Verificación de hipótesis no paramétricas

Mª Isabel Aguilar, Eugenia Cruces y Bárbara Díaz UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Departamento de Economía Aplicada (Estadística y Econometría) Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA) Verificación de hipótesis no paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 2 Introducción Contrastes no paramétricos de localización para una población Contrastes no paramétricos de localización para dos poblaciones Test de rachas (aleatoriedad) Contrastes generales de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de independencia de dos variables aleatorias Contraste de homogeneidad Verificación de hipótesis no paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 3 Introducción Contrastes no paramétricos de localización para una población Contrastes no paramétricos de localización para dos poblaciones Test de rachas (aleatoriedad) Contrastes generales de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de independencia de dos variables aleatorias Contraste de homogeneidad Verificación de hipótesis no paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 4 Hipótesis paramétrica: Suposición o conjetura sobre algún parámetro desconocido de la distribución de una variable aleatoria. Se conoce la forma de f(x) Hipótesis no paramétrica: Suposición o conjetura sobre cualquier otra característica distinta al valor del parámetro: Valor de la mediana (localización) Comparación de las medianas de varias poblaciones Distribución de la población (bondad de ajuste) Aleatoriedad de la muestra Independencia de dos variables Homogeneidad de varias poblaciones Introducción Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 5 Introducción Contrastes no paramétricos de localización para una población Contrastes no paramétricos de localización para dos poblaciones Test de rachas (aleatoriedad) Contrastes generales de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de independencia de dos variables aleatorias Contraste de homogeneidad Verificación de hipótesis no paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 6 Objetivo: verificar el valor de alguna medida de posición o localización de una población de distribución desconocida Alternativa a los contrastes sobre la media en poblaciones normales: La distribución del estadístico de prueba se obtiene con independencia de la que siga la población de partida (también se denominan contrastes de libre distribución) Útiles si no se cumple la hipótesis de normalidad, de la que se partía en los contrastes paramétricos sobre la media Se basan en la mediana, permitiendo localizar distribuciones fuertemente asimétricas o con presencia de valores atípicos (outliers) Algunos de ellos permiten contrastar hipótesis acerca de variables cualitativas con escala ordinal Contrastes no paramétricos de localización Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 7 Contrastes no paramétricos de localización Principal inconveniente: son menos potentes que los test paramétricos sobre la media Si se cumple la hipótesis de normalidad, siempre elegiremos un test paramétrico para localizar una población frente a la alternativa no paramétrica Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 8 Localización de una población (contrastes sobre la mediana) Contraste del signo Contraste del rango signado (Wilcoxon) Localización de una población (mediana) Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 9 Contraste del signo (Fisher) Objetivo: localizar una población de distribución continua y desconocida Se basa en la mediana o valor central de la distribución, tal que: P(X ≤ Me) = P(X ≥ Me) = 1/2 Hipótesis a verificar: H0 : Me = Me0 H1 : Me > Me0 H0 : Me = Me0 H1 : Me < Me0 H0 : Me = Me0 H1 : Me ≠ Me0 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 16 Contraste del rango signado (Wilcoxon) Procedimiento para obtener el estadístico de prueba: Calcular la diferencia entre cada valor de la muestra y la mediana propuesta en H0 , di = xi –Me0 (i=1, 