Grups de matrius

Títol: Grups de matrius Autor: Pau Pijuan Casanova Director: Pere Pascual Gainza Departament: Departament de matemàtica aplicada I Convocatòria: 2013/2014 : Grau en Matemàtiques Universitat Polit`ecnica de Catalunya Facultat de Matem`atiques i Estad´ıstica Projecte fi de carrera Grups de matrius Pau Pijuan Casanova Director: Pere Pascual Gainza Departament de Matem`atica Aplicada I Voldria donar les gr`acies a la meva fam´ılia, amics i matem`atics que m’han donat suport fins l’´ultim moment. Resum Paraules clau: Grups de Lie, grups de matrius, espais homogenis MSC2000: 22E30, 22F30 En aquest treball estudiarem els grups de matrius cl`assics com per exemple el grup lineal, el grup ortogonal, el grup unitari o el grup simpl`ectic, amb la finalitat d’estudiar els grups de Lie. Els grups de matrius s´on un exemple de grups de Lie, aix´ı els resultats obtinguts per als grups de matrius seran v`alids per a la teoria de grups de Lie. En el primer cap´ıtol caracteritzarem els grups de matrius segons la seva topologia, compacitat i connexi´o i a m´es definirem la noci´o de grup de Lie. En el segon definirem el qu`e s´on les `algebres de Lie i a m´es estudiarem algunes propietats. Donarem alguns resultats sobre les funcions exponencials i logaritme de matrius i tamb´e introduirem els subgrups uniparam`etrics. Al tercer cap´ıtol analitzarem els espais homogenis associats als grups de matrius, identificant alguns coneguts com l’espai projectiu o les grassmanianes. A m´es donarem un resultat general de la connexi´o dels grups de matrius, el qual compararem amb el deduit en el primer cap´ıtol. Finalment estudiarem els tors maximals i d’aquesta manera podrem classificar els grups de martius a partir dels tors maximals. ´ Index general Cap´ıtol 1. Grups de matrius 2 1. El grup lineal i els seus subgrups 2 2. Topologia 4 3. Compacitat 5 4. Connexi´o 5 5. Els quaternions 8 6. Algunes relacions entre els grups matricials 9 7. Grups de matrius com a grups de Lie 10 Cap´ıtol 2. ` Algebra de Lie 12 1. Espai tangent i `algebres de Lie 12 2. Exponencial i logaritme 16 3. Subgrups uniparam`etrics 18 4. ` Algebra de Lie de SO3(R)i SU2(C) 20 Cap´ıtol 3. Espais homogenis 24 1. Espais homogenis com varietats diferencials 24 2. Espais homogenis com `orbites 26 3. Espais projectius 28 4. Grassmanianes 31 5. Connectivitat dels grups de matrius 32 Cap´ıtol 4. Tors maximals 36 1. Tors 36 2. Tors maximals en grups de matrius compactes 37 3. ` Algebres de Lie dels tors maximals 40 Bibliografia 41 ii 4. CONNEXI ´ O 7 Per tant ´es ortonormal. ut Teorema 4.4.El conjunt GL+ n(R)´es arc-connex connex. Demostraci´ o. Per demostrar utilitzarem la descomposici´o polar. Cada matriu A∈GLn(R) pot ser expressada de la forma A=PR on P´es una matriu sim`etrica definida positiva i R∈On(R). Si A∈GLn(R)+llavors At´e una descomposici´o polar, on ara Rt´e determinant positiu, ´es a dir, R∈SOn(R). Sigui Pt=tId + (1 −t)P per a t ∈[0,1]. ´ Es obvi que la Pt´es sim`etrica, ja que IiPho s´on, ara ens falta veure que ´es definida positiva. vTPtv=vT(tI + (1 −t)P)v=t·vTIv + (1 −t)·vTPv Com la Id iPs´on definides positives i t ∈[0,1], llavors Pttamb´e ho ´es. Per tant el cam´ı t7→ PtR´es una corba cont´ınua que uneix Aamb R. Com SOn(R) ´es arc-connex, existeix un cam´ı continu entre Ri la Id. Aix´ı veiem que GLn(R)+´es arc-connex. ut OBSERVACI´ O. Amb el mateix raonament veiem que GL− n(R) tamb´e ´es arc-connex, i podem deduir que GLn(R) t´e dos components connexes, GLn(R) = GL− n(R)∪ GL+ n(R). Teorema 4.5.El conjunt On(R)no ´es connex. Demostraci´ o. Utilitzarem l’aplicaci´o cont´ınua del determinant det :On(R)−→ {−1,1} L’espai d’arribada t´e dues components connexes i l’aplicaci´o ´es cont´ınua, aix`o implica que On(R) tamb´e t´e dos components connexes. ut Proposici´ o4.6.El grup unitari, SLn(R)´es connex. Demostraci´ o. Si utilitzem un altre cop l’aplicaci´o determinant, veiem