¿Qué modelos de enseñanza-aprendizaje adoptan los profesores de Secundaria de Matemáticas? O, cómo los profesores han seguido haciendo lo de siempre pese a la Reforma

ISSN: 0212-5374 ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA Wha models o eaching-lea ning do Ma hs eache s o Seconda y Educa ion ake? O , how he eache s con inue making he same hings in spi e o he Re o m Quels modèles d'enseignemen -app en issage adop en les p o esseu s de Secondai e de Ma héma iques? Ou, comme les p o esseu s on sui i à ai e le même malg é la Re o me Au o a PLATA CASÁIS Doc o a en Ciencias de la Educación; P o eso a de Enseñanza Secunda ia. Ins i u o de Enseñanza Secunda ia «Xulián Maga iños» (A Co uña) Felipe TRILLO ALONSO Doc o en Ciencias de la Educación; P o eso Ti ula de Uni e sidad de Didác ica y O ganización Escola . Depa amen o de Didác ica y O ganización Escola Facul ad de Ciencias de la Educación BIBLID [0212 - 5374 (2001) 19; 307-324] Re . Bibl. AURORA PLATA CASÁIS y FELIPE TRILLO ALONSO. ¿Qué modelos de enseñanza-ap endizaje adop an los p o eso es de Secunda ia de Ma emá icas? O cómo los p o eso es han seguido haciendo lo de siemp e pese a la Re o ma. Ense- ñanza, 19, 2001, 307-324. © Ediciones Uni e sidad de Salamanca Enseñanza, 19, 2001, pp. 307-324 308 AURORA PLATA CASÁIS Y FELIPE TRILLO ALONSO ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA RESUMEN: Nues o in e és se o ien a a conoce cómo los p o eso es en ienden la enseñanza, cuáles son sus concepciones sob e las ma emá icas y sob e el modo como ap enden los alumnos, cómo en ienden la e aluación y cuál es la opinión que ienen sob e su p opia p ác ica. Pa a la ecogida de in o mación plan eamos una en e is a a 21 p o eso es de cen os públicos de la ciudad de San iago de Compos ela. Nues a in e p e ación de los da os a oja es e esul ado mayo i a io: 1. Concepción de las ma emá icas y sus consecuencias en el p og ama: des aca la escasa a ención que los p o eso es dedican a la e lexión ace ca del signi- icado de las ma emá icas y su apo ación especí ica a la o mación de los es udian es. 2. Sob e la esolución de p oblemas: des aca su mani ies a con adicción, des- conside ación e incluso oposición espec o a es a opción didác ica. 3. Concepción de la enseñanza y el ap endizaje, y su p ác ica: des aca que «ense- ña es ansmi i in o mación y que ap ende es sabe hace los eje cicios». 4. Sob e la e aluación del ap endizaje: des aca que la e aluación es sinónimo de examen y de cali icación pa a selecciona al es udian e (único esponsa- ble de su acaso). Pe o más allá de es o, el abajo in o ma ambién sob e cuáles son los modelos de enseñanza-ap endizaje subyacen es. Como conclusión adical: p ác icamen e nada de lo que p opone el DCB del MEC pa a la enseñanza-ap endizaje de las ma emá icas en Secunda ia, ha calado en las con- ciencias y en los usos de la mayo pa e de los p o eso es que hemos en e is ado. Palab as cla e. Concepción de las ma emá icas, esolución de p oblemas, con- cepción de la enseñanza y el ap endizaje, e aluación del ap endizaje. SUMMARY: Ou in e es is di ec ed o know how eache s unde s and educa ion, how hei unde s anding o Ma hs and he way s uden s lea n a e, how e alua ion is unde s ood and wha he opinion abou hei own p ac ice is. An in e iew o 21 eache s om public cen es in he own o San iago de Compos ela was pu o wa d o collec in o ma ion. The esul s o ou in e p e a ion o he da es we e as ollows: 1. Unde s anding o Ma hs and i s consecuences in he p og am: i emphasizes he lack o a en ion ha eache s dedica e o he e lec ion abou he meaning o Ma hs and i s speci ic con ibu ion o he educa ion o he s uden s. 2. Abou p oblem sol ing: i s esses i s e iden con adic ions, hough lessness and e en oposi ion wi h espec o his didac ic op ion. 3. Concep ion o eaching and lea ning and i s p ac ice: i emphasizes ha « eaching is ansmi ing in o ma ion and lea ning is knowing how o do he exe cises». 