Probabilidad. Conceptos básicos

Parcialmente financiado a través de PIE13-024 (UMA) Probabilidad Conceptos básicos Carlos Gamero Burón José Luis Iranzo Acosta Departamento de Economía Aplicada Universidad de Málaga Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA) Estadística I [PROBABILIDAD] 2 Estadística I Bloque II GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS VARIABLE ALEATORIA Y MODELOS PROBABILÍSTICOS Tema 4. PROBABILIDAD Tema 5. VARIABLE ALEATORIA Tema 6. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Tema 7. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Tema 4: PROBABILIDAD 4.1. Introducción 4.2. Probabilidad. Conceptos fundamentales 4.3. Probabilidad condicional Estadística I [PROBABILIDAD] 3 4.1. INTRODUCCIÓN INVESTIGADOR MUNDO REAL Fenómenos - Variabilidad - Incertidumbre Observación parcial (muestra, pero el interés se centra en la población) exhaustiva (población) INFERENCIA ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Afirmaciones categóricas (seguridad) Afirmaciones no categóricas (pero incertidumbre controlada) Inferencia Estadística Cuantificar la incertidumbre respecto a las características poblacionales utilizando para ello la información muestral Probabilidad es una medida de incertidumbre Variable aleatoria es una herramienta para el cálculo de probabilidades Lecciones 4 y 5 Estadística I [PROBABILIDAD] 4 4.2. PROBABILIDAD. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Problemas: Ejemplo 1: Un técnico de la Agencia Nacional de Meteorología, basándose en los datos sobre condiciones atmosféricas que recibió hasta las 8 horas de hoy, afirma que la probabilidad de que llueva mañana es alta. Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de que resulte premiado un décimo en el próximo sorteo de la Lotería de Navidad? Ejemplo 3: Si elijo un asalariado al azar en la ciudad de Málaga, ¿cuál es la probabilidad de que sus ingresos anuales brutos superen los 25000 euros? Ejemplo 4: Una empresa va a lanzar al mercado un nuevo producto, ¿cuál es la probabilidad de que alcance una cuota de mercado superior al 15%? Detrás de cada una de estas situaciones hay un fenómeno aleatorio o experimento aleatorio ξ caracterizado por la incertidumbre en sus resultados. Un fenómeno aleatorio es un experimento que verifica las siguientes condiciones: i) Se conocen previamente todos los posibles resultados asociados al experimento ii) No se puede conocer el resultado del mismo antes de realizarlo (incertidumbre) Ejemplos: • Lanzamiento de un dado • Lanzamiento de dos monedas al aire • El tiempo que va a hacer mañana • El sorteo de la Lotería de Navidad • La elección de un asalariado al azar en la ciudad de Málaga para observar sus ingresos • El lanzamiento de un nuevo producto para observar su acogida entre los consumidores Estadística I [PROBABILIDAD] 5 Para caracterizar cualquier experimento aleatorio tenemos que definir un… espacio probabilístico ( ) , , A E P Espacio muestral Álgebra de sucesos Probabilidades de los sucesos Estadística I [PROBABILIDAD] 6 4.2.1. Espacio muestral (E) Espacio muestral E asociado a ξ es el conjunto de todos los posibles resultados de ξ { } 1 2 3 , , ,... E e e e = Ejemplo: "lanzamiento de dos dados" ξ = { } (1.1),(1.2),(1.3),... E = (El conjunto E contiene 36 elementos) Asociados a un mismo ξ pueden considerarse diferentes espacios muestrales Ejemplo: En el lanzamiento de un dado: { } 1 "par", "impar" E = { } 2 "menor que 3", "mayor o igual que 3" E = { } 3 1,2,3,4,5,6 E = Tipos de espacio muestral: • Discreto: E tiene un