Introducción a la homología de grupos

T aballo Fin de G ao In oducción a la homología de g upos Ca los Na allo González 2021/22 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS T aballo Fin de G ao In oducción a la homología de g upos Ca los Na allo González 2021-22 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA T abajo p opues o Á ea de Coñecemen o: Álxeb a Tí ulo: In oducción a la homología de g upos B e e desc ición do con ido En es e abajo se p opone hace un es udio de los g upos de homo- logía Hn(G, A) de un g upo G con coecien es en un G -módulo A. Se a a de es udia p opiedades de es os g upos, da una in e p e a- ción pa a n=0,1,2 y ob ene algunos esul ados clásicos de la eo ía de g upos. Pa a es e abajo se p ecisa es udia concep os de eo ia de ca ego ías, el un o p oduc o enso de módulos, el un o de i ado To n G(M, −) y algunas p opiedades de los módulos p oyec i os. Recomendacións Ou as obse acións iii Índice gene al Resumen ii In oducción ix 1. Concep os básicos 1 1.1. Ca ego ías..................................... 1 1.2. Módulos...................................... 4 1.3. Cop oduc o y p oduc o de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Módulos lib es y módulos p oyec i os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. P oduc o enso .................................. 15 2. Complejos. Resoluciones 25 2.1. Complejosdemódulos.............................. 25 2.2. Resoluciones.................................... 30 2.3. El un o To ................................... 32 3. Homología de g upos 39 3.1. G-módulos..................................... 39 3.2. Homologíadeung upo ............................. 41 3.3. Homología de los g upos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4. Sucesiones exac as de cinco é minos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5. H2(G, M) y se ies cen ales descenden es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Bibliog a ía 57 Resumen El obje i o de es e abajo es el es udio de los g upos de homología Hn(G, M) de un g upo G con coecien es en un G -módulo M . Se es udian p opiedades de es os g upos, se da una in e p e ación pa a n= 0,1 y una in e p e ación pa a n≥0 solo pa a g upos cíclicos y g upos lib es y se ob iene la sucesión exac a de cinco é minos pa a homología que conec a los g upos de homología en dimensiones 1 y 2 . Se ob ienen algunos esul ados clásicos de la eo ía de g upos, como la ó mula de Hop que desc ibe el segundo g upo de homología con coecien es en Z o la elación en e la homología de un g upo y sus se ies cen ales descenden es. Pa a el desa ollo del abajo se es udian p e iamen e concep os de eo ía de módulos, el un o p oduc o enso de módulos y su compo amien o sob e los módulos lib es y p oyec i os, y los un o es de i ados To n G . Abs ac The aim o his p ojec is o s udy he homology g oups Hn(G, M) o a g oup G wi h coecien s in a G -module M . P ope ies o he g oups a e s udied, an in e p e a ion is gi en o n= 0,1 and o n≥0 only o cyclic g oups and ee g oups and an exac sucession o  e e ms is ound o he homology ha connec s he homology g oups in dimension 1 and 2. Some classical esul s o he g oup heo y a e ound, like Hop 's o mula, which desc ibes he second g oup o homology wi h coecien s in Z o he connec ion be ween he homology o a g oup and i s cen al descenden se ies. Fo he de elopmen o he p ojec , concep s o he module heo y a e s udied, as well as unc o enso p oduc and i s beha io o e he ee modules and p ojec i e modules and he de i ed unc o s To n G . ii algo Capí ulo 1 Concep os básicos 1.1. Ca ego ías En es a sección amos a in oduci los concep os de eo ía de ca ego ías necesa ios pa a la comp ensión de es e abajo. Denición 1.1. Una ca ego ía C es una clase Obj (C) cuyos elemen os se llaman obje os , al que pa a cada pa de obje os (X, Y ) de C se iene un conjun o C(X, Y ) cuyos obje os se llaman mo smos de X a Y y pa a cada e na de obje os X , Y y Z se iene una ley de composición ◦:C(X, Y )× C(Y, Z)−→ C(X, Z) ( , g )7−→ g e icando los siguien es axiomas: (1) C(X1, Y1)∩ C(X2, Y2) = ∅ , si X1=X2 o Y1=Y2 . (2) Dados ∈ C(X, Y ) , g∈ C(Y, Z) y h∈ C(Z, T) , en onces h(g )=(h g) (3) Pa a cada obje o X exis e un mo smo 1X∈ C(X, X) al que pa a cada ∈ C(X, Y ) y cada g∈ C(Y, X) , 1X= , 1Xg=g. El mo smo 1X se llama iden idad y el axioma (2) , asocia i idad de la composición . Si ∈ C(X, Y ) , esc ibi emos :X→Y . Se dice que un mo smo ∈ C(X, Y ) es un isomo smo , si exis e un mo smo g∈ C(Y, X) , al que g = 1X y g = 1Y , y deno a emos con ecuencia g po −1 . 1 2 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Ejemplos 1.2. (1) La ca ego ía Se es la ca ego ía cuyos obje os son los conjun os, sus mo smos son las aplicaciones en e conjun os y la composición es la composición usual de aplicaciones. (2) La ca ego ía G es aquella cuyos obje os son los g upos, los mo smos son los ho- momo smos de g upos y la composición es la composición de aplicaciones usual. (3) La ca ego ia Ab cuyos obje os son los g upos abelianos, los mo smos son los ho- momo smos de g upos abelianos y la composición es la composición de aplicaciones usual. (4) La ca ego ía Top es la que iene como obje os los espacios opológicos, los mo smos son las aplicaciones con inuas y la composición es la usual. (5) La ca ego ia VecK que iene como obje os los espacios ec o iales sob e K , como mo smos las aplicaciones lineales y la composición es la composición usual de apli- caciones. (6) Si C1 y C2 son ca ego ías. La ca ego ía C1×C2 es la ca ego ía cuyos obje os son pa es (X1, X2) donde Xi∈ Obj (Ci) , pa a i= 1,2 , y cuyos mo smos son pa es ( 1, 2) donde i∈ C(Xi, Yi) , pa a cada i= 1,2 . Si ( 1, 2) y (g1, g2) son mo smos en C1× C2 su composición es (g1, g2) ( 1, 2)=(g1 1, g2 2). Denición 1.3. Sean C y D ca ego ías. Un un o co a ian e F de C a D y que se deno a po F:C → D es una co espondencia que asigna a cada obje o X en C un obje o FX en D y a cada mo smo ∈ C(X, Y ) un mo smo F ∈ D(F(X), F(Y)) y que e ica las siguien es condiciones: (1) Si :X→Y y g:Y→Z son mo smos en C , en onces F(g ) = Fg F . (2) Pa a cada obje o X en C , se iene que F(1X)=1F X . Ejemplos 1.4. (1) El un o iden idad 1C:C → C es á denido po 1C(X) = X y 1C( ) = . (2) Si X es un obje o de C denimos el un o mo smos F:C → Se po FY = C(X, Y ) , pa a odo obje o Y de C , y si :X→Y es un mo smo en C , denimos F :C(X, Y )→ C(X, Y ′) po F (g) = g . 1.1. CATEGORÍAS 3 (3) Si Y es un obje o en una ca ego ía D , denimos el un o cons an e F:C → D po FX =Y pa a odo obje o X de C y F = 1Y pa a odo mo smo en C . Denición 1.5. Sean F y G un o es co a ian es de C a D . Una ans o mación na u al :F→G es una colección de mo smos X:FX →GX , uno pa a cada obje o X∈ C , al que pa a cada mo smo :X→Y en C , el diag ama FX GX FY GY X F F g Y es conmu a i o, es deci Fg X= YF . Si X es un isomo smo pa a cada X∈ C , en onces se dice que es una equi alencia na u al y que los un o es F y G son na u almen e equi alen es . Denición 1.6. Sea C una ca ego ía. Se dice que un obje o 0 es un obje o ce o de C si pa a odo obje o X en C los conjun os C(X, 0) y C(0, X) ienen cada uno un único elemen o. Sea C una ca ego ía con obje o ce o 0 . Cada conjun o C(X, Y ) iene un mo smo que es la composición de los mo smos X→0 y 0→Y y se llama mo smo ce o de X en Y y se deno a po 0: X→Y . Dos obje os ce o de C son isomo os. El mo smo ce o no depende del obje o ce o conside ado. Denición 1.7. Llama emos ca ego ía p eadi i a a una ca ego ía con obje o ce o en la cual el conjun o C(X, Y ) es un g upo abeliano pa a odos los obje os X e Y en C y donde la composición ◦:C(X, Y )× C(Y, Z)−→ C(X, Z) ( , g)7→ g es bilineal, es deci ( + ′)g= g + ′g, (g+g′) = g + g′, , ′∈ C(X, Y ), g, g′∈ C(Y, Z). Denición 1.8. Sean C y D ca ego ías p eadi i as. Se dice que un un o F:C → D es adi i o si pa a cualesquie a obje os X y Y en C y mo smos , g ∈ C(X, Y ) se iene F( +g) = F +Fg. Lema 1.9. Si C es una ca ego ía p eadi i a el elemen o neu o de C(X, Y ) es el mo smo ce o 0: X→Y en C y si F:C → D es un un o adi i o, en onces F lle a mo smos ce o a mo smos ce o. 4 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Demos ación. Dado que pa a odo ∈ C(Y, Z) , 0=0 , se iene 0 + 0 = 1Y0+1Y0 = (1Y+ 1Y) 0 = 0, y en onces 0 es el elemen o neu o de C(X, Y ) . Además, F0 = F(0 + 0) = F0 + F0. Así, F0=0 . 