Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada

Estructuras de Hormigón Miguel Troyano Moreno  x  1  2  3  y  1    1    1  2  3  x  y  CONTENIDO: 1. Introducción ............................................................................................................................. 2 2. Respuesta seccional. diagramas de interacción .......................................................................... 3 3. Métodos de cálculo en flexo-compresión esviada ...................................................................... 9 3.1 Métodos numéricos. Programas de ordenador .................................................................... 10 3.2 Empleo de los diagramas de interacción ............................................................................. 10 3.3 Métodos simplificados ....................................................................................................... 11 3.3.1 Método de la EHE .................................................................................................... 11 3.3.2 Método de la Instrucción Rusa. Fórmula de Bresler .................................................. 12 Tema 10: Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada 10 Pág. 2 de 13 1. INTRODUCCIÓN En el tema anterior, hemos resuelto el problema general del cálculo de secciones sometidas a solicitaciones normales, cuando se cumplían las dos condiciones siguientes:  La sección de hormigón armado tiene un eje de simetría.  Los esfuerzos, axil y momento flector, actúan en el plano definido por este eje de simetría y la directriz de la pieza. En ese caso el eje neutro era perpendicular al eje de simetría de la sección, y su posición quedaba definida por un único parámetro, para el cual tomamos la profundidad del eje neutro, x. Este problema, como ya vimos, se denomina flexo-compresión 1 recta. En este tema vamos a estudiar el problema de flexo-compresión esviada, que se puede definir como aquella solicitación normal, para la cual no se conoce, a priori, la dirección del eje neutro. Este tipo de solicitación se presenta cuando no se cumple alguna de las condiciones anteriores, es decir, en alguno de los casos siguientes (ver Fig. 1-2):  La sección de hormigón NO tiene un eje de simetría.  Aun siendo simétrica la sección de hormigón, la distribución de armaduras no lo es.  Existe el eje de simetría de la sección de hormigón armado, pero los esfuerzos NO actúan en el plano definido por este eje de simetría y la directriz de la pieza. Las dos primeras situaciones no se suelen presentar en la práctica, pero sí la tercera, fundamentalmente en los siguientes casos:  En las vigas que, además de la carga gravitatoria que provoca flexión en el plano vertical, están sometidas a cargas laterales (empujes del viento, líquidos o tierras, sismo, ...). En esos casos los axiles suelen ser despreciables, estando sometidos dichos elementos a flexión simple esviada.  En los soportes, bien porque los elementos que inciden sobre los mismos (vigas o forjados bidireccionales) le transmiten flexión en dos direcciones, o bien porque, aunque la flexión se 1 En el caso de que el axil sea de tracción, flexo-tracción recta. G Y x cM  x sn  s3  s2  s1  n y 3 y 2 y 1 y h N M Fig. 1-1. Flexo-compresión recta N 0 e x e N y e x  x x   Fig. 1-2. Flexo-compresión esviada Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada 10 Pág. 3 de 13 produzca en un plano principal en el caso de soportes pertenecientes a pórticos plano, la existencia de cargas transversales a dicho plano (viento, sismo, ...) provoca finalmente flexión en la otra dirección. En estos casos el axil es importante, estando sometidos dichos elementos a flexión o compresión compuesta esviada (flexo-compresión esviada). El planteamiento de este problema es análogo al realizado en los temas anteriores, si bien su resolución es mucho más compleja, teniendo que recurrir a soluciones numéricas obtenidas mediante programas de ordenador, al empleo de ábacos de interacción 2 o a métodos prácticos (de base empírica) de solución aproximada. 