Introducción a la teoría de wavelets. Construcción y propiedades de wavelets continuas y discretas

Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Matemáticas Introducción a la teoría de wavelets. Construcción y propiedades de wavelets continuas y discretas. Autor: Laura Martín Martín Tutor/es: Fernando Gómez Cubillo II Índice general Introducción V Notación IX 1. Preliminares 1 1.1. Espacios Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4. Otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Wavelets 7 2.1. Transformada de Fourier en ventanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Wavelets continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1. Tipos de wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Wavelets Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1. Análisis Multiresolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2. Construcción de la wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.3. Algoritmos de análisis y reconstrucción . . . . . . . . . . . . . 26 3. Propiedades delaswavelets. Construccióndewaveletsconsoportecompacto. 29 3.1. Localización polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Momentos nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3. Soporte compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4. Construcción de wavelets de soporte compacto . . . . . . . . . . . . 34 3.4.1. Regularidad de la wavelet en función de m0. . . . . . . . . . 40 Bibliografía 45 III IV ÍNDICE GENERAL Introducción Imaginemos por un momento una señal acústica elemental que suena de forma ininterrumpida. Podemos identificar el sonido mediante la frecuencia con la que vibra el aire que llega a nuestros oídos. Al mantenerse constante, es relativamente fácil dar una expresión matemática que describa el movimiento de las partículas, sería algo de la forma sin(K t +C). En el caso de que no fuera una, sino varias las señales acústicas elementales que oyéramos superpuestas, bastaría sumar más senos con la misma estructura a la expresión anterior, uno por cada señal. Siguiendo por esta línea resulta tentador utilizar el análisis de Fourier para generalizar todas las superposiciones posibles de señales elementales, y es muy acertado siempre y cuando las señales no varíen con el tiempo. Sin embargo, estos casos son situaciones ideales. Si queremos trabajar con los sonidos presentes en nuestro día a día, sobre todo aquellos que nos aporten algún tipo de información, es necesario buscar herramientas más sofisticadas que nos permitan manejar señales sonoras, ya sea para describirlas o para estudiarlas. Pongamos otro ejemplo. En esta ocasión suena la radio de fondo. Pasados unos minutos, nuestro cerebro se olvida de que la radio existe, y no es hasta que se queda sin batería que nos damos cuenta de que estaba encendida. Irónicamente el silencio nos avisa de que la radio estaba encendida, pero no el silencio en sí mismo, sino la transición entre los dos estados. Con este ejemplo pretendemos mostrar cómo la información se encuentra en la variación de frecuencias e intensidades. Los objetivos de la teoría de la señal, entre otros, son el análisis, diagnostico, modificación, cuantización, compresión, transmisión, almacenamiento, síntesis y reconstrucción de cualquier tipo de información. Como acabamos de comentar, el estudio de las señales unidimensionales no estacionarias necesita técnicas diferentes del análisis de Fourier. Estas técnicas incluyen una descomposición atómica que consiste en extraer los constituyentes simples de la señal, fundamentalmente de tipo tiempo-frecuencia o tiempo-escala. Estos constituyentes simples se denominan en la literatura átomos en general, o wavelets en el segundo caso. Varias fueron las ramas del conocimiento que estudiaban las wavelets, a pesar de que cada una siguió un camino distinto y razonó desde un punto de vista diferente. Por ejemplo en el campo de las matemáticas puras, todo comenzó con la presentación de Haar (1909) de una base ortonormal de L2(R), ejemplo que encontraremos varias veces a lo largo del texto. Después le siguieron otras teorías V VI INTRODUCCIÓN como la de Littlewood-Paley (1930) o la descomposición en átomos de Calderón (1960). Mientras tanto, en el campo de tratamiento de la señal, Burt y Anderson publicaron en 1982 el algoritmo en pirámide. Inicialmente diseñado para tratamiento de la imagen, este algoritmo puede simplificarse a una dimensión para obtener una variante que permita el análisis de señales. Gabor propuso la utilización de ventanas (1946), funciones que permitían estudiar la señal en el tiempo y frecuencia deseados. En 1984, Morlet utilizó esta teoría en el ámbito de la sismología. Grossman, físico teórico contemporáneo a Morlet, detectó similitudes entre su trabajo y las ventanas de Gabor. De esta forma se dieron cuenta que matemáticos, físicos y analistas de señales habían estado trabajando en paralelo, llegando en varias ocasiones a los mismos resultados desde puntos de vista distintos. Conscientes de ello, Morlet y Grossman decidieron unificar ese mismo año toda la teoría existente en [Gros], tarea que también llevó a cabo Mallat [Mall] en 1998. Las referencias a todos los trabajos nombrados se pueden encontrar en estos dos últimos. El objeto de este trabajo es presentar una introducción a ciertos aspectos de la teoría de wavelets. Partiendo del análisis tiempo-frecuencia asociada a la transformada de Fourier en ventanas introduciremos las wavelets continuas, las fórmulas integrales de análisis y reconstrucción asociadas y un estudio detallado de las wavelets continuas reales y analíticas. Estudiaremos también las wavelets discretas diádicas, aquellas funciones que generan una base ortonormal del espacio de Hilbert L2(R) mediante traslaciones enteras y dilataciones asociadas a potencias de 2. El estudio, en este caso se centra en las wavelets discretas que derivan de análisis multiresolución. Dicho análisis multiresolución genera un par de filtros de cuadratura conjugados, de los que se derivan algoritmos eficientes para el análisis y reconstrucción de las señales. Este trabajo se limita al estudio de señales en una dimensión, aunque la mayoría de los resultados pueden generalizarse a dos dimensiones para el estudio de imágenes o dimensión arbitraria. En el primer capítulo introduciremos los espacios de funciones Lpy espacios de Hilbert sobre los que se construye la teoría. Se incluyen algunos resultados básicos sobre la transformada de Fourier indispensables a la hora de llevar a cabo las demostraciones y estudio de la señal en el ámbito frecuencial. También presentaremos algunos conceptos adicionales, como son las bases de Riesz, espacios de Hölder, el principio de incertidumbre de Heisenberg y otros resultados técnicos que se utilizarán a lo largo del texto. El capítulo 2 comienza con el estudio de las ventanas de Gabor. Estas nos permiten realizar un análisis frecuencial local, de manera que aportan información acerca de la intensidad localizada en el tiempo con que las frecuencias simples intervienen en la señal, dando lugar al espectrograma. En la sección 2.2 presentaremos las wavelets continuas, las cuales proporcionan un análisis tiempo-escala