Presentaciones Temas Matemática Financiera

Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia TEMA 1: Introducción a la Matemá tica Financiera. Conceptos Básicos TEMA 2: Capitalización Simple TEMA 3: Equivalencia Fi nanciera de Capitales TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización S imple : Letra de Cambio y Cuenta Corrient e TEMA 5: Capitalización Compuesta PARTE 1 : INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. LAS LEY ES FINANCIERAS DE CAPITALIZ ACIÓN 1 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia TEMA 1 : INTR ODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS. ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS 2. EL BINO MIO CAPITAL-TIEMPO 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.1. Operació n Financi era 3.1.1. Concept o 3.1.2. Ele mentos 3.1.3. Cl ases 3.2. Rédito y Tanto de Interés 2 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia TEMA 1 : INTR ODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS. ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS 2. EL BINO MIO CAPITAL-TIEMPO 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.1. Operación Financiera 3.1.1. Concept o 3.1.2. Ele mentos 3.1.3. Cl ases 3.2. Rédito y Tanto de Interés 3 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS GASTARLO INVERTIRLO PRINCIPI O DE PREFER ENCIA DE LIQUIDEZ: A igualdad de cantidad, los bie nes más cercanos en el tiempo son pr eferidos a los disponibles en momentos más lejanos. 4 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS INTERÉS: Retribución por el aplazamiento en tiempo del consumo Para que compense el sacrifi cio del consumo… INTERÉS: Precio por el alquiler o uso del dinero durante un periodo de tiempo 5 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS ¿Por qué se ex ige un inte rés?  Por el riesgo que se asume  Por la falta d e disponibili dad del capital  Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo 6 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS ¿De qué depende la cuantía de los i ntereses?  De la cuan tía del capital invertido  Del tiempo que dura la operación  Del tanto de interés al que se acuerda la operación 7 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia TEMA 1 : INTR ODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS. ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS 2. EL BINO MIO CAPITA L - TIEMPO 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.1. Operación Financiera 3.1.1. Concept o 3.1.2. Ele mentos 3.1.3. Cl ases 3.2. Rédito y Tanto de Interés 8 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO CAPITAL FI NANCIERO: (C; t) C : Cu antía de Uni dades Monetari as t : Momento del ti empo en el qu e se dispone del capital 9 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.1. OPERACIÓN FINANCIERA 3.1.2. ELEMENTOS En to da oper ación financier a inte rvienen: A. Elementos Personales B. Elementos Temporales C. Objetivos 16 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.1. OPERACIÓN FINANCIERA 3.1.2. ELEMENTOS A. Elementos Personales Acreedor Deudor Capital/es pr estado/s Capital/es prestado/s + Intereses PRESTACIÓN DE LA OPERACIÓN CONTRAPRESTACI ÓN DE LA OPER ACIÓN 17 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.1. OPERACIÓN FINANCIERA 3.1.2. ELEMENTOS B. Elementos Temporales Origen de la operación financiera Final de la operación financiera DURACIÓN DE LA OPERACIÓN 18 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.1. OPERACIÓN FINANCIERA 3.1.2. ELEMENTOS C. Objetivos Cuantía de l capital de partida Tanto de interés Tiene que haber acuerdo en: Ley financiera 19 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia TEMA 1 : INTR ODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS. ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS 2. EL BINO MIO CAPITAL-TIEMPO 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.1. Operación Financiera 3.1.1. Concept o 3.1.2. Ele mentos 3.1.3. Cl ases 3.2. Rédito y Tanto de Interés 20 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.1. OPERACIÓN FINANCIERA 3.1.3. CLASES Operaciones Financieras Según duración A corto plazo : =< 1 año A largo plazo : > 1 año Según la ley financiera Generación de intereses Régimen simple : Los intereses no generan intereses Régimen compuesto : Los intereses sí generan intereses Sentido de la ley financiera Capitalización : Capital presente por capi tal futuro Actualización : Capital futuro por capital presente Según número capitales Simples : Un solo capi tal en pres tación y contraprestación Complejas : Más de un capital en prestació n y/o contraprestación 21 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia TEMA 1 : INTR ODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS. ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS 2. EL BINO MIO CAPITAL-TIEMPO 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.1. Operación Financiera 3.1.1. Concepto 3.1.2. Ele mentos 3.1.3. Cl ases 3.2. Rédito y Tanto de Interés 22 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS RÉDITO (r) : R endimiento gener ado por un capital Se exp resa en tanto por cien (%) o en ta nto por uno 1 1 2 C C C r   No tiene en cuenta el aspecto tempo ral 23 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS TANTO O TIPO DE INTERÉS (i): Rédito por unidad de tiemp o Se exp resa en tanto por cien (%) o en ta nto por uno Sí tie ne en cue nta el aspecto te mporal 1 2 1 1 2 1 2 t t C C C t t r i      24 Matemática Financiera Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia 3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS Ejemplo 1 (Primera Parte) : C 1 =1.000€ C 2 =1.100€ t 1 =0 t 2 =1 año r? i? 25 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 3. DESCUENTO SIMPLE 3.1. Concepto 3.2. Características de la Operación 3.3. Descuento Racional 3.4. Descuento Comercial 4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES 32 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 1 . CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1 . Conce pto 1.2. Descripción de la Operación 1.3. Características de la Operación 1.4. Desarrollo de la Operación 1.5. Cálculo del Capital Inicial 1.6. Cálculo de los Intereses Totales 1.7. Cálculo del Tipo de Inte rés 1.8. Cálculo de la Duración 2. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. Concepto 2.2. Relación de Tantos Equivalentes 33 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.1. CONCEPTO 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Las operaciones en régimen de sim ple se caracterizan porque los i ntereses :  a medida que se van generand o no se acumulan ,  y , no generan intereses en los períodos subsiguientes (no son productivos). P ar a la sustitución entre Cap itales se le aplica una LEY DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE. 34 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 1 . CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1. Concepto 1.2. Descripción de la Operación 1.3. Características de la Operación 1.4. Desarrollo de la Operación 1.5. Cálculo del Capital Inicial 1.6. Cálculo de los Intereses Totales 1.7. Cálculo del Tipo de Inte rés 1.8. Cálculo de la Duración 2. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. Concepto 2.2. Relación de Tantos Equivalentes 35 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE CAPITAL INICIAL CAPITAL FINAL o MONTANTE (C 0 ) (C n ) Al final de la oper ación: C n =C 0 + Inter eses totales gener ados DURACIÓN DE LA OPERACIÓN (n) TIPO DE INTERÉS (i) 36 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 1 . CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1. Concepto 1.2. Descripción de la Operación 1.3. Características de la Operación 1.4. Desarrollo de la Operación 1.5. Cálculo del Capital Inicial 1.6. Cálculo de los Intereses Totales 1.7. Cálculo del Tipo de Inte rés 1.8. Cálculo de la Duración 2. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. Concepto 2.2. Relación de Tantos Equivalentes 37 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Suponiendo una operación de tres períodos: 0 1 2 3 Inici o C 0 C 1 C 2 C 3 =C 0 + Interes es total es Fin i C I 0 1   i C I 0 2   i C I 0 3   38 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 1 . CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1. Concepto 1.2. Descripción de la Operación 1.3. Características de la Operación 1.4. Desarrollo de la Operación 1.5. Cálculo del Capital Inicial 1.6. Cálculo de los Intereses Totales 1.7. Cálculo del Tipo de Inte rés 1.8. Cálculo de la Duración 2. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. Concepto 2.2. Relación de Tantos Equivalentes 39 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Momento 0: Momento 1: Momento 2 : Momento 3: … 0 C ) i 1 ( C i C C ) i C ( C I C C 0 0 0 0 0 1 0 1                ) i 2 1 ( C ) i i 1 ( C i C i C C i C i C C I I C C 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 2                            ) i 3 1 ( C ) i i i 1 ( C i C i C i C C i C i C i C C I I I C C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 0 3                            40 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE ) i n 1 ( C C 0 n     ) i 3 1 ( C C 0 3    Momento 0: Momento 1: Momento 2 : Momento 3: … Momento n: 0 C ) i 1 ( C C 0 1    ) i 2 1 ( C C 0 2          ) i n 1 ( C ) i i i 1 ( C i C i C i C C i C i C i C C I I I C C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n 2 1 0 n                                     41 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 1 . CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1. Concepto 1.2. Descripción de la Operación 1.3. Características de la Operación 1.4. Desarrollo de la Operación 1.5. Cálculo del Capital Inicial 1.6. Cálculo de los Intereses Totales 1.7. Cálculo del Tipo de Inte rés 1.8. Cálculo de la Duración 2. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. Concepto 2.2. Relación de Tantos Equivalentes 48 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE ) i n 1 ( C C 0 n     Partiendo de la fórmula fundamental de la capitalizaci ón simple : i n 1 C C n 0    Despejamos C 0 : 49 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE C 2 =1.500€ i =6% an ual Capitalización simple n =2 años C 0 ? Ejemplo 3 : 50 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE C 2 =1.500€ i =6% an ual Capitalización simple n =2 años C 0 ? Ejemplo 3 : 0 2 años C 0 ? 1.500 i = 6% i n 1 C C n 0    € 29 , 339 . 1 12 , 1 500 . 1 06 , 0 2 1 500 . 1 C 0      € 29 , 33 9 . 1 C 0  51 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 1 . CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1. Concepto 1.2. Descripción de la Operación 1.3. Características de la Operación 1.4. Desarrollo de la Operación 1.5. Cálculo del Capital Inicial 1.6. Cálculo de los Intereses Totales 1.7. Cálculo del Tipo de Inte rés 1.8. Cálculo de la Duración 2. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. Concepto 2.2. Relación de Tantos Equivalentes 52 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital inicial, y sumarlos: i n C I 0 n    ) i ... i i ( C ) i C ( ... ) i C ( ) i C ( I ... I I To t a l e s n t e r e s e s I n 2 1 0 n 0 2 0 1 0 n 2 1                  ) i ... i i ( C T ot a l es nt er es es I n 2 1 0      i i ... i i n 2 1     Si i n C To t a l e s n t e r e s e s I 0    53 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Conocidos los capitales inicial y final, también se obtendrá por diferencias entre ambos: 0 n n C C I   54 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE C 0 =300€ i =7% simple anual n =4 años I? Ejemplo 4 : 55 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE 0 4 años 300 C 4 i = 7% I 4 ? € 84 I 4  C 0 =300€ i =7% simple anual n =4 años I? Ejemplo 4 : i n C I 0 n    Dos formas: F orma 1: € 84 4 07 , 0 3 0 0 I 4     56 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE 0 4 años 300 C 4 i = 7% I 4 ? € 84 I 4  C 0 =300€ i =7% simple anual n =4 años I? Ejemplo 4 : Dos formas: F orma 2: 0 n n C C I   ) i n 1 ( C C 0 n     € 384 28 , 1 300 ) 4 07 , 0 1 ( 300 C 4        € 84 300 384 I 4    57 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE 0 5 años 1.000 1.500 i? % 10 i  C 0 =1.000€ C 5 =1.500€ Capitalización simple n =5 años i? Ejemplo 6 : n 1 C C i 0 n   % 10 1 , 0 5 1 000 . 1 500 . 1 i     64 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 1 . CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1. Concepto 1.2. Descripción de la Operación 1.3. Características de la Operación 1.4. Desarrollo de la Operación 1.5. Cálculo del Capital Inicial 1.6. Cálculo de los Intereses Totales 1.7. Cálculo del Tipo de Inte rés 1.8. Cálculo de la Duración 2. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. Concepto 2.2. Relación de Tantos Equivalentes 65 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Partiendo de la fórmula fundamental de la capitali zación simple: 1º Pasamos C 0 al p rimer miembro:   i n 1 C C 0 n    2º Dejamos la n sola en el segundo miembro: 3º Despejamos la duración: i 1 C C n 0 n   ) i n 1 ( C C 0 n     i n 1 C C 0 n    i n 1 C C 0 n    i n 1 C C 0 n    66 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE C 0 =2.000€ C n =2.640€ Capitalización simple i =4% an ual n? Ejemplo 7 : 67 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE 0 n? 2.000 2.640 i=4% a ñ o s 8 n  C 0 =2.000€ C n =2.640€ Capitalización simple i =4% an ual n? Ejemplo 7 : i 1 C C n 0 n   a ñ o s 8 04 , 0 32 , 0 04 , 0 1 32 , 1 04 , 0 1 2. 0 00 640 . 2 n       68 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1. Concepto 1.2. Descripción de la Operación 1.3. Características de la Operación 1.4. Desarrollo de la Operación 1.5. Cálculo del Capital Inicial 1.6. Cálculo de los Intereses Totales 1.7. Cálculo del Tipo de Inte rés 1.8. Cálculo de la Duración 2. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. Concepto 2.2. Relación de Tantos Equivalentes 69 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2. TANTOS EQUIVALE NTES ¿Qué ocurre si el tanto de in terés no viene expresado en años, sino que lo hace en períodos más pequeñ os ? Es lógi co pensar que si cambia la frecuenc ia de cálc ulo de los intereses habrá que cambiar el importe del tanto de interés aplica do 2.1. CONCEPTO 70 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2. TANTOS EQUIVALE NTES Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo , son tant os equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. CONCEPTO 71 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1. Concepto 1.2. Descripción de la Operación 1.3. Características de la Operación 1.4. Desarrollo de la Operación 1.5. Cálculo del Capital Inicial 1.6. Cálculo de los Intereses Totales 1.7. Cálculo del Tipo de Inte rés 1.8. Cálculo de la Duración 2. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. Concepto 2.2. Relación de Tantos Equivalentes 72 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2. TANTOS EQUIVALE NTES Los Tantos Equivalentes en Simple son PROPORCION ALES: k i i k   k = Frecuencia de capitalización númer o de partes iguales en las que se divide el período de r ef erencia (consider ando como tal el año) 2.2. RELACIÓN DE TANT OS EQUIVALENTES Ejs .: Si la frecuencia es anual k=1 ; si es semestral k=2 ; si es trimestral k=4 ; si es mensual k=12 ,… 73 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 3 . DESCUENTO SIMPLE 3.1. Concepto 3.2. Características de la Operación 3.3. Descuento Racional 3.4. Descuento Comercial 4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES 80 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Los intereses no son prod uctivos , lo que significa que:  a medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y , por tanto,  los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capit al , al tanto de interés vigente en dicho período. 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO SIMPLE 81 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia  Punto de partida: C n  Para calcular C 0 debemos conocer: ➢ Duración de la operación: n ➢ Tanto aplicado: i o d 0 n C n C 0 ? i ó d 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO SIMPLE 82 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia necesariamente , C 0 < C n 0 n n C C I   Recordemos que: En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro impli ca añadirle intereses, hacer la operación inve rsa, anticipar su vencimiento , supondrá la minoración de esa misma carga financiera . n n 0 I C C   3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO SIMPLE 83 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 0 1 2 n-1 Inici o C 0 C n Fin n Gráficamente: Elementos: Descuent o o Rebaja  D V alor Fin al o Nomin al  n C V alor Actual, Inici al o Efec tivo  0 C T anto de la Operació n  d ó i 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO SIMPLE 84 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Por tanto, el capital presente ( C 0 ) es inferi or al capital futuro ( C n ), y la diferencia entre ambo s es lo que se denomina descuento ( D ). Se cumple la siguiente expresión: 0 n C C D   Descuento Disminución de intereses que experimenta un capital f utur o como consecuencia de adelantar su vencimiento 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO SIMPLE 85 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia DESCUENTO Se calcu la como e l interés total de un intervalo de tiempo ( el que se ant icipe el capital futuro ) T i po T i em po Ca pi t a l D    i n C I 0 n    3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO SIMPLE 86 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Según cuál sea el capita l que se considere para el cómpu to de l os intereses, SE DISTINGUE N DOS CLASES DE DESCUE NTO : DESCUENTO RACIONAL DESCUENTO COMERCIAL 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO SIMPLE 87 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 3 . DESCUENTO SIMPLE 3.1. Concepto 3.2. Características de la Operación 3.3. Descuento Racional 3.4. Descuento Comercial 4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES 88 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia DESCUENTO RACIONAL DESCUENTO MATEMÁTICO DESCUENTO LÓGICO = = DESCUENTO PROPIAMENTE DICHO = 3.3. DESCUENTO RACIONAL 3. DESCUENTO SIMPLE 89 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia El ahorro de intereses se calcula sobre el valor NOMINAL (C n ), utilizando el tipo de interés (d) vigente en el período. Intereses Se calculan sob re el capital final del período 3.4. DESCUENTO COMERCIAL 3. DESCUENTO SIMPLE 96 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia En este caso resulta más interesante calcular primero el descu ento comercial ( D c ) y, pos teriormente el capital inicial ( C 0 ): d n C d C ... d C d C D n n n n c           n veces Como el descuento es la suma de l os int ereses gener ados en cada uno de los períodos descontados (n), y en cada período tanto el capital consider ado par a calcular los int ereses como el propio tanto se manti ene constante: d n C D n c    3.4. DESCUENTO COMERCIAL 3. DESCUENTO SIMPLE 97 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Sustituyendo D c : y c n 0 D C C     d n 1 C C n 0     d n C D n c    0 n c C C D   Podemos extraer la expresión del C 0 por diferencia entre el capital final (C n ) y el descuento (D c ):   d n C C d n C C D C C n n n n c n 0           3.4. DESCUENTO COMERCIAL 3. DESCUENTO SIMPLE 98 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 9 : N =100€ t =3 años E? T anto anual=10 % simple D r ? D c ? 3.4. DESCUENTO COMERCIAL 3. DESCUENTO SIMPLE 99 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 0 3 años N=C n = 100 E=C 0 ? i=10% D r ? Para calcul ar D r tr es formas: 0 n r C C D   F orma 1: € 08 , 23 D r  i n 1 C C n 0    € 92 , 76 1 , 0 3 1 100 C 0     € 08 , 23 92 , 76 100 D r    € 92 , 76 C 0  3.4. DESCUENTO COMERCIAL 3. DESCUENTO SIMPLE Ejemplo 9 (Caso 1) : N =100€ t =3 años E? T anto anual=10 % simple D r ? 100 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 0 3 años N=C n = 100 E=C 0 ? i=10% D r ? Para calcul ar D r tr es formas: F orma 2: € 08 , 23 1 , 0 3 1 1 , 0 3 1 0 0 D r       i n 1 i n C D n r      € 08 , 23 D r  3.4. DESCUENTO COMERCIAL 3. DESCUENTO SIMPLE Ejemplo 9 (Caso 1) : N =100€ t =3 años E? T anto anual=10 % simple D r ? 101 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 0 3 años N=C n = 100 E=C 0 ? i=10% D r ? F orma 3: € 92 , 76 C 0  € 08 , 23 D r  T i po T i em po Ca pi t a l D    € 08 , 23 1 , 0 3 92 , 76 D r     3.4. DESCUENTO COMERCIAL 3. DESCUENTO SIMPLE Ejemplo 9 (Caso 1) : N =100€ t =3 años E? T anto anual=10 % simple D r ? Para calcul ar D r tr es formas: 102 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 0 3 años N=C n = 100 E=C 0 ? d=10% D c ? Para calcul ar E=C 0 dos formas: F orma 1: € 30 D c  € 70 C 0  € 30 1 , 0 3 100 D c     d n C D n c    € 70 30 1 0 0 C 0    c n 0 D C C   3.4. DESCUENTO COMERCIAL 3. DESCUENTO SIMPLE Ejemplo 9 (Caso 2) : N =100€ t =3 años E? T anto anual=10 % simple D c ? 103 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 0 3 años N=C n = 100 E=C 0 ? d=10% D c ? Para calcul ar E=C 0 dos formas: F orma 2:   d n 1 C C n 0     € 70 C 0  € 70 ) 1 , 0 3 1 ( 100 C 0      3.4. DESCUENTO COMERCIAL 3. DESCUENTO SIMPLE Ejemplo 9 (Caso 2) : N =100€ t =3 años E? T anto anual=10 % simple D c ? 104 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE ÍNDICE 3. DESCUENTO SIMPLE 3.1. Concepto 3.2. Características de la Operación 3.3. Descuento Racional 3.4. Descuento Comercial 4 . TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES 105 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 10 : N =100€ t =3 años i=10 % simple d equivalente? Compr obación? 4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 112 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 10 : N =100€ t =3 años i=10 % simple 0 3 años N=C n = 100 E=C 0 ? i=10% d? i n 1 i d    % 6923 , 7 076923 , 0 13 , 0 1 , 0 1 , 0 3 1 1 , 0 d       % 6 9 2 3 , 7 d  d equivalente? 4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 113 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 10 : N =100€ t =3 años i=10 % simple 0 3 años N=C n = 100 E=C 0 ? i=10% Comprobación? Descuento Racional: € 92 , 76 1 , 0 3 1 100 C 0     0 n r C C D   i n 1 C C n 0    € 08 , 23 92 , 76 100 D r    € 08 , 23 D r  € 92 , 76 C 0  4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 114 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 10 : N =100€ t =3 años i=10 % simple 0 3 años N=C n = 100 E=C 0 ? d=7 ,6923% Comprobación? Descuento Comercial (F orma 1): d n C D n c    c n 0 D C C   € 08 , 23 0 7 6 92 3 , 0 3 100 D c     € 92 , 76 08 , 23 1 0 0 C 0    € 08 , 23 D r  € 92 , 76 C 0  4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 115 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 10 : N =100€ t =3 años i=10 % simple 0 3 años N=C n = 100 E=C 0 ? d=7 ,6923% Comprobación? Descuento Comercial (F orma 2): d n C D n c    € 08 , 23 0 7 6 92 3 , 0 3 100 D c     € 08 , 23 D r  € 92 , 76 C 0    d n 1 C C n 0     € 92 , 76 ) 076923 , 0 3 1 ( 100 C 0      4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 116 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 10 : N =100€ t =3 años i=10 % simple 0 3 años N=C n = 100 E=C 0 =76,92 € i=10% d=7 ,6923% Comprobación? Descuento Racional (i=10% ): € 08 , 23 D r  € 92 , 76 C 0  Descuento Comercial (d =7 ,6923% ): € 08 , 23 D r  € 92 , 76 C 0  4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 117 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE 118 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 1: Introducción a la Matemá tica Financiera. Conceptos Básicos TEMA 2: Capitalización Simple TEMA 3: Equivalencia Fi nanciera de Capitales TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización S imple : Letra de Cambio y Cuenta Corrient e TEMA 5: Capitalización Compuesta PARTE 1 : INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. LAS LEY ES FINANCIERAS DE CAPITALIZ ACIÓN 119 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCI A DE CAPITALES: CONCEPTO 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 2 .1. Determinación del Ca pital Común 2.2. Determi nación del Vencimient o Común 2.2. Determinación del Vencimiento Medi o TEMA 3 : EQUIVALENCIA FINANCIERA DE C APITALES 120 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCI A DE CAPITALES: CONCEPTO 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 2.1. Determinació n del Ca pital Común 2.2. Determi nación del Vencimient o Común 2.2. Determinació n del Vencimie nto Medio TEMA 3 : EQUIVALENCIA FINANCIERA DE C APITALES 121 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 3 : EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES ÍNDICE 1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCI A DE CAPITALES: CONCEPTO 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 2.1. Determinació n del Ca pital Común 2.2. Determi nación del Vencimient o Común 2.2. Determinació n del Vencimie nto Medio 128 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES El capital común es la cuantía C de un capital único que vence en el momento t, conoc ido , y que sustituye a v arios capitales C 1 , C 2 , …, C n , con venc imientos en t 1 , t 2 , … , t n , respectiv amente, todos ellos conoc idos en cuantías y tiempos. 129 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES CAPITAL COMÚN (C) Estudio en el Momento 0 ❖ DESCUENTO RACIONAL (Valorado a tipo de interés «i») Estudio en el Momento «t» ❖ DESCUENTO COMERCIAL (Valorado a tipo de interés «d») ❖ DESCUENTO RACIONAL (Valorado a tipo de interés «i») ❖ DESCUENTO COMERCIAL (Valorado a tipo de interés «d») 130 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES MOMENTO «0» TIPO DE INTERÉS «i» 0 C 1 C 2 C n C? t 1 t 2 t n t i i t 1 C i t 1 C ... i t 1 C i t 1 C n n 2 2 1 1             i n 1 C C n 0      i n 1 C C 0 n     Nota: El tiempo tien e qu e ir exp resado en las mismas unidad es que el tipo d e interés P ar a actualizar: 131 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES i t 1 C i t 1 C ... i t 1 C i t 1 C n n 2 2 1 1             Despejando C:     i t 1 i t 1 C i t 1 i t 1 C ... i t 1 C i t 1 C C n 1 S S S n n 2 2 1 1                                  MOMENTO «0», TIPO DE INTERÉS «i» 132 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES MOMENTO «0», TIPO DE DESCUE NTO «d» 0 C 1 C 2 C n C? t 1 t 2 t n t d   d n 1 C C n 0     Nota: El tiempo tien e qu e ir exp resado en las mismas unidad es que el tipo d e interés         d t 1 C d t 1 C ... d t 1 C d t 1 C n n 2 2 1 1                 P ar a a ctualizar: 133 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Despejando C: MOMENTO «0», TIPO DE DESCUE NTO «d»         d t 1 C d t 1 C ... d t 1 C d t 1 C n n 2 2 1 1                         d t 1 d t 1 C d t 1 d t 1 C ... d t 1 C d t 1 C C n 1 S s s n n 2 2 1 1                         134 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES MOMENTO «t», TIPO DE INTERÉS «i» i n 1 C C n 0      i n 1 C C 0 n     Nota: El tiempo tien e qu e ir exp resado en las mismas unidad es que el tipo d e interés 0 C 1 C 2 C n C? t 1 t 2 t n t i           C i t t 1 C ... i t t 1 C i t t 1 C n n 2 2 1 1                P ar a cap italizar: P ar a a ctualizar: 135 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Despejando C: MOMENTO «t», TIPO DE INTERÉS «i»           C i t t 1 C ... i t t 1 C i t t 1 C n n 2 2 1 1                          i t t 1 C ... i t t 1 C i t t 1 C C n n 2 2 1 1                136 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES MOMENTO «t», TIPO DE DESCUENTO «d» Nota: El tiempo tien e qu e ir exp resado en las mismas unidad es que el tipo d e interés 0 C 1 C 2 C n C? t 1 t 2 t n t i             C d t t 1 C ... i t t 1 C i t t 1 C n n 2 2 1 1                   d n 1 C C n 0       i n 1 C C 0 n     P ar a capitalizar: P ar a a ctualizar: 137 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 3 : EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES ÍNDICE 1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCI A DE CAPITALES: CONCEPTO 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 2.1. Determinació n del Ca pital Común 2.2. Determi nación del Vencimient o Común 2.2. Determinació n del Vencimie nto Medio 144 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES El venc imiento común es el momento de tiempo t e n que vence un capital único C , conocido , que sustituye a v arios capitales C 1 , C 2 , ... , C n , con vencimientos en t 1 , t 2 , ... , t n , respec tiv amente, todos ellos conoc idos. Se tiene que cumplir: n 2 1 C . . . C C C     145 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES VENCIMIENTO COMÚN (t) Estudio en el Momento 0 ❖ DESCUENTO RACIONAL (Valorado a tipo de interés «i») Estudio en el Momento «t» ❖ DESCUENTO COMERCIAL (Valorado a tipo de interés «d») ❖ DESCUENTO RACIONAL (Valorado a tipo de interés «i») ❖ DESCUENTO COMERCIAL (Valorado a tipo de interés «d») 2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN Nota: No desarro llaremos todos y cada uno de los casos, y a que se procede de igual form a que en el capital común , salvo que ahora la incógnita a despejar es el vencimiento común «t» 146 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES MOMENTO «0», TIPO DE INTERÉS «i» i t 1 C i t 1 C ... i t 1 C i t 1 C n n 2 2 1 1             i n 1 C C n 0      i n 1 C C 0 n     Nota: El tiempo tien e qu e ir exp resado en las mismas unidad es que el tipo d e interés P ar a actualizar: 0 C 1 C 2 C n C t 1 t 2 t n t? i 2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN 147 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES i t 1 C i t 1 C ... i t 1 C i t 1 C n n 2 2 1 1             Despejando t:   1 i t 1 C C i t i t 1 C C i t 1 i t 1 i t 1 C C n 1 S S S n 1 S S S n 1 S S S                               i 1 i t 1 C C t n 1 S S S       2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN MOMENTO «0», TIPO DE INTERÉS «i» 148 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 0 C 1 C 2 C n C t 1 t 2 t n t? d   d n 1 C C n 0     Nota: El tiempo tien e qu e ir exp resado en las mismas unidad es que el tipo d e interés         d t 1 C d t 1 C ... d t 1 C d t 1 C n n 2 2 1 1                 P ar a a ctualizar: 2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN MOMENTO «0», TIPO DE DESCUE NTO «d» 149 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Despejando t: 2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN MOMENTO «0», TIPO DE DESCUE NTO «d»         d t 1 C d t 1 C ... d t 1 C d t 1 C n n 2 2 1 1                 d t C t C d C C d t C C t C d C d t C C t C d C d t C C t C d C n 1 S S S n 1 S S n 1 S S S n 1 S S n 1 S S S n 1 S S n 1 S S S n 1 S S                                                   d C t C d C C t n 1 S S S n 1 S S           150 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 2 : 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES C 1 =2.000€ C 3 =5.000€ t 1 =6 meses t 2 =8 meses C 2 =4 .000€ t? C =11.200€ t 3 =10 meses i =8% simple anual MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i» 2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN 0 2.000 4 .000 5.000 11.200 6 8 10 t? meses i t 1 C i t 1 C ... i t 1 C i t 1 C n n 2 2 1 1             151 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 2 : 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Despejando t y sustituyendo los datos : 2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i» a ño s 951133 , 0 00667 , 0 07609063 , 0 08 , 0 1 08 , 0 12 10 1 000 . 