Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado

Trabajo realizado por: Laura Gómez Navarro Dirigido por: Antonio Ricardo Mari Bernat Mauro Poliotti Máster en: Ingeniería Estructural y de la Construcción Barcelona, Mayo 2023 Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental TRABAJO FINAL DE MÁSTER RESISTENCIA A CORTANTE DE PIEZAS COMPUESTAS DE HORMIGÓN ARMADO Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Agradecimientos Me gustaría destacar y agradecer el trabajo de mis dos tutores, Antonio Ricardo Mari Bernat y Mauro Poliotti, con cuyo trabajo y colaboración han hecho de esta tesis una gran experiencia de aprendizaje. También agradecer a mi familia por acompañarme y apoyarme en cada paso de mi camino. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 1 de 116 RESUMEN Una parte considerable de las estructuras de hormigón están compuestas por un elemento prefabricado y una losa ejecutada “in-situ”. Ambos elementos pueden estar conectados por armadura que atraviesa la junta para conseguir el trabajo conjunto de ambas piezas, si bien, en elementos de menor entidad, esa armadura no existe. La existencia de una losa superior conectada a la viga que conforma una sección en T, indudablemente contribuye a la resistencia a cortante del conjunto. A pesar de ello, no existen en la normativa vigente formulaciones explícitas para el cálculo de la resistencia a cortante de elementos compuestos, más allá de la resistencia a rasante en la junta. En esta tesis de máster se propone estudiar la resistencia a cortante de elementos armados compuestos por dos hormigones extendiendo a este tipo de elementos el Multi-Action Shear Model (MASM) y el Compression Chord Capacity Model (CCCM), originalmente desarrollados para piezas de un solo hormigón. A tal fin, los aspectos más relevantes llevados a cabo han sido: a) Identificar los aspectos a modificar o añadir, para considerar el comportamiento de este tipo de piezas en la formulación. b) Evaluar e incorporar la contribución de la losa superior a la resistencia a cortante de la sección final. c) Estimar la resistencia a esfuerzo rasante de la junta, para identificar si la forma de rotura es por rasante o por cortante. d) Adecuar las diferentes contribuciones a la resistencia a cortante, (cabeza de compresión, alas, alma, armaduras…) al caso de piezas compuestas. Una vez formulado, el modelo se ha verificado con una base de datos experimental generada a partir de los ensayos a cortante, encontrados en la bibliografía [5]-[9], sobre un total de 65 piezas compuestas isostáticas. La media y la COV obtenidas para el MASM respectivamente son iguales a 0.975 y 17%. Para el CCCM son iguales a 1.033 y 20%. Finalmente se extraen conclusiones y recomendaciones de diseño. Palabras clave: Resistencia a cortante, vigas compuestas, modelo mecánico Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 2 de 116 ABSTRACT A relevant part of concrete structures is composed by a pre-cast element and a top slab executed “in-situ”. Both elements can be connected by reinforcement that crosses the joint to achieve the joint work of both pieces, although, in smaller elements, this reinforcement does not exist. The existence of an upper slab connected to the beam that forms a T-section, undoubtedly contributes to the shear resistance of the assembly. Despite this, there are no explicit formulations in current regulations for calculating the shear strength of composite elements, beyond the shear strength in the joint. In this master's thesis, the shear strength of reinforced elements made up of two concretes has been studied, extending the Multi-Action Shear Model (MASM) and the Compression Capacity Model (CCCM) to this type of element, originally developed for monolithic pieces. For these purposes, the most relevant tasks carried out have been: a) Identify the aspects to be modified or added in the formulation, to consider the behaviour of members composed by different concretes, connected by a joint. b) Evaluate and incorporate the contribution of the upper slab to the shear resistance of the final section. c) Precisely estimate the resistance to shear stress of the joint, to identify if the form of failure takes place in the joint. d) Adapt the different shear actions contributions, (compression head, flanges, web, reinforcements...) to the case of composite members.. Once formulated, the model has been verified with an experimental database, generated from the shear tests on statically determinate 65 composite beams found in the bibliography [5]-[9], having obtained satisfactory results in terms of precision and low dispersion. Mean and COV obtained for MASM formulation are 0.975 y 17%, respectively. For CCCM formulation they are 1.033 y 20%. Finally, conclusions and design recommendations are drawn. Keywords: Shear strength, composite beams, mechanical model Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 3 de 116 Í NDÍCE 1. ANTECEDENTES Y OBJETIVOS ............................................................................ 6 1.1. Motivación ................................................................................................................. 6 1.2. Complejidad del comportamiento de piezas compuestas .......................................... 9 1.3. Objetivo general ...................................................................................................... 10 1.4. Objetivos concretos ................................................................................................. 11 1.5. Contenido de la tesis ................................................................................................ 11 1.6. Nomenclatura .......................................................................................................... 12 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO ........................................................................... 17 2.1. Estudios experimentales .......................................................................................... 17 2.2. Modelos teóricos ..................................................................................................... 18 2.2.1. Modelo de Reineck .............................................................................................. 18 2.2.2. Modelos simplificados basados en la teoría del campo de compresiones ........... 19 2.2.3. Modelos basados en la teoría de la fisura crítica ................................................. 21 2.2.4. Analogía del ensayo de tracción indirecta ........................................................... 23 2.2.5. Teorías basadas en la resistencia de la cabeza comprimida................................. 25 2.2.6. Métodos basados en la plasticidad ....................................................................... 25 2.2.7. Modelos que consideran la fatiga ........................................................................ 26 2.3. Tratamiento normativo ............................................................................................ 28 2.4. Resistencia a esfuerzo rasante en la junta entre hormigones ................................... 31 2.5. Conclusiones ........................................................................................................... 33 3. MODELO DE REFERENCIA .................................................................................. 35 3.1. Secciones rectangulares armadas ............................................................................ 35 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 4 de 116 3.1.1. Mecanismos de transferencia ............................................................................... 35 3.1.2. Formulación ......................................................................................................... 38 3.1.3. Resolución del problema ..................................................................................... 45 3.1.4. Resumen de la formulación ................................................................................. 48 3.2. Adaptación del modelo a secciones en I o en T ...................................................... 48 3.2.1. Influencia de la forma en T en la respuesta a cortante......................................... 48 3.2.2. Contribución de la cabeza de compresión ........................................................... 52 3.2.3. Resumen de la formulación ................................................................................. 54 3.3. Adaptación del modelo a secciones pretensadas ..................................................... 55 3.3.1. Influencia del pretensado en la respuesta a cortante ............................................ 55 3.3.2. Contribución de la cabeza de compresión ........................................................... 57 3.3.3. Fallo por cortante sin fisuras de flexión .............................................................. 58 3.3.4. Resumen de la formulación ................................................................................. 59 3.4. Compression Chord Capacity Model (CCCM) ....................................................... 60 4. MODELO PROPUESTO .......................................................................................... 61 4.1. Aspectos clave ......................................................................................................... 62 4.1.1. Ancho efectivo a cortante de las alas ................................................................... 62 4.1.2. Posición del daño máximo ................................................................................... 62 4.1.3. Profundidad del eje neutro ................................................................................... 67 4.1.4. Inclinación de la fisura crítica .............................................................................. 67 4.1.5. Contribución a lo largo de la fisura ..................................................................... 69 4.2. Contribución de la cabeza de compresión ............................................................... 70 4.3. Compression Chord Capacity Model ...................................................................... 72 4.4. Resumen de la formulación ..................................................................................... 74 5. EJEMPLO DE APLICACIÓN .................................................................................. 76 5.1. Enunciado ................................................................................................................ 76 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 5 de 116 5.2. Parámetros generales ............................................................................................... 77 5.3. Aplicación del MASM. Método General ................................................................ 80 5.3.1. Iteración 1 ............................................................................................................ 81 5.3.2. Resultados de las iteraciones ............................................................................... 82 5.3.3. Solución ............................................................................................................... 82 5.4. Aplicación del MASM. Método Simplificado ........................................................ 83 5.5. Aplicación del CCCM ............................................................................................. 83 5.6. Rotura por esfuerzo rasante ..................................................................................... 84 5.7. Resultados ............................................................................................................... 85 6. VERIFICACIÓN EXPERIMENTAL........................................................................ 86 6.1. Base de datos ........................................................................................................... 86 6.2. Verificación ............................................................................................................. 92 6.3. Análisis de los resultados. Robustez ....................................................................... 95 7. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS ................................................................. 104 7.1. Resumen ................................................................................................................ 104 7.2. Conclusiones y aportaciones de esta tesis ............................................................. 105 7.3. Perspectivas de futuros trabajos ............................................................................ 107 REFERENCIAS ........................................................................................................... 109 ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................................. 114 ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................ 