Análisis de sistemas económicos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemáticos

Trabajo de Fin de Máster Máster Universitario en Ingeniería de Organización (MUEO) Análisis de sistemas económicos fuera de equilibrio mediante modelos físicomatemáticos MEMORIA Autor: Jiawei Li Director: Sergio Berart Diez Co-director: Víctor López de Rioja Convocatoria: Septiembre 2023 Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona Pág. 2 Memoria Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 3 Resum L'anàlisi de sistemes econòmics fora d'equilibri mitjançant models fisicomatemàtics és un enfocament que combina conceptes de la física-matemàtica i l'economia per comprendre i descriure el comportament dels sistemes econòmics complexos. Aquest enfocament reconeix que els sistemes econòmics no es troben en un estat d'equilibri estàtic, sinó que estan subjectes a constants canvis i fluctuacions. Per tant, en aquest projecte s'analitza la crisi financera de 2008 i la crisi generada per la pandèmia de COVID-19 des de la perspectiva de sistemes econòmics fora d'equilibri mitjançant models fisicomatemàtics, construint el model fisicomatemàtic, ajustant les dades d'IPC de diversos països en els períodes de crisi i desestabilització econòmica a models d'oscil·lacions esmorteïdes. Primer, s'investiga la crisi financera del 2008 i COVID-19, examinant les causes i els efectes que van desencadenar la recessió global. Una breu presentació sobre els conceptes del món de l'economia, què és una crisi i alguns conceptes econòmics relacionats amb els nostres models fisicomatemàtics, d'aquesta manera es pot entendre com hem vinculat els models fisicomatemàtics amb l'economia. Després, comparant totes dues crisis, s'identifiquen similituds i diferències des de la perspectiva de sistemes econòmics fora d'equilibri. S'avaluen les fortaleses i les limitacions dels models fisicomatemàtics utilitzats en l'anàlisi de les dues crisis, i s'extreuen lliçons apreses que poden ser aplicades en la formulació de polítiques econòmiques. En conclusió, l'enfocament d'aquest projecte ens permet conèixer més la relació entre el món fisicomatemàtic i l'economia. Realment, encara que semblin dos camps diferents, tenen les seves similituds i es pot explorar més profundament la connexió entre ells. Pág. 4 Memoria Resumen El análisis de sistemas económicos fuera de equilibrio mediante modelos físicomatemáticos es un enfoque que combina conceptos de la física-matemática y la economía para comprender y describir el comportamiento de los sistemas económicos complejos. Este enfoque reconoce que los sistemas económicos no se encuentran en un estado de equilibrio estático, sino que están sujetos a constantes cambios y fluctuaciones. Por lo tanto, en este proyecto se analiza la crisis financiera de 2008 y la crisis generada por la pandemia de COVID-19 desde la perspectiva de sistemas económicos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemáticos, construyendo el modelo físicomatemático, ajustando los datos reales de IPC de diversos países en los periodos de crisis y desestabilización económica a modelos de oscilaciones amortiguadas. Primero, se investiga la crisis financiera de 2008 y COVID-19, examinando las causas y los efectos que desencadenaron la recesión global. Una presentación breve sobre los conceptos del mundo de la economía, qué es una crisis y algunos conceptos económicos relacionados con nuestros modelos físico-matemáticos, de esta manera se puede entender cómo hemos vinculado los modelos físico-matemáticos con la economía. Después, comparando ambas crisis, se identifican similitudes y diferencias desde la perspectiva de sistemas económicos fuera de equilibrio. Se evalúan las fortalezas y limitaciones de los modelos físico-matemáticos utilizados en el análisis de ambas crisis, y se extraen lecciones aprendidas que pueden ser aplicadas en la formulación de políticas económicas. En conclusión, el enfoque de este proyecto nos permite conocer más la relación entre el mundo físico-matemático y la economía. Realmente, aunque parezcan dos campos diferentes, tienen sus similitudes y se puede explorar más profundamente la conexión entre ellos. Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 5 Abstract The analysis of out-of-equilibrium economic systems using physical-mathematical models is an approach that combines concepts from mathematical physics and economics to understand and describe the behavior of complex economic systems. This approach recognizes that economic systems are not in a state of static equilibrium, but are subject to constant change and fluctuations. Therefore, this project analyzes the 2008 financial crisis and the crisis generated by the COVID-19 pandemic from the perspective of economic systems out of equilibrium using physical-mathematical models, building the physical-mathematical model, adjusting the data real CPI of various countries in periods of crisis and economic destabilization to models of damped oscillations. First, the 2008 financial crisis and COVID-19 are investigated, examining the causes and effects that triggered the global recession. A brief presentation about the concepts of the world of economics, what a crisis is and some economic concepts related to our physicalmathematical models, in this way you can understand how we have linked the physicalmathematical models with the economy. Then, comparing both crises, similarities and differences are identified from the perspective of out-of-equilibrium economic systems. The strengths and limitations of the physical-mathematical models used in the analysis of both crises are evaluated, and lessons learned are extracted that can be applied in the formulation of economic policies. In conclusion, the approach of this project allows us to learn more about the relationship between the physical-mathematical world and the economy. Actually, although they seem like two different fields, they have their similarities and the connection between them can be explored more deeply. Pág. 6 Memoria Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 7 Contenido RESUM _______________________________________________________ 3 RESUMEN ____________________________________________________ 4 ABSTRACT ___________________________________________________ 5 CONTENIDO __________________________________________________ 7 GLOSARIO Y NOMENCLATURA _________________________________ 10 LISTA DE FIGURAS ___________________________________________ 11 LISTA DE TABLAS ____________________________________________ 13 1. PREFACIO _______________________________________________ 14 1.1. Origen y motivación de proyecto .................................................................... 14 1.2. Requerimiento previo ...................................................................................... 14 2. INTRODUCCIÓN __________________________________________ 15 2.1. Alcance de proyecto ........................................................................................ 15 2.2. Objetivos de trabajo ........................................................................................ 16 3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS ________________________________ 17 3.1. Introducción teórica ......................................................................................... 17 3.2. Sistema elástico con fricción viscosa ............................................................. 18 3.2.1. Sistema sin perturbación .................................................................................... 18 3.2.2. Perturbación del sistema en equilibrio ............................................................... 19 3.2.2.1. Perturbación instantánea (delta de Dirac) ..............................................21 3.3. Definiciones de los conceptos de crisis económica y la tasa de IPC ........... 22 3.3.1. Definición de una crisis económica .................................................................... 22 3.3.1.1. Presentación de la crisis 2008 y COVID-19 ...........................................23 3.3.2. Definición de los conceptos de una crisis económica ....................................... 24 3.3.2.1. Tasa de equilibrio de IPC ........................................................................24 3.3.2.2. Diferencia de IPC .....................................................................................24 3.3.2.3. Volatilidad de la tasa de IPC durante la crisis económica......................25 3.3.2.4. Recuperación de la crisis económica......................................................26 3.4. Relación entre la crisis económica y el sistema elástico............................... 