2. RESPUESTA SECCIONAL. DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN De nuevo la respuesta seccional la obtenemos a partir de las ecuaciones de compatibilidad, comportamiento y equilibrio. El procedimiento sería el siguiente (ver Fig. 2-1, donde por simplicidad se sigue empleando para el hormigón el diagrama rectangular):  Para un plano de deformación de agotamiento, definido en este caso por la profundidad de su eje neutro, x, y por su inclinación, , respecto a una dirección dada, utilizando las ecuaciones de compatibilidad, se determinan las deformaciones de las distintas fibras de la sección: cxy (x, ) y si (x, ) , donde: cxy(x, ) : Es la deformación de la fibra del hormigón de coordenadas (x,y). si(x, ) : Es la deformación de la armadura i, que está situada en la posición (xi,yi), y donde i = 1,...,n, Estas ecuaciones son las deducidas en el tema 7, teniendo en cuenta que ahora las profundidades de las distintas armaduras no son constantes, sino que dependen de la inclinación . 2 Son también soluciones obtenidas por medio de programas de ordenador, para un conjunto de secciones, pero representadas en forma de gráficos. y cc Y cc X x cd f cM  x sn  s3  s2  s1  sn  s3  s2  s1  sn F s3 F s2 F s1 F cu N Deformaciones Tensiones Esfuerzos internos Plano de deformación x Compatibilidad Comportamiento Equilibrio cu N X Y  n Fig. 2-1 Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada 10 Pág. 4 de 13  A partir de estas deformaciones, utilizando las ecuaciones de comportamiento del material, se obtienen las tensiones de las distintas fibras de la sección: cxy (x, ) y si (x, ) , donde: cxy(x, ) :Es la tensión de la fibra del hormigón de coordenadas (x,y). En el caso particular de del diagrama rectangular estas tensiones serán constantes y de valor: cxy cd f si(x, ) : Es la tensión de la armadura i, donde i = 1,...,n,. Se considera positiva si es de compresión.  Finalmente la respuesta seccional será la resultante de estas tensiones, que la obtenemos aplicando un doble equilibrio, primeramente calculando los esfuerzos internos y finalmente la resultante de estos esfuerzos internos respecto al baricentro de la sección de hormigón. La diferencia con el problema de flexo-compresión es que ahora hay que plantear equilibrio de momentos respecto a los dos ejes de coordenadas X e Y. Las resultantes de las tensiones en las distintas armaduras serán: si si si F (x, ) A (x, )    con i=1,...,n aplicadas en el baricentro de las mismas, y para el hormigón: cu cxy cu cu Área comprimida N (x, ) dA N N (x, )        que será función de la profundidad del eje neutro y de su inclinación, y está aplicada en las coordenadas dadas por: cxy Área comprimida cc cc cc cu (x, ) x dA X X X (x, ) N          cxy Área comprimida cc cc cc cu (x, ) y dA Y Y Y (x, ) N          que de igual forma son también función de la profundidad del eje neutro y de su inclinación. Finalmente, la resultante de estos esfuerzos (respuesta seccional) respecto del baricentro de la sección de hormigón será: n u cu si si i1 N N A      cux n ux cu cc si si i i1 M M N Y A y        cuy n uy cu cc si si i i1 M M N X A x        Se comprende fácilmente que si la respuesta seccional era en flexo-compresión recta función de la sección de hormigón armado y de la profundidad del eje neutro, en el caso de flexo-compresión esviada depende además de la inclinación del eje neutro. Si al igual que se hizo en flexión recta, se realiza la adimensionalización queda: u cu i i nsi yd u cu si i1 c cd c cd c cd yd Af NN A f A f A f f            Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada 10 Pág. 5 de 13 cc i ux cu i i cux cux c cd nsi yd ux cu cc si i i1 c cd c cd c cd yd M A h f Af M N Y y A h f A f h A f f h                 cc i uy cu i i cuy cux c cd n uy si yd cu cc si i i1 c cd c cd c cd yd M A b f M A f NX x A b f A f b A f f b                 