Contribución al estudio y desarrollo de técnicas de control aplicadas a la linealización de sistemas

UNIVERSITAT POLITECNICA DE CATALUNYA Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions TESIS DOCTORAL CONTRIBUCION AL ESTUDIO Y DESARROLLO DE TECNICAS DE CONTROL APLICADAS A LA LINEALIZACION DE SISTEMAS Autor: Gabriel Montoro López Director: Eduard Bertran Albertí Septiembre de 1996 TESIS DOCTORAL PARA LA OBTENCION DEL TITULO DE DOCTOR INGENIERO DE TELECOMUNICACION I.- INTRODUCCION II.- SISTEMAS NO LINEALES III.- NORMAS IV.- OPTIMIZACION DE NORMAS V.- CONTROL ROBUSTO Y NORMA INFINITA VI.- LINEALIZACION MEDIANTE NORMA INFINITA VII.- APLICACIONES VIII.- CONCLUSIONES Contenido 0-1 Apéndice II: Espacios normados.... IX-4 X.- REFERENCIAS. I.- Introduccion I-1 I.- INTRODUCCION. I.1.- Introducción y estructura de la Tesis. Actualmente se puede considerar que la teoría básica de sistemas lineales e invariantes está plenamente desarrollada, en el sentido de que es global (aplicable a cualquier sistema lineal) y dispone de potentes herramientas de diseño y evaluación. Sin embargo, no ocurre lo mismo con los sistemas no lineales. En éstos, las soluciones que se obtienen suelen ser particulares y sólo aplicables a clases específicas de no linealidades. Además, con la dificultad añadida de que no se dispone de métodos sistemáticos de análisis y diseño, siendo muchos de ellos simples extrapolaciones de los típicos en sistemas lineales, y por ello poco adecuados al problema no lineal. Consecuencia de todo lo anterior es que en los ámbitos de Procesado de Señal y de Teoría de Control son ampliamente usados tanto los filtros como los controladores lineales, dejándose los diseños basados en estructuras no lineales para aplicaciones específicas. De entre estos cabe destacar el empleo de algoritmos adaptativos, que se basan en leyes de adaptación implícitamente no lineales, aunque su diseño se ha venido haciendo hasta hace poco extrapolando experiencias de diseños lineales y de parámetros constantes. En aquellos casos en que las soluciones de diseño basadas en la adecuación de métodos lineales no dan buenos resultados, se hace necesario el empleo de técnicas no lineales de modelado y procesado, sea con ajuste adaptativo o no. Generalmente el uso de métodos propiamente no lineales será recomendable cuando se deba trabajar con un sistema que tenga un alto índice de no linealidades. Ante un caso así, una de las alternativas es usar técnicas de linealización y conseguir que un subsistema no lineal se comporte como lineal, con lo que será posible poder aplicar técnicas lineales al sistema global linealizado. Como ejemplo de algunos de los problemas que supone la presencia de no linealidades en canales de comunicación cabe decir que en transmisiones digitales a alta velocidad una de la mayores causas de que aumente la probabilidad de error es la presencia de no linealidades [Be87]. Hay aplicaciones en comunicaciones en los que se exige a los amplificadores que trabajen cerca de saturación para un mayor rendimiento de potencia, en detrimento de la distorsión que esto va a originar. Este es el caso de los repetidores a bordo de satélites de enlace. Una solución que se aplica es la de predistorsionar la señal a transmitir, de modo que la predistorsión compense a la distorsión. También es importante la linealización de amplificadores de RF en sistemas de comunicaciones móviles, donde es necesario un alto rendimiento en potencia, lo que hace que se trabaje cerca de saturación. Esto es una limitación para el uso de modulaciones tipo QAM, que son deseables por ser eficientes espectralmente pero son más sensibles al efecto de las no linealidades que otras modulaciones menos eficientes [Ar90]. I.- Introduccion I-1 El método de linealización propuesto en esta Tesis consiste en determinar el tipo de realimentación a aplicar a un sistema no lineal, de modo que, según un cierto criterio de medida, el efecto de las no linealidades se reduzca frente al de las linealidades. El sistema no lineal se descompondrá en dos bloques, uno lineal y otro no lineal. El bloque lineal será el que caracterizará el funcionamiento deseado, es decir el funcionamiento linealizado, y es por esto que se considera un sistema modelo. Este sistema modelo se le denominará modelo de referencia, y será la guía de cual es el funcionamiento deseado. Una de las alternativas para descomponer el sistema no lineal en los dos bloques comentados es haciendo uso del desarrollo en serie de Volterra del mismo, de modo que el primer término de la expansión, término lineal, se corresponderá con el modelo de referencia a seguir. Haciendo uso del modelo matemático del sistema no lineal y del modelo de referencia se obtendrá la caracterización de un sistema error, que modela las diferencias de funcionamiento entre el sistema no lineal y el lineal deseado. De este modo, el objetivo consiste en conseguir que la salida del sistema error sea nula, o en su defecto que sea lo menor posible. Esta reducción del sistema error se plantea como un problema de atenuación de perturbaciones vía realimentación, de acuerdo a un criterio óptimo medido con la norma H∞. Por tanto, se buscará la minimización de la norma H∞ de la parte lineal del sistema error, pero vigilando al mismo tiempo la estabilidad del sistema global en lazo cerrado. Para ello el criterio de estabilidad empleado es el de la pequeña ganancia. En síntesis, las bases teóricas que se emplean en el método propuesto en este trabajo están relacionadas con: • Modelado de sistemas no lineales. • Criterios de estabilidad basados en normas. • Optimización de norma H∞. Además, se comparará este método basado en norma infinita con otro método, que es otra aportación de esta Tesis, basado en los sistemas adaptativos por modelo de referencia denominados VS-MRAC. Este otro método, aplicado como linealizador, da resultados válidos, pero a costa, como es habitual en este tipo de sistemas, de una señal de control a la que se le exige conmutaciones instantáneas, lo cual es un requisito difícil de cumplir y que provoca un excesivo contenido de alta frecuencia en dicha señal. Ambos métodos se compararán en una aplicación. I.- Introduccion I-1 La división en capítulos de esta Tesis tiene su justificación en el papel que cada uno de ellos representa en el global del trabajo: El capítulo I expone globalmente los antecedentes existentes en trabajos orientados a la linealización de sistemas, tanto desde el enfoque de la predistorsión como el de realimentación. En el capítulo II se presentan los tipos más habituales de modelado de sistemas no lineales, tanto los estáticos como los que consideran la presencia de dinámica. También encontramos en este capítulo las formas en que se determina el grado de no linealidad de un sistema, haciendo uso de medidas de punto de compresión y de punto de intercepción, comunes en sistemas de radiofrecuencia. También, en este capítulo, se desarrolla la teoría de los sistemas VS-MRAC, y se hace una aportación a los mismos en el modo de generar adaptativamente una cota que es necesaria en la implementación de este tipo de sistemas. Los métodos de linealización mediante filtraje inverso de Volterra, los métodos geométricos y los sistemas adaptativos por modelo de referencia también tienen su tratamiento en el capítulo II. Las bases teóricas relativas a normas se desarrollan en los capítulos III y IV. En primer lugar se enumeran las definiciones de las normas más habituales y el importantísimo papel que tienen en los criterios de estabilidad. En el capítulo IV se encuentran las bases de la teoría de optimización de normas. Se comienza presentando el método de optimización de Hamilton-Jacobi, que tiene una muy conocida aplicación en resolver los problemas del Regulador Cuadrático Lineal (control LQR) y de su extensión cuando se considera la presencia de ruido gausiano (control LQG). La cada vez más empleada optimización de norma 2 y norma ∞ está expuesta también en el capítulo IV. Es importante el descubrir que la norma ∞ es adecuada para ser empleada en sistemas que tratan con incertidumbre, es decir que procesan señales desconocidas. De estas señales inciertas se supondrá que están acotadas por alguna norma, por ejemplo acotadas en energía o en potencia. La incertidumbre que aquí se considera es la debida a las no linealidades. I.- Introduccion I-1 Una de las aplicaciones más importantes de la teoría de optimización de norma infinita está en el Control Robusto, o sea, el diseño de controladores que aseguren estabilidad y buen funcionamiento en sistemas con incertidumbre. En el capítulo V se expone el problema conocido como mixed sensitivity, que es la base de la Teoría de Control Robusto. Esencialmente, el problema más estudiado en Control Robusto es el de la presencia de incertidumbre debida a dinámica lineal no modelada, aunque existen trabajos relacionados con incertidumbre no lineal, que es el caso que nos interesa. Es por esto que este capítulo V hace de enlace con el método de linealización propuesto, que en cierto modo consistirá en un desarrollo de metodologías propias del Control Robusto adaptadas a sistemas con incertidumbre debida a dinámica no lineal. Una vez introducidas las bases, en el capítulo VI se desarrolla propiamente el método propuesto en esta Tesis para resolver el problema de linealización mediante teoría de norma infinita. Posteriormente, en el capítulo VII, se aplica este método y el basado en VS-MRAC a ejemplos ilustrativos, acompañado de una serie de resultados de simulación. I.2.- Sistemas no lineales. Linealización. I.2.1.- Introducción. A lo largo de este trabajo la idea que se quiere dar a entender con la palabra linealizar es la de como conseguir que un sistema dinámico no lineal se comporte, es decir responda, como si fuera lineal. Además, el problema que se considera no es de modelado (aproximar un sistema no lineal por uno lineal), ni tampoco de filtrado (eliminar no linealidades en la medida de la salida de un sistema), sino que lo que se pretende es modificar (controlar) el sistema no lineal y hacer que su comportamiento sea lineal. Fig.I.1: Filtrado de la salida de un sistema no lineal. En la figura I.1 se puede ver un bloque que representa un sistema dinámico con entrada v y salida y. Asumiremos que la relación entre la entrada y la salida es no lineal. Desde un punto de vista de filtrado, si con la conexión del filtro se obtiene una salida yf carente de no linealidades entonces podría considerarse que la relación entre v y yf es lineal, y por tanto se habría realizado una linealización. Sin embargo, el tipo de solución que nos interesa no es ésta, sino la que sea capaz de eliminar no linealidades en la misma salida y, no en una señal filtrada obtenida del procesado de y. Por ejemplo, una aplicación que tendremos presente a lo largo de este trabajo será la de linealizar etapas de potencia, especialmente de radiofrecuencia. Si un amplificador de potencia contiene no linealidades en su salida, la solución es modificar de alguna manera la señal de entrada para que la salida no contenga dichas alinealidades; obviamente no tiene ningún sentido una linealización de la señal ya amplificada (salida del amplificador). Por tanto, el linealizador útil a nuestros propósitos ha de estar conectado a la entrada del sistema no lineal, no después. Básicamente se pueden considerar dos enfoques de como abordar el diseño de linealizadores: i) Una opción, mediante un filtro que modifique del modo adecuado la señal de excitación del sistema no lineal. A este filtro, generalmente no lineal y adaptativo, se le denomina predistorsionador. La predistorsión debe compensar el efecto I.- Introduccion I-1 posterior de la distorsión debida a la no linealidad, conformando de modo adecuado la señal de excitación, tal como se puede ver en la figura I.2. El predistorsionador puede ser adaptativo o no, y si lo es significa que los parámetros del mismo serán ajustados como consecuencia del resultado de una medida de la salida del sistema no lineal, o sea que hay una realimentación para el ajuste de los parámetros. Fig.I.2: Predistorsión adaptativa a la entrada de un sistema no lineal. ii) Y otra opción, mediante una realimentación (un controlador) que modifique la dinámica del sistema no lineal. En la figura I.3 se puede ver como el bloque controlador genera la señal de entrada v a partir de las medidas que hace de la propia salida del sistema no lineal y de la señal uc, que no es más que la señal de entrada que se aplicaría directamente al sistema no lineal caso de no haber linealizador. Fig.I.3: Sistema no lineal realimentado. La línea de puntos en la figura I.3 engloba al sistema no lineal junto al controlador en un bloque único al que cabe considerar como el sistema linealizado. I.2.2.- Linealización mediante predistorsión. El análisis y diseño de filtros no lineales tiene en la actualidad muchas aplicaciones, especialmente en comunicaciones, control y procesado de imagen y voz. En estas áreas de conocimiento son populares filtros no lineales tales como los filtros de I.- Introduccion I-1 I.- Introduccion I-1 estadística de orden superior, los filtros polinómicos y los filtros de Volterra. La expansión en serie de Volterra de un sistema no lineal, o su caracterización mediante una estructura polinómica, es útil tanto para el modelado como para el diseño de filtros que conectados al sistema no lineal original lo linealicen. Esta conexión acostumbra a ser en serie (cascada) o en paralelo [Ko91], [Ma91], [Si92]. La linealización de sistemas mediante la síntesis del filtro inverso de Volterra de orden p ha sido considerada en diversos trabajos [Sc80], [Bi88]. Uno de los mayores inconvenientes que tiene la aplicación práctica de este método es la identificación de los kernels de la expansión en serie de Volterra del sistema no lineal, generalmente más fáciles de medir que de deducir analíticamente [Ev95]. Para solventarlo se han desarrollado alternativas como la expansión en funcionales de Wiener (G-funcionales), que es en una expansión ortogonal para el caso en que la excitación en la entrada sea ruido blanco gausiano [Sc80]. Actualmente se están investigando temas orientados al desarrollo de diferentes técnicas de linealización aplicables al caso específico de sistemas de comunicaciones, realizando un estudio comparativo entre ellas, y buscando las modificaciones pertinentes en cada técnica de modo que se adecue al problema concreto. Esta adecuación es imprescindible en cuanto a que las soluciones obtenidas al trabajar con sistemas no lineales suelen no ser globales, sino particulares a cada caso. En diferentes publicaciones recientes se encuentran trabajos que abordan el diseño y la realización de predistorsionadores para compensar los efectos indeseados en subsistemas no lineales [St92a], [St92b], [Gh93]. El diseño está basado en encontrar el inverso de orden p, siendo para ello necesario primero identificar el sistema y luego sintetizar su inverso. La mayoría de los trabajos acaban realizando un predistorsionador estático, dada la dificultad que conlleva la puesta en práctica de un diseño dinámico basado en expansión de Volterra. Como ya se ha comentado anteriormente, los grandes problemas son la identificación de los kernels y la posterior síntesis del sistema inverso. Habitualmente, lo que se hace es el estudio del diseño exacto de un sistema inverso de orden p (por consideraciones operativas no más allá del tercer orden), y la comprobación práctica de sus efectos en la cancelación de los términos de orden inferior y su efecto en los de orden superior. Las aportaciones y resultados obtenidos por los diferentes trabajos hechos sobre la temática se resumen a continuación, siguiendo un cierto orden cronológico: • En [Bi84] se estudia la eliminación de interferencia intersimbólica debido a no linealidades en un canal de comunicación, usándose para ello un filtro de Volterra que estima las no linealidades y luego las cancela. Se considera la aplicación de dicha técnica a la transmisión de modulaciones QAM a través de canales pasobanda. I.