29 4. CASOS PRÁCTICOS ______________________________________ 32 4.1. Introducción de casos prácticos ..................................................................... 32 Pág. 8 Memoria 4.2. Presentación de los datos de IPC .................................................................. 33 4.3. Investigación de los posibles picos económicos ........................................... 33 4.4. Explicación de la utilización de MATLAB ....................................................... 35 4.4.1. Introducción ......................................................................................................... 35 4.4.2. Selección de países u organizaciones y sus periodos ...................................... 35 4.4.3. Creación de modelo físico-matemático .............................................................. 36 4.4.4. Parámetros de ajuste .......................................................................................... 37 4.4.5. Posibles soluciones de modificaciones .............................................................. 38 5. RESULTADOS ____________________________________________ 39 5.1. Introducción ..................................................................................................... 39 5.2. Un país de ejemplo: España ........................................................................... 39 5.2.1. Explicación del periodo elegido de la crisis 2008 y COVID-19 ......................... 39 5.2.2. Los resultados obtenidos de España ................................................................. 40 5.2.3. Conclusión del estudio individual de España .................................................... 42 5.3. Aplicación de modelo físico-matemático para más países ........................... 43 5.3.1. Estudio de modelo para la crisis 2008 ............................................................... 44 5.3.1.1. Interpretación de los resultados del parámetro D, γ y ω0 ......................47 5.3.1.1.1 ............................... El parámetro D _______________________________ 47 5.3.1.1.2 ............................... El parámetro γ _______________________________ 48 5.3.1.1.3 .............................. El parámetro ω0 ______________________________ 50 5.3.1.2. Relación entre los factores de IPC y el parámetro D, ω0 y γ durante la crisis económica de 2008 ......................................................52 5.3.2. Estudio de modelo para la crisis COVID-19 ...................................................... 55 5.3.2.1.1 ............................... El parámetro D _______________________________ 58 5.3.2.1.2 ............................... El parámetro γ _______________________________ 60 5.3.2.1.3 .............................. El parámetro ω0 ______________________________ 62 5.3.2.2. Relación entre los factores de IPC y el parámetro D durante la crisis económica de COVID-19 ...............................................................63 5.4. Comparación de estas dos crisis económicas............................................... 64 6. PLANIFICACIÓN __________________________________________ 66 7. ESTUDIO ECONÓMICO ____________________________________ 69 8. ESTUDIO AMBIENTAL _____________________________________ 70 9. ESTUDIO SOCIAL I DE IGUALDAD DE GÉNERO _______________ 71 Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 9 10. CONCLUSIONES _________________________________________ 72 11. AGRADECIMIENTOS ______________________________________ 75 12. BIBLIOGRAFIA ___________________________________________ 76 Bibliografía complementaria ..................................................................................... 79 Pág. 16 Memoria 2.2. Objetivos de trabajo • Objetivos generales El objetivo general de este trabajo será crear un modelo físico-matemático y vincularlo con la economía, utilizando los datos reales de diferentes países para poder conocer mejor la relación entre las crisis económicas y el mundo físico-matemático. • Objetivos particulares 1. Encontrar una relación adecuada entre las crisis económicas y un sistema físicomatemático. 2. Crear una ecuación física para poder utilizar en nuestro modelo. 3. Observar las similitudes entre la ecuación generada y los datos reales de la economía. 4. Relacionar los parámetros de la ecuación generada con la economía. 5. Crear un modelo físico-matemático especialmente para los datos reales de la economía. 6. Construir un programa en MATLAB para el ajuste de los parámetros de nuestro modelo físico-matemático. 7. Encontrar unos periodos adecuados de las crisis económicas para poder aplicar el modelo físico-matemático generado 8. Presentar las diferentes crisis en los países 9. Obtener los resultados de los parámetros bien ajustados con la ayuda del programa MATLAB 10. Vincular los parámetros ajustados con los datos reales de la economía 11. Poder sacar alguna conclusión significativa para nuestro modelo. Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 17 3. Fundamentos teóricos 3.1. Introducción teórica Antes de empezar a hacer el análisis práctico, en esta sesión se presentan los fundamentos teóricos necesarios para la construcción de modelos físicos-matemáticos, que se centran en los fenómenos oscilatorios. En particular, nos enfocaremos en el estudio de un sistema elástico con fricción viscosa y estos conceptos proporcionarán la base para el desarrollo de nuestro enfoque en la comprensión de los sistemas económicos en condiciones fuera del equilibrio. De hecho, en la vida real hay muchos ejemplos de fenómenos oscilatorios y uno de ellos es el péndulo. Un péndulo simple es un sistema físico que oscila en torno a un punto de equilibrio debido a la fuerza gravitatoria. Además, un ejemplo más relacionado con el mercado financiero es la oscilación de precios. Los precios de los activos en los mercados financieros a menudo exhiben oscilaciones periódicas, como las tendencias alcistas y bajistas según algunas “fuerzas” externas como las políticas de un país, la guerra, la tasa de desempleo, la relación entre las demandas y necesidades, etc. En muchos sistemas físicos, cuando se perturba un objeto en equilibrio, este puede experimentar pequeñas oscilaciones alrededor de su posición de equilibrio original. Si estas oscilaciones son muy pequeñas, se pueden representar como armónicas (sinusoidal) y son el resultado de la restauración de fuerzas que actúan para devolver al objeto a su estado de equilibrio. Este comportamiento se puede observar en otros sistemas también, donde una perturbación inicial provoca oscilaciones que disminuyen gradualmente en amplitud debido a la presencia de fuerzas de fricción o disipación de energía. Estas oscilaciones pueden describirse mediante conceptos como frecuencia, amplitud y periodo, etc. Por lo tanto, vamos a intentar explorar una posible relación entre los parámetros de un sistema elástico y la situación económica de un país. Para ello, adaptaremos los parámetros del sistema elástico amortiguado (como la rigidez del resorte, la masa del objeto y la fricción viscosa) a conceptos económicos. Así que en este estudio hemos decidido estudiar la variable del índice de precios al consumidor (comúnmente llamado como el IPC), que es una medida clave utilizada en economía para medir los cambios en los precios de una cesta representativa de bienes y servicios adquiridos por los consumidores. Por lo tanto, de esta manera nos permite hacer una aproximación del análisis económico de un país durante la situación de crisis. Pág. 18 Memoria 3.2. Sistema elástico con fricción viscosa 3.2.1. Sistema sin perturbación El sistema sin perturbación significa que la posición de este sistema está equilibrada, es decir, no hay fuerzas externas encima de aquello objeto y el sistema elástico con fricción viscosa se encuentra en un estado de equilibrio estático. Un pequeño ejemplo de este sistema se podría presentar como la figura de abajo [1]: Figura 3.1 Representación del sistema sin perturbación En este sistema elástico, hay un muelle con un constante de elasticidad (𝑘) y una constante de amortiguamiento (𝑐), se producen oscilaciones amortiguadas cuando el sistema se desplaza del equilibrio. El muelle ejerce una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento, generando las oscilaciones, mientras que la fuerza de fricción proporcional a la velocidad amortigua gradualmente las oscilaciones. Finalmente, el sistema se queda equilibrado. De esta manera, podemos sacar la ecuación de movimiento por la segunda ley de Newton (𝑚= 𝐹 𝑎). Si la masa del objeto se mantiene constante, la aceleración del objeto es proporcional a la fuerza externa que recibe, y si la fuerza externa que recibe el objeto permanece constante, la aceleración del objeto es inversamente proporcional a la masa 错误!