115 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 6 de 116 1. ANTECEDENTES Y OBJETÍVOS 1.1. MOTIVACIÓN Muchas estructuras de hormigón armado y pretensado están formadas por secciones compuestas por varios hormigones o por hormigones fabricados en distintas fases, existiendo una junta entre ambas partes. Por un lado, ejemplos de estructuras compuestas por varios hormigones son: − Puentes de vigas prefabricadas con una losa de compresión superior conectada a las vigas (Figura 1.1). Figura 1.1. Puentes de vigas prefabricadas con una losa de compresión superior Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 13 de 116 𝐴𝑠 Área de armadura pasiva 𝜌𝑠 Cuantía de acero pasivo 𝐴𝑠𝑤 Área de armadura transversal 𝜌𝑤 Cuantía de armadura transversal 𝐸𝑝 Módulo de elasticidad del acero activo 𝑛𝑝 Ratio entre el módulo de elasticidad del acero activo y el del hormigón 𝐴𝑝 Área de armadura activa 𝜌𝑝 Cuantía de acero activo 𝑃 Fuerza de pretensado 𝜎𝑐𝑝 Tensión de tracción en la sección debido a un pretensado 𝑏 Ancho de la sección 𝑏𝑤 Ancho del alma 𝑏𝑓 Ancho de las alas comprimidas 𝑏𝑡𝑒𝑛𝑠 Ancho de las alas traccionadas ℎ Altura de la sección ℎ𝑤 Altura del alma ℎ𝑓 Altura de las alas comprimidas ℎ𝑓,𝑡𝑒𝑛𝑠 Altura de las alas traccionadas 𝑑 Canto útil 𝑑𝑝 Canto útil respecto de la armadura activa 𝜉 Profundidad relativa del eje neutro 𝑥 Profundidad del eje neutro 𝑥0 Profundidad del eje neutro de una sección pretensada antes de tesar 𝜃 Inclinación de la fisura 𝜃𝑓 Inclinación de la fisura en las alas 𝛽 Proyección horizontal de la fisura crítica 𝛼 Inclinación de la armadura Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 14 de 116 𝜂 Ratio entre el ancho de las alas y el del alma 𝛿 Ratio entre la altura de las alas y el canto útil de la sección 𝐾𝜃 Ratio que relaciona la inclinación de la fisura del alma con la fisura global 𝐾𝑐𝑟 Ratio entre el momento de fisuración de la sección en real y de la sección rectangular de referencia 𝐾𝑇 Ratio 𝐾𝑐𝑟 multiplicado por el cociente entre el ancho de las alas y el del alma 𝜁 Efecto tamaño 𝑎 Luz de cortante 𝑏𝑣 Ancho efectivo a cortante de las alas comprimidas 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓 Ancho eficaz a cortante 𝑀𝑐𝑟 Momento crítico de fisuración de la sección 𝜇𝑐𝑟 Momento crítico adimensional de fisuración de la sección 𝜇𝑝 Momento adimensional transmitido por la armadura activa a la altura de la armadura pasiva (𝑛𝑠𝜌𝑠)𝑙𝑖𝑚 Límite superior del producto 𝑛𝑠𝜌𝑠 para que el eje neutro se encuentre en las alas 𝑉𝑐 Cortante resistido por la cabeza no fisurada 𝑉𝑤 Cortante resistido a lo largo de la fisura 𝑉𝑙 Cortante resistido por la armadura longitudinal 𝑉𝑠 Cortante resistido por la armadura transversal 𝜈𝑐 Cortante adimensional resistido por la cabeza no fisurada 𝜈𝑤 Cortante adimensional resistido a lo largo de la fisura 𝜈𝑙 Cortante adimensional resistido por la armadura longitudinal 𝜈𝑠 Cortante adimensional resistido por la armadura transversal 𝜆𝑤 Brazo de la contribución vertical a lo largo de la fisura 𝑇𝑤 Contribución horizontal a lo largo de la fisura 𝑇 Contribución horizontal de la armadura longitudinal 𝜎1,𝜎2 Tensiones principales Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 15 de 116 𝜎𝑥 Tensión normal en dirección x 𝜎𝑦 Tensión normal en dirección y 𝜏 Tensión tangencial 𝑅𝑡 Ratio entre la tensión principal de tracción y la resistencia a tracción del hormigón 𝜆 Profundidad relativa del daño máximo 𝐾𝜆 Constante dependiente de la profundidad relativa del daño máximo (𝜆) 𝜏𝜆 Tensión tangencial en un punto 𝜆 𝑥𝑤 Proyección vertical de las tensiones en la fisura 𝑙𝑤 Longitud de la fisura 𝜎𝑤 Tensiones normales en la fisura 𝑤𝑚𝑎𝑥 Abertura de fisura máxima 𝑠𝑚𝜃 Separación media entre fisuras 𝑓𝑐𝑚 Resistencia media a compresión del hormigón 𝑑𝑚𝑎𝑥 Tamaño de árido máximo 𝛿𝑣 Desplazamiento vertical de la armadura pasiva debido al deslizamiento de la fisura al deformarse la sección 𝛿𝑚 Desplazamiento vertical de la armadura pasiva debido a la abertura de la fisura 𝛿𝑡 Desplazamiento vertical total de la armadura pasiva 𝑛𝑏 Número de barras de armadura longitudinal 𝑠𝑡 Separación de la armadura transversal 𝐼𝑠 Inercia de la barra de armadura longitudinal 𝜙 Diámetro de la armadura longitudinal 𝛼𝑐𝑤 Coeficiente que tiene en cuenta el estado de tensiones en las bielas 𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 Cortante máximo resistido por el hormigón por aplastamiento de las bielas de compresión 𝜐1 Coeficiente de reducción de la resistencia del hormigón fisurado por el efecto del cortante 𝐼𝑐 Inercia de la sección de hormigón Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 16 de 116 𝑆𝑐 Momento estático de la sección de hormigón 𝑉𝑐𝑢,𝑚𝑖𝑛 Cortante último mínimo resistido por el hormigón 𝜏𝑢 Rasante último de la interfase 𝑐 Coeficiente que depende de la irregularidad de la superficie de la junta 𝐴𝑗 Área de la junta entre hormigones 𝜎𝑠 Tensión de tracción en las armaduras 𝜇 Coeficiente que depende de la irregularidad de la superficie de la junta 𝜎𝑐𝑑 Tensión de tracción en la sección 𝜏𝑑 Rasante de cálculo 𝑆𝑓𝑖𝑠 Momento estático de la sección fisurada 𝐼𝑓𝑖𝑠 Inercia de la sección fisurada 𝑏𝑗 Ancho de la junta entre hormigones Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 17 de 116 2. ESTADO DEL CONOCÍMÍENTO En este apartado se introduce una visión general del estado del conocimiento con respecto a la formulación de la resistencia a cortante de secciones compuestas. Se hace referencia a estudios experimentales, modelos teóricos y a su tratamiento normativo. 2.1. ESTUDIOS EXPERIMENTALES Respecto a los estudios experimentales en secciones de hormigón armado compuestas por diferentes hormigones, convencionalmente se han centrado en resolver el problema del esfuerzo rasante de la junta, con la finalidad de garantizar el comportamiento de ambos materiales como una sección única. Estos estudios experimentales abarcan temas como el efecto de los tirantes en la interfase [1], el estudio de la resistencia a rasante en secciones en T [2]-[3] o la variación de dicha resistencia dependiendo de la superficie de la interfase [4]. Sin embargo, en algunos de los estudios experimentales anteriormente nombrados, a pesar de estar enfocados en el estudio de la resistencia a rasante y, como consecuencia diseñados para conseguir este tipo de rotura, algunos de los especímenes de estudio presentaron un fallo por fisuración diagonal; es decir, el cortante vertical condiciona el fallo. Este fenómeno, evidencia la necesidad de realizar campañas experimentales y modelos teóricos que permitan caracterizar con mayor precisión este tipo de rotura. Entre los estudios experimentales destinados al estudio del esfuerzo cortante vertical en secciones de hormigón armado compuestas se puede destacar las llevadas a cabo por Kim et al. [5]-[6] para secciones rectangulares sin y con refuerzo transversal; o las realizadas por la Universidad de Valencia [7]-[9] tanto para secciones rectangulares como para secciones en T, ambas sin y con refuerzo transversal. Además, debido al amplio uso en puentes de la configuración de vigas pretensadas unidas a una losa de compresión mediante una armadura transversal para trabajar como una sección conjunta, también se han enfocado una serie de estudios experimentales en esta tipología estructural [10]-[15], incluso realizándose algunos de ellos sobre puentes existentes. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 18 de 116 2.2. MODELOS TEÓRICOS En la actualidad existen diversos modelos teóricos que permiten representar el comportamiento a cortante de secciones de hormigón. Sin embargo, a pesar de obtener resultados próximos a la carga crítica, estos modelos son de difícil aplicación en la práctica diaria de una oficina de proyectos o excesivamente generales. Ejemplos de modelos teóricos son el modelo de Reineck [16], los modelos simplificados basados en la teoría del campo de compresiones [18], en la teoría de la fisura crítica [20], la analogía del ensayo de tracción indirecta [22]-[23], las teorías basadas en la resistencia de la cabeza comprimida [25]-[27], métodos basados en la plasticidad [29] y modelos que consideran la fatiga [30]. 2.2.1. Modelo de Reineck El modelo de Reineck tiene en cuenta los mecanismos resistentes por cortante. Se trata de un modelo numérico de análisis no lineal con una alta hiperestaticidad para el cual se obtienen resultados próximos a la realidad. La contribución principal a la resistencia a cortante en la que se basa este modelo es aquella movilizada por las fuerzas de fricción a lo largo de la fisura. Sumada a esta, considera la aportación de la armadura longitudinal por medio del efecto pasador (𝑉𝑑𝑢), disponiendo o no una armadura transversal. Esta aportación es mayor en elementos con cuantías altas de refuerzo longitudinal. Para poder resolver este modelo Reineck, basándose en modelos de bielas y tirantes de hormigón (Figura 2.1), propone adoptar una inclinación de las fisuras igual a 60º y una separación entre fisuras 0.7 veces la altura de las mismas (ℎ−𝑥). Una vez conocidos esto, se puede resuelve el desplazamiento por cortante y la abertura de las fisuras, para conocer el valor de la contribución de los mecanismos de cortante en el instante dado. Figura 2.1. Modelo de bielas y tirantes para un elemento sin armadura transversal (Reineck) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 19 de 116 Reineck propone la expresión (2.1) para calcular el cortante último para secciones sin armadura transversal ni axiles. Este depende de un parámetro adimensional que cuantifica la capacidad de transferencia por fricción de la fisura, según la ecuación (2.2), tal que 𝑤𝑢 es el límite de la abertura de fisura. El efecto pasador se calcula empleando la ecuación (2.3). 𝑉𝑢=0.4 𝑏𝑤 𝑑 𝑓𝑐𝑡+𝑉𝑑𝑢 1+0.054𝜆 (2.1) 𝜆=𝑓𝑐𝑘 𝑑 𝐸𝑠 𝜌 𝑤𝑢 (2.2) 𝑉𝑑𝑢 𝑏𝑤 𝑑 𝑓𝑐𝑘=1.33𝜌8/9 (𝑓𝑐𝑘)2/3 (2.3) 2.2.2. Modelos simplificados basados en la teoría del campo de compresiones Los modelos basados en la teoría del campo de compresiones acuden a las teorías elásticas de los materiales, donde se considera las tensiones principales del hormigón fisurado y las de la armadura longitudinal para obtener la inclinación de las fisuras. Partiendo de estos principios, se han desarrollado diferentes modelos que estiman la inclinación de las fisuras realizando una serie de suposiciones. Autores como Kupfer y Bauman consideran el comportamiento lineal y elástico de los materiales que componen la sección. Por otro lado, Collins extiende un modelo que desarrolló previamente junto con Mitchell [17], que considera elementos sometidos a torsión, para dar solución a elementos a cortante. Este modelo se conoce como el “Compression Field Theory” (CFT), que posteriormente sería extendido para tener en cuenta el aporte de la resistencia a tracción del hormigón en el “Modified Compression Field Theory” (MCFT) [18]. El MDFT es un modelo capaz de predecir la respuesta carga-deformación de elementos de hormigón armado sometidos a esfuerzo cortante y tensiones normales. Se considera el hormigón fisurado con sus correspondientes curvas de comportamiento tensióndeformación. El método plantea su resolución a través de las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y comportamiento tensión-deformación en términos de deformaciones y Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 20 de 116 tensiones promedio, considerando las valores locales en la zona fisurada. En la Figura 2.2 se resume esquemáticamente esta teoría. Figura 2.2. Esquema de la Teoría Modificada del Campo de Compresiones (MCFT) En función de las estimaciones consideradas, tanto el MCFT como el CFT, pueden tratarse de problemas de alta complejidad y resolución que incluyen análisis no lineales con el Método de los Elementos Finitos (MEF). Por otro lado, se han realizado una serie de simplificaciones basadas en resultados del modelo, llevando a soluciones más manejables en la práctica ordinaria. Por ejemplo, el código estructural de Canadá [19] contiene algunas de estas fórmulas simplificadas. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 21 de 116 2.2.3. Modelos basados en la teoría de la fisura crítica Los modelos basados en la teoría de la fisura crítica consideran el desarrollo de esta fisura y su contribución en la resistencia a cortante del elemento. Según la fisura avanza a lo largo del elemento, los mecanismos de transferencia de cortante que actuaban hasta el instante, como son el engranamiento de áridos o el efecto pasador, se pueden ver reducidos o anulados. En contrapartida, puede aparecer un nuevo mecanismo resistente por media del efecto arco. Este efecto arco se puede desarrollar como una desviación de las bielas de compresión para evitar la fisura o como una transferencia directa de la biela a través de la fisura gracias al engranamiento de áridos. La respuesta de os elementos viene definida por la acción conjunta de estos dos mecanismos. En la Figura 2.3 se representan ambos mecanismos (a-b) junto con su respuesta conjunta (c). Figura 2.3. Mecanismos de transferencia de cortante tras la aparición de la fisura crítica La resistencia a cortante se verifica en una sección en la que se pueda representar el ancho de la fisura crítica con la deformación (𝜀) a una profundidad igual a 0.6d desde la cara comprimida (Figura 2.4). Se deduce dicha deformación a partir de la ecuación (2.4), que es función de la profundidad del bloque de compresiones (𝑐). 𝜀= 𝑀 𝑏 𝑑 𝜌 𝐸𝑠 (𝑑−𝑐/3)·0.6𝑑−𝑐 𝑑−𝑐 (2.4) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 22 de 116 Figura 2.4. Deformación longitudinal en la sección crítica ‘𝑥𝑐𝑟𝑖’ a una profundidad de control Considerando estas hipótesis e incluyendo los efectos de la abertura de fisura, el tamaño de árido (𝑑𝑔) y la resistencia a compresión del hormigón (𝑓𝑐), Muttoni et al [20] proponen la ecuación (2.5) para calcular la resistencia a cortante. 𝑉𝑅 𝑏 𝑑 √𝑓𝑐=16·2 1+120 𝜀 𝑑 16+𝑑𝑔 (2.5) En vistas de obtener un modelo de uso práctico, esta expresión ha sido simplificada sustituyendo algunas de las variables por valores comunes en la práctica ordinaria. Resultado de esto es la ecuación (2.6) que se incluye en la instrucción estructural de Suiza [21]. Esta fórmula es válida para hormigones convencionales, zonas alejadas de anclajes, estribos verticales y cuando no existe esfuerzo axil. En caso contrario, se debería modificar la fórmula siguiendo las indicaciones pertinentes del modelo [20]. 𝑉𝑅 𝑏 𝑑 √𝑓𝑐=0.2 1+0.056𝑑 𝑚𝐸𝑑 𝑚𝑅𝑑 (2.6) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 29 de 116 una tensión rasante resistente (𝜏𝑅𝑑) que depende de la rugosidad de la superficie de contacto entre fases, de la resistencia a tracción de los hormigones (𝑓𝑐𝑡𝑑), de las tensiones de compresión en la junta (𝜎𝑛), de la cuantía de refuerzo transversal que atraviesa la junta (𝜌𝑠) y de la relación entre áreas de refuerzo transversal y de la junta (𝜌𝑗=𝐴𝑠/𝐴𝑗). Considerando todas estas variables propone la ecuación (2.8). 𝜏𝑅𝑑,𝑗=𝑐 𝑓𝑐𝑡,𝑑+𝜇 𝜎𝑛+𝜌𝑗 𝑓𝑦𝑑 (𝑐𝑜𝑠𝛼+𝜇𝑠𝑖𝑛𝛼)<0.5𝜈 𝑓𝑐𝑑 (2.8) La propuesta del futuro Eurocódigo-2 tampoco hace referencia al análisis del esfuerzo cortante de secciones compuestas. Por otro lado, plantea ecuaciones similares para la consideración del esfuerzo rasante de la junta, aunque diferenciando entre aquellos casos en los que se asegura la plastificación de la armadura pasante y aquellos en los que no. Respectivamente, propone las ecuaciones (2.9) y (2.10). En la ecuación (2.10) introduce los términos ‘𝑘𝑣’ y ‘𝑘𝑑𝑜𝑤𝑒𝑙’ que dependen de la superficie de contacto de la junta. Sumado a esto, incluye una cláusula para secciones muy rugosas y con un refuerzo pasante suficiente tal que, si se cumple, la verificación de la junta puede obviarse. 