Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE COMPOSTELA ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE LUGO DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGROFORESTAL ÁREA DE INGENIERÍA CARTOGRÁFICA, GEODESIA Y FOTOGRAMETRÍA TESIS DOCTORAL “Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Autor JOSÉ LUIS DENIA RÍOS Directores DR. JAIME RODRÍGUEZ PEREÑA DRA. MARÍA TERESA MARTÍN SÁNCHEZ Lugo, octubre de 2011 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE COMPOSTELA ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE LUGO DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGROFORESTAL ÁREA DE INGENIERÍA CARTOGRÁFICA, GEODESIA Y FOTOGRAMETRÍA JOSÉ LUIS DENIA RÍOS INGENIERO DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS Memoria para optar al grado de Doctor realizada bajo la dirección del Dr. Jaime Rodríguez Pereña y de la Dra. María Teresa Martín Sánchez del Área de Ingeniería Cartográfica, Geodésica y Fotogrametría del Departamento de Ingeniería Agroforestal de la Universidad de Santiago de Compostela. Lugo, octubre de 2011 INDICE DE CONTENIDOS "Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Tesis Doctoral Indice de Contenidos Autor: José Luis Denia Ríos 2 Tesis Doctoral "“Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Presentación …………………………………………………………………………………... Listado de Figuras …………………………………………………………………..………... Listado de Tablas ……...………………………………………………………………….…... CAPÍTULO I ESTADO DEL ARTE I.1. Introducción ……………………………………………….……………………………... I.2. Objetivo ……………………………………………………………………………….…... I.3. Estado del Arte ………………………………………………………………………….... CAPÍTULO II EPIPOLARIZACIÓN DE UN PAR FOTOGRAMÉTRICO SIN PARÁMETROS DE ORIENTACIÓN II.1. Corrección de la distorsión de una imagen sin parámetros de orientación interna … II.1.1. Algoritmo de corrección de la distorsión de una imagen ……………………… II.1.2. Análisis de los coeficientes de la ecuación desarrollada ……………………..... II.1.3. Particularización de la formulación a la determinación de la distorsión ………. II.2. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación ………….. II.2.1. Definición de la homología en un par fotogramétrico ………………………… II.2.2. Algoritmo de epipolarización de imágenes mediante transformación homológica …………………………………………………………………….. II.2.3. Cálculo de los centros epipolares y el eje de homología ………………………. 6 9 13 17 24 26 34 35 38 40 44 45 46 50 "Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Tesis Doctoral Indice de Contenidos Autor: José Luis Denia Ríos 3 II.2.3.1. Centros epipolares ………………………………………………….. II.2.3.2. Eje de homología …………………………………………………... II.2.4. Propiedades del algoritmo de transformación nomológica ……………………. II.2.4.1. Significado de los coeficientes ……………………………………... II.2.4.2. Propiedades de la visión estereoscópica …………………………… II.2.4.2.1. Transformaciones lineales posibles a la X ……………… II.2.4.2.2. Transformaciones lineales posibles a la Y ……………… CAPÍTULO III RESULTADOS OBTENIDOS III.1. Algoritmo de corrección de la distorsión de una imagen sin parámetros de orientación interna …………………………………………………………………………… III.2. Algoritmo de epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación …………………………………………………………………………………….. III.2.1. Aplicación en Fotogrametría terrestre ………………………………………... III.2.1.1. Edificaciones planas (fachadas) …………………………………… III.2.1.1.1. Generación del modelo 3D …………………………….. III.2.1.1.2. Giro del modelo mediante variación de las propiedades de la visión estereoscópica ……………………………. III.2.1.2. Edificaciones aisladas ……………………………………………... III.2.1.2.1. Generación del modelo 3D …………………………….. III.2.1.2.2. Giro del modelo mediante variación de las propiedades de la visión estereoscópica …………………………….. III.2.1.3. Escenas complejas ………………………………………………… III.2.1.3.1. Generación del modelo 3D …………………………….. III.2.1.3.2. Giro del modelo mediante variación de las propiedades de la visión estereoscópica …………………………….. 50 50 52 52 53 54 56 59 67 69 69 69 73 75 75 79 81 81 89 "Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Tesis Doctoral Indice de Contenidos Autor: José Luis Denia Ríos 4 III.2.2. Aplicación en Fotogrametría aérea …………………………………………… III.2.2.1. Bajo relieve ………………………………………………………... III.2.2.2. Relieves abruptos ………………………………………………….. CAPÍTULO IV DISCUSIÓN: ANÁLISIS Y CONCLUSIONES IV.1. Algoritmo de corrección de la distorsión de una imagen sin parámetros de orientación interna ……………………………………………………………………………. IV.2. Algoritmo de epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación …………………………………………………………………………………….. CAPÍTULO V FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN V.1. Futuras líneas de investigación …………………………………………………………. CAPÍTULO VI REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA VI.1. Referencias y bibliografía ……………………………………………………………… CAPÍTULO VII ANEXOS VII.1. Anexo I: Fotogramas empleados ……………………………………………………... VII.2. Anexo II: Cálculos realizados ………………………………………………………… VII.2.1. Corrección de la distorsión de la imagen ……………………………………. 91 91 95 100 102 106 109 115 133 134 "Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Tesis Doctoral Indice de Contenidos Autor: José Luis Denia Ríos 5 VII.2.1.1. Aplicación sobre mallas calibradas ………………………………. VII.2.1.2. Aplicación sobre escenas 3D …………………………………….. VII.2.2. Epipolarizacion de pares fotogramétricos …………………………………… VII.2.2.1. Aplicación en Fotogrametría terrestre ……………………………. VII.2.2.1.1. Edificaciones planas (fachadas) ………………………. VII.2.2.1.2. Edificaciones aisladas ………………………………… VII.2.2.1.3. Escenas complejas …………………………………….. VII.2.2.2. Aplicación en Fotogrametría aérea ………………………………. VII.2.2.2.1. Escenas de bajo relieve ……………………………….. VII.2.2.2.2. Escenas de relieve abrupto ……..……………………... 134 143 144 144 144 155 166 188 188 199 PRESENTACIÓN "Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Tesis Doctoral Presentación Autor: José Luis Denia Ríos 7 PRESENTACIÓN La presente Tesis Doctoral se estructura en dos partes, quedando dividida en capítulos y anexos, que tratan los diferentes objetivos propuestos. La primera parte consta de 6 capítulos en los que se muestra el desarrollo de los algoritmos que harán posible la epipolarización de pares fotogramétricos sin parámetros de orientación interna ni relativa, en sustitución de los métodos tradicionales basados en coplanaridad y colinearidad. La segunda parte consta de 2 anexos en los que se muestran las imágenes y los cálculos en las diferentes pruebas realizadas para constatar la calidad de los resultados confirmando la hipótesis de partida. Los 6 capítulos que componen la primera parte tratan en profundidad los siguientes aspectos:  En el Capítulo 1 se realiza una exposición del Estado del Arte, citando algunos de los trabajos más importantes dentro de los objetivos abordados por este trabajo.  En el Capítulo 2 se desarrolla un nuevo algoritmo para la eliminación de la distorsión de una imagen sin parámetros de orientación interna y posteriormente se desarrolla el algoritmo que proporciona la epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación relativa con las imágenes corregidas.  En el Capítulo 3 se exponen los resultados obtenidos mediante los algoritmos implementados para la eliminación de la distorsión de la imagen y de la epipolarización de los pares fotogramétricos.  En el Capítulo 4 se ofrecen las conclusiones derivadas de los resultados obtenidos por ambos algoritmos, evaluando sus virtudes y posibles mejoras.  En el Capítulo 5 se proponen varias líneas de investigación surgidas a partir del desarrollo del presente trabajo.  Finalmente en el Capítulo 6 se realiza una exposición de las referencias y bibliografía en las que se basa este trabajo, cuyo estudio ha servido de base para el análisis y desarrollo de algunas de las metodologías expuestas. En la segunda parte encontramos los anexos correspondientes a las pruebas realizadas en la presente investigación:  En el Anexo I se muestran los fotogramas empleados tanto para la corrección de la Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Tesis Doctoral Listado de Tablas Autor: José Luis Denia Ríos 14 LISTADO DE TABLAS Tabla 1: Coeficientes del polinomio de distorsión calculados con malla de calibración ………. Tabla 2: Puntos medidos para corrección de la distorsión mediante una escena normal ……… Tabla 3: Coeficientes del polinomio de distorsión calculados sobre un objeto en una escena normal ………………………………………………………………………………… Tabla 4: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes originales para calcular la epipolarización (fachada plana) ………………………………………………………. Tabla 5: Coeficientes de la transformación (fachada plana) …………………………………… Tabla 6: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes epipolarizadas. Paralaje residual generado en el modelo estereoscópico (fachada plana) ……………………... Tabla 7: Fotocoordenadas de las esquinas de las imágenes epipolarizadas (fachada plana) …... Tabla 8: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes originales para calcular la epipolarización (edificación aislada) …………………………………………………. Tabla 9: Coeficientes de la transformación (edificación aislada) ……………………………… Tabla 10: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes epipolarizadas. Paralaje residual generado en el modelo estereoscópico (edificación aislada) ………………... Tabla 11: Fotocoordenadas de las esquinas de las imágenes epipolarizadas (edificación aislada) ………………………………………………………………………………... Tabla 12: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes originales para calcular la epipolarización (escena compleja 1)………………………………………………... Tabla 13: Coeficientes de la transformación (escena compleja 1) ……………………………... Tabla 14: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes epipolarizadas. Paralaje residual generado en el modelo estereoscópico. (escena compleja 1) ……………….. Tabla 15: Fotocoordenadas de las esquinas de las imágenes epipolarizadas (escena compleja 1) ……………………………………………………………………………………… Tabla 16: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes originales para calcular la epipolarización (escena compleja 2) ……………………………………………….. Tabla 17: Coeficientes de la transformación (escena compleja 2) ……………………………... Tabla 18: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes epipolarizadas. Paralaje residual generado en el modelo estereoscópico (escena compleja 2) ………………… Tabla 19: Fotocoordenadas de las esquinas de las imágenes epipolarizadas (escena compleja 2) ……………………………………………………………………………………… Tabla 20: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes originales para calcular la epipolarización (bajo relieve) ……………………………………………………… Tabla 21: Coeficientes de la transformación (bajo relieve) ……………………………………. Tabla 22: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes epipolarizadas. Paralaje residual generado en el modelo estereoscópico (bajo relieve) ……………………….. 62 64 65 70 70 70 71 76 76 76 77 81 82 82 83 85 86 86 87 92 92 92 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Tesis Doctoral Listado de Tablas Autor: José Luis Denia Ríos 15 Tabla 23: Fotocoordenadas de las esquinas de las imágenes epipolarizadas (bajo relieve) …… Tabla 24: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes originales para calcular la epipolarización (relieve abrupto) …………………………………………………... Tabla 25: Coeficientes de la transformación (relieve abrupto) ………………………………… Tabla 26: Fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes epipolarizadas. Paralaje residual generado en el modelo estereoscópico (relieve abrupto) ……………………. Tabla 27: Fotocoordenadas de las esquinas de las imágenes epipolarizadas (relieve abrupto)… 93 96 96 96 97 CAPÍTULO I ESTADO DEL ARTE INTRODUCCIÓN Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo I Introducción Autor: José Luis Denia Ríos 18 I.1. INTRODUCCION Parece que Euclides y el genial Leonardo da Vinci ya observaron y estudiaron el fenómeno de la visión binocular, siendo considerados los pioneros en este tema. También el famoso astrónomo Kepler llevó a cabo estudios sobre la estereoscopía. Curiosamente la estereoscopía precedió a la fotografía. Fue un físico escocés, Sir Charles Wheatstone, quien en junio de 1838 describió primero con cierto rigor el fenómeno de la visión tridimensional y construyó después un aparato con el que se podían apreciar en relieve dibujos geométricos: el estereoscopio. Con la aparición de la fotografía a mediados del S.XIX se mecanizó el proceso de captura de imágenes. Sin embargo la fotografía, como también el grabado y la pintura, ofrecen siempre imágenes planas siendo la perspectiva una intención perdida en casi toda la representación pictórica y arquitectónica. Así, el mecanismo de la visión humana y la percepción del relieve ha sido investigado desde hace varios siglos. No sólo el estudio del mecanismo biológico de la visión humana, sino los principios geométricos de la visión binocular. Con Gaspard Monge se sistematizaron los sistemas de proyección, la perspectiva cónica, y derivada de ésta, la producción de anaglifos, dibujos que “engañando” a la vista permitían la percepción de relieve. Años más tarde los fotógrafos aplicaron también el principio de visión binocular a pares de fotografías tomadas en condiciones similares a la visión y con sencillos mecanismos de separación entre imágenes se conseguía el efecto de la visión en relieve. Así, en 1849, Sir David Brewster diseñó y construyó la primera cámara fotográfica estereoscópica, con la que obtuvo las primeras fotografías en relieve. Construyó también un visor con lentes para observarlas. Posteriormente