1.2. Módulos Sean R y S anillos uni a ios. La aplicación :R→S es un homomo smo de anillos si e ica que ( 1+ 2) = ( 1)+ ( 2) , ( 1 2) = ( 1) ( 2) , (1) = 1 . Los endomo smos de un g upo abeliano M , que deno a emos po End(M) , o man un anillo uni a io con las ope aciones adición y mul iplicación dadas po : ( +g)(m) = (m) + g(m),( g)(m) = (g(m)), , g ∈End(M),m∈M. El anillo opues o del anillo R , Rop , es el anillo cuyos elemen os son los de R , la ope ación adición es la de R y la mul iplicación ∗ es á dada po 1∗ 2= 2 1 . Denición 1.10. Sea R un anillo uni a io. Un R - módulo a la izquie da es un pa (M, µ) , donde M es un g upo abeliano M y µ:R×M→M es una aplicación, µ( , x) = x , que e ica los siguien es axiomas: (i) ( 1+ 2)m= 1m+ 2m (ii) ( 1 2)m= 1( 2m) (iii) (m1+m2) = m1+ m2 (i ) 1m=m pa a odo m, m1, m2∈M , , 1, 2∈R . Si (M, µ) es un R -módulo a la izquie da, se iene un homomo smo de anillos ¯µ:R→End(M) denido po (¯µ( ))(m) = m . Recíp ocamen e si enemos un g upo abeliano M jun o con un homomo smo de anillos ¯µ:R→End(M) . y conside amos la aplicación µ:R×M→M dada po µ( , m) = (¯µ( ))(m) y deno amos µ( , m) po m , en onces el pa (M, µ) es un R -módulo a la izquie da. Denición 1.11. Sea R un anillo uni a io. Un R - módulo a la de echa es un pa (M, µ) , donde M es un g upo abeliano M y µ:M×R→M es una aplicación, µ( , x) = x , que e ica los siguien es axiomas: 1.2. MÓDULOS 5 (i') m( 1+ 2) = m 1+m 2 (ii') m( 1 2)=(m 1) 2 (iii') (m1+m2) =m1 +m2 (i ') m1 = m pa a odo m, m1, m2∈M , , 1, 2∈R . Si (M, µ) es un R -módulo a la de echa, se iene un homomo smo de anillos ¯µ:R→End(M)op denido po (¯µ( ))(m) = m . Recíp ocamen e si enemos un g upo abeliano M jun o con un homomo smo de anillos ¯µ:R→End(M)op . y conside amos la aplicación µ:M×R→M dada po µ(m, ) = (¯µ( ))(m) y deno amos µ(m, ) po m , en onces el pa (M, µ) es un R -módulo a la de echa. Po comodidad en es e capí ulo, u iliza emos el é mino R -módulos pa a e e i nos a los R -módulos a la izquie da o a la de echa, cuando es á cla o si son R -módulos po la izquie da o de echa. Si R es un anillo conmu a i o, odo R -módulo M a la izquie da es un R -módulo a la de echa con la ope ación m∗ = m . Si R=Z , los Z -módulos son los g upos abelianos. Si R=K , con K un cue po, los K -módulos son los espacios ec o iales sob e K . Denición 1.12. Sean M y N R -módulos a la izquie da ( esp. de echa). Un homomo smo de R - módulos a la izquie da ( esp. de echa ) :M→N es un homomo smo de g upos abelianos que e ica que ( m) = (m) ( esp. (m ) = (m) ), pa a odo ∈R , m∈M . La aplicación iden idad de M es un homomo smo de R -módulos que deno a emos po 1M:M→M y la composición de homomo smos de R -módulos es un homomo smo de R -módulos. Si M y N son R -módulos a la izquie da ( esp. de echa,) el conjun o de homomo - smos de R -módulos a la izquie da ( esp. de echa) de M en N , que deno a emos po HomR(M, N) , iene es uc u a de g upo abeliano con la ope ación ( +g)(m) = (m) + g(m), , g ∈HomR(M, N), m ∈M. Deno a emos po RMod la ca ego ía cuyos obje os son los R -módulos po la izquie da, cuyo conjun o de mo smos RMod(M, N) es HomR(M, N) y donde la composición es la usual. Deno a emos po ModR la ca ego ía de R -módulos a la de echa. La ca ego ía de R -módulos a la izquie da ( esp. de echa) es una ca ego ía p eadi a. El obje o ce o es el módulo ce o y el mo smo 0: M→M′ es el homomo smo ce o. 6 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Decimos que :M→N es un isomo smo de R-módulos a la izquie da ( esp. de echa ) si es un isomo smo en la ca ego ía RMod ( esp. ModR ). Se iene que es un isomo smo de R -módulos si es sob eyec i o e inyec i o. Si exis e un isomo smo de R -módulos :M→ N , en onces se dice que M y N son R -módulos isomo os y se deno a po M∼ =N . Sea M un R -módulo po la izquie da ( esp. de echa). Se dice que M′ es un submódulo de M si M′ es un subg upo de M y si pa a cada m∈M′ y ∈R se iene que m ∈M′ ( esp. m ∈M′ ). Si M′ es un submódulo de M el g upo cocien e M/M′ es un R -módulo a la izquie da ( esp. de echa), deniendo (m+M′) = m+M′ ( esp. (m+M′) =m +M′ ). Se iene un homomo smo inyec i o i:M′→M y un homomo smo sob eyec i o p:M→ M/M′ . Cuando los esul ados son álidos pa a R -módulos a la izquie da y pa a R -módulos a la de echa, u iliza emos el é mino R -módulos, pa a e e i nos a R -módulos a la izquie da o a R -módulos a la de echa. Si :M→N es un homomo smo de R -módulos el conjun o ke ={m∈M| (m) = 0} es un submódulo de M y se llama núcleo de y el conjun o im = (M) = { (m)|m∈M} es ambién un submódulo de N . La aplicación ¯ :M/ ke →im dada po ¯ (m+ ke ) = (m) , es un isomo smo de R -módulos. El R -módulo N/ (M) se llama conúcleo de y lo deno a emos po coke . P oposición 1.13. Sea :M→N un homomo smo de R -módulos. (1) Sean i: ke →M la inclusión y g:L→M un homomo smo de R -módulos al que ◦g= 0 . Exis e un único homomo smo de R -módulos h:L→ke al que i h =g . ke M N L h g i 0 (2) Sean p:N→coke la p oyección, p(n) = n+ (M) y g:N→L un homomo s- mo de R -módulos al que g◦ = 0 . Exis e un único homomo smo de R -módulos h: coke →L al que h p =g . M N coke L p g h 0 1.2. MÓDULOS 7 Demos ación. (1) Dado que g(L)⊂ke , la aplicación h:L→M dada po h(x) = g(x) , es un homomo smo de R -módulos y e ica que i h =g . Si h′:L→M es o o homomo smo de g upos que e ica i h′=g , po se i una aplicación inyec i a h=h′ . (2) Sea h: coke →L , h(n+ (M)) = g(n) . La aplicación h es á bien denida, pues o que si n+ (M) = n′+ (M) , en onces n−n′∈ (M) . Luego, exis e m∈M al que n−n′= (m) . Así, g(n−n′) = g( (m)) = 0 y g(n) = g(n′) . Además h es un homomo smo de R -módulos y e ica que h p =g . Si h′: coke →L es o o mo smo que e ica h′p=g . Po se p un homomo smo sob eyec i o, h′=h . Denición 1.14. Sean 1:M1→M2 y 2:M2→M3 homomo smos de R -módulos. Se dice que la sucesión M1 1 −→ M2 2 −→ M3 es exac a en M2 si ke 2= im 1 . Se dice que la sucesión M0→M1→ · · · → Mn→Mn+1 es exac a si es exac a en M1, M2, . . . , Mn . Si 1:M1→M2 y 2:M2→M3 son homomo smos de R -módulos, la sucesión 0→M1 1 −→ M2 2 −→ M3→0 es exac a si, y solo si, 1 es un homomo smo inyec i o, ke 2= 1(M1) y 2 es un homomo smo sup ayec i o. Si la sucesión de R -módulos 0→M1 1 −→ M2 2 −→ M3→0 es exac a, en onces se dice que es una sucesión exac a co a . Denición 1.15. La sucesión exac a co a de R -módulos 0→M1 1 →M2 2 →M3→0 se dice que ompe si exis e un homomo smo de R -módulos s:M3→M2 al que 2◦s= 1 . Lema 1.16. (Lema de los es) Sean 0→M1 1 −→ M2 2 −→ M3→0 y 0→N1 1 −→ N2 2 −→ N3→0 dos sucesiones exac as co as de R -módulos y conside emos el siguien e diag ama conmu a i o 0M1M2M30 0N1N2N30 1 h1h2 g1 2 g2 h3 Si dos cualesquie a de los homomo smos h1 , h2 y h3 son isomo smos, en onces el e ce o es ambién isomo smo. Demos ación. Supongamos que h1 y h3 son homomo smos; enemos que p oba que h2 es un isomo smo. En p ime luga demos a emos que ke h2 = 0 . Si m2∈ke h2 , en onces 0 = g2h2m2=h3 2m2 . Como h3 es un isomo smo , enemos que 2m2= 0 . De ahí que exis a m1∈M1 con 1m1=m2 . Luego 0 = h2 1m1=g1h1m1 . Como g1h1 es inyec i a, enemos que m1= 0 . Po an o, m2= 1m1= 