Análisis de la capacidad ergódica en sistemas cooperativos de comunicaciones ópticas no guiadas

An´ alisis de la capacidad erg´ odica en sistemas cooperativos de comunicaciones ´ opticas no guiadas Rub´ en Boluda Ruiz1, Antonio Garc´ ıa Zambrana1, Beatriz Castillo V´ azquez1y Carmen Castillo V´ azquez2 1Dpto. de Ingenier´ ıa de Comunicaciones, Universidad de M´ alaga 2Dpto. de Estad´ ıstica e Investigaci´ on Operativa, Universidad de M´ alaga Campus de Teatinos s/n, E-29071 M´ alaga, Espa˜ na. E-mail: {rbr,agz,bcv}@ic.uma.es y [email protected] Abstract— Ergodic capacity for the bit-detect-and-forward (BDF) cooperative protocol over gamma-gamma fading channels with pointing errors is here analyzed. Novel closed-form approximate ergodic capacity expression is here obtained for a 3-way free-space optical (FSO) communication system using the well-known inequality between arithmetic and geometric means of positive random variables (RV) in order to derive an approximate closed-form expression of the sum of gamma-gamma with pointing errors variates. It can be concluded that a greater and robust capacity strongly dependent on the relay location is achieved compared to a direct transmission. I. INTRODUCCI ´ ON El estudio de los sistemas de comunicaciones ´ opticas no guiadas (SCONG) es un tema muy interesante entre la comunidad investigadora desde hace a˜ nos. Estos sistemas presentan numerosas ventajas que incitan a su investigaci´ on, como por ejemplo las elevadas tasas binarias que pueden ser generadas as´ ı como su excelente seguridad. Sin embargo, las prestaciones de los SCONG se ven seriamente perjudicadas por el efecto de la turbulencia atmosf´ erica, lo que provoca fluctuaciones en la irradiancia de las se˜ nales ´ opticas transmitidas. Hace unos a˜ nos se propuso en la literatura una alternativa a las t´ ecnicas MIMO (Multiple-Input-Multiple-Output) para mejorar las prestaciones de los SCONG que consiste en emplear comunicaciones cooperativas, y de esta forma superar as´ ı algunas limitaciones que presentan los sistemas MIMO. Los sistemas cooperativos pueden mejorar las prestaciones de un SCONG creando diversidad espacial a partir del uso de transceptores disponibles en otros nodos de la red [1], [2]. Numerosos autores en a˜ nos recientes se han encargado de estudiar la capacidad erg´ odica en enlaces ´ opticos no guiados [3], [4]. Como es bien sabido, la capacidad erg´ odica define la m´ axima tasa de datos que puede ser transmitida por un canal de comunicaciones sin errores, sin retraso ni restricciones de complejidad. ´ Ultimamente, el estudio de la capacidad erg´ odica para SCONG cooperativos ha cobrado cierto protagonismo [5], [6]. La principal contribuci´ on de este trabajo se centra en obtener por primera vez en SCONG cooperativos, una expresi´ on aproximada en forma cerrada para la capacidad erg´ odica correspondiente a la estrategia de cooperaci´ on bitdetect-and-forward (BDF) analizada en [1], [2] sobre canales con turbulencia atmosf´ erica modelada con distribuci´ on gamma-gamma y desalineamiento entre transmisor y receptor. Dicha expresi´ on para la capacidad erg´ odica se obtiene para un SCONG cooperativo formado por tres nodos. Adem´ as, en este trabajo se presenta una expresi´ on asint´ otica a alta relaci´ on se˜ nal-ruido (SNR) para la capacidad erg´ odica correspondiente a la estrategia de cooperaci´ on BDF. Se puede concluir que una mayor capacidad erg´ odica puede ser conseguida dependiente no solo de la ubicaci´ on del nodo retransmisor