Estudi del soroll en màquines elèctriques

TREBALL FI DE GRAU Grau en Enginyeria Elèctrica ESTUDI DEL SOROLL EN MÀQUINES ELÈCTRIQUES Volum I Memòria - Pressupost Autor: Arnau Romero Sepúlveda Director: Ramon Bargalló Perpiñà Convocatòria: Gener 2017 Estudi del soroll en màquines elèctriques i Resum El següent document es presenta com una introducció a l’estudi del soroll en motors elèctrics. Centrant-se en el soroll d’origen electromagnètic, presenta una sèrie de mètodes per identificar les freqüències a les que la densitat del flux magnètic pot provocar vibracions en motors síncrons i asíncrons. Si aquestes freqüències coincideixen amb les freqüències naturals de la màquina, es produirà soroll. Per identificar les freqüències naturals de l’estator del motor es proposen tres mètodes: dos exclusivament de vibració radial i un tercer que contempla la vibració longitudinal. Un cop definits els mètodes, s’han recreat fent una simulació numèrica mitjançant MATLAB. El resultat de les simulacions és satisfactori, si bé és cert que s’observen errors puntuals que poden tenir origen teòric. Memoria ii Resumen El siguiente documento se presenta como una introducción al estudio del ruido en motores eléctricos. Centrándose en el ruido de origen electromagnético, presenta una serie de métodos para identificar las frecuencias a las que la densidad del flujo magnético puede provocar vibraciones en motores síncronos y asíncronos. Si dichas frecuencias coinciden con las frecuencias naturales de la máquina, se producirá ruido. Para identificar las frecuencias del estator del motor se proponen tres métodos: dos exclusivamente de vibración radial y un tercero que contempla la vibración longitudinal. Una vez definidos los métodos, se ha recreado una simulación numérica mediante MATLAB. El resultado de las simulaciones es satisfactorio, si bien es cierto que se observan errores puntuales que pueden tener origen teórico. Estudi del soroll en màquines elèctriques iii Abstract The following document is presented as an introduction to the study of noise of electrical motors. Focusing on electromagnetic noise origin, this paper provides a series of methods to identify the frequencies at which the magnetic field can cause vibrations in asynchronous and synchronous motors. When these frequencies match the eigenfrequencies of the machine, they will produce noise. In order to identify the stator eigenfrequencies, three methods have been proposed: two of them purely of radial vibration and a third one taking also the axial vibration into consideration. A numeric simulation using MATLAB has been done after the definition of these methods. The results obtained are satisfactory, although there are some punctual errors which can have a theoretical origin. Memoria iv Estudi del soroll en màquines elèctriques v Agraïments Agraeixo el meu tutor, Ramon Bargalló, per donar-me l’oportunitat i l’empenta que necessitava per realitzar aquest treball. Agraeixo als amics i a la família pel suport moral incondicional que m’han donat al llarg d’aquests últims mesos. Per últim, agraeixo a tots aquells professors i mestres pels coneixements que m’han transmès i que han fet possible aquest treball. Memoria vi Estudi del soroll en màquines elèctriques vii Glossari At Valor mitjà de l’àrea de secció transversal de les dents de l’estator Λ Permeància a l’entreferro α Posició angular αst Angle d’inclinació de les ranures de l’estator αrt Angle d’inclinació de les ranures del rotor B Densitat del flux magnètic bz Amplada de les dents de l’estator dz Distancia axial des del centre de la màquina Δ Factor de massa Δm Factor additiu de massa degut a la rotació δij Delta de Kronecker E Mòdul de Young Ei,j Camp elèctric en les direccions i, j ε0 Permitivitat del buit εr Error relatiu F Força magnetomotriu f1 Freqüència de subministrament Φ Flux magnètic GB Pes de l’aïllament Gj Pes del nucli anular de l’estator Gw Pes del bobinat Gz Pes de les dents de l’estator h Gruix de l’anell de l’estator sense comptar les dents he Gruix de l’anell de l’esquelet Kmb Rigidesa de l’anell del bobinat Kme Rigidesa de l’anell de l’esquelet Kms Rigidesa de l’anell del nucli l’estator k Coeficient de tall de Timoshenko / constant kst Ordre d’harmònic espacial de la FMM a l’estator krt Ordre d’harmònic espacial de la FMM al rotor Le Llargària de l’esquelet del motor lc Llargària de l’estator lz Alçada de les dents de l’estator µ0 Permeabilitat en el buit nec Velocitat angular del rotor corresponent a l’excentricitat dinàmica (rpm) ν Coeficient de Poisson p Nombre de parell de pols ρ Densitat qst Ordre d’harmònic temporal de la FMM a l’estator qrt Ordre d’harmònic temporal de la FMM al rotor Rm Radi mitjà de l’anell de l’estator Rme Radi mitjà de l’anell de l’esquelet del motor S Superfície s Lliscament de la màquina asíncrona σ Força radial per unitat d’àrea Estudi del soroll en màquines elèctriques 3 2. Introducció El següent treball mostra un estudi teòric sobre el comportament del soroll en motors elèctrics. Els primers capítols descriuen la teoria sobre la que es basa, mentre que els capítols 4 i 5 estan enfocats a la programació numèrica d’aquesta teoria. 2.1. Objectius del treball L’objectiu principal d’aquest treball és la introducció o punt de partida sobre el soroll i les vibracions dels motors elèctrics. Per altra banda, també es pretén desenvolupar una sèrie de programes que facilitin la identificació d’aquest soroll i, a més, observar si la seva aplicació és útil per a futures investigacions. 2.2. Abast del treball El soroll en màquines elèctriques és un tema molt ampli el qual, al llarg de la realització d’aquest treball, s’ha anat limitant per tal de reduir la complexitat del mateix. Així doncs, el treball en qüestió té els següents punts com a límits: · Els motors considerats són asíncrons i síncrons. · L’origen del soroll estudiat és purament electromagnètic. · Les vibracions estudiades són originades per l’estator del motor. · La simulació numèrica de les freqüències naturals es basa en mètodes analítics i no en càlculs per elements finits. · L’estudi no constarà de part experimental degut a la falta de material de laboratori. Estudi del soroll en màquines elèctriques 5 3. Capítol 1: Vibració i soroll Aquest primer capítol introdueix una sèrie de conceptes previs que cal conèixer abans d’entrar en matèria. Cal saber que és la vibració, en què es diferencia del soroll, què és el que fa que un motor elèctric vibri, quines conseqüències té que la màquina produeixi soroll i com està normalitzat. 3.1. Introducció a la vibració i el soroll S’anomenen vibració i soroll a dos fenòmens naturals que estan estretament lligats entre sí. Mentre que el primer fa referència a la transmissió d’energia cinètica molecular en cossos sòlids, el soroll apareix en els medis fluids. Aquesta energia cinètica es presenta amb un comportament oscil·latori de les partícules del medi pel qual es transmet. Però, per a que es puguin produir aquestes oscil·lacions, el medi, ja sigui sòlid o fluid, ha de tenir les següents propietats característiques: inèrcia i elasticitat [1]. La inèrcia permet la transmissió del moment d’una partícula a la següent, fent així que l’oscil·lació es desplaci en el medi. Per altra banda, l’elasticitat és la propietat que indica que una partícula o cos desplaçat, pateix una força que la fa retornar a la posició inicial d’equilibri. La següent fig. 3.1 mostra un exemple de vibració d’un diapasó. Figura 3.1. Vibració d’un diapasó (Font:[2]) Per tant, la vibració d’un cos sòlid pot provocar la oscil·lació del medi que l’envolta i generar soroll si aquest és un medi fluid. Si un observador està a prop o el soroll és molt intens, les ones acústiques fan que el timpà de l’oïda vibri i per tant, aquest observador escoltarà el soroll. Memoria 6 Físicament, es diferencien dos tipus de vibració que el cos pugui tenir: la vibració lliure i la vibració forçada. La primera de les dues ve donada per l’estructura del cos i es defineix com aquella vibració les característiques de la qual no venen determinades per una força externa. Cada freqüència i mode d’aquest tipus de vibració es defineixen com freqüències naturals i estan relacionades, principalment, amb el material del qual està format el cos (massa) i la seva rigidesa. Per altra banda, la vibració forçada és aquella que ve causada per una força externa i que provoca una deformació oscil·latòria en aquest cos. Aquestes vibracions també tenen els seus propis modes i freqüències, i sovint poden ser produïdes pel comportament dinàmic del cos, com succeeix en els motors elèctrics. En els motors elèctrics, així com en la resta de casos, es produeix soroll quan les freqüències de la vibració forçada i les de les freqüències naturals coincideixen (ressonància). Per això, en l’apartat 3.2 s’indica d’on poden provenir aquestes forces externes i en l’apartat 3.3 s’explica en detall què són les freqüències naturals i com s’observen en un estator del motor elèctric. 