Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil: ¿Cómo razonan y qué hacen los niños de 3 años?

Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil: ¿Cómo razonan y qué hacen los niños de 3 años? Beginning early mathematical modelling in Early Childhood Education: how do 3-year-olds reason and what do they do? ÁNGEL ALSINAA Y MARÍA SALGADOB AUniversidad de Girona. BUniversidad de Santiago de Compostela A angel.alsin[email protected], B [email protected] A https://orcid.org/0000-0001-8506-1838, B https://orcid.org/0000-0002-0309-241X Recibido: Febrero de 2022. Aceptado: Mayo de 2022. Cómo citar: Alsina, Á. y Salgado, M. (2022). Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil: ¿Cómo razonan y qué hacen los niños de 3 años? Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 11(1), 1-38. Este artículo está sujeto a una licencia “Creative Commons Reconocimiento-No Comercial” (CC-BY-NC). DOI: https://doi.org/10.24197/edmain.1.2022.1-38 Resumen: La modelización matemática temprana, entendida como un proceso que ayuda a crear los primeros modelos para analizar, explicar y comprender la realidad, es un marco idóneo para implementar un enfoque competencial de las matemáticas. Desde este punto de vista, se presenta la actividad “construimos casas con piezas de madera”, que se ha implementado a 20 niños de 3 años. Para analizar cómo razonan y qué hacen durante la actividad, se han utilizado los indicadores específicos de Educación Infantil del instrumento “Rubric for the Evaluation of Mathematical Modeling Processes”, que considera las diversas fases de un ciclo de modelización. Los resultados indican que los niños de 3 años empiezan a desarrollar habilidades de comprensión, estructuración, matematización, trabajo matemático, interpretación, validación y exposición, por lo que son capaces de crear los primeros modelos concretos. Se concluye que, en futuros estudios, es necesario determinar la influencia de diversas variables en las acciones de los niños, como el tipo de tarea o los conocimientos del profesorado de Educación Infantil para llevar a cabo actividades de modelización matemática temprana. Palabras clave: Modelización matemática temprana, ciclo de modelización, modelo concreto, enseñanza de las matemáticas, Educación Infantil. Abstract: Early mathematical modelling, defined as a process that helps to create the first models to analyse, explain and understand reality, is an ideal framework for developing mathematical competence. From this point of view, the activity "we build houses with pieces of wood", which has been implemented with 20 3-year-old children, is presented. In order to analyse how they 2 Ángel Alsina y María Salgado Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 reason and what they do during the activity, the Childhood specific indicators of the "Rubric for the Evaluation of Mathematical Modelling Processes" instrument have been used, which considers the different phases of a modelling cycle. The results show that 3-year-olds begin to develop skills of comprehension, structuring, mathematization, mathematical work, interpretation, validation and exposition and, therefore, create the first concrete models. It is concluded that, in future studies, it is necessary to determine the influence of several variables on children's actions, such as the type of task or the knowledge of the Early Childhood Education teacher to carry out early mathematical modelling activities. Keywords: Early mathematical modelling, modelling cycle, concrete model, mathematics teaching, Early Childhood Education. INTRODUCCIÓN Cada vez con mayor impulso, la educación matemática infantil promueve una enseñanza contextualizada que se focaliza en razonar y hacer (Alsina, 2020; Alsina et al., 2021a), en substitución de una enseñanza basada en la repetición, la reproducción, la mecanización o la memorización de definiciones y procedimientos. Este enfoque, que se caracteriza por una planificación y una gestión de la enseñanza de los contenidos matemáticos a través de los procesos o las habilidades matemáticas (NCTM, 2003), requiere que las prácticas de enseñanza se inicien a partir del planteamiento de una situación problemática o un reto que sea real o realista y que, durante el proceso de resolución, se activen otras habilidades imprescindibles para el desarrollo del pensamiento matemático como el razonamiento y la prueba, la argumentación, la comunicación, las conexiones o la representación de las ideas matemáticas que van emergiendo (Alsina, 2012, 2016). Como se indica en Alsina (2020), algunos de los ejemplos más claros de este cambio de paradigma son, entre otros, los Estándares Comunes para las Matemáticas de Estados Unidos (CCSSI, 2010) o el currículo de matemáticas de Singapur (Ministry of Education Singapore, 2012). En el caso de Estados Unidos, los estándares mencionados describen ocho prácticas matemáticas para