𝜏𝑅𝑑,𝑗=𝑐𝑣1√𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑐+𝜇𝑣 𝜎𝑛+𝜌𝑗 𝑓𝑦𝑑 (𝑐𝑜𝑠𝛼+𝜇𝑣𝑠𝑖𝑛𝛼)<0.30𝑓𝑐𝑑+𝜌𝑗𝑓𝑦𝑑𝑐𝑜𝑠𝛼 (2.9) 𝜏𝑅𝑑,𝑗=𝑐𝑣2√𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑐+𝜇𝑣 𝜎𝑛+𝑘𝑣 𝜌𝑗 𝑓𝑦𝑑 𝜇𝑣+𝑘𝑑𝑜𝑤𝑒𝑙 𝜌𝑗 √𝑓𝑦𝑑 𝑓𝑐𝑑<0.25𝑓𝑐𝑑 (2.10) Además, propone la ecuación (2.11) para obtener la distribución longitudinal de la tensión tangencial entre interfases de hormigón debido a su comportamiento conjunto. Según esto, la tensión tangencial de cálculo depende de la relación entre esfuerzo longitudinal en el área nueva de hormigón y el esfuerzo longitudinal en la zona de compresión o tracción calculados para la sección considerada (𝛽𝑛𝑒𝑤), del cortante perpendicular a la interfase (𝑉𝐸𝑑), del brazo de palanca (𝑧) y del ancho de la junta (𝑏𝑗). En la Figura 2.13 se representa el diagrama de cortante de cálculo junto con la armadura transversal necesaria. 𝜏𝐸𝑑,𝑗=𝛽𝑛𝑒𝑤·𝑉𝐸𝑑 𝑧·𝑏𝑗 (2.11) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 30 de 116 Figura 2.13. Diagrama de cortante indicando la armadura de cosido requerida Estas propuestas para considerar el comportamiento de una sección compuesta donde interactúan el comportamiento de los diferentes materiales que la componen resulta, como mínimo, escasa. Pues solo trata de responder al problema del cortante horizontal, sin mencionar el cortante vertical. Esto lleva a incertidumbres para poder cuantificar la resistencia ante tensiones tangenciales de este tipo de piezas, como pueden ser: − Las propiedades de qué material: se deben considerar, ¿siempre el del alma o un promedio o se debe de proponer en función de la posición de la fibra neutra? − Si solo se consideran las propiedades del material del alma, el brazo de palanca considerado, ¿se toma sobre la sección compuesta o sobre la sección del alma? − Inclinación de las fisuras cuando la profundidad del eje neutro se encuentra en las alas: ¿se debe tomar la inclinación a lo largo del alma para todo su desarrollo o se debe tener en cuenta que al alcanzar la fibra neutra las alas, cuyo material tiene propiedades diferentes, esta cambie su inclinación? Entonces, cual se adopta, ¿la del alma, una inclinación para cada tramo o un promedio? − Validez de la formulación de las normativas: puesto que las fórmulas propuestas por las normativas han sido calibradas de forma empírica en secciones tipo monolíticas, se debe considerar que no sea correcto aplicarlas para el caso de secciones compuestas, incluso en mayor medida cuando tienen forma de T tal que, la contribución del hormigón de las alas cobra una mayor influencia según se incrementa su ancho. En resumen, las normativas actuales no proporcionan la información necesaria sobre la física del problema de la resistencia a cortante, pudiendo permitir de esta manera, resolver cualquier tipo de problema. Este hecho, que es cierto para secciones fabricadas con un Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 31 de 116 solo hormigón, se hace más notable al trabajar con secciones fabricadas con varios hormigones, sobre las cuales las normativas no enuncian explícitamente ninguna información o recomendación, dejando incertidumbre sobre cómo debe adaptar las verificaciones propuestas para secciones monolíticas al comportamiento compuesto de este tipo de secciones. 2.4. RESISTENCIA A ESFUERZO RASANTE EN LA JUNTA ENTRE HORMIGONES La presente tesis de máster aborda la resolución de la resistencia al cortante vertical en piezas compuestas por dos hormigones, no obstante, hay que tener en cuenta la presencia de una junta que siempre es, a priori, un punto débil y puede provocar el deslizamiento entre ambas partes de la pieza bajo una carga que puede ser menor que la carga de rotura por cortante vertical. Por ello, en la verificación de una pieza compuesta frente a tensiones tangenciales, además de la resistencia frente al cortante vertical, se incluye una verificación de la resistencia a rasante de la junta. En consecuencia, en el presente apartado del estado del conocimiento se describe el mecanismo resistente frente el esfuerzo rasante que se utiliza en esta tesis para verificar la resistencia de la junta, acotando inferiormente la carga última y sin realizar una descripción exhaustiva de otras posibles formas de resistencia de la junta, puesto que el estudio de esta forma de rotura está fuera del objeto de la tesis. Se trata del mecanismo de cortante-fricción, que es el más aceptado universalmente por las normativas más importantes (ACI 318-19 [44], Eurocódigo 2 [45] y en España por el Código Estructural [46] y por la actualmente derogada Instrucción EHE 08 [47]) La resistencia de la junta ante un esfuerzo rasante se basa en los mecanismos resistentes de cortante-fricción junto con la adhesión y las llaves de cortante (Figura 2.14). Figura 2.14. Mecanismos resistentes en una junta entre hormigones Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 32 de 116 La resistencia a rasante viene definida en la ecuación (2.12) dónde ‘𝐴𝑗’ es el área de la junta y el parámetro ‘𝜈’ se define en la ecuación (2.13). Claramente, uno de los parámetros que determina la respuesta de la sección ante el esfuerzo rasante es el tipo de superficie de contacto entre hormigones. 𝜏𝑢=𝑐 𝑓𝑐𝑡,𝑑+𝐴𝑠𝜎𝑠 𝐴𝑗 (𝑐𝑜𝑠𝛼+𝜇𝑠𝑖𝑛𝛼)+𝜇 𝜎𝑐𝑑<0.5𝜈 𝑓𝑐𝑑 (2.12) 𝜈=0.6[1−𝑓𝑐𝑘 250] (2.13) El esfuerzo rasante introduce tensiones tangenciales a lo largo de la junta, tal que se representa como un diferencial entre las compresiones de la sección (Figura 2.15). Figura 2.15. Distribución de tensiones rasantes en juntas entre secciones de hormigón A la hora de hablar de la obtención de las tensiones rasantes en secciones de hormigón se diferencia entre cálculo elástico y cálculo plástico. En la Figura 2.16 se muestra la distribución de las tensiones rasantes a lo largo de una viga. Figura 2.16. Cálculo elástico y plástico de tensiones rasantes en juntas entre hormigones Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 33 de 116 En una pieza a flexión fabricada con hormigones en dos fases y con una junta horizontal, la variación de la resultante de los bloques de tensiones normales en la pieza se corresponde con el cortante. De esta manera, el esfuerzo rasante de cálculo se formula según la ecuación (2.14), tal que depende del ancho de la junta, así como de la inercia y del momento estático de la sección. Se trabaja con las propiedades de la sección fisurada. 𝜏𝑑=𝑉·𝑆𝑓𝑖𝑠 𝑏𝑗·𝐼𝑓𝑖𝑠 (2.14) 2.5. CONCLUSIONES En definitiva, el comportamiento resistente ante esfuerzo cortante teniendo en cuenta la flexión es de naturaleza compleja y difícil de predecir. La actual falta de modelos teóricos suficientemente simples y económicos para emplearse en el ámbito del proyecto, sumado a una experimentación existente insuficiente que no cubre todos los aspectos de este comportamiento, representan un vacío en la interpretación adecuada del fenómeno. La formulación por parte de los códigos de la resistencia a cortante se aborda de forma semi-empírica. Esto puede llevar tanto a soluciones excesivamente conservadoras, provocando un fallo inesperado por compresión oblicua del alma, como a soluciones inseguras, que llevan la estructura la colapso por cortante ante cargas inferiores a la estimada. A su vez, los resultados que provienen de la aplicación de dichas formulaciones tienen una alta dispersión respecto de los resultados experimentales. Todo esto, hace presente la necesidad de plantear una formulación que considere la influencia en la resistencia a cortante, basándose en la física del problema y que sea capaz de representar adecuadamente fenómenos como son los siguientes: − Variación del nivel de contribución de los mecanismos conforme se incrementa la carga. − Modificación de la resistencia a compresión del hormigón debido a la existencia de una armadura transversal. − Efecto de los esfuerzos axiles de compresión o de tracción, entre los cuales el hormigón presenta una clara diferencia de capacidad resistente. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 34 de 116 − Influencia del estado biaxial de tensiones y del coeficiente ‘a/d’ en apoyos intermedios de vigas continuas, con respecto a los apoyos extremos en los que apenas existen compresiones. − Contribución de la cabeza de secciones en I o en T que, tradicionalmente no se considera. En el caso de secciones compuestas por varios hormigones, además de todos esos factores, se adicionan los enumerados a continuación: − Existencia de una junta entre ambos hormigones, cuyo fallo puede condicionar la carga máxima. − La presencia de dos hormigones afecta a la posición del eje neutro. o Si la junta está por debajo del eje neutro, se considera que todo funciona como si se tratase de un solo hormigón. o Si la junta está por encima del eje neutro, las tensiones tangenciales serán diferentes arriba y debajo de la junta, cuando hay varios hormigones. − El punto crítico donde se produce el daño máximo y, con ello, la rotura podría caer en un hormigón o en el otro, o incluso en la junta entre ambos hormigones. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 35 de 116 3. MODELO DE REFERENCÍA En este apartado se desarrolla una explicación del estado actual del Multi-Action Shear Model (MASM), elaborado para analizar la resistencia a cortante de secciones de hormigón. Este método soluciona el problema, de alta complejidad, del cortante basándose en la mecánica estructural y observaciones experimentales, obteniendo resultados de mayor precisión que las fórmulas semi-empíricas propuestas por normativas y pudiendo extrapolarse a cualquier tipología de estructura. Además, a partir de este modelo y tras algunas simplificaciones, se ha derivado el Compression Chord Capacity Model (CCCM). Este modelo propone una serie de ecuaciones más apropiadas, tanto en cuanto a simplicidad de aplicación como en precisión, para ser empleadas en códigos normativos o en la práctica diaria. Actualmente, tanto el MASM como el CCCM, están desarrollados para secciones fabricadas con un solo hormigón. A partir del caso más básico de secciones rectangulares, se ha extendido también para secciones en I o en T y para secciones pretensadas. La elaboración de este apartado está basada los trabajos previos [38]-[43]. 3.1. SECCIONES RECTANGULARES ARMADAS Es este apartado se desarrolla la formulación del Multi-Action Shear Model para secciones armadas rectangulares [38]-[39]. 3.1.1. Mecanismos de transferencia En vigas esbeltas sometidas a flexión y cortante, las fisuras de tracción comienzan en la zona traccionada y se desarrollan inclinadas a lo largo del alma. Según se incrementa la carga, el daño se concentra en la fisura crítica que se propaga hasta el eje neutro. Por último, para cargas más altas, una segunda rama de la fisura crítica penetra en la cabeza eventualmente conectando la fisura con el punto de aplicación de la carga y llegando al fallo de la sección. Generalmente, se admite que los mecanismos que movilizan la resistencia a cortante de una sección de hormigón armado varían conforme lo hace la carga e incluyen lo descrito a continuación: Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 36 de 116 a) Cortante resistido por la zona no fisurada del cabeza de compresión. b) Fuerzas de fricción a lo largo de la fisura (engranamiento de áridos), opuestas desplazamiento relativo de ambas caras de la fisura. c) Esfuerzos residuales de tensión a través de las fisuras, que funcionan como tirantes de una celosía junto con cabeza de compresión, el refuerzo longitudinal y las bielas del hormigón. d) Cortante resistido por la armadura transversal. e) Cortante resistido por la armadura longitudinal, cosiendo la fisura con un efecto pasador. Necesita de la existencia de la armadura transversal para entrar en funcionamiento. En resumen, para la carga última, las contribuciones resistentes se ven representadas, tal y como se muestra en la Figura 3.1, por el hormigón no fisurado (𝑉𝑐𝑢), la armadura transversal plastificada (𝑉𝑠), los esfuerzos transferidos a lo largo de la fisura (𝑉𝑤) y la armadura longitudinal (𝑉𝑙). Se asume que la proyección horizontal de la fisura crítica (𝛽𝑑) igual a 0.85𝑑, de acuerdo con observaciones experimentales hechas por [36], [37] y [39]; y que las armaduras longitudinales se encuentran correctamente ancladas, siendo efectivas en su totalidad en la sección crítica a cortante. Figura 3.1. Mecanismos de transferencia a cortante Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 37 de 116 Se asumen la distribución de tensiones normales y tangenciales en la cabeza mostradas en la Figura 3.2, tal que, la profundidad del eje neutro coincide con la zona no fisurada del hormigón. Es decir, se tiene una distribución lineal de las tensiones normales de flexión (𝜎𝑥); una distribución bilineal de las tensiones normales verticales (𝜎𝑦), igual a cero en la fibra superior y constante a partir del centro de la altura de la cabeza no fisurada; y una distribución parabólica de las tensiones tangenciales (𝜏), igual a cero en la fibra superior y el eje neutro y de valor máximo en la mitad de la profundidad del eje neutro. A pesar, de saber que cierto valor de tensiones tangenciales existe a la altura del eje neutro, bajando la zona de tensiones tangenciales máximas más próximo a el eje neutro, la distribución asumida permite obtener una formulación más sencilla de aplicar aproximándose significativamente al valor real. Figura 3.2. Distribución de tensiones asumidas en la cabeza de hormigón sin fisurar Para resolver el estado biaxial de tensiones presentado en la Figura 3.2, se expresa el estado tensional en función de las tensiones principales y se emplea la teoría de la envolvente de rotura propuesta por Kupfer [31] mostrada en la Figura 3.3. Figura 3.3. Envolvente de rotura de Kupfer [31] para la rama tensión-compresión Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 38 de 116 3.1.2. Formulación 3.1.2.1. Consideraciones previas Se asume la posición del eje neutro (x) como aquella expresión obtenida al analizar una sección fisura ante flexión pura. Para secciones sin armadura de compresión, se corresponde con la ecuación (3.1), donde ‘𝑛’ es el cociente entre el módulo de elasticidad del acero (𝐸𝑠) y el del hormigón (𝐸𝑐) y ‘𝜌𝑠’ es la cuantía geométrica de armadura longitudinal (𝜌𝑠=𝐴𝑠/(𝑏·𝑑)). 