4. Abou lea ning e alua ion: i s esses ha e alua ion is a synonymous wi h examina ion and ma ks o selec he s uden s ( he only esponsible o i s ailu e). Bu beyond hese poin s, his wo k also in o ms abou how he unde lying models o eaching-lea ning a e. © Ediciones Uni e sidad de Salamanca Enseñanza, 19, 2001, pp. 307-324 AURORA PLATA CASÁIS Y FELIPE TRILLO ALONSO 309 ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA As a adical conclusion: p ac ically no hing o wha he DCB om MEC sugges s o eaching-lea ning o Ma hs in seconda y educa ion has made a deep imp ession on he consciousness and he uses o he mos o eache s ha we ha e in e iewed. Key wo ds: Unde s anding o Ma hs, p oblem sol ing, concep ion o eaching and lea ning, lea ning e alua ion. RÉSUMÉ: L'o ien a ion de no e in é ê es de sa oi commen les p o esseu s com- p ennen l'enseignemen , quelles son leu s concep ions su les ma héma iques e su la maniè e don app ennen les élè es, commen ils comp ennen l'é alua ion e quelle es l'opinion qu'ils on de leu p op e p a ique. Pou ecueilli l'in o ma ion nous a ons o ganisé une en e ue a ec 21 p o es- seu s d'é ablissemen s publics de la ille de San iago de Compos ela. No e in e p é a ion des données ai appa aî e se ésul a majo i ai e: 1. Concep ion des ma héma iques e de leu s conséquences dans le p o- g amme: il en esso la aible a en ion que les p o esseu s consac en à la é lexion su la signi ica ion des ma héma iques e leu appo a ion spéci i- que à la o ma ion des é udian s. 2. Su la ésolu ion de p oblèmes: il en esso leu con adic ion mani es e, leu déconsidé a ion e même leu opposi ion quan à ce e op ion didac ique. 3. Concep ion de l'enseignemen e de l'app en issage, e de leu p a ique: il en esso «enseigne es ansme e de l'in o ma ion e app end e es sa oi ai e les exe cices». 4. Su l'é alua ion de l'app en issage: il en esso que l'é alua ion es synonyme d'examen e de quali ica ion pou sélec ionne l'é udian (unique esponsable de son échec). Mais au-delà de cela, le a ail in o me aussi su quels son les modèles d'en- seignemen -app en issage sous-jacen s. Comme conclusion adicale: p a iquemen ien de ce que p opose le DCB du MEC pou l'enseignemen -app en issage des ma héma iques dans le secondai e, ne s'es imposé dans les consciences e dans les usages de la majo i é des p o esseu s que nous a ons in e ogés. Mo s clés-. Concep ion des ma héma iques, ésolu ion de p oblèmes, concep ion de l'enseignemen e de l'app en issage, l'é alua ion de l'app en issage. Las conclusiones que p esen amos en es e a ículo o man pa e de una in es i- gación más amplia (Pla a, 1998), que u o po obje o conoce y comp ende cómo los alumnos abo dan las a eas de ap endizaje en el á ea de ma emá icas, desde el supues o de que su singula mane a de hace lo iene condicionada po di e sos aspec os del con ex o educa i o en el que habi an y, en especial, po el papel desem- peñado po el p o eso en an o que mediado del ap endizaje, es o es, como es- ponsable en de ini i a de o ganiza y plani ica las ac i idades que ealizan los alumnos, gene ando a un iempo un pa icula clima de aula. © Ediciones Uni e sidad de Salamanca Enseñanza, 19, 2001, pp. 307-324 310 AURORA PLATA CASÁIS Y FELIPE TRILLO ALONSO ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA 1. CÓMO PIENSA EL PROFESOR, NO ES CUESTIÓN QUE PUEDA DEJARNOS INDIFERENTES Nos inco