5 08 , 0 12 8 1 000 . 4 08 , 0 12 6 1 000 . 2 200 . 11 i 1 i t 1 C C t n 1 S S S                    mes es 41 , 11 12 951133 , 0 t    Pasamos los años a meses mult iplicando el tiem po anterior por 12 meses que tiene un año: : 152 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 3 : EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES ÍNDICE 1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCI A DE CAPITALES: CONCEPTO 2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 2.1. Determinació n del Ca pital Común 2.2. Determi nación del Vencimient o Común 2.2. Determinació n del Vencimie nto Medio 153 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1.1. Concepto 1.2. Descripción de la Operación 1.3. Características de la Operación 1.4. Desarrollo de la Operación 1.5. Cálculo del Capital Inicial 1.6. Cálculo de los Intereses Totales 1.7. Cálculo del Tipo de Inte rés 1.8. Cálculo de la Duración 2. TANTOS EQUIVALENTES 2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta 2.2. Tanto Nominal TEMA 5 : CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 256 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.2. TANTO NOMINAL 2. TANTOS EQUIVALE NTES Por una parte, no s encontramos con la necesidad de aplicar la relación anterior de equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en di ferentes unidades de tiem po, los resultados finales sigan siendo idénticos . DEMASIADO COMPLIC ADA Necesidad d e emplear un tanto que permita pasar fácilmente de su unid ad habitual (en años) a cualquier otr a dif erente y que financier amente resulte correcta: el TANT O NOMINAL (J k ) 257 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.2. TANTO NOMINAL 2. TANTOS EQUIVALE NTES En régimen simple: k i i k   En régimen compuesto: k i J k k   TANTO NOMINAL (J K ): Un tant o teórico que se o btiene m ulti pli cando la fr ecue ncia de ca pit alización k p or el tanto k - esimal i k . 258 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.2. TANTO NOMINAL 2. TANTOS EQUIVALE NTES k i J k k   k J i k k  Esta es una exp resión pensad a para pasar fácilmente de un tanto referido al año (J k ) a un tanto efectivo k-esimal (i k ) En compuesta, los TANTOS DE INTERÉS pueden ser: Tantos Efect ivos (i ó i k ) Tantos Nominales (J k ) 259 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.2. TANTO NOMINAL 2. TANTOS EQUIVALE NTES Si los tantos efectivos son ANUA LES (i) se conocen como TAE (Tasa An ual Equivalent e) Veamos la relación pa ra pasar de uno a otro: Tantos Efect ivos ANUALES (i) Tantos Nominales (J k ) 260 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.2. TANTO NOMINAL 2. TANTOS EQUIVALE NTES Partiendo de: ❖ EL VALOR DE i ó TAE EN FU NCIÓN DE J k : y (Valor de i en función de i k )   1 i 1 i k k    k J i k k  1 k J 1 i k k          (Recordemos que ) k i J k k   261 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2.2. TANTO NOMINAL 2. TANTOS EQUIVALE NTES Partiendo de: ❖ EL VALOR DE J k EN FUNCIÓN DE i ó TAE : k i J k k     1 i 1 i k 1 k    y (Valor de i k en función de i)     k 1 i 1 J k 1 k     262 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia J k =8% Capitalización compuesta TAE? Ejemplo 7 (1ª parte) : 2. TANTOS EQUIVALE NTES Casos: a. Devengo anu al de intereses b. Devengo semestr al de intereses c. Devengo trimestr al de intereses d. Devengo men sual de intereses 2.2. TANTO NOMINAL 263 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia J k =8% Capitalización compuesta TAE? Ejemplo 7 (1ª parte) : 2. TANTOS EQUIVALE NTES a. Devengo anual de intereses 2.2. TANTO NOMINAL 1 k J 1 i k k          % 8 08 , 0 1 08 , 1 1 1 08 , 0 1 1 k J 1 i 1 k k                       % 8 i  1 k  264 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia J k =8% Capitalización compuesta TAE? Ejemplo 7 (1ª parte) : 2. TANTOS EQUIVALE NTES b. Devengo semestr al de intereses 2.2. TANTO NOMINAL 1 k J 1 i k k          % 16 , 8 i  2 k  % 16 , 8 0816 , 0 0816 , 1 1 2 08 , 0 1 1 k J 1 i 2 k k                      265 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 7 (2ª parte) : 2. TANTOS EQUIVALE NTES d. Devengo mensual de inter eses 2.2. TANTO NOMINAL % 721 , 7 i  12 k  T AE =8% Capitalización compuesta J k ?     k 1 i 1 J k 1 k               % 721 , 7 07 7 2 1 , 0 12 1 006 4 3 , 1 12 1 08 , 0 1 k 1 i 1 J 12 1 k 1 k               272 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 3 . DESCUENTO COMPUESTO 3.1. Concepto 3.2. Características de la Operación 3.3. Descuento Racional 3.4. Descuento Comercial 4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES 5. APLICACIONES DEL PRINC IPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 5.1. Determinaci ón del Ca pital Común 5.2. Determinaci ón del Vencimiento Común 5.3. Determinaci ón del Vencimiento Medio TEMA 5 : CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 273 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia El descuento compuesto es la oper ación financier a que tiene por objeto la sustitución de un c apital futuro por otro equiv alente con venc imiento presente , mediante la aplicación de la ley financier a de descuent o compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización. 0 n C n C 0 ? 3.1. CONCEPTO 3. DESCUENTO COMPUESTO 274 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 3 . DESCUENTO COMPUESTO 3.1. Concepto 3.2. Características de la Operación 3.3. Descuento Racional 3.4. Descuento Comercial 4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES 5. APLICACIONES DEL PRINC IPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 5.1. Determinaci ón del Ca pital Común 5.2. Determinaci ón del Vencimiento Común 5.3. Determinaci ón del Vencimiento Medio TEMA 5 : CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 275 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Los intereses son produ ctivos , lo que significa que:  a medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y , por tanto,  los intereses de cualquier periodo siempre los genera el capital del período anterior , al tanto de interés vigente en dicho periodo. 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO COMPUESTO 276 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia  Punto de partida: C n  Para calcular C 0 debemos conocer: ➢ Duración de la operación : n ➢ Tanto aplicado: i o d 0 n C n C 0 ? i ó d 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO COMPUESTO 277 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia necesariamente , C 0 < C n 0 n n C C I   Recordemos que: En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro impli ca añadirle intereses, hacer la operación inve rsa, anticipar su vencimiento , supondrá la minoración de esa misma carga financiera . n n 0 I C C   3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO COMPUESTO 278 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Al ig ual que ocurrí a en Simple, SE DISTINGUEN DOS CLASES DE DESCUE NTO : DESCUENTO RACIONAL DESCUENTO COMERCIAL 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN 3. DESCUENTO COMPUESTO 279 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 3 . DESCUENTO COMPUESTO 3.1. Concepto 3.2. Características de la Operación 3.3. Descuento Racional 3.4. Descuento Comercial 4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES 5. APLICACIONES DEL PRINC IPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 5.1. Determinaci ón del Ca pital Común 5.2. Determinaci ón del Vencimiento Común 5.3. Determinaci ón del Vencimiento Medio TEMA 5 : CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 280 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un período el capital al inicio de dicho perí odo , utiliz ando el tipo de inte rés (i) vigente en dicho período. Intereses Se calculan sobre el capital inicial del periodo (no sob re el capital inicial como ocurría e n simple) 3.3. DESCUENTO RACIONAL 3. DESCUENTO COMPUESTO 281 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia   n n 0 i 1 C C   Sustituyendo C 0 : Podemos extraer otra expresión del D r sustituyendo C 0 en la expresión anteri or: 0 n r C C D                        n n n n n 0 n r i 1 1 1 C i 1 C C C C D     n n r i 1 1 C D      3. DESCUENTO COMPUESTO 3.3. DESCUENTO RACIONAL 288 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 8 : C 3 =24 .000€ t =3 años C 0 ? i =5% an ual co mpuesto D r ? 0 3 años 24 .000 C 0 ? i = 5% D r ? 3. DESCUENTO COMPUESTO 3.3. DESCUENTO RACIONAL 289 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Dos formas:   n n 0 i 1 C C   0 n r C C D   F orma 1: € 10 , 732 . 0 05 , 1 000 . 24 C 3 0    € 90 , 267 . 3 10 , 732 . 20 000 . 24 D r    € 90 , 267 . 3 D r  Ejemplo 8 : C 3 =24 .000€ t =3 años C 0 ? i =5% an ual co mpuesto D r ? 0 3 años 24 .000 C 0 ? i = 5% D r ? 3. DESCUENTO COMPUESTO 3.3. DESCUENTO RACIONAL 290 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia € 90 , 267 . 3 D r      n n r i 1 1 C D          € 90 , 267 . 3 1361624 , 0 000 . 24 05 , 0 1 1 000 . 24 D 3 r         Dos formas: F orma 2: Ejemplo 8 : C 3 =24 .000€ t =3 años C 0 ? i =5% an ual co mpuesto D r ? 0 3 años 24 .000 C 0 ? i = 5% D r ? 3. DESCUENTO COMPUESTO 3.3. DESCUENTO RACIONAL 291 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 3 . DESCUENTO COMPUESTO 3.1. Concepto 3.2. Características de la Operación 3.3. Descuento Racional 3.4. Descuento Comercial 4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES 5. APLICACIONES DEL PRINC IPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 5.1. Determinaci ón del Ca pital Común 5.2. Determinaci ón del Vencimiento Común 5.3. Determinaci ón del Vencimiento Medio TEMA 5 : CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 292 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia En este caso se considera generador de los interese s de un período el capital al final de dicho perí odo , utiliz ando el t ipo de descuent o (d) vigente en dicho período. Intereses Se calculan sobre el capital final del período (no sobre el capital inicial del período como ocurría e n el descue nto r acional) 3. DESCUENTO COMPUESTO 3.4. DESCUENTO COMERCIAL 293 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Gráficamente: 0 1 2 n-2 n-1 n C 0 C 1 C 2 C n-2 C n-1 C n … … d 3. DESCUENTO COMPUESTO 3.4. DESCUENTO COMERCIAL 294 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Periodo n: Periodo n- 1: Periodo n- 2: n C ) d 1 ( C C ) d 1 ( C d C C I C C n 1 n n n n n n 1 n                   2 n 2 n n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n ) d 1 ( C C d 1 d 1 C C ) d 1 ( C d C C I C C                            3. DESCUENTO COMPUESTO 3.4. DESCUENTO COMERCIAL 295 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Periodo n- 3: … Periodo 0: n n 0 ) d 1 ( C C        3 n 3 n 2 n 3 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 3 n ) d 1 ( C C d 1 d 1 C C ) d 1 ( C d C C I C C                            3. DESCUENTO COMPUESTO 3.4. DESCUENTO COMERCIAL 296 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Es decir: … en consecuen cia , Los inter eses se calculan fi nalmente sobre el c apital f inal de cada período , no como ocu rría en el descuento racional. n n 0 ) d 1 ( C C    3. DESCUENTO COMPUESTO 3.4. DESCUENTO COMERCIAL 297 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Una vez estudi ados los dos procedimient os de descuent o, se intu ye que descont ando u n capita l cualqu iera, el mismo tiempo y con el mismo tanto , los result ados serán diferente s según se realice por un procedimiento u otro. 4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES VAMOS A BUSCAR UNA RELACI ÓN ENTRE EL TIPO DE INT ERÉS (i) Y EL TI PO DE DESCUENTO (d) para los que el resultado de la anticipación sea el mi smo, es decir, que los descuentos (D r y D c ) sean iguales tanto si aplicamos el descuento ra cional a un interés i como si aplicamos un descuento comercial a un desc uento d … 304 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Para que esto ocurra: c r D D        n n n n d 1 1 C i 1 1 1 C                Dividiendo ambos miembros por C n :     n n d 1 1 i 1 1 1          n n c d 1 1 C D         n n r i 1 1 C D      4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 305 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia     n n d 1 1 i 1 1 1      R estando la unidad y multipli cando por - 1:     n n d 1 i 1 1    Extr ayendo la r aíz n a lo s dos miembr os:     d 1 i 1 1 d 1 i 1 1 n n n n        4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 306 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia d 1 i 1 1    El tanto de descuento c omercial «d» equivalente al tanto «i» será: i 1 i d   Despejando d: i 1 i i 1 1 i 1 i 1 1 1 d          4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 307 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia i 1 i d   A partir de e sa expresió n calculemos « i » en función de «d»:     d 1 d i d 1 i d i d i d i i d d i i 1 d i 1 i d                      d 1 d i   4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 308 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia IMPORTANT E: Hay que tener en cuenta que la relación de equivalencia es independiente de la duración de la operación . Por tanto, se cumple que para un tanto de interés solamente habrá un tipo de descuento que produzca el mismo efecto (sea equivalente) y viceversa, sin t ener en cuent a el tiempo en la operación. d 1 d i   i 1 i d   4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 309 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 10 (1ª pa rte) : C 3 =24 .000€ t =3 años C 0 ? 