conjunto de elementos finito o infinito numerable • Continuo: E tiene un conjunto elementos infinito no numerable Estadística I [PROBABILIDAD] 7 Cuadro 4.1 Experimento aleatorio y espacio muestral (ejemplos) Experimento aleatorio ξ Espacio muestral (E) Nº de resultados posibles Tipo de espacio muestral Arrojar una moneda al aire { } "cara", "cruz" 2 (finito) discreto Observar el sexo de niños recién nacidos { } "hombre", "mujer" 2 (finito) discreto Lanzamiento de un dado { } 1,2,3,4,5,6 6 (finito) discreto Estado de un queso curado en bodega { } "bueno", "malo" 2 (finito) discreto Predicción sobre lluvia para mañana { } "lloverá", "no lloverá" 2 (finito) discreto Lanzar una moneda al aire hasta obtener cara por primera vez { } , , , ,... C XC XXC XXXC ∞ numerable discreto Medición de la vida de una bombilla con duración máxima de 750 horas { } 0 750 t ≤ ≤ ∞ no numerable continuo Estadística I [PROBABILIDAD] 8 4.2.2. Sucesos y álgebra de sucesos Necesitamos definir un álgebra para poder asignar probabilidades a sucesos pero antes… ¿qué es un suceso? Un suceso A es toda proposición lógica que, una vez realizado el experimento aleatorio, se puede decir si se verifica o no Identificación de sucesos con subconjuntos de E: A todo suceso A asociado al experimento aleatorio ξ se le puede hacer corresponder el subconjunto de E formado por todos los elementos (resultados) que hacen que el suceso se verifique Así, diremos que el suceso A ha ocurrido si al realizar el experimento se obtiene un resultado . e A ∈ Ejemplo ξ =”lanzamiento de un dado” { } 1,2,3,4,5,6 E = { } "sacar par" 2,4,6 A = = 3 6 2 E A 1 4 5 Estadística I [PROBABILIDAD] 9 Tipos de sucesos: Tomando como ejemplo el lanzamiento de un dado… • Suceso elemental: subconjunto unitario de E { } 1 1 A = { } 2 2 A = { } 3 3 A = { } 4 4 A = { } 5 5 A = { } 6 6 A = Distinción entre resultado y suceso elemental: El resultado 2 e = es un elemento del espacio muestral asociado al experimento mientras que… el suceso { } 2 2 A = es el suceso que sólo se verifica si el resultado del experimento es 2 • Suceso compuesto: subconjunto no unitario de E { } "sacar par" 2,4,6 A = = { } "sacar menos de 3" 1,2 B = = • Suceso seguro o universal: suceso que ocurre siempre (E) "sacar menos de 7" C E = = • Suceso imposible: es aquél que no ocurre nunca (conjunto vacío ). ∅ "sacar más de 6" D = =∅ Estadística I [PROBABILIDAD] 16 1. Para un mismo experimento aleatorio, siempre es posible definir diferentes álgebras. Dependerá de cuál es nuestro objetivo. 2. La colección más completa de subconjuntos del espacio muestral, es decir, el álgebra de Boole más completa, es el conjunto ( ) E ℘ de partes de E. Ejemplo: Consideremos { } 1,2 . E = Veamos qué colecciones de entre las indicadas seguidamente son álgebra de Boole y cuáles no: • { } , E ∅ es álgebra de Boole ya que satisface las tres condiciones anteriormente señaladas. Es el álgebra más pequeña que podemos definir • { } { } , 1 , E ∅ no es álgebra dado que no cumple la segunda condición (el complementario de { } 1 no pertenece a la colección). • { } { } { } , 1 , 2 , E ∅ es la mayor álgebra posible: . ( ) E ℘ Cuando E es continuo necesitamos añadir una nueva condición para que A ser álgebra: la unión de colecciones infinitas numerables de subconjuntos de la colección también pertenezca a A . El álgebra que cumple esta propiedad añadida se denomina σ − álgebra. Estadística I [PROBABILIDAD] 17 Espacio medible o espacio probabilizable ( ) , A E Conjuntos probabilizables (medibles) A A ∈ Se llaman así porque podemos asignarles