todas las etapas, que han sido adaptadas de los cinco estándares de proceso propuestos por el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2003) y de los cinco aspectos de competencia descritos en el informe Adding It Up, del National Research Council (NRC, 2001): 1) la resolución de problemas con sentido y la perseverancia para resolverlos; 2) el razonamiento abstracto y cuantitativo; 3) la construcción de argumentos viables y la escucha crítica del razonamiento de los demás; 4) la modelización matemática; 5) el uso Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil… 3 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 estratégico de herramientas apropiadas; 6) la atención a la precisión; 7) la búsqueda y el uso de la estructura; y 8) la búsqueda y la expresión de la regularidad en los razonamientos. En relación a Singapur, el foco del currículo de matemáticas se centra en la resolución de problemas y, desde este prisma, los procesos son imprescindibles. En la legislación educativa española de Educación Infantil (Real Decreto 95/2022, de 1 de febrero, por el que se establece la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Infantil), se observa también un avance, al substituir un currículo orientado a la adquisición de contenidos por un enfoque orientado al desarrollo de las competencias. Sin embargo, en lo que se refiere a la educación matemática, no se explicitan suficientemente las formas de adquisición y uso de los contenidos matemáticos a través de los procesos de resolución de problemas, razonamiento y prueba, comunicación, conexiones y representación (Alsina, 2022). Este artículo tiene en cuenta estos planteamientos preliminares, pero pretende afinar el papel que juega la modelización matemática en el desarrollo del pensamiento matemático infantil. Mientras que en los antecedentes mencionados que consideran la modelización, este proceso matemático se considera como un elemento más, aquí se asume que la modelización matemática es la habilidad que aglutina las demás prácticas o procesos, puesto que cuando se propone una actividad de modelización matemática se ponen en juego el conjunto de prácticas o procesos matemáticos, como por ejemplo la resolución de un problema real o realista, el razonamiento y la prueba, la comunicación, las conexiones o la representación. De este modo, la modelización matemática es un marco óptimo para llevar a cabo prácticas de enseñanza de las matemáticas a partir de una visión integrada de los conocimientos matemáticos (Alsina, 2012) ya que, durante un ciclo de modelización a través de la resolución de problemas reales, los niños movilizan contenidos matemáticos de distinta naturaleza y gestionan el conocimiento, las habilidades y las emociones a través de los distintos procesos matemáticos para conseguir un objetivo a menudo más cercano a situaciones funcionales y en contextos de vida cotidiana que a su uso académico (Figura 1). 4 Ángel Alsina y María Salgado Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Figura 1. Papel de la modelización matemática en el desarrollo del pensamiento matemático infantil. Fuente: elaboración propia. Partiendo de este enfoque, este artículo se focaliza en la modelización matemática y, más concretamente, en la modelización matemática temprana, término introducido por Alsina y Salgado (2021a, 2021b) para distinguir la modelización matemática de las actividades que permiten generar modelos iniciales en Educación Infantil: concebimos la modelización matemática temprana como un proceso o ciclo que, en el marco de la resolución de problemas reales, ayuda a crear los primeros modelos para analizar, explicar y comprender la realidad, basado en un proceso de reflexión que implica constantes idas y venidas entre los contextos reales y las matemáticas que moviliza el alumnado de las primeras edades (Alsina y Salgado, 2021b, p. 2). Desde este marco, en este nuevo estudio nos preguntamos cómo se inicia el desarrollo de esta habilidad y, más concretamente, nuestro objetivo consiste en determinar con mayor precisión cómo razonan y qué son capaces de hacer los niños de 3 años cuando se plantea una actividad de modelización. Para ello, el artículo se estructura en dos partes: en la primera parte, se presenta una breve fundamentación teórico-metodológica de la modelización matemática temprana que se apoya en recomendaciones internacionales (CCSSI, 2010; Ministry of Education Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil… 5 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Singapore, 2012; NCTM, 2003) y, en la segunda parte, se describe y analiza, a partir del ciclo de modelización, el resultado de una actividad que se ha propuesto a un grupo de 20 niños de 2-3 años de edad 1. LA MODELIZACIÓN MATEMÁTICA TEMPRANA: ¿QUÉ PRETENDE Y CÓMO SE PUEDE TRABAJAR EN EDUCACIÓN INFANTIL? La modelización matemática temprana, como se ha indicado, pretende enfatizar