E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado

Estructuras de Hormigón Miguel Troyano Moreno CONTENIDO: 1. Introducción ............................................................................................................................. 2 2. Comportamiento hasta rotura de una pieza de HORMIGÓN armado sometida a esfuerzos cortantes. .................................................................................................................................. 2 2.1 Estado I. Elástico ................................................................................................................. 3 2.2 Estado II. De fisuración ....................................................................................................... 6 2.3 Estado III. De prerrotura ...................................................................................................... 8 3. Analogía de la celosía de Ritter-Mörsch .................................................................................... 9 3.1 Cortante resistido por la armadura transversal .................................................................... 11 3.2 Cortante absorbido por el hormigón ................................................................................... 12 3.3 Compresión oblicua del hormigón del alma ........................................................................ 13 3.4 Decalaje de la ley de esfuerzos ........................................................................................... 14 4. Cortante según EHE. Elementos lineales, placas y losas. ......................................................... 17 4.1 Obtención de Vu1 ............................................................................................................... 18 4.2 Obtención de Vu2. .............................................................................................................. 19 4.2.1 Piezas sin fisurar ...................................................................................................... 19 4.2.2 Piezas sin armadura de corte .................................................................................... 20 4.2.3 Piezas con armadura de cortante ............................................................................... 20 4.2.3.1 Cálculo de Vcu ..................................................................................................... 20 4.2.3.2 Cálculo de Vsu ..................................................................................................... 21 4.3 Interacción cortante-flector ................................................................................................ 21 4.4 Disposiciones relativas de las armaduras. ........................................................................... 22 5. Sistemática de cálculo. ............................................................................................................ 25 Tema 11: E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 2 de 26 1. INTRODUCCIÓN En el capítulo precedente relativo al cálculo de secciones sometidas a solicitaciones normales, se analizan temas de hormigón armado sobre los cuales nuestros conocimientos pueden considerarse suficientemente satisfactorios. La forma de actuar fue, primeramente, estudiar el comportamiento cualitativo, hasta rotura, vía experimentación, de las piezas de hormigón armado sometidas a solicitaciones normales. A partir de este estudio se estableció un modelo, formalizado en un conjunto de hipótesis básicas, que nos permitió resolver el problema del cálculo de secciones (dimensionamiento y comprobación) bajo solicitaciones normales. Los resultados de este cálculo concuerdan satisfactoriamente con los resultados experimentales. Del tema que ahora se inicia, comportamiento de piezas de hormigón armado frente a los esfuerzos cortantes, nuestro conocimiento es mucho más imperfecto, debido a la extraordinaria complejidad del problema. La forma de actuar será la misma: estudiaremos el comportamiento hasta rotura de una pieza de hormigón armado sometida a esfuerzos cortantes y a partir de este estudio estableceremos un modelo de cálculo. A diferencia del comportamiento de la pieza bajo solicitaciones normales, el comportamiento bajo esfuerzos cortantes es mucho más complejo, dependiendo, entre otros condicionantes, de la geometría de la sección, de su variación a lo largo del eje de la barra, la esbeltez de ésta, la disposición de las armaduras, del tipo de cargas, de la situación de los apoyos, etc. Esta complejidad hace que no sea fácil incluir todas las variables que intervienen en una teoría práctica y al mismo tiempo sencilla. Por lo tanto, estableceremos un modelo simplificado que nos permita obtener unos resultados, que posteriormente corregiremos para ajustarlo a los resultados experimentales. 