- Introduccion I-1 • La cancelación adaptativa y no lineal de ruido es planteada en [St85], donde se consideran las no linealidades modelables como polinómicas, pero sin dinámica, y filtradas por un sistema lineal. A este modelo se le conoce como modelo de Hammerstein. Este es un modelo más simple de manejar computacionalmente que el modelo de Volterra. • Basándose en el inverso de Volterra de orden p en [Bi88] se diseña un linealizador, para un amplificador de RF, que actúa antes del modulador. Primero, es necesario identificar el canal mediante una serie de Volterra ortogonal. El efecto no lineal de los amplificadores de RF es caracterizable mediante distorsiones de amplitud que afectan a la amplitud (AM/AM) o bien de amplitud que afectan a la fase (AM/PM). Estos efectos son de considerable importancia al trabajar cerca de saturación, lo cual a su vez es deseable para tener un buen rendimiento de potencia. En estos casos el modelo de canal lineal con ruido gausiano blanco aditivo es poco realista. Una solución de linealización es aceptar el canal tal como es, sin modificarlo, y en el receptor realizar un procesado no lineal, por ejemplo empleando técnicas de MLSE (maximum likelihood sequence estimation) mediante el algoritmo de Viterbi. Sin embargo, este procesado se hace complicado y difícil de implementar a muy alta velocidad, y por ello se propone emplear receptores subóptimos, que sean más sencillos de sintetizar. Todo se complica al haber también ruido gausiano añadido, lo que hace que interese compensar las no linealidades antes de la adición del ruido. Esto último justifica el uso de compensadores antes del amplificador. Uno de los mayores inconvenientes del predistorsionador es que aumente el nivel de señal fuera de banda, aunque sea a la entrada del amplificador, ya que ello supone la presencia de interferencias en el sistema. El predistorsionador que se diseña en este artículo [Bi88] es digital (flexibilidad en el diseño y ajuste) y se basa en sintetizar el filtro inverso de Volterra de orden 3 de las no linealidades identificadas. Además, se propone la posibilidad de hacerlo adaptativo, es decir que los parámetros del filtro varíen conforme vaya variando el resultado de un algoritmo de identificación. • En otros trabajos como [Ca90], se predistorsiona la señal en banda base a partir de los datos de una tabla. El método que se expone consiste en acudir a una tabla, donde se obtienen los parámetros del predistorsionador de acuerdo a la señal a transmitir. Lógicamente, primero es necesario haber creado dicha tabla. • En [St92a] ha sido estudiada la linealización adaptativa polinómica, haciéndose uso de medidas de distorsión de intermodulación (IMD) fuera de la banda para ajustar los coeficientes del filtro. Se muestra que las componentes de orden 3 y 4 de la IMD son función cuadrática de los coeficientes, y se demuestra que es suficiente un predistorsionador de segundo orden. El predistorsionador adaptativo diseñado minimiza la potencia de los productos de intermodulación fuera de la banda. El artículo presenta el diseño final de un predistorsionador analógico estático. Se usa la envolvente de la señal en banda base para generar I.- Introduccion I-1 las funciones no lineales del predistorsionador, que luego se modifica de acuerdo a un algoritmo adaptativo de búsqueda del mínimo. Se obtiene una mejora de 15 dB en el tercer producto de intermodulación y de 5 dB en el quinto, respecto al mismo sistema sin predistorsionador. • También se aborda el diseño de filtros de Volterra o polinómicos en el trabajo [Si92]. Este tipo de filtros tienen la característica de que son lineales respecto a los coeficientes, lo cual permite extender la teoría de filtraje óptimo lineal a los denominados filtros de Volterra óptimos. Si los coeficientes se ajustan con el objetivo de minimizar un criterio cuadrático, por ejemplo usando algoritmos tipo RLS o LMS, entonces el filtro se ha convertido en adaptativo. El caso más elemental y más empleado son los filtros cuadráticos, que son filtros no lineales que sólo incluyen no linealidades de orden 2. Se emplean en aplicaciones de modelado, cancelación de ecos, cancelación de ruido, detección y estimación. • En [Wr92] se expone la linealización de un amplificador de potencia mediante un predistorsionador digital y adaptativo, que predistorsiona la señal en banda base, y se ajusta de acuerdo al muestreo de la salida demodulada del amplificador de potencia de RF. Se compara la envolvente de esta señal medida con la deseada, es decir la que se tendría si no hubiera alinealidades. Los parámetros del predistorsionador estático planteado se obtienen acudiendo a una tabla de coeficientes, y estos dependen de la comparación hecha entre las envolventes de la señal medida y de la deseada. • En [Gh93] se aborda el diseño de un predistorsionador polinómico para linealizar amplificadores de potencia que han de trabajar con señales QAM. Las modulaciones eficientes espectralmente, como la QAM (modulación de amplitud en cuadratura) son sensibles a no linealidades en la etapa de potencia, lo cual obliga a linealizar el amplificador. El predistorsionador propuesto actúa en la señal banda base, y para dar robustez al diseño la predistorsión se hace adaptativa. I.2.3.- Linealización mediante técnicas de control. Se conocen diferentes técnicas de control, más o menos desarrolladas, con las que es posible la linealización de determinados sistemas mediante realimentación. Algunas de ellas son técnicas adaptativas y otras basadas en sistemas de parámetros fijos. Si las no linealidades son estructuralmente conocidas, es posible establecer una ley de control que las tenga en cuenta y las compense, esencialmente como extensión del método clásico aplicable a sistemas lineales. Si no son conocidas, se diseña el sistemas prescindiendo de ellas y luego se estudia el efecto de la presencia de dinámica no modelada y de incertidumbre en el diseño [Ma88]. es que sólo serán aproximables por polinomios de Taylor aquellas funciones cuyas derivadas sucesivas en un punto existan y sean finitas. Por ejemplo, no serán aproximables las no linealidades que incluyan discontinuidades o ciclos de histéresis. Por ejemplo, si la función tangente hiperbólica se aproxima mediante los primeros términos del desarrollo en serie de Taylor en el punto x=0, se obtiene II.- Sistemas no lineales II-1 El desarrollo en serie de Taylor se puede generalizar a funciones de n variables. Este caso tiene interés por su utilidad en la aproximación lineal de sistemas caracterizados por sus ecuaciones de estado no lineales. Estos, en ocasiones son linealizables alrededor de un punto de funcionamiento. Por ejemplo, el sistema tanh _ 35 y= (x) y 12 y=x- + x x 315   se puede aproximar su dinámica alrededor del punto x=0 por su Jacobiano, obteniéndose cos sin 2 11 2 2 21 2 2 1 1 1 2 2 = ( )+ xx x x = ( )+ +( +1) x xxxxx (x) f x vectorialmente x= x= (x) f x ⎡⎤ ⎡ ⎢⎥ ⎢ ⎣ ⎣⎦    10 x = 11 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦  En el ejemplo anterior, se ha entendido por linealizar el hecho de buscar un modelo lineal. Cabe distinguirlo de cuando se habla de linealizar en el sentido de obligar a tener un comportamiento lineal. II.2.1.2.- Polinomios de Legendre. El conjunto de polinomios generados a partir de la expresión II.- Sistemas no lineales II-1 se comprueba que son ortogonales en el intervalo -1<x<1, según el producto interno definido así n 1/2 2 nn n 11 (x)= (n+ ( -1 p ) ) x n! 2 x 2 ∂ ∂ +1 mn mn -1 mn (x) (x) dx= pp donde es la delta de Kronecker δ δ ∫ Los primeros polinomios de Legendre son Por tanto, la aproximación polinómica que se puede plantear es la siguiente 0 1 2 2 3 3 1 (x)= p2 3 (x)= x p2 5 (x)= (3 -1) px 8 7 (x)= (5 -3 x) px 8 ... Al obtenerse los coeficientes aplicando la propiedad de ortogonalidad, implica que el error cuadrático de la aproximación disminuye al aumentar el número de coeficientes. La expresión para el error cuadrático de la aproximación es _01 n 01 +1 nn -1 n f (x) p(x)= (x)+ (x)+...+ ( p pp cc c = f(x) (x) dx p c∫ +1 +1 22 22 2 01 n -1 -1 (f(x)- p(x) dx= (x) dx- - -...- )f cc c ∫∫ Aplicado al ejemplo anterior de la tangente hiperbólica, se obtiene la siguiente aproximación En la figura II.1 puede verse dibujado en trazo continuo la función tangente hiperbólica y su aproximación por Legendre (prácticamente superpuestos), y en trazo discontinuo la aproximación por Taylor. tanh 13 y= (x) y = p(x)= 0.69 (x)-0.047 ( x p p  Fig.II.1: Aproximación por Legendre (trazo continuo) y por Taylor (discontinuo) de la función y=tanh(x). Y en la figura II.2 se ha representado el valor absoluto del error entre tanh(x) y las aproximaciones por Taylor y por Legendre. Se han dibujado a igual escala para tener un orden de magnitud de la diferencia entre ambos errores. II.- Sistemas no lineales II-1 Fig.II.2: Valor absoluto de los errores de la aproximación por Taylor (trazo discontinuo) y por Legendre (continuo) de la función tanh(x). II.- Sistemas no lineales II-1 Con la figura II.2 queda de manifiesto que en el tramo de x entre -1 y +1 la aproximación por Legendre es más uniforme, mientras que la de Taylor pretende ser buena sólo en un punto. II.2.1.3.- Polinomios de Hermite. Los polinomios de Hermite cumplen la propiedad p pq p q p q (x) (x)= p! HH A donde es la delta de Kronecker δ δ cuando x es una señal de estadística gausiana, de media cero y σ2=A. Los primeros polinomios de Hermite son II.- Sistemas no lineales II-1 Por ejemplo, si la función tangente hiperbólica la aproximamos con los cuatro primeros polinomios de Hermite, se obtiene 0 1 2 2 3 3 (x)= 1 H (x)= x H (x)= - A x H (x)= -3 A x x H ... donde para realizar esta aproximación se ha tomado como señal x de excitación cinco mil muestras de una señal gausiana de media cero y varianza unitaria. tanh 13 y= (x) y = 0.614 (x)-0.05 (x) HH  II.2.1.4.- Series de Fourier. Muchas no linealidades al ser excitadas por una señal sinusoidal presentan una respuesta periódica. En este caso, es posible realizar un desarrollo en serie de Fourier de esta respuesta, obteniéndose la amplitud y fase de los armónicos de la salida en función del armónico de entrada. Este es el caso, por ejemplo, de las no linealidades del tipo saturación y zona muerta. Se obtiene la formulación siguiente cos sin cos sin cos sin 0nn n=1 TT ++ 22 nn TT -- 22 a y(t)= f(A ( t)+B ( t))= + (n t)+ (n ab 2 22 = y(t) (n t) dt ; = y(t) (n t) dt ; ab TT ω ωω ω ωω ∞ ∫∫ ∑ Por ejemplo, para una saturación del tipo II.- Sistemas no lineales II-1 el armónico principal del desarrollo en serie de Fourier tiene los coeficientes siguientes si | x| a entonces y = K x si | x| a entonces y = K a ≤ ≥ También están relacionados con el desarrollo en serie de Fourier de la salida de una no linealidad los polinomios de Chebyshev. Los primeros polinomios de Chebyshev de primera clase son sin 2 -1 11 2 2 K A a a a = 0 ; = ( ( )+ 1 - ) ; ab AA A π II.- Sistemas no lineales II-1 y cumplen la relación recurrente siguiente 0 1 2 2 3 3 (x)= 1 T (x)= x T (x)= 2 -1 x T (x)= 4 -3 x x T ... n+1 n n-1 (x)= 2 x (x)- (x) TTT y también la propiedad de ortogonalidad 2 +1 0 -1 2 +1 mn m n -1 2 mn (x) T dx = 1-x (x) (x) TT dx = si m,n 0 2 1-x donde es la delta de Kronecker π πδ δ ∫ ≠ ∫ Si se aplica una señal sinusoidal, más en concreto un coseno, a la entrada de una no linealidad estática, la salida no lineal es posible desarrollarla en serie de Fourier, de este modo cos cos cos 0n n=1 T +2 nT -2 a y(t)= f(A ( t))= + (n t) a 2 2 = y(t) (n t) dt aT ω ω ω ∞ ∫ ∑ y realizando un cambio de variable se obtiene cos cos T ++1 n 2 nT-1 2 -2 22 T = y(t) (n t) dt = {si x= ( t) } = dx aT1-x ωω π ∫∫ y(t) (x) Por tanto, los coeficientes de la serie de Fourier coinciden con los del desarrollo en serie polinómica de Chebyshev 0n n n=1 a y(t)= f(A x)= + ( aT 2 ∞ ∑ La utilidad del desarrollo en serie de Fourier de la respuesta de una no linealidad a una excitación sinusoidal está en su relación con el método del balance armónico, que se describirá en el apartado II.2.2.1. II.- Sistemas no lineales II-1 II.2.2.- Sistemas no lineales con dinámica. II.2.2.1.- Función descriptiva. El método del balance armónico es una extensión del concepto de respuesta frecuencial comúnmente usado para el análisis de sistemas lineales. Es un método aproximado para analizar la posibilidad de oscilaciones armónicas es sistemas no lineales en lazo cerrado. La idea esencial del método consiste en considerar la posibilidad de existencia o no de armónicos de una cierta frecuencia en la respuesta del sistema no lineal. La magnitud de estos armónicos, normalmente el fundamental, se determina haciendo uso de lo que se denomina función descriptiva. Una buena referencia básica sobre el tema es [Sl91], mientras que en [Ge92] se encuentra una reciente aplicación del método del balance armónico al estudio de dinámica caótica en sistemas no lineales. Supongamos un sistema no lineal con entrada x(t) y salida y(t), en el que esta excitación de la entrada se asume que es una sinusoide II.- Sistemas no lineales II-1 en cuyo caso la salida del sistema no lineal será una suma de armónicos, múltiplos de ω sin x (t)= A ( t ) ω es decir, ω es la frecuencia fundamental. Se define la función descriptiva, N(A,ω), como 12 y(t)= ( )+ (2 )+ yy ω ω que se puede interpretar como una función de transferencia a la frecuencia dada, y que tiene la particularidad de que depende no sólo de la frecuencia de entrada (como es el caso de las funciones de transferencia de los sistemas lineales) sino también de la amplitud de la señal de entrada. sin N N 1 j ()=|N(A,)| A ( t + y N(A, )=| N(A, )| e φ ω ωω φ ωω Como ejemplo ilustrativo vamos a aplicar el método a predecir la presencia de oscilaciones en un sistema no lineal constituido por la interconexión de un bloque lineal y otro no lineal, tal como el de la figura II.3 Fig.II.3: Diagrama de bloques de un sistema no lineal. donde G(s) es la función de transferencia de la parte lineal, y el bloque no lineal viene dado por una saturación, tal como II.