una probabilidad (medida) Ya sabemos todo esto pero… ¿y de la probabilidad P qué? Estadística I [PROBABILIDAD] 18 Concepto de probabilidad Nuestro objetivo es medir la incertidumbre de los sucesos incluidos en A ¿Cómo lo vamos a hacer? Mediante la probabilidad Pero, ¿qué es la probabilidad? Es un tipo especial de medida ¿Y qué es una medida? (concepto matemático) Estadística I [PROBABILIDAD] 19 Pensemos en este ejemplo de medida: área de polígonos (subconjuntos del plano) (1) Al conjunto vacío (a un punto) le asignamos área 0 (2) A la unión de dos subconjuntos (dos polígonos) disjuntos le asignamos la suma de las áreas (3) Todo subconjunto (polígono) debe tener área no negativa Una medida es una regla que asigna un número a un subconjunto (función de conjunto) y que cumple esas tres propiedades Además, la probabilidad es una medida especial porque cumple además que la medida del conjunto completo es la unidad Estadística I [PROBABILIDAD] 20 Definición axiomática de probabilidad (Kolmogorov, 1933): Una probabilidad asociada a ( ) , A E es una función de conjunto P que es una aplicación de A en el intervalo [0,1] de , ℝ es decir : [0,1] ( ) A A P A P A → ∈ → de tal manera que a cada suceso A del σ − álgebra le hace corresponder un número en el intervalo [0,1] cumpliéndose los siguientes axiomas: Axioma 1 (no negatividad): ( ) 0, P A ≥ para todo A. A ∈ Axioma 2 (certeza): ( ) 1. P E = Axioma 3 (aditividad): Si 1 2 , ,..., ,... n A A A es una sucesión numerable de sucesos pertenecientes a A , tales que entre sí son mutuamente excluyentes, es decir, i j A A = ∅ ∩ para todo i j ≠ , entonces: 1 1 ( ) ii i i i i P A P A =∞ =∞ = =   =     ∑∪ Propiedades o consecuencias de los axiomas: Son de gran utilidad para el cálculo de probabilidades Propiedad 1: ( ) 1 ( ) P A P A = − lo que implica, a su vez, que ( ) 0. P ∅ = Propiedad 2: ( ) ( ) A B P A P B ⊂⇒≤ lo que implica que 0 ( ) 1 P A ≤ ≤ Propiedad 3: ( ) ( ) ( ) A B P B A P B P A ⊂⇒− = − Propiedad 4: ( ) ( ) ( ) P B A P B P A B − = − ∩ Propiedad 5 (Regla de la adición): ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B = + − ∪ ∩ Estadística I [PROBABILIDAD] 21 Propiedad 5: Regla de la adición ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B = + − ∪ ∩ Vemos que ( ) ( ) ( ). A B A B A B A B = ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ Dado que son sucesos disjuntos, podemos aplicar el Axioma 3º de la probabilidad (aditividad), de manera que: ( ) ( ) ( ) ( ) . P A B P A B P A B P A B = + + ∪ ∩ ∩ ∩ Por otra parte, se tiene que ( ) ( ) ( ) ( ) y . A A B A B B A B A B = = ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ Dado que son sucesos disjuntos, podemos aplicar el Axioma 3º, de la siguiente manera: ( ) ( ) ( ) P A P A B P A B = + ∩ ∩ ( ) ( ) ( ) P B P A B P A B = ∩ ∪ ∩ Sumando esas dos expresiones resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P A B P A B P A B P A B + = + + + ∩ ∩ ∩ ∩ Reordenando apropiadamente se llega a: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P A B P A B P A B P A B + − = + + ∩ ∩ ∩ ∩ y puesto que ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A B P A B P A B = + + ∪ ∩ ∩ ∩ se tiene que: ( ) ( ) ( ) ( ) , A P A B P A P B P A B A B = + − ∀ ∈ ∪ ∩ A B ∩ A B ∩ A B ∩ Estadística I [PROBABILIDAD] 22 Asignación de probabilidades a sucesos La definición axiomática establece los requisitos indispensables exigibles a cualquier asignación de probabilidades y constituye la base de todos los desarrollos teóricos sobre esta materia… pero no proporciona un método para llevar a cabo la asignación de