2. COMPORTAMIENTO HASTA ROTURA DE UNA PIEZA DE HORMIGÓN ARMADO SOMETIDA A ESFUERZOS CORTANTES. En una pieza flectada, la variación del momento flector a lo largo de su eje origina la aparición de una nueva solicitación denominada esfuerzo cortante, que en una sección es la resultante de las tensiones tangenciales que en ella actúan. Para realizar el estudio del comportamiento de una pieza de hormigón armado sometida a esfuerzos cortantes, vamos a analizar las distintas etapas por las que pasa una pieza, simplemente apoyada y sometida a una carga uniforme p, hasta alcanzar la rotura (ver Fig. 2-1). La pieza estará solicitada, por tanto, a flexión y cortante. En concreto, pretendemos determinar la distribución de tensiones en la pieza de hormigón armado. Al igual que en el caso de las solicitaciones normales, consideraremos tres estados: p Momentos flectores Cortantes Fig. 2-1 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 3 de 26 2.1 Estado I. Elástico Para estados de carga pequeños, donde las deformaciones de las fibras más traccionadas son inferiores a la correspondiente a la de agotamiento por tracción del hormigón, la pieza se encuentra sin fisurar, y el comportamiento del hormigón puede considerarse elástico y lineal. Además, debido a las pequeñas deformaciones que se producen, la contribución de la armadura longitudinal a la resistencia de la sección puede despreciarse. Para una sección de la pieza, como la representada en la Fig. 2-2, sometida a unos esfuerzos normales (nos encontramos en un problema de flexión simple, por lo que únicamente existe un momento flector M) 1 y un esfuerzo cortante V, la distribución de tensiones normales sería como la representada en la Fig. 2-3, donde se ha representado una rebanada del elemento formada por dos secciones separadas una distancia ds. Según las leyes de la resistencia de materiales (ecuaciones de NAVIER), las tensiones normales, a ambos lados de la rebanada, a una distancia t de la línea neutra 2 , vienen dadas por: x M (t) t I  x M dM ' (t) t I   donde I es el momento de inercia de la sección según el eje Z. Para obtener la distribución de tensiones tangenciales sobre la sección damos un corte a una altura y (el origen de este sistema se encuentra sobre la línea neutra de la sección), y planteamos el equilibrio de dicha porción de la rebanada. En la Fig. 2-4 se representa la porción de rebanada objeto de estudio, sometida a las tensiones que el resto de la pieza ejerce sobre ella, y los esfuerzos resultantes de dichas tensiones. Del equilibrio de la porción de rebanada obtenemos que: ds dC RdCCdsRC  [2-1] donde R es la fuerza rasante por unidad de longitud, a una altura y sobre la línea neutra de la sección. Las resultantes de las compresiones a ambos lados de la porción de rebanada serán: 1 En el caso de encontrarnos en un problema de flexo-compresión el razonamiento a seguir sería exactamente el mismo, obteniéndose los mismos resultados. 2 Una sección sometida a un esfuerzo de flexión simple tendrá su línea neutra situada en el centro de gravedad de la sección, ya que se tienen que equilibrar la resultante de las tensiones de compresión con la de tracción. t y x C  R ds C dC ds ds x  x ' L.N. Fig. 2-4 M M dM ds ds x  x ' Fig. 2-3 Fig. 2-2 b(y) y x h M V L.N. X Y 1 d Y Z E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 4 de 26 xx xx yy y xx x yy M C (t) b dt C t b dt dM IdC t b dt M dM I C dC ' (t) b dt C dC t b dt I                                 x y dM dM dC t b dt dC S(y) II        [2-2] donde S(y) es el momento estático de la sección a una altura y sobre la fibra neutra. Sustituyendo [2-2] en [2-1] se obtiene: ()dM S y Rds I  y como del equilibrio de la rebanada se tiene que cumplir que: V ds dM  nos queda finalmente: I )y(S VR  [2-3] La rasante máxima se produce donde es máximo el momento estático, que sucede a la altura de la línea neutra: máx S(0) RV I  [2-4] La tensión tangencial  vendrá dada por: R S(y) V b(y) I b(y)       [2-5] por lo tanto, la distribución de tensiones tangenciales sobre la sección será tal que la tensión tangencial es nula en las fibras extremas y máxima donde sea máximo el cociente S(y) b . En el caso particular de secciones rectangulares, donde el ancho b es constante, la tensión tangencial máxima se produce, al igual que la fuerza rasante, a la altura de la