que deriva en transformadas integrales para el análisis y reconstrucción de la se- INTRODUCCIÓN VII ñal, tal como se muestra en el teorema 2.1. Para que esto sea posible, es necesario exigir que la wavelet sea de integral nula y que verifique la condición de admisibilidad que aparece en este teorema. La idoneidad de una wavelet a la hora de analizar una señal pasa por la condición de redundancia descrita en términos de Reproducing Kernel y correlaciones no nulas. Esta característica también se aprecia en el escalograma, sustituto del espectrograma en el ámbito de las wavelets continuas. Finalmente prestaremos especial atención a los casos de wavelets continuas reales y analíticas. En la sección 2.3 se introducirán las wavelets discretas diádicas, esto es, como ya se ha comentado, funciones ψcaracterizadas por generar una base ortonormal de L2(R) de la forma ©2j/2ψ(2j·−k)ªj,k∈Z. Por lo tanto, las fórmulas de análisis y reconstrucción de la señal se basa en la teoría general de espacios de Hilbert. Encontrar wavelets discretas es en general una tarea complicada. Su construcción puede llevarse a cabo con la teoría presentada en la sección 2.3.1.: el análisis multiresolución. Dicho análisis consiste en considerar una familia creciente para la inclusión de subespacios cerrados ©Vjªj∈Z de L2(R) que verifican ciertas propiedades. En particular, el subespacio V0contiene una función denominada función escala cuyas desplazadas ©ϕ(·−k)ªk∈Z son una base ortonormal de V0. Mediante las relaciones de doble escala, se puede asociar a esta función un filtro de paso bajo. Estos dos ingredientes permiten asociar una wavelet a dicho análisis multiresolución mediante un filtro (de cuadratura) conjugado al filtro de paso bajo antes mencionado, tal como se describe en la sección 2.3.3. Algunas de las wavelets clásicas asociadas a análisis multiresolución son las wavelets de Shannon, descritas en el ejemplo 6, o la wavelet de Battle-Lemarié que aparece en el ejemplo 7. El capítulo 3 está orientado al estudio de algunas propiedades relevantes de las wavelets, en particular regularidad, localización, momentos nulos y soporte, prestando especial atención a las relaciones e incompatibilidades que existen entre ellas, y su relevancia en teoría de la señal. Por ejemplo, en el teorema 3.3 se muestra que el orden del momento nulo se puede calcular a partir de la regularidad y la localización. También se incluye en la sección 3.4 los detalles para construir wavelets de soporte compacto, que como es bien conocido (ver corolario 3.8), están asociadas a análisis multiresolución. Puesto que la familia de subespacios ©Vjªj∈Zqueda determinado por el filtro de paso bajo, centraremos la atención en el análisis de dicho filtro. En particular, si la función de escala, y entonces también la wavelet, son de soporte compacto, los generadores de los filtros asociados son polinomios trigonométricos, y en la sección 3.4.1. se realiza un estudio detallado de estos polinomios que permiten deducir propiedades de regularidad de la wavelet. Como caso particular se presenta la wavelet de Daubechies, cuyo soporte es mínimo en función del orden de momentos nulos. Este trabajo ha supuesto una gran oportunidad de profundizar en cuestiones relativas a la teoría de funciones y análisis armónico, y en particular en el estudio de las transformadas de Fourier y algunas generalizaciones. A su vez, la historia VIII INTRODUCCIÓN de esta teoría deja al descubierto la importancia de apoyarse en otras ramas del conocimiento, ya sea dentro o fuera de las matemáticas, pudiendo aprovechar resultados ya demostrados para avanzar y desarrollar estudios más profundos. Debido a las fórmulas obtenidas a lo largo del trabajo es posible implementar gran parte de los procesos y cálculos que nos hemos ido encontrando. En el caso de Matlab y Maple, entre otros, incluso existe una biblioteca específica para estudio y tratamiento de señales mediante wavelets. Para terminar quería agradecer al profesor Fernando Gómez Cubillo el haber aceptado dirigir este trabajo y compartir conmigo sus conocimientos en este área de las matemáticas. Notación NNúmeros naturales. ZNúmeros enteros. RRecta real. CPlano complejo. TIntervalo [0,2π). SElementos del plano complejo de modulo 1. ψWavelet. ϕFunción escala. m0Filtro de paso bajo. χ[a,b]Función indicatriz de [a,b]⊂R. xConjugado del elemento x∈C. bxcParte entera de x∈R. |x|Módulo de x∈C. CkEspacio de funciones con derivadas continuas hasta el orden k. span{B}Espacio generado por los elementos de B. supp(f) Soporte de la función f. P(k) Espacio de funciones periódicas de periodo k. IX 6CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1.4. Otros resultados En este apartado presentamos definiciones y resultados adicionales a los que haremos referencia a lo largo del texto. Definición1.15(Base de Riesz).Sea K ⊂L2(R)el espacio generado por F=©fk,k∈Zª. Entonces Fes una base de Riesz de K si para cada función g ∈K , existe una única secuencia {αk}k∈Ztal que g(x)=X k∈Z αkfk, convergente en L2(R), y existen dos constantes A y B, 0<A≤B<∞independientes de g tales que AX k∈Z|αk|2≤k X k∈Z αkfkk2 2≤BX k∈Z|αk|2. Proposición 1.12. Sea g ∈L2(R), entonces ©g(· −k), k∈Zªes un sistema ortonormal si y solo si X k∈Z|b g(ξ+2kπ)|=1c.s. ξ∈R. Tanto la definición 1.15 como la proposición 1.12 pueden encontrarse en [Wei], siendo esta última la proposición 1.11. en dicho libro. Teorema1.13 (Principio de incertidumbre de Heisenberg).La varianza temporal σty la varianza frecuencial σξde f ∈L2(R)satisface σ2 tσ2 ξ≥1 4. (1.20) Este resultado no es más que una reproducción del teorema 2.5 presente en [Mall]. Las varianzas temporal y frecuencial se definirán más adelante, en el capítulo 2. Definición 1.16. Sea g una función definida en todo R, y sea δ:R−→ {0,1}la función δ(x)=1⇔x=0. Entonces si δa=δ(x−a), a∈R, denotaremos la acción de δasobre g en el sentido de distribución por ¡δa,g¢=g(a). El siguiente teorema se extrae del comienzo del capítulo 6 de [Dau]. Teorema 1.14 (Bezout).Sean p1, p2dos polinomios de grado n1, n2respectivamente, sin raíces comunes. Entonces existen dos polinomios q1, q2de grado n1−1, n2−1tales que p1(t)q1(t)+p2(t)q2(t)=1. Definición 1.17. Sea α=n+β>0, n∈N∪{0},0≤β<1. Se denomina espacio de Hölder de orden αa las funciones de Cntales que la derivada n−ésima verifica la condición de Hölder: Cα=nf∈Cn¯¯¯∀t∈R∃Kt>0,¯¯fn)(t+h)−fn)(t)¯¯≤Kt|h|βo. Capítulo 2 Wavelets Nuestro objetivo no es otro que encontrar un método para describir las señales no estacionarias (cuya frecuencia varía con el tiempo) definidas sobre R utilizando señales más simples. Para ello, no vale solo con tener en cuenta la presencia de diferentes frecuencias, sino también el momento en que estas aparecen. Para ello comenzaremos con el estudio en ventanas presentado por Gabor (1946) para ilustrar una de las primeras ideas que surgió para análisis de señal, la cual se basa en observar la energía de la señal sobre el plano tiempo-frecuencia. Más tarde, apareció otra técnica que sustituía las ventanas por wavelets, estudiadas en las secciones precedentes. Comenzaremos presentando las wavelets contínuas para más tarde pasar al grueso del capítulo que suponen las wavelets discretas y su construcción. Para ello nos apoyaremos en el análisis resolución, que aparte de ayudarnos a la hora de construir las wavelets discretas sirve de base para el desarrollo de algoritmos de análisis y reconstrucción de señales. Para este capítulo se han utilizado mayoritariamente los textos de [Mall] y [Wei]. 