po amos así, a una sólida adición de in es igación que sos iene que lo que piensa el p o eso sob e la educación, cómo concibe la ma e ia que enseña y su á ea de conocimien o, cómo en iende la enseñanza y el ap endizaje de la misma, y cómo pe cibe y alo a a sus alumnos, son elemen os cla es pa a pode in e p e a y en ende lo que los p o eso es hacemos en las aulas, y pa a com- p ende cómo medimos el ap endizaje de los alumnos (Cla k y Pe e son, 1990; Rombe g y Ca pen e , 1986; Shulman, 1989). En es a línea, la in luencia en conc e o que ienen las concepciones de los p o- eso es sob e y pa a la enseñanza de las ma emá icas ambién es á ampliamen e econocida (G an , 1984; E nes , 1989; He sh, 1986; Kesle , 1985; Kush, 1980; Le - man, 1994; Thompson, 1982, 1984, 1992). Pues como sos iene E nes (1988), po ejemplo, aun econociendo que es impo an e el conocimien o de las ma emá icas po sí mismo no es SLi icien e pa a explica las di e encias exis en es en la p ác ica de los p o eso es de ma emá icas, que él a ibuye a: un pa icula sis ema de c een- cias sob e las ma emá icas y su enseñanza-ap endizaje; los limi es y posibilidades del con ex o ins i ucional donde se impa en; y los p ocesos de e lexión del p o eso . Siendo así, ales concepciones sob e la na u aleza de las ma emá icas pueden p esen a se como c eencias conscien es o inconscien es; como concep os, signi i- cados, eglas, imágenes men ales y p e e encias en cuan o a la disciplina. Cons i- uyendo, de hecho, los udimen os de una cie a iloso ía de las ma emá icas que los p o eso es man ienen, aun muchas eces de o ma no a iculada y cohe en e. De ahí nues o in e és po des ela las, como p ime paso pa a do a las de acio- nalidad. En es a di ección, Luis Rico (1990), sin duda, ha sido uno de los in es igado- es que más y mejo es apo aciones ha ealizado y ealiza al espec o; así, po ejem- plo, iden i ica como pensamien os más comunes de los p o eso es sob e las ma emá icas escola es el conside a las: un conjun o de écnicas que deben domi- na se y con ola se; un cue po de conocimien os pa a ap ende ; un lenguaje que u iliza una no ación pa icula ; el es udio de la es uc u a lógica que la sus en a; un juego pa icula y a i icial al que juegan los ma emá icos; la cons ucción de mode- los ú iles pa a la ciencia; los p ocedimien os de cálculo pa a su aplicación p ác ica. Todas ellas, po o a pa e, o mas de en ende las ma emá icas pe ec amen e asumibles como ac i idad ma emá ica, pues cada una cuen a con un peso p opio y es capaz de cub i di e en es necesidades. De al modo que el p oblema su ge sólo cuando son conside adas de o ma excluyeme y se des aca o impone una sola o ma de en ende las po encima de las o as, lo que aca ea en nues a opinión una isión simpli icada y empob ecedo a de las mismas. Pues bien, al educcionismo no es sólo una posibilidad eó ica sino una ea- lidad escola en nues os días que ha p o ocado una disyun i a en la enseñanza de las ma emá icas en e aquellos que se inclinan a conside a la como p oduc o y aquellos que la en ienden sob e odo como p oceso. Y es que, en e ec o, a la ho a © Ediciones Uni e sidad de Salamanca Enseñanza, 19, 2001, pp. 307-324 AURORA PLATA CASÁIS Y FELIPE TRILLO ALONSO 311 ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA de enseña las una de las o mas de en ende las ma emá icas es concebi las como «un p oduc o manu ac u ado», ya elabo ado y p esen ado en piezas bien es ableci- das. De al mane a que el con enido ma emá ico pa a es a o ma de en ende las queda con igu ado po las de iniciones, las p opiedades y los enunciados y demos- aciones de los eo emas, de los que se enseña undamen almen