que det : SL(R)−→ 1. Per tant com 1 ´es connex, SLn(R) tamb´e. ut Teorema 4.7.El conjunt SUn(C)´es arc-connex. Demostraci´ o. ´ Es similar a la de SOn(R). Tornarem a provar-ho per inducci´o de n, per`o el cas n= 2 ´es un mica m´es complicat. Utilitzarem la funci´o exponencial complexa eix, la qual ´es igual a cos x +isin x. Donada α−β ¯ β¯αde SU2(C), observem que (α, β) ´es un vector unitari de C2, aleshores α=ucosθ iβ=vsinθ per alguns u, v amb norma 1. Aix`o significa que u=eiφ iv=eiψ per alguns φ, ψ ∈R. 5. ELS QUATERNIONS 8 Aix´ı α(t) = eiφtcosθt, β(t) = eiψtsinθt, para 0 ≤t≤1, el qual ens d´ona un cam´ı continu α(t)−β(t) ¯ β(t) ¯α(t)des de Id iα−β ¯ β¯αaSU2(C). Per tant SU2(C) ´es arc-connex. ut Teorema 4.8.El conjunt Un(C)´es connex. Demostraci´ o. Podem escriure Un(C) = U1(C) x SUn(C), que ´es el producte de dos espais connexos. ut Teorema 4.9.El conjunt GLn(C)´es connex. Demostraci´ o. Tornarem a utilitzar la funci´o determinant, ara l’espai d’arribada seran els complexos det :GLn(C)−→ C−{0} En aquest cas l’espai d’arriba ´es connex, per tant GLn(C) tamb´e. ut Proposici´ o4.10.SLn(C)´es connex. Demostraci´ o. ´ Es connex ja que SLn(C) = det−1(1). ut 5. Els quaternions Els quaternions s´on una extensi´o dels nombres reals generada de manera similar als complexos, afegint les unitats imaginaries i, j, k de manera que i2=j2=k2=ijk =−1. Un quaterni´o pot expressar-se com el conjunt H={a+bi +cj +dk :a, b, c, d ∈R} ⊆ R4, el conjugat del quaterni´o ´es de la forma a−bi −cj −dk. Equivalentment podem expressar el conjunt Hcom H={(a+bi)+(c+di)j:a+bi, c +di ∈C} ⊆ C2. H=(z w −¯w¯z:z, w ∈C) Si ho observem com a bases de Rtenim les matrius seg¨uents 6. ALGUNES RELACIONS ENTRE ELS GRUPS MATRICIALS 9 1=I, i=i0 0−i,j=0 1 −1 0,k=0i −i0 Definici´ o5.1.El grup simpl`ectic ´es Spn(H) = {A∈GLn(H):A∗A=I} on A* ´es la conjugada de la transposta, ´es a dir, si els elements de A s´on de la forma [aij], aleshores [aij]∗= [¯aji]. Proposici´ o5.2.Spn(H)´es tancat, compacte i connex. Demostraci´ o. Sigui l’aplicaci´o f:GLn(H)→Mn(H) A7→ f(A) = A∗A Com f´es cont´ınua i Spn(H) = f−1(Id), aleshores ´es un tancat. Aleshores, per veure que ´es compacte tenim que , com H∼ =R4, podem aplicar el teorema de Heine-Borel, tan sols hem de veure que ´es fitat. Com Sp(n) = {A∈ GLn(H):A∗A=I}, aleshores els vectors d’A han de tenir norma 1, per tant ´es fitat i per Heine-Borel ´es compacte. En quan a la connexi´o, farem una indiciaci´o. Haur´ıem d’haver introdu¨ıt el grup simpl`ectic especial (SSpn(H)), i amb ell el determinant d’una matriu de quaternions, els quals no s´on commutatius. La demostraci´o ´es similar a la del grup unitari, Spn(H) = Sp1(H)×SSpn(H) ut Grup Obert/Tancat Compacte Connex GLn(R) Obert No No SLn(R) Tancat Si Si On(R) Tancat Si No SOn(R) Tancat Si Si GLn(C) Obert No Si SLn(C) Tancat Si Si Un(C) Tancat Si Si SUn(C) Tancat Si Si Spn(H) Tancat Si Si 6. Algunes relacions entre els grups matricials •SO2(R)∼ =U1(C) 7. GRUPS DE MATRIUS COM A GRUPS DE LIE 10 U(1) s´on els complexos amb norma 1, ´es a dir la circumfer`encia S1, per tant podem expressar el complex amb un angle, eiθ. Les matrius SO(2) s´on rotancions directes, s´on de la forma cosθ −sinθ sinθ cosθ  el isomorfisme ´es f:U1(C)→SO2(R) eiθ 7→ cosθ −sinθ sinθ cosθ  •Sp1(H)∼ =SU2(C) Hem vist que podem escriure un quaterni´o z+wj amb z, w ∈Ccom una matrius M2(C) complexa A=z w −¯w¯z. A aquesta matriu compleix que A∗A=Id. Per tant l’aplicaci´o f:Sp1(H)→SU2(C) z+wj 7→ z w −¯w¯z que es comprova f`acilment que ´es un isomorfisme. 