0 . Veamos que h2 es sob eyec i a. Sea n2∈N2 ; enemos que p oba que n2=h2m2 pa a algún m2∈M2 . Como h3 es un isomo smo exis e m3∈M3 con h3m3=g2n2 . Como 2 es sob eyec i a , exis e m2∈M2 8 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS al que 2m2=m3 . Se iene que g2(n2−h2m2) = g2n2−g2h2m2=g2n2−h3 2m2= g2n2−h3m3= 0 . Luego exis e n1∈N1 con g1n1=n2−h2m2 . Como h1 es un isomo smo exis e m1∈M1 al que h1m1=n1 . En onces h2( 1m1+m2) = h2 1m1+h2m2= g1h1m1+h2m2=g1n1+h2m2=n2 . Poniendo m2= 1m1+m2 , enemos que h2m2=n2 . Los o os dos casos posibles se demues an de o ma análoga. Lema 1.17. (Lema de la se pien e) Conside emos el siguien e diag ama conmu a i o de R -módulos con las exac as M1M2M30 0N1N2N3 1 h1 g1 2 g2 h2h3 Exis e un homomo smo w: ke h3→coke h1 , que llama emos homomo smo de cone- xión, al que la siguien e sucesión es exac a: ke h1 1k →ke h2 2k →ke h3 w →coke h1 g1c →coke h2 g2c →coke h3, donde k 1 y k 2 son los homomo smos inducidos po 1 y 2 en e los núcleos de h1 y h2 , espec i amen e y gc 1 y gc 2 son los homomo smos inducidos po g1 y g2 en e los conúcleos de h1 y h2 , po la p oposición 1.13. Demos ación. Es ácil p oba que se ienen las siguien es sucesiones exac as: ke h1 1k →ke h2 2k →ke h3 coke h1 g1c →coke h2 g2c →coke h3. Veamos que exis e un homomo smo w: ke h3→coke h1 conec ando las dos secuencias an e io es. La aplicación w es á denida de la siguien e o ma: Sea m3∈ke h3 , y sea m2∈M2 con 2m2=m3 . Como g2h2m2=h3 2m2=h3m3= 0 en onces exis e n1∈N1 al que h2m2=g1n1 . Denimos w(m3)=[n1] = n1+h1(M1) . Demos a emos que w es á bien denida, es o es, que w(m3) es independien e de la elección de m2 . En e ec o, sea m2∈M2 con 2m2=m3 y n1∈N1 al que h2m2=g1n1 . Dado que 2m2= 2m2 , exis e m1 al que m2 = m2 + 1m1 . En onces g1(n1) = h2m2=h2(m2+ 1m1) = h2m2+ g1h1m1=g1n1+g1h1m1=g1(n1+h1m1) . Po se g1 un homomo smo inyec i o, n1=n1+h1m1 , po lo an o [ n1]=[n1] . Se comp ueba ácilmen e que w es un homomo smo. 1.2. MÓDULOS 9 Veamos la exac i ud en ke h3 . Si m3∈ke h3 es de la o ma 2h2 pa a m2∈ke h2 , en onces 0 = h2m2=g1n1 , y po se g1 un homomo smo inyec i o n1= 0 y w(m3) = 0 . Luego im k 2⊂ke w . Sea aho a m3∈ke h3 con w(m3)=0 . Se iene que m3= 2m2, h2m2=g1n1 y en onces exis e m1∈M1 con h1m1=n1 . Conside ando m2=m2− 1m1 . Cla amen e 2m2=m3 , y dado que h2m2=h2m2−h2 1m1=h2m2−g1n1= 0 , po lo an o m3∈ke h3 es de la o ma 2m2 con m2∈ke h2 . Finalmen e p oba emos la exac i ud en coke h1 . Si w(m3)=[n1]∈coke h1 donde m3= 2h2 y h2m2=g1n1 , se iene que gc 1[n1] = [g1n1] = [h2m2]=0 . Así, im w⊂ke gc 1 . Si [n1]∈coke h1 con gc 1[n1]=0 , en onces g1n1=h2m2 pa a algún m2∈M2 y m3= 2m2∈ke h3 . Po lo an o se iene que [n1] = w(m3) . Luego, ke gc 1= im w . Obse ación 1.18 . El diag ama del lema 1.17 es na u al, en el sen ido de que si conside a- mos el diag ama conmu a i o con las exac as M1M2M30 M′ 1M′ 2M′ 30 0N1N2N3 0N′ 1N′ 2N′ 3 1 2 ′ 1 ′ 2 g1g2 g′ 1g′ 2 h1h2h3 α1α2α3 h′ 1h′ 2h′ 3 β1β2β3 en onces el diag ama ke h1ke h2ke h3coke h1coke h2coke h3 ke h′ 1ke h′ 2ke h′ 3coke h′ 1coke h′ 2coke h′ 3 k 1 k 2wgc 1gc 2 ′ 1 k ′ 2 kw′g′ 1 cg′ 2 c βc 3 αk 1αk 2αk 3βc 1βc 2 es conmu a i o y sus las son exac as. Lema 1.19. (Lema de los cinco) Conside emos el siguien e diag ama conmu a i o de R - módulos cuyas las son sucesiones exac as M1M2M3M4M5 N1N2N3N4N5 1 h1 2 3 4 g1g2g3g4 h2h3h4h5 16 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Si S es un conjun o deno a emos los elemen os ( s)s∈S de R(S) (denición 1.28), po Ps∈S ss . Denición 1.40. Sea M un R -módulo a la de echa y N un R -módulo a la izquie da. El p oduc o enso de M y N sob e R , que se deno a po M⊗RN , es el g upo cocien e del g upo abeliano sob e el conjun o M×N po el subg upo S gene ado po los elemen os (m1+m2, n)−(m1, n)−(m2, n), m1, m2∈M, n ∈N (m, n1+n2)−(m, n1)−(m, n2), m ∈M, n1, n2∈N (m , n)−(m, n), m ∈M, n ∈N, ∈R, es deci M⊗RN= (Z(M×N))/S . Deno a emos (m, n) + S po m⊗n . Obsé ese que el conjun o {m⊗n|m∈M, n ∈N} gene a M⊗RN como g upo abeliano, pues o que odo elemen o de M⊗RN es una combinación lineal de la o ma X i∈M×N mi⊗ni. Denición 1.41. Sea M un R -módulo a la de echa, N un R -módulo a la izquie da y T un g upo abeliano. Una aplicación φ:M×N→T se dice que es R -biadi i a si e ica las siguien es p opiedades (1) φ(m1+m2, n) = φ(m1, n)−φ(m2, n) , (2) φ(m, n1+n2) = φ(m, n1)−φ(m, n2) , (3) φ(m , n) = φ(m, n) , pa a cada m1, m2, m ∈M , n1, n2, n ∈N , ∈R . Teo ema 1.42. Sea M un R -módulo a la izquie da, N un R -módulo a la de echa y T un g upo abeliano. Se iene (1) La aplicación h:M×N→M⊗RN , dada po h(m, n) = m⊗n , es R -biadi i a. (2) El pa ( M⊗RN, h) e ica la siguien e p opiedad uni e sal: Si :M×N→L es una aplicación R -biadi i a, exis e un único homomo smo de g upos b :M⊗RN→L , al que b ◦h= . M×N M ⊗RN L h b 1.5. PRODUCTO TENSOR 17 (3) Si el pa (T, ν) , donde T es un g upo abeliano y ν:M×N→T es una aplicación R -biadi i a, e ica la p opiedad siguien e uni e sal: Si :M×N→L es una aplicación R -biadi i a, exis e un único homomo smo de g upos b :M⊗RN→L , al que b ◦ν= . M×N T L ν b en onces los g upos M⊗RN y T son isomo os. Demos ación. (1) Se iene h(m+m′, n) =(m+m′)⊗n=m⊗n+m′⊗n=h(m, n) + h(m′, n) h(m, n +n′) =m⊗(n+n′) = m⊗n+m⊗n′=h(m, n) + h(m′, n) h(m , n) =m ⊗n=m⊗ n =h(m, n). (2) Sea L un g upo abeliano, :M×N→L una aplicación R -biadi i a, {ei}i∈M×N la base canónica de Z(M×N) e µ:M×N→Z(M×N) la aplicación dada po µ(m, n) = e(m,n) . Po se Z(M×N) el Z -módulo lib e sob e M×N , exis e un homomo smo de g upos abelianos g:Z(M×N)→L con g(m, n) = (m, n) pa a odo (m, n)∈M×N . Como es una aplicación R -biadi i a, se iene que g(S) = {0} . Luego, po la p oposición 1.13, g induce un homomo smo de g upos abelianos b :M⊗RN=Z(M×N)/S →L dado po b (m⊗n) = b ((m, n) + S) = g(m, n) = (m, n) . M×NZ(M×N)M⊗RN L p µ g b La unicidad de b se sigue de que el conjun o {m⊗n|m∈M, n ∈N} gene a M⊗RN . (3) Po la p opiedad uni e sal de (M⊗RN, h) exis e un homomo smo bν:M⊗RN→T al que bν h =ν . Po la p opiedad uni e sal de (T, ν) exis e un homomo smo b h:T→ M⊗N al que b h ν =h . Luego b hbν h =h y bνb h ν =ν , y po las p opiedades uni e sales de (M⊗N, h) y (T, ν) se iene que b hbν= 1 y bνb h= 1 . P oposición 1.43. Sea 1:M1→N1 un homo smo de R -módulos a la de echa y 2:M2→N2 un homomo smo de R -módulos a la izquie da. Exis e un único homomo - smo de g upos abelianos 1⊗ 2:M1⊗RM2→N1⊗RN2 , al que ( 1⊗ 2)(m1⊗m2) = 1(m1)⊗ 2(m2) . 18 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Demos ación. Como la aplicación φ:M1×M2→N1⊗RN2 , φ(m1, m2) = 1(m1)⊗ 2(m2) , es R -biadi i a, po la p opiedad uni e sal de M1⊗RM2 , exis e un único homomo smo de g upos 1⊗ 2:M1⊗RM2→N1⊗RN2 , al que ( 1⊗ 2)(m1⊗m2) = 1(m1)⊗ 2(m2) . P oposición 1.44. Sean M un R -módulo a la de echa y N un R -módulo a la izquie da. (1) Se iene un un o adi i o M⊗R−:RMod →RMod donde (M⊗ −)(N) = M⊗RN y (M⊗ −)(g) = 1M⊗g , pa a cada homomo smo de R -módulos a la izquie da g:N→N′ . (2) Se iene un un o adi i o − ⊗RN:ModR→ModR dado po (− ⊗ N)(M) = M⊗RN y (− ⊗ N)( ) = ⊗1N , pa a cada homomo smo de R -módulos a la de echa :M→M′ . Demos ación. (1) La un o ialidad de M⊗R− se sigue de las igualdades 1M⊗1N= 1M⊗RN y 1M⊗g′g= (1M⊗g′)(1M⊗g) . El un o M⊗R− es adi i o pues o que 1M⊗(g+h) = 1M⊗g+ 1M⊗h . (2) Se demues a de mane a análoga a (1) . P oposición 1.45. Sean M un R -módulo a la de echa y N un R -módulo a la izquie da. Se iene M⊗RN≃M⊗ZN H, donde H es el subg upo de M⊗ZN gene ado po los elemen os m ⊗n−m⊗ n, m ∈M, n ∈N, ∈R. Demos ación. Conside emos la aplicación Z -biadi i a h:M×N→M⊗ZN , h(m, n) = m⊗n y sea p:M⊗ZN→(M⊗ZN)/H la p oyección, p(m⊗n) = m⊗n+H . La aplicación p◦h:M×N→(M⊗ZN)/H es R -biadi i a. Veamos, po ejemplo la condición (3) de la denición 1.41: p h(m , n) = m ⊗n+H=m⊗ n +H=p h(m, n). Se iene que (M⊗ZN)/H, p◦h) e ica la p opiedad uni e sal del eo ema 1.42. En e ec o, sea L un g upo abeliano y :M×N→L una aplicación R -biadi i a. Po la p opiedad 1.5. PRODUCTO TENSOR 19 uni e sal de (M⊗ZN, h) , exis e un único homomo smo de g upos g:M⊗ZN→L al que g h = . Veamos que g(H)=0 : g(m ⊗n−m⊗ n) = g(m ⊗n)−g(m⊗ n) = (m , n)− (m, n) = 0. Po la p oposición 1.13 (2) , exis e un único homomo smo de g upos g′: (M⊗ZN)/H →L , al que g′p=g . Po an o, g′p h = . Si g′′ : (M⊗ZN)/H es o o homomo smo de g upos que e ica que g′′ p h = , po la p opiedad uni e sal de (M⊗ZN, h) se iene que g′p=g′′ p y po se p un homomo smo sup ayec i o, g′=g′′ . El esul ado se sigue del eo ema 1.42 (3) . M×N M ⊗ZN(M⊗ZN)/H L p h gg′ Denición 1.46. Sea φ:R→S un homomo smo de anillos. Se llama un o cambio de anillo inducido po φ al un o Uφ:SMod →RMod dado po UφM=M , donde M se conside a un R -módulo con la acción m =φ( )m , pa a ∈R y m∈M , y dado un homomo smo de S -módulos g:M→N , Uφg=g . Si M es un S -módulo se dice que M=Uφ(M) es un R -módulo ía φ . P oposición 1.47. Sea φ:R→S un homomo smo de anillos, M un R -módulo a la de echa, N un R -módulo a la izquie da, M′S -módulo a la de echa y N′ un S -módulo a la izquie da. Sea :M→UφM′ un homomo smo de R -módulos a la de echa y g:N→ UφN′ un homomo smo de R -módulos a la izquie da. Exis e un único homomo smo de g upos abelianos, que deno a emos po ⊗g , dado po ⊗g:M⊗RN→M′⊗SN′ , ( ⊗g)(m⊗n) = (m)⊗g(n) . Demos ación. La aplicación h′:M×N→M′⊗SN′ dada po h′(m, n) = (m)⊗g(n) es R -biadi i a. En e ec o, se e ican las condiciones (1) , (2) y (3) de la denición 1.41. Veamos la condición (3) : h′(m , n) = (m )⊗Sg(n) = (m)φ( )⊗g(n) = (m)⊗φ( )g(n) = h′(m, n). M×N M ⊗RN M′⊗SN′ h h′ ⊗g 20 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS El esul ado se sigue del eo ema 1.42 (2) . Denición 1.48. Sean R y S anillos. Se dice que un g upo abeliano M es un (R−S) - bimódulo si M es un R -módulo a la izquie da y un S -módulo a la de echa y las dos acciones es án elacionadas po (m s) = ( m)s, ∈R, m ∈M, s ∈S. P oposición 1.49. Sean R y S anillos. Si M es un R -módulo a la de echa y N un (R−S) - bimódulo, en onces M⊗RN es un S -módulo a la de echa con la acción: (m⊗n)s=m⊗n s. Análogamen e, si M es un (S−R) -bimódulo y N es un R -módulo a la izquie da, en onces M⊗RN es un S -módulo a la izquie da con la acción s(m⊗n) = s m ⊗n. Demos ación. Sea N un (R−S) -bimódulo y M un R -módulo a la de echa. Fijado s∈S , la mul iplicación νs:N→N , denida po νs(n) = ns , es un homomo smo de R -módulos. en e ec o, νs( n)=( n)s= (ns) = νs(n). Conside emos el un o F=M⊗R−:RMod →Ab , y el homomo smo de g upos abelianos F(ν ) = 1M⊗νs:M⊗RN→M⊗RN . La aplicación ν:S→End(M ⊗RN)op , ν(s) = 1⊗νs , es un homomo smo de anillos, luego M⊗RN es un S -módulo a la de echa. De o ma simila se p ueba que si M es un (S−R) -bimódulo y N es un R -módulo a la izquie da, en onces M⊗RN es un S -módulo a la izquie da con la acción s(m⊗n) = s m ⊗n . P oposición 1.50. (1) Sea {Ni}i∈I una amilia de R -módulos a la izquie da y sea M un R -módulo a la de echa. La aplicación Φ: M⊗R(MNi∈I)−→ M i∈I (M⊗RNi) dada po Φ(m⊗(ni)i∈I)=(m⊗ni)i∈I , es un isomo smo de g upos abelianos que hace conmu a i o el diag ama M⊗RNjLi∈I(M⊗RNi) M⊗R(Li∈INi) µj 1⊗ρjΦ 1.5. PRODUCTO TENSOR 21 donde los mo smos µj:M⊗RNj→Li∈I(M⊗Ni) y ρj:Nj→Li∈INi son las aplicaciones inyección en los co espondien es cop oduc os. De o ma análoga se p ueba que si {Mi}i∈I es una amilia de R -módulos a la de echa y N es un R -módulo a la izquie da, la aplicación Φ′: (Li∈IMi)⊗N→Li∈I(Mi⊗N) , Φ′((mi)i∈I⊗n)=(mi⊗ni)i∈I , es un isomo smo de g upos abelianos que hace conmu a i o el siguien e diag ama Mj⊗RNLi∈I(Mi⊗RN) (Li∈IMi)⊗RN µj ρj⊗1 Φ′ donde µj:Mj⊗RN→Li∈I(Mi⊗N) y ρj:Mj→Li∈IMi son las aplicaciones inyección en los co espondien es cop oduc os. (2) Si M es un R -módulo a la izquie da ( esp. de echa) la aplicación g:M→R⊗RM ( esp. g′:M→M⊗RR ) dada po , g(m) = 1 ⊗m ( esp. g′(m) = m⊗1 ), pa a m∈M , es un isomo smo de R -módulos a la izquie da ( esp. de echa). (3) Sea M un R -módulo a la de echa y 0→N′ 1 −→ N 2 −→ N′′ →0 una sucesión exac a de R -módulos a la izquie da. Se iene la sucesión exac a co a de g upos abelianos M⊗RN′1⊗ 1 −−−→ M⊗RN1⊗ 2 −−−→ M⊗RN′′ −→ 0. Además, si M es p oyec i o es a sucesión es exac a co a. (4) Sea N un R -módulo a la izquie da y 0→M′ 1 −→ M 2 −→ M′′ →0 una sucesión exac a co a de R -módulos a la de echa. Se iene la sucesión exac a de g upos abelianos M′⊗RN 1⊗1 −−−→ M⊗RN 2⊗1 −−−→ M′′ ⊗RN→0. Además, si N es p oyec i o es a sucesión es exac a co a. Demos ación. (1) Dado que la aplicación φ:M×(LiNi)→Li(M⊗RNi) , φ(m, (ni)i∈I) = (m⊗ni)i∈I , es R -biadi i a, po el eo ema 1.42 (2) , exis e un homomo smo de g upos Φ: M⊗R(LiNi)→Li(M⊗RNi) al que Φ(m⊗(ni)i∈I)=(m⊗ni)i∈I . Pa a p oba Φ es un isomo smo conside emos los homomo smos de g upos 1M⊗ρj:M⊗RNj→M⊗R(M i Ni), j ∈I. 22 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Po la p oposición 1.21, enemos un homomo smo de g upos Ψ = ⟨1M⊗ρj⟩:M i (M⊗RNi)→M⊗R(M i Ni), al que Ψµj= 1⊗ρj , pa a odo j∈I . Dado que Φ Ψ µj=µj pa a odo j∈I , se iene que Φ Ψ = 1 . Además (Φ Ψ)(m⊗(ni)i∈I) = Φ(m⊗ni)i∈I=m⊗Pi∈Iρi(ni) = m⊗(ni)i∈I . Luego Φ Ψ = 1 . (2) La aplicación g:M→R⊗M , g(m)=1⊗m es un homomo smo de R -módulos a la izquie da. En e ec o, g( m)=1⊗ m = ⊗m= (1 ⊗m). Po se la aplicación φ:R×M→M , φ( , M) = m R -biadi i a, exis e un homomo smo de g upos abelianos :R⊗RM→M al que ( ⊗m) = m . La aplicación es la in e sa de g . (3) Dado que (1⊗ 2)(1⊗ 1)=1⊗ 1 2= 1⊗0=0 , se iene que im(1⊗ 1)⊂ke (1⊗ 2) . Veamos que ke (1 ⊗ 2)⊂im(1 ⊗ 1) . Sea T= im(1 ⊗ 1) . Como T⊆ke (1 ⊗ 2) , po la p oposición 1.13, 1⊗ 2 induce un homomo smo b 2: (M⊗N)/T →M⊗N′′ que hace conmu a i o el diag ama M⊗RN(M⊗RN)/T M⊗RN′′ p 1⊗ 2b 2 donde p:M⊗RN→(M⊗RN)/T es la p oyección. Sea :M×N′′ →(M⊗RN)/T la aplicación dada po (m, n′′)=(m⊗n)+T , siendo n∈N al que 2(n) = n′′ . La aplicación es á bien denida. En e ec o, si 2n1=n′′ , con n1∈N , en onces 2(n−n1) = 0 . Dado que ke 2= im 1 , exis e n′∈N′ con 1n′=n−n1 , luego m⊗(n−n1) = m⊗ 1n′∈im(1 ⊗ 1) = T . Así, (m⊗n) + T= (m⊗n1) + T . Además, es R -biadi i a. Po la p opiedad uni e sal del p oduc o enso M⊗RN′′ exis e un homomo smo de g upos abelianos b :M⊗RN′′ →(M⊗RN)/T con b (m⊗n′′) = m⊗n+T . El homomo smo b es el in e so de b 2 . Dado que b 2 es un isomo smo, ke (1 ⊗ 2) = ke ( b 2p) = ke p=T= im(1 ⊗ 1) . Veamos que 1⊗ 2 es sup ayec i a. Si Pi∈Imi⊗n′′i∈M⊗N′′ , exis en ni∈N con 2ni=n′′i , pa a odo i∈I . En onces, (1 ⊗ 2)(Pmi⊗ni) = Pmi⊗ 2ni=Pmi⊗n′′ i . Si M es un R -módulo a la de echa p oyec i o, en onces po la p oposición 1.38, exis e un conjun o S , un R -módulo a la de echa L y un isomo smo h:R(S)→MLL . Po (1) , (2) y la obse ación 1.22, el homomo smo 1R(S)⊗ 1:R(S)⊗RN′→R(S)⊗RN es inyec i o. Se iene el siguien e diag ama conmu a i o: 1.5. PRODUCTO TENSOR 23 R(S)⊗RN′R(S)⊗RN (MLL)⊗RN′(MLL)⊗RN (M⊗RN′)L(L⊗RN′) (M⊗RN)L(L⊗RN) 1R(S)⊗ 1 h⊗1h⊗1 1MLL⊗ 1 (1M⊗ 1)L(1L⊗ 1) Φ′Φ′ Dado que los homomo smos h⊗1 y Φ′ son isomo smos, el homomo smo (1M⊗ 1)L(1L⊗ 1) es un homomo smo inyec i o. Po la obse ación 1.22, el homomo s- mo 1M⊗ 1:M⊗N′→M⊗N es inyec i o. (4) Se demues a de o ma simila a (3) . Obse ación 1.51 . El esul ado (3) de la p oposición 1.50 es el mejo que podemos ob ene . Po ejemplo, conside emos la sucesión exac a co a de Z -módulos 0−→ Z2 1Z −−→ Zp −→ Z/2Z−→ 0. Si le aplicamos el un o Z/2Z⊗Z− ob enemos la sucesión exac a Z/2Z⊗ZZ1⊗2 1Z −−−−→ Z/2Z⊗ZZ1⊗p −−→ Z/2Z⊗ZZ/2Z−→ 0, pe o 1⊗Z2 1Z= 0 y no es inyec i o pues o que Z/2Z⊗ZZ≃Z/2Z . Denición 1.52. Sean M un R -módulo a la de echa, N un (R−S) -bimódulo, L un S - módulo a la izquie da y G un g upo abeliano. Se dice que h:M×N×L→G es una aplicación (R−S) - iadi i a si e ica: h(m+m′, n, l) = h(m, n, l) + h(m′, n, l), h(m, n +n′, l) = h(m, n, l) + h(m, n′, l), h(m, n, l +l′) = h(m, n, l) + h(m, n, l′), h(m , n, l) = h(m, n, l), h(m, ns, l) = h(n, n, sl). donde m, m′∈M , n, n′∈N , l, l′∈L , ∈R y s∈S . P oposición 1.53. Sean M un R -módulo a la de echa, N un (R−S) -bimódulo, L un S -módulo a la izquie da, T un g upo abeliano y h:M×N×L→T es una aplicación (R−S) - iadi i a. Supongamos que el pa (T, h) e ica la siguien e p opiedad uni e sal: Pa a oda g upo abeliano G y oda aplicación (R−S) - iadi i a :M×N×L→G , exis e un único homomo smo de g upos abelianos b :T→G al que b h = . M×N×L T G h b 24 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Si (T′, h′) e ica la misma p opiedad uni e sal, en onces los g upos abelianos T y T′ son isomo os. Demos ación. Po la p opiedad uni e sal de (T, h) exis e un homomo smo b h′:T→T′ al que ˆ h′h=h′ y po la p opiedad uni e sal de (T′, h′) exis e un homomo smo b h:T′→T al que b h h′=h . Po la p opiedad uni e sal de (T, h) , b hb h′= 1 y po la p opiedad uni e sal de (T′, h′) , b h′b h= 1 . P oposición 1.54. Sea M un R -módulo a la de echa, N un (R−S) -bimódulo y L un S -módulo a la izquie da. Se iene que M⊗R(N⊗SL)∼ =(M⊗RN)⊗SL . Demos ación. La aplicación h:M×N×L→M⊗R(N⊗SL) , h(m, n, l) = m⊗(n⊗l) , es (R−S) - iadi i a. Veamos que el pa (M⊗R(N⊗SL), h) e ica la p opiedad uni e sal de la p oposición 1.53. En e ec o, sea :M×N×L→G o a aplicación (R−S) - iadi i a y pa a cada m∈M conside emos la aplicación S -biadi i a m:N×L→G , m(n, l) = (m, n, l) . Exis e un homomo smo de g upos c m:N⊗SL→G al que c m(n⊗l) = (m, n, l) . La aplicación φ:M×(N⊗SL)→G , dada po φ(m, Pini⊗li) = c m(Pini⊗li) es R -biadi i a. En e ec o, eamos que φ e ica la p opiedad (3) de la denición 1.41: φ(m , X i ni⊗li) =d m (X i ni⊗li) = X id m (ni⊗li) = X i φ(m , ni, li) =X i φ(m, ni, li) = X ic m( ni⊗li) = c m(X i ni⊗li) =c m( (X i ni)⊗li) = φ(m, (X i ni⊗li)). De o ma análoga se p ueba que φ e ica las p opiedades (1) y (2) de la denición 1.41. Po an o, exis e un único homomo smo bφ:M⊗R(N⊗SL)→G de g upos al que bφ(m⊗(n⊗l)) = φ(m, n ⊗l) = (m, n, l) . Así, el pa (M⊗R(N⊗SL), h) e ica la p opiedad uni e sal de la p oposición 1.53. Se p ueba ambién que si h′:M×N×L→(M⊗RN)⊗SL es la aplicación dada po h′(m, n, l) = (m⊗n)⊗l) , el pa ((M⊗RN)⊗SL, h′) e ica la p opiedad uni e sal de la p oposición 1.53, luego M⊗R(N⊗SL)∼ =(M⊗RN)⊗SL . No ación 1.55 . Deno a emos en gene al los g upos abelianos M⊗R(N⊗SL) y (M⊗R N)⊗SL , po M⊗RN⊗SL . Capí ulo 2 Complejos. Resoluciones 2.1. Complejos de módulos Vamos a asocia a un complejo de cadenas C , su módulo de homología de g ado n , Hn( C ) , que si e pa a medi la exac i ud del complejo, de o ma que el complejo es exac o si, y solo si, Hn( C )=0 , pa a odo n∈Z . Dados φ∗, ψ∗:C→D mo smos de complejos, u iliza emos el concep o de homo opía pa a dec ibi una condición sucien e pa a que es os dos mo smos induzcan el mismo homomo smo en homomología. Denición 2.1. Un complejo de cadenas C={Cn, ∂n} de R -módulos es una amilia {Cn}n∈Z de R -módulos y una amilia de homomo smos {∂n:Cn→Cn−1} de R -módulos, ales que ∂n◦δn+1 = 0 : C:· · · −→ Cn+1 ∂n+1 −→ Cn ∂n −→ Cn−1−→ · · · Sean C={Cn, ∂n} y D={Dn, ∂′ n} complejos de cadenas de R -módulos. Un mo smo φ∗:C→D de complejos de cadenas es una amilia {φn:Cn→Dn} de homomo smos de R -módulos al que, pa a cada n , el diag ama CnCn−1 DnDn−1 ∂n φnφn−1 ∂′ n es conmu a i o. Conside amos la ca ego ía ModZ R de R - módulos g aduados . Un obje o M en ModZ R es una amilia {Mn}n∈Z de R -módulos. Un mo smo ∗:M→M′ de R - módulos g aduados de g ado es una amilia { n:Mn→M′ n+ }n∈Z de homomo smos de R -módulos. Podemos 25 32 CAPÍTULO 2. COMPLEJOS. RESOLUCIONES Demos ación. Sean P y Q dos esoluciones p oyec i as de M . Po la p oposición 2.18 exis en mo smos de cadenas φ∗:P→Q y ψ∗:Q→P induciendo la iden idad en H0(P) = M=H0(Q) . La composición ψ∗◦φ∗:P→P así como el mo smo iden idad 1∗:P→P inducen la iden idad en M . Po el eo ema 2.18, enemos que ψ∗◦φ∗≃1∗ . Análogamen e, φ∗◦ψ∗≃1∗ . Po an o, P y Q son del mismo ipo de homo opía. Lema 2.20. Sea 0→M′→M→M′′ →0 una sucesión exac a de R -módulos. Exis e una sucesión exac a co a de complejos 0→P′↣P↠P′′ →0 donde P , P′ y P′′ son esoluciones p oyec i as de M′ , M y M′′ espec i amen e, y ales que el diag ama 0P′ 0PoP′′ 00 0M′M M′′ 0 ϵ′ϵϵ′′ es conmu a i o. Demos ación. Po el lema 1.39, exis e una sucesión exac a co a de R -módulos p oyec i os 0→P′ 0→P0→P′′ 0→0 y homomo smos sob eyec i os ϵ′:P′ 0→M′ , ϵ:P0→M y ϵ′′ :P′′ 0→M′′ , ales que el siguien e diag ama 0P′ 0P0P′′ 00 0M′M M30 ϵ1ϵ ϵ′′ es conmu a i o. Po el lema de la se pien e la siguien e sucesión 0→ke ϵ′→ke ϵ→ke ϵ′′ →0, es exac a co a. Repi iendo es e p oceso con la sucesión de núcleos y luego azonando induc i amen e, ob enemos una sucesión exac a de complejos 0→P′↣P↠P′′ →0 , donde P′ , P y P′′ son esoluciones p oyec i as de M′, M, M′′ espec i amen e. 2.3. El un o To El un o To es un un o de i ado. En es a sección es udia emos los un o es To R n(M, −) , que son un o es de i ados del un o M⊗R− . Conside emos pa a cada módulo N una esolución p oyec i a P N de N y el un o adi i o M⊗R−:ModR→Ab . 2.3. EL FUNTOR TOR 33 Denición 2.21. Sea M un R -módulo a la de echa y N un R -módulo a la izquie da. Se dene To R n(M, N) como el n -ésimo g upo de homología del complejo de g upos abelianos M⊗R P N:· · · → M⊗RPn+1 →M⊗RPn→M⊗RPn−1→ · · · → M⊗RP0→0 siendo P N una esolución p oyec i a de N . Si :N→N′ es un homomo smo de R -módulos y P N y P N′ son esoluciones p oyec i as de N y N′ , espec i amen e, po el lema 2.18, exis e un mo smo de complejos φ∗: P N→ P N′ que induce . Denimos To R n(M, N) =Hn(M⊗R P N), n ∈N To R n(M, ) =Hn(1M⊗Rφ∗), n ∈N. P oposición 2.22. Se ienen un o es To R n(M, −): RMod →Ab pa a odo n∈N , dados po To R n(M, −)(N) = To R n(M, N),To R n(M, −)( ) = To R n(M, ) Demos ación. Veamos que To R n(M, −) es á bien denido. Sea ψ∗:PN→ P N′ o o mo - smo de complejos que induce . Po el lema 2.18, φ∗ y ψ∗ son homo ópicos y dado que el un o M⊗R:RMod →Ab es un un o adi i o, po el co ola io 2.8, Hn(1M⊗Rφ∗) = Hn(1M⊗Rψ∗) . Vamos a p oba que los un o es To R(M, −) no dependen de las esoluciones p oyec- i as conside adas. Fijemos pa a cada módulo N o a esolución p oyec i a QN de N . Tenemos un o es QTo R n(M, −) denidos de o ma simila a los un o es To n R(M, −) . P oposición 2.23. Sea M un R -módulo a la izquie da. Exis e una equi alencia na u al Φ: To R n(M, −)→QTo R n(M, −). Demos ación. Po el eo ema de compa ación, exis e un mo smo de complejos i∗: P N→ Q N que induce 1N . Po se el un o M⊗R(−) adi i o se iene el mo smo de complejos 1M⊗Ri∗:M⊗R P N→M⊗R Q N que induce un mo smo ΦN=Hn(1M⊗Ri∗): To R n(M, N)→QTo R n(M, N) Veamos que ΦN es un isomo smo: Po el eo ema de compa ación, exis e un mo smo de complejos j∗: Q N→ P N que induce 1N . Po el lema de compa ación j∗i∗≃1 Q N . Po an o Hn(1M⊗Rj∗) ΦN= 1To R n(M,N) . Análogamen e, ΦNHn(1M⊗Rj∗)=1QTo R n(M,N) . Veamos aho a que Φ es una ans o mación na u al. Sea :N→N′ un homomo smo de R -módulos. Tenemos que p oba que el cuad ado 34 CAPÍTULO 2. COMPLEJOS. RESOLUCIONES To R n(M, N)QTo R n(M, N) To R n(M, N′)QTo R n(M, N′) ΦN To R n(M, )QTo R n(M, ) ΦN′ es conmu a i o. Sean P N y Q N esoluciones p oyec i as de N y P ′ N′ y Q N′ esolu- ciones p oyec i as de N′ . Sean φ∗:PN→P′ N y ψ∗:QN→QN′ mo smos de com- plejos que inducen . Sea i′ ∗:PN′→QN′ un mo smo de complejos que induce 1N′ . Los mo smos i′ ∗φ∗ y ψ∗i∗:PN→QN′ son homo ópicos. Po se M⊗R(−) adi i o, (1M⊗Ri′ ∗) (1M⊗Rφ∗)≃(1M⊗Rψ∗) (1M⊗Ri∗) , y en onces aplicando el un o Hn se iene que ΦN′To R n(M, ) = QTo R n(M, )) ΦN . Iden ica emos los g upos To R n(M, N) y QTo R n(M, N) ía el