que utilizando variables adimensionales, queda: n u cu i i i1        cux n ux cu cc i i i i1           cux n uy cu cc i i i i1           De esta forma conseguimos que esta respuesta sea válida para todas las secciones de hormigón armado semejantes a una dada, es decir, si fijamos una determinada tipología de sección de hormigón armado 3 , la respuesta seccional adimensional, ru, es solo función de las cuantías 1  , 2  ,..., n  , de la profundidad del eje neutro, , y de su inclinación ; es decir: u u 1 2 n r r ( , ,..., , , )      . Si además, al igual que en flexo-compresión recta, se fija que las cuantías 1  , 2  ,..., n  tienen que cumplir alguna condición, resulta finalmente que la respuesta seccional es únicamente función de tres únicos parámetros, la cuantía mecánica total, tot yd c cd Af Af    , la profundidad del eje neutro, , y su inclinación, ; es decir: uu u u ux ux uy uy ( , , ) r r ( , , ) ( , , ) ( , , )                           Si se fija un determinado valor de la cuantía mecánica, , resulta que la respuesta seccional es únicamente función de la profundidad del eje neutro y de su inclinación, y representa el conjunto infinito de situaciones de agotamiento que puede alcanzar la sección correspondiente. Si se representa este conjunto infinito de situaciones de agotamiento en un diagrama (, x, y), se obtiene una superficie 4 que se denomina superficie de interacción, y es de la forma que se muestra en la Fig. 2-2 3 Incluido dentro de la tipología el tipo de acero, como se comentó en el tema anterior, para, así, eliminar de la respuesta seccional la dependencia de las tensiones adimensionales i. 4 En flexo-compresión recta este conjunto infinito de situaciones de agotamiento dependía de un único parámetro, la profundidad del eje neutro, de tal forma que en un espacio bidimensional (, ), daba lugar a una curva. En flexo-compresión esviada este conjunto infinito de situaciones de agotamiento depende de dos parámetros: la profundidad del eje neutro y su inclinación; y por lo tanto en un espacio tridimensional (, x, y), da lugar a una superficie. Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada 10 Pág. 6 de 13 Cada punto del espacio (, x, y) corresponde con una solicitación, sd (d, dx, dy), actuando sobre la sección. La superficie de interacción clasifica estos puntos de la forma (ver Fig. 2-2):  Los puntos que se encuentran por debajo de la superficie de interacción corresponden con aquellas situaciones donde du sr y por lo tanto corresponden con situaciones donde la sección no se agota (no se alcanza el estado límite).  Los puntos de la propia superficie corresponden con aquellas situaciones donde du sr y por lo tanto corresponden con situaciones de agotamiento. Dentro de éstos se encuentran:  La intersección de la superficie de interacción con el eje  (punto ), que corresponde a la situación de agotamiento en compresión simple, con ux uy 0    .  La intersección de la superficie de interacción con los ejes x y y (punto  y ), que corresponden a las situaciones de agotamiento en flexión simple, con u0 , en el primer caso actuando la flexión en el eje X y en el segundo en el eje Y.  Las curvas que se obtienen como intersección de la superficie con los planos coordenados (, x) y (, y) corresponden con las situaciones de agotamiento en flexo-compresión recta en torno a los ejes X e Y respectivamente.  