línea neutra, y su valor es: máx S(0) VIb   . [2-6] Teniendo en cuenta que la resultante de compresiones vale: x x x x 0 0 0 M M M C b dt t b dt t b dt S(0) I z I I I S(0) M C z                     los valores máximos de la fuerza rasante por unidad de longitud y tensión tangencial se pueden poner de la forma: máx máx VV Rz z b      [2-7] En la Fig. 2-5 se representa la distribución de tensiones tangenciales para el caso particular de una sección rectangular. Por lo tanto, dada una sección cualquiera sometida a esfuerzos normales y un esfuerzo cortante, conocemos la distribución de tensiones que se producen tanto normales, x  , como tangenciales,  . Estas tensiones son las que se representan para un punto cualquiera de la pieza en la Fig. 2-6.a). V  V zb L.N. Fig. 2-5 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 5 de 26 Este estado tensional origina unas tensiones principales que vienen dadas por: 22 xx I22          22 xx II 22          x 2 tan2    y que para el mismo punto anterior, se han representado en la Fig. 2-6.b). Si representamos las envolventes de las tensiones principales se obtienen unas curvas, denominadas líneas isostáticas, que son las que se indican en la Fig. 2-7. Se observa que a nivel del eje neutro, las tensiones principales, al ser x0 , tienen una inclinación de 45º respecto al eje de la pieza. Puede observarse que el efecto de las tensiones tangenciales, creadas por el cortante, es el de inclinar las tensiones principales de tracción respecto al eje de la pieza. En el Estado I estas tensiones no superan la resistencia a tracción del hormigón, y la pieza no se fisura. El esfuerzo I  I  II  II  45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º Compresión Tracción Fig. 2-7 Fig. 2-6 x  x    I  I  II  II   a) b) E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 6 de 26 cortante es resistido únicamente por el hormigón, pues aunque exista armadura transversal, prácticamente no entrará en carga debido a las pequeñas deformaciones que se producen. 2.2 Estado II. De fisuración Al aumentar la carga se producen tensiones principales de tracción superiores a la resistencia del hormigón a tracción. En este instante comienza la fisuración del hormigón siguiendo las trayectorias de las tensiones principales de compresión. Si estamos aun suficientemente alejados de la rotura, podemos seguir admitiendo un comportamiento lineal tensión-deformación. La distribución de tensiones normales sería como la representada en la Fig. 2-7, para una rebanada del elemento formada por dos secciones separadas una distancia ds. Al igual que en la sección sin fisurar, las tensiones normales, a ambos lados de la rebanada, a una distancia t de la línea neutra, vienen dadas por: x f M (t) t I  x f M dM ' (t) t I   donde en este caso If es el momento de inercia de la sección fisurada según el eje Z. Para obtener la distribución de tensiones tangenciales sobre la sección, actuamos de igual forma que en el caso de la sección sin fisurar, es decir, damos un corte a un altura y, y planteamos el equilibrio de dicha porción de la rebanada. En la Fig. 2-8 se representa la porción de rebanada objeto de estudio, sometida a las tensiones que el resto de la pieza ejerce sobre ella, y los esfuerzos resultantes de dichas tensiones. Del equilibrio de la porción de rebanada obtenemos de nuevo que: ds dC RdCCdsRC  [2-8] donde, al igual que antes, R es la fuerza rasante por unidad de longitud, a una altura y sobre la línea neutra de la sección. Las resultantes de las compresiones a ambos lados de la porción de rebanada serán: xx x yy x f y xx f x yy f M C (t) b dt C t b dt IdM dC t b dt M dM I C dC ' (t) b dt C dC t b dt I                                 x f y ff dM dM dC t b dt dC S (y) II        [2-9] donde Sf(y) es el momento estático de la sección fisurada a una altura y sobre la línea neutra. Para valores de y0 será: f S (y) S(y) , y para y0 será: f S (y) S(0) , al encontrarse la sección M M dM ds ds x  x ' L.N. Fig. 2-7 t y x C  R ds C dC ds ds x  x ' L.N. Fig. 2-8 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 7 de 26 fisurada, y por lo tanto x0 , hasta alcanzar la armadura inferior, donde el momento estático se anula. Sustituyendo [2-9] en [2-8] se obtiene: ff ff S (y) S (y) dM R R V ds I I    [2-10] De nuevo la rasante máxima se produce donde es máximo el momento estático de la sección fisurada, que sucede a la altura de la línea neutra: f máx f S (0) RV I  [2-11] Por debajo de la línea neutra, al no existir tensiones normales y por lo tanto permanecer el momento estático constante, la fuerza rasante se