Oliver Wendell Holmes, en 1862, construyó otro modelo de estereoscopio de mano que se hizo muy popular a finales del S.XIX. Con él podían verse en relieve fotografías estereoscópicas montadas sobre un cartón. Se crearon extensas colecciones y se pusieron a la venta. Podían encontrase fotografías en relieve de cualquier parte del mundo. Incluso se crearon cámaras fotográficas con doble objetivo, que impresionan a la vez dos negativos (dos perspectivas cónicas, separadas aproximadamente la distancia interpupilar). Ilustres científicos como el Premio Nobel D. Santiago Ramón y Cajal, utilizaron la estereoscopía para presentar sus trabajos científicos. Don Santiago presentó parte de sus muestras de microscopía en fotografías estereoscópicas. Fue ya en el S.XX, durante los años 30, cuando hubo un resurgir de la estereoscopía a raíz de la aparición de cámaras 3D con película de 35mm, como la Realist o la ViewMaster, que facilitaban Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo I Introducción Autor: José Luis Denia Ríos 19 al aficionado la obtención de este tipo de imágenes. Desgraciadamente estas cámaras ya no se fabrican y son hoy día objeto de colección. También en el arte algunos pintores han usado la representación estereoscópica. Por ejemplo Salvador Dalí utilizó un dispositivo de espejos similar al de Wheatstone para mostrar algunos de sus trabajos. Pueden verse actualmente en el museo de Figueras. En los años 50 se intentó la explotación comercial de películas 3D y aparecieron los primeros títulos, pero con escasa incidencia en el mercado cinematográfico. No pasaron de ser meras curiosidades para el público. Además algunas de las películas que se realizaron presentaban problemas de visión, por no conocer algunos de los técnicos de la época la problemática que conlleva una película estereoscópica, lo que ocasionaba molestias visuales que hicieron que una parte del público rechazara este tipo de cine. No sería hasta los años 80 cuando se conseguirían los resultados más espectaculares, con los sistemas de gran formato de película, como el IMAX, para conseguir imágenes de alta resolución en pantallas gigantescas, tras grandes inversiones en invetigación y medios. De este modo, la tan actual “realidad virtual” tiene en realidad muchos años. En el fondo de estos procesos siempre late la percepción directa del relieve, la visión real del modelo y no el sucedáneo de la perspectiva que requiere la observación inteligente de la imagen para entender la dimensión que falta en el plano de proyección. Los equipos de restitución fotogramétrica funcionan desde hace más de cincuenta años gracias a la visión en relieve. Ha sido como en otros tantos campos, la irrupción de la informática, y en particular la potencia de los editores gráficos, lo que ha permitido la creación de vistas ideales (perspectivas) que editadas desde los puntos de vista convenientes y observadas independientemente desde cada ojo nos recrean un mundo artificial. Así, en los años 90, los avances de la informática permitían ya presentar imágenes 3D en monitores de ordenador y utilizarlas para presentaciones en CAD, Medicina, Cartografía y otras muchas aplicaciones. Los ordenadores permiten además generar espectaculares imágenes de síntesis en relieve, para aplicaciones científicas, industriales o de entretenimiento. Para lograr comprender estos procesos resulta indispensable abordar el estudio de la visión natural. Sin entrar en aspectos fisiológicos de la visión humana, es conveniente analizar la estructura geométrica de nuestra visión binocular. Cada ojo se comporta aproximadamente como una cámara fotográfica, ambos están situados a la misma altura, y ambos miran al frente. Esta disposición no es en absoluto accidental, sino que es precisamente la que nos permite estudiar el relieve del entorno que nos rodea y nos dota de una importante capacidad telemétrica. Asimilando el ojo a la Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo I Introducción Autor: José Luis Denia Ríos 20 estructura de una cámara ideal, el esquema resultante puede observarse en la siguiente figura (figura 1): Figura 1: Estructura geométrica de la visión El tetraedro ABCD proyectado desde O y seccionado el haz proyectante por los planos paralelos w y w’, da lugar a dos perspectivas planas abcd y a’b’c’d’. La primera derecha y positiva, la segunda invertida y negativa. El mecanismo de visión, supuesto un ojo perfecto, materializa el segundo caso. O sería el cristalino del observador, w’ su retina y a’b’c’d’ la imagen formada en ella. En el cerebro se invierte la figura y la sensación final es la percepción del objeto como abcd. Si agregamos al esquema anterior el análogo y correspondiente al otro ojo, las dos imágenes resultantes invertidas y superpuestas en el cerebro, dan lugar a la percepción binocular, con la que ya es posible apreciar distancias (función telemétrica). Una cámara fotográfica no hace sino reconstruir el mismo esquema. O será el objetivo y, w y w’ las placas, diapositiva en el primer caso y negativa en el segundo. O será siempre el punto de vista, OP el eje perspectivo normal a w y w’, P el punto principal del fotograma y OP su distancia principal. Una sola fotografía podrá servir para obtener una visión plana del terreno pero si se dispone de dos fotografías podrá obtenerse visión estereoscópica (figura 2). Si suponemos el ojo izquierdo I y el derecho D, dos puntos V y V’ se verán separados cuando la diferencia de paralajes (ángulos bajo los que se ve ID desde V y V’) sea igual o mayor que la agudeza visual (que puede evaluarse en 30” para el ojo normal). Experimentalmente se demuestra que el efecto de relieve y el telemétrico dependen del paralaje del punto de que se trate. Y desaparecen cuando dicho paralaje es menor que la agudeza visual. Si la distancia interpupilar media la estimamos en 6,5cm la distancia máxima de apreciación estereoscópica resulta aproximadamente de 450m. A partir de dicha distancia todos los puntos se ven en el mismo plano. Para distancias inferiores, la apreciación de distancias relativas entre dos puntos será tanto más precisa y nítida cuanto mayor sea su diferencia de paralajes. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo I Introducción Autor: José Luis Denia Ríos 21 Tomando como base la distancia interpupilar, se aprecia el relieve entre 4 y 20 veces esta distancia, diluyéndose gradualmente la percepción hasta llegar a los 450m. Figura 2: Esquema de visión estereoscópica Una vez comprendido el proceso de visión natural, el siguiente paso es analizar la visión paralela. Dos fotografías de un mismo objeto tomadas desde puntos de vista distintos darán lugar a la visión en relieve y a la función telemétrica en la zona común a ambas (recubrimiento). Dicho efecto será tanto más profundo cuanto mayor sea la base. Este es justamente el principio en que se basan los estereoscopios (figura 3). Figura 3: Esquema de un estereoscopio Obtenidas las placas y positivadas, es preciso situarlas de manera que el ojo derecho observe la placa izquierda y viceversa para observar el efecto estereoscópico correcto. En caso contrario el efecto será pseudoscópico. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo I Introducción Autor: José Luis Denia Ríos 22 La obtención del efecto estereoscópico puede conseguirse también superponiendo sobre la misma fotografía positivada las dos obtenidas, una en rojo y otra en azul. Observándola después con unas gafas con un cristal de cada color de los mencionados cada ojo observará solamente el color complementario de su crital produciéndose el efecto de relieve, lo que se conoce como anaglifo. Con todo ello podemos decir, que para la correcta formación del modelo en relieve en el cerebro se necesitan dos condiciones: 1. Las fotografías deben tener sus ejes de toma paralelos entre sí y perpendiculares a la base de toma. 2. Los fotogramas deben estar nivelados, de tal modo que dos puntos homólogos tengan la misma ordenada Figura 4: Esquema del “caso normal” de la fotogrametría Este modelo es lo que se conoce como el “caso normal” de la fotogrametría (figura 4). La construcción de los restituidores analógicos se ajustaba a este modelo y sólo podían funcionar con tomas rigurosamente paralelas. Con la aparición de la informática en los restituidores analíticos se liberó este constreñimiento de partida, situándose el límite en la capacidad humana de percepción del relieve. Las orientaciones, al ser ahora un proceso estrictamente matemático, pueden efectuarse con cualquier tipo de toma (convergente u oblicua). Para la observación del modelo unas lupas independientes permiten acercar o alejar cada ocular para poder igualar la escala en aquellos casos en que los fotogramas no se han tomado a la misma distancia. La restitución digital no modifica sustancialmente la estructura de un restituidor analítico. Con unas gafas polarizadas se observa “flotar” el modelo ante el monitor. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo I Introducción Autor: José Luis Denia Ríos 23 Sin embargo el tratamiento digital de la imagen permite notables mejorías al dotarnos de capacidad para deformar las imágenes tal como si se hubieran obtenido según el “caso normal” de la fotogrametría. Este proceso, en cuyo interés se centra la presente investigación, se conoce como epipolarización. Según se ha expuesto, para observar dos imágenes mediante visión estereoscópica es necesario que éstas hayan sido obtenidas según el “caso normal” o bien que hayan sido epipolarizadas mediante un proceso de cálculo. El primero de los casos requiere instrumental adecuado, lo que supone un gran inconveniente sobre todo en fotogrametría terrestre y arquitectónica, y además en muchas ocasiones las condiciones de toma lo imposibilitan a pesar de contar con el material adecuado. En el segundo caso, los procesos digitales de la imagen resuelven el problema mediante la epipolarización. Conocida la posición exacta de la cámara se pueden calcular los parámetros de orientación, lo cual no es un proceso sencillo puesto que supone recorrer todo el proceso fotogramétrico; desde la preseñalización de las tomas con su red topográfica y resolución del apoyo, hasta el cálculo de la orientación interna y externa de los fotogramas en el restituidor. Una vez terminado este proceso se está en condiciones de explotar el par estereoscópico. La simple visión estereoscópica proporciona información acerca de la forma, color y textura del objeto. Permite la percepción del modelo como si estuviéramos situados ante él, lo que se conoce como “realidad virtual”. El presente trabajo desarrolla un procedimiento de epipolarización a partir de tomas no normales prescindiendo del proceso fotogramétrico habitual. Utilizando una cámara fotográfica convencional de la que no se conocen parámetros de orientación interna, sin preseñalización de puntos de control ni cálculos previos de coordenadas, y sin parámetros de orientación exterior, desarrollaremos un procedimiento basado en homología que permitirá la correcta visualización en relieve. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo I Estado del Arte Autor: José Luis Denia Ríos 30 estereoscópicas mediante el concepto de visión cuadrática de modo que la noción de la geometría epipolar generaliza su aplicación a imágenes multiperspectivas (Seitz, 2001). El problema principal de la reconstrucción de escenas 3D mediante una serie de imágenes radica en la correlación (Mellor et al., 1996). Hay numerosas aproximaciones que utilizan la epipolarización para establecer correspondencias entre dos imágenes (Zhang et al., 1995). La localización de cada búsqueda se calcula a partir de un gran número de pixeles, en lugar de dos como en el método estereoscópico tradicional (Faugueras, 1993). Dado un punto en una de las imágenes es necesario localizar su homólogo en el resto. Dependiendo del algoritmo se emplean dos o más puntos, así como la geometría de la cámara, para determinar la profundidad del punto en cuestión (Beardsley et al., 1996). Dado que en los procesos de epipolarización, es común el uso de todas las imágenes de forma simultánea (Bolles et al., 1987) resulta obvio pensar que el análisis simultáneo de planos epipolares debe ser de gran utilidad en distintas labores tales como los procesos de correlación. Esta idea de cómo utilizar una serie de planos epipolares en procesos de correlación fue presentada por (Matousek and Hlavác, 2002). La correcta organización de la estructura de los planos epipolares permite la utilización directa en el cálculo de toda la información contenida en cada escena que compone la serie. La idea funciona bien cuando los datos se procesan de acuerdo con los supuestos estrictos de la superficie Lambertiana y de a cuerdo con la precisión de la rectificación de la secuencia. En (Matousek et al., 2001) se presenta un algoritmo para calcular correlación de imágenes dentro de una serie utilizando todas las imágenes de forma simultánea sin emplear ningún tipo de restricción geométrica; es la intensidad de los pixels la que contribuye directamente a la función de cálculo. La correlación óptima se ajusta minimizando la función mediante programación dinámica. Basándose en la misma idea Criminisi et al. describieron una aproximación para reconocimiento automático de capas 3D para secuencias de imágenes mediante el análisis de los datos contenidos en el conjunto de planos epipolares (Criminisi et al., 2002). La aproximación consiste en la descomposición de los planos en tubos, cada uno de los cuales representa una porción del