2.1. Transformada de Fourier en ventanas Gabor propone en [Gab] cortar el tiempo en varios trozos y estudiarlos independientes unos de otros. Puesto que ©eikt ªk∈Zes una base ortogonal de L2(T), una primera idea podría ser dividir la recta de los reales en intervalos disjuntos de la forma [αk,αk+1),αk∈R,∀k∈Z, y asociar a cada uno la base neikβk(t)ok∈Z,βk(t)=   2πt−αk αk+1−αk, si t∈[αk,αk+1), 0, si no. (2.1) ya que así tendríamos la información bien localizada tanto en tiempo como en frecuencias. Sin embargo, esta construcción produce comportamientos indeseados en los puntos de unión de los intervalos. Buscamos entonces una familia de elementos tales que su comportamiento sea suave, particularmente en los extremos, y además nos permitan trabajar en 7 8CAPÍTULO 2. WAVELETS cualquier momento t=uy frecuencia ξ=s. Esto se consigue utilizando funciones regulares g∈L2(R), simétricas y de normal kgk=1. Antes de exigirle más propiedades a gaclararemos el concepto función centrada en x al que se hará referencia en repetidas ocasiones durante este capítulo: Definición 2.1. Sea f :R→C. Se dice que f está centrada en el punto x ∈Rsi x=Z∞ −∞ t¯¯f(t)¯¯2dt. Además de las propiedades anteriores, gy su transformada de Fourier deben estar centradas en 0. A estas funciones las llamaremos ventanas, las cuales nos permitirán situarnos en el tiempo que queramos, aplicando una traslación a la ventana original g(t)7→g(t−u)⇒g(t−u) centrada en t=u. Para poder desplazarnos por las frecuencias, multiplicaremos las ventanas por exponenciales eist , obteniendo una familia de átomos ngu,s(t)=eist g(t−u)ou,s∈R. (2.2) Gracias a las propiedades de 1.13, la transformada de Fourier del átomo gu,ses b gu,s(ξ)=b g(ξ−s)eiu(ξ−s), función centrada en ξ=scomo queríamos. La información de la señal referente a un entorno del punto (u,s) viene dada por la Transformada de Fourier de Tiempo Corto (STFT). Explícitamente se define como Sf(u,s)=ZR f(t)gu,s(t)dt, y se utiliza para detectar las variaciones repentinas en la señal. Cada átomo se identifica con un rectángulo o ventana Ru,sdel plano tiempo-frecuencia centrado en (u,s) y de lados σtyσξ, donde •σt=qR+∞ −∞ t2|g(t)|2dt se denomina varianza temporal de g, •σξ=qR+∞ −∞ ξ2|b g(ξ)|2dξse denomina varianza frecuencial de g. Más adelante veremos una generalización de esta fórmula para funciones cuya transformada de Fourier no está centrada en 0. Por el teorema 1.13, el área del rectángulo no puede ser tan pequeña como queramos, ya que se debe cumplir σtσξ≥1 2. La energía de la señal f en torno a (u,s) (más exactamente, sobre Ru,s) se calcula a partir de la función STFT de la siguiente forma: PSf(u,s)=|Sf(u,s)|2. Los valores PSf(u,s) definen el espectrograma. Los átomos más utilizados son los presentados en [Gab] ψ(t)=e−α2(t−t0)2ei(2πf0t+φ), 2.2. WAVELETS CONTINUAS 9 donde α,t0,f0yφson constantes, en parte porque consiguen que el rectángulo sea de área mínima al utilizar ventanas gaussianas. A pesar de esto, si tomamos dos rectángulos disjuntos Ru,s,Ru0,s0, el producto escalar de sus átomos asociados es distinto de cero. La prueba puede encontrarse en [Mey]. Otro inconveniente de la STFT es la forma de las ventanas: puesto que gyb gsolo se trasladan (no se dilatan), σtyσξno varían, lo que acarrea falta de precisión cuando queremos conocer información precisa del tiempo o frecuencia. Ejemplo 1. Supongamos que trabajamos con una átomo g tal que b g está centrado en 1, σt=1yσξ=1. Entonces sería posible cubrir completamente el plano tiempofrecuencia como en la figura (2.1) dando valores a u y s. Podemos ver que aunque los rectángulos Ru,sse desplazan, su forma no varía. 1 2 3 4 1 2 3 4 u=1, s=2 u=1, s=1 u=2, s=1 u=1, s=0 u=2, s=1 u=3, s=1 tiempo frecuencia Figura 2.1: Embaldosado STFT asociado a g Si ahora preferimos centrarnos en el análisis de los detalles de la señal, o buscamos una forma de comprimirla, deberemos acudir a otros métodos. El más extendido es el de la transformada wavelet(WT). En él se trabaja tanto con wavelets continuas como discretas, y es en el estudio de estas funciones en el que nos centraremos en la siguiente sección. 2.2. Wavelets continuas No se puede presentar la teoría de esta sección sin haber saber previamente qué es una wavelet y una transformada wavelet. Dicha información puede encontrarse tanto en [Mall, Cap. 4] como al inicio del capítulo 1 de [Hol]. Una wavelet es una función ψ∈L2(R) tal que ZR ψ(t)dt =0, 10 CAPÍTULO 2. WAVELETS de manera que la familia de átomos que forman sus trasladadas y dilatadas ½ψu,s(t)=1 psψµt−u s¶,u∈R,s∈R+¾(2.3) permita analizar y reconstruir las señales. Es por esto que a las wavelets se les denomina átomos tiempo-escala. Nota. Aunque no sean propiedades que caractericen las wavelets, exigiremos que kψk=1yψesté centrada en t =0para facilitar el desarrollo de la teoría. Definición 2.2 (Transformada wavelet).Sea f ∈L2(R). La transformada wavelet de f en el punto (u,s)∈R×R+es: W f (u,s)=ZR f(t)ψu,s(t)dt. 2.2.1. Tipos de wavelets Esta diferenciación se encuentra tanto en el capítulo 4 de [Mall] como en [Hol], aunque en este último las wavelets analíticas se denominan progresivas, la cual es una denominación mucho más intuitiva. Reales Haciendo referencia al nombre, nos referimos a wavelets cuya imagen está contenida en R. Dentro de este conjunto existen funciones tales que su transformada toma valores positivos para frecuencias negativas. Físicamente esta propiedad no tiene sentido, pero matemáticamente podemos asociarlo al giro del argumento en sentido antihorario sobre S. Este tipo de wavelets se emplean preferentemente en la detección de singularidades y entornos con una baja regularidad. La transformada wavelet guarda la información de la señal en torno a un momento y una frecuencia exacta. Entonces, ¿sería posible recuperar la señal inicial si conociéramos la transformada wavelet en todo el plano tiempo-frecuencia? Calderón consiguió demostrar en 1964 [Cal] que sí era posible, aunque él no lo supiera en ese momento, ya que su estudio no estaba orientado hacia el análisis de las señales. Grossmann y Morlet presentaron la misma fórmula en [Gros]. El siguiente resultado está tomado de [Mall], donde posee el mismo nombre. Teorema 2.1 (Calderón, Grossmann, Morlet).Sea ψ∈L2(R)una función real tal que Cψ=Z∞ 0|b ψ(ξ)|2 ξdξ<+∞ (condición de admisibilidad). (2.4) 2.2. WAVELETS CONTINUAS 11 Para todo f ∈L2(R), se cumple f(t)=1 CψZ∞ 0Z+∞ −∞ W f (u,s)ψu,s(t)du ds s2, (2.5) Z+∞ −∞ |f(t)|2dt =1 CψZ∞ 0Z+∞ −∞ |W f (u,s)|2du ds s2. (2.6) Demostración. Para probar ambas igualdades, definiremos ψs(t)=1 psψ(t s). Por como está definida W f (u,s), podemos reescribirla de la forma f?ψ0 s(u), donde ψ0(t)=ψ(−t), y aplicando las propiedades de la transformada de la convolución, d W f (u,s)=b fc ψ0 s(u). Gracias a la siguiente igualdad, c ψ0(ξ)=Z∞ −∞ ψ0(t)e−iξtdt =Z∞ −∞ ψ(−t)e−iξtdt =−Z∞ −∞ ψ(y)eiξyd y =−b ψ(−ξ)=b ψ(ξ), la transformada de Fourier de W f se puede sustituir por d W f (u,s)=b fc ψs(u). Para probar (2.5) definiremos la parte derecha de la igualdad como b(t). Tomemos un s fijo. Entonces b(t)=Z+∞ −∞ W f (u,s)ψs(t−u)du =Z+∞ −∞ f?