7. Grups de matrius com a grups de Lie Els grups de matrius s´on exemples d’un concepte m´es general, el de grup de Lie. Definici´ o7.1.Sigui G una varietat diferenciable la qual esdev´e un grup topol`ogic amb la funci´o multiplicaci´o mult :G×G−→ Gi la funci´o inversa inv :G−→ G. Aleshores G ´es un grup de Lie si les funcions anteriors s´on C∞. Definici´ o7.2.Sigui G un grup e Lie. Un subgrup tancat H≤Gque ´es subvarietat s’anomena subgrup de Lie de G. Per a un grup de Lie G, sigui g∈G. Presentem les seg¨uents accions, les quals utilitzarem m´es endavant. Lg:G−→ G;Lg(x) = gx. Rg:G−→ G;Rg(x) = xg. Xg:G−→ G;Xg(x) = gx−1g. Proposici´ o7.3.Per a g∈Gles funcions Lg, Rg, Xgs´on difeomorfismes amb inverses L−1 g=Lg−1, R−1 g=Rg−1, X−1 g=Xg−1, Demostraci´ o. Les cartes de G×Gs´on de la forma seg¨uent φ1×φ2:U1×U2−→ V1×V2, 7. GRUPS DE MATRIUS COM A GRUPS DE LIE 11 on φk:Uk−→ Vks´on cartes de G. Suposem que µU1×µU2⊆W⊆Gon existeix una carta θ:W−→ Z. La composici´o θ◦µ◦(φ1×φ2)−1=θ◦µ◦(φ−1 1×φ−1 2):V1×V2−→ Z. ´es diferenciable. Aleshores Lg(x) = µ(g, x), per tant, si g∈U1ix∈U2, tenim Lg(x) = θ−1(θ◦Lg◦φ−1 2)◦φ2(x). Ara veiem que θ◦φ−1 2:V2−→ Z ´es diferenciable, ja que s’obt´e de θ◦µ◦(φ1×φ2)−1, agafant la primera variable com constant. Amb arguments similars ho demostrem per Rg. Per demostrar Xg, observem que Xg=Lg◦Rg=Rg◦Lg, i al ser composici´o de dos funcions diferenciables ´es diferenciable. ut Proposici´ o7.4.GLn(R)´es un grup de Lie. Demostraci´ o. Com ´es un obert de Mn(R)∼ =Rn2, ´es una varietat diferenciable. A m´es la multiplicaci´o de matrius i la inversa s´on difeomorfs, per tant GLn(R) ´es un grup de Lie. ut Ara enunciarem el teorema del valor regular, el qual ens permet identificar les subvarietats. Definici´ o7.5.Sigui f:M−→ Nuna funci´o diferenciable entre les dues varietats i sigui c∈N. El punt c es diu que ´es valor regular de la funci´o f si para tot f−1(c)6= 0 idfp´es exhaustiva en tot punt p∈f−1(q). Teorema 7.6.Teorema del valor regular Sigui f:M−→ Namb m≥n, una funci´o diferenciable i c∈Nun valor regular de f. Aleshores f−1(c)⊂M´es una subvarietat de M amb dimnensi´o m-n. Proposici´ o7.7.On(R)i SOn(R)s´on subgrups de Lie. Demostraci´ o. Els dos s´on subvarietats pel teorema del valor regular, s´on grups tancats i l’operaci´o mult iinv s´on cont´ınues ut An`alogament Proposici´ o7.8.Un(C), SUn(C)i Spn(H)s´on grups de Lie. Cap´ıtol 2 ` Algebra de Lie Les varietats diferencials tenen espais tangents, i els espais tangents a grups de Lie tenen una estructura particular, l’`algebra de Lie. 1. Espai tangent i `algebres de Lie Sigui Gun grup matricial Definici´ o1.1.Una corba diferenciable G ´es una funci´o γ:(a, b)→G⊆Mn(K) per la qual, la derivada γ0(t)existeix per a cada t∈(a, b). Definici´ o1.2.El espai tangent a G en U∈G´es TUG={γ0(0) ∈Mn(K):γ una corba diferenciable a G amb γ(0) = U}. Proposici´ o1.3.TUG´es un subespai vectorial real de Kn. Demostraci´ o. Suposem que α, β s´on corbes diferenciables a G, les quals α(0) = β(0) = U. Aleshores γ:dom α \dom β →G;γ(t) = α(t)U−1β(t), tamb´e ´es una corba diferenciable en G amb γ(0) = U. La regla del producte ara ens d´ona γ0(t) = α0(t)U−1β(t) + α(t)U−1β0(t) llavors γ0(0) = α0(0)U−1β(0) + α(0)U−1β0(0) = α0(0) + β0(0) aix`o ens mostra que TU´es tancat amb l’operaci´o de la suma. 12 1. ESPAI TANGENT I ` ALGEBRES DE LIE 13 Similarment, si r∈Riα´es una corba diferenciable a G amb γ(0) = U, aleshores η(t) = α(rt) defineix una altra corba. A m´es η0(0) = rα0(0) aix´ı veiem que TUG´es tancat amb l’operaci´o de la multiplicaci´o. ut Definici´ o1.4.La dimensi´o d’un grup matricial G ´es dim G =dimRTIG Si G ´es complex, aleshores la dimensi´o complexa ´es dimCG=dimCTIG Utilitzarem la notaci´o g=TIGper al subespai vectorial real de Mn(K). En efecte gt´e una estructura algebraica interessant, l’anomenarem `algebra de Lie. Definici´ o1.5.Una K-`algebra de Lie consisteix en un espai vectorial asobre el cos K, dotat amb una funci´o K-bilinial [,]:a×a→atal que si x, y, z ∈a, [x, y] = −[x, y] [x, [y, z]] + [y, [x, z]] + [z, [x, y]] = 0. Aqu´ı la K-bilinialitat es definex tal que per tot x1x2, y1, y2, x, y ∈air1, r2, s1, s2∈ K [r1x1+r2x2, y] = r1[x1, y] + r2[x2, y] [x, s1y1+s2y2] = s1[x, y2] + s2[x, y2] on [,] s’anomena el claud`ator de Lie de l’`algebra de Lie a. Un exemple ´es el producte