2, ..., n) Ordenar |di| y asignarles un rango Si hay un grupo de diferencias iguales, se les asigna la media de sus rangos Si 𝑑𝑑𝑖𝑖= 0, se omite y se ajusta el tamaño de la muestra Incorporar a cada rango el signo original de las diferencias (rango signado) Obtener las sumas de los rangos con signos positivos (𝑻𝑻+) y con signos negativos (𝑻𝑻−) y elegir la menor de las dos Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 17 Contraste del rango signado (Wilcoxon) Estadístico de prueba: 𝑻𝑻𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 (la menor de las dos sumas ( 𝑻𝑻+ y 𝑻𝑻−) Definición de la Región Crítica: Si H0 es cierta (Me = Me0), las sumas de los rangos positivos y negativos deberían estar equilibradas, aproximándose al valor esperado (la mitad de la suma del total de los rangos, es decir, n(n+1)/4) Por el contrario, si una de las sumas es muy pequeña en relación a la otra, habrá evidencia de que la mediana no coincide con la propuesta bajo H0 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 18 Contraste del rango signado (Wilcoxon) Bajo este razonamiento, la Región crítica viene dada por la cola izquierda de la distribución del estadístico de prueba: Si 𝒎𝒎≥𝟏𝟏𝟏𝟏 se puede aproximar 𝑻𝑻+ a la Normal: 𝑍𝑍=𝑇𝑇+−𝑛𝑛(𝑛𝑛+ 1) 4 𝑛𝑛(𝑛𝑛+ 1)(2𝑛𝑛+ 1) 24 →𝑁𝑁(0,1) Valor crítico (se busca en la tabla elaborada por Wilcoxon en función n y α) C: Tobs ≤ T0 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 19 Introducción Contrastes no paramétricos de localización para una población Contrastes no paramétricos de localización para dos poblaciones Test de rachas (aleatoriedad) Contrastes generales de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de independencia de dos variables aleatorias Contraste de homogeneidad Verificación de hipótesis no paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 20 Contrastes no paramétricos de localización de dos poblaciones Comparación de dos poblaciones Muestras relacionadas: Datos pareados Contraste del signo Contraste del rango signado (Wilcoxon) Muestras independientes Contraste de Wilcoxon-MannWhitney Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 21 Muestras independientes: Contraste de Wilcoxon-Mann-Whitney Objetivo: comparar la localización de dos distribuciones desconocidas que se suponen continuas y con la misma forma Equivalente no paramétrico al test de comparación de medias en poblaciones normales Muestras independientes Aplicable a datos ordinales y a cuantitativos (se basa en rangos) Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 22 Muestras independientes: Contraste de Wilcoxon-Mann-Whitney Hipótesis a verificar: Las hipótesis se plantean tomando como primer parámetro de referencia (Me1) el de la muestra más pequeña (𝑛𝑛1<𝑛𝑛2). Si 𝑛𝑛1=𝑛𝑛2 podrá usarse cualquiera de los dos Si H0 es cierta, las dos poblaciones serían iguales, por lo que ambas muestras pueden considerarse como una única muestra de tamaño n=n1 + n2 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛1,𝑦𝑦1,𝑦𝑦2, … , 𝑦𝑦𝑛𝑛2 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 23 Muestras independientes: Contraste de Wilcoxon-Mann-Whitney Obtención del estadístico de prueba y de la Región Crítica: Se ordenan las observaciones de la muestra conjunta y se les asigna un rango (desde 1 hasta n) (Nota: si hay un grupo de valores iguales, se les asigna la media de los rangos correspondientes) Se definen las sumas de rangos de cada muestra: T1: suma de rangos en la muestra de menor tamaño (𝑛𝑛1≤𝑛𝑛2) T2: suma de rangos en la otra muestra La suma total de rangos será: T1 + T2 = n(n+1) / 2 , con n= n1+ n2 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 24 Muestras independientes: Contraste de Wilcoxon-Mann-Whitney A partir de T1, Wilcoxon desarrolló un test para contrastar la igualdad de medianas de dos poblaciones independientes. Posteriormente, Mann y Whitney propusieron otro contraste y demostraron que era equivalente al de Wilcoxon El test de Mann y Whitney ha prevalecido en la práctica (disponible en la mayoría de los paquetes