3.2. Origen del soroll en motors elèctrics El motor elèctric és una màquina el funcionament de la qual es basa en la conversió d’energia elèctrica en energia mecànica. Tal com es mostra en la fig. 3.2, un motor té diferents parts mecàniques i circuits elèctrics. Per simplificar-ho, les principals parts d’un motor elèctric susceptibles a la vibració són: el rotor, l’estator i l’esquelet o estructura externa. Aquest document fa èmfasi en les vibracions produïdes a l’estator però això no vol dir que la resta siguin menyspreables. Figura 3.2. Motor elèctric (Font:[3]) Estudi del soroll en màquines elèctriques 7 Si les vibracions forçades coincideixen amb les freqüències naturals de l’estator, aquest vibra. La següent fig. 3.3 mostra el comportament d’aquestes freqüències naturals de l’estator en direcció radial però també existeixen freqüències naturals en direcció axial. Figura 3.3. Freqüències naturals radials (Font:[4]) a) Mode n=0 b) Mode n=1 c) Mode n=2 d) Mode n=3 e) Mode n=4 f) Mode n=5 Per altra banda, de tipologies de motors elèctrics n’hi ha moltes. Depenent de l’alimentació, estructura, bobinats i aplicacions es poden trobar, avui en dia, una gran varietat de motors elèctrics en la indústria. Cal remarcar que cada tipus de motor elèctric té consideracions diferents en respecte al soroll i que per tant, es comporten de manera diferent. Algunes d’aquestes consideracions es mostren en el Capítol 2 per als motors asíncrons i síncrons d’inducció i els motors d’imants permanents. 3.3. Tipologia d’origen del soroll El soroll d’una màquina elèctrica pot tenir diferents orígens. Per això, el primer que es fa és classificar-los en si el soroll es produeix quan la màquina funciona sense càrrega o amb càrrega. En aquest segon cas, l’origen és purament mecànic, ja sigui per algun error de muntatge de la màquina, Memoria 8 de disseny d’aquesta o bé, sigui causa de la transmissió mecànica. En canvi, si és sense càrrega, pot tenir els següents orígens: · Electromagnètic: La interacció dels camps magnètics de l’estator i el rotor, així com els possibles efectes d’un funcionament anormal, poden provocar forces i deformacions vibratòries en la màquina. · Aerodinàmic: El flux d’aire i la ventilació de la màquina poden tenir un paper molt important pel que fa el soroll. · Mecànic: També es poden observar errors de muntatge que acabin produint soroll en el motor elèctric. La següent fig. 3.4 mostra un esquema bàsic de la transmissió d’aquest soroll des que es produeix (segons els orígens descrits anteriorment) fins que arriba a l’observador. Figura 3.4. Transmissió del soroll (Font:[5]) 3.4. Normativa aplicable al soroll en màquines rotatives El soroll és, per definició, un efecte secundari no desitjat que impedeix que hi hagi un ambient tranquil. A més, tal i com indica la fig. 3.5 depenent del nivell acústic, el soroll pot passar de ser Estudi del soroll en màquines elèctriques 9 molest a arribar a ser dolorós i, fins i tot, tenir repercussions en la salut de l’oient. És per això que existeixen una sèrie de normes que garanteixen que la contaminació acústica no sobrepassi d’uns certs nivells. Figura 3.5. Nivells acústics (dB) (Font:[6]) A Espanya hi ha l’anomenada llei del soroll (37/2003, de 17 de novembre) que defineix la contaminació acústica segons la directiva de la comissió europea (Directiva 2002/49/CE del Parlament Europeu i del Consell, de 25 de juny de 2002 (LCEur 2002, 1983)). A Catalunya, hi ha la llei de contaminació acústica de Catalunya (llei núm. 16/2002, de 28 juny) que també indica quines són les normatives ISO a seguir per a la determinació dels nivells acústics. Per altra banda, la normativa que determina els nivells màxims que una màquina elèctrica rotativa pot realitzar és la ISO 1680:2013 on s’indica que aquests nivells són els descrits en la IEC 60034 part 9. Memoria 10 4. Capítol 2: Soroll d’origen electromagnètic Tal com s’ha esmentat prèviament, un dels principals orígens del soroll en màquines elèctriques és degut a la interacció dels camps magnètics dins de la pròpia màquina. Cal recordar que, en els anomenats motors d’inducció, existeixen dos possibles camps magnètics: els creats pels bobinats de l’estator i els creats pels bobinats o imants (en el cas de les màquines d’imants permanents) del rotor. 4.1. Causa principal Ambdós camps magnètics, el de l’estator i el del rotor, interactuen en l’entreferro produint una variació en la densitat de flux i generant una ona de pressió magnètica. Aquesta ona es propaga principalment en direcció radial, provocant així una sèrie de deformacions i vibracions a l’estator. En la següent fig. 4.1 es mostra com la major part del flux magnètic travessa l’entreferro mitjançant les dents de l’estator i el rotor d’un motor d’inducció. Figura 4.1. Flux magnètic d’un motor elèctric (Font:[7]) La estructura del motor, tant el nombre de ranures com la distribució del debanat en aquestes, pot ser un factor a tenir en compte en l’origen i propagació d’aquestes ones. Però, també cal tenir en compte el corrent de subministrament del motor, la permeància de l’entreferro, l’excentricitat del rotor i l’equilibri de fases. Si a més, s’afegeix l’efecte paràsit dels harmònics espacials i temporals de la força magnetomotriu, del ranurat i els de la saturació magnètica, el resultat és que durant el funcionament del motor, hi ha una sèrie de freqüències que faran vibrar el motor degut a l’aparició d’aquests harmònics. Estudi del soroll en màquines elèctriques 11 4.2. Anàlisi de les freqüències en motors asíncrons Tal com s’ha esmentat, el flux de camp magnètic produeix, al passar per l’entreferro de la màquina, una sèrie de forces radials tant a l’estator com al rotor. Com a resultat, apareix soroll magnètic, vibracions i forces tangencials. Per calcular la distribució del flux magnètic al entreferro, es pot fer computacionalment amb el mètode d’elements finits o bé, analíticament, com la multiplicació de l’expressió de la distribució de la força magnetomotriu del debanat per la distribució de la permeància a l’entreferro [8]. És a dir, tal com indica la llei de Hopkinson: Φ=FΛ (eq. 1) Però si es té en compte que el flux del camp magnètic i la densitat de camp magnètic són proporcionals entre sí, es pot transformar l’equació anterior sense tenir en compte la magnitud de la densitat de camp magnètic (B). Φ=∬𝐵𝑑𝑆= 𝑩 · 𝑺 (eq. 2) 𝐵=FΛ (eq. 3) On: · Φ és el flux magnètic. · B és la densitat del flux del camp magnètic. · S és la superfície que travessa el camp magnètic. · F és la força magnetomotriu. · Λ és la permeància. Tant la força magnetomotriu com la permeància, es descriuen mitjançant expressions d’ona les quals depenen de les condicions en les que treballa la màquina. Aquestes expressions, que es definiran posteriorment, estan escrites tal i com s’indica a la ref. [9]. 4.2.1. La permeància relativa a l’entreferro En el cas de la permeància, és a dir la capacitat que té un medi per transmetre el flux magnètic, l’expressió a l’entreferro és: Memoria 18 𝜔𝑖𝑠𝑡=irt𝑍𝑟𝑡𝜔𝑟𝑡±iec,rtd𝜔𝑒𝑐±2isa𝜔1±𝑞𝑠𝑡𝜔1 (eq. 21) El valor de les freqüències depèn del ranurat del rotor, l’excentricitat dinàmica, la saturació magnètica i dels harmònics temporals de la FMM. L’expressió està descrita en radians per segon, per transformar-la en hertz cal dividir per 2π. Fent unes poques simplificacions s’obté: 𝑓𝑖𝑠𝑡=irt𝑍𝑟𝑡𝑓1(1−𝑠) 𝑝±iec,rtd𝑛𝑒𝑐 60 ±2isa𝑓1±𝑞𝑠𝑡𝑓1 (eq. 22) On es pot veure que les freqüències on apareix soroll depèn, principalment, de la freqüència a la que es subministra el propi motor f1. 4.3. Anàlisi de les freqüències en motors síncrons Es pot descriure un motor síncron com un motor asíncron que únicament gira a velocitat de sincronisme. És a dir, no té lliscament i per tant s=0. Encara que aquesta premissa no és del tot certa ja que, en la família dels motors síncrons s’inclou també els motors d’imants permanents, és a dir, aquells motors que tenen una sèrie d’imants al rotor en comptes d’un bobinat. També cal diferenciar aquelles màquines síncrones de pols sortints de la resta, ja que són canvis que produeixen sobretot, l’aparició d’harmònics espacials i temporals. En la fig. 4.5, es pot observar les diferències estructurals i geomètriques que hi ha entre els diferents tipus de màquines síncrones. Fig. 4.5: a) Motor síncron amb rotor rodó b) Motor síncron amb rotor de pols sortints c) Rotor d’un motor síncron d’imants permanents (Font: [14],[15]) Seguint el mètode realitzat en l’apartat de motors asíncrons, l’efecte de les ranures en la permeància és idèntic al descrit a l’eq. 6, amb la diferència que en el cas de les màquines d’imants permanents i Estudi del soroll en màquines elèctriques 19 les de pols sortints, irt val zero. L’aparició d’imants al rotor afecta principalment a la magnitud de les forces radials però no és un factor decisiu en l’aparició del soroll [16]. L’excentricitat i la saturació tenen el mateix efecte en ambdós tipus de màquines: síncrones i asíncrones. En canvi, existeix un nou terme a tenir en compte que és l’efecte dels pols sortints. 