mantiene también constante. La tensión tangencial  vendrá dada por: f f S (y) RV b(y) I b(y)       [2-12] donde de nuevo la tensión máxima se produce donde sea máximo el cociente S(y) b(y) . En el caso particular de secciones rectangulares, donde el ancho b es constante, la tensión tangencial máxima se produce a la altura de la línea neutra, y su valor es: f máx f S (0) VIb   . [2-13] Los valores máximos de la fuerza rasante por unidad de longitud y tensión tangencial se pueden poner, al igual que en el caso de la sección sin fisura, de la forma: máx máx VV Rz z b      [2-14] En la Fig. 2-9 se representa la distribución de tensiones tangenciales para el caso particular de una sección rectangular. En la Fig. 2-10 se han representado las líneas isostáticas, donde se observa como por debajo de la línea neutra estas líneas se transforman en rectas con inclinación de 45º respecto a la directriz de la pieza, al ser las tensiones normales nulas y encontrarnos en un estado de corte puro. V  V zb L.N. Fig. 2-9 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 8 de 26 2.3 Estado III. De prerrotura Para estados de carga elevados la relación tensión deformación deja de ser lineal para presentar una fuerte plastificación, como ya vimos en el tema 7. La distribución de tensiones normales sería como la representada en la Fig. 2-11, para una rebanada del elemento formada por dos secciones separadas una distancia ds. Con los conocimientos actuales no podemos determinar la distribución de tensiones tangenciales por encima de la línea neutra, ya que para este estado, no se conoce un diagrama tensióndeformación lo suficientemente preciso como para poder restar volúmenes de compresiones, tal como se ha realizado en los dos casos anteriores. Lo que sí podemos determinar son las tensiones tangenciales por debajo de la línea neutra, pero admitiendo la hipótesis de que el brazo mecánico se mantiene constante. Efectivamente, aislando una porción de la rebanada anterior que incluya la línea neutra (Fig. 2-12), y planteando el equilibrio de la misma, obtenemos, como siempre: ds dC RdCCdsRC  [2-15] Como a nivel de sección, admitiendo la conservación del brazo mecánico, se verifica: M C z dM dC z M dM (C dC) z           y por lo tanto: M M dM ds ds x  x ' L.N. Fig. 2-11 z x C  R ds C dC ds ds x  x ' L.N. Fig. 2-12 I  I  II  II  45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º 45º Compresión Tracción Fig. 2-10 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 9 de 26 dM dC z  [2-16] y sustituyendo [2-16] en [2-15] se obtiene: dM V z RR ds z    [2-17] que se mantiene constantes por debajo de la línea neutra. Por último las tensiones tangenciales serán: V zb   que para secciones rectangulares, donde el ancho es constante, también se mantienen constantes por debajo de la línea neutra. 3. ANALOGÍA DE LA CELOSÍA DE RITTER-MÖRSCH Como se ha visto en el apartado anterior, la existencia de un esfuerzo cortante lleva consigo la inclinación de las tensiones principales, y por lo tanto la inclinación de las fisuras. Para que la pieza resista esta solicitación 3 y limitar el ancho de estas fisuras, es necesario introducir armadura transversal. En principio, la forma más lógica de introducir estas armaduras transversales sería en la dirección perpendicular a las fisuras, es decir, según la inclinación de las direcciones principales de tracción, que como hemos visto, en teoría formarían un ángulo de 45º con la directriz de la pieza, tal como se muestra en la Fig. 3-1. En la práctica esta disposición no suele ser la más interesante, fundamentalmente por las dificultades constructivas que conlleva este armado, y porque esa inclinación sólo sería válida para un determinado signo del cortante, de tal forma que en las vigas la inclinación sería distinta en cada uno de sus extremos, con el consiguiente riesgo de invertir las inclinaciones en la fase de ejecución. Por lo tanto, la disposición más adecuada en la práctica corresponde con la armadura transversal a 90º, es decir, dispuesta perpendicularmente a la directriz de la pieza, tal y como se muestra en la Fig. 3-2. 