Tema 1: Vectors

TEMA 1: VECTORS DEPARTAMENT DE FISICA Grau en Ciències i Tecnologies del Mar FÍSICA I MEDI AMBIENT Albert Falqués Serra Setembre 2023 Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.1Vectors. Components cartesianes 1.1-Vectors. Components cartesianes Magnituds de la Física: Escalars: definides per un número (exemples: temperatura, massa, temps) Vectors:definides per un número, direcció i sentit (exemples: força, velocitat, desplaçament) Tensors: aplicacions lineals entre vectors (es veu en altres assignatures) Un vector es defineix per: Mòdul (número, magnitud o intensitat) Direcció Sentit (cada direcció té dos sentits possibles) mòdul direcció sentit Exemple: força aplicada a un cos F  mòdul NFF 65===  x y F  x F y F α β 22 yx FFFF +===  mòdul α cosF Fx= αβ sin cos FFFy== ),( y xFFF =  x F y F z F x y z F  α β γ 2 22 zyx FFF FF ++===  mòdul α cos FFx= β cosF Fy= γ cosFFz= ),,( zyx FFFF =  3 R Conjunt de tots els vectors: Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.1Vectors. Components cartesianes Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.1Vectors. Components cartesianes Activitat 1.1.1 Un vector de mòdul 5 determina angles α=60 i β=70 amb els eixos x-y. Trobeu els seus components. Trobeu l’angle γque forma amb l’eix z. Respostes: )98.3,71.1,50.2( ± 𝛾𝛾= 37. 3𝑜𝑜, 142.7𝑜𝑜 Vector definit per dos punts de l’espai: x y a  1 P 2 P 1 x 2 x 1 y 2 y ),,( 12121221 zzyyxxPPa −−−==  Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.2-Suma de vectors i producte per escalars 1.2-Suma de vectors i producte per escalars Suma de dos vectors: ),, ( z y x aa aa =  ),, (zy xb bbb =  ), ,( zz yyxx b ababa ba +++ =+   a  b  ba  + ba  + a  b  Producte d’un vector per un escalar: ),,( zy x aa aa =  R∈ λ ),,( zyx aa aa λλλλ =  a  a  4 33 3RRR →× 33 RRR →× Propietats ab ba   +=+ commutativa: associativa: distributiva: cb ac ba     ++=++ )()( baba     λλλ +=+ )( aaa  µλµλ +=+ )( aa  )()( µλµλ = aa  λλ = a  b  c  d  dcba    +++ El conjunt de tots els vectors amb la suma de vectors i el producte per escalars te estructura d’espai vectorial sobre els números reals, de dimensió 3   Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.2-Suma de vectors i producte per escalars baba    )1(−+=− Resta de dos vectors: a  b  ba  − Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.2-Suma de vectors i producte per escalars )0,0,0(0 =  Vector nul: Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.3-Bases cartesianes 1.3-Bases cartesianes )0,0, 1( ˆ= x e ) 0,1 ,0( ˆ= y e )1,0,0( ˆ= z e zzyyxx zyx zyxzyx eaeaea aaa aaaaaaa ˆˆˆ )1,0,0()0,1,0()0,0,1( ),0,0()0,,0()0,0,(),,( ++= =++= =++==  x y z x e ˆ y e ˆ z e ˆ altres notacions: ieexˆ ˆ ˆ1== je ey ˆ ˆˆ 2= = k eezˆ ˆ ˆ3== n n neaeaea eaa ˆˆˆ ˆ 3 1 332211 ∑ = =+ +=  32 1,, aaaaa az yx === aa  = ˆ vectors unitaris: 1=a  tal que: Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.4Producte escalar de dos vectors 1.4-Producte escalar de dos vectors Producte escalar de dos vectors: ),, ( z y x aa aa =  ),, (zy xb bbb =  zz yyxx b ababab a++=⋅   R RR →× 33 a  b  θ significat geomètric: θ cosab ba =⋅   Propietats abb a  ⋅=⋅ commutativa: distributiva: cabacba     ⋅+⋅=+⋅ )( 222 zyx aaaaaa ++=⋅=  )()( baba    ⋅=⋅ λλ mòdul d’un vector: Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.5producte vectorial de dos vectors Activitat 1.5.3 Donats els vectors Comproveu la identitat: )1,0 ,3(, )2,1,2(,)3,1,1( −=−=−= cba    c babcacba       )()()( ⋅−⋅=×× Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.6-Càlcul de longituds, àreas i volums 1.6-Càlcul de longituds, àreas i volums Longitud d’un segment Àrea d’un paral·lelogram Volum d’un paral·lepípede baS  ×= a  b  a  b  c  )( cbaV   ×⋅= a  a aaL   ⋅== NOTA: les demostracions de totes les propietats es poden trobar a “Mecànica Racional. Notes de classe”, Falqués, Sánchez, Marquès, 2016. Física i Medi Ambient –Grau en Ciències i Tecnologies del Mar –Departament de Física UPC 1.6-Càlcul de longituds, àreas i volums Activitat 1.6.1 Siguin els punts Trobeu: a) La distància PQ b) L´àrea del paralel·logram determinat per P, Q, R c) El volum del paral·lépípede determinat pels 4 punts Respostes: a) b) c) ) 5,0,0(),3,3,0(),1,1,1(),1,0,2( −=−==−= SRQP P Q R P Q R S R 45.26 = 0. 10101 = 20