2 CASOS: ▪ i=5% anua l co mpuesto ▪ d=5% an ual compuesto 0 3 años 24 .000 C 0 ? i = 5% d = 5% 4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 310 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 10 (1ª pa rte) : C 3 =24 .000€ t =3 años C 0 ? 0 3 años 24 .000 C 0 ? i = 5% i =5% an ual co mpuesto   n n 0 i 1 C C     € 10 , 732 . 20 05 , 0 1 000 . 24 C 3 0    € 10 , 732 . 20 C 0  4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 311 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 10 (1ª pa rte) : C 3 =24 .000€ t =3 años C 0 ? 0 3 años 24 .000 C 0 ? d = 5% d =5% anual compuesto n n 0 ) d 1 ( C C      € 577 . 20 05 , 0 1 000 . 24 C 3 0     € 5 7 7 . 20 C 0  4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 312 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 10 (2ª pa rte) : C 3 =24 .000€ t =3 años 0 3 años 24 .000 C 0 i = 5% d? i =5% an ual co mpuesto d equivalente? 4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES 313 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 5.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN El capital común es la cuantía C de un capital único que vence en t, conocido , y que sustituye a v arios capitales C 1 , C 2 , ... , C n , con venc imientos en t 1 , t 2 , .. . ,t n , respec tiv amente, todos ellos conocidos. 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES IMPORTANTE: Para recordar cóm o se determ ina el capital común en la capitalización com puesta habrá que remitirse al tema de la sustitución de capitales en capitalización simple . 320 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 3. DESCUENTO COMPUESTO 3.1. Concepto 3.2. Características de la Operación 3.3. Descuento Racional 3.4. Descuento Comercial 4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES 5. APLICACIONES DEL PRINC IPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 5.1. Determinaci ón del Ca pital Común 5.2. Determinaci ón del Vencimiento Común 5.3. Determinaci ón del Vencimiento Medio TEMA 5 : CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 321 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 5.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES El venc imiento común es el momento de tiempo t e n que vence un capital único C , conocido , que sustituye a v arios capitales C 1 , C 2 , ... , C n , con vencimientos en t 1 , t 2 , ... , t n , respec tiv amente, todos ellos conoc idos. Se tiene que cumplir: n 2 1 C . . . C C C     322 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 5.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES No desarroll aremos fórm ulas: T anto en el caso de vencimiento común como el del vencimiento medio se han de aplicar los conceptos par a resolv er los pr oblemas. Veremos varios ejemplo s resolviendo problemas 323 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 3. DESCUENTO COMPUESTO 3.1. Concepto 3.2. Características de la Operación 3.3. Descuento Racional 3.4. Descuento Comercial 4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES 5. APLICACIONES DEL PRINC IPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 5.1. Determinaci ón del Ca pital Común 5.2. Determinaci ón del Vencimiento Común 5.3. Determinaci ón del Vencimiento Medio TEMA 5 : CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 324 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 5.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES El venc imiento medio es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido , que sustituye a v arios capitales C 1 , C 2 , ... , C n , con venc imientos en t 1 , t 2 , ... , t n , respec tiv amente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir: n 2 1 C ... C C C     325 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 11 : 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES C 1 =2.000€ C 3 =5.000€ t 1 =6 años t 2 =8 años C 2 =4 .000€ C? t =9 años t 3 =10 años i =8% compuesto anual 2 CASOS: ▪ F echa de estudio 0 ▪ F echa de estudio t=9 años 326 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 11 : 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES C 1 =2.000€ C 3 =5.000€ t 1 =6 años t 2 =8 años C 2 =4 .000€ C? t =9 años t 3 =10 años i =8% compuesto anual MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i» 0 2.000 4 .000 5.000 C? 6 8 10 9 i años   n n 0 i 1 C C                         tn n 2 t 2 1 t 1 t i 1 C ... i 1 C i 1 C i 1 C 327 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 11 : 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i» Despejando C y sustituyendo los datos : € 05 , 469 . 11 C 38 , 737 . 5 9 9 9 0 0 5 , 1 C 08 , 1 000 . 5 08 , 1 000 . 4 08 , 1 000 . 2 08 , 1 C 08 , 1 000 . 5 08 , 1 000 . 4 08 , 1 000 . 2 08 , 1 C 10 8 6 9 10 8 6 9                                                tn n 2 t 2 1 t 1 t i 1 C ... i 1 C i 1 C i 1 C € 05 , 469 . 11 C  328 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 11 : 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES C 1 =2.000€ C 3 =5.000€ t 1 =6 años t 2 =8 años C 2 =4 .000€ C? t =9 años t 3 =10 años i =8% compuesto anual MOMENTO t=9, TIPO DE INTERÉS «i»   n n 0 i 1 C C   0 2.000 4 .000 5.000 C? 6 8 10 9 años   n 0 n i 1 C C          t t 3 t t 2 t t 1 3 2 1 i 1 C i 1 C i 1 C C            329 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Ejemplo 12 (1 er Caso) : Para pasar los 0,83 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año a ñ os 83 , 2 t  m e s e s . 96 , 9 12 83 , 0   Para pasar los 0,96 m eses a días se multiplica por 30 días que tiene un m es d í a s 29 d í a s 8 , 28 30 96 , 0    dí a s 29 y m es es 9 a ños , 2 t  336 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia t? 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Ejemplo 12 (2º Caso) : C 1 =5.000€ t 1 =3 años t 2 =5 años C 2 =8.000€ i =6% compuesto anual 0 5.000 8.000 C=13 .000 3 5 t? años C =13.000€   n n 0 i 1 C C                         tn n 2 t 2 1 t 1 t i 1 C ... i 1 C i 1 C i 1 C 337 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Ejemplo 12 (2 º Caso) : Operamos para poder despejar t                       tn n 2 t 2 1 t 1 t i 1 C ... i 1 C i 1 C i 1 C t t t t 5 3 t 06 , 1 2 7 7 4 9 6 , 1 06 , 1 16 , 176 . 10 000 . 13 000 . 12 06 , 1 16 , 176 . 10 16 , 176 . 10 06 , 1 000 . 13 06 , 1 000 . 8 06 , 1 000 . 5 06 , 1 000 . 13                    338 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Ejemplo 12 (2 º Caso) : Aplicamos logaritmo s para poder despejar t a ñ os 20 , 4 t  t 06 , 1 27 7 4 96 , 1  a ñ o s 20 , 4 t 025306 , 0 106360 , 0 t 06 , 1 l og 277496 , 1 l og t 06 , 1 l og t 277496 , 1 l o g 06 , 1 l og 277496 , 1 l o g t            339 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Ejemplo 12 (2 º Caso) : Para pasar los 0,20 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año mes e s . 40 , 2 12 20 , 0   Para pasar los 0,40 m eses a días se multiplica por 30 días que tiene un m es d í a s 12 30 40 , 0   dí a s 12 y m es es 2 a ños , 4 t  a ñ os 20 , 4 t  340 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 5 : CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 341 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia PARTE 2 : RENTAS FINANCIERAS TEMA 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes TEMA 7: Renta s Variables 342 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANT ES ÍNDICE 1. CONCEPTO DE RENTA FIN ANCIERA 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA 3. CLASES DE RENTAS 3.1. Según la Cuantía de los Té rminos 3.2. Según el Número de Té rminos 3.3. Según el Vencimiento del Té rmino 3.4. Según el Momento de Valoración 3.5. Según la Periodic idad del Vencim iento 3.6. Según la Ley Financiera 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA 343 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 5. RENTAS CONSTANTES 5.1. Renta Te mporal Pospagable, Inmediata y Entera 5.1.1. Cálculo del Valor Actual 5.1.2. Cálculo del Valor Final 5.2. Renta Te mporal Prepaga ble, Inmediata y Entera 5.2.1. Cálculo del Valor Actual 5.2.2. Cálculo del Valor Final 5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras 5.3.1. Rentas Pospagables 5.3.2. Rentas Prepagables 5.4. Rentas Diferidas 5.4.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.4.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Entera s 5.4.3. Rentas Per petuas, Pospaga bles y Enteras 5.4.4. Rentas Per petuas, Pre pagables y Enteras 5.5. Rentas Ant icipadas 5.5.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.5.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Entera s TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANT ES 344 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANT ES ÍNDICE 1. CONCEPTO DE RENTA FIN ANCIERA 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA 3. CLASES DE RENTAS 3.1. Según la Cuantía de los Términos 3.2. Según el Número de Té rminos 3.3. Según el Vencimiento del Té rmino 3.4. Según el Momento de Valoración 3.5. Según la Periodic idad del Vencim iento 3.6. Según la Ley Financiera 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA 345 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA Gráficamente: t 0 t 1 t 2 t 3 t n-1 t n i … Duración=t n -t 0 Origen Final C 1 C 2 C 3 C n 352 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANT ES ÍNDICE 1. CONCEPTO DE RENTA FIN ANCIERA 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA 3. CLASES DE RENTAS 3.1. Según la Cuantía de los Términos 3.2. Según el Número de Té rminos 3.3. Según el Vencimiento del Té rmino 3.4. Según el Momento de Valoración 3.5. Según la Periodic idad del Vencim iento 3.6. Según la Ley Financiera 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA 353 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 3. CLASES DE RENTAS 3.1. SEGÚN LA CUANTÍA DE LOS TÉRMINOS Constante : T odos los capitales son iguales Variable : Al menos uno de los capitales es dif erente al resto Sin segui r una ley matem ática : V arían aleatoriamente Siguiendo una le y mat emática : V arían en or den En progres ión aritmética En progres ión geométrica 354 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANT ES ÍNDICE 1. CONCEPTO DE RENTA FIN ANCIERA 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA 3. CLASES DE RENTAS 3.1. Según la Cuantía de los Términos 3.2. Según el Número de Té rminos 3.3. Según el Vencimiento del Té rmino 3.4. Según el Momento de Valoración 3.5. Según la Periodic idad del Vencim iento 3.6. Según la Ley Financiera 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA 355 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 3. CLASES DE RENTAS 3.2. SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS Temporal : Tienen un número finit o y conocido de capit ales Perpetua : Tiene n un número infinito o demasiado gr ande de capitales 356 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANT ES ÍNDICE 1. CONCEPTO DE RENTA FIN ANCIERA 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA 3. CLASES DE RENTAS 3.1. Según la Cuantía de los Términos 3.2. Según el Número de Té rminos 3.3. Según el Vencimiento del Té rmino 3.4. Según el Momento de Valoración 3.5. Según la Periodic idad del Vencim iento 3.6. Según la Ley Financiera 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA 357 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 3. CLASES DE RENTAS 3.3. SEGÚN EL VENCIMIENTO DEL TÉRMI NO Pospagable : Los capitales se encuentr an al final de cada periodo de tiempo Prepagable : Los capitales se encuentr an al princi pio de cada periodo de ti empo 358 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANT ES ÍNDICE 1. CONCEPTO DE RENTA FIN ANCIERA 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA 3. CLASES DE RENTAS 3.1. Según la Cuantía de los Términos 3.2. Según el Número de Té rminos 3.3. Según el Vencimiento del Té rmino 3.4. Según el Momento de Valoración 3.5. Según la Periodic idad del Vencim iento 3.6. Según la Ley Financiera 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA 359 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 3. CLASES DE RENTAS 3.4. SEGÚN EL MOMENTO DE VALORACIÓN Inmediata : Se v alor a la renta en su origen o en su final Diferida : El primer término se encuentr a en algún moment o posterior al que le correspondería a la inmediata Anticipada : El primer término se encuentr a en algún moment o anterior al que le correspon dería a la i nmediata. 360 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANT ES ÍNDICE 1. CONCEPTO DE RENTA FIN ANCIERA 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA 3. CLASES DE RENTAS 3.1. Según la Cuantía de los Términos 3.2. Según el Número de Té rminos 3.3. Según el Vencimiento del Té rmino 3.4. Según el Momento de Valoración 3.5. Según la Periodic idad del Vencim iento 3.6. Según la Ley Financiera 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA 361 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA Algunas fórmulas que nos van hacer falta: Fórmula de la suma de n térm inos de una progr esión arit méti ca : n 2 a a S n 1    donde: Primer término de la pr ogresión Último término de la pr ogresión Númer o de términos de la pr ogr esión  1 a  n a  n 368 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA Algunas fórmulas que nos van hacer falta: r 1 r a a S n 1     donde: Primer término de la pr ogresión Último término de la pr ogresión Razón de la pr ogresión  1 a  n a  r Fórmula de la suma de n térm inos de una progr esión geom étrica decrecient e : 369 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA Algunas fórmulas que nos van hacer falta: 1 r a r a S n 1     donde: Primer término de la pr ogresión Último término de la pr ogresión Razón de la pr ogresión  1 a  n a  r Fórmula de la suma de n térm inos de una progr esión geom étrica creciente : 370 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA Algunas fórmulas que nos van hacer falta: Fórmula del cálculo del té rmino n-ésimo de una progresión aritmé tica :   d 1 n a a 1 n     donde: Primer término de la pr ogresión Último término de la pr ogresión Númer o de términos de la p rogr esión Dif er encia de la progr esión  1 a  n a  n  d 371 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA Algunas fórmulas que nos van hacer falta: Fórmula del cálculo del té rmino n-ésimo de una progresión geométri ca : donde: Primer término de la pr ogresión Último término de la pr ogresión Númer o de términos de la p rogr esión Razón de la pr ogresión  1 a  n a  n  r   1 n 1 n r a a    372 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 1 (Primer caso) : n =30 a 1 =5 d =2 S? 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 29 a 30 373 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 1 (Primer caso) : n =30 a 1 =5 d =2 S? 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA n 2 a a S n 1      d 1 n a a 1 n       63 2 1 30 5 a 30      020 . 