未找到引用源。. Así que se puede presentar como la ecuación de abajo, donde la 𝑥 es el grado de libertad (una variable de posición del sistema, puede ser una longitud, un ángulo, etc.). ∑𝐹𝑥=𝑚𝑥󰇗 (3.1) Desde entonces, en el sistema elástico la ecuación de movimiento sería así: −𝑘𝑥−𝑐𝑥󰇗=𝑚𝑥󰇗 (3.2) Después, decimos que un sistema de un grado de libertad x efectúa un movimiento armónico amortiguado si la ecuación de movimiento puede ser escrita en la forma Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 19 canónica: 𝑥󰇘+2𝛾𝑥󰇗+𝜔02𝑥=0 (3.3) Transformamos un poco las ecuaciones de arriba y nos saldrá la pulsación libre (𝜔0) y el parámetro de amortiguamiento (𝛾). 𝜔0=√𝑘 𝑚(3.4) 𝛾= 𝑐 2𝑚 (3.5) 3.2.2. Perturbación del sistema en equilibrio Dependiendo del tiempo, se podría introducir una perturbación 𝑓(𝑡) en el sistema elástico con fricción viscosa en equilibrio, se produce un desplazamiento inicial de la posición de equilibrio, seguido de oscilaciones amortiguadas alrededor de la nueva posición de equilibrio. Por lo tanto, en esta parte vamos a presentar un sistema equilibrado, pero con perturbación [2]. Figura 3.2 Representación del sistema con perturbación Desde entonces, la ecuación de movimiento será la siguiente: 𝑥󰇘+2𝛾𝑥󰇗+𝜔02𝑥=𝑓(𝑡) (3.6) Aquí, él 𝑓(𝑡) es la “fuerza” externa o interacción relacionada con el tiempo 𝑡, y esta fuerza externa cambia la situación de sistema y hace que el sistema salga del equilibrio. Por lo tanto, ahora, vamos a resolver esta ecuación dependiendo del tiempo 𝑡 con la ayuda de método de las transformadas de Laplace (una herramienta matemática utilizada para simplificar el análisis de funciones y ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo. Esta transformada convierte una función del tiempo en una función del complejo plano 𝑠, lo que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales). La transformada de Laplace de una función temporal, 𝑔(𝑡) se define como: Pág. 20 Memoria ℒ[𝑔(𝑡)=𝑔(𝑠)=∫𝑒−𝑠𝑡 ∞ 0𝑔(𝑡)𝑑𝑡 (3.6) Es una operación lineal, es decir, si 𝑔 y ℎ son funciones de 𝑡, así que 𝑎 y 𝑏 son constantes. ℒ[𝑎𝑔(𝑡)+𝑏ℎ(𝑡)]=𝑎ℒ[𝑔(𝑡)]+𝑏ℒ[ℎ(𝑡)]=𝑎𝑔(𝑠)+𝑏ℎ(𝑠) (3.7) Por lo tanto, ℒ[𝑥󰇘(𝑡)+2𝛾𝑥󰇗(𝑡)+𝜔02𝑥(𝑡)]=𝑥󰇘(𝑠)+2𝛾𝑥󰇗(𝑠)+𝜔02𝑥(𝑠)=𝑓󰆹(𝑠) (3.8) Se puede demostrar que la transformada de Laplace de la derivada temporal de una función 𝑔(𝑡) es: 𝑔󰇗(𝑠)=𝑠𝑔(𝑠)−𝑝(0) (3.9) Por lo tanto, 𝑔󰇘(𝑠)=𝑠𝑔󰇗(𝑠)−𝑔󰇗(0)=𝑠2𝑔(𝑠)−𝑠𝑔(0)−𝑔󰇗(0) (3.10) Cogiendo estas ecuaciones y después se queda la ecuación dinámica transformada: 𝑠2𝑥(𝑠)−𝑠𝑥(0)−𝑥󰇗(0)+2𝛾[𝑠𝑥(𝑠)−𝑥(0)]+𝜔02𝑥(𝑠)=𝑓󰆹(𝑠) (3.11) Ya que como se ha comentado anteriormente, al principio, el sistema está en la posición equilibrada, por lo tanto, la velocidad inicial es nula: 𝑥(0)=𝑥󰇗(0)=0 (3.12) Y la ecuación transformada se puede simplificar como abajo: (𝑠2+2𝛾𝑠+𝜔02)𝑥(𝑠)=𝑓󰆹(𝑠) (3.13) Si solo hacemos la transformada de Laplace para 𝑥, nos queda: 𝑥(𝑠)=𝑓(𝑠) 𝑠2+2𝛾𝑠+𝜔02(3.14) Haciendo la antitransformada de Laplace, se puede sacar 𝑥(𝑡) como: 𝑥(𝑡)=ℒ−1[𝑦(𝑠)]=ℒ−1[𝑓(𝑠) 𝑠2+2𝛾𝑠+𝜔02](3.15) Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 21 3.2.2.1. Perturbación instantánea (delta de Dirac) Ahora, después de tener la resolución de la ecuación transformada, ya podemos transformarla en forma de una delta de Dirac, multiplicando por una constante D [2]: 𝑓(𝑡)=𝐷∙𝛿(𝑡) (3.16) En pocas palabras, la función Delta de Dirac puede verse como un pulso muy estrecho e infinitamente alto en 𝑥=0. Aunque es igual a cero en la mayoría de los puntos, su magnitud es infinita en 𝑥=0, lo que garantiza resultados correctos al calcular integrales. Por lo tanto, en nuestro caso está centrado en el origen (0), cuando se queda en la posición equilibrada. Figura 3.3 Gráfico de delta de Dirac Pues ahora, si sacamos la ecuación general, nos quedaría así: 𝑥󰇘(𝑡)+2𝛾𝑥󰇗(𝑡)+𝜔02𝑥(𝑡)=𝐷∙𝛿(𝑡) (3.17) Y para sacar la solución de nuestro caso, primero tenemos que mirar la función transformada de delta de Dirac [2]: 𝛿󰆹(𝑡−𝑡0)=∫𝑒−𝑠𝑡𝛿(𝑡−𝑡0)𝑑𝑡 ∞ 0=𝑒−𝑠𝑡 (3.18) Como se ha comentado anteriormente, se centra en la posición inicial, es decir, en el “cero”: 𝛿󰆹(𝑡)=1 (3.19) Por lo tanto, la transformada de 𝑥(𝑡) es: 𝑥(𝑠)=𝐷 𝑠2+2𝛾𝑠+𝜔02(3.20) Pág. 22 Memoria Y 𝐷 es una constante: 𝑥(𝑠)=ℒ−1[𝑓󰆹(𝑠) 𝑠2+2𝛾𝑠+𝜔02](3.21) Para hacer la antitransformada de 𝑥(𝑡), miramos las tablas de transformadas y antitransformadas de Laplace, tenemos: ℒ[𝑒𝑎𝑡sin(𝑏𝑡)]=𝑏 (𝑠−𝑎)2+𝑏2(3.22) Simplificamos y combinamos las ecuaciones anteriores y podemos conseguir: 𝑥(𝑠)=𝐷 𝑠2+2𝛾𝑠+𝜔02=𝐷𝜔 𝜔(𝑠+𝛾)2+𝜔2(3.23) Y aplicamos la expresión de la ecuación 𝑥 y podemos conseguir: 𝑥(𝑡)=𝐷 𝜔𝑒−𝛾(𝑡−𝑡0)sin(𝜔(𝑡−𝑡0))+𝑥𝑒(3.24) Esto es válido, solo cuando 𝜔02>𝛾2, que es el caso subamortiguado, es decir, la posición está fuera de equilibrio, donde el sistema oscila. Desde entonces, hay dos casos [2]: • Caso sobreamortiguado (𝜔02<𝛾2) 𝑥(𝑡)=𝐷 𝜔𝑒−𝛾(𝑡−𝑡0)sinℎ(𝜔(𝑡−𝑡0))+𝑥𝑒(3.25) • Caso crítico (𝜔02=𝛾2) 𝑥(𝑡)=𝐷 𝜔𝑒−𝛾(𝑡−𝑡0)+𝑥𝑒(3.26) 3.3. Definiciones de los conceptos de crisis económica y la tasa de IPC 3.3.1. Definición de una crisis económica Antes de empezar a conocer los conceptos de crisis económica, cabe mencionar la definición de una crisis económica [4]. Una crisis económica es un período de declive significativo en la actividad económica de Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 23 un país o región, caracterizado por una disminución en la producción, el empleo, el consumo y otros indicadores económicos clave. Estas crisis suelen ser eventos extraordinarios y pueden tener un impacto devastador en la economía, la sociedad y la vida de las personas. Las crisis económicas pueden tener diversas causas, que van desde problemas financieros y bancarios, como quiebras bancarias o burbujas especulativas, hasta factores externos, como shocks petroleros o crisis internacionales. También pueden ser resultado de desequilibrios macroeconómicos, como altas tasas de inflación, déficits fiscales insostenibles o una deuda pública excesiva [4]. Las consecuencias de una crisis económica pueden incluir una recesión económica, una disminución en el nivel de vida de la población, un aumento en el desempleo, una caída en los precios de los activos, una contracción en la inversión y una crisis en el sistema financiero. Para superar una crisis económica, los gobiernos y las instituciones financieras suelen implementar políticas y medidas para estabilizar la economía y promover la recuperación. Estas políticas pueden incluir recortes en el gasto público, reformas estructurales, medidas de estímulo fiscal y monetario, entre otras. 3.3.1.1. Presentación de la crisis 2008 y COVID-19 Después de conocer un poco mejor qué es una crisis económica, vamos a mirar cuales crisis históricas vamos a escoger, ya que pasaron muchas veces estas crisis en toda la historia humada. Finalmente, hemos decidido escoger estas dos crisis porque son las más recientes y hay suficientes datos para poder cumplir los objetivos de este proyecto. Así que abajo se hará una pequeña presentación sobre estas dos crisis elegidas: • La crisis financiera de 2008 La Crisis de 2008, también conocida como la Gran Recesión, fue un evento económico de gran magnitud que sacudió la economía global a partir de 2007 y alcanzó su punto máximo en 2008. Su impacto se extendió a nivel mundial, afectando a múltiples sectores económicos y dejando lecciones fundamentales en su estela [5][6]. Las causas principales de esta crisis se encontraban en la burbuja inmobiliaria de los Estados Unidos. Los precios de las viviendas habían alcanzado niveles insostenibles debido a prácticas de préstamos hipotecarios de alto riesgo y una falta de regulación efectiva en el sector financiero. La emisión y venta de complejos productos financieros basados en estas hipotecas de alto riesgo, conocidos como valores respaldados por activos, exacerbó la situación. Cuando la burbuja inmobiliaria finalmente estalló y los precios de las viviendas comenzaron a caer en picada, los bancos y otras instituciones financieras se encontraron Pág. 24 Memoria con enormes pérdidas. Esto desencadenó una crisis bancaria que se extendió a nivel mundial, ya que muchas instituciones tenían inversiones en estos activos tóxicos. El impacto económico de la crisis fue devastador. Hubo una contracción económica significativa, con una disminución del crecimiento económico, la pérdida de empleos y una disminución en la confianza del consumidor y del mercado. Los gobiernos de todo el mundo tuvieron que intervenir para rescatar a bancos en peligro, inyectar liquidez en los mercados y estimular la economía. En resumen, la Crisis de 2008 fue una crisis financiera global desencadenada por la burbuja inmobiliaria y los préstamos hipotecarios de alto riesgo en los Estados Unidos. Su impacto se sintió en todo el mundo, y las lecciones aprendidas influyeron en la regulación financiera y la gestión del riesgo en los años siguientes. • La crisis de COVID-19 La crisis de la COVID-19, también conocida como la pandemia de la COVID-19, es un evento global sin precedentes que comenzó a finales de 2019 con la aparición de un nuevo coronavirus, el SARS-CoV-2, en la ciudad de Wuhan, China. A partir de entonces, la enfermedad causada por este virus, conocida como COVID-19, se propagó rápidamente por todo el mundo [7]. 