Segmentación de tumores cerebrales extra-axiales en imágenes de resonancia magnética usando contornos activos

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA DE LA SALUD Segmentación de tumores cerebrales extra-axiales en imágenes de resonancia magnética usando contornos activos Segmentation of extra-axial brain tumors in magnetic resonance imaging using active contours Realizado por Gemma Urbanos García Tutorizado por Enrique Nava Baro Departamento Departamento de Ingeniería de Comunicaciones UNIVERSIDAD DE MÁLAGA MÁLAGA, Julio de 2018 Fecha defensa: El Secretario del Tribunal Resumen Este Trabajo Fin de Grado consiste en la detección de contornos de tumores cerebrales extra-axiales en imágenes obtenidas por Resonancia Magnética usando técnicas de contornos activos. Los contornos activos(Snakes) son técnicas sofisticadas de detección de formas que se basan en el reajuste de una curva inicial deformable a partir de la minimización de energías externas e internas del contorno. En primer lugar, se realiza una introducción del problema describiendo la parte biológica sobre tumores cerebrales y la obtención de imágenes por Resonancia Magnética, así como su procesamiento y segmentación. Posteriormente, se explica la base teórica y matemática de los contornos activos, el conjunto de métodos que son fundamentales para la comprensión y desarrollo de la implementación del algoritmo llevada a cabo en este trabajo. Finalmente se procede a evaluar el problema, la implementación del método en Matlab y los resultados obtenidos de forma que se puede observar como el algoritmo ofrece los resultados deseados y se demuestra la fiabilidad del estudio a partir de la curva ROC. Palabras clave: Segmentación, conjunto de nivel, contornos activos, tumor, resonancia magnética, ROC. Abstract This Final Degree Project consists in detection of extra-axial brain tumors in Magnetic Resonance Imaging using active contours. Active contours (Snakes) are sophisticated forms detection techniques that are based on the readjustment of a deformable initial curve using external and internal energies. First, there will be an introduction of the problem that describes the biological part about brain tumors and the obtaining of images by magnetic resonance, as well as its processing and segmentation. Subsequently, it is explained the theoretical and mathematical basis of the active contours, the Level set methods that are fundamental to understand and develop the implementation of the algorithm. Finally, the problema is evaluated as well as the implementation of the method in Matlab and the results obtained and prove the reliability of the study from the ROC curve. Keywords: Segmentation, Level Set, active contours, tumor, magnetic resonance, ROC. Índice general Índice de figuras ................................................................................................. 7 Índice de tablas .................................................................................................. 8 1. Introducción ................................................................................................. 9 1.1. MOTIVACIÓN ....................................................................................... 9 1.2. OBJETIVOS .......................................................................................... 9 1.3. TECNOLOGÍAS UTILIZADAS ............................................................. 10 1.4. INTRODUCCIÓN BIOLÓGICA ............................................................ 11 1.4.1. Tipos de tumores cerebrales ........................................................ 11 1.5. IMÁGENES POR RESONANCIA MAGNÉTICA(RM) ........................ 16 1.6. FORMATO DICOM ............................................................................. 18 1.7. SEGMENTACIÓN DE IMÁGENES ..................................................... 19 1.7.1 Métodos de segmentación ............................................................ 21 1.8. SNAKES O MÉTODO DE CONTORNOS ACTIVOS .......................... 25 1.8.1 Contornos activos paramétricos ................................................... 26 1.8.2 Contornos activos geométricos..................................................... 31 2. Teoría de contornos activos basados en Level Sets ................................. 33 2.1. FUNDAMENTOS DE LEVEL SET....................................................... 36 2.2. MÉTODOS BÁSICOS ......................................................................... 37 2.2.1. El modelo de Mumford y Shah...................................................... 37 2.2.2. Métodos Numéricos: Aproximaciones al problema de Mumford y Shah 39 2.2.3. Modelo Chan-Vese ....................................................................... 44 2.2.4. Relación entre los modelos Mumford-Shah y Chan-Vese ............ 46 2.2.5. Distancia de regularización de la evolución del Level Set (DRLSE) …………………………………………………………………………………….50 3. Desarrollo y análisis de resultados ............................................................ 59 3.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA....................................................... 59 3.2. IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO ................................................... 59 3.2.1. Estudio del parámetro alpha. ........................................................ 69 3.2.1.1. Curva ROC ............................................................................. 73 3.2.2. Cálculo del valor óptimo de alpha ................................................. 82 3.3. RESULTADOS OBTENIDOS .............................................................. 91 3.4. CONCLUSIONES................................................................................ 92 3.5. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN ........................................... 93 Bibliografía ....................................................................................................... 95 Anexos ............................................................................................................. 99 ANEXO A. CÓDIGO EN MATLAB ................................................................ 99 ANEXO B. IMÁGENES DE REFERENCIA CON ROI ................................. 115 ANEXO C. REPRESENTACIÓN DE LA CURVA ROC ............................... 116 ANEXO D. VALORES DE AUC .................................................................. 117 ANEXO E. TABLAS OBTENIDAS CON LOS PARÁMETROS NECESARIOS PARA LA CURVA ROC .............................................................................. 118 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 7 Índice de figuras Figura 1.Estructura formato DICOM ................................................................. 19 Figura 2. Etapas del procesamiento digital de imágenes (Wainschenker & J. Massa, 2011) .................................................................................................... 20 Figura 3. Lena con distintos niveles de umbralización ..................................... 22 Figura 4. Segmentación con Split and Merge................................................... 23 Figura 5. (a) El contorno activo γ se deforma en todo momento y en cada punto de con un vector velocidad; (b) el contorno activo γ se divide en dos curvas regulares, mientras que φ sigue como una función .......................................... 34 Figura 6. Valores de φ en el interior de la región de interés, la zona externa y en el borde del contorno ................................................................................... 34 Figura 7. Evolución Level Set (Nicoguaro, 2018) ............................................. 35 Figura 8. Casos posibles de localización de la curva C. La energía de minimización ("fitting energy") se minimiza cuando la curva está en el contorno del objeto (Chan & Vese,2001) ........................................................................ 46 Figura 9. Diferentes regularizaciones de la función Heaviside(arriba) y la función delta(abajo) (Chan y Vese, 2001) ........................................................ 50 Figura 10. a) sigma=0.5 b) sigma=1.8 c) sigma=5 ........................................... 60 Figura 11. a) hsize=2 b) hsize=20 c) hsize=50 ................................................. 61 Figura 12. a) timestep =-2 b) timestep=1 c) timestep=5 ................................... 61 Figura 13. a) lambda=1 b) lambda=10 c) lambda=50 ...................................... 62 Figura 14. a) alpha=-5 b) alpha=5 c) alpha=10 ................................................ 62 Figura 15. a) epsilon=-5 b) epsilon=1 c) epsilon=5 .......................................... 63 Figura 16. (a) Iter_inner=2 (b) Iter_inner=40 (c) Iter_inner=100 ....................... 64 Figura 17. (a) Iter_outer=0 (b) Iter_outer=10 (c) Iter_outer=50 ........................ 64 Figura 18. Dibujo del Level Set cero alrededor del tumor. a) Level Set cero inicial doble b) Level Set cero inicial único. ...................................................... 65 Figura 19. Representación de la función Level Set inicial ................................ 66 Figura 20. Contorno final adaptado al objeto específico .................................. 66 Figura 21. Representación de la función Level Set Final ................................. 67 Figura 22. Level Set iniciales no ajustados ...................................................... 68 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 8 Figura 23. Level Set finales no ajustados ......................................................... 68 Figura 24. Level set cero .................................................................................. 70 Figura 25.Progresión de la curva del snake dependiente del parámetro alpha 71 Figura 26. a) Imagen ROI original b) Canales RGB en el contorno c) Canales RGB fuera del contorno .................................................................................... 72 Figura 27. a) Imagen ROI original b) Contorno obtenido de la ROI original c) Contorno de la ROI original en binario ......................................................... 72 Figura 28. FN, TP, FP, TN de la superposición de contornos .......................... 74 Figura 29. Superposición de la región deseada y el Snake para cada iteración de alpha ........................................................................................................... 75 Figura 30. Curva ROC ...................................................................................... 77 Figura 31. Método para calcular el AUC .......................................................... 78 Figura 32. Curva ROC segundo caso .............................................................. 80 Figura 33. Comparación de contornos segundo caso ...................................... 81 Figura 34. Curva ROC para valores medios .................................................... 83 Figura 35. Snake obtenido con alpha=-2 en cada caso ................................... 