1 30 2 63 5 S     0 2 0 . 1 S  n =30 a 1 =5 d =2 S? a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 29 a 30 374 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 1 (Segund o caso) : n =8 a 1 =1.000 r =0,5 S? 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 375 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 1 (Segund o caso) : n =8 a 1 =1.000 r =0,5 S? 4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 19 , 992 . 1 S    1 n 1 n r a a    r 1 r a a S n 1     Como r<1, la progres ión geométri ca es DEC RECIENTE:   8 12 5 , 7 5 , 0 0 0 0 . 1 a 1 8 30     19 , 992 . 1 5 , 0 1 5 , 0 8125 , 7 000 . 1 S      376 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia ÍNDICE 5. RENTAS CONSTANTES 5.1 . Renta Te mporal Pospagable, Inmediata y Entera 5.1.1. Cálculo del Valor Actual 5.1.2. Cálculo del Valor Final 5.2. Renta Te mporal Prepaga ble, Inmediata y Entera 5.2.1. Cálculo del Valor Actual 5.2.2. Cálculo del Valor Final 5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras 5.3.1. Rentas Pospagables 5.3.2. Rentas Prepagables 5.4. Rentas Diferidas 5.4.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.4.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Entera s 5.4.3. Rentas Per petuas, Pospaga bles y Enteras 5.4.4. Rentas Per petuas, Pre pagables y Enteras 5.5. Rentas Ant icipadas 5.5.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.5.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Entera s TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANT ES 377 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia P ar a simp lificar la expresión anterior , hemos de hacer notar que se tr at a de una progr esión geométr ica de r azó n:         n 1 n 3 2 i n 0 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 a V              i 1 1 r   Como la r azó n es menor que la unidad, la progr esión es decr ecient e , por lo q ue la suma de los n términos de una pr ogresión geométrica decr eciente es la sigui ente: r 1 r a a S n 1     5. RENTAS CONSTANTES 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.1 . Cálcu lo del Valor Inicia l 384 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia         n 1 n 3 2 i n 0 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 a V              Sumando los n términos de la progresión geométrica: r 1 r a a S n 1                   i i 1 1 i i 1 1 1 i 1 1 i i 1 1 1 i 1 1 i 1 1 i i 1 1 1 i 1 1 i 1 i i 1 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 i 1 1 1 i 1 1 i 1 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 a n n n n n n n i n                                                                                   5. RENTAS CONSTANTES 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.1 . Cálcu lo del Valor Inicia l 385 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia   i i 1 1 a n i n     Esta es la expresión que permite calcular el valor ACTUAL de una RENTA CONS TANTE , TEMPORAL , POSPAGABLE , INMEDIATA , ENTERA Y UNITARIA 5. RENTAS CONSTANTES 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.1 . Cálcu lo del Valor Inicia l 386 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia V 0 ? c c c c c 0 1 2 3 n-1 n i … … Gráficamente: 5. RENTAS CONSTANTES 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.1 . Cálcu lo del Valor Inicia l RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c : T odos los térmi nos iguales a c 387 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Aplicando la defi nición de v alor actual y llev ando los términos uno a uno , descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están cada un o de los capi tales hasta el origen se obtiene el v alor actual, que se denota con la siguiente terminología A n ┐ i n: Número de Términos i: Tanto de Valoración La letra a : Significa Va lor Ac t ual La letra ma yú scula : Significa Re n ta No Un it ari a 5. RENTAS CONSTANTES 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.1 . Cálcu lo del Valor Inicia l 388 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Llegamos a l a siguiente fórmula: V 0 ? c c c c c 0 1 2 3 n-1 n i … …   n n 0 i 1 C C           n 1 n 3 2 i n 0 i 1 c i 1 c i 1 c i 1 c i 1 c A V              5. RENTAS CONSTANTES 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.1 . Cálcu lo del Valor Inicia l 389 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia         n 1 n 3 2 i n 0 i 1 c i 1 c i 1 c i 1 c i 1 c A V              Sacamos factor común c:                            n 1 n 3 2 i n 0 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 c A V  El corchete es el valor actual de una renta unitaria , temporal , pospaga ble , inmed iata y entera         n 1 n 3 2 i n i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 a             5. RENTAS CONSTANTES 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.1 . Cálcu lo del Valor Inicia l 390 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia                            n 1 n 3 2 i n 0 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 c A V          n 1 n 3 2 i n i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 a               i i 1 1 a n i n       i i 1 1 c a c A n i n i n        5. RENTAS CONSTANTES 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.1 . Cálcu lo del Valor Inicia l 391 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Esta es la expresión que permite calcular el valor INICIAL de una RENTA CONSTANTE , TEMPORAL , POSPAGABLE , INMEDIATA , ENTERA Y DE CUANTÍA c i n i n a c A   5. RENTAS CONSTANTES 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.1 . Cálcu lo del Valor Inicia l 392 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Ejemplo 2 : n =3 c =100€ i=10% efectiv o anual V 0 ? V 0 ? 100 100 100 0 1 2 3 años i=10% 5. RENTAS CONSTANTES 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.1 . Cálcu lo del Valor Inicia l 393 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Fórmula para calcular el valor final V n en capitalizació n compuesta:   n 0 n i 1 C C    IMPORTANTE: n lo que indica es el número de veces que se han genera do (y acumulado) inter eses al capital inicial , por tant o, esa variable siemp re ha de estar en la mism a unidad de tiempo que el tipo de interé s (no importando cuá l sea) 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.2 . Cálcu lo del Valor Final 5. RENTAS CONSTANTES 400 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia RENTA UNITAR IA : T odos los términos iguales a la uni dad Gráficamente: V n ? 1 1 1 1 1 0 1 2 n -2 n-1 n i … … 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.2 . Cálcu lo del Valor Final 5. RENTAS CONSTANTES 401 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Aplicando la defi nición de v alor fin al y llev ando los términos uno a uno , capitalizando en régim en de capi talización compuesta al tanto de la r enta i, desde donde se encuentr a cada uno hasta el final, qu e se denota con la siguiente terminología s n ┐ i n: Número de Términos i: Tanto de Valoración La letra s : Significa V a lor Final La letra min ú scul a : Significa R en ta Un it aria 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.2 . Cálcu lo del Valor Final 5. RENTAS CONSTANTES 402 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Llegamos a l a siguiente fórmula: V n ? 1 1 1 1 1 0 1 2 n-2 n-1 n i … …   n 0 n i 1 C C          1 n 2 i n n i 1 i 1 i 1 1 s V            5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.2 . Cálcu lo del Valor Final 5. RENTAS CONSTANTES 403 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia P ar a simplificar la expresión anterior , hemos de hacer notar que se tr at a de una progresi ón geomét rica de r azón: i 1 r   Como la r azó n es mayor que la unidad, la progresi ón es decreciente , por lo que la suma de los n términos de una pr ogresión geométrica decr eciente es la sigui ente:       1 n 2 i n n i 1 i 1 i 1 1 s V            1 r a r a S 1 n     5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.2 . Cálcu lo del Valor Final 5. RENTAS CONSTANTES 404 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Sumando los n términos de la progresión geométrica:       1 n 2 i n n i 1 i 1 i 1 1 s V            1 r a r a S 1 n               i 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 i 1 s n 1 1 n 1 n i n                   5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.2 . Cálcu lo del Valor Final 5. RENTAS CONSTANTES 405 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia   i 1 i 1 s n i n    Esta es la expresión que permite calcular el valor FINAL de una RENTA CONSTANTE , TEMPORAL , POSPAGABLE , INMEDIATA , ENTERA Y UNITARIA 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.2 . Cálcu lo del Valor Final 5. RENTAS CONSTANTES 406 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Al mismo resultado hubiésemos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de v aloración: Gráficamente: V n ? 1 1 1 1 1 0 1 2 n-2 n- 1 n i … … V 0 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.2 . Cálcu lo del Valor Final 5. RENTAS CONSTANTES 407 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia Por tanto, el valor final de la renta será la cap italización de su valor actual               i 1 i 1 i i 1 1 i 1 i i 1 1 i 1 a i 1 s n n n n n i n n i n                   V n ? 11 111 0 1 2 n- 2 n- 1 n i … … V 0   i 1 i 1 s n i n    5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.2 . Cálcu lo del Valor Final 5. RENTAS CONSTANTES 408 Matemát ica Financiera Prof . Mª Mercedes R ojas de Gr acia RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c : T odos los térmi nos iguales a c Gráficamente: V n ? c c c c c 0 1 2 n -2 n-1 n i … … 5.1. RENT A TEMP ORAL, POS PAGABLE, INMEDIA TA Y ENTERA 5.1.2 . Cálcu lo del Valor Final 5. RENTAS CONSTANTES 409 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R oja s de Gra cia ÍNDICE 5. RENTAS CONSTANTES 5.1. Renta Te mporal Pospagable, Inmediata y Entera 5.1.1. Cálculo del Valor Actu al 5.1.2. Cálculo del Valor Final 5.2. Renta Te mporal Prepagable, Inmediata y Entera 5.2.1. Cálculo del Valor Actu al 5.2.2. Cálculo del Valor Final 5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Entera s 5.3.1. Rentas Pospagables 5.3.2. Rentas Prepagables 5.4 . Rentas Diferidas 5.4.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.4.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Enteras 5.4.3. Rentas Per petuas, Pospagables y Enteras 5.4.4. Rentas Per petuas, Pre pagables y Enteras 5.5. Rentas Ant icipadas 5.5.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.5.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Enteras TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES 501 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R oja s de Gra cia RENTA UNITAR IA : T odos los términos iguales a la uni dad ∞ : Renta per petua i: Tanto de Valoración La letra a : Significa Va lor Ac t ual La letra min ú scula : Significa R en ta Uni tar ia i a d  5.4. RENTAS DIFERIDAS 5.4.3 . R entas Perpetu as, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 502 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Recordando que: Entonces: i 1 a i     d i n i n i 1 a a d       d d i i t i 1 1 i 1 i 1 a a d V           d i i 1 1 i 1 a d     5.4. RENTAS DIFERIDAS 5.4.3 . R entas Perpetu as, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 503 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ∞ : Renta per petua i: Tanto de Valoración La letra a : Significa Va lor Ac t ual La letra ma yú scula : Significa Ren ta n o Uni tar ia i A d  RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c : T odos los términos ig uales a c 5.4. RENTAS DIFERIDAS 5.4.3 . R entas Perpetu as, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 504 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Recordando que: Entonces: i c A i     d i n i n i 1 A A d       d d i i t i 1 1 i c i 1 A A d V           d i i 1 1 i c A d     5.4. RENTAS DIFERIDAS 5.4.3 . R entas Perpetu as, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 505 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 5. RENTAS CONSTANTES 5.1. Renta Te mporal Pospagable, Inmediata y Entera 5.1.1. Cálculo del Valor Actu al 5.1.2. Cálculo del Valor Final 5.2. Renta Te mporal Prepagable, Inmediata y Entera 5.2.1. Cálculo del Valor Actu al 5.2.2. Cálculo del Valor Final 5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Entera s 5.3.1. Rentas Pospagables 5.3.2. Rentas Prepagables 5.4 . Rentas Diferidas 5.4.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.4.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Enteras 5.4.3. Rentas Per petuas, Pospagables y Enteras 5.4.4. Rentas Per petuas, Pre pagables y Enteras 5.5. Rentas Ant icipadas 5.5.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.5.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Enteras TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES 506 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia RENTA UNITAR IA : T odos los términos iguales a la uni dad ∞ : Renta per petua i: Tanto de Valoración La letra a : Significa Va lor Ac t ual La letra min ú scula : Significa R en ta Uni tar ia i a d    La letra ä (con l os dos pu ntitos) : Significa Re nta Prepagable 5.4. RENTAS DIFERIDAS 5.4.4 . R entas Perpetu as, Prepa gables y Ent eras 5. RENTAS CONSTANTES 507 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Recordando que: Entonces: i i 1 a i        d i n i n i 1 a a d             1 d d d i i t i 1 i 1 i 1 1 i i 1 i 1 a a d V                    1 d i i 1 i 1 a d        5.4. RENTAS DIFERIDAS 5.4.4 . R entas Perpetu as, Prepa gables y Ent eras 5. RENTAS CONSTANTES 508 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia RENTA UNITAR IA : T odos los términos iguales a la uni dad ∞ : Renta per petua i: Tanto de Valoración i A d    La letra a : Significa Va lor A ct ual La letra ma yú scula : Significa Ren ta No Uni tar ia La letra ä ( con los dos puntitos) : Significa Re nt a Pr epagable 5.4. RENTAS DIFERIDAS 5.4.4 . R entas Perpetu as, Prepa gables y Ent eras 5. RENTAS CONSTANTES 509 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 5. RENTAS CONSTANTES 5.1. Renta Te mporal Pospagable, Inmediata y Entera 5.1.1. Cálculo del Valor Actu al 5.1.2. Cálculo del Valor Final 5.2. Renta Te mporal Prepagable, Inmediata y Entera 5.2.1. Cálculo del Valor Actu al 5.2.2. Cálculo del Valor Final 5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Entera s 5.3.1. Rentas Pospagables 5.3.2. Rentas Prepagables 5.4. Rentas Diferidas 5.4.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.4.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Enteras 5.4.3. Rentas Per petuas, Pospagables y Enteras 5.4.4. Rentas Per petuas, Pre pagables y Enteras 5.5 . Rentas Ant icipadas 5.5.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.5.