3 Como hemos visto en el apartado anterior, una pieza sin armadura transversal es capaz de absorber esfuerzos cortantes, aunque pequeños. Armadura transversal Fig. 3-1 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 16 de 26 Como consecuencia de esto, el cálculo de esta armadura, que hasta ahora ha sido función únicamente de las solicitaciones normales (flectores y axiles), se hace también función del esfuerzo cortante. No obstante, se puede comprobar que el esfuerzo de tracción en la sección A-A, Fs, es el mismo que el que tiene la armadura en la sección B-B, separada de la anterior, en el sentido en que aumentan los momentos flectores, una distancia igual a: su dd V 1 cotg (cotg cotg ) sz 2V        [3.4-5] cuando este esfuerzo se calcula únicamente teniendo en cuenta las solicitaciones normales. Efectivamente, el momento flector que existe en esta sección B-B es, tomando momentos en el punto Q (ver Fig. 3-9.a)): d s su Q d d d d V 1 cotg (cotg cotg ) M 0 M M V z 0 2V                d s su d d d d V 1 cotg (cotg cotg ) M M V z 2V           y por lo tanto la tracción que se produce en la armadura en la sección B-B, considerando únicamente el efecto del momento flector (en general las solicitaciones normales) es: d s dd s s d su MM 1 F F V cotg V (cotg cotg ) z z 2          que coincide con la deducida en [3.4-3]. Por lo tanto, si las armaduras longitudinales las calculamos con los flectores que existen no en sus secciones sino en otras separadas de las anteriores una distancia igual sd, en el sentido en que crecen los momentos flectores, podemos desacoplar el cálculo de esta armadura del esfuerzo cortante. Esto es equivalente a desplazar las leyes (en general envolventes) de momentos flectores una distancia igual a sd, en el sentido más desfavorable (Fig. 3-10). A este desplazamiento de las leyes se le denomina decalaje de las leyes de esfuerzos. d M z C' s F' A A B B C s F A A B B su d 1V cotg (cotg cotg ) z2V         d V su d 1V cotg (cotg cotg ) z2V         d S d M d S d V Q a) b) Fig. 3-9 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 17 de 26 El valor del desplazamiento de las leyes de momentos flectores se puede poner, admitiendo que z 0,9 d , de la forma: su dd d V 1 cotg (cotg cotg ) s 0,9 d s k d 2V             donde el valor de k se ha tabulado en la Tabla 3.4-2. Como puede observarse la traslación es más importante cuanto menor es el cortante absorbido por la armadura transversal, es decir, cuanto menos importante es esta armadura en la resistencia a cortante de la pieza 5 , cuanto mayor sea el ángulo  de la armadura transversal y cuanto menor sea la inclinación de las fisuras. No obstante para 45º la traslación siempre es menor que el canto útil de la pieza. su d V V  0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 30º 45º 1,56 1,25 0,94 0,64 0,33 60º 1,56 1,30 1,04 0,78 0,52 90º 1,56 1,36 1,17 0,97 0,78 45º 45º 0,90 0,68 0,45 0,23 0,00 60º 0,90 0,72 0,55 0,37 0,19 90º 0,90 0,79 0,68 0,56 0,45 Tabla 3.4-2 4. CORTANTE SEGÚN EHE. ELEMENTOS LINEALES, PLACAS Y LOSAS. El Estado Límite Último de agotamiento por esfuerzo cortante puede alcanzarse, ya sea por agotarse la resistencia a compresión oblicua del alma, o por agotarse su resistencia a tracción. En consecuencia, es necesario comprobar que se cumplen simultáneamente: d u1 VV d u2 VV 5 el límite su d V0 V , sucede cuando todo el cortante es absorbido por el hormigón ( d cu VV ) y el límite su d V1 V cuando todo el cortante es absorbido por la armadura transversal ( d su VV ) d M A B d s A B d s d M a) b) d M d s d M d s d M d s Fig. 3-10 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 18 de 26 donde: Vd Esfuerzo cortante de cálculo. Vu1 Esfuerzo cortante de agotamiento por compresión oblicua en el alma. Vu2 Esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma. La comprobación del agotamiento por compresión oblicua en el alma d u1 VV se efectúa en el borde del apoyo y no en su eje. Esta comprobación no es necesaria hacerla en las piezas sin armadura de cortante. La comprobación correspondiente al agotamiento por tracción en el alma d u2 VV se efectúa para una sección situada a una distancia de un canto útil del apoyo directo. 4.1 Obtención de Vu1 Del modelo de celosía obtuvimos, en el apartado 3.3, el cortante que provocaba una tensión c  en las bielas de compresión: dc 2 cotg cotg V b z 1 cotg        Si en esta expresión introducimos la máxima tensión de compresión que es capaz de soportar dichas bielas, f1cd, e introducimos un término corrector, K, para tener en cuenta la existencia del esfuerzo axil que no se ha sido considerado en el modelo, obtenemos el cortante que provoca el agotamiento por compresión oblicua del alma: u1 1cd 0 2 cotg cotg V K f b d 1 cotg         donde:  K: Coeficiente de reducción por efecto del esfuerzo axil: 6 K 1,00 Para estructuras sin pretensado o sin esfuerzo axil de compresión cd cd ' K1 f   para cd cd 0 ' 0,25f   K 1,25 para cd cd cd 0,25f ' 0,50f   cd cd ' K 2,5 1 f      para cd cd cd 0,50f ' 1,00f   cd ' tensión efectiva en la sección (positiva si es de tracción): d s' yd cd c N A f 'A   Nd Esfuerzo axil de cálculo (positivo si es de tracción). Ac Área total de la sección de hormigón. As’: Área total de armadura comprimida 6 Este coeficiente ha sido determinado experimentalmente. Para que sea inferior a la unidad, cd cd ' K 2,5 1 1 f        , el axil tiene que ser (despreciando la influencia de la armadura comprimida): d c cd N3 A f 5   d u1 Comprobación de V u2 Comprobación de V d E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 19 de 26 Para los pilares de edificación con dimensiones y solicitaciones habituales puede adoptarse un coeficiente de K1 .  