e la a gumen a- ción lógica que explica la elación que man ienen en e sí las di e en es pa es de un enunciado o es a egia, y que habi ualmen e son ap endidos median e su memo ización. Po supues o, en e a es a posición se si úa la que conside a a las ma emá icas como «p oceso», donde lo impo an e no es la can idad de in o ma- ción ma emá ica que una pe sona conoce sino los di e en es usos que puede hace de la in o mación (Coob, 1988; Da is, 1992; Dossey, 1992). Na u almen e, la p egun a obligada nos inci a a sabe cuál de las dos enden- cias esul a hegemónica en la ac ualidad. 2. ALGUNAS DE LAS CONCEPCIONES POSIBLES DE LOS PROFESORES DE MATEMÁTICAS EN LA SITUACIÓN ACTUAL Pa a noso os no pa ece habe dudas espec o a que la expe iencia escola consag a una idea de «sabe ma emá icas» como algo que consis e p incipalmen e en eco da y aplica las eglas co ec as. Así, hace ma emá icas signi ica segui las eglas dadas po el p o eso o el lib o de ex o, y sabe ma emá icas es se capaz de da la espues a co ec a. No obs an e, aun siendo lo an e io lo que mejo de ine la endencia más ex endida en la p ác ica, es p eciso econoce que ambién exis e un amplio con- senso en el campo de la educación ma emá ica en o no a una concepción «diná- mica» de las ma emá icas, donde los p ocesos de elabo ación ienen un papel ele an e y con igu an la esencia del conocimien o ma emá ico. Aho a bien, en nues a opinión, es a o a endencia que coloca el én asis en el «sabe hace » más que en el «sabe decla a » y que hace de la esolución de p oblemas la ac i idad cen al de la enseñanza-ap endizaje de las ma emá icas, es á más p esen e de hecho en las p opues as cu icula es, incluso de di e en es países, que en su desa ollo; o lo que es lo mismo, que pe enece, po an o, más al «debe se » que a la ealidad, sin nega po ello que algunos p o eso es, aunque segu amen e pocos, oda ía abajan así o po lo menos lo in en an (Be mejo, 1993; E nes , 1992; Yackel, 1995). En cualquie caso, al ez lo más in e esan e de es a con on ación desde la pe spec i a de la inno ación educa i a es que, aun sin nega la hegemonía ac ual de la p ime a endencia, lo cie o es que es a dialéc ica ha gene ado un e ce a que, de mane a gene al, in eg a ía a odos aquellos p o eso es que sien en la necesidad del cambio y que, de hecho, pa ecen iden i ica se con la segunda de las endencias ci adas, pues es án dispues os a conside a la enseñanza de las ma e- má icas como una ac i idad en la que es p eciso implica a los es udian es en la búsqueda de es a egias pa a a on a la esolución de si uaciones p oblemá icas; © Ediciones Uni e sidad de Salamanca Enseñanza, 19, 2001, pp. 307-324 312 AURORA PLATA CASÁIS Y FELIPE TRILLO ALONSO ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA sólo que, lo que les di e encia de la segunda endencia es que cuan o más se ap o- ximan a ella más c ecen sus p oblemas docen es como consecuencia de las innú- me as di icul ades de i adas de las condiciones ins i ucionales que habi an; po ejemplo: la can idad de con enido que necesi an abaja pa a ga an iza el pos e io éxi o escola ; la escasez de ma e iales con esa o ien ación más abie a; el choque en e el iempo necesa io pa a desa olla a eas exigen es y la igidez ho a ia po ma e ia; la p opia di icul ad pa a in e p e a es e modelo y pa a pone en p ác ica las nue as o ien aciones del cu iculum; y, inalmen e, el echazo que (p o ocado po una expe iencia escola an e io ) muchos es udian es o ecen a un ap endizaje más au ónomo y en el que se ienen que implica de o ma más in ensa y p o unda, po cuan o exige ambién un mayo es ue zo cogni i o que el p opio de unas ma e- má icas basadas