Los puntos situados por encima de la superficie de interacción corresponden con situaciones donde du sr y por lo tanto son situaciones no alcanzables por la sección, ya que antes de alcanzar un punto de éstos, la sección debe alcanzar una situación de agotamiento. Fig. 2-2 Agotamiento en flexión simple en torno al eje X Agotamiento en compresión simple  x  u ux uy f( , )    Cte b h h h A A ' yd Cte Cte f Cte    d c cd N Af   dy dx xy c cd c cd M M A h f A b f         tot yd c cd Af Af    TIPO DE SECCIÓN y  Agotamiento en flexión simple en torno al eje Y 'b 'b X Agotamiento en flexo-compresión recta en torno al eje X Agotamiento en flexo-compresión recta en torno al eje X Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada 10 Pág. 7 de 13 Si se representan conjuntamente las distintas superficies de interacción que se obtienen al hacer variar la cuantía mecánica, el diagrama resultante recibe el nombre de diagrama de interacción, y presenta el aspecto que se muestra en la Fig. 2-3. Como no se puede trabajar con estos diagramas tridimensionales, se cortan estas superficies por planos perpendiculares al eje , obteniéndose de esta forma curvas de interacción ux uy f( )   para un axil constante, donde cada una de ellas corresponde a un determinado valor de la cuantía mecánica, tal y como se muestra en la Fig. 2-4. Como estas curvas ocupan un único cuadrante, se pueden representar en un mismo diagrama cuatro de estos planos dando lugar a lo que se conocen como ábacos en roseta. En la Fig. 2-5 se representa uno de estos ábacos 5 , que es válido para toda sección de hormigón armado semejante a la que se muestra en la parte superior derecha; es decir para aquella que cumpla las siguientes características:  La sección de hormigón es rectangular  La disposición de armaduras es simétrica a dos caras, con recubrimientos de a d 0,10 a y b d 0,10 b 6 , donde a es el canto y b el ancho de la sección  El tipo de acero de las armaduras es de dureza natural con: yk 2 kp f 4.200cm  5 Ha sido tomado de la obra “Hormigón armado” de P. Jiménez Montoya, A. García Meseguer y F. Morán Cabré, que en su tomo 2 presenta un completísimo juego de ábacos. 6 En flexo-compresión esviada, como hay flexión en torno a los dos ejes, es necesario fijar los recubrimientos en ambas direcciones.  x  1  2  3  y  Fig. 2-3 Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada 10 Pág. 8 de 13 Fig. 2-5 Si la sección de hormigón tiene dos ejes de simetría y la armadura se dispone simétrica a las cuatro caras, los diagramas de interacción ux uy f( )   son simétricos respecto a la bisectriz del cuadrante. En este caso es posible representar, para cada plano de axil constante, un único octante, pudiéndose por lo tanto representar en un mismo ábaco ocho de estos octantes, para ocho axiles distintos, tal y como se representa en la Fig. 2-6.  x  1  2  3  y  1    1    1  2  3  x  y  Fig. 2-4 Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada 10 Pág. 9 de 13 Fig. 2-6 3. MÉTODOS DE CÁLCULO EN FLEXO-COMPRESIÓN ESVIADA Entendemos por métodos de cálculo los procedimientos de que se dispone para resolver el problema del cálculo de secciones, en sus dos vertientes de dimensionamiento y comprobación. El problema de dimensionamiento, como ya hemos visto consiste en resolver el sistema de ecuaciones (en este caso tres ecuaciones) du sr donde las incógnitas son la profundidad, , e inclinación, , del eje neutro, y la cuantía de armadura, . El problema de comprobación consiste determinar la respuesta seccional, ru, con objeto de poder verificar que se cumple la ecuación du sr Como en flexo-compresión esviada la respuesta seccional es función de dos parámetros: la profundidad, , e inclinación, , del eje neutro, dando lugar a una superficie en el espacio xy ( , , )   , es necesario fijar dos de estos esfuerzos en el agotamiento para poder determinar el tercero, que finalmente es el que se compara con el correspondiente del efecto de las acciones. En flexocompresión esviada es normal fijar los momentos de agotamiento ux uy ( , ) , o las excentricidades xy (e ,e ) , y determinar el axil de agotamiento u  . Finalmente si du    , la sección se encuentra en buenas condiciones de seguridad. Por lo tanto ambos problemas, tanto el de dimensionamiento como el de comprobación, se reducen finalmente a resolver el sistema de ecuaciones: du sr donde las incógnitas son:  Dimensionamiento: profundidad, , e inclinación, , del eje neutro, y cuantía de armadura, .  Comprobación: profundidad, , e inclinación, , del eje neutro, y el axil de agotamiento, u.