Problemas de homogeneización en la Ingenieria. Una experimentación numérica

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 7, 4, 455-472( 1991) PROBLEMAS DE HOMOGENEIZACION EN LA INGENIERIA. UNA EXPERIMENTACION NUMERICA MIGUEL LOBO* MARIA EUGENIA PEREZ* Y AVELINO SAMARTIN** *Departamento de Matemáticas, Universidad de Cantabria. **Departamento de Mecánica de los Medios Continuos y Teora'a de Estructuras, Universidad Politécnica de Madrid. RESUMEN Se expone brevemente el problema matemático de homogeneización, en sus facetas: homogeneización en el dominio y en el contorno. Con respecto a esta última, se introducen los conceptos de talla crítica y problema límite. Los resultados obtenidos se aplican a un caso particular representado por un cilindro con condiciones de borde periódicas. Se comprueba la validez del desarrollo teórico mediante una experimentación numérica utilizando elementos finitos 3-D observándose la velocidad de convergencia que se obtiene en relación con el caso límite. Finalmente se comenta la posibilidad de utilizar la técnica de homogeneización para obtener unos criterios hacia un diseño eficiente y óptimo de los resultados de las barras corrugadas en el hormigón armado. SUMMARY The two main problems of homogeneization -the homogeneization of the boundary and the homogeneization of the domainare briefly presented. The concept of the critica1 size and the limit problem are introduced for the homogeneization of the boundary. The obtained results are applied to a particular example represented by a cylindrical body with periodical conditions over the lateral boundary. The validity of the theoretical analysis is checked by a numerical test using 3-D finite element model and the convergence speed towards the limit problem is observed. Finally some hints about the use of the obtained results in the design of the corrugation of the reinforcement bars of the concrete structures are given. Recibido: Julio 1990 OUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN INTRODUCCION Una clase de estructuras que aparece frecuentemente en la Ingeniería corresponde a las constituidas por un elemento que se repite en una o varias direcciones. Consideraciones de eficiencia constructiva, y a veces de prefabricación, impulsan este tipo de construcciones. Ejemplos conocidos corresponden a forjados, denominados entrepisos sin vigas, que representan e'structuras emparrillado plano con una celda que se repite según dos direcciones ortogonales (Figura 1). Otros casos son las celosías regulares, con un elemento unidad conteniendo simetrías que le permiten su repetición en varias direcciones (Figura 2). UNIDAD I i DETALLE-A UNIDAD 7 / DETALLE-A Figura 1. Emparrillado plano. Figura 2. Celosía plana. El cálculo de estas estructuras puede simplificarse de un modo considerable, si se supone que el número de elementos unitarios existente es suficientemente elevado, para considerar que toda la estructura puede ser sustituida por otra con un material continuo, que presenta unas características determinadas por las propiedades elásticas y geométricas de la celda unitaria. La determinación de esta estructura con material continuo o estructura homogeneizada puede efectuarse mediante procedimientos empíricos, como es el caso del método de la losa ortótropa equivalente a un tablero de puente de vigas. Es posible, sin embargo, utilizar un procedimiento general de obtención de la estructura límite homogeneizada y que se describe en la siguiente sección. PROBLEMAS DE HOMOGENEIZACION EN LA INGENIERIA Finalmente existen situaciones, en las que la periodicidad espacial no ocurre en el interior de la estructura sino en sus condiciones de contorno. La situación límite u homogeneizada consiste en la estructura bajo unas condiciones de frontera uniformes. Un ejemplo, que se desarrollará con detalle aquí, corresponde a un sólido elástico cilíndrico con condiciones de contorno, a lo largo de su superficie lateral, alternativamente tipo Dirichlet, es decir, con movimientos especificados y de tipo Neumann con tensiones conocidas. Este caso corresponde a una simulación tentativa del comportamiento de una barra corrugada en el interior de una masa de hormigón. HOMOGENEIZACION. CONCEPTOS FUNDAMENTALES La hornogeneización es un proceso de inspiración física que consiste en substituir un material fuertemente heterogéneo por uno homogéneo equivalente. Este proceso es importante cuando se intenta, por ejemplo, estudiar deformaciones o temperaturas en cuerpos con heterogeneidades debidas a la presencia.de impurezas distribuidas de una