3.3.2. Definición de los conceptos de una crisis económica Finalmente, para poder relacionar las ecuaciones o funciones que hemos sacado en los apartados anteriores, vamos a mencionar algunas definiciones muy importantes de la economía y cómo podrían afectar a nuestra vida real. Por lo tanto, en esta sección, se presentarán varias definiciones económicas relevantes que ayudarán a comprender el trabajo en su conjunto. Estas definiciones son fundamentales para interpretar y analizar los diferentes parámetros presentes en las ecuaciones generales utilizadas en el estudio. A continuación, se proporcionan algunas definiciones útiles: 3.3.2.1. Tasa de equilibrio de IPC La tasa de equilibrio se refiere a la tasa de IPC esperada en una situación económica normal, sin la influencia de una crisis o perturbación específica. Representa el nivel de inflación que se considera estable y consistente con un crecimiento económico sostenible y sin distorsiones significativas. Por lo tanto, en nuestro caso, se podría considerar la tasa de equilibrio de IPC es cero, es decir, no hay inflación ni cambios de precio. 3.3.2.2. Diferencia de IPC La diferencia de IPC, aquí se refiere la diferencia entre el IPC de aquellos momentos observados y el IPC equilibrado (en nuestro caso sería 0). Esta diferencia nos permite Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 25 medir el cambio en el nivel de precios en comparación con una situación de equilibrio. Pero, normalmente, el IPC de cada región/país va cambiando, dependiendo de muchos factores. Algunas posibles causas pueden ser: 1. Relación entre ofertas y demandas: Los cambios en la oferta y demanda de bienes y servicios pueden afectar los precios. Por ejemplo, si la demanda de un producto específico aumenta mientras la oferta se mantiene constante, es probable que los precios de ese producto aumenten[8]. 2. Costos de producción: Los cambios en los costos de producción, como los precios de los insumos o los salarios, pueden tener un impacto en los precios de los bienes y servicios. Si los costos de producción aumentan, es posible que los productores trasladen estos costos adicionales a los consumidores a través de precios más altos [8]. 3. Cambios en los mercados internacionales: Los cambios en los mercados internacionales, como las fluctuaciones en los tipos de cambio o los precios de las materias primas, pueden tener un impacto en los precios de importación y exportación. Estos cambios pueden transmitirse a los precios internos de los bienes y servicios [9][9]. 3.3.2.3. Volatilidad de la tasa de IPC durante la crisis económica La volatilidad se refiere a los cambios o las perturbaciones fuera de posición de equilibrio, donde hay subidas y bajadas. De hecho, es muy común observar una mayor volatilidad en la tasa de IPC, lo que implica cambios más significativos y rápidos en los niveles de precios. Durante una crisis económica, la tasa de IPC tiende a mostrar una mayor volatilidad debido a perturbaciones en la oferta y demanda, choques exógenos, cambios en las expectativas y percepciones de los agentes económicos, así como las políticas económicas implementadas. Esta mayor volatilidad refleja los cambios rápidos y significativos en los precios que se producen en un entorno económico inestable y turbulento. De hecho, el IPC es un indicador que mide el cambio promedio de los precios de una cesta de bienes y servicios que consume un consumidor típico en un período de tiempo determinado. Una tasa de inflación volátil indica que los precios están experimentando cambios rápidos y a menudo impredecibles [10]. Durante una crisis económica, la volatilidad en la tasa de IPC puede ser causada por varios factores, incluyendo: Pág. 32 Memoria 4. Casos prácticos 4.1. Introducción de casos prácticos Una vez presentadas las teorías necesarias y tener los conceptos bastantes claros sobre cómo va este proyecto, ahora ya se pueden aplicar las teorías a los casos reales. Por lo tanto, en esta sección, se presentarán casos prácticos utilizando el IPC de diferentes países. Como se ha presentado anteriormente, el IPC es un factor muy útil para poder examinar el nivel de precio de un país, sus tendencias de subidas y bajadas y los patrones en la evolución de los precios en distintos contextos económicos. Primero, hemos conseguido unos datos desde la página web oficial de OECD [14] (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos), que es una fuente confiable y respetada para análisis económicos. La OCDE proporciona datos económicos y estadísticas de diversos países, lo que permitirá realizar casos prácticos comparativos y obtener una visión más amplia de las variaciones en los precios al consumidor en diferentes países. Después de conseguir los datos, hemos utilizado el programa MATLAB, creando unos códigos para poder visualizar la tasa de IPC de diferentes países. Además, nos hemos enfocado en los periodos de subidas y bajadas, es decir, donde hay un ciclo económico, y hemos encontrado los picos de ciclo económico para poder aplicar bien la solución de ecuación presentada anteriormente. Finalmente, gracias a las funciones avanzadas de MATLAB, hemos podido ajustar los datos reales del IPC a las teorías físico-matemáticas previas para obtener bien los ajustes de los parámetros y analizar cómo se relacionan los datos del IPC con las ecuaciones y modelos propuestos. En consecuencia, esta sección de casos prácticos permitirá comprender cómo las teorías físico-matemáticas pueden aplicarse a datos económicos del IPC de diferentes países. Esto les proporcionará una visión más profunda de las fluctuaciones de precios, las tendencias y los ciclos económicos que pueden afectar a cada país. El análisis y las conclusiones obtenidas en esta sección serán fundamentales para evaluar la relación entre la crisis económica y los sistemas elásticos, así como para identificar posibles factores influyentes en las economías nacionales. Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 33 4.2. Presentación de los datos de IPC En esta sesión, vamos a explicar los datos que hemos sacado desde la web de OECD [14]. Totalmente, hemos cogido 17 países y 3 organizaciones de conjuntos de los países, de esta manera nos ha permitido hacer el análisis más amplio y comparar los diferentes parámetros de la solución de ecuación generada en los apartados anteriores. Además, en la web de OECD [14][14] nos permite coger la tasa de IPC de diferente sector, por ejemplo, de la comida, la energía y en general de todos. Esto nos ha facilitado mucho si queremos comparar los parámetros de diferentes industrias ya que son los sectores fundamentales para cada país. En la web de OECD [14] la tasa de IPC aquí, se refiere a la tasa de aumento anual, es decir, en comparaciones con el año anterior, este año cuánto porcentaje han aumentado los precios en el sector elegido. 4.3. Investigación de los posibles picos económicos Como se ha mencionado en los apartados anteriores, nuestro proyecto se basa en un modelo creado por sistema de oscilación, es decir, donde hay perturbaciones y cambios por factores externas. Por lo tanto, es muy importante encontrar el periodo donde hay perturbaciones o tendencia de fenómeno oscilatorio. Ya que se ha presentado en los apartados anteriores también sobre los conceptos económicos que aplicarán en nuestro proyecto y la definición de esas dos crisis que hemos escogido, ahora vamos a mirar cómo es las situaciones de cada crisis y sus impactos a la tasa de IPC. Por lo tanto, para poder entender mejor la idea propuesta, ahora vamos a tomar España como ejemplo y se enseña Figura 4.1que presenta las tasas de IPC sacadas de España. Se ve muy claro que hay dos picos muy marcados, así que vamos a explicar cómo es cada uno. Pág. 34 Memoria Figura 4.1 Ejemplo de tasa de IPC, España (obtenida por MATLAB) • Crisis económica mundial en 2008 en España La crisis económica mundial de 2008, también conocida como la Gran Recesión, fue una severa crisis financiera y económica que afectó a nivel global, con origen en los Estados Unidos. Esta crisis tuvo un fuerte impacto en diversos países, incluyendo España, y se caracterizó por una contracción económica significativa, aumento del desempleo y desequilibrios financieros. En el caso de España, la crisis de 2008 tuvo un impacto devastador en su economía y llevó a una recesión profunda que duró varios años [15] [16]. Mirando la figura Figura 4.1, el IPC de España estuvo subiendo desde más o menos 