en eglas pa a memo iza y aplica de o ma u ina ia. Aho a bien, sin duda los desa íos que es o plan ea a la e lexión didác ica ie- nen que e , sob e odo, con el modo como es as endencias se gene an y con la o ma como se exp esan ambién. Respec o a lo p ime o, po ejemplo, exis e un amplio acue do en o no a que an o la o mación inicial como los p ime os años de expe iencia p o esional son de e minan es de la p ác ica docen e (Ball, 1988; Bush, 1983; Luna es y Sánchez, 1990 a y b), eco dando en onces de qué mane a domina- ban la Facul ad de Ma emá icas cie os ai es « o malis as», y has a qué pun o la u ina de los eje cicios (que no p oblemas, e incluso a menudo plan eados sólo pa a man- ene ocupados a los es udian es) eclipsaban cualquie o a al e na i a de enseñanza en los p ime os años de docencia. En cuan o a lo segundo, es comúnmen e acep- ado que ales endencias man enidas po los p o eso es -y especialmen e la p ime a pues las o as eclaman cie o posicionamien o p e io-, son habi ualmen e ansmi- idas en la escuela de mane a inconscien e, es o es, de modo no in encional, no deli- be ado y no sis emá ico, o sea, de o ma o almen e con a ia a como exigi ía una enseñanza undada didác icamen e. De aquí, que el in e és y la ele ancia del ema que nos ocupa se p oyec e especí icamen e en la a ea de al e a concepciones p o- undamen e en aizadas y man enidas du an e iempo, en lo que esul a se un p o- blema impo an e pa a la o mación de p o eso es de ma emá icas que, además, necesi a se abo dado con cie a u gencia. 3. NUESTRO ESTUDIO SOBRE MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LOS PROFESORES An e la si uación expues a, en onces, nues o in e és se o ien a a conoce cómo los p o eso es en ienden la enseñanza, cuáles son sus concepciones sob e las ma e- má icas y sob e cómo ap enden los alumnos, cómo en ienden la e aluación y cuál es la opinión que ienen sob e su p opia p ác ica, iden i icando en es e sen ido si es cohe en e o no con lo que ellos piensan que debe ía se , y odo ello al obje o de des ela sus posibles con adicciones si las hubie a (Ba be a, 1995; Beni o Gómez, 1992; Callejo, 1996; Fennema y Loe , 1992; Na ional Council, 1991; Pe e son e al, 1991; Rico, 1997; Schoen eld, 1985 a y b, 1992; T illo e al., 1996, 1997). © Ediciones Uni e sidad de Salamanca Enseñanza, 19, 2001, pp. 307-324 AURORA PLATA CASÁIS Y FELIPE TRILLO ALONSO 313 ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA U ilizamos la en e is a como es a egia pa a la ecogida de in o mación. A pa i de las di e sas uen es consul adas la a iculamos en cinco dimensiones o emas que, desde nues o pun o de is a, esumen bien el conjun o de elemen os que con igu an el p oceso de enseñanza-ap endizaje de las ma emá icas: (1) aspec- os gene ales elacionados con el p og ama; (2) concepciones sob e las ma emá i- cas, su alo o ma i o y la esolución de p oblemas; (3) la concepción sob e la enseñanza-ap endizaje; (4) la mane a conc e a de desen ol e su p ác ica; y, (5) cómo en ienden la e aluación. T as di e sas edacciones y p uebas inalmen e la en e is a quedó con igu- ada po esas 5 dimensiones de análisis en las que se a iculan 51 p egun as que plan eamos a una mues a de 21 p o eso es de cen os públicos de la ciudad de San iago de Compos ela, dis ibuidos como se indica a con inuación: Cen os I. Bachille a o LE. Secunda ia I.F. P o esional To al Ns ó i l 8 Ni eles 2SBUP 4QESO 4eESO - G upos 16 4 2 22 NQ Alumnos 523 101 48 672 Ns P o eso es 16 3 2 21 3.1. Análisis de los esul ados La desc ipción que p esen amos a con inuación exp esa lo mani es ado po el conjun o de p o eso es en e is ados. Ad ié ase, en cualquie caso, que no odos se p onuncia on sob e odas las cues iones que les plan eamos y de ahí que no siemp e nos e i amos a la opinión de los ein iuno. Is Dimensión de análisis: aspec os gene ales elacionados con el p og ama: a) Sob e el p og ama seguido.