cierta manera en los mismos, fluidos que atraviesan medios porosos, paredes perforadas, etc.. Desde un punto de vista numérico es necesario realizar algún tipo de promedio para el estudio de estos problemas, pues sino, los métodos numéricos usuales pueden resultar muy coctosos dada la compleja estructura geométrica del problema. De manera general, las técnicas de homogeneización son todas aquellas que permiten substituir un medio heterogéneo por uno homogéneo equivalente. Aunque los procesos de hornogeneización han sido estudiados por numerosos autores, sin embargo, la definición matemática de medio homogéneo equivalente no ha tenido un significado matemático preciso hasta fecha relativamente reciente. Son, quizás, los trabajos de Sanchez-Palencia y Babuska hacia 1970 los que han contribuido a dar una formulación clara de un problema de hornogeneización bajo la forma de un problema dependiente de un pequeño parámetro. A grandes rasgos, se puede decir que si se supone u" la solución de un problema PE planteado en una estructura periódica, cuya amplitud depende de un pequeño parámetro E (cf. Figura 3), parece lógico pensar que si E es muy pequeño u" se va a poder aproximar por una función u0 (solución del problema homogeneizado) independiente de E. Así si u" + U'(& + O) en alguna topología, se denominará problema límite o problema homogeneizado al problema Po del cual u0 es solución. Así pues, los problemas que aparecen al intentar resolver un problema P" de homogeneización son dos fundamentalmente: a) ~eterminar el posible problema homogeneizado Po. b) Demostrar la convergencia de las soluciones u" a u0 cuando E -t O en alguna topología. En términos generales, los distintos métodos utilizados en hornogeneización se suelen diferenciar en dos grandes grupos: las técnicas basadas en desarrollos asintóticos, y las técnicas matemáticas de convergencia de operadores. En cuanto a las primeras, tienen la ventaja de ser muy intuitivas y de proporcionar, si es posible, el problema homogeneizado, pero presentan el inconveniente de utilizar razonamientos de tipo M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN Figura 3. Estructura periódica. heurística y que, por tanto, hay que justificar a posteriori. En cuanto a las segundas, aunque son rigurosas y permiten demostrar la convergencia de las soluciones tienen la desventaja de que, en general, necesitan de resultados de las primeras. De alguna manera ambos tipos de técnicas se complementan. En cuanto a autores que han trabajado y contribuido en los últimos años a la introducción de técnicas para la resolución de problemas de homogeneización, se pueden citar entre otros a Benessousan, De Giorgi, Lions, Murat, Sanchez-Falencia, Spagnolo, Tartar, etc. de quienes algunas publicaciones se citan en las Referencias. En todo proceso de homogeneización se intenta primeramente obtener informaciones macroscópicas en función de informaciones microscópicas. Esta información microscópica, se puede expresar mediante un cambio de variables en un entorno de cada heterogeneidad ("variables locales") que amplían considerablemente el entorno de la heterogeneidad que se está tratando. De esta manera ésta se puede estudiar por separado del resto de las heterogeneidades, dando lugar al denominado problema local, el cual conduce, en ocasiones, a interesantes problemas de la teoría del potencial. Después, se intenta acoplar convenientemente mediante algún "principio de matching", con el resto de las heterogeneidades, para obtener el problema homogeneizado. Aquí se estudia un problema de homogeneización de fronteras; en este caso las heterogeneidades no aparecen sobre el dominio sino sobre la frontera. A este tipo de problemas pertenecen los problemas sobre fluidos que atraviesan paredes perforadas (cf. Sanchez-PalencialO, Sanchez-Palencia & Sanchez-Hubertg, por ejemplo); el estudio de las deformaciones en un cuerpo elástico homogéneo una de cuyas paredes presentan rugosidades y se encuentra adherido por estas zonas a una pared lisa (cf. Lobo & Pérez8); el estudio de la temperatura en una columna que tiene pequeñas zonas heladas PROBLEMAS DE HOMOGENEIZACION EN LA INGENIERIA toroidales a su alrededor (cf. Brillard & Pérez2). En estos pfoblemas se estudia el tamaño que deben tener las heterogeneidades sobre la frontera, "talla crítica", de modo que el material se comporte de manera distinta a los casos extremos: todo una heterogeneidad o sin heterogeneidades. En este artículo se muestran unos ejemplos numéricos de aproximación de un problema de homogeneización de fronteras a través del problema homogeneizado. Aunque un estudio detallado de la obtención del problema límite a través de las técnicas del análisis asintótico formal, pueden encontrarse en la referencia [3], aquí se presenta un breve resumen de este estudio. Otros ejemplos de homogeneización, cuando el tamaño de las heterogeneidades es del mismo orden que la distancia entre eiias, pueden verse, por ejemplo, en las referencias [1] y [5]. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. DESCRIPCION DEL PROBLEMA HOMOGENEIZADO Planteamiento del problema PE. En el marco de la elasticidad lineal, se considera un cuerpo isótropo, homogéneo, de forma cilíndrica, R, sometido a la acción de una fuerza f, f E (L2(R))3, sobre cuya superficie lateral C se suponen existen condiciones de tipo Neumann a,nj = O, salvo en determinados anillos A;, de anchura E, separados entre sí distancias q = q(~) (cf. Figura 4), k = 1,2,3 . . . N, con N = N(&) = O(l/q). Se estudia el problema límite para las distintas dependencias E y q; E < q; q(~) + 0. l Figura 4. Problemas de homogeneización de fronteras. M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN Las ecuaciones que rigen este problema son: I afjnj = O sobre T2U(C - UA;) k u" = O sobre Ti U U A; k 0' = aGkhekh(uE), ekh(ur) = ' 23 z(a,, + &) 1 siendo I U" = (U:, U;, U;) vector desplazamiento ( a;jkh las constantes de la elasticidad. Se observa que el problema planteado admite una formulación variacional equivalente a encontrar u" en el espacio VE tal que: siendo u" es la solución débil del problema P". Dada la estructura geométrica del problema es evidente que sobre C tiene lugar un fenómeno de capa límite. Se considera en primer lugar, que u" presenta sobre cada anillo A;, un fenómeno de capa límite, k = 1,2, . . . ,0(1/q). Se postula que u" admite un desarrollo exterior, en el interior de 52 del tipo: uE(xl, ~2,~3) = u0(x1,x2, ~3) -k &ul(xl, ~2~x3) + . . . M donde u0 será solución del problema Po: a o zaij + fl = O en 52, i=1,2,3 a$nj = O sobre r2, U' = O sobre TI + condiciones de contorno sobre C o?. t3 = a,. tjkh e kh(uO) Con el fin de determinar la condición que u0 verifica sobre C se procede a utilizar las técnicas del análisis asintónico formal (véase, por ejemplo, las referencias [3], [6], 171. PROBLEMAS DE HOMOGENEIZACION EN LA INGENIERIA Fenómeno de capa límite sobre cada Ak, k fijo Dada la estructura geométrica del problema parece lógico pensar en elegir coordenadas cilíndricas T, 0, z, y unas coordenadas locales adecuadas en un entorno de Ak: Es por tanto razonable considerar el problema de la elasticidad escrito en coordenadas cilíndricas y el vector desplazamiento se expresa ahora en las nuevas componentes u" = (u~,u~,u~). De esta manera se supone un desarrollo local para u" en un entorno de Ak del tipo: Razonamientos de tipo standard en análisis asintótico formal conducen a encontrar v0 como solución de un problema en un dominio no acotado, para el que hay que introducir una condición adicional en el infinito. En este problema, que no es de elasticidad lineal, se puede obtener su solución a partir de las soluciones de tres problemas locales bidimensionales (en coordenadas Rl, Zl), que sí corresponden a la elasticidad lineal y que se plantean en el semiplano (Rl < 0). l La condición en el infinito, a la que se ha hecho referencia se calcula al imponer el acoplamiento ("matching") asintótico entre los desarrollos exterior y local de u" en un entorno de A". Se obtiene así la siguiente expresión: r-1 2-2 aO(&)vO(-, O, ->E)] = ~~(l,o,~~) "'O E E Consideraciones sobre la teoría del potencial, en elasticidad bidimensional, en el semiplano (véase el capítulo 19 de [ll]), permiten obtener explícitamente las soluciones de los tres problemas locales, vía ecuaciones integrales. La condición que verifican estas funciones en el infinito conducen a la deducción del valor de a'(&) siguiente: Determinación de la condición sobre C Se consideran distintos desarrollos, para las tensiones (r$, rs, r&) = (rrr (U"), rro (U"), rrZ(uE)), uno exterior en R y otro local sobre C, para lo cual hay que tener en cuenta la información obtenida sobre a'(&) y v0 y hacer un proceso de suma sobre las' distintas zonas de capas límites locales A; k = l.. . , NE. La hipótesis de solapamiento ("overlap") entre ambos desarrollos (Véase [3] y [6]) conduce a la condición que u0 verifica sobre C. M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN En este proceso de suma se determina la llamada "talla crítica" para la relación -' con c > O; y finalmente se deduce así el problema Po del que es C = lim"-+o