espacio 3D, lo que permite una nueva técnica de separación de elementos en escenas estáticas. Un algoritmo de localización de bordes, que garantiza una gran precisión de correlación para contornos de largo recorrido utilizando geometría epipolar y restricciones geométricas partiendo de serie de imágenes obtenidas desde una cámara en movimiento se presenta en (Han and Park, 2000). Como se ha indicado, en los procesos de epipolarización, es común el uso de todas las imágenes de forma simultánea (Bolles et al., 1987). Normalmente todas las imágenes se restringen a movimientos de cámara horizontales, lineales y equidistantes, pero cualquier otra configuración sería posible, como movimientos circulares o parabólicos, cuya correlación es viable mediante Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo I Estado del Arte Autor: José Luis Denia Ríos 31 búsquedas cúbicas en vez de en líneas rectas (Feldmann et al., 2003). Para crear trayectorias la cámara debe ser calibrada, para lo cual existen numerosos trabajos al respecto (Rothwell et al., 1995). Por ejemplo Mellor et al. (1996) presentan mapas tridimensionales utilizando miles de imagenes obtenidas sobre una misma escena conocidos los parámetros de calibración de la cámara y sus posiciones espaciales. Pero todas estas aplicaciones requieren del conocimiento de parámetros de orientación interna, lo cual no resulta de utilidad en aquellos estudios que, como el nuestro, parten del supuesto inicial en el que la cámara resulta completamente desconocida (y no se disponen de medios externos que permitan su conocimiento durante el proceso, mediante algunas de las técnicas anteriormente indicadas). En el caso no calibrado, la geometría epipolar es la única información que podemos obtener de la correlación, lo cual es considerado por algunos autores como una especie de calibración estereoscópica (Robert and Faugueras, 1993). De hecho, la calibración es perfectamente posible si fuera nuestro fin tal como se puede ver en (Maybank y Faugueras, 1992; Faugueras et al., 1992; Luong, 1992; Zhang et al., 1996 o Enciso, 1995). Una aproximación de reconstrucción estereoscópica que no requiere la calibración de la cámara, haciendo uso de la matriz fundamental definida por Longuet-Higgins (Longuet-Higgins, 1981), se describe en (Hartley et al., 1992). En este trabajo se muestra cómo la configuración tridimensional de un grupo de puntos es determinada mediante colinearidad en el espacio 3D proyectivo mediante la configuración de dos imágenes provenientes de cámaras no calibradas. Este asunto fue largamente estudiado y tratado por (Faugeras, 1992). El método general radica en técnicas de geometría proyectiva, en la que las configuraciones de puntos pueden ser objeto de transformaciones bidimensionales o tridimensionales cambiando el espacio de aplicación sin modificar la configuración proyectiva de los puntos. Un trabajo más profundo acerca de la aplicación de la geometría proyectiva, sin calibración y haciendo uso de la matriz fundamental y puntos de control (o cualquier otro constreñimiento que permita la fase de orientación absoluta de la escena), fue presentado en (Hartley and Grupta, 1993). Acercándonos a nuestro supuesto de partida Wexler et al. determinan la geometría epipolar de un par fotogramétrico sólo con medidas, sin conocer ningún dato de calibración de cámara, mediante el análisis de los valores de intensidad de los pixeles en pares de imágenes obtenidas con estereocámaras de configuración fija, añadiendo información mediante múltiples pares para crear un denso mapa de curvas epipolares (Wexler et al., 2003). De tal modo que no se emplea ningún tipo de configuración óptica, pero la metodología depende del uso de cientos de imágenes obtenidas con un sistema de configuración fija que permita obtener una cierta calibración. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo I Estado del Arte Autor: José Luis Denia Ríos 32 Todas las investigaciones indicadas resultan de gran interés en cualquiera de los ámbitos indicados; formación de escenas 3D, calibración de sistemas y procesos de correlación aplicados. No obstante en todas ellas es necesario el conocimiento de parámetros de orientación interna y/o externa para poder ser llevadas a cabo. La aproximación más cercana a nuestro estudio, mostrada en último lugar, tampoco resuelve nuestro planteamiento puesto que continúa estableciendo restricciones que hacen de su metodología de aplicación una tarea específica y sujeta a condiciones en las múltiples tomas. En nuestro trabajo se presenta la reconstrucción de escenas 3D mediante un proceso de epipolarización basado en homología completamente ajeno al conocimiento de ningún parámetro de orientación interior ni orientación relativa, ni el uso de series de imágenes ni de sus propiedades radiométricas o restricciones geométricas espaciales de ningún tipo. La distorsión de las imágenes será eliminada en primer lugar mediante el desarrollo de una variante del método de Swaminathan and Shree, de tal forma que posteriormente, sólo con un par de fotogramas obtenidos con una cámara de parámetros desconocidos, o escaneados de un libro de texto o provenientes de los frames de una película de video, se podrán obtener escenas tridimensionales únicamente mediante el marcado de puntos homólogos. El algoritmo que se presenta resulta completamente geométrico y ajeno a la escena, y consiste en la determinación de 7 parámetros derivados de la relación homológica entre la líneas epipolares de los dos fotogramas de un par fotogramétrico. CAPÍTULO II EPIPOLARIZACIÓN DE UN PAR FOTOGRAMÉTRICO SIN PARÁMETROS DE ORIENTACIÓN CORRECCIÓN DE LA DISTORSIÓN DE UNA IMAGEN SIN PARÁMETROS DE ORIENTACIÓN INTERNA Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Corrección de la distorsión de la imagen Autor: José Luis Denia Ríos 35 II.1. CORRECCIÓN DE LA DISTORSIÓN DE UNA IMAGEN SIN PARÁMETROS DE ORIENTACIÓN INTERNA II.1.1. ALGORITMO DE CORRECCIÓN DE LA DISTORSIÓN DE UNA IMAGEN De acuerdo con lo expuesto, la epipolarización del par fotogramétrico se llevará a cabo sin el conocimiento de parámetros de orientación de ningún tipo, lo cual implica que, para que las imágenes que se empleen estén exentas de cualquier distorsión, ésta habrá tenido que ser eliminada previamente sin conocimientos de los parámetros de la cámara utilizada, es decir, sin parámetros de orientación interna. De otro modo, la perspectividad modelo – imagen que genera la homología entre epipolares no se conserva. Para la corrección de la distorsión de las imágenes bajo estas premisas, se desarrollará un algoritmo de corrección de la distorsión basado en el método de las líneas rectas (Swaminathan and Shree, 2000). Para ello supondremos la definición de distorsión ( i r  ) con polinomios de grado impar (1): 35 ** *... iiii rarbrcr   (1) donde, 22 iii rxy    : radiovector de un punto cualquiera de la imagen i de coordenadas ),( ii yx   ,...,, cba : coeficientes del polinomio de distorsión i r  Descomponiendo el valor de (1) en función de las componentes del radiovector obtenemos un polinomio de distorsión para cada coordenada (2): 24 24 *( * * ...) *( * * ...) ii i i ii i i xxabrcr yyabrcr         (2) Según lo cual, el cálculo de coordenadas corregidas de distorsión ),( ii yx para un punto cualquiera de la imagen resulta (3): 24 24 *(1 * * ...) *(1 * * ...) ii ii i i ii ii i i xx xx abrcr yy yy abrcr           (3) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Corrección de la distorsión de la imagen Autor: José Luis Denia Ríos 36 Según se observa en la expresión (3) cuanto mayor es r mayor es el valor de los sumandos en función del grado del polinomio y en consecuencia resultará significativo el número de términos empleados, mientras que para valores pequeños de r únicamente los primeros términos son de interés resultando despreciables aquellos términos de mayor orden. En general diremos que el primer término de la expresión describe el inicio de la función de distorsión y términos sucesivos describirán la variación de tendencia de la misma. Para la determinación de los coeficientes de la distorsión supondremos que hemos obtenido una foto de una línea recta y que la línea se observa claramente en la imagen como una curva. Intentar determinar la forma que adopta la imagen de una línea recta tras aplicarle la distorsión (1) resulta sin duda complejo desde un punto de vista matemático. Por ello procederemos de modo inverso, determinando la distorsión necesaria a aplicar a una línea curva para convertirla en recta. Para ello definiremos la línea en la imagen midiendo al menos 3 puntos en su recorrido (2 puntos siempre determinan una recta por lo que no sirven para determinar la curvatura), lo más separados posible (de tal modo que garanticemos que no estén en línea recta). Cualquier punto elegido en la imagen i P tiene unas coordenadas medidas (, ) im im x y. La diferencia entre las coordenadas de los puntos elegidos y el resultado de la medición será (4): (, ) ( , )( ) i i im im i i x yxy dxdy     (4) donde, (,) ii dx dy : vector error de medición. Las coordenadas de los puntos elegidos después de corregir la distorsión vendrán dadas por (3) por lo que las coordenadas medidas después de corregir la distorsión vendrán dadas por (5):        iii im iiiimi iii im iiiimi ydrcrbayrcrbadyyy dxrcrbaxrcrbadxxx   ...**1*...**1* ...**1*...**1* 4242 4242 (5) Sean  111 ,yxP ,  222 ,yxP y  333 ,yxP , tres puntos medidos sobre una recta del modelo; sus coordenadas imagen deberían satisfacer la ecuación de proporcionalidad entre incrementos de abcisas y ordenadas (6):       13 13 12 12 yy xx yy xx      (6) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Corrección de la distorsión de la imagen Autor: José Luis Denia Ríos 37 Linealizando la expresión (6), sustituyendo en ella la expresión (5) y despreciando aquellos términos que no resulten de primer orden, obtenemos (7):      21 31 31 21 2 1 3 1 3 1 2 1 22 21 31 31 21 2211 31 22 22 2 1 33 11 33 11 2 1 ( )*( ) ( )*( ) ( )*( ) ( )*( ) ( )*( ) ( )*( ) * [( * * )*( ) ()*(* *)(**)*( mm mm mm mm mm mm mm mm m m mm mm mm m m m mm xx yy xx yy x x y y x x y y xx yy xx yy axrxr yy xx yr yr xrxr yy                 31 22 44 44 22 11 22 11 3 1 2 1 33 11 44 44 33 11 2 1 3 1 22 11 21 31 1 21 31 )( )* *( * * )]* [( * * )*( ) ( )*( * * ) ( * *)*( )( )*( * *)]* ... ()()*()()* mm mm mm mmmmmm mm mmmmm m mm mm mm mm xx yryr bxrxr y y x x yryr xrxr y y x x yryr c yy yy dxxx xx           13 1 231 221 321 3 ()*() *( )*( )* 0 mm mm mm mm dy y y dx x x dy y y dx x x dy      (7) que es una ecuación del tipo (8): 0... 3 ' 63 ' 52 ' 42 ' 31 ' 21 ' 13210  dykdxkdykdxkdykdxkckbkakk (8) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Corrección de la distorsión de la imagen Autor: José Luis Denia Ríos 38 II.1.2. ANÁLISIS DE LOS COEFICIENTES DE LA ECUACIÓN DESARROLLADA. Coeficientes K0 y K1: En la ecuación (8) el término independiente k0 representa numéricamente el defecto de alineación que tienen los tres puntos estudiados, según (9):         mmmmmmmm yyxxyyxxk 121313120 **      (9) Podemos observar que 10 kk. Dado que la distorsión provoca pequeños desplazamientos en la imagen el coeficiente de a arrojará un valor prácticamente nulo, lo cual supone que no es viable obtener un valor fiable para él según nuestra ecuación. Este resultado es lógico puesto que dicho coeficiente multiplica linealmente a las coordenadas (, ) im im x y, de tal modo que teniendo en cuenta únicamente su valor se obtiene un factor de escala a la imagen de valor (1 )asegún (10):    ay axx im y i imi   1* 1* (10) Para que los 3 puntos estudiados resultasen en línea recta, el único factor de escala posible corresponde a un valor 1a , solución trivial absurda. De acuerdo con ello en adelante prescindiremos del valor de a, asignándole valor nulo dado que no afecta al cálculo. El coeficiente k2 de b resulta (11): 22 22 2221131 21 3311 22 2 2 33 11 2 1 3 1 22 21 [( * * )*( ) ( )*( * * ) (* *)*( )( )*(* *)] mm mmmmmm mm mmmmm m kxrxryy xx yryr xrxr y y x x yryr       (11) Y el coeficiente k3 de c resulta (12): 44 4 4 32211 31 21 3311 44 44 33 11 2 1 3 1 2 2 11 [( * * )*( ) ( )*( * * ) ( * *)*( )( )*( * *)] mm mmmmmmm mm mmmmm m kxrxryy xx yryr xrxr y y x x yryr       (12) Y así sucesivamente para otros términos adicionales. Los coeficientes de los diferenciales resultan: Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Corrección de la distorsión de la imagen Autor: José Luis Denia Ríos 39 para 1 dx :   12131 ()() mm mm kyyyy     (13) para 1 dy :   22131 ()() mm mm kxxxx     (14) para 2 dx : 331 () mm kyy  (15) para 2 dy : 431 () mm kxx  (16) para 3 dx : 521 () mm kyy  (17) para 3 dy : 621 () mm kxx  (18) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Epipolarización Autor: José Luis Denia Ríos 46 II.2.2. ALGORITMO DE EPIPOLARIZACIÓN DE IMÁGENES MEDIANTE TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA. En cualquiera de los dos sistemas de coordenadas imagen, y manteniendo el mismo valor del parámetro t para un mismo punto, el eje de homología puede ser parametrizado según (26): I jj I jj x at b yatb      (26) donde, (, ) I I x y: coordenadas de un punto cualquiera I sobre el eje de homología (,) j j ab : coeficientes de la recta en forma paramétrica para la coordenada imagen x (,) jj ab  : coeficientes de la recta en forma paramétrica para la coordenada imagen y t: parámetro que define la posición de un punto en el eje o bien el par de rectas epipolares que se cortan en dicho punto. La expresión incremental de la recta epipolar que une el punto I del eje con el