2007 y sobre 2009 llegó el pico, después iba bajando hasta el año 2010 y volvió a subir. • La pandemia mundial de COVID-19 en España La pandemia de COVID-19, que comenzó a finales de 2019 y se extendió a nivel mundial en 2020, ha sido una crisis económica sin precedentes debido a su alcance y magnitud. La propagación del virus y las medidas de contención implementadas para frenar su expansión tuvieron un impacto significativo en la economía global y afectaron a países de todas las regiones[17][18]. La recuperación económica de España y otros países afectados por la pandemia de COVID-19 ha sido un proceso gradual y complejo. La disponibilidad y distribución de vacunas han sido clave para controlar la propagación del virus y permitir la reactivación Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 35 económica. Sin embargo, la incertidumbre sigue presente y se requiere una gestión cuidadosa para abordar los desafíos económicos y sociales que persisten. La experiencia de la crisis de COVID-19 ha resaltado la importancia de la planificación y la resiliencia económica, así como la necesidad de medidas de apoyo a largo plazo para mitigar los efectos a largo plazo de la pandemia. La crisis también ha puesto de relieve la importancia de la cooperación internacional para abordar problemas globales y enfrentar futuras crisis. Por lo tanto, si ahora miramos de nuevo la figura Figura 4.1, la tasa de IPC empezó a subir por el año 2020 justamente cuando surgió la pandemia y después empezó a bajar en julio de 2022, la duración de subida fue más o menos 2 años. Además, según los datos que hemos conseguido, en España la tasa de IPC aún no ha terminado de bajar, es decir, sigue bajando y aún no ha parado. Por lo tanto, finalmente, después de observar más figuras y datos de IPC de diferentes países, hemos sacado una conclusión de coger el periodo de 2008 y 2020, que son dos etapas que tienen picos más marcados y nos facilitan a aplicar las teorías presentadas. 4.4. Explicación de la utilización de MATLAB 4.4.1. Introducción Una vez llegar a esta parte, ya toca presentar un poco sobre cómo hemos creado los modelos físico-matemáticos aplicados en el mundo de economía, es decir, entramos a la sesión más aplicada y real de este proyecto. Como se ha mencionado anteriormente, para vincular los modelos físicos-matemáticos con el mundo de economía, podemos utilizar el programa MATLAB, que nos permite crear el modelo teórico y hacer el ajuste de parámetros. Por lo tanto, en esta sesión, vamos a intentar explicar cómo funciona el script que hemos hecho en el programa MATLAB y sus significados en cada parte. Además, en los anexos también pondremos los códigos de MATLAB que hemos utilizado y las explicaciones necesarias. 4.4.2. Selección de países u organizaciones y sus periodos En primer lugar, hay que fijarse bien en qué periodo queremos estudiar. Pues en nuestro caso hemos elegido el periodo de la crisis mundial de 2008 y la crisis de COVID-19, ya que se ha explicado anteriormente, estos dos periodos nos facilitan crear el modelo y hacer el análisis. Por lo tanto, en la web OECD [14] hemos escogido unos 20 países/organizaciones más adecuadas (figura 4.2) para este estudio (a veces algunos países no tienen suficientes datos) y seleccionar los picos relacionados de la crisis de Pág. 36 Memoria 2008 y de COVID-19. Figura 4.2 Países elegidos en la web OECD Una vez definidos los países que queremos utilizar, ya podemos seleccionar los periodos adecuados para nuestro proyecto, observando la gráfica de la tasa de IPC de cada país, se puede elegir unos periodos más precisos (por mes) para cada crisis. 4.4.3. Creación de modelo físico-matemático Después de haber observado las gráficas de cada país, obviamente la situación de cada país es muy compleja y variable dependiendo de muchos factores exteriores. Así que aquí debemos separar por casos diferentes para poder conseguir los resultados más óptimos y tener los parámetros bien ajustados. Totalmente, hay 3 casos por aplicar. • Caso subamortiguado: El primero es el caso subamortiguado, la ecuación ya presentada anteriormente en el 3.24, que se utiliza cuando la curva de los datos sube hasta un pico y después baja, finalmente oscila alrededor cerca de la tasa de equilibrio (cero, en nuestro caso). Es decir, la curva tiene una subida y bajada muy obvia, además debe caer sobre la tasa de equilibrio y oscilando sobre allí. • Caso sobreamortiguado: El segundo es el caso sobreamortiguado, como la ecuación presentada Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 37 anteriormente en el 3.25, esto se utiliza cuando la curva sube hasta el pico y después baja rápidamente hasta la tasa de equilibrio, pero no oscila nunca más, es decir, se para en el punto de la tasa de equilibrio y se termina. • Caso crítico: La última opción es el caso crítico, la ecuación es como hemos presentado anteriormente en el 3.26. Este caso es muy diferente a los dos anteriores, desde el punto de vista matemático, ninguna de las dos soluciones anteriores representa bien el movimiento crítico, puesto que, a pesar de no aparecer magnitudes imaginarias, solo contienen una constante de integración. Es decir, en este caso no se oscila casi nada, no tienen subidas y bajadas tan obvias como los dos casos de antes. Además, cabe mencionar que, con estas ecuaciones, es necesario encontrar 𝑡0, el periodo inicial de la crisis, es decir donde empiezan los cambios económicos. Pero, en los apartados de abajo, ya se explicará cómo hemos podido encontrar este parámetro importante. 4.4.4. Parámetros de ajuste En la ecuación presentada anteriormente, hay 3 parámetros diferentes, 𝐷, 𝜔 y 𝛾. Por lo tanto, en nuestros códigos de MATLAB, hemos puesto “params(1)” , “params(2)” y “params(3)” para referir a 𝐷, 𝜔 y 𝛾 respectivamente, donde 𝐷 indica la fuerza de la crisis económica, es decir la amplitud de una crisis, 𝜔 indica la pulsación libre o natural durante una crisis económica y finalmente 𝛾 indica el factor de amortiguamiento, es decir la rapidez de la recuperación desde la crisis económica, la duración de perturbaciones, etc. Además, también en el apartado 3.4 , se ha explicado más detalles sobre el significado de estos parámetros de la ecuación utilizada. Después de haber conocido y definido bien los parámetros que vamos a utilizar, ya se puede crear un modelo en MATLAB. Para poder hacer mejor el ajuste de parámetros, hemos utilizado dos funciones que se llaman “lsqcurvefit” y “nlinfit”. Sin embargo, antes de todo, hay que encontrar unos factores iniciales para poder conseguir correctamente los factores finales que necesitamos. Así que, en primer lugar, se define una variable en MATLAB llamada por “initial_params” y darle valor [1,1,1]. Posteriormente, se utilizará la función “lsqcurvefit” para realizar el primer ajuste de la tasa de IPC a la ecuación no lineal y guardamos los parámetros sacados de este primer ajuste en el “initial_params2”. Pág. 38 Memoria Después, para el segundo ajuste, ya podemos utilizar la función “nlinfit”, utilizando estos parámetros sacados del primer ajuste con la ayuda de la función “lsqcurvefit”, que nos dé un ajuste más exacto e información muy útil para evaluar los errores de resultados, por ejemplo, el residuo, la covarianza y el error estándar de este proceso ajuste para nuestra ecuación no lineal. Finalmente, de esta manera, podemos sacar los parámetros de ajuste más correctos y precisos a la ecuación utilizada, ya que hemos hecho el primer ajuste con la función “lsqcurvefit”, que nos permite sacar los parámetros iniciales automáticamente por MATLAB. 4.4.5. Posibles soluciones de modificaciones Después de haber intentado vincular el modelo físico-matemático con los datos de la tasa de IPC, pues hemos sacado algunos parámetros, pero algunos de ellos no son muy buenos como pensábamos. Nos di cuenta de que esto pasó porque no habíamos escogido un periodo adecuado para el ajuste de parámetros, es decir, el modelo que hemos utilizado tiene característica de oscilar alrededor de la tasa de equilibrio. Por lo tanto, aquí hemos sacado algunas propuestas de mejora cuando no nos salen los resultados satisfactorios: • Elegir de nuevo el periodo: Se ha presentado anteriormente, el resultado depende mucho del periodo que se ha sacado, es decir, solo un periodo o pico apropiado, nos permite conseguir los resultados buenos. Por lo tanto, primero, antes de empezar a meter la ecuación física, siempre es recomendable observar bien la gráfica original de los datos de IPC y escoger un pico óptimo para el modelo. • El momento inicial: Esto se refiere a aquello momento inicial, es decir cuándo ha empezado la crisis económica. Durante el proceso de observar los resultados, también es necesario considerar este factor importante, porque esto nos puede indicar el 𝑡0 y afecta bastante a los resultados de parámetros que queremos. La recomendación de elegir un buen 𝑡0 es observar cuidosamente la gráfica original de los datos de IPC y alargar la curva original, cuando la curva alargada cruza el eje de abscisas (IPC=0), el valor de tiempo es lo que necesitamos. • Selección de la ecuación generada: Obviamente, hay que elegir una ecuación bastante bien adecuada para el modelo que queremos utilizar, es decir, la curva de los datos reales de IPC debería ser más o menos similar a la curva de esa ecuación que queremos aplicar. Solo de esta manera, nos saldrán los resultados más satisfactorios y los parámetros bien ajustados. Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 39 5. Resultados 5.1. Introducción Ahora, ya se puede empezar la sesión más importante del estudio: presentar los resultados que hemos sacado. Ya que como se ha explicado en los apartados anteriores, hemos escogido varios países desde la fuente OECD [14], así que aquí para poder comprender mejor la idea de estudio, primero se presentará los resultados de España como un ejemplo y finalmente para otros países solo hay que seguir los pasos que hemos hecho para España y nos salen los resultados satisfactorios. 5.2. Un país de ejemplo: España 5.2.1. Explicación del periodo elegido de la crisis 2008 y COVID-19 A continuación, primero en la figura 5.1 de abajo, se muestra la gráfica de las tasas de IPC de cada año de España. Respectivamente la coordenada horizontal y vertical, es el año (por mes) y la tasa de IPC de aquel mes. Obviamente, se puede notar que cerca del año 2008 surgió la crisis mundial de economía y alrededor de 2020 empezó la crisis de COVID-19, porque en los dos periodos se puede observar que hay un cambio muy obvio de la tasa de IPC. Figura 5.1 El periodo elegido de la crisis 2008 y COVID-19 Pág. 40 Memoria • Periodo elegido: 1. Para la crisis 2008, observando la curva de IPC de España, obviamente podemos notar que la curva sube hasta el pico y después baja hacia la tasa de equilibrio y finalmente oscila allí, por lo tanto, se puede aplicar el caso subamortiguado. Desde entonces, elegimos desde 2007-08 hasta 2009-07, justo era el periodo donde surgió la crisis mundial de 2008 y también según la gráfica, es donde hay oscilación cerca de la tasa de equilibrio cero. 2. Para la crisis COVID-19, es un poco diferente. Ya que como sabemos la crisis COVID-19 impactó muchísimo a la economía mundial y algunos países aún no se han recuperado su situación económica, es decir, según la curva, después el pico, se puede notar que el IPC aún está bajando sin parar y hasta ahora aún no ha llegado el valor mínimo de IPC o no hay un punto de cambio de su tendencia de bajadas. Por lo tanto, hemos elegido desde 2021-08 hasta 2023-06, donde sería mejor para el ajuste de parámetros y la definición de periodo. Además, aquí también cabe mencionar que uno de los aspectos interesantes de la crisis económica mundial de 2008 fue que diferentes países experimentaron su inicio y sus efectos de manera escalonada en el tiempo. Esto se debió a una combinación de factores económicos, financieros y políticos que influyeron en cuándo y cómo cada país se vio afectado por la crisis. Algunos países comenzaron a sentir los efectos de la crisis antes que otros debido a sus conexiones comerciales y financieras con los mercados internacionales. En el caso de España, la crisis financiera global tuvo un impacto significativo debido a su exposición al sector inmobiliario y la construcción. La burbuja inmobiliaria previa a la crisis colapsó, llevando a la caída del mercado de la vivienda y la construcción, y afectando a los bancos y la solvencia del sistema financiero [19]. En pocas palabras, la crisis económica mundial de 2008 no afectó a todos los países al mismo tiempo ni de la misma manera. Los tiempos de inicio y los efectos variaron según las circunstancias económicas y financieras de cada país, así como sus conexiones con los mercados internacionales. Esto resalta la complejidad de los sistemas económicos globales y cómo las interconexiones pueden propagar los efectos de las crisis a lo largo del tiempo y el espacio. 5.2.2. Los resultados obtenidos de España En esta sesión, primero solo cogemos España como un ejemplo para poder facilitar la aplicación de nuestro modelo y el resto de los resultados sacados se muestran en los anexos con más detalles necesarios. Y ahora vamos a mirar el caso de España. Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 41 Después de elegir bien la ecuación y el periodo adecuado, ya se puede empezar el proceso de ajuste de parámetros, utilizando el programa MATLAB. Abajo se enseña las gráficas de ajuste de parámetros que hemos sacado: Figura 5.2 El pico ajustado para la crisis 2008 Figura 5.3 El pico ajustado para la crisis COVID-19 Pág. 48 Memoria 5.3.1.1.2 El parámetro 𝜸 Para el parámetro 𝛾, se nota que Chile, España y Francia tienen el valor bastante pequeño. Según la información que hemos presentado anteriormente, si tiene el valor muy bajo de 𝛾, normalmente se recupera muy lento su situación económica, es decir indica que a estos tres países les cuesta recuperarse su situación económica a la normalidad. Aquí si solo fijamos en España y Francia, las razones están abajo [23][24]: 1. Sector Inmobiliario y Burbuja de Crédito (España): España fue uno de los países más afectados por la crisis inmobiliaria, ya que había experimentado una burbuja de crédito y construcción antes de la crisis. La caída en los precios de la vivienda y la deuda asociada dejó un legado de problemas financieros y desempleo. 2. Dependencia del Sector Financiero (España y Francia): Tanto España como Francia tenían sectores financieros importantes, y las dificultades en el sistema bancario, la exposición a activos tóxicos y la necesidad de rescates bancarios prolongaron la recuperación económica. 3. Deuda Pública (España y Francia): El aumento de la deuda pública en estos países como resultado de las medidas de estímulo y rescate fue un desafío para la recuperación económica sostenible. La necesidad de consolidación fiscal y control de la deuda limitó las políticas de gasto. Finalmente, para visualizar un poco mejor y conocer bien nuestra idea, se presentarán algunas figuras de ajuste de parámetros con nuestro modelo físico-matemático por MATLAB. Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 49 Figura 5.7 Ajuste de pico de Chile con la ecuación SUB de la crisis 2008 Figura 5.8 Ajuste de pico de España con la ecuación SUB de la crisis 2008 Pág. 50 Memoria Figura 5.9 Ajuste de pico de Francia con la ecuación SUB de la crisis 2008 5.3.1.1.3 El parámetro 𝝎𝟎 Para el parámetro 𝜔0, como se ha presentado anteriormente, este parámetro es la rapidez con la que las variables económicas oscilan alrededor de su punto equilibrado, es decir la frecuencia que oscilan. Según la información que hemos sacado, se puede ver que Estados Unidos, Canadá y Japón tienen el valor más elevado de 𝜔0, esto indica que estos países han sufrido mucho por los cambios de fuera, es decir, oscilan bastante cerca de punto de equilibrio y tienen unas caídas más fuertes y rápidas. Pues para poder entender mejor la idea, abajo se enseñar unas graficas obtenidas por MATLAB del ajuste de parámetro, aplicando la ecuación de físico-matemático que hemos dicho anteriormente. Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 51 Figura 5.10 Ajuste de pico de Estados Unidos con la ecuación SUB de la crisis 2008 Figura 5.11 Ajuste de pico de Japón con la ecuación SUB de la crisis 2008 Pág. 52 Memoria Figura 5.12 Ajuste de pico de Canadá con la ecuación SUB de la crisis 2008 Aquí las causas de este fenómeno para estos países u organización, obviamente es muy parecido con las que hemos presentado en los dos apartados de arriba de esos dos parámetros, así que se puede decir que son bastantes similares las causas o el origen. 5.3.1.2. Relación entre los factores de IPC y el parámetro 𝑫, 𝝎𝟎 y 𝜸 durante la crisis económica de 2008 Después de hacer una pequeña interpretación de los valores de estos 3 parámetros, ahora vamos a mirar la relación entre los factores de IPC y estos parámetros. Abajo vamos a enseñar unas graficas que nos permiten mirar con facilidad la relación de cada parámetro y los factores de IPC, de esta manera podemos saber si los ajustes coinciden con la teoría de nuestro modelo físico-matemático. Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 53 Figura 5.13 La relación entre las diferencias máximas de IPC y el parámetro 𝐷 de la crisis 2008 Figura 5.14 La relación entre el periodo elegido de la crisis (meses) y el parámetro 𝛾 de la crisis 2008 Pág. 54 Memoria Figura 5.15 La relación entre el periodo elegido de la crisis (meses) y el parámetro 𝜔0 de la crisis 2008 Observando las tres graficas de arriba, hemos creado dos factores interesantes para esta propuesta de relación entre ellos. Uno de ellos es la diferencia entre el IPC mínimo y máximo del periodo elegido durante la crisis económica y otro es el periodo elegido por meses. El primer factor representa los cambios máximos o las diferencias máximas que han tenido los países durante una crisis económica, esto puede definir como los impactos, las fuerzas de una crisis para un país. El segundo factor significa la duración de una crisis, es decir, cuánto tiempo le ha tardado a un país para poder recuperarse su economía a la normalidad, en la posición de equilibrio, como el sistema elástico. Ahora, si nos fijamos en las gráficas de EXCEL que hemos sacado, para el parámetro 𝐷, es una función lineal con pendiente positiva, esto indica que si sube el valor del parámetro 𝐷, también aumentará la diferencia máxima durante la crisis económica, es decir, habrá más cambios, más fuerzas y más lejos de la posición de equilibrio. Igualmente, observando las curvas de relación para otros dos parámetros, nos ha salido la misma conclusión. Lo misma idea para 𝛾 y 𝜔0, el primero es la rapidez de proceso de recuperación y el Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 55 segundo es la frecuencia de oscilación. Si miramos las dos graficas de la relación de arriba para 𝛾 y 𝜔0, se puede notar que 𝛾 parece que tiene una tendencia de ser independiente del periodo elegido de la crisis, es decir, no cambia mucho el periodo elegido de la crisis con el aumento de 𝛾. Sin embargo, con el aumento del valor de 𝜔0, el periodo elegido va disminuyendo y esto indica que 𝜔0 es inversamente proporcional al periodo elegido de la crisis, ya que con el valor más alto de 𝜔0, tiene una frecuencia más elevada con más oscilaciones. Finalmente, en términos económicos, podemos notar que, aunque a veces algunos países tienen un periodo muy corto de la crisis, igualmente pueden tener muchas perturbaciones o sus tasas de IPC oscilan mucho sobre el punto de equilibrio. Por lo tanto, con la ayuda de EXCEL, hemos podido sacar una conclusión de que los ajustes de parámetros son bastantes satisfactorios y coinciden con la teoría del modelo físico-matemático que queremos estudiar. 5.3.2. Estudio de modelo para la crisis COVID-19 En este apartado, vamos a estudiar sobre la crisis de COVID-19, que es muy diferente a la crisis de 2008, porque es más reciente y en algunos países siguen sufriendo por este virus y la economía aún no se ha recuperado a la situación normal. Desde entonces, en la web OECD [14], no hemos podido encontrar suficientes datos para poder ajustar completamente bien los parámetros que queríamos aplicar, por ejemplo, Rusia por la guerra contra Ucrania y los conflictos políticos, no hay suficientes datos por aplicar, por lo tanto, aquí deberíamos descartar el país Rusia para el estudio de la crisis COVID-19. Sin embargo, es verdad que hemos hecho algunas simulaciones de nuestro modelos físico-matemático en MATLAB para varios países y nos han salido bien los parámetros ajustados y graficas de ajuste. Así que abajo se presentan una tabla de toda la información sacada desde esta crisis con la ayuda de MATLAB, haciendo lo mismo como los apartados anteriores en la parte de la crisis económica de 2008. Tabla 5.4 Los resultados obtenidos de la crisis COVID-19 D w0 Gamma IPC Máximo IPC Mínimo Max-Min t0 Ecuación utilizada CAN 1,074 0,102 0,026 8,133 2,812 5,321 -1 SUB CHL 1,931 0,105 0,023 14,090 4,775 9,315 0 SUB Pág. 56 Memoria CHN 0,642 0,181 0,041 2,800 0,000 2,800 -1 SUB COL 1,035 0,056 0,014 13,344 3,970 9,374 -2 SUB DEU 1,755 0,078 0,065 8,821 4,158 4,662 -2 SUB DNK 2,050 0,153 0,034 10,112 2,465 7,648 -1 SUB ESP 1,368 0,122 0,015 10,770 1,893 8,878 -2 SUB EU27_2020 2,389 0,105 0,060 11,500 5,600 5,900 -2 SUB FRA 1,240 0,065 0,065 6,279 2,753 3,525 -2 SUB G-7 1,363 0,086 0,048 7,843 3,856 3,987 -2 SUB GBR 1,075 0,086 0,018 9,600 2,900 6,700 -2 SUB ITA 2,610 0,132 0,061 11,837 5,956 5,881 -2 SUB JPN 0,740 0,083 0,060 4,300 1,200 3,100 -2 SUB KOR 0,849 0,106 0,025 6,337 2,412 3,925 -2 SUB LUX 1,508 0,107 0,058 7,425 3,178 4,248 -2 SUB MEX 0,747 0,060 0,019 8,700 3,150 5,550 -2 SUB OECD 2,962 0,071 0,094 10,689 5,657 5,032 -2 SUB RUSSIA SAU 0,382 0,093 0,018 3,355 1,125 2,230 -2 SUB USA 0,979 0,090 0,015 9,060 2,620 6,440 -2 SUB Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 57 Figura 5.16 El mapa mundial de parámetro 𝐷 de la crisis COVID-19 Figura 5.17 El mapa mundial de parámetro 𝛾 de la crisis COVID-19 Pág. 64 Memoria economía de muchos países no se ha recuperado todavía. Desde entonces, abajo se presenta una gráfica que nos indica la relación entre las diferencias de IPC máximo y IPC mínimo, es decir, los cambios máximos de precio y el parámetro 𝐷. Figura 5.27 La relación entre las diferencias máximas de IPC y el parámetro 𝐷 Si miramos la gráfica, es muy parecido a la que hicimos para la crisis de 2008, es decir, también tiene una pendiente positiva. El valor del parámetro 𝐷 aumenta, la diferencia entre IPC máximo y IPC mínimo también aumentará y esto justamente es el modelo que estamos haciendo, por lo tanto, se puede decir que hemos sacado los ajustes satisfactorios para estos parámetros en la crisis de COVID-19 también. 5.4. Comparación de estas dos crisis económicas Tabla 5.5 Comparación de las crisis estudiadas a partir de parámetros medios 𝑫 [𝟏 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔] 𝝎𝟎 [𝟏 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔] 𝜸[𝟏 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔] Crisis de 2008 1,041 0,133 0,038 Crisis del COVID-19 1,405 0,099 0,040 Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 65 Aquí se enseña una pequeña tabla cogiendo los promedios de cada parámetro de estas dos crisis estudiadas para poder compararlas directamente. Primero, para el valor de parámetro 𝐷, la crisis del COVID-19 un valor más elevado que le de la crisis de 2008, esto indica que las fuerzas o los cambios de la crisis del COVID19 son más fuertes en estos países escogidos, en el sentido de la tasa de IPC. En términos económicos, esto indica que la crisis del COVID-19 tiene los impactos más grandes que la crisis de 2008, es decir, las tasas de IPC estaban mucho más fuera de su punto de equilibrio. Segundo, el valor del parámetro 𝜔0, que es un parámetro que físicamente representa la pulsación libre, la frecuencia de perturbaciones durante la crisis económica. Pues en nuestro caso, la crisis de 2008 tiene un valor más alto que la crisis del COVID-19. Esto indica que las tasas de IPC de la crisis de 2008 han oscilado más y han tenido más frecuencia de perturbaciones que la crisis del COVID-19. Por lo tanto, esto nos permite imaginar que, desde una perspectiva de la economía, la crisis de 2008 era muy inestable y había tenido muchas bajas y subidas de las tasas de IPC. Sin embargo, al contrario, en comparación con la crisis de 2008, la del COVID-19 no ha tenido tantas perturbaciones, es decir, sus subidas y bajadas de IPC han sido más fuertes. Por otro lado, también indica que la crisis del COVID-19 surgió más rápido, ha sido una crisis más improvisa e inesperada. Por último, vamos a comparar el 𝛾, que es el factor de amortiguación y representa el proceso de recuperación. Obviamente se nota que las dos crisis casi tienen el mismo valor de este parámetro, por lo tanto, podríamos decir que básicamente ellos han tenido un tiempo parecido de recuperación, es decir, la duración de perturbaciones o fuera de posición de equilibrio, ha sido muy similar. Además, a nivel económico, esto indica que las dos crisis pueden tener las fuerzas, los cambios o nivel de oscilaciones muy diferentes, pero finalmente se recuperan en un momento parecido. Según los resultados que hemos sacado, aquí la crisis de 2008 y COVID-19 deben tener una duración aproximadamente igual. Por lo tanto, para las futuras investigaciones, se podría hacer una previsión de su duración aproximada y calcular la duración de esta crisis aunque la crisis del COVID-19 no ha terminado en algunos países todavía, pero tendría una duración similar a la de la crisis de 2008. Pág. 66 Memoria 6. Planificación • Investigación y Marco Teórico 1. Revisión de la literatura relacionada con sistemas físicos y su influencia en la economía. 2. Análisis de modelos elásticos con enfoque en la fricción viscosa. 3. Identificación y análisis de ecuaciones relevantes para relacionar sistemas físicos con aspectos económicos. • Desarrollo del Modelo Físico-matemático 1. Recopilación de datos de la tasa de IPC de múltiples países. 2. Diseño e implementación del modelo en MATLAB. 