85 Figura 36. Superposición de la snake con alpha=-2 y el contorno deseado .... 86 Figura 37. Superposición de contornos a) imagen original b) alpha=-2 c) alpha=-1 ....................................................................................................... 87 Figura 38. Superposición de contornos a) imagen original b) alpha=-2 c) alpha=-1 ....................................................................................................... 87 Figura 39. Snake obtenido con alpha=-1 para cada caso ................................ 89 Figura 40. Superposición de la snake con alpha=-1 y el contorno deseado .... 90 Figura 41. Imágenes de referencia con ROI .................................................. 115 Figura 42. Curvas ROC obtenidas de cada imagen ....................................... 116 Índice de tablas Tabla 1. Clasificación de los tumores según la OMS,2016. ............................. 12 Tabla 2. Cálculo de AUC .................................................................................. 79 Tabla 3. Valores medios de sensibilidad y especificidad por cada iteración de alpha ................................................................................................................ 82 Tabla 4. Valores de AUC obtenidos para cada imagen .................................. 117 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 9 1. Introducción 1.1. MOTIVACIÓN La principal motivación de este trabajo es conseguir que a partir del método de contornos activos generar una curva que se adapte correctamente al contorno de la zona que se quiere segmentar, en este caso, el tumor cerebral extra-axial de las imágenes de los casos clínicos dados. Actualmente, el profesional en medicina tiene que seleccionar la región de interés (region of interest, ROI) manualmente, y esto puede dar lugar a inexactitudes ya que la topología del tumor puede ser más o menos heterogénea, mostrando más o menos protuberancias, lo cual complica que el dibujo sea exacto y se adapte bien a los bordes del tumor. El método de contornos activos puede solucionar este problema, ya que sólo sería necesario que el profesional indicara alrededor del tumor un rectángulo aproximado al mismo, y automáticamente, el programa ajusta esta curva a los contornos del tumor. Este estudio puede proporcionar al profesional en medicina una técnica que facilite su trabajo, evitando los errores humanos y pudiendo ayudar al diagnóstico. 1.2. OBJETIVOS El principal objetivo de este trabajo es, precisamente, la misma que la motivación al mismo, la detección de contornos en tumores extra-axiales en imágenes de resonancia magnética a partir de contornos activos. Se trata de utilizar un algoritmo concreto basado en contornos activos que aproxime lo mejor y más eficientemente posible el contorno del tumor cerebral. Para ello, se cuenta con unas imágenes dadas por un profesional sanitario, en SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 16 1.5. IMÁGENES POR RESONANCIA MAGNÉTICA(RM) La imagen por resonancia magnética es una técnica no invasiva que produce imágenes tridimensionales de la parte del cuerpo a estudiar, usándose para el diagnóstico y seguimiento del paciente. A diferencia de la tomografía axial computarizada(TC), no usa radiación ionizante, sino campos magnéticos, por lo que el paciente no se expone a radiaciones dañinas. Para obtener imágenes por RM se introduce al paciente en el seno de gran campo magnético de forma que los protones se alinean con el campo. Una vez magnetizado, se envía una serie de pulsos en forma de ondas de radiofrecuencia a través del paciente, los protones se estimulan y luchan contra este campo magnético girando fuera del equilibrio de manera que esta energía es absorbida y posteriormente devuelta y recogida por unos sensores de imagen de resonancia magnética y se reconstruye la imagen, en planos sagitales, axiales, coronales y cualquier tipo de plano oblicuo. Siendo más específicos, la imagen por resonancia magnética se basa en la ionización de átomos que tienen un número impar de electrones en su núcleo, concretamente se habla de resonancia magnética basada en hidrógeno. La imagen por RM se obtiene después de haber sometido a los núcleos de hidrógeno a un campo magnético. Cuando el campo magnético incide sobre estos átomos estos se orientan paralela o antiparalelamente y rotando sobre sí mismos en forma de spin. Algo más de la mitad de los protones se alinean paralelos al campo, y será esta proporción extra de núcleos alineados paralelamente la responsable de generar momentos magnéticos. Además del movimiento del spin, los protones sometidos al campo magnético realizan un giro cónico, como una peonza. Al estar sometido a la gravedad, da lugar a un movimiento de precesión con una geometría cónica de su movimiento. La frecuencia de este movimiento de precesión depende del núcleo que se esté SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 17 estudiando y es directamente proporcional al campo magnético al que se está sometiendo el núcleo. Esto se llama Ley de Larmor: 𝑤=𝛾𝐵0 (1) Siendo w la frecuencia de precesión, B0 el campo magnético y 𝛾 una constante llamada razón giromagnética. Si se le aplica una onda de radiofrecuencia idéntica a la frecuencia de precesión, los núcleos entran en resonancia y absorben la energía de este pulso de radiofrecuencia. Una vez que cesa la absorción de energía los núcleos vuelven a su estado anterior y devuelven la energía siguiente una curva de tiempo determinada por la relación de estos núcleos con otros campos magnéticos del exterior. Cabe destacar que, si se somete a un paciente en un gran campo magnético y se emiten ondas de radiofrecuencia, todo el organismo entrará en resonancia, lo que se traduce en un mal resultado de la prueba. Es por ello por lo que se utiliza un gradiente dentro del campo, para que sólo un plano tenga la frecuencia de precesión adecuada. Las imágenes en RM se utilizan ampliamente en el diagnóstico y seguimiento de tumores cerebrales debido a su alta sensibilidad y detalle. Sin embargo, las técnicas clásicas de RM no son del todo exactas y ofrecen poca información sobre el estado fisiológico del tumor. Por ello, actualmente se están usando técnicas como la espectroscopia o la perfusión y difusión, para determinar el grado histológico del tumor, monitorización a la hora de tratarlo y otras funcionalidades que están ahora mismo en estudio. La información que se obtiene por RM es procesada y transformada en imágenes. Estas imágenes suelen tener un formato estándar DICOM y pueden ser tratadas y analizadas de distintas formas. En el caso de este trabajo, las imágenes son tratadas con técnicas de segmentación y detección de formas. A continuación, se introducirá en que consiste el formato DICOM y algunas SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 18 técnicas de segmentación que se pueden realizar en la imagen, destacando el método de contornos activos, que es en el que se basa este trabajo. 1.6. FORMATO DICOM DICOM (Digital Imaging and Communication in Medicine) es un estándar de comunicación entre sistemas de información y a la vez un formato de almacenamiento de imágenes médicas que ha posibilitado el intercambio de información entre dispositivos debido a que se ha implantado como un formato estándar en las imágenes médicas y es mundialmente conocido y aceptado. El formato DICOM ha sido impulsada por ACR y NEMA, que siguen siendo organizaciones privadas y por ello no todos los hospitales tienen porque tratar con imágenes con formato DICOM (Mildenger, Eichelberg, & Martin, 2002). En la Figura 1 se puede ver la estructura del formato DICOM, el cual es como un contenedor. Posee dos partes, la cabecera y los datos de la imagen (píxeles). La cabecera posee la información sobre el paciente, el sistema de adquisición o modalidad, los parámetros de la imagen, es decir, el conjunto de datos referente a la medicina. La cabecera tiene un identificador único con sintaxis de transferencia UID y está formada por un preámbulo de 128 bytes que se usa para la compatibilidad con otros ficheros, seguido de un prefijo de 4 bytes. Por otro lado, está formado por el conjunto de datos, que contiene la imagen o imágenes especificadas, las cuales vienen codificadas y comprimidas en diversos estándares como JPEG, JPEG 2000, JPEG y además tiene la siguiente información: una etiqueta de identificación , un valor de representación que indica el tipo del dato almacenado, la longitud del dato y el propio dato cuyo contenido depende de la etiqueta, pueden ser los datos del paciente, la prueba realizada… (Forero, Sarmiento, & Díaz, 2001) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 19 Figura 1.Estructura formato DICOM 1.7. SEGMENTACIÓN DE IMÁGENES Una imagen puede ser definida como una función en el espacio bidimensional (2D) de intensidad de luz f(x, y), donde x e y representan las coordenadas espaciales y la función f es el nivel de gris correspondiente a ese punto. Una imagen digital puede considerarse como una matriz cuyos índices de fila y de columna identifican un punto en imagen y el valor del correspondiente elemento de la matriz indica el nivel de gris en ese punto. Cada uno de estos elementos se llama píxel (Palomino & Concha, 2009). Para poder transformar una imagen a imagen digital, obtener información de esta imagen digital o mejorarla, se necesita su procesamiento. El procesamiento de imágenes digitales permite muchas funciones sobre las imágenes, algunos ejemplos de ello son los filtros espaciales, transformaciones de intensidad, restauración de imágenes, segmentación, detección de formas… Estos dos últimos ejemplos son en los se basa este trabajo. El procesamiento de imágenes tiene varias etapas, las cuales se muestran en la Figura 2, SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 20 Figura 2. Etapas del procesamiento digital de imágenes (Wainschenker & J.Massa, 2011) La primera etapa es la captura, donde se adquieren las imágenes, para lo cual se necesitan un sensor y un digitalizador de forma que el objeto pueda convertirse en una señal digital. La etapa II es el preprocesamiento de la imagen, para detectar fallos y eliminarlos de distintas formas, ya sea eliminando ruidos, suavizando contornos, detectar bordes…en esta etapa se incluye el proceso y filtrado para mejorar la imagen. La tercera etapa es la segmentación, en la que se divide la imagen en regiones o segmentos de interés con unas propiedades concretas. El paso siguiente es la extracción de características, también conocido como representación y descripción, se basa en el estudio e identificación del objeto segmentado. La última etapa, en la que se identifican los objetos se basa en reconocimiento e interpretación de estos con procesos automáticos (Wainschenker & J. Massa, 2011). SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 21 1.7.1 Métodos de segmentación La segmentación de imágenes que se basa en dividir la imagen en varias partes u objetos, siendo estos grupos de píxeles el objeto de interés y el resto el fondo. La división de estas regiones se caracteriza ya que cada región presenta unas características similares tales como el nivel de gris, la intensidad o la textura. Cada imagen tiene unas características propias y serán mejor segmentadas por métodos determinados. En el caso de las imágenes médicas, por ejemplo, una imagen del cerebro tendrá unos requerimientos distintos a una del corazón. Además, una imagen médica puede tener ruido, volúmenes parciales, artefactos… luego cada una tendrá un requerimiento de segmentación. 