4.3.1. Efecte dels pols sortints En aquelles màquines que, tal com mostra la fig.4.5 b), tenen un rotor de pols sortints, veuen modificada la seva permeància amb l’aparició d’harmònics espacials i temporals tal com es presenta en la següent expressió: 𝛬𝑠𝑝(𝛼,𝑡)=∑𝛬𝑠𝑝· cos ( ∞ 𝑖𝑝𝑠=1 𝑖𝑝𝑠𝑝𝛼±𝑖𝑝𝑠𝜔𝑝𝑠𝑡) (eq. 23) On ips és l’integrador que té en compte els efectes dels harmònics produïts pels pols sortints i ωps és la velocitat angular a la que gira aquest rotor. Cal tenir en compte que en una màquina d’imants permanents de pols sortints no existeix el terme irt. 4.3.2. Densitat del flux de camp magnètic Afegint l’efecte de pols sortints, l’expressió genèrica de la permeància és: Λ𝑡𝑜𝑡(𝛼,𝑡)=∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑Λist,irt,iec,st,iec,rtd,iec,rts,isa ∞ isa=0 ∞ iec,rts=0 ∞ iec,rtd=0 ∞ iec,st=0 ∞ irt=0 ∞ ist=0 cos{(irt𝑍𝑟𝑡±ist𝑍𝑠𝑡±𝑖𝑝𝑠𝑝±iec,rtd±iec,st±iec,rts±2isa 𝑝)𝛼−(irt𝑍𝑟𝑡𝜔𝑟𝑡±𝑖𝑝𝑠𝑝𝜔𝑝𝑠± iec,rtd𝜔𝑒𝑐±2isa𝜔1)𝑡} (eq. 24) Si es multiplica a la expressió de la força magnetomotriu del estator descrita en l’eq. 13, s’obté l’expressió de la densitat de flux (B). On a diferència de l’expressió de l’eq. 15, es modifiquen les expressions dels coeficients mist i ωist. B(𝛼,𝑡)=∑B𝑚𝑖𝑠𝑡,𝜔𝑖𝑠𝑡cos {𝑚𝑖𝑠𝑡𝛼−𝜔𝑖𝑠𝑡𝑡} 𝑚𝑖𝑠𝑡,𝜔𝑖𝑠𝑡 (eq. 25) 𝑚𝑖𝑠𝑡=irt𝑍𝑟𝑡±ist𝑍𝑠𝑡±𝑖𝑝𝑠𝑝±iec,rtd±iec,st±iec,rts±2isa 𝑝 ± 𝑘𝑠𝑡 𝜔𝑖𝑠𝑡=irt𝑍𝑟𝑡𝜔𝑟𝑡±iec,rtd𝜔𝑒𝑐±2isa𝜔1±𝑖𝑝𝑠𝑝𝜔𝑝𝑠±𝑞𝑠𝑡𝜔1 Sabent que les forces radials i el camp magnètic tenen una relació quadràtica, tal com està indicat en l’eq. 18, es pot analitzar els modes i freqüències de vibració d’origen electromagnètic a partir de l’expressió del camp magnètic. Memoria 20 4.3.3. Modes i freqüències de vibració Els modes de freqüència es calculen analitzant el coeficient espacial mist, mentre que les freqüències a les que vibra s’observen en el coeficient temporal ωist. 𝑚𝑖𝑠𝑡=irt𝑍𝑟𝑡±ist𝑍𝑠𝑡±𝑖𝑝𝑠𝑝±iec,rtd±iec,st±iec,rts±2isa 𝑝 ± 𝑘𝑠𝑡 (eq. 26) En aquesta expressió, els integradors irt i ips són mútuament excloent ja que depenen de la forma del rotor. Exactament el mateix succeeix entre la excentricitat estàtica i dinàmica. També cal destacar que el valor de kst no pot ser múltiple de 3 ja que en un sistema trifàsic i equilibrat els harmònics múltiples de 3 no apareixen. Per altra banda, les freqüències s’obtenen amb la següent expressió: 𝑓𝑖𝑠𝑡=irt𝑍𝑟𝑡𝑓1 𝑝±ips𝑛𝑝𝑠 60 ±iec,rtd𝑛𝑒𝑐 60 ±2isa𝑓1±𝑞𝑠𝑡𝑓1 (eq. 27) On es pot veure que, a diferència de la eq. 22, les freqüències on pot aparèixer soroll hi ha el terme de pols sortints ips. Estudi del soroll en màquines elèctriques 21 5. Capítol 3: Freqüències naturals Tal com s’ha explicat en el Capítol 1, si un sòlid és excitat amb una vibració que correspon en freqüència a alguna de les freqüències naturals, el sòlid patirà una deformació en forma de vibració. La deformació és diferent per cada freqüència, pel qual es defineix el terme de modes de freqüències naturals com el terme que expressa quin tipus de deformació patirà el sòlid. Calcular els modes i les freqüències naturals no és senzill, depèn de la geometria, l’estructura, el material i les parts de les quals està compost l’objecte. En el cas dels estators també hi apareixen modes i freqüències naturals que poden provocar dos tipus de moviment: el radial i el longitudinal. En aquest capítol es mostren tres mètodes analítics que permeten calcular de manera aproximada aquestes freqüències naturals en l’estator. 5.1. Mètode Witczak per vibració radial Entre els mètodes de càlcul analític sobre les freqüències naturals dels estators en els motors elèctrics, hi ha les solucions proposades per Pawel Witczak [17] que calcula aproximadament les freqüències de vibració radial. A continuació s’expliquen aquestes dues solucions. 5.1.1. Aproximació anular Inicialment, P. Witczak fa l’aproximació d’un estator a un anell cilíndric tal com es mostra en la fig. 5.1. Fig. 5.1: Geometria de l’anell amb sistemes de coordenades (Font: [17]) Memoria 22 L’expressió que mostra el comportament de les freqüències naturals teòriques d’un anell és força coneguda. És una expressió que determina les freqüències en funció del radi mitjà de l’anell, el gruix, la densitat del material i del mòdul de Young [18]. 𝑓𝑛=2𝑛(𝑛2−1) 𝜋(2𝑅𝑚)2 √𝑛2+1√𝐸 𝜌l𝑐ℎ(l𝑐ℎ3 12) (eq. 28) On: · fn és el valor de les freqüències naturals en Hz · n és l’ordre de freqüència de valor enter i positiu · Rm és el radi mitjà de l’anell · h és el gruix de l’anell · ρ és la densitat del material · E és el mòdul de Young Aquesta expressió es pot reduir i simplificar, per aconseguir-ne una on es veu més clarament que les freqüències de vibració de l’anell depenen principalment del mode de freqüència (n): (𝜔𝑛 𝜔0)2=𝛽𝑛2(𝑛2−1)2 𝑛2+1 (eq. 29) Sent ω0 la freqüència del mode 0 que provoca que l’anell tingui una vibració d’expansió/compressió. Comunament se l’anomena mode de respiració (de l’anglès breathing mode) ja que es comporta de manera similar a un pulmó. Per altre banda, β és una constant adimensional que depèn de la geometria de l’anell. Ambdues constants, es defineixen amb les següents expressions: 𝜔02=𝐸 𝑅𝑚 2𝜌 (eq. 30) 𝛽= ℎ2 12𝑅𝑚 2 (eq. 31) En la taula 5.1, es pot observar com el propi autor fa la comparativa entre els resultats obtinguts per aquest mètode i el mètode d’elements finits (F.E.M. de l’anglès Finite Elements Method). I les conclusions a les que s’arriba és que pel primer mode, n=2, l’error és petit (εr≈2,2%) però, per la resta de casos, l’error ja és considerable (εr>5%). Pel qual, és un mètode simple però no precís. Estudi del soroll en màquines elèctriques 23 Taula 5.1: Comparativa de mètodes realitzada per P. Witczak (Font: [17]) Mètode Freqüències naturals relatives (ωn/ω0) Freqüència (rad/s) n=2 n=3 n=4 n=5 Aprox. anular 0.093 0.261 0.501 0.81 49.2 x103 F.E.M. 0.091 0.245 0.441 0.642 48.6 x103 5.1.2. Aproximació a l’estator ranurat El segon mètode que es proposa parteix de la base que es tenen en compte les dents de l’estator i les aproxima a una forma rectangular. A més, suposa que aquestes dents segueixen els desplaçaments locals i rotacions com si es tractés d’un cos rígid. En la següent figura es mostra tant l’aproximació de les dents, les quals tenen una alçada lz i una amplada bz, com el comportament de l’estator en el seu radi mitjà (Rm sense tenir en compte les dents) davant una deformació. Fig. 5.2: a) Aproximació de les dents de l’estator b) comportament de les deformacions al radi mitjà (Font: [17]) El desplaçament provocat en la deformació de l’estator es pot dividir entre l’efecte radial i tangencial. P. Witczak el descriu juntament amb la distribució angular d’aquest desplaçament, com una sèrie de funcions complexes i sinusoïdals de magnituds desconegudes. 𝛶(𝛼,𝑡)=𝛤sin(𝑛𝛼)𝑒𝑗𝜔𝑡 (eq. 32) 𝑢𝑡𝑎(𝛼,𝑡)=𝑈𝑡𝑎sin(𝑛𝛼)𝑒𝑗𝜔𝑡 (eq. 33) Memoria 24 𝑢𝑟𝑎(𝛼,𝑡)=𝑈𝑟𝑎cos(𝑛𝛼)𝑒𝑗𝜔𝑡 (eq. 34) Γ, Uta i Ura són tres incògnites per la qual cosa un sistema de tres equacions és necessari. Si es té en compte el model ranurat per un estator laminat, el seus moments d’inèrcia, la seva rigidesa, la influència de la massa, així com la tensió produïda per les forces de densitat, el sistema d’equacions que s’obté segons Witczak és: ([𝑘𝜌 𝑘𝐼𝑖𝐺𝐼 𝑛𝑘𝜌 𝑘𝐼(𝑛2−𝑖𝐺𝐼)𝑘𝜌 𝑘𝐼(𝑛2−𝑖𝐺𝐼) −𝑛𝑖𝐺𝑛2𝑖𝐺+1 𝑛(𝑖𝐺+1) −𝑖𝐺𝑛(𝑖𝐺+1) 𝑖𝐺+𝑛2]−(𝜔 𝜔0𝑧)2[𝐼]){𝛤 𝑢𝑟𝑎 𝑅𝑚 𝑢𝑡𝑎 𝑅𝑚}=𝑘𝜌 𝜔02{0 𝑞𝑟𝑎 𝜌l𝑐ℎ𝑅𝑚 𝑞𝑡𝑎 𝜌l𝑐ℎ𝑅𝑚} (eq. 35) Sent: 𝑖𝐺𝐼=12𝑘 2(1+𝜈)(𝑅𝑚 ℎ)2 (eq. 36) 𝑖𝐺=𝑘 2(1+𝜈)≈0.32 (eq. 37) On k és el coeficient de tall de Timoshenko que equival a 5/6 i ν és el coeficient de poisson que equival a 0.3, per tant, iG és una constant de valor aproximadament 0.32. Per altra banda: 𝑘𝜌=1+𝑍𝑠𝑡𝑏𝑧𝑙𝑧 2𝜋𝑅𝑚ℎ (eq. 38) 𝑘𝐼=1+(𝑙𝑧 ℎ)3[1+(𝑏𝑧 𝑙𝑧)2+3(1+ℎ 𝑙𝑧)2]𝑍𝑠𝑡𝑏𝑧 2𝜋𝑅𝑚 (eq. 39) Al solucionar aquest sistema d’equacions (eq. 35), s’obté com a resultat, els valors de freqüències relatives per cada mode de vibració n així com les magnituds Uta i Ura en funció de les forces de densitat lineal qta i qra. El fet més important a considerar és que aquestes forces qta(α) i qra(α) tenen valor zero al llarg de tota la circumferència de radi Rm, tal com mostra la prèvia figura (fig. 5.2b). Amb el qual, per al radi Rm es compleix que aquest sistema es pot reduir a: [𝐴]{𝛤 𝑢𝑟𝑎 𝑅𝑚 𝑢𝑡𝑎 𝑅𝑚}=0 (eq.40) On A és la matriu de coeficients del vector d’incògnites Γ, ura i uta. Degut a que Γ≠0, ura≠0 i uta≠0 ja que, altrament no es produiria la deformació descrita en les eq. 32, 33 i 34, l’única opció és analitzar la matriu de coeficients A. El rang de la matriu ha de ser inferior a 3 ja que el nombre de vectors linealment independents en el sistema és menor a 3. Per tant, el seu determinant ha de valdre zero: Estudi del soroll en màquines elèctriques 25 |[𝑘𝜌 𝑘𝐼𝑖𝐺𝐼 𝑛𝑘𝜌 𝑘𝐼(𝑛2−𝑖𝐺𝐼)𝑘𝜌 𝑘𝐼(𝑛2−𝑖𝐺𝐼) −𝑛𝑖𝐺𝑛2𝑖𝐺+1 𝑛(𝑖𝐺+1) −𝑖𝐺𝑛(𝑖𝐺+1) 𝑖𝐺+𝑛2]−(𝜔 𝜔0𝑧)2[𝐼]|=0 (eq.41) El que vol dir que, aplicant la regla de Sarrus, l’equació a resoldre és trobar els zeros del següent polinomi: −𝑥3+(𝑖𝐺+𝑖𝐺𝑘𝑝 𝑘𝐼+𝑛2+𝑖𝐺𝑛2+1)𝑥2+(2𝑖𝐺𝑛2−𝑖𝐺−𝑖𝐺𝐼𝑘𝑝 𝑘𝐼−𝑖𝐺𝑛4−𝑖𝐺𝑘𝑝𝑛2 𝑘𝐼−𝑖𝐺𝑘𝑝𝑛4 𝑘𝐼−𝑖𝐺𝐼𝑘𝑝𝑛2 𝑘𝐼)𝑥+ 𝑖𝐺𝑘𝑝𝑛6 𝑘𝐼−2𝑖𝐺𝑘𝑝𝑛4 𝑘𝐼+𝑖𝐺𝑘𝑝𝑛2 𝑘𝐼=0 (eq.42) On fent l’arrel quadrada de la solució real més petita s’obté la freqüència relativa (ω/ω0z). Per tant, multiplicant per la freqüència del breathing mode rectificada (ω0z) i dividint per 2π, s’obté, en Hertz, la freqüència natural de l’estator del mode n. On n és un nombre enter i positiu. 