Verificación de hipótesis paramétricas

Mª Isabel Aguilar, Eugenia Cruces y Bárbara Díaz UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Departamento de Economía Aplicada (Estadística y Econometría) Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA) Verificación de hipótesis paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 2 Introducción Conceptos básicos Región Crítica Óptima Verificación de la media en poblaciones normales Verificación de la varianza en poblaciones normales Verificación de la diferencia de medias en poblaciones normales Verificación de la proporción Verificación de la diferencia de proporciones Nivel de significación empírico o p-valor Verificación de hipótesis paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 3 Introducción Conceptos básicos Región Crítica Óptima Verificación de la media en poblaciones normales Verificación de la varianza en poblaciones normales Verificación de la diferencia de medias en poblaciones normales Verificación de la proporción Verificación de la diferencia de proporciones Nivel de significación empírico o p-valor Verificación de hipótesis paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 4 Primer gran bloque de la inferencia estadística: TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN Segundo gran bloque de la inferencia estadística: CONTRASTE DE HIPÓTESIS ¿Qué es una Hipótesis? Suposición o conjetura planteada en forma de afirmación sobre algún fenómeno, elemento o proceso que tiene lugar en cualquier ámbito Parte sustancial del análisis científico. A partir de ella la teoría comienza a tomar forma, incluso cuando la hipótesis es refutada Introducción Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 5 ¿Qué es una Hipótesis estadística? Suposición o conjetura sobre alguna característica desconocida de una o varias variables aleatorias Hipótesis paramétrica: sobre algún parámetro θ de la distribución de una variable. Se conoce la forma de f(x) Hipótesis no paramétrica: sobre cualquier otra característica distinta al valor del parámetro (distribución de la población, aleatoriedad, independencia de dos variables, etc.) Ejemplo1: La media de una variable aleatoria normal es 3 Ejemplo 2: La distribución de probabilidad de una variable es Poisson de parámetro 3 Introducción H: 𝑋𝑋 ~ P (3) H: 𝜇𝜇= 3 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 6 Verificación o contraste de hipótesis Elección entre dos hipótesis en conflicto  DECISIÓN Este proceso de decisión usa la teoría de la probabilidad (riesgo), ligada a experimentos con resultados dicotómicos Las dos alternativas posibles del experimento son las HIPÓTESIS a plantear: HIPÓTESIS NULA (H0): Hipótesis de partida, que se mantendrá como válida a menos que los datos muestrales proporcionen evidencia suficiente en contra HIPÓTESIS ALTERNATIVA (H1): la que está en competencia con la hipótesis nula (engloba las posibilidades alternativas a la misma) Introducción Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 7 Ejemplo: Problema: El dueño de un restaurante en venta afirma que el ingreso medio diario del mismo es de 675 €. Un empresario interesado en adquirirlo duda de esta afirmación Traducción a términos estadísticos (Hipótesis a plantear): Introducción H0 : 𝝁𝝁=𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 H1 : 𝝁𝝁<𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 El empresario sólo decide invertir si los ingresos no son inferiores a 675 € Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 8 Información para la toma de decisión: Muestra representativa (n) Criterio de decisión en función de la discrepancia entre lo observado y lo propuesto como hipótesis nula (p. ej. 