1.7.1.1. Umbralización La umbralización (thresolding) se basa en la segmentación de imágenes a partir de un valor de intensidad llamado umbral(thresold), que separa objetos deseados. Es la técnica más básica de segmentación. Lo más utilizado es la binarización por umbral, es decir, siendo la imagen original f(x,y), la imagen umbralizada g(x, y), se fija un umbral de la siguiente forma (Palomino & Concha, 2009), { 𝑔(𝑥,𝑦)=255,𝑠𝑖 𝑓(𝑥,𝑦)>𝑈𝑚𝑏𝑟𝑎𝑙 𝑔(𝑥,𝑦)=0, 𝑠𝑖 𝑓(𝑥,𝑦)≤𝑈𝑚𝑏𝑟𝑎𝑙 De esta forma se tiene una imagen en blanco y negro, sin tonalidades de grises de por medio, que permite diferenciar bien los objetos del fondo. Para elegir el umbral se utiliza el histograma de la imagen, de forma que se puede escoger el nivel de gris más conveniente para el objeto que se desea segmentar. Es una técnica efectiva cuando el objeto a estudiar tiene unas tonalidades homogéneas y diferenciables, pero no es eficaz en imágenes tridimensionales y no puede aplicarse a imágenes multicanal. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 22 Figura 3. Lena con distintos niveles de umbralización 1.7.1.2. Segmentación orientada a regiones La segmentación de una imagen orientada a regiones se basa en un proceso que divide la imagen en n subregiones, de forma que estas regiones deben cumplir una serie de propiedades, que definen el test de homogeneidad de una imagen: - Cada píxel debe ser único por región. - La unión de todas las subregiones debe formar la imagen completa. - Los píxeles de cada región deben estar conectados. - Los píxeles de las regiones que no son la región objetivo deben cumplir que las características de los píxeles de la región a segmentar y, además, dos regiones adyacentes han de ser distintas. En este tipo de segmentación destacan dos métodos principales: crecimiento de regiones y división y fusión de regiones (Gonzalez, 2016). 1.7.1.3. Crecimiento de regiones La técnica de crecimiento de regiones consiste en agrupar píxeles que reúnen alguna característica similar y formar regiones. Partiendo de un conjunto de píxeles en las distintas regiones de la imagen, llamados semillas, las regiones se van expandiendo incluyendo aquellos píxeles que se detecta que pertenecen a esa región. Para cada píxel detectado, se comprueba si cumple la regla de homogeneidad, es decir, si todos los píxeles de la nueva región siguen teniendo propiedades similares, en cuyo caso se amplía la región añadiéndole ese píxel. El procedimiento acaba cuando no queda ningún píxel que añadir. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 23 Las semillas pueden ser escogidas manualmente o de forma automática, y la elección de estas semillas hace necesaria la fusión de algunas regiones, las cuales deben tener propiedades similares. 1.7.1.4. División y fusión de regiones (Split and merge) Este método consiste en la división de la imagen inicialmente en un conjunto de regiones que se escogen arbitrariamente, y aplicando el test de homogeneidad las regiones adyacentes se fusionarán o no. Partiendo de una imagen inicial I, se divide la imagen en cuatro regiones, cada subimagen que no sea homogénea se vuelve a dividir en otras cuatro subimágenes y así sucesivamente hasta que todas las regiones son homogéneas. Una vez realizadas las particiones de las imágenes se realizan las fusiones entre las regiones que cumplan el test de homogeneidad. En la Figura 4 se observa en un ejemplo de cómo funciona el método. Figura 4. Segmentación con Split and Merge SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 24 1.7.1.5. Watershed Una imagen en escala de grises puede ser vista como un relieve topográfico, donde cada relieve se corresponde con el nivel de gris de un píxel. Los píxeles con mayor intensidad forman los límites de las regiones. El agua se encuentra entre las cuencas de los píxeles con distintos niveles de gris, y cuando el agua alcanza el borde de la cuenca, las regiones adyacentes se fusionan. 1.7.1.6. Agrupamiento(clustering) El “clustering algorithm” o algoritmo de agrupación, trata de dividir un conjunto de datos de entrada en subconjuntos (clusters), de manera que los elementos de cada subconjunto compartan características similares, y su agrupamiento sea llevado a cabo según similitud o cercanía. Entre los métodos de clustering destaca el método k-means, que consiste en fijar un número de clusters y asignar un cluster a cada elemento para después recalcular los clusters a partir de los datos asignados hasta que se consigue la convergencia, por ejemplo, que los píxeles no cambien de cluster (Coto, 2003). 1.7.1.7. Redes Neuronales Artificiales Las Redes Neurales Artificiales (Artificial Neural NetworkANN) son redes paralelas de procesamiento de elementos o nodos que simulan el aprendizaje del cerebro humano. Cada neurona en la red se corresponde a un píxel en una imagen de entrada. Estas neuronas sufren estímulos externos (el color del píxel) y estímulos locales, que proceden de la conexión de una neurona con sus neuronas vecinas. Los estímulos se acumulan hasta que superan el umbral y se producen impulsos en la salida. Este método es muy robusto frente al ruido y a las variaciones del parámetro de entrada. El uso más frecuente en segmentación de imágenes es como clasificador, con un conjunto de datos de entrada suficientes para que la red neuronal pueda aprender (Olabe, 1998). SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 25 1.7.1.8. Modelos deformables Los contornos activos o modelos deformables son técnicas basadas en la diferencia de energías externas e internas de forma que, fijada una curva inicial, esta se va deformando para acabar ajustándose al contorno deseado. Estos métodos se basan encontrar el contorno del objeto que se quiere segmentar con la mayor minimización de energía posible. Su principal ventaja es que genera curvas cerradas directamente, siendo muy robusto frente al ruido, pero se necesita insertar manualmente la curva inicial aproximada para que el modelo se adapte al contorno (Mitiche & Ben Ayed, 2011). Este método es en el que se va a basar este trabajo, y a continuación se explica más detalladamente. 1.8. SNAKES O MÉTODO DE CONTORNOS ACTIVOS Los contornos activos o Snakes se definen como una curva deformable influenciada por energías externas e internas. Al minimizarse la energía la curva se mueve y se adapta al contorno que se quiere extraer. Hay que tener en cuenta que un snake no encuentra de forma automática el contorno de una imagen, si no que mejora una curva que se ha creado inicialmente cercana al contorno del objeto (Kass, Witkin, & Terzopoulos, 1988). El modelo de Snakes ha sido modificado y mejorado por múltiples autores realizando distintas formas de minimización de la energía con métodos como diferencias finitas, elementos finitos, algoritmos voraces, programación dinámica, redes neuronales... (Vese & Guyader, 2015) Los contornos activos pueden ser contornos activos paramétricos y geométricos. La diferencia entre uno y otro es que los paramétricos se representan únicamente como curvas parametrizadas y esta curva evoluciona según los cambios de intensidad en el nivel de gris en los bordes de la imagen. Por otro lado, los contornos activos geométricos están basados en la evolución de la curva a partir de Level Sets, y dibujan el contorno buscando la homogeneidad de distintas características dentro de una región de la imagen. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 32 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 33 2. Teoría de contornos activos basados en Level Sets El método de conjunto de nivel (Level Set Method, LSM) fue creado como una técnica matemática que permite el reconocimiento de formas utilizando una función con signo. Se utiliza normalmente para la segmentación de imágenes en 2D o en 3D (Osher & Sethian, 1988). Siendo γ una curva cerrada en el dominio de imagen Ω, dicha curva se deforma y converge para delimitar las regiones de segmentación deseadas. El conjunto de nivel cero (Zero Level Set, Γ) es la curva actual, es decir, un contorno cerrado que se va definiendo dependiendo de la función del Level Set (LSF). La ecuación del movimiento de Γ sometida a una velocidad v, sirve para definir la evolución de la curva. La velocidad a la que está sometida tiene la misma dirección de su normal en cada punto tal y como se representa en la Figura 5. Esta velocidad puede depender de la posición, el tiempo, la geometría y las propiedades externas de la imagen (Mitiche & Ben Ayed, 2011). 𝑽=𝑉𝒏 (16) Las velocidades pueden ser de tres tipos. Tipo 1. V es una función de curvatura del Level Set cero. Tipo 2. V es de la forma {F, n} donde F es un campo vectorial que depende de la posición y posiblemente del tiempo, pero no de la curva. Tipo 3. V es una función escalar que depende de la posición y el tiempo. El LSM utiliza la curva de nivel cero en la función del Level Set (Φ), de forma que esta función toma valores positivos dentro del contorno Γ, valores negativos fuera y cero en los límites, tal y como se representa en la Figura 6. Si se aplica una ecuación de movimiento en el Level Set cero se obtiene un flujo que determinará SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 34 la evolución de la curva y esta se ajustará el contorno. Sus ventajas es que no depende de ningún parámetro y permite el cambio de topología. Figura 5. (a) El contorno activo γ se deforma en todo momento y en cada punto de con un vector velocidad; (b) el contorno activo γ se divide en dos curvas regulares, mientras que φ sigue como una función (Mitiche & Ben Ayed, 2011) Figura 6. Valores de φ en el interior de la región de interés, la zona externa y en el borde del contorno SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 35 En la Figura 7 se ve claro el comportamiento del modelo. Siendo el volumen rojo φ, la superficie azul el plano xy, la figura gris el conjunto de píxeles donde φ > 0 y el borde de esta figura el Level Set cero (φ=0). Si se quiere detectar cuando el contorno que se ha dividido en dos, dejando fijo el plano xy, se va desplazando el objeto hacia abajo hasta que se encuentra cuando se divide. Figura 7. Evolución Level Set (Nicoguaro, 2018) Si se realiza un muestreo de la curva y su movimiento se define con un algoritmo de descenso, las curvas cerradas que delimitan la región segmentada pueden dividirse o fusionarse durante su evolución. Estos cambios en la topología de curva ofrecen una gran ventaja en casos de segmentación difícil. Los principales tipos de métodos de conjunto de nivel se clasifican en métodos de banda estrecha (narrow band) o de campo disperso (sparse field) (Lamas Rodríguez, Quesada Barriuso, Argüello, Heras, & Bóo, 2012). -La idea del método de banda estrecha es crear una banda delgada que se vaya adaptando a los elementos vecinos, y realizar el cálculo solo en estos puntos. Se introduce complejidad de programación, pero se ahorra computacionalmente. -El método de campo disperso actualiza los elementos alrededor del contorno en cada iteración del algoritmo. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 36 2.1. FUNDAMENTOS DE LEVEL SET Sea Γ el conjunto de curvas planas suaves cerradas, simples y regulares, y siendo γ una función, donde γ: s ∈ [0,1] → γ (s) ∈ Ω. Un contorno activo γ se representa como el Level Set cero de una función φ : ℝ2 ×ℝ+ → ℝ: ∀s,t φ (x (s,t),y(s,t),t)=0 (2.41) (17) La derivada de la ecuación 17 con respecto al tiempo es, suponiendo que φ es suficientemente suave, 𝑑φ 𝑑𝑡=𝜕φ 𝜕𝑥 𝜕x 𝜕𝑡+𝜕φ 𝜕𝑦 𝜕y 𝜕𝑡+ 𝜕φ 𝜕𝑡=(∇𝜑,𝜕γ 𝜕𝑡)+𝜕φ 𝜕𝑡=0 (18) Debido a 𝜕φ 𝜕𝑡=𝑉𝒏 se tiene, 𝜕φ 𝜕𝑡=−𝑉(∇𝜑,𝐧) (19) A la vez también se cuenta con, Ɐ𝑠∈[0,1] 𝑑φ 𝑑𝑠=𝜕φ 𝜕𝑥 𝜕x 𝜕𝑠+𝜕φ 𝜕𝑦 𝜕y 𝜕𝑠=(∇𝜑,𝜕γ 𝜕𝑡)=0 (20) Siendo 𝜕y 𝜕𝑠 la tangente a la curva en s y ∇𝜑 la normal de la curva. Considerando que n está orientada hacia fuera y 𝜑 es positiva dentro del Level Set cero, se deduce la ecuación 21, 𝒏= ∇𝜑 ‖∇𝜑‖ (21) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 37 Sustituyendo la ecuación 21 en 19 se obtiene en la ecuación 25 la evolución temporal de 𝜑, 𝜕φ 𝜕𝑡=𝑉‖∇𝜑‖ (22) Para las velocidades del primer tipo, es decir, V es una función de la curvatura de la curva evolutiva, la curvatura se da en términos de la función de Level Set mediante: 𝒌=𝑑𝑖𝑣(𝐧 ‖𝐧‖)= −𝑑𝑖𝑣(∇𝜑 ‖∇𝜑‖)=𝜑𝑥𝑥𝜑𝑦2− 2𝜑𝑥𝜑𝑦𝜑𝑥𝑦+ 𝜑𝑦𝑦𝜑𝑥2 (𝜑𝑥2+𝜑𝑦2)32 (23) La evolución del contorno sólo se produce en los puntos donde LSF es igual a cero. Para poder llevar a cabo esta evolución se definen velocidades de extensión, implementadas a través de bandas estrechas de forma que la velocidad en un punto sea la misma que la velocidad del punto más cercano a él perteneciente al contorno activo. Para ello se necesita que el contorno inicial se cruce con el contorno objetivo. Una ventaja del LSM es que es fácil acceder a la región deseada de la segmentación ya que el signo de φ determina qué puntos están dentro del contorno γ y cuáles están fuera (Mitiche & Ben Ayed, 2011). 2.2. MÉTODOS BÁSICOS 2.2.1 El modelo de Mumford y Shah David Mumford y Jayant Shah, propusieron un problema que permite calcular aproximaciones una imagen inicial I. Estas aproximaciones se basan en dividir I en trozos. Su modelo trata de minimizar la energía para mejorar las aproximaciones, suavizando de imágenes y detección de límites para su SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 38 segmentación (Mumford & Shah, Boundary detection by minimizing functionals, 1985). Su modelo ha sido estudiado en profundidad, sobre todo en el análisis de imágenes y la visión por computador, tanto es así que la mayoría de las otras formulaciones se pueden explicar cómo variaciones de esta. 2.2.1.1. Definición Siendo Ω ⊂ ℝd el dominio de la imagen, I: Ω → R es una imagen en una dos o tres dimensiones en escala de grises. Para poder segmentar la imagen se debe descomponer Ω del dominio de la imagen I tal que Ω= Ω1 ∪ Ω2 ∪… ∪Ω𝑛 Generalmente, se supone que Ω está abierto, limitado y conectado. Con ello se puede observar que la imagen I varía suavemente y / o lentamente dentro de cada Ωi o varía de forma discontinua y / o rápida a lo largo de la mayor parte del límite K entre diferentes Ωi (Bar, y otros, 2011). La formulación de Mumford-Shah busca una aproximación suave M: x = (x, y) ∈ Ω ⊂ R2 → M (x) ∈ R de la imagen original I: Ω ⊂ R2 → R y un conjunto K de discontinuidades, para representar los límites de la imagen, minimizando el funcional (Mitiche & Ben Ayed, 2011). 𝐹𝑀𝑆(𝑀,𝐾)= ∫(𝐼−𝑀)2𝑑𝒙 Ω+ 𝜌 ∫‖∇𝑀‖2𝑑𝒙+ Ω K𝜆𝜌𝑙(𝐾) (24) Donde 𝜌 y 𝜆 son constantes positivas, 𝑙 es la longitud, y ∇𝑀=(𝑀𝑥+𝑀𝑦)= (𝜕𝑀 𝜕𝑥,𝜕𝑀 𝑑𝑦) es el gradiente espacial de M. El primer término lleva la función a una región cerca de la imagen original. El segundo término se utiliza para aquellas imágenes que son muy heterogéneas, para ello se le aplica una suavidad a través de los bordes. El último término se relaciona con la longitud de los límites regulares. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 39 Simplificando el funcional para aquellas imágenes constantes en todas sus partes, siendo Rk la partición determinada por K y Mk aquellos valores de aproximación de I dentro de una región. Se trata de fijar una partición y un conjunto de valores Mk. 𝑀(𝒙)=𝑀𝑘 ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑘 (25) 𝐹𝑀𝑆(𝑀,𝐾)=∑∫(𝐼−𝑀𝑘)2𝑑𝒙 𝑅𝑘+ 𝜆𝑙(𝐾) 𝑘 (26) 2.2.2 Métodos Numéricos: Aproximaciones al problema de Mumford y Shah El método de Mumford y Shah es un problema bien formulado, pero presenta un problema de regularización en el término libre, para solucionarlo se han realizado muchos estudios que intentan aproximar este método. En este trabajo se explican tres de ellos, la interpretación Bayesiana, la implementación graduada de no convexidad y el funcional de Ambrosio y Tortorelli. 2.2.2.1. Interpretación Bayesiana La segmentación de una imagen puede establecerse como una estimación Bayesiana máxima a posteriori (MAP) que determina, en todas las particiones posibles del dominio de una imagen, una partición de una probabilidad de MAP (Mitiche & Ben Ayed, 2011). Sea f una imagen degradada conocida y u la imagen original, la estimación de MAP de u es el valor más probable de u dada f (ecuación 27). argmax 𝑢𝑷(𝑢|𝑓) (27) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 40 Donde 𝑷(𝑢|𝑓) es la probabilidad condicional de u dada f. Aplicando el teorema de Bayes, que liga la probabilidad de f dado u con la probabilidad de u dado f, se obtiene la ecuación 28, 𝑷(𝑢|𝑓)=𝑷(𝑓|𝑢)𝑷(𝑢) 𝑷(𝑓) (28) Siendo 𝑷(𝑓|𝑢) la función de probabilidad de distribución del ruido (PDF). El término P(u) proporciona información de la región a segmentar. Este término introduce restricciones geométricas en la solución, cuya longitud se define en la ecuación 29, 𝑃(𝑢)∝𝑒−𝛼𝑙(𝐾) (29) donde α es una constante positiva. Para simplificar la ecuación 28, se aplica -log, resultando la ecuación 30, max 𝑢𝑷(𝑢|𝑓)↔max 𝑢 {𝑷(𝑢)𝑷(𝑢|𝑓)} ↔min 𝑢{−𝑙𝑜𝑔 𝑷(𝑢)−𝑙𝑜𝑔 𝑷(𝑓|𝑢) (30) En esta expresión, el primer término - log P (u) actúa como una regularización. El segundo término - log P (f | u) se relaciona con el deterioro que produce f en u (Vese & Guyader, 2015). Teniendo esto en cuenta, la estimación Bayesiana se convierte en el siguiente problema de minimización (ecuación 31 y 32), del que la mayoría de los algoritmos de segmentación variacional optimizan una variante. 𝐹𝑀𝑆(𝑀,𝐾)=∑∫(𝐼−𝑀𝑘)2𝑑𝒙 𝑅𝑘+ 𝜆𝑙(𝐾) 𝑘 (31) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 41 arg𝑚𝑖𝑛 𝑢∑∫ −log𝑃(𝑓| 𝑥 𝜖 𝑅𝑘 𝑘𝑹𝒌)𝑑𝒙−𝑙𝑜𝑔 𝑃(𝑢) (32) El primer término es un término de datos que mide la probabilidad de la imagen dentro de las regiones de partición. Cada región Rk se caracteriza por un conjunto de parámetros que se han estimado al hacer la partición. El modelo de región que suele usarse es la distribución gaussiana (ecuación 33), 𝑃(𝑓|𝑹𝒌)=1 √2𝜋𝜎𝑘2 𝑒−(𝑓−𝜇𝑘)2 2𝜎𝑘2 (33) Donde el conjunto de parámetros de la región Rk es {μk, σk}, siendo, respectivamente, μk y σk, la media y la desviación estándar de los datos de la imagen dentro de Rk. Teniendo en cuenta la información que proporciona la ecuación 33 sobre las particiones deseadas, si se toma una misma σk en todas las regiones, es decir, σk = σ ∀k, y si se establece α = 𝜆σ, la estimación bayesiana reduce la minimización de la función por partes constantes de Mumford-Shah (Mitiche & Ben Ayed, 2011). 2.2.2.2. Implementación graduada de no convexidad La implementación graduada de no convexidad es un método de continuación basado en iteraciones para resolver una serie de problemas, primero resuelve un problema fácil utilizando una versión convexa con FMS utilizando los mínimos globales de la función ya que un mínimo global único sirve como una aproximación inicial. Para simplificar, el método es a menudo descrito para imágenes unidimensionales. Este método intenta minimizar el funcional de Mumford y Shah, cuyo problema con las imágenes unidimensionales es determinar una aproximación suave h de una función h0 definida en un intervalo real ω y un conjunto de discontinuidades K, siendo SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 48 𝐻(𝑧)={1,𝑠𝑖 𝑧≥0, 0,𝑠𝑖 𝑧<0 (48) 𝜕(𝑧)=𝑑 𝑑𝑡 𝐻(𝑧) (49) Utilizando estas funciones y se puede deducir las siguientes ecuaciones, 𝑙𝑜𝑛𝑔{𝜑=0}= ∫|∇𝐻(φ)|=∫𝜕(𝜑)|∇𝜑(𝑥,𝑦)|𝑑𝑥𝑑𝑦 , Ω Ω (50) 𝑎𝑟𝑒𝑎{𝜑≥0}=∫𝐻(φ(x,y)) 𝑑𝑥𝑑𝑦, Ω (51) ∫(𝑢𝑜(𝑥,𝑦)−𝑐1)2𝑑𝑥𝑑𝑦= ∫(𝑢𝑜(𝑥,𝑦)−𝑐1)2𝐻(𝜑(𝑥,𝑦)) 𝑑𝑥𝑑𝑦, Ω 𝜑≥0 (52) ∫(𝑢𝑜(𝑥,𝑦)−𝑐2)2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜑≥0 = ∫(𝑢𝑜(𝑥,𝑦)−𝑐2)2(1−𝐻(𝜑(𝑥,𝑦))) 𝑑𝑥𝑑𝑦 , Ω (53) De forma que sustituyendo en la ecuación 47, se obtiene, 𝐽(φ,𝑐1,𝑐2)= µ∫𝜕(𝜑)|∇𝜑| Ω+v∫𝐻(𝜑)𝑑𝑥 Ω +λ1 ∫(𝑢𝑜−𝑐1)2𝐻(𝜑)𝑑𝑥 Ω +λ2 (𝜑))𝑑𝑥∫(𝑢𝑜−𝑐2)2(1−𝐻 Ω(𝜑))𝑑𝑥 (54) Donde los valores de c1 y c2 en función de 𝜑 son, 𝑐1=∫𝑢𝑜𝐻(φ)dx Ω∫𝐻(φ)dx Ω, (55) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 49 𝑐2=∫𝑢𝑜(1−𝐻(φ))dx Ω∫(1−𝐻(φ))dx Ω, Estas constantes c1 y c2 pueden interpretarse como una media de uo en {𝜑≥0} y en {𝜑<0}, respectivamente. A partir de aquí, se debe minimizar la energía con respecto a 𝜑, pero fijando c1 y c2. Debido a que la función Heaviside es no diferenciable, se regulariza el problema cambiando H por Hε de tal manera que sea posible calcular la derivada, de forma que el problema regularizado es, 𝐽ε(φ)= µ∫𝜕ε(𝜑)|∇𝜑| Ω+v∫𝐻ε(𝜑)𝑑𝑥 Ω +λ1 ∫(𝑢𝑜−𝑐1)2𝐻ε(𝜑)𝑑𝑥 Ω +λ2 (𝜑))𝑑𝑥∫(𝑢𝑜−𝑐2)2(1−𝐻ε Ω(𝜑))𝑑𝑥 (56) Hay diversas formas de regularización, por ejemplo, la que proponen Chan y Vese es de dos tipos, H1 y H2, que son regularizaciones C2(Ω)     y C∞(Ω)    . 𝐻1,ε(𝑧)= {1, 𝑠𝑖 𝑧>ε 12[1+𝑧ε+1𝜋 0,𝑠𝑖 𝑧<−εsin(𝜋𝑧 𝜀),𝑠𝑖 |𝑧|≤ε (57) 𝜕1,ε(𝑧)= {0, 𝑠𝑖 |𝑧|>ε 1 2ε[1+cos(𝜋𝑧 𝜀), 𝑠𝑖 |𝑧|≤ε (58) 𝐻2,ε(𝑧)=12(1+2𝜋arctan(𝑧ε)) (59) 𝜕2,ε(𝑧)=ε 𝜋(ε2+𝑧2) (60) Ambos tienden a H y a ẟ cuando ε  0. La diferencia se basa en que el intervalo de 𝜕1 es [-ε,ε] y el intervalo 𝜕2 no es nulo en todo el dominio. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 50 En la Figura 9 se puede observar las regularizaciones en la función Heaviside y en la medida de Dirac. Figura 9. Diferentes regularizaciones de la función Heaviside(arriba) y la función delta(abajo) (Chan y Vese, 2001) 2.2.5. Distancia de regularización de la evolución del Level Set (DRLSE) Los métodos Level Set geométricos han sido muy utilizados en la segmentación y procesamiento de imágenes, ya que presenta ventajas como que pueden representar contornos complejos y se adaptan a cambios de topología complejas, pero presenta irregularidades que puede causar errores numéricos y provocar una evolución inestable. Para solucionarlo se utiliza la reinicialización, de forma que la función de ajuste de nivel sea reemplazada periódicamente y degradada con una función de signo, pero afecta a la precisión numérica además de que se desconoce el cómo y cuándo se hace (Li, Xu, Gui, & Fox, 2010). SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 51 C.Li, C.Xu, C.Gui y M.D.Fox proponen una nueva formulación de Level Set variacionales donde se mantiene la regularidad de la función de ajuste de niveles durante su evolución. La evolución del Level Set se deriva como el flujo de gradiente con un término de regularización que minimiza una energía funcional y una energía externa que impulsa el movimiento del Level Set cero a la ubicación deseada. La idea básica de la propuesta de los autores es representar Level Set cero y formular su movimiento. El término de regularización de distancia se define como una función tal que la derivada de los Level Set tienen un efecto de difusión con un avance y retroceso único siendo capaz de mantener la forma deseada de la curva de la función de ajuste de nivel cerca del Level Set cero. Esto produce un nuevo tipo de evolución de Level Set llamado distancia de regularización. La distancia de regularización elimina la necesidad de reinicialización, y, por tanto, evita errores numéricos y se denota como DRSLE. 2.2.5.1. Descripción del método Siendo el contorno paramétrico dinámico C(s,t) : [0,1] x [0,∞]  ℝ2 la evolución de la curva puede expresarse como: 𝜕𝐶(𝑠,𝑡) 𝜕𝑡 =𝐹𝑁 (61) Donde F es la función velocidad, que controla el movimiento del contorno, N es el vector normal hacia el interior de la curva y C(s,t) es el Level Set cero dependiente de 𝜑(𝑥,𝑦,𝑡). Suponiendo que la función de ajuste de nivel toma valores negativos en el interior del contorno del Level Set cero y valores positivos en el exterior, el vector normal hacia el interior se puede expresar como −∇𝜑 |∇𝜑|, donde ∇ es el operador gradiente. La evolución de la curva puede expresarse entonces como, 𝜕𝜑 𝜕𝑡=𝐹|∇𝜑| (62) SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 52 Como se ha mencionado anteriormente, la función de ajuste de nivel presenta irregularidades en su evolución que puede llevar a errores numéricos e inestabilidad. Para restaurar la estabilidad y mantener la evolución del Level Set se utiliza la reinicialización, que se basa en detener periódicamente la evolución y remodelar la LSF como una función de distancia. Una forma de reinicialización es, 𝜕𝛹 𝜕𝑡=𝑠𝑖𝑔𝑛(𝛹)(1−|∇𝜑|) (63) Donde 𝜑 es la función de ajuste de nivel para la reinicialización y sign(·) es el signo de la función. Aunque la reinicialización mantiene la regularidad, la función de ajuste de nivel puede desviarse del nivel cero, por lo tanto, se debe evitar la reinicialización tanto como sea posible (Li, Xu, Gui, & Fox, 2010). 2.2.5.2. Formulación de la energía con la regularización de distancia Para Φ: Ω  ℝ siendo Ω el dominio de la función Level Set, la energía funcional se define como, 𝜀(𝜑)=𝜇𝑅𝑝(𝜑)+ 𝜀𝑒𝑥𝑡(𝜑) (64) Donde Rp(𝜑) es el término de regularización, 𝜇>0 es una constante y 𝜀𝑒𝑥𝑡(𝜑) es la energía exterior que depende de los datos de interés, esta energía es mínima cuando el Level Set cero de la función Level Set está localizada en la región deseada. El término de regularización del Level Set se define como, 𝑅𝑝(𝜑)≜ ∫𝑝|∇𝜑|𝑑𝑥 Ω (65) Donde p es una función potencial p:[0,∞) ℝ. Este potencial se puede definir de forma sencilla como SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 53 𝑝=𝑝1(𝑠)≜12(𝑠−1)2 (66) Donde s=1 es el único punto mínimo. Con este potencial p=p1(s), el término de regularización del Level Set puede expresarse como, 𝑃(𝜑)=12∫(|∇𝜑|−1)2𝑑𝒙 Ω (67) Que caracteriza la desviación de 𝜑 con una función de distancia de signo. Sin embargo, la evolución del Level Set para la energía de minimización tiene efectos no deseados en la LSF en algunas circunstancias, por ejemplo, cuando se tiene |∇𝜑|=0 en el interior del contorno la difusión aumenta demasiado y produce una oscilación en 𝜑, lo cual se muestra como picos y valles en la curva que define el contorno y la LSF. Para evitar esto, se añade una nueva función potencial en el término de distancia de regularización Rp. Esta nueva función potencial mantiene la propiedad |∇𝜑|=1 en los píxeles vecinos del Level Set cero, mientras que se mantiene LSF como una constante, con |∇𝜑|=0 en localizaciones lejanas al Level Set cero. Para mantener esto, la función potencial debe tener dos puntos mínimos, en s=1 y s=0, de forma que soluciona los problemas que dejaba la ecuación 67 y además ofrece otras propiedades en la evolución del Level Set, siendo la nueva función potencial p2(s), 𝑝2(𝑠)={1 4𝜋2(1−cos(2𝜋𝑠)), 𝑠𝑖 𝑠≤1 12(𝑠−1)2, 𝑠𝑖 𝑠≥1 (68) 2.2.5.3. Aplicación a la segmentación de imágenes La formulación de distancia del Level Set puede tener muchas aplicaciones con distintas definiciones de energía externa 𝜀𝑒𝑥𝑡. Para aplicaciones de segmentación, una variedad de la información de la imagen, incluida la formación de las regiones o la de los bordes, se puede usar para definir esta energía. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 54 2.2.5.4. Formulación de distancia de regularización de Level Set basado en bordes de contornos activos Siendo I una imagen en el dominio Ω, se define un indicador de bordes como una función g, 𝑔≜ 1 1+|∇𝐺𝜎∗𝐼|2 (69) Donde Gσ es una función Gaussiana con una desviación estándar σ. La convolución con la imagen se usa para suavizarla y reducir el ruido. Esta función g normalmente toma valores mejores en los bordes del objeto que en otras localizaciones. Para una LSF Φ: Ω  ℝ , se define la energía funcional como, 𝜀(𝜑)=𝜇𝑅𝑝(𝜑)+ 𝜆𝐿𝑔(𝜑)+ 𝛼𝐴𝑔(𝜑) (70) Donde 𝜆 >0, 𝛼 ϵ ℝ son coeficientes de los funcionales de energía. El funcional de energía Lg(𝜑), correspondiente con la con la longitud ponderada de la curva, queda definido como, 𝐿𝑔(𝜑)≜∫𝑔𝛿(𝜑)|∇𝜑|𝑑𝒙 Ω (71) Donde 𝛿 es la función delta de Dirac, con la que Lg se define como una integral de línea de la función g a lo largo del contorno de Level Set de 𝜑. Cabe destacar que se propuso un modelo de contornos activos geodésicos parametrizando el nivel cero de 𝜑 como un contorno C[0,1]  Ω, en el que la energía 𝐿𝑔(𝜑) puede expresarse como en la ecuación 47 (Caselles, Kimmel, & Sapiro, 1997), 𝐿𝑔(𝜑)≜∫𝑔(𝐶(𝑠))|C′(s)|𝑑𝑠 1 0 (72) El último funcional de energía Ag(𝜑) de la ecuación 70 se define como, SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 55 𝐴𝑔(𝜑)≜∫𝑔𝐻(−𝜑)𝑑𝒙 Ω (73) Donde H es la función Heaviside. La función 𝐴𝑔(𝜑) engloba un área ponderada de la región 𝛺𝜑 − ≜{𝑥: 𝜑(𝑥)<0}. En el caso de g=1, el área es exactamente la región 𝛺𝜑 −. La energía 𝐴𝑔(𝜑) acelera el movimiento del contorno nivel cero en el proceso de evolución establecido, lo cual es necesario cuando el contorno inicial se sitúa lejano a los bordes deseados. Tomando los valores negativos dentro del objeto y los valores positivos fuera del mismo, si el contorno inicial está situado fuera del objeto, el coeficiente α debe ser positivo, así que el contorno nivel cero puede reducir la evolución del Level Set y, de la misma forma, si el contorno inicial está localizado dentro del objeto, α es negativo, por lo que el contorno tiende a expandirse. A partir de esto, se puede decir que la función de g en Ag es ralentizar la reducción o ampliación del Level Set cero cuando llega al borde del objeto, tomando g valores muy pequeños. En la práctica de los métodos de Level Set, la función Dirac, 𝛿𝜀(𝑥) ,(ecuación 74) y Heaviside, 𝐻𝜀(𝑥), (ecuación 75) se aproximan mediante estas funciones suavizadas, sabiendo que la función 𝛿𝜀 es la derivada de la 𝐻𝜀, y el parámetro 𝜀 normalmente se fija con el valor 1.5. 𝛿𝜀(𝑥)={1 2𝜀[1+cos(𝜋𝑥 𝜀), |𝑥|≤𝜀 0, |𝑥|> 𝜀 (74) 𝐻𝜀(𝑥)={12[1+𝑥𝜀+1𝜋sin(𝜋𝑥 𝜀), |𝑥|≤𝜀 1, 𝑥> 𝜀 0, 𝑥<− 𝜀 (75) Sustituyendo estas funciones en la ecuación 70 se obtiene, SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 56 𝜀(𝜑)=𝜇∫𝑝(|∇𝜑| Ω)𝑑𝒙+ 𝜆∫𝑔 Ω𝛿𝜀(𝜑)|∇𝜑|𝑑𝒙+ 𝛼∫𝑔 Ω𝐻𝜀(−𝜑)𝑑𝒙 (76) Esta energía funcional puede minimizarse resolviendo el siguiente flujo de gradiente cuya ecuación es una aplicación general de la formulación DRSLE (ecuación 77). 𝜕𝜑 𝜕𝑡= 𝜇𝑑𝑖𝑣(𝑑𝑝(|∇𝜑|)|∇𝜑)+ 𝜆𝛿𝜀(𝜑)𝑑𝑖𝑣(𝑔∇𝜑 |∇𝜑|)+ 𝛼𝑔𝛿𝜀(𝜑) (77) Dada una función inicial LSF 𝜑(𝑥,0)=𝜑𝑜(𝑥). El primer término de la ecuación anterior 𝜕𝜑 𝜕𝑡, está asociado con la distancia de regularización Rp(𝜑), y el segundo y tercer término están relacionados con Lg(𝜑) y Ag(𝜑), respectivamente. 2.2.5.5. Implementación en banda estrecha El coste computacional del método Level Set puede reducirse a partir de la implementación en banda estrecha del Level Set cero. La aplicación de banda estrecha requiere reinicialización más frecuente, por lo que su aplicación es más sofisticada. La implementación de la banda estrecha en DRSLE consiste en la actualización de la LSF para reducir el número de iteraciones y el tiempo de cómputo. Siendo 𝜑(𝑖,𝑗) una LSF definida en una cuadrícula, e (i,j) un punto de la misma, si 𝜑𝑖−1,𝑗y 𝜑𝑖+1,𝑗, o 𝜑𝑖,𝑗−1y 𝜑𝑖,𝑗+1 tienen signos contrarios, se le llama punto cero de cruce. El conjunto de todos los puntos cero de cruce del LSF se denotan como Z. Luego la banda estrecha se define como, 𝐵𝑟= ⋃𝑁𝑖,𝑗 (𝑟) (𝑖,𝑗)∈𝑍 (78) Donde 𝑁𝑖,𝑗 (𝑟) es un bloque cuadrado centrado en el punto(i,j). Se fija r con un valor mínimo de r=1, en cuyo caso la banda estrecha Br es la unión 3x3 de los puntos cero de cruce vecinos. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 57 La implementación del método de banda estrecha en DRSLE consiste en los siguientes pasos: 1. Inicialización. Se inicia 𝜑 como una función 𝜑0. Entonces, la banda estrecha inicial es 𝐵𝑟0 (ecuación 79), 𝐵𝑟0= ⋃𝑁𝑖,𝑗 (𝑟) (𝑖,𝑗)∈𝑍0 (79) donde Z0 es el conjunto de puntos cero de cruce de 𝜑0. 2. Actualizar el LSF. Actualizar 𝜑𝑖,𝑗 𝑘+1= 𝜑𝑖,𝑗 𝑘+𝜏𝐿(𝜑𝑖,𝑗 𝑘) en la banda estrecha 𝐵𝑟𝑘. 3. Actualizar la banda estrecha. Determinar el conjunto de todos los puntos cero de cruce de 𝜑𝑖,𝑗 𝑘+1 en 𝐵𝑟𝑘 se denota como Zk+1. Entonces, se actualiza la banda estrecha como, 𝐵𝑟𝑘= ⋃𝑁𝑖,𝑗 (𝑟) (𝑖,𝑗)∈𝑍𝑘+1 (80) 4. Asignar valores a los píxeles nuevos de la banda estrecha. Para cada punto (i,j) en 𝐵𝑟𝑘+1 pero no en 𝐵𝑟𝑘, se asigna 𝜑𝑖,𝑗 𝑘+1 a h, si 𝜑𝑖,𝑗 𝑘>0, o si no se asigna 𝜑𝑖,𝑗 𝑘+1 a -h, siendo h una constante, que puede fijarse como un valor genérico r+1. 