el conocimiento inicial de los niños de las primeras edades para crear los primeros modelos, en el proceso de traducción entre los contextos del mundo real y las matemáticas (Alsina y Salgado, 2021a, 2021b). De acuerdo con la Real Academia de la Lengua Española, un modelo se refiere a una representación ideal de un aspecto concreto de la realidad física –un objeto o fenómeno real– usada con finalidades de interpretación. Un modelo, pues, simplifica la realidad subrayando los elementos fundamentales y eliminando los aspectos secundarios. En el marco de la educación matemática, el NCTM (2003) define un modelo como una representación matemática de un objeto o un fenómeno real que sirve para mostrar una determinada manera de resolver una situación problemática real. Desde entonces, algunos estudios han empezado a analizar desde distintos enfoques teóricos si los niños de Educación Infantil son capaces de desarrollar procesos de modelización y crear modelos. Desde la Teoría Antropológica (Chevallard, 1999), por ejemplo, Ruiz-Higueras y García (2011) y Ruiz-Higueras et al. (2013) confirman que los niños de 3-6 años son capaces de empezar a desarrollar estas habilidades. Más adelante, desde los principios de la Educación Matemática Realista (Freudenthal, 1991) y el enfoque competencial del NCTM (2003), Alsina y Salgado (2021a, 2021b), Alsina et al. (2021b) y Toalongo-Guamba et al. (2021) tratan de identificar tanto los elementos que intervienen durante el proceso de modelización como las características específicas de los modelos que pueden crear los niños de Educación Infantil. Estos estudios se han realizado partiendo de que la modelización matemática es un proceso no lineal e iterativo, por lo que los procesos de modelización matemática se desarrollan a través de ciclos (Carreira et al., 2011; Geiger, 2011; Girnat y Eichler, 2011; Greefrath, 2011; Kaiser, 1995). Actualmente, no existe todavía un consenso en la literatura sobre las fases que intervienen en un ciclo de modelización, por lo que coexisten diversos modelos (Figura 2): 6 Ángel Alsina y María Salgado Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Figura 2. Distintos ciclos de modelización matemática. Fuente: Greefrath (2019) Para implementar y analizar actividades de modelización matemática temprana en Educación Infantil y ayudar a los niños a crear sus primeros modelos, en nuestros estudios (Alsina y Salgado, 2021a, 2021b; Alsina et al., 2021b; Toalongo-Guamba et al., 2021) se ha considerado el ciclo de modelización de Blum y Leiβ (2007), principalmente por dos motivos: 1. Los niños pueden partir de un punto del ciclo sin necesidad de seguir un orden establecido. Este ir y venir es lo que les permite perfeccionar progresivamente el modelo buscado. 2. En la fase final del ciclo (Exposing) los niños comunican el modelo con sus compañeros, pueden recoger las observaciones pertinentes y realizar los ajustes necesarios con el objetivo de mejorar/afinar progresivamente el modelo. Esta es una característica especialmente relevante en la Educación Infantil, donde los procesos de interacción, negociación, diálogo están muy presentes para la co-construcción y reconstrucción del conocimiento matemático. Adicionalmente, para analizar el proceso de resolución de una actividad de modelización se ha partido de una rúbrica previamente diseñada y validada, denominada Rubric for the Evaluation of Mathematical Modeling Processes (REMMP, por su acrónimo en inglés). Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil… 7 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 En la Figura 3 se muestran los indicadores específicos para la Educación Infantil: Componentes Indicadores de Educación Infantil (3-6 años) 1. Comprensión 1.1 Relaciona el contenido de la situación problemática con sus conocimientos previos. 1.2 Plantea preguntas referentes a la situación problemática. 1.3 Enuncia el tipo de solución que generaría la situación problemática, por ejemplo: un patrón, un número, un gráfico, etc. 1.4 Representa a través de dibujos las características principales de la situación problemática. 2. Estructuración 2.1 Identifica los principales elementos de la situación problemática. 2.2 Propone ideas y/o supuestos que contribuyen a la simplificación de la situación problemática. 3. Matematización 3.1 Sustituye los elementos reales por objetos matemáticos. 3.2 Explica la utilización de objetos matemáticos. 4.Trabajo matemático 4.1 Emplea diversas estrategias acordes a su edad que permitan proponer soluciones a la situación problemática. 4.2 Utiliza objetos matemáticos acordes a su edad para solucionar la situación problemática. 4.3 Obtiene un modelo matemático inicial como consecuencia del trabajo previo. 5. Interpretación 5.1 Compara la solución con la situación problemática inicial. 5.2 Argumenta la validez de los resultados obtenidos. 6. Validación 6.1 Justifica el modelo propuesto mediante argumentos válidos. 