informáticos estadísticos), de manera que sólo desarrollaremos esta versión basada en los siguientes estadísticos: 2122 22 212 2111 11 211 U0 2 1 U0 2 1 nnT )n(n nnU nnT )n(n nnU ≤≤⇒− + += ≤≤⇒− + += 2121 ·nnUU =+ Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 25 Muestras independientes: Contraste de Wilcoxon-Mann-Whitney La aplicación del contraste se basa en el estadístico de menor valor (Umenor) Para cualquier tipo de hipótesis alternativa (bilateral o unilateral), la región crítica viene definida por la cola izquierda de la distribución de este estadístico A partir de las tablas elaboradas por Mann y Whitney calculamos la probabilidad acumulada hasta el valor observado: α0 = P(U ≤ Uobs. ) Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 32 Objetivo: Verificar la aleatoriedad de la muestra (hipótesis básica de la inferencia estadística) Hipótesis a verificar: Estadístico de prueba: Número de rachas (r) Test de rachas Una racha es una sucesión de valores situados por encima (racha positiva) o por debajo de la mediana de la muestra (racha negativa). El número de elementos de una racha se llama longitud H0 : la muestra es aleatoria H1 : la muestra no es aleatoria Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 33 Test de rachas Cálculo del número de rachas: Se ordenan los elementos de la muestra de menor a mayor y se calcula la mediana En la muestra original (sin ordenar) se asigna un signo + a los valores mayores que la mediana y un signo – a los inferiores (los valores iguales a la mediana no se tienen en cuenta, ajustándose el tamaño de la muestra) Se computa el número de rachas en la muestra (robs) y el número de signos positivos (k): ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊝ ⊝ ⊕ ⊝ ⊝ ⊝ n=10 robs =4 k=5 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 34 Región crítica bilateral (dos colas): Test de rachas robs pequeño (indicativo de relación positiva entre valores muestrales; a un valor bajo extraído le sigue otro valor bajo y viceversa) robs grande (indicativo de relación negativa entre valores muestrales; a un valor bajo extraído le sigue otro valor alto y al contrario) 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒐𝒐𝒐𝒐 ≤𝒎𝒎𝜶𝜶 𝟐𝟐 ⁄ ó 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒐𝒐𝒐𝒐 ≥𝒎𝒎𝟏𝟏−𝜶𝜶 𝟐𝟐 ⁄ Valores críticos (tabulados en función de n, α y k) Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 35 Introducción Contrastes no paramétricos de localización para una población Contrastes no paramétricos de localización para dos poblaciones Test de rachas (aleatoriedad) Contrastes generales de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de independencia de dos variables aleatorias Contraste de homogeneidad Verificación de hipótesis no paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 36 Contrastes de bondad de ajuste Contrastes de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de Kolmogorov-SmirnovLilliefors Contraste de Jarque-Bera Contraste de Shapiro-Wilk Contrastes generales Contraste 𝝌𝝌𝟐𝟐 de Pearson Contraste de Kolmogorov-Smirnov Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 37 Contrastes de bondad de ajuste Contrastes de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de Kolmogorov-SmirnovLilliefors Contraste de Jarque-Bera Contraste de Shapiro-Wilk Contrastes generales Contraste 𝝌𝝌𝟐𝟐 de Pearson Contraste de Kolmogorov-Smirnov Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 38 Prueba de bondad de ajuste más antigua. Aplicable a distribuciones discretas y continuas (en este último caso, agrupadas en intervalos), e incluso a atributos. El test se basa en la comparación de las frecuencias observadas en la muestra con las esperadas según el modelo propuesto (ver tabla de cálculos) Contraste 𝝌𝝌𝟐𝟐 de Pearson H0: f(x) = f0 (x) H1: H0 es falsa Los datos proceden de una población que sigue un determinado modelo de probabilidad f0 (x) puede estar completamente especificado (en forma y parámetros) o incluir algún parámetro desconocido que habrá que estimar por máxima