- Sólo dos de los ein iún p o eso es indican que elabo an el p og ama de o ma pe sonal y con adap aciones especí icas a sus alumnos. Diez p o eso es siguen el p og ama o icial, ya sea és e el de Secunda ia Obliga o ia o el del Bachille a o. Cua o siguen di ec amen e el lib o de ex o ele- gido según su o den, emas y ac i idades o eje cicios. Y, inalmen e, cinco p o e- so es indican que el p og ama que siguen es uno elabo ado en su Cen o que ecoge alguna modi icación del p og ama o icial. b) En cuan o a la o ma de elabo ación.- Lo más ele an e es que son única- men e es los p o eso es que indican que hacen una elabo ación y adap ación pe - sonal. Once p o eso es indican que el p og ama es comen ado y discu ido de o ma colec i a en el conjun o del semina io o, cuando menos, en un pequeño g upo del mismo. Mien as que sie e econocen que u ilizan como única guía pa a sus p opues as el lib o de ex o. © Ediciones Uni e sidad de Salamanca Enseñanza, 19, 2001, pp. 307-324 314 . AURORA PLATA CASÁIS Y FELIPE TRILLO ALONSO ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA c) Sob e la in o mación que los alumnos eciben ace ca del p og ama.- Cabe deci que es p ác icamen e nula; únicamen e es de los p o eso es dedican a ención y iempo pa a que los alumnos conozcan los obje i os, las azones y el sen ido del p og ama. El es o de los p o eso es hacen un comen a io de ámi e al comienzo del cu so sob e el p og ama y el núme o de e aluaciones. Más conc e amen e, ade- más, seis de los ein iún p o eso es conside an que no es necesa ia una in o ma- ción especí ica a los alumnos, pues según ellos esul a su icien e con que conozcan el núme o de e aluaciones oda ez que el p og ama lo ienen en el lib o de ex o. d) Respec o al p og ama ecogido en el cen o.- Con ca ác e gene al, pues en es o coinciden diecinue e de los ein iún p o eso es, puede a i ma se que sólo se ecoge el índice de emas y el epa o de los mismos po e aluaciones. 2Q Dimensión de análisis: concepciones sob e las ma emá icas, su alo o ma i o y la esolución de p oblemas: a) Sob e la concepción de las ma emá icas.- Obse amos que doce de los ein iún p o eso es conside an las ma emá icas como un conjun o de eglas y p in- cipios de ca ác e o mal donde lo undamen al es la deducción, es o es, que se ali- nean en lo que Kuhs y Ball (1986) cali ican como concepción es á ica y o malis a. O os es p o eso es, po su pa e, conside an las ma emá icas como un conjun o de he amien as que los alumnos deben domina pa a pode aplica a di e en es si uaciones. Pa a cinco p o eso es, en cambio, las ma emá icas son una disciplina dinámica donde la ac i idad undamen al es la esolución de p oblemas y de ahí que sub ayen su ca ác e cons uc i o. Den o de es e g upo, no obs an e, ad e i- mos algunos ma ices: aquellos que conside ando como la ac i idad undamen al de las ma emá icas la esolución de p oblemas, no lo plan ean en su enseñanza po las di icul ades que ep esen a pa a segui el p og ama; y en es a línea algún p o- eso a gumen a desde la necesidad, en su opinión, de es ablece di e encias en e la ac i idad ma emá ica y la educación ma emá ica. b) En cuan o al alo o ma i o de las ma emá icas.