- Sistemas no lineales II-1 Si se supone la existencia de una oscilación armónica del tipo f (e)= k e si |e| a f (e)= k a si |e| a ≤ ≥ significa que a la salida de la no linealidad saturación se tendrá una señal compuesta por la suma de armónicos de una frecuencia fundamental. En el apartado II.2.1.4 ya se ha mostrado que los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier a la salida de la saturación son sine=e(t)= A ( t ω y en consecuencia, para el armónico fundamental, esta no linealidad tiene un comportamiento frecuencial dado por sin 2 -1 11 2 2 K A a a a = 0 ; = ( ( )+ 1 - ) ; ab AA A π A la salida de la no linealidad, nos quedamos sólo con el primer armónico, ya que se considera que el resto son eliminados mediante filtraje por el bloque lineal. Esta es la aproximación que se hace al trabajar con la función descriptiva, considerar un solo armónico. En cierto modo, es como substituir el bloque no lineal por un bloque lineal, equivalentes a una frecuencia dada (se le llama bloque quasi-lineal). En el bucle cerrado solo está presente un armónico de frecuencia ω, y para el cual se ha de cumplir la siguiente condición de sin 2 -1 2 2 K a a a N(A, )= ( ( )+ 1- ) AA A ωπ II.3.- Medida de no linealidades. A veces puede ser difícil o innecesario el conocimiento exacto de las ecuaciones o del modelo que caracterizan el funcionamiento de un sistema no lineal. No siempre va ser posible saber cual es el modelo que más se adecua a un cierto sistema, y caso de conocerse la estructura de este modelo quizás no se puedan obtener fácilmente los parámetros del mismo. Por ejemplo, supongamos el caso de un sistema básicamente lineal, pero con una cierta cantidad de no linealidades que se manifiestan esencialmente cuando el nivel de la señal de excitación es de una cierta magnitud, contaminando la respuesta lineal, que es la predominante. En este caso, quizás puede bastar con conocer el término lineal de la serie de Volterra, por ser el más importante, y luego realizar una serie de medidas que determinen la cantidad de no linealidades debidas al resto de kernels. Sería el caso del modo como se caracteriza la distorsión en amplificadores. El amplificador se modela como un sistema lineal, y se considera la presencia de distorsión en ciertas zonas de funcionamiento de dicho amplificador, sobretodo cerca de saturación. Si no hubiera no linealidades, el modelo lineal de que se dispone determinaría exactamente el funcionamiento del amplificador. Por tanto, es útil conocer técnicas para conocer la cantidad de no linealidades, que eviten haber de modelar exactamente el sistema, a través de una serie de mediciones. A continuación se va a presentar alguna de estas técnicas, empleadas especialmente en la caracterización de amplificadores de radiofrecuencia. Consideremos un sistema no lineal, cuya relación entrada-salida está caracterizada por un polinomio, tal como II.- Sistemas no lineales II-1 Y supongamos que la señal de entrada es una sinusoidal, que en general podrá variar respecto al tiempo en fase o en amplitud, de este modo 23 12 3 y= x+ + + aaxax cos x (t)= A ( ) A= A(t) ; = (t) ; φ φφ Entonces, considerando no linealidades hasta el tercer orden, se obtiene la siguiente expresión de la salida cos cos cos cos cos cos 2 2 3 13 2 2 3 3 01 2 3 1 y(t)= + aA 2 3 +( A+ ) ( )+ aa A 4 1 + (2 )+ aA 2 1 + (3 )+... aA 4 es decir y = + ( )+ (2 )+ (3 ) + DD D D φ φ φ φ φφ • Si la señal x(t) corresponde a una modulación en amplitud, formulada de este modo II.- Sistemas no lineales II-1 entonces el primer armónico que se obtiene a la salida del sistema no lineal es cos 0 x (t)= A(t) ( t) ω y por tanto la información de amplitud ha quedado alterada debido a que la no linealidad la modifica. cos 3 13 3 ( A(t)+ A(t ) ( t 0 ) ) aa 4 ω • En el caso de una modulación que de alguna manera afecte solo a la fase de la portadora (por ejemplo modulación de frecuencia), la señal x(t) es y el primer armónico a la salida del sistema no lineal es cos 0x x (t)= A ( t+ (t) ) φ ω por tanto se mantiene íntegra la información relativa a la fase. cos 3 13 0 x 3 ( A+ ) ( t+ (t) ) aa A 4 φ ω En conclusión, se ha comprobado que las modulaciones de fase son más inmunes a las no linealidades que las modulaciones de amplitud. Existen varios métodos para medir la cantidad de no linealidades presentes a la salida de un sistema. Se van a exponer algunos de ellos. Los más habituales son: la distorsión armónica total (THD-Total Harmonic Distortion), el punto de compresión, el ratio de distorsión de intermodulación (IMR-Intermodulation Ratio) y el punto de intercepción [No90], [Sm86]. A continuación se describirán: i) Distorsión armónica total (THD): Si una señal sinusoidal de amplitud y fase constante es aplicada a la entrada de un sistema no lineal, la salida estará formada por la suma de los diversos armónicos generados por la no linealidad. Entonces, se define el parámetro THD del siguiente modo 2 n 2 nn=2 22 n=2 11 n | | D || D THD= = || || DD siendo | | la amplitud de cada arm nico D ∞ ∞∑ ∑ C es decir, la suma de los cuadrados de la amplitud de cada armónico generado por la no linealidad (excluyendo el primero), y dividido por el cuadrado de la amplitud del primer armónico. ii) Punto de compresión a 1 dB: Tal como se ha mostrado anteriormente, el término de amplificación correspondiente al primer armónico generado por una no linealidad polinómica es II.- Sistemas no lineales II-1 y si el coeficiente a3 es negativo, como ocurre por ejemplo en el caso de no linealidades debidas a efecto de saturación, entonces se produce una compresión. Es decir que la amplificación del primer armónico es menor que la que se tendría caso de que no hubiera no linealidades. En consecuencia, se tiene la desigualdad cos 3 13 3 ( A+ ) ( t 0 ) aa A 4 ω _3 313 3 si < 0 A+ < A aaaa A 41 El punto de compresión a 1 dB es el nivel de señal de entrada para el cual la ganancia del término lineal está 1 dB por debajo del valor que tendría en el caso de no haber no linealidades. iii) Ratio de distorsión de intermodulación (IMR): Otro modo de medir la presencia de no linealidad, distorsión, es analizando los productos de intermodulación. Si la entrada x(t) del sistema no lineal polinómico es la suma de dos sinusoides de diferente amplitud y frecuencia, mediante desarrollo trigonométrico se puede obtener la señal de salida y(t) II.- Sistemas no lineales II-1 Particularizando el resultado anterior al caso en que los dos tonos de excitación tengan igual amplitud, y estén separados en frecuencia un incremento respecto a una frecuencia central, se obtiene cos cos cos cos cos cos cos 12 12 22 12 22 22 1112 13 1 22 2212 13 2 2 1 21 2 2 22 12 2 x (t)= ( t)+ ( t) AA 11 y(t)= + + aa AA 22 3 +( + ( +2 )) ( t)+ aa AAAA 4 3 +( + (2 + )) ( t)+ aa AAAA 4 1 +( ) (2 t)+ aA 2 1 +( ) (2 t)+ aA 2 + [ aAA ωω ω ω ω ω cos cos cos cos cos cos cos 12 1 2 3 1 31 3 2 32 2 12 3121 2 12 3121 (( - ) t)+ (( + ) t)]+ 1 + (3 t)+ aA 4 1 + (3 t)+ aA 4 3 + [ ((2 + ) t)+ ((2 - ) t)] 2 2 + aAA 4 3 + [ (( +2 ) t)+ ((- +2 ) t)] aAA 4 ωω ω ω ω ω ωω ωω ωω ωω II.- Sistemas no lineales II-1 Suponiendo de nuevo que a3 sea negativo, y que la amplitud de los dos tonos sea la misma, se obtiene para el término lineal la siguiente desigualdad cos cos cos cos cos 12 00 22 12 22 22 1112 13 0 22 2212 13 0 2 1 20 2 2 2 x (t)= ( tt)+ ( t+ t) AA 11 y(t)= + + aa AA 22 3 +( + ( +2 )) ( t - t)+ aa AAAA 4 3 +( + (2 + )) ( t+ t)+ aa AAAA 4 1 +( ) (2 t - 2 t)+ aA 2 1 +( ) aA 2 ωω ω ω ω ωω ω ω ω ∆∆ ∆ ∆ ∆ cos cos cos cos cos cos cos cos 0 12 20 3 1 30 3 2 30 2 12 30 0 2 12 30 (2 t+2 t)+ + [ (2 t)+ (2 +2 t)] + aAA 1 + (3 t-3 t)+ aA 4 1 + (3 t+3 t)+ aA 4 3 + [ (3 tt)+ ( t-3 t)]+ aAA 4 3 + [ (3 t+ t aAA 4 ω ωω ω ω ωω ω ω ω ω ω ωω ω ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆cos 0 )+ ( t+3 t)] ω ω ∆ en la que queda de manifiesto el efecto de compresión. Del resto de productos de intermodulación, los más peligrosos, a los que llamaremos armónicos interferentes, son los que corresponden a 3 13 9 A+ < A aaa A 41 II.- Sistemas no lineales II-1 ya que por proximidad con el armónico principal pueden caer dentro de la banda de paso del sistema que se esté considerando, generalmente con respuesta frecuencial paso-banda. Los armónicos cuya frecuencia coincide con la banda de paso no son eliminables mediante un filtro lineal convencional. cos cos 12 1 2 3121 3 [ ((2 - ) t)+ ((- +2 ) t)] aAA A A 4 ωω ω ω 2 El IMR (ratio de distorsión de intermodulación) es una relación entre la amplificación de los armónicos interferentes en relación a la amplificación del primer armónico, y por tanto es 2 12 331 1 11 3 aAA 3a 4 I MR= = AA 4 aa A Si la amplitud de las dos sinusoides es la misma, la potencia distorsionadora (Pd) es proporcional al cubo de la potencia de una cualesquiera de las sinusoides de la excitación (Pi), es decir 23 1 ddd A = ( = ) P2 α α y se define el ratio PIMR como la relación entre la potencia distorsionadora y la potencia deseada a la salida 3 di d oi o dd IMR oo = PP = PP P == PP P α α α α iv) Punto de intercepción: El punto de intercepción (PI) es el valor de potencia a la entrada de un sistema para el cual la potencia deseada (del término lineal) y la potencia distorsionadora se igualan. O sea, cuando la PIMR es unitaria. En este caso, se obtienen las igualdades siguientes __ d IMR d o I o 2 i IMR I si =1 = = PPPP P =( ) PP α α II.- Sistemas no lineales II-1 II.4.- Linealización mediante filtraje inverso de Volterra. Supongamos un sistema modelado mediante una expansión en serie de Volterra. La salida y de dicho sistema se puede expresar como la suma de salidas debidas a cada uno de los funcionales que componen la expansión, siendo u la entrada. Es decir, matemáticamente II.- Sistemas no lineales II-1 Lo que se pretende es, que al conectar un sistema (filtro) no lineal en cascada con el anterior, la expansión en serie de Volterra del sistema total obtenido no tenga kernels de hasta un cierto orden. 12 12 n i i y = + +...+ = (u)+ (u)+...+ yy yHH =(u) yH Se distinguirá entre: i) filtro post-inverso y ii) filtro pre-inverso. i) El filtro post-inverso de orden p será un filtro no lineal, caracterizable mediante una expansión de Volterra, tal que conectado en cascada a continuación de un sistema determinado, tal como se ve en la figura II.4, cancele las no linealidades de orden igual o inferior a p. La expansión en serie de Volterra del post-inverso es Fig.II.4: Sistema a linealizar conectado a un post-filtro. y la expansión de los dos bloques conectados en cascada es la siguiente 12 p 1 2 z = + +...+ = (y)+ (y)+...+ zz z K K El objetivo es obtener las condiciones de diseño de los funcionales, o de los kernels, del post-filtro para que el término lineal sea unitario, y el resto de términos sean nulos. 11 12 21 z = (u)+ (u)+ (u) + KH KH KH Se obtiene que, las relaciones matemáticas que permiten obtener los tres primeros operadores inversos son II.- Sistemas no lineales II-1 y queda de manifiesto que para la síntesis del filtro inverso sólo es necesario el invertir el funcional lineal (H1) del sistema a linealizar correspondiente. El filtro inverso total es la suma de cada uno de los términos que lo sintetizan. _ __ _ -1 11 1 1 -1 12 21 2 121 1 2 -1 -1 -1 -1 31212212231 (u)= u = KH K H (u)+ (u)= 0 = = KH KH K KHK H H =- ( ( + )- - + KHHHKHHHKHH ... ii) De igual modo, podría plantearse el filtro pre-inverso, ver figura II.5, es decir el filtro que conectado a la entrada del sistema a linealizar haga que el bloque total no tenga términos no lineales de orden p o inferior. Se demuestra que el resultado que se obtiene es el mismo que en el caso del post-inverso, es decir que los filtros pre-inverso y post-inverso de orden p coinciden en sus kernels [Sc80]. Fig.II.5: Pre-filtraje inverso. Recientemente, [Do95], se ha publicado un trabajo en el que se describe un nuevo método de realizar un filtro inverso de Volterra, distinto a la síntesis mediante suma de funcionales. Supongamos el sistema no lineal descrito anteriormente mediante una expansión en serie de Volterra, y agrupemos todos los términos de la expansión en serie de Volterra en dos únicos funcionales, uno el lineal (H1) y el otro el no lineal (N) (lo que se denomina modelo particionado), de este modo Operando, se obtiene la 12 n 1 12 n y = + +...+ = (u)+ (u)+...+ (u)= ( u) yy yHH H H relación siguiente -1 -1 11111 y = (u)+ N(u)= (u+ N(u))= (1+ N HHHHH y por tanto, si al sistema a linealizar se le conecta el siguiente prefiltro II.- Sistemas no lineales II-1 se obtiene, con la combinación en cascada entre ambos, la siguiente relación entre y y v -1 -1 -1 11 u=(1+ N (v) ) HH El prefiltro indicado, se puede generar mediante una realimentación tal como la de la figura II.6 y por tanto, tiene la ventaja de que no es necesario sintetizar los kernels del sistema inverso, sino que sólo se ha de sintetizar el inverso de orden 1, es decir el inverso de H1. Luego, se obtiene el sistema inverso mediante el sistema realimentado indicado en la figura II.6, donde se hace uso de los mismos kernels identificados del sistema no lineal, incluidos en N. Para más detalles puede verse [Do95]. -1 -1 -1 -1 11 1 1 y= (1+ N) (1+ N (v) = ) HH H H Fig.II.6: Síntesis del prefiltro inverso. Los dos métodos de diseño de filtros inversos comentados han sido: por suma de funcionales o por realimentación. Ambos, presentan los siguientes inconvenientes: • Necesidad de una secuencia infinita de funcionales para tener exactamente el inverso. Además, no está asegurada la convergencia de la serie de funcionales inversos sintetizados. • Si el inverso de H1 no es realizable ya no es realizable el filtro inverso. Este inconveniente, en [Do95] se soluciona sintetizando el mejor inverso de H1 de acuerdo a un criterio de mínimo error cuadrático. II.- Sistemas no lineales II-1 El sistema transformado obtenido, en función de z, es sin 11 22 =x z =a + ( x x z y luego, eligiendo la señal de control u como _ cos cos sin cos 112 211 11 =-2 + zzz =2 ()+ () ()+a u (2 zzz zz   se obtiene el siguiente sistema en función de z cos cos sin cos 11 1 1 1 1 u= (v+2 ( )- ( ) ( zz z z a (2 ) z 11 2 2 =-2 + zz =v z   z que es lineal respecto a v. Como conclusión, cabe decir que con el método de linealización entrada-estado lo que se obtiene son unas nuevas variables de estado (z) y una nueva señal de control (v) que están relacionadas matemáticamente entre sí mediante ecuaciones lineales. Y en consecuencia, el control del sistema linealizado se puede plantear como un control lineal, diseñándolo en función de z y v. Sin embargo, la señal u se obtiene mediante una relación no lineal, es decir que el controlador que linealiza es no lineal. Esto puede ser un inconveniente en una posible aplicación práctica. Por tanto, lo que se realiza no es una linealización en el sentido de que el sistema que se está controlando se comporte de un modo lineal, sino que en este contexto se entiende por linealizar el hecho de tener unas ecuaciones lineales. Y para ello, se emplea un control no lineal que hace uso de las variables de estado del sistema no lineal (x). En general, para obtener estas variables de estado será necesario el uso de identificadores de estado no lineales, lo cual suele ser problemático. II.5.1.2.