ψ0 s(u)ψs(t−u)du =f?ψ0 s?ψs(t). Sustituyendo en (2.5) y pasando a la transformada de Fourier, el teorema de Fubini asegura que b b(ξ)=1 CψZ∞ 0b f(ξ)b ψs(ξ)b ψs(ξ)ds s2=1 CψZ∞ 0b f(ξ)psb ψ(sξ)psb ψ(sξ)ds s2 =b f(ξ) CψZ∞ 0¯¯b ψ(sξ)¯¯2ds s. Aplicando el cambio de variable w=sξ, b b(ξ)=b f(ξ) CψZ∞ 0¯¯b ψ(w)¯¯2dw w=b f(ξ), como queríamos. En el caso (2.6), sea bel valor de la parte derecha de la igualdad. Sustituimos W f (u,s) por f?ψ0 s(u), y aplicando el teorema 1.10 b=1 CψZ∞ 0 1 2πZ∞ −∞¯¯b f(ξ)¯¯2¯¯c ψs(ξ)¯¯2dξds s2= =1 CψZ∞ 0 1 2πZ∞ −∞¯¯b f(ξ)¯¯2¯¯psb ψ(sξ)¯¯2dξds s2. 12 CAPÍTULO 2. WAVELETS Aplicando de nuevo Fubini y el cambio de variable w=sξ, 1 Cψ2πZ∞ −∞¯¯b f(ξ)¯¯2Z∞ 0¯¯b ψ(sξ)¯¯2ds sdξ= =1 Cψ2πZ∞ −∞¯¯b f(ξ)¯¯2Z∞ 0¯¯b ψ(w)¯¯2dw wdξ=1 Cψ2πZ∞ −∞¯¯b f(ξ)¯¯2Cψdξ. Basta con utilizar el teorema de Plancherel para ver que b=R∞ −∞|f(t)|2dt. Nota. Una condición necesaria para que se cumpla (2.4) es b ψ(0) =0, pero esto es inmanente a todas las wavelets ya que por definición b ψ(0) =RRψ(t)dt =0. Si además ψes diferenciablemente continua, entonces la condición se verifica. Ejemplo 2. Un ejemplo de wavelet real es la llamada Sombrero Mexicano, que no es otra cosa que la derivada segunda de una función Gaussiana. En la figura 2.3 se observa que la imagen de su transformada de Fourier no está restringida solo al dominio de las frecuencias positivas, al contrario de lo que veremos en la sección siguiente. −4−2 2 4 0,5 1 1,5 Figura 2.2: ψsombrero mexicano −4−2 2 4 0,5 1 1,5 Figura 2.3: b ψsombrero mexicano Reproducing Kernel Gracias a la transformada wavelet estamos guardando la información de una aplicación de una variable en una función de dos variables. Esto implica que sera inevitable encontrar información repetida en distintos puntos de la WT. Sea u0ys0un tiempo y frecuencia fijos. Combinando (2.5) con la definición de transformada wavelet, podemos escribir W f (u0,s0) a partir de W f (u,s): W f (u0,s0)=Z∞ −∞µ1 CψZ∞ 0Z+∞ −∞ W f (u,s)ψu,s(t)du ds s2¶ψu0,s0(t)dt. (2.7) 2.2. WAVELETS CONTINUAS 13 Aplicando el teorema de Fubini, obtenemos W f (u0,s0)=1 CψZ∞ 0Z+∞ −∞ W f (u,s)K(u0,u,s0,s)du ds s2, (2.8) donde K(u0,u,s0,s)=R∞ −∞ψu,s(t)ψu0,s0(t)dt es el Reproducing Kernel. Su valor indica la correlación entre ψu,syψu0,s0, y por tanto, la redundancia de información que almacenan sus transformadas. Analíticas Definición 2.3. Una función f ∈L2(R)se denomina analítica si su transformada de Fourier es cero para frecuencias negativas: b f(ξ)=0, si w ≤0. Toda función analítica faes compleja, por lo que podemos estudiar por separado su módulo y su argumento. Aún así, es posible definir de forma única fa conocida su parte real f=Re(fa). Definimos su transformada de Fourier b f(ξ)=c fa(ξ)+c fa(ξ) 2=c fa(ξ)−c fa(−ξ) 2. Inversamente, c fa(ξ)=   2b f(ξ), ξ>0, 0, ξ≤0. (2.9) y aplicando al transformada inversa de Fourier a (2.9), obtenemos la función analítica de partida. Para estas wavelets existe un teorema equivalente al teorema 2.1 también en [Mall] (Teorema 4.4), que además reconstruye Wfaa partir de Wf. Teorema 2.2. Sea f ∈L2(R). Se tiene W f (u,s)=1 2W fa(u,s). (2.10) Si Cψ=R∞ 0|b ψ(ξ)|2 ξdξ<+∞y f es real f(t)=2 Cψ Re ·Z∞ 0Z+∞ −∞ W f (u,s)ψu,s(t)du ds s2¸, (2.11) Z+∞ −∞ |f(t)|2dt =2 CψZ∞ 0Z+∞ −∞ |W f (u,s)|2du ds s2. (2.12) A partir de ahora hablaremos de transformadas wavelets analíticas (AWT) cuando apliquemos la definición 2.2 a wavelets analíticas. Con este tipo de wavelets es posible retomar el estudio de las frecuencias utilizando las ventanas asociadas al principio de incertidumbre de Heisenberg. El rectángulo Ru,sasociado a la wavelet ψu,sestará dado en función de las siguientes propiedades: 14 CAPÍTULO 2. WAVELETS •ψ(t) centrada en t=0=⇒ ψu,s(t) centrada en t=u. •b ψ(ξ) centrada en ξ=η=⇒ b ψu,s(ξ) centrada en ξ=η/s. •Recuérdese que la varianza temporal de ψviene dada por σ2 t=R+∞ −∞ t2|ψ(t)|2dt =⇒ La varianza temporal ψu,ses σ2 ts2. •La varianza frecuencial de ψviene dada por σ2 ξ=R+∞ 0(ξ−η)2|b ψ(ξ)|2dξ =⇒ La varianza frecuencial de ψu,ses σ2 ξ/s2. Entonces el rectángulo Ru,stiene centro (u,η/s) y lados sσtyσξ/s, con lo que mantiene el área independientemente de la dilatación aplicada a la wavelet ψ. De esta forma se cubre el plano tiempo-frecuencia con rectángulos de distintas proporciones. Esto es una ventaja, por ejemplo, cuando estudiamos frecuencias pequeñas, ya que necesitamos un intervalo de tiempo más amplio para aproximarlas bien. Ejemplo 3. Supongamos ahora que trabajamos con una wavelet %centrada en t=0, con σt=1yb %centrada en η=2, con σξ=1. Vamos a dar diferentes valores a u y s con el fin de observar la variación de forma y localización de los rectángulos sobre el plano tiempo-frecuencia (figura 2.4). Podemos apreciar que el valor que determina la forma y altura a la que se encuentra Ru,sviene dado en función de s, mientras que u solo indica la posición a lo largo del eje temporal. 1234 1 2 3 4 5 s=1 u=1 s=1 u=3 s=2 u=1 s= 0.5 u=1 s=2 u=3 s= 0.5 u=3 tiempo frecuencia Figura 2.4: Embaldosado AWT En la transformada Wavelet analítica, el elemento que correspondería en STFT con el espectrograma se denomina escalograma y se define de forma semejante: PWf³u,η s´=|W f (u,s)|2 2.3. WAVELETS DISCRETAS 15 2.3. Wavelets Discretas Habiendo presentado la teoría de las wavelets continuas ahora nos centraremos en las wavelets discretas, para ello nos apoyaremos esencialmente en [Wei, Cap. 2] y en el capítulo 7 de [Mall]. Estas wavelets forman una base ortonormal de L2(R) de la forma nψj,k(t)=2j/2ψ(2jt−k), j,k∈Zo. (2.13) Esta característica nos permite reconstruir la señal como combinación lineal de los elementos de la base f=X j,k∈Z¡f,ψj,k¢ψj,k. (2.14) Los elementos ©ψj,kªk∈Npara un jfijo son aquellos asociados a la resolución 2j, capaces de guardar la información de los detalles de tamaño 2−j. Así, esta familia de átomos permite almacenar la información de distintas resoluciones por separado, lo que resulta muy útil para guardar una señal, ya que podemos elegir la cantidad de información que queremos almacenar, sabiendo cuanta definición tendremos al reconstruirla. Sin embargo, necesitamos asegurarnos de que efectivamente (2.13) es una base ortonormal. Esto se consigue construyendo nosotros mismos la wavelet ψ. El inicio de esta construcción puede llevarse a cabo mediante el Análisis Multiresolución, con lo que empezaremos definiéndolo. 