𝜉=𝑥𝑑=𝑛𝑠𝜌𝑠(−1+√1+ 2 𝑛𝑠𝜌𝑠) (3.1) Debido al fallo frágil al propagarse la segunda rama de la fisura crítica, se debe tener en cuenta el efecto tamaño. El efecto tamaño depende del canto útil de la sección (𝑑) y de su esbeltez (𝑎/𝑑). Se propone la ecuación (3.2) para tener en cuenta este efecto, dónde ‘𝑎’ se corresponde con la luz de cortante de la viga estudiada. 𝜁= 2 √1+𝑑 200 (𝑑𝑎)0.2 (3.2) 3.1.2.2. Contribución de la cabeza de compresión Basándose en el círculo de Mohr, las tensiones principales (𝜎1,𝜎2) de la sección crítica se expresan en función de las tensiones normales (𝜎𝑥,𝜎𝑦) y tangenciales (𝜏) siguiendo la ecuación (3.3). 𝜎1,2=𝜎𝑥+𝜎𝑦 2±√(𝜎𝑥−𝜎𝑦 2)2+𝜏2 (3.3) Despejando las tensiones tangenciales (𝜏) en función de la tensión principal 𝜎1, se tiene la ecuación (3.4): 𝜏=𝜎1√1−𝜎𝑥+𝜎𝑦 𝜎1+𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎12 (3.4) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 45 de 116 { 𝐶=𝑇𝑤+𝑇 𝑉=𝑉𝑐+𝑉𝑤+𝑉𝑙+𝑉𝑠 𝐶·𝑧=𝑀𝑐𝑟+𝑉𝑐 (𝛽 𝑑)+𝑉𝑤 𝜆𝑤+𝑉𝑠 (𝛽2𝑑) (3.22) 3.1.3. Resolución del problema Para resolver el problema, se parte de la expresión adimensional de la contribución a la resistencia a cortante de la cabeza de compresión (𝜐𝑐), expresada con la ecuación (3.23) , incluyendo el efecto tamaño. 𝜈𝑐=1 𝑓𝑐𝑡 𝐾𝜆 𝜁 𝜉 [𝜎1√1−𝜎𝑥+𝜎𝑦 𝜎1+𝜎𝑥·𝜎𝑦 𝜎12] (3.23) Las tensiones normales 𝜎𝑥 y 𝜎𝑦 en la sección para un punto conocido ‘𝜆·𝑥’, basándose en la Figura 3.2, pueden expresarse según las ecuaciones (3.24) y (3.25), respectivamente. El término ‘𝜇𝑐𝑟’ se corresponde con el momento de fisuración adimensional de la sección y se calcula con la ecuación (3.26). 𝜎𝑥 𝑓𝑐𝑡=−2𝜆 (𝜇𝑐𝑟+𝛽 𝜈𝑐+𝜆𝑤 𝜈𝑤+0.5𝛽 𝜈𝑠) 𝜉(1−𝜉3) (3.24) 𝜎𝑦 𝑓𝑐𝑡=−𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦𝑤 𝑓𝑐𝑡 𝑏 =−𝜈𝑠 𝛽 (3.25) 𝜇𝑐𝑟=𝑀𝑐𝑟 𝑓𝑐𝑡 𝑏 𝑑2≈0.2 (3.26) Conocidas las tensiones principales, se puede deducir el daño, teniendo en cuenta la interacción de esfuerzos de tracción y compresión (𝜎1, 𝜎2) a través de la envolvente de fallo biaxial de Kupfer [31]. De esta manera en la ecuación (3.27), se plantea el término ‘𝑅𝑡’ para el cual el daño es máximo. Sustituyendo las ecuaciones (3.24), (3.25) y (3.27), en la ecuación (3.23), se obtiene la ecuación (3.28) que plantea la contribución de la cabeza no fisurada. 𝑅𝑡=𝜎1 𝑓𝑐𝑡=1−0.8 𝜎2 𝑓𝑐𝑑 (3.27) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 46 de 116 𝜈𝑐=𝐾𝜆 𝑅𝑡 𝜁 𝜉 √1+2𝜆 (𝜇𝑐𝑟+𝛽 𝜈𝑐+𝜆𝑤 𝜈𝑤+0.5𝛽 𝜈𝑠) 𝜉(1−𝜉3) 𝑅𝑡 (𝜈𝑠 𝛽 𝑅𝑡+1)+𝜈𝑠 𝛽 𝑅𝑡 (3.28) Finalmente, para resolver el problema, se debe hacer de forma iterativa. Para ello se establece inicialmente ‘𝑅𝑡=1’ y se resuelve el problema hasta obtener el valor de 𝜈𝑐 para el cual el daño es el máximo. El problema converge en pocas iteraciones. Tras plantear la contribución de la cabeza de compresión, se observa que si se representa su valor adimensional respecto de la profundidad relativa del eje neutro, existe una relación entre los mismo. En la Figura 3.8 se representa dicha relación para una misma sección y variando la armadura transversal dispuesta. Figura 3.8. Contribución de la cabeza respecto de la profundidad relativa del eje neutro En la Figura 3.8 también se observa como la resistencia en la cabeza se incrementa según lo hace el refuerzo transversal. Esto se debe a que cuando aumenta el refuerzo transversal, este absorbe un cortante mayor incrementándose el momento flector en la sección crítica y mejorando el comportamiento del hormigón de la cabeza no fisurada. Adicionalmente, esto también favorece el confinamiento de la sección. Teniendo en cuenta el efecto tamaño, la expresión del cortante resistido por la cabeza de compresión puede simplificarse según la ecuación (3.29). 𝜈𝑐= 𝜁 [(0.88+0.70 𝜈𝑠) 𝑥𝑑+0.02] (3.29) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 47 de 116 3.1.3.1. Fallo por aplastamiento de las bielas de compresión En aquellas secciones con cuantías de armadura a cortante bajas, puede producirse el fallo a cortante de la sección debido al aplastamiento de las bielas de compresión en el hormigón. Por tanto, se deberá comparar el valor de esta resistencia a cortante con el obtenido en el apartado anterior. Las diversas normativas y modelos mecánicos proponen diferentes expresiones para evaluar la resistencia de las bielas del hormigón. Debido a su difundida aplicación, se propone, emplear la expresión proporcionada por el Eurocódigo 2 (CEN 2002), mostrada en la ecuación (3.30). Los términos ‘υ1’ y ‘𝛼𝑐𝑤’ se calculan aplicando las ecuaciones (3.31) y (3.32). 𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥=𝛼𝑐𝑤 𝑏𝑤 𝑑 𝜐1 𝑓𝑐𝑑 𝑐𝑜𝑡𝜃 1+𝑐𝑜𝑡𝜃 (3.30) 𝜐1={0.6 𝑠𝑖 𝑓𝑐𝑘≤60𝑀𝑃𝑎 0.9−𝑓𝑐𝑘/200 𝑠𝑖 𝑓𝑐𝑘>60𝑀𝑃𝑎 (3.31) 𝛼𝑐𝑤= { 1𝑠𝑖 𝜎𝑐𝑝/𝑓𝑐𝑑=0 1+𝜎𝑐𝑝/𝑓𝑐𝑑 𝑠𝑖 0≤𝜎𝑐𝑝/𝑓𝑐𝑑≤0.25 1.25 𝑠𝑖 0.25≤𝜎𝑐𝑝/𝑓𝑐𝑑≤0.5 2.5 (1−𝜎𝑐𝑝/𝑓𝑐𝑑)𝑠𝑖 0.5≤𝜎𝑐𝑝/𝑓𝑐𝑑≤1 (3.32) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 48 de 116 3.1.4. Resumen de la formulación Profundidad del eje neutro: 𝑥𝑑=𝑛𝑠𝜌𝑠(−1+√1+ 2 𝑛𝑠𝜌𝑠) Tabla 3.1. Resumen de la formulación del MASM para secciones rectangulares Contribuciones Expresiones adimensionales simplificadas Alma fisurada (𝜈𝑤) 167 𝑓𝑐𝑡 𝐸𝑐 (1+2 𝐺𝑓 𝐸𝑐 𝑓𝑐𝑡2·𝑑) Armadura longitudinal (𝜈𝑙) {0.23 𝑛𝑠 𝜌𝑠 1−𝜉 𝑠𝑖 𝜈𝑠>0 0𝑠𝑖 𝜈𝑠=0 Armadura transversal (𝜈𝑠) 𝛽 𝜌𝑤 𝑓𝑦𝑤 𝑓𝑐𝑡 Cabeza de compresión (𝜈𝑐) 𝐾𝜆 𝑅𝑡 𝜁 𝜉 √1+2𝜆(𝜇𝑐𝑟+𝛽𝜈𝑐+𝜆𝑤𝜈𝑤+0.5𝛽𝜈𝑠) 𝜉(1−𝜉3) 𝑅𝑡 (𝜈𝑠 𝛽𝑅𝑡+1)+𝜈𝑠 𝛽𝑅𝑡 Expresión simplificada de la contribución de la cabeza: 𝜈𝑐=𝜁[(0.88+0.70 𝜈𝑠) 𝑥𝑑+0.02] 3.2. ADAPTACIÓN DEL MODELO A SECCIONES EN I O EN T Es este apartado se desarrolla la adaptación y formulación del Multi-Action Shear Model para secciones armadas en I o en T [40]. 3.2.1. Influencia de la forma en T en la respuesta a cortante En el siguiente apartado, se explica las consideraciones tomadas para adaptar el MASM a la resolución de secciones en I o en T. Destacan la consideración de que existe una fracción del ancho de las alas que contribuye en la resistencia a cortante del hormigón, la posición dónde se inicia la fisura crítica, la formulación de la profundidad del eje neutro y la inclinación de las fisuras. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 49 de 116 3.2.1.1. Ancho efectivo a cortante de las alas Está demostrado mediante análisis numéricos llevados a cabo en [34]-[38] que tan solo una porción de las alas cercana al alma colabora en la resistencia a cortante. El ancho total efectivo de las alas a cortante se obtiene con la ecuación (3.33), de acuerdo con la notación de la Figura 3.9. 𝑏𝑣=𝑏𝑤+2ℎ𝑓≤𝑏 (3.33) Figura 3.9. Notación ancho efectivo de secciones I o en T 3.2.1.2. Profundidad del eje neutro En secciones en I o en T, la profundidad del eje neutro puede encontrarse por encima o por debajo de la cabeza de compresión formada por las alas. Ambos casos se representan en la Figura 3.10. Figura 3.10. Profundidad del eje neutro en una sección en I o en T Conociendo la expresión de la posición del eje neutro (3.1), se impone una condición límite en la ecuación (3.34) para localizar el eje neutro, dónde ‘δ=ℎ𝑓/d’ 𝑛𝑠𝜌𝑠≤12·[𝛿2 1−𝛿] (3.34) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 50 de 116 De esta manera, si se cumple la ecuación (3.34), el eje neutro se encuentra dentro de la cabeza de compresión (𝑥≤ℎ𝑓) y aplica la ecuación (3.1) desarrollada para secciones rectangulares. Por tanto, la profundidad del eje neutro será menor que el de la sección rectangular equivalente y la fisura será más vertical de lo previsto. Si no se cumple la ecuación (3.34), el eje neutro se encuentra por debajo de la cabeza de compresión (𝑥>ℎ𝑓). Se puede calcular su posición resolviendo la ecuación (3.35), obtenida planteando el equilibrio horizontal de fuerzas en la sección con dos anchos diferentes, dónde ‘𝜂=𝑏𝑓/𝑏𝑤’ y ‘𝛿=ℎ𝑓/𝑑’. 𝑥𝑑=[𝛿(𝜂−1)+𝜂 𝑛𝑠𝜌𝑠][−1+√1+𝛿2(𝜂−1)+2 𝜂 𝑛𝑠𝜌𝑠 [𝛿(𝜂−1)+𝜂 𝑛𝑠𝜌𝑠]2 ] (3.35) 3.2.1.3. Inclinación de la fisura crítica Cuando la fisura penetra en las alas, su inclinación disminuye, alejando la sección crítica del punto de momento nulo. Esto tiene las consecuencias enumeradas a continuación: − Existen esfuerzos de compresión mayores en la cabeza, incrementándose la capacidad a cortante, aunque en muy pequeña medida. − La proyección de la fisura es mayor, aumentando la cuantía de refuerzo transversal en esta y, con ello, su contribución a la resistencia a cortante. − El desplazamiento vertical entre fisuras es mayor, afectando a la contribución de la armadura longitudinal. Este efecto es muy pequeño, por lo que se desprecia. − Las tensiones residuales transferidas en la fisura (𝑉𝑤) se pueden localizar en las alas y en el alma. De forma conservadora, en el modelo se consideran tan solo tensiones residuales en el ancho del alma (𝑏𝑤). Para evaluar la contribución de la armadura transversal, de acuerdo con la Figura 3.11, se obtienen los ángulos de la fisura en la alas (𝜃𝑓), en el alma y el global (𝜃). Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 51 de 116 Figura 3.11. Inclinación de las fisuras en una sección en I o en T En la ecuación (3.36) se define un ratio (𝐾𝜃) que relaciona la inclinación de la fisura del alma con la fisura global. 𝐾𝜃=(𝑑−ℎ𝑓)+(ℎ𝑓−𝑥)𝑏𝑣 𝑏𝑤 𝑑−𝑥 (3.36) De esta manera, con la ecuación (3.37), se plantea la proyección horizontal de la fisura. 𝛽·𝑑=0.85·𝐾𝜃·𝑑 (3.37) 3.2.1.4. Posición de la sección crítica El momento de fisuración de una sección en I o en T, es diferente que el de una sección rectangular, desplazando el punto de inicio de la fisura crítica. En este modelo, se plantea un ratio (𝐾𝑐𝑟) entre el momento de fisuración de la sección en real (𝑀𝑐𝑟,𝑇) y de la sección rectangular de referencia con la misma altura y ancho igual al del alma de la sección real (𝑀𝑐𝑟,𝑅𝑤). Este ratio se obtiene de forma analítica en la ecuación (3.38). De forma práctica para emplearse en la formulación se multiplica este ratio por el cociente entre el ancho del alma y el de las alas, obteniendo un segundo ratio (𝐾𝑇) en la ecuación (3.39). 𝐾𝑐𝑟=𝑀𝑐𝑟,𝑇 𝑀𝑐𝑟,𝑅𝑤≈0.90+0.10·𝑏 𝑏𝑤+2.50·ℎ𝑓,𝑡𝑒𝑛𝑠 ℎ(𝑏𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑏𝑤−1) (3.38) 𝐾𝑇=𝐾𝑐𝑟·𝑏𝑤 𝑏≈0.10+0.90·𝑏𝑤 𝑏+2.50·ℎ𝑓,𝑡𝑒𝑛𝑠 ℎ(𝑏𝑡𝑒𝑛𝑠−𝑏𝑤 𝑏) (3.39) 3.2.1.5. Contribución a lo largo de la fisura Para simplificar la obtención de la contribución a la resistencia a cortante en la fisura, tan solo se consideran las tensiones residuales en la zona del alma y se plantean basándose en su energía de fractura. Por tanto, se obtiene la contribución en la fisura integrando las Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 52 de 116 tensiones a lo largo del alma, empleando las propiedades del material que la constituye, como se muestra en la ecuación (3.40). 𝑉𝑤=∫𝜎𝑤·𝑏𝑤·𝑑𝑙 𝑙𝑤 0≈𝑥𝑤·𝜎𝑤·𝑐𝑜𝑡𝜃=0.5𝛽 𝑓𝑐𝑡,𝑤 𝑏𝑤 𝑑 𝜀𝑐𝑡,𝑢,𝑤 𝜀𝑠 𝑠𝑖𝑛2𝜃 (3.40) Siguiendo el mismo procedimiento que para obtener esta contribución en una sección rectangular, se obtiene el cortante en la fisura formulado en la ecuación (3.41). 𝑉𝑤=𝑓𝑐𝑡 𝑏𝑤 𝑑·[0.5𝛽·𝑠𝑖𝑛2𝜃·𝑓𝑐𝑡 𝐸𝑐·𝜀𝑠·(1+2·𝐺𝑓,𝑤·𝐸𝑐 𝑓𝑐𝑡2·𝑑 )] (3.41) El término adimensional del cortante en la fisura es el planteado en la ecuación (3.42). 𝜈𝑤=[0.5𝛽·𝑠𝑖𝑛2𝜃·𝑓𝑐𝑡 𝐸𝑐·𝜀𝑠·(1+2·𝐺𝑓,𝑤·𝐸𝑐 𝑓𝑐𝑡2·𝑑 )]·𝑏𝑤 𝑏𝑓 (3.42) Si se realizan las mismas modificaciones para simplificar la ecuación que en secciones rectangulares, resulta la ecuación (3.43). Se trata de la misma expresión que la propuesta para secciones rectangulares pero ponderado por el ratio de las bases del alma y de las alas. 𝜈𝑤=167 𝑓𝑐𝑡 𝐸𝑐 (1+2 𝐺𝑓,𝑤 𝐸𝑐 𝑓𝑐𝑡2 𝑑)·𝑏𝑤 𝑏𝑓 (3.43) 3.2.2. Contribución de la cabeza de compresión Por último, para considerar en el modelo la forma en I o en T de la sección, se modifica la contribución de la cabeza a la resistencia a cortante en función de las consideraciones descritas anteriormente, diferenciado entre dos casos dependiendo de si la profundidad del eje neutro se encuentra dentro de las alas totalmente o también abarca parte del alma. El caso dónde el eje neutro se encuentra dentro de las alas, requiere pocas modificaciones. Concretamente, varía el término que incluye el momento de fisuración. Además, como se considera tan solo la fracción efectiva de las alas (𝑏𝑣) en la integración de las tensiones tangenciales, al obtener el término adimensional de la contribución de la cabeza, aparece el ratio ‘𝑏𝑣/𝑏’. En la ecuación (3.44) se muestra la expresión de la contribución a cortante Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 53 de 116 de la cabeza para secciones en I o en T, con las modificaciones respecto de la formulación de secciones rectangulares resaltadas en verde. 𝜈𝑐=𝐾𝜆 𝑅𝑡 𝜁 𝜉 𝑏𝑣 𝑏√1+2𝜆(𝜇𝑐𝑟 𝐾𝑇+𝛽 𝜈𝑐+𝜆𝑤 𝜈𝑤+0.5𝛽 𝜈𝑠) 𝜉(1−𝜉3) 𝑅𝑡 (𝜈𝑠 𝛽𝑅𝑡+1)+𝜈𝑠 𝛽𝑅𝑡 (3.44) Para obtener la contribución del hormigón en el caso dónde el eje neutro se encuentra por debajo de las alas, se integran las tensiones tangenciales en dos dominios independientes (alas y alma). Es decir, se plantea el cortante con la ecuación (3.45). 𝑉𝑐=∫𝜏(𝑧) 𝑏(𝑧) 𝑑𝑧 𝑥 0=∫ 𝜏(𝑧) 𝑏𝑤 𝑑𝑧 𝑥−ℎ𝑓 0+∫ 𝜏(𝑧) 𝑏𝑣 𝑑𝑧 𝑥 𝑥−ℎ𝑓=𝐼𝑤+𝐼𝑓 (3.45) Resolviendo la suma de ambas integrales se obtiene el cortante en la cabeza con la ecuación (3.47). Es similar a la ecuación obtenida en el caso de secciones rectangulares, pero empleando un ancho eficaz de las alas, obtenido con la ecuación (3.46) y que depende del ancho del alma (𝑏𝑤), del ancho efectivo de las alas (𝑏𝑣) y del cociente ‘𝜈’ entre la altura de las alas (ℎ𝑓) y la profundidad del eje neutro (𝑥). 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓=𝑏𝑣(𝑏𝑤 𝑏𝑣[1−3𝜈2+2𝜈3]+[3𝜈2−2𝜈3]) (3.46) 𝑉𝑐=𝜏𝜆·𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓·𝑥 6 𝜆 (1−𝜆) (3.47) Tras sustituir los términos correspondientes, la expresión adimensional de la contribución de la cabeza cuando el eje neutro se encuentra por debajo de las alas es aquella indicada en la ecuación (3.48). 𝜈𝑐=𝐾𝜆 𝑅𝑡 𝜁 𝜉 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓 𝑏√1+2𝜆(𝜇𝑐𝑟 𝐾𝑇+𝛽 𝜈𝑐+𝜆𝑤 𝜈𝑤+0.5𝛽 𝜈𝑠) 𝜉(1−𝜉3) 𝑅𝑡 (𝜈𝑠 𝛽𝑅𝑡+1)+𝜈𝑠 𝛽𝑅𝑡 (3.48) De forma similar al caso de vigas rectangulares, al representar la contribución adimensional a cortante de la cabeza respecto de la profundidad relativa del eje neutro para diferentes secciones con y sin armado transversal, se obtiene una relación lineal entre Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 54 de 116 ambos parámetros. En la Figura 3.12 se representa esta relación variando el ancho del alma y la cuantía de armadura transversal. Figura 3.12. Relación entre la contribución de la cabeza y la profundidad del eje neutro Además, en la Figura 3.12 se observa como la pendiente es mayor cuando la fibra neutra se encuentra en las alas, puesto que el ancho de la sección es mayor, que cuando entra en el alma. Desde el lado de la seguridad, puede emplearse la ecuación (3.49) para expresar la contribución de la cabeza de forma simplificada. 