- Linealización entrada-salida. Con la linealización entrada-salida, a diferencia de la linealización entrada-estado, no se busca tener unas ecuaciones de estado lineales respecto a una señal de entrada, sino que sólo se busca linealidad en la relación entre la entrada y la salida. Consideremos las siguientes ecuaciones no lineales II.- Sistemas no lineales II-1 en donde u es la entrada, y la salida y x las variables de estado. Las funciones vectoriales f( ⋅ ), g( ⋅ ) y h( ⋅ ) son no lineales. x =f(x)+g(x) y=h(x)  La idea esencial de este método está en derivar sucesivamente y respecto al tiempo, hasta llegar a una relación explícita entre u y y. Por ejemplo, la primera derivada, expresada en terminología de álgebra de Lie, es De la ecuación anterior se establece que si Lgh ≠ 0, entonces la señal de control u siguiente f y= h (f +g u)= h+ LL ∆  f g 1 u= (- h+ v L h L aplicada al sistema no lineal, conduce a una relación tal como que es lineal respecto a v. En caso de que Lgh=0, entonces es necesario hallar la derivada segunda de y, siendo ésta y= v  Generalizando, se debe ir derivando la señal y respecto al tiempo, hasta que se cumpla una desigualdad como ésta 2 fgf y= h+ LLL  en cuyo caso se establece que la señal de control linealizadora será r-1 gf h 0 LL ≠ r f r-1 gf - h+ v L u= h LL Finalmente, el sistema linealizado obtenido queda caracterizado por II.- Sistemas no lineales II-1 En conclusión, la linealización entradasalida permite tener una relación lineal entre las señales y y v, aunque la realimentación linealizadora (para obtener u) es no lineal. En general, es necesario el empleo de identificadores de estado no lineales, siendo ello un inconveniente. r= v y Sin embargo, el mayor inconveniente de la linealización entrada-salida está en que sólo se considera la relación entrada salida, y por tanto la dinámica interna (ecuaciones de estado) no se tiene en cuenta, pudiendo ser inestable. Esto obliga a que una vez obtenido el sistema linealizado, sea necesario analizar la dinámica interna y la estabilidad del mismo [Sl91]. II.5.2.- Sistemas Adaptativos por Modelo de Referencia (MRAS). Los sistemas adaptativos por modelo de referencia fueron introducidos por Whitacker en 1958, y fue durante la década de los 70 cuando tuvieron su época de potenciación, motivado por los avances teóricos que se iban logrando. Una referencia esencial de los orígenes es [La79], mientras que en [Na89] encontraremos una síntesis de los resultados más significativos obtenidos hasta la década de los 80. El objetivo de un sistema de control por modelo de referencia es que el comportamiento del sistema a controlar sea lo más próximo posible a un sistema modelo, denominado modelo de referencia. El controlador se diseña con esta finalidad, generalmente mediante realimentación de estado. Si el controlador es adaptativo entonces se está hablando de control adaptativo por modelo de referencia (MRAC). Hacer que sistema a controlar y modelo tengan el mismo comportamiento significa que el error entre las variables de estado de ambos sistemas sea nulo, o en su defecto lo menor posible. Es decir, que la evolución temporal de sus variables de estado sea la misma. De este modo, si el sistema que se está controlando es no lineal pero el modelo es lineal, se estará linealizando. La validez de un sistema MRAS (o MRAC) para linealizar estará en cuanto a que sea capaz de forzar al sistema no lineal a seguir, a comportarse igual, al lineal que le sirve de modelo. A continuación, se formulará matemáticamente el problema general del control adaptativo por modelo de referencia. Se considerará que sistema a controlar y modelo son lineales, ya que es el caso más estudiado y para el que existe una solución más o menos sistemática. Luego, por extensión, se discutirá la validez de los resultados obtenidos al aplicarse a sistemas no lineales. Supongamos que las ecuaciones de estado del sistema a controlar son p ppp T pp p (t)= (t)+ u ( x xb A (t)= (t) ycx  y las del modelo de referencia II.- Sistemas no lineales II-1 La estructura y parámetros del modelo son conocidos. Sin embargo, del sistema a controlar sólo se conoce la estructura, pero hay incertidumbre por desconocimiento del valor de sus parámetros. m mmm T mm m (t)= (t)+ ( c t) x xbu A (t)= (t) ycx  Haciendo uso de las ecuaciones anteriores se obtiene el sistema de ecuaciones que caracterizan a la señal de error, definida como la diferencia entre las variables de estado del sistema a controlar y las del modelo. En un planteamiento general, el sistema de ecuaciones de estado del error se estructura de modo que tenga una formulación de este tipo pm T 1n 1n T x(t)= (t)- (t) xx x(t)= A x(t)+b (u(t)- (t) +...+ (t) )= A x(t)+b (u(t)- (t ) e(t)= x(t) c ϕ ϕϕ αα  La señal uc es la consigna, que es la señal de excitación que se aplicaría al sistema modelo para que este responda del modo deseado. El vector α serán unos parámetros constantes, y desconocidos, que multiplican a las _, las cuales son señales relacionadas con el sistema a controlar (generalmente con las variables de estado del mismo). El objetivo es diseñar la señal de control u que haga que las variables de estado del error tiendan a cero. Si la señal u se obtiene de una combinación lineal de las mismas funciones _, se llega a II.- Sistemas no lineales II-1 La señal de control u no se puede obtener con un controlador convencional debido al desconocimiento de los parámetros α, por lo que el vector k tampoco puede tener unos valores concretos. Esto obliga a que los parámetros k del controlador se deban obtener adaptativamente. Por tanto, generando de modo adaptativo los parámetros variables k se ha se conseguir que el error paramétrico φ sea nulo, en cuyo caso el error de las variables de estado también será nulo. T TT T u(t)= (t) k(t) x (t)= A x(t)+b (k(t)- )= A x(t)+b (t) e(t)= x(t) c siendo (t)= k(t)- ϕ αφ ϕϕ φα  Un modo de diseñar leyes de control adaptativas en sistemas MRAC es mediante el método directo de estabilidad de Lyapunov (Apéndice I). Se plantea la función de Lyapunov siguiente TT -1 1 2 n V = x(t P x(t)+ (t (t )) 0 0 ... 0 0 ... =... ... ... ... 0 ... ... φ φ γ γ γ γ γ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ donde la matriz P ha de ser definida positiva (P>0), y las constantes γi han de ser positivas. Además, la función de transferencia H(s) siguiente II.- Sistemas no lineales II-1 debe ser SPR (estrictamente real positiva), y (A,b) controlable. Si se cumplen estas condiciones, es posible aplicar el lema de Kalman-Yakuvobich (ver [Na89] y [Sl91]), que enuncia lo siguiente: existen para el sistema anterior unas matrices P y Q, definidas positivas, tales que -1 T H(s)= (s I - A b ) c y entonces, la derivada de la función de Lyapunov anteriormente planteada es TP+P A=- Q A P b= c II.- Sistemas no lineales II-1 T En consecuencia, si el vector k se genera de este modo _ TTT T -1 -1 TTT -1 T TT -1 V = x(t P x(t)+ x(t P x(t)+ (t (t)+ (t (t) = ))) ) = x(t (P A+ P) x(t)+2 ( (t (t)) x(t P b+2 (t ))) A = x(t Q x(t)+2 (t (e(t) (t)+ (t)) )) ) φ φφ φ γγ φ ϕφ φ γ φϕφ γ     entonces la derivada de la función de Lyapunov cumplirá que (t)= k(t)= - e(t) (t) φ γϕ   T V=-x(t Q x(t ) )  Así pues, el resultado al que se ha llegado es que si el control u es obtenido como combinación lineal de los parámetros _, ponderados por los parámetros k, y estos son generados mediante la siguiente ley integral _ T 1n 1n 111 nnn u(t)= (t k(t)= (t) (t)+...+ (t) (t )kk (t)= - (t) e(t) k ... (t)= (t) e(t) k ϕ ϕ ϕ γϕ γϕ   entonces las variables de estado del error tienden a cero [Na89]. Esto es equivalente a decir que el sistema a controlar está siguiendo al modelo de referencia. El desarrollo anterior se ha planteado para lo que se considera como caso ideal, en el que sólo se asume incertidumbre en el valor de los parámetros del sistema a controlar. Esto hace que la ley adaptativa integral pura deducida no sea del todo adecuada para controlar sistemas con otro tipo de incertidumbre, como la estructural [Be94a]. En cambio, el control adaptativo robusto (Robust Adaptive Control) tiene en cuenta la presencia de no idealidades en dicho sistema a controlar, tales como dinámica no modelada, perturbaciones externas y no linealidades. Para que el mecanismo de adaptación sea inmune a dinámica no modelada y no II.- Sistemas no lineales II-1 linealidades, es necesario modificar la ley de adaptación básica (la ley integral antes expuesta) obtenida para el caso ideal. La mayoría de soluciones propuestas, [Or89] [Na89], consisten el ligeras modificaciones de la ley integral. De entre éstas, comentaremos: ley de adaptación con zona muerta, modificaciones sigma y gamma y los sistemas VS-MRAC. i) La modificación conocida como zona muerta consiste en detener la ley de adaptación cuando el error entre las salidas sea suficientemente pequeño. Con ello no se obliga al sistema adaptativo a compensar aquello para lo que no ha sido diseñado. De este modo se consigue acotación de las señales generadas y preservar la estabilidad de todo el sistema. ii) Otra opción que también se ha estudiado como mecanismo de robustez en controladores adaptativos es el acotar el margen de valores permitidos de los parámetros adaptativos del controlador, estableciéndose un margen de funcionamiento. iii) Las denominadas modificación sigma y modificación gamma consisten en añadir un nuevo término a la ley integral pura con la finalidad de convertirla en un integrador con pérdidas o en un primer orden. Es una solución válida para casos muy particulares [Na89]. iv) El inconveniente de los anteriores sistemas adaptativos robustos está en que aseguran acotación de los parámetros del sistema, es decir estabilizan, pero se pierde la propiedad del diseño ideal de que el error tienda a cero. Sin embargo, con leyes adaptativas discontinuas (switch) es posible, en algunos casos, conseguir ambas cosas: robustez y error nulo. A este tipo de sistemas se le denomina VS-MRAC (control adaptativo por modelo de referencia con estructura variable), y serán tratados en el siguiente apartado. II.5.3.- Linealización mediante Control Adaptativo por Modelo de Referencia con Estructura Variable (VS-MRAC). Los sistemas VS-MRAC [Hs88] (Variable Structure - Model Reference Adaptive Control), son capaces de cancelar interferencias [Be94b] y dinámica no modelada con el único conocimiento previo de una cota de la magnitud de éstas, lo cual hace pensar en su adecuación al problema de linealización. Recuperemos la formulación de un sistemas error obtenida en el apartado anterior, asumiendo la dependencia temporal de las correspondientes variables, aunque no se indique de un modo explícito, tal como II.- Sistemas no lineales II-1 donde se cumple la condición de dinámica del error SPR, y lo que ello conlleva (ver apartado II.5.2). Además, se ha considerado la incorporación de dos nuevos términos en la formulación: T d TT d T u= k+u x = A x+b ( (k- )+d+ )= A x+b ( u e= x c siendo = k - ϕ αφ ϕ ϕ φα  • d: que puede representar tanto la presencia de una interferencia exterior como de dinámica no modelada, lineal o no lineal. • ud: es el término que se añade a la señal de control con la finalidad de cancelar a d. La señal de control ud se generará de este modo donde sgn( ⋅ ) es la función signo. En la obtención de la señal canceladora ud vemos que interviene la cota del valor absoluto de la perturbación d. Esta cota no siempre existirá. Para perturbaciones de origen externo, si que es razonable asumir que estarán acotadas, pero en el caso de que esté modelando dinámica no lineal, esta cota puede no existir o ser difícil de hallar. max d= -M sgn(e) u siendo M (|d |) ≥ Supongamos que se conoce la cota anterior. Ahora, se plantea la siguiente función de Lyapunov T-1 T V= Px+ x φ φ γ y con la señal de control siguiente _ max T d d u= k+u k= e = - M sgn(e) ; M (|d |) ; u ϕ γϕ ≥  se puede comprobar [Be95] que la derivada de la función V es _T V = Q x+2 e (-M sgn(e)+ x  y se cumple que V 0 y entonces x 0 cuando t ≤ →→ ∞  En caso de que no se conozca una cota de d, existe la alternativa de obtenerla adaptativamente. El desconocimiento de la cota de la perturbación es solventable con los sistemas adaptativos VS-MRAC [Fe94] [Be95]. En la referencia [Be95] se propone la siguiente ley proporcional-integral . 12 t 12 0 12 M= |e|+ M =M(t)= |e| dt+ | siendo > 0 y 0 |e| µµ µ µ µµ ∫ ≥  y considerando una función de Lyapunov como max T-1 T2 1 (M - |d |- |e | ) V= Px+ + x µ φ φγ µ se obtiene esta derivada _max 2 T 2 V = Qx+2 e (- (|d |) sgn(e)+d)- 2 |e 0 | x µ ≤  lo cual implica convergencia del error a cero [Be95]. Los problemas más graves asociados a sistemas con estructura variable, como el propuesto, están relacionados con el hecho de que la señal de control sea discontinua. En muchos casos, el correcto funcionamiento teórico es obtenido bajo la suposición de un tiempo de conmutación nulo, inviable en la práctica. Cuando existe retraso en la conmutación el sistema total ya no se comporta del modo teóricamente obtenido, y es posible incluso que el sistema se haga inestable. II.- Sistemas no lineales II-1 III.- Normas III-1 • La relación que se obtiene entre las normas de orden 2 de la salida y la entrada es __ __ ___ ___ ++ 11 -- 111 y = h*x |h(t-)| |x()| d d por tanto y h x τ ττ ∞∞ ∞∞ ≤∫∫ ≤ • La relación que se obtiene entre las normas de orden 1 de la transformada de Fourier de la salida y la entrada es __ __ __ _ ___ ___ + 22 2 22 22 - 22 1 y = h* x = | H(j ) | X(j ) d H x || 2 por tanto y H x ωωω π ∞ ∞ ∞ ∞ ≤ ∫ ≤ __ ___ ___ ++ -- 11 Y(j )= H(j ) X(j ) |Y(j )| d H |X(j )| d por tanto Y H X ω ωω ω ωω ∞∞ ∞ ∞∞ ∞ ≤ ∫∫ ≤ ω III.3.- Normas inducidas en sistemas no lineales. III.3.1.- Introducción. Igual que se ha hecho para sistemas lineales en el apartado anterior, ahora se buscarán relaciones entre las normas de entrada y de salida en un sistema no lineal. En el problema de linealización, es necesario caracterizar de alguna manera la no linealidad, y no siempre va a ser posible tener una relación matemática exacta que defina el comportamiento de la misma. Puede ser interesante, y también factible, conocer algún tipo de norma inducida que acote la ganancia de normas en sistemas no lineales. De este modo, con esta información, será posible hacer un análisis de estabilidad que incluya la no linealidad, y también será posible establecer métodos para reducirla. Esto último será cuantificable del siguiente modo: si se disminuye, por ejemplo mediante una realimentación, la norma inducida del error entre un bloque no lineal y un bloque lineal, se está linealizando. Un modo directo de obtener normas inducidas es mediante medida. Siempre es posible medir las señales de entrada y salida de un sistema, y procesando esta información hallar las normas de entrada y salida para posteriormente obtener una cota de la ganancia entre estas normas, tal como se indica en la figura III.1. Fig.III.1: Obtención experimental de una norma inducida. Aparte de la posibilidad de obtener esta cota mediante medidas, será útil también conocer algún modo más o menos sistemático de obtenerla a partir de información analítica del sistema no lineal. El inconveniente es que ésto no es siempre generalizable, ya que dependerá del sistema en concreto. Por ejemplo, analicemos el caso de una relación no lineal estática entre y y u, como la de la figura III.2 III.