verosimilitud Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 39 Estadístico de prueba: �(𝑂𝑂𝑖𝑖−𝐸𝐸𝑖𝑖)2 𝐸𝐸𝑖𝑖=�(𝑛𝑛𝑖𝑖−𝑛𝑛𝑝𝑝𝑖𝑖)2 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑛𝑛→∞ 𝐸𝐸𝑖𝑖≥5 χ𝑘𝑘−1−𝑟𝑟 2 𝑘𝑘 𝑖𝑖=1 𝑘𝑘 𝑖𝑖=1 OJO: Test asintótico (n grande) Si Ei=npi <5 es necesario agrupar las clases contiguas afectadas para que la aproximación a la χ2 sea válida Región crítica: Contraste 𝝌𝝌𝟐𝟐 de Pearson k= nº de clases o intervalos r=nº de parámetros estimados 𝑪𝑪: 𝝌𝝌𝒎𝒎𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟐𝟐≥𝝌𝝌(𝟏𝟏−𝜶𝜶) 𝟐𝟐 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 40 Cálculos para aplicar el contraste χ2 de Pearson Volver a contraste χ2 Contraste 𝝌𝝌𝟐𝟐 de Pearson Clases Frecuencias observadas Oi =ni Probabilidades bajo H0 pi /H0 Frecuencias esperadas Ei=npi S1 S2 .. Si .. Sk O1 =n1 O2 =n2 .. Oi =ni .. Ok =nk p1 p2 .. pi .. pn e1 = np1 e2 = np2 .. ei = npi .. ek = npk ∑ Oi = n ∑ pi = 1 ∑ Ei = n Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 41 Contrastes de bondad de ajuste Contrastes de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de Kolmogorov-SmirnovLilliefors Contraste de Jarque-Bera Contraste de Shapiro-Wilk Contrastes generales Contraste 𝝌𝝌𝟐𝟐 de Pearson Contraste de Kolmogorov-Smirnov Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 48 Prueba de bondad de ajuste específica de normalidad Partiendo del test de Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors tabuló la distribución del estadístico Dn para el contraste de normalidad, cuando µ y σ 2 no se especifican y se estiman en la muestra (mediante 𝑋𝑋 � y 𝑆𝑆 󰆹 2, respectivamente) Contraste de Kolmogorov-SmirnovLilliefors H0: X ~N (µ, σ) (normalidad) H1: H0 es falsa Los datos proceden de una población normal No se especifican los parámetros Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 49 Una vez obtenidos 𝑋𝑋 � y 𝑆𝑆 󰆹 2, el desarrollo del contraste es igual que el de Kolmogorov-Smirnov, aunque la tabla utilizada para la obtención de los valores críticos de Dn es diferente El contraste sólo debe aplicarse a muestras grandes (n≥100) porque en caso contrario sería poco potente Contraste de Kolmogorov-SmirnovLilliefors Valor crítico (se busca en la tabla de Lilliefors, en función de n y α) C: 𝑫𝑫𝒎𝒎𝒐𝒐𝒐𝒐 ≥𝑫𝑫𝒎𝒎,𝜶𝜶 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 50 Contrastes de bondad de ajuste Contrastes de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de Kolmogorov-SmirnovLilliefors Contraste de Jarque-Bera Contraste de Shapiro-Wilk Contrastes generales Contraste 𝝌𝝌𝟐𝟐 de Pearson Contraste de Kolmogorov-Smirnov Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 51 Contraste específico de normalidad basado en el análisis de las medidas de forma de una distribución: la asimetría y la curtosis o apuntamiento Coeficiente de asimetría: 𝛼𝛼1= ∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖−𝑋𝑋 � 3 𝑛𝑛𝑆𝑆3 Coeficiente de apuntamiento: 𝛼𝛼2= ∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖−𝑋𝑋 � 4 𝑛𝑛𝑆𝑆4 Contraste de Jarque y Bera H0: X ~N (µ, σ) (normalidad) H1: H0 es falsa Los datos proceden de una población normal No se especifican los parámetros Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 52 Estadístico de prueba: Bajo la hipótesis de normalidad: 𝑛𝑛≥ 50 𝛼𝛼1→𝑁𝑁 0, 6𝑛𝑛 � 𝑛𝑛≥ 200 𝛼𝛼2→𝑁𝑁 3, 24 𝑛𝑛 � Tipificando cada una de estas variables, elevando al cuadrado y sumándolas, se obtiene el estadístico de prueba del test Contraste de Jarque y Bera 𝛼𝛼1−0 6 𝑛𝑛 2 +𝛼𝛼2−3 24 𝑛𝑛 2 =𝑛𝑛 6 𝛼𝛼12+𝛼𝛼2−32 4 𝒎𝒎≥𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝜒𝜒2 2 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 53 Región crítica: OJO: El contraste sólo debe aplicarse a muestras grandes (n≥200) para que la aproximación a la 𝝌𝝌𝟐𝟐 sea adecuada 𝑪𝑪:𝝌𝝌𝒎𝒎𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟐𝟐≥𝝌𝝌𝟏𝟏−𝜶𝜶 𝟐𝟐 Contraste de Jarque y Bera Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 54 Contrastes de bondad de ajuste Contrastes de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de Kolmogorov-SmirnovLilliefors Contraste de