2.3.1. Análisis Multiresolución Definición 2.4 (Análisis Multiresolución (MRA)).Sea ©Vjªj∈Zuna secuencia de subespacios cerrados de L2(R). Entonces ©Vjªj∈Zes un MRA si verifica las siguientes propiedades: Vj⊂Vj+1,∀j,∈Z, (2.15) f(·)∈Vj⇐⇒ f(2 ·)∈Vj+1,∀j∈Z, (2.16) l´ ım j→−∞Vj=\ j∈Z Vj={0}, (2.17) l´ ım j→∞Vj=[ j∈Z Vj=L2(R), (2.18) ∃ϕtal que ©ϕ(·−k)ªk∈Zes una base ortonormal de V0. (2.19) La función requerida en (2.19) se denomina función escala del MRA. La base a la que también nos referimos en (2.19) puede sustituirse por una base de Riesz sin que esto conlleve ningún problema. En ese caso hablaremos de un MRA asociado a una base de Riesz. La demostración de que ambos MRA son equivalentes 22 CAPÍTULO 2. WAVELETS Aplicando el cambio de variable y=t 2a la expresión anterior, obtenemos f(y)=Pk∈Zσkϕ(2y−k) , y calculando la transformada de Fourier en el punto 2ξ, llegamos a la expresión b f(2ξ)=X k∈Z σke−ikξb ϕ(ξ)=h(ξ)b ϕ(ξ), siendo h∈L2(T)∩P(2π), por lo que siguiendo con la notación anterior definimos V1=©f:b f(2ξ)=h(ξ)b ϕ(ξ), h∈P(2π)∩L2(T)ª. Sea funa función de V0. Entonces cumple b f(ξ)=l(ξ)b ϕ(ξ), con l∈P(2π)∩ L2(T). Aplicando la igualdad (2.23), podemos redefinir el espacio V0como V0=©f:b f(2ξ)=l(2ξ)m0(ξ)b ϕ(ξ), l∈P(2π)∩L2(T))ª. Para buscar los elementos de W0basta tomar los elementos de V1que sean ortogonales a todos los elementos de V0. Esto es equivalente a buscar las funciones h∈P(2π)∩L2(T) tales que sean ortogonales a l(2ξ)m0(ξ), siendo l∈P(2π)∩ L2(T). En este momento nos encontramos en la misma situación que a la hora de buscar una caracterización de las funciones de W−1. Aplicando de nuevo el procedimiento anterior, y teniendo en cuenta que esta vez trabajamos con transformadas de Fourier evaluadas en 2ξ, podemos definir W1como: W0=nf:b f(2ξ)=eiξs(2ξ)m0(ξ+π)b ϕ(ξ), s∈P(2π)∩L2(T)o. Por inducción, podemos obtener la expresión de todos los conjuntos ©Wjªj∈Z Wj=nf:b f(2j+1ξ)=eiξs(2ξ)m0(ξ+π)b ϕ(ξ), s∈P(2π)∩L2(T)o. Basta escoger una función de W0. Por comodidad, tomaremos f∈W0tal que s≡1, de forma que la wavelet del MRA será aquella f∈W0tal que b f(2ξ)=eiξm0(ξ+π)b ϕ(ξ), y la denotaremos por ψ. El siguiente resultado nos muestra que (2.13) es una base ortonormal de L2(R). Teorema 2.5. Sea ϕuna función escala, y m0su filtro de paso bajo asociado. Sea ψ∈W0una función tal que b ψ(2ξ)=eiξm0(ξ+π)b ϕ(ξ). (2.29) Denotemos ψj,k(t)=2j/2ψ(2jt−k). Entonces para toda escala 2j,©ψj,kªk∈Zes una base ortonormal de Wj. Para todas las escalas, ©ψj,kªj,k∈Zes una base ortonormal de L2(R). Además, (2.29) es equivalente a ψ(t)=X k∈Z (−1)kαkϕ(2t−(k−1)). (2.30) 2.3. WAVELETS DISCRETAS 23 Demostración. Comencemos viendo que ©ψj,kªk∈Zestá contenido en Wj. Aplicando las propiedades de 1.13 a ψj,k0,k0un entero cualquiera, se tiene  ψj,k0(ξ)=2−j/2e−ik02−jξb ψ(2−jξ)⇒ ψj,k0(2j+1ξ)=2−j/2e−ik02ξb ψ(2ξ). Como sabemos que ψ∈W0, podemos usar (2.29) para deducir que  ψj,k0(2j+1ξ)=eiξs(2ξ)m0(ξ+π)b ϕ(ξ). siendo s(ξ)=2−j/2e−ik0ξ. De esta forma hemos verificado que ψj,k0∈Wj. Veamos ahora que es un sistema ortonormal. Dados n,k∈Z, calculemos el valor del producto escalar ¡ψj,n,ψj,k¢. Por el teorema 1.10, Z∞ −∞ ψj,n(t)ψj,k(t)dt =1 2πZ∞ −∞ b ψj,n(ξ)b ψj,k(ξ)dξ. Aplicando las propiedades de 1.13, y posteriormente el cambio de variable y= 2−jξ, 2−j 2πZ∞ −∞ e−i(k−n)2−jξ¯¯¯b ψ(2−jξ)¯¯¯2dξ=1 2πZ∞ −∞ e−i(k−n)y¯¯b ψ(y)¯¯2d y = 1 2πZ2π 0e−i(k−n)yX p∈Z¯¯b ψ(y+2πp)¯¯2d y. Centrémonos por el momento en conseguir Pp∈Z¯¯b ψ(y+2πp)¯¯2=1. Por (2.29), X p∈Z¯¯b ψ(y+2πp)¯¯2=X p∈Z¯¯m0¡y/2+πp+π¢¯¯2¯¯b ϕ¡y/2+πp¢¯¯2= X p∈Z¯¯m0¡y/2+2πp+π¢¯¯2¯¯b ϕ¡y/2+2πp¢¯¯2+ X p∈Z¯¯m0¡y/2+2πp+2π¢¯¯2¯¯b ϕ¡y/2+2πp+π¢¯¯2= ¯¯m0¡y/2+π¢¯¯2X p∈Z¯¯b ϕ¡y/2+2πp¢¯¯2+¯¯m0¡y/2¢¯¯2X p∈Z¯¯b ϕ¡y/2+2πp+π¢¯¯2= ¯¯m0¡y/2+π¢¯¯2+¯¯m0¡y/2¢¯¯2=1, gracias a la propiedad 1.12 y (2.24). Al final hemos llegado a ¡ψj,n,ψj,k¢=1 2πZ2π 0e−i(k−n)yd y =   1, si n=k, 0, si n6=k. Así terminamos con la prueba de que ©ψj,kªk∈Zes un sistema ortonormal de Wj para un jfijo. Falta comprobar que efectivamente es una base, es decir, que dada 24 CAPÍTULO 2. WAVELETS una función fde Wj, se puede escribir f=Pk∈Z¡f,ψj,k¢ψj,k=Pk∈Zfkψj,k. Si f∈Wj, b f(2j+1ξ)=eiξs(2ξ)m0(ξ+π)b ϕ(ξ), siendo suna función de P(2π)∩L2(T). Tomemos s(ξ)=2−j/2 Pk∈Zfke−ikξque es 2π-periódica, y además integrable en el sentido L2en T, ya que por la identidad de Parseval y la desigualdad de Bessel ksk2=X k∈Z¯¯fk¯¯2≤°°f°°2<+∞. Si volvemos a tener en cuenta (2.29), b f(2j+1ξ)=2−j/2 X k∈Z fke−ik2ξb ψ(2ξ)⇒b f(ξ)=2−j/2 X k∈Z fke−ik2−jξb ψ(2−jξ). Deshaciendo las transformaciones presentadas en la propiedad 1.13, b f(ξ)=X k∈Z fkb ψj,k(ξ). Por lo tanto f(t)=Pk∈Zfkψj,k(t) como queríamos. Entonces ©ψj,kªk∈Zes una base deWj. Anteriormente habíamos visto que L2(R)=L∞ k=−∞Wk. Al ser ©ψj,kªk∈Z una base ortonormal de Wjqueda probado que ©ψj,kªj,k∈Zes una base ortonormal de L2(R). Solo nos queda probar que (2.29) es equivalente a (2.30). Trabajando con m0 en su forma de sumatorio (2.23), podemos escribir m0(ξ+π)=X k∈Z (−1)kαke−ikξ. Insertando dicha igualdad en (2.30), obtenemos b ψ(2ξ)=eiξX k∈Z (−1)kαke−ikξb ϕ(ξ). Aplicando dos veces la transformada inversa de Fourier, obtenemos ψ(t)=1 2πZ∞ −∞ eiξX k∈Z (−1)kαke−ikξb ϕ(ξ)ei2ξtdξ= X k∈Z (−1)kαk 1 2πZ∞ −∞ b ϕ(ξ)ei(2t−(k−1))ξdξ=X k∈Z (−1)kαkϕ(2t−(k−1)). La primera parte de este teorema puede encontrarse en el teorema 7.3 de [Mall], mientras que la última equivalencia se ha tomado del teorema 5.1.1 de [Dau]. 2.3. WAVELETS DISCRETAS 25 Ejemplo 6. La función ψ(t)=sin(2π(t+1 2))−sin(π(t+1 2)) π(t+1 2), representada en la figura 2.7 se denomina wavelet de Shannon. Normalmente se define a partir de su transformada de Fourier b ψ(ξ)=eiξ/2χ[−2π,−π]∪[π,2π](ξ)por ser más sencilla de manejar, siendo posible obtenerla a partir de b ϕ(ξ)=χ[−π,π](ξ)y m0(ξ)= −ei2ξχ[π,2π](ξ)mediante la construcción presentada en esta sección. La función escala ϕ(t)=sin(πt) πtes la que nos permite construir todas las expresiones anteriores y dar explícitamente el MRA al que está asociada: Vj=span(ϕj,k(t)=2−j/2 sin¡π(2jt−k)¢ π(2jt−k),k∈Z). Ejemplo7. Las wavelets Battle-Lemarié están asociadas a un MRA donde los subespacios Vjson espacios de splines. Estas wavelets vienen definidas en su forma frecuencial: b ψ(ξ)=e−iξ/2 ξm+1sS2m+2(ξ/2+π) S2m+2(ξ)S2m+2(ξ/2),donde Sm(ξ)=X k∈Z 1 (ξ+2kπ)m. Este sumatorio aparece tanto en b ϕ(ξ)=ei²ξ/2 ξm+1pS2m+2(ξ) como en la función del filtro m0(ξ)=e−i²ξ/2 2msS2m+2(ξ) S2m+2(ξ/2). El corolario 5.4.2 de [Dau] nos indica que esta wavelet tiene localización exponencial, sin embargo al ser un polinomio de grado m, ψ∈Cm−1(R). La wavelet de Haar es un caso particular obtenida a partir de splines constantes, siendo la función escala ϕ(t)=χ[0,1](t). En la figura 2.8 se aprecia una wavelet formada a partir de splines lineales (m=1). 26 CAPÍTULO 2. WAVELETS −4−2 2 4 −1 −0,5 0,5 1 Figura 2.7: Wavelet Shannon −1 1 2 3 4 −1 −0,5 0,5 1 Figura 2.8: Wavelet Battle-Lemarié (m=1) 2.3.3. Algoritmos de análisis y reconstrucción Una vez que hemos desarrollado al teoría del análisis multiresolución sería interesante aplicar dichos conocimientos al tratamiento de señales. El procedimiento más repetido en la bibliografía es el algoritmo en cascada ([Mall], [Dau]) o algoritmo en pirámide ([Mey]). Para llevarlo a cabo necesitaremos utilizar los coeficientes del filtro de paso bajo. Recordemos cómo estaban definidos: αk=µ1 p2ϕ³· 2´,ϕ(· −k)¶. Asociado al análisis multiresolución aparece otro filtro g, llamado filtro espejo conjugado. Ya ha aparecido en la sección 2.3.1 en la forma g(ξ)=eiξm0(ξ+π), pero lo que vamos a utilizar realmente son los coeficientes de gen su forma de 2.3. WAVELETS DISCRETAS 27 sumatorio, calculados como βk=µ1 p2ψ³· 2´,ϕ(· −k)¶. Como curiosidad, si escribimos g(ξ)=Pk∈Zβkeikξ, el valor βkpuede calcularse en función de α−k−1. Antes de trabajar con la señal, veremos un par de propiedades que resultarán útiles más adelante. Recordemos que el subespacio Vjestaba contenido dentro de Vj+1, por lo que sus elementos pueden escribirse en función de ©ϕj+1,kªk∈Z como el sumatorio ϕj,k=Pn∈Z¡ϕj,k,ϕj+1,n¢ϕj+1,n. Aplicando un cambio de variable, se aprecia ¡ϕj,k,ϕj+1,n¢=Z∞ −∞ 2j/2ϕ³2jt−k´2(j+1)/2ϕ(2(j+1)t−n)dt = Z∞ −∞ 2−1/2ϕ(y/2)ϕ(y+2k−n)d y =¡2−1/2ϕ(·/2),ϕ¡y−(n−2k)¢¢=αn−2k. Puesto que Wjtambién está contenido en Vj+1, podemos repetir el razonamiento obteniendo ¡ψj,k,ϕj+1,n¢=¡2−1/2ψ(·/2),ϕ¡y−(n−2k)¢¢=βn−2k. Así hemos conseguido ϕj,k=X n∈Z αn−2kϕj+1,n,ψj,k=X n∈Z βn−2kϕj+1,n∀j,k∈Z. (2.31) Imaginemos que conocemos la información de una señal fhasta resolución 2j+1, es decir, PVj+1(f), pero no nos interesa tener tanto detalle o queremos comprimir la información. Una solución es quedarse solo con la información de resolución 2j(PVj(f)). Para ello no hará falta volver a calcular la proyección PVj(f)= Pk∈ZAj(k)ϕj,k, siendo Aj(k)=¡f,ϕj,k¢, sino que podremos utilizar los datos que ya tenemos aplicando (2.31) a: Aj(k)=Ãf,X n∈Z αn−2kϕj+1,n!