vectorial a R3, que com veurem m´es endavant ´es l’`algebra ed Lie de SO3(R) i tamb´e de SU2(C). EXEMPLE. gln(K) Donades dues matrius A, B ∈Mn(K) el commutador ´es [A, B] = AB −BA. Aquesta ´es una funci´o K-bilinial Mn(K)×Mn(K)→Mn(K) satisfent les condicions de la definici´o anterior. En el cas que A i B commutin, l’operador del commutador ´es igual a 0n, la matriu de zeros n×n. gln(K)=(GLn(K),[,]) ´es una `algebra de Lie. La noci´o de sub`algebra de Lie ´es immediata, ´es un subgrup que t´e estructura d’`algebra de Lie. Teorema 1.6.Per a K=RoK=C, si G≤GLn(K)´es un subgrup de matrius, llavors g´es una R-sub`algebra de Lie de Mn(K). 1. ESPAI TANGENT I ` ALGEBRES DE LIE 14 Demostraci´ o. Mostrarem que per a dues corbes diferenciables α, β de G, amb α(0) = β(0) = In, hi ha una corba γamb γ0(0) = [α0(0), β0(0)].Considerem la funci´o F:dom α ×dom β →G;F(s, t) = α(s)β(t)α(s)−1 Aquesta ´es cont´ınua i diferenciable respecte les variables s,t. Per a cada s∈dom α, F(s,) ´es una corba diferenciablea G amb F(s,0) = Idn. Derivant obtenim dF(s, t) dt |t=0 =α(s)β0(0)α(s)−1 i llavors α(s)β0(0)α(s)−1∈g Com que g´es un subespai tancat de Mn(K), sempre i quan el l´ımit existeixi obtenim que lim s→0 1 s(α(s)β0(0)α(s)−1−β(0)) ∈g Usarem la seg¨uent f´ormula coneguda per a derivar la inversa: d dt(α(t)−1) = −α(t)−1α0(t)α(t)−1 tenim lim s→0 1 s(α(s)β0(0)α(s)−1−β(0)) = d ds|s=0 α(s)β0(0)α(s)−1 =α0(0)β0(0)α(0)−1−α(0)β0(0)α(0)−1α0(0)α(0)−1 =α0(0)β0(0) −β0(0)α0(0) = [α0(0), β0(0)] Aix´ı demostrem que [α0(0), β0(0)] ∈g.ut Per tant, per a cada grup de matrius G, existeix una `algebra de Lie g=TIG. Un tipus adequat d’homomorfisme G→Hentre grups de matrius d´ona lloc a una transformaci´o lineal g→hrespectant l’estructura d’`algebra de Lie. Definici´ o1.7.Siguin G≤GLn(K), H ≤GLm(K)grups de matrius i φ:G→H una funci´o cont´ınua. Aleshores φes diu una funci´o diferenciable si per a qualsevol 1. ESPAI TANGENT I ` ALGEBRES DE LIE 15 corba diferenciable γ:(a, b)→G, la corba composada φ◦γ:(a, b)→H´es diferenciable, amb derivada (φ◦γ)0(t) = d dtφ(γ(t)) i sempre que dues corbes C∞α, β :(a, b)→Gles dues satisfan les condicions α(0) = β(0), α0(0) = β0(0), llavors (φ◦α)0(0) = (φ◦β)0(0). Sigui φ:G→Hun homomorfisme diferenciable i φ(Id) = Id,dφId :TIdG→TIdH una transformaci´o linial anomenada derivat de φla qual denotarem com dφ:g→h. Definici´ o1.8.Siguin g,h`algebres de Lie sobre el cos K. Una transformaci´o Klinial φ:g→h´es un homomorfisme d’`algebres de Lie si φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)] (x, y ∈g) Teorema 1.9.Siguin G, H grups de matrius i ψ:G→Hun homomorfisme diferenciable. Aleshores el derivat dψ:g→h´es un homomorfisme d’`algebres de Lie. Demostraci´ o. Per demostrar-ho es segueixen les idees del teorema 1.6, per a corbes diferenciables α, β en G amb α(0) = β(0) = Id. Podem usar la composici´o de funcions ψ◦Fdonada per ψ◦F(s, t) = ψ(F(s, t)) = ψ(α(s))ψ(β(t))ψ(α(s))−1 per deduir dψ([α0(0), β0(0)]) = [dψ(α0(0)), dψ(β0(0))] ut OBSERVACI´ O. Si G−→ H´es isomorfisme, aleshores g−→ h´es isomorfisme, en particular, dim g=dim h. 2. EXPONENCIAL I LOGARITME 16 2. Exponencial i logaritme Sigui A∈Mn(K), definim les seg¨uents s`eries matricials Exp(A) = X n≥0 1 n!An=I+A+1 2!A2+1 3!A3+... Log(A) = X n≥1 (−1)n−1 nAn=A−1 2A2+1 3A3−1 4A4+... Aquestes s`eries convergeixen sempre i que ||A|| sigui menor que el radi de converg`encia, en aquest cas ∞i 1, respectivament. Proposici´ o2.1.Sigui A∈Mn(K). a) Per u.v ∈C, Exp((u+v)A) = Exp(uA)Exp(vA) b) Exp(A)∈GLn(K)and Exp(A)−1=Exp(−A) Demostraci´ o. a) Utilitzant la s`erie de potencies obtenim: Exp((u+v)A) = X n≥0 1 n!(u+v)nAn =X n≥0 (u+v)n n!An Manipulant podem arribar a comprovar que la s`erie ´es absolutament convergent, Exp(uA)Exp(vA) =  X r≥0 ur r!Ar  X s≥0 vs s!As  =X r,s≥0 urvs r!s!Ar+s =X n≥0  n X r=0 urvn−r r!(n−r)! An =X n≥0 1 n!  n X r=0 n rurvn−r An =X n≥0 (u+v)n n!An =Exp((u+v)A). 