Estimación por intervalos

Estimación por intervalos. ESTIMACIÓN ESTIMACIÓN POR INTERVALOS MaEugenia Cruces, Salvador J. Molina y MaDolores Sarrión UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Departamento de Estadística y Econometría Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA). 6 de julio de 2014 Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Introducción Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (la estimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre el error o discrepancia inherente al proceso de estimación: Estimador bueno =⇒ por término medio estimación buena La estimación por intervalos permite medir, en términos de probabilidad o de confianza, la precisión con la que el estimador permite estimar el parámetro: En términos probabilísticos (Antes de observar la muestra ) En términos de confianza (Con la muestra observada) Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Introducción Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (la estimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre el error o discrepancia inherente al proceso de estimación: Estimador bueno =⇒ por término medio estimación buena La estimación por intervalos permite medir, en términos de probabilidad o de confianza, la precisión con la que el estimador permite estimar el parámetro: En términos probabilísticos (Antes de observar la muestra ) En términos de confianza (Con la muestra observada) Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo aleatorio X1,X2,···,Xnuna muestra aleatoria simple de una variable X∼f(x;θ),θ∈Ω⊆R T1(X1, ..., Xn)≡T1yT2(X1, ..., Xn)≡T2dos funciones de la muestra. Intervalo aleatorio El intervalo (T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar θal nivel de probabilidad (1−α), 0 < α < 1, si P(T1(X1, ..., Xn)< θ < T2(X1, ..., Xn)) = 1−α, θ ∈Ω. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo aleatorio X1,X2,···,Xnuna muestra aleatoria simple de una variable X∼f(x;θ),θ∈Ω⊆R T1(X1, ..., Xn)≡T1yT2(X1, ..., Xn)≡T2dos funciones de la muestra. Intervalo aleatorio El intervalo (T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar θal nivel de probabilidad (1−α), 0 < α < 1, si P(T1(X1, ..., Xn)< θ < T2(X1, ..., Xn)) = 1−α, θ ∈Ω. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo aleatorio X1,X2,···,Xnuna muestra aleatoria simple de una variable X∼f(x;θ),θ∈Ω⊆R T1(X1, ..., Xn)≡T1yT2(X1, ..., Xn)≡T2dos funciones de la muestra. Intervalo aleatorio El intervalo (T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar θal nivel de probabilidad (1−α), 0 < α < 1, si P(T1(X1, ..., Xn)< θ < T2(X1, ..., Xn)) = 1−α, θ ∈Ω. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo aleatorio X1,X2,···,Xnuna muestra aleatoria simple de una variable X∼f(x;θ),θ∈Ω⊆R T1(X1, ..., Xn)≡T1yT2(X1, ..., Xn)≡T2dos funciones de la muestra. Intervalo aleatorio El intervalo (T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar θal nivel de probabilidad (1−α), 0 < α < 1, si P(T1(X1, ..., Xn)< θ < T2(X1, ..., Xn)) = 1−α, θ ∈Ω. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo aleatorio X1,X2,···,Xnuna muestra aleatoria simple de una variable X∼f(x;θ),θ∈Ω⊆R T1(X1, ..., Xn)≡T1yT2(X1, ..., Xn)≡T2dos funciones de la muestra. Intervalo aleatorio El intervalo (T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar θal nivel de probabilidad (1−α), 0 < α < 1, si P(T1(X1, ..., Xn)< θ < T2(X1, ..., Xn)) = 1−α, θ ∈Ω. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza Si (T1,T2)≡(T1(X1, ..., Xn),T2(X1, ..., Xn)) es un intervalo aleatorio para estimar el parámetro θal nivel de probabilidad (1−α), 0 < α < 1, y (x1, ..., xn)es una muestra observada ⇓ (T1(x1, ..., xn),T2(x1, ..., xn)) es un intervalo de confianza para estimar el parámetro θcon una confianza del 100(1−α) % Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza Si (T1,T2)≡(T1(X1, ..., Xn),T2(X1, ..., Xn)) es un intervalo aleatorio para estimar el parámetro θal nivel de probabilidad (1−α), 0 < α < 1, y (x1, ..., xn)es una muestra observada ⇓ (T1(x1, ..., xn),T2(x1, ..., xn)) es un intervalo de confianza para estimar el parámetro θcon una confianza del 100(1−α) % Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Nivel de confianza, 100(1−α) Supongamos un nivel de confianza = 95 %. O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95. Interpretación: Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas, El 95% de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro. El 5% restante no lo contendrá. El intervalo de confianza puede contener o no al parámetro. