . . , d}|ai> bi. 3.2. DUALIDAD EN IDEALES MONOMIALES ARBITRARIOS 57 Proposici´on 3.2.8. Sea Iun ideal monomial y a∈Ndtal que todos los generadores minimales de Idividen a Xa. Si bam entonces Xb/∈Isi y solo si Xa−b∈I[a]. Demostraci´on. Sin p´erdida de generalidad se supone I=hXn1, . . . , Xnki. Por el enunciado, ani,∀i∈ {1, . . . , k}y por definici´on se tiene que Xb/∈I⇔ bni,∀i∈ {1, . . . , k} ⇔ a−ba−ni,∀i∈ {1, . . . , k}. Esto es equivalente a decir que para i∈ {1, . . . , k},∃j∈ {1, . . . , d}|aj−bj⩾ai+1−nij, es decir, Xa−b∈ hXai+1−nij ji, que ocurre si y solo si Xa−b∈ma+1−ni,∀i∈ {1, . . . , k}, siendo 1 el vector con todas las coordenadas iguales a 1. Esto es equivalente a que Xa−b∈ ∩i∈{1,...,k}ma+1−ni=I[a]+ma+1, donde la ´ultima igualdad viene dada por definici´on del dual de Alexander apareciendo el segundo sumando debido que est´a definido ba i= 0 cuando bi= 0. Pero como ba, se tiene 0a−baa+ 1, y entonces Xa−b∈I[a]+ma+1 ⇔Xa−b∈I[a], como quer´ıamos demostrar. Teorema 3.2.9. Sea Iun ideal monomial y a∈Ndtal que todos los generadores minimales de Idividen a Xa. Entonces todos los generadores minimales de I[a]dividen a Xay se tiene (I[a])[a]=I. Demostraci´on. Para la primera parte, se tiene I=hXb1, . . . , Xbkisiendo {Xb1, . . . , Xbk}el SMGM de I. Por definici´on, las potencias de las variables que generan las componentes irreducibles de I[a]dividen a Xa. Como cada generador minimal de I[a]puede ser expresado como el m´ınimo com´un m´ultiplo de algunas de esas potencias de variables, entonces todos los generadores minimales de I[a]dividen a Xa. Para probar (I[a])[a]=Ise toma un monomio Xb∈I. Por la Proposici´on 3.2.8, se tiene Xb∈I⇔Xa−b/∈I[a]. Se realiza el cambio de variables c=a−b J =I[a] y volviendo a aplicar la Proposici´on 3.2.8, Xc/∈J⇔Xa−c∈J[a]. Al deshacer el cambio de variables se obtiene Xa−b/∈I[a]⇔Xb∈(I[a])[a]. Por lo que juntando las dos ecuaciones se tiene Xb∈I⇔Xa−b/∈I[a]⇔Xb∈(I[a])[a] como quer´ıamos demostrar. Se cumple adem´as lo siguiente: (ba)a=bya que (ba)a= 0 si b= 0 y (ba)a=ai+1−(ai+1−bi) = bisi b6= 0. Por ello, todos los generadores minimales de (I[a])[a]dividen a Xa. Ejemplo 3.2.10. Tomando el ideal del ejemplo anterior, del cual se conoce I[aI], por el Teorema de la Dualidad de Alexander se sabe que (I[aI])[aI]=I, 58 CAP´ ITULO 3. DUALIDAD DE ALEXANDER luego se puede obtener la DII de Idirectamente, calculando (I[aI])[aI]sobre aI= (2,2,1,5). Xb1=X1X2X3→b1= (1,1,1,0) →b1aI= (2,2,1,0) →mb1aI =hX2 1, X2 2, X3i Xb2=X1X2X4→b2= (1,1,0,1) →b2aI= (2,2,0,5) →mb2aI =hX2 1, X2 2, X5 4i Xb3=X1X5 4→b3= (1,0,0,5) →b3aI= (2,0,0,1) →mb3aI =hX2 1, X4i Xb4=X2 2→b4= (0,2,0,0) →b4aI= (0,1,0,0) →mb4aI =hX2i (I[aI])[aI]=hX2 1, X2 2, X3i∩hX2 1, X2 2, X5 4i∩hX2 1, X4i∩hX2i. Se puede expresar (I[aI])[aI]en funci´on de su SMGM y se obtiene (I[aI])[aI]=hX2 1, X2 2, X3X5 4i∩hX2 1X2, X4X2i=hX2 1X2, X2 2X4, X2X3X5 4i=I Durante el proceso se ha obtenido la DII de I: I=hX2 1X2, X2 2X4, X2X3X5 4i=hX2 1, X2 2, X3i∩hX2 1, X2 2, X5 4i∩hX2 1, X4i∩hX2i. Teorema 3.2.11. Sea Iun ideal monomial y a∈Ndtal que todos los generadores minimales de Idividen a Xa. Entonces Itiene una ´unica DII dada por I=\{mba|Xbes un generador minimal de I[a]}. Y de forma equivalente, el dual de Alexander de Irespecto de aest´a dado por el SMGM siguiente: I[a]=hXba|mbes una componente irreducible de Ii. Para terminar el cap´ıtulo se enuncia un resultado que proporciona otro algoritmo para obtener el SMGM del dual de un ideal monomial Iarbitrario, sin la necesidad de calcular el SMGM a partir de la DII de I∨. Solo precisa de un c´alculo de cociente para obtener el SMGM de I∨por lo que permite calcular de forma m´as sencilla la DII de Iya que este c´alculo est´a implementado en muchos programas inform´aticos: Teorema 3.2.12. Sea Iun ideal monomial arbitrario. Si todos los generadores de Idividen a Xa, es decir aaI, entonces (ma+1 :I[a]) = I+ma+1. Nota 3.2.13.Los dos ´ultimos teoremas est´an demostrados en [10]. 