Aplicacións lineais

Vicerreitoría de eStUdaNteS, cUltUra e ForMaciÓN coNtiNUa Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Matemáticas Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial Celso Rodríguez Fernández José Manuel Fernández Vilaboa 4 Aplicacións lineais 9788498 879544 Departamento de Álxebra Facultade de Matemáticas Aplicacións lineais 4 Celso Rodríguez Fernández José Manuel Fernández Vilaboa Departamento de Álxebra Facultade de Matemáticas ADVERTENCIA LEGAL: reservados todos os dereitos. Queda prohibida a duplicación, total ou parcial desta obra, en calquera forma ou por calquera medio (elec-trónico, mecánico, gravación, fotocopia ou outros) sen consentimento expreso por escrito dos editores. Dep. Legal: C 59-2013 ISBN 978-84-9887-954-4 © Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra atópase baixo unha licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0. Calquera forma de reprodución, distribución, comunicación pública ou transformación desta obra non incluída na licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0 só pode ser realizada coa autorización expresa dos titulares, salvo excepción prevista pola lei. Pode acceder Vde. ao texto completo da licenza nesta ligazón: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/legalcode.gl Deseño Unidixital Servizo de Edición Dixital da Universidade de Santiago de Compostea Edita Vicerreitoría de Estudantes, Cultura e Formación Continua da Universidade de Santiago de Compostela Servizo de Publicacións da Universidade de Santiago de Compostela Imprime Unidixital UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais - 3 MATERIA: Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial TITULACIÓN: Grao en Matemáticas PROGRAMA XERAL DO CURSO Localización da presente unidade didáctica Unidade 1. Sistemas de ecuacións lineais -Matrices. Operacións con matrices e propiedades. Matriz trasposta e matriz inversa. Operacións elementais dunha matriz. Matrices elementais. -Matrices equivalentes por filas e matrices equivalentes por columnas. -Sistemas de ecuacións lineais. Transformacións elementais dun sistema de ecuacións lineais. -Resolución de sistemas de ecuacións lineais: o método de Gauss. -Factorización LU dunha matriz. -Factorización dunha matriz invertible. Unidade 2. Determinantes e as súas aplicacións -Determinantes de orde 2 e 3. -Definición xeral de determinante: propiedades. -Determinante dun produto de matrices. -Determinante da matriz trasposta. -Cálculo de determinantes de orde n. -Inversa dunha matriz, regra de Cramer. -Rango dunha matriz. Unidade 3. Espazos vectoriais -Definición de espazo vectorial: exemplos. -Subespazos vectoriais. Intersección e suma de subespazos vectoriais. -Dependencia e independencia lineal. Sistemas de Xeradores. -Base e dimensión dun espazo vectorial. Coordenadas dun vector. -Subespazos vectoriais e solucións dun sistema homoxéneo. Ecuacións dun subespazo vectorial. Unidade 4. Aplicacións Lineais -Definición de aplicación lineal. Exemplos. -Núcleo e Imaxe dunha aplicación lineal. Aplicacións lineais inxectivas e sobrexectivas. -Matriz dunha aplicación lineal. -Cambio de base para aplicacións lineais. -Aplicacións Lineais e Sistemas de Ecuacións Lineais. Unidade 5. Introdución ó espazo afín -Variedades lineais. -Ecuacións lineais dunha variedade. -Posicións relativas de rectas no plano e de rectas e planos no espazo n-dimensional. UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais - 5 ÍNDICE Presentación ................................................................................. 7 Os obxectivos ............................................................................... 7 A metodoloxía ............................................................................... 8 Os contidos básicos ................................................................... 9 1. Introdución ...................................................................... 9 2. Definición de aplicación lineal. Exemplos ...................... 9 3. Núcleo e Imaxe dunha aplicación lineal Aplicacións lineais inxectivas e sobrexectivas ............. 10 4. Matriz dunha aplicación lineal ....................................... 12 5. Cambio de base para aplicacións lineais ..................... 14 6. Aplicacións Lineais e Sistemas de Ecuacións Lineais .. 15 Actividades propostas ................................................................. 18 Avaliación da U.D. ..................................................................... ... 