𝜈𝑐= 𝜁[(0.70+018𝐾𝑇+(0.20+0.50𝑏 𝑏𝑤)𝜈𝑠) 𝑥𝑑+0.02𝐾𝑇] 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓 𝑏 (3.49) 3.2.3. Resumen de la formulación Profundidad del eje neutro: →𝜂=𝑏𝑓/𝑏𝑤 ; 𝛿=ℎ𝑓/𝑑 𝑥𝑑= { 𝑛𝑠𝜌𝑠(−1+√1+ 2 𝑛𝑠𝜌𝑠)𝑠𝑖 𝑛𝑠𝜌𝑠≤12[𝛿2 1−𝛿] [𝛿(𝜂−1)+𝜂 𝑛𝑠𝜌𝑠][−1+√1+𝛿2(𝜂−1)+2 𝜂 𝑛𝑠𝜌𝑠 [𝛿(𝜂−1)+𝜂 𝑛𝑠𝜌𝑠]2 ]𝑠𝑖 𝑛𝑠𝜌𝑠>12[𝛿2 1−𝛿] Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 61 de 116 4. MODELO PROPUESTO Este apartado está enfocado al análisis del comportamiento ante esfuerzo cortante de secciones fabricadas con hormigones diferentes y la extensión de los modelos MASM y CCCM a piezas compuestas de hormigón armado. Para resolver el problema se consideran dos situaciones diferentes, dependiendo de la posición del eje neutro respecto de la interfase. Si el eje neutro se encuentra dentro de las alas (Figura 4.1) el problema se reduce a aplicar el MASM de una sección en T fabricada con el hormigón de las alas. Por el contrario, cuando el eje neutro se encuentra en el alma (Figura 4.2), debido a la diferencia entre la geometría y los materiales de ambas secciones, existe una discontinuidad de las tensiones normales y tangenciales localizada en la interfase. Figura 4.1. Distribución de tensiones en una sección mixta. Eje neutro en las alas (𝑥≤ℎ𝑓) Figura 4.2. Distribución de tensiones en una sección mixta. Eje neutro en el alma (𝑥>ℎ𝑓) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 62 de 116 4.1. ASPECTOS CLAVE Para extender el modelo Mult-Action Shear Model (MASM) al caso de piezas compuestas por varios hormigones, habrá que identificar qué aspectos se deben modificar o añadir a la formulación del MASM expuesta en el apartado anterior, para tener en cuenta el comportamiento de este tipo de piezas. Particularmente, entre otros aspectos, se busca resolver: − Posición relativa del daño máximo ‘𝜆’. − Posición del eje neutro. − Inclinación de la fisura crítica. − Integración de las tensiones tangenciales ‘𝜏(𝑧)’ para diferentes anchuras y resistencias. − Formulación de la contribución de la cabeza de compresión ‘𝑉𝑐’. − Resolver cómo considerar la rotura por rasante en la junta. 4.1.1. Ancho efectivo a cortante de las alas Para tener en cuenta la porción de las alas que colabora en la resistencia a cortante, se obtiene el ancho total efectivo de las alas a cortante a partir de la ecuación (4.1), igual que la planteada para el caso de secciones compuestas por un solo hormigón. 𝑏𝑣=𝑏𝑤+2ℎ𝑓≤𝑏𝑓 (4.1) 4.1.2. Posición del daño máximo En primera instancia y para poder plantear el problema, se debe conocer la posición dónde se concentra el daño máximo en la sección. Se ha estudiado los casos dónde el hormigón del alma tiene mayor resistencia que el de las alas y el caso contrario. En este proceso se desarrollan una serie de casos, en los que se plantea la resolución de una sección compuesta por diferentes materiales en función de diversos parámetros, comparando los resultados obtenidos para cada uno de ellos. Los casos estudiados son los siguientes: Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 63 de 116 1) Se plantea 6 secciones rectangulares compuestas de dimensiones geométricas únicas, variando la resistencia del hormigón de sus alas. 2) Se plantea 6 secciones rectangulares compuestas de dimensiones geométricas únicas, variando el hormigón de sus almas. 3) Se plantea 6 secciones en T compuestas de dimensiones geométricas únicas, variando el hormigón de sus alas. En cada uno de los tres casos se analizan los resultados de la misma sección para dos relaciones entre la luz de cortante y el canto útil (𝑎/𝑑). De esta manera, se analizan un total de 12 secciones en cada caso, tal que, las secciones S1 hasta la S6 tienen una relación 𝑎/𝑑=2.5 y desde la S7 hasta la S12 tienen una relación 𝑎/𝑑=4.0. La distribución del daño máximo obtenido para cada uno de los casos se muestra entre la Figura 4.3 y la Figura 4.5. Figura 4.3. Distribución del daño. Caso 1. Profundidad del daño máximo Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 64 de 116 Figura 4.4. Distribución del daño. Caso 2. Profundidad del daño máximo Figura 4.5. Distribución del daño. Caso 3. Profundidad del daño máximo Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 65 de 116 La profundidad relativa del daño máximo, junto a otros parámetro de interés, se incluyen en la Tabla 4.1. Tabla 4.1. Resultados. Profundidad del daño máximo Caso Sección Fibra neutra (x) Daño máximo Valor Dónde Daño z λ Dónde Caso 1 S1 0.252 m Alma 1.000 0.111 m 0.440 Alas S2 0.248 m Alma 1.000 0.109 m 0.440 Alas S3 0.245 m Alma 1.000 0.108 m 0.440 Alas S4 0.242 m Alma 1.000 0.101 m 0.420 Alas S5 0.239 m Alma 1.000 0.100 m 0.420 Alas S6 0.236 m Alma 1.000 0.099 m 0.420 Alas S7 0.252 m Alma 1.000 0.111 m 0.440 Alas S8 0.248 m Alma 1.000 0.109 m 0.440 Alas S9 0.245 m Alma 1.000 0.108 m 0.440 Alas S10 0.242 m Alma 1.000 0.106 m 0.440 Alas S11 0.239 m Alma 1.000 0.105 m 0.440 Alas S12 0.236 m Alma 1.000 0.104 m 0.440 Alas Caso 2 S1 0.237 m Alma 1.000 0.033 m 0.140 Interfase S2 0.237 m Alma 1.000 0.033 m 0.140 Interfase S3 0.236 m Alma 1.000 0.099 m 0.420 Alas S4 0.236 m Alma 1.000 0.099 m 0.420 Alas S5 0.236 m Alma 1.000 0.099 m 0.420 Alas S6 0.236 m Alma 1.000 0.099 m 0.420 Alas S7 0.237 m Alma 1.000 0.033 m 0.140 Interfase S8 0.237 m Alma 1.000 0.109 m 0.460 Alas S9 0.236 m Alma 1.000 0.104 m 0.440 Alas S10 0.236 m Alma 1.000 0.104 m 0.440 Alas S11 0.236 m Alma 1.000 0.104 m 0.440 Alas S12 0.236 m Alma 1.000 0.104 m 0.440 Alas Caso 3 S1 0.232 m Alma 1.000 0.102 m 0.440 Alas S2 0.228 m Alma 1.000 0.100 m 0.440 Alas S3 0.224 m Alma 1.000 0.099 m 0.440 Alas S4 0.221 m Alma 1.000 0.097 m 0.440 Alas Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 66 de 116 Caso Sección Fibra neutra (x) Daño máximo Valor Dónde Daño z λ Dónde S5 0.219 m Alma 1.000 0.096 m 0.440 Alas S6 0.216 m Alma 1.000 0.095 m 0.440 Alas S7 0.232 m Alma 1.000 0.102 m 0.440 Alas S8 0.228 m Alma 1.000 0.100 m 0.440 Alas S9 0.224 m Alma 1.000 0.094 m 0.420 Alas S10 0.221 m Alma 1.000 0.093 m 0.420 Alas S11 0.219 m Alma 1.000 0.017 m 0.080 Interfase S12 0.216 m Alma 1.000 0.091 m 0.420 Alas La profundidad relativa del daño máximo se encuentra bien en la interfase entre alas y alma o bien a una profundidad relativa entre los valores 0.440 y 0.420 (Figura 2.15). Figura 4.6. Resultados. Profundidad del daño máximo Este estudio en detalle se puede encontrar desarrollado en el 0. La conclusión más relevante obtenida es que el parámetro ‘𝜆’ que establece la posición relativa del eje neutro a una distancia igual a 0.425, es válido también para secciones compuestas por varios hormigones. Sin embargo, debido a la diferencia entre resistencias de ambas secciones, especialmente en el caso en el que la posición del daño máximo se encontrara en el alma, puede producirse un fallo de la junta de la interfase entre hormigones. Para tener esto en cuenta, si el punto de daño máximo se encuentra en el material cuya resistencia es mayor, se deberá comprobar el fallo debido al cortante vertical en esta posición y también en la junta, considerando las propiedades del material menos resistente. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 67 de 116 4.1.3. Profundidad del eje neutro Para determinar si el eje neutro se encuentra por debajo de las alas o no, se emplea el mismo razonamiento que en el caso de secciones en T. Es decir, se establece una condición en función del valor límite (𝑛𝑠𝜌𝑠)𝑙𝑖𝑚, tal que, si supera tal valor límite, el eje neutro se encuentra en el alma y si es menor, el eje neutro se encontraría en las alas. La expresión es igual a la presentada anteriormente para el caso de secciones en T en la ecuación (3.34). Si el eje neutro se encuentra dentro de la cabeza de compresión (𝑥≤ℎ𝑓) y aplica la ecuación (3.1) desarrollada para secciones rectangulares. Si el eje neutro se encuentra por debajo de la cabeza de compresión (𝑥>ℎ𝑓), se puede calcular su posición adaptando la ecuación (3.35), utilizada para secciones en T, para considerar los dos materiales dispuestos en la sección. Tras plantear el equilibrio de las fuerzas horizontales en la sección con dos anchos y dos materiales diferente, se obtiene la ecuación (4.2), donde ‘η′ =b𝑓/(𝑛𝑐 bw)’. Como se observa, es la misma ecuación que la obtenida en el caso de secciones rectangulares con un solo material, pero multiplicando la relación de anchos por la relación entre el módulo de elasticidad del hormigón de las alas y el del alma. 𝑥𝑑=[𝛿(𝜂′−1)+𝜂′ 𝑛𝑠 𝜌𝑠][−1+√1+𝛿2(𝜂′−1)+2 𝜂′ 𝑛𝑠 𝜌𝑠 [𝛿(𝜂′−1)+𝜂′ 𝑛𝑠 𝜌𝑠]2 ] (4.2) 4.1.4. Inclinación de la fisura crítica La inclinación de la fisura afecta directamente a la resistencia de la sección y, por tanto, se comprueba si las hipótesis de modelo anteriores son aplicables cuando la sección está compuesta por diferentes hormigones. Para ello se deduce el factor ‘𝐾𝜃’. La relación entre la inclinación de las fisuras del alma y las alas, se puede deducir empleando el círculo de Mohr. Se consideran dos puntos localizados en la interfase, uno en el alma y otro en las alas. En el instante de fisuración el punto localizado en el alma alcanza la resistencia de tracción de este material; en cambio, el hormigón de las alas aún no ha fisurado y necesitará de una carga ‘𝜆’ veces mayor para iniciar. Las tensiones normales y tangenciales en el alma se expresan en función de las de las alas. Según este Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 68 de 116 razonamiento, las expresiones de las tensiones principales de tracción en el instante de fisuración para el alma y las alas se muestran en las ecuaciones (4.3) y (4.4). 𝜎1𝑤=𝜎𝑥𝑤 2+√(𝜎𝑥𝑤 2)2+(𝜏𝑤)2=𝑛𝑐·𝜎𝑥𝑓 2+√(𝑛𝑐·𝜎𝑥𝑓 2)2+(𝜏𝑓·𝑏𝑣 𝑛𝑐 𝑏𝑤)2 (4.3) 𝜎1𝑓=𝜆[𝜎𝑥𝑓 2+√(𝜎𝑥𝑓 2)2+(𝜏𝑓)2] (4.4) Suponiendo que las tensiones principales en la dirección ‘𝑦’ son nulas, la inclinación de las fisuras cot𝜃 es igual a 𝜏/𝜎1. Operando, se obtiene el ratio entre la inclinación de las fisuras en la ecuación (4.5). 𝑅𝜃=𝑐𝑜𝑡𝜃𝑓 𝑐𝑜𝑡𝜃𝑤=𝜏𝑓·𝜎1𝑤 𝜏𝑤·𝜎1𝑓=𝜆· 𝜏𝑓 𝜏𝑓·𝑏𝑣 𝑛𝑐 𝑏𝑤·𝜎1𝑤 𝜎1𝑓=𝜆·𝑛𝑐 𝑏𝑤 𝑏𝑣·𝜎1𝑤 𝜎1𝑓 𝑅𝜃=𝑏𝑤 𝑛𝑐 𝑏𝑣·𝑛𝑐·𝜎𝑥𝑓 2+√(𝑛𝑐·𝜎𝑥𝑓 2)2+(𝜏𝑓·𝑏𝑣 𝑛𝑐 𝑏𝑤)2 𝜎𝑥𝑓 2+√(𝜎𝑥𝑓 2)2+(𝜏𝑓)2 𝑅𝜃=𝑛𝑐 𝑏𝑤 𝑏𝑣·𝑛𝑐+√𝑛𝑐2+(2𝜏𝑓 𝜎𝑥𝑓·𝑏𝑣 𝑛𝑐 𝑏𝑤)2 1+√1+(2𝜏𝑓 𝜎𝑥𝑓)2 (4.5) En la Figura 4.7 se representa esta relación respecto del cociente entre el ancho del alma y el ancho de las alas multiplicado por el cociente entre módulos de elasticidad. Como se puede ver, la pendiente de la función es similar a la unidad. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 69 de 116 Figura 4.7. Evolución de ‘𝑅𝜃’ respecto del cociente ‘𝑛𝑐 𝑏𝑤/𝑏𝑣 ’ Las hipótesis realizadas en modelos anteriores siguen siendo válidas cuando se construye la sección con diferentes hormigones, pero se debe incluir en la formulación la relación entre los módulos de elasticidad de ambos materiales. La inclinación global de la fisura se desarrolla a continuación hasta obtener el factor ‘𝐾𝜃’ en la ecuación (4.6). 𝑐𝑜𝑡𝜃=𝑐𝑜𝑡𝜃𝑤·(𝑑−ℎ𝑓)+(ℎ𝑓−𝑥)·𝑏𝑣 𝑛𝑐 𝑏𝑤 (𝑑−𝑥)=0.85 1−𝜉 𝐾𝜃 𝐾𝜃=(𝑑−ℎ𝑓)+(ℎ𝑓−𝑥)·𝑏𝑣 𝑛𝑐 𝑏𝑤 (𝑑−𝑥) (4.6) 4.1.5. Contribución a lo largo de la fisura Para simplificar la obtención de la contribución a la resistencia a cortante en la fisura, tan solo se consideran las tensiones residuales en la zona del alma y se plantean basándose en su energía de fractura. Por tanto, se obtiene la contribución en la fisura integrando las tensiones a lo largo del alma, empleando las propiedades del material que la constituye, como se muestra en la ecuación (4.7). Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 70 de 116 𝑉𝑤=∫𝑛𝑐·𝜎𝑤·𝑏𝑤·𝑑𝑙 𝑙𝑤 0≈𝑥𝑤·𝜎𝑤·𝑐𝑜𝑡𝜃=0.5𝛽 𝑓𝑐𝑡,𝑤 𝑛𝑐 𝑏𝑤 𝑑 𝜀𝑐𝑡,𝑢,𝑤 𝜀𝑠 𝑠𝑖𝑛2𝜃 (4.7) Siguiendo el mismo procedimiento que para obtener esta contribución en una sección rectangular, se obtiene el cortante en la fisura formulado en la ecuación (4.8). 𝑉𝑤=𝑓𝑐𝑡,𝑤·𝑛𝑐 𝑏𝑤·𝑑·[0.5𝛽·𝑠𝑖𝑛2𝜃·𝑓𝑐𝑡,𝑤 𝐸𝑐,𝑤·𝜀𝑠·(1+2·𝐺𝑓,𝑤·𝐸𝑐,𝑤 𝑓𝑐𝑡,𝑤 2·𝑑 )] (4.8) El término adimensional del cortante en la fisura es el planteado en la ecuación (4.9). 𝜈𝑤=[0.5𝛽·𝑠𝑖𝑛2𝜃·𝑓𝑐𝑡,𝑤 𝐸𝑐,𝑤·𝜀𝑠·(1+2·𝐺𝑓,𝑤·𝐸𝑐,𝑤 𝑓𝑐𝑡,𝑤 2·𝑑 )]·𝑛𝑐 𝑏𝑤 𝑏𝑓·𝑓𝑐𝑡,𝑤 𝑓𝑐𝑡,𝑓 (4.9) Si se realizan las mismas modificaciones para simplificar la ecuación que en secciones rectangulares, resulta la ecuación (4.10). Se trata de la misma expresión que la propuesta para secciones rectangulares pero ponderado por la relación entre los anchos del alma y las alas y la relación entre las resistencias a tracción del alma y de las alas. 𝜈𝑤=167 𝑓𝑐𝑡,𝑤 𝐸𝑐,𝑤 (1+2 𝐺𝑓,𝑤 𝐸𝑐,𝑤 𝑓𝑐𝑡,𝑤 2 𝑑 )·𝑛𝑐 𝑏𝑤 𝑏𝑓·𝑓𝑐𝑡,𝑤 𝑓𝑐𝑡,𝑓 (4.10) 4.2. CONTRIBUCIÓN DE LA CABEZA DE COMPRESIÓN Por último, para considerar en el modelo la sección compuesta, se modifica la contribución de la cabeza a la resistencia a cortante en función de las consideraciones descritas anteriormente, diferenciado entre el caso en el que el eje neutro se encuentra dentro de las alas completamente y el caso en el que también entra en el alma. Cuando el eje neutro se encuentra dentro de las alas, la formulación es la misma que la empleada para este caso en secciones con forma de I o T, empleando el ancho eficaz de las alas a cortante calculado con la ecuación (4.1). La ecuación de contribución de la cabeza de compresión se formula con la ecuación (4.11). 𝜈𝑐=𝐾𝜆 𝑅𝑡 𝜁 𝜉 𝑏𝑣 𝑏𝑓√1+2𝜆(𝜇𝑐𝑟 𝐾𝑇+𝛽 𝜈𝑐+𝜆𝑤 𝜈𝑤+0.5𝛽 𝜈𝑠) 𝜉(1−𝜉3) 𝑅𝑡 (𝜈𝑠 𝛽𝑅𝑡+1)+𝜈𝑠 𝛽𝑅𝑡 (4.11) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 77 de 116 Figura 5.1. Geometría. Ejemplo de aplicación Se trata de una viga biapoyada cuya relación entre la luz de cortante y el canto útil (𝑎/𝑑) es igual a 4. Las placas de apoyo miden 250 𝑚𝑚 en dirección longitudinal. 5.2. PARÁMETROS GENERALES En primer lugar, se obtiene una serie de parámetros necesarios para resolver el problema: − Coeficiente entre módulos de elasticidad del acero y del hormigón de las alas. 𝑛𝑠=𝐸𝑠 𝐸𝑐,𝑓=200000 32837=6.091 − Coeficiente entre módulos de elasticidad del hormigón de las alas y el del alma. 𝑛𝑐=𝐸𝑐,𝑤 𝐸𝑐,𝑓=37278 32837=1.135 − Relación entre la luz de cortante y el canto útil considerando el ancho de la placa. (𝑎𝑑)′=𝑎−𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑑=1380−250 355 =3.254 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 78 de 116 − Efecto tamaño. 𝜁= 2 √1+𝑑 200 (𝑑𝑎)0.2=2 √1+355 200 ( 1 3.254)0.2=0.966 − Posición del eje neutro (alas o alma). (𝑛𝑠𝜌𝑠)𝑙𝑖𝑚=12·[𝛿2 1−𝛿]→𝑥 𝑒𝑛 {𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖 𝑛𝑠𝜌𝑠≤(𝑛𝑠𝜌𝑠)𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑙𝑚𝑎 𝑠𝑖 𝑛𝑠𝜌𝑠>(𝑛𝑠𝜌𝑠)𝑙𝑖𝑚 →𝛿=ℎ𝑓 𝑑=100 335=0.299 (𝑛𝑠𝜌𝑠)𝑙𝑖𝑚=12 [0.2992 1−0.299]=0.064 𝑛𝑠𝜌𝑠=6.091·2454 380·335=0.117 𝑛𝑠𝜌𝑠=0.117>0.064=(𝑛𝑠𝜌𝑠)𝑙𝑖𝑚→𝐸𝑗𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝐴𝐿𝑀𝐴 − Profundidad del eje neutro cuando se encuentra en el alma. 