5. Determinar el final de la iteración. Si cualquiera de los puntos cero de cruce dejan de variar en m iteraciones consecutivas o k excede un número máximo de iteraciones, entonces se para la iteración, en otro caso, se retoma el paso 2 (Li, Xu, Gui, & Fox, 2010). SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 64 Figura 16. (a) Iter_inner=2 (b) Iter_inner=40 (c)Iter_inner=100 Figura 17. (a) Iter_outer=0 (b) Iter_outer=10 (c) Iter_outer=50 - potentialFunction: elección de la función potencial en el término de distancia de regularización.Se proporcionan dos opciones: potentialFunction = 'single-well' o potentialFunction = 'double-well', que corresponde a las funciones potenciales p1 (potencial único) y p2 (doble potencial), respectivamente. - phi: función de Level Set actualizada después de la evolución del Level Set. Es la curva que se marca inicialmente y que va a deformarse, siendo la única variable de salida del programa. Para poder llevar a cabo un ajuste sensible de la curva Level Set cero al contorno deseado, primero ha de definirse una región que se sitúe aproximadamente en la misma localización del tumor y definir un rectángulo de área aproximada a la del tumor. Para ello, se debe especificar en el programa las coordenadas x e y SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 65 de los vértices del rectángulo, es decir, desde donde hasta donde se desea que se dibuje el mismo, tanto en el eje x como el eje y. Si la zona a estudiar es muy heterogénea, se puede definir más de un rectángulo inicial de forma que el área que engloben dichos rectángulos se ajuste más al contorno que se quiere segmentar. Si estas regiones se sitúan cerca una de las otras, por las características de evolución Level Set van a fusionarse para dibujar el contorno deseado. En la Figura 18 (a), se muestra un ejemplo con dos Level Set iniciales y en la Figura 20 (a), se muestra cómo evoluciona la curva obteniendo un Level Set final ajustado al contorno donde se han fusionado los dos Level Set iniciales. Figura 18. Dibujo del Level Set cero alrededor del tumor. a) Level Set cero inicial doble b) Level Set cero inicial único. A continuación, para poder mostrar mejor el Level Set, se representa una gráfica en la que se muestra la zona seleccionada en la imagen, el plano de la base representa la imagen, con longitud 256x256, que es el tamaño de la imagen en píxeles y la tercera dimensión, la cual se fija una altura máxima 2, en la se puede ver la forma que se ha escogido como Level Set cero inicial. Una vez el procedimiento se ha llevado a cabo, comparando la Figura 18 y la Figura 20 se puede observar cómo actúa el método DRSLE, ajustando la función SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 66 Level Set al contorno deseado. A partir de un rectángulo inicial marcado alrededor del tumor, la curva se ha adaptado al contorno de este. Para poder llegar a esta solución el programa debe pasar una serie de iteraciones, que, como ya se ha explicado anteriormente es la multiplicación de las iteraciones de entrada por las de salida sumadas a las iteraciones de refinamiento. Figura 19. Representación de la función Level Set inicial Figura 20. Contorno final adaptado al objeto específico SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 67 Se dibuja de nuevo una gráfica que muestra de nuevo, en un plano de 256x256 que representa la imagen, un relieve que se corresponde con el contorno segmentado y ajustado por el snake. Figura 21. Representación de la función Level Set Final Los ejemplos representados en las Figuras 18 y 20 se han realizado con Level Set inicial ajustado a la zona del tumor, sin embargo, los resultados del snake final varían significativamente si se toma un Level Set inicial que no se ajuste al contorno. En la Figura 22 se muestran dos casos, el primero en el que se sitúa el Level Set inicial en una región que comprende el tumor, pero es el área es demasiado amplia, y en el segundo caso una región dentro del tumor, pero demasiado pequeña. En la Figura 23 se observa cómo evoluciona la curva en estos dos casos, resultando un snake que no se ajusta al contorno deseado. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 68 Figura 22. Level Set iniciales no ajustados Figura 23. Level Set finales no ajustados Las conclusiones a las que se pueden llegar al realizar este estudio es que el resultado de la segmentación se ve altamente influenciado por cómo se haya definido el contorno inicial y, cuanto más ajustado sea el contorno al tumor a estudiar, menor será la probabilidad de que la curva evolucione a estructuras erróneas. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 69 3.2.1. Estudio del parámetro alpha. Para poder estudiar el comportamiento del parámetro alpha, se ha realizado un programa que va variando el valor de alpha en un rango de -10 hasta 10 y muestra los resultados del snake por cada valor de alpha. Como el resto de los parámetros son menos influyentes, se han determinado unos valores fijos de los mismos, siendo iter_inner=50; iter_outer=20; lambda=5; epsilon=1.5; sigma=1.8; y el tamaño de la función gaussiana H=20. Para poder hacer un estudio equitativo, se fija un intervalo de iteraciones de alpha aumentando su valor de uno en uno, de forma que vaya mostrando la solución para cada valor. Al realizar este desarrollo sistemático se puede ver como en valores de alpha excesivamente pequeños, la curva dibuja un contorno demasiado grande que no se ajusta en ningún caso al Level Set inicial que se había dibujado, pero conforme alpha aumenta su valor, la curva va evolucionando rápidamente hasta que se ajusta a los bordes de la región de interés. Una vez la curva del snake está encima de los bordes de interés la evolución de la curva se ralentiza, y varía mínimamente, hasta que llega un punto que el valor de alpha es demasiado grande y la curva se desestabiliza. Un alpha distinto de cero proporciona una fuerza externa adicional de forma que evita el movimiento del contorno, pero el contorno final puede desviarse ligeramente de la verdadera frontera del objeto debido al efecto de la contracción o ampliación de la región que engloba. Para evitar tal desviación, se puede refinar el contorno final con algunas iteraciones más y fijando el parámetro α=0. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 70 Para imágenes cuyos objetos a segmentar presenten bordes débiles, un valor grande de alpha puede causar la curva se desborde del contorno, es decir, es más fácil que el snake pueda atravesar la frontera del objeto. Por lo tanto, en las imágenes con los bordes de los objetos poco definidos, el valor de alpha debe ser pequeño. En las Figuras 24 y 25 se muestra un ejemplo de ello. En la Figura 24 se muestra la curva inicial (Level set cero) que se ha marcado alrededor del tumor y en la Figura 25 el resultado de las distintas iteraciones con valores de alpha de -10 hasta 10. Figura 24. Level set cero En la Figura 25 se aprecia como la curva va ajustándose cada vez más hasta que no detecta bien el contorno llegando a colapsar en la última iteración. Esta información sirve para saber que rango de parámetros de alfa proporcionan un resultado válido y hacer una aproximación precisa. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 71 Figura 25. Progresión de la curva del snake dependiente del parámetro alpha Una vez se ha detectado el contorno del tumor dentro de la imagen, se quiere comprobar si se parece lo máximo posible al que ha marcado el profesional en las imágenes ROI. Para poder realizar esta comparación, se ha separado el contorno ROI del resto de la imagen, para lo cual se hace uso de los canales RGB. Una imagen RGB tiene tres canales: rojo, verde y azul. En este contexto un canal es la imagen en escala de grises del mismo tamaño que la imagen en color, hecha de uno de estos colores primarios. Cada imagen RGB está formada a su vez por tres imágenes correspondientes a cada uno de sus canales. Como el contorno ROI está en color rojo, difiere en el valor de sus canales del resto de la imagen y esta exclusividad de tonalidad es la que se aprovecha para obtener este contorno y separarlo del fondo. En la Figura 26 se muestra un ejemplo de esto con un caso clínico diferente. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 72 Figura 26. a) Imagen ROI original b) Canales RGB en el contorno c) Canales RGB fuera del contorno Marcando puntos en la imagen, en el contorno y en las regiones que no son el contorno y se puede apreciar la diferencia entre canales. Los valores de RGB propios del contorno van variando, pero fuera del contorno los canales son siempre R=255, G=255, B=255 (blanco). Observando la imagen, y comparando los puntos señalados se observa como en el propio contorno el canal R puede tomar el valor de 255, pero los valores G y B no lo toman nunca. Esta diferencia se aprovecha para establecer como condición que cualquier píxel que tenga en el canal B=255 sea 0 (negro), y en caso contrario sea 1(blanco). De esta forma se obtiene una imagen binarizada del contorno ROI de la imagen, como se observa en la Figura 27 para hacer la transición entre la imagen b y c. Figura 27. a) Imagen ROI original b) Contorno obtenido de la ROI original c) Contorno de la ROI original en binario SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 73 Una vez se tiene el contorno de la imagen con ROI, se toma esta imagen como referencia y se procede a compararlo con el snake obtenido del mismo caso clínico. Para el análisis de los resultados del snake obtenido respecto a los tomados como referencia, se realiza un estudio de fiabilidad a partir del análisis de la curva ROC. 3.2.1.1. Curva ROC La curva ROC sirve para decidir cómo de similares son un conjunto de instancias, en este caso, imágenes. Hay cuatro posibles soluciones para el clasificador binario de la curva ROC: verdaderos positivos, falsos positivos, falsos negativos y verdaderos negativos. Estos conceptos se definen considerando el problema que se aborda en este trabajo. Las imágenes con las que se consta son de tipo logical, es decir, el valor de cada píxel puede ser 0 o 1 y las operaciones realizadas con las imágenes son operaciones lógicas. - Verdaderos Positivos(TP): Aquellos píxeles que coinciden en la región del snake y en la región de imagen con ROI. Se puede calcular como la intersección entre las dos imágenes. - Falsos Positivos(FP): Aquellos píxeles de la snake que no entran dentro de la región de la imagen con ROI. Se puede calcular como la resta lógica de la imagen de la snake y la obtenida de TP. - Falsos Negativos(FN): Aquellos píxeles de la imagen con ROI que no están comprendidos en la región del snake. Se puede calcular como la resta lógica de la imagen con contorno ROI y la imagen TP. - Verdaderos Negativos(TN): Aquellos píxeles que quedan fuera tanto de la región obtenida por la snake como de la imagen con ROI. Se puede calcular como la negación de la suma lógica de las imágenes obtenidas en TP, FP y FN. Superponiendo el contorno de la ROI sobre el que se ha obtenido con el snake, se ve claramente que regiones se corresponden a los TP, TN, FP y FN (Figura 28). SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 80 la cantidad de FP disminuye. En la curva ROC del caso, hay un punto en el que el valor de la sensibilidad ha disminuido bruscamente y la especificidad no tanto, separándose de los ejes respecto al resto de los puntos, el motivo se debe a que en la iteración de alpha=-5 repentinamente la cantidad de FP disminuye, predominando los TP y ajustándose bastante mejor al contorno. En el rango de alpha=1 hasta alpha=5, el número de FN ha aumentado considerablemente hasta acabar ocupando el contorno totalmente, es decir, el snake ha colapsado. En la curva ROC se representa con los puntos con sensibilidad media y baja y especificidad muy baja. Comparando este caso con el anterior (Figura 30 y Figura 32), se puede observar que la curva ROC del caso más