𝑓𝑛=𝜔0𝑧√𝑥 2𝜋 =𝜔0√𝑥 2𝜋√𝑘𝑝 (eq.43) En la taula 5.2, es pot observar com, igual que en l’anterior mètode, el propi autor fa la comparativa entre els resultats obtinguts per aquest mètode i el mètode d’elements finits. I arriba a la conclusió que hi ha una millora substancial en la precisió del mètode respecte al anular però, també mostra que la premissa que la dent de l’estator es comporta de manera rígida no és certa. Taula 5.2: Comparativa de mètodes realitzada per P. Witczak (Font: [17]) Mètode Freqüències naturals relatives (ωn/ω0) Freqüència (rad/s) n=2 n=3 n=4 n=5 Aprox. ranurat 0.091 0.252 0.467 0.728 49.2 x103 F.E.M. 0.091 0.245 0.441 0.642 48.6 x103 5.2. Mètode Jordan, Frohne i Üner per vibració radial Dels diferents estudis sobre mètodes de càlcul analític per trobar una aproximació a les freqüències naturals de l’estator, cal destacar els diferents estudis de H. Jordan, H. Frohne i Z. Üner en la matèria, els quals es basaven en demostrar els efectes del cisallament, de la inèrcia rotacional, de les dents de Memoria 26 l’estator i del bobinat. Aquest apartat segueix aquest mètode de càlcul de freqüències naturals descrit a la ref. [19]. A partir de l’eq. 28 descrita en l’apartat 5.1.1 es pot trobar la freqüència del mode de respiració tenint en compte que la massa en les diferents parts de l’estator no està repartida de manera homogènia. És per això, que l’estator es divideix teòricament entre: les dents, el bobinat, l’aïllament del bobinat i el nucli de l’estator també anomenat anell. Per tant, en un estator d’un únic anell, en termes de bobinat, la freqüència del breathing mode és: 𝑓𝑛=0=1 2𝜋𝑅𝑚√(𝐸 𝜌𝑘𝑖𝛥) (eq.44) On a diferència de l’equació del mètode de Witczak, aquí apareix el terme de factor de massa (Δ) i el factor d’apilament ki el qual es considera que té un valor de ki= 0.96. Multiplicar aquest factor en aquesta expressió implica assumir que l’apilament afecta tant al bobinat i l’aïllament com la part fèrria de l’estator. La densitat (ρ), es refereix a la densitat del material utilitzat en el nucli de l’estator, és a dir, del ferro. 𝛥=1+𝐺𝑧+𝐺𝑤+𝐺𝐵 𝐺𝑗 (eq.45) On Gz és el pes de les dents de l’estator, Gw el pes del bobinat, Gb el pes del aïllament i Gj el pes del nucli anular de l’estator. Mentre que l’efecte de l’aïllament es pot considerar menyspreable, la resta es poden calcular com volum per la densitat del material corresponent. En el cas de voler una aproximació més precisa, no es considera el factor d’apilament (ki) en l’eq. 44 i s’afegeix com a coeficient en el càlcul de Gz i Gj. 𝐺𝑧=(𝜋((𝑅𝑖𝑛𝑡+𝑙𝑧)2−𝑅𝑖𝑛𝑡 2)−𝐴𝑤𝑍𝑠𝑡)𝑙𝑐 𝜌𝑓𝑒 (eq.46) 𝐺𝑤=𝑘𝑜𝑍𝑠𝑡𝐴𝑤𝑙𝑐 𝜌𝑐𝑢 (eq.47) 𝐺𝑗=𝜋(𝑅𝑒𝑥𝑡 2−(𝑅𝑖𝑛𝑡+𝑙𝑧)2)𝑙𝑐 𝜌𝑓𝑒 (eq.48) En el cas del bobinat, es considera que aquest ocupa un 40% de l’espai de la ranura, pel qual el ko correspon a aquest factor d’ocupació. Com a densitats, es considera que la del ferro d’un motor elèctric és de 7700 Kg/m3 mentre que la del coure del debanat és de 8960 Kg/m3. Aw correspon a l’àrea d’una sola ranura que es calcularia com l’alçada de la dent per la distancia base de la ranura. Un cop definida la freqüència de respiració, es pot definir la freqüència natural del primer mode a partir de la següent expressió: Estudi del soroll en màquines elèctriques 27 𝑓𝑛=1=𝑓𝑛=0·√(2 1+𝑖2𝛥𝑚 𝛥) (eq.49) Aquest mode provoca que la màquina vibri en una direcció. Com es pot veure en l’expressió, hi ha dos termes “i” i Δm que no han sigut encara definits. En el cas de Δm es tracta de el factor additiu de massa degut a la rotació. Per altra banda, el terme i és una constant que depèn de la geometria de l’estator. 𝑖= 1 2√3ℎ 𝑅𝑚 (eq.50) 𝛥𝑚=1+12𝑍𝑠𝑡𝜃𝑧 2𝜋𝑙𝑐ℎ𝑅𝑚 (eq.51) 𝜃𝑧=𝐴𝑡∗𝑙𝑧3{13+ℎ 2𝑙𝑧+(ℎ 2𝑙𝑧)2} (eq.52) 𝐴𝑡∗=𝐴𝑡𝐺𝑧+𝐺𝑤+𝐺𝐵 𝐺𝑧 (eq.53) Com es pot veure en les equacions anteriors, el factor additiu de massa (Δm) depèn entre d’altres, del valor mitjà de l’àrea de secció transversal de les dents de l’estator (At). Per la resta de modes, és a dir per n≥2, l’aproximació de les freqüències naturals es pot donar mitjançant una expressió genèrica que depèn de la freqüència de respiració (fn=0). 𝑓𝑛≥2=𝑓𝑛=0𝑖 𝑛(𝑛2−1)𝛷𝑛 √𝑛2+1 (eq.54) 𝛷𝑛={1+𝑖2(𝑛2−1)(𝑛2(4+𝛥𝑚 𝛥)+3) 𝑛2+1 }−1/2 (eq.55) Com es pot observar, aquest mètode té en compte moltes variables i és complicat de calcular principalment per la quantitat d’operacions que comporta. En canvi, és un mètode fàcilment programable i eficient si es té en compte que això estalvia molt temps en càlculs. 5.3. Mètode per vibració longitudinal Encara que la vibració radial és el principal causant del soroll d’un motor elèctric, també es pot observar com en determinats modes de vibració radial hi apareix també una sèrie de deformacions longitudinals. Memoria 34 espacial. En la fig. 6.5, es mostra el començament del codi pel càlcul de les freqüències, on es pot veure que MVt és un vector de llargària variable ja que depèn de quines són les variables d’entrada. Des de la línia 43 fins la 49 el vector MVt agafa tots els components del vector PVt diferents de zero en l’ordre corresponent. Posteriorment, en la línia 52, s’indica que l’últim valor d’aquest vector correspon a l’harmònic de la FMM. A més, es pot veure com es calcula la variable i_max, la qual pren el valor de 2sz2, ja que depèn de la longitud del vector MVt. Cal tenir en compte que tot i que es calcula abans d’afegir l’element de la FMM, ja es té en compte aquest nou canvi en la mida del vector. Per altra banda, a les línies que van des de la 55 fins la 61 es descriu una sèrie de variables (n, n3, n5 i n9) que permetran (en les línies 90 fins 114) canviar el signe dels elements de MVt. Les variables kn3, kn5 i kn9 serveixen per indicar quan han de realitzar les variables n3, n5 i n9 aquest canvi de signe. Fig. 6.5: Definició del vector MVt (Font: Pròpia) A continuació, tal com mostra la fig. 6.6, es calculen les freqüències tenint en compte totes les combinacions possibles de signes. El for que comença en la línia 64 té el seu end a la línia 115 i té en el seu interior, dues maneres de calcular les freqüències. La primera és tenint en compte que el primer element del vector MVt és igual a irt*Zrt i tal com indica l’eq. 20, aquest element només té valor positiu. Per altra banda, si no és igual, el primer element de MVt pot tenir valors negatius. Estudi del soroll en màquines elèctriques 35 Fig. 6.6: Càlcul de les freqüències (Font: Pròpia) Com es pot observar, dins del condicional if...else...end, hi ha la funció switch, la qual indica, segons la llargària del vector MVt, quina és la fórmula que s’ha d’usar per calcular les freqüències. Un cop determinades les freqüències de vibració i emmagatzemades en el vector frequencies, es calcula els canvis de signe dels coeficients n, n3, n5 i n9 (fig. 6.7). Cal remarcar que és possible que alguns d’aquests coeficients (n5 i n9 principalment) no s’arribin a usar ja que cal que el vector MVt sigui prou llarg per a usar-los. Per altra banda, per tal de poder reproduir el que seria una taula binaria, s’ha observat quina és la relació numèrica que es pot extreure entre les iteracions “i” i el pas que hi ha entre canvis de signe. Per entendre-ho millor, la següent taula mostra el cas de la variable n3, on es pot veure com un cop kn3 i la resta de la divisió de “i” entre 3 tenen el mateix valor, en la següent iteració n3 canvia de signe. Taula 6.1: Taula del comportament de la variable n3 (Font: Pròpia) iteració 1 2 3 4 5 6 7 8 9 mod(i,3) 2 2 1 1 0 0 2 2 1 kn3 1 2 0 1 2 0 1 2 0 n3 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 Memoria 36 Fig. 6.7: Coeficients n (Font: Pròpia) Un cop calculades les freqüències, es divideixen per 2π per tal que estiguin en Hertz. També s’eliminen del vector freqüències aquelles freqüències que ja hagin aparegut prèviament. Fig. 6.8: Freqüències en Hz (Font: Pròpia) A continuació, la fig. 6.9 mostra com s’inicia la segona part de l’algoritme, la qual pretén calcular els modes de vibració. El procediment de càlcul és idèntic al de les freqüències però aquest cop s’utilitza el vector MVs en comptes del vector MVt. Aquest vector emmagatzema els valors de la permeància diferents de zero i s’hi afegeix, posteriorment, l’harmònic espacial de la força magnetomotriu. Estudi del soroll en màquines elèctriques 37 També es pot observar que aquesta vegada els coeficients n són més, tot i que funcionen igual que els esmentats anteriorment. A més, les variables i i m són importants per la posició dels vectors que es veuran al final d’aquesta segona part. Fig. 6.9: Inici dels modes de freqüència (Font: Pròpia) L’algoritme opera d’igual manera que en el cas de les freqüències, hi ha un for que comença a la línia 151 i acaba amb el seu end a la línia 234. Si el primer element del vector MVs coincideix amb el primer element del vector PVs (vector espacial de la permeància), llavors el codi segueix en la fig. 6.10 i, en cas contrari, en la fig. 6.11. Com es pot observar, la expressió que usa el programa depèn de la llargària del vector MVs. Memoria 38 Fig. 6.10: Procediment per MVs(1,1)=PVs(1,1) (Font: Pròpia) Fig. 6.11: Procediment per MVs(1,1) ≠PVs(1,1) (Font: Pròpia) Posteriorment, un cop es tenen els vectors frequencies i freq_modes, es fa la combinació d’ambdós vectors amb el corresponent ordre. És aquí on s’utilitzen les variables i i m ja que el vector freq_modes pot ser més llarg que el de frequencies. Fig. 6.12: Definició del vector Combined (Font: Pròpia) Estudi del soroll en màquines elèctriques 39 