isomo smo ΦN . Co ola io 2.24. To R n(M, N) no depende de la esolución p oyec i a de N conside ada. Denición 2.25. Un un o con a ian e F:RMod →Ab se dice que es exac o a la de echa, si pa a oda sucesión exac a 0→N′→N→N′′ →0 se iene que la sucesión F(N′)→F(N)→F(N′′)→0 es exac a. Se dice que F es exac o si, pa a oda sucesión exac a co a 0→N′→N→N′′ →0 se iene que la sucesión 0→F(N′)→F(N)→ F(N′′)→0 es exac a co a. Un un o con a ian e exac o a la de echa es el un o M⊗R−:RMod →Ab . Si M es un R -módulo a la izquie da p oyec i o el un o M⊗R− es exac o. P oposición 2.26. Sea M un R -módulo a la de echa y N un R -módulo a la izquie da. Se iene: (1) Un un o To R n(−,−): ModR×RMod →Ab pa a odo n∈N . (2) To R n(P, N) = To R n(M, P)=0 , pa a n≥1 , si P es p oyec i o. (3) Los un o es To R 0(M, −) y M⊗R− son na u almen e equi alen es. (4) Dada una sucesión exac a co a 0→N′→N→N′′ →0 de R -módulos a la izquie da se ob iene la To -sucesión exac a la ga en la segunda a iable · · · −→ To R n(M, N′)−→ To n(M, N)−→ To R n(M, N′′)ωn −→ To n−1(M, N′)−→ · · · · · · −→ To 1(M, N′)ω1 −→ M⊗RN′−→ M⊗RN−→ M⊗RN′′ −→ 0. Además, si :M→M′ es un homomo smo de R -módulos a la de echa se iene un diag ama conmu a i o 2.3. EL FUNTOR TOR 35 To R n(M, N′) To R n(M, N) To R n(M, N′′) To R n−1(M, N′)· · · To R n(M′, N′) To R n(M′, N) To R n(M′, N′′) To R n−1(M′, N′)· · · (5) Dada una sucesión exac a co a 0→M′→M→M′′ →0 de R -módulos a la de echa se ob iene la To -sucesión exac a la ga en la p ime a a iable · · · −→ To R n(M′, N)−→ To n(M, N)−→ To R n(M′′, N)ωn −→ To n−1(M′, N)→ · · · · · · −→ To 1(M′′, N)ω1 −→ M′⊗RN→M⊗RN−→ M′′ ⊗RN−→ 0. Además, si :N→N′ es un homomo smo de R -módulos a la izquie da se iene un diag ama conmu a i o To R n(M′, N) To R n(M, N) To R n(M′′, N) To R n−1(M′, N)· · · To R n(M′, N′) To R n(M, N′) To R n(M′′, N) To R n−1(M′′, N′)· · · Demos ación. (1) Sean :M→M′ un homomo smo de R -módulos a la de echa y g:N→N′ un homomo smo de R -módulos a la izquie da, P una esolución p oyec i a de N y P ′ una esolución p oyec i a de N′ . Si φ∗: P → P ′ es un homomo smo de complejos de R -módulos que induce g , denimos To R n( , g): To R n(M, N)→To R n(M′, N′), po To R n( , g) = Hn( ⊗φ∗) . Se comp ueba ácilmen e que To (−,−) es un un o . (2) Dado que P es p oyec i o, el un o P⊗R− es exac o. En onces, To R n(P, N) = 0 , pa a n≥1 . Veamos que To R n(M, P) = 0 , pa a n≥1 . En e ec o, dado que el complejo de cadenas P :· · · → 0→0→P0→0, P0=P, es una esolución p oyec i a de P , To R n(M, P) = 0 , pa a n≥1 . (3) Si P es una esolución p oyec i a de N , en onces la sucesión P1→P0→M→0 es exac a. Po an o M⊗RP1→M⊗RP0→M⊗RN→0 es exac a. Luego, H0(M⊗R P )) ∼ = M⊗RN . Cla amen e, es e isomo smo es na u al. (4) U ilizando el lema 2.20 exis e una sucesión exac a co a de complejos de R -módulos p oyec i os 0→ P ′→ P → P ′′ →0 donde P ′ , P y P ′′ son esoluciones de M′ , M y M′′ , espec i amen e, y donde Pn=P′ n⊕P′′ n . Po la p oposición 1.50 (1) , la sucesión 36 CAPÍTULO 2. COMPLEJOS. RESOLUCIONES 0→M⊗R P ′→M⊗R P →M⊗R P ′′ →0 es exac a co a. Además, si :M→M′ es un homomo smo de R -módulos, exis e una ans o mación na u al ⊗R−:M⊗− → M′⊗− que induce mo smos de complejos ⊗1 P ′ , ⊗1 P , ⊗1 P ′′ que hacen conmu a i o el diag ama 0M⊗R P ′M⊗R P M⊗R P ′′ 0 0M′⊗R P ′M′⊗R P M′⊗R P ′′ 0 ⊗1 P ′ ⊗1 P ⊗1 P ′′ El esul ado se sigue de la p oposición 2.13. (5) Sea P una esolución p oyec i a de N . Po la p oposición 1.50 (4) , se iene la sucesión exac a co a de complejos 0→M′⊗R P →M⊗R P →M′′ ⊗R P →0 . El esul ado se sigue de la p oposición 2.13. Si g:N→N′ es un homomo smo de R -módulos a la de echa y P y P ′ son esoluciones de N y N′ , espec i amen e, exis e un mo smo de complejos g∗: P → P ′ que ex iende a g , Conside emos el diag ama conmu a i o de complejos de g upos abelianos 0M′⊗R P M⊗R P M′′ ⊗R P 0 0M′⊗R P ′M⊗R P ′M′′ ⊗R P ′0 1⊗g∗1⊗g∗1⊗g∗ El esul ado se sigue de la p oposición 2.13. Denición 2.27. Sea M un R -módulo a la de echa y N un R -módulo a la izquie da. Se dene To R n(M, N) como el n -ésimo g upo de homología del complejo P ⊗RN P ⊗RN:· · · → Pn⊗RN→Pn−1⊗RN→ · · · → P0⊗RN→0, siendo P una esolución p oyec i a de N . Sean :M→M′ un homomo smo de R - módulos a la de echa y P y P ′ esoluciones de M y M′ , espec i amen e. Po el lema 2.18, exis e un mo smo de complejos φ∗: P → P ′ que induce . Denimos To R n(M, N) =Hn( P ⊗RN), n ∈N To R n( , N) =Hn(φ∗⊗R1N), n ∈N. P oposición 2.28. Se ienen un o es To R n(−, N): ModR→Ab,To R n(−,−): ModR×RMod →Ab 2.3. EL FUNTOR TOR 37 dados po To R n(−, N)(M) = To R n(M, N), To R n(−, N)( ) = To R n( , N) To R n( , g) = Hn(φ∗⊗g), donde g:N→N′ es un homomo smo de R -módulos a la izquie da y se e ican pa a To R n odas las p opiedades de la p oposición 2.26. Demos ación. Se azona como en 2.22 y en 2.26. P oposición 2.29. Se iene una equi alencia na u al Ψn: To R n(−,−)−→ To R n(−,−). Demos ación. Vamos a cons ui ΨM,N n . Pa a n= 0 , ΨM,N 0= 1 . Sea 0→K→P→ M→0 una p esen ación p oyec i a de M . Po la p oposición 2.26 enemos la sucesión exac a la ga · · · → To R n(K, N)→To R n(P, N)→To R n(M, N)ωn →To n−1(K, N)→ · · · · · · → To 1(M, N)ω1 →K⊗RN→P⊗RN→M⊗RN→0, y la co espondien e sucesión pa a To R n(−,−) · · · → To R n(K, N)→To R n(P, N)→To R n(M, N)ωn →To n−1(K, N)→ · · · · · · → To 1(M, N)ω1 →K⊗RN→P⊗RN→M⊗RN→0. Dado que To R n(P, N) = To R n(P, N)=0 , pa a n≥1 , se ienen las sucesiones exac as 0→To 1(M, N)ω1 →K⊗RN→P⊗RN→M′⊗RN→0 0→To 1(M, N)ω1 →K⊗RN→P⊗RN→M′⊗RN→0, luego exis e un homomo smo ΨM,N 1: To R 1(M, N)→To R 1(M, N) que es un isomo smo. Supongamos po hipó esis de inducción, que exis e un isomo smo ΨM,N n−1 pa a odo M y N y conside emos las sucesiones exac as 0−→ To n(M, N)ωn −→ To n−1(K, N)−→ 0 0−→ To n(M, N)ωn −→ To n−1(K, N)−→ 0. Se ob iene un isomo smo ΨM,N n . Se puede comp oba que ΨM,N n no depende de la p esen- ación p oyec i a de M conside ada y que es na u al en M y N . La a mación de la p oposición 2.29 se puede exp esa diciendo que To n(M, N) se puede calcula u ilizando una esolución p oyec i a de M o una esolución p oyec i a de N . algo Capí ulo 3 Homología de g upos 3.1. G-módulos Sea G un g upo. Deno a emos la ope ación de G con la mul iplicación y po 1 el elemen o neu o de G . Si A es un g upo abeliano, deno a emos po Au (A) el g upo de au omo smos de A y po End(A) el anillo de endomo smos de A . Denición 3.1. Se llama anillo de g upo en e o de G y se deno a po ZG , al g upo abeliano lib e sob e el conjun o G , es deci el conjun o Px∈Gaxx , ax∈Z y donde ax= 0 solo pa a un núme o ni o de elemen os x∈G , con la ope ación adición dada po (X x∈G axx)+(X x∈G a′ xx) = X x∈G (ax+a′ x)x y con la ope ación mul iplicación: (X x∈G axx)·(X y∈G ayy) = X x,y∈G (axay)xy. Deno a emos po i:G→ZG la aplicación inyec i a dada po i(x) = 1 x , pa a x∈G . P oposición 3.2. Sea R un anillo. Pa a cada aplicación :G→R e icando (xy) = (x)· (y) y (1) = 1R exis e un único homomo smo de anillos ′:ZG→R al que ′i= . Demos ación. La aplicación ′:ZG→R dada po ′(Px∈Gm(x)x) = Px∈Gm(x) (x) es el único homomo smo de anillos al que ′i= . Denición 3.3. Un G - módulo a la izquie da es un g upo abeliano M jun o con un homo- mo smo de g upos σ:G→Au (M) . Deno a emos σ(x)(m) po x·m o simplemen e po x m . Po la p opiedad uni e sal de ZG la exis encia de σ:G→Au (M) es equi alen e a 39 40 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS la exis encia de un homomo smo de anillos ¯σ:ZG→End(M) , es deci , a la exis encia de una es uc u a de ZG -módulo en M dada po (X x∈G axx)m= ¯σ(X x∈G axx)(m) = X x∈G axx m. Se llama g upo opues o de G y se deno a po Gop al g upo cuyos elemen os son los de G pe o con mul iplicación ∗ dada po x∗y=y x . Un G -módulo a la de echa es un g upo abeliano M jun o con un