sino tambi´ en del desalineamiento entre transmisor y receptor comparado con una transmisi´ on directa cuando no existe cooperaci´ on. II. MODELO DE SISTEMA Y DE CANAL El SCONG cooperativo considerado en este trabajo est´ a formado por 3 nodos separados mediante enlaces ´ opticos atmosf´ ericos, tal como se muestra en Fig. 1, donde el esquema de transmisi´ on-recepci´ on implementado se basa en un esquema de modulaci´ on de intensidad y detecci´ on directa (IM/DD). La estrategia de cooperaci´ on BDF trabaja en dos fases [2]. En Fig. 1. Diagrama de bloques donde dSD es la distancia del enlace fuente-destino y (xR, yR) es la ubicaci´ on del nodo R. la primera fase, el nodo fuente S env´ ıa sus propios datos tanto al nodo retransmisor R como al nodo destino D. En la segunda fase, el nodo R env´ ıa los datos recibidos procedentes del nodo S en la primera fase hacia el nodo D. El nodo R detecta cada bit “0” o “1” y lo env´ ıa con la nueva potencia hacia el nodo D, independientemente de si este bit es detectado correcta o incorrectamente. A continuaci´ on, los bits procedentes tanto del enlace S-D como del enlace S-R-D son detectados en el nodo D mediante una t´ ecnica de combinaci´ on de igual ganancia. La se˜ nal el´ ectrica recibida en t´ erminos estad´ ısticos para cada uno de los tres enlaces est´ a dada por Ym=ηImXm+Zm, donde ηes la responsividad del fotodetector, Xmrepresenta la potencia ´ optica transmitida al medio por el transmisor, Imes la irradiancia del enlace ´ optico entre el transmisor y el receptor, Zmes ruido AWGN aditivo de media cero y varianza σ2=N0/2, i.e. Zm∼N(0, N0/2), e Ymes la fotocorriente instant´ anea de salida del fotodetector. Se ha asumido un esquema de se˜ nalizaci´ on on-off keying (OOK) donde Xes 0 o 2Popt√Tbξ, siendo Popt la potencia ´ optica promedio transmitida por cada nodo, Tbel periodo de bit, y ξ el cuadrado del incremento debido al uso de pulsos con una alta relaci´ on potencia ´ optica pico a promedio (PAOPR) [7, ap´ endice]. La SNR instant´ anea recibida, γ, puede ser escrita como γ=d2 EI2 m/2σ2 n= 4γ0ξI2 m, donde dEes la distancia Euclidea y γ0representa la SNR recibida en ausencia de turbulencia. La irradiancia de cada enlace ´ optico atmosf´ erico Im es modelada como Im=LmI(a) mI(p) m. El factor determinista Lmmodela las p´ erdidas por propagaci´ on. Lmse calcula a partir de la f´ ormula de Beers-Lambert como Lm=e−Ψd, donde des la distancia del enlace y Ψes el coeficiente de atenuaci´ on. Este coeficiente de atenuaci´ on se calcula a partir de la expresi´ on Φ = (3.91/V (km)) (λ(nm)/550)−q, donde Ves la visibilidad en kil´ ometros, λla longitud de onda en nan´ ometros y qes un par´ ametro relacionado con la visibilidad [8]. Las variables aleatorias I(a) meI(p) mmodelan la atenuaci´ on debida a la turbulencia atmosf´ erica y la atenuaci´ on debida al desalineamiento entre transmisor y receptor respectivamente. Para considerar un amplio rango de niveles de turbulencia atmosf´ erica usamos el modelo estad´ ıstico gammagamma propuesto en [9]. La funci´ on densidad de probabilidad (FDP) asociada a este modelo estad´ ıstico est´ a caracterizada a trav´ es de los par´ ametros αyβ. Asumiendo un modelo de propagaci´ on de onda plana, los par´ ametros αyβest´ an directamente relacionados con par´ ametros f´ ısicos del enlace ´ optico a trav´ es de la varianza de Rytov [9]. Para modelar el desalineamiento entre transmisor y receptor se usa el modelo estad´ ıstico descrito en [10] donde los efectos de ancho de haz, tama˜ no del detector y varianza de jitter son considerados. En este modelo se asume un haz Gaussiano cuyo ancho de haz es ωzen el plano del receptor a una distancia zdel transmisor, adem´ as de una apertura de detecci´ on circular de radio r. El par´ ametro ϕ=ωzeq /2σses definido como la relaci´ on entre la ancho de haz equivalente en el plano del receptor y la desviaci´ on est´ andar del desplazamiento del desapuntamiento (jitter) en el receptor. Por tanto, ωzeq puede ser calculado usando las relaciones, v=√πr/√2ωz,A0= [erf(v)]2y ω2 zeq =ω2 z√πerf(v)/2vexp(−v2), donde erf(·)es la funci´ on error [11, eqn. (8.250)]. Una expresi´ on en forma cerrada para la FDP de Imfue obtenida en [12] como fIm(i) = ϕ2i−1 Γ(α)Γ(β)G3,0 1,3αβi A0Lm ϕ2+ 1 ϕ2, α, β ,(1) donde Gm,n p,q [·]es la funci´ on Meijer’s-G [11, eqn. (9.301)]. En las siguientes secciones, los coeficientes Impara los enlaces S-D, S-R, y R-D est´ an indicados por ISD,ISR e IRD, respectivamente. En este trabajo se asume que todos los coeficientes son estad´ ısticamente independientes. III. AN´ ALISIS DE LA CAPACIDAD ERG ´ ODICA En esta secci´ on se analiza en detalle la capacidad erg´ odica de un SCONG cooperativo. En primer lugar, se obtiene la capacidad erg´ odica correspondiente a una transmisi´ on directa (TD). Asumiendo conocida la informaci´ on de estado del canal en recepci´ on, la capacidad erg´ odica CTD es definida como CTD =B 2 ln(2) Z∞ 0 ln 1+4γ0ξi2fISD (i)di, (2) donde Bes el ancho de banda del canal, ln(·)es el logaritmo neperiano [11, eqn. (1.511)], y fISD (i)es la correspondiente FDP dada por Eq. (1). El factor de 1/2hace referencia a que el nodo fuente est´ a operando en modo half-duplex. Para resolver la integral en Eq. (2) expresamos el logaritmo en t´ erminos de una funci´ on Meijer-G como ln(1 + z) = G1,2 2,2z|1,1 1,0[13, eqn. (8.4.6.5)] y, a continuaci´ on, usamos [13, eqn. (2.24.1.1)]. Por tanto, la expresi´ on en forma cerrada de la capacidad erg´ odica correspondiente a una transmisi´ on directa puede ser vista al comienzo de la siguiente p´ agina en Eq. (3). Una expresi´ on asint´ otica para esta capacidad erg´ odica puede ser obtenida de forma muy precisa como en [4] CH TD . =B ln(4) ∂E[(4γ0ξI2 SD)n] ∂n n=0 ,(4) donde E[·]es el operador esperanza y E[(4γ0ξI2 SD)n]es el en´ esimo momento de la SNR instant´ anea recibida. Realizando algunas manipulaciones algebraicas en Eq. (4), la expresi´ on asint´ otica a alta SNR para la capacidad erg´ odica de una transmisi´ on directa puede ser expresada como CH TD . =Bln(4γ0ξ) ln(4) +B ln(2) ×ψ(αSD) + ψ(βSD)−1 ϕ2 SD −ln αSDβSD ASDLSD , (5) donde ψ(·)es la funci´ on psi (digamma) [11, eqn. (8.360.1)]. A continuaci´ on, se analiza la capacidad erg´ odica correspondiente al SCONG cooperativo siguiendo la estrategia de cooperaci´ on BDF. Dos casos son considerados para evaluar la capacidad erg´ odica de este sistema dependiendo de si el bit procedente del nodo fuente S es detectado correcta o incorrectamente en el nodo retransmisor R. La capacidad erg´ odica correspondiente al protocolo de cooperaci´ on BDF es definida como CBDF =C0·(1−PSR b)+C1·PSR b=C0+(C1−C0)·PSR b,(6) donde PSR bes la probabilidad de error de bit (PEB) correspondiente al enlace S-R y, C0yC1son las capacidades erg´ odicas cuando el bit procedente del nodo fuente es detectado correcta o incorrectamente en el nodo retransmisor respectivamente. La SNR recibida en el nodo destino cuando hay acierto en la detecci´ on en el nodo R es definida como γ0 BDF = (1/2)γ0ξ(ISD + 2IRD)2, y la