=X n∈Z αn−2k¡f,ϕj+1,n¢=X n∈Z αn−2kAj+1(n). Normalmente no nos interesará tener por separado los detalles de tamaño 2−j, salvo que más tarde quisiéramos recuperar la información inicial PVj+1(f). Conociendo PWj(f)=Pk∈ZDj(k)ψj,k, siendo Dj(k)=¡f,ψj,k¢, podemos aplicar el mismo procedimiento que antes, Dj(k)=Ãf,X n∈Z βn−2kψj+1,n!=X n∈Z βn−2k¡f,ψj+1,n¢=X n∈Z βn−2kDj+1(n). Repitiendo el proceso podemos separar la información a distintas escalas de forma iterativa, como se aprecia en el esquema de la figura 2.9. 28 CAPÍTULO 2. WAVELETS Situémonos ahora en el caso contrario. Para recuperar la información inicial PVj+1(f), basta aplicar la ortogonalidad de VjyWj. Como conocemos sus bases, podemos escribir los elementos de ©ϕj+1,kªk∈Zcomo ϕj+1,k=X n∈Z¡ϕj+1,k,ϕj,n¢ϕj,n+X n∈Z¡ϕj+1,k,ψj,n¢ψj,n= X n∈Z αk−2nϕj,n+X n∈Z βk−2nψj,n. Si disponemos de los valores ¡Aj(k)¢k∈Zy¡Dj(k)¢k∈Z, podemos conseguir ¡Aj+1(k)¢k∈Z(que son los únicos que hacen falta para calcular la proyección sobre Vj+1) de la siguiente forma: Aj+1(k)=¡f,ϕj+1,k¢=Ãf,X n∈Z αk−2nϕj,n+X n∈Z βk−2nψj,n!= X n∈Z αk−2n¡f,ϕj,n¢+X n∈Z βk−2n¡f,ψj,n¢=X n∈Z αk−2nAj(n)+X n∈Z βk−2nDj(n). Todo este desarrollo corresponde con el teorema 7.7 de [Mall]. Gracias a estas expresiones resulta relativamente sencillo obtener algoritmos para extraer la información a distintas resoluciones, comprimir y reconstruir la "señal" inicial. Con "señal" nos referimos a los datos con los que inicializaríamos el programa, ya que es imposible trabajar directamente con la señal original. Vj+1VjVj−1 ... Aj+1(k)Aj(k) Dj(k) Aj−1(k) Dj−1(k) ... ... Figura 2.9: Algoritmo de análisis. Vj−1VjVj+1 ... Aj−1(k) Dj−1(k) Aj(k) Dj(k) Aj+1(k) Dj+1(k) ... Figura 2.10: Algoritmo de reconstrucción. Capítulo 3 Propiedades de las wavelets. Construcción de wavelets con soporte compacto. Es interesante saber para qué vamos a utilizar las wavelets antes de construirlas, pues en función de eso nos interesará que tengan unas u otras propiedades. En este capítulo presentaremos algunas de las más relevantes, como son la localización, los momentos nulos y el soporte de la wavelet, y como se relacionan entre ellas. Posteriormente pasaremos a construir wavelets que posean soporte compacto utilizando MRA, pudiendo decidir además cómo será su regularidad dependiendo de la función de partida escogida. 3.1. Localización polinomial Definición 3.1. Diremos que f está polinomialmente localizada si existe κα(t)= (1+|t|)−α,α>0de forma que κ−αf∈L∞(R). En este caso f posee localización de orden α. Intuitivamente se puede asociar que una función tenga localización de orden αa que esté acotada y en el infinito se comporte como |t|−α. Cuanto mayor sea el α, más rápido decrecerá, por lo que diremos que la función está más localizada. La localización de la wavelet y de la función a estudiar influyen en la localización de la transformada wavelet como se señala en el teorema 12.0.1 de [Hol]: Teorema 3.1. Se ψuna wavelet y f una función analítica cualquiera. Supongamos que están localizadas en el espacio frecuencial de forma que para ξ>0 ¯¯b ψ(ξ)¯¯≤ξα (1+ξ)α+β,¯¯b f(ξ)¯¯≤ξα0 (1+ξ)α0+β0, con α,β>0,α0>−1,β0>−1,α6=β0−1yα06=β−1. Entonces ¯¯W f (a,b)¯¯≤Cam´ ın{α,β0−1} (1+a)m´ ın{α,β0−1}+m´ ın{α0+1,β}. 29 30 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES Y CONSTRUCCIÓN Ejemplo 8. Si queremos analizar una señal, nos interesa una wavelet muy localizada, de forma que el Reproducing Kernel tome valores pequeños y así evitar almacenar información redundante. Pero la localización polinomial también puede influir en otras propiedades, como por ejemplo en la continuidad. Es el caso de la función escala y el filtro de paso bajo asociado. Supongamos sobre ϕtiene una localización polinomial de orden m. También quiere decir que existe una constante C>0 de forma que ¯¯ϕ(t)¯¯≤C(1 +|t|2)−m/2. A partir de esta desigualdad podemos obtener R|t|≥A¯¯ϕ(t)¯¯2dt ≤Cm (1+A2)my así acotar los coeficientes αkde m0en función de k: |αk|≤C0 m (1+|k|2)m/2 , y de esta forma m0∈Cm−2(T) siempre y cuando m>2. Los cálculos pueden encontrarse al final de la sección 2.2 de [Wei, Cap. 2]. Mejor que cualquier localización polinomial es la localización exponencial: Definición 3.2. Sea f una función cualquiera. Entonces f tiene localización exponencial si existe una constante γ>0tal que Z∞ −∞|f(t)|eγ|t|dt <+∞. La regularidad de la wavelet también es un detalle a tener en cuenta. No parece una buena idea intentar recuperar una señal utilizando, por ejemplo, la wavelet de Haar. Esta wavelet ni siquiera es continua, con lo que la reconstrucción poseería muchos puntos poco regulares. De esta forma nos interesa una wavelet muy regular, a ser posible C∞. Sabiendo esto lo ideal sería encontrar una wavelet que tuviera localización exponencial y fuese C∞(R) con todas las derivadas acotadas, pero resulta imposible tener todas las propiedades al mismo tiempo. Daubechies lo demostró en el Corolario 5.5.3 de [Dau]: Corolario 3.2. Supongamos que ©ψj,kªj,k∈Zes ortonormal. Entonces es imposible que ψtenga localización exponencial y ψ∈C∞(R)con todas las derivadas acotadas, a menos que ψ≡0. Ejemplo 9. Recordemos que la wavelet de Meyer tenía cierta libertad a la hora de construirla. Por lo tanto es posible elegir el m0sobre el intervalo £−2π 3,−π 3¤∪£π 3,2π 3¤ de forma que ψ∈C∞(R). No obstante estas wavelets tienen una localización polinomial. En el caso de Battle-Lemarié ocurre al revés: Las wavelets son Cm−1(R) pero tienen una localización exponencial. 3.2. Momentos nulos Otra propiedad que se estudia en [Wei] y [Mall], entre otros, es la cantidad de momentos nulos, aunque no tiene tiene tanto peso como la continuidad o el soporte. 