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Enteras TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES 516 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia V amos a estudiar una RENTA : CONSTANTE Términos de igual cuantí a ANTICIPADA ENTERA Términos y tanto en la misma unidad de tiempo V alor ación con posterioridad al final COMPUESTA Ley Financier a Compuesta Dentro de el las di stinguir emos entre PREPAGABLES y POSPAGABLES TEMPORAL Número finito de términos 5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5. RENTAS CONSTANTES 517 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 5. RENTAS CONSTANTES 5.1. Renta Te mporal Pospagable, Inmediata y Entera 5.1.1. Cálculo del Valor Actu al 5.1.2. Cálculo del Valor Final 5.2. Renta Te mporal Prepagable, Inmediata y Entera 5.2.1. Cálculo del Valor Actu al 5.2.2. Cálculo del Valor Final 5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Entera s 5.3.1. Rentas Pospagables 5.3.2. Rentas Prepagables 5.4. Rentas Diferidas 5.4.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.4.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Enteras 5.4.3. Rentas Per petuas, Pospagables y Enteras 5.4.4. Rentas Per petuas, Pre pagables y Enteras 5.5 . Rentas Ant icipadas 5.5.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.5.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Enteras TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES 518 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia RENTA UNITAR IA : T odos los términos iguales a la uni dad Gráficamente: V n+h ? n+h i 0 1 2 … n-1 n V 0 V n 1 1 1 1 … Periodo de anticipació n Momento de valoración (h) Origen Fi n 5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.1 . R entas Temporale s, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 519 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia n: Número de Términos i: Tanto de Valoración La letra s : Significa V alor F in al La letra min ú scula : Significa R en ta Uni tar ia h: Periodo de anticipació n La letra h : Significa Ren ta An ticipada h pe riodos Aplicando la defi nición de v alor financiero en el momento t y llev ando los términos uno a uno , capitalizando en régim en de capitalización compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentr a cada uno hasta el fi nal, que se denota con la siguiente terminología i n s h 5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.1 . R entas Temporale s, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 520 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Al aplicar la definición de valo r financie ro en el momento t :         1 n h 2 h 1 h h i n t i 1 i 1 i 1 i 1 s h V                V n+h ? n+h i 0 1 2 … n-1 n V 0 V n 1 1 1 1 … Periodo de anticipació n Momento de valoración (h) Origen Fi n 5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.1 . R entas Temporale s, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 521 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Sacamos factor común:   h i 1          1 n h 2 h 1 h h i n t i 1 i 1 i 1 i 1 s h V                          1 n 2 h i n h n t i 1 i 1 i 1 1 i 1 s h V V                5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.1 . R entas Temporale s, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 522 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia El corchete es el valor fina l de una renta unitaria , tempora l , pospagable , inmediata y en tera           1 n 2 h i n h n t i 1 i 1 i 1 1 i 1 s h V V                      1 n 2 i n i 1 i 1 i 1 1 s           5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.1 . R entas Temporale s, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 523 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia           1 n 2 h i n h n t i 1 i 1 i 1 1 i 1 s h V V                      1 n 2 i n i 1 i 1 i 1 1 s             i n h i n s i 1 s h    5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.1 . R entas Temporale s, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 524 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Al mismo resultado hubiésemos llega do valorando la renta en su final , (como una rent a inmediata) y capitalizándolo como un único capital hast a el mom ento t : Gráficamente: V n+h ? n+h i 0 1 2 … n-1 n V 0 V n 1 1 1 1 … Periodo de anticipación Momento de valorac ión (h) Origen Fin 5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.1 . R entas Temporale s, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 525 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Es decir: V t ? t i 0 1 2 … n-1 n V 0 V n c c c c … Periodo de diferimiento (d)     h n h n n n 0 i 1 V i 1 V V       5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.1 . R entas Temporale s, Pospaga bles y Enteras 5. RENTAS CONSTANTES 532 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 5. RENTAS CONSTANTES 5.1. Renta Te mporal Pospagable, Inmediata y Entera 5.1.1. Cálculo del Valor Actu al 5.1.2. Cálculo del Valor Final 5.2. Renta Te mporal Prepagable, Inmediata y Entera 5.2.1. Cálculo del Valor Actu al 5.2.2. Cálculo del Valor Final 5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Entera s 5.3.1. Rentas Pospagables 5.3.2. Rentas Prepagables 5.4. Rentas Diferidas 5.4.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.4.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Enteras 5.4.3. Rentas Per petuas, Pospagables y Enteras 5.4.4. Rentas Per petuas, Pre pagables y Enteras 5.5 . Rentas Ant icipadas 5.5.1. Rentas Te mporales, Pospagables y Enteras 5.5.2. Rentas Te mporales, Prepaga bles y Enteras TEMA 6 : T EORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES 533 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia RENTA UNITAR IA : T odos los términos iguales a la uni dad Gráficamente: V n+h ? n+h i 0 1 2 … n-1 n V 0 V n 1 1 1 … Periodo de anticipació n Momento de valoración (h) Origen Fi n 1 5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.2 . R entas Temporale s, Prepa gables y Ente ras 5. RENTAS CONSTANTES 534 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia n: Número de Términos i: Tanto de Valoración La letra s : Significa V alor F in al h: Periodo de anticipació n La letra h : Significa Ren ta An ticipada h pe riodos La letra min ú scula : Significa R en ta Uni tar ia i n s h   Aplicando la defi nición de v alor financiero en el momento t y llev ando los términos uno a uno , capitalizando en r égimen de capi talización compuesta al tanto de la r enta i, desde donde se encuentr a cada uno hasta el final, que s e denota con la sigu iente terminologí a s   s   La letra s (con lo s d o s p unt itos) : Significa Re nta Pr epa gable ¨ 5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.2 . R entas Temporale s, Prepa gables y Ente ras 5. RENTAS CONSTANTES 535 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Dado que los valore s finales de l as rentas prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables multipli cando por (1+i), podemos establecer la siguiente fórmula:   i n i n h n t s h i 1 s h V V         5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.2 . R entas Temporale s, Prepa gables y Ente ras 5. RENTAS CONSTANTES 536 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Entonces, para rentas unita rias :   i n i n h n t s h i 1 s h V V           i n h i n s i 1 s h          i n 1 h i n h i n s i 1 s i 1 i 1 s h              i n 1 h i n s i 1 s h       5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.2 . R entas Temporale s, Prepa gables y Ente ras 5. RENTAS CONSTANTES 537 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Gráficamente: RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c : T odos los términos ig uales a c V n+h ? n+h i 0 1 2 … n-1 n V 0 V n c c c … Periodo de anticipació n Momento de valoración (h) Origen Fi n c 5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.2 . R entas Temporale s, Prepa gables y Ente ras 5. RENTAS CONSTANTES 538 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia n: Número de Términos i: Tanto de Valoración La letra s : Sign ifica Valor Fin al h: Periodo de anticipació n La letra h : Significa Ren ta An ticipada h pe riodos La letra ma yú scula : Significa Ren ta n o Uni tar ia i n S h   Aplicando la defi nición de v alor financiero en el momento t y llev ando los términos uno a uno , capitalizando en r égimen de capi talización compuesta al tanto de la r enta i, desde donde se encuentr a cada uno hasta el final, que s e denota con la sigu iente terminologí a s   s   La letra s (con lo s d o s p unt itos) : Significa Re nta Pr epa gable ¨ 5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.2 . R entas Temporale s, Prepa gables y Ente ras 5. RENTAS CONSTANTES 539 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Dado que los valore s finales de l as rentas prepagables se obti enen a partir de las rentas pospagables multipli cando por (1+i), podemos establecer la siguiente fórmula:   i n i n t S h i 1 S h V       5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.2 . R entas Temporale s, Prepa gables y Ente ras 5. RENTAS CONSTANTES 540 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Entonces, para rentas no unita rias o de cuantía c :       i n 1 h i n h i n s i 1 c s i 1 c i 1 S h                i n i n t S h i 1 S h V       i n i n s h c S h     i n h i n s i 1 s h      i n 1 h i n s i 1 c S h        5.5. RENTAS ANTICIPADA S 5.5.2 . R entas Temporale s, Prepa gables y Ente ras 5. RENTAS CONSTANTES 541 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia PARTE 2 : RENTAS FINANCIERAS TEMA 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes TEMA 7: Rentas Va riables 548 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 1.1.1. Cá lculo del Valor Actual 1.1.2. Cá lculo del Valor Final 1.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 1.2.1. Cá lculo del Valor Actual 1.2.2. Cá lculo del Valor Final 1.3. Rentas Per petuas 1.3.1. Re ntas Pospagables 1.3.2. Re ntas Prepagables 1.4. Rentas Dife ridas 1.4.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 1.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 1.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 1.5. Rentas Anticipadas 1.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 549 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 2.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 2.1.1. Cá lculo del Valor Actual 2.1.2. Cá lculo del Valor Final 2.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 2.2.1. Cá lculo del Valor Actual 2.2.2. Cá lculo del Valor Final 2.3. Rentas Per petuas 2.3.1. Re ntas Pospagables 2.3.2. Re ntas Prepagables 2.4. Rentas Dife ridas 2.4.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 2.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 2.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 2.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 2.5. Rentas Anticipadas 2.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 550 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 3. RENTAS FRACCIONADAS 3.1. Té rmino Anual y Tanto de Frecuencia 3.2. Término de Frecuencia y Ta nto Anual TEMA 7: RENTAS VARIABLES 551 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 1.1.1. Cá lculo del Valor Actual 1.1.2. Cá lculo del Valor Final 1.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 1.2.1. Cá lculo del Valor Actual 1.2.2. Cá lculo del Valor Final 1.3. Rentas Per petuas 1.3.1. Re ntas Pospagables 1.3.2. Re ntas Prepagables 1.4. Rentas Dife ridas 1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 1.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 1.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 1.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 1.5. Rentas Anticipadas 1.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 552 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Este tipo de r entas sirve par a v alor ar un conjunto de capitale s equidi stantes en el tiempo cuy as cuan tías so n v ariables sigu iendo una ley en progresión geométrica , Cada térmi no es el igual al anterior multipli cado por un mismo número que se llam a razón «q» 553 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 1.1.1. Cá lculo del Valor Actual 1.1.2. Cá lculo del Valor Final 1.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 1.2.1. Cá lculo del Valor Actual 1.2.2. Cá lculo del Valor Final 1.3. Rentas Per petuas 1.3.1. Re ntas Pospagables 1.3.2. Re ntas Prepagables 1.4. Rentas Dife ridas 1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 1.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 1.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 1.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 1.5. Rentas Anticipadas 1.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 554 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 1.1.1 . C álculo del Valor Actual GRÁFICAMENTE : V 0 ? c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n-1 =c·q n -2 c n =c·q n-1 555 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Aplicando la defi nición de v alor actual y llev ando los términos uno a uno , descontando en régim en de descuento compuesto al tanto de la r enta i, desde donde están cada uno de los capitales hasta el origen se obtiene el v alor actual, que se denota con la siguiente terminología A (c; q) n ┐ i q: Razón de la Progresión i: Tanto de Valoración 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 1.1.1 . C álculo del Valor Actual c: Primer Término de la progresión n: Número de Términos 556 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Llegamos a la siguiente fórmula:   n n 0 i 1 C C   1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 1.1.1 . C álculo del Valor Actual V 0 ? c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n -1 =c·q n-2 c n =c·q n -1         n 1 n 1 n 2 n 3 2 2 i n ) q ; c ( 0 i 1 q c i 1 q c i 1 q c i 1 q c i 1 c A V                     557 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Sacamos factor común: 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 1.1.1 . C álculo del Valor Actual i 1 c              n 1 n 3 2 2 i n ) q ; c ( i 1 i 1 c i 1 i 1 c i 1 i 1 c i 1 c A                                  1 v e ces n 1 1 1 i 1 c i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 i 1 c A 1 n 1 n 2 2 i n ) q ; c (                                564 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 1.1.1 . C álculo del Valor Actual Esta es un a expresión que so lo se p u ede u ti liz ar si i 1 q   i 1 c n A i n ) q ; c (    Esta es la expresión que permite calcular el valor ACTUAL de una RENTA VARIABLE , EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA , POSPAGABLE , INMEDIATA Y ENTERA 565 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 1.1.1 . C álculo del Valor Actual RESUMIENDO i 1 c n A i n ) q ; c (    i 1 q     q i 1 i 1 q 1 c A n n i n ) q ; c (         i 1 q   566 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 1.1.1. Cá lculo del Valor Actual 1.1.2. Cá lculo del Valor Final 1.