6.2 Valora si el modelo obtenido proporciona una solución parcial o total a la situación problemática inicial. 7.Exposición/ presentación 7.1 Explica el porqué de las decisiones tomadas a lo largo de cada una de las fases del proceso. 7.2 Explica el modelo obtenido aplicado en la situación del contexto real, sus alcances y limitaciones mediante un lenguaje acorde a su edad. 7.3 Utiliza diferentes tipos de ejemplos, representaciones, esquemas, dibujos, gráficas, tablas de valores, lenguaje simbólico, etc. 7.4 En caso de uso de tecnología en alguna o varias fases del proceso expone claramente en qué momento, cómo y para qué la utilizó. 8 Ángel Alsina y María Salgado Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 7.5 Escucha observaciones y/o sugerencias planteadas por compañeros y/o profesor. 7.6 Responde a las observaciones y/o sugerencias de compañeros y profesor utilizando un lenguaje acorde a su edad. Figura 3. Indicadores del instrumento REMMP para la Educación Infantil. Fuente: Toalongo-Guamba et al. (2020). Por un lado, como puede apreciarse en la Figura 3, esta rúbrica se inspira en las fases del ciclo de modelización de Blum y Leiβ (2007); y, por otro lado, tiene en cuenta los planteamientos de Andrade (2000) acerca de las rúbricas instruccionales, por lo que sirve tanto para describir cómo se desarrolla la modelización matemática como para analizar y evaluar los procesos de modelización matemática. Tomando como base estos antecedentes, en los estudios publicados hasta el momento se han obtenido algunas primeras evidencias de las habilidades de los niños al implementar actividades de modelización en el aula (Alsina y Salgado, 2021a, 2021b; Alsina et al., 2021b; ToalongoGuamba et al., 2021). Así, por ejemplo, se ha puesto de manifiesto que las fases del ciclo de modelización más frecuentes en niños de 3 años son las de Comprensión e Interpretación. Ello parece indicar que, en este primer nivel y con el apoyo y la guía de la maestra, los niños empiezan a desarrollar habilidades como, por ejemplo, vincular el contenido del problema con sus conocimientos previos (comprensión) o comparar la solución con el problema inicial de manera que, con base en el trabajo previo, son capaces de responder a lo que pregunta la maestra. En menor medida, también se han encontrado otras evidencias, como simplificar el problema (Estructuración), o bien empezar a utilizar objetos matemáticos para la representación (Matematización). En cambio, no se han encontrado evidencias sobre otras fases como el Trabajo Matemático o bien la Validación y la Exposición/Presentación. Estos datos son relevantes, en el sentido de que insinúan que los niños de 3 años todavía no tienen la suficiente madurez para utilizar de forma sistemática el trabajo matemático para proponer soluciones del problema y obtener un modelo matemático inicial. En niños de 5 años se ha identificado que las fases del ciclo modelización correspondientes a la Comprensión y la Estructuración están ya más consolidadas, de manera que son capaces de utilizar de forma sistemática sus conocimientos previos, buscar alternativas, etc. Además, Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil… 9 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 se ha observado también una presencia mucho mayor de habilidades asociadas a la Matematización y el Trabajo Matemático, de manera que los niños de esta edad son ya capaces de substituir los elementos del contexto real por objetos matemáticos, explican su uso y los empiezan a usar para proponer soluciones del problema y obtener un modelo matemático inicial. Además, a diferencia de los niños de menos edad, a finales de la Educación Infantil aparecen habilidades asociadas a las fases de Interpretación, Validación y Presentación/exposición, de manera que empiezan a comparar la solución con el problema inicial, argumentando los resultados obtenidos; justifican el modelo propuesto, identificando si es siempre válido o si requiere cambios; y comunican las decisiones tomadas a lo largo del proceso de modelización y el modelo concreto obtenido, utilizando diferentes lenguajes y/o representaciones (dibujos, esquemas, tablas de valores, etc.). Además, escuchan las observaciones y/o sugerencias de sus compañeros y/o de la maestra para afinar el modelo entre todos. Otro dato relevante que han aportado estos estudios preliminares es el tipo de modelos que pueden generar los niños de Educación Infantil. En concreto, en Alsina et al. (2021b) se concluye que estos primeros modelos son todavía poco generalizables ya que el pensamiento de los niños en eminentemente concreto y, por lo tanto, los modelos que son capaces de crear también lo son. Por esta razón, los denominan modelos concretos. 2. PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE UNA ACTIVIDAD DE MODELIZACIÓN MATEMÁTICA TEMPRANA EN EDUCACIÓN INFANTIL: “CONSTRUIMOS CASAS CON PIEZAS DE MADERA” En primer lugar, se fundamenta y contextualiza la actividad “construimos casas con piezas de madera” implementada en un grupo de 20 niños de 3 años de edad; en segundo lugar, se describe la actividad, que se ha llevado a cabo en tres sesiones diferentes; y, finalmente, se analiza la actividad usando los indicadores del instrumento REMMP para la Educación Infantil (Toalongo-Guamba et al., 2020), para responder al objetivo principal de este estudio: determinar con mayor precisión cómo razonan y qué son capaces de hacer los niños de 3 años cuando se plantea una actividad de modelización. En relación a los principios éticos, la escuela en la que se implementa la actividad tiene un protocolo de actuación sistematizado: antes de iniciar 16 Ángel Alsina y María Salgado Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Candela.- Cuatro. Maestra.- Pero, ¿son todas casas? Candela.- Si tienen tejado y paredes. Maestra.- ¡Qué bien! Maestra.- ¿Y cómo son? Marco.- Así. (Imita con las manos el tamaño) Maestra.- ¿cómo? Candela.- Pequeñas. Maestra.- Entonces, ¿cuántas monedas? Lucas.- Cuatro (las cuenta usando el conteo a partir de la secuencia numérica). Maestra.- ¿Las cogéis? Lucas.- Vale. Figura 6. Construcciones del equipo rojo. Fuente: elaboración propia 3. Equipo Verde Construyen tres casas, dos de tamaño grande y una pequeña (Figura 7). Algunos niños del equipo presentan dificultades para hacer la correspondencia entre el número de casas y las monedas, pero con la ayuda de la maestra acaban resolviéndolo. Maestra.- ¿Cuántas casas construisteis? Elsa.- Una, una, dos, cuatro… Maestra.- Emma D. dime tú… Emma D.- Una, y una… Maestra.- Pero, ¿cuántas?, contadlas… Dámaris.- Señala las tres. Emma D.- Tres. Maestra.- Ah…. Tres… ¿Y cómo son? Emma D.- Grandes y pequeña. Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil… 17 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Maestra.- Entonces, ¿cuánto ganaréis?, ¿cuántas monedas tenéis que coger? Elsa.- Muchas. Dámaris.- Una y dos. Maestra.- ¿Dos? Recordáis cuántas casas tenéis. Emma D.- Tres. Maestra.- Entonces. Si por cada casa os dan una moneda, tres casas… ¿cuántas monedas? Emma D.-(Levanta tres dedos, pero no dice “tres”). Figura 7. Construcciones del equipo verde. Fuente: elaboración propia 4. Equipo amarillo Construyen tres casas pequeñas, pero no utilizan todos los troncos (Figura 8). Cuando la maestra pregunta cuántas monedas han ganado, no tienen dificultades en responder: Maestra.- ¿Cuántas hicisteis? Luna.- Una, dos y tres. Maestra.- ¿Cuántas? Luna.- Tres. Maestra.- Pero, ¿esas piezas? Thiago.- Esas no… Maestra.- ¿No? Thiago.- Nos sobraron… Pablo.- no hicimos casa. Maestra.- O sea hicisteis tres, y os sobró madera. Y vuestras casas, ¿son casas?, ¿tienen todos los elementos? Pablo.- Si y caben los cerditos. Maestra.- Que bien…. Entonces, ¿cuántas monedas os darán por vuestras casas? Luna.- Tres 18 Ángel Alsina y María Salgado Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Figura 8. Construcciones del equipo amarillo. Fuente: elaboración propia Seguidamente, en asamblea, los distintos equipos comparten sus producciones: Maestra.- Vamos entonces a recontar… Tres equipos hicieron tres casas y uno, el rojo, construyó cuatro casas. ¿Quién hizo más casas? Alison.- El rojo. Candela.- Nosotros. Maestra.- Entonces un equipo ganó más monedas… Y yo me pregunto, para ganar más monedas ¿cómo construyó las casas?, ¿cómo son las casas? Para construir mayor número… Alison.- pequeñas. Lucas .- Todas. Maestra.- Si las hacemos todas pequeñas, podemos construir más casas. Alison.- Y ninguna grande. Maestra. Claro, porque si no, no se pueden construir más. Alison.- Solo tres. Maestra.- Claro si son pequeñas, nos sobra madera para hacer más. Pero fijaros, el equipo amarillo las hizo pequeñas, pero no ganó cuatro monedas, ¿por qué? Thiago.- Porque sobró. Maestra.- Claro hay que utilizarlos todos, igual con esos podíais construir otra casa. Luna.- Y ya tenemos cuatro. Candela.- Pero ganamos nosotros. Maestra. Claro, porque ellos solo hicieron tres. Como se puede observar en el diálogo anterior, a partir de las preguntas que va planteando la maestra y los andamios que ofrece, los niños crean un modelo concreto inicial que ofrece una primera solución al Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil… 19 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 reto planteado: se dan cuenta de que, para ganar más monedas, todas las casas tienen que ser pequeñas. Este modelo, sin embargo, todavía no está suficientemente afinado ya que algunos grupos, como el amarillo, ha construido todas las casas pequeñas y, sin embargo, no ha ganado más monedas. A raíz de esto, la maestra plantea nuevas preguntas para que tomen consciencia de que es necesario utilizar todos los troncos y rodajas para conseguir más monedas. Para finalizar la primera sesión, la maestra inicia un diálogo para evaluar qué han aprendido los niños acerca de las partes de una casa y, a la vez, promover la generalización. Para ello, en asamblea, parte de una construcción aleatoria y pregunta a los niños si es una casa o no para que respondan sí o no y lo argumenten. Esto se planifica de este modo para que el alumnado escuche e imite acciones y argumentaciones de compañeros, aprendiendo a observar, a justificar… aprendiendo a través de los iguales: Maestra.