3.2. MOMENTOS NULOS 31 Definición 3.3. Diremos que una función tiene un momento nulo de orden p si ZR tjψ(t)dt =0, 0 ≤j<p. (3.1) Nota. Una forma de conocer el orden del momento nulo de una wavelet es observar cuantas derivadas consecutivas de b ψse anulan en cero. Esto es consecuencia de la integración por partes ∂mb ψ ∂ξm(0) =R∞ −∞(−it)mψ(t)dt. Al igual que la localización de la wavelet y su regularidad influyen la una en la otra, ambas propiedades nos informan del orden mínimo del momento nulo, como se aprecia en el Teorema 3.4 de [Wei, Cap. 2]. Teorema 3.3. Sea r ∈N,ψuna función en Cr(R)tal que ¯¯ψ(t)¯¯≤C (1+|t|)r+1+², para ²>0, y ψm)∈L∞(R)para 1≤m≤r. Si ©ψj,kªj,k∈Zes un sistema ortonormal de L2(R), entonces ZR tmψ(t)dt =0, 0 ≤m≤r. Demostración. Para demostrar este teorema aplicaremos inducción. Empezaremos con r=0. Sea a=2−j0c0,j0,c0∈Ztal que ψ(a)6= 0. Dicho número existe por la continuidad de ψykψk=1. Si tomamos j>m´ ax©j0,0ª,c=2j−j0c0, por la ortogonalidad de ©ψj,kªj,k∈Z, 0=Z∞ −∞ ψ(t)ψ(2jt−c)dt =Z∞ −∞ ψ(t)ψ(2j(t−a))dt =Z∞ −∞ ψ(2−jy+a)ψ(y)d y. Al hacer tender j→ ∞, podemos sacar ψ(a) como una constante obteniendo R∞ −∞ψ(t)dt =0. Ahora lo probaremos para un rcualquiera, suponiendo que R∞ −∞tkψ(t)dt =0, 0 ≤k≤r−1. Definimos ϑ1(t)=Zt −∞ ψ(y)d y,ϑk(t)=Zt −∞ ϑk−1(y)d y, 2 ≤k≤r. Integrando por partes, Z∞ −∞ trψ(t)dt =trϑ1(t)¤∞ −∞−r tr−1ϑ2(t)¤∞ −∞+···+(−1)rr!Z∞ −∞ ϑr(t)dt. Por la localización de ψ,|ϑk+1(t)|≤C(1+|t|)−(r−k+²), así que ¯¯¯tr−k¯¯¯|ϑk+1(t)|≤C (1+|t|)²→0 si t→±∞, 0 ≤k≤r−1, 38 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES Y CONSTRUCCIÓN •Vamos a comprobar que Tj∈ZVj={0}. Supongamos que existe una función f∈Tj∈ZVj,f6=0, por lo que podremos suponer kfk=1. Definimos fj(t)=2j/2 f(2jt). Puesto que fpertenece a todos los subespacios Vj,fj∈V0,j∈Zy de esta forma podemos escribirla como fj(t)=X k∈Z σj,kϕ(t−k), σj,k=¡fj,ϕ(·−k)¢. Aplicando la identidad de Parseval primero y un cambio de variable después, obtenemos: X k∈Z¯¯σj,k¯¯2=kfjk=kfk=1, j∈Z. Por la propiedad 1.13, b fj(ξ)=2−j/2 b f(2−jξ), con lo que 2−j/2 b f(2−jξ)=X k∈Z σj,ke−ikξb ϕ(ξ)=mj(ξ)b ϕ(ξ). Sea A∈Z: Z2π(A+1) 2πA¯¯b f(ξ)¯¯dξ=2j/2 Z2π(A+1) 2πA¯¯¯mj(2jξ)¯¯¯¯¯¯b ϕ(2jξ)¯¯¯dξ. Por la desigualdad de Schwarz, y tomando 2jξ=µ, ≤2j/2 µZ2π(A+1) 2πA¯¯¯mj(2jξ)¯¯¯2dξ¶1 2µZ2π(A+1) 2πA¯¯¯b ϕ(2jξ)¯¯¯2dξ¶1 2 =2−j/2 ÃZ2j+1π(A+1) 2j+1πA¯¯mj(µ)¯¯2dµ!1 2ÃZ2j+1π(A+1) 2j+1πA¯¯b ϕ(µ)¯¯2dµ!1 2 =2−j/2 Ã2j−1 X m=0Z2j+1πA+2π(m+1) 2j+1πA+2πm¯¯mj(µ)¯¯2dµ!1 2ÃZ2j+1π(A+1) 2j+1πA¯¯b ϕ(µ)¯¯2dµ!1 2 . Por la 2π−periodicidad de mj, y R2π 0¯¯mj(µ)¯¯2dµ=2πPk∈Z¯¯βj,k¯¯2=2π, =2−j/2 Ã2j−1 X m=0 2π!1 2ÃZ2j+1π(A+1) 2j+1πA¯¯b ϕ(µ)¯¯2dµ!1 2 Denotamos por I=R2j+1π(A+1) 2j+1πA¯¯b ϕ(µ)¯¯2dµ. Ahora estudiaremos dos casos según el valor de A: Si A≥1, I≤Z∞ 2j+1πA¯¯b ϕ(µ)¯¯2dµ−→ j→∞0, 3.4. CONSTRUCCIÓN DE WAVELETS DE SOPORTE COMPACTO 39 si A=0, I=Z2j+1π 0¯¯b ϕ(µ)¯¯2dµ−→ j→−∞0, si A=−1, I≤Z0 −2j+1π¯¯b ϕ(µ)¯¯2dµ−→ j→−∞0, si A≤−2, I≤Z2j+1π(A+1) −∞ ¯¯b ϕ(µ)¯¯2dµ−→ j→∞0. De esta manera hemos comprobado que b f≡0⇒f≡0⇒se verifica (2.17). •Ya solo nos queda demostrar (2.18). Por como está construida, ϕes continua por serlo m0. Al exigir m0(0) =1, se deduce que b ϕ(0) =1. Entonces nos encontramos en condiciones de aplicar el Teorema 1.7 de [Wei, Cap. 2]: Teorema 3.7. Sea ©Vjªj∈Zuna secuencia de subespacios cerrados de L2(R) que satisfacen (2.15),(2.16) y(2.19). Supongamos que la función ϕde (2.19) es tal que |b ϕ|es continua en 0. Si b ϕ(0) 6=0, entonces se verifica (2.18). Demostración. Denotemos por U=Sj∈ZVj. Sabemos que b ϕ(0) 6=0, y además ¯¯b ϕ¯¯es continua en un entorno de 0, es decir, existe µ>0 tal que ¯¯b ϕ(ξ)¯¯6= 0 en [−µ,µ]. Supongamos que existe g∈U⊥, entonces ∀f∈U, (f,g)=0. Al ser los subespacios Vjinvariantes por traslación, Utambién lo es. Aplicando el teorema 1.10 0=Z∞ −∞ f(t+x)g(t)dt =Z∞ −∞ eixξb f(ξ)b g(ξ)dξ∀f∈U,x∈R. De esta forma sabemos que b f(ξ)b g(ξ)=0 casi siempre. Si tomamos en particular f(t)=ϕ(2jt), obtenemos b ϕ(2−jξ)b g(ξ)=0 casi siempre. Como sabemos que b ϕ(2−jξ)6=0 en [−2jµ,2jµ], entonces b g(ξ) se anula en dicho intervalo. Haciendo tender jhacia ∞se obtiene b g(ξ)=0 casi siempre, por lo tanto g≡0. De aquí se deduce que Sj∈ZVj=L2(R) . Habiendo conseguido construir wavelets de soporte compacto mediante MRA, podríamos preguntarnos si existen otras formas de conseguir wavelets con esta característica. Si ©ψj,kªj,k∈Nes ortonormal la respuesta es no, como se aprecia en el corolario 3.15 de [Wei, Cap. 7]: Corolario 3.8. Cualquier wavelet de soporte compacto, tal que ©ψj,kªj,k∈Nsea ortonormal, está generada por un MRA. De esta forma sabríamos que una wavelet está generada por un MRA sin tener que volver a construir la función escala ni los subespacios ©Vjªj∈Z, lo cual resulta bastante cómodo. De nuevo [Wei, Cap. 7], en su corolario 3.17 va un paso más allá y nos presenta otra forma de saber si una wavelet está construida a partir de un MRA. Corolario 3.9. Si b ψtiene soporte compacto, y ¯¯b ψ¯¯es continua, entonces la wavelet ψestá generada por un MRA. 40 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES Y CONSTRUCCIÓN 3.4.1. Regularidad de la wavelet en función de m0 Tras comprobar que, efectivamente, a partir de m0se genera un MRA, terminaremos el capítulo viendo cómo influye la elección de de m0en el número de derivadas continuas de ϕ. Al estar ψconstruida a partir de ϕ, obtendremos también la regularidad de la wavelet. Al comienzo del capítulo 7 de [Dau], el autor comenta la existencia de dos métodos para calcular la regularidad de ψ. Nosotros utilizaremos el método más sencillo, ya que solo nos interesa conocer la regularidad mínima global. La otra opción queda para desarrollo de teorías que necesitan información más precisa acerca de la continuidad de las derivadas. Recordemos que m0es un polinomio trigonométrico. Aplicando el corolario 5.5.4 de [Dau] podemos escribir m0(ξ)=³1+e−iξ 2´NL(ξ). Corolario3.10. Sea ©ψj,kªj,k∈Zuna base ortonormal asociada a un MRA. Si ¯¯ϕ(t)¯¯, ¯¯ψ(t)¯¯≤C(1+|t|)−(m+1+²),ψ∈Cmcon las derivada de ψacotadas hasta orden m. Entonces m0factoriza como m0(ξ)=µ1+e−iξ 2¶m+1 L(ξ), (3.5) siendo L(ξ)∈P(2π)∩Cm(R). La demostración comienza aplicando el teorema 3.3 para calcular los ceros de b ψen ξ=0, así conocer que m0posee m+1 ceros en ξ=π. La acotación de la función escala y la wavelet nos permite calcular la continuidad de su transformadas. Ambas pertenecen a Cm, por lo tanto m0también. De esta forma se deduce m0(ξ)=³1+e−iξ 2´m+1L(ξ), siendo L∈Cm. Para simplificar la notación, definiremos M0(ξ)=|m0(ξ)|2,L(ξ)=|L(ξ)|2. Entonces M0(ξ)=µ1+eiξ 2¶Nµ1+e−iξ 2¶N |L(ξ)|2=µeiξ+e−iξ+2 4¶N L(ξ)= =µ1+cos(ξ) 2¶N L(ξ)=¡cos2(ξ/2)¢NL(ξ), donde Ltambién es un polinomio en cos(ξ). Gracias al cambio de variable sin2(ξ/2)= 1−cos(ξ) 2, es posible escribir Lcomo polinomio en sin2(ξ/2), por lo que existe un polinomio Qtal que M0(ξ)=¡cos2(ξ/2)¢NQ¡sin2(ξ/2)¢. Recordemos que m0verificaba la propiedad (2.24), por lo tanto 1=M0(ξ)+M0(ξ+π)= 3.4. CONSTRUCCIÓN DE WAVELETS DE SOPORTE COMPACTO 41 ¡cos2(ξ/2)¢NQ¡sin2(ξ/2)¢+¡cos2(ξ/2+π/2)¢NQ¡sin2(ξ/2+π/2)¢. Si definimos x=cos2(ξ/2)y 1 −x=sin2(ξ/2), como cos(t+π/2)= −sin(t) y sin(t+π/2)=cos(t), obtenemos xNQ(1−x)+(1−x)NQ(x)=1. (3.6) Como esta igualdad se verifica en el intervalo [0,1], también lo hace en todo R. Por el teorema de Bezout, existen dos polinomios q1,q2de grado N−1 de forma que xNq1(x)+(1−x)Nq2(x)=1. Si sustituimos xpor 1−z, obtenemos (1−z)Nq1(1−z)+zNq2(1−z)=1. Uniendo estas dos igualdades podemos deducir que q1(1 −x)=q2(x). Recordemos que el polinomio Qtambién era solución de la ecuación. Si tomamos q2(x)=Q(x), entonces Q(1−x)=q2(1−x)=q1(x), y sustituyendo en (3.6), xNq2(1−x)+(1−x)Nq2(x)=1. De esta forma podemos escribir q2(x) en función de q2(1−x): q2(x)=1−xNq2(1−x) (1−x)N= N−1 X k=0ÃN−1+k k!xk+O(xN). Puesto que q2es de grado <N, su expresión explícita es q2(x)=PN−1 k=0¡N−1+k k¢xk. De esta forma solo existe un polinomio Qde grado <Nque será con el que trabajaremos más adelante. Nota. El polinomio Q de grado mínimo corresponde a la construcción de la wavelet de Daubechies. Si escogiéramos Q entre los infinitos polinomios de grado superior que también verifican (3.6) obtendríamos infinitas wavelets distintas, pero todas con un soporte más grande. A parte de la elección de Q, las wavelets de Daubechies se caracterizan por tener el soporte más pequeño en función de los momentos nulos, como aparece en la proposición 7.4. de [Mall]. Este resultado afirma que las wavelets con momento nulo de orden p poseen un soporte ≥2p−1. En particular el soporte de las wavelets de Daubechies es [−p+1,p], y el de su función escala [0,2p−1], como se puede apreciar en la figura 3.3. Si la wavelet de Daubechies posee un momento nulo de orden 1, nos encontramos ante la wavelet de Haar. Al inicio de la sección decidimos que L(ξ) fuera equivalente a Q¡sin2(ξ/2)¢. Ahora que conocemos la expresión de Q, podemos decir L(ξ)= N−1 X k=0ÃN−1+k k!