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 1.2.1. Cálculo del Valor Actu al 1.2.2. Cá lculo del Valor Final 1.3. Rentas Per petuas 1.3.1. Re ntas Pospagables 1.3.2. Re ntas Prepagables 1.4. Rentas Dife ridas 1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 1.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 1.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 1.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 1.5. Rentas Anticipadas 1.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 567 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia El valor final será el resultado de capitalizar el valor actual de la renta 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 1.1.2 . C álculo del Valor Final Gráficamente: V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n-1 =c·q n-2 c n =c·q n-1 V n ? 568 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 1.1.2 . C álculo del Valor Final V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n- 1 =c·q n-2 c n =c·q n- 1 V n ?   n 0 n i 1 C C      i n ) q ; c ( n i n ) q ; c ( A i 1 S    Al mismo resultado hubiésemos llegado si se hubiera capita lizado cada uno de los términos de la progresión hasta el mom ento n y posteriorment e se hubiesen sumado 569 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Ejemplo 1 : c =20.000€ Crece 5% cada año V 0 ? 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA n=4 años V n ? 2 CASOS: ▪ i=7% ▪ i=5% i=7% i=5% 20.000 20.000 ·1,05 0 1 2 3 años 4 20.000·1,05 2 20 .000·1,05 3 V 4 ? V 0 ? 570 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Ejemplo 1 (i=7%) : c =20.000€ Crece 5% cada año V 0 ? 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA n=4 años 05 , 1 q  05 , 0 1 07 , 1 i 1 q        q i 1 i 1 q 1 c A n n i n ) q ; c (           € 10 , 696 . 72 05 , 1 07 , 0 1 07 , 0 1 05 , 1 1 000 . 20 A 4 4 07 , 0 4 ) 05 , 1 ; 000 . 20 (          € 10 , 696 . 72 A 07 , 0 4 ) 05 , 1 ; 000 . 20 (  i=7% 20.000 20.000 ·1,05 0 1 2 3 años 4 20.000·1,05 2 20 .000·1,05 3 V 4 ? V 0 ? 571 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Ejemplo 1 (i=7%) : c =20.000€ Crece 5% cada año V n ? 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA n=4 años 05 , 1 q  € 76 , 289 . 95 S 07 , 0 4 ) 05 , 1 ; 000 . 20 (    i n ) q ; c ( n i n ) q ; c ( A i 1 S      € 76 , 289 . 95 10 , 696 . 72 1, 0 7 A 07 , 0 1 S 4 0 , 0 7 4 ) 05 , 1 ; 000 . 20 ( 4 0 , 0 7 4 ) 05 , 1 ; 000 . 20 (        i=7% 20.000 20.000 ·1,05 0 1 2 3 años 4 20.000·1,05 2 20 .000·1,05 3 V 4 ? V 0 ? € 10 , 696 . 72 A 07 , 0 4 ) 05 , 1 ; 000 . 20 (  572 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Ejemplo 1 (i=5%) : c =20.000€ Crece 5% cada año V 0 ? 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA n=4 años 05 , 0 1 05 , 1 i 1 q      05 , 1 q  € 48 , 190 . 76 A 05 , 0 4 ) 05 , 1 ; 000 . 20 (  i 1 c n A i n ) q ; c (    € 48 , 190 . 76 05 , 0 1 000 . 20 4 A 05 , 0 4 ) 05 , 1 ; 000 . 20 (     i=5% 20.000 20.000 ·1,05 0 1 2 3 años 4 20.000·1,05 2 20 .000·1,05 3 V 4 ? V 0 ? 573 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia POSIBILIDAD 2: 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGAB LE, INMEDIAT A Y ENTERA 1.2.1 . C álculo del Valor Actual Conv ertir la renta en pospagable multipli cando por (1 + i) to dos los términos   i n ) q ; c ( i n ) q ; c ( A i 1 A      580 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 1.1.1. Cá lculo del Valor Actual 1.1.2. Cá lculo del Valor Final 1.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 1.2.1. Cálculo del Valor Actu al 1.2.2. Cálculo del Valor Final 1.3. Rentas Per petuas 1.3.1. Re ntas Pospagables 1.3.2. Re ntas Prepagables 1.4. Rentas Dife ridas 1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 1.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 1.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 1.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 1.5. Rentas Anticipadas 1.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 581 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia El valor final será el resultado de capitalizar el valor actual de la renta 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGAB LE, INMEDIAT A Y ENTERA 1.2.2 . C álculo del Valor Final Gráficamente: V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n =c·q n-1 V n ? 582 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGAB LE, INMEDIAT A Y ENTERA 1.2.2 . C álculo del Valor Final   n 0 n i 1 C C    V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n =c·q n-1 V n ?   i n ) q ; c ( n i n ) q ; c ( A i 1 S        583 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 1.1.1. Cá lculo del Valor Actual 1.1.2. Cá lculo del Valor Final 1.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 1.2.1. Cálculo del Valor Actu al 1.2.2. Cálculo del Valor Final 1.3. Rentas Per petuas 1.3.1. Re ntas Pospagables 1.3.2. Re ntas Prepagables 1.4. Rentas Dife ridas 1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 1.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 1.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 1.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 1.5. Rentas Anticipadas 1.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 584 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Considerando que se cumple que: Aplicando lím ites cu ando n tie nde a ∞: 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.3. RENTAS PERPETUAS 1.3.1 . R entas Pospaga bles i 1 q     q i 1 i 1 q 1 c A n n i n ) q ; c (                     q i 1 i 1 q L i m 1 c q i 1 i 1 q L i m 1 c q i 1 i 1 q L i m 1 c q i 1 i 1 q 1 L i m c q i 1 i 1 q 1 c L i m A n n n n n n n n n n n n n n i ) q ; c (                                                             585 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Este límit e solo tiene sentido si: 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.3. RENTAS PERPETUAS 1.3.1 . R entas Pospaga bles i 1 q     q i 1 i 1 q Li m 1 c A n n i ) q ; c (                  q i 1 1 c q i 1 i 1 q Li m 1 c A n n i ) q ; c (                    q i 1 c A i ) q ; c (     586 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia IMPORTANTE: En l as rentas perpetuas sólo se l e po drá calcul ar valor actual pero nunca el valor final , y todo ello co n independen cia de que sea pospagable o pre pagable, constante o variable, etc. 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.3. RENTAS PERPETUAS 1.3.1 . R entas Pospaga bles 587 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 1.1.1. Cá lculo del Valor Actual 1.1.2. Cá lculo del Valor Final 1.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 1.2.1. Cálculo del Valor Actu al 1.2.2. Cálculo del Valor Final 1.3. Rentas Per petuas 1.3.1. Re ntas Pospagables 1.3.2. Re ntas Prepagables 1.4. Rentas Dife ridas 1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 1.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 1.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 1.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 1.5. Rentas Anticipadas 1.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 588 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.3. RENTAS PERPETUAS 1.3.2 . R entas Prepaga bles P odemos con vertir la renta en pospagable multiplicando por (1 + i) todos los términos   i ) q ; c ( i ) q ; c ( A i 1 A        589 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 1.1.1. Cá lculo del Valor Actual 1.1.2. Cá lculo del Valor Final 1.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 1.2.1. Cálculo del Valor Actu al 1.2.2. Cálculo del Valor Final 1.3. Rentas Per petuas 1.3.1. Re ntas Pospagables 1.3.2. Re ntas Prepagables 1.4. Rentas Dife ridas 1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 1.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 1.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 1.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 1.5. Rentas Anticipadas 1.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 596 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Partiendo de: Aplicando lím ites cu ando n tie nde a ∞: 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.4. RENTAS DIFERIDAS 1.4.3 . R entas Perpetu as, Po spagable s y Entera s   i n ) q ; c ( i n ) q ; c ( A d i 1 A d            q i 1 c i 1 A L i m i 1 i 1 A L i m A d L i m A d d - i n ) q ; c ( n d - -d i n ) q ; c ( n i n ) q ; c ( n i ) q ; c (                         i ) q ; c ( d - d - i ) q ; c ( A i 1 q i 1 c i 1 A d           597 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 1.1.1. Cá lculo del Valor Actual 1.1.2. Cá lculo del Valor Final 1.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 1.2.1. Cálculo del Valor Actu al 1.2.2. Cálculo del Valor Final 1.3. Rentas Per petuas 1.3.1. Re ntas Pospagables 1.3.2. Re ntas Prepagables 1.4. Rentas Dife ridas 1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 1.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 1.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 1.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 1.5. Rentas Anticipadas 1.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 598 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.4. RENTAS DIFERIDAS 1.4.4 . R entas Perpetu as, Pre pagabl es y Ent eras P odemos con vertir la renta en pospagable multiplicando por (1 + i) todos los términos   i ) q ; c ( i ) q ; c ( A d i 1 A d        599 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 1.1.1. Cá lculo del Valor Actual 1.1.2. Cá lculo del Valor Final 1.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 1.2.1. Cálculo del Valor Actu al 1.2.2. Cálculo del Valor Final 1.3. Rentas Per petuas 1.3.1. Re ntas Pospagables 1.3.2. Re ntas Prepagables 1.4. Rentas Dife ridas 1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 1.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 1.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 1.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 1.5. Rentas Anticipadas 1.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 600 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Valora remos la renta, tratándola como rent a inmedia ta, en su final y posteriorment e capitalizamos este valor, al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h) Gráficamente: 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.5. RENTAS ANTICIPADAS 1.5.1 . R entas Temporale s, Po spagable s y Entera s V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n =c·q n-1 V n+h ? Origen V n Período de anticipaci ón (h) Momento de valoración Fin n+h 601 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.5. RENTAS ANTICIPADAS 1.5.1 . R entas Temporale s, Po spagable s y Entera s     i n ) q ; c ( n h i n ) q ; c ( h i n ) q ; c ( h n A i 1 S i 1 S h V              i n ) q ; c ( n h i n ) q ; c ( h i n ) q ; c ( A i 1 S i 1 S h        V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n =c·q n- 1 V n+h ? Origen V n Período de anticipaci ón (h) Momento de valoración Fin n+h 602 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia La anticipación solamente afecta al valor final , por tanto, si lo que se quiere calcular es el v alor actual de la renta, aplicando la definición d e valor actual se tratará como una renta inmediat a 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.5. RENTAS ANTICIPADAS 1.5.1 . R entas Temporale s, Po spagable s y Entera s V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n =c·q n-1 V n+h ? Origen V n Período de anticipación (h) Momento de v aloración Fin n+h 603 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Al mismo resultado hubiésemos llega do actualizando el valor final anticipado (V n+h ) n+h periodos o actual izando el valor final (V n ) n periodos : Gráficamente: 1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.5. RENTAS ANTICIPADAS 1.5.1 . R entas Temporale s, Po spagable s y Entera s V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n =c·q n-1 V n+h ? Origen V n Período de anticipación (h) Momento de v aloración Fin n+h 604 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Es decir:     h n h n n n 0 i 1 V i 1 V V       1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1.5. RENTAS ANTICIPADAS 1.5.1 . R entas Temporale s, Po spagable s y Entera s V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n i … … c 2 =c·q c 3 =c·q 2 c n =c·q n-1 V n+h ? Origen V n Período de anticipación (h) Momento de v aloración Fin n+h 605 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 2.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 2.1.1. Cá lculo del Valor Actual 2.1.2. Cá lculo del Valor Final 2.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 2.2.1. Cálculo del Valor Actu al 2.2.2. Cá lculo del Valor Final 2.3. Rentas Per petuas 2.3.1. Re ntas Pospagables 2.3.2. Re ntas Prepagables 2.4. Rentas Dife ridas 2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 2.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 2.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 2.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 2.5. Rentas Anticipadas 2.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 612 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA Este tipo de r entas sirve par a v alor ar un conjunto de capitale s equidi stantes en el tiempo cuy as cuan tías so n v ariables sigu iendo una ley en prog resión aritmética Cada térmi no es el igual al anterior aumentado (o dis minuido) en una misma cuantía que se llama razón «d» 613 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 2.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 2.1.1. Cá lculo del Valor Actual 2.1.2. Cá lculo del Valor Final 2.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 2.2.1. Cálculo del Valor Actu al 2.2.2. Cá lculo del Valor Final 2.3. Rentas Per petuas 2.3.1. Re ntas Pospagables 2.3.2. Re ntas Prepagables 2.4. Rentas Dife ridas 2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 2.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 2.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 2.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 2.5. Rentas Anticipadas 2.