f1cd: Resistencia a compresión del hormigón, de valor: f1cd = 0,60·fcd 7 para fck ≤ 60 Mpa f1cd = (0,90-fck/200) fcd ≥ 0,50·fcd para fck > 60 MPa  b0: Anchura neta mínima (descontando los huecos, si los hay) del elemento, en una altura igual a los tres cuartos del canto útil contados a partir de la armadura de tracción. Fig. 4-1  d: Canto útil de la sección  : Ángulo de inclinación de las armaduras transversales con el eje de la pieza. Cuando existen varios grupos de armaduras transversales con distinta inclinación:  ii i A.cotg cotg A   donde Ai es la sección por unidad de longitud de las armaduras que forman un ángulo  i con el eje de la pieza.  : Ángulo entre las bielas de compresión de hormigón y el eje de la pieza. Se adopta un valor que cumpla: 0,5 cotg 2,0   8 En hormigón armado es usual tomar 45º  Para el caso habitual de que se adopten los valores 90º  y 45º  , la expresión del cortante de agotamiento por compresión oblicua en el alma queda:     u1 cd 0 V 0,30 f b d 4.2 Obtención de Vu2. Para determinar el esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma, pueden presentarse dos situaciones: 4.2.1 Piezas sin fisurar La resistencia al agotamiento por tracción en el alma viene dada por:   2 0 u2 ct,d l cd ct,d Ib V f ' f S      que para hormigón armado se reduce a: 0 u2 ct,d Ib Vf S   7 La disminución de la resistencia a compresión del hormigón de las bielas por el coeficiente 0,6, es debida a la existencia de tracciones en dirección perpendicular a las compresiones, que son transmitidas por las armaduras transversales, y que provocan un estado biaxial de tensiones. 8 Esta condición es equivalente a 27º 63º 45º 18º      E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 20 de 26 4.2.2 Piezas sin armadura de corte Para placas y losas, sin armaduras transversales, el esfuerzo de agotamiento por tracción en el alma vale: 3 2 1 2 cv c 13 u2 cv cd 0 c 0,075 f 0,18 V (100 f ) 0,15 ' b d                  9 donde además de las variables comentadas en el apartado anterior, se define:  200 1d    con d en mm.   : Cuantía geométrica de la armadura longitudinal de tracción anclada 10 a una distancia igual o mayor que d a partir de la sección de estudio: s 0 A bd    0,02  fcv: resistencia efectiva del hormigón a cortante en N/mm2 de valor fcv = fck con fck no mayor de 15 N/mm2 en el caso de control indirecto de la resistencia del hormigón (fck ≤ 60 N/mm2)  cd ' : Tensión axial media en el alma de la sección (compresión positiva) d cd cd c N ' 0,3f 12MPa A     4.2.3 Piezas con armadura de cortante En este caso, el esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma será: u2 cu su V V V donde: Vcu contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante. Vsu contribución de la armadura transversal de alma a la resistencia a esfuerzo cortante. 4.2.3.1 Cálculo de Vcu 1 3 2 3 1 2 u2 cv cd 0 cv cd 0 cc 0,15 0,075 V (100 f ) 0,15 ' b d f 0,15 ' b d                            11 donde todos los parámetros son ya conocidos menos , cuyo valor es: e e 2 cotg 1 si 0,5 cotg cotg 2 cotg 1            e e cotg 2 si cotg cotg 2,0 cotg 2         9 Este cortante corresponde a la contribución del hormigón a la resistencia del esfuerzo cortante, Vcu, y como se comentó en el apartado 3.2 su expresión a sido deducida vía experimental, haciendo intervenir los factores comentados en ese mismo apartado. 10 Como veremos en el tema 18, donde trataremos el tema del anclaje, para realizar éste tenemos que prolongar la armadura una longitud, b,neta , que entre otros factores es función del tipo de anclaje. 