18 Bibliografía ..................................................................... 19 UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais - 7 PRESENTACIÓN Esta unidade didáctica enmárcase dentro dos contidos relativos á materia de Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial, de 6 créditos ECTS impartida no segundo semestre do primeiro curso do Grao en Matemáticas e que pertence ó módulo de Álxebra e Xeometría. Os contidos de Álxebra Lineal, nos que se inclúe esta materia, son unha parte fundamental das ferramentas matemáticas necesarias para o estudo en moitas áreas, como as ciencias do comportamento, da natureza, físicas ou sociais, economía, enxeñaría ou informática e por suposto nas matemáticas. Esta materia é fundamental para una boa formación matemática. Está precedida da materia Linguaxe Matemática, Conxuntos e Números onde se introducen conceptos básicos das matemáticas, e resulta indispensable para poder abordar con éxito as materias Álxebra Lineal e Multilineal e Xeometría Lineal de segundo curso do grao en matemáticas. Nesta unidade estúdanse as aplicacións lineais entre dous espazos vectoriais de dimensión finita. O alumnado da materia de Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial teñen coñecemento das nocións básicas de aplicacións entre conxuntos, matrices, determinantes e resolución de sistemas. A finalidade desta unidade é a de presentar a estreita relación existente entre aplicacións lineais e matrices e, ó mesmo tempo, utilizar estes coñecementos para a resolución dos sistemas de ecuacións lineais. En concreto veremos que o estudo das aplicacións lineais redúcese ó estudo das matrices asociadas segundo dúas bases fixas nos dous espazos vectoriais. Á parte dos propios contidos matemáticos, esta unidade contribuirá ó desenvolvemento da capacidade de razoamento e da capacidade de formalización de demostracións matemáticas. OS OBXECTIVOS Os obxectivos que se pretenden cubrir nesta unidade didáctica son:  comprender a definición de aplicación lineal;  establecer a conexión entre núcleo dunha aplicación lineal e o seu carácter inxectivo;  establecer a relación entre imaxe dunha aplicación lineal e o seu carácter sobrexectivo;  que o alumno comprenda que unha aplicación lineal está determinada polas imaxes dos vectores dunha base;  clasificar os espazos vectoriais sobre un corpo, en función da súa dimensión;  expresar a relación entre aplicacións lineais e matrices respecto de bases fixadas;  que o alumno sexa capaz de relacionar as matrices asociadas a unha aplicación lineal segundo diferentes bases; 14 - UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais (IBB’) =               B' de respecto E de coord. .. .. .. .. .. .. .. .. B' de respecto E de coord. B' de respecto E de coord. n21 e               B' de respecto E de coord.. . . . . . . . . B' de respecto E de coord.. B' de respecto E de coord.. n21               B de respecto vde coord.. =               B' de respecto vde coord.. Nota Se B é unha base dun espazo vectorial V e consideramos I: V V entón (IBB) = I (sendo I a matriz identidade). Nota Se B e B’ son dúas bases do mesmo espazo vectorial V, entón (IBB’)(IB’B) = (IB’B’) = I (IB’B)( IBB’) = (IBB) = I e en consecuencia (IBB’) = (IB’B)-1 Proposición (matrices asociadas a unha aplicación lineal respecto a bases distintas). Se f: V W é unha aplicación lineal, B1 e B2 bases de V e B' 1 e B'2 bases de W, entón: (IB' 1B'2)(fB1B' 1)(IB2B1) = (fB2B'2) 6. Aplicacións Lineais e Sistemas de Ecuacións Lineais Definición Dado un sistema con matrices A =                 mnmm n n    .... .......... .......... .... .... 21 22221 11211 , B =                 mmnmm n n d d d    .... ............ ............ .... .... 21 222221 111211 como matriz de coeficientes e matriz ampliada, respectivamente, denominamos aplicación lineal asociada a dito sistema de ecuacións lineais á aplicación UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais - 15 f: Kn Km con (fCC’) = A, sendo C e C’ as bases canónicas de Kn e Km respectivamente. É dicir, se consideramos o sistema anterior e f é a súa aplicación lineal asociada, f: Kn Km con f(x1, x2, …, xn) = A                 n x x x .. .. 2 1 =                    nmn2m21m1 n2n222121 n1n212111 x ... x x .. .. x ... x x x ... x x    , entón a resolución do sistema é equivalente a calcular o conxunto f-1                 n d d d .. .. 2 1 =                          n x x x .. .. 2 1  n / f                 n x x x .. .. 