4. ` ALGEBRA DE LIE DE SO3(R)i SU2(C) 23 Per exemple quan B=H, [H, H]=0,[H, E] = F, [H, F] = −E, per tant la matriu Hactua sobre SU2(C) que amb base H, E, F ´es   0 0 0 0 0 −1 0 1 0  =R. Similarment, [E, H] = −F, [E, E] = 0,[E, F] = −H, ens d´ona lloc a la matriu   0 0 1 0 0 0 −100 =Q. i [F, H] = E, [F, E] = −H, [F, F ] = 0, ens d´ona lloc a   0−1 0 100 000 =P. Per tant, la derivada correspon a la funci´o dAd :su2(C)−→ so3(R); dAd(xH +yE +zF) = xR +yQ +zP. Encara que hi hagi canvi d’ordre, continua sent un isomorfisme. Cap´ıtol 3 Espais homogenis Introduirem els espais homogenis a partir dels grups de Lie i veurem alguns exemples, concretament, els espais projectius i les grasmanianes. A m´es tamb´e veurem un resultat general sobre la connectivitat dels grups de matrius, i el relacionarem amb l’apartat tractat al primer cap´ıtol. 1. Espais homogenis com varietats diferencials Sigui Gun grup de Lie de dimensi´o niH≤Gun subgrup tancat, el qual ´es un subgrup de Lie de dimensi´o k. El conjunt de les classes per l’esquerra G/H ={gH :g∈G} t´e una funci´o quocient associada π:G−→ G/H;π(g) = gH. Aleshores G/H t´e la topologia quocient: un subconjunt W⊆G/H ´es obert si i nom´es si π−1W⊆G´es obert. Lema 1.1. La projecci´o π:G−→ G/H ´es una funci´o oberta i G/H ´es un espai topol`ogic separable i Hausdorff. Demostraci´ o. Per a U⊆G π−1(πU) = [ h∈H Uh, on Uh ={uh ∈G:u∈U} ⊆ G. 24 1. ESPAIS HOMOGENIS COM VARIETATS DIFERENCIALS 25 Si U⊆G´es obert, aleshores cada Uh (h∈H) ´es obert, aix`o implica πU ⊆G tamb´e ´es obert. G/H ´es seprable ja que una base contable de G´es projectada a una col · lecci´o contable de subconjunts oberts de G/H que tamb´e s´on bases. Per veure que G/H ´es Hausdorff, considerarem la funci´o cont´ınua θ:G×G:−→ G;θ(x, y) = x−1y. Llavors θ−1H={(x, y)∈G×G:xH =yH} aquest ´es un subconjunt tancat ja que H⊆G´es tancat. Aix´ı {(x, y)∈G×G:xH 6=yH} ⊆ G×G ´es obert. Per definici´o de la topologia producte, sempre i que x, y ∈Gamb xH 6= yH, hi ha subconjunts oberts U, V ⊆Gamb x∈U, y ∈V, U 6=ViπU ∩πV =∅. I com πU, πV ⊆G/H s´on oberts, demostra que G/H ´es Hausdorff. ut Recordem la propietat universal de la topologia quocient Proposici´ o1.2.Per un espai topol`ogic X, una funci´o f:G/H −→ X´es cont´ınua si i nom´es si f◦π:G−→ X´es cont´ınua. Ara, donarem una estructura a G/H de varietat diferencial per tal de qu`e π: G−→ G/H sigui diferenciable. El seg¨uent teorema el considerarem cert i no el demostrarem. Teorema 1.3.G/H t´e estructura de varietat diferencial de dimensi´o dim G/H =dim G −dim H per tant la projecci´o π:G−→ G/H ´es diferenciable i en cada g∈G, ker(dπ :TgG−→ TgH G/H) = dLgh Hi ha una fam´ılia de cartes per a G/H que consisteix en funcions de la forma θ:W−→ θW ⊆Rn−kper ak qual hi ha un difeomorfisme Θ :W×H−→ π−1W que satisf`a les condicions seg¨uents Θ(w, h1, h2) = Θ(w, h1)h2, π(Θ(w, h)) = w(w∈W, h1, h2, h ∈H) 2. ESPAIS HOMOGENIS COM ` ORBITES 26 W×HΘ// proj1## π−1W π {{ W Per a cada carta, la funci´o Θ es diu que ens proporciona una trivilitzaci´o local de πsobre W. Si enlloc d’una carta tenim una familia de cartes, aleshores (θ:W−→ θW, Θ) ens proporciona una trivialitzaci´o local de π. Aix`o ens connecta amb la noci´o dels H-fibrats principals. Una fam´ılia de cartes per Gla podem obtenir agafant cada par (θ:W−→ θW, Θ) de la fam´ılia de cartes i combinant amb la carta ψ:U−→ ψU ⊆Rk. D’aquesta manera obtenim el mapa seg¨uent (θ×ψ)◦Θ−1:Θ(W×U)−→ θW ×ψU ⊆Rn−k×Rk=Rn Una varietat G/H s’anomena espai homogeni, per tant cada acci´o per l’esquerra d´ona lloc a un difeomorfisme ˆ Lg:G/H −→ G/H;ˆ Lg(xH) = gxH, Per al qual π◦Lg=ˆ Lg◦π GLg// π  G π  G/H ˆ Lg//G/H Cada punt gH t´e un entorn difeomorf, per tant localment G/H ´es invariant. 