probabilidades básicas a los sucesos contenidos en el álgebra. Las definiciones clásica, frecuentista y subjetiva sí resultan apropiadas, en determinadas circunstancias a) Definición clásica de probabilidad (probabilidad a priori o Regla de Laplace) Contexto: ξ tiene E finito y resultados equiprobables. Definición: nº de casos favorables a suceso nº de el ementos de ( ) nº de casos posibles nº de elementos de A A P A E = = ¿Esto es una probabilidad? Sí, satisface los tres axiomas de probabilidad. Ejemplo: Cálculo de la probabilidad de extraer un as de una baraja de 40 naipes: ξ = “extracción de una carta de una baraja (40 naipes)” { } extracción de un as A = Aplicación de la Regla de Laplace: nº de casos favorables a suceso 4 1 ( ) 0,1 nº de casos posibles 40 10 A P A = = = = Imposibilidad de aplicación: - cuando E es infinito - cuando los posibles resultados no son equiprobables Estadística I [PROBABILIDAD] 23 b) Probabilidad frecuentista o a posteriori Contexto: ξ es repetible Definición: ( ) ( ) lim lim ( ) ii i i n A P A f A i →∞ →∞ = = donde ( ) i n A es el número de veces que ocurre A en i repeticiones del experimento y ( ) i f A es, por tanto, la frecuencia relativa. ¿Esto es una probabilidad? Sí, satisface los tres axiomas de probabilidad. Inconvenientes: - Necesidad de realizar un gran número de pruebas. - El cálculo exacto de este tipo de probabilidades resulta inviable. c) Probabilidad subjetiva Contexto: Experimento aleatorio no puede repetirse muchas veces, no es controlable y sus resultados no son equiprobables Ejemplos: - Probabilidad de robo de un cuadro en el Museo del Prado. - Probabilidad de que ocurra una Tercera Guerra Mundial antes del año 2020 Definición: Asignación subjetiva de probabilidades. Se trata de un juicio personal sobre el resultado de un experimento aleatorio. ¿Esto es una probabilidad? Sí, bajo la hipótesis de coherencia en el razonamiento. Limitación: debemos admitir la posibilidad de que distintos sujetos asignen probabilidades diferentes al mismo suceso. Estadística I [PROBABILIDAD] 24 Recapitulemos… Una modelización completa de un experimento aleatorio pasa por la identificación de los tres elementos siguientes: - El espacio muestral E, que sirve para representar todos los resultados posibles del experimento aleatorio en cuestión. - El álgebra A, formada por todos o parte de los posibles subconjuntos de E. - La función de conjunto P, que proporciona la medida de probabilidad. Dado el espacio probabilizable ( ) , , E A una vez definida la medida de probabilidad P sobre A se obtiene el trío ( ) , , , E P A que se denomina espacio probabilístico. Estadística I [PROBABILIDAD] 25 4.3. PROBABILIDAD CONDICIONAL En ocasiones se dispone de información adicional que puede (quizás no) condicionar nuestro grado de creencia en la ocurrencia de un suceso Ejemplos: - Una pareja tiene dos hijos. Se sabe que al menos uno es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones? - En el lanzamiento de un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un 2 sabiendo de antemano que se ha obtenido un número par? - ¿Cuál es la probabilidad de que los ingresos laborales anuales de un asalariado sean superior a 30.000 euros, sabiendo que ese asalariado es mujer? - En meteorología, ¿cuál es la probabilidad de que llueva mañana sabiendo que hoy ha llovido? La probabilidad condicional permite incorporar cambios en nuestro grado de creencia sobre los sucesos aleatorios cuando adquirimos nueva información. Intuición Supongamos que estamos interesados en la realización de un suceso