SNR recibida cuando hay error en la detecci´ on en el nodo R es definida como γ1 BDF = (1/2)γ0ξ(ISD −2IRD)2. Debe ser mencionado que la capacidad erg´ odica correspondiente al protocolo de cooperaci´ on BDF puede ser aproximada de forma muy precisa como CBDF ≈C0, ya que C0yC1son del mismo orden de magnitud yPSR btiende a cero conforme la SNR tiende a infinito. Esta aproximaci´ on ha sido num´ ericamente corroborada mediante CTD =Bϕ2 SD2αSD +βSD−4 πln(2)Γ(αSD)Γ(βSD)G1,8 8,4 8ASDLSD αSDβSD 2 γ0ξ 1,1,1−αSD 2,2−αSD 2,1−βSD 2,2−βSD 2,1−ϕ2 SD 2,2−ϕ2 SD 2 1,0,−ϕ2 SD 2,1−ϕ2 SD 2!.(3) simulaci´ on Monte Carlo y, por tanto, ser´ a corroborado en las siguientes secciones. Luego, CBDF es aproximada como CBDF ≈B 2 ln(2) Z∞ 0 ln 1 + γ0ξ 2i2fIT(i)di, (7) donde IT=ISD +2IRD. En este punto, es necesario destacar que la obtenci´ on de la FDP de ITes intratable desde el punto de vista matem´ atico. Por tanto, una cota inferior (CI) para la suma ITpuede ser obtenida usando la conocida desigualdad entre la media aritm´ etica (MA) y la media geom´ etrica (MG) dada por MA ≥MG, donde MA = (ISD + 2IRD)/2 yMG =√ISD ·2IRD. Esta cota inferior para la suma ITes expresada como ISD + 2IRD ≥√8ISDIRD =q8ICI T. Debe ser mencionado que fICI T(i)permite un tratamiento matem´ atico m´ as sencillo que fIT(i)y puede ser aplicada al an´ alisis de SCONG de forma eficiente. Realizando algunas manipulaciones algebraicas en Eq. (7), la capacidad erg´ odica correspondiente al protocolo de cooperaci´ on BDF es aproximada como CBDF ≤B ln(4) Z∞ 0 ln(1 + 4γ0ξFi)fICI T(i)di. (8) La FDP de fICI T(i)ha sido obtenida en forma cerrada mediante la transformada inversa de Mellin, la cual es una herramienta esencial en el estudio de distribuciones de productos de variables aleatorias independientes [14], y puede ser vista al comienzo de la siguiente p´ agina en Eq. (9). Para resolver la integral en Eq. (8) expresamos el logaritmo en t´ erminos de una funci´ on Meijer-G como en Eq. (2) y, a continuaci´ on, usamos [13, eqn. (2.24.1.2)]. La expresi´ on de la capacidad erg´ odica correspondiente al protocolo cooperativo BDF puede ser vista en Eq. (10) al comienzo de la siguiente p´ agina. El par´ ametro Fen Eq. (8) es un factor de correcci´ on obtenido a partir de la desigualdad entre la MA y la MG. Este factor de correcci´ on se obtiene en t´ erminos estad´ ısticos cuando la desigualdad se convierte en igualdad. Para que esto ocurra es necesario a˜ nadir un factor de correcci´ on y forzar que el promedio de ITy el promedio de qF8ICI Tsean iguales y, de esta manera poder obtener una mayor precisi´ on en el an´ alisis de la capacidad erg´ odica. Por tanto, el factor de correcci´ on Fes expresado como F=E[IT]2/8·E[qICI T]2. En el proceso de obtenci´ on del par´ ametro F, primero se obtiene la esperanza de ITcomo E[IT] = E[ISD]+2E[IRD]ya que las variables aleatorias ISD eIRD son estad´ ısticamente independientes. La esperanza de una variable aleatoria Imgen´ erica puede ser calculada con la ayuda de [13, eqn. (2.24.2.1)] y, por tanto, E[Im]es expresada como E[Im] = AmLmϕ2 m/(1 + ϕ2 m). Seguidamente, se obtiene la esperanza de la ra´ ız cuadrada positiva de ICI T con la ayuda de [13, eqn. (2.24.2.1)]. Los resultados de las expresiones de E[IT]yE[qICI T]han sido omitidos, mostrando ´ unicamente la expresi´ on final del factor de correcci´ on Fcomo F=ASDLSDϕ2 SD 1 + ϕ2 SD +2ARDLRDϕ2 RD 1 + ϕ2 RD 2 ×αSDβSD(1 + 2ϕ2 SD)2Γ(αSD)2Γ(βSD)2 128ASDLSDϕ4 SDΓ(αSD + 1/2)2Γ(βSD + 1/2)2 ×αRDβRD(1 + 2ϕ2 RD)2Γ(αRD)2Γ(βRD)2 ARDLRDϕ4 RDΓ(αRD + 1/2)2Γ(βRD + 1/2)2. (11) Similar a Eq. (4), se puede obtener la capacidad erg´ odica asint´ otica para el protocolo de cooperaci´ on BDF, CH BDF, como CH BDF . =Bln(4γ0ξF) ln(4) +B ln(4) −1 ϕ2 SD −1 ϕ2 RD  +B ln(4) (ψ(αSD) + ψ(βSD) + ψ(αRD) + ψ(βRD)) −B ln(4) ln αSDβSDαRDβRD ASDLSDARDLRD . (12) Este an´ alisis es extendido para obtener un punto donde la capacidad erg´ odica asint´ otica corta al eje γ0. Este punto puede ser interpretado como una SNR umbral, i.e. γth BDF, a partir del cual la capacidad erg´ odica comienza a incrementar de forma significativa. Por tanto, γth BDF est´ a dado por γth BDF[dB] = 10 ln(10) 1 ϕ2 SD −ψ(αSD)−ψ(βSD)) +10 ln(10) 1 ϕ2 RD −ψ(αRD)−ψ(βRD) +10 ln(10) ln αSDβSDαRDβRD F4ASDLSDARDLRD . (13) Similar a Eq. (13), se puede obtener la SNR umbral para una transmisi´ on directa, γth TD, como γth TD[dB] = −20 ln(10) ln 2pξ−ln αSDβSD ASDLSD  −20 ln(10) ψ(αSD) + ψ(βSD)−1 ϕ2 SD . (14) Finalmente, puede ser deducido del an´ alisis asint´ otico a alta SNR de la capacidad erg´ odica que tanto la Eq. (5) como la Eq. (12) presentan la misma pendiente pero diferente desplazamiento lateral. Este desplazamiento puede ser interpretado como una mejora en t´ erminos de SNR para conseguir la misma capacidad con menor SNR. A partir de las Eqs. (13) y (14) se puede obtener esta mejora o ganancia, i.e. G[dB], como G[dB] = γth TD[dB]−γth BDF[dB]. Teniendo en cuenta el an´ alisis realizado en este trabajo, se puede deducir f´ acilmente que el principal aspecto a considerar para optimizar la capacidad erg´ odica en un SCONG cooperativo es la ubicaci´ on del nodo retransmisor. En este sentido, fICI T(i) = ϕ2 SDϕ2 RDi−1 Γ(αSD)Γ(βSD)Γ(αRD)Γ(βRD)G6,0 2,6αSDβSDαRDβRD ASDLSDARDLRD i ϕ2 SD + 1, ϕ2 RD + 1 ϕ2 SD, αSD, βSD, ϕ2 RD, αRD, βRD .(9) CBDF ≃Bln (4)−1ϕ2 SDϕ2 RD Γ(αSD)Γ(βSD)Γ(αRD)Γ(βRD)G8,1 4,8αSDβSDαRDβRD γ0ξ4FASDLSDARDLRD  0,1, ϕ2 SD + 1, ϕ2 RD + 1 ϕ2 SD, αSD, βSD, ϕ2 RD, αRD, βRD,0,0.(10) los resultados correspondientes a este estudio de la capacidad se han mostrado en Fig. 2(a) para diferentes ubicaciones del nodo retransmisor, considerando una distancia fuente-destino de dSD = 3 km y forma de pulso rectangular ξ= 1. Adem´ as, se ha adoptado un valor de λ= 1550 nm junto con un valor de C2 n= 1.7×10−14 m−2/3asumiendo una visibilidad de 16 km. Por otro lado, ha sido considerado un valor de ancho de haz normalizado de ωz/r = 5 y valores de jitter normalizado de σs/r ={1,3}para cada enlace. La ganancia, G[dB], es mostrada en Fig. 2(b) como una funci´ on del desplazamiento horizontal del nodo retransmisor para diferentes valores de yR. Dicha ganancia presenta un m´ aximo en xR=dSD, el cual est´ a relacionado con la m´ ınima distancia retransmisordestino. En primer lugar, podemos concluir que la capacidad erg´ odica se ha visto notablemente incrementada con respecto a una transmisi´ on directa cuando el protocolo de cooperaci´ on BDF es implementado, mostrando una gran robustez tanto a la ubicaci´ on del nodo retransmisor como al desalineamiento entre tranmisor y receptor. En segundo lugar, puede ser observado que la capacidad erg´ odica se ve seriamente degradada por la presencia del desalineamiento. Por ´ ultimo, las simulaciones de Monte Carlo son incluidas como referencia (Eq. (2) para transmisi´ on directa y Eq. (6) para BDF), confirmando la fidelidad de los resultados obtenidos. AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido financiado por el Ministerio de Econom´ ıa y Competitividad bajo el proyecto TEC2012-32606. REFERENCES [1] M. Karimi