- Ya sabemos que “ser casa” significa tener tejado, tener paredes… Thiago.- Y puerta y ventanas. Maestra.- Entonces, os voy a colocar aquí… (4 troncos), ¿es casa? (primera imagen de la Figura 9) Thiago.- No, Maestra.- ¿Por qué? Thiago.- No tiene tejado, le falta tejado. Maestra.- Y si construyo así… ¿es casa? Candela.- No tiene paredes. Todas las paredes Lucas.- El lobo puede entrar por detrás. Marco.- Y no tiene tejado.. Maestra.- Entonces, no es casa, muy bien. Maestra.- ¿Y esto? (segunda imagen de la Figura 9) Alison.- Tiene dos tejados, no es una casa. Candela.- Tampoco tiene paredes. Pablo.- Faltan… Thiago.- Y ventanas. Maestra.- Entonces no es una casa. 20 Ángel Alsina y María Salgado Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Figura 9. Comprobando los conocimientos acerca de los elementos de una casa. Fuente: elaboración propia. A partir de esta evaluación, la maestra se da cuenta de que algunos niños todavía no tienen claros todos los elementos que debe tener una construcción con troncos y rodajas de madera para ser considerada “casa”, por lo que incide de nuevo en ello en la siguiente sesión. Día 2. Consolidación de aprendizajes sobre las partes de una casa. La maestra inicia un diálogo con los niños con el propósito de ir consolidando los aprendizajes realizados en la sesión anterior, con el foco puesto también en los conocimientos numéricos que los niños de 3 años pueden movilizar: reconocimiento de las primeras cantidades discretas de elementos, conteo, etc. Para lograr estos propósitos, en el contexto de la asamblea plantea diversas preguntas previamente pensadas al gran grupo: Maestra.- Recordáis lo que hicimos ayer? Alison.- Casas. Maestra.- Sí, pero ¿cómo sabemos que es una casa?, ¿qué tienen las casas? Candela.- Puerta. Lucas.- Tejado. Thiago.- Y paredes, muchas paredes. Alison.- Así no entra el lobo. Maestra.- Voy a hacer como el cerdito y voy a construir una casa (coloca cuatro troncos en vertical). Alison.- No es casa. Falta el tejado. Maestra.- ¿Lo colocas? Alison.- Se levanta y pone una pieza plana circular encima. Maestra.- Y ahora, ¿es casa? Rodrigo.- Falta la puerta. Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil… 21 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Alison.- Está ahí (señalando el espacio entre dos troncos). Rodrigo.- Así no hay puerta, así entra el lobo. Maestra.- Entonces, ¿cómo Rodrigo? Rodrigo.- (Se levanta y coloca una pieza plana en vertical entre los dos troncos a modo de puerta) Así, así abre y cierra. Maestra.- ¡Qué buena idea! Thiago.- Y las paredes tienen huecos, así entra el lobo. Maestra.. - ¿Y cómo harías? Thiago.- (Se levanta y coloca más troncos entre los cuatro que delimitaba la estructura). Así está todo cerrado y no entra nadie. Maestra.- Muy buena idea, tienes razón. Alison.- Gastamos muchos troncos. Maestra.- Así que aquí hay muchos troncos… ¿cuántos hay? Lucas.- uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, cinco seis, cinco, ocho, diez. Maestra.- ¿Estáis de acuerdo? Rodrigo.- Sí, son muchos. Alison.- Pero es una casa muy bonita. Como se puede apreciar en el diálogo anterior, los niños van interiorizando cada vez con mayor precisión los elementos imprescindibles para que una construcción con los troncos y las rodajas de madera pueda ser considerada una casa. Día 3. Construcción y representación de la mejor casa. Es tal la motivación por los troncos y las rodajas de madera que, en el rincón de las construcciones de madera, los niños siguen construyendo casas. En sus diálogos, hablan de la más bonita, la más grande, esta es cerrada, la más alta… etc., razón por la que la maestra planifica una nueva actividad en gran grupo con el propósito de que los niños sigan aprendiendo a observar, a argumentar y a justificar: la construcción y posterior representación de la mejor casa. La maestra hace una construcción para provocar que los niños contrasten sus conocimientos y, con base en ello, aporten argumentos (Figura 10): Maestra.- Ahora que ya sabemos cómo son las casas, ¿qué os parece si construimos la mejor casa?, ¿la casa más bonita? Niños.- Siiiii Maestra.- ¿Lo hacemos entre todos? 22 Ángel Alsina y María Salgado Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Maestra.- Voy a comenzar yo y voy a poner así (dos troncos en vertical con una rodaja plana encima de uno). Ya está, ya tenemos la mejor casa. Figura 10. Contrastando conocimientos y aportando argumentos. Fuente: elaboración propia. A partir de la construcción de la maestra, los niños aportan diversos argumentos sobre si es o no una casa y porqué: Niños.