𝑋𝑋 � < 625  Rechazar H0) SOLUCIÓN: Elegir entre H0 y H1 en un ambiente de incertidumbre: Introducción Probabilidad  Riesgo  Coste Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 9 Introducción MUESTRA ALEATORIA ¡¡Son muchos!! ¿Será la media 675? VAYA ENGAÑO!!!!! ¡¡Gran diferencia!! Rechazo H0 𝑥𝑥  𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=600 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 16 Tamaño de los errores: riesgo asumido medido en términos de probabilidad Conceptos básicos Situación real Decisión Rechazar H0 Aceptar H0 H0 cierta α 1-α H0 falsa 1-β β Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 17 α: tamaño del error de tipo I; nivel de significación; tamaño de la región crítica β: tamaño del error de tipo II Probabilidades complementarias: 1-α = P(aceptar H0/H0)  nivel de confianza k=1-β = P(rechazar H0/H1)  potencia del contraste Conceptos básicos α =P(error tipo I)=P(rechazar H0 /H0 cierta)=P [( X1 , X2 ...,Xn )∈ 𝑪𝑪 /H0 ] β =P(error tipo II)=P(aceptar H0 /H0 falsa)=P [( X1 , X2 ...,Xn )∈ 𝑪𝑪 � /H1 ] Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 18 Conceptos básicos α y β no son probabilidades complementarias (no tienen que sumar 1). La probabilidad contraria de α es 1α (nivel de significación), y la de β , 1β =k (potencia del contraste) Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 19 Conceptos básicos α y β no son independientes entre sí: para un tamaño muestral n, no es posible reducir a la vez ambas probabilidades; si disminuye α aumenta β , y viceversa 𝜶𝜶 𝜷𝜷 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 20 Conceptos básicos α y β no son independientes del tamaño de la muestra: •Si aumentamos el tamaño de la muestra (n) podemos disminuir simultáneamente α y β (ver Gráfico) •Dado un nivel de significación α , si n aumenta, disminuye β α’ < α β’ < β n’ > n 𝝈𝝈𝑿𝑿 � 𝟐𝟐=𝝈𝝈𝟐𝟐 𝒏𝒏′ 𝝈𝝈𝑿𝑿 � 𝟐𝟐=𝝈𝝈𝟐𝟐 𝒏𝒏 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 21 Introducción Conceptos básicos Región Crítica Óptima Verificación de la media en poblaciones normales Verificación de la varianza en poblaciones normales Verificación de la diferencia de medias en poblaciones normales Verificación de la proporción Verificación de la diferencia de proporciones Nivel de significación empírico o p-valor Verificación de hipótesis paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 22 Podemos definir distintas Regiones Críticas para un mismo contraste, pero no todas son iguales en términos de los tamaños de los errores que se pueden cometer Diremos que C es una Región Crítica Óptima de tamaño α para verificar 𝐻𝐻0: 𝜃𝜃=𝜃𝜃0 frente a 𝐻𝐻1: 𝜃𝜃=𝜃𝜃1, si para cualquier otro subconjunto A del espacio muestral de igual tamaño (P 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,⋯,𝑋𝑋𝑛𝑛∈𝐴𝐴/𝐻𝐻0=𝛼𝛼), se cumple que: 1) P𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,⋯,𝑋𝑋𝑛𝑛∈𝐶𝐶/𝐻𝐻0=𝛼𝛼 2) P𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,⋯,𝑋𝑋𝑛𝑛∈𝐶𝐶/𝐻𝐻1≥ P 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,⋯,𝑋𝑋𝑛𝑛∈𝐴𝐴/𝐻𝐻1 Región crítica Óptima Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 23 Es decir, entre dos Regiones Críticas de igual tamaño (α), será óptima la que haga que el test tenga mayor potencia (menor β): El enfoque de Neyman-Pearson considera que el error de Tipo I (rechazar 𝐻𝐻0 cuando es cierta) es más grave que el error de Tipo II (aceptar 𝐻𝐻1 cuando es falsa) Región crítica Óptima kC ≥ k A  βC ≤ βA El investigador elige de antemano el nivel de significación que está dispuesto a asumir (normalmente, α ≤ 0,05) y elige el test que minimiza β Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 24 Procedimientos para obtener la Región Crítica Óptima: H0 y H1 simples  Neyman-Pearson H0 simple y H1 unilateral  Test uniformemente más potentes (Neyman-Pearson) Caso general (H1 bilateral)  Test de la razón de verosimilitudes Región crítica Óptima En el resto del tema se presentan distintos contrastes paramétricos y las Regiones Críticas Óptimas que resultan de la aplicación de estos procedimientos (sin entrar en detalles teóricos) Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 25 En resumen, hasta ahora hemos visto que… Proceso de decisión entre dos propuestas alternativas (H0 y H1), acerca de alguna característica desconocida de una variable, basado en una regla de decisión o test y en la información