2. Espais homogenis com `orbites En la teoria de grups ordin`aria les accions de grup tenen `orbites equivalent als conjunts de les classes lateral G/H, per tant els espais homogenis tamb´e tenen `orbites associades a accions de grup diferenciables de G en varietats. Teorema 2.1.Suposem que un grup de Lie G actua sobre una varietat M. Si l’element x∈Mt´e estabilitzador StabG(x)≤Gi `orbita OrbG(x)⊆M´es una subvarietat tancada, aleshores la funci´o f:G/StabG(x)−→ OrbG(x); f(gStabG(x)) = gx ´es un difeomorfisme 2. ESPAIS HOMOGENIS COM ` ORBITES 27 EXEMPLE. Per a n≥1, On(R) actua diferenciablement sobre Rnper la multiplicaci´o de matrius. Per a un vector v∈Rn, la `orbita OrbOn(R)(v)⊆Rn´es difeomorf aOn(R)/On−1(R). Com la OrbOn(R)=Sn−1 On(R)/On−1(R)∼ =Sn−1. Demostraci´ o. Observem que v ´es un vector de la base ordin`aria en, per a A∈ On(R), Aen=ensi i nom´es si en´es la ´ultima columna de A, mentre tota la resta de les columnes de A s´on ortogonals a en. Per tant les columnes de A han de ser un conjunt de vector ortonormals, aix`o significa que les primeres n-1 columnes de A s´on de la forma         a1k a2k . . . an−1k 0         on la matriu       a11 a12 ··· a1n−1 a21 a22 ··· a2n−1 . . .. . ..... . . an−11 an−12 ··· an−1n−1       ´es ortogonal i aix´ı pertany a On−1(R). Identifiquem On−1(R) amb el subconjunt de On(R) que consisteix en les matrius de la forma         a11 a12 ··· a1n−10 a21 a22 ··· a2n−10 . . .. . ..... . .. . . an−11 an−12 ··· an−1n−10 0 0 ··· 0 1         amb StabOn(R)(en) = On−1(R). La `orbita de en´es tota la esfera Sn−1⊆Rn, per tant, donat un vector ~u el podem extendre a una base ortonormal ~u1, ..., ~un−1, ~un= ~u, els vectors formen les columnes d’una matriu ortogonal U∈On(R) per al qual Uen=~u. Aix´ı tenim un difeomorfisme On(R)/StabOn(R)(en) = On(R)/On−1(R)−→ OrbOn(R)(en) = Sn−1. Per a un vector diferent de zero ~v notem que StabOn(R)(~v) = StabOn(R)(ˆv) on ˆv= (1/|~v|)~v i 3. ESPAIS PROJECTIUS 28 OrbOn(R)(~v) = Sn−1(|~v|), la esfera de radi |~v|. Si ara triem algun P∈On(R) amb ˆv=P entenim StabOn(R)(~v) = PStabOn(R)(en)P−1 i per tant tenim un difeomorfisme OrbOn(R)(~v)−→ On(R)/POn−1(R)P−1−→ On(R)/On−1(R) ut Per al grup ortogonal especial tenim un resultat similar. Per als complexos obtenim els espais homogenis Un(C)/Un−1(C)i SUn(C)/SUn−1(C), aquestes `orbites s´on difeomorfes a S2n−1. En el cas del quaternions tenim que les orbites s´on difeomorfes aSpn(H)/Spn−1(H) i S4n−1. 3. Espais projectius Sigui K=R,C,Hid=dimRK. Considerem Kn+1 com un K-espai vectorial. Aleshores hi ha una acci´o del grup de les unitats Kxsobre el subconjunt de vectors diferents de zero Kn+1 0=Kn+1 −{0}. zx =xz−1 El conjunt de les `orbites el denotarem per KPni s’anomena el K-espai projectiu n-dimensional. Un element de l’espai escrit [x] ´es un conjunt de la forma [x] = {xz−1:z∈Kx} ⊆ Kn+1 0 Notem que [x] = [y] si i nom´es si existeix un z∈Kxtal que y=xz−1. Hi ha una funci´o quocient qn:Kn+1 0−→ KPn;qn(x)=[x], a la qual li assignem la topologia quocient que ´es Hausdorff i separable. Proposici´ o3.1.KPn´es una varietat diferencial de dimensi´o dim KPn=n dimRK. A m´es la funci´o quocient qn:Kn+1 0−→ KPn´es diferenciable amb derivada exhaustiva a cada punt de Kn+1 0. 3. ESPAIS PROJECTIUS 29 Demostraci´ o. Per a r = 1,2,...,n i per als conjunts KPn r={[x]:xr6= 0}, normalment escrivim x= [x1, x2, ...Xn+1]t. Aleshores KPn r⊆KPn´es un obert. Hi ha una funci´o σr:KPn r−→ Kn;σr([x]) =              x1x−1 r x2x−1 r . . . xr−1x−1 r xr+1x−1 r . . . xn+1x−1 r              la qual ´es una bijecci´o cont´ınua i ´es homeomorfisme. Sempre i que r6=sla funci´o induida σ−1 s◦σr:σ−1 rKPn r∩KPn s−→ σ−1 sKPn r∩KPn s ve donada per σ−1 s◦σr(x) =              y1 y2 . . . ys−1 yy+1 . . . yn+1              on yj=(xjx−1 ssi j6=r, s x−1 ssi j=r Aquestes n+ 1 cartes formen una fam´ılia de cartes per un K-espai projectiu de dimensi´o n. ut Una altra alternativa de definir KPn´es considerant l’acci´o del subgrup Kx 1={z∈Kx:|z|= 1} ≤ Kx sobre la esfera unitat S(n+1)d−1⊆Kn+1 0.Veiem que cada element [x]∈KPncont´e elements de Sn. A m´es si x, y ∈Kn+1 0tenen norma |x|=|y|= 1, aleshores [x] = [y] si i nom´es si