- Normas III-1 III.- Normas III-1 La función de la figura III.2 está acotada sectorialmente (trazos discontinuos), es decir que se cumplen las desigualdades Fig.III.2: No linealidad estática acotada sectorialmente. y por tanto, simplemente elevando al cuadrado e integrando se obtiene que también cumplirán las mismas desigualdades entre normas de orden 2 21 12 y < < u , 0 α α αα ≥ y en consecuencia se puede establecer que α1 es una cota de la norma inducida de orden 2. __ _ __ 21 22 u < y < u αα III.3.2.- Normas inducidas y series de Volterra. Para generalizar en lo posible el cálculo de normas inducidas en sistemas no lineales, se quiere plantear si es posible obtener, de un modo sistemático, la norma inducida, o una cota de ésta, para un sistema no lineal caracterizable por una expansión en serie de Volterra. Ya se expuso en el apartado dedicado a series de Volterra que muchas no linealidades son caracterizables de este modo, y además existe una teoría bien desarrollada sobre ello. Supongamos un sistema cuya relación entrada-salida está determinada matemáticamente por un funcional, tal como y además, dicho funcional se puede caracterizar mediante una expansión en funcionales de Volterra. Entonces w= (v) φ III.- Normas III-1 donde la v la podemos entender como la señal de entrada y w la de salida. Se usa esta nomenclatura porque, cuando se aborde el problema de linealización, la w será lo que se llamará perturbación de origen interno, que interferirá de un modo aditivo en un sistema lineal, haciéndolo no lineal. 12 N12 N w= (v)= + +...+ = (v)+ (v)+...+ ww w φ φ φφ Según teoría de funcionales de Volterra (ver capítulo II), la contribución que realiza cada funcional al total de la respuesta viene dado por nn n1 n 1 n1 n-- = (t)= (v)= ... (t - ,...,t - ) v( )...v( ) d ...d ww h φ n τ ττ τττ ∞∞ ∞∞ ∫∫ que se puede entender como una particularización de la integral de convolución multidimensional. Matemáticamente, la particularización que se hace es 12 n nn12n t= = =...= tt t n1 n n1 1 n n 1 n 1 n -- (t)= ( , ,..., ) | wwttt siendo ( ,..., )= ... ( - ,..., - ) v( )...v( ) d ...d wt t ht t τ ττ τττ ∞∞ ∞∞ ∫∫ El objetivo es, conocida una expansión en serie de Volterra de un sistema, cómo obtener alguna información relativa a la norma inducida del mismo. En primer lugar, se buscará una cota (norma inducida) de la relación entre la norma de orden 2 de la señal de salida y la norma de orden 2 de la señal de entrada. Este caso se resolverá en el dominio temporal (III.3.2.1) y en el frecuencial (III.3.2.2). Posteriormente se hará lo mismo para la norma de orden 1 de las transformadas de Fourier de entrada y salida (III.3.2.3). III.3.2.1.- Norma de orden 2 temporal. Vamos a buscar alguna relación entre la norma de orden 2 de la salida w respecto a la norma de orden 2 de la señal de entrada v, en el dominio temporal. En primer lugar se buscará una acotación entre v y la salida debida a cada uno de los kernels, es decir hallar una relación del tipo III.- Normas III-1 donde ρn( ⋅ ) es una función que acota la ganancia entre normas de entrada y salida del funcional. Aplicando la propiedad de la desigualdad triangular, se tiene la cota total siguiente __ __ nn 2 (v w ρ ≤ Esto se puede lograr buscando algún tipo de acotación mediante el desarrollo de las relaciones matemáticas de cada uno de los kernels de la expansión de la serie de Volterra. Así pues, tomando el valor absoluto de la contribución de cada término, se obtiene __ _ __ 1N 22 w ( v )+...+ ( v ρρ ≤ nn1n1n1n -- 11 ++ 22 nn1n1nn1n -- (t)= ... (t - ,...,t - ) v( )...v( ) d ...d wh y entonces | (t)| ... | (t - ,...,t - ) | v( )...v( )| | (t - ,...,t - ) d ...d || wh h ττττττ 1n τ τττ τττ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∫∫ ≤∫∫ τ A continuación, a la relación anterior se le aplicará la desigualdad de Schwartz. Para ello se definen las funciones f( ⋅ ) y g( ⋅ ) de este modo III.- Normas III-1 y aplicando la desigualdad de Schwartz se tiene 1 2 n1 n 1 n 1 2 n1 n f ( )=| (t - ,...,t - ) | v( )...v( ) | h g( )=| (t - ,...,t - )| h τ τττ ττ • • Si la desigualdad anterior de eleva al cuadrado, entonces ()() ++ n1 -- 11 ++ ++ 22 22 1n 1n -- -- | (t)| ... f( ) g( ) d ...d w ... f( d ...d ... g( d ...d )) ττ n τ ττ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ≤••≤ ∫∫ ≤• • ∫∫ ∫∫ τ n1 C () + 22 2 nn1n1n1 -- ++ 2 1n1n1n -- | (t) ... | (t - ,...,t - )| |v( )...v( ) d ...d || wh siendo = ... | ( ,..., )| d ...d Ch ττττττ ττ ττ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ≤∫∫ ∫∫ Finalmente se llega a la siguiente desigualdad III.- Normas III-1 que escrito en forma compacta es equivalente a ( ) 1n ++ 22 22 n12 1n1 --- ++ 2 1n1n1n -- + 2 2n1n - ... | (t) dt ... |v( )...v( ) d ...d || wCC siendo = ... | ( ,..., )| d ...d Ch = { | (t - ,...,t - )| dt} Ch sup ττ n τ τττ ττ ττ ττ ∞∞∞ ∞∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞ ∞ ≤ ∫∫∫ ∫∫ ∫ __ _ _ n12 2 v wCC ≤ III.3.2.2.- Norma de orden 2 frecuencial. También es posible el plantearse obtener la cota entre la normas de orden 2 de la entrada y la salida del término no lineal, desarrollando las relaciones de Volterra en el dominio frecuencial. Haciendo uso de la transformada de Fourier se pueden obtener las relaciones frecuenciales siguientes [Sc80] 1n ++ j ( +...+ ) t nn n1n 1 -- n ++ n112n-11n-1 -- n-1 1 ( )= _{ (t)}= _{ ... ( ,..., ) d ...d }= Ww W e (2 ) 1 = ... ( - , - ,..., ) d ...d W (2 ) ωω ωωω ω ω π ωωω ω ω ω ω π ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∫∫ ∫∫ n Tomando valor absoluto ++ n n 1 1 2 n-1 1 n-1 -- n-1 1 | ( )| ... | ( - , - ,..., )| d ...d WW (2 ) ωω ω ωω ω ω ω π ∞∞ ∞∞ ≤∫∫ y sabiendo que en el dominio transformado multidimensional se cumple que III.- Normas III-1 puede efectuarse un desarrollo equivalente al del apartado anterior. Aplicando la desigualdad de Schwartz, se obtiene como resultado n n12 n 12 n 1 2 n ( , ,..., )= ( , ,..., ) V( ) V( ) ... V( WH ω ωω ωωω ω ω ω () 11 ++ 22 nn n 1 n-1 1 n-1 -- n-1 1n-11n-1 1 122 2 nn 1n-1 1 n-1 n-1 1 | ( )| ... | ( - ,..., ) | ( - ,..., ) (sigue ) || WHH (2 ) ( sigue) |V( - )...V( )| d ...d 1 ... | | d ...d ... | | |V( - )...V( ) d | HH (2 ) ωωω ωω ωω π ωωωωω ω ωω ω ω π ∞∞ ∞∞ ≤→ ∫∫ →≤ ≤∫∫ ∫∫ () 1n-1 ...d ωω Elevando al cuadrado, la desigualdad obtenida es () () ++ 2 n n1 -- 2 n-2 ++ 2 n1n-11 -- 1 | ( ) ... | | d ...d (sigue ) | WH (2 ) ( sigue) ... | | |V( - )...V( ) d ...d | H ωωω π ωωωωω ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ≤→ ∫∫ →∫∫ n-1 n-1 Finalmente se llega al siguiente resultado __ 1n 22++ 22 34 n1n-1 2-- 2 n 2n 41n ... ++ 2n 31n -- n-1 CC ... |V( - )...V( ) d d ...d | w(2 ) siendo = {| ( ,..., )|} CH 1 = { ... | ( - ,..., )| d ...d } CH (2 ) sup sup ωω ω ωω 1n-1 -11n-1 ω ωω π ωω ωωω ωω π ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ≤∫∫ ∫∫ ω que escrito en forma compacta es equivalente a __ _ _ n34 2 v wCC ≤ III.- Normas III-1 III.3.2.3.- Norma de orden 1 de la transformada de Fourier. La normas inducidas obtenidas en los desarrollos anteriores se han buscado de modo que relacionaran las normas de orden 2 de la entrada y la salida de un sistemas no lineal caracterizable por su expansión en serie de Volterra. Sin embargo, el inconveniente que tienen es que el resultado es una norma inducida que para cada kernel depende de integrales de la respuesta impulsional o frecuencial de dicho kernel, según el caso. Interesará tener relaciones más simples. Por ejemplo, podríamos plantearnos con que norma inducida está directamente relacionada la norma infinita de la transformada de Fourier de un kernel, que es una magnitud más sencilla de medir que no la integral. Considerando la siguiente desigualdad frecuencial ++ nn112n-1 -- n-1 ++ n11 2 n-1 -- n-1 112 n-11n-1 1 | ( )| ... | ( - , - ,..., )| d ...d WW (2 ) 1 ... | ( - , - ,..., )| (sigue ) H (2 ) ( sigue) |V( - )| |V( - ) | ...|V( )| d ...d ωω ωω ω ω ω ω π ωωω ω ω π ωωωω ωωω ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ≤≤ ∫∫ ≤→ ∫∫ → 1n-1 e integrando respecto a la frecuencia ω, se obtiene 1n-1 1n + n - ++ n112 n-1 1 -- n-1 nn 1n-1 1n n ... ... |()| d W ... |V( - )| |V( - ) |...|V( )| d d ...d (2 ) siendo = {| ( - ,..., )| }= {| ( ,..., )|} HH sup sup ωωω ωω ωω γωω n-1 ω ωω ω ω ω π ω γωω ωω ∞ ∞ ∞∞ ∞∞ ≤ ∫ ≤∫∫ III.- Normas III-1 condiciones siguientes: • G(s) es estrictamente estable. • La no linealidad estática φ( ⋅ ) es sectorial y cumple la siguiente acotación III.- Normas III-1 entonces se establece que una condición suficiente de estabilidad asintótica del punto de equilibrio, en el sistema indicado, es que (y) 0 y con (0)= 0 , 0 φ σ φσ ≤≤ ≥ r > 0 y > 0 tal que 1 R e{ (1+ j r) G(j ) }+ , δ ω ωδω σ ∃ ≥∀ ≥ ii) El criterio del círculo es otro criterio de estabilidad absoluta, aplicable a no linealidades estáticas sectoriales del tipo 12 12 (y) y siendo (0)= 0 , , 0 φ σσ φσσ ≤≤ ≥ que establece un criterio suficiente de estabilidad a partir del diagrama de Nyquist de G(jω) [Sl91]. III.4.5.- Hiperestabilidad. En 1963 Popov presentó un criterio de estabilidad conocido como hiperestabilidad, que cabe interpretar como una extensión del concepto de estabilidad absoluta. La teoría de hiperestabilidad tuvo un creciente interés a partir de los años 70, ya que fue ampliamente empleada en el diseño de sistemas adaptativos por modelo de referencia (MRAS). Una de las referencias más importantes sobre hiperestabilidad y su aplicación al diseño de sistemas adaptativos es el trabajo de Landau [La79], mientras que en [An68] se expone una interpretación interesante del concepto de hiperestabilidad y se relaciona con pasividad [Na80]. Sea el diagrama de bloques de la figura III.5, en donde se interconectan dos bloques, formando la estructura en lazo cerrado conocida como forma de Lure III.- Normas III-1 La teoría de hiperestabilidad establece que el sistema G1( ⋅ ) es hiperestable si es estable para todas aquellas señales de entrada w (en cuya generación interviene G2( ⋅ )) para las cuales exista un valor real l que cumpla las siguientes condiciones Fig.III.5: Estructura de Lure. T2 0 T2 0 v(t) y(t) dt - T 0 l w(t) y(t) dt l ≥∀≥ ∫ ≤ ∫ y si la estabilidad es asintótica entonces se dirá que G1( ⋅ ) es asintóticamente hiperestable. El resultado más interesante en teoría de hiperestabilidad, y que se aplica en el diseño de sistemas adaptativos por modelo de referencia (MRAS), se da en el caso en que G1 sea un sistema causal, lineal e invariante tal como ya que en este caso, una condición necesaria y suficiente para que G1 sea hiperestable es que su función de transferencia G1(s) sea una función PR (real positiva). -1 11 x=A x+B w y=C x+D w =(s)=C (s I-A B+ ) GG  Y si G1(s) es una función SPR (estrictamente real positiva) entonces se cumple la condición necesaria y suficiente para tener hiperestabilidad asintótica. Las condiciones que ha de cumplir una función de transferencia para ser PR o SPR son las siguientes: • Real positiva (PR): Una función de transferencia G(s), racional y propia, es PR si y solo si III.- Normas III-1 • Estrictamente real positiva (SPR): Una función de transferencia G(s), racional y propia, es SPR si y solo si i/ G(s) es estable ii/ Los polos en el eje imaginario son simples y con residuo real y no negativo iii/ 0 Re{G(j )} 0 ωω ∀≥ ≥ i/ G(s) es estrictamente estable ii/ 0 Re{G(j )} > 0 ωω ∀≥ IV.- OPTIMIZACION DE NORMAS. IV.1.- Introducción. La teoría de optimización plantea y soluciona el problema de optimizar, generalmente en el sentido de minimizar, un cierto criterio de funcionamiento o función de coste, sujeto al cumplimiento de unas restricciones. Aplicado a sistemas dinámicos, es habitual el empleo de funciones de coste cuadráticas relacionadas con las variables de estado y la señal de control del sistema a controlar, siendo las restricciones las ecuaciones de estado del sistema. La gran eclosión del empleo de teoría de optimización en el diseño de controladores se produjo durante la década de los 60, trabajándose esencialmente en el diseño de controladores óptimos de acuerdo a criterios de coste cuadrático aplicados a sistemas lineales. Y si bien los primeros trabajos se realizaron desde el enfoque frecuencial, finalmente los mayores logros han sido con la formulación en espacio de estado. Existen varias aproximaciones al problema de la optimización del funcionamiento de sistemas dinámicos caracterizados por sus variables de estado, que es el caso que nos interesa. Las más importantes teorías mediante las que es posible solucionar este problema son: el cálculo de variaciones, la programación dinámica y el principio del mínimo de Pontryagin. Para nuestros propósitos lo más importante es conocer los resultados finales a los que se ha llegado al aplicar cualquiera de estas teorías al diseño de controladores óptimos de acuerdo a criterios cuadráticos para controlar sistemas lineales. Esto resultados se concretan en dos problemas ampliamente estandarizados: el regulador óptimo cuadrático lineal (LQR) y el control óptimo gausiano cuadrático lineal (LQG). Todo el detalle de los antecedentes y desarrollo de la solución a los problemas LQR y LQG se puede encontrar en la referencia [An89]. La optimización, minimización, de normas está relacionada con las cada vez más conocidas teorías de control óptimo H2 y H ∞ . Consideraremos un sistema lineal, tal como el representado en el diagrama de bloques de la figura IV.1, Fig.IV.1: Estructura de un sistema de control. en donde se distinguen dos entradas w y u, y dos salidas z y y. El bloque etiquetado como sistema generalizado relaciona mediante ecuaciones lineales las entradas con las salidas, de modo que esta relación se puede expresar mediante una función de IV.