2 1 = D =                          n d d d .. .. 2 1 Nota Se consideramos o sistema anterior e f é a súa aplicación lineal asociada, entón un elemento v0 = (x1, x2, …, xn)  Kn é solución do sistema si f(v0) = D. Proposición Se f: Kn Km é unha aplicación lineal con (fCC’) = A, sendo C e C’ as bases canónicas de Kn e Km, respectivamente, entón dim Ker f = n - rang A Proposición Consideramos un sistema homoxéneo con m ecuacións e n incógnitas 11x1 + 12x2 + ... + 1nxn = 0 21x1 + 22x2 + ... + 2nxn = 0 ................ m1x1 + m2x2 + ... + mnxn = 0 Se A é a matriz de coeficientes e rango(A) = r, entón as solucións do sistema dependen de n – r parámetros. 16 - UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais Proposición Se consideramos o sistema anterior e f é a súa aplicación lineal asociada, entón: i) Se v0  Kn é solución do sistema, v0 + v é solución do sistema, vKer f. ii) Se v0, v1  Kn son solucións do sistema,  v  Ker f / v1 = v0 + v. Corolario Se consideramos o sistema anterior e f é a súa aplicación lineal asociada e v0 é unha solución do sistema, entón o resto de solucións son da forma {solucións do sistema} = {v0 + v/ v  Ker f}. Proposición (Teorema de Rouche-Frobenius ) Se consideramos o sistema: 11x1 + 12x2 + ... + 1nxn = d1 21x1 + 22x2 + ... + 2nxn = d2 ................ m1x1 + m2x2 + ... + mnxn = dm e denotamos por A a matriz de coeficientes e por B a matriz ampliada temos: 1) rang A < rang B  sistema incompatible. 2) rang A = rang B = n  sistema compatible determinado. 3) rang A = rang B < n  sistema compatible indeterminado. 4) Se o sistema é homoxéneo (di = 0, i = 1, ..., m), entón: i) rang A = n  a única solución é (0, ..., 0). ii) rang A < n  o sistema é indeterminado. Corolario Consideramos o sistema con m ecuacións e n incógnitas 11x1 + 12x2 + ... + 1nxn = d1 21x1 + 22x2 + ... + 2nxn = d2 ................ m1x1 + m2x2 + ... + mnxn = dm Se o sistema é compatible con rang(A) = rang(B) = r e v0 é unha solución do sistema, entón existen E1, E2, ..., En-r vectores de Kn linealmente independentes (todos eles solucións do sistema homoxéneo asociado) tal que as solucións do sistema veñen dadas por v = v0 + 1E1 + 2E2 + ... + n-rEn-r, i  K, i = 1, 2, ..., n-r. UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais - 17 ACTIVIDADES PROPOSTAS  Comprobación dos exemplos e realización dos exercicios propostos ó longo da Unidade.  Tamén se deberán resolver os exercicios propostos nun boletín con cuestións teóricas e prácticas.  Os alumnos poden resolver os exercicios de forma individual ou en grupo pero deben comprender os fundamentos e desenvolver as capacidades que lles permitan enfrontarse a exercicios de dificultade análoga.  Adicionalmente poderase realizar algunha proba curta. AVALIACIÓN DA U Esta Unidade Didáctica forma parte da materia Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial e a súa avaliación enmárcase no contexto global desa materia: Ó longo do curso requirirase do alumnado a resolución de exercicios correspondentes a cada unha das unidades e a participación activa nas clases de laboratorio e seminario. Ademais poderanse realizar probas escritas teórico-prácticas ó longo do cuadrimestre. A puntuación conxunta destas actividades (C) representará o 25% da nota final. O 75 % restante sairá do exame final (E). Este exame será escrito e conterá preguntas de teoría, cuestións teórico-prácticas e exercicios. Para superar a materia os estudantes deberán obter cando menos o 40% da nota do exame. Para o cómputo da cualificación final (F) terase en conta a avaliación continua (C) e a cualificación do exame final (E) e aplicarase a seguinte fórmula: F = max(E, 0,25*C + 0,75*E) NIDADE DID CTICAÁ 18 - UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións ineais BIBLIOGRAFÍA BURGOS, J. (2006): Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana. Madrid: McGraw Hill. CASTELLET, M.; LLERENA, I. (1991): Álgebra Lineal y Geometría. Barcelona: Reverté/UAB. HERNÁNDEZ, E., VÁZQUEZ, M.J., ZURRO, M.A. (2012): Álgebra lineal y Geometría. Madrid: Pearson. MERINO, L., SANTOS, E. Álgebra Lineal con métodos elementales. Madrid: Thomson. VILLA, A. (1994): Problemas de Álgebra. Madrid: CLAGSA-I.C.A.I. l Vicerreitoría de eStUdaNteS, cUltUra e ForMaciÓN coNtiNUa Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Matemáticas Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial Celso Rodríguez Fernández José Manuel Fernández Vilaboa 4 Aplicacións lineais 9788498 879544 Departamento de Álxebra Facultade de Matemáticas