y=xz−1per algun z∈Kx 1. Aix`o significa que podem veure KPn 3. ESPAIS PROJECTIUS 30 com l’espai de les `orbites de l’acci´o Kx 1sobre S(n+1)d−1, i tamb´e podem escriure la funci´o quocient qn:S(n+1)d−1−→ Kx 1; aquesta funci´o tamb´e ´es diferenciable. Proposici´ o3.2.L’espai quocient donat per qn:S(n+1)d−1−→ Kx 1´es compacte i Hausdorff. Demostraci´ o. La imatge d’un espai compacte per una funci´o cont´ınua ´es compacte. Sigui µ∈Kx 1, com S(n+1)d−1´es normal i q−1 n(µ) ´es tancat dedu¨ım que ´es Hausdorff. ut Considerem la acci´o de On+1(R) sobre la esfera unitat Sn⊆Rn+1. Llavors per a A∈On+1(R), z =±1 i x∈Sn, tenim A(xz−1)=(Ax)z−1. Per tant hi ha una acci´o indu¨ıda de On+1(R) sobre RPndonada per A·[x]=[Ax] Aquesta acci´o ´es transitiva i tamb´e les matrius ±Idn+1 que fixen cada punt de RPn. Tamb´e hi ha una acci´o de SOn+1(R) sobre RPn. observem que −Idn+1 ∈ SOn+1(R) si i nom´es si n ´es senar. Similarment, Un+1(C) i SUn+1(C) actuen sobre CPnamb matrius escalars wIdn+1 (w∈ Cx 1) fixant cada element. Veiem que si wIdn+1 ∈SUn+1(C) llavors wn+1 = 1, per tant hi ha n+1 valors com a molt. Finalment, Spn+1(H) actua sobre HPni les matrius ±Idn+1 fixen tots els punts. Hi ha alguns grups de Lie quocient associats a aquestes accions, l’unitari projectiu, l’especial unitari, i el simpl`ectic quaternionic. PUn+1(C) = Un+1(C)/{wIdn+1 :w∈Cx 1}, PSUn+1(C) = SUn+1(C)/{wIdn+1 :wn+1 = 1}, PSpn+1(H) = Spn+1(H)/{±Idn+1}, Els espais projectius s´on espais homogenis tamb´e Proposici´ o3.3.Els seg¨uents espais s´on difeomorfs •RPni On+1(R)/On(R)×O1(R); •CPni Un+1(C)/Un(C)×U1(R). 4. GRASSMANIANES 31 4. Grassmanianes Una fam´ılia important dels espais homogenis s´on les grassmanianes, que s´on generalitzacions dens espais projectius. Sigui Ok(R)×On−k(R)≤On(R) un subgrup tancat amb elements de la forma A0k,n−k 0n−k,k B(A∈Ok(R), B ∈On−k(R)) Similarment hi ha subgrups tancats Uk(C)×Un−k(C)≤Un(C) i Spk(H)×Spn−k(H)≤ Spn(H) amb elements de la forma Uk(C)×Un−k(C):A0k,n−k 0n−k,k B(A∈Uk(C), B ∈Un−k(C)) Spk(H)×Spn−k(H):A0k,n−k 0n−k,k B(A∈Spk(H), B ∈Spn−k(H)) Els espais homogenis associats s´on les grassmanianes Grk,n(R) = On(R)/Ok(R)×On−k(R); Grk,n(C) = Un(C)/Uk(C)×Un−k(C); Grk,n(H) = Spn(H)/Spk(H)×Spn−k(H). Proposici´ o4.1.Per a K=R,C,H, la grassmaniana Grk,n(K)es pot veure com el conjunt de tots els K-subespais vectorials de dimensi´o k a Kn. Demostraci´ o. Farem el cas dels R, els altres dos s´on similars. Sigui W∈On(R), el subespai generat per les k primeres columnes de W el denotarem com hw1, ..., wki. Com les columnes s´on ortonormals, aquestes s´on independents i per tant dimRhw1, ..., wki=k. Veiem que les n-k columnes restants ens donen lloc a un altre subespai hwk+1, ..., wniamb dimensi´o dimRhwk+1, ..., wni= n−k. Efectivament aquests dos subespais s´on ortogonals hwk+1, ..., wni=hw1, ..., wki⊥ ={x∈Rn:x·wr= 0, r = 1, ..., k}, hw1, ..., wki=hwk+1, ..., wni⊥ ={x∈Rn:x·wr= 0, r =k+ 1, ..., n}. Per una matriu A0k,n−k 0n−k,k B∈Ok(R)×On−k(R) les columnes en el producte 5. CONNECTIVITAT DELS GRUPS DE MATRIUS 32 W0=WA0k,n−k 0n−k,k B generen subespais w0 1, ..., w0 kiDw0 k+1, ..., w0 nE. Per`o observem que w0 1, ..., w0 ks´on ortonormals i tamb´e combinacions linials de w1, ..., wk. El mateix passa amb w0 k+1, ..., w0 nque s´on combinaci´o linial de w0 k+1, ..., w0 n. Per tant generen el mateix subespai w0 1, ..., w0 k=hw1, ..., wki,w0 k+1, ..., w0 n=hwk+1, ..., wni. Tenim una funci´o ben definida On(R)/Ok(R)×On−k(R)−→ subespai vectorial de dimensi´o k a Rn el qual envia la classe lateral de W al subespai hw1, ..., wki. Amb aquesta funci´o tenim una bijecci´o. Veiem que hi ha una altra bijecci´o On(R)/Ok(R)×On−k(R)−→ subespai vectorial de dimensi´o n-k a Rn el qual envia la classe lateral de W al subespai hwk+1, ..., wni. Aix`o correspon al difeomorfisme Grk,n(R)−→ Grn−k,n(R) el qual correspon al isomorfisme Ok(R)× On−k(R)−→ On−k(R)×Ok(R) indu¨ıt per conjugaci´o per un element