¡sin2(ξ/2)¢k. (3.7) De dicha igualdad se puede deducir que L(ξ) es ≥0∀ξ∈R. Si además escribimos sin2(ξ/2)en función de exponenciales complejas, L(ξ)= N−1 X k=0ÃN−1+k k!·µ1−eiξ 2¶µ1−e−iξ 2¶¸k = N−1 X k=0ÃN−1+k k!"¯¯¯¯ 1−eiξ 2¯¯¯¯ 2#k , 42 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES Y CONSTRUCCIÓN Figura 3.3: Función escala y wavelet Daubechies con momento nulo de orden 2. siendo fácil apreciar que Les un polinomio trigonométrico de grado N−1. Nos queda verificar que existe otro polinomio trigonométrico Lde forma que el cuadrado de su módulo coincida con L. Para ello nos apoyaremos en el Lema 3.16 de [Wei, Cap. 2]. Lema3.11. Sea L(ξ)=PM k=−Mγkeikξun polinomio trigonométrico tal que L(ξ)≥0 en R. Entonces existe un polinomio trigonométrico L(ξ)=PM k=0σkeikξtal que |L(ξ)|2=L(ξ). Puesto que los coeficientes de Lson reales, es posible elegir los de Ltambién en R. Así hemos conseguido ver que la factorización de m0(3.5) puede escribirse como producto de dos polinomios trigonométricos. Ya dijimos que la regularidad de ψvenía dada en función de ϕ, y esta a su vez depende de m0. Utilizando (3.5) se aprecia como en particular depende de L: b ϕ(ξ)=∞ Y j=1 m0(2−jξ)=∞ Y j=1Ã1+e−i2−jξ 2!N L(2−jξ)=Ã∞ Y j=1 1+e−i2−jξ 2!N∞ Y j=1 L(2−jξ). Aplicando inducción, podemos escribir los productorios finitos como series geométricas de las cuales conocemos su valor exacto n Y j=1 1+e−i2−jξ 2=1 2n 2n−1 X k=0³e−i2−nξ´k=1 2n 1−e−iξ 1−e−i2−nξ Para calcular el productorio infinito basta hacer tender nhacia infinito en la expresión anterior. Si n→ ∞, 2−nξ→0 para ξfijo. En esta situación podremos sustituir la exponencial por su desarrollo de Taylor hasta orden 1, aproximando e−i2−nξpor 1−i2−nξ. Entonces ∞ Y j=1 1+e−i2−jξ 2=l´ ım n→∞ n Y j=1 1+e−i2−jξ 2=l´ ım n→∞ 1 2n 1−e−iξ 1−e−i2−nξ=l´ ım n→∞ 1−e−iξ 2ni2−nξ=1−e−iξ iξ, y por tanto, b ϕ(ξ)=µ1−e−iξ iξ¶N∞ Y j=1 L(2−jξ). 3.4. CONSTRUCCIÓN DE WAVELETS DE SOPORTE COMPACTO 43 A continuación presentamos el lema 7.1.2. extraído de [Dau] que nos indicará la regularidad de ϕa partir de L. Lema 3.12. Sea Sn=supξ¯¯¯Qn j=1L(2−jξ)¯¯¯,κj=logSj jlog2 yκ=´ ınfj∈Zκj. Si κ<N−α−1, entonces Cα. Como κ<N−α−1, existen l∈N,²>0 tales que sup ξ¯¯¯¯¯ l Y j=1 L(2−jξ)¯¯¯¯¯<2l(N−1−α−²). Si |ξ|≤1, ¯¯¯¯¯ ∞ Y j=1 L(2−jξ)¯¯¯¯¯≤eC(1+|ξ|)(N−α−1−²). En el caso |ξ|>1, existe J∈Ntal que 2l(J−1) ≤|ξ|≤2l J , por lo que ¯¯¯¯¯ ∞ Y j=1 L(2−jξ)¯¯¯¯¯≤eC2l(N−α−1−²)(1+|ξ|)(N−α−1−²). Entonces existen K,K0>0 de forma que ¯¯b ϕ(ξ)¯¯≤K|ξ|−N(1+|ξ|)(N−α−1−²)≤K0(1+|ξ|)(−α−1−²). De esta desigualdad se deduce que ϕ∈Cα, y al ser la wavelet una suma finita de trasladadas de la función escala, ψ∈Cα. Basándonos en (3.7), podemos decir que supξ|L(ξ)|se alcanza cuando sin2(ξ/2)=1, por lo que sup ξ|L(ξ)|="N−1 X k=0ÃN−1+k k!#1 2 <"2N−1N−1 X k=0ÃN−1+k k!2−k#1 2 =·2N−1Qµ1 2¶¸1 2. Basta sustituir x=1 2en (3.6) para obtenerQ(1/2) =2N−1, y así supξ|L(ξ)|<2N−1. De esta forma sabemos que ϕes continua. Para ajustar más el resultado, calcularemos S2=sup ξ|L(ξ/2)L(ξ)|=sup ξ|L(ξ)L(2ξ)|. Sea x=sin2(ξ/2), entonces sin2(ξ)=1−cos2(ξ)=4µ1−cos(ξ) 2¶µ1+cos(ξ) 2¶= 4sin2(ξ/2)cos2(ξ/2)=4sin2(ξ/2)£1−sin2(ξ/2)¤=4x(1−x). Por lo tanto sup ξ|L(ξ)L(2ξ)|=sup x∈[0,1]|Q(x)Q(4x(1−x))|1 2. Para acotar dicha expresión utilizaremos el siguiente resultado: 44 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES Y CONSTRUCCIÓN Corolario 3.13. Sea Q(x)=PN−1 k=0¡N−1+k k¢xk. Entonces: 0≤x≤y,x−N+1Q(x)≥y−N+1Q(y), (3.8) 0≤x≤1, Q(x)≤2N−1m´ ax{1,2x}N−1. (3.9) Estudiaremos cuatro casos según los valores de xy 4x(1 −x), sin embargo en todos los casos utilizaremos la desigualdad (3.9) para acotar. Para simplificar denotaremos Z=|Q(x)Q(4x(1−x))| x≤1 2, 4x(1−x)≤1 2=⇒ Z≤¯¯Q¡1 2¢Q¡1 2¢¯¯=22(N−1), x≤1 2, 4x(1−x)>1 2=⇒ Z≤2N−12N−1(2·4x(1−x))N−1≤23(N−1), x>1 2, 4x(1−x)≤1 2=⇒ Z≤2(N−1)(2x)N−12N−1≤23(N−1), x>1 2, 4x(1−x)>1 2=⇒ Z≤2(N−1)(2x)N−12N−1(2·4x(1−x))N−1≤ ≤26(N−1) ¡4 27¢N−1=28(N−1)3−3(N−1). De esta forma sabemos supξ|L(ξ)L(2ξ)|≤24(N−1)3−3 2(N−1). Aplicando la notación de 3.12, κ≤κ2, donde κ2= log³24(N−1)3−3 2(N−1)´ 2log(2) =(N−1)4log(2)−3 2log(3) 2log(2) = (N−1)µ2−3log(3) 4log(2) ¶≤108(N−1) Así el αque aparece en 3.12 es 008(N−1), de forma que la regularidad de ψ queda en función de N. En particular ψposee b008(N−1)c−1 derivadas continuamente diferenciables y la derivadab008(N−1)ces continua. Con esta información ya somos capaces de construir m0según la regularidad que queramos imponer aψ. Hasta aquí el razonamiento llevado a cabo por Daubechies para presentar la regularidad de las wavelets. Unos años más tarde Weiss llegó a los mismos resultados siguiendo un orden distinto. Para empezar, define ¯¯¯mk) 0(ξ)¯¯¯2=1−ckZξ 0(sin(t))2k+1dt,c−1 k=Zπ 0(sin(t))2k+1dt para después comprobar que verifica (3.3), (3.4). 3.4. CONSTRUCCIÓN DE WAVELETS DE SOPORTE COMPACTO 45 Ejemplo 14. Si para la elección de [Wei] de ¯¯¯mk) 0¯¯¯2tomamos k =0, nos encontramos con ¯¯¯m0) 0(ξ)¯¯¯2=1−cos(ξ)−1 2=1+cos(ξ) 2=µ1+eiξ 2¶µ1+e−iξ 2¶=|m0(ξ)|2, donde m0(ξ)era el filtro de paso baso asociado a la wavelet de Haar (ejemplo 4). Al estar en función del seno, propone escribirlo es su forma trigonométrica obteniendo un polinomio trigonométrico de orden 2k+1. Gracias al lema (3.11), prueba que mk) 0es a su vez otro polinomio trigonométrico. Después vuelve a la expresión inicial ¯¯¯mk) 0¯¯¯2. Como es una función par, puede escribirse en función del coseno. Derivando, buscando el número de ceros en −1 e integrando de nuevo obtiene ¯¯¯mk) 0(ξ)¯¯¯2=(1+cos(ξ))gk)(ξ). Por (3.11), llegamos a escribir mk) 0(ξ)=³1+eiξ 2´k+1mk)(ξ), siendo mk)otro polinomio trigonométrico, conclusión a la que nosotros también habíamos llegado. Por el camino, Daubechies consiguió una expresión más precisa de gk), al contrario que Weiss, quién demostró primero la continuidad de la wavelet y después presentó en el teorema 3.27 [Wei, Cap. 2] la descomposición (3.7). 46 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES Y CONSTRUCCIÓN Bibliografía [Cal] A. P. CALDERÓN,Intermediate spaces and interpolation, the complex method. Sfud. Math.,(1964). [Dau] I. DAUBECHIES,Ten lectures on wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, (1992). [Gab] D. 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