suministrada por una muestra Contraste de hipótesis El enfoque de Neyman-Pearson considera que el error de Tipo I (rechazar 𝐻𝐻0 cuando es cierta) es más grave que el error de Tipo II (aceptar 𝐻𝐻1 cuando es falsa). Entre todas las posibles Regiones Críticas, será Óptima aquella que, una vez fijado el riesgo del error tipo I que estamos dispuestos a asumir (nivel de significación 𝜶𝜶, normalmente menor o igual al 5%), minimiza el riesgo del error tipo II ( β ) , es decir, hace máxima la potencia del contraste ( k=1β ). Tamaño de los errores y Región Crítica Óptima Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 32 Solución apartado a: Datos: X: ventas diarias (€) 𝑋𝑋~𝑁𝑁(𝜇𝜇,𝝈𝝈=𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏) n=25 𝑥𝑥  =600 𝛼𝛼= 0,05 Plantear las hipótesis a verificar: Determinar el estadístico de prueba (verificación de la media en una población normal con varianza conocida): 𝑍𝑍=𝑋𝑋 � −𝜇𝜇0 𝜎𝜎𝑛𝑛 � ~𝑁𝑁(0,1) Introducción H0 : 𝜇𝜇=675 H1 : 𝜇𝜇<675 El empresario sólo compra si las ventas no son inferiores a 675 € Verificación de la media en pob. normales Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 33 Calcular el valor observado del estadístico de prueba en la muestra: 𝑧𝑧𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=600 −675 150 25 � =−2,5 Determinar la región crítica de tamaño α y comparar con el valor observado: Introducción Verificación de la media en pob. normales Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 34 Tomar la decisión sobre el contraste e interpretarla: 𝑧𝑧𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=−2,5 < −1,645 Introducción Verificación de la media en pob. normales El valor observado del estadístico de prueba (𝑧𝑧𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=−2,5) es inferior al punto crítico (-1,645), es decir, pertenece a la región crítica Por tanto, con un nivel de significación del 5%: Debemos tomar la decisión de rechazar la hipótesis nula planteada Se aceptaría que los ingresos medios diarios del establecimiento son inferiores a 675 € Con este resultado, el empresario no estará interesado en adquirir el restaurante Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 35 Solución apartado b: Datos: X: ventas diarias (€) 𝑋𝑋~𝑁𝑁(𝜇𝜇,𝝈𝝈) n=25 𝑥𝑥  =600 𝛼𝛼= 0,05 Plantear las hipótesis a verificar: Determinar el estadístico de prueba (verificación de la media en una población normal con varianza desconocida): 𝑋𝑋 � −𝜇𝜇0 𝑆𝑆𝑛𝑛−1 � ~𝒕𝒕𝒏𝒏−𝟏𝟏 Introducción H0 : 𝜇𝜇=675 H1 : 𝜇𝜇<675 El empresario sólo compra si las ventas no son inferiores a 675 € Verificación de la media en pob. normales Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 36 Calcular el valor observado del estadístico de prueba en la muestra: 𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=600 −675 125 24 � =−2,94 Determinar la región crítica de tamaño α y comparar con el valor observado: Introducción Verificación de la media en pob. normales Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 37 Tomar la decisión sobre el contraste e interpretarla: 𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=−2,94 <−1,711 Introducción Verificación de la media en pob. normales El valor observado del estadístico de prueba (𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=−2,94) es inferior al punto crítico ( -1,711 ), es decir, pertenece a la región crítica Por tanto, con un nivel de significación del 5%: Debemos tomar la decisión de rechazar la hipótesis nula planteada Se aceptaría que los ingresos medios diarios del establecimiento son inferiores a 675 € Con este resultado, el empresario no estará interesado en adquirir el restaurante Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 38 Introducción Conceptos básicos Región Crítica Óptima Verificación de la media en poblaciones normales Verificación de la varianza en poblaciones normales Verificación de la diferencia de medias en poblaciones normales Verificación de la proporción Verificación de la diferencia de proporciones Nivel de significación empírico o p-valor Verificación de hipótesis paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 39 Verificación de la varianza (pob. normales) Verificación de la varianza Media poblacional (𝜇𝜇) conocida Media poblacional (𝜇𝜇) desconocida Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 40 Verificación de la varianza Supuestos necesarios Normalidad: 𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝝁𝝁,𝝈𝝈) 𝝁𝝁 conocida m.a.s. 