11 De nuevo este cortante se ha deducido vía experimental. b,neta b,neta b,neta b,neta d d 45º 45º 45º 45º d d d d Fig. 4-2 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 21 de 26 e: Ángulo de referencia de inclinación de las fisuras deducido de la expresión: 2 ct,m ct,m xd yd xd yd e ct,m yd f f ( ) cotg f            0.5 2.0    fct,m: Resistencia media a tracción del hormigón considerada como positiva, cuyo valor es 2 3 ct,m ck f 0,30 f (ambas resistencias en 2 N/mm ). xd, yd: Tensiones normales de cálculo, a nivel del centro de gravedad de la sección, paralela a la directriz de la pieza y al esfuerzo cortante Vd respectivamente. Éstas se obtendrán a partir de las acciones de cálculo de acuerdo con la Teoría de la Elasticidad y en el supuesto de hormigón no fisurado y considerando positivas las tensiones de tracción. En el caso habitual de que  yd 0  , la expresión de e cotg  será:  xd e ct,m cotg 1 f   En hormigón armado puede tomarse 1  4.2.3.2 Cálculo de Vsu La expresión del cortante absorbido por la armadura transversal fue deducida en el modelo de celosía en el apartado 3.1. La Instrucción EHE generaliza aquella expresión para el caso de que existan varios grupos de armaduras transversales, cada uno con una inclinación :   su y ,d V z A f sen cotg cotg          donde:  z: Brazo mecánico, para el cual se podrá tomar z 0,9 d  A: Área por unidad de longitud de cada grupo de armaduras que forman un ángulo  con la directriz de la pieza: rama tt nA A Ass     donde:  A : La sección de acero que se proyecta en un mismo plano transversal inclinado  grados con respecto a la directriz de la pieza y en el mismo sentido que las tensiones principales de tracción.  n: nº de ramas del estribo ó numero de barras que se levantan simultáneamente  Arama: Área de una rama del estribo o de una barra levantada.  st: Separación de la armadura transversal en la dirección de la directriz.  fy,d: Resistencia de cálculo del acero de la armadura transversal con: y ,d f2 N 400 mm Para 45º  y 90º  queda:     su 90 y90,d V 0,9 d A f 4.3 Interacción cortante-flector Las armaduras longitudinales de tracción deberán ser capaces de soportar un incremento de tracción respecto a la producida por Md, igual a: su d V T V cotg (cotg cotg ) 2         E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 22 de 26 Esta prescripción se cumple de forma automática decalando la ley de momentos de cálculo Md una magnitud igual a: su d d V 1 s z cotg (cotg cotg ) 2V         en el sentido más desfavorable, tal y como se muestra en la Fig. 4-3. Tomar  d sd está del lado de la seguridad para 45º  (hormigón armado). 4.4 Disposiciones relativas de las armaduras. La armadura transversal puede estar formada (ver Fig. 4-4) por barras levantadas y por estribos. En ambos casos esta armadura atraviesa el alma de la pieza de hormigón armado de forma paralela a las caras laterales de la misma y debe quedar adecuadamente ancladas en ambas cabezas. Estribos Barras levantadas Alzado Fig. 4-4. Disposición de la armadura transversal d s I M I M D M D M V M V M decalaje d s d s d s leyes de cálculo leyes decaladas Fig. 4-3 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 23 de 26 Fig. 4-5 Armadura transversal formada por cercos  Barras levantadas Las barras levantadas son aquellas longitudinales de tracción, que a partir de la sección en que dejan de ser necesarias, se levantan a 45º atravesando el alma de la pieza, colaborando de esta forma a resistir el esfuerzo cortante. Este levantamiento se efectúa, a ser posible, por parejas de barras situadas simétricamente respecto del plano de simetría de la pieza. Este sistema era muy utilizado antiguamente debido a que la cantidad de acero en tracción era grande, al emplearse aceros de menores resistencias, y a que permitía un correcto anclaje en el caso de que las barras fuesen lisas. En la actualidad no se suelen utilizar debido a la dificultad de ejecución y a la fuerte concentración de tensiones a que puede dar lugar el empleo de pocas barras de gran diámetro.  Estribos. Los estribos son las armaduras que se disponen formando planos independientes, con una inclinación  respecto a la directriz de la pieza (normalmente 90º ). Se denomina número de ramas de un estribo, al número de barras, en la dirección del cortante, que constituyen el estribo. Las disposiciones típicas, según el número de ramas, son las que se indican en la Fig. 4-6. En todos los casos los estribos deben rodear las armaduras longitudinales, con objeto de garantizar el anclaje de los mismos en ambas cabezas. Además, de esta forma se evita también el pandeo de las barras longitudinales comprimidas. Si estas barras fuesen necesarias por cálculo, los estribos deben cerrarse sobre todas las armaduras. E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 24 de 26 2 ramas 2 ramas 2 ramas 6 ramas 2 ramas Estribos cerrados o cercos Estribos abiertos horquillas Mallas electrosoldadas Fig. 4-6 El diámetro de los estribos suele estar comprendido entre los 6 y los 10 mm, pues a partir de ese diámetro resulta difícil su elaboración. Como norma general, resulta preferible colocar estribos finos y juntos que gruesos y separados, para mejorar las condiciones de adherencia y fisuración. Si resultan muy juntos, es preferible aparearlos, colocando dos en contacto, a disponer uno solo de sección doble.  