A, sabiendo que un suceso B se ha realizado. Si A y B son incompatibles la cuestión está zanjada ya que A no se realizará, pero si , A B ≠ ∅ ∩ es posible que A se realice. ∩ A B Estadística I [PROBABILIDAD] 32 Ejemplo 2: En unos grandes almacenes se tomó una muestra aleatoria de 10.000 compras a lo largo de un año. Esas compras se clasificaron según la forma de pago y el importe de las mismas. Se diferenciaron dos formas de pago: Contado (A 1) y Crédito (A2). Los importes se agruparon en tres categorías: menos de 6 euros (B1), entre 6 y 60 euros (B2) y más de 60 euros. (B3). Para estos sucesos se sabe que: 1 ( ) 0,3 P B = 3 ( ) 0,32 P B = 1 1 2 ( / ) 3 P A B = 1 2 2 ( / ) 19 P A B = 1 3 1 ( / ) . 32 P A B = Se pide: a) Si se elige una compra al azar y su importe se ha abonado al contado, ¿cuál es la probabilidad de que el valor de la misma sea inferior a 6 euros? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una compra se abone al contado? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se abone al contado y el importe sea superior a 60 euros? d) Los sucesos forma de pago e importe de la compra, ¿son independientes? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el importe no se abone al contado? Resolución: Definición de sucesos: { } { } { } { } { } 1 2 1 2 3 pago contado pago crédito menos de 6 euros entre 6 y 60 euros más de 60 euros A A B B B = = = = = Datos: 1 3 1 1 1 2 1 3 ( ) 0,3 ( ) 0,32 2 2 1 ( / ) ( / ) ( / ) 3 19 32 P B P B P A B P A B P A B = = = = = Estadística I [PROBABILIDAD] 33 a) 1 1 1 1 1 Por el Teorema de Bayes ( ) ( / ) ( ) P B A P B A P A = = ∩  = 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ 2 0,3 0,2 3 0,8 2 2 1 0,25 0,3 (1 0,3 0,32) 0,32 3 19 32 ⋅ = = = ⋅ + − − ⋅ + ⋅ b) 1 ( ) 0,25 P A = (Teorema de la Probabilidad Total aplicado en apartado anterior) c) 1 3 3 1 3 1 ( ) ( ) ( / ) 0,32 0,01 32 P A B P B P A B= ⋅ = ⋅ =∩ d) 1 1 1 2 ( / ) 0,25 ( ), 3 P A B P A = ≠ = por lo que no son independientes. e) 2 1 ( ) 1 ( ) 1-0,25 0,75. P A P A = − = = Estadística I [PROBABILIDAD] 34 Ejemplo 3: Dos máquinas A y B producen el mismo tipo de artículo, que pasa a una cinta transportadora. El rendimiento de la máquina A es el doble que el de la máquina B. De la producción de A, el 60% de las piezas son de “calidad óptima”, y de la de B lo son el 84%. Se selecciona una pieza al azar de la cinta transportadora y resulta ser de “calidad óptima”. Halle la probabilidad de que la pieza haya sido producida por la máquina A. Resolución: Definición previa de sucesos: { } { } artic. extraido producido por A artic. extraido producido por BA B = = { } artículo extraido de calidad óptima O = Datos: ( / ) 0,60 P O A = ( / ) 0,84 P O B = Máquina A produce el doble que máquina ( ) 2 ( ) B P A P B ⇒= Dado que ( ) ( ) 1 P A P B + = , se tiene que: 2 ( ) 3 P A = y 1 ( ) 3 P B = ( ) ( ) ( / ) ( / ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) P A O P A P O A P A O P O P A P O A P B P O B ⋅ = = = ⋅ + ⋅ ∩ 20,60 0,4 3 0,588. 2 1 0,4 0,28 0,60 0,84 3 3 ⋅ = = + ⋅ + ⋅ ≃ Estadística I [PROBABILIDAD] 35 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Una gran empresa se encuentra dividida en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada uno de esos sectores, clasificados por sexo: Sector Mujer Hombre Administración 80 180 Operación de planta 200 260 Ventas 120 160 a) Se elige aleatoriamente un empleado. Calcule la probabilidad de que trabaje en ventas sabiendo que es hombre. Calcule también la probabilidad de que sea hombre sabiendo que trabaja en ventas. b) Decida si el