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛 Hipótesis nula Estadístico de contraste 𝐻𝐻0: 𝜎𝜎2=𝜎𝜎02 Hipótesis alternativa y Región Crítica Óptima 𝐻𝐻1: 𝜎𝜎2≠𝜎𝜎02𝐻𝐻1: 𝜎𝜎2>𝜎𝜎02 𝐻𝐻1: 𝜎𝜎2<𝜎𝜎02 Regiones críticas para verificar la varianza en poblaciones normales con media conocida 𝜒𝜒𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 2≥𝜒𝜒1−𝛼𝛼 2 𝜒𝜒 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 2 ≤ 𝜒𝜒 𝛼𝛼2 ⁄ 2 ó 𝜒𝜒 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 2 ≥𝜒𝜒 1−𝛼𝛼 2 ⁄ 2 𝜒𝜒𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 2≤𝜒𝜒𝛼𝛼 2 𝑛𝑛𝑆𝑆𝜇𝜇2 𝜎𝜎2~𝜒𝜒𝑛𝑛2 𝑆𝑆𝜇𝜇2=∑(𝑋𝑋𝑖𝑖−𝜇𝜇)2 𝑛𝑛 𝝌𝝌 𝒏𝒏 𝟐𝟐 𝝌𝝌 𝒏𝒏 𝟐𝟐 𝝌𝝌 𝒏𝒏 𝟐𝟐 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 41 Verificación de la varianza Supuestos necesarios Normalidad: 𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝝁𝝁,𝝈𝝈) 𝝁𝝁 desconocida m.a.s. 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛 Hipótesis nula Estadístico de contraste 𝐻𝐻0: 𝜎𝜎2=𝜎𝜎02 Hipótesis alternativa y Región Crítica Óptima 𝐻𝐻1: 𝜎𝜎2≠𝜎𝜎02𝐻𝐻1: 𝜎𝜎2>𝜎𝜎02 𝐻𝐻1: 𝜎𝜎2<𝜎𝜎02 Regiones críticas para verificar la varianza en poblaciones normales con media desconocida 𝜒𝜒𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 2≥𝜒𝜒1−𝛼𝛼 2 𝜒𝜒 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 2 ≤ 𝜒𝜒 𝛼𝛼2 ⁄ 2 ó 𝜒𝜒 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 2 ≥𝜒𝜒 1−𝛼𝛼 2 ⁄ 2 𝜒𝜒𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 2≤𝜒𝜒𝛼𝛼 2 𝑛𝑛𝑆𝑆 2 𝜎𝜎 2 ~𝜒𝜒 𝑛𝑛−1 2 𝑆𝑆2=∑(𝑋𝑋𝑖𝑖−𝑋𝑋 �)2 𝑛𝑛 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 48 Verificación de la proporción Supuestos necesarios 𝑿𝑿~𝑩𝑩(𝟏𝟏,𝒑𝒑) m.a.s. 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛 n grande Hipótesis nula Estadístico de contraste 𝑍𝑍=𝑝𝑝 � −𝑝𝑝0 𝑝𝑝0𝑞𝑞0 𝑛𝑛𝑛𝑛→∞𝑁𝑁(0,1) Hipótesis alternativa y Región Crítica Óptima zobs ≥ z1α /2 ó zobs ≤ z α /2 zobs ≥ z1α zobs ≤ z α Regiones críticas para la verificación de la proporción 0 0 ppH =: 01 ppH ≠: 01 ppH >: 01 ppH <: muestra la de Tamaño muestra laen éxitos Nº ˆ== n x p Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 49 Introducción Conceptos básicos Región Crítica Óptima Verificación de la media en poblaciones normales Verificación de la varianza en poblaciones normales Verificación de la diferencia de medias en poblaciones normales Verificación de la proporción Verificación de la diferencia de proporciones Nivel de significación empírico o p-valor Verificación de hipótesis paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 50 Introducción Conceptos básicos Región Crítica Óptima Verificación de la media en poblaciones normales Verificación de la varianza en poblaciones normales Verificación de la diferencia de medias en poblaciones normales Verificación de la proporción Verificación de la diferencia de proporciones Nivel de significación empírico o p-valor Verificación de hipótesis paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 51 Verificación de la diferencia de proporciones Verificación de la diferencia de proporciones Caso general 𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑝𝑝𝑦𝑦=𝛿𝛿0 𝛿𝛿0≠0 Caso particular 𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑝𝑝𝑦𝑦= 0 Verificación de la igualdad de proporciones Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 52 Verificación de la diferencia de proporciones Supuestos necesarios 𝑿𝑿~𝑩𝑩(𝟏𝟏,𝒑𝒑𝒙𝒙) Y~𝑩𝑩(𝟏𝟏,𝒑𝒑𝒚𝒚) m.a.s. e independientes: 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑌𝑌1,𝑌𝑌2, … , 𝑌𝑌𝑛𝑛𝑦𝑦 nx y ny grandes Hipótesis nula Estadístico de contraste 𝐻𝐻0: 𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑝𝑝𝑦𝑦=𝛿𝛿0 𝑍𝑍=𝑝𝑝 � 𝑥𝑥−𝑝𝑝 � 𝑦𝑦−𝛿𝛿0 𝑝𝑝 � 𝑥𝑥𝑞𝑞 � 𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑥𝑥+𝑝𝑝 � 𝑦𝑦𝑞𝑞 � 𝑦𝑦 𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛𝑥𝑥,𝑛𝑛𝑦𝑦→∞𝑁𝑁(0,1) 𝑝𝑝 � 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑝𝑝 � 𝑦𝑦=𝑦𝑦 𝑛𝑛𝑦𝑦 Hipótesis alternativa y Región Crítica Óptima 𝐻𝐻1: 𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑝𝑝𝑦𝑦≠𝛿𝛿0 zobs ≥ z1α /2 ó zobs ≤ z α /2 𝐻𝐻1: 𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑝𝑝𝑦𝑦>𝛿𝛿0 zobs ≥ z1α 𝐻𝐻1: 𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑝𝑝𝑦𝑦<𝛿𝛿0 zobs ≤ z α Regiones críticas para la verificación de la diferencia de proporciones. Caso general Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 53 Verificación de la diferencia de proporciones Supuestos necesarios 𝑿𝑿~𝑩𝑩(𝟏𝟏,𝒑𝒑𝒙𝒙) Y~𝑩𝑩(𝟏𝟏,𝒑𝒑𝒚𝒚) m.a.s. e independientes: 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑌𝑌1,𝑌𝑌2, … , 𝑌𝑌𝑛𝑛𝑦𝑦 nx y ny grandes Hipótesis nula Estadístico de contraste 𝐻𝐻0: 𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑝𝑝𝑦𝑦= 0 𝑍𝑍=𝑝𝑝 � 𝑥𝑥−𝑝𝑝 � 𝑦𝑦 𝑝𝑝 � 𝑞𝑞 � 1 𝑛𝑛𝑥𝑥+1 𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛𝑥𝑥,𝑛𝑛𝑦𝑦→∞𝑁𝑁(0,1) 𝑝𝑝  =𝑛𝑛𝑥𝑥𝑝𝑝 � 𝑥𝑥+𝑛𝑛𝑦𝑦𝑝𝑝 � 𝑦𝑦 𝑛𝑛𝑥𝑥+𝑛𝑛𝑦𝑦 Hipótesis alternativa y Región Crítica Óptima 𝐻𝐻1: 𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑝𝑝𝑦𝑦≠𝛿𝛿0 zobs ≤ z α /2 ó zobs ≥ z1α /2 𝐻𝐻1: 𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑝𝑝𝑦𝑦>𝛿𝛿0 zobs ≥ z1α 𝐻𝐻1: 𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑝𝑝𝑦𝑦<𝛿𝛿0 zobs ≤ z α Regiones críticas para la verificación de la igualdad de proporciones. Caso particular (𝛿𝛿0= 0) Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 54 Introducción Conceptos básicos Región Crítica Óptima Verificación de la media en poblaciones normales Verificación de la varianza en poblaciones normales Verificación de la diferencia de medias en poblaciones normales Verificación de la proporción Verificación de la diferencia de proporciones Nivel de significación empírico o p-valor Verificación de hipótesis paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 55 El p-valor es el nivel de significación empírico del contraste, que se obtiene a partir del valor observado para el estadístico de prueba en la muestra seleccionada P-valor: probabilidad de obtener, bajo H0, un valor igual o más extremo al observado (gráficamente: área de la cola correspondiente a la RC a partir del valor observado, o a las dos colas si el contraste es bilateral) Permite al investigador decidir por sí mismo el nivel de riesgo α que está dispuesto a asumir, y aplicar la siguiente regla de decisión: Nivel de significación empírico (p-valor) 0 ≤ p-valor ≤ 1 si p-valor < α, se rechaza H0 si p-valor > α, se acepta H0 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 56 Contraste de la media de una población normal con varianza conocida Ilustración del cálculo del p-valor 00 10 : : H H µµ µµ = ≠ 00 10 : : H H µµ µµ = < 00 10 : : H H µµ µµ = > 𝑝𝑝−𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑜𝑜𝑣𝑣= 2𝑝𝑝𝑣𝑣𝑍𝑍≥ 𝑧𝑧𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑝𝑝−𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑜𝑜𝑣𝑣=𝑝𝑝𝑣𝑣𝑍𝑍≤𝑧𝑧𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑝𝑝−𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑜𝑜𝑣𝑣=𝑝𝑝𝑣𝑣𝑍𝑍≥𝑧𝑧𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 En los contrastes bilaterales, si la distribución del estadístico de prueba no es simétrica, para calcular el p-valor se multiplica por 2 el área de la cola menor a partir del valor observado Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 57 Ejemplo: Repetir el contraste del ejemplo del restaurante a partir del cálculo del p-valor. Recordemos datos del apartado a: X: ventas diarias (€) 𝑋𝑋~𝑁𝑁(𝜇𝜇,𝝈𝝈=𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏) n=25 𝑥𝑥  =600 Introducción H0 : 𝜇𝜇=675 H1 : 𝜇𝜇<675 Nivel de significación empírico (p-valor) Verificación de la media en una población normal de varianza conocida. Estadístico de prueba: 𝑍𝑍=𝑋𝑋 � −𝜇𝜇0 𝜎𝜎𝑛𝑛 � ~𝑁𝑁(0,1) 𝑧𝑧𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜=−2,5