3. Realización de pruebas y validación para asegurar la precisión del modelo. • Análisis y Resultados 1. Comparación de las tasas de IPC de diferentes países para seleccionar las crisis a estudiar. 2. Elegir España como un ejemplo para estudiar. 3. Creación de gráficos y análisis de la crisis financiera de 2008. 4. Creación de gráficos y análisis de la crisis del COVID-19. 5. Cálculo y representación gráfica de las correlaciones entre ambas crisis. 6. Extracción de conclusiones comparativas basadas en el análisis de las dos crisis. • Elaboración de la memoria de tesis 1. Desarrollo de la memoria de tesis que refleje adecuadamente la investigación, desarrollo del modelo y análisis de resultados. Ahora, vamos a presentar un diagrama de Gantt, con la ayuda de una plantilla de EXCEL. Abajo se enseña el diagrama Gantt de nosotros y el documento original se guarda en el archivo de los anexos. Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 67 Pág. 68 Memoria Figura 6.1 Diagrama de Gantt de proyecto Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 69 7. Estudio económico Ahora vamos a tener en cuenta el tiempo empleado para la realización de este proyecto, el coste de honorarios y el costo de material. Primero vamos a mirar el coste de los honorarios. Este coste es el precio que cobro siendo un ingeniero y tiene un precio de 15€/h. Además, el tiempo invertido se puede calcular según el número de créditos de TFM (12 créditos) y cada crédito tiene 30 horas invertidas. Por lo tanto, el coste es el siguiente: 15×30×12=5400 € (7.1) Por otro lado, también hay que incluir el costo del ordenador que he utilizado para el proyecto. Hace 3 años, me lo compré con el precio de unos 6000 yuanes chinos, que son como 760 euros. Además, el tiempo de utilización de este ordenador para realizar este proyecto ha sido 24 semanas. Por lo tanto, el coste es el siguiente: 760 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 3 𝑎ñ𝑜𝑠 ×1 𝑎ñ𝑜 52 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠 ×24 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠=117 € (7.2) Tabla 7.1 Información de coste del trabajo Precio unitario Unidades Coste Coste de honorarios 10€/hora 360 horas 3600€ Coste de material 4,87€/semana 24 semanas 117€ TOTAL 5517€ Pág. 70 Memoria 8. Estudio ambiental Ahora, en este apartado, vamos a estudiar el impacto ambiental que ha tenido durante todo el proceso de la realización de nuestro trabajo. Dado que nuestra investigación se basa principalmente en análisis teóricos y modelización computacional, el impacto ambiental directo de nuestro trabajo es muy limitado. Sin embargo, también es importante considerar el impacto ambiental de los recursos utilizados en el proceso. • Uso del Ordenador Durante la realización de este trabajo, hemos empleado nuestro ordenador de manera continua durante aproximadamente 360 horas. Según un estudio realizado por Ecoembes, un ordenador encendido emite entre 52 y 234 gramos equivalentes de CO2 por hora. Esto se traduce en un rango de emisiones de entre 18,72 kg y 84,240 kg de CO2 en total [28]. • Transporte Para las reuniones relacionadas con nuestro proyecto, hemos utilizado el transporte público en forma de metro. En total, hemos tenido 20 reuniones, y en cada reunión realizamos dos viajes, cada uno con una distancia de promedia 10 km. Según el cálculo realizado utilizando la herramienta CeroCO2, esto se traduce en aproximadamente 11.2 kg de CO2 equivalente en emisiones [18]. En comparación, si hubiéramos utilizado un coche de gasolina promedio, las emisiones habrían sido de aproximadamente 76,80 kg [29]. En conclusión, dado que somos conscientes de la importancia de mitigar nuestro impacto en el medio ambiente, consideramos importante contribuir a la compensación de las emisiones de CO2 generadas por nuestro trabajo. Un árbol puede absorber entre 10 y 30 kg de CO2 a medida que crece [19]. Por lo tanto, como una medida de responsabilidad ambiental, estamos comprometidos a plantar entre 1 y 5 árboles como compensación por las emisiones generadas durante la realización de nuestro trabajo [30]. Si bien nuestro trabajo es predominantemente teórico, entendemos la importancia de considerar el impacto ambiental en todas las etapas de la investigación y estamos comprometidos a tomar medidas para reducir y compensar nuestro impacto en el medio ambiente. Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 71 9. Estudio social i de igualdad de género En el desarrollo de nuestro proyecto, hemos sido conscientes de la importancia de abordar aspectos sociales y de género, aunque nuestro enfoque principal no se centra en la desigualdad de género. Es fundamental reconocer que nuestro equipo de trabajo está compuesto exclusivamente por hombres, una realidad que resalta la falta de diversidad en el campo de la física. En relación a nuestro trabajo, hemos elegido la tasa de IPC como un indicador de los países para conocer la situación económica de ellos, por lo tanto, no hay distinción por géneros. En resumen, aunque nuestro proyecto no se centra en la desigualdad de género, reconocemos su importancia y alentamos futuras investigaciones que exploren este tema en profundidad, con el objetivo de contribuir a una comprensión más completa de los efectos de las crisis económicas en diferentes segmentos de la población. Pág. 72 Memoria 10. Conclusiones • Objetivos Cumplidos y Logros Después de completar este trabajo, estamos en posición de afirmar que hemos alcanzado y superado los objetivos que inicialmente establecimos al inicio de nuestra investigación. El objetivo general de nuestro estudio era desarrollar un modelo para parametrizar las crisis económicas, y estamos satisfechos de anunciar que hemos logrado un éxito significativo en este sentido. Además de nuestro objetivo general, hemos alcanzado con éxito los objetivos particulares que trazamos: 1. Encontrar una relación adecuada entre las crisis económicas y un sistema físico-matemático: Gracias a muchas informaciones por internet y la investigación inicial, hemos logrado establecer una conexión sólida entre las crisis económicas y un sistema físico específico, en este caso, un sistema elástico con fricción viscosa. 2. Crear una ecuación física para poder utilizar en nuestro modelo: Al estudiar el sistema físico mencionado, hemos derivado ecuaciones físicas relevantes que hemos implementado en nuestro modelo. 3. Observar las similitudes entre la ecuación generada y los datos reales de la economía: Con la ayuda de MATLAB, nos ha permitido observar las graficas de IPC de muchos países y comparar las similitudes entre ellos. 4. Relacionar los parámetros de la ecuación generada con la economía: Hemos tenido éxito en la tarea de relacionar los parámetros de las ecuaciones utilizadas en nuestro modelo con aspectos económicos específicos, lo que ha enriquecido nuestra comprensión de cómo los sistemas físicos pueden influir en la economía 5. Crear un modelo físico-matemático especialmente para los datos reales de la economía: Aná lisis de sistemas econó micos fuera de equilibrio mediante modelos físico-matemá ticos Pá g. 73 Nuestro modelo ha demostrado ser eficaz y coherente a lo largo de nuestra investigación, lo que confirma su utilidad para el análisis de crisis económicas. 6. Construir un programa en MATLAB para el ajuste de los parámetros de nuestro modelo físico-matemático: Hemos diseñado y construido con éxito un programa en MATLAB para implementar y ajustar nuestro modelo, lo que facilita su aplicación y uso futuro. 7. Encontrar unos periodos adecuados de las crisis económicas para poder aplicar el modelo físico-matemático generado: Hemos identificado y documentado las correlaciones entre las crisis económicas y la aparición de picos en las tasas de IPC, lo que ha fortalecido nuestra comprensión de los indicadores económicos. 8. Presentar las diferentes crisis en los países: También hemos puesto las presentaciones necesarias para poder entender las casusas y los factores sobre una crisis económica en un país. 9. Obtener los resultados de los parámetros bien ajustados con la ayuda del programa MATLAB: Con la ayuda de MATLAB, hemos podido obtener los resultados bastante satisfactorios de los parámetros que queríamos desde principio y poder comparar entre ellos. 10. Vincular los parámetros ajustados con los datos reales de la economía Para cada crisis económica, hemos logrado comparar los parámetros bien ajustados con sus factores económicos y poner algunos ejemplos significativos para poder comprender mejor el caso. 11. Poder sacar alguna conclusión significativa para nuestro modelo. Finalmente, hemos logrado conseguir comparar los parámetros bien ajustado sacados por los datos reales de OECD con el modelo físico-matemático que queríamos aplicar, es decir, hemos vinculado bien la teoría física-matemática con nuestra idea de la economía.