- No. Maestra.- ¿Por qué no? Rodrigo.- No es casa. Maestra.- ¿Por qué? Martiño.- Porque le falta la puerta. Candela.- Y paredes. Marco.- Sino, viene el lobo. Rodrigo.- Una puerta para que no entre el lobo. Thiago.- Más paredes. Maestra.- ¿Alguien tiene más ideas? Candela.- Un techo. Maestra.- Pues genial, ¿le ponemos más paredes entonces?, ¿Quién quiere empezar? Thiago.- (Sale y va colocando más troncos, pero cuando lleva seis no le caben y decide ponerlos sobre el suelo). Maestra.- ¿Ya está?, ¿Dime Martiño? Martiño.- No. Maestra.- ¿Por qué? Martiño.- Porque le falta la puerta ahí y paredes. Maestra.- Ven a ayudarle. Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil… 23 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 La maestra, además de plantear preguntas que inciden en diversos atributos mensurables de los troncos como el tamaño, va guiando la construcción (Figura 11): Maestra.- ¿Y el tejado?, ¿cómo hacemos? Candela.- Encima le ponemos. Maestra.- Ven y colócalo (Candela se acerca y junta los troncos y comienza a poner rodajas planas encima de los troncos en vertical). Maestra.- Yo no veo el tejado. Alison.- Hay que poner dos tejados. Rodrigo.- Y la puerta. Alison.- Dos tejados para que no llueva. Figura 11. Construyendo las paredes de la mejor casa. Foto: elaboración propia Progresivamente, van colocando todos los elementos para construir la mejor casa (Figura 12). Maestra.- ¡Qué casa más bonita! Tiene tejado y paredes. Rodrigo.- Le falta una puerta… Maestra.- ¿La vienes a poner? Maestra.- Me encanta 24 Ángel Alsina y María Salgado Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Candela.- Es muy bonita. Emma P.- La más bonita. Lucas.- Muy, muy, muyyyyyy Maestra.- Sí es verdad. Rodrigo.- La mejor. Thiago.- La más mejor. Martiño.- No va entrar el lobo. Alison.- Nadie, ni el lobo, ni nadie. Maestra.- Pues yo creo que como después vamos a recoger los troncos y la vamos a deshacer, ¿qué os parece si la dibujamos?, registrando como es, si es grande o pequeña, los troncos que tiene, sus paredes, el tejado, la puerta… vamos todo lo que tiene, y así después cualquier otro día la podemos repetir… Figura 12. Construcción de la mejor casa, con paredes, tejado y puerta. Fuente: elaboración propia. Seguidamente, a partir de la idea de la maestra de representar la casa, cada niño la dibuja de forma individual. Para ello, se colocan delante de la casa y van registrando los elementos que para ellos son más característicos. Además, cuando finalizan su dibujo explican a la maestra qué es y dónde está cada elemento (Figura 13). Como puede apreciarse, las representaciones externas de los niños se caracterizan por ser imprecisas: si bien la mayoría distinguen oralmente todos los elementos importantes de una casa (paredes, ventanas y puerta), en los dibujos hacen representaciones inexactas, principalmente por tanteo, usando uno o más elementos perceptivos como el tamaño, la longitud, etc. Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil… 25 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 Candela: Esta es la pared y el tejado y esta es la puerta. Marco: No lo ves, esta es la casa. Aquí es la pared (y señala la línea curva cerrada). El tejado y la puerta es esta. Emma P.- Identifica los tres elementos. Y la puerta lo dibuja con una línea curva cerrada. Thiago.- Identifica los tres elementos diferenciados. Dibuja la puerta en el centro con un símbolo diferenciado (una H) Hector.- Identifica la casa, pero no discrimina ni señala ningún elemento significativo. Luna.- Representa la casa, destacando un elemento significativo “la puerta”. Figura 13. Distintas representaciones de la mejor casa. Fuente: elaboración propia. 2.3. Análisis de la actividad de modelización matemática temprana Con el propósito de dar respuesta a nuestro objetivo, se han utilizado los indicadores del instrumento REMMP para la Educación Infantil para tratar de comprender mejor cómo razonan y qué hacen los niños de 3 años al enfrentarse a una actividad de modelización. Para realizar el análisis, se ha seguido el siguiente proceso: 1) la segunda autora del estudio, que a su vez es la maestra que ha llevado a cabo la actividad, la ha registrado en vídeo y posteriormente la ha transcrito; 2) los dos autores del estudio han identificado por separado episodios en los que se evidencian los distintos componentes de la rúbrica, que coinciden a su vez con las fases del ciclo de modelización de Blum y Leiß (2007). En este punto, teniendo en cuenta 32 Ángel Alsina y María Salgado Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 los niños de esta edad cuando se enfrentan a una actividad de modelización matemática. Como se ha indicado en la introducción, la modelización matemática es un marco idóneo para implementar un enfoque competencial de las matemáticas, en