correspondiente centro epipolar j C resulta (27): j j jC Ij I jjC x x xx y yyy    (27) donde, (, ) jj x y: coordenadas de un punto de la recta epipolar (en la imagen derecha o iaquierda) (, ) jj CC x y: coordenadas del centro epipolar correspondiente Sustituyendo (26) en (27) y despejando t se obtiene (28): ()()( ) () jj jj jj jCj C jj jC jC jj jj jC jC byx x by by bx tax ay ax ay       (28) Esta ecuación relaciona directamente el valor de t con las coordenadas de cada centro epipolar j C, con los coeficientes de la ecuación del eje de homología ( , , , ) jjjj abab   y con las coordenadas de cualquier punto de la linea epipolar (, ) j jj pxy que corta al eje de homología en el punto definido por dicho valor de t. Desarrollando la ecuación (28) para ambos sistemas de coordenadas imagen, (particularizando j=1 para la imagen izquierda y j=2 para la imagen derecha), obtenemos (29): Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Epipolarización Autor: José Luis Denia Ríos 47 11 11 1 2 2 2 2 2 11 11 1 2 2 2 2 2 A xByC AxByC t A xByC AxByC            (29) donde, (' ) j jCj A by () j Cj j Bxb (') j jCj j cj Cbybx '' j j A a ' j j Ba '(' ) j jCj jCj Caxay Eligiendo un punto cualquiera en uno de los planos imagen (, ) j jj pxy estamos determinando un único valor de t (que corresponde al punto de intersección con el eje de homología de la recta epipolar que lo contiene). Además, cuando elegimos un punto en una de las imágenes, la ecuación (29) es la ecuación de la recta epipolar correspondiente en la otra imagen (sobre la que se encontrará su homólogo). Esta ecuación (29) expresada para un valor de t contiene 12 incógnitas, pero sólo 7 son independientes, por tanto debe ser simplificada. El término izquierdo de la expresión (29), que corresponde a la imagen izquierda, puede simplificarse notablemente restando 11 BB  para anular el término B1 (coeficiente de y1). A continuación procederemos invirtiendo la ecuación resultante y restando           A B B AA 1 1 11 para anular el término A’1 y posteriormente dividiendo el numerador por B’1 y el denominador por          1 1 1 1C B B C. Aplicando igualmente dichas reducciones al término derecho de la ecuación (que corresponde a la imagen derecha) y reduciendo a la unidad el término independiente de su denominador, obtenemos finalmente (30): 11 22 22 2 11 2 2 2 2 ' 11 R RR R RRR yC Ax ByC t Ax Ax B y     (30) donde, 11 11 1 11 11 R A BAB ACB CB        Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Epipolarización Autor: José Luis Denia Ríos 48 11 11 1 11 11 R A CAC C A BAB        12 12 212 12 12 RRR CA CA ACABC BC       12 12 212 12 12 RRR CB CB BCBBC BC       12 12 21 12 12 1 RR CC CC CC BC BC         12 12 2 12 12 R BA BA ABC BC     12 12 2 12 12 R BB BB BBC BC     siendo 0 11   RR BA y 1 211     RRR CCB . El cálculo de los 7 coeficientes tiene solución única con 7 pares de puntos homólogos. Si disponemos de un número mayor de puntos medidos el cálculo se realiza por ajuste de mínimos cuadrados, estableciendo un sistema de ecuaciones lineal que permite analizar la precisión obtenida y localizar puntos no adecuados mediante tests de fiabilidad. La epipolarización de las imágenes implica que pares de líneas epipolares obtengan la misma ordenada (y). Para ello aplicaremos una transformación proyectiva a las imágenes originales de tal modo que cada punto en la imagen epipolarizada tenga como ordenada el valor de t’ manteniendo el valor de su abscisa compatible con esta transformación proyectiva. De este modo las líneas epipolares en ambos fotogramas tienen obligatoriamente la misma altura. La obtención de las imágenes epipolarizadas mediante la transformación desarrollada se efectúa calculando cada uno de los pixels de la imagen, generando en primer lugar el entorno en el que se genera la imagen mediante el calculo de las coordenadas de sus esquinas (con el fin de establecer el marco fuera del cual no debe haber imagen). Las coordenadas de las esquinas epipolarizadas en la imagen izquierda (31) se obtienen de sustituir las coordenadas de las esquinas originales de la imagen izquierda en la ecuación (30) resultando (, ) ii x y mientras que las de la derecha (32) se obtienen sustituyendo las coordenadas de las esquinas originales de la imagen derecha en la ecuación (30) resultando (, ) dd x y, empleando el término correspondiente en cada caso. 1 11 1 i R x xAx   11 11 1 i R R yC yAx    (31) 2 22 22 1 d RR x xAx By   22 22 2 22 22 1 d R RR RR A xByC yAx By     (32) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Epipolarización Autor: José Luis Denia Ríos 49 En ambos casos la abscisa debe mantener el denominador de la ordenada correspondiente para mantener la proyectividad y el numerador corresponde a la ecuación de un recta del tipo 11 (1 ) (1 )mx ny s particularizada para 0m  , 1n   y 0s  . Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Epipolarización Autor: José Luis Denia Ríos 50 II.2.3. CÁLCULO DE LOS CENTROS EPIPOLARES Y EL EJE DE HOMOLOGÍA. II.2.3.1. Centros epipolares La transformación homológica resulta completamente definida por los dos centros epipolares y el eje de homología. Las coordenadas de cada uno de los centros epipolares pueden ser obtenidas fácilmente desarrollando la ecuación (29) en su forma clásica, tal como se muestra en la expresión (33): *( ) *( ) *( ) (* ) (* ) ii ii ii ii iC C iiii tAA tCC yx mxx y BtB BtB       (33) donde, *( ) (* ) ii ii tAA mBtB    ** ** i ii ii C ii ii BC BC xBABA      ** ** i ii ii C ii ii A CAC y A BAB      Las coordenadas de los centros epipolares no dependen de t, lo cual implica que todas las rectas pasan por ese punto. Si tenemos en cuenta que todas las rectas de la expresión (28) mediante la que se calcula el valor de t, deben de cumplir lo anterior, tenemos las ecuaciones del centro en función de los parámetros, de manera que todas las rectas epipolares tienen en común su centro epipolar y se diferencian por su distinta pendiente que depende de t. II.2.3.2. Eje de homología Respecto al eje de homología, y de acuerdo con la expresión (32), la ecuación de una recta epipolar para la imagen derecha, aplicándole un giro cualquiera 2  , resulta (34):   22222 22222 22222 22222 2 (( ) ( )1 ( ) ( ) R RRRR A xyB xytAxyB xyC         (34) donde, 22222 x xy    coordenada x de un punto de la recta epipolar girada un ángulo 2  Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Epipolarización Autor: José Luis Denia Ríos 51 22222 yyx    coordenada y de un punto de la recta epipolar girada un ángulo 2  siendo 22 22 1   y 2 2 2 tan     particularizando la expresión (34) para 20x  y reduciéndola a la forma canónica R yQ tS   obtenemos el valor de S para la imagen derecha según (35): 22 22 22 22 d R R R R A B S A B        (35) Mediante el mismo procedimiento podemos obtener el valor de S para la imagen izquierda, aplicándole un giro 1  a la recta epipolar izquierda (34) en función de 11 ,   , según (36): 1 11 i R S A     (36) Las longitudes en ambas imágenes se conservan si el valor de S es el mismo, por lo que igualando (35) a (36) obtenemos el valor de 1  y 2  , según (37): 22 2 11 22 2 tan tan tan RR R RR AB AAB        2121 2 12 2 1 tan tan tan R RR RR R A AA AB B         (37) Lo que demuestra que no es posible conocer el eje real, puesto que matemáticamente siempre es posible calcular un eje para la imagen izquierda cuyo giro se corresponde con otro para la imagen derecha. Determinados los dos centros epipolares y la relación entre las imágenes con el eje de homología, resulta interesante analizar las propiedades que presenta el algoritmo desarrollado. Dicho algoritmo supone efectuar la orientación relativa de ambos fotogramas y por tanto la capacidad de generar visión estereoscópica, tal como se plantea en la hipótesis de partida. Ahora bien, el algoritmo desarrollado no calcula giros entre fotogramas ni posición relativa entre sus centros de proyección (cuyos datos del sensor empleado no son conocidos), por lo que parece lógico pensar que el algoritmo no sólo permita generar visión 3D, sino que sea posible hacerlo con diferentes perspectivas y/o factores de escala en función de que se varíen los coeficientes de la transformación. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Epipolarización Autor: José Luis Denia Ríos 52 II.2.4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACIÓN RESULTANTE. II.2.4.1. Significado de los coeficientes. De acuerdo con la expresión (29) que define la homología, estudiaremos por separado ambos planos imagen izquierdo y derecho, igualando las dos partes de la ecuación al parámetro t’. Para el plano imagen izquierdo el numerador se anula para 11 R yC   (que corresponde a una recta paralela al eje de abscisas), mientras que el denominador lo hace para 11 1 R x A   (que corresponde a una recta paralela al eje de ordenadas). El punto de intersección de ambas rectas es el único punto donde t’ no está definido. Teniendo en cuenta que cada valor de t’ corresponde a una recta epipolar y que todas ellas se cortan en el centro epipolar, por donde pasan infinitas rectas epipolares, el punto  1 1 1,R R C A   debe ser obligatoriamente el centro epipolar izquierdo (figura 6). Figura 6: Significado geométrico de los coeficientes del plano imagen izquierdo La intersección de una recta epipolar cualquiera que pasa por 11 (, ) x y con el eje de ordenadas adquiere valor 11 R tyC   dado que el denominador de la expresión (30) toma valor unitario. Teniendo en cuenta que t toma valor nulo para 11 R yC  , el segmento definido por ambos puntos del eje y corresponde al valor de t’ para esa recta epipolar. Ésta es la solución inmediata para el eje de homología en la imagen izquierda, entre las infinitas posibles. Aplicando el mismo procedimiento a la parte derecha de la ecuación (30) obtendremos los coeficientes del plano imagen derecho. El numerador se anula para la recta con valor x y   1 1 1, 'C A  11 tyC   0t 11 (, ) x y t Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Epipolarización Autor: José Luis Denia Ríos 53 22 22 2 ** 0 RR R AxByC, mientras que el denominador lo hará para la recta con valor 22 22 **10 RR AxBy  . Por el mismo razonamiento, en la intersección de ambas rectas localizaremos el centro epipolar derecho (figura 7). De acuerdo con la expresión que determina la distancia de un punto a una recta, resulta sencillo observar que la expresión que estamos analizando (30) corresponde a una proporcionalidad de distancias entre el punto y las rectas definidas, por lo tanto el valor de t’ resulta del cociente de dichas distancias. Del mismo modo que en el plano imagen izquierdo la magnitud t’ venía definida geométricamente sobre el eje y, en el plano imagen derecho vendrá definida por una recta perpendicular a la que anula al numerador de tal forma que la altura h sea el valor de t’. La posición de esa recta perpendicular corresponde a 22 22 **11 RR AxBy    . Figura 7: Significado geométrico de los coeficientes del plano imagen derecho II.2.4.2. Propiedades de la visión estereoscópica. Resulta interesante analizar las posibles transformaciones que pueden aplicarse a la visión estereoscópica del modelo generado a través de los coeficientes del algoritmo desarrollado. Para ello situaremos un sistema de coordenadas con origen en el ojo izquierdo cuyo eje X pase por ambos ojos, el eje Z resulte perpendicular en dirección al modelo estereoscópico y el eje Y resulte en dirección del triedro directo (figura 8). Estudiando los triángulos semejantes generados por un punto cualquiera del modelo estereoscópico P (cuyas proyecciones sobre el anaglifo resultan en x y 22 (, ) x y t2 22 (, ) CC x y22 22 2 ** 0Ax By C 22 22 '* '* 1 0AxBy   0t 'd d h 22 22 '* '* 1 1AxBy Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Epipolarización Autor: José Luis Denia Ríos 54 (, ) ai ai ix y y (, ) ad ad dx y ) en la figura 8a, obtenemos las coordenadas XP, ZP y realizando el mismo procedimiento para el punto P en la figura 8b (ambos puntos aparecen superpuestos ya que poseen obligatoriamente la misma coordenada Y) obtenemos la coordenada YP. La posición espacial del punto P del modelo estereoscópico resulta (38): * () ai P ad ai xD XDx x  * () a P ad ai yD YDx x  * () P ad ai hD ZDx x  (38) donde, (,) ai a ix y : coordenadas del punto P en la imagen izquierda del anaglifo (,) ad a dx y : coordenadas del punto P en la imagen derecha del anaglifo (,,) P PP PX Y Z : coordenadas espaciales del punto P sobre el modelo estereoscópico D: distancia interpupilar Figura 8: Propiedades de la vision estereoscópica. a) Plano de visión XZ. b) Plano de visión YZ. Las coordenadas espaciales de cualquier punto se ven afectadas por el mismo factor de homotecia respecto de la imagen izquierda del anaglifo, en función de la distancia interpupilar, la distancia a la que se observe el anaglifo, y la superposición de las imágenes que lo generan. II.2.4.2.1. Transformaciones lineales posibles a la X En las ecuaciones (31) y (32) se proponen las coordenadas de las imágenes que se utilizaran para la construcción del anáglifo (, ) ii x y y (, ) dd x y. Si modificamos el anáglifo aplicando una transformación lineal a alguna de las imágenes (izquierda y/o derecha), se obtendrá un nuevo anáglifo con una ‘apariencia’ estereoscópica distinta. Propongamos la modificación de la coordenada X de los puntos del fotograma derecho del anáglifo (hacerlo sobre el izquierdo o sobre ambos resultaría igual procedimiento, como se ha indicado) según (39): Anaglifo P (XP,YP,ZP) h X Z D i(xai,yai) d(xad,yad) Ojo izquierdo Ojo derecho Anaglifo P (XP,YP,ZP) h Y Z i(xai,yai)-d(xad,yad) Ojo