S, solución u', donde la condición sobre C está dada por: uo.n. + cciju? = 0 sobre C. ZJ J (7) C = Cij es la "matriz de capacidades": C = T~AT, T es la matriz de rotación que transforma los ejes locales del plano tangente al contorno en los generales del problema, y A es la matriz que se calcula a partir de la solución de los tres problemas locales: con cr = * , X y p constantes de Lamé, de manera que el problema homogeneizado X+P al que se ha llegado está definido por: a o ~0;~ + f; = O en 0, i = 1,2,.3 u$nj = O sobre r2,u0 = O sobre rl a$nj + cC;juY = O sobre C OO. 23 = aijkhekh(uO) El caso c = +m se traduce por u0 = O sobre C, es decir, cuando la distancia entre anillos, 77, es asintóticamente más pequeña que -l/ln~, el desplazamiento nulo se impone asintóticamente sobre la superficie lateral C del cilindro. El caso c = O se traduce por a$nj = O sobre C; es decir, cuando la distancia entre anillos es asintóticamente mayor que -l/lne, la condición de tensiones nulas sobre C se impone asintóticamente. En el caso O < c < cm, la solución u" tiene un comportamiento asintótico sobre la superficie lateral E, intermedio entre los casos extremos, c = O ó c = oo, como se observa en la definición del problema límite Po. En cualquiera de los tres casos el problema Po es un problema bien propuesto, en un determinado espacio funcional, dado que la matriz C es una matriz simétrica definida positiva. Observación: Estas técnicas permiten también obtener el mismo problema límite si, en vez de anillos circulares sobre la frontera del cuerpo, se considera una banda espiral enrollada a la columna (cf. Figura 5). Otros métodos para el estudio de problemas de este tipo pueden encontrarse en [2]. COMPROBACION EXPERIMENTAL Los anteriores resultados teóricos han sido contrastados mediante una experimentación numérica, aplicada al modelo estructural representado por la Figura 6. Corresponde este modelo a un sólido cilíndrico de radio R = 0,5 m y altura H = 1 .O0 m, compuesto de un material elástico de constantes G = 0.5 tm-2 y u = 0,20 Figura 5. Problema de homogeneización de fronteras. m BORDE EMPOTRADO BORDE LIBRE Figura 6. Ejemplo módulo. Las condiciones de frontera en las secciones rectas z = O y z = H son respectivamente de empotramiento (movimientos u, = u, = u0 = O) y libre (tensiones a,, = T,, = r,~ = O). La superficie lateral es libre, pero se dispone de forma periódica, empotramiento a una altura EH separados entre sí una distancia ?H. Los resultados que se obtienen para el problema límite son independientes de la M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN Figura 10. Movimientos verticales. Figura 11. Tensiones verticales. - 2 HIPOTESIS 1 - CARGA VERTICAL fi = - .I ,O tm 405 0,10 Q15 0,20 425 0,30 0,s 440 445 (tm2) CASO 1 A'' //'/ M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN obtener el valor de la constante c de la talla crítica y de esta forma evaluar la clase de condiciones de contorno del estado límite homogeneizado. AGRADECIMIENTOS Los autores desean agradecer las sugerencias y comentarios de los censores anónimos de este artículo que han permitido una mejor exposición del mismo. REFERENCIAS 1. J.F. Bourgat, "Numerical experiments of the homogeneization method for operator with periodic coeficients", Rapport de Recherche, No. 277, INRIA, París, (1978). 2. A. Brillard y E. Pérez, "Comportement asymptotique de un corps homogene isotrope gele sur une partie de sa frontiere", Universite de Haute Alsace, No. 47, Mulhouse, (1988). 3. A. Brillard, M. Lobo y E. Pérez, "Une probleme de homogeneisation de frontieres en elasticite lineare pour un corps cilindrique", Aceptado en C.R.A.S. de París, (1990). 4. C. Conca, "On the application of the homogeneization theory to a class of problems arising in fluids mechanics, 11. Numerical resultats", Rappod de Recherche, No. 83031, Lab. Anal. Numer., Université de París VI, (1983). 5. C. Conca y M. Sepulveda, "Resultados numéricos en el problema de la rejilla de Stokes", Publzcaczónes del Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación, Universidad de Chile, (1988). 6. W. Eckhaus, "Asymptotic Analysis of Singular Perturbations", North-Holland, Netherlands, (1979). 7. D. Leguillon y E. Sanchez-Palencia, "Computation of singular solutions in elliptic problems and elasticity", Masson, París, (1987). 8. M. Lobo y E. Pérez, "Asymptotic behaviour of an elastic body with a surface having small stuck regions", Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Vol. 22, No. 4, pp. 609-624, (1988). 9. J. 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