desfavorable (Figura 32) tiene más valores de sensibilidad y especificidad altos debido a que hay más iteraciones de alpha con alto nivel de FP. En ambos se aprecia que conforme va aumentando el valor de alpha, menor es la sensibilidad y especificidad, hasta que llega a un valor nulo de ambas, lo cual ocurre cuando toda la región deseada está comprendida por FN. Sin embargo, la conclusión más importante al comparar estos dos casos es que en el caso más favorable el rango de valores de alpha que proporcionaban un resultado aproximado al contorno deseado estaba comprendido entre -9 y 2, y en el caso menos favorable de -1 hasta 5. Es decir, el rango de valores admisibles de alpha ha disminuido considerablemente, y por ello es importante elegir un parámetro valor óptimo de alpha. Figura 32. Curva ROC segundo caso SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 81 Figura 33. Comparación de contornos segundo caso SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 82 3.2.2. Cálculo del valor óptimo de alpha La obtención del valor óptimo de alpha es importante para obtener unos buenos resultados de segmentación sin la necesidad de variar este parámetro en todos los casos clínicos con los que se cuenta. Para ello, se realiza una media ponderada de la sensibilidad y la especificidad obtenida para cada iteración de alpha, dadas las tablas que se encuentran en el Anexo E, de forma que se obtienen los resultados de la tabla 3, Tabla 3. Valores medios de sensibilidad y especificidad por cada valor de alpha alpha sens espec2 -10 1 0,4480 -9 0,9996 0,4050 -8 0,9992 0,3696 -7 0,9988 0,3323 -6 0,9966 0,2769 -5 0,9879 0,2165 -4 0,9838 0,1386 -3 0,9737 0,0830 -2 0,9624 0,0219 -1 0,9394 0,0058 0 0,9250 0,0041 1 0,8083 0,0026 2 0,7164 0,0017 3 0,6256 0,0011 4 0,5274 0,0008 5 0,4138 0,0004 6 0,2457 0,0002 7 0,2083 0,0002 8 0,1548 0,0001 9 0,1016 0,0001 10 0,0739 0,0001 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 83 A partir de estos datos se puede representar la curva ROC (Figura 34), Figura 34. Curva ROC para valores medios Con esta representación de la curva ROC se puede calcular el área bajo la curva (AUC), de forma que se ha obtenido AUC= 0.9956, es decir, un valor excelente en el rango de precisión de la curva ROC. Para escoger el valor óptimo de alpha, se escoge una iteración cuyo valor de sensibilidad sea alto y su especificidad bajo, de forma que se obtiene una tasa de error baja. Si se observa la tabla 3, se puede elegir alpha= -1 como el valor óptimo de alpha, con una sensibilidad de 0.9394 y especificidad 0.0058, debido a que parece que la tasa de error de sensibilidad respecto a la especificidad es la menor posible. Para poder analizar mejor la exactitud del método, primero se va a analizar los resultados con una iteración cercana al parámetro que se ha decidido como óptimo, por ejemplo, alpha= -2 con un valor de sensibilidad 0.9624 y de especificidad 0.0219, que respecto con el valor alpha= -1 tomado como óptimo aumenta ligeramente la sensibilidad pero a la vez su especificidad es mayor, lo cual provoca una mayor tasa de error. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 84 Se elige el valor alpha= -2 por ser un valor cercano al elegido como óptimo, y proporcionar además unos buenos valores de sensibilidad y especificidad, de manera que la comparación de los resultados obtenidos con ambos valores proporcione resultados más robustos que justifiquen la elección del parámetro óptimo alpha= -1. En la Figura 35, se representa la curva del Snake para cada caso con el parámetro de alpha= -2, la cual se compara con el contorno deseado en la Figura 36. Se observa que en algunos casos los resultados son bastante buenos, se ajustan bastante al contorno objetivo, pero en otros casos la cantidad de falsos positivos es bastante grande. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 85 Figura 35. Snake obtenido con alpha=-2 en cada caso SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 86 Figura 36. Superposición de la snake con alpha=-2 y el contorno deseado SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 87 En un caso favorable, comparando la iteración de alpha= -2 con el valor elegido como óptimo, es decir, alpha= -1, se observa que el contorno del snake apenas varía (Figura 37), debido la curva ha evolucionado y ya se adapta correctamente al contorno deseado, y tal y como se ha deducido teóricamente, al llegar a un contorno parecido al objetivo, el snake se ralentiza. Figura 37. Superposición de contornos a) imagen original b) alpha=-2 c) alpha=-1 En un caso desfavorable, comparando la iteración de alpha= -2 con el valor elegido como óptimo, es decir, alpha= -1, se observa que el contorno del snake varía considerablemente (Figura 38), esto es debido la contraposición de lo anterior, es decir, como el snake está lejos del contorno deseado, la curva evoluciona rápidamente. Figura 38. Superposición de contornos a) imagen original b) alpha=-2 c) alpha=-1 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 88 Los resultados que se han obtenido con el valor óptimo de alpha=-1 se representan en la Figura 39 y 40. SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 89 Figura 39. Snake obtenido con alpha=-1 para cada caso SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 96 Lamas Rodríguez, J., Quesada Barriuso, P., Argüello, F., Heras, D. B., & Bóo, M. (2012). Proyección del método de segmentación del conjunto de nivel en GPU. Li, C., Xu, C., Gui, C., & Fox, M. D. (2010). Distance Regularized Level Set Evolution and Its. IEEE transactions on image processing, 19(12), 32433254. MathWorks. (1994-2018). Obtenido de https://es.mathworks.com/products/matlab.html Mildenger, P., Eichelberg, M., & Martin, E. (2002). E. Eur Radiol. Obtenido de https://doi.org/10.1007/s003300101100 Mitiche, A., & Ben Ayed, I. (2011). Variational and Level Set Methods in Image Segmentation. Springer. Mumford, D., & Shah, J. (1985). Boundary detection by minimizing functionals. Proceedings of IEEE conference on computer vision and pattern recognition, 22-26. Mumford, D., & Shah, J. (1989). Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variational problems. Nicoguaro. (2018). Wikimedia Commons. Obtenido de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Level_set_method.png#/media/F ile:Level_set_method.png Olabe, X. B. (1998). Redes Neuronales Artificiales y sus Aplicaciones. Publicaciones de la Escuela de Ingenieros 101pp. Osher, S., & Sethian, J. A. (1988). Fronts propagating with curvature dependent speed: Algorithms based on hamilton-jacobi formulations. 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CÓDIGO EN MATLAB Función DRSLE function phi = drlse_edge(phi_0, g, lambda,mu, alfa, epsilon, timestep, iter, potentialFunction) % Este código MATLAB implementa un modelo de contornos activos como una % aplicación de DRSLE en el artículo de los autores C. Li, C. Xu, C. Gui, M. D. Fox, "Distance Regularized Level Set Evolution and Its Application to Image Segmentation", % IEEE Trans. Image Processing, vol. 19 (12), pp.3243-3254, 2010. % % Author: Chunming Li, all rights reserved % E-mail: [email protected] % [email protected] % URL: http://www.imagecomputing.org/~cmli/ phi=phi_0; [vx, vy]=gradient(g); %gradiente de la función de bordes for k=1:iter phi=NeumannBoundCond(phi); [phi_x,phi_y]=gradient(phi); s=sqrt(phi_x.^2 + phi_y.^2); smallNumber=1e-10; Nx=phi_x./(s+smallNumber); % añade un pequeño número positivo para eliminar la posibilidad de división entre cero Ny=phi_y./(s+smallNumber); curvature=div(Nx,Ny); if strcmp(potentialFunction,'single-well') SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 100 distRegTerm = 4*del2(phi)-curvature; % computa el término de distancia de regularización con potencial simple p1 elseif strcmp(potentialFunction,'double-well'); distRegTerm=distReg_p2(phi); % computa el término de distancia de regularización con potencial doble p2 else disp('Error: Wrong choice of potential function. Please input the string "single-well" or "double-well" in the drlse_edge function.'); end diracPhi=Dirac(phi,epsilon); %Función delta de Dirac areaTerm=diracPhi.*g; % término de área ponderada edgeTerm=diracPhi.*(vx.*Nx+vy.*Ny) + diracPhi.*g.*curvature; %Término de longitud ponderada phi=phi + timestep*(mu*distRegTerm + lambda*edgeTerm + alfa*areaTerm); %Cálculo del funcional end function f = distReg_p2(phi) % computa el término de distancia de regularización con potencial doble [phi_x,phi_y]=gradient(phi); s=sqrt(phi_x.^2 + phi_y.^2); a=(s>=0) & (s<=1); b=(s>1); ps=a.*sin(2*pi*s)/(2*pi)+b.*(s-1); % computa la derivada de primer orden del potencial doble dps=((ps~=0).*ps+(ps==0))./((s~=0).*s+(s==0)); d_p(s)=p'(s)/s. f = div(dps.*phi_x - phi_x, dps.*phi_y - phi_y) + 4*del2(phi); function f = div(nx,ny) %Función gradiente [nxx,junk]=gradient(nx); [junk,nyy]=gradient(ny); SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 101 f=nxx+nyy; function f = Dirac(x, sigma) %Función delta de Dirac f=(1/2/sigma)*(1+cos(pi*x/sigma)); b = (x<=sigma) & (x>=-sigma); f = f.*b; function g = NeumannBoundCond(f) % Función que cumple las condiciones de contorno de Neumann [nrow,ncol] = size(f); g = f; g([1 nrow],[1 ncol]) = g([3 nrow-2],[3 ncol-2]); g([1 nrow],2:end-1) = g([3 nrow-2],2:end-1); g(2:end-1,[1 ncol]) = g(2:end-1,[3 ncol-2]); Script ejecutable % Author: Chunming Li, all rights reserved % E-mail: [email protected] % [email protected] % URL: http://www.imagecomputing.org/~cmli// %Se ha realizado una adaptación del código de Chunming Li aumentando las funciones de este con variaciones del valor del parámetro alpha, representando la evolución del snake en cada caso. Además, se tratan las imágenes dadas con ROI obteniendo únicamente su contorno y el contorno del snake para luego comprobar la fiabilidad del método representando un contorno sobre otro y dibujando la curva ROC por cada iteración de alpha. clear all; close all; %Lectura de la imagen con ROI imagen=imread('m5.png'); [m,n,p]=size(imagen); imf=imagen(:,:,1:3); %Definición de los tres canales de la imagen SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 102 imshow(imf); img=zeros(m,n); %Creación de una matriz de ceros for i=1:m for j=1:n %Se asigna R,G,B a cada canal R=imf(:,:,1); G=imf(:,:,2); B=imf(:,:,3); if(B(i,j)~=1 && B(i,j)~=255) %Condición de binarización y segmentación de contorno img(i,j)=1; else img(i,j)=0; end end end imshow(img); Img=dicomread('m5'); %lectura de la imagen Img=double(Img(:,:,1)); Img=imresize(Img, [256 256]) %% Configuración de parámetros timestep=1; % time step mu=0.2/timestep; % coeficiente del término de la distancia regularización, R(phi) iter_inner=50; %iteraciones internas iter_outer=20; %iteraciones externas lambda=5; % coeficiente de peso del término longitud L(phi) i=1; for alpha=-10:10 %Variación de los valores de alpha, coeficiente de peso del término de área A(phi) alfa=alpha+1; % incremento de alpha en cada iteración epsilon=1.5; % parámetro que especifica el ancho de integral de línea de la función delta de Dirac SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 103 sigma=1.8; % parámetro de desviación estándar en el filtro Gaussiano H=fspecial('gaussian',20,sigma); % Filtro Gaussiano Img_smooth=conv2(Img,H,'same'); % Convolución de la imagen filtrada suavizada [Ix,Iy]=gradient(Img_smooth); %Formulación del gradiente f=Ix.