izquierdo – ojo derecho Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo II Epipolarización Autor: José Luis Denia Ríos 55 11 (1 ) * (1 ) * X mx nys   (39) La transformación lineal sobre la X ocasiona 3 efectos según variemos el valor de m, n ó s . a) Variación de s: El efecto que provoca una variación de s resulta una traslación en la coordenada X del fotograma derecho que aumenta de forma directa el valor de () ad ai x x  en esa cantidad, introduciendo en (38) un factor de homotecia (40) a cada una de las coordenadas de P: 1 () sx ad ai s fDx x   (40) Esto supone alejar y agrandar el modelo estereoscópico o viceversa. Las coordenadas espaciales de P así resultan (41): *1 * ()() ai P ad ai ad ai xD s XDx x Dx x    *1 * ()() a P ad ai ad ai yD s YDx x Dx x    (41) *1 * ()() P ad ai ad ai hD s ZDx x Dx x    b) Variación de m: El efecto que provoca una variación de m resulta una traslación en la coordenada, que aumenta de forma lineal el valor de () ad ai x x  , introduciendo en (38) un factor de homotecia (42) variable a cada una de las coordenadas de P: 1 () mx ad ai mx fDx x   (42) obteniendo (43): *1 * ()() ai P ad ai ad ai xD mx XDx x Dx x    *1 * ()() a P ad ai ad ai yD mx YDx x Dx x    (43) *1 * ()() P ad ai ad ai hD mx ZDx x Dx x    Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 62 Figura 9.d: fotograma de la malla calibrada (4) Los resultados de corregir la distorsión mediante el algoritmo desarrollado sobre los fotogramas realizados para la calibración se muestran en la tabla 1 (debido a la gran cantidad de puntos medidos para calcular los coeficientes del polinomio de distorsión, las coordenadas se incluyen en el Anexo VII.2.1.1. de la presente memoria. Las líneas generadas para el cálculo de los mismos no se han incluido en el documento dado que su formación resulta implícita en el proceso de cálculo del software implementado, cuya edición resultaría una cantidad enorme de información que no aporta valor al documento de cara a la comprensión de los procesos). Coeficiente Valor K1 3.29404E-8 K2 2.64413E-16 Tabla 1: coeficientes del polinomio de distorsión calculados con malla de calibración Las imágenes resultantes de aplicar el polinomio de distorsión calculado (cuyos valores presentan un sigma de 3.05 pixel y una desviación típica de 1.75 pixel) sobre la malla de calibración se muestran en la figura 10: Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 63 Figura 10: fotogramas corregidos de la malla calibrada. La utilización de una malla de calibración resulta sin duda el caso óptimo para cualquier investigación en la que se pretenda realizar tareas de calibración de un sensor, dado que contienen una cantidad de puntos mucho más elevada que cualquier escena común y además permiten realizar múltiples tomas en posiciones óptimas tanto de distancia como en distribución en la imagen. Es por tanto el caso lógico en el que debe basarse la constatación de un algoritmo como el diseñado, dado que cualquier investigador que quiera utilizarlo en labores de calibración utilizará una malla similar para sus fines. No obstante, resulta interesante analizar si el algoritmo diseñado resulta de aplicación en escenas normales, con el fin de verificar si es posible obtener el polinomio de distorsión de una determinada cámara mediante unos simples fotogramas que contengan unas cuantas líneas rectas que aparezcan en la imagen. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 64 Para ello se ha realizado un fotograma con otra cámara diferente a la del caso anterior, donde aparece un elemento rectangular centrado a propósito en la imagen. Figura 11: fotograma con los puntos medidos sobre las líneas rectas en una escena normal. Basándonos únicamente en las 4 rectas que definen el contorno de dicho elemento, se realiza en primer lugar la medición la medición de los 28 puntos marcados en la imagen (figura 11) según se muestra en la tabla 2: Punto x (pixel) y (pixel) 1 -773.603300 -1658.986300 2 -301.453000 -1709.970900 3 174.159600 -1725.148000 4 675.116000 -1704.759200 5 972.140700 -1674.647600 6 -535.500900 -1688.425900 7 463.440900 -1718.047200 8 -62.693100 -1720.842400 9 -942.256400 -93.632200 10 -893.482500 1225.449200 11 -855.706000 -766.805600 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 65 12 -930.421700 708.574000 13 -901.607500 -425.175600 14 -943.486900 301.042200 15 17.721300 1337.946700 16 981.351000 1322.593800 17 -422.365700 1299.479100 18 485.329400 1347.903200 19 -579.243400 1283.108500 20 774.856700 1338.437000 21 -159.563800 1325.765400 22 295.199000 1345.337200 23 1129.946800 -132.634700 24 1094.244700 520.298500 25 1026.052900 1052.280100 26 1123.230200 112.685500 27 1061.909800 794.110600 28 1111.698800 302.558700 Tabla 2: puntos medidos para corrección de la distorsión mediante una escena normal Generando el correspondiente sistema de ecuaciones mediante las posibles líneas rectas definidas por dichos puntos medidos, el resultado obtenido para los coeficientes del polinomio se muestra en la Tabla 3. El resultado de aplicar el polinomio calculado (cuyo valor de sigma resulta de 8.07 pixel y desviación típica de 2.84 pixel) sobre la imagen anterior, se muestra a continuación (figura 12). Coeficiente Valor K1 4.59063E-7 K2 9.87533E-17 Tabla 3: coeficientes del polinomio de distorsión calculados sobre un objeto en una escena normal El número de ecuaciones de condición generado en caso de utilizar una malla de calibración (primer caso), resulta obviamente muy superior a emplear unas cuantas rectas útiles en una imagen (segundo caso). Esto supone sin duda un ajuste de mayor precisión en aquellos casos en que el número de observables sea elevado, siempre y cuando su distribución además sea adecuada en la imagen. De hecho, el resultado en el segundo caso ha sido tan satisfactorio gracias a que la distribución de las rectas en la imagen resulta óptima (véase que el armario está centrado en la imagen y sus bordes están en la zona exterior del fotograma). Para poder determinar en qué situaciones podría prescindirse de la utilización de una malla calibrada, o lo que es lo mismo, para poder analizar cuántos observables resultan necesarios para obtener la máxima precisión, sería necesario realizar un estudio particularizado sobre múltiples Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 66 escenas, con múltiples combinaciones de puntos medidos evaluando en cada caso los residuales obtenidos en cada ajuste y obteniendo sucesivas conclusiones. Ello nos llevaría a obtener la distribución de puntos mínima en una escena con resultados óptimos, análisis que queda propuesto como futura línea de investigación derivada del presente estudio. Figura 12: fotograma corregido de distorsión. ALGORITMO DE EPIPOLARIZACIÓN DE UN PAR FOTOGRAMÉTRICO SIN PARÁMETROS DE ORIENTACIÓN Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 68 III.2. ALGORITMO DE EPIPOLARIZACIÓN DE UN PAR FOTOGRAMÉTRICO SIN PARÁMETROS DE ORIENTACIÓN. Con el fin de testar el algoritmo implementado se han realizado numerosas pruebas para las que han sido empleadas diferentes cámaras analógicas y digitales en escenas de diversa complejidad. Dichas pruebas han sido efectuadas sobre pares fotogramétricos terrestres y aéreos con el fin de extraer el mayor número de conclusiones posibles acerca de la aplicabilidad del algoritmo desarrollado. Las pruebas así clasificadas, y que a continuación se desarrollan en las sucesivas páginas, se dividen de la siguiente forma: III.2.1. Aplicación en Fotogrametría terrestre. III.2.1.1. Edificaciones planas: Fachada principal del Marqués de Dos Aguas de Valencia. III.2.1.2. Edificaciones aisladas: Templete situado en la Avenida de Aragón (Valencia) III.2.1.3. Escenas complejas: dos pruebas sobre monumentos situados en el Campus de Vera (UPV) con diferente profundidad. Monumento “Yunta” del Campus de Vera de la UPV Monumento “Paloma de Portacoeli” del Campus de Vera de la UPV III.2.2. Aplicación en Fotogrametría aérea. III.2.2.1. Relieves suaves: fotogramas de un vuelo 1/3500 sobre Écija (Sevilla) III.2.2.2. Relieves abruptos: fotogramas de un vuelo 1/3500 sobre Vistabella del Maestrazgo (Castellón) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 69 III.2.1. APLICACIÓN EN FOTOGRAMETRÍA TERRESTRE III.2.1.1. EDIFICACIÓN PLANA (FACHADA) III.2.1.1.1. Generación del modelo 3D. La primera prueba realizada se ha efectuado sobre la fachada principal del Marqués de Dos Aguas de Valencia. Se ha elegido esta fachada por ser un caso de relieve no demasiado abrupto sobre un plano de fachada, con el fin de probar el algoritmo inicialmente sobre una escena óptima. Se han tomado dos fotogramas con una cámara semimétrica (no se indican sus parámetros puesto que no serán utilizados). Los fotogramas originales tienen un tamaño de 2304x3072 pixels.. La medición de fotocoordenadas se ha realizado con un programa de edición de imágenes comercial, con origen de coordenadas en la esquina inferior izquierda. Figura 13: Fotogramas izquierdo y derecho originales del Marqués de Dos Aguas (Valencia) Medimos las fotocoordenadas de 12 puntos homólogos (Tabla 4) en dos fotogramas (figura 13) generando un sistema de cálculo de 12 ecuaciones y 7 incógnitas según la expresión (30) y calculando las coordenadas de las esquinas de los fotogramas epipolarizados en cada iteración según (31) y (32). Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 70 Fotograma izquierdo Fotograma derecho Punto x1 (pixel) y1 (pixel) x2 (pixel) y2 (pixel) 1 396 3018 392 2951 2 1209 2979 1198 2950 3 1911 2903 1915 2906 4 344 2503 349 2443 5 1957 2372 1972 2377 6 224 1582 241 1528 7 2136 1504 2172 1501 8 155 671 186 620 9 2109 757 2162 737 10 1223 531 1255 494 11 1179 1691 1179 1665 12 1186 2435 1186 2407 Tabla 4: fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes originales para calcular la epipolarización (fachada plana) Los resultados obtenidos para los 7 parámetros de la transformación (Tabla 5) arrojan una desviación típica de 0,85 pixels. Parámetro Valor AR2 -2.960202*10-2 BR2 0.992272 CR2 -1619.578457 A'R2 -2.745498*10-4 B'R2 -8.238490*10-6 A'R1 -2.871176*10-4 CR1 -1694 Tabla 5: Coeficientes de la transformación (fachada plana) Fotograma izquierdo epipolarizado Fotograma derecho epipolarizado Modelo estereoscópico Punto x1 (pixel) y1 (pixel) t x2 (pixel) y2 (pixel) t Paralaje residual 1 445.5 2692.7 1492.2 443.3 2692.9 1492.5 -0.2 2 1851.8 3011.2 1968.2 1842.1 3009.3 1965.3 1.9 3 4234.3 3486.8 2678.8 4236.2 3488.3 2681.1 -1.5 4 381.7 2294.8 897.7 381.7 2295.2 898.4 -0.5 5 4461.7 2729.0 1546.5 4461.7 2731.7 1550.5 -2.7 6 238.3 1613.9 -119.7 238.3 1613.7 -120.0 0.2 7 5516.7 1365.4 -491.0 5491.8 1361.4 -497.0 4.0 8 162.2 977.5 -1070.6 163.8 977.2 -1071.0 0.3 9 5346.4 102.6 -2377.9 5321.9 102.1 -2378.6 0.5 10 1884.9 494.5 -1792.4 1875.3 495.4 -1790.9 -1.0 11 1780.1 1691.0 -4.5 1748.3 1691.6 -3.5 -0.7 12 1796.1 2444.6 1121.6 1792.9 2444.2 1120.9 0.5 Tabla 6: fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes epipolarizadas. Paralaje residual generado en el modelo estereoscópico (fachada plana). Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 71 Las coordenadas epipolarizadas de los 12 puntos homólogos con sus correspondientes valores de t muestran unos valores de paralaje residual inferiores a 4 pixels (Tabla 6) pudiendo afirmar que el modelo generado es correcto y está libre de paralajes. Las imágenes epipolarizadas, resultado de modificar las imágenes originales de acuerdo con las esquinas calculadas por el algoritmo, se muestran en la figura 14: Figura 14: Fotogramas izquierdo y derecho epipolarizados del Marqués de Dos Aguas (Valencia) Las esquinas de las imágenes epipolarizadas calculadas para ello mediante las ecuaciones (31) y (32) con los valores de los coeficientes obtenidos (Tabla 5) se muestran en la Tabla 7: Fotograma izquierdo Fotograma derecho Esquina x1 (pixel) y1 (pixel) x2 (pixel) y2 (pixel) Superior izquierda 0.0 560 -38 610 Superior derecha 6807 -1655 6163 -1380 Inferior izquierda 0.0 2616 -5 2675 Inferior derecha 6807 4419 6717 4355 Tabla 7: Fotocoordenadas de las esquinas de las imágenes epipolarizadas (fachada plana). Una vez epipolarizadas las imágenes, la superposición de éstas ofrece la formación del anaglifo y en consecuencia la visión estereoscópica del modelo del par fotogramétrico (figura 15). Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 78 Figura 19: Modelo estereoscópico del Templete de la Av. de Aragón (Valencia) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 79 III.2.1.2.2. Giro del modelo mediante la variación de las propiedades de la visión estereoscópica. La variación de los parámetros m, n y s permite, de acuerdo con lo expuesto en el apartado II.2.4.2 de esta memoria, la variación de las propiedades de la visión estereoscópica, generando tantas perspectivas como se desee de un mismo modelo. Partiendo de la medición de puntos homólogos del apartado anterior, pero variando el valor de m, n y s, de acuerdo con la elección de los puntos en los que se elimina el paralaje, se obtienen los siguientes modelos correspondientes a los dos ejemplos mostrados como escenas complejas (se indica el correspondiente valor de m, n y s para cada uno de ellos, no obstante no se muestran el resto de cálculos por ser el proceso idéntico al mostrado en el apartado anterior, con el fin de no aumentar en exceso el tamaño de la memoria). El anáglifo de la izquierda corresponde con el modelo generado anteriormente, mientras que el derecho corresponde al mismo par girado mediante diferentes parámetros m, n y s (figura 20): Figura 20: a) Modelo 3D con m= 0.01284694553401, n= -0.977342266 y s= -93.994758935855639. b) Modelo 3D con m= 0.032121994312041, n= -1.057879426 y s= 109.1411316568751. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 80 Según puede apreciarse en la figura 20, el primer modelo obtenido deja toda la edificación por detrás del plano del observador (m= 0.01284694553401, n= -0.977342266 y s= - 93.994758935855639); en el segundo modelo en cambio, se ha eliminado el paralaje en un plano intermedio de la edificación lo que provoca que la mitad del modelo se encuentre por delante del plano del observador y la otra mitad por detrás (m= 0.032121994312041, n= -1.057879426 y s= 109.1411316568751). Los parámetros m, n y s indicados en cada caso, resultan de eliminar el paralaje en los 3 puntos que definan el plano frontal del observador (puntos 7, 8 y 9 para el primer modelo y puntos 1, 7 y 9 para el segundo). Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 81 III.2.1.3. ESCENAS COMPLEJAS III.2.1.3.1. Generación del modelo 3D. La tercera prueba realizada se ha efectuado sobre uno de los monumentos situados en el Campus de la Universidad Politécnica de Valencia (figura 21). Una vez aplicado el algoritmo sobre un elemento aislado, se procede a su aplicación sobre una escena compleja que muestra diferentes planos de profundidad. Se han tomado varios fotogramas con una cámara semimétrica Rolleiflex 6008 Integral 2 con Phase One db20p 16mp (no se indican sus parámetros puesto que no serán utilizados). Los fotogramas originales tienen un tamaño de 4080x4080 pixels.. La medición de fotocoordenadas se ha realizado con un programa de edición de imágenes comercial, con origen de coordenadas en la esquina inferior izquierda. Figura 21: Fotogramas izquierdo y derecho originales (monumento “Yunta” del Campus de Vera de Valencia) Fotograma izquierdo Fotograma derecho Punto x1 (pixel) y1 (pixel) x2 (pixel) y2 (pixel) 1 771 3926 860 3802 2 1836 3995 1905 3923 3 280 2466 425 2351 4 2139 3190 2235 3139 5 1476 3109 1446 3022 6 2323 2823 2294 2774 7 265 2093 263 1981 8 2016 2239 1983 2182 9 3963 1950 3980 1960 10 644 1876 628 1780 11 3303 1796 3294 1782 12 3380 879 3250 862 Tabla 12: fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes originales para calcular la epipolarización (escena compleja 1) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 82 Medimos las fotocoordenadas de 12 puntos homólogos (Tabla 12) en dos fotogramas (figura 21) generando un sistema de cálculo de 12 ecuaciones y 7 incógnitas según la expresión (30) y calculando las coordenadas de las esquinas de los fotogramas epipolarizados en cada iteración según (31) y (32). Los resultados obtenidos para los 7 parámetros de la transformación (Tabla 13) arrojan una desviación típica de 0,36 pixels. Parámetro Valor AR2 -3.560365*10-2 BR2 1.023982 CR2 -2210.920370 A'R2 3.124027*10-5 B'R2 -8.233087*10-7 A'R1 2.129039*10-5 CR1 -2285 Tabla 13: Coeficientes de la transformación (escena compleja 1) Las coordenadas epipolarizadas de los 12 puntos homólogos con sus correspondientes valores de t muestran unos valores de paralaje residual inferiores a 0.4 pixels (Tabla 14) pudiendo afirmar que el modelo generado es correcto y está libre de paralajes. Fotograma izquierdo epipolarizado Fotograma derecho epipolarizado Modelo estereoscópico Punto x1 (pixel) y1 (pixel) t x2 (pixel) y2 (pixel) t Paralaje residual 1 758.5 3969.2 1614.1 926.5 3969.4 1614.3 -0.2 2 1767.2 4002.3 1645.8 1924.2 4002.3 1645.8 0.0 3 278.4 2472.3 179.5 441.4 2472.1 179.3 0.2 4 2046.0 3188.1 865.5 2196.6 3188.0 865.4 0.1 5 1430.9 3118.4 798.7 1463.0 3118.1 798.4 0.4 6 2214.0 2819.7 512.5 2236.7 2819.7 512.4 0.0 7 263.9 2085.8 -190.9 263.9 2086.1 -190.6 -0.3 8 1933.1 2238.5 -44.5 1933.1 2238.6 -44.5 -0.1 9 3654.7 1963.1 -308.5 3654.7 1963.5 -308.1 -0.4 10 635.2 1863.9 -403.5 624.3 1864.0 -403.5 0.0 11 3085.8 1808.3 -456.8 3076.5 1808.0 -457.1 0.3 12 3152.7 916.7 -1311.3 3007.1 916.6 -1311.4 0.1 Tabla 14: fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes epipolarizadas. Paralaje residual generado en el modelo estereoscópico. (escena compleja 1) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 83 Las esquinas de las imágenes epipolarizadas calculadas mediante las ecuaciones (31) y (32) con los valores de los coeficientes obtenidos (Tabla 13) se muestran en la Tabla 15: Fotograma izquierdo Fotograma derecho Esquina x1 (pixel) y1 (pixel) x2 (pixel) y2 (pixel) Superior izquierda 0.0 4158.3 71.2 4343.9 Superior derecha 3753.8 4008.2 3811.1 3975.9 Inferior izquierda 0.0 -99.8 -77.9 -22.3 Inferior derecha 3754.0 90.7 3668.2 103.9 Tabla 15: Fotocoordenadas de las esquinas de las imágenes epipolarizadas (escena compleja 1). Las imágenes epipolarizadas, resultado de modificar las imágenes originales de acuerdo con las esquinas calculadas por el algoritmo, se muestran en la figura 22: Figura 22: Fotogramas izquierdo y derecho epipolarizados (monumento “Yunta” del Campus de Vera de Valencia) Una vez epipolarizadas las imágenes, la superposición de éstas ofrece la formación del anaglifo y en consecuencia la visión estereoscópica del modelo resultante del par fotogramétrico, según se muestra en la figura 23. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 84 Figura 23: Modelo estereoscópico (monumento “Yunta” del Campus de Vera de Valencia) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 85 La cuarta prueba realizada se ha efectuado sobre otro de los monumentos situados en el Campus de la Universidad Politécnica de Valencia (figura 24) sobre una escena compleja de diferentes niveles. Para ello se ha empleado la misma cámara que en el caso anterior con un formato de imagen de 1653 x 2362 pixels. Figura 24: Fotogramas izquierdo y derecho originales (monumento “Paloma de Portacoeli” del Campus de Vera de Valencia) Fotograma izquierdo Fotograma derecho Punto x1 (pixel) y1 (pixel) x2 (pixel) y2 (pixel) 1 143 1517 182 1492 2 658 1533 702 1525 3 930 1434 980 1436 4 1493 1247 1565 1267 5 104 923 161 898 6 822 906 873 903 7 97 464 168 440 8 875 362 940 361 9 1068 470 1096 474 10 1348 466 1378 478 11 1389 1143 1400 1158 12 1046 204 1075 207 Tabla 16: fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes originales para calcular la epipolarización (escena compleja 2) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 86 Medimos las fotocoordenadas de 12 puntos homólogos (Tabla 16) en dos fotogramas (Figura 24) generando un sistema de cálculo de 12 ecuaciones y 7 incógnitas según la expresión (30) y calculando las coordenadas de las esquinas de los fotogramas epipolarizados en cada iteración según (31) y (32). Los resultados obtenidos para los 7 parámetros de la transformación (Tabla 17) arrojan una desviación típica de 0,45 pixels. Parámetro Valor AR2 -1.903772 * 10-3 BR2 1.012251 CR2 5548.018985 A'R2 3.177330 * 10-6 B'R2 1.260175* 10-6 A'R1 -1.392718 * 10-6 CR1 5522 Tabla 17: Coeficientes de la transformación (escena compleja 2) Las coordenadas epipolarizadas de los 12 puntos homólogos con sus correspondientes valores de t muestran unos valores de paralaje residual inferiores a 0.5 pixels (Tabla 18) pudiendo afirmar que el modelo generado es correcto y está libre de paralajes. Fotograma izquierdo epipolarizado Fotograma derecho epipolarizado Modelo estereoscópico Punto x1 (pixel) y1 (pixel) t x2 (pixel) y2 (pixel) t Paralaje residual 1 143.5 1510.9 7041.0 185.8 1511.1 7041.2 -0.2 2 658.9 1532.2 7062.4 707.0 1531.7 7061.9 +0.5 3 931.2 1435.8 6965.8 981.8 1436.1 6966.1 -0.3 4 1496.6 1253.3 6783.1 1559.1 1253.4 6783.2 -0.1 5 104.6 916.9 6446.3 147.3 917.1 6446.5 -0.1 6 823.4 906.3 6435.7 859.4 906.1 6435.5 +0.2 7 97.7 458.0 5986.9 141.2 457.8 5986.6 +0.3 8 876.5 363.0 5891.8 911.2 363.2 5892.0 -0.2 9 1070.0 472.3 6001.2 1070.0 472.7 6001.6 -0.4 10 1351.4 471.2 6000.1 1351.4 470.7 5999.6 +0.5 11 1392.0 1148.7 6678.4 1392.0 1148.8 6678.5 -0.1 12 1047.9 205.8 5734.4 1041.6 205.9 5734.5 -0.1 Tabla 18: fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes epipolarizadas. Paralaje residual generado en el modelo estereoscópico (escena compleja 2). Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 87 Las esquinas de las imágenes epipolarizadas calculadas mediante las ecuaciones (31) y (32) con los valores de los coeficientes obtenidos (Tabla 17) se muestran en la Tabla 19: Fotograma izquierdo Fotograma derecho Esquina x1 (pixel) y1 (pixel) x2 (pixel) y2 (pixel) Superior izquierda 0.0 2352.8 28.1 2384.2 Superior derecha 1656.6 2371.2 1675.9 2340.4 Inferior izquierda 0.0 -6.1 -40.8 19.9 Inferior derecha 1656.6 6.1 1611.2 -11.8 Tabla 19: Fotocoordenadas de las esquinas de las imágenes epipolarizadas (escena compleja 2). Las imágenes epipolarizadas, resultado de modificar las imágenes originales de acuerdo con las esquinas calculadas por el algoritmo, se muestran en la figura 25: Figura 25: Fotogramas izquierdo y derecho epipolarizados (monumento “Paloma de Portacoeli” del Campus de Vera de Valencia) Una vez epipolarizadas las imágenes, la superposición de éstas ofrece la formación del anaglifo y en consecuencia la visión estereoscópica del modelo resultante del par fotogramétrico, según se muestra en la figura 26. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 94 Figura 31: Modelo estereoscópico del vuelo sobre Écija (Sevilla) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 95 III.2.2.2. RELIEVE ABRUPTO El segundo caso se trata de un par fotogramétrico obtenido de un vuelo E= 1/3500, con recubrimiento longitudinal de 60% sobre la zona de Vistabella del Maestrazgo en la Provincia de Castellón. Los fotogramas han sido obtenidos con una cámara métrica RC-10 (no se indican sus parámetros puesto que no serán utilizados). Los fotogramas originales tienen un formato de 6666x10970 pixels.. La medición de fotocoordenadas se ha realizado con un programa de edición de imágenes comercial, con origen de coordenadas en la esquina inferior izquierda. Figura 32: Fotogramas izquierdo y derecho originales del vuelo sobre Vistabella del Maestrazgo (Castellón) Medimos las fotocoordenadas de 12 puntos homólogos (Tabla 24) en dos fotogramas (figura 32) generando un sistema de cálculo de 12 ecuaciones y 7 incógnitas según la expresión (30) y calculando las coordenadas de las esquinas de los fotogramas epipolarizados en cada iteración según (31) y (32). Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 96 Fotograma izquierdo Fotograma derecho Punto x1 (pixel) y1 (pixel) x2 (pixel) y2 (pixel) 1 2034 9130 3117 9254 2 811 10434 1705 10703 3 6325 6020 6564 8743 4 6244 1408 5999 1272 5 614 1725 469 2025 6 502 6333 666 6571 7 2238 7524 2952 7611 8 5450 6228 5403 6034 9 4963 3653 4535 3545 10 2045 3036 1981 3185 11 3412 4914 3178 4912 12 4911 7918 5392 7764 Tabla 24: fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes originales para calcular la epipolarización (relieve abrupto) Los resultados obtenidos para los 7 parámetros de la transformación (Tabla 25) arrojan una desviación típica de 1,05 pixels. Parámetro Valor AR2 4.281866 * 10-2 BR2 1.148320 CR2 30912.263427 A'R2 1.121617 * 10-6 B'R2 3.367519* 10-6 A'R1 2.339490 * 10-6 CR1 31338 Tabla 25: Coeficientes de la transformación (relieve abrupto) Fotograma izquierdo epipolarizado Fotograma derecho epipolarizado Modelo estereoscópico Punto x1 (pixel) y1 (pixel) t x2 (pixel) y2 (pixel) t Paralaje residual 1 2024.4 9252.4 40276.3 3012.6 9252.4 40276.3 0.0 2 809.5 10680.0 41692.9 1642.7 10680.4 41693.3 -0.4 3 6232.8 8741.6 39769.5 6331.0 8741.5 39769.4 +0.1 4 6154.1 1188.2 32274.5 5933.7 1188.0 32274.4 +0.2 5 613.1 1935.0 33015.6 465.6 1934.6 33015.2 +0.4 6 501.4 6582.2 37626.8 651.1 6581.1 37625.7 +1.1 7 2226.3 7623.0 38659.6 2869.0 7623.1 38659.7 -0.1 8 5381.4 6044.3 37093.1 5264.1 6045.3 37094.0 -1.0 9 4906.0 3521.1 34589.4 4459.1 3520.1 34588.4 +1.0 10 2035.3 3139.1 34210.3 1955.7 3140.3 34211.5 -1.2 11 3385.0 4907.4 35964.9 3115.4 4908.2 35965.8 -0.9 12 4855.2 7774.7 38810.1 5223.8 7773.9 38809.3 +0.8 Tabla 26: fotocoordenadas de los puntos homólogos en las imágenes epipolarizadas. Paralaje residual generado en el modelo estereoscópico (relieve abrupto). Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 97 Las coordenadas epipolarizadas de los 12 puntos homólogos con sus correspondientes valores de t muestran unos valores de paralaje residual inferiores a 1.2 pixels (Tabla 26) pudiendo afirmar que el modelo generado es correcto y está libre de paralajes. Las esquinas de las imágenes epipolarizadas calculadas mediante las ecuaciones (31) y (32) con los valores de los coeficientes obtenidos (Tabla 25) se muestran en la Tabla 27: Fotograma izquierdo Fotograma derecho Esquina x1 (pixel) y1 (pixel) x2 (pixel) y2 (pixel) Superior izquierda 0.0 244.0 264.0 -185.0 Superior derecha 6564.0 -241.0 7209.0 -130.0 Inferior izquierda 0.0 11300.0 -471.0 10948.0 Inferior derecha 6564.0 10645.0 6234.0 10921.0 Tabla 27: Fotocoordenadas de las esquinas de las imágenes epipolarizadas (relieve abrupto). Las imágenes epipolarizadas, resultado de modificar las imágenes originales de acuerdo con las esquinas calculadas por el algoritmo, se muestran en la figura 33: Figura 33: Fotogramas izquierdo y derecho epipolarizados del vuelo sobre Vistabella del Maestrazgo (Castellón) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo III Resultados obtenidos Autor: José Luis Denia Ríos 98 Una vez epipolarizadas las imágenes, la superposición de éstas ofrece la formación del anaglifo y en consecuencia la visión estereoscópica del modelo resultante del par fotogramétrico, según se muestra en la figura 34. Figura 34: Modelo estereoscópico del vuelo sobre Vistabella del Maestrazgo (Castellón) CAPÍTULO IV DISCUSIÓN: ANÁLISIS Y CONCLUSIONES Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo IV Análisis y Conclusiones Autor: José Luis Denia Ríos 100 IV.1. ALGORITMO DE CORRECCIÓN DE LA DISTORSIÓN DE UNA IMAGEN SIN PARÁMETROS DE ORIENTACIÓN INTERNA. Dado que el presente trabajo aborda dos procesos bien diferenciados, conviene realizar el análisis de cada uno de ellos de forma independiente, con el fin de evaluar el grado de satisfacción ofrecido por ellos, indicando obviamente aquello susceptible de ser mejorado en su caso. Una vez hecho lo cual se realizará un análisis global, dado que el proceso de epipolarización se ve directamente afectado por el de corrección de la imagen. En lo que respecta a la corrección de la distorsión de la imagen, el proceso desarrollado se muestra sencillo en su planteamiento y tremendamente efectivo a la vista de los resultados obtenidos. El hecho de obviar cualquier parámetro de calibración de la cámara resulta sin duda de enorme interés, ya que no son pocas las ocasiones en que se pretende trabajar con imágenes cuyo origen resulta desconocido, y el procedimiento expuesto lo permite. Tal como se ha indicado existe una publicación llevada a cabo por Swaminathan y Shree (2000) donde se efectúa un procedimiento similar que permite llevar a cabo la misma tarea. Las diferencias entre dicho procedimiento y el desarrollado en la presente tesis doctoral radica en que Swaminathan y Shree emplean para la recta una ecuación del tipo     senyx *cos* , lo cual requiere para su aplicación el conocimiento previo de la dirección θ de la recta después de haber sido corregidas las coordenadas por distorsión. Esto implica un cálculo previo aproximado con un primer valor inicial de la dirección de la recta, e iniciar un proceso iterativo de cálculos modificando en la ecuación el valor θ, según los resultados obtenidos en la anterior iteración. Y dicho procedimiento se establece planteando una ecuación por cada punto. En cambio, el planteamiento desarrollado en este trabajo emplea 3 puntos por ecuación, lo que significa 2 ecuaciones menos con 2 incógnitas menos por cada recta (8). Swaminathan en su planteamiento contiene en un mismo término las coordenadas medidas x e y, y no le hace ningún tratamiento independiente a estas coordenadas. Así pues el método no permite tratar independientemente cada coordenada, para aplicación de los test de fiabilidad, ni para su ponderación dentro del sistema. Rectas que pasen cerca del centro del fotograma no se pueden distinguir de otras que no pasen cerca de éste, por lo que sólo puede ponderarse la ecuación de una manera general que afecta fundamentalmente al valor de ρ. Los resultados obtenidos, desde el punto de vista de la mejora de lo publicado con anterioridad son evidentes, tanto en la optimización del sistema de cálculo como en la explotación y análisis de los resultados obtenidos. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo IV Análisis y Conclusiones Autor: José Luis Denia Ríos 101 En lo que respecta al sistema de cálculo cabe resaltar el número de ecuaciones de condición generado en cada caso. Dado que se plantean diferentes alternativas en la formación de las ecuaciones en función del número de puntos que definen las rectas, es posible generar combinaciones de puntos dando lugar a numerosas rectas posibles, obteniendo una redundancia mucho mayor que en cualquier otro método conocido. Si además se emplea un patrón calibrado (tal como se ha mostrado en el presente documento) el sistema de ecuaciones de observación generado resulta de tal dimensión que es necesario establecer un proceso automatizado en la generación de dichas ecuaciones, dado el enorme volumen que supone. Así mismo, en el caso de utilizar una escena normal en la que aparezcan líneas rectas, el algoritmo también permite optimizar el resultado de forma notable. Esto es así debido a que en aquellos casos en los que existan un número pequeño de líneas rectas en la imagen, cada una de ellas da lugar a la formación de varias ecuaciones de condición y no sólo a una como ocurre con el resto de algoritmos. El empleo de un número de ecuaciones tan elevado (en cualquier caso) supone sin duda un ajuste de mayor precisión tanto en aquellos casos en que el número de observables sea elevado como en los que sea inferior. No obstante, la precisión final obtenida dependerá además de la distribución de los observables en la imagen (rectas muy bien definidas mal distribuidas pueden dar lugar a un resultado de precisión inferior a rectas peor definidas con mejor distribución). Es evidente, desde este punto de vista que el empleo de una malla de calibración garantiza un escenario óptimo, ofreciendo el mayor número de observables posibles en la mejor situación posible. Por todo ello cabe afirmarse que el método resulta óptimo (en cualquier circunstancia) y preciso (en el caso de disponer de puntos suficientes y bien distribuidos). E incluso cabría afirmarse que resulta difícilmente mejorable cuando se dispone de un patrón calibrado gracias a un ajuste con mucha más redundancia que cualquier otro método. Este último supuesto es sin duda el más razonable. Pese a que el algoritmo resulte viable en escenas normales, en cualquier investigación en la que se pretenda realizar tareas de calibración de un sensor, debe emplearse un patrón de estas características desde el punto de vista de generar el escenario óptimo para el fin que se persigue. Esto nos permite disponer de una cantidad de puntos mucho más elevada que cualquier escena común y además permiten realizar múltiples tomas en posiciones óptimas tanto de distancia como en distribución en la imagen. Es por tanto el caso lógico en el que debe basarse la constatación de un algoritmo como el diseñado, dado que cualquier investigador que quiera utilizarlo en labores de calibración utilizará una malla similar para sus fines. Y bajo ese escenario puede afirmarse que resulta óptimo. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo IV Análisis y Conclusiones Autor: José Luis Denia Ríos 102 IV.2. ALGORITMO DE EPIPOLARIZACIÓN DE UN PAR FOTOGRAMÉTRICO SIN PARÁMETROS DE ORIENTACIÓN. El proceso desarrollado para epipolarizar un par fotogramétrico se muestra sencillo en su planteamiento y sin duda efectivo a la vista de los resultados obtenidos. El hecho de obviar cualquier parámetro de calibración de la cámara en este proceso resulta sin duda de enorme interés, ya que no son pocas las ocasiones en que se pretende trabajar con imágenes cuyo origen resulta desconocido, y el procedimiento expuesto lo permite. El algoritmo desarrollado es por tanto de mayor relevancia que el correspondiente a la distorsión, desde el punto de vista de que existen algoritmos alternativos para calibrar la distorsión de una imagen (tal como se ha indicado), pero no hay ninguno capaz de generar un modelo 3D sin ellos. Poder generar visión 3D a partir de imágenes de origen desconocido es sin duda satisfactorio. En la formación del modelo 3D los restituidores digitales basan la epipolarización en el sistema de cálculo que genera la coplanaridad mediante la señalización de 5 puntos homólogos en los dos fotogramas, empleando parámetros de calibración de la cámara (focal, posición del punto principal), componentes del vector de la base entre los centros de proyección y giros de los planos imagen. De acuerdo con este planteamiento, es lógico plantear que si los planos nucleares definidos en el proceso por los puntos homólogos generan líneas epipolares, las propias líneas pudieran ser la base para generar un algoritmo alternativo. Partiendo de este planteamiento, en el sistema propuesto (30) únicamente es necesario introducir las fotocoordenadas de 7 puntos homólogos obteniendo los 7 coeficientes de la transformación y calcular después la epipolarización de las imágenes mediante las esquinas de ambos fotogramas (31) y (32). El algoritmo desarrollado funciona perfectamente con 7 coeficientes (7 puntos homólogos medidos) e incluso en determinadas circunstancias puede hacerlo con sólo 5. Esta simplificación es posible, tal como se ha indicado, gracias a que siempre podremos encontrar 5 valores en el fotograma derecho que definan la proyectividad con el izquierdo sea cual sea el valor de 1 R A  y teniendo en cuenta que el valor de 1 R C únicamente ocasiona una traslación del fotograma izquierdo en el eje Y. Dicha simplificación resulta especialmente interesante cuando la escena presenta bajo relieve, posibilitando la generación del modelo con un número de puntos inferior (circunstancia que suele ser habitual en escenas de bajo relieve donde la identificación de puntos homólogos bien definidos puede resultar de mayor dificultad). Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo IV Análisis y Conclusiones Autor: José Luis Denia Ríos 103 El algoritmo desarrollado permite el cálculo de los centros epipolares así como del eje de homología. Resulta interesante observar que éste último no es posible determinarlo, no obstante no representa introducir ningún tipo de incertidumbre en el proceso. Tanto es así que el algoritmo funciona perfectamente aún cuando los centros epipolares y/o el eje de homología resultan impropios (en el infinito), no obstante en aquellas situaciones en que los denominadores de nuestro algoritmo tiendan a cero o la coordenada ‘y’ del centro sea infinita, el algoritmo no funcionará. Igualmente si el punto elegido se encuentra cerca de la recta determinada por cualquiera de los dos denominadores nos encontraremos en una situación no deseable. En cualquier caso, gracias a los test de fiabilidad, el proceso de minimos cuadrados es capaz de localizar qué ecuaciones resultan óptimas en función de la distribución de los puntos homólogos por lo que estas situaciones son evitables, si tuvieran lugar. Resulta especialmente interesante analizar las propiedades de la visión estereoscópica del modelo generado. Según se ha demostrado es posible generar diferentes modelos 3D con un mismo par fotogramétrico, situando el plano del observador donde deseemos para generar distintas perspectivas de una misma escena. El algoritmo mostrado permite variar las propiedades definiendo en cada caso la epipolarización del par bajo distintas condiciones, así como estirar o comprimir las imágenes en dirección horizontal hasta obtener una proporción similar a la realidad, manteniendo la correcta formación del modelo estereoscópico, ya que las rectas epipolares no se alteran (en cambio, cualquier modificación no simultánea de las imágenes en dirección vertical supondrá la pérdida de las propiedades de la epipolarización al introducir paralajes ‘y’). No obstante, hay ocasiones la rectificación del anaglifo respecto del plano elegido provoca la obtención de paralajes horizontales y/o verticales que suponen incluso la deformación del mismo sin causa lógica aparente. Este hecho pone de manifiesto que la elección y/o distribución de los puntos elegidos para la transformación tiene influencia sobre el anaglifo. De hecho esto es sabido (vease la interpretación geométrica de los coeficientes) dado que se ha demostrado la capacidad de la transformación desarrollada para variar la perspectiva del modelo estereoscópico. Por ello, se muestra fundamental profundizar en este punto de la investigación en el futuro (una vez se ha demostrado la validez del algoritmo incluso en estas situaciones; es decir, el modelo sí se forma aunque con deformación en su perspectiva). Para finalizar, se enumeran a continuación las conclusiones principales de la investigación realizada en base a los objetivos fijados en la misma, afirmando que:  Es posible la corrección de la distorsión de una imagen con gran precisión sin parámetros de orientación interna. Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VI Referencias y Bibliografía Autor: José Luis Denia Ríos 110 Faugueras, O., 1993. “Three-dimensional Computer Vision: a Geometric Viewpoint”. The MIT Press, Cambridge, Mass. Faugueras, O., 1995. “Stratification of 3D vision: projective, affine, and metric representations”, Journal of the Optical Society of America A, 12(3):465-484. Faugueras, O., Luong, T. and Maybank, S., 1992. “Camera self-calibration: theory and experiments”, Proccedings of the 2nd ECCV, 588:321-334. Feldmann, I., Eisert, P., Kauff, P., 2003. “Extension of epipolar image analysis to circular camera movements”, Proccedings of International Conference on Image Processing, 697-700, Barcelona, Spain. Han, J.H., Park, J.S., 2000. “Contour matching using epipolar geometry”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 22(4):358–370. Haralick, R.M, 1989. 