Estribos cerrados o cercos (Fig. 4-6-a). Su disposición es obligatoria en soportes con objeto de confinar el hormigón y evitar el pandeo de las armaduras, así como en todo aquel elemento lineal sometido a torsión (como veremos en el tema siguiente el esfuerzo torsor requiere siempre cercos). Como se ha comentado anteriormente deben disponerse por el exterior de las armaduras longitudinales.  Estribos abiertos (Fig. 4-6-b y Fig. 4-6-c). En este caso el anclaje en la cabeza de compresión se consigue mediante gancho (Fig. 4-6-b) o prolongación recta (Fig. 4-6-c). Los estribos de la Fig. 4-6-c se han utilizado en vigas de carga de forjados unidireccionales.  Horquillas de una o dos ramas (Fig. 4-6-d). Son los estribos que unen barras comprimidas con traccionadas, quedando las armaduras en forma de cuchillos separados.  Malla electrosoldada (Fig. 4-6-e). Se emplean en determinados países por su sencillo montaje y excelente comportamiento. En este caso el anclaje en la cabeza de compresión se consigue mediante las barras longitudinales que constituyen la malla. La instrucción EHE establece que se deben de cumplir las siguientes disposiciones:  La armadura transversal de cortante debe formar con el eje de la pieza un ángulo  comprendido entre 45º y 90º, inclinada en el mismo sentido que la tensión principal de tracción producida por las cargas exteriores, al nivel del centro de gravedad de la sección de la pieza supuesta no fisurada.  La cuantía mínima de las armaduras transversales debe ser tal que cumpla la relación: y ,d ct,m 0 Af fb sen 7,5     Esta armadura debe disponerse con estribos verticales.  La separación máxima entre estribos debe cumplir la mínima de las condiciones siguientes: t d u1 t u1 d u1 t u1 d 1 s 0,75 d (1 cotg ) 600 mm si V V 5 12 s 0,6 d (1 cotg ) 450 mm si V V V 53 2 s 0,3 d (1 cotg ) 300 mm si V V 3                       donde d es el canto útil de la pieza. E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo cortante en elementos de hormigón armado 11 Pág. 25 de 26 St,I Apoyo I 5 cm Øt St,C Apoyo D 5 cm St,D h nDØt/St,DnIØt/St,I lI nCØt/St,C lClD  La separación transversal st,trans entre ramas de armaduras transversales deberá cumplir la condición siguiente: t,trans s d 500mm  Cuando las armaduras comprimidas se obtienen por cálculo, se deberá cumplir la condición adicional: t mín s 15 t t máx mín s 1 4 15     sujetando al menos una de cada dos barras consecutivas de la misma cara y toda aquellas que se dispongan a una distancia s 15cm .  En piezas comprimidas t 30 cm sdimensión menor del elemento     Dado que la resistencia al esfuerzo cortante no se produce en una sección sino en una zona, los estribos deben prolongarse una distancia h/2 más allá de la sección en la que dejan de ser necesarios por cálculo. En el caso de apoyos, los cercos o estribos se dispondrán hasta el borde de los mismos.  Al menos 1/3 de la armadura necesaria por cortante, y en todo caso la cuantía mínima, se dispondrá en forma de estribos verticales. 5. SISTEMÁTICA DE CÁLCULO. Una vez organizadas las armaduras longitudinales y conocidas la sección en la que deja de ser necesaria cada barra, hay que comprobar las distintas secciones a esfuerzo cortante y calcular los estribos correspondientes. Normalmente debido a la alta resistencia del hormigón empleado y al diámetro de las barras longitudinales, se prescinde de las barras levantadas a 45º, aunque la sistemática que se expone puede ser perfectamente aplicable a estas últimas. El valor de Vu1 ha de compararse con Vd, valor del esfuerzo cortante de cálculo mayorado, a partir de la cara del apoyo, presentándose los casos: a) Sí Vd > Vu1. Se deben aumentar las dimensiones de la sección para evitar el agotamiento por compresión oblicua del alma 12 . b) Si Vd  Vu1. El hormigón soporta las compresiones que actúan en el alma. En necesario ahora comprobar que no se agota la capacidad del alma a tracción. Para esta nueva comprobación el valor del cortante de cálculo, Vd, se toma a partir de una distancia igual al canto útil de la cara del apoyo: 12 Otra alternativa, aunque menos apropiada por afectar no solo al elemento que estamos estudiando, sino a toda la estructura, sería la de mejorar la resistencia del hormigón. t,trans s t,trans s t,trans s