- Optimización de normas IV-1 transferencia (quizás matricial) tal como z=G y ⎡ ⎤⎡ ⎢ ⎥⎢ ⎣ ⎦⎣ donde el operador G puede estar expresado en el dominio de Laplace, siendo en este caso la función de transferencia G(s). Si se establece una realimentación mediante el bloque controlador, se obtendrá un bloque resultante con entrada w y salida z relacionadas mediante la función de transferencia Tzw. Si el objetivo es minimizar la norma de orden 2 de esta función de transferencia, es decir minimizar ⏐ Tzw ⏐ 2, entonces se está considerando un control óptimo H2. En cambio, si se pretende minimizar ⏐ Tzw ⏐ ∞ se tratará de control óptimo H ∞ . La solución del control óptimo H2 deriva directamente del problema LQG mediante una adecuada elección de los pesos de la función de coste. La idea clave de esto está en que en el caso LQG se está considerando que tanto el ruido de proceso como el de medida tienen densidad espectral plana. De este modo, minimizar la potencia de ruido a la salida de un sistema lineal, cuando el ruido a la entrada tiene densidad de potencia constante, es equivalente a minimizar la norma de orden 2 de la función de transferencia. El diseño de controladores basados en norma-∞ tiene su punto de partida en 1981 a raíz de un trabajo de Zames en el que estudiaba la minimización de funciones de sensibilidad. Se empezó estudiando soluciones frecuenciales, basadas en interpolación del tipo Nevanlinna-Pick y en métodos frecuenciales relacionados con factorización espectral y norma de Hankel. Fue en 1984 cuando Doyle presentó una solución en el dominio temporal, espacio de estado, y se relacionó el problema de control óptimo H ∞ con el problema de Nehari (mínima distancia de acuerdo al criterio de norma de Hankel). Este método propuesto era computacionalmente costoso. En 1989 se publica un artículo, [Do89], que cabe considerar el inicio de la hegemonía de la solución en el espacio de estado, frente a las soluciones frecuenciales que más o menos se habían ido desarrollando y perfeccionando en los años anteriores. El método propuesto en [Do89] permite el diseño de controladores subóptimos según el criterio H ∞ a partir de la resolución de dos ecuaciones de Riccati, una correspondiente a un controlador por realimentación de estado y otra al observador (similitud con LQG). Al decir controlador subóptimo significa que se diseña un controlador que haga que se cumpla que ⏐ Tzw ⏐ ∞ esté por debajo de una cota, y reduciendo sucesivamente esta cota nos iremos aproximando al óptimo. Parte de la importancia creciente del control óptimo por norma-∞ cabe atribuirlo a la validez de este criterio para ser aplicado en sistemas con incertidumbre, y relacionarlo con criterios de estabilidad basados en normas, como el método de la pequeña IV.- Optimización de normas IV-1 IV.- Optimización de normas IV-1 ganancia. Todo ello lo hace adecuado para resolver muchos problemas prácticos relacionados con Control Robusto (ver Capítulo V). A nivel teórico, en la década de los 90 se está trabajando en la extensión del control óptimo por norma infinita a sistemas no lineales. Actualmente, la teoría H ∞ para sistemas no lineales está mucho menos desarrollada que para sistemas lineales, y es una línea de investigación abierta. También tienen mucho interés los denominados criterios mixed H2/H ∞ , que plantean optimizar la norma H2 de un sistema, pero manteniendo al mismo tiempo acotada su norma infinita. A continuación se detallan algunos trabajos representativos de lo que son las líneas de investigación sobre la temática de norma infinita: • En el artículo [Ba93], se estudia el aplicar a un sistema no lineal una realimentación, también no lineal, con la que se obtenga un sistema resultante que sea disipativo e internamente estable. La utilidad de ello está en su aplicación como método para estabilizar sistemas no lineales. • La atenuación de perturbaciones, mediante realimentación de estado, en sistemas no lineales es tratada en [Is92]. El controlador resultante es no lineal, y tiene en cuenta la estabilidad interna del sistema en lazo cerrado. La obtención de dicho controlador no lineal obliga a resolver una ecuación de Hamilton-Jacobi-Isaacs, siendo computacionalmente costoso y no siempre posible. • En [Sc92] se realimenta no linealmente un sistema no lineal, para minimizar su ganancia L2. Para obtener el controlador adecuado a ello se ha de resolver una desigualdad del tipo Hamilton-Jacobi-Isaacs. • Una buena publicación sobre optimización mixed H2/H ∞ es [Zh94]. La idea de dicho criterio mezcla consiste en diseñar un controlador que optimice un criterio H2 pero con la restricción de que la norma-∞ del mismo esté por debajo de una cota. Tiene interés en sistemas que se quieran diseñar de acuerdo a la norma de orden 2 (justificado por la presencia de ruido blanco gausiano) y a los que además se quiere dar un cierto grado de robustez frente a algún tipo de incertidumbre. La solución se obtiene de resolver dos ecuaciones de Riccati acopladas, lo cual hace que sea costoso computacionalmente. Es un área activa de investigación. • En [Sh95] se plantea y resuelve el problema de seguimiento (tracking) de acuerdo a un criterio H ∞ . Es decir, conseguir que la salida del sistema a controlar se aproxime en lo posible a la señal de referencia externa. La solución obtenida es válida para sistemas lineales variantes, y se obtiene a partir de un criterio óptimo que considera horizonte finito. IV.- Optimización de normas IV-1 • Una realimentación no lineal de salida, para optimizar la ganancia L2 de un sistema no lineal, se estudia en [Is95]. El controlador se obtiene de resolver dos desigualdades de Hamilton-Jacobi-Isaacs. IV.2.- Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellman. Dado un sistema, caracterizable por n ecuaciones diferenciales (ecuaciones de estado), tal como el siguiente IV.- Optimización de normas IV-1 = f(x,u,t) , y la condicion inicial x(0)= x0 x  que se puede interpretar como un conjunto de ecuaciones de restricción, que rigen el funcionamiento de un sistema dinámico. El problema de optimización consistirá en hallar la señal de control u óptima (uop), en el sentido de que minimice una función de coste del tipo f t 0 0 Coste= (x,u,t) d f ∫ lo cual, generalizado a una condición inicial x(t), queda descrito así La función de coste penaliza tanto las variables de estado x como la propia señal de control u. La solución se puede obtener por diversos enfoques teóricos, y lo que nos interesa en nuestro caso es sólo el resultado final, que es un conjunto de ecuaciones conocidas como ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellman. Para más detalles, acudir a la referencia [An89]. f t 0 t op op u J = J(x,u,t)= (x,u,t) f =(x,t)= { J JJ min ∫ En primer lugar, se define la denominada función Hamiltoniana del siguiente modo en donde se ha hecho uso, para su definición, de una función auxiliar p(t). Se demuestra que, en el caso de control óptimo se ha de cumplir la ecuación de Bellman, que se enuncia así T 0 T 0 H(x, p,u,t)= (x,u,t)+ p(t f(x, u f) abreviado H = + f fp min T op op 0 u JJ -= { (x,u,t)+ f( x f tx ∂∂ ⎛⎞ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ o lo que es lo mismo, haciendo uso de la igualdad siguiente IV.- Optimización de normas IV-1 entonces, la ecuación de Bellman queda escrita de este otro modo J p= p(t)= x ∂ ∂ Además, con el controlador óptimo se cumple la siguiente ecuación de Hamilton-Jacobi min op u J -= { t ∂ ∂ siendo uop y xop el control y la trayectoria óptima, respectivamente. op op op J+H( , ,p,t)= xu t ∂ ∂ Desarrollando y compactando los resultados anteriores, se llega a la formulación conocida como mínimo de Pontryagin, que consiste en una serie de condiciones (ecuaciones) que ha de cumplir el control óptimo, y son las siguientes Además, se demuestra que la señal de control u que minimiza la función de coste planteada es la misma que minimiza la función Hamiltoniana, y por tanto se puede obtener de resolver esta desigualdad __ op op op op HH JJ x = ; p = ; p = ; H( , , p,t) = xu p xx ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂  t ∂ min op op u op { H } = H( , ,p,t) = xu H(x,u, p,t) H ≥ IV.2.1.- El problema LQR. El regulador lineal cuadrático óptimo (Linear Quadratic Regulator) es quizás el resultado más conocido en teoría de optimización de sistemas dinámicos lineales. Las ecuaciones de restricción vienen dadas por las de un sistema lineal, expresado en forma de variable de estado de este modo IV.- Optimización de normas IV-1 donde x es el vector de las variables de estado y u el vector de la señal de control. Se pretende conocer para qué señal de control u se tiene el mínimo de la función de coste cuadrática siguiente x =A x+ B  f tTT 12 0 J= ( x+ u) xW uW ∫ donde se pondera tanto las variables de estado x como la propia señal de control u. En primer lugar se obtiene la función Hamiltoniana T TT 12 H = H(x,p,u)= x+ u+ (A x+ p xW uW cuyo mínimo, en función de u, se puede obtener derivando e igualando a cero. De este modo, la ley de control óptima es -1 T 2 op - p WB = u2 Substituyendo el control óptimo en las ecuaciones previas, y haciendo uso de las condiciones del mínimo de Pontryagin, se tiene el sistema de ecuaciones siguiente que escrito en forma matricial es equivalente a _ -1 T 2 T 1 p x =A x-B ( WB2 p p = x- () WA 22   -1 T 2 T 1 x A-B WB = pp - () ( - WA 2 2 ⎡⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣   Los siguientes teoremas, cuya demostración se halla en [Kn93] y en [Zh96], establecen condiciones necesarias y suficientes de existencia de una solución estabilizable de una determinada ARE IV.- Optimización de normas IV-1 A esta matriz P real y simétrica, solución estabilizable de una ecuación de Riccati algebraica, asociada a una matriz Hamiltoniana, la indicaremos como P=Ric(H). _ - - Si se cumple que i) H no tiene autovalores en el eje imaginario 0 ii) los subespacios y Im son complementarios VI entonces una œnica soluci n P de la ARE tal que P es Çtrica y (A+ R P) _ λ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∃ ∈ C _Si se cumple que i) H no tiene autovalores en el eje imaginario ii) R 0 o R 0 iii) (A,R) es estabilizable entonces una œnica soluci n P de la ARE tal que P es Çtrica y (A+R P) _ λ ≥≤ ∃ ∈ C IV.4.- Norma-2. IV.4.1.- Definición y cómputo. Indudablemente, los criterios de optimización cuadráticos han sido y son los más empleados tanto en Procesado de señal como en Teoría de Control. En parte, cabe atribuir el motivo de este éxito a que su optimización suele conducir a soluciones lineales, más o menos implementables. Además, las funciones de coste cuadráticas tienen una interpretación física relacionada con magnitudes físicas tan conocidas como la energía y la potencia. A continuación, veremos como se define y minimiza la norma-2 de un sistema, y cual es su relación con un tipo concreto de criterio cuadrático. Consideremos un sistema lineal y estrictamente estable, con una entrada y una salida (SISO), formulado en forma de espacio de estado de este modo _x=A x+B u y=C x estrictamente estable (A) _ λ ∈  donde el operador λ( ⋅ ) representa los autovalores de la matriz a la que se aplica. El sistema anterior, formulado como función de transferencia en el dominio de Laplace viene dado por -1 G=G(s)=C (s I-A ) y su respuesta impulsional será At g=g(t)=C e El cálculo de la norma de orden 2 del sistema anterior se puede realizar a partir de las siguientes definiciones de los gramianos de controlabilidad y de observabilidad: • Se define como gramiano de controlabilidad Lc a la siguiente función T A t t TA c0 = B d t ee LB ∞ ∫ que es posible obtener de un modo indirecto, ya que si se plantea la siguiente igualdad, obtenida mediante derivación, IV.- Optimización de normas IV-1 IV.- Optimización de normas IV-1 posteriormente integrando de 0 a ∞ , y teniendo en cuenta que para una matriz A estable se cumple que T TT A t t TAA t t A t t TT AA d( B ) ee B= A B + B eeee B B dt A t t= =0 | e∞ se llega a las relaciones siguientes • De igual forma, el gramiano de observabilidad Lo se define y obtiene de un modo similar T TT cc A t t TA c0 -B = A + BLLA siendo = B dt ee LB ∞ ∫ Las anteriores definiciones de gramiano de controlabilidad y gramiano de observabilidad tienen interés en cuanto a su utilidad en el cómputo de la norma de orden 2 de un sistema lineal. Si se define la norma-2 de un sistema lineal y causal como la integral (entre los límite de 0 a ∞ por motivos de causalidad) del cuadrado de su respuesta impulsional, y esta expresión se relaciona con las definiciones de gramianos ya expuestas, se obtiene T TT T tT A t AtT A t tT A TAA TToo tT A t A o0 d( C ) eC e = C + C eC e eC e A dt integrando se obtiene - C = + A CAL L siendo = C dt eC e L∞ ∫ que escrito con la simbología propia de normas es equivalente a TT 2A t tT tT A t TT AA 00 0 TT co (t) dt = C B dt = C B dt geeC eCe BB =C = B C LBL ∞∞ ∞ ∫∫ ∫ __ __ 1 TT 2 c 22 g=G=(C =( ) C LBL IV.- Optimización de normas IV-1 V.4.2.- Minimización de la norma-2. El objetivo que se pretende ahora es minimizar, mediante realimentación u de una medida y, la norma de orden 2 de la función de transferencia que relaciona la entrada w con la salida z de un sistema lineal. Las ecuaciones de estado del sistema en cuestión son IV.- Optimización de normas IV-1 señal que por simplicidad consideraremos SISO. La señales wx y wy son el ruido de proceso y el de medida, respectivamente. El sistema anterior también se puede representar así 1x 2 21 y x =A x+ + bw b y=c x+ dw  donde u es la a realimentar, de modo que se consiga minimizar la función de coste de orden-2 siguiente [] [ 12 21 2 x 12 21 122 y x=A x+ w+ u BB y= x+ w CD siendo w w = ; = 0 ; = ; = c ; = 0 bbC BB D w ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦  21 d __ _2 12 2 J= c x + d que definiendo la variable z así permite decir que lo que se __ _ ___ 12 1 1 12 1 212 222 TT TT 12 1 2 11 222 z= x+ u CD siendo c0 z z = ; = ; = ; CD 0d z entonces J = + = z = x+ xCC u zz D ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦ pretende es reducir en lo posible el efecto de w en z, minimizando la norma 2 de la función de transferencia que relaciona ambas. De las definiciones anteriores, se sigue que se cumple la siguiente propiedad de ortogonalidad IV.- Optimización de normas IV-1 que es equivalente a decir que el ruido de medida y el de proceso que se consideran están incorrelados. Una vez establecida una realimentación de la salida y a la señal de control u, la relación entre w y z se puede expresar mediante una función de transferencia T 121 =0 BD Todas las ecuaciones anteriores se pueden compactar en un sistema generalizado, obteniéndose en este caso zw z= w T 12 12 1 21 2 x A B B z= 0 CD y0 CD ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦  Este problema de optimización de norma-2, tal como se ha planteado, se puede demostrar que es similar al problema LQG resuelto en un apartado anterior. La similaridad deriva de tomar el problema LQG y considerar estas funciones peso TT 12 12 111 2 T ww vv 21 21 = ; = ; WCC WDD = I ; = ; RRDD y por tanto, la solución se obtiene de resolver las dos ecuaciones de Riccati correspondientes al bloque controlador y al bloque estimador, es decir IV.- Optimización de normas IV-1 n -1 TT c12122 -1 T TTT 21212 2 11 -1 TT e2121 2 -1 T TT T 11 21 21 22 controlador =( X ) KDDB X+X A+ -X ( siendo la realimentación óptima, según el criterio de orma-2, la siguiente mínima X ) CC ABDDB estimador =Y ( ) C KDD Y +A Y+ -Y ( Y ) CC ABBDD y el controlador óptimo, en forma compacta, viene dado por _c 2e 2 u= K =A + u+ (y-C BK ξ ξ ξ  e2c 2 c U(s)= F(s) Y(s) A- - C KBK K F(s) = -K ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ IV.5.