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Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VI Referencias y Bibliografía Autor: José Luis Denia Ríos 113 Zhang, Z., Deriche, R., Faugueras, O.D., Luong, Q.T., 1995. “A robust technique for matching two uncalibrated images through the recovery of the unknown epipolar geometry”, Artificial Inteligence Journal, 78:87-119. CAPÍTULO VII ANEXOS ANEXO I FOTOGRAMAS EMPLEADOS Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 116 VII.1. FOTOGRAMAS EMPLEADOS Figura 35: fotograma de la malla de calibración (1) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 117 Figura 36: fotograma de la malla de calibración (2) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 118 Figura 37: fotograma de la malla de calibración (3) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 119 Figura 38: fotograma de la malla de calibración (4) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 126 Figura 45: fotograma derecho del monumento “Yunta” del Campus de Vera de la UPV Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 127 Figura 46: fotograma izquierdo del monumento “Paloma de Portacoeli” del Campus de Vera de la UPV Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 128 Figura 47: fotograma derecho del monumento “Paloma de Portacoeli” del Campus de Vera de la UPV Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 129 Figura 48: fotograma izquierdo del vuelo sobre Écija (Sevilla) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 130 Figura 49: fotograma derecho del vuelo sobre Écija (Sevilla) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 131 Figura 50: fotograma izquierdo del vuelo sobre Vistabella del Maestrazgo (Castellón) Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo I Autor: José Luis Denia Ríos 132 Figura 51: fotograma derecho del vuelo sobre Vistabella del Maestrazgo (Castellón) ANEXO II CÁLCULOS REALIZADOS Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 134 VII.2. CÁLCULOS REALIZADOS VII.2.1. CORRECCIÓN DE LA DISTORSIÓN DE LA IMAGEN VII.2.1.1. APLICACIÓN SOBRE MALLAS CALIBRADAS. Punto Foto x (pixel) y (pixel) 1 a) 521,68969 1021,97869 2 a) 684,46979 -926,42890 3 a) -677,29614 1216,08615 4 a) -628,28325 -1005,39351 5 a) 730,53893 1231,44246 6 a) 770,02789 968,42700 7 a) 808,00205 685,70500 8 a) 843,72483 385,84652 9 a) 876,32176 72,08897 10 a) 904,39610 -250,28049 11 a) 927,02837 -575,97827 12 a) 944,40952 -898,86198 13 a) 955,73198 -1213,82833 14 a) 630,17467 1131,04811 15 a) 666,83526 854,01853 16 a) 702,06001 557,16942 17 a) 734,68157 243,15835 18 a) 764,43339 -82,54267 19 a) 789,56020 -415,33967 20 a) 809,79764 -748,04837 21 a) 824,36874 -1075,11913 22 a) 487,63849 1291,96398 23 a) 555,20603 730,11348 24 a) 587,38284 418,73050 25 a) 617,22090 91,09667 26 a) 643,79104 -246,52507 27 a) 666,36364 -588,21861 28 a) 697,43346 -1255,31126 29 a) 373,58599 1188,09809 30 a) 404,19851 903,30967 31 a) 434,54641 596,41743 32 a) 463,30231 269,78927 33 a) 490,48910 -70,42674 34 a) 514,58069 -418,98149 35 a) 534,91426 -767,42462 36 a) 550,95390 -1109,31384 37 a) 224,09509 1351,29885 38 a) 250,82322 1075,13891 39 a) 277,60602 774,66005 40 a) 304,53058 452,14125 41 a) 330,42218 111,10298 42 a) 354,58886 -241,53208 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 135 43 a) 376,60349 -598,90428 44 a) 395,63318 -952,45456 45 a) 411,29894 -1295,10996 46 a) 95,86411 1243,52004 47 a) 118,41992 951,75400 48 a) 141,83002 635,40092 49 a) 165,07559 297,02332 50 a) 188,23646 -57,21140 51 a) 210,46193 -420,92818 52 a) 230,99763 -784,71794 53 a) 249,06585 -1141,03742 54 a) -58,48073 1407,74520 55 a) -41,40047 1126,13428 56 a) -23,26551 817,73027 57 a) -3,74704 485,30455 58 a) 16,71971 131,73031 59 a) 37,55372 -234,98992 60 a) 58,29479 -607,37380 61 a) 78,58923 -975,49291 62 a) 97,65701 -1331,28415 63 a) -200,84965 1296,01942 64 a) -188,42851 997,75108 65 a) -174,31695 673,05420 66 a) -158,40631 324,05637 67 a) -140,48984 -42,96459 68 a) -120,96295 -420,65200 69 a) -100,40825 -798,64121 70 a) -79,71322 -1168,35358 71 a) -357,95040 1460,20610 72 a) -352,23710 1173,86929 73 a) -344,81570 858,72377 74 a) -334,53326 517,33474 75 a) -321,33625 152,76438 76 a) -305,11337 -226,59412 77 a) -285,99820 -612,35969 78 a) -264,40462 -993,63311 79 a) -241,29536 -1361,70068 80 a) -513,13276 1342,84627 81 a) -512,99571 1040,34297 82 a) -509,77785 708,57289 83 a) -503,06714 350,33400 84 a) -491,82665 -27,53357 85 a) -475,94025 -417,36649 86 a) -455,71369 -807,73064 87 a) -432,16333 -1189,26156 88 a) -670,34366 1506,44101 89 a) -682,15790 895,54787 90 a) -682,89288 546,95962 91 a) -678,35146 173,54888 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 142 53 d) 1231,87182 -165,58960 54 d) -1300,03241 -297,31160 55 d) -900,96261 -310,85373 56 d) -506,96064 -321,33807 57 d) -128,23069 -328,35701 58 d) 227,32721 -332,46845 59 d) 553,63878 -334,07140 60 d) 849,45517 -333,77009 61 d) 1114,51377 -332,03875 62 d) 1350,67437 -329,43791 63 d) -1097,40166 -518,03005 64 d) -699,34023 -526,44517 65 d) -311,72758 -529,79557 66 d) 55,94711 -528,51884 67 d) 396,75159 -523,54139 68 d) 707,95503 -515,85975 69 d) 987,45246 -506,29047 70 d) 1237,39603 -495,90274 71 d) -1291,03283 -725,29750 72 d) -892,09594 -733,13093 73 d) -498,83942 -734,36300 74 d) -121,49855 -729,27063 75 d) 232,57485 -718,86813 76 d) 557,44045 -704,32679 77 d) 852,01928 -687,45174 78 d) 1115,96415 -669,10139 79 d) 1351,57277 -650,46696 80 d) -1082,97369 -938,59330 81 d) -687,43259 -939,41183 82 d) -303,03483 -931,78348 83 d) 61,33112 -917,54269 84 d) 399,29050 -897,57469 85 d) 707,90109 -873,99810 86 d) 985,53311 -848,27795 87 d) 1234,30905 -821,98423 88 d) -1270,27243 -1141,16237 89 d) -486,41992 -1134,25947 90 d) -114,33086 -1117,47239 91 d) 235,04992 -1093,42966 92 d) 556,09701 -1064,21146 93 d) 847,65997 -1032,10061 94 d) 1344,42603 -965,09383 95 d) -1059,72716 -1341,43822 96 d) -669,86590 -1333,96901 97 d) -292,34499 -1316,31906 98 d) 65,28129 -1289,69758 99 d) 397,79996 -1256,41429 100 d) 702,00382 -1218,75618 101 d) 976,79958 -1178,90889 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 143 102 d) 1223,95447 -1138,59980 103 d) -1242,37456 -1537,75026 104 d) -851,98225 -1529,53252 105 d) -471,11099 -1512,12260 106 d) -107,07305 -1484,57167 107 d) 234,86025 -1448,72270 108 d) 549,98759 -1406,91321 109 d) 837,25181 -1361,76810 110 d) 1096,66483 -1315,38665 111 d) 1330,11049 -1269,67067 VII.2.1.2. APLICACIÓN SOBRE ESCENAS 3D. Punto x (pixel) y (pixel) 1 -773.603300 -1658.986300 2 -301.453000 -1709.970900 3 174.159600 -1725.148000 4 675.116000 -1704.759200 5 972.140700 -1674.647600 6 -535.500900 -1688.425900 7 463.440900 -1718.047200 8 -62.693100 -1720.842400 9 -942.256400 -93.632200 10 -893.482500 1225.449200 11 -855.706000 -766.805600 12 -930.421700 708.574000 13 -901.607500 -425.175600 14 -943.486900 301.042200 15 17.721300 1337.946700 16 981.351000 1322.593800 17 -422.365700 1299.479100 18 485.329400 1347.903200 19 -579.243400 1283.108500 20 774.856700 1338.437000 21 -159.563800 1325.765400 22 295.199000 1345.337200 23 1129.946800 -132.634700 24 1094.244700 520.298500 25 1026.052900 1052.280100 26 1123.230200 112.685500 27 1061.909800 794.110600 28 1111.698800 302.558700 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 144 VII.2.2. EPIPOLARIZACION DE PARES FOTOGRAMÉTRICOS VII.2.2.1. APLICACIÓN EN FOTOGRAMETRÍA TERRESTRE. VII.2.2.1.1. Edificaciones planas (fachadas). Introducción de datos: Fotogramas: Nombre del archivo de la primera foto: marqizd.pts Nombre del archivo de la segunda foto: marqdch.pts Parámetros iniciales: Parametro AR2 = 0 Parametro BR2 = 1 Parametro CR2 = 0 Parametro A'R2 = 0 Parametro B'R2 = 0 Parametro A'R1 = 0 Parametro CR1 = 0 Fotograma izquierdo: Dimension maxima del fotograma en X: 2304 Dimension maxima del fotograma en Y: 3072 Fotograma derecho: Dimension maxima del fotograma en X: 2304 Dimension maxima del fotograma en Y: 3072 Números de los tres puntos que se desea queden a ras de pantalla: Numero del punto: 4 Numero del punto: 5 Numero del punto: 6 Medición de fotocoordenadas: Punto num. 1 X1 = 395 ; Y1 = 3017 X2 = 391; Y2 = 2950 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 145 Punto num. 2 X1 = 1209 ; Y1 = 2979 X2 = 1198 ; Y2 = 2950 Punto num. 3 X1 = 1911 ; Y1 = 2903 X2 = 1915 ; Y2 = 2906 Punto num. 4 X1 = 344 ; Y1 = 2503 X2 = 350 ; Y2 = 2443 Punto num. 5 X1 = 1956 ; Y1 = 2372 X2 = 1972 ; Y2 = 2377 Punto num. 6 X1 = 223 ; Y1 = 1582 X2 = 241 ; Y2 = 1528 Punto num. 7 X1 = 2135 ; Y1 = 1504 X2 = 2172 ; Y2 = 1501 Punto num. 8 X1 = 155 ; Y1 = 671 X2 = 186 ; Y2 = 619 Punto num. 9 X1 = 2109 ; Y1 = 756 X2 = 2162 ; Y2 = 737 Punto num. 10 X1 = 1223 ; Y1 = 531 X2 = 1255 ; Y2 = 494 Punto num. 11 X1 = 1178 ; Y1 = 1691 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 146 X2 = 1179 ; Y2 = 1665 Punto num. 12 X1 = 1185 ; Y1 = 2434 X2 = 1186 ; Y2 = 2407 Sistema de ecuaciones: 1 ti = 1323 td = 2950 2 ti = 1285 td = 2949 3 ti = 1209 td = 2906 4 ti = 809 td = 2443 5 ti = 678 td = 2377 6 ti = -112 td = 1528 7 ti = -190 td = 1501 8 ti = -1023 td = 619 9 ti = -938 td = 737 10 ti = -1163 td = 494 11 ti = -3 td = 1665 12 ti = 740 td = 2407 Solución (5 parámetros): Incrementos: ∆AR2 = -2.915028648466005E-002 ∆BR2 = 3.3649314240746E-003 ∆CR2 = -1638.206790904783 ∆A'R2 = 1.34357159556933E-005 ∆B'R2 = -5.103565284641154E-006 Valor: AR2 = -2.915028648466005E-002 BR2 = 1.003364931424075 CR2 = -1638.206790904783 A'R2 = 1.34357159556933E-005 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 147 B'R2 = -5.103565284641154E-006 A'R1 = 0 CR1 = 0 Residuos: residuo -.2902427380279853 residuo .549213536120151 residuo .4273071281706858 residuo -.1334531846543568 residuo -1.568455372394717 residuo .6011416350766018 residuo 1.381285604860086 residuo .2210968489607382 residuo 3.084034109540459E-002 residuo -.5500659048701284 residuo -1.049661969625307 residuo .3809940754999557 Varianza de la medida de peso unidad = 0.987857873047022 Desviación típica de la medida de peso unidad = 0.9939103948782415 1ª Iteración (6 parámetros): Sistema de ecuaciones: 1 ti = 1323.000052258502 td = 1323.293115904872 2 ti = 1285.000155356519 td = 1284.451360107317 3 ti = 1209.000231039944 td = 1208.577299644323 4 ti = 809.000027829601 td = 809.1344994484832 5 ti = 678.0001326168259 td = 679.5462450205014 6 ti = -112.0000024976001 td = -112.6038955438178 7 ti = -190.0000405650087 td = -191.3521840040804 8 ti = -1023.0000158565 td = -1023.221242883366 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 148 9 ti = -938.0001978242417 td = -938.0300797244202 10 ti = -1163.000142234917 td = -1162.457710880251 11 ti = -3.000000353400042 td = -1.957989795682854 12 ti = 740.0000876900104 td = 739.6203916761389 Solución (6 parámetros): Incrementos: ∆AR2 = -6.677381188918572E-005 ∆BR2 = -1.072436973940904E-002 ∆CR2 = 17.84517410174594 ∆A'R2 = -2.793176347617121E-004 ∆B'R2 = -3.011022617044699E-006 ∆A'R1 = -2.75400718773465E-004 Valor: AR2 = -2.921706029654923E-002 BR2 = .9926405616846656 CR2 = -1620.361616803037 A'R2 = -2.658819188060188E-004 B'R2 = -8.114587901685854E-006 A'R1 = -2.75400818773465E-004 CR1 = 0 Residuos: residuo -.1718636168959727 residuo 1.127646864617928 residuo -.3943239020499311 residuo -.5100664537083491 residuo -.7760478655434124 residuo .3295705937372412 residuo .9730765422688789 residuo .4318750144608651 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 149 residuo .1554976352592699 residuo -.7497330020316462 residuo -.5969274563011391 residuo .1812956450953325 Varianza de la medida de peso unidad = 0.7560857200075547 Desviación típica de la medida de peso unidad = 0.8695318970616056 2ª Iteración (7 parámetros): Sistema de ecuaciones: 1 ti = 1484.487481843691 td = 1486.642581079452 2 ti = 1926.420019743344 td = 1934.371309274446 3 ti = 2552.199577897688 td = 2585.955936134093 4 ti = 893.6638169304587 td = 895.2867901998834 5 ti = 1469.708404293968 td = 1493.29575810011 6 ti = -119.3284852463871 td = -119.8108829767248 7 ti = -461.1435002496267 td = -472.4738592479509 8 ti = -1068.616153356275 td = -1069.621201000565 9 ti = -2237.703924964241 td = -2270.972749306769 10 ti = -1753.659013874993 td = -1761.509444508856 11 ti = -4.440643020573518 td = -3.063820921578832 12 ti = 1098.493234344308 td = 1103.950082703202 Solución (7 parámetros): Incrementos: ∆AR2 = -3.544008061285395E-004 ∆BR2 = -1.449119430907454E-004 ∆CR2 = .4005309757295095 ∆A'R2 = -2.893685207766843E-006 ∆B'R2 = -5.968392722537204E-008 ∆A'R1 = -5.89573586186169E-006 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 150 Valor: AR2 = -2.957146110267777E-002 BR2 = .9924956497415749 CR2 = -1619.961085827308 A'R2 = -2.687756040137857E-004 B'R2 = -8.174271828911226E-006 A'R1 = -2.812965546353267E-004 CR1 = -1694 Residuos: residuo -.237990243587242 residuo 1.199067575376213 residuo -.4361099416984943 residuo -.5575832373418376 residuo -.7752313467506771 residuo .2730502746600524 residuo .9281759243951814 residuo .3394591763242356 residuo .1166611562077207 residuo -.6294170805797595 residuo -.4550975989427287 residuo .2873076804590178 Varianza de la medida de peso unidad = 0.7245352901959997 Desviación típica de la medida de peso unidad = 0.8511963875604734 6ª Iteración (7 parámetros): Sistema de ecuaciones: 1 ti = 1488.376721257182 td = 1488.684684808729 2 ti = 1947.227954137448 td = 1944.456686410906 3 ti = 2614.380305585903 td = 2616.460502327477 Epipolarización de un par fotogramétrico sin parámetros de orientación” Capítulo VII Anexo II Autor: José Luis Denia Ríos 151 4 ti = 895.6704610887583 td = 896.3672256897366 5 ti = 1507.390417955905 td = 1511.252512992341 6 ti = -119.4958723097759 td = -119.8117336607043 7 ti = -475.6756308131058 td = -481.3824048427295 8 ti = -1069.637215846749 td = -1070.013076460741 9 ti = -2306.109956138783 td = -2306.769640696346 10 ti = -1772.935274666219 td = -1771.476548230541 11 ti = -4.486768573500233 td = -3.466123766806707 12 ti = 1110.005134733118 td = 1109.359535036755 Solución (7 parámetros): Incrementos: ∆AR2 = -2.572265837463773E-005 ∆BR2 = -1.931256346700542E-004 ∆CR2 = .3303484692487985 ∆A'R2 = -5.006727999488925E-006 ∆B'R2 = -5.524313334855463E-008 ∆A'R1 = -5.046065401600034E-006 ∆CR1 = 0.0000000000000000 Valor: AR2 = -2.959718376105241E-002 BR2 = .9923025241069049 CR2 = -1619.630737358059 A'R2 = -2.737823320132746E-004 B'R2 = -8.22951496225978E-006 A'R1 = -2.863426200369267E-004 CR1 = -1694 Residuos: residuo -.2383549233906944 residuo 1.214095101811313