and M. Nasiri-Kenari, “BER analysis of cooperative systems in free-space optical networks,” J. Lightwave Technol., vol. 27, no. 24, pp. 5639 –5647, dec.15, 2009. [2] A. Garcia-Zambrana, C. Castillo-Vazquez, B. Castillo-Vazquez, and R. Boluda-Ruiz, “Bit detect and forward relaying for FSO links using equal gain combining over gamma-gamma atmospheric turbulence channels with pointing errors,” Opt. Express, vol. 20, no. 15, pp. 16 394– 16 409, Jul 2012. [3] F. Benkhelifa, Z. Rezki, and M. Alouini, “Low SNR capacity of FSO links over gamma-gamma atmospheric turbulence channels,” Communications Letters, IEEE, vol. 17, no. 6, pp. 1264–1267, June 2013. [4] I. Ansari, F. Yilmaz, and M. Alouini, “A unified performance of free-space optical links over gamma-gamma turbulence channels with pointing errors,” submitted to IEEE Transactions on Communications, technical report available at http://hdl. handle. net/10754/305353, 2015. [5] K. P. Peppas, A. N. Stassinakis, H. E. Nistazakis, and G. S. Tombras, “Capacity analysis of dual amplify-and-forward relayed free-space optical communication systems over turbulence channels with pointing errors,” Journal of Optical Communications and Networking, vol. 5, no. 9, pp. 1032–1042, 2013. [6] S. Anees and M. R. Bhatnagar, “On the capacity of decode-andforward dual-hop free space optical communication systems,” in Wireless Communications and Networking Conference (WCNC), 2014 IEEE. IEEE, 2014, pp. 18–23. 10 20 30 40 50 60 70 1 2.5 4 5.5 7 8.5 SNR, γ0(dB) Capacidad (bits/s/Hz) alta SNR Eq. (3) Eq. (10) Monte Carlo σs/r = 1 σs/r = 3 ωs/r = 5 transmisi´ on directa (xR, yR) = (0.2,1) (xR, yR) = (2.5,0.5) (a) Capacidad erg´ odica −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1 2 3 4 5 6 7 Desplazamiento horizontal del nodo retransmisor, xR(km) Ganancia, G[dB] yR=0.5 km yR=1 km yR=1.5 km σs/r = 1 σs/r = 3 dSD = 3 km ωs/r = 5 (b) Ganancia Fig. 2. (a) Capacidad erg´ odica CBDF, y (b) ganancia G[dB]. [7] A. Garc´ ıa-Zambrana, C. Castillo-V´ azquez, and B. Castillo-V´ azquez, “Outage performance of MIMO FSO links over strong turbulence and misalignment fading channels,” Opt. Express, vol. 19, no. 14, pp. 13 480–13 496, Jul 2011. [8] I. I. Kim, B. McArthur, and E. J. Korevaar, “Comparison of laser beam propagation at 785 nm and 1550 nm in fog and haze for optical wireless communications,” in Information Technologies 2000. International Society for Optics and Photonics, 2001, pp. 26–37. [9] M. A. Al-Habash, L. C. Andrews, and R. L. Phillips, “Mathematical model for the irradiance probability density function of a laser beam propagating through turbulent media,” Opt. Eng., vol. 40, p. 8, 2001. [10] A. A. Farid and S. Hranilovic, “Outage capacity optimization for freespace optical links with pointing errors,” J. Lightwave Technol., vol. 25, no. 7, pp. 1702–1710, July 2007. [11] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of integrals, series and products, 7th ed. Academic Press Inc., 2007. [12] H. G. Sandalidis, T. A. Tsiftsis, and G. K. Karagiannidis, “Optical wireless communications with heterodyne detection over turbulence channels with pointing errors,” J. Lightwave Technol., vol. 27, no. 20, pp. 4440–4445, 2009. [13] A. P. Prudnikov, Y. A. Brychkov, and O. I. Marichev, Integrals and series Volume 3: More Special Functions. Gordon and Breach Science Publishers, 1999, vol. 3. [14] J. Galambos and I. Simonelli, Products of Random Variables: Applications to Problems of Physics and to Arithmetical Functions. CRC Press, 2004.