- Norma-∞. IV.5.1.- Definición y cómputo. Los inicios de la teoría de control H ∞ óptimo se remontan a un trabajo de Zames presentado en 1981, en el que estudiaba, para un sistema lineal SISO, el diseño de un controlador con el que se obtenía un sistema en lazo cerrado estable y que minimizaba la norma infinita (el valor del pico) de la función de sensibilidad. Este primer trabajo de Zames fue el inicio de un creciente interés en el desarrollo teórico y aplicación del criterio de optimización de norma infinita en diferentes ámbitos y problemas. De entre las diferentes formulaciones del problema, la que tiene más interés en nuestro caso es la formulación y solución de lo que se conoce como problema standard. Sea el esquema de la figura IV.2, Fig.IV.2: Estructura del problema standard. en el que tanto el bloque del sistema generalizado como el del controlador son sistemas lineales. El problema standard consiste en hallar el controlador para el cual la norma infinita de la función de transferencia entre la entrada w y la salida z tiene mínima norma infinita. Desde la década de los 80 se han publicado diversos trabajos relacionados con la solución de este problema, tanto desde un enfoque frecuencial como desde el punto de vista de espacio de estado. La referencia básica a la solución en el espacio de estado del problema standard se encuentra en [Do89]. Una referencia más reciente es [Zh96]. Sea un sistema lineal y estrictamente estable, descrito en el espacio de estado, tal como _x =A x+B u y=C x estrictamente estable (A) _ λ ∈  y cuya función de transferencia es IV.- Optimización de normas IV-1 IV.- Optimización de normas IV-1 entonces, se define la función de transferencia normalizada por γ de este modo -1 G=G(s)=C (s I-A ) La matriz Hamiltoniana asociada al sistema normalizado anterior se construye a partir de sus parámetros, siendo su expresión -1 -1 -1 = C (sI-A B= G ) G γ γ γ -2 T T T AB B H= - C CA γ ⎡ ⎢ ⎣ y se puede comprobar que se cumple la siguiente propiedad [Do89] Por tanto, de la igualdad anterior se deduce que si la matriz H no tiene autovalores en el eje imaginario entonces se cumplirá que [] -1 T B 1=1+ 0 (sI-H ) B 0 1- (s) (-s) GG γγ ⎡ ⎢ ⎣ |(j)|1 G γ ω ω ≠ ∀ y, como además la función G(s) es estrictamente propia, es decir entonces se llega a la conclusión siguiente G( )= 0 ∞ es decir que, si la matriz Hamiltoniana no tiene autovalores en el eje imaginario ello significa que la función de transferencia G(s) tiene norma infinita inferior a γ. __ __ si | (j )| 1 G entonces <1 y por tanto G < G γ γ ω ω γ ∞∞ ≠ ∀ De este modo, es posible obtener por aproximación la norma-∞ de la función de transferencia G(s) mediante el siguiente algoritmo iterativo: i) Se toma un valor inicial de γ. ii) Se construye la matriz H, y se hallan sus autovalores. iii) Si algún autovalor de H está en eje imaginario, se aumenta γ y se vuelve al paso ii). Si no, se disminuye γ y se vuelve al paso ii). IV.5.2.- Ganancia L2 de un sistema lineal. En un sistema lineal, el concepto de norma infinita está muy relacionado con lo que se denomina ganancia de orden 2 o ganancia L2. Una demostración directa de esto se obtiene del teorema de Parseval. Sea un sistema lineal, cuya relación entrada salida se plantea en términos de una convolución tal como IV.- Optimización de normas IV-1 entonces, aplicando el teorema de Parseval siguen las siguientes desigualdades y(t)= g(t)* x(t ) que demuestran que el cociente entre las normas de orden 2 de la salida y la entrada está acotado por la norma infinita de la función de transferencia del sistema lineal. Usando teoría de optimización se puede llegar al mismo resultado, e interesa conocer esta demostración para desarrollos posteriores. __ __ __ __ _ _ ++ 222 -- ++ 222 -- 2 22 2 2 2 1 (t) dt = |G(j ) |X(j ) d y|| 2 1 (t) dt sup(|G(j ) | X(j ) d y|| 2 y sup(|G(j ) ) x | y x siendo = sup(|G(j ) ) = sup (|G(j )|) = G | ωωω π ω ωω π ω γ γω ω ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∫∫ ≤ ∫∫ ≤ ≤ Si se considera que la realimentación es la óptima, es decir u=uop, pero que la señal w no lo es, entonces se obtiene la desigualdad op 2T T dJ+( z)- ( w) 0 w z dt γ ≤ Si ahora se integra de 0 a ∞ , y se supone condiciones iniciales nulas, se deberá cumplir que _ _ _ T2 2 2 x ( P x()+z ) γ ∞∞ ≤ y finalmente se tiene IV.- Optimización de normas IV-1 Para evaluar la derivada del coste óptimo, primero se obtienen las relaciones __ __ op 22 2 22 si P 0 y u = u entonces z w para cualquier w γ ≥ ≤ y derivando y substituyendo TT T T TTT 12 TT T T 1 P x = P x+ P x+ xx w u ABB P x = P A x+ P w+ P xx x x BB   _ _ TTT TTTTT TT T 1122 2 TTT T TTTT TT T T 1 1 212 1 1 2 11 T 2 TT op 11 op d( P x) x= P x+ P x= xx dt = ( P+ P A) x+ P x+ P w+ P x+ P u = xwxux ABBBB = xx+ x+ P x+ P w+ P x+ x CC x x w x u x FF FRF B B B = x- + w xCC w γ γ   _ 22 TTTTTT T 12 op op op op T 22 TT T T T T T 12 2 1 1 op op op op TT 22 T T1 op op op op + + w+ P x+ P uu ww w u x R BB = x+ w- (w- (w- )+ + P x+ P ) xCC w w w u u u x R BB = - z+ w- (w- (w- )+(u - (u - ) )) wwwuu zR γγ γγ γγ Integrando de t0 a tf _ f f f 00 0 TT 22 tt TT T1t f f0 0 uu ttt x ( P x( )- x( P x( )= ( z - w) dt+ dt - )) tttt w ee zR γ γ ∫ ∫∫ y, particularizando los límites de integración de 0 a ∞ y considerando condiciones iniciales nulas, se tiene ___ ___ 1 T222 2 2 R u 222 x ( P x()+zw = - )e γγ ∞∞ Finalmente, y recordando que se ha de cumplir que P ≥ 0, se llega a la desigualdad ___ _ ___ 1 222 22 R u w 222 zw - ee γγ ≤ De esta desigualdad se deduce que si la función de transferencia que relaciona el error w-wop con el error u-uop tiene norma-∞ menor o igual a γ, es decir si ____ __ 1 uw 22 2 R uw ee 22 - 0 ee T γγ ∞_ ≤ ≤ entonces IV.- Optimización de normas IV-1 __ __ 22 2 22 zw 0 γ ≤ y por tanto IV.- Optimización de normas IV-1 La importancia de estas relaciones está en que si no es posible acceder a las variables de estado, sino que se han de obtener mediante un estimador, entonces el estimador óptimo será aquel que optimice la función de transferencia entre los errores en w y en u. Esto se usará para resolver el problema de minimización de norma infinita por realimentación de la salida [Do89]. __ zw T γ ≤ IV.5.4.- Atenuación de perturbaciones via realimentación de la salida. El problema que ahora se va a considerar consiste en establecer una realimentación de una señal de medida, a partir de la cual se consiga reducir la norma-∞ de un sistema. El sistema a optimizar, formulado en modo generalizado es 12 12 1 21 2 x A B B z= 0 CD y0 CD ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦  donde se considera que w es el vector de perturbaciones, que afecta directamente a las variables de estado x y a la señal medida que se ha de realimentar y. El efecto de la perturbación w en z debe ser minimizado de acuerdo al criterio de minimizar la norma-∞ de la función de transferencia que relaciona w con z. Por simplicidad, se considera que u y y son escalares, y w y z son vectores. El mecanismo de optimización será estableciendo la señal de control u, en función de y, con la cual se obtiene un sistema en lazo cerrado con mínima norma infinita. El sistema anterior es equivalente ha haber escrito IV.- Optimización de normas IV-1 con D11 y D22 nulos. La señal y es la salida medible a realimentar, a partir de la cual se va a generar la señal de control u con la que minimizar el efecto de la perturbación w en z. [] [] [] 12 11 12 1 21 22 2 w x =A x+ BB u z= x+ CDD y= x+ CDD ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣  Se supone que D11 y D22 son nulos, lo que es equivalente a considerar que en la variable a optimizar (z) no se considera efecto directo de perturbación, y que la variable que se realimenta (y) está relacionada con u mediante una función de transferencia estrictamente propia. Además, se ha de cumplir que 2 2 (A , ) es estabilizable B ( , A) es detectable C además de ciertas condiciones de rango de las matrices (ver [Zh96]). Se llega a la solución de este problema a través de un extenso desarrollo teórico, que puede encontrarse en diversas referencias como [Do89], [Kn93] ,[Sh93] y [Zh96]. El resultado final al que se llega es similar al del control óptimo LQG, es decir, el controlador óptimo se puede descomponer en un controlador óptimo propiamente más un estimador óptimo. La base de esto se justifica con el principio de separación. Para exponer el resultado final es necesario que se definan los Hamiltonianos siguientes IV.- Optimización de normas IV-1 donde se ha hecho uso de unas variables auxiliares definidas así T-2 T T 212 1 12 11 2 2 12 T T T 212 1 11 12 T-2 TT T 121 11 2 221 21 TT 121 2 21 11 A- - C BD D B BB B D = H- -(A- ) C BD CC D - (A- )CC C C C BD D D = J-(A- - C BD D BB γ γ ∞ ∞ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣        • Entonces, si y solo si se cumple que T 121 2 12 T 12 12 12 1 -1 T 12 12 12 -1 T 21 21 21 = (I1 1 ) B DD BD =(I- ) C DD CD =( ) DD D =( ) DD D     existe el controlador subóptimo K(s) con el que se cumple que ⏐ Tzw ⏐∞ <γ [Do89]. 2 i) = Ric( ) XH ii) = Ric( ) J Y iii) ( ) < XY ρ γ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ≥ ≥ IV.- Optimización de normas IV-1 En la condición iii) aparece el operador ρ(M), radio espectral, y aplicado a una matriz consiste en: el mayor valor absoluto de entre los valores absolutos de los autovalores de dicha matriz. Cabe hacer las siguientes consideraciones respecto al controlador que se obtiene como solución del problema de optimización planteado: • Para que el problema tenga solución, además de cumplir las condiciones i) ii) y iii), también es necesario que los diferentes vectores y matrices que aparecen en la formulación cumplan unas condiciones de dimensión y rango (ver [Sh93] y [Zh96]). • El orden del controlador obtenido no supera al del sistema que se está controlando. • El controlador que se obtiene es subóptimo, ya que cumple la cota con desigualdad, y no hay una condición de unicidad de esta solución: es decir, no es el único controlador que cumple esta cota. Para obtener el óptimo se debe ir reduciendo γ e ir obteniendo los subóptimos correspondientes, mientras sea posible. De este modo, se llegaría al óptimo por aproximación. • En [Bh91] se ha realizado un estudio de como se produce esta aproximación al óptimo. Matemáticamente, se puede interpretar que el problema de optimización es el de hallar el mínimo valor de γ para el cual se cumplen las tres condiciones anteriores: i) ii) y iii). En dicho trabajo, [Bh91], se llega al resultado de que si se disminuye demasiado γ, la primera condición que se deja de cumplir es la de que las matrices X∞ y Y∞ sean semidefinidas positivas. Si todavía disminuye más, entonces estas matrices ya dejan de existir, es decir que no hay solución de las ecuaciones de Riccati correspondientes. A continuación se va a detallar como se obtiene el controlador correspondiente, haciendo uso del principio de separación: se descompone el controlador en una realimentación y un estimador. Recordando que, en el apartado anterior habíamos definido las funciones F1 y F2 así IV.- Optimización de normas IV-1 entonces, se obtiene el siguiente controlador de estado que realimenta las variables de estado identificadas _ T 1TT 12212 1 12 2 BX = ; = ( + C FFBXD D γ ∞∞  _ TT c212 12 c = ( + C KBXD D u= K ξ ∞  y el estimador de estado es El controlador, en forma compacta queda formulado así 12 e 21 2 21 11 22 e 21 2 -2 TT e121 221 =A + w+ u+ (y- - w) C BBZK D tomando u = y w= FF se obtiene = A + + + (y - - C B FBFZK D F siendo =( + ) y =(I- ) C KY BD Z YX D ξξ ξ ξξ ξ ξξξ ξ γ ∞ ∞ ∞ ∞∞∞    siendo todo el sistema en lazo cerrado el siguiente _ 11 12 21 -2 T T 11 2 c e 1 1 e 21 1 2 12 e 21 c KK K(s) = 0 K =A- - + ( - C KBKZK BBZKDB = KZK = KK U(s)= K(s) Y(s) γ ∞ ∞ ∞ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ IV.- Optimización de normas IV-1 y, substituyendo cada variable por su expresión, quedaría 2c 12 11 12 2 12 c 1 21 2 xAx B K = + C KKK D zx0 CDK = + y0 CD ξ ξ ξ ⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤⎡ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣⎦⎣ ⎣⎦ ⎡⎤ ⎡ ⎤⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦⎣⎦ ⎣ ⎦   2c -2 -2 TT e22 c 11 e 211 2 12 c 1 21 2 A - xx BK = + C ZK A- + - ( + ) Z C BK BBX Z K D BX zx0 CDK = + w y0 CD ξ ξγγ ξ ∞ ∞ ∞∞ ∞ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎣⎦ ⎣ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎡⎤ ⎡ ⎤⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦⎣⎦ ⎣ ⎦   V.- CONTROL ROBUSTO Y NORMA INFINITA. V.1. Introducción. La finalidad del control robusto es el diseño de sistemas de control en lazo cerrado para controlar sistemas con incertidumbre. En un sistema existe incertidumbre cuando no es conocido de un modo exacto un modelo del mismo, y por ello tampoco es posible diseñar de un modo exacto, matemáticamente, el controlador más apropiado. Habitualmente, se caracteriza el sistema incierto mediante un término nominal más otro término que representa la desviación respecto a dicho comportamiento nominal, y generalmente esta desviación no es conocida de un modo riguroso. Por ejemplo, si se trata de incertidumbre debida a dinámica no modelada lineal, puede ser sencillo conocer una cota de los valores máximos de desviación de su respuesta frecuencial. Y en este caso, el diseño del controlador robusto se sistematiza bastante. En cambio, si es debida a dinámica no lineal, el planteamiento del problema ya no es tan simple, existiendo diversidad de enfoques de como hallar el controlador adecuado. Dos buenas referencias, que son una recopilación de artículos publicados desde la década de los 60, son [Do87] y [Do90]. A continuación se expondrán, en síntesis, las bases en que se fundamenta la Teoría de Control Robusto, haciendo un especial énfasis en su relación con la optimización por norma infinita. V.2.- Control Robusto e incertidumbre. A un sistema del cual no se conoce de un modo exacto la descripción matemática de su comportamiento se le denomina incierto. Supongamos un sistema incierto, en el que su relación entrada-salida está expresada mediante el funcional siguiente V.- Control Robusto y Norma Infinita V-1 donde Po representa a lo que se denomina sistema nominal, que es el término que se supone conocido, y generalmente lineal. En cambio, la desviación respecto al nominal, ∆P, es quasi-desconocida: no se tiene una descripción matemática exacta de la misma, pero sí algún tipo de información. En el caso de una desviación debida a dinámica lineal, esta información podría ser la siguiente o P= + P P ∆ | P(j )| |W(j )| ω ω ω ∆ ≤ ∀ es decir, una cota de su respuesta frecuencial. En este caso, se tendría una planta lineal incierta, pero con una acotación de la incertidumbre en el dominio frecuencial. Los objetivos que persigue el control robusto son básicamente dos: i) La estabilidad robusta, que establece las condiciones que se han de cumplir para que el sistema incierto en lazo cerrado sea estable. ii) El funcionamiento robusto, es decir, que el objetivo de control que nos hayamos fijado se cumpla, pese a la incertidumbre. Sea un sistema de control convencional, como el de la figura V.1 Fig.V.1: Sistema de control convencional. donde P y K son funciones de transferencia asociadas a operadores lineales, correspondientes al sistema incierto a controlar y al controlador, respectivamente. Además, consideraremos que se dispone de un modelo de incertidumbre multiplicativo de la planta [Do92], tal como V.