- Exp esiones bien cono- cidas como: «saca el óxido de las neu onas», «despie a la in eligencia», «es una gim- nasia men al», o «son el o den en el pensamien o», esumen el pa ece de cinco de los ein iún p o eso es. Pa a o os once, más «comedidos», las ma emá icas son ap opiadas pa a ap ende a pensa y azona . Po in, dos p o eso es conside an que lo undamen al de las ma emá icas son las es a egias gene ales que ayudan a analiza , in e p e a y oma decisiones en e a di e sas si uaciones. Y sólo uno de los p o eso es indica que la impo ancia de las ma emá icas es conside a la como una o ma cul u al más. c) Sob e la esolución de p oblemas.- Cabe ad e i que és e pa ece se un concep o y una me odología poco cla a pa a la mayo ía. De hecho, la mayo pa e de los p o eso es iende a iden i ica la con los eje cicios bien de inidos y © Ediciones Uni e sidad de Salamanca Enseñanza, 19, 2001, pp. 307-324 AURORA PLATA CASÁIS Y FELIPE TRILLO ALONSO 315 ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA an ípicos de la eje ci ación ma emá ica. Podemos añadi que en el momen o de la en e is a ue necesa io ma iza lo que conside ábamos po esolución de p oble- mas. Dicho es o, pa a ocho de los ein iún p o eso es los p oblemas complejos y abie os son muy di íciles, an o que conside an imposible que sus alumnos log en comp ende los, y de ahí que ni siquie a in en en abaja de ese modo en sus aulas. O os seis p o eso es a pesa de econoce que es a ía bien abaja de ese modo ampoco lo ponen en p ác ica a gumen ando, además de la di icul ad que encie a pa a sus alumnos, el hecho de que ambién es di ícil pa a ellos, que ca ecen de ma e iales, y que sin duda es más cómodo no in en a abaja de ese modo. Así, son sólo es p o eso es los que lo conside an como Lina in e esan e o ma de ense- ña y ap ende y decla an que ellos abajan de esa o ma aunque econocen sus limi aciones. Finalmen e, o os es admi en que ni siquie a ienen una opinión sob e es e concep o. 3Q Dimensión de análisis: concepción explíci a sob e la enseñanza-ap endizaje Mien as dos p o eso es econocen no habe e lexionado al espec o, pa a o os nue e la enseñanza es ansmi i unos con enidos, y ap ende es hace los eje - cicios y es udia esos con enidos de mane a que los alumnos adquie an acilidad de cálculo y de azonamien o. Po su pa e, seis hacen e e encia a la comp ensión y a las habilidades de pensa como p ocesos de ap endizaje, pe o ambién pa iendo de una concepción de la enseñanza como ansmisión de in o mación po pa e del p o eso ; en es e sen ido, alguno iene cla o que la e lexión del es udian e sólo puede hace se sob e lo p e iamen e explicado po el p o eso . Finalmen e, sólo es hacen e e encia a que el obje i o es que los alumnos adquie an au onomía en su ap endizaje y, po lo an o, que el p o eso debe acili a ac i idades in e esan es que pongan al es udian e en disposición de ap ende y le animen y ayuden a es a- blece elaciones que p omue an un ap endizaje signi ica i o. 49 Dimensión de análisis: la p ác ica de enseñanza-ap endizaje a) Sob e cuál es el con enido ele an e.- Sie e de los ein iún p o eso es se econocen a mi ad de camino en e conside a que odo lo que se impa e es ele- an e, y econoce que al ez no se han pa ado a pensa lo en p o undidad. Dos ienen cla o que son ele an es aquellos aspec os más elacionados con la ida dia- ia. Po su pa e, es po meno izan y des acan como aspec os más p ác icos la geo- me ía y la igonome ía, alo ando igualmen e el o malismo y el igo como «gimnasia men al». En es a línea, cua o p o eso es indican los elemen os o males del lenguaje y el mé odo deduc i o, mien as que sólo es des acan como más impo an es las es a egias gene ales. b) En cuan o a los aspec os que más se abajan.