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 614 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.1 . C álculo del Valor Actual GRÁFICAMENTE : V 0 ? c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … … c 2 =c+d c 3 =c+2d c n-1 =c+(n-2)· d c n =c+(n-1)·d 615 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Aplicando la defi nición de v alor actual y llev ando los términos uno a uno , descontando en régim en de descuento compuesto al tanto de la r enta i, desde donde están cada uno de los capitales hasta el origen se obtiene el v alor actual, que se denota con la siguiente terminología A (c; d) n ┐ i d: Razón de la Progresión i: Tanto de Valoración c: Primer Término de la progresión n: Número de Términos 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.1 . C álculo del Valor Actual 616 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Llegamos a la siguiente fórmula:   n n 0 i 1 C C   2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.1 . C álculo del Valor Actual V 0 ? c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … … c 2 =c+d c 3 =c+2d c n-1 =c+(n-2)·d c n =c+(n-1)·d             n 1 n 3 2 i n ) d ; c ( 0 i 1 d 1 n c i 1 d 2 n c i 1 d 2 c i 1 d c i 1 c A V                       617 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Para facilitar la ope ratividad de la expres ión supe rior, llamarem os:             n 1 n 3 2 i n ) d ; c ( 0 i 1 d 1 n c i 1 d 2 n c i 1 d 2 c i 1 d c i 1 c A V                         1 i 1 v                n 1 n 3 2 i n ) d ; c ( v d 1 n c v d 2 n c v d 2 c v d c v c A                       2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.1 . C álculo del Valor Actual 618 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Si multiplicamos ambos miembros por v             n 1 n 3 2 i n ) d ; c ( v d 1 n c v d 2 n c v d 2 c v d c v c A                       2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.1 . C álculo del Valor Actual             1 n n 4 3 2 i n ) d ; c ( v d 1 n c v d 2 n c v d 2 c v d c v c A v                        619 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Si restamos est as dos expresiones :             n 1 n 3 2 i n ) d ; c ( v d 1 n c v d 2 n c v d 2 c v d c v c A                       2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.1 . C álculo del Valor Actual             1 n n 4 3 2 i n ) d ; c ( v d 1 n c v d 2 n c v d 2 c v d c v c A v                        620 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.1 . C álculo del Valor Actual                                                                             1 n n 3 2 i n ) d ; c ( 1 n n 3 2 i n ) d ; c ( 1 n n 3 2 i n ) d ; c ( 1 n n 3 2 i n ) d ; c ( 1 n n 4 3 2 n 1 n 3 2 i n ) d ; c ( i n ) d ; c ( v d nd c v d v d v d v c v 1 A ; v d nd c v d 2 nd c d nd c v d v d v c v 1 A ; v d 1 n c v d 2 n c d 1 n c v d c d 2 c v c d c v c v 1 A ; v d 1 n c v d 2 n c d 1 n c v d c d 2 c v c d c v c v 1 A ; v d 1 n c v d 2 n c v d 2 c v d c v c v d 1 n c v d 2 n c v d 2 c v d c v c A v A                                                                                                                                                     621 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Esta es la expresión que permite calcular el valor ACTUAL de una RENTA VARIAB LE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA , TEMPORAL , POSPAGABLE , INMEDIATA Y ENTERA 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.1 . C álculo del Valor Actual i nd a nd i d c A i n i n ) d ; c (            628 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 2.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 2.1.1. Cá lculo del Valor Actual 2.1.2. Cá lculo del Valor Final 2.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 2.2.1. Cálculo del Valor Actu al 2.2.2. Cá lculo del Valor Final 2.3. Rentas Per petuas 2.3.1. Re ntas Pospagables 2.3.2. Re ntas Prepagables 2.4. Rentas Dife ridas 2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 2.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 2.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 2.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 2.5. Rentas Anticipadas 2.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 629 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia El valor final será el resultado de capitalizar el valor actual de la renta Gráficamente: 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.2 . C álculo del Valor Final V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … c 2 =c+d c 3 =c+2d c n-1 =c+(n-2)· d c n =c+(n-1)·d V n ? … 630 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia   n 0 n i 1 C C      i n ) d ; c ( n i n ) d ; c ( A i 1 S    Al mismo resultado hubiésemos llegado si se hubiera capita lizado cada uno de los términos de la progresión hasta el mom ento n y posteriorment e se hubiesen sumado 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA 2.1.2 . C álculo del Valor Final V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … c 2 =c+d c 3 =c+2d c n-1 =c+(n -2)·d c n =c+(n-1)·d V n ? … 631 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Ejemplo 3 : c =2.000€ Crece 100€ cada año V 0 ? n=4 años V n ? i=7% 2.000 2.100 0 1 2 3 años 4 2.200 2.300 V 4 ? V 0 ? 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA i=7% 632 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1 0 0 d  2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA Ejemplo 3 : c =2.000€ Crece 100€ cada año V 0 ? n=4 años i=7% i nd a nd i d c A i n i n ) d ; c (              i i 1 1 a n i n     07 , 0 100 4 a 10 0 4 07 , 0 100 000 . 2 0,07 4 07 , 0 4 ) 10 0 ; 00 0 . 2 (              A   387211 , 3 07 , 0 07 , 0 1 1 a 4 0,0 7 4      € 89 , 253 . 7 07 , 0 100 4 387211 , 3 100 4 07 , 0 100 000 . 2 A 07 , 0 4 ) 100 ; 000 . 2 (               € 89 , 253 . 7 A 07 , 0 4 ) 100 ; 000 . 2 (  i=7% 2.000 2.100 0 1 2 3 años 4 2.200 2.300 V 4 ? V 0 ? 633 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 1 0 0 d  2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.1. RENTA TEMPORAL, POSP AGABLE, INMEDIATA Y ENTERA Ejemplo 3 : c =2.000€ Crece 100€ cada año V n ? n=4 años i=7%   i n ) d ; c ( n i n ) d ; c ( A i 1 S    € 89 , 253 . 7 A 07 , 0 4 ) 100 ; 000 . 2 (  i=7% 2.000 2.100 0 1 2 3 años 4 2.200 2.300 V 4 ? V 0 ?   € 37 , 508 . 9 89 , 253 . 7 07 , 0 1 S 4 07 , 0 4 ) 100 ; 000 . 2 (     € 37 , 508 . 9 S 07 , 0 4 ) 100 ; 000 . 2 (  634 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 2.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 2.1.1. Cá lculo del Valor Actual 2.1.2. Cá lculo del Valor Final 2.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 2.2.1. Cálculo del Valor Actu al 2.2.2. Cá lculo del Valor Final 2.3. Rentas Per petuas 2.3.1. Re ntas Pospagables 2.3.2. Re ntas Prepagables 2.4. Rentas Dife ridas 2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 2.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 2.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 2.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 2.5. Rentas Anticipadas 2.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 635 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia GRÁFICAMENTE : V 0 ? c 1 =c 0 1 2 3 n-1 n i … … c 2 =c+d c 3 =c+2d c n =c+(n-1)·d V n ? 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 2.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGAB LE, INMEDIAT A Y ENTERA 636 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 2.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 2.1.1. Cá lculo del Valor Actual 2.1.2. Cá lculo del Valor Final 2.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 2.2.1. Cálculo del Valor Actu al 2.2.2. Cá lculo del Valor Final 2.3. Rentas Per petuas 2.3.1. Re ntas Pospagables 2.3.2. Re ntas Prepagables 2.4. Rentas Dife ridas 2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 2.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 2.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 2.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 2.5. Rentas Anticipadas 2.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 637 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 2.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 2.1.1. Cá lculo del Valor Actual 2.1.2. Cá lculo del Valor Final 2.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 2.2.1. Cálculo del Valor Actu al 2.2.2. Cá lculo del Valor Final 2.3. Rentas Per petuas 2.3.1. Re ntas Pospagables 2.3.2. Re ntas Prepagables 2.4. Rentas Dife ridas 2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 2.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 2.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 2.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 2.5. Rentas Anticipadas 2.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 644 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 2.3. RENTAS PERPETUAS 2.3.1 . R entas Pospaga bles 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA Aplicando lím ites cuando n tiende a ∞: i nd a nd i d c A i n i n ) d ; c (                          ; i nd i 1 nd nd i i 1 - 1 i d c l i m A ; i nd - i 1 - 1 nd i i 1 - 1 i d c l i m A ; i nd i i 1 - 1 nd i i 1 - 1 i d c l i m A ; i nd a nd a i d c l i m A ; i nd a nd i d c l i m A - n - n - n i ) d ; c ( n - n - n i ) d ; c ( n - n - n i ) d ; c ( i n i n n i ) d ; c ( i n n i ) d ; c (                                                                                                              645 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 2.3. RENTAS PERPETUAS 2.3.1 . R entas Pospaga bles 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA                 i 1 i d c A ; i 1 l i m i d c A ; 0 i 0 - 1 l i m i d c A ; i i 1 nd l i m i i 1 - 1 l i m i d c A ; i i 1 nd l i m i i 1 - 1 i d c l i m A ; i i 1 nd i i 1 - 1 i d c l i m A ; i nd i 1 nd nd i i 1 - 1 i d c l i m A i ) d ; c ( n i ) d ; c ( n i ) d ; c ( n - n n - n i ) d ; c ( n - n n - n i ) d ; c ( n - n - n i ) d ; c ( -n -n n i ) d ; c (                                                                                                                                                          646 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 2.3. RENTAS PERPETUAS 2.3.1 . R entas Pospaga bles 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA i 1 i d c A i ) d ; c (           IMPORTANT E: Todas las fórmulas se han desarrollado suponiendo que la razón es positiva (d > 0) , es decir, que los t érminos van au mentando, aunque siguen siendo vá lidas para el caso contra rio , bastaría con cambiar el signo de la razón (d) en las fórmulas 647 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 2.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 2.1.1. Cá lculo del Valor Actual 2.1.2. Cá lculo del Valor Final 2.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 2.2.1. Cálculo del Valor Actu al 2.2.2. Cá lculo del Valor Final 2.3. Rentas Per petuas 2.3.1. Re ntas Pospagables 2.3.2. Re ntas Prepagables 2.4. Rentas Dife ridas 2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 2.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 2.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 2.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 2.5. Rentas Anticipadas 2.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 648 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia P odemos con vertir la renta en pospagable multiplicando por (1 + i) todos los términos   i ) d ; c ( i ) d ; c ( A i 1 A        2.3. RENTAS PERPETUAS 2.3.2 . R entas Prepaga bles 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 649 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia ÍNDICE 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 2.1. Re nta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera 2.1.1. Cá lculo del Valor Actual 2.1.2. Cá lculo del Valor Final 2.2. Renta Te mporal, Prepagable, Inmediata y Entera 2.2.1. Cálculo del Valor Actu al 2.2.2. Cá lculo del Valor Final 2.3. Rentas Per petuas 2.3.1. Re ntas Pospagables 2.3.2. Re ntas Prepagables 2.4. Rentas Dife ridas 2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Ent eras 2.4.2. Re ntas Temporales, Prepagables y Enteras 2.4.3. Re ntas Perpetuas, Pospagables y Enteras 2.4.4. Re ntas Perpetuas, Pre pagables y Entera s 2.5. Rentas Anticipadas 2.5.1. Re ntas Temporales, Pospagables y Enteras 2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Ent eras TEMA 7: RENTAS VARIABLES 650 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia Para valorar la renta diferida, primero valoraremos la renta en su origen (se con sidera com o inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente descontaremos dicho val or actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n i … … c 2 =c+d c 3 =c+2d c n =c+(n-1)·d V n ? t Período de diferimien to (d) Momento de valoración Origen V t Gráficamente: 2.4. RENTAS DIFERIDAS 2.4.1 . R entas Temporale s, Po spagable s y Entera s 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 651 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia   n n 0 i 1 C C   V 0 c 1 =c 0 1 2 3 n i … … c 2 =c+d c 3 =c+2d c n =c+(n-1)·d V n ? t Período de diferimiento (d) Momento de valoración Origen V t     d i n ) d ; c ( d - i n ) d ; c ( i n ) d ; c ( i 1 A i 1 A A d      2.4. RENTAS DIFERIDAS 2.4.1 . R entas Temporale s, Po spagable s y Entera s 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 652 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia El diferimiento solamente af ecta al valor actual , por tant o , si lo que se quiere calcul ar es el v alor final de la renta, aplicando la definición de valor fi nal se tratará como una renta inmediata 2.4. RENTAS DIFERIDAS 2.4.1 . R entas Temporale s, Po spagable s y Entera s 2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTRICA 653 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia C 0 =100.000€ n=4 años i =10% an ual Cuadro amor tización? Ejemplo 6 : Sistema lineal con cuotas de amortización constantes 8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS Primer pago tr anscurridos 3 años (d=2 años) 0 1 2 3 4 años I 1 a 1 - I 2 a 2 - I 3 a 3 A I 4 a 4 A C 0 Caso 1 : Car encia par cial € 000 . 50 2 000 . 100 A   756 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia (5) (4) (1) (2) (3) Perí. Térm. amor . Cuota de interés Cuota de amortizació n T otal amortizado Capi tal vivo 0 - - - - 100.000 1 10.000 10.000 0 0 100.000 2 10.000 10.000 0 0 100.000 3 60.000 10.000 50.000 50.000 50.000 4 55.000 5.000 50.000 100.000 0 T otal 135.000 35.000 100.000 100.000 0 Ejemplo 6 : 8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS 757 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia 8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS C 0 =100.000€ n=4 años i =10% an ual Cuadro amor tización? Ejemplo 6 : Sistema lineal con cuotas de amortización constantes Primer pago tr anscurridos 3 años (d=2 años) Caso 2 : Car encia total 758 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia C 0 =100.000€ n=4 años i =10% an ual Cuadro amor tización? Ejemplo 6 : Sistema lineal con cuotas de amortización constantes 8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS Primer pago tr anscurridos 3 años (d=2 años) Caso 2 : Car encia total 0 1 2 3 4 años - a 1 - - a 2 - I 3 a 3 A I 4 a 4 A C 0   2 0 2 i 1 C C      500 . 60 2 000 . 121 2 1 , 0 1 000 . 100 A 2       759 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia (5) (4) (1) (2) (3) Perí. Térm. amor . Cuota de interés Cuota de amortizació n T otal amortizado Capi tal vivo 0 - - - - 100.000 1 0 0 0 0 1 10.000 2 0 0 0 0 121.000 3 72.600 12.100 60.500 60.500 60.500 4 66.550 6.050 60.500 121.000 0 T otal 139.150 18.150 121.000 121.000 0 Ejemplo 6 : 8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS 760 Matemát ica Financier a Prof . Mª Mercedes R ojas de Gracia TEMA 8: PRÉSTAMOS 761