P∈On(R) adequat. ut 5. Connectivitat dels grups de matrius Proposici´ o5.1.Sigui G un grup de Lie i H≤Gun subgrup tancat. Si G/H i H s´on connexos, aleshores tamb´e ho ´es G. DEMOSTRACI´ O. Primer remarquem que per a qualsevol g∈G, la funci´o de translaci´o per l’esquerra Lg:H−→ gH proporciona un homeomorfisme entre els espais, per tant gH ´es connex ja que H ho ´es. Ara suposem que G no ´es connex, i siguin U, V ⊆Gdos subconjunts oberts i no buits tals que U∩V=∅iU∪V=G. Pel lemma 1.1 la projecci´o π:G−→ G/H ´es una funci´o oberta i exhaustiva, per tant πU, πV ⊆G/H s´on subconjunts oberts per als quals πU ∪πV =G/H. Com G/H ´es connex, existeix un element gH que pertany a πU ∩πV . A Gtenim gH = (gH ∩U)∪(gH ∩V), on (gH ∩U),(gH ∩V)⊆gH s´on oberts en el subespai topol`ogic gH ja que U, V s´on oberts de G. Per conectivitatde gH, aix`o nom´es pot passar si gH ∩U=∅o 2. TORS MAXIMALS EN GRUPS DE MATRIUS COMPACTES 39 Teorema 2.4.Si g∈G, existeix un x∈Gtal que g∈xTx−1, en altres paraules, g ´es conjugat d’un element de T. Equivalentment G=[ x∈G xTx−1. Demostraci´ o. Conseq¨u`encia directa del teorema anterior. ut Teorema 2.5.En cada un dels seg¨uents grups de matrius, cada element ´es conjugat a un de la seg¨uent forma •SO2n(R):R0 2n(t1, ..., tn)∀k θk∈[0,2π); •SO2n+1(R):R0 2n+1(t1, ..., tn)∀k θk∈[0,2π); •Un(C):diag(z1, ..., zn):∀k zk∈C,|zk|= 1; •SUn(C):diag(z1, ..., zn):∀k zk∈C,|zk|= 1, z1+... +zn= 1; •Spn(H):diag(z1, ..., zn):∀k zk∈C,|zk|= 1; OBSERVACI´ O. Aquest resultat val per als grups de matrius. Proposici´ o2.6.Cada tor T t´e un generador. Demostraci´ o. Podem assumir que T=Rr/Zri escriurem els elements de la fora [x1, ..., xr] = (x1, ..., xr) + Zr. Sigui U1, U2, U3, ... una base contable per a la topologia de T. Un cub d’aresta aT´es un subconjunt de la forma C([u1, ..., ur], ) = {[x1, ..., xr]∈T:|xk−uk|< /2∀k}, per algun [u1, ..., ur]∈T. Com un cub ´es la imatge d’un cub a Rramb l’aplicaci´o quocient Rr−→ T. Sigui C0⊆Tun cub d’aresta  > 0. Suposem que tenim una seq¨u`encia decreixent de cubs Ckde costat k, C0⊇C1⊇ ··· ⊇ Cm, on per a cada 0 ≤k≤m, existeix un enter Nksatisfent Nkk>1 i NkCk⊆Uk.Ara triem un enter Nm+1 suficientment gran per garantir que Nm+1Cm=T. Ara triem un cub petit Cm+1 ⊆Cmde costat m+1 i aix´ı Nm+1Cm+1 ⊆Um+1.Aleshores si z= [z1, ..., zr]∈Tk≥1Ck, tenim Nkz∈Ckper a cada k, aix´ı les pot`encies de zs´on denses a T, per tant z´es un generador de T. ut Teorema 2.7.Si T, T0≤Gs´on tors maximal, aleshores s´on conjugats a G, ´es a dir, existeix y∈Gtal que T0=yT y−1 3. ` ALGEBRES DE LIE DELS TORS MAXIMALS 40 Demostraci´ o. Com T’ t´e un generador t, pel teorema anterior hi ha un y∈G tal que t∈yT y1, per tant T0≤yTy−1. Com T’ ´es maximal i yTy−1´es un tor, aleshores tenim que T0=yT y−1.ut 3. ` Algebres de Lie dels tors maximals Teorema 3.1.Per a cada una de les seg¨uents `algebres de Lie, cada element x∈g ´es cojungat en G a un dels indicats •so2n(R):R0 2n(t1, ..., tn)∀k θk∈[0,2π); •so2n+1(R):R0 2n+1(t1, ..., tn)∀k θk∈[0,2π); •un(C):diag(z1, ..., zn):∀k zk∈R; •sun(C):diag(z1, ..., zn):∀k zk∈R, z1+... +zn= 1; •spn(H):diag(z1, ..., zn):∀k zk∈R; Ara podem donar un resultat important el qual hem vist que ´es cert per alguns exemples. Teorema 3.2.Sigui G un grup de matrius compacte i connex. Aleshores la exponencial exp: g−→ G´es exhaustiva. Demostraci´ o. Sigui T≤Gun tor maximal. Pel teorema 2.4, cada element g∈G ´es conjugat a un element xgx−1∈T. Per la proposici´o 1.3, xgx−1=exp(t) per algun t∈t, per tant g=x−1exp(t)x=exp(Adx(t)), on Adx(t)∈g. Aix´ı g∈exp g. Conclu¨ım que exp g=G. ut Bibliografia [1] Andrew Baker, An introduction to matrix groups and their applications, Springer, 2002 [2] M.L.Curtis, Matrix groups, Springer-Verlag, 1984 [3] John Stillwell, Naive Lie Theory, Springer, 2008 [4] F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1971 [5] Howard D Freman, Introduction to compact Lie groups, World Scientific, 1991 41