el que los contenidos se aprenden a través de los procesos y prácticas matemáticas de resolución de problemas, razonamiento y prueba, comunicación, conexiones, representación, etc. (Alsina, 2012; Alsina et al., 2021a; CCSSI, 2010; Ministry of Education Singapore, 2012; NCTM, 2003). Por esta razón, resulta fundamental conocer con precisión cómo se inician las habilidades asociadas a la modelización y cómo se puede promover su desarrollo ya desde la Educación Infantil, en el marco de la modelización matemática temprana (Alsina y Salgado, 2021a, 2021b; Alsina et al., 2021b; Toalongo-Guamba et al., 2021). Desde este punto de vista, los datos obtenidos en este estudio confirman algunos de los resultados obtenidos en investigaciones anteriores con niños de la misma edad, pero a su vez aclaran otros aspectos que no se habían identificado hasta el momento, por lo que pueden tener un interés a nivel más general e incluso internacional. Primero, se confirma que los niños de 3 años empiezan a desarrollar habilidades propias de las fases de Comprensión, Estructuración, Matematización e Interpretación. Así, por ejemplo, se ha constatado de nuevo que relacionan el contenido del problema con sus conocimientos previos, lo simplifican e incluso empiezan a utilizar objetos matemáticos (Alsina et al., 2021b). Adicionalmente, los datos obtenidos en este nuevo estudio afinan estos resultados preliminares en el sentido que se han identificado evidencias de algunos indicadores de estos componentes del ciclo de modelización que no se habían detectado anteriormente, como por ejemplo identificar los principales elementos de la situación problemática (indicador 2.1.a). Segundo, cabe destacar que los datos más novedosos del estudio se han identificado en las últimas fases del ciclo de modelización: mientras que en Alsina et al. (2021b) no se habían encontrado evidencias sobre las demás fases del ciclo de modelización como el Trabajo Matemático o bien la Validación y la Exposición/Presentación, en esta nueva investigación se han identificado pequeños episodios de todas estas fases, lo cual pone en entredicho la afirmación de que los niños de 3 años no son capaces todavía de crear modelos. Aunque de una manera muy elemental, en la actividad desarrollada se ha puesto de manifiesto que los niños concluyen que, para Iniciando la modelización matemática temprana en Educación Infantil… 33 Edma 0-6: EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA INFANCIA, 11(1): 1-38 ISSN 2254-8351 ganar el mayor número de monedas posible, hay que construir casas de tamaño pequeño, lo cual no deja de ser un modelo concreto que permite dar respuesta al reto planteado por la maestra. Y tercero, aunque este es un dato revelador, es necesario cuestionarse qué aspectos pueden haber influenciado en estos resultados, como por ejemplo las características de la tarea planteada o incluso los conocimientos que moviliza la maestra para implementar actividades de modelización matemática temprana o la propia práctica docente, puesto que algunos de los indicadores de la rúbrica no dependen directamente de la acción espontánea de los niños sino de la planificación y la gestión de la enseñanza, como por ejemplo la decisión de utilizar tecnología, representar las soluciones a través de dibujos, etc. Algunas de las principales limitaciones del estudio han sido que los resultados han sido descritos de forma lineal con base en los componentes de la rúbrica REMMP, a pesar de que el ciclo de modelización no se recorre de forma lineal, como se ha indicado. Por este motivo, en futuros trabajos puede ser interesante conjugar este instrumento con otras herramientas tecnológicas que permiten recoger en qué parte del proceso está el alumnado en cada momento (Albarracin et al., 2019; Pla-Castells et al., 2021; Schneider et al., 2021). Desde este marco, por un lado, será necesario seguir diseñando estudios que permitan identificar con mayor precisión cómo influye el tipo de tarea en un ciclo de modelización matemática temprana y, sobre todo, qué conocimientos moviliza el profesorado de Educación Infantil y qué papel ejercen en el diseño, implementación y evaluación de este tipo de prácticas de enseñanza en las primeras edades; y, por otro lado, teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, se requiere diseñar programas de formación acerca de la modelización matemática temprana tanto durante la formación inicial como en la continua para que el profesorado de infantil pueda introducir de manera eficaz este tipo de actividades en el aula, sobre todo teniendo en cuenta que la presencia del enfoque competencial en la legislación educativa de Educación Infantil presenta todavía algunas lagunas respecto a las aportaciones que se vienen realizando en las diversas agendas de investigación en educación matemática infantil sobre dicho enfoque. 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