- Control Robusto y Norma Infinita V-1 y con la incertidumbre acotada frecuencialmente por una función op P= (1+ P ∆ V.- Control Robusto y Norma Infinita V-1 incierta variable con el tiempo. Se entiende estabilidad como ganancia finita para señales de energía finita. La estabilidad en lazo cerrado no se resuelve mediante teorema de la pequeña ganancia, por considerarlo demasiado conservativo. Se analiza la estabilidad de ganancia finita de norma l2, y se obtiene una condición, haciendo uso de los valores singulares, para la cual hay estabilidad robusta en lazo cerrado. • En [Su94] se considera la estabilización y funcionamiento robusto en sistemas con incertidumbres paramétricas lineales, mediante un sistema de control por modelo de referencia, con dos controladores, uno que actúa a la entrada de la planta y el otro en la señal realimentada. En primer lugar se realiza una realimentación nominal, de acuerdo a la planta nominal y al sistema de referencia deseado, y luego otra realimentación correctora de la incertidumbre. Se usa norma infinita para medir la diferencia entre los sistemas en lazo cerrado nominal y perturbado con incertidumbre lineal. Luego, se plantea una estructura fija de los controladores y se eligen sus parámetros buscándose una norma infinita del error mínima. En general, los trabajos que se han publicado sobre mixed sensitivity abordando la problemática de la dinámica no lineal lo han hecho a partir de un planteamiento muy abstracto y basado en que se cumplan unas condiciones matemáticas muy específicas. Esto es habitual en la mayoría de trabajos sobre la temática de control robusto, y más aún en el caso de incertidumbre no lineal: se obtienen resultados basados en un planteamiento que se basa en el cumplimiento de unas condiciones matemáticas que, en una aplicación a un caso práctico, difícilmente se cumplirán. Es más, aunque se quiera, en muchos casos es difícil determinar si se cumplen o no, con lo cual los resultados que aportan estos artículos no dejan de ser resoluciones de complicados ejercicios matemáticos. Con este capítulo se finaliza los temas relativos a bases teóricas y antecedentes. A continuación, se desarrollará el método de linealización propuesto, establecido a partir del contenido de los capítulos anteriores. El método se basará en un control por modelo de referencia que tenga en cuenta la incertidumbre de las no linealidades. De la diferencia entre modelo y sistema no lineal se obtendrá una señal de error. Realimentando linealmente este error, se quiere disminuir el efecto de las no linealidades, que pueden ser interpretadas como incertidumbre, y que deberán estar acotadas. Las bases teóricas relativas a modelado V.- Control Robusto y Norma Infinita V-1 de sistemas no lineales pueden ser útiles para este propósito de separar parte lineal y parte no lineal en el sistema a linealizar (Capítulo II). Y la obtención de cotas para no linealidades se expone en el Capítulo III. Una vez separada la parte no lineal y la lineal, se tendrá un sistema incierto del tipo multiplicativo. Y el siguiente paso será el diseño del controlador lineal que atenúe al máximo la presencia de la incertidumbre en el sistema error. Este diseño se hará por medio de la optimización de norma infinita (Capítulo IV). La estabilidad en lazo cerrado quedará establecida por el Teorema de la Pequeña Ganancia (Capítulo III). VI.- Linealización mediante norma infinita VI-1 VI.- LINEALIZACION MEDIANTE NORMA INFINITA. VI.1.- Introducción. Enunciado del problema. Tal como se ha comentado en el capítulo IV, existe una teoría de optimización de ganancia L2 aplicable a sistemas no lineales. Esta teoría estudia cual es el controlador adecuado para minimizar dicha ganancia, o sea que minimice la relación entre las normas de orden 2 de la salida y de la entrada del sistema. En este sentido, la ganancia L2 de un sistema no lineal hace un papel similar a la norma infinita en sistemas lineales. En las referencias [Ba93], [Is92] y [Sc92] se encuentran desarrollados los principios básicos sobre el tema (ver capítulo IV). Sin embargo, la realidad es que la teoría de optimización de ganancia L2 aplicable a sistemas no lineales, en la actualidad adolece de varios problemas: • Está poco desarrollada a nivel teórico, no siendo sencillo ni sistemático el diseño del controlador correspondiente. • Es sólo aplicable a tipos muy concretos de sistemas no lineales, de los que además se debe conocer exactamente su formulación matemática, generalmente en ecuaciones de estado. • Su realización implica el uso de controladores no lineales , y en algunos casos también de estimadores de estado no lineales, lo cual es una fuerte limitación desde un punto de vista práctico. El objetivo en esta Tesis es extender la teoría de norma infinita existente para sistemas lineales, de modo que con ciertas modificaciones sea aplicable a sistemas no lineales. Además, la finalidad que se busca con el método propuesto es la de linealización. El método presentado se caracterizará por: • Para establecer el objetivo de linealización se hará uso de un modelo de referencia lineal, y de este modo se estará planteando un problema de seguimiento. • El sistema no lineal deberá ser particionado en un bloque lineal y otro no lineal. El modelado mediante expansión en serie de Volterra puede ser útil para este propósito (ver apartado II.2). Además, de la parte no lineal se deberá conocer una cota de su ganancia L2 mientras que la parte lineal ha de estar caracterizada en formulación de estado. • La parte lineal se estructurará de forma igual al conocido problema standard en teoría de optimización de norma infinita, haciendo las no linealidades el papel de perturbación (ver apartado IV.5). • Finalmente, se diseñará el controlador óptimo (y lineal) que minimice el efecto de las perturbaciones (no linealidades) en la parte lineal (ver apartado IV.5). Además, usando el método de la pequeña ganancia se determinará la estabilidad del lazo cerrado (ver apartado III.4). En la figura VI.1 puede verse el esquema de lo que es un sistema de control por modelo de referencia en paralelo, que será el que consideremos en lo sucesivo Fig.VI.1: Sistema de control por modelo de referencia. En la figura VI.1, la señal de error e es la diferencia entre el sistema lineal y el no lineal. Entonces, el objetivo está en diseñar el controlador más adecuado que haga que este error sea mínimo. La señal que genera el controlador es v, y ésta será la excitación, entrada, del sistema no lineal. Supongamos que el sistema no lineal que se quiere linealizar puede ser caracterizado por un conjunto de ecuaciones de estado, del siguiente modo VI.- Linealización mediante norma infinita VI-1 donde se considera un sistema SISO, y por tanto yp y v son escalares. La señal yp es la salida del sistema no lineal, y v pp1 2 p p =A + (v)+ x xb b =c yx φ  su entrada. Además, las no linealidades están modeladas por una función que depende de la entrada v, siendo el término φ(v) un funcional que las caracteriza matemáticamente. O sea, que las no linealidades están expresadas en función de la entrada v del sistema no lineal. El comportamiento no lineal que se ha modelado, se puede considerar como una señal de perturbación wx, definida así VI.- Linealización mediante norma infinita VI-1 y de este modo la formulación total obtenida es la siguiente x=(v) w φ En el planteamiento estandarizado que se hace del problema de optimización de norma infinita de un sistema lineal (ver capítulo IV), se considera la existencia de una perturbación (w) cuyo efecto se debe minimizar. Si esta perturbación es externa, no depende de ninguna variable del sistema. En nuestro caso, ya que wx está modelando no linealidades, diremos que es una perturbación interna. pp1x p p =A + + x xbw b =c yx  Sin embargo, los resultados que se obtengan se pueden particularizar al caso en que wx fuera un ruido. Es decir, que el enfoque del control por modelo de referencia también es válido para cancelar ruido, no sólo no linealidades. Además, también se puede distinguir entre no linealidades dependientes de la entrada v o no linealidades dependientes de la salida yp. En este segundo caso, la formulación anterior sería con la wx siguiente xp =( y w φ El siguiente sistema que se va a definir será el modelo de referencia. Teniendo presente que el objetivo está en que la salida del sistema no lineal yp debe seguir a la salida del sistema modelo ym, el modelo de referencia lineal se buscará que sea lo más parecido a la componente lineal del sistema a linealizar. Con ello, se reducen esfuerzos de la señal de control, cuya única finalidad será la de atenuar el efecto de las no linealidades. Sin embargo, el planteamiento que se hará también será válido en el caso en que se quiera compensar dinámica no modelada lineal. En este caso, la presencia de ésta deberá también incorporarse a wx. El modelo de referencia se formula como un sistema lineal, tal como VI.- Linealización mediante norma infinita VI-1 donde se toma un modelo igual a la parte lineal del sistema no lineal, y se considera que corresponde a una función de transferencia estrictamente propia. mm2 m m =A + x xb u =c y x  De este modo, se obtiene un sistema error, matemáticamente caracterizado por las ecuaciones siguientes en donde x son las variables de estado del sistema error, e es su salida, y v la entrada. Igual que antes, wx es la perturbación, que ya se ha dicho que puede tener origen externo (ruidos o interferencias) o interno (dinámica no lineal o la lineal que se aparte del modelo). Además, en el caso de perturbación interna, ésta puede depender bien de la entrada v o bien de la salida yp del sistema no lineal. pm pm 1x 2 2 x =- xx e= - yy x =A x+ + vbw b b e=c x  Definiendo la señal v como v=u+ u se obtiene el sistema error siguiente Por tanto, ya se tiene formulado matemáticamente el objetivo: obtener la señal de control u para la cual se tenga el menor error e. Enfocándolo como una optimización por norma infinita, queda claro que lo que se querrá es minimizar la norma infinita de la función de transferencia que relaciona e con wx. 1x 2 x =A x+ + bw b e=c x  VI.- Linealización mediante norma infinita VI-1 Pero, en el caso en que wx tenga un origen interno, es decir que directa o indirectamente tenga relación con u, entonces se debe considerar que quizás se esté obteniendo una norma pequeña a cambio de incrementar excesivamente la señal de control u, y en consecuencia con peligro de incrementar la no linealidad e incluso de inestabilizar. VI.2.- Atenuación óptima de perturbaciones externas. Sea el sistema error obtenido en el apartado anterior, para el caso en que la perturbación wx es una señal externa, y por tanto no depende de ninguna de las variables del propio sistema. Es decir, el problema que se plantea ahora es el de atenuar ruido en un sistema lineal contaminado por una perturbación externa, contando con ello con la ayuda de un modelo de referencia limpio de perturbación. El sistema error formulado en espacio de estado es VI.- Linealización mediante norma infinita VI-1 A continuación, se ha de buscar un formulación del problema de modo que sea aplicable la teoría de minimización de normas de acuerdo al criterio H ∞ . Para ello, en primer lugar se ha de definir el vector z asociado a las variables a minimizar. La elección de z es 1x 2 x =A x+ + bw b e=c x  en donde la componente z1 tiene en cuenta el propio error e, mientras que z2 penaliza el coste de la señal de control u, ponderada por un escalar β1. Se puede reescribir lo anterior de este modo 1 2 z z= = z β ⎡ ⎡⎤ ⎢ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣ La señal de realimentación u se ha de obtener a partir de una medida de la salida del sistema error e. Esta medida la denominaremos y, y se supone que está contaminada por un ruido de medida wy. Además, se incluirá un escalar β2 que ponderará este ruido de medida. De este modo, todo esto es formulado así 1 1 12 1 1 0 c z= x+ u= x+ C 0 siendo 0 c = ; = CD 0 β β ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ [] x y2 2 22 y x y w y=c x+ = x+0 = x wC C w w siendo w= w ββ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ donde se ha definido el vector perturbación w, que incluye los dos tipos de ruido descritos: wx que hace el papel de ruido de proceso y wy que es un ruido de medida. Todo lo anterior, si se escribe en la forma compactada presentada en el capítulo de optimización de norma infinita (capítulo IV), queda representado en el sistema generalizado siguiente 12 12 1 21 2 x A B B z= 0 CD y0 CD ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦  siendo VI.- Linealización mediante norma infinita VI-1 El objetivo de optimización se ha de alcanzar realimentando con un controlador lineal la señal medida y. De este modo, la señal de control u será consecuencia de un filtraje lineal de y, que expresado en terminología de transformada de Laplace es equivalente a [ ] [ ] [] 12 12 12 1 1 21 22 =0 ; =0 bb BB 0 c = ; = ; CD 0 =c ; = 0 ; CD β β ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦ Siguiendo con el diseño, lo que se __ U(s)= K(s) Y(s) donde U(s)= { u(t) } ; Y(s)= { y(t) } ; quiere es minimizar la ganancia cuadrática (norma infinita) entre los vectores de señal w y z. Es decir, hallar la realimentación u para la que se cumple la desigualdad VI.- Linealización mediante norma infinita VI-1 con el mínimo valor de γ. Como se está considerando un sistema SISO y además existe ortogonalidad entre C1 y D12 (es inmediato comprobarlo), ello supone que __ _ _ 22 2 z w γ ≤ Esta ortogonalidad es debida a que la variable a controlar z tiene dos componentes: una parte dependiente de las variables de estado x y otra que depende de u y que penaliza la señal de control, y ambas son independientes entre sí. __ _ _ ___ 222 12 11 222 z= x+ u= x+ CC D D Como se considera que el sistema es SISO (una entrada u y una salida e) y haciendo uso de las definición de C1 y D12 antes presentadas, la ecuación anterior puede reescribirse así __ _ __ 22 2 1 22 z=e+ β Por tanto, se quiere diseñar el controlador con el que sea posible obtener la mínima γ que cumpla la desigualdad siguiente ___ __ 22 22 1 22 e+ u w βγ ≤ Tal como está planteado el problema, ya es factible usar el método iterativo de solución del problema standard, expuesto en el apartado IV.5.4, para obtener el controlador apropiado asociado a la mínima γ . Particularizando las ecuaciones del apartado IV.5.4 al caso concreto que estamos considerando, se tiene que