^2+Iy.^2; g=1./(1+f); % Función indicador de bordes % Inicialización de LSF como una función binaria escalón c0=2; initialLSF = c0*ones(size(Img)); % Generar la región inicial R0 como rectángulos initialLSF(124:158,94:122)=-c0; initialLSF(145:157,76:95)=-c0; phi=initialLSF; figure(1); mesh(-phi); % Para poder verlo mejor, se representa LSF gráficamente hold on; contour(phi, [0,0], 'r','LineWidth',2); title('Initial level set function'); view([-80 35]); figure(2); %Representación en la imagen de los rectángulos definidos imagesc(Img,[0, 255]); axis off; axis equal; colormap(gray); hold on; contour(phi, [0,0], 'r'); title('Initial zero level contour'); pause(0.5); potential=2; if potential ==1 potentialFunction = 'single-well'; % usa el potencial simple p1(s)=0.5*(s1)^2 elseif potential == 2 potentialFunction = 'double-well'; % usa el potencial doble else potentialFunction = 'double-well'; % por defecto se usa el potencial doble SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 104 end % Inicio de la evolución del Level Set for n=1:iter_outer phi = drlse_edge(phi, g, lambda, mu, alfa, epsilon, timestep, iter_inner, potentialFunction); if mod(n,2)==0 figure(2); imagesc(Img,[0, 255]); axis off; axis equal; colormap(gray); hold on; contour(phi, [0,0], 'r'); end end % Refinamiento del contorno de Level Set cero a partir de promover la evolución de la curva con alfa=0 alfa=0; iter_refine = 10; phi = drlse_edge(phi, g, lambda, mu, alfa, epsilon, timestep, iter_inner, potentialFunction); finalLSF=phi; figure(2); imagesc(Img,[0, 255]); axis off; axis equal; colormap(gray); hold on; contour(phi, [0,0], 'r'); hold on; contour(phi, [0,0], 'r'); %Representación de la curva del snake adaptada en la imagen, con el %número de iteraciones especificadas str=['Final zero level contour, ', num2str(iter_outer*iter_inner+iter_refine), ' iterations']; title(str); figure; mesh(-finalLSF); % Para poder ver mejor la evolución del LSF, se dibuja en una gráfica, indicando también el número de iteraciones que han sido necesarias hold on; contour(phi, [0,0], 'r','LineWidth',2); view([-80 35]); SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 105 str=['Final level set function, ', num2str(iter_outer*iter_inner+iter_refine), ' iterations']; title(str); axis on; [nrow, ncol]=size(Img); axis([1 ncol 1 nrow -5 5]); set(gca,'ZTick',[-3:1:3]); set(gca,'FontSize',14) bwims=(finalLSF<0); %Declaración de la imagen con el contorno LSF evolucionado im=logical(img); im2=bwpropfilt(im,'Area',1); %Extrae el área más grande de la imagen con características comunes imb=bwmorph(im2,'fill'); %Rellenado de huecos bwim2=imfill(imb,'holes');%Contorno deseado relleno de la imagen ROI %CURVA ROC imTP=bwim2 & bwims; %Cálculo lógico de los TP: intersección imFN=bwim2>imTP; %Cálculo lógico de los FN: Resta lógica imagen ROI y los TP imshow(imFN); imshow(imTP); imFP=bwims>imTP; %Cálculo lógico de los FP: Resta lógica imagen snake obtenida y los TP imshow(imFP); imTN= ~(imTP | imFN | imFP);%Cálculo lógico de los TN imshow(imTN); IM= 1*imTP + 2*imFN + 3*imFP; %cyan TP, rojo FN, negro FP, blanco TN map=[0 1 1;1 0 0;0 0 0]; cmap=colormap(map); IMcolor = label2rgb(IM, cmap, 'w'); imshow(IMcolor); SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 112 [m,n]= size(t13); if(m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+t13(i,7); end [m,n]= size(t14); if(m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+t14(i,7); end [m,n]= size(t15); if(m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+t15(i,7); end [m,n]= size(t16); if(m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+t16(i,7); end [m,n]= size(t17); if(m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+t17(i,7); end [m,n]= size(tm1); if(m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+tm1(i,7); end [m,n]= size(tm2); if(m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+tm2(i,7); end [m,n]= size(tm3); if(m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+tm3(i,7); end [m,n]= size(tm4); SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 113 if(m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+tm4(i,7); end [m,n]= size(tm5); if(m>=i) suma2(i,7)=suma2(i,7)+tm5(i,7); end media2(i,7)=suma2(i,7)/18; end media=media(:,6); media2=media2(:,7); plot(media2,media,'o-'); %Representación de la curva ROC title('Media aritmética para cada alpha'); ylabel('Sensibilidad'); xlabel('Especificidad'); axis square; xlim([0 1]); %Poner la grafica del mismo tamaño ylim([0 1]); alpha=-10:10; alpha=alpha'; sens=media; espec2=media2; tabla=table(alpha,sens,espec2); %Obtención de la tabla SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 114 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 115 ANEXO B. IMÁGENES DE REFERENCIA CON ROI Figura 41. Imágenes de referencia con ROI SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 116 ANEXO C. REPRESENTACIÓN DE LA CURVA ROC Figura 42. Curvas ROC obtenidas de cada imagen SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 117 ANEXO D. VALORES DE AUC Tabla 4. Valores de AUC obtenidos para cada imagen AUC= 0.9988 AUC = 0.9989 AUC = 0.9975 AUC = 0.9998 AUC = 0.9998 AUC= 0.9997 AUC = 0.9994 AUC = 0.9997 AUC = 1.0000 AUC = 0.9998 AUC =0.9993 AUC = 0.9998 AUC = 0.9997 AUC = 0.9960 AUC = 0.9997 AUC = 0.9995 AUC = 0.9990 AUC= 0.9998 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 118 ANEXO E. TABLAS OBTENIDAS CON LOS PARÁMETROS NECESARIOS PARA LA CURVA ROC alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 1014 30766 33756 0 1 0,52317039 -9 1014 34731 29791 0 1 0,46171848 -8 1014 36384 28138 0 1 0,43609931 -7 1014 37397 27125 0 1 0,42039924 -6 1014 39850 24672 0 1 0,3823812 -5 1014 46091 18431 0 1 0,28565451 -4 1014 60516 4006 0 1 0,06208735 -3 1014 61109 3413 0 1 0,05289669 -2 1014 63456 1066 0 1 0,0165215 -1 1014 63642 880 0 1 0,01363876 0 1014 63752 770 0 1 0,01193391 1 1004 64094 428 10 0,99013807 0,0066334 2 975 64166 356 39 0,96153846 0,0055175 3 857 64234 288 157 0,84516765 0,00446359 4 831 64312 210 183 0,81952663 0,0032547 5 277 64433 89 737 0,27317554 0,00137937 6 38 64506 16 976 0,03747535 0,00024798 7 4 64510 12 1010 0,00394477 0,00018598 8 4 64510 12 1010 0,00394477 0,00018598 9 4 64510 12 1010 0,00394477 0,00018598 10 0 64522 0 1014 0 0 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 1625 36061 27850 0 1 0,43576223 -9 1625 38012 25899 0 1 0,40523541 -8 1625 39464 24447 0 1 0,38251631 -7 1625 42020 21891 0 1 0,3425232 -6 1625 47060 16851 0 1 0,26366353 -5 1625 49824 14087 0 1 0,22041589 -4 1625 52732 11179 0 1 0,17491512 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 119 -3 1625 53181 10730 0 1 0,16788972 -2 1625 63210 701 0 1 0,01096838 -1 1619 63429 482 6 0,99630769 0,00754174 0 1617 63457 454 8 0,99507692 0,00710363 1 1604 63612 299 21 0,98707692 0,00467838 2 1559 63646 265 66 0,95938462 0,00414639 3 959 63743 168 666 0,59015385 0,00262866 4 338 63835 76 1287 0,208 0,00118915 5 91 63911 0 1534 0,056 0 6 0 63911 0 1625 0 0 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 1013 16648 47875 0 1 0,74198348 -9 1013 20611 43912 0 1 0,68056352 -8 1013 24386 40137 0 1 0,62205725 -7 1013 29936 34587 0 1 0,53604141 -6 1013 33778 30745 0 1 0,47649675 -5 1013 41473 23050 0 1 0,35723695 -4 1013 44831 19692 0 1 0,3051935 -3 1001 52669 11854 12 0,988154 0,18371743 -2 999 59882 4641 14 0,98617966 0,07192784 -1 984 63611 912 29 0,97137216 0,01413449 0 950 64060 463 63 0,93780849 0,00717574 1 878 64234 289 135 0,86673248 0,00447902 2 620 64357 166 393 0,61204344 0,00257273 3 0 64523 0 1013 0 0 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 518 41458 23560 0 1 0,36236119 -9 518 43409 21609 0 1 0,33235412 -8 518 44627 20391 0 1 0,31362084 -7 518 45619 19399 0 1 0,29836353 -6 518 48058 16960 0 1 0,26085084 -5 518 50246 14772 0 1 0,22719862 -4 518 62221 2797 0 1 0,04301886 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 120 -3 517 64623 395 1 0,9980695 0,00607524 -2 516 64666 352 2 0,996139 0,00541389 -1 514 64774 244 4 0,99227799 0,00375281 0 513 64851 167 5 0,99034749 0,00256852 1 509 64864 154 9 0,98262548 0,00236857 2 493 64957 61 25 0,95173745 0,0009382 3 487 64962 56 31 0,94015444 0,0008613 4 480 64964 54 38 0,92664093 0,00083054 5 474 64968 50 44 0,91505792 0,00076902 6 466 64973 45 52 0,8996139 0,00069212 7 460 64977 41 58 0,88803089 0,00063059 8 452 64981 37 66 0,87258687 0,00056907 9 156 65011 7 362 0,3011583 0,00010766 10 0 65018 0 518 0 0 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 829 36998 27709 0 1 0,4282226 -9 829 38795 25912 0 1 0,40045126 -8 829 41182 23525 0 1 0,3635619 -7 829 42762 21945 0 1 0,33914414 -6 829 45770 18937 0 1 0,29265767 -5 829 48880 15827 0 1 0,24459487 -4 829 49961 14746 0 1 0,22788879 -3 829 55173 9534 0 1 0,14734109 -2 829 64045 662 0 1 0,01023073 -1 829 64215 492 0 1 0,00760351 0 826 64314 393 3 0,99638118 0,00607353 1 825 64377 330 4 0,99517491 0,00509991 2 820 64400 307 9 0,98914355 0,00474446 3 811 64584 123 18 0,97828709 0,00190088 4 808 64595 112 21 0,97466828 0,00173088 5 640 64644 63 189 0,77201448 0,00097362 6 0 64707 0 829 0 0 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 121 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 169 31986 33381 0 1 0,51067052 -9 169 34232 31135 0 1 0,47631068 -8 169 36729 28638 0 1 0,43811097 -7 169 40026 25341 0 1 0,38767268 -6 169 43149 22218 0 1 0,33989628 -5 169 48468 16899 0 1 0,25852494 -4 169 55041 10326 0 1 0,15796962 -3 147 65191 176 22 0,86982249 0,00269249 -2 139 65297 70 30 0,82248521 0,00107088 -1 119 65337 30 50 0,70414201 0,00045895 0 114 65340 27 55 0,67455621 0,00041305 1 105 65343 24 64 0,62130178 0,00036716 2 105 65348 19 64 0,62130178 0,00029067 3 94 65353 14 75 0,55621302 0,00021418 4 88 65354 13 81 0,52071006 0,00019888 5 59 65360 7 110 0,34911243 0,00010709 6 19 65366 1 150 0,11242604 1,5298E-05 7 0 65367 0 169 0 0 alpha TP TN FP FN sens espec2 -10 423 44606 20507 0 1 0,31494479 -9 423 45180 19933 0 1 0,30612934 -8 423 45748 19365 0 1 0,29740605 -7 423 47678 17435 0 1 0,26776527 -6 423 51949 13164 0 1 0,20217161 -5 423 53547 11566 0 1 0,17762966 -4 423 55646 9467 0 1 0,14539339 -3 422 64571 542 1 0,99763593 0,00832399 -2 422 64680 433 1 0,99763593 0,00664998 -1 420 64786 327 3 0,9929078 0,00502204 0 420 64796 317 3 0,9929078 0,00486846 1 418 64827 286 5 0,98817967 0,00439236 2 397 64983 130 26 0,93853428 0,00199653 3 370 65011 102 53 0,87470449 0,00156651 SEGMENTACIÓN DE TUMORES CEREBRALES EXTRA-AXIALES EN IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO CONTORNOS ACTIVOS 128 -3 654 51684 13198 0 1 0,20341543 -2 654 57852 7030 0 1 0,10835054 -1 654 64262 620 0 1 0,00955581 0 654 64526 356 0 1 0,00548688 1 0 64882 0 654 0 0