Aquesta segona part acaba en la línia 234 (el end del for anterior) i es mostra el càlcul dels coeficients n, com varien el signe i en quines iteracions ho fan. Fig. 6.13: Coeficients n (Font: Pròpia) Memoria 40 La tercera part d’aquest algoritme és la selecció de resultats i presentació d’aquests. Com es pot veure, Es transposa la matriu Combined (definida en les línies 188 i 189) i s’indica que descarti les files que ja han sortit anteriorment amb la funció unique. Després com a solució, es defineix la matriu Solution, que agafa els valors de la matriu Combined sempre i quan els modes d’aquesta siguin inferiors a 20 i positius. Aquest filtre s’ha posat ja que no existeixen modes negatius i també perquè el soroll d’un motor es deu, principalment, als primers modes de vibració. Fig. 6.14: Matriu Solution (Font: Pròpia) Per últim, s’han guardat els resultats en un full Excel anomenat “EM_freq_approach.xls”. En la fig. 6.15 es mostra com les línies que van des de la 249 fins la 277 guarden les variables d’entrada d’aquest programa i, les últimes línies guarden el resultat obtingut en la matriu Solution. La funció utilitzada per crear i escriure aquest full de càlcul s’anomena xlswrite. Cal tenir en compte que de no existir el document indicat en el primer camp de la funció, el crea, en canvi, si ja existeix, el sobreescriu. Estudi del soroll en màquines elèctriques 41 Fig. 6.15: Creació del full Excel (Font: Pròpia) 6.2. Anàlisi electromagnètic en motors síncrons En el cas dels motors síncrons, el programa creat és pràcticament idèntic al dels motors asíncrons ja que el mètode per calcular els modes i les freqüències és el mateix. Per això, en aquest apartat s’expliquen únicament les diferències que hi ha amb el programa explicat en l’anterior apartat. El programa complet es pot trobar en l’apèndix. En la fig. 6.16 es mostra la capçalera d’aquest programa conjuntament amb les funcions clc i clear variables. Memoria 42 Fig. 6.16: Inici del programa (Font: Pròpia) La primera gran diferència entre ambdós programes és que en aquest no hi apareix el terme del lliscament però, en canvi, hi apareix la variable ips que recrea l’integrador ips esmentat en l’apartat 4.3.1 d’aquest document. Fig. 6.17: Variables d’entrada (Font: Pròpia) La segona diferència és força lògica, degut a que no existeix lliscament, la velocitat del rotor (expressada com la variable Wrt del programa) és la velocitat de sincronisme de la màquina. Fig. 6.18: Càlculs previs (Font: Pròpia) L’aparició del nou terme ips fa que s’hagin de redefinir el vectors espacial i temporal de la permeància (PVs i PVt en el programa). La següent fig. 6.19 mostra com s’han afegit en el codi. Estudi del soroll en màquines elèctriques 43 Fig. 6.19: Vectors permeància i FMM (Font: Pròpia) Per concloure, l’última diferència que hi ha entre ambdós programes és que aquest crea un arxiu Excel anomenat “EM_freq_synch_approach.xls”. Fig. 6.20: Creació de l’Excel (Font: Pròpia) Memoria 50 Tal com s’ha dit prèviament, aquest algoritme és més complex que els anteriors pel qual s’ha optat explicar-lo per parts. Primer, es defineix la variable S_f com una matriu de zeros de Nmax files i Mmax columnes. A continuació, hi ha un for en la línia de codi 35 que farà que el que hi hagi dins es repeteixi fins a Nmax vegades. Aquest primer for acaba a la línia 115, mentre que el segon for, que fa que el seu interior es repeteixi fins a Mmax vegades, té el seu end en la línia 114. Aquests dos indiquen el mode longitudinal (n) i el mode radial (m), ja que per cada mode n s’han de calcular tots els modes m corresponents. La primera part del algoritme és la del càlcul de la rigidesa Kms (variable Kmc en el programa) segons l’eq. 65. Per això s’han calculat en aquest apartat les variables Dc, Rc i kc ja que únicament afecten aquesta part del programa. Per altra banda, ωnls (variable wm en el programa) es calcula en les línies que van des de la 43 fins la 51 (fig. 6.34), valent 1 en el cas que el mode de vibració radial sigui zero i calculant l’arrel real més petita i positiva en cas contrari. S’ha de tenir compte que en aquest programa mai s’arriba a m=0 ja que la variable m també s’utilitza com a índex en vectors i matrius i per tant, ha de tenir valors enters positius diferents de zero. Fig. 6.34: Càlcul de la rigidesa de l’estator (Font: Pròpia) També cal destacar el vector V_fm de la línia de codi 55 ja que és un vector que guarda les freqüències naturals de l’estator i que permetrà comparar resultats en el Capítol 5. Estudi del soroll en màquines elèctriques 51 La segona part és el càlcul de la rigidesa de l’esquelet Kme (la variable Kmn en el programa), les arrels de ωnle i les freqüències naturals de l’esquelet. Com es pot observar en la fig. 6.35, les línies 60 i 61 calculen el radi mitjà de l’esquelet i el seu gruix, per altra banda, les línies 62, 63 i 64 calculen les constants L0, λ i la kf respectivament. Un cop calculades aquestes constants de l’esquelet, es procedeix a calcular els coeficients C2, C1 i C0 (línies 68, 73 i 78). Com es pot veure s’ha calculat dividint les expressions de la teoria de Donnell-Mushtari en parts, ja que són expressions llargues d’escriure en codi. Posteriorment, des de la línia 80 fins la 83, es calculen les arrels del polinomi, s’agafa l’arrel real més petita de valor positiu i s’emmagatzema en la matriu V_wnle, una matriu que conté els valors de ωnle2 per cada m i n. Per últim, es calcula la rigidesa de l’esquelet a la línia 85 d’acord amb l’eq. 64 i les freqüències naturals de l’esquelet, les quals es guarden en una variable anomenada V_ff. Fig. 6.35: Càlcul de la rigidesa de l’esquelet (Font: Pròpia) Memoria 52 Per últim, aquest algoritme acaba amb el càlcul de la rigidesa del bobinat i el càlcul de les freqüències naturals del conjunt: estator, esquelet i bobinat. En la línia 93 es calcula el radi mitjà del bobinat. Cal recordar que s’aproxima el bobinat a un anell intern a l’anell del nucli de l’estator. Després del càlcul de les constants Vw i kw, es realitza el càlcul de ωnlb2 (en el programa la variable ww) tal i com s’explica en l’apartat 5.3.3 d’aquest document. A continuació, es calcula la rigidesa d’aquest anell en la línia 106 d’acord amb l’eq. 69 i les freqüències naturals a les que vibra. Aquestes últimes es guarden en el vector V_fw per després poder comparar resultats. En la línia 113 es calculen les freqüències naturals del conjunt d’acord a l’eq. 68, tenint en compte les rigideses i masses de cada part de la màquina. Fig. 6.36: Rigidesa del debanat i freqüències naturals del sistema (Font: Pròpia) Per acabar, la fig. 6.37 mostra l’última part del programa, la qual crea un full de càlcul anomenat “Axial_approach.xls” on hi guarda els diferents resultats d’aquest mètode en les diferents pàgines d’aquest arxiu Excel. Estudi del soroll en màquines elèctriques 53 Fig. 6.37: Creació del full Excel (Font: Pròpia) Memoria 54 7. Capítol 5: Resultats Per tal de poder demostrar l’eficàcia dels programes descrits en el Capítol 4, s’han fet una sèrie d’experiments que permeten comparar els resultats que donen els programes amb els resultats que mostren els autors dels articles i llibres del capítol 2 i 3. 7.1. Resultats de l’anàlisi electromagnètic en motors asíncrons A continuació es mostren dues taules, la primera mostra els resultats que s’haurien d’obtenir [22] mentre que la segona mostra els resultats del programa descrit en l’apartat 6.1 d’aquest document. Les taules han sigut realitzades en base a un motor d’inducció de 3 fases, 4 pols, amb 36 ranures a l’estator i 44 al rotor, a velocitat síncrona i sense càrrega. Al comparar ambdues taules (taula 7.1 i taula 7.2) es pot observar com no són idèntiques, el programa dóna en 5 casos valors de freqüència diferents pels mateixos modes de vibració indicats en la primera taula. Abans d’abordar aquest tema, cal dir que aquestes són les freqüències més rellevants que s’han pogut trobar. També cal dir que en diferents anàlisi es poden trobar freqüències i modes ja vistos anteriorment. És el cas del mode 11 a 1150 Hz, el qual apareix tant si es considera isa=1 com si és isa=0. Dels casos que no donen el mateix resultat, els modes 9, 5 i 7 a freqüències 1050, 1150 i 1150 Hz respectivament en la segona taula, s’ha arribat a la conclusió que és possible que hi hagi un error d’escriptura en la taula original (taula 7.1). La prova és que en l’article original [22], esmenta que en el cas de F1, ist=irt=1 i iecrts=1 s’obté un mode 9 a freqüència 1150 Hz i posteriorment fa una sèrie de càlculs en base a aquest exemple. Aquest fet demostra que els resultats numèrics obtinguts per aquests tres casos són correctes. Per altra banda, després d’un intens estudi i anàlisi dels resultats que s’indica en el llibre, no s’ha pogut identificar si els valors de modes 9 i 7 de freqüències 250 i 150 Hz són correctes o no ja que, per isa=2, no hi ha cap combinació possible que doni com a resultat les freqüències -150 i -250 Hz respectivament. Això es pot deure a un altre error d’escriptura, o bé, l’autor a pres una consideració no esmentada en el seu llibre. Estudi del soroll en màquines