𝜉=𝑥𝑑=[𝛿(𝜂′−1)+𝜂′𝑛𝑠 𝜌𝑠][−1+√1+𝛿2(𝜂′−1)+2 𝜂′𝑛𝑠 𝜌𝑠 [𝛿(𝜂′−1)+𝜂′𝑛𝑠 𝜌𝑠]2 ] →𝜂′=𝑏𝑓 𝑛𝑐·𝑏𝑤=380 1.135·180=1.860 𝜉=[0.299(1.86−1)+1.86·0.117][−1+√1+0.2992(1.86−1)+2·1.86·117 [0.299(1.86−1)+1.86·117]2 ] 𝜉=0.385 → 𝑥=129 𝑚𝑚>100𝑚𝑚=ℎ𝑓 → 𝐸𝑗𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑚𝑎 − Ancho efectivo de las alas a cortante. 𝑏𝑣=𝑏𝑤+2ℎ𝑓=180+2·100=480>380=𝑏𝑓 → 𝑏𝑣=𝑏𝑓=380𝑚𝑚 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 79 de 116 − Ancho efectivo de las alas a cortante modificado cuando la fibra neutra se encuentra en el alma. 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓=𝑏𝑣(𝑛𝑐·𝑏𝑤 𝑏𝑣[1−3𝜈2+2𝜈3]+[3𝜈2−2𝜈3]) → 𝜈=ℎ𝑓 𝑥=100 129=0.776 →3𝜈2−2𝜈3=3·0.7762−2·0.7763=0.872 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓=380(1.135·180 380 [1−0.872]+0.872) 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓=358 𝑚𝑚 − Posición del punto de daño máximo ‘𝜆·𝑥’. 𝐷𝑎ñ𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛→{𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖 𝜆·𝑥≤ℎ𝑓 𝑎𝑙𝑚𝑎 𝑠𝑖 𝜆·𝑥>ℎ𝑓 𝜆·𝑥=0.425·129=54.76<100=ℎ𝑓 → 𝐷𝑎ñ𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝐴𝐿𝐴𝑆 Como el punto de daño máximo se encuentra en las alas, el daño máximo dependerá de las propiedades del material de las alas: 𝐷(𝑧)=𝜎1 𝑓𝑐𝑡,𝑓+0.8·𝜎2 𝑓𝑐𝑐,𝑓 − Parámetro ‘𝐾𝜃’ que modifica la inclinación de la fisura cuando la fibra neutra entra en la cabeza. 𝐾𝜃= { (𝑑−ℎ𝑓)+(ℎ𝑓−𝑥) 𝑏𝑣 𝑛𝑐 𝑏𝑤 𝑑−𝑥 𝑠𝑖 𝑥≤ℎ𝑓 1𝑠𝑖 𝑥>ℎ𝑓 → 𝑥>ℎ𝑓 → 𝐾𝜃=1 − Parámetro ‘𝐾𝑇’ que modifica la posición de la sección crítica para secciones en I o en T. 𝐾𝑇=0.1+0.9·𝑛𝑐 𝑏𝑤 𝑏𝑓+2.50·ℎ𝑓,𝑡𝑒𝑛𝑠 ℎ(𝑏𝑡𝑒𝑛𝑠−𝑏𝑤 𝑏)=0.1+0.9·1.135·180 380 𝐾𝑇=0.584 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 80 de 116 A continuación, se obtiene la contribución a la resistencia a cortante a lo largo de la fisura. 𝜈𝑤=167 𝑓𝑐𝑡,𝑤 𝐸𝑐,𝑤 (1+2 𝐺𝑓,𝑤 𝐸𝑐,𝑤 𝑓𝑐𝑡,𝑤 2 𝑑 )·𝑛𝑐 𝑏𝑤 𝑏𝑓·𝑓𝑐𝑡,𝑤 𝑓𝑐𝑡,𝑓 →𝐺𝑓,𝑤=0.028 𝑓𝑐𝑚,𝑤 0.18 𝑑𝑚𝑎𝑥 0.32=0.028·(50+8)0.18·200.32=0.137 → 𝑓𝑐𝑡,𝑤=4.072 → 𝐸𝑐,𝑤=37278 → 𝑏𝑤=180 → 𝑓𝑐𝑡,𝑓=2.896 → 𝑛𝑐=1.135 → 𝑏𝑓=380 𝜈𝑤=167·4.072 37278 (1+2·0.173·37278 4.0722·335 )·1.135·180 280 ·4.072 2.896=0.039 𝑉𝑤=𝜈𝑤·(𝑓𝑐𝑡,𝑓·𝑏𝑓·𝑑)=0.039·(2.896·380·335)=14.5 𝑘𝑁 A su vez, también se deben hallar las contribuciones de la armadura transversal (𝜈𝑠) y de la armadura longitudinal (𝜈𝑙). 𝜈𝑠=𝛽 𝜌𝑤 𝑓𝑦𝑤 𝑓𝑐𝑡,𝑓=0.85·420.12·10−6 0.380 ·500 2.896=0.85·0.0011·500 2.896=0.155 𝑉𝑠=𝜈𝑠·(𝑓𝑐𝑡,𝑓·𝑏𝑓·𝑑)=0.155·(2.896·380·335)=57.3 𝑘𝑁 𝜈𝑙≈0.23 𝑛𝑠𝜌𝑠 1−𝜉=0.23·0.117 1−0.385=0.044 𝑉𝑙=𝜈𝑙·(𝑓𝑐𝑡,𝑓·𝑏𝑓·𝑑)=0.044·(2.896·380·335)=16.2 𝑘𝑁 5.3. APLICACIÓN DEL MASM. MÉTODO GENERAL En la aplicación de la formulación general del MASM, se emplea un proceso iterativo para obtener la contribución de la cabeza de compresión cuando el daño es máximo (𝐷(𝑧)=1). A continuación, se desarrolla en detalle los resultados de la iteración 1 y se adjunta en la Tabla 5.2 un resumen del resto de iteraciones necesarias para obtener el resultado. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 81 de 116 5.3.1. Iteración 1 Primero se obtiene la contribución de la cabeza de compresión imponiendo un valor inicial de ‘𝑅𝑡=1’. 𝜈𝑐=𝐾𝜆 𝑅𝑡 𝜁 𝜉 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓 𝑏𝑓√1+2𝜆(𝜇𝑐𝑟 𝐾𝑇+𝛽 𝜈𝑐+𝜆𝑤 𝜈𝑤+0.5𝛽 𝜈𝑠) 𝜉(1−𝜉3) 𝑅𝑡 (𝜈𝑠 𝛽𝑅𝑡+1)+𝜈𝑠 𝛽𝑅𝑡 → 𝐾𝜆=0.682 → 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓=358 → 𝜇𝑐𝑟=0.2 → 𝜆𝑤=0.408 → 𝜁=0.966 → 𝑏𝑓=380 → 𝐾𝑇=0.584 → 𝜈𝑤=0.039 → 𝜉=0.385 → 𝜆=0.425 → 𝛽=0.85 → 𝜈𝑠=0.155 𝜈𝑐=0.398 En segundo lugar, se obtienen las tensiones tangenciales y normales en la sección. 𝜏 𝑓𝑐𝑡,𝑓=𝜈𝑐 𝐾𝜆 𝜁 𝜉 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓 𝑏𝑓=0.398 0.682·0.966·0.385·0.358 0.380=1.672 𝜎𝑥 𝑓𝑐𝑡,𝑓=2𝜆(𝜇𝑐𝑟 𝐾𝑇+𝛽 𝜈𝑐+𝜆𝑤 𝜈𝑤+0.5𝛽 𝜈𝑠) 𝜉(1−𝜉3) =1.362 → 𝜎𝑥 𝑓𝑐𝑡,𝑓=2·0.425 (0.2·0.584+0.85·0.398+0.408·0.039+0.5·0.85·0.155) 0.385(1−0.385 3) 𝜎𝑦 𝑓𝑐𝑡,𝑓=𝜈𝑠 𝛽=0.155 0.85=0.183 Una vez conocidas, se puede obtener las tensiones principales en la sección. 𝜎1,2 𝑓𝑐𝑡,𝑓=𝜎𝑥 𝑓𝑐𝑡,𝑓+𝜎𝑦 𝑓𝑐𝑡,𝑓 2 ±√(𝜎𝑥 𝑓𝑐𝑡,𝑓−𝜎𝑦 𝑓𝑐𝑡,𝑓 2)2+(𝜏 𝑓𝑐𝑡,𝑓)2=1.36+0.18 2±√(1.36−0.18 2)2+(1.67)2 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 82 de 116 → { 𝜎1 𝑓𝑐𝑡,𝑓=1.00 → 𝜎1=1.00·2.896 → 𝜎1=2.896 𝑀𝑃𝑎 𝜎2 𝑓𝑐𝑡,𝑓=−2.55 → 𝜎2=−2.55·2.896 → 𝜎2=−7.370 𝑀𝑃𝑎 Finalmente se obtiene el daño. Si el daño es igual a ‘1’ (daño máximo), el proceso iterativo termina. En cambio, si no se cumple esta condición, se vuelve a empezar el proceso iterativo. 𝐷(𝑧)=𝜎1 𝑓𝑐𝑡,𝑓+0.8·𝜎2 𝑓𝑐𝑐,𝑓=2.896 2.896+0.8·−7.370 −30 =1.00+0.8·0.246=1.197 𝐷𝑎ñ𝑜≠1→𝐼𝑡𝑒𝑟𝑎𝑟 5.3.2. Resultados de las iteraciones Se ha realizado un total de cuatro iteraciones hasta obtener un daño igual a la unidad. A partir de los resultados de la última iteración se estima la resistencia a cortante de la sección. En la Tabla 5.2 se muestran los resultados de los parámetros más relevantes en cada una de las iteraciones realizadas. Tabla 5.2 Resultados de las iteraciones del método general del MASM. Ejemplo aplicación Iteración Rt νc τ / fct,f σx / fct,f σy / fct,f σ1 [MPa] σ2 [MPa] Daño 1 1.000 0.398 1.672 1.362 0.183 2.896 -7.370 1.197 2 0.803 0.338 1.417 1.232 0.183 2.427 -6.422 0.975 3 0.829 0.345 1.449 1.248 0.183 2.400 -6.545 1.003 4 0.825 0.344 1.445 1.246 0.183 2.391 -6.530 1.000 5.3.3. Solución La resistencia a cortante aportada por la cabeza es la siguiente: 𝜈𝑐=𝑉𝑐 𝑓𝑐𝑡,𝑓·𝑏𝑓·𝑑 𝑉𝑐=𝜈𝑐·(𝑓𝑐𝑡,𝑓·𝑏𝑓·𝑑)=0.344·(2.896·380·335)=127.0 𝑘𝑁 Por tanto, la resistencia total a cortante de la sección se obtiene a continuación: 𝑉𝑢=𝑉𝑐+𝑉𝑤+𝑉𝑙+𝑉𝑠=127.0+14.5+16.2+57.3 𝑽𝒖=𝟐𝟏𝟒.𝟗 𝒌𝑵 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 83 de 116 5.4. APLICACIÓN DEL MASM. MÉTODO SIMPLIFICADO A continuación, se resuelve el problema empleando la formulación simplificada del MASM. La resistencia a cortante aportada por la cabeza es la siguiente: 𝜈𝑐=𝜁 [(0.70+0.18𝐾𝑇+(0.20+0.50·𝑏𝑓 𝑛𝑐 𝑏𝑤)𝜐𝑠)𝜉+0.02𝐾𝑇]·𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓 𝑏𝑓 → 𝜁=0.966 → 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓=358 → 𝑏𝑓=380 → 𝐾𝑇=0.584 → 𝜉=0.385 → 𝑛𝑐=1.135 → 𝑏𝑤=180 → 𝜈𝑠=0.155 𝜈𝑐=0.353 𝑉𝑐=𝜈𝑐·(𝑓𝑐𝑡,𝑓·𝑏𝑓·𝑑)=0.353·(2.896·380·335)=130.3 𝑘𝑁 El resto de las contribuciones se hallan de forma análoga al caso anterior. Por tanto, la resistencia total a cortante de la sección se obtiene a continuación: 𝑉𝑢=𝑉𝑐+𝑉𝑤+𝑉𝑙+𝑉𝑠=130.3+14.5+16.2+57.3 𝑽𝒖=𝟐𝟏𝟖.𝟐 𝒌𝑵 5.5. APLICACIÓN DEL CCCM Por último, se resuelve el problema aplicando las fórmulas Compression Chord Capacity Model (CCCM). En primer lugar, se calcula la contribución en la cabeza no fisurada. 𝑉𝑐𝑢=0.30 𝜁𝑥𝑑 𝑓𝑐𝑘2/3 [0.80+0.24𝐾𝑇 ] 𝑏𝑣,𝑒𝑓𝑓 𝑑 𝑉𝑐𝑢=0.3·0.966·0.385·302/3·[0.80+0.24·0.584 ]·0.358·0.335·103 𝑉𝑐𝑢=121.2 𝑘𝑁 Posteriormente se halla la contribución de armadura transversal, afectado por un incremento proveniente de la contribución en la cabeza (Δ𝑉𝑐𝑢=0.4). 𝑉𝑠𝑢=1.4 𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦𝑤𝑑 𝑠 (𝑑𝑠−𝑥)𝑠𝑖𝑛𝛼 (𝑐𝑜𝑡𝜃+𝑐𝑜𝑡𝛼) Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 84 de 116 𝑉𝑠𝑢=1.4·402.1·500 103 (0.335−0.129)·1·(1.381+0)=1.4·57.25 𝑉𝑠𝑢=80.2 𝑘𝑁 Puesto que las contribuciones de la armadura longitudinal y la desarrollada a lo largo de la fisura han sido incluidas en los términos anteriores, la resistencia total de la sección ante esfuerzo cortante es la suma de las resistencias proporcionadas por la cabeza y la armadura transversal. 𝑉𝑢=𝑉𝑐𝑢+𝑉𝑠𝑢=121.2+80.2 𝑽𝒖=𝟐𝟎𝟏.𝟑 𝒌𝑵 5.6. ROTURA POR ESFUERZO RASANTE Para la estimación del cortante último resistente que produciría dicha rotura por rasante, se considera una distribución plástica de las tensiones tangenciales sobre la sección fisurada de hormigón. Puesto que del hormigón de las alas es menos resistente. Por tanto, a partir de las propiedades del material de las alas y según la ecuación (2.12) se determina la tensión rasante última de la junta. 𝜏𝑢=𝑐 𝑓𝑐𝑡,𝑑+𝐴𝑠𝜎𝑠 𝐴𝑗 (𝑐𝑜𝑠𝛼+𝜇𝑠𝑖𝑛𝛼)+𝜇 𝜎𝑐𝑑<0.5𝜈 𝑓𝑐𝑑 →𝜈=0.6[1−𝑓𝑐𝑘 250]=0.6[1−30 250]=0.528 𝜏𝑢=0.35·2.896·103+402·10−6·500·103 0.180·1 (0.6)<0,5·0.528·30·103 𝜏𝑢=1684 𝑘𝑁/𝑚2<7920 𝑘𝑁/𝑚2 A partir del valor de la tensión tangencial última de rotura por rasante y conociendo el ancho de la junta (𝑏𝑗) y la inercia (𝐼𝑓𝑖𝑠) y momento estático (𝑆𝑓𝑖𝑠) de la sección fisurada, se puede obtener el esfuerzo cortante asociado. 𝑉𝑢,𝑟𝑎𝑠=𝜏𝑢·𝑏𝑗·𝐼𝑓𝑖𝑠 𝑆𝑓𝑖𝑠 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 85 de 116 →𝑆𝑓𝑖𝑠=𝑛𝑠·𝐴𝑆·(𝑑−𝑥)=6.091·2454 106·(0.335−0.129)=0.00308 𝑚3 →𝐼𝑓𝑖𝑠=𝑏𝑓 ℎ𝑓3 12+𝑏𝑓 ℎ𝑓(𝑥−ℎ𝑓 2) 𝑛𝑐+𝑛𝑠 𝐴𝑠 (𝑑−𝑥)2=0.00335 𝑚4 𝐼𝑓𝑖𝑠=0.18·0.103 12 +0.18·0.10(0.129−0.10 2) 0.881 +6.091·2454 106·(0.335−0.129)2 𝑉𝑢,𝑟𝑎𝑠=1684·0.180·0.00335 0.00308 𝑽𝒖,𝒓𝒂𝒔=𝟑𝟑𝟎 𝒌𝑵 El cortante último asociado a la tensión tangencial última que produce la rotura por rasante es superior a los resultados obtenidos previamente. Es decir, no se llegará a desarrollar este mecanismo de rotura. 5.7. RESULTADOS El cortante vertical determina la rotura de la sección. Los resultados obtenidos con cada metodología son los descritos en la Tabla 5.3. Se puede comprobar que los resultados obtenidos son similares. Tabla 5.3. Comparativa de resultados. Ejemplo aplicación Método 𝑽𝒄 𝑽𝒘 𝑽𝒔 𝑽𝒍 𝑽𝒖 MASM - Iterativo 127 kN 14 kN 57 kN 16 kN 215 kN MASM - Simplificado 130 kN 14 kN 57 kN 16 kN 218 kN CCCM 121 kN - 80 kN - 201 kN Rasante 199 kN - 131 kN - 330 kN Como se ha explicado previamente en el apartado 3.2, la relación entre la contribución de la cabeza comprimida y la profundidad del eje neutro para el caso de secciones en T es bilineal, lo que resulta en que al ajuste lineal a una sección en T no es tan fácil como a una sección rectangular, para la cual si es una relación lineal. Por ello, en este caso se obtienen resultados similares para el modelo del MASM general y simplificado, siendo algo superior el proporcionado por la formulación simplificada. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 86 de 116 6. VERÍFÍCACÍO N EXPERÍMENTAL A lo largo de este apartado se aplica el modelo propuesto para hallar la resistencia a cortante de una serie de vigas, con unas características dadas, teniendo en cuenta la posible rotura por esfuerzo rasante. La resistencia de estas secciones se compara con la obtenida experimentalmente. Por último, se realiza un análisis crítico de los resultados obtenidos. 6.1. BASE DE DATOS La experimentación llevada a cabo en las publicaciones [5]-[9] han sido empleadas para la verificación del modelo propuesto para 65 vigas fabricadas con hormigones diferentes. Cada una de ellas contiene la siguiente experimentación: − Publicación [5]: 20 vigas rectangulares sin armadura transversal. − Publicación [6]: 15 vigas rectangulares con armadura transversal. − Publicación [7]: 12 vigas rectangulares y con forma de T sin armadura transversal. − Publicación [8]: 8 vigas rectangulares con armadura transversal. − Publicación [9]: 10 vigas con forma de T con armadura transversal. Las publicaciones [5] y [6] tratan una serie de ensayos experimentales realizados por dos universidades y una corporación de Corea del Sur (Universidad Nacional de Seúl, Universidad de Hoseo, Daelim Industrial Co.). La publicación [5] se centra en el estudio del comportamiento de secciones rectangulares fabricadas con diferentes hormigones sin disponer armadura transversal. Por otro lado, la publicación [6] se centra en el estudio de secciones similares aunque disponiendo una armadura transversal abierta. En las publicaciones [5] y [6] se realizan un total de 20 y 15 ensayos experimentales respectivamente. En ambas campañas se emplean especímenes de características similares, tal que se definen una geometría común para todos los especímenes y se varía el área que abarcan los diferentes hormigones empleados, la relación entre la luz de cortante y el canto útil y las cuantías de armadura dispuestas. La superficie de la junta se considera rugosa. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 93 de 116 Figura 6.8. Correlación entre el cortante experimental y el teórico según el modelo propuesto en términos de ‘bf /(nc · bw)’ Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 94 de 116 𝑓𝑎𝑣𝑒 𝑓𝑤𝑒𝑏 Figura 6.9. Correlación entre el cortante experimental y el teórico según normativas en términos de ‘bf /(nc · bw)’ Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 95 de 116 6.3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. ROBUSTEZ Se analiza la relación entre la resistencia a cortante experimental y la obtenida aplicando el modelo propuesto. Para cada caso, se estudian los parámetros enunciados a continuación. − Num Número de ensayos − Med Media ponderada − Stand Dev Desviación típica − COV Coeficiente de Variación − Max Máximo valor − Min Mínimo valor − (Vexp/Vteo)5% Percentil 5% − (Vexp/Vteo)95% Percentil 95% Para analizar la validez del modelo para diversas situaciones, se han comparado los resultados agrupando las secciones según su forma (Rectangular o en T) y en función de si tienen refuerzo transversal o no. También se han obtenido los valores estadísticos globales. En la Tabla 6.4, se recogen los resultados obtenidos para el grupo total de vigas. Tabla 6.4. Verificación de los modelos de cortante propuestos (Todas) Vexp / Vteo Sin Armadura transversal Con Armadura transversal MASM General MASM Simplificado CCCM MASM General MASM Simplificado CCCM Num 32 32 32 33 33 33 Media 1.016 1.003 1.040 0.949 0.947 1.026 Stand Dev 0.202 0.178 0.249 0.144 0.142 0.162 COV 19.9% 17.7% 23.9% 15.2% 15.0% 15.7% Max 1.454 1.380 1.642 1.223 1.236 1.370 Min 0.638 0.664 0.635 0.689 0.691 0.731 (Vexp/Vteo)5% 0.730 0.737 0.713 0.734 0.741 0.788 (Vexp/Vteo)95% 1.328 1.277 1.400 1.189 1.187 1.273 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 96 de 116 Se puede observar cómo para los tres niveles de formulación se obtienen resultados próximos a la realidad. Para los dos modelos del MASM y para el CCCM aplicado en secciones con armadura transversal, la COV es inferior al 20%. Para secciones sin armadura transversal la COV del CCCM es algo superior, próxima al 24%. Realizar un análisis más detallado de los resultados diferenciando entre las características geométricas de las secciones es de interés. Según se aumenta la relación entre el ancho de las alas y del alma y puesto que el modelo propuesto considera la resistencia de la cabeza de compresión, las propiedades resistentes del hormigón que compone la cabeza cobran mayor influencia en la capacidad resistente final de la sección. En la Tabla 6.5 se muestran los resultados para el grupo de secciones rectangulares y en la Tabla 6.6 para el de secciones en T. Tabla 6.5. Verificación de los modelos de cortante propuestos (Rectangular) Vexp / Vteo Sin Armadura transversal Con Armadura transversal MASM General MASM Simplificado CCCM MASM General MASM Simplificado CCCM Num 26 26 26 23 23 23 Media 1.055 1.036 1.082 0.943 0.957 1.040 Stand Dev 0.184 0.159 0.241 0.149 0.151 0.174 COV 17.4% 15.3% 22.3% 15.7% 15.8% 16.7% Max 1.454 1.380 1.642 1.223 1.236 1.370 Min 0.735 0.725 0.712 0.689 0.691 0.731 (Vexp/Vteo)5% 0.759 0.781 0.726 0.705 0.727 0.772 (Vexp/Vteo)95% 1.349 1.291 1.416 1.174 1.197 1.312 Para el caso de secciones rectangulares, los resultados del MASM con sus formulaciones general y simplificada y los del CCCM son próximos. Rondan una media entre 1.036− 1.082 y una COV entre el 15−22% para secciones sin refuerzo transversal; y una media entre 0.943−1.040 y una COV entre el 15−17% para secciones con refuerzo transversal. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 97 de 116 Tabla 6.6. Verificación de los modelos de cortante propuestos (T) Vexp / Vteo Sin Armadura transversal Con Armadura transversal MASM General MASM Simplificado CCCM MASM General MASM Simplificado CCCM Num 6 6 6 10 10 10 Media 0.847 0.860 0.855 0.963 0.923 0.995 Stand Dev 0.204 0.198 0.204 0.141 0.123 0.131 COV 24.1% 23.0% 23.9% 14.7% 13.3% 13.2% Max 1.144 1.155 1.119 1.203 1.137 1.217 Min 0.638 0.664 0.635 0.764 0.754 0.804 (Vexp/Vteo)5% 0.659 0.684 0.659 0.782 0.769 0.824 (Vexp/Vteo)95% 1.123 1.131 1.115 1.169 1.105 1.182 El caso de secciones en T debe ser analizado con mayor detenimiento. Por un lado, cuando se dispone una armadura transversal, lo cual es la práctica constructiva habitual en este tipo de configuración, se obtienen resultados que se aproximan a la realidad experimental y con una dispersión baja. Concretamente la media se encuentra entre 0.923−0.995 y la COV entre 13−15%. Es decir, el modelo reproduce el comportamiento de la sección con una precisión buena, aunque ligeramente por el lado de la inseguridad. Por otro lado, si se analizan los resultados de las secciones en T sin armadura transversal, se incrementa la dispersión y los resultados del modelo se alejan de los experimentales, estando aún más del lado de la inseguridad. Estos son casos que no se responden con la realidad constructiva. Casos reales de piezas compuestas sin armadura de rasante, son placas alveolares o casos de recrecidos de losas, que son secciones rectangulares. Además, los fenómenos que toman partido son complejos y dependen de variables con mucha aleatoriedad. Dos de los factores que tienen influencia relevante son: − La fisura se propaga por la junta. Identificar el incremento de carga para que la fisura penetre en la cabeza, sumado a cuantificar la distancia horizontal en la que se propaga la fisura a lo largo de la junta en ese intervalo de carga, no es trivial. − Debido al arrastre por cortante (incremento de tracción de la armadura longitudinal debida al cortante), por equilibrio de momentos en la sección, no solo debe haber Δ𝑇 en la armadura sino también en la cabeza de compresión. En la experimentación estudiada se puede ver como se han formado fisuras verticales en la cabeza debidas a este efecto. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 98 de 116 Si se extraen los resultados para las vigas en T sin armadura transversal, se obtienen los resultados mostrados en la Tabla 6.7. Tabla 6.7. Verificación de los modelos de cortante propuestos (Todas, excluyendo secciones en T sin armadura transversal) Vexp / Vteo Sin Armadura transversal Con Armadura transversal MASM General MASM Simplificado CCCM MASM General MASM Simplificado CCCM Num 26 26 26 33 33 33 Media 1.055 1.036 1.082 0.949 0.947 1.026 Stand Dev 0.184 0.159 0.241 0.144 0.142 0.162 COV 17.4% 15.3% 22.3% 15.2% 15.0% 15.7% Max 1.454 1.380 1.642 1.223 1.236 1.370 Min 0.735 0.725 0.712 0.689 0.691 0.731 (Vexp/Vteo)5% 0.759 0.781 0.726 0.734 0.741 0.788 (Vexp/Vteo)95% 1.349 1.291 1.416 1.189 1.187 1.273 Para una comparativa más rápida y visual, en la Figura 6.10 se grafican los parámetros de la media y la COV para cada uno de los casos y de los modelos estudiados. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 99 de 116 Figura 6.10. Verificación de los modelos de cortante propuestos Además de determinar la validez del modelo, también es relevante comparar los resultados obtenidos con los modelos de cortante desarrollados frente a los obtenidos aplicando normativas vigentes. Entre la Tabla 6.8 y la Tabla 6.13 se recogen las comparativas de los resultados estadísticos entre el modelo propuesto y las formulaciones enunciadas en las normativas para el total de vigas y para los grupos de vigas rectangulares y el de vigas en T. Se diferencia entre cuando las secciones disponen de refuerzo transversal y cuando no. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 100 de 116 Tabla 6.8. Comparativa modelo propuesto con normativas (Todas + sin refuerzo) Vexp / Vteo Modelo propuesto Normativas (𝒇𝒂𝒗𝒆) Normativas (𝒇𝒘𝒆𝒃) MASM Gen. MASM Simpl. CCCM CE EC 2 ACI CE EC 2 ACI Num 32 32 32 32 32 32 32 32 32 Media 1.016 1.003 1.040 1.090 1.090 1.352 1.078 1.078 1.336 Stand Dev 0.202 0.178 0.249 0.168 0.168 0.213 0.187 0.187 0.258 COV 19.9% 17.7% 23.9% 15.4% 15.4% 15.8% 17.3% 17.3% 19.3% Max 1.454 1.380 1.642 1.677 1.677 1.776 1.745 1.745 1.887 Min 0.638 0.664 0.635 0.749 0.749 0.956 0.749 0.749 0.955 (Vexp/Vteo)5% 0.730 0.737 0.713 0.869 0.869 1.025 0.808 0.808 0.980 (Vexp/Vteo)95% 1.328 1.277 1.400 1.286 1.286 1.722 1.274 1.274 1.736 Tabla 6.9. Comparativa modelo propuesto con normativas (Todas + con refuerzo) Vexp / Vteo Modelo propuesto Normativas (𝒇𝒂𝒗𝒆) Normativas (𝒇𝒘𝒆𝒃) MASM Gen. MASM Simpl. CCCM CE EC 2 ACI CE EC 2 ACI Num 33 33 33 33 33 33 33 33 33 Media 0.949 0.947 1.026 1.028 1.733 1.141 1.019 1.717 1.124 Stand Dev 0.144 0.142 0.162 0.266 0.522 0.192 0.266 0.511 0.204 COV 15.2% 15.0% 15.7% 25.9% 30.1% 16.8% 26.1% 29.8% 18.1% Max 1.223 1.236 1.370 1.599 2.832 1.514 1.581 2.762 1.482 Min 0.689 0.691 0.731 0.570 0.852 0.763 0.570 0.852 0.697 (Vexp/Vteo)5% 0.734 0.741 0.788 0.606 0.980 0.795 0.586 0.980 0.785 (Vexp/Vteo)95% 1.189 1.187 1.273 1.466 2.616 1.420 1.443 2.532 1.436 Tabla 6.10. Comparativa modelo propuesto con normativas (Rectangular + sin refuerzo) Vexp / Vteo Modelo propuesto Normativas (𝒇𝒂𝒗𝒆) Normativas (𝒇𝒘𝒆𝒃) MASM Gen. MASM Simpl. CCCM CE EC 2 ACI CE EC 2 ACI Num 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Media 1.055 1.036 1.082 1.058 1.058 1.372 1.047 1.047 1.353 Stand Dev 0.184 0.159 0.241 0.135 0.135 0.201 0.152 0.152 0.243 COV 17.4% 15.3% 22.3% 12.8% 12.8% 14.7% 14.5% 14.5% 18.0% Max 1.454 1.380 1.642 1.274 1.274 1.765 1.302 1.302 1.765 Min 0.735 0.725 0.712 0.749 0.749 0.956 0.749 0.749 0.977 (Vexp/Vteo)5% 0.759 0.781 0.726 0.850 0.850 0.999 0.802 0.802 0.986 (Vexp/Vteo)95% 1.349 1.291 1.416 1.241 1.241 1.662 1.244 1.244 1.706 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 101 de 116 Tabla 6.11. Comparativa modelo propuesto con normativas (Rectangular + con refuerzo) Vexp / Vteo Modelo propuesto Normativas (𝒇𝒂𝒗𝒆) Normativas (𝒇𝒘𝒆𝒃) MASM Gen. MASM Simpl. CCCM CE EC 2 ACI CE EC 2 ACI Num 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Media 0.943 0.957 1.040 0.903 1.467 1.082 0.896 1.462 1.071 Stand Dev 0.149 0.151 0.174 0.193 0.345 0.185 0.199 0.357 0.207 COV 15.7% 15.8% 16.7% 21.4% 23.5% 17.1% 22.2% 24.4% 19.3% Max 1.223 1.236 1.370 1.235 2.016 1.409 1.234 2.016 1.462 Min 0.689 0.691 0.731 0.570 0.852 0.763 0.570 0.852 0.697 (Vexp/Vteo)5% 0.705 0.727 0.772 0.591 0.978 0.779 0.584 0.978 0.777 (Vexp/Vteo)95% 1.174 1.197 1.312 1.122 1.877 1.364 1.134 1.877 1.393 Tabla 6.12. Comparativa modelo propuesto con normativas (T + sin refuerzo) Vexp / Vteo Modelo propuesto Normativas (𝒇𝒂𝒗𝒆) Normativas (𝒇𝒘𝒆𝒃) MASM Gen. MASM Simpl. CCCM CE EC 2 ACI CE EC 2 ACI Num 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Media 0.847 0.860 0.855 1.230 1.230 1.267 1.212 1.212 1.262 Stand Dev 0.204 0.198 0.204 0.236 0.236 0.262 0.273 0.273 0.328 COV 24.1% 23.0% 23.9% 19.2% 19.2% 20.7% 22.5% 22.5% 26.0% Max 1.144 1.155 1.119 1.677 1.677 1.776 1.745 1.745 1.887 Min 0.638 0.664 0.635 1.040 1.040 1.075 1.006 1.006 0.955 (Vexp/Vteo)5% 0.659 0.684 0.659 1.052 1.052 1.076 1.010 1.010 0.979 (Vexp/Vteo)95% 1.123 1.131 1.115 1.583 1.583 1.654 1.610 1.610 1.728 Tabla 6.13. Comparativa modelo propuesto con normativas (T + con refuerzo) Vexp / Vteo Modelo propuesto Normativas (𝒇𝒂𝒗𝒆) Normativas (𝒇𝒘𝒆𝒃) MASM Gen. MASM Simpl. CCCM CE EC 2 ACI CE EC 2 ACI Num 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Media 0.963 0.923 0.995 1.317 2.346 1.277 1.300 2.302 1.247 Stand Dev 0.141 0.123 0.131 0.167 0.284 0.134 0.166 0.269 0.138 COV 14.7% 13.3% 13.2% 12.7% 12.1% 10.5% 12.8% 11.7% 11.0% Max 1.203 1.137 1.217 1.599 2.832 1.514 1.581 2.762 1.482 Min 0.764 0.754 0.804 1.098 1.942 1.119 1.059 1.940 1.046 (Vexp/Vteo)5% 0.782 0.769 0.824 1.126 2.003 1.139 1.106 1.976 1.065 (Vexp/Vteo)95% 1.169 1.105 1.182 1.561 2.768 1.479 1.546 2.712 1.453 Comparando los resultados de aplicar las normativas empleando la resistencia del hormigón promedio o la resistencia del alma, se observan resultados similares. Aunque, el primero de ellos muestra una dispersión menor. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 102 de 116 Por otro lado, de los resultados de aplicar el modelo propuesto comparados con los obtenidos empleando las normativas, se derivan las siguientes conclusiones para cada uno de los casos: − Secciones rectangulares sin refuerzo transversal: la media obtenida para el MASM y el CCCM es mejor que la obtenida aplicando las normativas. Con respecto a la COV, la del MASM es algo superior a la de las normativas. A pesar de esto, las COV para ambos modelos propuestos son buenas. Cabe destacar que la formulación propuesta en la ACI 319-19, aunque sus resultados se encuentren del lugar de la seguridad, no reproduce correctamente el comportamiento de la sección sin refuerzo transversal. − Secciones rectangulares con refuerzo transversal: en este caso tanto para el caso de la media como para la dispersión, los resultados obtenidos aplicando las tres variantes del modelo propuesto son más favorables que aquellos resultantes empleando las formulaciones de las normativas. − Secciones en T sin refuerzo transversal: se obtienen valores de rotura alejados del experimental aplicando el modelo y las normativas. Como se ha comentado anteriormente, este caso no es representativo de la realidad constructiva. − Secciones en T con refuerzo transversal: los valores del modelo, con gran diferencia, se aproximan más a la realidad que los planteados por las normativas. Concretamente la media del modelo propuesto se aleja de la realidad como máximo en un 7.7% y en las normativas se alejan un mínimo de un 24%. Aunque los resultados de las normativas se encuentran del lado de la seguridad, implican sobredimensionar considerablemente la sección. Tanto aplicando el MASM como el CCCM, se obtiene una dispersión baja (13−15%). Para una comparativa más rápida y visual, en la Figura 6.11 se grafica los parámetros de la media y la COV para cada uno de los casos y de los modelos y normativas estudiados. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 109 de 116 REFERENCÍAS [1] J. C. Saemann, G.W. Washa. “Horizontal Shear Connections between Precast Beams and Cast-In-Place Slabs”. ACI Journal Proceedings 1964, 1383-409 [2] R. E. Loov, A.K. Patnaik. “Horizontal Shear Strength of Composite Concrete Beams with a Rough Interface” PCI Journal 1994, 48-69 [3] L. F. Kahn, A. Slapkus. “Interface Shear in High Strength Composite T-Beams”. PCI Journal 2004, 102-10. [4] Ana Halicka. “Influence New-to-Old Concrete Interface Qualities on the Behaviour of Support Zones of Composite Concrete Beams”. Constr. Build. Mater. 2011, 4072-78. [5] Chul-Goo Kim, Hong-Gun Park, Su-Min Kang and Geon-Ho Hong. “Shear Strength of Composite Beams with Dual Concrete Strengths”. International Conference on Geological and Civil Engineering 2014. [6] Chul-Goo Kim, Hong-Gun Park, Geon-Ho Hong, Su-Min Kang, and Hyerin Lee. “Shear Strength of Concrete Composite Beams with Shear Reinforcements”. ACI Struct J 2017, 114:827-37. [7] Lisbel Rueda-García, José Luis Bonet Senach, Pedro Fco. Miguel Sosa, Miguel Ángel Fernández Prada. “Experimental analysis of the shear strength of composite concrete beams without web reinforcement” [8] Lisbel Rueda-García, José Luis Bonet Senach, Pedro Fco. Miguel Sosa, Miguel Ángel Fernández Prada. “Analysis of the shear strength mechanism of slender precast concrete beams with cast-in-place slab and web reinforcement” [9] Lisbel Rueda-García, José Luis Bonet Senach, Pedro Fco. Miguel Sosa, Miguel Ángel Fernández Prada. “Experimental study on the shear strength of reinforced concrete composite T-shaped beams with web reinforcement” [10] Chul-Goo Kim, Hong-Gun Park, Geon-Ho Hong, Su-Min Kang, and Hyerin Lee “Shear Strength of Reinforced Concrete-Composite Beams with Prestressed Concrete and NonPrestressed Concrete”. ACI Struct J 2018, 115. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 110 de 116 [11] Alejandro R. Avedaño V, Oguzhan Bayrak. “Shear Strength and Behavior of Prestressed Concrete Beams”. Technical Report: IAC-88-5DD1A003-3 conducted for the Texas Department of Transportation. [12] Miguel Fernández Ruiz, Aurelio Muttoni. “Shear Strength of Thin-Webbed PostTensioned Beams”. ACI Struct J 2008, 105:308-17. [13] H. R. Hamilton III, Gustavo Llanos, Brandon E. Ross. “Shear Performance of Existing Prestressed Concrete Bridge Girders”. Department of Civil and Coastal Engineering University of Florida. Report for Florida Department of Transportation. [14] B. E. Ross, M. H. Ansley, and H. R. Hamilton III. “Load testing of 30-year-old AASHTO Type III highway bridge girders”. PCI Journal, Fall 2011. [15] Brian Runzel, Carol K. Shield, Catherine W. French. “Shear Capacity of Prestressed Concrete Beams”. Department of Civil Engineering University of Minnesota Report for Minnesota Department of Transportation [16] Reineck K. “Ultimate shear force of structural concrete members without transverse reinforcement derived from a mechanical model”. ACI Struct J 1991, 88:592-602. [17] D. Mitchell, Michael Collins. “Diagonal Compression Field Theory – A rational model for structural concrete in pure torsion”. ACI J. Proceedings 1974, 396-408 [18] Frank J. Vecchio, Michael Collins. “The Modified Compression-Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear”. ACI Struct 1986, 83:219-231. [19] CSA Committee A23.3. “Design of Concrete Structures (CSA A23.3-04)”. Canadian Standards Association, Mississauga, ON, Canada, 2004, 214. [20] Muttoni A, Ruiz MF. “Shear strength of members without transverse reinforcement as function of critical shear crack width”. ACI Struct J 2008, 105:163-72. [21] Swiss Society of Engineers and Architects. “SIA Code 262 for Concrete Structures”. Zürich, Switzerland, 2003, 94. [22] H.P.J. Taylor. “The Fundamental Behaviour of Reinforced Concrete Beams in Bending and Shear”. ACI (Ed.) 1974, 42:43-77 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 111 de 116 [23] H.P.J. Taylor. “Investigation of the Forces carried Across Cracks in Reinforced Concrete Beams in Shear by Interlock of Aggregate”. Cement and Concrete Asosiation, Londres, 1970. [24] Patricio S. Padilla Lavaselli. “Influencia de la Distribución de la Carga en la Capacidad Resistente a Cortante en Elementos Sin Armadura Transversal. Estudio Teórico Y Experimental”. Tesis Doctoral, 2009. Escuela Técnica Superior De Ingenieros De Caminos, Canales Y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid. [25] Khuntia M, Stojadinovic B. “Shear strength of reinforced concrete beams without transverse reinforcement”. ACI Struct 2011, 98:648-56. [26] Tureyen AK, Frosch RJ. “Concrete shear strength: Another perspective”. ACI Struct J 2003, 100:609-15. [27] Park HG, Choi KK, Wight JK. “Strain based shear strength model for slender beams without web reinforcement”. ACI Struct J 2006, 103:783-93. [28] Holmen JO. “Fatigue of concrete by constant and variable amplitude loading” ACI Spec Publ 1982, 75:71–110. [29] Spinella N, Colajanni P, Recupero A. “Simple plastic model for shear critical SFRC beams”. J Struct Eng 2010, 136:390-400. [30] Zanuy C, Albajar L, Gallego JM. “Toward modelling the shear fatigue behaviour of reinforced concrete beams without shear reinforcement”. 7th International Conference on analytical models and new concepts and masonry structures AMCM 2011. [31] Kupfer, H. B., & Gerstle, K. H. “Behaviour of concrete under biaxial stresses” (1973) [32] Fédération Internationale du Béton. Fib Model Code for Concrete Structures 2010. vol. 1. Ernst & Sohn, 2013. [33] Ribas Gonzalez CR. “Resistencia a cortante de los forjados de vigueta pretensada y bovedilla”. Universidad Politécnica de Catalunya. Departamento de ingeniería de la construcción, 2013. [34] Celada U. “Análisis de secciones en T de hormigón solicitadas a cortante y flexión construidas por fases”. Tesina dirigida por Jesús Bairán. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 112 de 116 [35] Mohr S, Bairán JM, Marí AR. “A frame element model for the analysis of reinforced concrete structures under shear and bending” [36] Antoni Cladera, Antonio Marí. “Experimental study on high-strength concrete beams failing in shear”. Eng Struct 2005; 27:1519–27. [37] Antoni Cladera, Antonio Marí. “Shear design procedure for reinforced normal and highstrength concrete beams using artificial neural networks”. Part II: Beams with stirrups. Eng Struct 2004; 26:927–36. [38] Antonio Marí, Jesús Bairán, Antoni Cladera, Eva Oller and Carlos Ribas. “Shear-Flexural Strength Mechanical Model for the Design and Assessment of Reinforced Concrete Beams” [39] Antonio Marí, Antoni Cladera, Jesús Bairán, Eva Oller and Carlos Ribas. “Un modelo unificado de resistencia a flexión y cortante de vigas esbeltas de hormigón armado bajo cargas puntuales y repartidas” [40] Antoni Cladera, Antonio Marí, Carlos Ribas, Jesús Bairán and Eva Oller. “Predicting the Shear-Flexural Strength of Slender Reinforced Concrete T and I Shaped Beams” [41] Antonio Marí, Jesús M. Bairán, Antoni Cladera and Eva Oller. “Shear Design and Assessment of Reinforced and Prestressed Concrete Beams Based on a Mechanical Model” [42] Antoni Cladera, Antonio Marí, Jesús-Miguel Bairán, Eva Oller and Carlos Ribas. “OneWay Shear Design Method Based on a Multi-Action Model” [43] Antoni Cladera, Antonio Marí, Jesús Bairán, Eva Oller and Noemí Duarte. “The Compression Chord Capacity Model for the Shear Design and Assessment of Reinforced and Prestressed Concrete Beams” [44] ACI Committee. “Building code requirements for structural concrete (ACI 318-19) and commentary”. Farmington Hills, MI: American concrete institute, 2019. [45] “Eurocode 2: Design of concrete Structures. Part 1: General Rules and Rules for Buildings”. European Committee for Standardization (CEN), 2002. [46] “Código Estructural”. Ministerio de transportes, movilidad y agenda urbana, 2021. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 113 de 116 [47] “Instrucción de Hormigón Estructural” (EHE-08). Ministerio de transportes, movilidad y agenda urbana, 2008. Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 114 de 116 Í NDÍCE DE TABLAS Tabla 3.1. Resumen de la formulación del MASM para secciones rectangulares ...................... 48 Tabla 3.2. Resumen de la formulación del MASM para secciones en I o T ............................... 55 Tabla 3.3. Resumen de la formulación del MASM para secciones pretensadas ......................... 59 Tabla 4.1. Resultados. Profundidad del daño máximo ................................................................ 65 Tabla 4.2. Resumen de la formulación del MASM para secciones compuestas ......................... 74 Tabla 5.1. Características de los materiales. Ejemplo de aplicación ........................................... 76 Tabla 5.2 Resultados de las iteraciones del método general del MASM. Ejemplo aplicación ... 82 Tabla 5.3. Comparativa de resultados. Ejemplo aplicación ........................................................ 85 Tabla 6.1. Rango de los parámetros 𝑎/𝑑 y 𝜌𝑙 de la publicación [5] ........................................... 87 Tabla 6.2. Rango de los parámetros 𝑎/𝑑, 𝜌𝑙 y 𝜌𝑠𝑤 de la publicación [6] .................................. 87 Tabla 6.3. Rango de los variables más relevantes de las secciones. Verificación experimental . 91 Tabla 6.4. Verificación de los modelos de cortante propuestos (Todas) ..................................... 95 Tabla 6.5. Verificación de los modelos de cortante propuestos (Rectangular) ........................... 96 Tabla 6.6. Verificación de los modelos de cortante propuestos (T) ............................................ 97 Tabla 6.7. Verificación de los modelos de cortante propuestos (Todas, excluyendo secciones en T sin armadura transversal) ......................................................................................................... 98 Tabla 6.8. Comparativa modelo propuesto con normativas (Todas + sin refuerzo) ................. 100 Tabla 6.9. Comparativa modelo propuesto con normativas (Todas + con refuerzo) ................ 100 Tabla 6.10. Comparativa modelo propuesto con normativas (Rectangular + sin refuerzo) ...... 100 Tabla 6.11. Comparativa modelo propuesto con normativas (Rectangular + con refuerzo) ..... 101 Tabla 6.12. Comparativa modelo propuesto con normativas (T + sin refuerzo) ....................... 101 Tabla 6.13. Comparativa modelo propuesto con normativas (T + con refuerzo) ...................... 101 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 115 de 116 Í NDÍCE DE FÍGURAS Figura 1.1. Puentes de vigas prefabricadas con una losa de compresión superior ........................ 6 Figura 1.2. Forjados compuestos por viguetas prefabricadas y hormigón vertido in situ ............. 7 Figura 1.3. Placas alveolares con capa superior de compresión.................................................... 7 Figura 1.4. Pilar con recrecido posterior para refuerzo ................................................................. 7 Figura 1.5. Puente con sección cajón hormigonado en dos fases .................................................. 8 Figura 2.1. Modelo de bielas y tirantes para un elemento sin armadura transversal (Reineck) .. 18 Figura 2.2. Esquema de la Teoría Modificada del Campo de Compresiones (MCFT) ............... 20 Figura 2.3. Mecanismos de transferencia de cortante tras la aparición de la fisura crítica ......... 21 Figura 2.4. Deformación longitudinal en la sección crítica ‘𝑥𝑐𝑟𝑖’ a una profundidad de control ..................................................................................................................................................... 22 Figura 2.5. Esquema de los ensayos indirectos para determinar el engranamiento de áridos ..... 23 Figura 2.6. Relación entre la tensión última debido al engranamiento de áridos y la resistencia del hormigón [24] .............................................................................................................................. 24 Figura 2.7. Relación entre la tensión respecto de la tensión última debido al engranamiento de áridos y la abertura de la fisura [24] ............................................................................................ 24 Figura 2.8. Análisis de la sección de inicio de fisuración: (a) deformaciones; (b) tensiones normales; (c) tensiones tangenciales ........................................................................................... 26 Figura 2.9. Círculo de Mohr y orientación de las tensiones principales a la altura del eje neutro ..................................................................................................................................................... 26 Figura 2.10. Proceso de fractura de un elemento de hormigón fisurado ..................................... 27 Figura 2.11. Evolución de la profundidad de la zona comprimida disponible (1) y necesaria (2) ..................................................................................................................................................... 27 Figura 2.12. Estimación de las tensiones en la punta de la fisura ............................................... 28 Figura 2.13. Diagrama de cortante indicando la armadura de cosido requerida ......................... 30 Figura 2.14. Mecanismos resistentes en una junta entre hormigones ......................................... 31 Figura 2.15. Distribución de tensiones rasantes en juntas entre secciones de hormigón ............ 32 Figura 2.16. Cálculo elástico y plástico de tensiones rasantes en juntas entre hormigones ........ 32 Figura 3.1. Mecanismos de transferencia a cortante ................................................................... 36 Figura 3.2. Distribución de tensiones asumidas en la cabeza de hormigón sin fisurar ............... 37 Figura 3.3. Envolvente de rotura de Kupfer [31] para la rama tensión-compresión ................... 37 Figura 3.4. Posición del punto de daño máximo en la cabeza de compresión ............................ 40 Figura 3.5. Tensiones residuales en la fisura .............................................................................. 40 Figura 3.6. Desplazamiento vertical de la armadura longitudinal con armadura transversal. ..... 43 Figura 3.7. Posición de la fisura crítica ....................................................................................... 44 Resistencia a cortante y rasante de piezas compuestas de hormigón armado Laura Gómez Navarro Página 116 de 116 Figura 3.8. Contribución de la cabeza respecto de la profundidad relativa del eje neutro .......... 46 Figura 3.9. Notación ancho efectivo de secciones I o en T ......................................................... 49 Figura 3.10. Profundidad del eje neutro en una sección en I o en T ........................................... 49 Figura 3.11. Inclinación de las fisuras en una sección en I o en T .............................................. 51 Figura 3.12. Relación entre la contribución de la cabeza y la profundidad del eje neutro .......... 54 Figura 4.1. Distribución de tensiones en una sección mixta. Eje neutro en las alas (𝑥≤ℎ𝑓) .... 61 Figura 4.2. Distribución de tensiones en una sección mixta. Eje neutro en el alma (𝑥>ℎ𝑓) .... 61 Figura 4.3. Distribución del daño. Caso 1. Profundidad del daño máximo ................................ 63 Figura 4.4. Distribución del daño. Caso 2. Profundidad del daño máximo ................................ 64 Figura 4.5. Distribución del daño. Caso 3. Profundidad del daño máximo ................................ 64 Figura 4.6. Resultados. Profundidad del daño máximo .............................................................. 66 Figura 4.7. Evolución de ‘𝑅𝜃’ respecto del cociente ‘𝑛𝑐 𝑏𝑤/𝑏𝑣 ’ ............................................. 69 Figura 5.1. Geometría. Ejemplo de aplicación ............................................................................ 77 Figura 6.1. Secciones transversales tipo de las publicaciones [5] y [6] ...................................... 87 Figura 6.2. Refuerzo de los especímenes ensayados en la publicación [5] ................................. 88 Figura 6.3. Refuerzo de los especímenes ensayados en la publicación [6] ................................. 88 Figura 6.4. Secciones transversales tipo de las publicaciones [7], [8] y [9] ................................ 89 Figura 6.5. Refuerzo de los especímenes ensayados en la publicación [7] ................................. 90 Figura 6.6. Refuerzo de los especímenes ensayados en la publicación [8] ................................. 91 Figura 6.7. Refuerzo de los especímenes ensayados en la publicación [9] ................................. 91 Figura 6.8. Correlación entre el cortante experimental y el teórico según el modelo propuesto en términos de ‘bf /(nc · bw)’ ............................................................................................................ 93 Figura 6.9. Correlación entre el cortante experimental y el teórico según normativas en términos de ‘bf /(nc · bw)’ ........................................................................................................................... 94 Figura 6.10. Verificación de los modelos de cortante propuestos ............................................... 99 Figura 6.11. Comparativa modelos de cortante propuestos con normativas ............................. 103