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Nivel de confianza, 100(1−α) Supongamos un nivel de confianza = 95 %. O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95. Interpretación: Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas, El 95% de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro. El 5% restante no lo contendrá. El intervalo de confianza puede contener o no al parámetro. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Nivel de confianza, 100(1−α) Supongamos un nivel de confianza = 95 %. O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95. Interpretación: Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas, El 95% de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro. El 5% restante no lo contendrá. El intervalo de confianza puede contener o no al parámetro. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Nivel de confianza, 100(1−α) Supongamos un nivel de confianza = 95 %. O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95. Interpretación: Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas, El 95% de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro. El 5% restante no lo contendrá. El intervalo de confianza puede contener o no al parámetro. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Nivel de confianza, 100(1−α) Supongamos un nivel de confianza = 95 %. O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95. Interpretación: Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas, El 95% de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro. El 5% restante no lo contendrá. El intervalo de confianza puede contener o no al parámetro. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Nivel de confianza, 100(1−α) Supongamos un nivel de confianza = 95 %. O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95. Interpretación: Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas, El 95% de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro. El 5% restante no lo contendrá. El intervalo de confianza puede contener o no al parámetro. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Nivel de confianza, 100(1−α) Supongamos un nivel de confianza = 95 %. O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95. Interpretación: Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas, El 95% de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro. El 5% restante no lo contendrá. El intervalo de confianza puede contener o no al parámetro. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Nivel de confianza, 100(1−α) Supongamos un nivel de confianza = 95 %. O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95. Interpretación: Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas, El 95% de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro. El 5% restante no lo contendrá. El intervalo de confianza puede contener o no al parámetro. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Método para la construcción de intervalos de confianza Partimos de un estimador b θdel parámetro desconocido θ. Buscamos una función de b θy de θ,g(b θ, θ), en la que no intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, y que tenga distribución conocida e independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido. Determinamos un intervalo numérico en el que la distribución tome valores con probabilidad 1 −α. Aislamos el parámetro en el interior del intervalo para obtener el intervalo aleatorio para estimar θal nivel de probabilidad 1 −α. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Método para la construcción de intervalos de confianza Partimos de un estimador b θdel parámetro desconocido θ. Buscamos una función de b θy de θ,g(b θ, θ), en la que no intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, y que tenga distribución conocida e independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido. Determinamos un intervalo numérico en el que la distribución tome valores con probabilidad 1 −α. Aislamos el parámetro en el interior del intervalo para obtener el intervalo aleatorio para estimar θal nivel de probabilidad 1 −α. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) conocida z1− α 2:P(Z≤z1− α 2) = 1−α 2 Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media: Idea gráfica Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) conocida El intervalo de confianza x−z1− α 2 σ √n,x+z1− α 2 σ √n Suele escribirse como Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) conocida El intervalo de confianza x−z1− α 2 σ √n,x+z1− α 2 σ √n Suele escribirse como Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) conocida El intervalo de confianza x−z1− α 2 σ √n,x+z1− α 2 σ √n Suele escribirse como x±z1−α 2 σ √n Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) conocida El intervalo de confianza x−z1− α 2 σ √n,x+z1− α 2 σ √n Suele escribirse como x±z1−α 2 σ √n | {z } Margen de error Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) conocida El margen de error o error máximo admisible ε=z1− α 2 σ √n=Amplitud del intervalo 2 depende de: El nivel de confianza. Más confianza =⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador (σ √n). A menor variabilidad, menor amplitud (Si el resto se mantiene) Del tamaño de muestra (n) Mayor tamaño =⇒Menor amplitud (Si el resto se mantiene) Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) conocida El margen de error o error máximo admisible ε=z1− α 2 σ √n=Amplitud del intervalo 2 depende de: El nivel de confianza. Más confianza =⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador (σ √n). A menor variabilidad, menor amplitud (Si el resto se mantiene) Del tamaño de muestra (n) Mayor tamaño =⇒Menor amplitud (Si el resto se mantiene) Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) conocida El margen de error o error máximo admisible ε=z1− α 2 σ √n=Amplitud del intervalo 2 depende de: El nivel de confianza. Más confianza =⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador (σ √n). A menor variabilidad, menor amplitud (Si el resto se mantiene) Del tamaño de muestra (n) Mayor tamaño =⇒Menor amplitud (Si el resto se mantiene) Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) conocida El margen de error o error máximo admisible ε=z1− α 2 σ √n=Amplitud del intervalo 2 depende de: El nivel de confianza. Más confianza =⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador (σ √n). A menor variabilidad, menor amplitud (Si el resto se mantiene) Del tamaño de muestra (n) Mayor tamaño =⇒Menor amplitud (Si el resto se mantiene) Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) desconocida Si la desviación típica es desconocida, el intervalo x−z1− α 2 σ √n,x+z1− α 2 σ √n no nos sirve para estimar µ. Como la población es normal, sabemos que Podemos sustituir la desviación típica poblacional (σ) por su estimación (s), si utilizamos la distribución tn−1lugar de la N(0,1) Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Varianza poblacional (σ2) desconocida Hipótesis Básicas La varianza poblacional (σ2) es desconocida. La población es normal. Intervalo para estimar la media poblacional (µ) con C= 100(1-α)% x−tn−1;1− α 2 s √n−1,x+tn−1;1− α 2 s √n−1. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para µ. Caso σ2desconocida tn−1;1− α 2:P(tn−1≤tn−1;1− α 2) = 1−α 2 Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Ejemplo 2 El gasto medio por persona y día en una muestra de 50 turistas seleccionados aleatoriamente entre los que visitaron la Costa del Sol la pasada temporada estival fue de 106 euros con una desviación típica de 30 euros. Suponiendo normalidad para la distribución del gasto diario por persona entre los turistas que visitaron la Costa del Sol en dicha temporada, obtenga un intervalo de confianza para estimar el gasto medio diario por turista entre los turistas que visitaron la Costa del Sol la pasada temporada estival con una confianza del 95%. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para µ. Muestras de tamaño grande Si la población no es normal, pero la muestra es de tamaño grande (n≥30) El intervalo x−z1− α 2 σ √n,x+z1− α 2 σ √n, es un intervalo para estimar µcon C∼ =100(1−α) %. Si σno se conoce y n>100, podemos tomar como valor aproximado de σel valor de bs. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para µ. Muestras de tamaño grande Si la población no es normal, pero la muestra es de tamaño grande (n≥30) El intervalo x−z1− α 2 σ √n,x+z1− α 2 σ √n, es un intervalo para estimar µcon C∼ =100(1−α) %. Si σno se conoce y n>100, podemos tomar como valor aproximado de σel valor de bs. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo de confianza para µ. Muestras de tamaño grande Si la población no es normal, pero la muestra es de tamaño grande (n≥30) El intervalo x−z1− α 2 σ √n,x+z1− α 2 σ √n, es un intervalo para estimar µcon C∼ =100(1−α) %. Si σno se conoce y n>100, podemos tomar como valor aproximado de σel valor de bs. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Ejemplo 3 El gasto medio por persona y día en una muestra de 100 turistas seleccionados aleatoriamente entre los que visitaron la Costa del Sol la pasada temporada estival fue de 106 euros con una desviación típica de 30 euros. Obtenga un intervalo de confianza para estimar el gasto medio diario por turista entre los turistas que visitaron la Costa del Sol la pasada temporada estival con una confianza del 95%. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras grandes. Para n suficientemente grande, b P−p sb P(1−b P) n tiene distribución aproximadamente N(0,1). Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para σ2.X∼N(µ, σ),µconocida. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µ, σ). µconocida. S2 µel estadístico definido por S2 µ= n X i=1 (Xi−µ)2 n. Sabemos que nS2 µ σ2∼χ2 n. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para σ2.X∼N(µ, σ),µconocida. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µ, σ). µconocida. S2 µel estadístico definido por S2 µ= n X i=1 (Xi−µ)2 n. Sabemos que nS2 µ σ2∼χ2 n. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para σ2.X∼N(µ, σ),µconocida. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µ, σ). µconocida. S2 µel estadístico definido por S2 µ= n X i=1 (Xi−µ)2 n. Sabemos que nS2 µ σ2∼χ2 n. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para σ2.X∼N(µ, σ),µconocida. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µ, σ). µconocida. S2 µel estadístico definido por S2 µ= n X i=1 (Xi−µ)2 n. Sabemos que nS2 µ σ2∼χ2 n. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para σ2.X∼N(µ, σ),µconocida. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µ, σ). µconocida. S2 µel estadístico definido por S2 µ= n X i=1 (Xi−µ)2 n. Sabemos que nS2 µ σ2∼χ2 n. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para σ2.X∼N(µ, σ),µconocida. A partir del resultado anterior, fijado α, 0 < α < 1, obtenemos el intervalo nS2 µ χ2 n;1− α 2 ,nS2 µ χ2 n;α 2!, χ2 n;α 2yχ2 n;1−α 2 son los valores que en la distribución χ2 n acumulan probabilidades α 2y1−α 2, respectivamente. El intervalo anterior es un intervalo aleatorio para estimar σ2al nivel de probabilidad 1−αen las condiciones anteriores. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para σ2.X∼N(µ, σ),µconocida. A partir del resultado anterior, fijado α, 0 < α < 1, obtenemos el intervalo nS2 µ χ2 n;1− α 2 ,nS2 µ χ2 n;α 2!, χ2 n;α 2yχ2 n;1−α 2 son los valores que en la distribución χ2 n acumulan probabilidades α 2y1−α 2, respectivamente. El intervalo anterior es un intervalo aleatorio para estimar σ2al nivel de probabilidad 1−αen las condiciones anteriores. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para σ2.X∼N(µ, σ),µconocida. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para σ2.X∼N(µ, σ),µdesconocida. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µ, σ). µdesconocida. S2 Xla varianza muestral; es decir, S2 X= n X i=1 (Xi−X)2 n. Sabemos que nS2 X σ2∼χ2 n−1. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para σ2.X∼N(µ, σ),µdesconocida. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µ, σ). µdesconocida. S2 Xla varianza muestral; es decir, S2 X= n X i=1 (Xi−X)2 n. Sabemos que nS2 X σ2∼χ2 n−1. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias (µX−µY), varianzas poblacionales conocidas. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µX, σX). Y1,Y2,···,Ymm.a.s. de Y∼N(µY, σY). Las muestras independientes. σXyσYconocidas. Sabemos que, X−Y−(µX−µY) sσ2 X n+σ2 Y m ∼N(0,1). Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias (µX−µY), varianzas poblacionales conocidas. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µX, σX). Y1,Y2,···,Ymm.a.s. de Y∼N(µY, σY). Las muestras independientes. σXyσYconocidas. Sabemos que, X−Y−(µX−µY) sσ2 X n+σ2 Y m ∼N(0,1). Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias (µX−µY), varianzas poblacionales conocidas. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µX, σX). Y1,Y2,···,Ymm.a.s. de Y∼N(µY, σY). Las muestras independientes. σXyσYconocidas. Sabemos que, X−Y−(µX−µY) sσ2 X n+σ2 Y m ∼N(0,1). Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias (µX−µY), varianzas poblacionales conocidas. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µX, σX). Y1,Y2,···,Ymm.a.s. de Y∼N(µY, σY). Las muestras independientes. σXyσYconocidas. Sabemos que, X−Y−(µX−µY) sσ2 X n+σ2 Y m ∼N(0,1). Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias (µX−µY), varianzas poblacionales conocidas. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µX, σX). Y1,Y2,···,Ymm.a.s. de Y∼N(µY, σY). Las muestras independientes. σXyσYconocidas. Sabemos que, X−Y−(µX−µY) sσ2 X n+σ2 Y m ∼N(0,1). Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias (µX−µY), varianzas poblacionales conocidas. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µX, σX). Y1,Y2,···,Ymm.a.s. de Y∼N(µY, σY). Las muestras independientes. σXyσYconocidas. Sabemos que, X−Y−(µX−µY) sσ2 X n+σ2 Y m ∼N(0,1). Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias (µX−µY), varianzas poblacionales conocidas. Basándonos en el resultado anterior, fijado 0 < α < 1, obtenemos que  X−Y−z1− α 2sσ2 X n+σ2 Y m,X−Y+z1− α 2sσ2 X n+σ2 Y m , es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales, µX−µY, al nivel de probabilidad 1−α, en las condiciones anteriores. El valor z1− α 2es tal que P(Z≤z1− α 2) = 1−α 2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias (µX−µY), varianzas poblacionales conocidas. Basándonos en el resultado anterior, fijado 0 < α < 1, obtenemos que  X−Y−z1− α 2sσ2 X n+σ2 Y m,X−Y+z1− α 2sσ2 X n+σ2 Y m , es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales, µX−µY, al nivel de probabilidad 1−α, en las condiciones anteriores. El valor z1− α 2es tal que P(Z≤z1− α 2) = 1−α 2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias (µX−µY), varianzas poblacionales conocidas. Basándonos en el resultado anterior, fijado 0 < α < 1, obtenemos que  X−Y−z1− α 2sσ2 X n+σ2 Y m,X−Y+z1− α 2sσ2 X n+σ2 Y m , es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales, µX−µY, al nivel de probabilidad 1−α, en las condiciones anteriores. El valor z1− α 2es tal que P(Z≤z1− α 2) = 1−α 2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias µX−µY. Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µX, σ). Y1,Y2,···,Ymm.a.s. de Y∼N(µY, σ). Las muestras independientes. σdesconocida. Sabemos que, X−Y−(µX−µY) snS2 X+mS2 Y n+m−2r1 n+1 m ∼tn+m−2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias µX−µY. Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼N(µX, σ). Y1,Y2,···,Ymm.a.s. de Y∼N(µY, σ). Las muestras independientes. σdesconocida. Sabemos que, X−Y−(µX−µY) snS2 X+mS2 Y n+m−2r1 n+1 m ∼tn+m−2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias µX−µY. Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales. Basándonos en el resultado anterior, fijado 0 < α < 1, obtenemos que X−Y±tn+m−2;1− α 2snS2 X+mS2 Y n+m−2r1 n+1 m, es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales, µX−µY, al nivel de probabilidad 1−α, en las condiciones enunciadas. El valor tn+m−2;1− α 2es tal que P(tn+m−2≤tn+m−2;1− α 2) = 1−α 2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias µX−µY. Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales. Basándonos en el resultado anterior, fijado 0 < α < 1, obtenemos que X−Y±tn+m−2;1− α 2snS2 X+mS2 Y n+m−2r1 n+1 m, es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales, µX−µY, al nivel de probabilidad 1−α, en las condiciones enunciadas. El valor tn+m−2;1− α 2es tal que P(tn+m−2≤tn+m−2;1− α 2) = 1−α 2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias µX−µY. Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales. Basándonos en el resultado anterior, fijado 0 < α < 1, obtenemos que X−Y±tn+m−2;1− α 2snS2 X+mS2 Y n+m−2r1 n+1 m, es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales, µX−µY, al nivel de probabilidad 1−α, en las condiciones enunciadas. El valor tn+m−2;1− α 2es tal que P(tn+m−2≤tn+m−2;1− α 2) = 1−α 2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias µX−µY. Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales. Basándonos en el resultado anterior, fijado 0 < α < 1, obtenemos que X−Y±tn+m−2;1− α 2snS2 X+mS2 Y n+m−2r1 n+1 m, es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales, µX−µY, al nivel de probabilidad 1−α, en las condiciones enunciadas. El valor tn+m−2;1− α 2es tal que P(tn+m−2≤tn+m−2;1− α 2) = 1−α 2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de medias µX−µY. Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de proporciones, pX−pY. Muestras grandes. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼B(1,pX). Y1,Y2,···,Ymm.a.s. de Y∼B(1,pY). Muestras independientes. nymgrandes (≥30). b PXyb PYlas proporciones muestrales. Sabemos que, b PX−b PY−(pX−pY) sb PX(1−b PX) n+b PY(1−b PY) m ≈N(0,1). Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de proporciones, pX−pY. Muestras grandes. X1,X2,···,Xnm.a.s. de X∼B(1,pX). Y1,Y2,···,Ymm.a.s. de Y∼B(1,pY). Muestras independientes. nymgrandes (≥30). b PXyb PYlas proporciones muestrales. Sabemos que, b PX−b PY−(pX−pY) sb PX(1−b PX) n+b PY(1−b PY) m ≈N(0,1). Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de proporciones, pX−pY. Muestras grandes. A partir del resultado anterior, fijado 0 < α < 1,el intervalo b PX−b PY±z1− α 2sb PX(1−b PX) n+b PY(1−b PY) m, es un intervalo aleatorio aproximado para estimar la diferencia de proporciones poblacionales, pX−pY, con probabilidad 1−α. z1− α 2es aquél para el que P(Z≤z1− α 2) = 1−α 2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de proporciones, pX−pY. Muestras grandes. A partir del resultado anterior, fijado 0 < α < 1,el intervalo b PX−b PY±z1− α 2sb PX(1−b PX) n+b PY(1−b PY) m, es un intervalo aleatorio aproximado para estimar la diferencia de proporciones poblacionales, pX−pY, con probabilidad 1−α. z1− α 2es aquél para el que P(Z≤z1− α 2) = 1−α 2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de proporciones, pX−pY. Muestras grandes. A partir del resultado anterior, fijado 0 < α < 1,el intervalo b PX−b PY±z1− α 2sb PX(1−b PX) n+b PY(1−b PY) m, es un intervalo aleatorio aproximado para estimar la diferencia de proporciones poblacionales, pX−pY, con probabilidad 1−α. z1− α 2es aquél para el que P(Z≤z1− α 2) = 1−α 2. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Intervalo para la diferencia de proporciones, pX−pY. Muestras grandes. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 1Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Intervalos de confianza para la media Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Determinación del tamaño muestral Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral Problema 1. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la media con un error menor que una cantidad fijada de antemano y una confianza dada. Problema 2. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción con un error menor que una cantidad fijada de antemano y una confianza dada. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral Problema 1. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la media con un error menor que una cantidad fijada de antemano y una confianza dada. Problema 2. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción con un error menor que una cantidad fijada de antemano y una confianza dada. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral Problema 1. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la media con un error menor que una cantidad fijada de antemano y una confianza dada. Problema 2. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción con un error menor que una cantidad fijada de antemano y una confianza dada. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral para estimar la media (µ) de X∼N(µ, σ),σconocida. En la estimación por intervalos de µcon una confianza del 100(1−α) %, a partir de una m.a.s. de tamaño n, el error máximo admisible viene dado por: z1− α 2 σ √n. Problema. Determinar el mínimo valor de npara el que se cumple la desigualdad z1− α 2 σ √n≤ε, siendo ε > 0 y fijado de antemano. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral para estimar la media (µ) de X∼N(µ, σ),σconocida. En la estimación por intervalos de µcon una confianza del 100(1−α) %, a partir de una m.a.s. de tamaño n, el error máximo admisible viene dado por: z1− α 2 σ √n. Problema. Determinar el mínimo valor de npara el que se cumple la desigualdad z1− α 2 σ √n≤ε, siendo ε > 0 y fijado de antemano. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral para estimar la proporción poblacional (p). En la estimación por intervalos de pcon una confianza del 100(1−α) %, a partir de una m.a.s. de tamaño n, el error máximo admisible viene dado por: z1− α 2rb p(1−b p) n. Problema. Determinar el mínimo valor de npara el que se cumple la desigualdad z1− α 2rb p(1−b p) n≤ε, siendo ε > 0 y fijado de antemano. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral para estimar la proporción poblacional (p). En la estimación por intervalos de pcon una confianza del 100(1−α) %, a partir de una m.a.s. de tamaño n, el error máximo admisible viene dado por: z1− α 2rb p(1−b p) n. Problema. Determinar el mínimo valor de npara el que se cumple la desigualdad z1− α 2rb p(1−b p) n≤ε, siendo ε > 0 y fijado de antemano. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral para estimar la proporción poblacional (p). El mínimo valor de npara el que se satisface la desigualdad z1− α 2rb p(1−b p) n≤ε, es el primer entero positivo que satisface la desigualdad n≥z2 1− α 2b p(1−b p) ε2. Problema adicional. Puesto que la muestra aún no se ha observado, el valor de b pno se conoce. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral para estimar la proporción poblacional (p). El mínimo valor de npara el que se satisface la desigualdad z1− α 2rb p(1−b p) n≤ε, es el primer entero positivo que satisface la desigualdad n≥z2 1− α 2b p(1−b p) ε2. Problema adicional. Puesto que la muestra aún no se ha observado, el valor de b pno se conoce. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral para estimar la proporción poblacional (p). El mínimo valor de npara el que se satisface la desigualdad z1− α 2rb p(1−b p) n≤ε, es el primer entero positivo que satisface la desigualdad n≥z2 1− α 2b p(1−b p) ε2. Problema adicional. Puesto que la muestra aún no se ha observado, el valor de b pno se conoce. Cruces, Molina, Sarrión Estimación. Estimación por intervalos. Introducción Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares Determinación del tamaño muestral Determinación del tamaño muestral para estimar la proporción poblacional (p). Solución. Trabajar en la situación más desfavorable que es la correspondiente a b p=0,5, dado que la función b p(1−b p)alcanza su valor máximo en b p=0,5. Cruces, Molina, Sarrión Estimación.