homomo smo de g upos σ:Gop →Au (M) . Deno a emos σ(x)(m) po a·m o po m x . Lo mismo que en el caso de los G -módulos a la izquie da, un G -módulo a la de echa M es un ZG -módulo a la de echa donde la acción de ZG sob e M es á dada po : m(X x∈G axx) = X x∈G axm x. Decimos que M es un G -módulo a la izquie da ( esp. de echa) i ial si, x m =m ( esp. m x =m ), pa a odo x∈G y m∈M . Todo g upo abeliano se puede conside a como un G -módulo a la izquie da o a la de echa i ial. Denición 3.4. Se llama ideal aumen ación de G y se deno a po IG al núcleo del ho- momo smo de anillos ϵ:ZG→Z , dado po ϵ(Px∈Gaxx) = Px∈Gax . La aplicación ϵ se llama aplicación aumen ación . Lema 3.5. (1) Como g upo abeliano IG es lib e sob e el conjun o T={x−1|1=x∈G} . (2) Si G es á gene ado po el conjun o S , en onces S−1 = {s−1|s∈S} gene a IG como G -módulo. Demos ación. (1) Cla amen e, el conjun o T es linealmen e independien e. Se iene que demos a en onces que T gene a IG . Si Px∈Gm(x)x∈IG , en onces Px∈Gm(x)=0 . Po lo an o Px∈Gm(x)x=Px∈Gm(x)(x−1) . (2) Es sucien e con demos a que si x∈G , en onces x−1 pe enece al módulo gene ado po S−1 . Dado que xy −1 = x(y−1) + (x−1), x−1−1 = −x−1(x−1), el esul ado se sigue de que odo elemen o de x∈G es de la o ma s±1 1s±1 2. . . s±1 k, si∈S . P oposición 3.6. (1) Si H es un subg upo de G , en onces ZG es un ZH -módulo a la de echa (o izquie da) lib e. (2) Todo G -módulo p oyec i o es un H -módulo p oyec i o. 3.2. HOMOLOGÍA DE UN GRUPO 41 Demos ación. (1) Sea {xi}i∈I , xi∈G , un conjun o de ep esen an es de las clases a la de echa de H en G . Se iene que G=Fi∈IH xi . Veamos que {xi}i∈I es una base de ZG como ZH -módulo a la izquie da. pongamos x=hxxi , con hx∈H , pa a cada x∈G . Se iene X x∈G mxx=X i∈I (X x∈H xi mxhx)xi y po an o {xi}i∈I gene a ZG como ZH -módulo a la izquie da. Además, es linealmen e independien e pues o que X i∈I (X hi∈H ahihi)xi= 0 =⇒X i∈I, hi∈H ahihixi= 0 =⇒ahi= 0,∀hi∈H, ∀i∈I, implica que Phi∈Hahihi= 0 , pa a odo i∈I . (2) Sea P un R -módulo p oyec i o. Po la p oposición 1.38, P es un sumando di ec o de un G -módulo lib e, es deci exis e un R -módulo M al que P⊕M∼ =LZG . Po (1) PMM∼ =MZG∼ =MZH. y po la p oposición 1.38, P es un H -módulo p oyec i o. 3.2. Homología de un g upo Si M es un G -módulo a la de echa y N es un G -módulo a la izquie da deno a emos los g upos abelianos M⊗ZGN y To ZG n(M, N) po M⊗GN y To G n(M, N) , espec i amen e. Deno a emos po M⊗N el g upo abeliano M⊗ZN . Denición 3.7. Sea M un G -módulo a la de echa. Se llama n -ésimo g upo de homología de G con coecien es en M al g upo abeliano Hn(G, M) = To G n(M, Z), En es a denición Z se conside a un G -módulo i ial. El un o Hn(G, −) es un un o co a ian e. Podemos calcula lo, omando una esolu- ción p oyec i a Q de Z y calculando la homología del complejo M⊗G Q , o omando una esolución p oyec i a P de M y calculando la homomogía de P ⊗GZ . No ación 3.8 . Deno a emos po G∗ la ca ego ía cuyos obje os son pa es (G, M) donde G es un g upo y M es un G -módulo a la de echa. Un mo smo de (G, M) a (G′, M′) es un pa ( , φ) , ( , φ): (G, M)→(G′, M′) , donde :G→G′ es un homomo smo de g upos y φ:M→U (M′) es un homomo smo de G -módulos. 48 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS Teo ema 3.23. Sea Ck un g upo cíclico de o den k con gene ado τ y M es un Ck -módulo a la de echa. Se iene Hn(Ck, M)∼ =          M/M(τ−1), pa a n= 0 {m∈M|m τ =m}/M N, pa a n= 1,3,5,7, . . . {m∈M|mN= 0}/M(τ−1) pa a n= 2,4,6,8, . . . Demos ación. Aplicando el un o M⊗G(−) a la esolución (⋆) de Z y eniendo en cuen a que M⊗GZG∼ =M , se iene el complejo · · · −→ MN −→ Mτ−1 −→ MN −→ Mτ−1 −→ M−→ 0 y calculando su homología se iene el esul ado. Co ola io 3.24. Si G={1} , en onces Hn(G, M)=0 , pa a odo G -módulo a la de echa M y pa a odo n > 0 . Demos ación. Es i ial. Co ola io 3.25. Sea Ck un g upo cíclico de o den k con gene ado τ . Si M es un CK - módulo a la de echa i ial, en onces Hn(Ck, M)∼ =          M, pa a n= 0 M/k M, pa a n= 1,3,5,7, . . . {m∈M|k m = 0}, pa a n= 2,4,6,8, . . . En pa icula , pa a m≥1 H0(Ck,Z)∼ =Z, H2m−1(Ck,Z)∼ =Z/kZ, H2m(Ck,Z)=0. Demos ación. Es i ial. Teo ema 3.26. Si C=⟨τ⟩ es un g upo cíclico inni o y M un C -módulo, se iene H0(C, M)∼ =M/M(τ−1), H1(C, M)∼ ={m∈M|m τ =m} Hn(C, M)=0, pa a n≥2 Demos ación. Dado que C es un g upo lib e con base {τ} , po el lema 3.5, IC es un C -módulo lib e sob e el conjun o {τ−1} y en onces la aplicación h:ZC→IC , dada po h(a) = (τ−1) a , pa a a∈ZC es un isomo smo de C -módulos. Se iene la esolución C -lib e de Z P :· · · −→ 0−→ ZCτ−1 −→ ZCϵ −→ Z−→ 0. 3.4. SUCESIONES EXACTAS DE CINCO TÉRMINOS 49 y Hn(C, M) = Hn(M⊗C P ) . El complejo M⊗C P es isomo o al complejo P ′:· · · −→ 0−→ Mτ−1 −→ Mϵ −→ 0. Calculando sus g upos de homología se ob iene el esul ado. 3.4. Sucesiones exac as de cinco é minos Lema 3.27. Si 1→Ni →Gp →Q→1 es una sucesión exac a co a de g upos, en onces Z⊗NZG∼ =ZQ como G -módulos a la de echa. Demos ación. Conside emos el homomo smo de g upos abelianos :Z⊗NZG−→ ZQ λ⊗X x∈G axx7→ X x∈G λ axp(x) Se iene que es un homomo smo de G -módulos a la de echa, donde Z⊗NZG es un G -módulo a la de echa con la acción (λ⊗Px∈Gaxx)·y=λ⊗Px∈Gaxx y y siendo ZQ un G -módulo a la de echa ía p . Si {xi}i∈I el conjun o de ep esen an es de las clases a la izquie da de N en G , se iene que Q={pxi|i∈I} . Po la p oposición 3.6, ZG es un N -módulo a la izquie da lib e sob e el conjun o {xi}i∈I . La aplicación in e sa de es la aplicación g:ZQ→Z⊗NZG , dada po g(Pi∈Ibip(xi)) = 1 ⊗Pi∈Ibixi , con bi∈Z , pa a odo i∈I . Lema 3.28. Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exac a co a de g upos y M un G -módulo a la izquie da. Se iene que To N n(Z, M)∼ =To G n(Z⊗NZG, M)∼ =To G n(ZQ, M) . Demos ación. Sea P una esolución G -p oyec i a de Z . Po la p oposición 3.6, P es una esolución N -p oyec i a de Z . Po el lema 3.27, Z⊗N P ∼ =Z⊗NZG⊗G P ∼ =ZQ⊗G P . Lema 3.29. Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exac a co a de g upos. Se iene la sucesión exac a de Q -módulos a la izquie da 0−→ Nab κ −→ ZQ⊗GIG ν −→ IQ −→ 0, donde κ(n[N, N]) = 1Q⊗(n−1) , pa a n∈N . Demos ación. Conside emos la sucesión exac a de G -módulos 0→IG ι →ZGϵ →Z→0 . Le aplicamos el un o ZQ⊗G− 0 = To 1 G(ZQ, ZG)−→ To 1 G(ZQ, Z)−→ ZQ⊗GIG 1⊗ι −→ ZQ⊗GZG1⊗ϵ −→ ZQ⊗GZ→0. 50 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS Po el lema 3.28, To G 1(ZQ, Z)∼ =To N 1(Z,Z) = H 1(N, Z) = Nab . La composición de las aplicaciones ZQα −→ ZQ⊗GZG ∼ 1⊗ϵ −→ ZQ⊗GZ≃ZQ⊗QZ β −→ Z ∼, donde α es el isomo smo dado po α(y) = y⊗1 , pa a y∈ZQ y β es el isomo smo dado po β(y⊗λ) = λ ϵ(y) , λ∈Z , es la aumen ación de ZQ . Así, se iene el esul ado. Pa a p oba que κ(n[N, N]) = 1Q⊗(n−1) calculamos To N 1(Z,Z) u ilizando la p e- sen ación N -lib e 0→IN →ZN→Z→0 y la p esen ación G -lib e (luego N -lib e) 0→IG →ZG→Z→0 . Se iene el diag ama conmu a i o 0 To N 1(Z,Z)Z⊗NIN Z⊗NZNZ⊗NZ0 0 To N 1(Z, Z)Z⊗NIG Z⊗NZGZ⊗NZ0 0 To G 1(ZQ, Z)ZQ⊗GIG ZQ⊗GZGZQ⊗GZ0 ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ Los homomo smos e icales en e la p ime a y segunda la y la conmu a i idad del diag ama o mado po las dos p ime as las se ob ienen de la o ma siguien e: Se conside a una esolución N -p oyec i a P de Z y una esolución G -p oyec i a P ′ de Z . Se iene una equi alencia de homo opía φ∗:P→P′ y se aplica la p oposición 2.13 al diag ama conmu a i o 0 P ⊗NIN P ⊗NZN P ⊗NZ0 0 P ′⊗NIG P ′⊗NZG P ′⊗NZ0 φ∗⊗Ii φ∗⊗Ziφ∗⊗1 Dado que los G -módulos a la de echa Z⊗NZG y ZQ son isomo os, la conmu a i idad del diag ama o mado po las dos úl imas las se sigue de la p oposición 2.26 (4) y el lema 3.28. El homomo smo de Q -módulos κ es la composición de las aplicaciones κ:Nab ∼ →To N 1(Z,Z)∼ →Z⊗NIN →Z⊗NIG ∼ →ZQ⊗GIG. La aplicación κ es inyec i a y κ(nN/[N, N]) = 1Q⊗(n−1) . Como consecuencia amos a p oba que la es uc u a de Q -módulo en Nab es á inducida po la conjugación en el g upo G , es deci y n[N, N]=(xnx−1) [N, N], 3.4. SUCESIONES EXACTAS DE CINCO TÉRMINOS 51 donde y=p(x) , x∈G y n∈N . Pa a p oba es o u ilizamos que κ es un homomo smo de Q -módulos. Así, κ(y n[N, N]) = y⊗(n−1) = 1 ⊗x(n−1) ∈ZQ⊗GIG. Pues o que que xnx−1∈N , se ob iene que 1⊗(xnx−1−1)(x−1) = 0 en ZQ⊗GIG . Así, 1⊗x(n−1) = 1 ⊗(xnx−1−1) = κ(xnx−1[N, N] . Como κ es una aplicación inyec i a, y n[N, N]=(xnx−1) [N, N] . Teo ema 3.30. (Sucesión exac a de cinco é minos) . Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exac a co a de g upos M un Q -módulo a la izquie da. Se iene la sucesión exac a (y na u al) H2(G.M)−→ H2(Q, M)−→ M⊗QNab −→ M⊗GIG −→ M⊗QIQ →0. Demos ación. Aplicando el un o M⊗Q− a la sucesión exac a 0−→ Nab κ −→ ZQ⊗GIG ν −→ IQ −→ 0, se iene la sucesión exac a To Q 1(M, ZQ⊗GIG)−→ To Q 1(M, IQ)−→M⊗QNab −→M⊗QZQ⊗GIG−→M⊗QIQ−→0. Se iene que M⊗QZQ⊗GIG ∼ =M⊗GIG . Dado que To Q 2(M, ZQ) = To Q 1(M, ZQ)=0 , se iene que H2(Q, M)∼ =To Q 1(M, IQ) . Así, enemos la sucesión exac a To Q 1(M, ZQ⊗GIG)−→ H2(Q, M)−→ M⊗QNab −→ M⊗GIG −→ M⊗QIQ −→ 0. Dado que H2(G, M)∼ =To G 1(M, IG) , pa a ob ene el esul ado es sucien e con encon a un homomo smo de g upos sup ayec i o To G 1(M, IG)−→ To Q 1(M, ZQ⊗GIG). Pa a encon a es e homomo smo conside emos una p esen ación Q -p oyec i a 0→L→ P→M→0 de M y le aplicamos los un o es − ⊗GIG y − ⊗Q(ZQ⊗GIG) . Tenemos el siguien e diag ama conmu a i o con las exac as To G 1(P, IG) To G 1(M, IG)L⊗GIG P ⊗GIG M ⊗GIG 0 0 To Q 1(M, ZQ⊗GIG)L⊗GIG P ⊗GIG M ⊗GIG 0 ρ 52 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS y el homomo smo buscado es la composición de los mo smos To G 1(M, IG)−→ ke ρ∼ −→ To Q 1(M, ZQ⊗GIG). Veamos la na u alidad. Conside emos el siguien e diag ama conmu a i o de g upos con las exac as: 1N G Q 1 1N′G′Q′1 i hg i′ p p′ h Se iene el diag ama conmu a i o de Q -módulos a la de echa: 0Nab ZQ⊗GIG IQ 0 0N′ ab ZQ′⊗G′IG′IQ′0 κ hab Z ⊗Ig κ′ ν ν′ I hab Sea M un Q -módulo a la de echa y M′ un Q′ -módulo a la izquie da y φ:M→U (M′) un homomo smo de Q -módulos. Sea P una esolución p oyec i a de Q -módulos de M y P′ una esolución p oyec i a de Q′ -módulos de M′ y φ∗:P→U (P′) un homomo smo de complejos de Q -módulos que ex iende a φ:M→U (M′) . Conside emos el diag ama conmu a i o de complejos de g upos abelianos con las exac as 0P⊗QNab P⊗QZQ⊗GIG P⊗QIQ 0 0P′⊗Q′N′ ab P′⊗Q′ZQ′⊗G′IG′P′⊗Q′IQ′0 1⊗κ φ∗⊗hab φ∗⊗Z ⊗Ig 1⊗κ′ 1⊗ν 1⊗ν′ φ∗⊗I Aplicando la p oposición 2.13, se ob iene el diag ama conmu a i o de g upos abelianos To G 1(M, ZQ⊗GIG) To Q 1(M, IQ)M⊗QNab M⊗QZQ⊗GIG M ⊗QIQ 0 To G 1(M′,ZQ′⊗G′IG′) To Q′ 1(M′, IQ′)M⊗Q′N′ ab M′⊗Q′ZQ′⊗G′IG′M′⊗Q′IQ′0 y con inuando con es e ipo de azonamien os se ob iene el esul ado. P oposición 3.31. Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exac a co a de g upos y sea M un Q -módulo a la de echa. Se iene la sucesión exac a (y na u al) H2(G.M)−→ H2(Q, M)−→ M⊗QNab −→ H1(G, M)−→ H1(Q, M)→0 3.5. H2(G, M) Y SERIES CENTRALES DESCENDENTES 53 Demos ación. Conside emos el siguien e diag ama conmu a i o con las y columnas exac as 0 0 H1(G, M)H1(Q, M) M⊗QNab M⊗GIG M ⊗QIQ 0 M⊗GZG M ⊗QZQ M⊗GZM⊗QZ 0 0 ν H1(p, 1M) µ κ∗1⊗Ip 1⊗ιG 1⊗ϵG 1⊗ιQ 1⊗ϵQ g Po el lema de los es se iene un isomo smo ke (1 ⊗ϵG)∼ −→ ke (1 ⊗ϵQ) , y po el lema de la se pien e, H1(p, 1M) es un homomo smo sup ayec i o. Dado que (1 ⊗ιG)◦κ∗= (1 ⊗ιQ)◦(1 ⊗Ip)◦κ∗= 0 , exis e un homomo smo g:M⊗QNab →H1(G, M) al que ν◦g=κ∗ . Veamos que im g= ke H1(p, 1M) . Dado que µ◦H1(p, 1M)◦g= (1⊗Ip)◦κ∗= 0 , po se µ inyec i a, se iene que H1(p, 1M)◦g= 0 . Así, im g⊂ke H1(p, 1M) . Veamos que ke H1(p, 1M)⊂im g . Sea m∈ke H1(p, 1M) . Se iene que 0=(µ◦H1(p, 1M)(m) = (1 ⊗Ip)(ν(m)) y en onces exis e z∈M⊗QNab al que κ∗(z) = ν(m) . Dado que ν(g(z)) = κ∗(z) = ν(m) , se iene que g(z) = m . Así, m∈im g . 3.5. H2(G, M) y se ies cen ales descenden es Lema 3.32. Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exac a de g upos. Se iene Z⊗QNab ∼ =N/[G, N]. Demos ación. Z⊗QNab es isomo o al cocien e del g upo abeliano Z⊗Nab po el subg upo gene ado po los elemen os y n[N, N])⊗λ−λ y⊗n[N, N] , donde λ∈Z , y∈Q , n∈N . Dado que Z⊗ZNab ⊗Z∼ =Nab , se iene que Z⊗QNab es isomo o al cocien e del g upo abeliano Nab po el subg upo gene ado po los elemen os y n[N, N]) −n[N, N] = xnx−1[N, N]− n[N, N] = xnx−1n−1[N, N] , donde x∈G y p(x) = y . Así, Z⊗QNab ∼ =N [G, N], 54 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE GRUPOS donde [G, N] es el subg upo de G gene ado po los elemen os xnx−1n−1 , x∈G , n∈N . Co ola io 3.33. Sea 1→Ni →Gp →Q→1 una sucesión exac a de g upos. Se iene la sucesión exac a (y na u al) H2(G, Z)−→ H2(Q, Z)−→ N/[G, N]−→ Gab −→ Qab →0. Demos ación. Se sigue de la p oposición 3.31 y del lema 3.32. Teo ema 3.34. (Fó mula de Ho p) Sea 1→R→F→G→1 una sucesión exac a de g upos con F lib e. Se iene H2(G, Z)∼ =R∩[F, F ]/[F, R]. Demos ación. Conside emos la sucesión exac a H2(F, Z)−→ H2(G, Z)−→ R/[F, R]−→ Fab −→ Gab →0. Po el co ola io 3.20, H2(F, Z)=0 . Así, H2(G, Z) = ke {R/[F, R]−→ Fab}∼ =R∩[F, F ]/[F, R]. Obse ación 3.35 . Como consecuencia de la ó mula de Hop , se iene que el g upo abeliano R∩[F, F ]/[F, R] no depende de la p esen ación lib e de G conside ada. Denición 3.36. Sea G un g upo. Se llama se ie cen al in e io de G a la sucesión de subg upos {Gn}n∈N , donde G0=G , Gn+1 = [G, Gn] , pa a n≥0 . G⊃G1⊃G2⊃ · · · ⊃ Gn⊃Gn+1 ⊃ · · · Se dice que un g upo G es nilpo en e de clase ≤n , si Gn={1} . Los subg upos Gn son no males en G y los cocien es Gn/Gn+1 son abelianos. Si :G→H es un homomo smo de g upos, en onces induce homomo smos de g upos de Gn en Hn , pa a odo n≥0 . Teo ema 3.37. Si :G→H es un homomo smo de g upos al que el homomo smo inducido ab :Gab →Hab es un isomo smo y H2( , 1Z): H2(G, Z)→H2(H, Z) es un homomo smo sup ayec i o, en onces induce isomo smos n:G/Gn→H/Hn, n ≥0. Demos ación. Razona emos po inducción sob e n . Pa a n= 0,1 , es i ial. Supongamos el esul ado cie o pa a n≥1 . Veamos que es cie o pa a n≥2 . Conside emos el diag ama conmu a i o cuyas las son sucesiones exac as co as de g upos 3.5. H2(G, M) Y SERIES CENTRALES DESCENDENTES 55 1Gn−1G G/Gn−11 1Hn−1H H/Hn−11 i i′ p p′ n−1 Po la na u alidad de la sucesión del co ola io 3.33, se iene el siguien e diag ama conmu a i o donde las las son sucesiones exac as: H2(G, Z)H2(G/Gn−1,Z)Gn−1/GnGab (G/Gn−1)ab 0 H2(H, Z)H2(H/Hn−1,Z)Hn−1/HnHab (H/Hn−1)ab 0 H2( , 1Z)H2( n−1,1Z)h ab ( n−1)ab Po hipó esis, el mo smo H2( , 1Z) es sob eyec i o y ab es un isomo smo. Los mo smos H2( n−1,1Z) y ( n−1)ab son isomo smos, po hipó esis de inducción. Po el lema de los cinco (lema 1.19), dado que H2( , 1Z) es sob eyec i o, H2( n−1,1Z) , ab y ( n−1)ab son isomo smos, h es un isomo smo. Conside emos el diag ama 0Gn−1/GnG/GnG/Gn−10 0Hn−1/HnH/HnH/Hn−10 h n n−1 Como h y n−1 son isomo smos, po el lema de los es, n es un isomo smo. Co ola io 3.38. Sea :G→H un homomo smo de g upos al que el homomo smo inducido ab :Gab →Hab es un isomo smo y H2( , 1Z): H2(G, Z)→H2(H, Z) es un homomo smo sup ayec i o. Si G y H son nilpo en es, en onces es un isomo smo. Demos ación. Po se G y H nilpo en es, exis e n≥0 al que Gn= 0 y Hn= 0 . El esul ado se sigue del lema an e io . algo Bibliog a ía [1] Bou baki H. Algèb e Homologique Ch. X o Algèb e, Mason Publ., Pa is, 1980. [2] Ca an, H. and Eilenbe g S., Homological Algeb a , P incen on Uni e si y P ess, P in- cen on, 1956. [3] Hil on, P. J. and S ammbach, U. A., A cou se in homological algeb a , 2nd ed., G a- dua e Tex s in Ma hema ics, 4, Sp inge -Ve lag, New Yo k, 1997. [4] MacLane, S. 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