Jarque-Bera Contraste de Shapiro-Wilk Contrastes generales Contraste 𝝌𝝌𝟐𝟐 de Pearson Contraste de Kolmogorov-Smirnov Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 55 Contraste específico de normalidad El test se basa en el estudio del ajuste de los datos observados en la muestra a la recta probabilística normal Si H0 fuera cierta, los valores muestrales ordenados y tipificados constituirían una muestra ordenada de una N(0,1) 𝑥𝑥(1)−𝜇𝜇 𝜎𝜎,𝑥𝑥(2)−𝜇𝜇 𝜎𝜎, … . , 𝑥𝑥(𝑛𝑛)−𝜇𝜇 𝜎𝜎 Contraste de Shapiro-Wilk H0: X ~N (µ, σ) (normalidad) H1: H0 es falsa Los datos proceden de una población normal No se especifican los parámetros Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 56 El valor esperado del cuantil i-ésimo en esta muestra viene dado por: 𝐸𝐸𝑥𝑥(𝑖𝑖)−𝜇𝜇 𝜎𝜎=𝑐𝑐𝑖𝑖,𝑛𝑛 𝑬𝑬 𝒙𝒙(𝒊𝒊)=𝝁𝝁+𝝈𝝈𝝈𝝈 𝒊𝒊,𝒎𝒎 Recta Probabilística Normal Gráficos Q-Q: representación de los cuantiles de la muestra en relación a los valores esperados para una distribución normal Contraste Shapiro-Wilk: define un estadístico de prueba que cuantifica la bondad del ajuste (coeficiente de determinación) Contraste de Shapiro-Wilk Si Ho es cierta los valores muestrales deberían estar próximos a esta recta Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 57 Estadístico de prueba: Contraste de Shapiro-Wilk h= n /2 (si n es par) ó h=(n-1)/2 (si n es impar) 𝑆𝑆2: Varianza muestral 𝑎𝑎(𝑖𝑖,𝑛𝑛): Coeficientes tabulados 𝑥𝑥𝑖𝑖: Valor que ocupa la posición i en la muestra ordenada 𝑊𝑊=1 𝑛𝑛𝑆𝑆2�𝑎𝑎(𝑖𝑖,𝑛𝑛)𝑥𝑥𝑛𝑛−𝑖𝑖+1 −𝑥𝑥 𝑖𝑖 ℎ 𝑖𝑖=1 2 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 64 Introducción Contrastes no paramétricos de localización para una población Contrastes no paramétricos de localización para dos poblaciones Test de rachas (aleatoriedad) Contrastes generales de bondad de ajuste Contrastes específicos de normalidad Contraste de independencia de dos variables aleatorias Contraste de homogeneidad Verificación de hipótesis no paramétricas Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 65 Objetivo: verificar si varias poblaciones son homogénas con respecto a una característica de clasificación X (cuantitativa o cualitativa). Es decir, si hay evidencia estadística de que varias muestras seleccionadas al azar provienen de la misma población (son resultados independientes del mismo experimento aleatorio) Hipótesis: El test se basa en la comparación de las frecuencias observadas en las muestras (𝑶𝑶𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝒎𝒎𝒊𝒊𝒊𝒊) con las esperadas (𝑬𝑬𝒊𝒊𝒊𝒊) según el modelo propuesto Contraste de homogeneidad H0: homogeneidad pi1 = pi2 = ... = pij = ... = pis = pi. , ∀ i H1: H0 es falsa Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 66 Distribución de frecuencias de X en las s muestras 1 2 … j … s Total fila x1 n11 n12 … n1j ... n1s n1. x2 n21 n22 … n2j ... n2s n2. … … ... … … ... … … xi ni1 ni2 … nij ... nis ni. … … ... … ... ... ... … xr nr1 nr2 … nrj ... nrs nr. Total columna n.1 n.2 … n.j ... n.s n nnnn s jj r ii r i s jij === ∑∑∑∑ === = 1. 1. 1 1 Aguilar, M., Cruces, E. y Díaz, B.: Verificación de hipótesis paramétricas 67 Estadístico de prueba: �� 𝑂𝑂𝑖𝑖𝑖𝑖 −𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖 2 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 𝑟𝑟 𝑖𝑖=1 =�� 𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 −𝑛𝑛𝑖𝑖.𝑛𝑛.𝑖𝑖 𝑛𝑛2 𝑛𝑛𝑖𝑖.𝑛𝑛.𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑗𝑗≥5 𝜒𝜒(𝑟𝑟−1)(𝑠𝑠−1) 2 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 𝑟𝑟 𝑖𝑖=1 OJO: - Test asintótico (n grande) - Si EiJ<5 hay que agrupar para que la aproximación a la χ2 sea válida (preferiblemente, reducir categorías de la variable para no perder información de ninguna muestra) Región crítica Contraste de homogeneidad 𝑪𝑪: 𝝌𝝌𝒎𝒎𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟐𝟐≥𝝌𝝌(𝟏𝟏−𝜶𝜶) 𝟐𝟐 Mª Isabel Aguilar, Eugenia Cruces y Bárbara Díaz UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Departamento de Economía Aplicada (Estadística y Econometría) Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA) Verificación de hipótesis no paramétricas