3.2. DUALIDAD EN IDEALES MONOMIALES ARBITRARIOS 59 Como el Teorema 3.2.9 afirma que si aes tal que todos los generadores minimales de Idividen a Xaentonces todos los de I[a]tambi´en, se tiene, por el Teorema 3.2.12 que tambi´en se cumple(ma+1 :I) = I[a]+ma+1. Un ejemplo de c´omo aplicar este resultado para obtener la DII de un ideal monomial arbitrario es el siguiente: Ejemplo 3.2.14. Sea I=hX4 1, X2 1X2X3, X4 2X3, X3 1X2 2, X2 2X2 3ien A[X1, X2, X3]. Se tiene que aI= (4,4,2), luego maI+1 =hX5 1, X5 2, X3 3i. Se calcula el cociente empleando la funci´on correspondiente en Singular: Figura 3.1: C´odigo usado en Singular obteniendo (maI+1 :I) = hX3 3, X2 1X2 3, X3 1X2X3, X5 2, X1X4 2, X5 1, X1X3 2X2 3, X3 1X3 2i=I[aI]+maI+1. Entonces I[aI]=hX2 1X2 3, X3 1X2X3, X1X4 2, X1X3 2X2 3, X3 1X3 2iy se puede aplicar el Teorema 3.2.9 para obtener la DII de I: I=hX3 1, X3i∩hX2 1, X4 2, X2 3i∩hX4 1, X2i∩hX4 1, X2 2, X3i∩hX2 1, X2 2i. 60 CAP´ ITULO 3. DUALIDAD DE ALEXANDER Un ejemplo que lo resume todo Para resumir lo explicado en los cap´ıtulos 2 y 3, se considera Iel ideal I=IG=hX1X2, X1X3, X1X4, X2X4, X4X5i, que se puede representar con el grafo Gsiguiente: v1v2 v3v4 v5 Veamos las diversas formas que se han explicado para calcular su DII: iLas coberturas minimales del grafo son: {v1, v4},{v1, v2, v5},{v2, v3, v4}. Se tiene IG=\ V0cobertura minimal de G PV0 donde P{v1,v4}=hX1, X4i, P{v1,v2,v5}=hX1, X2, X5i, P{v2,v3,v4}=hX2, X3, X4i. Por tanto, IG=hX1, X4i∩hX1, X2, X5i∩hX2, X3, X4i. ii Los conjuntos independientes de Gson: {v1},{v2},{v3},{v4},{v5},{v1, v5},{v2, v3},{v2, v5},{v3, v4},{v3, v5},{v2, v3, v5}. Y son los elementos de ∆G. Gr´aficamente, ∆Gse puede representar con el complejo simplicial 61 62 EJEMPLO v1v2 v3v4 v5 Del cual se pueden calcular sus caras: ∅. V´ertices →v1, v2, v3, v4, v5. Aristas →v1v5, v2v3, v2v5, v3v4, v3v5. Tri´angulos sombreados →v2v3v5. Facetas →v2v3v5, v1v5, v3v4. De esta manera, como IG=J∆G, siendo J∆Gel ideal de Stanley-Reisner, entonces IG=J∆G=\ Ffaceta de ∆G QF donde se tiene: Q{v2,v3,v5}=hX1, X4i, Q{v1,v5}=hX2, X3, X4i, Q{v3,v4}=hX1, X2, X5i luego se obtiene IG=hX1, X4i∩hX2, X3, X4i∩hX1, X2, X5i. iii Se puede calcular el dual de IG: I∨ G=hX1, X2i∩hX1, X3i∩hX1, X4i∩hX2, X4i∩hX4, X5i =hX1, X2X3X4i∩hX2X5, X4i=hX1X2X5, X1X4, X2X3X4i luego se tiene que IG=I∨∨ G=hX1, X2, X5i∩hX1, X4i∩hX2, X3, X4i. Bibliograf´ıa [1] M.F.Atiyah, I.G.Macdonald, Introducci´on al ´ Algebra Conmutativa, Revert´e (1978). [2] W. Bruns, J. Herzog, Semigroup rings and simplicial complexes, Journal of Pure and Applied Algebra 122 (1997) 185-208 [3] D.A. Cox, J. Little, D. O’Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms. Undergraduate Text in Mathematics, Springer 4aedici´on (2015). [4] W. Decker, G.-M. Greuel, G. Pfister, H. Sch¨onemann, Singular 4-1-2 — A computer algebra system for polynomial computations. http://www.singular.uni-kl.de (2019). [5] A. 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