- Ocho de los ein iún p o- eso es des acan la p ác ica de eje cicios, de los que es señalan especí icamen e las ope aciones y cálculos básicos. Pa a once, sin emba go, es la comp ensión de © Ediciones Uni e sidad de Salamanca Enseñanza, 19, 2001, pp. 307-324 322 AURORA PLATA CASÁIS Y FELIPE TRILLO ALONSO ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA po úl imo, po su empeño en alo a el conjun o del p oceso y la e olución del ap endizaje así como po e i a limi a se a los exámenes esc i os; en esa di ección, po ejemplo, con emplan el abajo ealizado de o ma con inuada, las ac i udes y la pa icipación en el aula de sus alumnos. 5. UNA CONCLUSIÓN Y UN EPÍLOGO La conclusión casi esul a ob ia, y es que sin desconside a la exis encia de ese e ce g upo de «mi los blancos» (po lo escasos), lo cie o es que si sumamos el segundo g upo de los «quie o y no puedo» al p ime o de los «noso os lo de siem- p e», el pano ama de la enseñanza de las ma emá icas no esul a, como dijimos, nada inno ado . La idea de las ma emá icas como un p oduc o acabado, como unos esul ados que el p o eso debe ansmi i y el alumno conoce y aplica . La opinión de que «conoce ma emá icas» y «sabe ma emá icas» es sabe las eglas y ó mulas dadas, no malmen e po el lib o de ex o, pa a pos e io men e aplica las de o ma co ec a cuando son pedidas po el p o eso . Jun o a las consecuencias que odo es o iene en un p oceso de e aluación inalis a y selec i o, que lo ía odo a los exámenes, no nos dejan ni siquie a un esquicio pa a la duda sob e el escaso calado que han enido en los p o eso es las ideas de la Re o ma y en espe- cial las explici adas sob e las ma emá icas y su enseñanza en el DCB de la ESO. Y aho a un epílogo: Siendo así, pe mí asenos pone en duda an a supues a ala ma social an e la ambién an a supues a bajada de ni el en Secunda ia como con- secuencia de la sin duda supues a implemen ación de la Re o ma en ese ni el, pues o que, como imos, los p o eso es en ealidad siguie on haciendo lo de siemp e, incluso a pesa del supues o desconcie o que los nue os plan eamien os pudie an p o oca les. En es a di ección, quizás cupie a hace una llamada de a ención a los ca as- o is as espec o a que lo que cues ionan an o ni son modas psicopedagógicas ni cap ichos polí icos, sino que les sus en a una sólida in es igación que en e o as cosas econoce, como hicimos aquí, que lo que piensan y hacen los p o eso es (y no sólo po su olun ad o igno ancia sino po las condiciones de abajo que habi- an) es de e minan e de la p ác ica, y po consiguien e de esos esul ados que supues amen e an o p eocupan. Así las cosas, al ez hab ía que eco da ambién aquello de que hacen al a ein icinco años pa a que una inno ación educa i a se consolide, así como que es esponsabilidad de la Adminis ación educa i a c ea las condiciones pa a ello -lo que al ez no hicie on (ni i ios ni ó anos)-. Po úl imo, no podemos e i a la quizás ingenuidad de p egun a nos, si esos es p o- eso es en la onda del modelo cons uc i is a más los o os cua o que se in e esan po él aunque no lo p ac ican pod ían ac ecen a nues a con ianza en que el aso de la inno ación en la enseñanza de las ma emá icas empieza a es a medio lleno en ez de en e amen e acío. Y es que al inal odo se educe a aquello en lo que c eemos y con lo que nos comp ome emos. © Ediciones Uni e sidad de Salamanca Enseñanza, 19, 2001, pp. 307-324 AURORA PLATA CASÁIS Y FELIPE TRILLO ALONSO 323 ¿QUÉ MODELOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE ADOPTAN LOS PROFESORES DE SECUNDARIA DE MATEMÁTICAS? O, CÓMO LOS PROFESORES HAN SEGUIDO HACIENDO LO DE SIEMPRE PESE A LA REFORMA BIBLIOGRAFÍA BALL, D. L. (1988): Unlea ning o each ma hema ics, Fo The Lea ning o Ma hema ics, 8 (1), 40-48. BARBERA, E. 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