sexo del empleado y el tipo de trabajo que realiza son sucesos independientes. Resolución: Definición previa de sucesos y tabla de probabilidades (regla de Laplace): Sector Mujer (M) Hombre (H) Administración (A) 0,08 0,18 0,26 Operación de planta (O) 0,20 0,26 0,46 Ventas (V) 0,12 0,16 0,28 0,40 0,60 1 a) ( ) 0,16 ( / ) 0,267 ( ) 0,6 P V H P V H P H ∩ = = ≃ ( ) 0,16 ( / ) 0,571 ( ) 0,28 P V H P H V P V ∩ = = ≃ b) ¿Son sexo y tipo de trabajo independientes? ( ) 0,12 0,4 0,28 ( ) ( ) P M V P M P V ∩ = ≠ ⋅ = ⋅ , por lo que no son independientes. Estadística I [PROBABILIDAD] 36 2. Una fábrica produce de forma independiente tres productos, 1, 2 y 3, cada uno de ellos en calidad extra y comercial. La probabilidad de producir una unidad de calidad extra en cada uno de esos productos es: 0,75, 0,5 y 0,8, respectivamente. A su vez esos productos se fabrican en las siguientes proporciones: 45%, 35% y 20%, respectivamente. Con esa información responda a las siguientes cuestiones: a) ¿Qué porcentaje de productos de calidad comercial se producen? b) Si se selecciona al azar una unidad producida y es de calidad comercial, ¿de qué producto es más probable que sea? c) Si en un día se han producido 200 unidades de calidad comercial, ¿cuántas son de cada tipo de producto? d) Decida qué cantidad debe producir de cada producto si quiere tener en total 269 unidades de calidad extra. Resolución: Definición de sucesos: { } { } { } { } { } 1 2 3 producto 1 producto 2 producto 3 calidad extra calidad comercial Q Q Q X C = = = = = Datos del problema: 3 1 2 1 2 3 ( / ) 0,8 ( / ) 0,75 ( / ) 0,5 ( ) 0,45 ( ) 0,35 ( ) 0,2 P X Q P X Q P X Q P Q P Q P Q = = = = = = a) El porcentaje que se pide es igual a ( ) 100: P C ⋅ ( ) 1 ( ) P C P X = − Por el Teorema de la Probabilidad Total: 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) P X P Q P X Q P Q P X Q P Q P X Q = ⋅ + ⋅ + ⋅ ( ) 0,45 0,75 0,35 0,5 0,20 0,8 0,6725 P X = ⋅ + ⋅ + ⋅ = Por tanto: ( ) 1 ( ) 1 0,6725 0,3275 P C P X = − = − = Es decir, se fabrica un 32,75% de productos de calidad comercial. Estadística I [PROBABILIDAD] 37 b) Debemos identificar el producto que presenta la mayor probabilidad del tipo ( / ) i P Q C (probabilidades de Bayes): - [ ] 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( / ) ( ) ( ) ( / ) ( / ) ( ) ( ) ( ) P Q P X Q P Q C P Q P C Q P Q C P C P C P C ⋅ − ∩ ⋅ = = = [ ] 1 0,45 1 0,75 0,1125 ( / ) 0,344 0,3275 0,3275 P Q C ⋅ − = = ≃ - [ ] 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( / ) ( ) ( ) ( / ) ( / ) ( ) ( ) ( ) P Q P X Q P Q C P Q P C Q P Q C P C P C P C ⋅ − ∩ ⋅ = = = [ ] 2 0,35 1 0,5 0,175 ( / ) 0,534 0,3275 0,3275 P Q C ⋅ − = = ≅ - 3 1 2 ( / ) 1 ( / ) ( / ) 1 0,344 0,534 0,122 P Q C P Q C P Q C = − − = − − ≅ Por tanto, es más probable que la unidad de calidad comercial seleccionada sea del producto 2. c) Llamando i n al número de unidades del producto i presentes en el lote de 200 unidades de calidad comercial, con 1 2 3 200, N n n n = + + = se tendrá que: 1 1 ( / ) 200 0,344 69 unidades n N P Q C = ⋅ = ⋅ ≃ del producto 1. 2 2 ( / ) 200 0,534 107 unidades n N P Q C = ⋅ = ⋅ ≃ del producto 2. 3 3 1 2 ( / ) 24 unidades n N P Q C N n n = ⋅ = − − ≃ del producto 3. Estadística I [PROBABILIDAD] 38 d) Llamemos N al tamaño de lote solicitado con C X N n n = + y 269: X n = Sabemos que ( ) X n P X N = de donde 269 400 unidades ( ) 0,6725 X n NP X = = = 1 Unidades del producto 1 400 ( ) 400 0,45 180 P Q = ⋅ = ⋅ = 2 Unidades del producto 2 400 ( ) 400 0,35 140 P Q = ⋅ = ⋅ = 3 Unidades del producto 3 400 ( ) 400 0,20 80. P Q = ⋅ = ⋅ =