elèctriques 55 Taula 7.1: Resultats de l’anàlisi de freqüències segons “Low-noise esectrical motors” (Font: [22]) Freqüència (Hz) mode Origen kst=1 kst=5 ist=irt=1 iecrts=1 isa=1 isa=2 50 1   50 3   50 3    50 1    -50 9   -50 11   150 5    150 5    150 7    -150 9    -250 7    250 11    950 3     1050 7     1050 9    1150 5    1150 7    1150 11     1250 15     Memoria 56 Taula 7.2: Resultats segons “EM_frequencies_approximation_asynchronous.m” (Font: Pròpia) Freqüència (Hz) mode Origen kst=1 kst=5 ist=irt=1 iecrts=1 isa=1 isa=2 50 1   50 3   50 3    50 1    -50 9   -50 11   150 5    150 5    150 7    250 9    150 7    250 11    950 3     1050 7     1150 9    1050 5    1050 7    1150 11     Estudi del soroll en màquines elèctriques 57 7.2. Resultats de l’anàlisi electromagnètic en motors síncrons En el cas dels motors síncrons no s’ha trobat cap estudi ni cap treball que presenti els resultats de les freqüències de vibració d’origen electromagnètic. Aquest és el motiu pel qual s’ha optat per mostrar els resultats d’una màquina amb bobinat al rotor i a l’estator, de pols sortints, amb excentricitat estàtica i observant l’efecte de l’harmònic fonamental de la saturació. Les següent taula s’ha realitzat en base a un motor d’imants permanents de pols sortints de 3 fases, 4 pols, amb 36 ranures a l’estator, a velocitat síncrona i sense càrrega. Taula 7.3: Resultats segons “EM_frequencies_approximation_synchronous.m” (Font: Pròpia) Freqüència (Hz) mode Origen kst=1 kst=5 ist=irt=1 iecrts=1 ips=1 200 29     100 31     -200 33     -100 35     -100 37     100 39     200 43     100 45     El que s’observa en aquesta taula es que els modes de freqüències de vibració són molt alts i per tant té un millor comportament en aquest aspecte que la màquina asíncrona de l’apartat 7.1. Cal dir que en general, les màquines de pols sortints fan més soroll que les màquines cilíndriques i encara que aquesta afirmació sembla contrària als resultats obtinguts, té una explicació. El fet de concentrar la massa en els pols sortints fa que el moment d’inèrcia sigui més elevat i també ho sigui la força centrífuga de la màquina. Per tant, el fet que es produeixi soroll en les màquines d’imants permanents amb pols sortints es pot deduir que té un origen més estructural que no pas electromagnètic [23]. Memoria 58 7.3. Resultats del mètode Witczak En aquest apartat es mostren els resultats obtinguts a partir del programa del mètode Witczak. La taula 7.4 mostra els resultats de l’autor mentre que, la taula 7.5 mostra els resultats obtinguts en la simulació. Les dades emprades en ambdós casos són: Zst=36, Rext=0.085 m, Rint=0.057 m, lz=0.018 m i bz=0.004 m. Taula 7.4: Resultats de P. Witczak (Font: [17]) Mètode Freqüències naturals relatives (ωn/ω0) Freqüència (rad/s) n=2 n=3 n=4 n=5 Aprox. anular 0.093 0.261 0.501 0.81 49.2 x103 Aprox. ranurat 0.091 0.252 0.467 0.728 49.2 x103 F.E.M. 0.091 0.245 0.441 0.642 48.6 x103 Taula 7.5: Resultats del programa Witczak_approximation.m (Font: Pròpia) Mètode Freqüències naturals relatives (ωn/ω0) Freqüència (rad/s) n=2 n=3 n=4 n=5 Aprox. anular 0,097 0,274 0,525 0,849 48.2 x103 Aprox. ranurat 0,096 0,262 0,484 0,749 48.2 x103 Exceptuant el resultat de l’aproximació de l’estator ranurat a n=2, la resta de valors d’aquesta Taula 7.5 tenen un error inferior al 5% respecte als valors de la Taula 7.4. Hi ha dos possibles motius que poden explicar aquesta diferència. El primer és que es pot deure a un error d’aproximació decimal que s’hagi anat acumulant al llarg de les operacions d’aquest mètode. Això es pot observar fàcilment en el fet que P. Witczak indica que utilitza una kp=1.49 i una ki=14.2 quan, calculades numèricament aquestes constants valen aproximadament, kp=1.52 i ki=14.88. Per altra banda, el segon motiu, que està en certa manera relacionat amb el primer, es deu a la falta d’informació, ja que l’autor de l’article [17] no indica quins valors del mòdul de Young i densitat utilitza, pel qual s’ha suposat una densitat ρ=7700Kg/m3 i s’ha calculat el mòdul de Young de manera retroactiva. El resultat obtingut és que aquest mòdul de Young val, aproximadament, E=173,5748 x109 Pa. Estudi del soroll en màquines elèctriques 59 7.4. Resultats del mètode Jordan, Frohne i Üner Per aquest mètode no s’ha trobat cap taula i/o treball que permeti contrastar resultats. Per això s’ha optat per mostrar els valors obtinguts del programa per una màquina amb les següents característiques: Zst=36, Rext=0.1588 m, Rint=0.089 m, lz=0.034 m, bz=0.00768 m, lc=0.117 m, E=200x109 Pa, ρfe=7700 kg/m3, Aw=2,6112x10-4 m2, ko=0.35, ki=0.98 i la massa de l’aïllament no es contempla. Taula 7.6: Resultats del programa Jordan_Frohne_Uner_approximation.m (Font: Pròpia) Modes 1 2 3 4 5 Freqüències (Hz) 6535 872 2270 3943 5745 7.5. Resultats del mètode de vibració longitudinal Per aquest últim mètode s’han trobat diferents taules de resultats amb les que poder comparar. Aquestes han sigut preses tenint en compte les següents característiques de la màquina: Rext= 0,1165 m, Rint= 0,08 m, Ls=0,1975 m, h= 8,42 mm, hov= 48 mm, Rext,esq= 0,123 m, Le=0.359 m, ρs= 7700 kg/m3, ρe= 2700 kg/m3, ρw= 8890 kg/m3, Es=200 x109 Pa, Ew=9,4 x109 Pa, Ef=71 x109 Pa, νs=0,3, νe=0,33, νw=0,35 , ht=2,8 mm, ms= 18,85 kg, me= 6,24 kg i mw= 12,02 kg. Les Taules 7.7 i 7.8 mostren les freqüències naturals de l’anell de l’estator segons l’autor i segons el programa respectivament. Taula 7.7: Freqüències naturals de l’estator (Hz) (Font: [24]) Mode de vibració radial 1 2 3 4 5 6 7 8 116 464 1313 2517 4070 5971 8218 10811 Estudi del soroll en màquines elèctriques 67 Pressupost i/o Anàlisi Econòmica A continuació, la següent taula mostra el pressupost per capítols i total del treball realitzat. Taula: Pressupost (Font: Pròpia) Pressupost vàlid fins a un període de 30 dies naturals. Concepte Tipologia Cost (€) Matlab Student Kit Material 35 600 Hores Treball (22.5 €/h) 13500 Impressió i presentació Treball 120 +21% IVA +2867,55 Total: 16522,55 Estudi del soroll en màquines elèctriques 69 Bibliografia Referències bibliogràfiques [1] Norton, M.P., Karczub, D.G. Fundamentals of noise and vibration analysis (second edition). New York: Cambridge University Press, 1989, p. 1-2 [2] [http://physics.stackexchange.com/questions/51838/why-do-tuning-forks-have-two-prongs, 24 de Gener de 2016] [3] [http://www.daviddarling.info/encyclopedia/E/electric_motor.html, 22 de Gener de 2016] [4] Yang, S.J. Low-noise electrical motors. New York: Oxford University Press, 1981, p. 38 [5] Gieras, J.F., Wang, C. Lai, J.C. Noise of polyphase electric motors. Nova York: Taylor & Francis Group, 2006, p. 6 [6] Gieras, J.F., Wang, C. Lai, J.C. Noise of polyphase electric motors. Nova York: Taylor & Francis Group, 2006, p. 3 [7] [https://www.researchgate.net/figure/260304052_fig2_Fig-2-Magnetic-flux-distribution-forinduction-motor-a-Healthy-and-b-one-broken, 3 de Novembre de 2016] [8] Yang, S.J. Low-Noise electrical motors. Nova York: Oxford University Press, 1981, p. 15 [9] Yang, S.J. Magnetic exciting forces. A: S.J.Yang. Low-Noise electrical motors. Nova York: Oxford University Press, 1981, p. 15-19 [10] [http://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-07642011000400009, 25 d’Octubre de 2016] [11] [http://www.mpoweruk.com/machines.htm, 26 d’Octubre de 2016] [12] Kikuchi,T., Kenjo, T. In-depth Learning of Cogging/Detenting Torque through Experiments and Simulations. IEEE.org. Article electronic. [http://www.ewh.ieee.org/soc/es/Nov1998/12/BEGIN.HTM, 15 d’Octubre de 2016] [13] Seely, S. Electromechanical Energy Conversion. Nova York: McGraw-Hill, 1962 Annexos 70 [14] [http://top10electrical.blogspot.com.es/2015/02/synchronous-machine-rotor-types.html, 12 de Novembre de 2016] [15] [http://electronics.stackexchange.com/questions/201123/explanation-of-lq-ld-and-how-itrelates-to-motor-inductance, 12 de Novembre de 2016] [16] Gieras, J.F., Wang, C. Lai, J.C. Noise of polyphase electric motors. Nova York: Taylor & Francis Group, 2006, p. 38 [17] Witczak, P. Analytical method for calculation of eigenfrequencies and modes of stator cores in ac Machines (extended version). Lodz: 2012. [18] [http://www.vibrationdata.com/tutorials2/ringmode.pdf, 19 de Desembre de 2016] [19] Yang , S.J. Mechanical Behaviour of Stators. A: S.J.Yang. Low-Noise electrical motors. Nova York: Oxford University Press, 1981, p. 37-42 [20] Gieras J.F., Wang C., Lai J.C. Stator System Vibration Analysis. A: J.F.Gieras. Noise of polyphase electric motors. Nova York: Taylor & Francis Group, 2006, p. 112-117 [21] [http://www.o-digital.com/wholesale-products/2179/2188-4/Motor-Frame-78141.html, 22 de Desembre de 2016] [22] Yang, S.J. Low-Noise electrical motors. Nova York: Oxford University Press, 1981, p. 23 [23] [https://www.scribd.com/doc/102906842/Rotor-de-Polos-Salientes, 26 de Desembre de 2016] [24] Gieras J.F., Wang C., Lai J.C. Stator System Vibration Analysis. A: J.F.Gieras. Noise of polyphase electric motors. Nova York: Taylor & Francis Group, 2006 [25] Leissa, A.W. Vibration of shells. Washington: NASA, 1973, p. 38 [26] Gieras J.F., Wang C., Lai J.C. Stator System Vibration Analysis. A: J.F.Gieras. Noise of polyphase electric motors. Nova York: Taylor & Francis Group, 2006, p. 114 TREBALL FI DE GRAU Grau en Enginyeria Elèctrica ESTUDI DEL SOROLL EN MÀQUINES ELÈCTRIQUES Volum II Apèndix - Annex Autor: Arnau Romero Sepúlveda Director: Ramon Bargalló Perpiñà Departament: EE Convocatòria: Gener 2017 Estudi del soroll en màquines elèctriques 71 Apèndix 1. EM_frequencies_approximation_asynchronous.m A continuació es mostra el codi realitzat per l’anàlisi de freqüències electromagnètiques en motors asíncrons. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % Electromagnetic Frequencies & freq_modes for asynchronous motors % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% clc clear variables %Input Variables irt=0; % Permeance integer: slotted rotor ist=0; % Permeance integer: slotted stator iecrtd=0; % Permeance integer: Dynamic eccentricity and dissymetries iecrts=1; % Permeance integer: Static eccentricity isa=2; % Permeance integer: Saturation effect iecst=0; % Permeance integer: Dissymetries in the stator shape Wec= 0; % Rotor angular speed with eccentricity (rad/s) f1= 50; % Supply frequency (Hz) p=2; % Machine pole pairs Zrt= 44; % Rotor slots Zst= 36; % Stator slots s=0; % Machine slip kst=1; % Order of the space harmonic (only positive) qst=1; % Order of the time harmonic (positive or negative) % Previous calculus W1=2*pi*f1; ns= 60*f1/p; Wsynch=ns*2*pi/60; Wrt=Wsynch*(1-s); % Permeance Vectors & MMF harmonics PVs=[irt*Zrt ist*Zst iecrtd iecst iecrts 2*isa*p]; % Permeance space vector PVt=[irt*Zrt*Wrt iecrtd*Wec 2*isa*W1]; % Permeance time vector FVs=kst*p; % MMF space harmonic FVt=qst*W1; % MMF time harmonic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % Frequencies Annexos 72 MVt=zeros(1,1); [~,sz2]=size(PVt); m=1; i_max=2; for i=1:sz2 if PVt(1,i)~=0 MVt(1,m)=PVt(1,i); m=m+1; i_max=i_max*2; end end [~,sz2]=size(MVt); MVt(1,sz2+1)=FVt; [~,sz2]=size(MVt); n=-1; n3=-1; kn3=2; n5=-1; kn5=4; n9=-1; kn9=8; for i=1:i_max if MVt(1,1)==PVt(1,1) switch sz2 case 1 frequencies(1,i)= MVt(1,1); case 2 frequencies(1,i)= MVt(1,1)+n*MVt(1,2); case 3 frequencies(1,i)= MVt(1,1)+n3*MVt(1,2)+n*MVt(1,3); case 4 frequencies(1,i)= MVt(1,1)+n5*MVt(1,2)+n3*MVt(1,3)+n*MVt(1,4); end else switch sz2 case 1 frequencies(1,i)= n*MVt(1,1); case 2 frequencies(1,i)= n3*MVt(1,1)+n*MVt(1,2); case 3 frequencies(1,i)= n5*MVt(1,1)+n3*MVt(1,2)+n*MVt(1,3); case 4 frequencies(1,i)= n9*MVt(1,1)+n5*MVt(1,2)+n3*MVt(1,3)+n*MVt(1,4); end end % n coefficients n=n*(-1); if mod(i,3)==kn3 Estudi del soroll en màquines elèctriques 73 n3=n3*(-1); kn3=kn3-1; if kn3==-1 kn3=2; end end if mod(i,5)==kn5 n5=n5*(-1); kn5=kn5-1; if kn5==-1 kn5=4; end end if mod(i,9)==kn9 n9=n9*(-1); kn9=kn9-1; if kn9==-1 kn9=8; end end end frequencies=frequencies/(2*pi); frequencies=unique(frequencies,'stable'); [~,sz2]=size(frequencies); % Modes of frequencies [~,sz4]=size(PVs); MVs=zeros(1,1); m=1; j_max=2; for i=1:sz4 if PVs(1,i)~=0 MVs(1,m)=PVs(1,i); m=m+1; j_max=j_max*2; end end [~,sz4]=size(MVs); MVs(1,sz4+1)=FVs; [~,sz4]=size(MVs); n=-1; n3=-1; kn3=2; n5=-1; kn5=4; n9=-1; kn9=8; n17=-1; kn17=16; n33=-1; kn33=32; Annexos 74 m=1; i=1; for j=1:j_max if MVs(1,1)==PVs(1,1) switch sz4 case 1 freq_modes(1,j)=MVs(1,1); case 2 freq_modes(1,j)=MVs(1,1)+n*MVs(1,2); case 3 freq_modes(1,j)=MVs(1,1)+n3*MVs(1,2)+n*MVs(1,3); case 4 freq_modes(1,j)=MVs(1,1)+n5*MVs(1,2)+n3*MVs(1,3)+n*MVs(1,4); case 5 freq_modes(1,j)=MVs(1,1)+n9*MVs(1,2)+n5*MVs(1,3)+n3*MVs(1,4)+n*MVs(1,5); case 6 freq_modes(1,j)=MVs(1,1)+n17*MVs(1,2)+n9*MVs(1,3)+n5*MVs(1,4)+n3*MVs(1,5) +n*MVs(1,6); case 7 freq_modes(1,j)=MVs(1,1)+n33*MVs(1,2)+n17*MVs(1,3)+n9*MVs(1,4)+n5*MVs(1,5 )+n3*MVs(1,6)+n*MVs(1,7); end else switch sz4 case 1 freq_modes(1,j)=n*MVs(1,1); case 2 freq_modes(1,j)=n3*MVs(1,1)+n*MVs(1,2); case 3 freq_modes(1,j)=n5*MVs(1,1)+n3*MVs(1,2)+n*MVs(1,3); case 4 freq_modes(1,j)=n9*MVs(1,1)+n5*MVs(1,2)+n3*MVs(1,3)+n*MVs(1,4); case 5 freq_modes(1,j)=n17*MVs(1,1)+n9*MVs(1,2)+n5*MVs(1,3)+n3*MVs(1,4)+n*MVs(1, 5); case 6 freq_modes(1,j)=n33*MVs(1,1)+n17*MVs(1,2)+n9*MVs(1,3)+n5*MVs(1,4)+n3*MVs( 1,5)+n*MVs(1,6); case 7 freq_modes(1,j)=MVs(1,1)+n33*MVs(1,2)+n17*MVs(1,3)+n9*MVs(1,4)+n5*MVs(1,5 )+n3*MVs(1,6)+n*MVs(1,7); end end Combined(1,m)=freq_modes(1,j); Combined(2,m)=frequencies(1,i); i=i+1; if i>sz2 i=1; end Estudi del soroll en màquines elèctriques 81 if kn9==-1 kn9=8; end end if mod(j,17)==kn17 n17=n17*(-1); kn17=kn17-1; if kn17==-1 kn17=16; end end if mod(j,33)==kn33 n33=n33*(-1); kn33=kn33-1; if kn33==-1 kn33=32; end end end Combined=transpose(Combined); Combined=unique(Combined,'rows'); [sz1,~]=size(Combined); m=1; Solution=zeros(1,1); for i=1:sz1 if (Combined(i,1)<=100)&&(Combined(i,1)>0) Solution(m,1)=Combined(i,1); Solution(m,2)=Combined(i,2); m=m+1; end end format shortG Solution xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'Variables'},1,'A1'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'irt'},1,'A2'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',irt,1,'B2'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'ist'},1,'A3'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',ist,1,'B3'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'iecrtd'},1,'A4'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',iecrtd,1,'B4'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'iecrts'},1,'A5'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',iecrts,1,'B5'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'isa'},1,'A6'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',isa,1,'B6'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'iecst'},1,'A7'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',iecst,1,'B7'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'iecst'},1,'A8'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',iecst,1,'B8'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'Wec'},1,'A9'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',Wec,1,'B9'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'f1'},1,'A10'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',f1,1,'B10'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'p'},1,'A11'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',p,1,'B11'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'Zrt'},1,'A12'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',Zrt,1,'B12'); Annexos 82 xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'Zst'},1,'A13'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',Zst,1,'B13'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'kst'},1,'A14'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',kst,1,'B14'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',{'qst'},1,'A15'); xlswrite('EM_freq_synch_approach.xls',qst,1,'B15'); xlswrite('EM_freq_asynch_approach.xls',{'Modes'},1,'D2'); xlswrite('EM_freq_asynch_approach.xls',{'Freqüències'},1,'E2'); xlswrite('EM_freq_asynch_approach.xls',{'(Hz)'},1,'F2'); xlswrite('EM_freq_asynch_approach.xls',Solution,1,'D3'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % Algorithm code written by: Arnau Romero Sepúlveda %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% 3. Witczak_approximation.m A continuació es mostra el codi realitzat per l’anàlisi de freqüències naturals segons el mètode Witczak. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % Numeric simulation of Witczak eigenfrequencies %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% clc clear variables % Input arguments Rext=0.085; % External Radius (m) Rint=0.057; % Internal Radius(m) bz=0.004; % Tooth width (m) lz=0.018; % Tooth height (m) E=173.5748e+9; % Young Modulus (Pa) Ds=7700; % Stator density (Kg/m^3) Zst=36; % Number of stator slots Pc=0.3; % Poisson coefficient N=10; % Maximum number of radial modes % Previous calculus Rm=(Rext+(Rint+lz))/2; % Mean Radius (without teeth) (m) h=Rext-Rint-lz; % Ring thickness (m) kp=1+(Zst*bz*lz)/(2*pi*Rm*h); ki=1+((lz/h)^3)*(1+(bz/lz)^2+3*(1+h/lz)^2)*(Zst*bz/(2*pi*Rm)); iGI=((Rm/h)^2)*(12*5/6)/(2*(1+Pc)); iG=5/(12*(1+Pc)); Estudi del soroll en màquines elèctriques 83 % Smooth ring approximation beta=(h^2)/(12*Rm^2); wo=sqrt(E/(Ds*Rm^2)); V_ra=zeros(2,N); S_ra=zeros(2,N); for n=1:N V_ra(1,n)=n; S_ra(1,n)=n; V_ra(2,n)=sqrt((beta*(n^2)*((n^2-1)^2))/((n^2)+1)); S_ra(2,n)=V_ra(2,n)*wo/(2*pi); end % Stator approximation V_ea=zeros(2,N); S_ea=zeros(2,N); woz=sqrt((wo^2)/kp); for n=1:N V_ea(1,n)=n; S_ea(1,n)=n; A=-1; B=iG+iG*kp/ki+n^2+iG*n^2+1; C=2*iG*n^2-iG-iGI*kp/ki-iG*n^4-iG*kp*(n^2)/ki-iG*kp*(n^4)/kiiGI*kp*(n^2)/ki; D=iG*kp*(n^6)/ki-2*iG*kp*(n^4)/ki+iG*kp*(n^2)/ki; polynom=[A B C D]; Solution=min(real(roots(polynom))); V_ea(2,n)=sqrt(Solution); S_ea(2,n)=V_ea(2,n)*woz/(2*pi); end xlswrite('Witczak_approach.xls',{'Freqüències' 'relatives' 'Wn/W0';'Modes' '' '';'Anular' '' '';'Estator' '' ''},1,'A1'); xlswrite('Witczak_approach.xls',V_ra,1,'B2'); xlswrite('Witczak_approach.xls',V_ea(2,1:end),1,'B4'); xlswrite('Witczak_approach.xls',{'Freqüències' 'naturals' 'fn (Hz)';'Modes' '' '';'Anular' '' '';'Estator' '' ''},1,'A6'); xlswrite('Witczak_approach.xls',S_ra,1,'B7'); xlswrite('Witczak_approach.xls',S_ea(2,1:end),1,'B9'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % Algorithm code written by: Arnau Romero Sepúlveda %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Annexos 84 4. Jordan_Frohne_Uner_approximation.m A continuació es mostra el codi realitzat per l’anàlisi de freqüències naturals segons el mètode de Jordan, Frohne i Üner. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % Numeric simulation of Jordan, Frohne and Üner eigenfrequencies %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% clc clear variables % Input arguments Rext=0.1588; % External Radius (m) Rint=0.089; % Internal Radius (m) bz=0.00768; % Tooth width (m) lz=0.034; % Tooth height (m) lc=0.117; % Stator length (m) E=200e+9; % Young modulus (Pa) Dfe=7600; % Stator density (Kg/m^3) Dcu=8900; % Winding density (Kg/m^3) Gb=0; % Insulation mass (Kg) Aw=2.6112e-4; % Stator slot area (m^2) Zst=36; % Number of stator slots fo=0.35; % Occupying factor of winding ki=0.98; % Stacking factor N=10; % Maximum number of radial modes % Previous calculus Rm=(Rext+(Rint+lz))/2; % Mean Radius (without teeth (m) h=Rext-Rint-lz; % Ring thickness (m) At=bz*lc*ki; % Tooth cross sectional area (m^2) Gz= ((pi)*((Rint+lz)^2-Rint^2)-Aw*Zst)*lc*ki*Dfe; % Teeth mass (Kg) Gw=fo*Zst*Aw*lc*Dcu; % Winding mass (Kg) Gj=pi*(Rext^2-(Rint+lz)^2)*lc*Dfe*ki; % Stator yoke mass (Kg) maf=1+(Gz+Gw+Gb)/Gj; % Mass addition factor I=h/(2*sqrt(3)*Rm); AT=At*(Gz+Gw+Gb)/Gz; theta_z=AT*(lz^3)*((h/(2*lz))^2+(h/(2*lz))+1/3); mafr=1+12*Zst*theta_z/(2*pi*lc*(h^3)*Rm); % Mass addition factor with rotation Estudi del soroll en màquines elèctriques 85 % Eigenfrequencies fo=sqrt(E/(Dfe*maf))/(2*pi*Rm); % Breathing mode frequency (Hz) S_ea=zeros(2,N); for n=1:N S_ea(1,n)=n; if n==1 S_ea(2,n)=fo*sqrt(2/(1+(I^2)*mafr/maf)); else phi=(1+(I^2)*(n^2-1)*(3+(n^2)*(4+mafr/maf))/(n^2+1))^-0.5; S_ea(2,n)=fo*I*n*((n^2)-1)*phi/sqrt(n^2+1); end end xlswrite('JFU_approach.xls',{'Freqüències' 'naturals' '(Hz)';'Modes' '' '';'Freqüències' '' '';'' '' ''},1,'A1'); xlswrite('JFU_approach.xls',S_ea,1,'B2'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % Algorithm code written by: Arnau Romero Sepúlveda %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% 5. Axial_eigenfrequencies_approximation.m A continuació es mostra el codi realitzat per l’anàlisi de freqüències naturals radials i longitudinals. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % Numeric simulation of axial eigenfrequencies %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% clc clear variables % Input arguments Dout=0.233; % Stator core outer diameter (m) Din=0.16; % Stator core inner diameter (m) Df=0.246; % Frame diameter (m) Li=0.1975; % Effective length of stator (m) Lf=0.359; % Length of frame (m) Pf=0.33; % Frame poisson coef. Pc=0.3; % Stator core poisson coef. Pw=0.35; % Winding poisson coef. Ef=71e+9; % Frame Young modulus (Pa) Ec=200e+9; % Stator core Young modulus (Pa) Ew=9.4e+9; % Winding Young modulus (Pa) Mf=6.24; % Frame mass (Kg) Mc=18.85; % Stator core mass (Kg) Mw=12.02; % Winding mass (Kg) Dsc=7700; % Stator core density (Kg*m^-3) Annexos 86 Dsw=8890; % Winding density (Kg*m^-3) Dsf=2700; % Frame density (Kg*m^-3) hc=0.00842; % Stator yoke thickness (m) ht=0.028; % Stator tooth length (m) hov=0.048; % Length of winding overhang (m) Mmax=8; % Maximum number of radial modes Nmax=3; % Maximum number of axial modes % Algorithm S_f=zeros(Nmax,Mmax); for n=1:Nmax for m=1:Mmax % Stator core part Dc=(Dout-hc); Rc=(Dout-hc)/2; kc=(hc^2)/(12*Rc^2); if m==0 wm=1; else w_1=1+m^2+kc*m^4; w_2=sqrt((1+m^2+kc*m^4)^2-4*kc*(m^6)); V_wm(1,1)=sqrt(w_1+w_2)/sqrt(2); V_wm(1,2)=sqrt(w_1-w_2)/sqrt(2); wm=min(V_wm(find(V_wm>0))); end Kmc=4*(wm^2)*pi*Li*hc*Ec/(Dc*(1-Pc^2)); fm=wm*sqrt(Ec/(Dsc*(1-Pc^2)))/(pi*Dc); if m~=0 V_fm(1,m)=fm; % Stator frequencies vector end % Stator frame part Rf=(Df+Dout)/4; hf=(Df-Dout)/2; Lo=Lf*0.3/(n+0.3); lambda=n*pi*(Rf/(Lf-Lo)); kf=(hf^2)/(12*Rf^2); a_2=(3-Pf)*(m^2+lambda^2); b_2=kf*(m^2+lambda^2)^2; C2=1+(a_2/2)+b_2; a_1=(3+2*Pf)*lambda^2; b_1=((m^2+lambda^2)^2)+(3-Pf)*kf*((m^2+lambda^2)^2)/(1-Pf); c_1=(1-Pf)/2; C1=c_1*(a_1+m^2+b_1); a_0=(1-Pf^2)*lambda^4; b_0=kf*(m^2+lambda^2)^4; c_0=(1-Pf)/2; C0=c_0*(a_0+b_0); Estudi del soroll en màquines elèctriques 87 polynom=[1 -C2 C1 -C0]; rts=real(roots(polynom)); wf=min(rts(find(rts>0))); V_wnle(n,m)=wf; % Frame polyroots vector Kmn=2*wf*pi*Lf*hf*Ef/(Rf*(1-Pf^2)); fx=sqrt(Kmn/Mf)/(2*pi); ff=sqrt(Ef*wf/(Dsf*(1-Pf^2)))/(2*pi*Rf); if m~=0 V_ff(n,m)=ff; % Frame frequencies vector V_fx(n,m)=fx; end % Winding part Rw=(Din+ht)/2; Vw=2*pi*Rw*ht*(Li+2*hov); kw=(ht^2)/(12*Rw^2); if m==0 ww=1; else ww_1=1+m^2+kw*m^4; ww_2=sqrt((1+m^2+kw*m^4)^2-4*kw*(m^6)); V_ww(1,1)=sqrt(ww_1+ww_2)/sqrt(2); V_ww(1,2)=sqrt(ww_1-ww_2)/sqrt(2); ww=min(V_ww(find(V_ww>0))); end Kmw=(ww^2)*Ew*Vw/((Rw^2)*(1-Pw^2)); fw=ww*sqrt(Ew/(Dsw*(1-Pw^2)))/(pi*2*Rw); if m~=0 V_fw(1,m)=fw; % Winding frequencies vector end S_f(n,m)=sqrt((Kmc+Kmn+Kmw)/(Mc+Mf+Mw))/(2*pi); end end xlswrite('Axial_approach.xls',{'Freqüències' 'del sistema' ' (Hz)';'Modes' '' ''; '' '' ''},1,'A1'); xlswrite('Axial_approach.xls',1:m,1,'B2'); xlswrite('Axial_approach.xls',(1:n).',1,'A3'); xlswrite('Axial_approach.xls',S_f,1,'B3'); xlswrite('Axial_approach.xls',{'Freqüències' 'del nucli de' 'l´estator (Hz)';'Modes' '' '';'Freqüències' '' ''},2,'A1'); xlswrite('Axial_approach.xls',1:m,2,'B2'); xlswrite('Axial_approach.xls',V_fm,2,'B3'); xlswrite('Axial_approach.xls',{'Freqüències' 'del bobinat' '(Hz)';'Modes' '' '';'Freqüències' '' ''},2,'A5'); xlswrite('Axial_approach.xls',1:m,2,'B6'); xlswrite('Axial_approach.xls',V_fw,2,'B7'); Annexos 88 xlswrite('Axial_approach.xls',{'Freqüències' 'de l´esquele' 't (Hz)';'Modes' '' ''; '' '' ''},2,'A9'); xlswrite('Axial_approach.xls',1:m,2,'B10'); xlswrite('Axial_approach.xls',(1:n).',2,'A11'); xlswrite('Axial_approach.xls',V_ff,2,'B11'); xlswrite('Axial_approach.xls',{'Arrels de' 'Wf^2' '';'Modes' '' ''; '' '' ''},3,'A1'); xlswrite('Axial_approach.xls',1:m,3,'B2'); xlswrite('Axial_approach.xls',(1:n).',3,'A3'); xlswrite('Axial_approach.xls',V_wnle,3,'B3'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% % Algorithm code written by: Arnau Romero Sepúlveda %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Estudi del soroll en màquines elèctriques 89 Annex A A.1 Conceptes bàsics de MATLAB MATLAB és una plataforma que utilitza el seu propi llenguatge per expressar matemàtiques de forma computacional. Aquesta plataforma és una eina molt útil en l’àmbit de l’enginyeria ja que permet fer una gran quantitat d’operacions, així com representacions gràfiques i l’ús d’una gran quantitat de llibreries centrades en diferents àmbits tecnocientífics. L’eina principal però, és l’editor amb el qual l’usuari pot crear els seus propis codis com arxius (.m). Per crear un arxiu s’ha de fer el següent: Pestanya Home  New Script. També es pot fer amb el teclat prement ctrl+N. Un cop creat l’script es pot observar que MATLAB es divideix en 5 parts tal com indica la fig. A.1. La primera, a la part superior, és la cinta d’opcions, la segona és el current folder a la part esquerra, la tercera és el workspace a la part dreta, la quarta és l’editor de script al centre de la pantalla i per últim la command window que es situa just a sota de l’editor. Fig. A.1: Parts de MATLAB (Font: Pròpia) Annexos 90 · Cinta d’opcions: Permet a l’usuari fer diferents funcions de la plataforma MATLAB. En aquest cas les funcions més rellevants són les de guardar i obrir arxius. Cal destacar que MATLAB no reconeix arxius ni deixa guardar si aquests tenen caràcters no reconeguts en el nom. Aquests caràcters podrien ser posar espais o bé accents. · Current folder: Indica en quina carpeta s’està treballant i quins arxius hi ha dins la carpeta que MATLAB pugui reconèixer. Aquest apartat és important ja que si un codi fa referència a una funció externa, aquesta funció s’ha de trobar en la mateixa carpeta ja que sinó donarà un error. · Workspace: Indica les variables que utilitza el codi i a més mostra el seu valor. Si es tracta de vectors o matrius, aquestes es mostraran en un full de càlcul propi de MATLAB. · Editor: En aquest apartat és on l’usuari escriu el codi del seu programa. Funciona com la majoria de codis de programació, té vectors, matrius, condicionals, for, while... · Command window: En aquest apartat l’usuari pot demanar operacions però aquestes només es realitzaran una sola vegada (al prémer el botó enter) pel qual no és recomanable el seu ús a no ser que sigui per fer comprovacions. Per altra banda, la línia de comandes també mostra totes aquelles operacions de l’editor que no estan finalitzades amb ;. Això pot fer que el programa s’alenteixi, però pot servir per mostrar resultats de manera senzilla. A.2 Declaració de variables en MATLAB En MATLAB es consideren dos tipus diferents de variables: les numèriques i les simbòliques. El primer grup és aquell el qual la variable es defineix com un valor numèric, ja sigui una constant o bé es calculi a partir d’altres variables numèriques. El segon, en canvi, són variables de valor desconegut, com les emprades en àlgebra. Fig. A.2: Declaració de variables (Font: Pròpia)